1).- (Bierman y Fernández (1993)).Una persona es elegida aleatoriamente y se le presenta las siguientes 3 loterías. a) Ganar 5 u.m con probabilidad 0.5 y no ganar con probabilidad 0.5 b) Ganar 10 u.m con probabilidad 0.25 y no ganar con probabilidad 0.75 c) Ganar 10/3 u.m con probabilidad 0.75 y no ganar con probabilidad 0.25 Esta prefiere a) a b) Y b) a c). Supondremos que es un maximador de la utilidad esperada y que la función de la utilidad esperada asociada a sus preferencias es de Von NeumanMorgenstrn. Tomadnod u (0um)=0 y u (10 u.m)=1, y considerando sus preferencias, encuentre los limites máximo y/o mínimos para u (5 u.m) y u (10/3 u.m) teniendo en cuenta que la función de utilidad que se forma con estas preferencias es continua y diferenciable, ¿Qué podemos decir acerca de la aversión al riesgo de la persona en el intervalo [0,10]? . L a =0.5 (5 u.m)+0.5u (0.u.m) U (La)=0.5u (0.5 u.m) Representa la ganancia esperada de la primera lotería a .L b =0.25 (10 u.m)+0.75u (0.u.m) U (La)=2.5 u.m) Representa la ganancia esperada de la primera lotería b U (Lb)=0.25 (1) + 0.75 (0 u.m) U (Lb)=0.25util U(Lc)=0.25(10/3u.m) + 0.25 (0 u.m) U (Lb)=10/3 x 0.75 =2.5 De lo obtenido 0.50 u (5 u.m) > 0.25 U (5 u.m) > 0.25/0.5 = 0.50 Preferencia de la lotería a sobre la lotería b U (5 u.m) > 0.50 utils 0.75 u (10/3 u.m) < 0.25 U (10/3 u.m) < 0.25/0.75 U (10/3 u.m) < 0.33 utils Preferencia de la lotería a sobre la lotería b m) = 2.m de rendimiento neto)..5 u (w) = ln (w + 9) .m) +0. que proporciona una ganancia bruta de 0 u.5 u.m.5 2.m invertida (1 u.m) U (La)=0.5 =U (Zb) Zb =2.5 Equivalente a la lotería b U (Lb)= 2. U (w)=ln (w+9) y su riqueza actual w0 > 1 Función L = 0 3/4 6 1/4 Valor Esperado: E (L)=3/4 x (0) + ¼ x (6) E (L)=1.1 UTILIDAD 3.m de recuperación de inversión + 5 u. perdida de la cantidad invertida) con la probabilidad de ¾ y de 6 u.Un individuo ha pensado realizar una inversión en un activo financiero de gran volatilidad.5 (0.5u (0.3 5 10 u.m (es decir. Siendo sus preferencias representables mediante la función de utilidad. con la probabilidad ¼ por cada u.50 (0 u.5 u.m CANTIDAD DE DINERO U (La)=0. 35 que satisface la condición w 0 >1 Eu (L)=2. Un consumidor cuya conducta se adapta a los axiomas de Von Neuman –Morgensten y cuya riqueza es de W0 =160 000 u. con 70 000 u.197 1..5 u. La probabilidad de un gran incendio.(Henderson y Quandt (1985)).Valor Esperado: E u (L)=3/4 x u (0) + ¼ x u (6) E u (L)=3/4 x (ln 9) + ¼ x (ln 15) E u (L)=2.325 U U (6)=2. Su función de utilidad es de u (w) = w1/2 ¿Cuál es la máxima cantidad que estará a pagar por una póliza de seguros que le asegure contra el riesgo de incendio? L= 70 000 120 000 160 000 0.9 x (160 000) E (L) = 3 500 + 6 000 + 14 400 E (L) = 153 500 .05 0.m está sujeta al riesgo e un incendio.m en perdidas.m U (10.5 W 3.32 U (0)=2.5)=2.05 0. es también 0. es 0.9 función: u (w) = w ½ Valor esperado: E (L) = 0.05 x (70 000) + 0.05 y la de un incendio destructor.708 Esta dispuesto a invertir 1.m en perdidas.05.05 x (120 000) + 0. con 120 000 u. Valor esperado: E u (L) = 0..58 70 000 120 000 153 500 160 000 Esta dispuesto a pagar un seguro de 153 500 u.05 x (346.05 x (264.41 264.m si tuvieran que decir entre una inversión conjunta (50% cada uno.00 391.m y ha de decidir si invertirá o no en un proyecto que requiere que invierta todo sus ahorros (w0).58) + 0.41) + 0.55 346. es decir I1 = 1 000 u.m) o no llevar a cabo el proyecto ¿Qué decisión tomaran? L= 0 6 000 1/2 1/2 función: u (w) = w 1/2 Valor esperado: E (L) =1/2 x (0) + 1/2 x (6 000) E (L) =3 000 . w0 = 2 000 u. Sabiendo que sus preferencias pueden ser representados por la función de utilidad u (w) = w ½ ¿Qué decisión tomara? Supongamos que Carlos comparte las mismas preferencias que Blanca y posee el mismo nivel de riqueza. y un rendimiento bruto de 6 000u.79 390. y que genere los siguientes rendimientos: la pérdida del capi8tal invertido con una probabilidad de ½.Blanca tiene una riqueza se w0 = 2 000 u.9 x (400) E (L) = 153 500 u (w) =w1/2 400.05 x (u (120 000)) + 0.m (2 000 + 4 000) con la probabilidad ½.9 x (u (160 000)) E (L) = 0.m 4.05 x (u (70 000)) + 0. 77 38.2 x (en 120) + 0.Utilidad esperada: E (L) =1/2 x (u (0)) + 1/2 x (u (6 000)) E (L) =3 000 u (w) =w1/2 7 7. 5.-(Campbell (1995)) un individuo (sin escrúpulos cívicos )con una función de utilidad sobre la riqueza que viendo dado por u(w)=ln (w+20) y tiene una renta de 100 u .8 x (60) E (L) =68 Utilidad esperada: E u (L) =0.8 Función: Ln (w+20) Valor esperado: E (L) =0.m Para Blanca y Carlos: Decidirán no invertir porque la ganancia seguro sea mínima (500) para un riesgo de 1 000 u. si le encuentran que ha realizado una declaración fraudulenta(Declarado una renta inferior a la real).m para cada 1 u. es gravado con un impuesto del 40% sobre la renta ganada. tendrá que pagar los impuestos que deba y un pago adicional de 1 u.m que no haya declarado ¿ cuánto renta dejara sin declarar si la probabilidad de ser descubierto es de 0.2 0.8 x (en 60) E u (L) =383 .m con su inversión de 2 000 u.74 54.725 0 1 499.m sin contar impuestos.6 3 000 6 000 Para Blanca: Lo más seguro es ganar 10 000 u.m.2? L= 100 60 0.2 x (100) + 0. 3) (3.1) 2 (1.6 } si a1 + a 2 = < 6.302 2.5.2) (5.2) (4. finalmente. en donde a1 es el numero anunciado por el jugador i entonces cada jugador i recibe un pago de ai Si a1 + a 2 > 6 y ai <aj entonces el jugador i recibe ai y el jugador j recibe 6 .383 4.2) (4. cada jugador muestra su tercera ficha. repitiéndose el procedimiento por tercera vez. manteniéndola oculta.1) (3. cada jugador selecciona una de sus fichas y la coloca en la mesa.Cada jugador empieza con 3 fichas: rojo.5) 6 (1. Cada ficha puede ser utilizada solo una vez.3) (2.3) (4. Ambos jugadores descubren entonces sus fichas y determinan el pago que debe abonar el perdedor y que recibe el ganador. blanco y azul. y se repite el procedimiento.4) (3.1) (2.1) (5.3) (3.1) (5. cada uno de los dos jugadores anuncia (simultáneamente)un numero perteneciente al conjunto {1.4) (3.3) (3.4) (2.477 4.7 7..4) (3.2) (2.3) (2.74 u (w) =ln (w+20) 4.2) (4.4) (3.995 0 1 499.3) (1. .3) (2.Considere el siguiente juego para 2 jugadores .4) 5 (1. A continuación cada jugador selecciona una de sus 2 fichas restantes.3. 1 2 3 4 5 6 1 (1..ai .En un juego . según los datos de la tabla siguiente.2) (3.1) (3. Si a1 + a 2 > 6 y ai = aj entonces cada jugador recibe 3.1) (4. Represente el juego en forma estratégica.3) (3.2) JUGADOR 1 Ó 2 3 4 (1.2) (3.5) (2.6 3 000 6 000 JUGADOR 1 Ó 2 6.3) (4. Para comenzar.3) 7.5) (2.2.4.3) (1. .0) (0.Los controles de contaminación propuesta por los verdes aumentaran en 60 000 euros. que el entrante conoce.4) (0. los costos fijos de cada empresa..Supóngase que el entrante tiene que tomar su decisión de entrada antes de conocer la decisión del monopolista. a2.0) (5.Supóngase ahora.. b). apoyar de la opuesta de la oposición. los beneficios del monopolio son 120 000 euro y los del duopolio 48 000 euros. Suponga que esta discutiendo la aprobación de una ley de control de la contaminación.. sus beneficios son 0. tanto si opera en régimen de monopolio como de duopolio. . antes de tomar su decisión del monopolista. o no apoyar una nueva ley que exige controles de contaminación en todas las empresas de la industria. de gran influencia política. a). El entrante potencial puede entrar o no entrar en la industria.Considere el siguiente juego entre un (hasta ahora) monopolista y un entrante potencial. si el entrante potencial decide no entrar.0) AZUL (3. mientras que la propuesta de la oposición los aumentaría en 24 000 euros. El monopolista. a1.Pago( en decenas de euros) Rojo gana a blanco 5 Blanco gana a azul 4 Azul gana a rojo 3 Coincidencia de colores 0 JUGADOR 1 JUGADOR 2 ROJO BLANCO AZUL ROJO (0.Represente el juego en forma extensiva. sin costos de control de contaminación.0) (4.0) (0..5) (0.Represente el juego en forma estratégica.0) 8.3) BLANCO (0. Suponga que cada propuesta se aprueba si y solo apoya el monopolista . puede apoyar la propuesta del Grupo verde. por el contrario. Por simplicidad. devolviéndose un total de 48 000 euros. por ultimo si ninguno desea el dinero. asumiremos que los inversores tienen unas preferencias temporales que les hacen valorar un euro del mismo modo a lo largo de los 2 años de vida del proyecto.12) (12. mientras que el segundo genera una rentabilidad positiva.12) Terminología: (en miles) . Y.6) (18.6) (12.A (18.Un empresario ha convencido a 2 inversores en un proyecto de 2.18) (6. Si ambos deciden el cobro en dinero cada uno recibe 24 000 euros y el juego se acaba..12) NI. y el jugador acaba.18) I.D (24.D (18. Las características del proyecto permiten a los inversionistas decidir la recuperación del capital invertido en dos ocasiones.24) (30.A (18. depositando cada uno de ellos un total de 18 000 euros.18) NI. Finalmente si ambos inversores deciden mantener su inversión durante el segundo año el proyecto llega a su finalización y los inversores han de decidir la forma en que se le devuelva la inversión mediante dinero o acciones con total liquidez en el mercado bursátil. I. si solo uno prefiere dinero. si bien el primer caso el recuperamiento es parcial. la empresa entrega a cada uno un paquete de acciones por un valor de 24 000 euros y el juego se acaba. el cumplimiento del primer año y al cumplimiento del segundo año.A I.9.D NI.12) (12. Si al final del primer año ambos inversores deciden abandonar el proyecto.24) (6.6) (12.D I.18) (6.6) (18. ese inversor recibe 30 000 euros y el otro 18 000 euros y el juego se acaba. Supongamos que el final de cada uno de vigencia del proyecto los inversores han de decidir simultáneamente si recupera o no su inversión.18) (6.A NI. un total de 24 000 euros (inferior a la suma total de 36 000 euros invertidos). Si solo un inversor decide abandonar este recibe 18 000 euros y el otro 6 000 euros. y que suceden los siguientes pagos en función de tales decisiones.30) (24.5 años. cada uno recibe 12 000 euros y el juego se acaba. (x.a. (A.b}} Ơ(e)= a Ơ(h)= B .F. {Hi} i E j. T= {j.1 E 0 F 1..2 J= {1.2} x= {0.- g 1. P. α).0 Ơ(b)= 0 Ơ(d)= Ơ(g)= A= {E.} Ơ(0)= 0 Ơ(a)= Ơ(c)= Ơ(f)= 3.-1 B C d 2.f.B. (A (h)) h E H.- -1. {Xi} i E J.10.g. Ơ).2.C. r} c 1.b.h.d.Se sabe que un juego en forma extensiva está completamente especificado..-1 D h 2.- f B C Jugador 1 es Jugador 2 es E F B C D B C D = {0} = { {a.1 D e 0.e.c.D} α(a)= α(b)= α(c)= α(d)= α(e)= α(f)= α(g)= α(h)= 4. -1) (2. 2.b}} A({0}. Una empresa constructora le ofrece urbanizar la finca para su posible subdivisión en parcelas destinadas a viviendas unifamiliares. con esta urbanización el valor de la finca seria de 775 000 euros.3} En donde el jugador 1 es empresario que ofrece acondicionar la finca como polígono industrial. con la que su valor de mercado alcanzaría los 700 000 euros. Representa el juego en forma coalisional. r= ({1})=r ({2})= r ({1.2) (1.- P({0}. Tanto el jugador 1 como el jugador 2 necesitan el acuerdo con el jugador 3 (el propietario) Para poder utilizar la finca.0) 11.b})= {B.-Una finca rustica está valorada por su actual propietario en 350 000 euros y un empresario le ofrece acondicionarla para su utilización como polígono industrial.H1= { {0} } H2= {{a.F)= 1/2 1/2 r(c)= r(d)= r(e)= r(f)= r(g)= r(h)= (1. Sea J= {1. Obtengamos ahora la función característica para este juego operativo.E)= P({0}.- 7.1) (0.-1) (2.F} A({a.b}} 5. la jugadora 2 es la empresa constructora y el jugador 3 es el propietario de la finca.-1) (-1.- Sea H= { {0} {a.2})= 0 .C. por tanto no se puede obtener ningún beneficio.D} 6. Sin la participación del jugador 3 no se puede hacer nada y.E)= {E. 3})= 775 12. por tal motivo en las coaliciones de los partidos la proposición se ve aprobada al reunir el requisito de ser igual o mayor al 50%.2. r ({1 .3} r: P (J) R. Supongamos que la utilidad es de 1 para la coalición ganadora y de 0 para la perdedora. Finalmente si cooperan los 3 jugadores y deciden llevar conjuntamente adelante el proyecto que de mayor valor de mercado. r({1.3}) =700. con una representación del 30% y el partido C con el 25% de los escaños.2. obtendrán entre los tres 775 000 euros.3})= 775 En donde el valor de la función viene expresado en euros. r ({1. A 45% escaños B 30% escaños C 25% escaños De esta manera procederemos a ordenar cada subjuego. r ({2. S O (A) (B) (C) (AB) (BC) (AC) (ABC) V(S) 0 0 0 0 1 1 1 1 La coalición para ser aprobada la proposición de ley es 50%.-Considere un parlamento en el cual están representando los partidos A que tiene el 45%de los escaños.2}) =0. la forma coalicional es (j. Represente el juego en forma coalisional.Si el jugador 3 no coopera con ninguno de los otros jugadores mantiene la situación actual. Una proposición de la ley para ser aprobada. con r(o) =0. el partido B. r ({1}) =0. r ({3}) =350 r({1. es decir mantiene la finca tal como esta. r ({1. a la cual valora 350 000 euros. Si llega a un acuerdo con el jugador 1 para obtener un mayor valor posible obtendrán entre los dos 700 000 euros.3})= 775. necesita al menos el 50% de los votos del parlamento. 2. 2.3})= 700.3}) =775. r({1. r ({2}) =0. . r) en donde: J= {1. Es decir r ({3})=350.