Teoría de númerosDe Wikipedia, la enciclopedia libre La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de dominios enteros (anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los números enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch: La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias. 2 El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,3 aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números. Índice 1 Campos 1.1 Teoría elemental de números 1.2 Teoría analítica de números 1.3 Teoría de números aditiva 1.4 Teoría algebraica de números 1.5 Teoría geométrica de números 1.6 Teoría combinatoria de números 1.7 Teoría computacional de números 2 Historia 3 Véase también 4 Referencias Nuestra teoría de números se deriva de la antigua aritmética griega de Diofanto. 1 Portada de la aritmética de Diofanto traducida al latín por Bachet de Méziriac, edición con comentarios de Pierre de Fermat publicada en 1670. la teoría de números se subdivide en diversas ramas. la conjetura de los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach también están siendo atacados a través de métodos analíticos.4 Referencias 5 Enlaces externos Campos Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar. la factorización de los enteros como producto de números primos. el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler. Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples. Teoría de números aditiva . la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y los números de F. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende. incluyendo las siguientes: Conjetura de Goldbach sobre que todos los números pares (a partir de 4) son la suma de dos números primos. Algunos ejemplos de esta son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann. íntimamente conectada con el problema de la distribución de los números primos. el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor. El problema de Waring. Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann. Teoría analítica de números La teoría analítica de números emplea como herramientas el cálculo y el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números enteros. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad. pero requieren consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones. Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos. Teoría elemental de números En la teoría elemental de números. se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Último teorema de Fermat (demostrado en 1995 por Andrew Wiles). problema de Waring y la conjetura de Goldbach. El primer uso geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba Sutras. VI a.La teoría de números aditiva trata de una manera más profunda los problemas de representación de números. Teoría combinatoria de números La teoría combinatoria de números trata los problemas de la teoría de números involucrando ideas combinatorias y sus formulaciones o soluciones. y también se usan ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas.vastos y profundos conocimientos aritméticos». C. «La evolución de la computación ha hecho que la aritmética deje de ser una ciencia contemplativa y de especialistas para transformarse en una verdadera rama aplicada.como dice Enzo R. los cuales fueron escritos entre los siglos VIII y VI a. C. C. . problemas de suma cero. VII a. tales como el método del círculo de Hardy-Littlewood. Los métodos algebraicos o analíticos son bastante poderosos en este campo. Teoría computacional de números La teoría computacional de números estudia los algoritmos relevantes de la teoría de números. La necesidad de nuevos algoritmos de computación requiere. Historia Los matemáticos en la India se han interesado en encontrar soluciones enteras a las ecuaciones diofánticas desde la época de los Vedas. Esta rama se suele utilizar algunos resultados referentes a la teoría analítica de números. Comienza con el teorema de Minkowski acerca de los puntos comunes en conjuntos convexos e investigaciones sobre superficies esféricas. Gentile. Teoría geométrica de números La teoría geométrica de números (tradicionalmente llamada geometría de números) incorpora todas las formas de geometría. Apastamba (s. los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales. Problemas típicos son los ya nombrados. Teoría algebraica de números La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos. diversos conjuntos restringidos y progresiones aritméticas en un conjunto de enteros.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas. Los temas típicos incluyen sistemas cubiertos. Paul Erdős es el creador de esta rama de la teoría de números. a veces se complementa con la teoría de cribas y en algunos casos suelen usarse métodos topológicos. Los algoritmos rápidos para evaluar números primos y factorización de enteros tienen importantes aplicaciones en criptografía.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas. Baudhayana (s. Véase también Problemas de Hilbert Sucesión de Fibonacci . También encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando este método. El método chakravala para encontrar la solución general de la ecuación de Pell era más simple que el método utilizado por Lagrange 600 años más tarde. infinito en todas partes (tridimensional) y perpetuamente infinito (en un número infinito de dimensiones). La solución general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada 70 años más tarde por Leonhard Euler. aunque la solución general de la ecuación de Pell fue encontrada 100 años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange en 1767. quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras.4 ecuaciones en las que falta información suficiente para producir un conjunto único de respuestas discretas. varios siglos antes. quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. cuárticas y polinómicas de mayores grados. La ecuación fue propuesta como un problema por el matemático francés Pierre de Fermat. El algoritmo kuttaka es considerado como una de las contribuciones más significativas de Aryabhata en las matemáticas puras. Utiliza el método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas cuadráticas. C. incluyendo aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal que . Naraian Pandit perfeccionó aún más las demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados superiores.. Su Brahma Sphuta Siddhanta fue traducido al árabe en 773 y al latín en 1126. Reconocen cinco tipos de infinitos diferentes: infinito en una o dos direcciones (unidimensionales). encontrando la solución general de otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticas cuadráticas. Brahmagupta trabaja en 628 las ecuaciones diofantinas más difíciles. Las ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales. el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinas lineales. El primer matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto. Bhaskara encuentra también la solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas.Los matemáticos de la época jainia fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos son los mismos o iguales. un problema de importante aplicación en la astronomía. Egipto a partir del siglo III a. Diofanto investigó un método para encontrar las soluciones enteras para las ecuaciones lineales indeterminadas. La teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría. incluso a través de una solución que no lo es. Aryabhata en el 499 da la primera descripción explícita de la solución entera general de la ecuación diofantina lineal . cúbicas. infinito en superficies (bidimensional). la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una versión modificada del método chakravala de Brahmagupta. Diofanto descubrió que muchas ecuaciones indeterminadas pueden ser reducidas a una forma en donde cierta categoría de soluciones son conocidas. La ecuación es un ejemplo de ellas. la cual aparece en su texto Aryabhatiya. que aparece en su libro 18 dedicado al álgebra y ecuaciones indeterminadas. Sin embargo. Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia.es/teoriadenumeros/historia. England: Cambridge University Press.html). ↑ Breve historia de la teoría de números (http://usuarios. .php?title=Teoría_de_números&oldid=76495927» Categoría: Teoría de números Esta página fue modificada por última vez el 21 ago 2014 a las 16:33. The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7. Harold (1999). Madrid: Siglo XXI Editores S. 4. El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3. Inc.lycos. Traducción de Alfonso Casal. podrían ser aplicables cláusulas adicionales..org/w/index. ↑ Davenport. Historia de las matemáticas (volúmenes 1 y 2). ISBN 84-3230526-4 2.Número áureo Teorema chino del resto Referencias 1. URL último acceso el 05/06/2007. Cambridge. Enlaces externos Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Teoría de números. Léanse los términos de uso para más información.wikipedia.0. una organización sin ánimo de lucro. Obtenido de «http://es. ↑ Jean-Paul Collette (1985). ISBN 0-521-63446-6.ª edición). 3. ↑ Introducción a la obra Cohomology of number fields: Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften.A.