TEORIA DE LA PROBABILIDADGeneralidades.- En muchas oportunidades nos hemos encontrado con afirmaciones donde no existe 100% de certeza sobre la aparición o realización de un hecho o fenómeno. Por ejemplo, continuamente escuchamos situaciones como las siguientes: - Dado a los niveles de inflación en los últimos meses en el país, es probable que el próximo año la economía alcance niveles de hiperinflación. Debido a la agresividad campaña publicitaria sobre el programa de vacunación para este año, es probable que aumente sustancialmente el número de niños vacunados. En estos ejemplos se pueden apreciar que el resultado final que se conoce con exactitud o certeza existe por lo tanto incertidumbre. Así “Se vive en un mundo donde se está en incapacidad de predecir el futuro con completa certeza. La necesidad de tener suficiente poder para manejar la incertidumbre obliga a estudiar y usar la teoría de la probabilidad”. Como seguía diciendo las Características mas notables de nuestra época consiste en el empleo cada vez mayor de las ideas de la teoría de la probabilidad en una amplia variedad de campo científico . En la actualidad la teoría de la matemática de la probabilidad constituyen el fundamento de las aplicaciones estadísticas Tanto en la investigación social como en la teoría de decisiones cuando prevalece condiciones de incertidumbre . 1.2 Experimento aleatorio Es cualquier experimento u operación cuyos resultados no se pueden predecir con exactitud antes de ser realizadas . Características: 1.- Cada experimento podría ser repetido bajo las mismas condiciones . 2.- Todos los resultados posibles del experimento aleatorio se pueden conocer a priori con precisión y no el resultado del experimento . 3.- Cuando el experimento es repetido un numero grande de veces el conjunto generado de resultados describe un comportamiento que describirá el estudio . Ejemplo # 01 Experimentos Aleatorios . E1=Lanzamiento de 2 monedas . E2=Lanzamiento de 2 Dados . E3 =Resultado de un partido F . E4=Juego de Poker. E5=Ingreso a la universidad . E6=Numero de de artículos defectuosos , Ejemplo # 02 :Sea el experimento “resultado del examen final en el curso de estadística por parte de un estudiante ” Resultado : antes del examen , el resultado no se conoce con exactitud , es decir , no sabemos si el estudiante aprobara y desaprobara el examen final .Luego , el experimento aleatorio . Ejemplo # 03: Sea el experimento “dejar libre un cuaderno en el aire ” Resultado : Se conoce con exactitud antes de llevar a cabo el experimento : “El cuaderno caerá por acción de la ley de la gravedad ”Por tanto este no es un experimento aleatorio . Sin embargo lanzar una pelota en un tanque con agua o quemar un papel no son elementos aleatorios porque se saben los resultados antes de ser Realizados . 1.3 Espacio Muestral (Ω) Es un conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y es denotado por (Ω o EM) . Ejemplo # 04 Sea el experimento aleatorio: “Resultado del examen final en el curso de estadística por parte de un estudiante”. EM={APROBAR , DESAPROBAR} Ejemplo # 05 (C.5 3.(1.3) (6.4 Resultado de un partido de Futbol E3 ={GANAR .1).1).5 4.3 2.(1.4).4 4.2).4 3. EMPATAR .5 6 1.5 6.2).Considere los experimentos aleatorios anteriores y describa el espacio muestral .3 6.(1.1 6.6 2.4)(6. de cada uno de ellos Lanzamiento de Dos Monedas E1 = (Ω1) ={(C.3 4 1.2 6.2 3 1.6 3.3).6 .2 2.5 2. PERDER}VCB 5 1.3 4.4 5.1 3.C).2 4.1 2.(1. PERDER} JUEGO DE POKER E4 ={GANAR .(S. … .S).1 5.6)} D1 D2 1 2 3 4 5 6 1 1.3 3.3). (2.2).5).1 2 1.6 4.4 2.4 6. EMPATAR .(S.6 5.S) } Solución: 2° Moneda 1°Moneda S… CS C C … CC S S… SS C … SC Lanzamiento de Dos Dados E2 = (Ω2) ={(1.(6.2 5.(1.5 5.1 4.3 5.6).2 3.(6.(2.5)(6. (2.6 6.C). FCC .FCC .CFF .960 INGRESO A LA UNIVESIDAD E5 ={INGRESA . 3. NO INGRESA} NUMERO DE ARTICULOS DEFECETUOSOS.CFF .n = 52 r=5 52 ∁5 = 52! 5! (52−5 ) ! = 2598.n} PUNTO DE MUESTRA Es cada resultado particular del experimento con un elemento del espacio muestral .CCC} E = (Ω) = {FFF. Solución : Sea el evento : E = Opinión de 3 personas sobre un proyecto de inversión Ω = {FFF. FFC .CCC } Solución: Diagrama del árbol: 3° Persona 2° Persona F .CFC .. 6…. el numero de muestras del espacio muestral es representado por n(Ω) Ejemplo # 06 : Tres personas de una comisión expresan su opinión favorables o contraria con respecto a un determinado proyecto de inversión . FFC . FCF .2 .CCF . 4 5 .CFC . E6 ={0 1 . FCF .CCF . B. También se dice que un suceso o evento. entonces tendremos : Evento A = {SOBRESALIENTE} Evento B = {BUENO} Evento C = {REGULAR} Evento D = {MALO} Ejemplo #08 Sea el experimento “Selección de dos personas .C . . es un subconjunto del espacio muestral.en relación a su situación ocupacional ” . Los posibles resultados de este experimento son : .B . C .D Los eventos . BUENO.4 SUCESO O EVENTO. Ejemplo #07 Sea el experimento aleatorio “Selección de un alumno de acuerdo a su rendimiento académico” El espacio muestral será : EM {SOBRESALIENTE.1°Persona F F C C F C C FF C C F C 1. . y por lo tanto cada uno de ellos es un evento .si denotamos por A . MALO} Podemos observar que cada resultado es un subconjunto del espacio muestral . . Los eventos son representativos por las letras mayúsculas A.Es cada resultado del experimento aleatorio o una combinación de resultados. REGULAR. (2. DO .5). tal que la primera persona seleccionada este ocupada .(4. E1:A1 : Que salga cara y sello. Tal que las dos personas seleccionadas ésten ocupadas .OD. DD } Ejemplo # 09 Considerando los experimentos del ejemplo #01 definiremos un evento para cada uno de ellos. Tal que al menos una de las dos personas estén ocupadas . Sea el evento C .entonces : A = { OO } Sea el evento B . Perder } E4:A4 : Obtener full de Ases con Reyes.2)(6. Ω A2 :{ (1. Ω A3 :{ Ganara.6) . podemos definir los siguientes sucesos o eventos : Sea el evento A . OD .PERSONA 2 PERSONA 1 OCUPADO OCUPADO DESOCUPADO DESOCUPADO OO OD DO DD El espacio Muestral es: EM { OO . Así por ejemplo . .DO }.(5.4).SC} E2:A2 : Que la suma sea 7. Ω A1 :{CS.3). entonces : C ={OO .1) } E3:A3 : Que no se empate. (3.DD } En este caso tendríamos como sucesos a una combinación de resultados .entonces : B = {OO. ya que se trata de una zona residencial de Lima .7 .K.K.9)} LOS SUCESOS O EVENTOS PUEDEN SER: Evento seguro o suceso Universal (U) Se llama así al evento que de todas maneras debe ocurrir.alto .5. este de todas maneras tendrá ingresos medio – alto . Ω A6 :{ (0 .K).1 .6 .8 . ya que al seleccionar un propietario de inmueble .A.Ω A4 :{ (K.K.…. Evento Imposible(ф) Es el evento que no va a Ocurrir .No contiene ningún elemento del espacio muestral .A.A).A).(K.K.4 .(K.A. Ejemplo # 11 Con respecto al ejemplo #06 : Sea el evento : A: Ninguno Opino. Ω A5 :{ Ingresó } E:A6 : Menos de 10 artículos defectuosos. en otras palabras es el espacio Muestral (todas las posibilidades).A.2 . .} E5:A5 : Ingreso . Ejemplo # 10 Sea el experimento : “Selección de un propietario de inmueble con ingresos medio.K. de la urbanización las casuarinas Lima ” Se puede apreciar que el evento es seguro universal .3 . Ω A :{ CCC .Ω A :{ } Ejemplo # 12 Sea el experimento: “Selección de un propietario de inmuebles con ingresos bajos de la urbanización Las Casuarinas – Lima” En este caso . ya que no se podrá seleccionar un propietario de inmuebles con bajos ingresos en una zona residencial . Evento complementario: El complemento del evento A. FFF } El complemento será: A´ = {Los tres no opinaron Iguales} . se denota por el símbolo A´ (Se lee : no A ) y significa que el evento A no ocurre Ejemplo #13 Sea el evento A = {Paciente con tumor canceroso} Entonces el complemento será: A´ = {Paciente sin tumor no canceroso} Ejemplo #14 Considerando el ejemplo #06(Tres personas de una comisión expresan su opinión favorable o contraria con respecto a un determinado proyecto de inversión) Sea el evento: A: Los tres opinaron Iguales. el evento es imposible . Ejemplo #15 Sea el experimento aleatorio : “Selección de un profesor de la universidad “x”según categoría Docente ” Espacio muestral es : EM ={PRINSIPAL .este tendrá solo una categoría . anula la ocurrencia de los demás . CCF } EVENTO MUTUAMENTE EXCLUYENTES : Dos o mas eventos son mutuamente excluyentes . que al seleccionar un Docente . CFC . FCC . porque al seleccionar un docente .PROFESOR JEFE DE PRACTICA } Siendo los eventos A =Profesor principal B =Profesor Asociado C =Profesor Auxiliar D = Profesor de Jefe de Practica Los cuatro eventos son mutuamente excluyentes . AUXILIAR . Este tenga la categoría de principal y jefe de practica a la vez . No es posible sostener .´ Ω A : {FFC . Ejemplo #16 Considerando el ejemplo #06(Tres personas de una comisión expresan su opinión favorable o contraria con respecto a un determinado proyecto de inversión) Sea el evento: A: Los tres opinaron Favorablemente. ASOCIADO . Ω A :{ FFF } . si la ocurrencia de uno de ellos . por ejemplo . FCF . anulándose el resto de los eventos . CFF. un emparedado. Y= Segundo alumno apruebe el examen de estadística . Ejemplo # 17 Sean los eventos : X = Primer alumno apruebe el examen de estadística . en forma independiente .Si un evento o suceso puede ocurrir . 3 tipos de emparedados . de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes . . entonces el numero de maneras distintas en que pueden ocurrir ambos sucesos es : (m x n) Ejemplo # 18 Cuantos almuerzos diferentes . EVENTOS INDEPENDIENTES : Dos eventos son independientes si ambos no tiene ninguna relación entre sí : es decir . 5 postres y 4 bebidas . si la ocurrencia de uno de ellos . son posibles si se componen de una sopa . este no influye para que el evento ocurra .El complemento será: B= {Los tres opinaron en contra} ΩB: {CCC } Por lo tanto A y B Son mutuamente excluyentes. X e Y =Son independientes porque al ocurrir el evento X ..5 TÉCNICAS DE CONTEO 1. un postre y una bebida y pueden elegirse entre cuatro sopas . no influyen en la ocurrencia del otro .PRINCIPIOS DE MULTIPLICACIÓN . 1. B) C (A.Disputan el primer y segundo lugar (Campeón y sub campeón )¿De cuantas maneras diferentes pueden ubicarse estos equipos en dichos lugares?.4 x 3 x 5 x4 = 240 Almuerzos Ejemplo # 19 En la ETAPA FINAL de fútbol profesional de primera división .D) A (D.C) TOTAL (12) Existen 12 maneras diferentes en que estos equipos se puede ubicar en el primer y segundo lugar Explicación : a) El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los 4 equipos . cuatro equipos CRISTAL(A).D) (B.C) D B A (B. PRIMER LUGARSEGUNDO LUGAR A B (A.A) C (B. CIENCIANO(C) .D) A (C.C) D C D (A. UNIVERSITARIO(D). BOYS(B) . UTILIZANDO PRINCIPIO DE MUTIPLICACION 1° 2° . b) El segundo lugar puede ser ocupado por cualesquiera de los otros tres equipos que restan .A) B (C.B) C (D.B) D (C.A) B (D. 3 x 2 x 2 = 12 Maneras distintas de Vestir. se observa que el evento del Primer lugar se presenta de 4 maneras y el del segundo lugar de 3 maneras distintas . 2 pares de zapatos de cuantas maneras diferentes se puede vestir María . Ejemplo # 23 . entonces el evento A o el Evento B se realizaran de (m + n) maneras . no es posible que ambos eventos se realicen juntos . PRINCIPIO DE ADICIÓN si un evento a se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes . 2 blusas . además . Ejemplo # 21 Una persona puede viajar por vía aérea o vía terrestre si hay 3 vías terrestres y 2 aéreas ¿Cuántas rutas disponibles tiene para viajar? 3 + 2 = 5 Formas diferentes de viajar Ejemplo # 22 Un repuesto de Laptop se vende en 6 tiendas de la Loreto o 8 tiendas de la Marcavelica ¿De cuantas formas se puede adquirir el repuesto? 6 + 8 = 14 Formas de adquirir el repuesto.4 x 3 n° de maneras = 12 Por el principio de multiplicación . entonces el numero de maneras totales será : 4 x 3 = 12 Ejemplo # 20 María dispone de 3 pelucas . Variación y combinación PERMUTACIÓN Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden de su ubicación . Entre los métodos de conteo mas conocidos se tiene : Permutación . cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación .Se desea cruzar un rio . para formar diferentes agrupaciones . METODOS DE CONTEO En diferentes casos se tomara de algún conjunto parte de sus elementos o todos de ellos . cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos n Pn = n! Ejemplo # 24 . para ello se dispone de 3 botes . serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos es igual se dira que son agrupaciones con repetición .si los elementos que forman alguna agrupación son diferentes entre si .2 lanchas y un Deslizador ¿De cuantas formas se puede cruzar el rio utilizandolos medios de trasporte señalados ? 3 + 2 = 5 Formas de Trasporte Señalados. entonces se utiliza el principio de Adición. Si se desea que se realicen los eventos A ó B. es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación . que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de alguno de ellos . entonces se utiliza el principio de multiplicación. Nota: Si se desea que se realicen los eventos A y B. porque los objetos son ordenados en una línea recta de referencia . Ejemplo # 25 En una carretera de 400 metros participan 10 atletas ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiadas los tres primeros lugares? 10 Definimos R= 3 que se puede formar con los 10 atletas P3 = Nota : n ! = 1 x 2 x 3 x 4 …x (n . tomados en grupos de R elementos (Siendo R ≤ n) y denotado por: n PR = n! ( n−R ) ! Estas permutaciones son llamadas lineales . al fin de impedir que los operadores sepan cuando inspeccionara varia el orden de las visitas ¿de cuantas maneras puede hacerlo? n = 6 Diferentes (interesa el orden) P66 = 6! = 720 PERMUTACIONES DE “n” OBJETOS “r” A LA VEZ (Permutación Lineal con elementos Diferentes) El numero de permutaciones de “n” objetos diferentes .1)! x n 10 ! =720 7! .1) x n 0! = 1 1! = 1 n! =(n .Un inspector visita 6 maquinas durante el día . para hallar el numero de permutaciones circulares que se pueden formar con “n” objetos distinto de un conjunto . se trata de una permutación con repetición . donde : n 1+n2+n3+…+nk= N . por hallarse todos en una línea cerrada . n3 = 1 (Triangulo).donde n 1 = 3 (Tres círculos )n2 = 2 (cuadrados) . el numero de permutaciones que pueden formarse tomando los N elementos a la vez es : N! N Pn = n1 ! n 2 ! n3 ! n 4 ! n5 ! …. n k ! Donde n1+n2+n3+…+nk= N Ejemplo # 26: ¿De cuantas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras ? Como entran todos los elementos del conjunto y algunos se repiten . así sucesivamente hasta que n k elementos iguales conforman el k – ésimo grupo . n 2 elementos iguales conforman el segundo grupo . hay que considerar fija la .PERMUTACION CON REPETICIÓN (Permutación lineal con elementos Repetidos) Dado un grupo de “N” Elementos conformados por k grupos diferentes de tal forma que n1 elementos iguales conforman el primer grupo . n4= 1 (Rombo “CUATRO LADOS” ) luego: Donde n1+n2+n3+…+nk= N 3 x 2 x 1 x 1= 7 P73∗2∗1∗1 = 7! (3 !) ( 2 ! ) ( 1! ) (1 !) = 420 PERMUTACIÓN CIRCULAR Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento . con K ≤ n Esta dada por : CnK = n! ( n−K ) ! k ! Ejemplo # 29: De cuantas maneras diferentes pueden elegirse 3 de 20 auxiliares de un laboratorio para asistir a un evento.1) restantes podrán cambiar de lugar de (n .1)! Formas diferentes . n = 20 K=3 20 C3 = 20! ( 20−3 ) ! 3 ! Ejemplo # 30: = 1140 . los (n .posición de un elemento .El numero de combinaciones de “n” elementos diferentes tomados de “K” en “K” . tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto . El numero de permutaciones circulares será : PnC =( n−1 ) ! Ejemplo # 27: ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse 6 personas alrededor de una mesa circular? P6C =( 6−1 ) !=5 ! = 120 maneras diferentes de sentarse COMBINACIÓN Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicación . ¿En cuantas formas diferentes puede el jefe de laboratorio de investigación puede elegir dos químicos de 7 candidatos y 3 físicos de 9 candidatos? C72 Dos químicos pueden elegirse : = 9 C3 = 21 Maneras 3 físicos pueden elegirse = 7! ( 7−2 ) ! 2! 9! ( 9−3 ) ! 3 ! = 84 Maneras Toda la elección(Aplicamos principio de Multiplicación ) 21 x 84 = 1764 Maneras. sin llevar a cabo el experimento y solo basado en un razonamiento lógico . Se calcula atravez P(A)= CASOSFAVORABLESDEOCURRENCIADELEVENTOA TOTALDECASOSPOSIBLES Ejemplo # 32: Hallar la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda . TIPOS DE PROBABILIDAD Existen tres enfoques para el estudio de la Probabilidad PROBABILIDAD CLÁSICA : Llamada también probabilidad a priori debido a que es posible conocer el resultado con anterioridad . CONCEPTO DE PROBABILIDAD La probabilidad es una disciplina abstracta que se usa como modelo para hacer deducciones relativas a eventos que posiblemente pueden ocurrir . es decir . Solución :sea el evento : B = Vendedores ambulante despedido .hallar la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un vendedor ambulante . PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA DE LA OCURRENCIA El calculo de este tipo de probabilidad se basa en la repetición de la ocurrencia de un evento .5 = 50%(Para obtener el % multiplicamos el resultado por 100 % ). NUMERODEVECESQUEOCURRIOELEVENTOA P(A)= NUMEROTOTALDEVECESQUESEREPITIOELEXPERIMENTO La probabilidad de frecuencia relativa . es llamado también probabilidad empírica o a posteriori . Ejemplo # 34: En una encuesta realizada a 500 vendedores ambulantes de lima central .Solución: Definimos el espacio muestral : EM= {CARA . este haya sido despedido de una empresa fabril . SELLO} Sea el evento : A = OBTENER CARA Luego : P(A)= CASOSFAVORABLESDEOCURRENCIADELEVENTOA 1 = 2 TOTALDECASOSPOSIBLES P(A)=0. al realizar una gran cantidad de pruebas o experimentos . # de veces en que ocurrió B =325 # total de veces que se repitió el experimento = 500 Luego : . debido a que se obtiene el resultado después de llevar a cabo el experimento un gran numero de veces . se encontró que 325 de ellos se dedicaban a esa actividad porque habían sido despedidos de empresas fabriles . Es decir : P (EM) = 1 CONSECUENCIA DE LOS AXIOMAS La probabilidad de un evento . y se debe cumplir ´ ) = P(A) + P( A ) = 1 PROBABILIDAD EN MUTIPLICIDAD DE EVENTOS Regla de la suma de Probabilidades . Es decir 0 ≤ P(A) ≤ 1 La probabilidad de un evento nulo o imposible . Es decir P(ф) = 0 Los eventos A y P ( AU A´ A´ son mutuamente excluyentes . Ejemplo # 35: La probabilidad de que el hombre llegue a habilitar la luna en los próximos 20 años . es siempre positiva . es la probabilidad del espacio muestral que equivale a la unidad . La probabilidad de que se encuentre una cura para el sida en los próximos 5 años AXIOMAS DE PROBABILIDAD La probabilidad de un evento cualquiera . basado en cualquier tipo de evidencia disponible .325 P(B)= 500 =0. Las probabilidades Subjetivas se asignan a eventos que pueden suceder solo una vez o muy pocas veces . es cero . Es decir : P(A) ≥ 0 La probabilidad de un evento cierto o seguro .65 =65% Probabilidad Subjetiva : Es la probabilidad asignada bajo un criterio “Personal” . toma valores entre cero y uno . 50 padecían de desnutrición crónica y 70 normales. la probabilidad de ocurrencia de A o B es : P(A U B) = P(A) + P (B) Suma Donde : P = Probabilidad U = Símbolo de la unión en la teoría de conjuntos.¿cual es la probabilidad de que padezca de desnutrición leve o desnutrición crónica? Solución : Sean los eventos : A = Niños con desnutrición leve = 80 B = Niños con desnutrición Crónica = 50 C = Niños Normales = 70 Como los eventos son mutuamente excluyentes: P (A U B) = P (A) + P(B) 80 50 + P (A U B) = 200 200 130 =0. P(A U B)= Probabilidad de que ocurra el evento A o B . se encontró que 80 padecían de desnutrición leve. P(A) = Probabilidad de que ocurra el evento A P(B) = Probabilidad de que ocurra el evento B Ejemplo # 36: De 200 niños examinados por una nutricionista. aquí significa suma de probabilidades y debe de leerse como “o” . si de los niños examinados se seleccionan uno al azar .Se usa cuando se desea averiguar la probabilidad de ocurrencia de uno u otro evento Si los eventos A y B Son mutuamente excluyentes .65 P (A U B) = 200 . P (A U B) =65% Si los eventos no son mutuamente excluyentes . (d)que no sea roja ? . la probabilidad de ocurrencia de A o B . Luego : P(B ∩ A) CASOS FAVORABLES DE OCURRENCIA DE A Y B P(B/A)= = Casos posibles de ocurrencia de A P( A) EJERCICIOS RESUELTOS(PROBABILIDADES) Probabilidad con acontecimiento aislado Ejemplo # 01 Si una caja contiene 10 bolas rojas . PROBABILIDAD CONDICIONAL Es utilizada cuando se desea conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento condicionado a la aparición previa de otra . Ocurran . Donde P(A/B) = Probabilidad de que ocurra el evento B .(b)Blanca . y se expresa condición . (c)Azul . Se calcula mediante la formula: P(B/A)= P(B ∩ A) Con P(A) = 0 P( A) El símbolo / se lee DADO . P(A ∩ B) =Probabilidad del que ocurran simultáneamente los eventos A yB. es : P(A U B)= P(A) + P(B) –P(A ∩ B) DONDE : P(A U B) =Probabilidad del que el evento A y el evento B . 8 bolas blancas y 12 bolas azules . al extraer una bola .Dado que el evento A ha ocurrido .¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea (a)roja . (1 y 2). Respuesta : Si de 100 tiros han salido 61 caras . luego p = 3/4 . CS . CC .39 Ejemplo # 04 Probabilidad de tirar 2 veces una moneda por lo menos aparezca un sello Respuesta : Al tirar 2 veces una moneda puede obtenerse 1 de los 4 resultados siguientes SS. Todos con igual probabilidad . (3 y 2) . esto quiere decir que han salido 39 sellos Luego la probabilidad empírica de que salga sello tiene la frecuencia relativa de P = 39/100 = 0. estas combinaciones son (1 y 1). SC . solo los 3 primeros Resultados son favorables . cuya suma va de 2 hasta 12 . estas son (1 y 4) .26 c) = La probabilidad de que sea Azul es 12 / (10 + 8 + 12) 2/5 = 0. si es de que anteriormente de 100 tiros han salido 61 caras .3333 (b) = La probabilidad de que sea blanca es 8 / (10 + 8 + 12) =0.(6 y 6) Entonces p = 4/36 = 1/9 . (4 y 1) .Respuesta: (a) = que sea Roja es 10 / (10 + 8 +12) = 1/3 =0.(1 y 3).4 (d) = La probabilidad de que no sea Roja es (8 + 12) / (10 + 8 + 12) = 2/3 Ejemplo # 02 ¿Cual es la probabilidad de que al sacar una carta en una baraja de 48 cartas sea un cabajo o un Rey ? Respuesta : La probabilidad es de (4/48)+(4+48)= 1/6 Ejemplo # 03 Determinar la Probabilidad P de que aparesca sello en una tirada de una moneda . Ejemplo # 05 Probabilidad de que aparezca una suma de 5 en el tiro de dos dados Respuesta : Hay cuatro formas de obtener la suma de 5 con dos dados . Por otra parte hay 36 combinaciones posibles entre los 2 dados .…(6 y 5). (2 y 3). luego la probabilidad que se pide es igual a Prob( Mutiplos de 2) + Prob (Mutiplos de 3) – Prob(Mutiplos de 2 y de 3) = 3/6 + 2/6 . pero 6 es a su vez mutiplo de 2 y de 3.Ejemplo # 06 Probabilidad de que al extraer una carta de una baraja de 52 cartas . por siguiente p = 4/56 + 1/52 + 1/52 = 6/52 = 3/26 . salga un múltiplo de 2 ó de 3 . Si A es el suceso obtener una carta de corazón rojo se tiene . en los cuales hay tres mutiplos de 2 y 2 mutiplos de 3 . y de un mutiplo de 3 es de 2/6 . Respuesta : Al tirar el dado puede salir cualquier numero del 1 al 6 .1/6 = 4/6 PROBABILIDAD DE QUE VARIOS ACONTECIMIENTOS DEPENDIENTES NO INFLUENCIADOS ENTRE SI EJEMPLO # 10 ¿Cual es la probabilidad de que al echar un dado al aire . Luego la probabilidad perdida es 3/6 * 2/6 = 1/6 EJEMPLO Deseamos calcular la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja de póker (52 cartas) obtengamos una de corazón rojo. PROBABILIDAD DE QUE ANBOS ACONTECIMIENTOS INDEPENDIENTES PERO NO EXCLUYENTES ENTRE SI : EJEMPLO # 07 Encontrar la probabilidad de que al echar un dado al aire . o bien el 10 de oros o el 4 de espadas. Respuesta : En la baraja hay 4 ases . 10 de oros y un 4 de espadas luego de 52 cartas igualmente probables 6 son favorables . salga un mutiplo de 2 y de 3 ? Respuesta : La probabilidad de un múltiplo de 2 es de 3/6 . esta sea 1 as .