Teoria de Funciones Generalizadas

TEORÍA DE FUNCIONESGENERALIZADAS JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA TEORÍA DE FUNCIONES GENERALIZADAS TEXTO DE LAS CARRERAS: LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA PÁGINA LEGAL Primera edición, Editorial Universitaria, 2014. Calle 23 No. 565 e/ F !, "edado, #a $a%ana, C&%a. E'mail( ed&niv)mes.ed&.c& *el+,ono( -.53/0 13/ 4531 e 234N versión electrónica 5/1'555'16'22/6'1 6 *odos los derec7os reservados José Migu! M"#$% A%&u'", Profesor Emérito. Facultad de Física de La Universidad de La Habana. Cuba. E'mail( marin),isica.&7.c& ´ Indice Introducci´ on 7 1 Conceptos Iniciales 9 1.1 Ampliación del concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Funciones de base y funciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Espacio D de las funciones de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Espacio D’ de las funciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 LEMA de du Bois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Funciones Generalizadas Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7 Fórmulas de Sojotsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8 Cambio de variables lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.9 Producto de funciones generalizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.10 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Derivaci´ on e integración de funciones generalizadas 33 2.1 Derivada generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Primitiva de una función generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Ejemplos, n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Ejemplos, n ≥ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 Producto Directo y Convolución de Funciones Generalizadas 65 3 4 ´ INDICE 3.1 Producto Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Convoluci´ on de funciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Propiedades de la convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Algebra convolucional D + de funciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5 Ecuaciones en el álgebra convolucional D + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.6 Regularizaci´ on de las funciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.7 Ejemplos de convoluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.8 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Funciones generalizadas de crecimiento lento (atemperadas) 87 4.1 Espacio S de funciones de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Espacio S de funciones generalizadas de crecimiento lento . . . . . . . . . . . . 89 4.3 Transformada de Fourier de las funciones generalizadas de crecimiento lento . . 92 4.3.1 Transformada de Fourier de las funciones de base de S . . . . . . . . . . 92 4.3.2 Transformada de Fourier de funciones generalizadas de S . . . . . . . . . 94 4.4 Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Transformada de Fourier de funciones generalizadas con soporte compacto . . . 100 4.6 Transformada de Fourier de la convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.7 Ejemplos, n=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.8 Ejemplos, n ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.9 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5 Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 113 5.1 Solución generalizada de una ecuaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2 Solución fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3 Ecuación con parte derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4 Método del descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.5 Solución fundamental del operador diferencial lineal con derivadas ordinarias . . 123 ´ INDICE 5 5.6 Solución fundamental del operador de conducción del calor . . . . . . . . . . . . 124 5.7 Solución fundamental del operador de onda (D’Alembert) . . . . . . . . . . . . . 125 5.8 Solución fundamental del operador de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.9 Solución fundamental de la ecuaci´ on de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.10 Otras soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.11 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Bibliograf´ıa 135 6 ´ INDICE Introducción Hemos o´ıdo expresiones: función generalizada, solución generalizada de una ecuaci´ on diferencial, etc. Estudiaremos de manera consecuente estos conceptos y su uso. El concepto de función generalizada se ha desarrollado gracias a la F´ısica Matem´ atica y surgió para darle un sentido matem´ atico claro a conceptos usados en la F´ısica, tales como función delta de Dirac, funci´ on paso unitario de Heaviside, etc. Nacen, precisamente, en 1930 al introducir Dirac la función delta. Luego, los fundamentos de la teor´ıa de funciones generalizadas se desarrollan por S´ oboliev (1936) y Schwarz (1951). Las funciones generalizadas surgen, de manera natural, primero, al intentar extender los mé- todos e ideas del cálculo diferencial e integral clásico de inicios del siglo XIX a funciones que, formalmente, no son ni diferenciables, ni integrables y, segundo, por la necesidad de estudiar soluciones no suaves de ecuaciones diferenciales. El presente volumen es un texto de la materia que satisface las necesidades y expectativas de un amplio grupo de f´ısicos e ingenieros que por su trabajo necesitan operar con los conceptos de funciones generalizadas y de soluciones fundamentales de operadores diferenciales. Cumple, además, el encargo de contar con un texto para el curso que sobre esta materia se imparte en el postgrado de la Maestr´ıa en F´ısica de la Universidad de La Habana. Su tratamiento es, por tanto, adaptado a esas necesidades en cuanto al formalismo matemático del tema y está dirigido esencialmente a la utilización pr´ actica de las funciones generalizadas. El libro se desarrolla en una introducción y cinco cap´ıtulos. En el primero se introducen los conceptos de funci´ on generalizada y las principales operaciones con ellas. En los siguientes cap´ıtulos se exponen las operaciones de derivación, integración, producto directo y convolución de las funciones generalizadas. A continuaci´ on se describen las funciones generalizadas atemperadas o de crecimiento lento y la aplicaci´ on de la técnica de la transformada de Fourier para tales funciones. Sobre la base de lo expuesto, se estudian las soluciones generalizadas de ecuaciones diferenciales y las soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales que con mayor frecuencia aparecen en los problemas f´ısicos. Esto le da un cierre valioso a todo el libro, permitiendo al lector apropiarse de una herramienta importante en su trabajo de investigaci´ on en F´ısica y las ingenier´ıas. Todo el libro está adornado con m´ ultiples y esclarecedores ejemplos y al final de cada cap´ıtulo se proponen ejercicios y problemas a resolver por el lector que le ayuden al estudio de la materia. 7 8 José Mar´ın Antu˜ na Cap´ıtulo 1 Conceptos Iniciales 1.1 Ampliación del concepto de funci´ on DEFINICION 1: Llamamos función clásica (antes, función) a y = f(x), definida para todo −∞< x < ∞ que en cada [a, b] finito toma valores reales y es integrable Lebesgue. Ejemplo: Toda funci´ on continua en [a, b]; toda funci´ on acotada en [a, b]. DEFINICION 2: f 1 (x) y f 2 (x) son la misma función cl´ asica, si en casi todos los puntos f 1 (x) = f 2 (x). O sea, pueden existir puntos aislados (de medida nula) donde la igualdad puede no ocurrir. En principio, la integración puede siempre aplicarse a toda funci´ on cl´ asica, pero la derivaci´ on no: algunas funciones clásicas, incluso continuas, no tienen, en general, derivada. Por ejemplo, la funci´ on de Weierstrass (1872): f(x) = ∞ n=0 b n cos(a n πx) (1.1) con ab > 1 + 3π/2, a > 1 entero impar y 0 < b < 1. Esta funci´ on es continua, pero no admite derivada en ning´ un punto. Por lo tanto, no es susceptible de representación gráfica. Otro ejemplo es la curva de Von Koch. Esta se construye tomando un segmento AB y di- vidiéndolo en tres partes iguales. Con su pedazo central se construye el triángulo equil´ atero CDE. Uniendo los puntos se obtiene una l´ınea quebrada AEB que llamamos L 1 y otra quebrada ACEDB que llamamos L 2 . Con cada uno de los segmentos de las l´ıneas quebradas hacemos lo mismo, o sea, cada pedazo lo dividimos en tres partes iguales: la l´ınea AE la dividimos con los puntos N y P, la l´ı nea EB con los puntos Q y R, la l´ınea AC con los puntos F y G y la l´ınea DB con los puntos Q y R y llamamos L 3 a la quebrada ANCPEQDRB en tanto llamamos L 4 a la quebrada AFNGCHPIEJQKDLRMB. Repetimos la operación y obtenemos dos quebradas que llamamos L 5 y L 6 y repetimos el procedimiento indefinidamente. 9 10 José Mar´ın Antu˜ na La regi´ on del plano entre las quebradas L 2n−1 y L 2n va reduciéndose constantemente. Por lo tanto, las dos quebradas tienen un l´ımite com´ un L que es la curva de Von Koch. Se demuestra que las coordenadas x, y de cada punto de L son funciones continuas de un parámetro t que no admiten derivada. Por lo tanto, la curva de Von Koch es una curva continua sin tangente. Existen también funciones cl´ asicas que tienen derivada, pero dicha derivada ya no es clásica. Por ejemplo: y = 1 _ [x[ (1.2) y = θ(x) −θ(−x) 2[x[ _ [x[ (1.3) donde θ(x) = 1, ∀x > 0 y θ(x) = 0, ∀x < 0 es la funci´ on paso unitario de Heaviside. También ocurre que existe la derivada de una función clásica continua en casi todos los puntos y que dicha derivada es una función clásica pero que, al integrarla, no se recupera la función original, por lo que dicha derivada no ofrece ninguna utilidad (función de Cantor). Sólo las funciones absolutamente continuas tienen derivada clásica que cumple f(x) = f(a) + _ x a f (ξ)dξ (1.4) Además, de la convergencia de f n (x) a f(x) no siempre se deduce la convergencia de f n (x) a f (x), incluso cuando estas derivadas existan. S´ olo para la clase de funciones anal´ıticas estos fenómenos indeseables no ocurren; pero las funciones anal´ıticas son una clase muy reducida para las aplicaciones. Nuestro objetivo es ampliar el concepto de función de forma que se pueda definir de manera razonable la derivaci´ on: Sea ϕ(x) una función acotada finita. Esto significa que ϕ(x) ,= 0 en [a, b] y ϕ(x) = 0 fuera de [a, b]. A cada función clásica se puede poner en correspondencia el n´ umero (funcional) (f, ϕ) = _ ∞ −∞ f(x)ϕ(x)dx (1.5) que en realidad es la integral entre a y b debido a c´ omo es ϕ(x). Si f(x) es absolutamente continua y tiene derivada clásica f (x), entonces igualmente podemos poner en correspondencia a f (x) el n´ umero Conceptos Iniciales 11 (f , ϕ) = _ ∞ −∞ f (x)ϕ(x)dx (1.6) Si también ϕ(x) es absolutamente continua con derivada ϕ (x) acotada, entonces, integrando por partes: (f , ϕ) = f(x)ϕ(x)[ ∞ −∞ − _ ∞ −∞ f(x)ϕ (x)dx ≡ −(f, ϕ ) (1.7) La expresi´ on de la derecha en esta fórmula: (f, ϕ ) sigue teniendo sentido aunque f (x) no exista, siempre que ϕ(x) sea finita, acotada y con derivada ϕ (x) acotada. Por consiguiente, aunque no exista f (x), si s´ olo lo que necesitamos son los resultados de la integración del producto de f (x) por funciones finitas acotadas con derivadas acotadas, entonces dichos resultados pueden hallarse como si f (x) existiera, calculando expresiones como la fórmula (1.7). Por tanto, ampliamos el concepto de funci´ on: Antes: se exig´ıa la existencia de valores dados de la función en cada punto (o casi en cada punto). Ahora: sólo interesan los valores de las integrales del producto de dicha funci´ on por ciertas funciones ”de prueba”. Si para una f(x) dada s´ olo se conocen esas integrales, decimos que estamos en presencia de una función generalizada. Por lo tanto, escogida adecuadamente la funci´ on de prueba, toda funci´ on generalizada tendrá derivada que será también una función generalizada. A continuación, formalizaremos axiomáticamente lo dicho: 1.2 Funciones de base y funciones generalizadas Previamente, veamos algunas notaciones que usaremos: Denotamos por R n el espacio eucl´ı deo de dimensi´ on n. Por x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) denotamos a un punto de R n ; los n´ umeros x i son las coordenadas de x, con (i = 1, 2, ..., n) (x, y) = x 1 y 1 +x 2 y 2 +... +x n y n es el producto escalar de dos puntos de R n . [x[ = _ (x, x) = _ x 2 1 +x 2 2 +... +x 2 n es la longitud (norma) del elemento x ∈ R n 12 José Mar´ın Antu˜ na Por tanto, [x −y[ es la distancia eucl´ı dea entre los puntos x y y. El conjunto de puntos x ∈ R n que cumplen que [x −x 0 [ < R se llama esfera abierta de radio R centrada en x 0 : U(x 0 , R) y U R = U(0, R). La generalización del concepto cl´ asico de funci´ on (o sea, las funciones generalizadas) permite expresar matemáticamente conceptos idealizados, tales como la densidad de un punto material o de una carga puntual, la densidad de una capa simple o de una doble capa, la intensidad de una fuente puntual instant´ anea, etc. Por otra parte, en el concepto de funci´ on generalizada se refleja el hecho de que, en la realidad, no es posible medir la densidad en un punto, sino que s´ olo se puede medir la densidad media en un entorno de ese punto y declararla como la densidad en el punto. O sea, grosso modo, una función generalizada se define por sus ”valores medios” en el entorno de cada punto. Aclaremos lo dicho con el siguiente ejemplo: Tratemos de definir la densidad de un punto material de masa 1. Supongamos que dicho punto est´ a en el origen de coordenadas. Para definir la densidad, distribuyamos (”diluyamos”, también se dice) la masa 1 de manera uniforme dentro de la esfera U ε ≡ U(0, ε). Entonces, como resultado obtenemos la densidad media f ε (x) = 3 4πε 3 , ∀[x[ < ε (1.8) f ε (x) = 0, ∀[x[ > ε (1.9) Denotemos por δ(x) la densidad buscada. Si tomamos por δ(x) el l´ımite punto a punto de las densidades medias f ε (x) para ε →0, tenemos δ(x) = lim ε→0 f ε (x) = ∞, ∀x = 0 (1.10) δ(x) = lim ε→0 f ε (x) = 0, ∀x ,= 0 (1.11) Es l´ ogico esperar que la integral de esta densidad por cualquier volumen V dé la masa de la sustancia contenida en el volumen, pues _ V f ε (x)dx = 3 4πε 3 _ π 0 sin θdθ _ 2π 0 dϕ _ ε 0 r 2 dr = 1 (1.12) Por lo tanto, es de esperar que _ V δ(x)dx = 1, ∀0 ∈ V (1.13) Conceptos Iniciales 13 _ V δ(x)dx = 0, ∀0 no ∈ V (1.14) pero, tal y como conocemos el concepto de integral, a la derecha de esta integral siempre se obtendr´ıa cero. Por lo tanto tenemos una contradicción, por lo que el l´ımite de f ε (x) para ε →0 punto a punto no puede tomarse como definición de δ(x). Veamos el l´ımite débil de f ε (x) para ε → 0. Es decir, para cualquier funci´ on ϕ(x) continua calculemos el l´ımite de la sucesi´ on numérica _ f ε (x)ϕ(x)dx (1.15) para ε →0. Demostremos que lim ε→0 _ f ε (x)ϕ(x)dx = ϕ(0) (1.16) Efectivamente: Como ϕ(x) es continua, ∀η > 0 ∃ε 0 > 0 tal que [x[ < ε 0 ⇒[ϕ(x) −ϕ(0)[ < η. Sea ε ≤ ε 0 . Tenemos: ¸ ¸ ¸ ¸ _ f ε (x)ϕ(0)dx −ϕ(0) ¸ ¸ ¸ ¸ ≡ ¸ ¸ ¸ ¸ _ |x|<ε [ϕ(x) −ϕ(0)] dx ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ ≤ 3 4πε 3 _ |x|<ε [ϕ(x) −ϕ(0)[dx < η 3 4πε 3 _ |x|<ε dx ≡ η (1.17) LQQD Conclusión: El l´ımite débil de f ε (x) para ε → 0 es el funcional ϕ(0) que pone en correspondencia a cada funci´ on continua ϕ(x) el n´ umero ϕ(0) igual a su valor en x = 0. Este funcional es el que se toma como definici´ on de la densidad δ(x) (la conocida funci´ on delta de Dirac). De esta manera, f ε (x) →δ(x) para ε →0 en el sentido de que para cualquier función continua ϕ(x) tiene lugar la relación l´ımite: _ f ε (x)ϕ(x)dx →(δ, ϕ), ∀ε →0 (1.18) 14 José Mar´ın Antu˜ na donde el s´ımbolo (δ, ϕ) es el n´ umero ϕ(0) igual al valor del funcional δ en la función ϕ. Para obtener ahora la masa completa s´ olo hay que aplicar el funcional (densidad) a la función ϕ(x) = 1: (δ, 1) = 1(0) = 1 (1.19) Si en el punto x = 0 está concentrada la masa m, entonces la densidad correspondiente es mδ(x). Si la masa está concentrada en x 0 , la densidad es mδ(x −x 0 ), donde (mδ(x −x 0 ), ϕ) = mϕ(x 0 ) (1.20) En general, si en distintos puntos x k , (k = 1, 2, ..., N) están concentradas las masas m k , la densidad correspondiente ser´ a N k=1 m k δ(x −x k ) (1.21) Por lo tanto, la densidad dada por puntos materiales no puede describirse con el concepto clásico de función y para su descripci´ on hay que utilizar una naturaleza matemática más general: funcionales lineales continuos (funciones generalizadas). 1.3 Espacio D de las funciones de base Del ejemplo de la delta: la δ(x) se define a través de funciones continuas como un funcional lineal continuo. Por tanto, las funciones continuas son las funciones de base para la funci´ on delta. Igual se define cualquier función generalizada: un funcional lineal continuo en el espacio de funciones de base suficientemente ”buenas”. Veamos qué es el espacio D de las funciones de base. DEFINICION 1: Llamaremos conjunto de base D = D(R n ) a todas las funciones finitas diferenciables infinitas veces en R n . Otras notaciones que usaremos son: α = (α 1 , α 2 , ..., α n ) es un multi´ındice, es decir, un vector entero con componentes α k no negativos. D α f(x) es la derivada de f(x) de orden [α[ = α 1 +α 2 +... +α n : D α f(x) = ∂ |α| f(x 1 , x 2 , ..., x n ) ∂ α 1 x 1 ∂ α 2 x 2 ...∂ αn x n (1.22) Conceptos Iniciales 15 donde interpretamos: D 0 f(x) = f(x), D = (D 1 , D 2 , ..., D n ), D j = ∂ ∂x j Otras notaciones son: f x i , f x i x j , etc. x α = x α 1 1 x α 2 2 ...x αn n , α! = α 1 !α 2 !...α n ! Aclaraciones a la Definición 1: 1. Una función seccionalmente continua se llama finita si se hace cero fuera de cierta esfera. 2. Sea ϕ ∈ C(R n ). Se llama soporte de ϕ a la clausura del conjunto de puntos donde ϕ(x) ,= 0. Lo representaremos por supp ϕ. Es evidente que ϕ(x) es finita si y sólo si supp ϕ es acotado. DEFINICION 2: La sucesi´ on de funciones ¦ϕ k (x)¦, con ϕ k ∈ D converge a ϕ(x) ∈ D si: a) ∃R > 0 tal que supp ϕ k ⊂ U R b) ∀α = (α 1 , α 2 , ..., α n ) se cumple la convergencia uniforme siguiente: D α ϕ k (x) →D α ϕ(x), para k →∞ (1.23) cuando x ∈ R n . En este caso escribiremos: ϕ k →ϕ, ∀k →∞ (1.24) en D. DEFINICION 3: El conjunto lineal D con la convergencia dada de sucesiones, se llama espacio D de las funciones de base. OBSERVACION: El conjunto de funciones de base cuyos soportes estén contenidos en una región dada G se representa por D(G). Se cumple que D(G) ⊂ D(R n ) ≡ D. Ejemplo: Veamos la siguiente funci´ on: Función Campana: ω ε (x) = C ε e ε 2 ε 2 −|x| 2 , ∀[x[ ≤ ε = 0, ∀[x[ > ε (1.25) donde C ε se elige de forma tal que _ ω ε (x)dx = 1 O sea: 16 José Mar´ın Antu˜ na _ ω ε (x)dx = C ε _ Uε e − ε 2 ε 2 −|x| 2 dx = C ε _ Uε e − 1 1− |x| 2 ε 2 dx = = C ε ε n _ U 1 e − 1 1−|ξ| 2 dξ = 1. (1.26) Por tanto: C ε = 1 ε n _ U 1 e − 1 1−|ξ| 2 dξ (1.27) EJERCICIO: El lector debe demostrar que ω ε (x) = 1 ε n ω 1 (x/ε) (1.28) LEMA Para cualquier región G y cualquier n´ umero ε > 0 existe la funci´ on η ∈ C ∞ (R n ) tal que: 1) 0 ≤ η(x) ≤ 1 2) η(x) = 1, ∀x ∈ G ε (G ampliado con un entorno ε de G). 3) η(x) = 0, ∀x no ∈ G 3ε (Fuera de G ampliado con un entorno 3ε de G). COROLARIOS: 1) Si G es acotada, entonces existe una función η ∈ D tal que η = 1, para x ∈ G ε . 2) Si G ⊂ G, entonces existe una funci´ on η ∈ D(G) tal que η(x) = 1 para x ∈ G . 1.4 Espacio D’ de las funciones generalizadas DEFINICION: Se llama función generalizada a cualquier funcional lineal continuo en el espacio D de las funciones de base. NOTACION: - Representamos por (f, ϕ) al valor numérico del funcional (de la función generalizada) f en la función de base ϕ. - Escribiremos también, formalmente, la funci´ on generalizada f como f(x), entendiendo por x el argumento de las funciones de base sobre las que act´ ua el funcional f. Conceptos Iniciales 17 Aclaremos la definición: 1) La función generalizada f es un funcional en D, o sea, a cada ϕ ∈ D se pone en correspondencia el n´ umero (f, ϕ) en general complejo. 2) La funci´ on generalizada f es un funcional lineal en D, o sea, si ϕ ∈ D y ψ ∈ D, para λ y µ n´ umeros complejos: (f, λϕ +µψ) = λ(f, ϕ) +µ(f, ψ) (1.29) 3) La funci´ on generalizada f es un funcional continuo en D, o sea, si ϕ k → 0 para k → ∞ en D, entonces (f, ϕ k ) →0 para k →∞. Denotemos por D = D (R n ) al conjunto de todas las funciones generalizadas. Este conjunto es lineal si la combinaci´ on lineal λf + µg de las funciones generalizadas f y g se define como un funcional que opera de la siguiente manera: (λf +µg, ϕ) = λ(f, ϕ) +µ(g, ϕ) (1.30) para ϕ ∈ D. Si tomamos dos: ϕ ∈ D y ψ ∈ D y α y β ciertos n´ umeros tendremos: (λf +µg, αϕ +βψ) = λ(f, αϕ +βψ) +µ(g, αϕ +βψ) = = α[λ(f, ϕ) +µ(g, ϕ)] +β[λ(f, ψ) +µ(g, ψ)] ≡ ≡ α(λf +µg, ϕ) +β(λf +µg, ψ) (1.31) Por lo tanto, el funcional λf +µg es continuo con tal que f y g lo sean. Conclusi´ on: Si f y g pertenecen a D , la combinaci´ on lineal λf +µg también pertenece a D . DEFINICION: La sucesión de funciones generalizadas ¦f k ¦ con f k ∈ D se dice que converge a la funci´ on generalizada f ∈ D , si para cualquier ϕ ∈ D se cumple que (f k , ϕ) →(f, ϕ) (1.32) para k →∞. Es decir, la convergencia en D la definimos como convergencia débil y escribimos f k → f, ∀k →∞ pero entendiéndolo como convergencia débil. DEFINICION: El conjunto lineal D con la convergencia definida en él (débil) se llama espacio D de las funciones generalizadas. 18 José Mar´ın Antu˜ na Tiene lugar un teorema que dice: Teorema: El espacio D de funciones generalizadas es completo. Esto quiere decir que toda sucesión de elementos del espacio converge a un elemento del espacio. En nuestro caso ésto se entiende as´ı: Si f k ∈ D y (f k , ϕ) converge para ϕ ∈ D, entonces el funcional definido por la igualdad (f, ϕ) = lim k→∞ (f k , ϕ), ∀ϕ ∈ D (1.33) también pertenece a D (o sea, también es lineal y continuo en D). Las funciones generalizadas no tienen, en general, valores en puntos aislados, pero se puede decir que una funci´ on generalizada se hace cero en cierta región. Veamos eso. DEFINICION 1: La función generalizada f es cero en G si (f, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ D(G) (1.34) En este caso escribimos: f = 0, ∀x ∈ G. DEFINICION 2: Las funciones generalizadas f y g son iguales en G si f −g = 0, ∀x ∈ G y escribimos: f = g, ∀x ∈ G. Por lo tanto, f y g se llaman iguales si para toda ϕ ∈ D se cumple (f, ϕ) = (g, ϕ) (1.35) Es evidente que si f = 0 en G, entonces f = 0 en el entorno de cada punto de G. El rec´ıproco de esta afirmaci´ on es cierto, o sea: TEOREMA: Si f = 0 en el entorno de cada punto de G, entonces f = 0 en todo G. La demostraci´ on no brinda elementos esenciales y la obviamos. Sea la funci´ on generalizada f ∈ D . DEFINICION 1: La unión de todos los entornos en los que f = 0 se llama conjunto nulo G f de la función generalizada f. Como cada entorno es abierto, G f es un conjunto abierto. DEFINICION 2: Se llama soporte de la función generalizada f al completamiento de G f a R n ; es decir: Conceptos Iniciales 19 supp f = R n ¸G f (1.36) Es obvio que supp f es un conjunto cerrado. DEFINICION 3: Si supp f es un conjunto acotado, entonces f se llama finita. OBSERVACIONES: 1. En cualquier región fuera del supp f, la funci´ on generalizada f es cero. Por lo tanto, para que (f, ϕ) ,= 0 tiene que ocurrir que supp ϕ supp f ,= ¸. 2. supp f está compuesto s´ olo por aquellos puntos tales que en ning´ un entorno de ellos f se hace cero. El ejemplo m´ as simple de funci´ on generalizada es el funcional generado por una función f(x) localmente integrable en R n : (f, ϕ) = _ f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D (1.37) PROPIEDADES: 1. Es lineal: (obvio, pues la integraci´ on lo es): (f, λϕ +µψ) = λ(f, ϕ) + (f, ψ) (1.38) 2. Es continuo: (obvio a partir del l´ımite bajo el signo de integral): Si ϕ k →0, ∀k →∞ en D, entonces: (f, ϕ k ) = _ U k f(x)ϕ k (x)dx →0, ∀k →∞ (1.39) Conclusi´ on: Efectivamente, el funcional definido arriba por (1.37) define a una funci´ on generalizada en D . DEFINICION: Las funciones generalizadas definidas por funciones localmente integrables en R n seg´ un (1.37), se llaman funciones generalizadas regulares. El resto de las funciones generalizadas se llaman funciones generalizadas singulares. 1.5 LEMA de du Bois-Reymond Para que una función f(x) localmente integrable en G se haga cero en la regi´ on G en el sentido de las funciones generalizadas es necesario y suficiente que f(x) = 0 en casi todos lados de G. 20 José Mar´ın Antu˜ na DEMOSTRACION: NECESIDAD: Por hip´ otesis (f, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ D(G) (1.40) Sea a ∈ G arbitrario. Existe una esfera cerrada ¯ U(a, ε) ⊂ G tal que f = 0 en ella, seg´ un la definición (1.40). Pero para cada vector k = (k 1 , k 2 , ..., k n ) la función ψ k (x) = e i k·x ε ω ε (x −a) (1.41) pertenece a D(G). O sea, ψ k (x) es una funci´ on de base. Aqu´ı, ω ε (x) es la funci´ on campana (1.25). Por lo tanto: (f, ψ k ) ≡ _ f(x)ω ε (x −a)e i k·x ε dx = 0 (1.42) Esta ´ ultima expresión significa que todos los coeficientes de Fourier de f(x)ω ε (x −a) (que es integrable en U(a, ε)) en la base e i k·x ε son cero. Por lo tanto, f(x)ω ε (x − a) ≡ 0, lo que implica que f(x) ≡ 0 en casi todo punto de la esfera Esto significa, a su vez, que f(x) ≡ 0 en casi todo punto de G, pues a es arbitrario. SUFICIENCIA: Es evidente, pues, como ahora por hip´ otesis f(x) = 0 en casi todo punto de G, por lo tanto (f, ϕ) = 0 para ϕ ∈ D(G). Demostrado el lema. As´ı pues, toda funci´ on localmente integrable en R n define por (1.37) a una función generalizada regular y por el lema de du Bois-Reymond toda función generalizada regular se determina, con exactitud de valores en un conjunto de medida nula, por una función ´ unica localmente integrable en R n . Conclusi´ on: Existe una relaci´ on biun´ıvoca entre las funciones localmente integrables en R n y las funciones generalizadas regulares. Por lo tanto, hay una equivalencia entre la funci´ on f(x) localmente integrable y la función generalizada (o sea, el funcional (f, ϕ)) generada por ella seg´ un la fórmula (1.37) vista arriba. En este sentido, las funciones ”comunes”, o sea, localmente integrables en R n , son funciones generalizadas regulares. Conceptos Iniciales 21 Por ´ ultimo, es claro que si las funciones f k (x) convergen uniformemente a f(x), donde las f k (x) son funciones localmente integrables en R n , entonces también convergen a f(x) en D (R n ), pues para cualquier ϕ ∈ D tenemos: (f k , ϕ) = _ f k (x)ϕ(x)dx → _ f(x)ϕ(x)dx ≡ (f, ϕ), ∀k →∞ (1.43) DEFINICION: La funci´ on generalizada f pertenece a la clase C P (G) si en G ella coincide con la funci´ on f G (x) ∈ C P (G), es decir, si para cualquier ϕ ∈ D(G) se cumple que (f, ϕ) = _ f G (x)ϕ(x)dx (1.44) 1.6 Funciones Generalizadas Singulares Se llaman funciones generalizadas singulares todas las que no son regulares y, por lo tanto, no se pueden poner en correspondencia biun´ıvoca con ninguna función localmente integrable. El ejemplo más simple es la funci´ on δ(x): (δ, ϕ) = ϕ(0), ∀ϕ ∈ D (1.45) Es obvio que δ ∈ D y que δ(x) = 0, ∀x ,= 0, lo que significa que supp δ = ¦0¦. TEOREMA: δ(x) es una funci´ on generalizada singular. DEMOSTRACION Por reducción al absurdo: Supongamos que hay una f(x) localmente integrable tal que para cualquier ϕ ∈ D: _ f(x)ϕ(x)dx = ϕ(0) (1.46) Como ϕ ∈ D, por tanto x 1 ϕ ∈ D, donde x 1 es la primera coordenada de x. Por lo tanto, ser´ıa: _ f(x)x 1 ϕ(x)dx = (x 1 f, ϕ) = x 1 ϕ(x)[ x=0 = 0 (1.47) Esto ´ ultimo significa que la función x 1 f(x), localmente integrable en R n , es igual a cero en el sentido de las funciones generalizadas y, por el Lema de du Bois-Reymond, será x 1 f(x) = 0 en casi todos los puntos, de donde f(x) = 0 en casi todos los puntos. Esto contradice (1.46). Por lo tanto, efectivamente, δ(x) no puede ser regular, lo que implica que es singular. 22 José Mar´ın Antu˜ na LQQD. TEOREMA: ω ε (x) →δ(x) para ε →0 en D . DEMOSTRACION: Hay que demostrar que lim ε→0 _ ω ε (x)ϕ(x)dx = ϕ(0), ∀ϕ ∈ D (1.48) Veamos: Como ϕ es continua, se cumple que para η > 0 existe un ε 0 > 0 tal que si [x[ < ε 0 se cumple que [ϕ(x) −ϕ(0)[ < η. Por lo tanto, como _ ω ε (x)dx = 1 (1.49) se cumple que: ¸ ¸ ¸ ¸ _ ω ε (x)ϕ(x)dx −ϕ(0) ¸ ¸ ¸ ¸ ≡ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ω ε (x)ϕ(x)dx − _ ω ε (x)ϕ(0)dx ¸ ¸ ¸ ¸ ≡ ≡ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ω ε (x) [ϕ(x) −ϕ(0)] dx ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ _ ω ε (x) [ϕ(x) −ϕ(0)[ dx < < η _ ω ε (x)dx = η (1.50) LQQD. Por la forma gráfica de ω ε (x), vamos a representar a δ(x) como una flecha perpendicular al eje x hacia arriba en el punto x = 0 de una longitud dada arbitraria y a −2δ(x − x 0 ) como una flecha también perpendicular al eje x, pero hacia abajo y de longitud igual al doble de la anterior, colocada en el punto x 0 . Veamos una generalizaci´ on de la delta: La capa simple sobre una superficie S: Sea S una superficie seccionalmente suave y µ(x) una funci´ on continua sobre S. Introducimos la función generalizada µδ S que act´ ua seg´ un la ley: (µδ S , ϕ) = _ S µ(x)ϕ(x)dS, ∀ϕ ∈ D (1.51) Se ve que µδ S ∈ D y que µδ S (x) = 0, ∀x no ∈ S. Por lo tanto, supp µδ S ⊂ S. Conceptos Iniciales 23 µδ S se llama función generalizada capa simple sobre la superficie S. OBSERVACION: Las funciones localmente integrables y la delta describen distribuciones (densidades) de masas, de cargas, etc. Por ello, a las funciones generalizadas Schwarz las llamó también distribuciones. Si, por ejemplo, la funci´ on generalizada f es la densidad de masas (o de cargas), entonces la expresión (f, 1) es la masa o la carga total. En particular, (δ, 1) = 1; (f, 1) = _ f(x)dx. 1.7 F´ ormulas de Sojotsky Sea el funcional P 1 x que act´ ua seg´ un la fórmula: _ P 1 x , ϕ _ = V P _ ϕ(x) x dx ≡ lim ε→0 __ −ε −∞ + _ ∞ ε _ ϕ(x) x dx, ∀ϕ ∈ D(R 1 ) (1.52) TEOREMA: Este funcional es continuo en D. DEMOSTRACION Sean ϕ k →0, ∀k →∞ en D. Esto equivale a decir que ϕ k (x) = 0, ∀[x[ > R y D α ϕ k (x) tiende uniformemente a cero para k →∞. Entonces, ¸ ¸ ¸ ¸ _ P 1 x , ϕ k _¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ V P _ ϕ k (x) x dx ¸ ¸ ¸ ¸ ≡ ≡ ¸ ¸ ¸ ¸ V P _ R −R ϕ k (0) + xϕ k (x ) x dx ¸ ¸ ¸ ¸ ≡ ≡ ¸ ¸ ¸ ¸ V P _ R −R ϕ k (0) x dx ¸ ¸ ¸ ¸ + ¸ ¸ ¸ ¸ _ R −R ϕ k (x )dx ¸ ¸ ¸ ¸ ≡ I 1 +I 2 (1.53) Tenemos: I 1 = ¸ ¸ ¸ ¸ V P _ R −R ϕ k (0) x dx ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ ϕ k (0) lim ε→0 __ −ε −R + _ R ε _ dx x ¸ ¸ ¸ ¸ = 0 (1.54) Por lo tanto: ¸ ¸ ¸ ¸ _ P 1 x , ϕ k _¸ ¸ ¸ ¸ ≡ ¸ ¸ ¸ ¸ _ R −R ϕ k (x )dx ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ max [ϕ k (x )[2R →0, ∀k →∞ (1.55) 24 José Mar´ın Antu˜ na Conclusi´ on: P 1 x ∈ D . P 1 x es una función generalizada regular que coincide, seg´ un vimos gracias al lema de du Bois- Reymond, con la función 1/x para x ,= 0. Su nombre es: Parte Finita o Valor Principal de la integral de 1/x. Analicemos la siguiente expresión para ϕ ∈ D (con ϕ = 0, ∀[x[ > R). lim ε→0 _ ϕ(x) x +iε dx ≡ lim ε→0 _ R −R x −iε x 2 +ε 2 ϕ(x)dx (1.56) Se obtiene: V P _ ϕ(x) x dx −iπϕ(0) = _ R −R ϕ(x) x +i0 dx (1.57) O sea: _ 1 x +i0 , ϕ _ = (−iπδ, ϕ) + _ P 1 x , ϕ _ (1.58) Es decir: 1 x +i0 = −iπδ(x) + P 1 x (1.59) De forma análoga se obtiene: 1 x −i0 = iπδ(x) +P 1 x (1.60) Las fórmulas obtenidas (1.59) y (1.60) se conocen con el nombre de F´ ormulas de Sojotsky. 1.8 Cambio de variables lineal Si f(x) es localmente integrable en R n y x = Ay+b con detA ,= 0 (lo que es una transformación de R n en si mismo), entonces, ∀ϕ ∈ D: (f(Ay +b), ϕ) ≡ _ f(Ay +b)ϕ(y)dy = = 1 [detA[ _ f(x)ϕ _ A −1 (x −b) ¸ dx = 1 [detA[ _ f, ϕ _ A −1 (x −b) ¸_ (1.61) Conceptos Iniciales 25 Usaremos esta fórmula: (f(Ay +b), ϕ) = 1 [detA[ _ f, ϕ _ A −1 (x −b) ¸_ , ∀ϕ ∈ D (1.62) para definir la funci´ on generalizada f(Ay +b) para cualquier f(x) ∈ D . El funcional f(Ay +b) pertenece a D , pues la operación ϕ[A −1 (x −b)] es lineal y continua en D. Casos particulares: 1. Rotaci´ on: A −1 ≡ A (transpuesta) y b = 0, lo que implica que (f(Ay), ϕ) = _ f, ϕ(A −1 x) _ (1.63) 2. Semejanza: A = cI, con c ,= 0 y b = 0, lo que implica que (f(cy), ϕ) = 1 [c n [ (f, ϕ(x/c)) (1.64) 3. Si A = I entonces (f(y +b), ϕ) = (f, ϕ(x −b)) (1.65) La función generalizada f(x + b) se llama traslación de la función generalizada f(x) en el vector b. Por ejemplo: δ(x −x 0 ) es la traslaci´ on de δ(x) en el vector −x 0 y act´ ua seg´ un la fórmula: (δ(x −x 0 ), ϕ) = (δ, ϕ(x +x 0 )) = ϕ(x 0 ) (1.66) De esta manera podemos definir funciones generalizadas con simetr´ıa esférica, con simetr´ıa central, homogéneas, peri´ odicas, etc. 1.9 Producto de funciones generalizadas. Sea f(x) integrable localmente en R n . Sea a(x) ∈ C ∞ (R n ). Entonces, para ϕ ∈ D es v´ alido: 26 José Mar´ın Antu˜ na (af, ϕ) = _ a(x)f(x)ϕ(x)dx ≡ (f, aϕ) (1.67) Usaremos esta igualdad para definir el producto af de la función generalizada f ∈ D y la función infinitas veces derivable a: (af, ϕ) = (f, aϕ), ∀ϕ ∈ D (1.68) Comprobar solos que af ∈ D , lo que equivale a comprobar que es lineal y continua de D en D. OBSERVACION: Si f ∈ D , entonces f = ηf con η ∈ C ∞ (R n ) tal que η = 1 en el entorno del supp f. Efectivamente: Para cualquier ϕ ∈ D los soportes de f y de (1−η)ϕ no tienen puntos comunes, lo que equivale a decir que supp f supp (1 −η)ϕ = ∅ (1.69) Por lo tanto: (f −ηf, ϕ) ≡ ((1 −η)f, ϕ) = (f, (1 −η)ϕ) = 0 (1.70) Ejemplos de productos: 1. a(x)δ(x) = a(0)δ(x) pues, ∀ϕ ∈ D: (aδ, ϕ) = (δ, aϕ) = a(0)ϕ(0) ≡ (a(0)δ, ϕ). 2. xP 1 x = 1 pues, ∀ϕ ∈ D(R 1 ): _ xP 1 x , ϕ _ = _ P 1 x , xϕ _ = V P _ xϕ(x) x dx = _ ϕ(x)dx = (1, ϕ) (1.71) LQQD. Es as´ı, como hay que operar siempre. OBSERVACION IMPORTANTE: No se puede definir el producto de dos funciones generalizadas de forma que el resultado sea una función generalizada. Sólo se podr´ıa hacer para f y g generalizadas, si f es ”irregular” en el entorno de un punto y g es ”regular” en dicho entorno. Por eso, es natural considerar que Conceptos Iniciales 27 δ(x −a)δ(x −b) = 0, ∀a ,= b (1.72) o que a(x)δ(x) = a(0)δ(x) si a(x) es continua en el entorno de x = 0. Para abundar un poco en lo dicho: Para las funciones localmente integrables su producto no tiene que ser localmente integrable. Por ejemplo, _ 1 _ [x[ _ 2 ≡ 1 _ [x[ 1 _ [x[ ≡ 1 [x[ , ∀x ∈ R 1 (1.73) Aqu´ı, 1 √ |x| es localmente integrable, en tanto 1 |x| no lo es. Lo mismo ocurre para las funciones generalizadas. Incluso Schwarz demostró que no se puede definir un producto de funciones generalizadas que sea asociativo y conmutativo; (o sea, no existe tal producto). Efectivamente, si ese producto existiera, entonces, de los ejemplos 1. y 2. tendr´ıamos la siguiente secuencia contradictoria: 0 = 0P 1 x = (xδ(x))P 1 x = (δ(x)x)P 1 x = δ(x) _ xP 1 x _ = δ(x) (1.74) lo que, a todas luces, es absurdo. Ejemplos: 1. Demostrar que f ε (x) = 1 2 √ πε e − x 2 4ε →δ(x), ∀x →0 (1.75) DEMOSTRACION (¡Hay que proceder siempre as´ı!) Sea ϕ ∈ D: lim ε→0 (f ε , ϕ) = lim ε→0 1 2 √ πε _ ϕ(x)e − x 2 4ε dx = = lim ε→0 1 √ π _ ϕ(2 √ εy)e −y 2 dy = 1 √ π ϕ(0) _ e −y 2 dy = ϕ(0) = (δ, ϕ) (1.76) LQQD 2. Demostrar que: 28 José Mar´ın Antu˜ na f ε (x) = 1 π ε ε 2 +x 2 →δ(x), ∀ε →0 (1.77) DEMOSTRACION Para ϕ ∈ D: lim ε→0 (f ε , ϕ) = lim ε→0 ε π _ R −R ϕ(x)dx ε 2 +x 2 = lim ε→0 ε πε 2 _ R −R ϕ(x)dx 1 + (x/ε) 2 = = lim ε→0 1 πε _ R/ε −R/ε ϕ(εy)εdy 1 +y 2 = 1 π ϕ(0) _ ∞ −∞ dy 1 +y 2 = = 1 π ϕ(0) arctan y[ ∞ −∞ = 1 π ϕ(0) _ π 2 + π 2 _ = ϕ(0) = (δ, ϕ) (1.78) LQQD. 3. Demostrar que: e ixt x −i0 →2πδ(x), ∀t →∞ (1.79) DEMOSTRACION: Teniendo en cuenta la f´ ormula de Sojotsky, por el producto tenemos que e ixt x−i0 es: _ e ixt x −i0 , ϕ _ = _ 1 x −i0 , e ixt ϕ _ = _ πiδ(x) +P 1 x , e ixt ϕ _ = = _ πiδ(x), e ixt ϕ _ + _ P 1 x , e ixt ϕ _ (1.80) Ahora bien: _ πiδ(x), e ixt ϕ _ = πiϕ(0) →πiϕ(0) = (πiδ, ϕ), ∀t →∞ (1.81) y: _ P 1 x , e ixt ϕ _ = V P _ e ixt ϕ(x) x dx = lim ε→0 __ −ε −∞ + _ ∞ ε _ e ixt ϕ(x) x dx = y para t > 0 Conceptos Iniciales 29 = −lim ε→0 _ Cε e izt ϕ(z)dz z = − _ −iπe i0t ϕ(0) _ = iπϕ(0) = = (πiδ, ϕ) →(πiδ, ϕ), ∀t →∞ (1.82) As´ı, queda demostrado, efectivamente, que: _ e ixt x −i0 , ϕ _ →(2πiδ, ϕ), ∀t →∞ (1.83) LQQD. 4. Demostrar que ∞ k=−∞ a k δ(x −k) (1.84) converge para cualquier a k . DEMOSTRACION: Tenemos para ϕ ∈ D: _ ∞ k=−∞ a k δ(x −k), ϕ _ = k a k (δ(x −k), ϕ) = k a k ϕ(k) (1.85) La ´ ultima suma a la derecha converge, pues ϕ es finita. LQQD. 5. Demostrar que δ S R →0, ∀R →∞. DEMOSTRACION: La capa simple δ S R es la función generalizada que act´ ua as´ı: (δ S R , ϕ) = _ S R ϕ(x)dx (1.86) Por lo tanto: lim R→∞ (δ S R , ϕ) = lim R→∞ _ S R ϕ(x)dx = 0 (1.87) 30 José Mar´ın Antu˜ na pues ϕ ∈ D y por lo tanto es finita. 6. Demostrar que: P cos kx x →0, ∀k →∞ (1.88) DEMOSTRACION: Para ϕ ∈ D: _ P cos kx x , ϕ _ ≡ Re _ P e ikt x , ϕ _ = Re _ P 1 x , e ikt ϕ _ = Re(πiδ, ϕ) = 0 (1.89) LQQD. La ´ ultima igualdad fue obtenida hace un rato atr´ as. Nota: Por lo tanto: P sin kx x = πδ (1.90) Para k > 0. 7. Sea α ∈ D(R n ) tal que α ≥ 0 y que _ α(x)dx = 1. Demostrar que: 1 ε n α _ x ε _ →δ(x), ∀ε →0 (1.91) en D . DEMOSTRACION: Usemos la regla del cambio de variables: (f(cy), ϕ) = 1 c n _ f, ϕ _ x c __ (1.92) Entonces tendremos, para 1 ε n α(x/ε): Conceptos Iniciales 31 1 ε n _ α _ x ε _ , ϕ _ = 1 ε n ε n (α, ϕ(εx)) = = _ α(x)ϕ(εx)dx = ϕ(εx ∗ ) _ α(x)dx = ϕ(εx ∗ ) →ϕ(0) ≡ (δ, ϕ), ∀ε →0 (1.93) LQQD 8. Demostrar la igualdad: (af)(x +h) = a(x +h)f(x +h), ∀a ∈ C ∞ (R n ), f ∈ D (R n ), h ∈ R n (1.94) DEMOSTRACION: Por la regla del producto: (af, ϕ) = (f, aϕ). Por la regla del cambio de variables: (f(y +b), ϕ) = (f, ϕ(x −b)). Por lo tanto, tenemos: ((af)(x +h), ϕ) = (af, ϕ(x −h)) = (f, aϕ(x −h)) = _ f(x)a(x)ϕ(x −h)dx = = _ f(y +h)a(y +h)ϕ(y)dy ≡ (a(y +h)f(y +h), ϕ) (1.95) donde hemos hecho el cambio de variables: x −h = y, dx = dy. LQQD. 1.10 Ejercicios del Cap´ıtulo 1. Demostrar que: f ε (x) = 1 πx sin _ x ε _ →δ(x), ∀ε →0 2. Demostrar que: g ε (x) = ε πx 2 sin 2 _ x ε _ →δ(x), ∀ε →0 3. Demostrar: lim t→∞ e −ixt x −i0 = 0 32 José Mar´ın Antu˜ na 4. . Demostrar que: lim t→∞ e ixt x +i0 = 0 5. Demostrar que: lim t→∞ e −ixt x +i0 = −2πiδ(x) 6. Demostrar que: lim t→∞ t m e ixt = 0 Cap´ıtulo 2 Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 2.1 Derivada generalizada Comencemos estudiando una serie de propiedades c´ omodas: 1. Si definimos apropiadamente la generalización de la derivada, entonces las funciones generalizadas resultan infinitas veces derivables. 2. Las series de funciones generalizadas convergentes pueden derivarse término a término, y otras propiedades. Veamos el concepto de derivada de una funci´ on generalizada: Sea f ∈ C p (R n ). Entonces, para α tal que [α[ ≤ p y ϕ ∈ D, es válida la integración por partes: (D α f, ϕ) ≡ _ D α f(x)ϕ(x)dx = (−1) |α| _ f(x)D α ϕ(x)dx ≡ (−1) |α| (f, D α ϕ) (2.1) Recordemos las notaciones usadas: D α = ∂ |α| ∂ α 1 x 1 ∂ α 2 x 2 ...∂ αn x n donde [α[ = α 1 +α 2 +... +α n . Partiremos de esta igualdad para definir la derivada generalizada de una funci´ on generalizada: Definici´ on: Se llama derivada generalizada D α f de la función generalizada f ∈ D a la función generalizada que act´ ua seg´ un la f´ ormula: 33 34 José Mar´ın Antu˜ na (D α f, ϕ) = (−1) |α| (f, D α ϕ), ∀ϕ ∈ D (2.2) TEOREMA: Si f ∈ D entonces D α f ∈ D . DEMOSTRACION Lo que hay que demostrar es que D α f definida por la f´ ormula es lineal y continuo. Linealidad: (D α f, λϕ +µψ) = (−1) |α| (f, D α (λϕ +µψ)) = (−1) |α| (f, λD α ϕ +µD α ψ) = = (−1) |α| (λ(f, D α ϕ) + µ(f, D α ψ)) = λ(D α f, ϕ) +µ(D α f, ψ) (2.3) LQQD. Continuidad: Como vimos anteriormente, si ϕ k →0, ∀k →∞ en D, entonces, D α ϕ k →0, ∀k →∞. Por lo tanto, tenemos: (D α f, ϕ k ) = (−1) |α| (f, D α ϕ k ) →0, ∀k →∞ (2.4) Demostrada la continuidad y, por lo tanto, demostrado el teorema. Caso particular importante: (D α δ, ϕ) = (−1) |α| D α ϕ(0), ∀ϕ ∈ D (2.5) OBSERVACION: Siempre usaremos la siguiente notación: Para la derivada clásica (donde exista): ¦D α f(x)¦ Por lo tanto, si f ∈ C p (G), entonces D α f = ¦D α f(x)¦ , ∀x ∈ G, [α[ ≤ p. Ejemplo importante: Sea la funci´ on campana ω ε (x) estudiada en el cap´ıtulo anterior. Entonces: D α ω ε (x) →D α δ(x), ∀ε →0 en D . Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 35 Esto es obvio: Como (ω ε (x), ϕ) →(δ, ϕ), ∀ε →0, resulta: (D α ω ε (x), ϕ) = (−1) |α| (ω ε (x), D α ϕ) →(−1) |α| (δ, D α ϕ) ≡ (D α δ, ϕ) (2.6) cuando ε →0. LQQD. En una dimensión, la primera derivada tiene el sentido de ser el funcional que act´ ua seg´ un la regla: (δ , ϕ) = −(δ, ϕ ) = −ϕ (0) (2.7) Para terminar, veamos algunas propiedades de la derivada definida aqu´ı: Propiedades: 1. Si f ∈ D , entonces D α f ∈ D (fue el teorema demostrado). 2. Toda función generalizada es derivable infinitas veces (demostrar solos). 3. La derivación es independiente del orden en que se realice, o sea: D α+β f = D α (D β f) ≡ D β (D α f) (demostrar solos) 4. Para f ∈ D y a ∈ C ∞ (R n ), se cumple la fórmula de Leibnitz: ∂(af) ∂x 1 = ∂a ∂x 1 f +a ∂f ∂x 1 (2.8) DEMOSTRACION: (As´ı es como hay que hacer las cosas). Tenemos ∀ϕ ∈ D, como para las funciones cl´ asicas se cumple la fórmula de Leibnitz: _ ∂(af) ∂x 1 , ϕ _ = − _ af, ∂ϕ ∂x 1 _ = − _ f, a ∂ϕ ∂x 1 _ = − _ f, ∂(aϕ) ∂x 1 −ϕ ∂a ∂x 1 _ = = − _ f, ∂(aϕ) ∂x 1 _ + _ f, ϕ ∂a ∂x 1 _ = _ ∂f ∂x 1 , aϕ _ + _ f ∂a ∂x 1 , ϕ _ = = _ a ∂f ∂x 1 , ϕ _ + _ f ∂a ∂x 1 , ϕ _ = _ f ∂a ∂x 1 +a ∂f ∂x 1 , ϕ _ (2.9) 36 José Mar´ın Antu˜ na LQQD. 5. Si f = 0, ∀x ∈ G, entonces D α f = 0, ∀x ∈ G, de manera que supp D α f ⊂ supp f DEMOSTRACION: (D α f, ϕ) = (−1) |α| (f, D α ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ D(G) (2.10) Esto implica que D α f = 0, ∀x ∈ D. LQQD. 6. Si la serie ∞ k=1 u k (x) = S(x) (2.11) con u k (x) localmente integrables, converge uniformemente en cada compacto, entonces puede derivarse término a término todas las veces que se quiera y las series resultantes convergen en D . DEMOSTRACION: Por hip´ otesis; S p (x) ≡ p k=1 u k (x) converge uniformemente a S(x) en [x[ ≤ R, ∀p →∞. Por lo tanto, S p →S en D (por algo que vimos al estudiar el lema de du Bois-Reymond). Por tanto, por la propiedad 1: D α S p = p k=1 D α u k →D α S, ∀p →∞ (2.12) en D . LQQD. Un ejemplo ´ util: Sean los n´ umeros ¦a k ¦, tales que [a k [ ≤ A[k[ m + B, con A, B y m dados. Entonces, la serie trigonométrica Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 37 ∞ k=−∞ a k e ikt (2.13) converge en D (R 1 ). Esto se desprende de la propiedad 6. Veamos: En virtud de la cota para las a k , la serie: a 0 x m + 2 (m + 2)! + ∞ −∞(k=0 a k (ik) m+2 e ikx converge uniformemente en R 1 . Por lo tanto, por la propiedad 6, su derivada de orden m + 2 converge en D (R 1 ) y coincide con la serie (2.13). 2.2 Primitiva de una función generalizada Aqu´ı, s´ olo consideraremos el caso n = 1, o sea, trabajaremos en R 1 . Sabemos que cualquier funci´ on continua f(x) tiene primitiva f (1) (x) ´ unica con exactitud de una constante aditiva: f (1) (x) = _ x f(ξ)dξ +C, (2.14) f (1) (x) = f(x). (2.15) La igualdad (2.15) es la que tomaremos como base para definir la primitiva de una funci´ on generalizada arbitraria: DEFINICION: La función generalizada f (1) de D (R 1 ) se llama primitiva de la función generalizada f de D (R 1 ), si f (1) = f ⇔(f (1) , ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ D (2.16) O sea: (f (1) , ϕ ) = −(f, ϕ), ∀ϕ ∈ D (2.17) 38 José Mar´ın Antu˜ na Esta definición (2.17) quiere decir que el funcional f (1) no está dado sobre las funciones de base, sino s´ olo sobre sus primeras derivadas. Por lo tanto, lo primero que haremos es extender este funcional a todo D. Supongamos primero que la primitiva de f, es decir, f (1) , existe. Vamos a constru´ırla: Sea ϕ ∈ D(R 1 ) arbitraria. Escribámosla en la forma ϕ(x) = ψ (x) + ω ε (x) _ ϕ(ξ)dξ (2.18) donde ω ε (x) es la funci´ on campana y ψ(x) = _ x −∞ _ ϕ(x ) −ω ε (x ) _ ϕ(ξ)dξ _ dx (2.19) Esta función ψ ∈ D. Efectivamente, supongamos que ϕ(x) = 0, ∀[x[ > R. Entonces, de (2.19) se ve que ∀x < −max(R, ε), ψ(x) = 0. Además, para x > max(R, ε), tenemos de (6): ψ(x) = _ ∞ −∞ ϕ(x )dx − _ ∞ −∞ ω ε (x )dx _ ϕ(ξ)dξ = 0 (2.20) Pues _ ∞ −∞ ω ε (x )dx = 1. Por lo tanto: ψ(x) = 0, ∀[x[ > max(R, ε). De esta manera queda comprobado que, efectivamente, ψ ∈ D. Apliquemos ahora el funcional f (1) (que por hip´ otesis existe) a (2.18): _ f (1) , ϕ _ = _ f (1) , ψ _ + _ f (1) , ω ε _ _ ϕ(ξ)dξ (2.21) Y, como _ f (1) , ϕ _ = C (o sea, es cierta constante), teniendo en cuenta la definici´ on (2.17): _ f (1) , ϕ _ = −(f, ψ) +C _ ϕ(ξ)dξ, ∀ϕ ∈ D (2.22) Conclusi´ on: Si la primitiva f (1) de f existe, entonces se expresa por la igualdad (2.22), donde ψ se define por (2.19). Demostremos el rec´ıproco: Para cualquier constante C, el funcional f (1) , definido por las igualdades (2.22) y (2.19) es la primitiva de f. Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 39 Para ello, demostremos primero que f (1) ∈ D . En primer lugar, de (2.22) es evidente que el funcional f (1) es lineal. Demostremos ahora su continuidad en D: Supongamos que ϕ k → 0, ∀k → ∞, lo que equivale a decir que ϕ k (x) = 0, ∀[x[ > R y que ϕ (α) k (x) ⇒0, ∀k →∞. Entonces, para ψ k , seg´ un (2.19): ψ k (x) = _ x −∞ _ ϕ k (x ) −ω ε (x ) _ ϕ k (ξ)dξ _ dx = 0, ∀[x[ > max(R, ε) (2.23) y ψ (α) k (x) ⇒0, ∀k →∞ (2.24) Esto implica que ψ k →0, ∀k →∞ (2.25) en D. Por lo tanto, en virtud de la continuidad en D, tenemos: _ f (1) , ϕ k _ = −(f, ψ k ) +C _ ϕ k (ξ)dξ →0, ∀k →∞ (2.26) Demostrada la continuidad en D. Queda por demostrar que f (1) es primitiva de f. Para ello, en (2.19) sustituyamos ϕ por ϕ : ψ(x) = _ x −∞ _ ϕ (x ) −ω ε (x ) _ ϕ (ξ)dξ _ dx ≡ _ x −∞ ϕ (x )dx = ϕ(x) (2.27) pues _ ϕ (ξ)dξ = ϕ(x)[ ∞ −∞ = 0 As´ı, de (2.22) nos queda: _ f (1) , ϕ _ = −(f, ϕ) +C _ ϕ(ξ)dξ (2.28) 40 José Mar´ın Antu˜ na donde C = (f (1) , ω ε ). O sea: _ f (1) , ϕ _ −C _ ϕ(ξ)dξ = −(f, ϕ) (2.29) _ f (1) , ϕ _ − _ f (1) , ω ε _ _ ϕ(ξ)dξ = −(f, ϕ) (2.30) _ f (1) , ϕ −ω ε _ ϕ(ξ)dξ _ = −(f, ϕ) (2.31) y, como por (2.18), ψ ≡ ϕ −ω ε _ ϕ(ξ)dξ y como ψ = ϕ, de donde ψ = ϕ , queda: _ f (1) , ϕ _ = −(f, ϕ) (2.32) Esto ´ ultimo significa, de acuerdo con la definición (2.17) que, efectivamente, f (1) es la primitiva de ϕ. De esta forma hemos demostrado el siguiente teorema: TEOREMA: Cualquier función generalizada f tiene una primitiva ´ unica definida con exactitud de una constante aditiva y cualquier primitiva f (1) se expresa por la f´ ormula _ f (1) , ϕ _ = (f, ψ) + (C, ϕ), ∀ϕ ∈ D (2.33) donde ψ se define por (2.19) y C es una constante arbitraria. Como consecuencia de este teorema podemos afirmar que la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial u = f (2.34) con f ∈ D (R 1 ), existe en D (R 1 ) y su soluci´ on general tiene la forma: u = f (1) +C (2.35) Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 41 donde f (1) es una primitiva de f y C una constante arbitraria. En particular, si f es continua, entonces cualquier solución en D de la ecuaci´ on diferencial (2.34) es cl´ asica. Por ejemplo, la solución general de la ecuaci´ on u = 0 en D es una constante arbitraria. Análogamente: Llamamos primitiva f (n) de orden n de la función f a aquella funci´ on tal que f (n) (n) = f Si aplicamos el teorema a la siguiente cadena recurrente de primitivas: f (1) = f, f (2) = f (1) , ... , f (n) = f (n−1) , se concluye que f (n) existe y es ´ unica con exactitud de un polinomio arbitrario de grado n −1. 2.3 Ejemplos, n = 1 a) Calculemos la densidad de cargas de un dipolo con momento dipolar +1 en el punto x = 0 de la recta. Aproximadamente, a este dipolo le corresponde la densidad de cargas 1 ε δ(x −ε) − 1 ε δ(x) (2.36) con ε > 0. Tomemos el l´ımite en D para ε →0: lim ε→0 _ 1 ε δ(x −ε) − 1 ε δ(x), ϕ _ = lim ε→0 [ϕ(ε) −ϕ(0)] ε = = ϕ (0) = (δ, ϕ ) = −(δ , ϕ) (2.37) Conclusi´ on: La densidad de cargas buscada es igual a −δ (x). Nótese que la carga total del dipolo es: (−δ , x) = (δ, 1 ) = (δ, 0) = 0 42 José Mar´ın Antu˜ na como era de esperar; y su momento dipolar es: (−δ , x) = (δ, x ) = (δ, 1) = 1 b) (Este es un ejemplo importante): Sea la funci´ on f(x) tal que f ∈ C 1 (x ≤ x 0 ) y f ∈ C 1 (x ≥ x 0 ) y tiene un salto [f] x 0 = f(x 0 + 0) −f(x 0 −0) en x 0 . Demostrar que la derivada generalizada es: f = ¦f (x)¦ + [f] x 0 δ(x −x 0 ) (2.38) Demostración: Por definici´ on, la derivada generalizada f es tal que, aplicando integraci´ on por partes: (f , ϕ) = −(f, ϕ ) = − _ ∞ −∞ f(x)ϕ (x)dx = = lim ε→0 _ − _ x 0 −ε −∞ f(x)ϕ (x)dx − _ ∞ x 0 +ε f(x)ϕ (x)dx _ = = lim ε→0 _ −f(x)ϕ(x)[ x 0 −ε −∞ + _ x 0 −ε −∞ f (x)ϕ(x)dx _ + +lim ε→0 _ −f(x)ϕ(x)[ ∞ x 0 ε + _ ∞ x 0 ∗ε f (x)ϕ(x)dx _ = = lim ε→0 [−f(x 0 −ε)ϕ(x 0 −ε) + f(x 0 +ε)ϕ(x 0 +ε)] + +lim ε→0 __ x 0 −ε −∞ f (x)ϕ(x)dx + _ ∞ x 0 +ε f (x)ϕ(x)dx _ = = [f(x 0 + 0) −f(x 0 −0)] ϕ(x 0 ) + _ ¦f (x)¦ϕ(x)dx = = ([f] x 0 δ(x −x 0 ) +¦f (x)¦, ϕ) (2.39) LQQD. Por ejemplo, en el caso particular de la función de Heaviside: θ(x) = 1, ∀x > 0 θ(x) = 0, ∀x < 0 Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 43 la fórmula (2.39) da que la derivada generalizada de esta funci´ on es: θ (x) = δ(x) (2.40) En F´ısica llamamos a θ(x) función paso unitario y a δ(x), impulso unitario. Por lo tanto, el impulso unitario es la derivada del paso unitario. c) La generalización de la fórmula (2.39) es: Si f(x) tiene discontinuidades aisladas de primer tipo en los puntos ¦x k ¦ y f ∈ C 1 (R 1 ¸x k ), entonces: f = ¦f (x)¦ + k [f] x k δ(x −x k ) (2.41) En particular, sea f 0 (x) = 1 2 − x 2π , ∀x ∈ [0, 2π) (2.42) la función peri´ odica con per´ıodo 2π que se representa gr´ aficamente a través de la recta que une los puntos (0, 1/2) y (2π, −1/2) extendida periódicamente a todos los intervalos (2π, 4π), (4π, 6π), etc. hacia la derecha en la parte positiva del eje x y (−2π, 0), (−4π, −2π), etc. hacia la izquierda a la parte negativa de dicho eje. Entonces, de acuerdo con (2.41): f 0 = − 1 2π + ∞ k=−∞ δ(x −2kπ) (2.43) Por lo tanto, en general, la derivada generalizada y la derivada cl´ asica no coinciden. d) Demostrar la fórmula: 1 2π ∞ k=−∞ e ikx = ∞ k=−∞ δ(x −2hπ) (2.44) DEMOSTRACION: Analicemos la funci´ on peri´ odica con periodo 2π (integral de la función del ejemplo anterior): _ x 0 f 0 (x )dx = x 2 − x 2 4π = a 0 + ∞ k=−∞ a k e ikx , (k ,= 0) (2.45) 44 José Mar´ın Antu˜ na donde hemos hecho su desarrollo en serie de Fourier convergente uniformemente. Los coeficientes de este desarrollo son: Los coeficientes son: a 0 = 1 2π _ 2π 0 _ x 2 − x 2 4π _ dx = 1 2π _ x 2 4 − x 3 12π _ 2π 0 = π 6 (2.46) a k = 1 2π _ 2π 0 _ x 2 − x 2 4π _ e ikx dx = 1 2π _ 1 2 _ 2π 0 xe ikx dx − _ 2π 0 x 2 e ikx dx _ (2.47) Los c´ alculos de las integrales dan, finalmente: a k = − 1 2π 1 k 2 (2.48) Por lo tanto, el desarrollo es: _ x 0 f 0 (x )dx = x 2 − x 2 4π = π 6 − 1 2π ∞ k=−∞,k=0 e i kx k 2 (2.49) En virtud de que la serie convergente uniformemente puede derivarse término a término cuanto se quiera, tenemos que: La primera derivada es: f 0 = − 1 2π ∞ k=−∞,k=0 ie i kx k (2.50) La segunda derivada es, teniendo en cuenta el ejemplo anterior: f 0 = 1 2π ∞ k=−∞,k=0 e ikx = − 1 2π + ∞ k=−∞ δ(x −2π) (2.51) As´ı, tenemos: 1 2π + 1 2π ∞ k=−∞,k=0 e ikx = ∞ k=−∞ δ(x −2kπ) (2.52) Lo que, finalmente, significa: Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 45 1 2π ∞ k=−∞ e ikx = ∞ k=−∞ δ(x −2kπ) (2.53) LQQD. Nota: La parte izquierda de esta igualdad es la serie de Fourier de la funci´ on generalizada peri´ odica con periodo 2π: ∞ k=−∞ δ(x −2kπ) (2.54) cuyo gráfico simb´ olico ser´ıa un conjunto infinito de flechas perpendiculares al eje x dirigidas hacia arriba y todas de la misma longitud, colocadas en los puntos x = 0, x = ±2kπ, con k = 1, 2, 3, ..... e) Demostrar que la solución general de la ecuaci´ on x m u = 0 (2.55) en D (R 1 ) viene dada por la fórmula: u = m−1 k=0 c k δ (k) (x) (2.56) donde c k son constantes arbitrarias. DEMOSTRACION: Para toda ϕ ∈ D y k = 0, 1, 2, ..., m−1, tenemos: (x m δ (k) , ϕ) = (δ (k) , x m ϕ) = (−1) k (δ, (x m ϕ) (k) ) = (−1) k (x m ϕ) (k) [ x=0 = 0 (2.57) pues m > k. Por consiguiente, x m δ (k) (x) = 0, ∀k = 0, 1, 2, ..., m−1 (2.58) y, por lo tanto, la función generalizada (2.56) satisface la ecuación (2.55). Demostremos ahora que (2.56) es la soluci´ on general de (2.55) en D : 46 José Mar´ın Antu˜ na Sea η(x) una función de base igual a 1 en el entorno de x = 0. (Un lema que vimos demuestra que existe esta funci´ on). Expresemos cualquier ϕ ∈ D as´ı: ϕ(x) = η(x) m−1 k=0 ϕ (k) (0) k! x k +x m ψ(x) (2.59) donde ψ(x) = 1 x m _ ϕ(x) −η(x) m−1 k=0 ϕ (k) (0) k! x k _ (2.60) Se ve que ψ ∈ D, pues es finita y derivable infinitas veces. Su derivabilidad se puede ver en x = 0, ya que se ve que en el entorno de x = 0, donde η(x) = 1, tiene lugar la serie de Taylor: ψ(x) = ϕ(x)x −m − m−1 k=0 ϕ (k) (0) k! x k−m ≡ ≡ ∞ k=0 ϕ (k) (0) k! x k−m − m−1 k=0 ϕ (k) (0) k! x k−m = ∞ k=m ϕ (k) (0) k! x k−m (2.61) Por lo tanto, si u ∈ D es la solución de la ecuación (2.55), entonces por (2.61): (u, ϕ) = _ u, η(x) m−1 k=0 ϕ (k) (0) k! x k _ + (u, x m ψ) = = m−1 k=0 ϕ (k) (0) k! (u, η(x)x k ) + (x m u, ψ) ≡ m−1 k=0 (−1) k (−1) k k! (u, η(x)x k )ϕ (k) (0) (2.62) De aqu´ı, introduciendo la notación: c k = (−1) k k! (u, η(x)x k ) (2.63) queda, finalmente: (u, ϕ) = m−1 k=0 (−1) k c k ϕ (k) (0) ≡ m−1 k=0 (−1) k c k (δ (k) , ϕ) (2.64) lo que demuestra que, efectivamente, (2.56) es la solución general en D de (2.55). Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 47 LQQD. f) Comprobar que la función E(t) = θ(t)Z(t) (2.65) donde Z(t) es la soluci´ on del siguiente problema de Cauchy: LZ ≡ Z (m) +a 1 (t)Z (m−1) +... +a m (t)Z = 0, ∀t > 0 (2.66) Z(0) = 0, Z (0) = 0, ..., Z (m−1) (0) = 1 satisface la ecuaci´ on LE = δ(t) (2.67) DEMOSTRACION: Apliquemos a E(t) la f´ ormula (2.38) de la derivada generalizada. Tenemos: E (t) = θ(t)Z (t) + 0 δ (2.68) pues el salto de Z(0) es cero. E (t) = θ(t)Z (t) (2.69) etc. E (m−1) (t) = θ(t)Z (m−2) (t) + 0 δ (2.70) pues el salto de Z (m−1) (0) es cero. Pero: E (m) (t) = θ(t)Z (m) (t) + 1 δ(t) (2.71) colocando en el operador L estos c´ alculos, queda: LE = θ(t)LZ +δ(t) ⇒LE = δ(t) (2.72) pues LZ = 0 por el problema de Cauchy. 48 José Mar´ın Antu˜ na LQQD. Más adelante veremos que E(t) es, aqu´ı, la solución fundamental del operador L. Veamos otros ejemplos, para el caso n ≥ 2. 2.4 Ejemplos, n ≥ 2. a) La generalización de δ (x) es una doble capa sobre una superficie. Sea S una superficie seccionalmente lisa de dos caras, n la normal a S y ν(x) una funci´ on continua dada sobre S. Introduzcamos la funci´ on generalizada − ∂ ∂n (νδ S ) (2.73) que act´ ua seg´ un la regla: _ − ∂ ∂n (νδ S ) , ϕ _ = _ S ν(x) ∂ϕ(x) ∂n dS, ∀ϕ ∈ D (2.74) Aqu´ı se ve que − ∂ ∂n (νδ S ) ∈ D (2.75) y que supp _ − ∂ ∂n (νδ S ) _ ⊂ S (2.76) La funci´ on generalizada (2.73) se llama doble capa sobre la superficie S con densidad ν(x), orientada seg´ un la normal n . Esta función generalizada describe la densidad de cargas correspondiente a una distribuci´ on de dipolos sobre la superficie S con densidad superficial de momento ν(x), con dichos dipolos orientados a lo largo de la dircci´ on dada de la normal n en S. Comparar ésto con el ejemplo a) de la secci´ on anterior. b) Sea la región G con frontera seccionalments lisa S y sea la función f ∈ C 1 ( ¯ G) C 1 ( ¯ G 1 ), (o sea, continua sobre S), donde G 1 = R n ¸ ¯ G. Entonces, tiene lugar la f´ ormula de la derivada generalizada: ∂f ∂x i = _ ∂f ∂x i _ + [f] S cos(nx i )δ S , ∀i = 1, 2, ..., n (2.77) Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 49 donde n = n x es la normal exterior a S en el punto x ∈ S y [f] S es el salto de la función f al pasar de afuera a adentro de G a través de S, o sea: lim x →x,(con x ∈G 1 ) f(x ) − lim x →x,(con x ∈G) f(x ) = [f] S (x), ∀x ∈ S (2.78) Obtención de (2.77): Previamente, obtengamos la fórmula de integraci´ on por partes (f´ ormula de Green) en G, S. Sea a ∈ C 1 (G) C( ¯ G). Conocemos la f´ ormula de Gauss: _ G ∇ adx = _ S a ndS (2.79) Si tomamos las funciones u, v ∈ C 1 (G) C( ¯ G) y, por ejemplo, hacemos a = (0, uv, 0), entonces tenemos: ∇ a = (uv) x 2 (2.80) y a n = uvn 2 = uv cos(nx 2 ) (2.81) As´ı, _ G (uv) x 2 dx = _ S uv cos(nx 2 )dS (2.82) Pero (uv) x 2 = vu x 2 +uv x 2 . Colocando arriba: _ G vu x 2 dx = _ S uv cos(nx 2 )dS − _ G uv x 2 dx (2.83) que es la f´ ormula de integraci´ on por partes en G ∈ R n . Como igual se obtiene con a = (uv, 0, 0) o con a = (0, 0, uv), s´ olo que la derivada será respecto a x 1 o a x 3 , por lo tanto, la fórmula general de integración por partes es: _ G vu x i dx = _ S uv cos(nx i )dS − _ G uv x i dx (2.84) Pues bien, para obtener (2.77), analicemos el funcional, teniendo en cuenta que la integral es por todo el espacio: 50 José Mar´ın Antu˜ na _ ∂f ∂x i , ϕ _ = − _ f, ∂ϕ ∂x i _ = − _ f(x) ∂ϕ ∂x i dx = = − _ G f(x) ∂ϕ ∂x i dx − _ G 1 f(x) ∂ϕ ∂x i dx = = _ G _ ∂f ∂x i _ ϕ(x)dx − _ S f(x + 0)ϕ(x) cos(nx i )dS + + _ G 1 _ ∂f ∂x i _ ϕ(x)dx − _ S f(x −0)ϕ(x) cos(nx i )dS (2.85) Obsérvese que el signo + delante de la integral en el el ´ ultimo sumando de esta f´ ormula sale as´ı, porque la normal inicialmente es para dentro al integrar por G 1 y, al pasar hacia afuera, cambia el signo. Por lo tanto, queda: _ ∂f ∂x i , ϕ _ = _ _ ∂f ∂x i _ ϕ(x)dx + _ S [f(x −0) −f(x + 0)] cos(nx i )ϕ(x)dS (2.86) Aqu´ı, [f(x−0) −f(x+0)] = [f] S y, por la definici´ on (1.51) que vimos anteriormente de la capa simple, finalmente queda: _ ∂f ∂x i , ϕ _ = __ ∂f ∂x i _ + [f] S cos(nx i )δ S , ϕ _ , ∀ϕ ∈ D (2.87) As´ı queda demostrada la fórmula (2.77) de la derivada generalizada en R n y que es una gene- ralización de la derivada generalizada obtenida en R 1 en el inciso b) del ep´ıgrafe anterior. c) Sea igual G con frontera seccionalmente lisa S y sea f ∈ C 2 ( ¯ G) C 2 ( ¯ G 1 . Entonces: ∂ 2 f ∂x i ∂x j = _ ∂ 2 f ∂x i ∂x j _ + ∂ ∂x j ([f] S cos(nx i )δ S ) + __ ∂f ∂x i __ S cos(nx j )δ S (2.88) la expresión (2.88) se obtiene as´ı: ∂ 2 f ∂x i ∂x j = ∂ ∂x j _ ∂f ∂x i _ + ∂ ∂x j ([f] S cos(nx i )δ S ) (2.89) pero ∂ ∂x j _ ∂f ∂x i _ = _ ∂ 2 f ∂x i ∂x j _ + __ ∂f ∂x i __ S cos(nx j )δ S (2.90) Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 51 Colocando ésto arriba, se obtiene (2.88). Observación importante: Hagamos en (2.88) i = j. Obtenemos: ∂ 2 f ∂x 2 i = _ ∂ 2 f ∂x 2 i _ + ∂ ∂x i ([f] S cos(nx i )δ S ) + __ ∂f ∂x i __ S cos(nx i )δ S (2.91) Sumemos por i: ∇ 2 f = ¦∇ 2 f¦ + n i=1 ∂ ∂x i ([f] S cos(nx i )δ S ) + n i=1 __ ∂f ∂x i __ S cos(nx i )δ S (2.92) Pero, se puede demostrar que: n i=1 ∂ ∂x i ([f] S cos(nx i )δ S ) = ∂ ∂n ([f] S δ S ) (2.93) y que: n i=1 __ ∂f ∂x i __ S cos(nx i )δ S = _ ∂f ∂n _ S δ S (2.94) Entonces, queda: ∇ 2 f = ¦∇ 2 f¦ + _ ∂f ∂n _ δ S + ∂ ∂n ([f] S δ S ) (2.95) Antes de analizar (2.95), demostremos (2.93) y (2.94): Demostremos (2.93): Para todo ϕ ∈ D, tenemos: _ n i=1 ∂ ∂x i ([f] S cos(nx i )δ S ), ϕ _ = − n i=1 _ [f] S cos(nx i )δ S , ∂ϕ ∂x i _ = Por definición de δ S : = − n i=1 _ S [f] S ∂ϕ ∂x i dS = − _ S [f] S n i=1 ∂ϕ ∂x i cos(nx i )dS (2.96) 52 José Mar´ın Antu˜ na pero: n i=1 ∂ϕ ∂x i cos(nx i ) = ∂ϕ ∂n (2.97) por lo que, colocando en (2.96), queda: _ n i=1 ∂ ∂x i ([f] S cos(nx i )δ S ), ϕ _ = − _ S [f] S ∂ϕ ∂n dS = _ ∂ ∂n ([f] S δ S ), ϕ _ (2.98) LQQD. Para demostrar (2.94) vemos de, forma similar, por la definición de δ S : _ n i=1 __ ∂f ∂x i __ S cos(nx i )δ S , ϕ _ = n i=1 _ S __ ∂f ∂x i __ S cos(nx i )ϕ(x)dS = = _ S _ n i=1 __ ∂f ∂x i __ S cos(nx i ) _ ϕ(x)dS = __ ∂f ∂n _ S δ S , ϕ _ (2.99) pues n i=1 __ ∂f ∂x i __ S cos(nx i ) = _ ∂f ∂n _ S (2.100) Supongamos, ahora, que f = 0, ∀x ∈ G 1 . Entonces, tendremos que [f] S = (f ext −f int )[ S = −f int [ S = −f[ S (2.101) Igual _ ∂f ∂n _ S = − ∂f ∂n [ S (2.102) Por lo tanto, se obtiene en este caso: ∇ 2 f = ¦∇ 2 f¦ − ∂f ∂n δ S − ∂ ∂n (fδ S ) (2.103) ¿Qué cosa es esta f´ ormula? Veamos. Tomemos una función de base ϕ. Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 53 Apliquémosle (2.103). Tenemos: (∇ 2 f, ϕ) = (¦∇ 2 f¦, ϕ) − _ ∂f ∂n δ S , ϕ _ − _ ∂ ∂n (fδ S ), ϕ _ (2.104) En la parte izquierda, pasamos el operador nabla a ser aplicado a ϕ, lo que implica multiplicar el paréntesis por (−1) 2 y, en el ´ ultimo término a la derecha, pasamos la derivada parcial respecto a la normal a ser aplicada a ϕ también, lo que implica multiplicar dicho término por (−1). Por eso, queda: (f, ∇ 2 ϕ) −(¦∇ 2 f¦, ϕ) = _ fδ S , ∂ϕ ∂n _ − _ ∂f ∂n δ S , ϕ _ (2.105) O sea: _ G f∇ 2 ϕdx − _ G ∇ 2 fϕ(x)dx = _ S f ∂ϕ ∂n dS − _ S ∂f ∂n ϕdS (2.106) Es decir: _ G ¦f∇ 2 ϕ −ϕ∇ 2 f¦dx _ S _ f ∂ϕ ∂n −ϕ ∂f ∂n _ dS (2.107) que no es otra cosa que la conocida Segunda F´ ormula de Green, escrita en términos de funciones generalizadas. d) Sea n=2. Calculemos ∇ 2 ln [x[. Tenemos que ∀x ,= 0, ln [x[ ∈ C ∞ . Por lo tanto, para esos valores de x, D α ln [x[ = ¦D α ln [x[¦. Por lo tanto, en polares: ∇ 2 ln [x[ ≡ 1 r d dr _ r d ln r dr _ ≡ 0, ∀x ,= 0 (2.108) Sea, ahora, ϕ ∈ D con supp ϕ ⊂ U R . Tomemos la fórmula (2.103) con f = ln [x[: ∇ 2 ln [x[ = ¦∇ 2 ln [x[¦ − ∂ ln [x[ ∂n δ S − ∂ ∂n (ln [x[δ S ) (2.109) y apliquémosla a ϕ en ε < [x[ < R. Tendremos: 54 José Mar´ın Antu˜ na (∇ 2 ln [x[, ϕ) ≡ lim ε→0 (∇ 2 ln [x[, ϕ) = lim ε→0 (¦∇ 2 ln [x[¦, ϕ) − _ S R ∂ ln [x[ ∂n ϕdS + + _ S R ln [x[ ∂ϕ ∂n dS − lim ε→0 _ Sε ∂ ln [x[ ∂n ϕdS + lim ε→0 _ Sε ln [x[ ∂ϕ ∂n dS (2.110) Pero, por (2.108) lim ε→0 (¦∇ 2 ln [x[¦, ϕ) = 0 (2.111) y: _ S R ∂ ln [x[ ∂n ϕdS = 0 (2.112) y _ S R ln [x[ ∂ϕ ∂n dS = 0 (2.113) pues supp ϕ ⊂ U R . Por lo tanto: (∇ 2 ln [x[, ϕ) = lim ε→0 _ Sε 1 ε ϕ(x)dS + lim ε→0 _ Sε ln ε ∂ϕ ∂n dS (2.114) Pero lim ε→0 _ Sε ln ε ∂ϕ ∂n dS = _ ∂ϕ ∂n _ med ln ε 2πε →0, ∀ε →0 (2.115) y lim ε→0 _ Sε 1 ε ϕ(x)dS = 1 ε ϕ(x med )2πε →2πϕ(0) ≡ (2πδ, ϕ), ∀ε →0 (2.116) As´ı, obtenemos: (∇ 2 ln [x[, ϕ) = (2πδ, ϕ) (2.117) Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 55 Por lo tanto; ∇ 2 ln [x[ = 2πδ (2.118) De manera análoga, para n ≥ 3, se obtiene: ∇ 2 1 [x[ n−2 = −(n −2)σ n δ(x) (2.119) donde σ n es el área de la superficie de la esfera unitaria en R n , es decir: σ n = _ S 1 dS = 2π n/2 Γ(n/2) (2.120) donde Γ(z) = _ ∞ 0 e −t t z−1 dt (2.121) es la función Gamma de Euler. Efectivamente: ∇ 2 1 [x[ n−2 = _ ∇ 2 1 [x[ n−2 _ − ∂ ∂n _ 1 [x[ n−2 _ δ S − ∂ ∂n _ 1 [x[ n−2 δ S _ (2.122) En la misma esfera ε < [x[ < R con supp ϕ ⊂ U R , tenemos _ ∇ 2 1 [x[ n−2 , ϕ _ = lim ε→0 _ ∇ 2 1 [x[ n−2 , ϕ _ = lim ε→0 __ ∇ 2 1 [x[ n−2 _ , ϕ _ − −lim ε→0 _ Sε ∂ ∂n _ 1 [x[ n−2 _ ϕ(x)dS + lim ε→0 _ Sε 1 [x[ n−2 ∂ϕ ∂n dS = = lim ε→0 _ −(n −2) _ Sε ϕ(x)dS ε n−1 _ = lim ε→0 −(n −2) ε n−1 ϕ(x med ) _ Sε dS = = −(n −2) ε n−1 ϕ(x med ) 2π n/2 ε n−1 Γ(n/2) →−(n −2) 2π n/2 Γ(n/2) ϕ(0) = = _ −(n −2) 2π n/2 Γ(n/2) δ, ϕ _ (2.123) En particular, para n = 3, Γ(3/2) = √ π/2, por lo que 56 José Mar´ın Antu˜ na 2π 3/2 Γ(3/2) = 4π (2.124) y queda: ∇ 2 1 [x[ = −4πδ(x) (2.125) e) Comprobemos que las funciones E(x) = − e ik|x| 4π[x[ , E(x) = − e −ik|x| 4π[x[ (2.126) para n = 3 satisfacen la ecuación ∇ 2 E +k 2 E = δ(x) (2.127) DEMOSTRACION: Como exp¦±ik[x[¦ = cos k[x[ +i sin k[x[ y coseno y seno son funciones infinitamente derivables, apliquemos la f´ ormula de Leibnitz (2.8). Esta era: ∂(af) ∂x i = f ∂a ∂x i +a ∂f ∂x i Volviendo a derivar: ∂ 2 (af) ∂x 2 i = f ∂ 2 a ∂x 2 i + 2 ∂a ∂x i ∂f ∂x i +a ∂ 2 f ∂x 2 i (2.128) Sumando por i: ∇ 2 (af) = f∇ 2 a + 2∇a ∇f +a∇ 2 f (2.129) Aplicaremos esta ´ ultima fórmula. Tenemos que: ∂ ∂x i 1 [x[ = − x i [x[ 3 (2.130) ∂ ∂x i e ik|x| = ikx i [x[ e ik|x| (2.131) Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 57 Por lo tanto, haciendo los cálculos: ∇ 2 e ik|x| ≡ _ 2ik [x[ −k 2 _ e ik|x| (2.132) Además, teniendo en cuenta el ejemplo anterior: (∇ 2 +k 2 ) 1 [x[ e ik|x| = ∇ 2 _ 1 [x[ e ik|x| _ + k 2 [x[ e ik|x| = = ∇ 2 _ 1 [x[ _ e ik|x| + 2∇ 1 [x[ ∇e ik|x| + 1 [x[ ∇ 2 e ik|x| + k 2 [x[ e ik|x| = = −4πδ(x)e ik|x| ≡ −4πδ(x) (2.133) pues vimos que: a(x)δ(x) = a(0)δ(x). LQQD. f) Sea E(x, t) = θ(t) (2a √ πt) n exp _ − [x[ 2 4a 2 t _ (2.134) Demostrar que: ∂E ∂t −a 2 ∇ 2 E = δ(x, t) (2.135) DEMOSTRACION: Para t > 0 tenemos: _ E(x, t)dx = 1 (2a √ πt) n _ exp _ − [x[ 2 4a 2 t _ dx = = 1 (2a √ πt) n n i=1 _ ∞ −∞ (2a √ t) n e ξ 2 i dξ = 1 (2.136) y, ∀t < 0, E = 0. Adem´ as, para t > 0: 58 José Mar´ın Antu˜ na ∂E ∂t = _ [x[ 2 4a 2 t 2 − n 2t _ E ∂E ∂x i = − x i 2a 2 t E (2.137) Por lo tanto: ∂ 2 E ∂x 2 i = _ x 2 i 4a 4 t 2 − 1 2a 2 t _ E (2.138) De aqu´ı: _ ∂E ∂t −a 2 ∇ 2 E _ = _ [x[ 2 4a 2 t 2 − n 2t _ E − _ [x[ 2 4a 2 t 2 − n 2t _ E ≡ 0, ∀t > 0 (2.139) Sea, ahora ϕ ∈ D(R n+1 ). Tenemos: _ ∂E ∂t −a 2 ∇ 2 E, ϕ _ ≡ − _ E, ∂ϕ ∂t −a 2 ∇ 2 ϕ _ = = − _ ∞ 0 _ E(x, t) _ ∂ϕ ∂t −a 2 ∇ 2 ϕ _ dxdt = = −lim ε→0 _ ∞ ε _ E(x, t) ∂ϕ ∂t dt − lim ε→0 _ ∞ ε _ E(x, t)∇ 2 ϕdxdt = integrando por partes el primer sumando: = −lim ε→0 _ E(x, ε)ϕ(x, ε)dx + _ ∞ ε _ ∂E ∂t ϕdxdt − lim ε→0 _ ∞ ε _ ∇ 2 Eϕdxdt = = lim ε→0 __ E(x, ε)ϕ(x, ε)dx + _ ∞ ε _ _ ∂E ∂t −∇ 2 E _ ϕdxdt _ = = _ E(x, 0)ϕ(x, 0)dx (2.140) pues (∂E/∂t −∇ 2 E) = 0. Por otra parte: E(x, 0) ≡ lim t→0 1 (4πa 2 t) n/2 exp _ − [x[ 2 4a 2 t _ = δ(x) (2.141) Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 59 en D (R n ). Volviendo a (2.140) y teniendo en cuenta (2.141): _ ∂E ∂t −a 2 ∇ 2 E, ϕ _ = _ E(x, 0)ϕ(x, 0)dx = (δ, ϕ) (2.142) LQQD. Observación; (2.140) debe ser mejor fundamentado de la forma siguiente: Por una parte vimos que _ E(x, t)dx = 1 (2.143) Por otra parte, tenemos que para ϕ ∈ D: ¸ ¸ ¸ ¸ _ E(x, t)[ϕ(x) −ϕ(0)]dx ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ _ E(x, t)[ϕ(x) −ϕ(0)[dx ≤ ≤ K (4πa 2 t) n/2 _ exp −([x[ 2 /(4a 2 t))[x[dx = = K 2 n π n/2 a n t n/2 _ ∞ 0 exp −(r 2 /(4a 2 t))r n drσ n = = K2a √ tσ n π n/2 _ ∞ 0 e u 2 u n du = C √ t →0, ∀t →0 (2.144) donde σ n es el área de la esfera n dimensional, [ϕ(x) −ϕ(0)[ ≤ K[x[, pues ϕ es una función de base y, por tanto, finita y acotada y la ´ ultima integral en la igualdad es una función Gamma de Euler y, por tanto, un n´ umero finito. Teniendo en cuenta estas cosas, podemos escribir: (E(x, t), ϕ) = _ E(x, t)ϕ(x)dx ≡ ϕ(0) _ E(x, t)dx + + _ E(x, t)[ϕ(x) −ϕ(0)]dx →ϕ(0) = (δ, ϕ), ∀t →0 (2.145) donde hemos tenido en cuenta (2.143) y que _ E(x, t)[ϕ(x) −ϕ(0)]dx →0, ∀t →0 (2.146) 60 José Mar´ın Antu˜ na De esta forma queda plenamente justificada la expresión (2.140). g) Sea E 1 (x, t) = 1 2a θ(at −[x[) (2.147) con x = x 1 (o sea, en R 1 ). Demostrar que ∂ 2 E 1 ∂t 2 −a 2 ∂ 2 E 1 ∂x 2 = δ(x, t) (2.148) DEMOSTRACION: Es evidente que E 1 (x, t) es localmente integrable en R 2 y E 1 = 0 fuera del cono de luz Γ + definido por las rectas caracter´ısticas x = at y x = −at y el semieje t > 0. Sea ϕ ∈ D. Tenemos: _ ∂ 2 E 1 ∂t 2 −a 2 ∂ 2 E 1 ∂x 2 , ϕ _ ≡ _ E 1 , ∂ 2 ϕ ∂t 2 −a 2 ∂ 2 ϕ ∂x 2 _ = = _ E 1 (x, t) _ ∂ 2 ϕ ∂t 2 −a 2 ∂ 2 ϕ ∂x 2 _ dxdt = = 1 2a _ ∞ −∞ dx _ ∞ |x|/a ∂ 2 ϕ ∂t 2 dt − a 2 _ ∞ 0 dt _ at −at ∂ 2 ϕ ∂x 2 dx = = − 1 2a _ ∞ −∞ ∂ϕ(x, [x[/a) ∂t dx − a 2 _ ∞ 0 _ ∂ϕ(at, t) ∂x − ∂ϕ(−at, t) ∂x _ dt = (sustituyendo x/a = t por lo que dx = adt): = − 1 2 _ ∞ 0 ∂ϕ(at, t) ∂t dt − 1 2 _ ∞ 0 ∂ϕ(−at, t) ∂t dt − − a 2 _ ∞ 0 ∂ϕ(at, t) ∂x dt + a 2 _ ∞ 0 ∂ϕ(−at, t) ∂x dt ≡ ≡ − 1 2 _ ∞ 0 dϕ(at, t) − 1 2 _ ∞ 0 dϕ(−at, t) ≡ 1 2 ϕ(0, 0) + 1 2 ϕ(0, 0) ≡ (δ, ϕ) (2.149) h) Sea n = 2, z = x +iy, z∗ = x −iy, dz = dx +idy. El operador diferencial ∂ ∂z ∗ ≡ 1 2 _ ∂ ∂x +i ∂ ∂y _ (2.150) se llama Operador de Cauchy-Riemann. Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 61 Sea f ∈ C 1 ( ¯ G) y f ≡ 0, ∀z ∈ G 1 , donde G 1 = R 2 ¸ ¯ G. Sea S (frontera de G) seccionalmente lisa (como siempre, su recorrido positivo implica que G quede siempre a la izquierda). Apliquemos la fórmula (2.77) del ejemplo b). Tendremos: ∂f ∂z ∗ ≡ 1 2 _ ∂f ∂x +i ∂f ∂y _ = 1 2 ∂f ∂x + i 2 ∂f ∂y = = 1 2 _ ∂f ∂x _ − f 2 cos(nx)δ S + i 2 _ ∂f ∂y _ − i 2 f cos(ny)δ S ≡ ≡ _ ∂f ∂z ∗ _ − f 2 [cos(nx) + i cos(ny)]δ S (2.151) Sea ϕ ∈ D y veamos: _ ∂f ∂z ∗ , ϕ _ = __ ∂f ∂z ∗ _ , ϕ _ − _ f 2 [cos(nx) + i cos(ny)], ϕ _ (2.152) De aqu´ı: − _ G _ f ∂ϕ ∂z ∗ + ∂f ∂z ∗ ϕ _ dxdy = − 1 2 _ S fϕ[cos(nx) + i cos(ny)]dS (2.153) Pero: cos(nx)dS = dy y cos(ny)dS = −dx. Por lo tanto: _ G _ f ∂ϕ ∂z ∗ + ∂f ∂z ∗ ϕ _ dxdy = 1 2 _ S fϕ(dy −idx) = = − i 2 _ S fϕ(dx +idy) = − i 2 _ S fϕdz (2.154) As´ı: _ G ∂(fϕ) ∂z ∗ dxdy = − i 2 _ S fϕdz (2.155) i) Demostrar que ∂ ∂z∗ 1 z = πδ(x, y) (2.156) DEMOSTRACION: Tomemos f = 1/z, ∀G = [ε < [z[ < R] con ϕ ∈ D y supp ϕ ⊂ U R ≡ [[z[ < R]. Tenemos: 62 José Mar´ın Antu˜ na _ ∂ ∂z ∗ 1 z , ϕ _ = − _ 1 z , ∂ϕ ∂z ∗ _ ≡ − _ U R 1 z ∂ϕ ∂z ∗ dxdy ≡ ≡ −lim ε→0 _ ε<|z|<R 1 z ∂ϕ ∂z ∗ dxdy = = lim ε→0 _ ε<|z|<R ϕ ∂ ∂z ∗ 1 z dxdy + i 2 __ S R − _ Sε _ ϕ z dz = = − i 2 lim ε→0 _ |z|=ε ϕ z dz = − i 2 lim ε→0 _ 2π 0 ϕ(εe iθ ) εe iθ iεe iθ dθ = = πϕ(0) ≡ π(δ, ϕ) (2.157) pues la integral en el primer sumando de (136) es cero, ya que 1/z es anal´ıtica en ε < [z[ < R y la primera integral dentro del paréntesis en el segundo sumando es igual a cero por el supp ϕ. LQQD. 2.5 Ejercicios del Cap´ıtulo 1. Demostrar que (a) d dx ln [x[ = P 1 x (b) d dx P 1 x = −P 1 x 2 (c) d dx 1 x ±i0 = ∓iπδ (x) −P 1 x 2 donde _ P 1 x 2 , ϕ _ = V P _ ϕ(x) −ϕ(0) x 2 dx 2. Demostrar que las funciones generalizadas a la derecha son las soluciones generales en D (R 1 ) de las ecuaciones de la izquierda: (Notar que aqu´ı hay varias constantes arbitrarias, mientras que la solución cl´ asica de una ecuación diferencial de primer orden s´ olo tiene una sola constante arbitraria). (a) xu = 1 Solución: u = C 1 +C 2 θ(x) + ln [x[ Derivación e integraci´ on de funciones generalizadas 63 (b) xu = P 1 x Solución: u = C 1 +C 2 θ(x) −P 1 x (c) x 2 u = 1 Solución: u = C 1 +C 2 θ(x) + C 3 δ(x) −P 1 x (d) xu = signx Solución: u = Cδ(x) +P 1 [x[ 3. Demostrar la igualdad: axδ x = −a (0)δ(x) + a(0)δ (x) para a(x) ∈ C 1 (R 1 ). 4. Demostrar: Si f ∈ D y f(x) = 0, ∀x < x 0 , entonces existe una primitiva ´ unica f (1) tal que es igual a cero para x < x 0 . 5. Demostrar la igualdad: (D α f)(x +h) = D α f(x +h) para todo f ∈ D y h ∈ R n . 6. Demostrar: Si una función generalizada es invariante respecto a todos los desplazamientos posibles, entonces es constante. 7. Demostrar que el sistema de funciones generalizadas D α δ(x), [α[ = m, m = 0, 1, 2, ... es linealmente independiente. 8. Demostrar que la serie ∞ k=1 a k δ (k) (x −k) converge en D para cualquiera a k . 64 José Mar´ın Antu˜ na 9. Sea δ Sr la capa simple sobre la esfera [x[ = r, lo que equivale a decir: (µδ S , ϕ) = _ S µ(x)ϕ(x)dS, ∀ϕ ∈ D Demostrar que lim r→0 1 r 2 _ 1 σ n r n−1 δ Sr −δ _ = 1 2n ∇ 2 δ en D . Esta fórmula se conoce con el nombre de F´ ormula de Pizetti. Aqu´ı σ n = _ S 1 dS = 2π n/2 Γ(n/2) Cap´ıtulo 3 Producto Directo y Convolución de Funciones Generalizadas 3.1 Producto Directo Sean f(x) y g(y) localmente integrables en R n y R m , respectivamente. Entonces, f(x)g(y) será localmente integrable en R n+m . Esta expresi´ on define a una función generalizada regular que act´ ua sobre ϕ(x, y) ∈ D de la siguiente forma: (f(x)g(y), ϕ) = _ f(x)g(y)ϕ(x, y)dxdy = = _ f(x) _ g(y)ϕ(x, y)dydx ≡ (f(x), (g(y), ϕ(x, y)))(g(y)f(x), ϕ) = = _ g(y)f(x)ϕ(x, y)dxdy = _ g(y) _ f(x)ϕ(x, y)dxdy ≡ (g(y), (f(x), ϕ(x, y)))(3.1) Las igualdades implican que se cumple el teorema de Fubini sobre la igualdad de las integrales reiteradas m´ ultiples (aunque esto no siempre es verdad, aqu´ı , si). DEFINICION: Llamaremos Producto directo f(x) g(y) de las funciones generalizadas f(x) ∈ D (R n ) y g(y) ∈ D (R m ) a la funci´ on generalizada que act´ ua seg´ un la regla: (f(x) g(y), ϕ) = (f(x), (g(y), ϕ(x, y))) (3.2) para ϕ ∈ D(R n+m ). SE PUEDE DEMOSTRAR que esta definición es correcta, o sea, que la parte derecha de (3.2) es un funcional lineal y continuo en D(R n+m ). Esto quiere decir que f(x)g(y) ∈ D (R n+m , lo que equivale a decir que es una funci´ on generalizada. 65 66 José Mar´ın Antu˜ na PROPIEDAD IMPORTANTE f(x) g(y) = g(y) f(x) (3.3) O sea, el producto directo es conmutativo. Esto resulta f´ acil de demostrar al menos para funciones de base del tipo ϕ(x, y) = N l=1 u l (x)v l (y) ∈ D(R n+m ) (3.4) con u l (x) ∈ D(R n ) y v l (y) ∈ D(R m ): (f(x) g(y), ϕ) = _ f, N l=1 u l (g, v l ) _ = N l=1 (f, u l )(g, v l ) = = _ g, N l=1 v l (f, u l ) _ = (g(y) f(x), ϕ) (3.5) Este resultado se puede extender a cualquier funci´ on ϕ ∈ D(R n+m ) sobre la base del siguiente lema que no demostraremos: LEMA: Para cualquier ϕ ∈ D(R n+m ) siempre existe una sucesi´ on de funciones de base ϕ k (x, y) con k = 1, 2, ... del tipo k l=1 u l (x)v l (y) (3.6) que converge a ϕ en D(R n+m ). O sea, el conjunto de funciones del tipo ϕ(x, y) = N l=1 u l (x)v l (y) (3.7) es denso en D(R n+m ). PROPIEDADES DEL PRODUCTO DIRECTO: 1. El producto directo es continuo. Es decir: Producto directo y convolución de funciones generalizadas 67 a) [λf(x) + µf 1 (x)] g(y) = λ[f(x) g(y)] +µ[f 1 (x) g(y)] (3.8) para f, f 1 ∈ D (R n ) y g ∈ D (R m ). b) f k (x) g(y) →0, ∀k →∞ (3.9) en D (R n+m ), si f k →0, ∀k →∞ en D (R n ). DEMOSTRACION: a) Evidente, a partir de la definición de producto directo. b) Llamemos ψ(x) = (g(y), ϕ(x, y)) que es una funci´ on de base en R n ; o sea, que pertenece a D(R n ). Entonces, tenemos: (f k (x) g(y), ϕ) ≡ (f k (x), (g(y), ϕ(x, y))) ≡ (f k , ψ) →0, ∀k →∞ (3.10) LQQD. 2. El producto directo es asociativo: O sea, ∀f ∈ D (R n ), g ∈ D (R m ), h ∈ D (R k ) se cumple: f(x) [g(y) h(z)] ≡ [f(x) g(y)] h(z) (3.11) DEMOSTRACION: Para ϕ ∈ D(R n+m+k ): (f(x) [g(y) h(z)], ϕ) ≡ (f(x), (g(y) h(z), ϕ)) ≡ ≡ (f(x), (g(y), (h(z), ϕ))) = (f(x) g(y), (h(z), ϕ)) = ([f(x) g(y)] h(z), ϕ) (3.12) LQQD. 3. Derivada del producto directo. D α x [f(x) g(y)] = D α x f(x) g(y) (3.13) DEMOSTRACION: 68 José Mar´ın Antu˜ na Sea ϕ ∈ D(R n+m ): (D α x [f(x) g(y)], ϕ) = (−1) |α| (f(x) g(y), D α x ϕ) = Como el producto conmuta: = (−1) |α| (g(y), (f(x), D α x ϕ)) = (g(y), (D α x f(x), ϕ)) = ([D α x f(x) g(y)], ϕ) (3.14) LQQD. 4. Multiplicación por a del producto directo. Para a ∈ C ∞ (R n ): a(x)[f(x) g(y)] = a(x)f(x) g(y) (3.15) Se deja al lector la demostraci´ on de esta propiedad. 5. Traslación: (f g)(x +h, y) = f(x +h) g(y) (3.16) Se deja al lector la demostraci´ on de esta propiedad. 6. Se dice que la función generalizada f(x) 1(y) no depende de y. Ella act´ ua seg´ un la siguiente regla: ∀ϕ ∈ D(R n+m ): (f(x) 1(y), ϕ) ≡ _ f(x), _ ϕ(x, y)dy _ = (1(y) f(x), ϕ) = _ (f(x), ϕ(x, y)dy) (3.17) para todo f ∈ D (R n ) y ϕ ∈ D(R n+m ). 3.2 Convoluci´ on de funciones generalizadas Como siempre, partimos de lo sabido para funciones normales: Si f(x) y g(x) son localmente integrables en R n y si, adem´ as, h(x) = _ [g(y)f(x −y)[dy (3.18) Producto directo y convolución de funciones generalizadas 69 es localmente integrable en R n , entonces se llama convolución f ∗ g de estas funciones a la función: (f ∗ g)(x) = _ f(y)g(x −y)dy ≡ _ g(y)f(x −y)dy = (g ∗ f)(x) (3.19) Observación: La convoluci´ on en este caso es también localmente integrable en R n . Por lo tanto, la convoluci´ on (3.19) define a una funci´ on generalizada regular que act´ ua sobre funciones de base ϕ ∈ D(R n ) seg´ un la regla: (f ∗ g, ϕ) = _ (f ∗ g)(ξ)ϕ(ξ)dξ = _ __ g(y)f(ξ −y)dy _ ϕ(ξ)dξ = _ g(y) __ f(ξ −y)ϕ(ξ)dξ _ dy = = _ g(y)[f(x)ϕ(x +y)dx]dy (3.20) donde hemos hecho el cambio de variables: x = ξ −y, dx = dξ. As´ı, la regla mediante la cual se define la convolución de dos funciones generalizadas es: (f ∗ g, ϕ) = _ f(x)g(y)ϕ(x +y)dxdy, ∀ϕ ∈ R n (3.21) (Un caso especial de producto directo, cuando ϕ(x, y) = ϕ(x +y)). Veamos tres casos posibles en los que la integrabilidad local de h(x) dada por (3.18) se cumple y, por lo tanto, f ∗ g existe dada por (3.19): 1) O bien f, o bien g es finita. Por ejemplo, sea supp g ⊂ U R 1 . Entonces: _ U R h(x)dx = _ U R 1 [g(y)[ _ U R [f(x −y)[dxdy ≤ _ U R 1 [g(y)[dy _ U R +R 1 [f(ξ)[dξ < ∞ (3.22) donde hemos hecho el cambio de variables ξ = x −y, dξ = dx. 2) f y g son iguales a cero para todo x < 0. Veamos esto en el caso n = 1: _ R −R h(x)dx = _ R 0 _ x o [g(y)[[f(x −y)[dydx = _ R 0 [g(y)[ _ R y [f(x −y)[dxdy ≤ 70 José Mar´ın Antu˜ na Haciendo el cambio de variables ξ = x −y, dξ = dx: ≤ _ R o [g(y)[dy _ R 0 [f(ξ)[dξ < ∞ (3.23) 3) f y g ambas integrables en R n : _ h(x)dx = _ [g(y)[ _ [f(x −y)[dxdy = _ [g(y)[dy _ [f(ξ)[dξ < ∞ (3.24) Por lo tanto, f ∗ g es integrable en R n . DEFINICION: Diremos que la sucesi´ on ¦η k ¦ de funciones de base de D(R n ) converge a 1 en R n , si: a) Para cualquier compacto K existe una N tal que η k = 1 para todo x ∈ K y k ≥ N. b) Las funciones η k (x) son uniformemente acotadas en R n , junto con sus derivadas. O sea: [D α η k (x)[ < C α , ∀x ∈ R n (3.25) con k = 1, 2, ... y α cualquiera. Tales sucesiones siempre existen. Por ejemplo, si η(x) ∈ D y η(x) = 1, ∀x ∈ U 1 , entonces: η k (x) = η(x/k) (3.26) es una sucesi´ on de este tipo, donde η(x) es la funci´ on definida en el primer cap´ıtulo. TEOREMA: La igualdad (3.21) puede escribirse as´ı: (f ∗ g, ϕ) = lim k→∞ (f(x)g(y), η k (x, y)ϕ(x +y)) (3.27) donde η k (x, y), con k = 1, 2, ... es cualquier sucesión convergente a 1 en R 2n . DEMOSTRACION: Tenemos: [f(x)g(y)η k (x, y)ϕ(x +y)[ ≡ [η k (x, y)[[f(x)g(y)ϕ(x +y)[ ≤ teniendo en cuenta b) ≤ C 0 [f(x)g(y)ϕ(x +y)[, ∀k = 1, 2, ... (3.28) Producto directo y convolución de funciones generalizadas 71 La función [f(x)g(y)ϕ(x +y)[ es, además, integrable. Por otro lado lim k→∞ f(x)g(y)η k (x, y)ϕ(x +y) = f(x)g(y)ϕ(x +y) (3.29) en casi todo punto de R 2n . Por lo tanto, podemos escribir: (f ∗ g, ϕ) ≡ _ f(x)g(y)ϕ(x +y)dxdy = _ lim k→∞ f(x)g(y)η k (x, y)ϕ(x +y)dxdy = lim k→∞ _ f(x)g(y)η k (x, y)ϕ(x +y)dxdy ≡ lim k→∞ (f(x)g(y), η k (x, y)ϕ(x +y)) (3.30) LQQD. A partir de ésto, estudiaremos la siguiente definici´ on. DEFINICION: Sean las funciones generalizadas f y g de D (R n ), tales que el producto directo f(x) g(y) admite la prolongación (f(x) g(y), ϕ(x+y)) a las funciones del tipo ϕ(x+y), donde ϕ es cualquier funci´ on de D(R n ) en el sentido de que, cualquiera que sea la sucesi´ on ¦η k ¦ convergente a 1 en R 2n (η k ∈ D(R 2n )), existe el l´ımite de la sucesión numérica lim k→∞ (f(x) g(y), η k (x, y)ϕ(x +y)) = (f(x) g(y), ϕ(x +y)) (3.31) independiente de la sucesión ¦η k ¦. Entonces, se llama convolución (f ∗ g) al funcional (f ∗ g, ϕ) = (f(x) g(y), ϕ(x +y)) = lim k→∞ (f(x) g(y), η k (x, y)ϕ(x +y)) (3.32) para todo ϕ ∈ D(R n ). Es fácil ver que el funcional f ∗ g definido as´ı pertenece a D (R n ), o sea, es una función generalizada. Para ello, basta demostrar su continuidad, es decir que para ϕ ν →0, ∀ν →∞, (f(x) g(y), η k (x, y)ϕ ν (x +y)) →0, ∀ν →∞ (3.33) lo que se deja al lector a comprobar por s´ı mismo. Ejemplo: f ∗ δ ≡ δ ∗ f ≡ f (3.34) 72 José Mar´ın Antu˜ na Efectivamente: Sea ϕ ∈ D(R n ) y sea ¦η k ¦ cualquier sucesión en D(R 2n ) convergente a 1. Entonces: η k (x, 0)ϕ(x) →ϕ(x), ∀k →∞ (3.35) en R n . Por lo tanto, de acuerdo con la definici´ on, tenemos: (f ∗ δ, ϕ) = (f(x) δ(y), ϕ(x +y)) = lim k→∞ (f(x) δ(y), η k (x, y)ϕ(x +y)) = lim k→∞ (f(x), η k (x, 0)ϕ(x)) = (f, ϕ) (3.36) LQQD. Observación de interés: f = f ∗ δ significa que cualquier funci´ on generalizada puede ser desarrollada en funciones delta, lo que formalmente se escribe as´ı: f(x) = _ f(ξ)δ(x −ξ)dξ (3.37) Precisamente, es esta fórmula la que se tiene en cuenta, cuando en F´ısica se dice que cualquier cuerpo material está compuesto por masas puntuales, que cualquier fuente est´ a compuesta por fuentes puntuales, etc. 3.3 Propiedades de la convolución 1. Linealidad: La convoluci´ on f ∗ g es lineal de D en D respecto a f y a g por separado. O sea, (λf +µf 1 ) ∗ g = λ(f ∗ g) +µ(f 1 ∗ g) (3.38) Es evidente a partir de la linealidad del producto directo. SIN EMBARGO, la convoluci´ on f ∗ g, en general, no es continua en D con respecto a f o a g. Por ejemplo, δ(x − k) → 0, ∀k → ∞ en D (R 1 ), pero 1 ∗ δ(x − k) = 1 y, por lo tanto, no tiende a cero cuando k →∞ en D (R 1 ). 2. Conmutatividad: Si f ∗ g existe, entonces g ∗ f existe y f ∗ g = g ∗ f. DEMOSTRACION: A partir de la conmutatividad del producto directo. 3. Derivada de la convoluci´ on: Si f ∗g existe, entonces existen las convoluciones D α f ∗g y f ∗ D α g y se cumple: D α f ∗ g = D α (f ∗ g) = f ∗ D α g (3.39) Producto directo y convolución de funciones generalizadas 73 DEMOSTRACION: Basta demostrarlo para cada primera derivada D j , con j = 1, 2, ..., n. Sean ϕ ∈ D(R n ) y η k (x, y) ∈ D(R 2n ) que tiende a 1, cuando k →∞. Entonces: ∂η k ∂x j →0, ∀k →∞ (3.40) Por lo tanto, tendremos: (D j (f ∗ g), ϕ) = −(f ∗ g, D j ϕ) = − lim k→∞ _ f(x) g(y), η k (x, y) ∂ϕ(x +y) ∂x j _ = = lim k→∞ _ ∂f(x) ∂x j g(y), η k ϕ _ ≡ (D j f ∗ g) (3.41) Demostrada una de las igualdades. La otra es evidente, a partir de la conmutatividad de la convolución. Caso particular ´ util: D α f ≡ D α (f ∗ δ) ≡ D α f ∗ δ ≡ δ ∗ D α f (3.42) para toda f ∈ D . Importante observaci´ on: La existencia de las convoluciones D α f ∗ g y f ∗ D α g no es suficiente para la existencia de f ∗ g, ni para la igualdad D α f ∗ g = f ∗ D α g. O sea, el rec´ıproco de lo que demostramos sobre la derivada de la convolución no es cierto, lo que implica que la convoluci´ on no es asociativa. Por ejemplo: (θ ∗ δ ) ∗ 1 ≡ (θ ∗ δ) ∗ 1 ≡ θ ∗ 1 ≡ δ ∗ 1 = 1 (3.43) Pero θ ∗ (δ ∗ 1) ≡ θ ∗ (δ ∗ 1 ) ≡ θ ∗ (δ ∗ 0) = θ ∗ 0 = 0 (3.44) 4. Traslación de la convoluci´ on: Si f ∗ g existe, entonces existe f(x +h) ∗ g y se cumple que: f(x +h) ∗ g = (f ∗ g)(x +h), ∀h ∈ R n (3.45) O sea, las operaciones de traslación y de convolución conmutan. DEMOSTRACION: Hab´ıamos visto la traslaci´ on de una función generalizada (fórmula (1.65) as´ı: (f(y +b), ϕ) = (f, ϕ(x −b)) 74 José Mar´ın Antu˜ na Por lo tanto, tenemos: ((f ∗ g)(x +h), ϕ) = (f ∗ g, ϕ(x −h)) = lim k→∞ (f(x) g(y), η k (x −h, y)ϕ(x −h, y)) = = lim k→∞ (f(x +h) g(y), η k (x, y)ϕ(x +y)) = (f(x +h) g(y), ϕ) (3.46) LQQD. Aqu´ı se us´ o la propiedad de traslación del producto directo (3.16). Enunciemos las condiciones suficientes de existencia de la convoluci´ on: TEOREMA: Sea f una funci´ on generalizada arbitraria y g una funci´ on generalizada finita. Entonces, la convoluci´ on f ∗ g existe en D y tiene la forma: (f ∗ g, ϕ) = (f(x) g(y), η(y)ϕ(x +y)), ∀ϕ ∈ D (3.47) donde η es cualquier función de base igual a 1 en el entorno del soporte de g. Bajo estas condiciones, f ∗ g es continua respecto a f y a g por separado. O sea: 1) Si f k →0, ∀k →∞ en D , entonces f ∗ g →0, ∀k →∞, en D . 2) Si g k → 0, ∀k → ∞, en D y para cierto R, supp g k ⊂ U R , entonces, f ∗ g k → o, ∀k → ∞, en D . Veamos otros elementos teóricos relativos a la convolución: 3.4 Algebra convolucional D / + de funciones generalizadas Sea D + el conjunto de funciones generalizadas de D (R 1 ) que son iguales a cero para t < 0. TEOREMA: Sea f ∈ D + y g ∈ D + . Entonces, f ∗ g existe en D + y se expresa por: (f ∗ g, ϕ) = (f(t) g(τ), η 1 (t)η 2 (τ)ϕ(t +τ)), ∀ϕ ∈ D(R 1 ) (3.48) donde η 1 (t) y η 2 (t) son cualesquiera funciones de C ∞ (R 1 ) iguales a 1 en el entorno del semieje [0, ∞) e iguales a cero para t < 0 suficientemente grandes. Además, la convoluci´ on es continua respecto a f y a g por separado. Corolario importante: La convoluci´ on de funciones generalizadas de D + es asociativa y conmutativa: Producto directo y convolución de funciones generalizadas 75 f 1 ∗ (f 2 ∗ f 3 ) = (f 1 ∗ f 2 ) ∗ f 3 = f 2 ∗ (f 1 ∗ f 3 ) (3.49) DEMOSTRACION: Tenemos: (f 1 ∗ (f 2 ∗ f 3 )) = (f 1 (t) (f 2 ∗ f 3 )(τ), η 1 (t)η 2 (τ)ϕ(t +τ)) ≡ ≡ ((f 2 ∗ f 3 )(τ) f 1 (t), η 1 (t)η 2 (τ)ϕ(t +τ)) = = (f 2 (τ) f 3 (τ ) f 1 (t), η 2 (τ)η 3 (τ )η 1 (t)η 2 (τ +τ )ϕ(t +τ +τ )) = = ([f 1 (t) f 2 (τ )] f 3 (τ ), ...) = (f 1 ∗ f 2 ) ∗ f 3 (3.50) etc. Aqu´ı hemos tenido en cuenta que el producto directo entre f 2 (τ) y f 1 (t) conmuta y que η 2 (τ)η 2 (τ +τ ) = η 2 (τ). DEFINICION: El conjunto lineal A se llama Algebra, si en él est´ a definida la operaci´ on de multiplicaci´ on lineal respecto a cada factor por separado. El ´ algebra se llama asociativa, si x(yz) = (xy)z. El ´ algebra se llama conmutativa, si xy = yx. Entonces, D + es un álgebra asociativa y conmutativa, siempre que por operación de multipli- cación entendamos la operaci´ on de convoluci´ on ∗. D + se llama álgebra convolucional. El elemento unidad en el ´ algebra convolucional D + es la función delta, ya que δ ∗ f = f (3.51) 3.5 Ecuaciones en el álgebra convolucional D / + Sea la ecuaci´ on en D + : a ∗ u = f (3.52) donde a y f son funciones generalizadas conocidas y u es desconocida, todas de D + . DEFINICION: La soluci´ on de la ecuaci´ on (3.52) para f = δ, si existe, se llama soluci´ on fundamental del operador convolucional a∗ y la representamos por a −1 (elemento inverso del álgebra D + ): 76 José Mar´ın Antu˜ na a ∗ a −1 = δ (3.53) TEOREMA: Si a −1 existe en D + , entonces, para cualquier f ∈ D + , la solución de (3.52) existe, es ´ unica y viene dada por la f´ ormula: u = a −1 ∗ f (3.54) DEMOSTRACION: a) Comprobamos que a −1 ∗ f satisface la ecuaci´ on (3.52). Tenemos: a ∗ (a −1 ∗ f) ≡ (a ∗ a −1 ) ∗ f ≡ δ ∗ f ≡ f Aqu´ı hemos tenido en cuenta el corolario sobre la asociatividad y conmutatividad de la cn- voluci´ on. LQQD. b) Comprobamos que es ´ unica. Esto equivale a demostrar que la ecuaci´ on homogénea a∗u = 0 sólo tiene solución trivial u ≡ 0. Sea u 0 la soluci´ on de la ecuación homogénea; o sea, a∗u 0 ≡ 0. Entonces, aplicando a −1 tenemos: a −1 ∗ (a ∗ u 0 ) ≡ 0 (3.55) O sea: (a −1 ∗ a) ∗ u 0 ≡ 0 (3.56) Pero por (3.39) esto es: δ ∗ u 0 ≡ 0 (3.57) lo que significa que u 0 ≡ 0. LQQD. Demostrado todo el teorema. Gracias a este teorema, resolver la ecuaci´ on a ∗ u = f con f ∈ D + arbitraria se reduce a resolverla para una f concreta: f = δ (o sea, hallar la soluci´ on fundamental a −1 ). Teorema: Si a −1 1 y a −1 2 existen en D + , entonces Producto directo y convolución de funciones generalizadas 77 (a 1 ∗ a 2 ) −1 = a −1 1 ∗ a −1 2 (3.58) DEMOSTRACION: Por la conmutatividad entre a 1 y a 2 : (a 1 ∗ a 2 ) ∗ (a −1 1 ∗ a −1 2 ) = (a 2 ∗ a 1 ) ∗ (a −1 1 ∗ a −1 2 ) = Por la propiedad asociativa: = (a 2 ∗ (a 1 ∗ (a −1 1 ∗ a −1 2 ))) = (a 2 ∗ ((a 1 ∗ a −1 1 ) ∗ a −1 2 )) ≡ ≡ (a 2 ∗ (δ ∗ a −1 2 )) ≡ (a 2 ∗ a −1 2 ) ≡ δ ≡ (por definición): ≡ (a 1 ∗ a 2 ) ∗ (a 1 ∗ a 2 ) −1 (3.59) LQQD. Con ayuda de la teor´ıa de funciones de variable compleja, veremos, m´ as adelante, el cálculo operacional sobre cierta subálgebra de D + . Introduzcamos la funci´ on generalizada f α ∈ D + dependiente del parámetro real α: f α (x) = θ(x) Γ(α) x α−1 , ∀α > 0 f α (x) = f α+1 (3.60) Teorema: f α ∗ f β = f α+β (3.61) DEMOSTRACION: Sean α > 0 y β > 0: f α ∗ f β = θ(x) _ ∞ 0 y α−1 Γ(α) θ(x −y) Γ(β) (x −y) β−1 dy = θ(x) Γ(α)Γ(β) _ x 0 y α−1 (x −y) β−1 dy = haciendo el cambio de variable: t = y/x, dy = xdt: 78 José Mar´ın Antu˜ na = θ(x) Γ(α)Γ(β) _ 1 0 x α−1 t α−1 (x −tx) β−1 xdt = θ(x)x α+β−1 Γ(α)Γ(β) _ 1 0 t α−1 (1 −t) β−1 dt = = θ(x)x α+β−1 Γ(α)Γ(β) B(α, β) ≡ θ(x)x α+β−1 Γ(α)Γ(β) Γ(α)Γ(β) Γ(α +β) = θ(x) Γ(α +β) x α+β−1 ≡ f α+β LQQD para α > 0 y β > 0. Sean α < 0, β < 0. Entonces, suponiendo que α + 1 < 0 y β + 1 < 0: f α ∗ f β = f α+1 ∗ f β+1 = f α+2 ∗ f β+2 = ... = f (m) α+m ∗ f (m) β+m = donde hemos supuesto que ya α + m > 0 y β + m > 0 y, ahora, usando la propiedad de la derivaci´ on de la convoluci´ on (3.39) vista anteriormente y el inciso anterior: = (f α+m ∗ f β+m ) (m+n) = f (m+n) α+β+m+n = f α+β pues al derivar a x α+β+m+n−1 m +n veces, queda x α+β−1 . Por ´ ultimo, sean α = 0, β = 0: f 0 (x) = f 1 = _ θ(x) Γ(1) x 0 _ = δ(x) Por lo tanto: f 0 (x) ∗ f 0 (x) = δ ∗ δ = δ = f 0 LQQD. Demostrado el teorema. Analicemos, ahora, el operador convolucional f α ∗ en D + . Como f 0 = δ y f α ∗ f β = f α+β tenemos, por lo tanto, por definici´ on de inverso: f α ∗ f −1 α ≡ δ = f 0 ≡ f α−α ≡ f α ∗ f −α (3.62) Por lo tanto, f −1 α siempre existe (la soluci´ on fundamental siempre existe) y vale f −1 α = f −α . Por otra parte; sea n < 0 entero. Entonces f n = f n+1 . Tenemos que: f −1 = f 0 = δ , f −2 = f −1 = δ , ..., f −n = δ (n) . Producto directo y convolución de funciones generalizadas 79 As´ı pues: f −n ∗ u = δ (n) ∗ u = u (n) (3.63) La expresión (3.63) representa el operador de derivaci´ on n veces. Sea ahora n > 0. Entonces, teniendo en cuenta la propiedad asociativa: (f n ∗ u) (n) = f −n ∗ (f n ∗ u) = (f −n ∗ f n ) ∗ u ≡ δ ∗ u ≡ u (3.64) pues f −n = f −1 n . Es decir, f n ∗ u para toda n > 0 es la primitiva de orden n de la funci´ on generalizada. As´ı, tiene lugar la siguiente definición: DEFINICION: El operador f n ∗ se conoce como operador de derivaci´ on (si n < 0) y operador de integraci´ on (si n > 0) u operador de Riemann-Liouville. 3.6 Regularización de las funciones generalizadas Sea la funci´ on generalizada f y ψ una función de base. Por lo tanto, f ∗ ψ existe, pues ψ, por ser de base, es finita. TEOREMA: f ∗ ψ = (f(y), ψ(x −y)) (3.65) DEMOSTRACION: Por la definici´ on de convoluci´ on: (f ∗ ψ, ϕ) = (f(y) ψ(ξ), η(ξ)ϕ(y +ξ)) = como η = 1 en el entorno del supp ψ = (f(y), _ ψ(ξ)η(ξ)ϕ(y +ξ)dξ ≡ (f(y), _ ψ(ξ)ϕ(y +ξ)dξ) ≡ haciendo el cambio de variable: x = y +ξ: ≡ (f(y), _ ϕ(x)ψ(x −y)dx = ((f(y), ψ(x −y)), ϕ) 80 José Mar´ın Antu˜ na LQQD. Se puede demostrar que en este caso f ∗ ψ ∈ C ∞ (R n ). Sea la funci´ on campana dada por (1.25): ω ε (x) = C ε e − ε 2 ε 2 −|x| 2 , ∀[x[ ≤ ε ω ε (x) = 0, ∀[x[ > ε y: _ ω ε (x)dx = 1 (3.66) DEFINICION: La función infinitas veces derivable f ε (x) ≡ f ∗ ω ε ≡ (f(y), ω ε (x −y)) (3.67) se llama regularización de la función generalizada f. Hace tiempo vimos que ω ε (x) →δ(x), ∀ε →0 en D . Por lo tanto, como f ∗ ω ε es continua: f ε (x) →f(x), ∀ε →0 (3.68) en D . Conclusi´ on interesante: Toda funci´ on generalizada f es el l´ımite débil de sus regulariza- ciones. TEOREMA:Toda funci´ on generalizada f es el l´ımite débil de funciones de base, es decir, el conjunto D es denso en D . DEMOSTRACION: Sea f ε (x) la regularizaci´ on de f. Sea η ε (x) una sucesi´ on de funciones de base iguales a 1 en U1 ε , para ε →0. Entonces, la sucesión de funciones de base η ε (x)f ε (x) →f (3.69) en D , para ε → 0, ya que como f ε (x) → f(x) para ε → 0, tomando cualquier ϕ ∈ D, tendremos: Producto directo y convolución de funciones generalizadas 81 lim ε→0 (η ε f ε , ϕ) = lim ε→0 (f ε , η ε ϕ) = lim ε→0 (f ε , ϕ) = (f, ϕ) (3.70) LQQD. OBSERVACION: Hace tiempo vimos que el espacio D es completo. Por lo tanto, tiene lugar el rec´ıproco: TEOREMA: Todo l´ımite débil de funciones localmente integrables es una función generalizada de D . Observación: Estos dos teoremas permiten que la teor´ıa de las funciones generalizadas se pueda construir a partir de sucesiones convergentes débilmente de funciones corrientes. Esto es lo que tratamos de hacer, sin profundizar más de lo m´ınimo indispensable, en el curso de Métodos Matem´ aticos de la F´ısica. 3.7 Ejemplos de convoluciones Potencial Newtoniano: a) Sea f(x) continua en R n ¸¦0¦, con singularidad integrable en cero y sea µδ S (x) la capa simple sobre S, que es una superficie seccionalmente lisa y acotada y µ la densidad. La convolución f ∗ µδ S es una función localmente integrable en R n y se expresa por: f ∗ µδ S = _ S µ(y)f(x −y)dS y (3.71) DEMOSTRACION: (f ∗ µδ S , ϕ) = (µδ S (y) f(ξ), η(y)ϕ(y +ξ)) = = (µδ S (y), η(y)(f(ξ), ϕ(y +ξ))) = _ S µ(y)η(y) _ f(ξ)ϕ(y +ξ)dξdS y ≡ ≡ _ S µ(y) _ f(x −y)ϕ(x)dxdS y = _ ϕ(x) _ S µ(y)f(x −y)dS y dx ≡ ≡ __ S µ(y)f(x −y)dS y , ϕ _ LQQD. b) Sea ρ una función generalizada. La convoluci´ on 82 José Mar´ın Antu˜ na V n = 1 [x[ n−2 ∗ ρ, ∀n ≥ 3; (3.72) V 2 = ln 1 [x[ ∗ ρ, ∀n = 2 (3.73) se llama potencial newtoniano (para n = 2, potencial logar´ıtmico) con densidad ρ. TEOREMA: Para ρ igual a una funci´ on generalizada finita, V n existe en D y cumple la ecuación de Poisson: ∇ 2 V n = −(n −2)σ n ρ, ∀n ≥ 3 (3.74) ∇ 2 V 2 = −2πρ (3.75) σ n = 2π n/2 Γ(n/2) ≡ _ S 1 dS (3.76) DEMOSTRACION: Como, por (3.39): D α (f ∗ g) = f ∗ D α g, tenemos: ∇ 2 V n = ∇ 2 _ 1 [x[ n−2 ∗ ρ _ = ∇ 2 1 [x[ n−2 ∗ ρ pero, por la f´ ormula del laplaciano generalizado (2.119): ∇ 2 1 [x[ n−2 = _ ∇ 2 1 [x[ n−2 _ − ∂ ∂n _ 1 [x[ n−2 _ δ S − ∂ ∂n _ 1 [x[ n−2 δ S _ Tomemos la esfera ε < [x[ < R con supp ϕ ⊂ U R . Tenemos: _ ∇ 2 1 [x[ n−2 , ϕ _ = lim ε→0 _ ∇ 2 1 [x[ n−2 , ϕ _ = lim ε→0 __ ∇ 2 1 [x[ n−2 _ , ϕ _ − −lim ε→0 _ Sε ∂ ∂n _ 1 [x[ n−2 _ ϕ(x)dS + lim ε→0 _ Sε 1 [x[ n−2 ∂ϕ ∂n dS = como el primer y el tercer sumando son iguales a cero, ya que el laplaciano es cero para todo x ,= 0 y Producto directo y convolución de funciones generalizadas 83 lim ε→0 _ Sε 1 [x[ n−2 ∂ϕ ∂n dS = lim ε→0 1 ε n−2 _ ∂ϕ ∂n _ ∗ _ Sε dS = 0 obtenemos: _ ∇ 2 1 [x[ n−2 , ϕ _ = lim ε→0 _ −(n −2) _ Sε ϕ(x)dS ε n−1 _ = lim ε→0 −(n −2) ε n−1 ϕ(x ∗ ) 2π n/2 ε n−1 Γ(n/2) → →−(n −2) 2π n/2 Γ(n/2) ϕ(0) = _ −(n −2) 2π n/2 Γ(n/2) δ, ϕ _ O sea: _ ∇ 2 1 [x[ n−2 , ϕ _ = (−(n −2)σ n δ, ϕ) donde σ n = 2π n/2 Γ(n/2) ≡ 1 ε n−1 _ Sε dS As´ı pues, efectivamente, para V n = 1 [x[ n−2 ∗ ρ se cumple que ∇ 2 V n = −(n −2)σ n ρ LQQD. Para n = 3 en particular: ∇ 2 V 3 = −4πρ (3.77) pues ∇ 2 1 [x[ = −4πδ(x) (3.78) 84 José Mar´ın Antu˜ na El lector debe demostrar como ejercicio que para n = 2: ∇ 2 V 2 = −2πρ (3.79) c) Si ρ es finita y absolutamente integrable en R n , entonces el potencial newtoniano se llama potencial de volumen y el potencial logar´ıtmico potencial de área (de volumen bidi- mensional) y se expresa por: V n (x) = _ ρ(y) [x −y[ n−2 dy, ∀n ≥ 3 (3.80) V 2 (x) = _ ρ(y) ln 1 [x −y[ dy, ∀n = 2 (3.81) d) Sea S una superficie acotada seccionalmente lisa de dos caras con un sentido definido para el vector normal n sobre ella. Sean µ y ν continuas sobre S. Sean µδ S y − ∂ ∂n (νδ S ) la capa simple y la doble capa, respectivamente, sobre S. Los potenciales newtonianos (o logar´ıtmicos) que ellas generan son: V (0) n = 1 [x[ n−2 ∗ µδ S , ∀n ≥ 3 (3.82) V (0) 2 = ln 1 [x[ ∗ µδ S (3.83) que son los potenciales de capa simple y V 1 n = − 1 [x[ n−2 ∗ ∂ ∂n (νδ S ) , ∀n ≥ 3 (3.84) V 1 2 = −ln 1 [x[ ∗ ∂ ∂n (νδ S ) (3.85) que son los potenciales de doble capa. Estas integrales de superficie dan: V (0) n (x) = _ S ∂µ(y)[x −y[ n−2 dS y , ∀n ≥ 3 (3.86) V (0) 2 (x) = _ S µ(y) ln 1 [x −y[ dS (3.87) Producto directo y convolución de funciones generalizadas 85 V (1) n (x) = − _ S ν(y) ∂ ∂n y _ 1 [x −y[ n−2 dS y _ , ∀n ≥ 3 (3.88) V (1) 2 (x) = − _ S ν(y) ∂ ∂n y _ ln 1 [x −y[ _ dS (3.89) El lector debe comprobar solo las fórmulas (3.86), (3.87), (3.88) y (3.89). Para ello, partir de una ϕ ∈ D y hacer, por ejemplo: (V (1) n , ϕ) = ... = _ ϕ(x) _ S ∂ ∂n y _ 1 [x −y[ n−2 _ dS y dx = ... (3.90) etcétera. 3.8 Ejercicios del Cap´ıtulo 1. Demostrar la igualdad: ∂ n [θ(x 1 )...θ(x n )] ∂x 1 ...∂x n = δ(x 1 )...δ(x n ) ≡ δ(x) (3.91) 2. Demostrar: Para que la funci´ on generalizada f(x) no dependa de x i es necesario y suficiente que ∂f ∂x i = 0 (3.92) 3. Demostrar: Para que f(x) no dependa de x i es necesario y suficiente que sea invariante ante todo desplazamiento. 4. Demostrar: Si f no depende de x i , entonces f ∗ g tampoco depende de x i . 5. Demostrar: Si f ∗ 1 existe, entonces es constante. 6. Para f α = θ(x) Γ(α) x α−1 e ax (3.93) donde α > 0 y a es cualquiera, comprobar que f α ∗ f β = f α+β (3.94) 86 José Mar´ın Antu˜ na 7. Demostrar que e ax f ∗ e ax g = e ax (f ∗ g) (3.95) para f ∈ D + y g ∈ D + . 8. Para f α = 1 α √ 2π exp _ − x 2 2α 2 _ (3.96) con α > 0, comprobar que f α ∗ f β = f √ α 2 +β 2 (3.97) 9. Para f α = 1 π α α 2 +x 2 (3.98) comprobar que f α ∗ f β = f α+β (3.99) Cap´ıtulo 4 Funciones generalizadas de crecimiento lento (atemperadas) La importancia del estudio de este tipo de funciones generalizadas est´ a en que a ellas es aplicable la transformada de Fourier. 4.1 Espacio S de funciones de base DEFINICION 1: Se llama espacio S = S(R n ) de funciones de base al conjunto de funciones de la clase C ∞ (R n ) que decrecen junto a sus derivadas m´ as r´ apido que cualquier potencia de 1 |x| cuando [x[ →∞. DEFINICION 2: En S la convergencia se define as´ı: La sucesi´ on ϕ k ∈ S converge a ϕ ∈ S en S, si para todo α y todo β: x β D α ϕ k (x) ⇒x β D α ϕ(x), ∀k →∞ (4.1) para toda x ∈ R n . Observaciones: 1. S es lineal. 2. D ⊂ S; de la convergencia en D se desprende la convergencia en S. 3. S no coincide con D. Por ejemplo, e −|x| 2 ∈ S, pero no pertenece a D. DEFINICION: Sea a ∈ C ∞ (R n ) una función que crece junto a sus derivadas con menos rapidez que cierto polinomio. O sea: 87 88 José Mar´ın Antu˜ na [D α a(x)[ ≤ C α (1 +[x[) mα (4.2) Representemos al conjunto de estas funciones por θ M . TEOREMA: La multiplicaci´ on de ϕ ∈ S por a ∈ θ M es continua de S en S. DEMOSTRACION: ϕ ∈ S equivale a decir que ella decrece con sus derivadas más rápido que cualquier potencia de 1 |x| . Si a ∈ θ M , entonces aϕ sigue decreciendo con sus derivadas más r´ apido que cualquier potencia de 1 |x| , para [x[ →∞. Adem´ as, si ϕ k →0, ∀k →∞ en S, entonces: x β D α (aϕ k ) ⇒0, ∀α, β (4.3) O sea, aϕ k →0 en S. LQQD. Sin embargo es posible afirmar que: TEOREMA: D es denso en S, lo que equivale a decir que para cualquier ϕ ∈ S existe una sucesi´ on ϕ k ∈ D, k = 1, 2, ... tal que ϕ k →ϕ en S, para k →∞. DEMOSTRACION: Sea la sucesión de funciones de D: ϕ k (x) = ϕ(x)η _ x k _ , ∀k = 1, 2, ... (4.4) con η ∈ D y η(x) = 1, ∀[x[ < 1. Evidentemente ϕ k (x) →ϕ(x), ∀k →∞ (4.5) en S. LQQD. Tiene lugar otra afirmación TEOREMA: La derivación D β ϕ(x) y el cambio de variables ϕ(Ay +b) son continuas de S en S. Funciones generalizadas de crecimiento lento 89 Sin embargo, la multiplicación por una función infinitamente derivable puede salirse de los l´ımites de S. Por ejemplo: e −|x| 2 e |x| 2 = 1no ∈ S 4.2 Espacio S / de funciones generalizadas de crecimiento lento DEFINICION: Función generalizada de crecimiento lento se llama a cualquier funcional lineal y continuo en el espacio S. Sea S = S (R n ) el conjunto de todas las funciones generalizadas de crecimiento lento. S es un conjunto lineal (igual que D ). DEFINICION: La sucesi´ on de funciones generalizadas f k ∈ S converge en S a la función generalizada f ∈ S , lo que se escribe as´ı: f k →f, ∀k →∞ en S , si para cualquier ϕ ∈ S: (f k , ϕ) →(f, ϕ), ∀k →∞ (4.6) Es decir: La convergencia en S la definimos como la convergencia débil de funcionales. DEFINICION: El conjunto lineal S junto con la convergencia definida se llama espacio de funciones generalizadas de crecimiento lento. Es f´ acil ver que S ⊂ D y que de la convergencia en S se desprende la convergencia en D . TEOREMA DE SCHWARZ: Para que el funcional lineal f en S pertenezca a S (o sea, sea continuo en S), es necesario y suficiente que existan los n´ umeros C > 0 y p ≥ 0 (p entero) tales que ∀ϕ ∈ S se cumpla: [(f, ϕ)[ ≤ C | ϕ | p (4.7) donde | ϕ | p = Sup |α|≤p,x∈R n(1 +[x[) p [D α ϕ(x)[ (4.8) No demostraremos este teorema, pero discutiremos su sentido: El sentido de este teorema es que toda función generalizada de crecimiento lento es un funcional continuo respecto a cierta norma | ... | p . Esto se expresa diciendo que la funci´ on tiene orden finito. 90 José Mar´ın Antu˜ na Ejemplos de funciones generalizadas de crecimiento lento. Ejemplo 1: Sea f(x) localmente integrable polinomial en el infinito (de crecimiento lento); o sea, para cierta m ≥ 0: _ [f(x)[(1 +[x[) m dx < ∞ (4.9) Entonces, esta función define a un funcional regular f ∈ S seg´ un la f´ ormula: (f, ϕ) = _ f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ S (4.10) OBSERVACIONES: 1. No toda función localmente integrable define a una función generalizada de crecimiento lento. Por ejemplo, e x no ∈ S (R 1 ). 2. No toda funci´ on localmente integrable que pertenezca a S tiene crecimiento polinomial. Por ejemplo, la función (cos e x ) = −e x sin e x (4.11) no es de crecimiento polinomial. Sin embargo, ella define a una función generalizada de S por la f´ ormula ((cos e x ) , ϕ) = − _ cos e x ϕ (x)dx, ∀ϕ ∈ S (4.12) 3. Se puede demostrar (lo hizo Schwarz) que toda función generalizada de S es la derivada de una funci´ on continua de crecimiento polinomial. Por eso, a S se le llama espacio de funciones generalizadas de crecimiento lento. Ejemplo 2: Si f es una funci´ on generalizada finita de D , entonces, puede prolongarse un´ıvocamente a S como elemento de S por la f´ ormula (f, ϕ) = (f, ηϕ), ∀ϕ ∈ S (4.13) con η ∈ D y η = 1 en el entorno del suppf. Efectivamente: Sea ϕ k →0 en S. Entonces ηϕ k →0 en D. Por lo tanto: (f, ηϕ k ) →0, ∀k →∞ (4.14) Funciones generalizadas de crecimiento lento 91 O sea, el funcional lineal (f, ηϕ) es continuo en S. La unicidad de la prolongaci´ on del funcional f a S se debe a la densidad de D en S. Ejemplo 3: Si f ∈ S , entonces D α f ∈ S también. Esto se ve del hecho de que D α ϕ es una operaci´ on continua de S en S. Por lo tanto, la parte derecha de la igualdad (D α f, ϕ) = (−1) |α| (f, D α ϕ) (4.15) es un funcional lineal en S. Ejemplo 4: Si f ∈ S y detA ,= 0, entonces f(Ay + b) ∈ S . Esto es porque la operaci´ on de transformación ϕ[A −1 (x −b)] es continua de S en S y, por lo tanto (f(Ay +b), ϕ) = _ f, ϕ[A −1 (x −b)] [detA[ _ (4.16) es un funcional lineal continuo en S. Ejemplo 5: Si f ∈ S y a ∈ θ M , entonces af ∈ S . Efectivamente, vimos que a por una funci´ on de θ M es continua de S en S. Por lo tanto, la parte derecha de la igualdad (af, ϕ) = (f, aϕ) (4.17) es un funcional continuo en S. Estructura de las funciones generalizadas con soporte puntual. TEOREMA: Si el soporte de la función generalizada f es el punto ¦0¦, entonces ella se expresa de forma un´ıvoca por f(x) = m |α|=0 C α D α δ(x) (4.18) La demostraci´ on de este teorema es muy bonita, pero la obviamos, por ser muy larga. 92 José Mar´ın Antu˜ na 4.3 Transformada de Fourier de las funciones generalizadas de crecimiento lento La propiedad m´ as notable de las funciones generalizadas de crecimiento lento es que la operación transformada de Fourier no sale de los l´ımites de dicha clase. Veamos primero: 4.3.1 Transformada de Fourier de las funciones de base de S Como las funciones de base de S son absolutamente integrables en R n , para ellas está definida la operaci´ on de transformada de Fourier F: F[ϕ](ξ) = _ ϕ(x)e iξ·x dx, ∀ϕ ∈ S (4.19) La transformada de Fourier F[ϕ](ξ) es acotada y continua en R n . Como ϕ ∈ S decrece más rápidamente que cualquier potencia de 1 |x| , por lo tanto su transformada de Fourier puede derivarse cuantas veces se quiera bajo la integral: D α F[ϕ](ξ) = _ (ix) α ϕ(x)e iξ·x dx ≡ F[(ix) α ϕ](ξ) (4.20) Por lo tanto, F[ϕ] ∈ C ∞ (R n ). Por otra parte, cada derivada D α ϕ tiene transformada: F[D α ϕ](ξ) = _ D α ϕ(x)e iξ·x dx = (−iξ) α F[ϕ](ξ) (4.21) donde hemos aplicado la integraci´ on por partes α veces. Multipliquemos (4.20) por ξ β y trabajemos. Tenemos: ξ β D α F[ϕ](ξ) = ξ β F[(ix) α ϕ](ξ) = i |α| ξ β F[x α ϕ](ξ) = usando (4.21) = i |α| ξ β 1 (−i) β F[D β (x α ϕ)] = (−1) |β| i |α| i |β| F[D β (x α ϕ)] = i |α| (−1) |β| (−i) |β| F[D β (x α ϕ)] = i |α|+|β| F[D β (x α ϕ)](ξ) Funciones generalizadas de crecimiento lento 93 Es decir: ξ β D α F[ϕ](ξ) = i |α|+|β| F[D β (x α ϕ)](ξ) (4.22) de (4.22) se ve que: [ξ β D α F[ϕ](ξ)[ ≡ [i |α|+|β| ¸ ¸ ¸ ¸ _ D β (x α ϕ(x))e iξ·x dx ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ ¸ ¸ ¸ ¸ _ D β (x α ϕ(x))dx ¸ ¸ ¸ ¸ (4.23) O sea: Para cualesquiera α y β, ξ β D α F[ϕ](ξ) son expresiones uniformemente acotadas para ξ ∈ R n . Quiere decir (por la definici´ on de S), F[ϕ] ∈ S. Por lo tanto, la transformada de Fourier transforma el espacio S en s´ı mismo. Observación importante: La transformada de Fourier no transforma el espacio D en si mismo, pues la transformada de Fourier de una función finita es una función anal´ıtica en todo el plano (entera) y por el teorema de Liouville de la variable compleja,o no es finita o es cero. Como la transformada de Fourier F[ϕ] con ϕ ∈ S es integrable y derivable continuamente en R n , por lo tanto ϕ(x) se halla con la operación de transformada inversa F −1 aplicada a F[ϕ](ξ): ϕ(x) = F −1 [F[ϕ]] ≡ F[F −1 [ϕ]] (4.24) Aqu´ı, por definici´ on: F −1 [ψ](x) ≡ 1 (2π) n _ ψ(ξ)e −iξ·x dξ ≡ (se puede interpretar como) ≡ 1 (2π) n _ ψ(ξ)e iξ·(−x) dξ ≡ por la definición de transformada: ≡ 1 (2π) n F[ψ](−x) = haciendo el cambio de ξ por −ξ los menos se van al invertir los l´ımites de integración y queda = 1 (2π) n _ ψ(−ξ)e iξ·x dξ ≡ 1 (2π) n F[ψ(−ξ)](x) 94 José Mar´ın Antu˜ na O sea, para la transformada inversa se cumple F −1 [ψ](x) = 1 (2π) n F[ψ(−ξ)](x) (4.25) Se puede ver que: 1. Toda ϕ ∈ S es la transformada de Fourier de la función ψ = F −1 [ϕ] ∈ S. O sea, ϕ = F[ψ] y si F[ϕ] = 0, entonces ϕ = 0. Por lo tanto transforma S en S biun´ıvocamente. 2. La transformada de Fourier es continua de S en S. 4.3.2 Transformada de Fourier de funciones generalizadas de S / Veamos primero lo siguiente para las funciones ”normales”: Si f(x) es absolutamente integrable en R n , entonces su transformada de Fourier es F[f](ξ) = _ f(x)e iξ·x dx (4.26) que cumple que [F[f](ξ)[ ≤ _ [f(x)[dx < ∞ (4.27) F[f](ξ) aqu´ı es una funci´ on acotada y continua en R n . Por lo tanto, define a una funci´ on generalizada de S : (F[f](ξ), ϕ) ≡ _ F[f](ξ)ϕ(ξ)dξ (4.28) con ϕ ∈ S. Cambiemos el orden de integraci´ on: _ F[f](ξ)ϕ(ξ)dξ ≡ _ __ f(x)e iξ·x dx _ ϕ(ξ)dξ = = _ f(x) __ ϕ(ξ)e iξ·x dξ _ dx ≡ _ f(x)F[ϕ](x)dx Funciones generalizadas de crecimiento lento 95 O sea, (F[f], ϕ) = (f, F[ϕ]), ∀ϕ ∈ S (4.29) Por lo tanto tenemos la siguiente DEFINICION: Transformada de Fourier F[f] de f ∈ S (función generalizada de crecimiento lento) es el funcional que act´ ua seg´ un la regla: (F[f], ϕ) = (f, F[ϕ]), ∀f ∈ S , ϕ ∈ S (4.30) El lector debe comprobar que la parte derecha de (4.30) define a un funcional lineal y continuo en S, lo que equivale a decir que F[f] ∈ S . Por lo tanto, la operaci´ on transformada de Fourier transforma a S en S . A´ un m´ as: TEOREMA: F es una operaci´ on lineal y continua de S en S . DEMOSTRACION: Linealidad: Es evidente, pues es una integral. Continuidad: Sea f k →0, ∀k →∞; entonces por (4.30): (F[f k ], ϕ) = (f k , F[ϕ]) →0, ∀k →∞ (4.31) O sea: F[f k ] →0, ∀k →∞ (4.32) en S . LQQD. Por analog´ıa con la transformada de ϕ ∈ S, introduzcamos en S el operador F −1 : F −1 [f] = 1 (2π) n F[f(−x)] (4.33) con f ∈ S . TEOREMA: F −1 [f] dada por (4.32) es la transformada inversa; o sea: F −1 [F[f]] = f (4.34) 96 José Mar´ın Antu˜ na y F[F −1 [f]] = f (4.35) para todo f ∈ S . DEMOSTRACION: Del subep´ıgrafe anterior tenemos: ϕ(x) = F −1 [F[ϕ]] = F[F −1 [ϕ]] (4.36) y F −1 [ψ](x) = 1 (2π) n F[ψ(−ξ)] (4.37) Por lo tanto, tenemos: (F −1 [F[f]], ϕ) = 1 (2π) n (F[F[f](−ξ)], ϕ) = 1 (2π) n (F[f](−ξ), F[ϕ]) = arriba hemos tenido en cuenta (4.33) y (4.30). Haciendo el cambio de ξ por −ξ, tenemos: = 1 (2π) n (F[f], F[ϕ](−ξ)) = (F[f], F −1 [ϕ]) = = (f, F[F −1 [ϕ]]) = (f, ϕ) = (f, F −1 [F[ϕ]]) = = (F −1 [f], [ϕ]) = (F[F −1 [f]], ϕ) Aqu´ı hemos tenido en cuenta las expresiones (4.30), (4.36) y (4.37). As´ı queda demostrado el teorema. Es decir: F −1 [F[f]] = F[F −1 [f]] = f (4.38) Conclusi´ on de (4.38): Toda función generalizada f ∈ S es transformada de Fourier de la función generalizada g = F −1 [f] ∈ S . O sea, f = F[g] y si F[f] = 0, entonces f = 0. Conclusi´ on: La transformada de Fourier F y F −1 transforman a S en S de forma biun´ıvoca y continua. Sea ahora f(x, y) ∈ S (R n+m ), con x ∈ R n y y ∈ R m . Funciones generalizadas de crecimiento lento 97 DEFINICION: Transformada de Fourier respecto a x = (x 1 , ..., x n ): F x [f], es el funcional que act´ ua seg´ un: (F x [f], ϕ) = (f, F ξ [ϕ]) (4.39) para todo ϕ(x, y) ∈ S(R n+m ) Es demostrable que: F ξ [ϕ](x, y) = _ ϕ(x, y)e iξ·x dξ ∈ S(R n+m ) (4.40) y que F ξ [ϕ] es continua de S(R n+m ) en S(R n+m ), por lo que (4.39) define a una función generalizada, o sea, F x [f] ∈ S (R n+m ). Ejemplo: Demostrar que F[δ(x −x 0 )] = e iξ·x 0 (4.41) DEMOSTRACION: Tenemos: (F[δ(x −x 0 )], ϕ) = (δ(x −x 0 ), F[ϕ]) ≡ F[ϕ](x 0 ) ≡ _ ϕ(ξ)e iξ·x dξ = (e iξ·x 0 , ϕ) LQQD. Observación: Si en (4.41) tomamos x 0 = 0, entonces queda que F[δ] = 1 (4.42) Por lo tanto, teniendo en cuenta (4.33): δ = F −1 [1] ≡ 1 (2π) n F[1] (4.43) Conclusi´ on: F[1] = (2π) n δ(ξ) (4.44) Nota: La transformada de Fourier de f = 1 no tiene sentido clásicamente; sólo lo tiene como función generalizada. 98 José Mar´ın Antu˜ na 4.4 Propiedades de la transformada de Fourier 1. Derivada de la transformada: Para f ∈ S : D α F[f] = F[(ix) α f] (4.45) DEMOSTRACION: Sea ϕ ∈ S: (D α F[f](ξ), ϕ) = (−1) |α| (f(x), (−ix) α F[ϕ](x)) ≡ ((ix) α f(x), F[ϕ](x)) = (F[(ix) α f], ϕ) LQQD. En particular, para f = 1: F[i |α| x α ] = D α F[1] = (2π) n D α δ(ξ) (4.46) donde hemos tenido en cuenta (4.44). Por lo tanto: F[x α ] = (−i) |α| (2π) n D α δ(ξ) (4.47) La fórmula (4.47) s´ olo tiene sentido como funci´ on generalizada, pues la transformada clásica de Fourier de x α no existe. Utiles casos particulares: (En R 1 para simplificar) Para α = 0: _ ∞ −∞ e ikx dx = 2πδ(k) (4.48) Para α = 1: _ ∞ −∞ xe ikx dx = −2πδ (k) (4.49) etc. 2. Transformada de la derivada: Para f ∈ S : F[D α f] = (−iξ) α F[f] (4.50) DEMOSTRACION: Para ϕ ∈ S: (F[D α f], ϕ) = (D α f, F[ϕ]) = (−1) |α| (f(x), D α F[ϕ](x)) = = (−1) |α| (f(x), F[(iξ) α ϕ](x)) = (−1) |α| (F[f], (iξ) α ϕ) ≡ ((−iξ) α F[f], ϕ) LQQD. Funciones generalizadas de crecimiento lento 99 En particular: F[D α δ] = (−iξ) α (4.51) de donde: _ ∞ −∞ δ (α) (x)e ikx dx = (−ik) α (4.52) 3. Teorema del retardamiento: Para f ∈ S : F[f(x −x 0 )] = e ix 0 ·ξ F[f] (4.53) La demostraci´ on de esta propiedad queda al lector como ejercicio. 4. Teorema del desplazamiento: Para f ∈ S : F[f](ξ +ξ 0 ) = F _ e iξ 0 ·x f ¸ (ξ) (4.54) La demostraci´ on de esta propiedad también se deja al lector como ejercicio. 5. Teorema de la semejanza: Para f ∈ S y c ,= 0: F[f(cx)](ξ) = 1 [c[ n F[f] _ ξ c _ (4.55) Demostrar solos también. 6. Transformada de Fourier del producto directo: Para f ∈ S (R n ) y g ∈ S (R m ): F[f(x) g(y)] = F x [f(x) F[g](η)] = F y [F[f](ξ) g(y)] = F[f](ξ) F[g](η) (4.56) DEMOSTRACION: Sea ϕ(x, y) ∈ S(R n+m ). Entonces: (F[f(x) g(y)], ϕ) = (f(x) g(y), F[ϕ](x, y)) = por la definici´ on de producto directo = (f(x), (g(y), F[ϕ](x, y))) = (f(x), (g(y), F η F ξ [ϕ](x, y))) = = (f(x), (F[g](η), F ξ [ϕ](x, y))) = = (f(x) F[g](η), F ξ [ϕ](x, y)) = (F[f](ξ) F[g](η), ϕ) Pero también (f(x) F[g](η), F ξ [ϕ](x, y)) = (F x [f(x) F[g](η)], ϕ) (4.57) 100 José Mar´ın Antu˜ na y también (F[f](ξ) F[g](η), ϕ) = (F y [F[f](ξ) g(y)], ϕ) (4.58) de donde se demuestra (4.56). 7. F´ ormulas análogas para F x : Si f(x, y) ∈ S (R n+m ): D α x D β y F x [f] = F x [(ix) α D β y f] (4.59) F x [D α x D β y f] = (−iξ) α D β y F x [f] (4.60) 4.5 Transformada de Fourier de funciones generalizadas con soporte compacto TEOREMA: Si f es una función generalizada finita, entonces su transformada de Fourier pertenece a la clase θ M y se calcula por: F[f](ξ) = (f(x), η(x)e iξ·x ) (4.61) con η ∈ D cualquiera igual a 1 en el entorno de supp f. DEMOSTRACION: Se recuerda que: θ M son aquellas a(x) ∈ C ∞ (R n ) que crecen con sus derivadas con menor rapidez que un polinomio: [D α a(x)[ ≤ C α (1 +[x[) mα (4.62) Veamos; teniendo en cuenta la propiedad de la transformada de la derivada y el hecho de que (f, ϕ) = (f, ηϕ): (D α F[f], ϕ) = (−1) |α| (f, F[D α ϕ]) = (−1) |α| (f, η(x)(−ix) α F[ϕ]) ≡ ≡ (f(x), _ η(x)(ix) α ϕ(ξ)e iξ·x dξ) = (pues vimos que (f, _ ϕ(x, y)dy = _ (f, ϕ(x, y))dy) Funciones generalizadas de crecimiento lento 101 = _ (f, η(x)(ix) α e iξ·x ϕ(ξ)dξ ≡ ((f, η(x)(ix) α e iξ·x ), ϕ) de donde: D α F[f](ξ) = (f, η(x)(ix) α e iξ·x ) Para α = 0 se obtiene (4.61). Se puede demostrar que F[f] ∈ θ M . 4.6 Transformada de Fourier de la convolución TEOREMA: Sea f ∈ S y g una función generalizada finita. Entonces F[f ∗ g] = F[g]F[f] (4.63) DEMOSTRACION: Cuando definimos la convoluci´ on vimos que f ∗ g ∈ S y que se expresa as´ı: (f ∗ g, ϕ) = (f(x), (g(y), η(y)ϕ(x +y))), ∀ϕ ∈ S (4.64) donde η ∈ D y η = 1 en el entorno del soporte de g. Teniendo en cuenta ésto, veamos: (F[f ∗ g], ϕ) = (f ∗ g, F[ϕ]) = _ f(x), _ g(y), η(y) _ ϕ(ξ)e i(x+y)·ξ dξ __ (4.65) Por el teorema visto en la secci´ on anterior, F[g] ∈ θ M . Teniendo en cuenta, adem´ as, que _ f, _ ϕ(x, y)dy _ = _ (f, ϕ(x, y))dy y que F[g] = (g(x), η(x)e iξ·x ) por el teorema final de la sección anterior tenemos que de (4.65) se obtiene: 102 José Mar´ın Antu˜ na (F[f ∗ g], ϕ) = _ f(x), _ (g(y), η(y)e iy·ξ )e ix·ξ ϕ(ξ)dξ _ = como (g(y), η(y)e iy·ξ ≡ F[g](ξ), = _ f(x), _ F[g](ξ)e ix·ξ ϕ(ξ)dξ _ ≡ (F[f], F[g]ϕ) ≡ (F[f]F[g], ϕ) con lo que queda demostrado el teorema. 4.7 Ejemplos, n=1 1. f[θ(R −[x[)] = _ R −R e iξx dx = 1 iξ e iξx [ R −R = e iξR −e −iξR iξ = 2 sin ξR ξ (4.66) 2. F[e −α 2 x 2 ] = _ ∞ −∞ e −α 2 x 2 e iξx dx = √ π α exp _ − −ξ 2 4α 2 _ (4.67) 3. Demostrar que F[e ix 2 ] = √ π exp _ i 4 (ξ 2 −π) _ (4.68) Sea ϕ ∈ D con supp ϕ ⊂ (−R, R). Entonces: (F[e ix 2 ], ϕ) = (e ix 2 , F[ϕ]) = _ e ix 2 F[ϕ](x)dx = = lim N→∞,M→∞ _ N −M e ix 2 _ R −R ϕ(ξ)e ixξ dξdx = lim N→∞,M→∞ _ R −R ϕ(ξ) _ N −M e ix 2 +ixξ dxdξ Calculemos: lim N→∞,M→∞ _ N −M e ix 2 +ixξ dx = lim N→∞,M→∞ _ N −M e i(x 2 +xξ+ξ 2 /4−ξ 2 /4) dx = = lim N→∞,M→∞ _ N −M e i(x+ξ/2) 2 −iξ 2 /4 dx = e −iξ 2 /4 lim N→∞,M→∞ _ N+ξ/2 −M+ξ/2 e iy 2 dy = = e −iξ 2 /4 _ ∞ −∞ e iy 2 dy = e −iξ 2 /4 √ πe iπ/4 = √ π exp _ i 4 (ξ 2 −π) _ As´ı pues: Funciones generalizadas de crecimiento lento 103 (F[e ix 2 ], ϕ) = _ R −R √ π exp _ i 4 (ξ 2 −π) _ ϕ(ξ)dξ ≡ _ √ π exp _ i 4 (ξ 2 −π) _ , ϕ _ LQQD. Una necesaria observación: La demostraci´ on de arriba fue hecha para ϕ ∈ D, pero como vimos que D es denso en S, por lo tanto la demostraci´ on es válida para las funciones de base de S. 4. Demostrar que: F[θ] = πδ(ξ) +iP 1 ξ (4.69) F[θ(−x)] = πδ(ξ) −iP 1 ξ (4.70) DEMOSTRACION: Para todo a > 0 tenemos que: F[θ(x)e −ax ] = _ ∞ −∞ θ(x)e −ax e iξx dx = = _ ∞ 0 e i(ξ+ia)x i(ξ +ia) [ ∞ 0 = i ξ +ia (4.71) pues Re[i(ξ +ia)] ≡ −a < 0. Por lo tanto: lim a→0+ F[θ(x)e −ax ] = lim a→0+ i ξ +ia de donde F[θ(x)] = i ξ +i0 pero, la fórmula de Sojotsky (1.59) era: 1 ξ +i0 = −iπδ(ξ) +P 1 ξ por lo que, efectivamente, se verifica la validez de (4.69). (4.70) se demuestra de manera análoga, lo que se deja al lector como ejercicio. 5. Demostrar que: F _ P 1 [x[ _ = −2C −2 ln [ξ[ (4.72) donde C es la constante de Euler: 104 José Mar´ın Antu˜ na C = _ 1 0 1 −cos u u du − _ ∞ 1 cos u u du (4.73) y la función generalizada P 1 |x| se define formalmente como: _ P 1 [x[ , ϕ _ = _ |x|<1 ϕ(x) −ϕ(0) [x[ dx + _ |x|>1 ϕ(x) [x[ (4.74) DEMOSTRACION: Para ϕ ∈ S tenemos: Funciones generalizadas de crecimiento lento 105 _ F _ P 1 [x[ _ , ϕ _ = _ P 1 [x[ , F[ϕ] _ = _ 1 −1 F[ϕ](x) −F[ϕ](0) [x[ dx + _ |x|>1 F[ϕ](x) [x[ dx = = _ 1 −1 1 [x[ __ ∞ −∞ ϕ(ξ)e iξx dξ − _ ∞ −∞ ϕ(ξ)e iξ0 dξ _ dx + _ |x|>1 1 [x[ _ ∞ −∞ ϕ(ξ)e iξx dξdx = = _ 1 −1 1 [x[ _ ∞ −∞ ϕ(ξ)(e iξx −1)dξdx + _ |x|>1 1 [x[ _ ∞ −∞ ϕ(ξ)e iξx dξdx = = _ 0 −1 1 −x _ ∞ −∞ ϕ(ξ)(e iξx −1)dξdx + _ 1 0 1 x _ ∞ −∞ ϕ(ξ)(e iξx −1)dξdx + + _ −1 −∞ 1 −x _ ∞ −∞ ϕ(ξ)e iξx dξdx + _ ∞ 1 1 x _ ∞ −∞ ϕ(ξ)e iξx dξdx = = _ 1 0 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) e −iξx −1 x dξdx + _ 1 0 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) e iξx −1 x dξdx + + _ ∞ 1 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) e −iξx x dξdx + _ ∞ 1 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) e iξx x dξdx = = 2 _ 1 0 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) cos ξx −1 x dξdx + 2 _ ∞ 1 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) cos ξx x dξdx = = 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) _ 1 0 cos ξx −1 x dxdxi −2 _ ∞ 1 _ ∞ −∞ ϕ (ξ) sin ξx x 2 dξdx = = 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) _ ξ 0 cos u −1 u dudξ −2 _ ∞ −∞ ϕ (ξ) _ ∞ 1 sin ξx x 2 dxdξ = = 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) _ ξ 0 cos u −1 u dudξ − −2 _ ∞ −∞ ∂ ∂ξ _ ϕ(ξ) _ ∞ 1 sin ξx x 2 dx _ dξ + 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) ∂ ∂ξ _ ∞ 1 sin ξx x 2 dxdξ = = 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) __ ξ 0 cos u −1 u du + _ ∞ ξ cos u u du _ dξ = = 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) __ 1 0 cos u −1 u du + _ ξ 1 cos u u du − _ ξ 1 du u + _ ∞ ξ cos u u _ dξ = = −2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) __ 1 0 1 −cos u u du − _ ∞ 1 cos u u du + ln [ξ[ _ dξ ≡ ≡ −2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ)(C + ln [ξ[)dξ ≡ (−2(C + ln [ξ), ϕ) LQQD! 6. Anteriormente, establecimos la fórmula (2.44): ∞ k=−∞ δ(x −2πk) = 1 2π ∞ k=−∞ e ikx lo que es v´ alido también en S . Y como por (4.41) F[δ(x −k)] = e ikx , por lo tanto: 106 José Mar´ın Antu˜ na 2π ∞ k=−∞ δ(x −2πk) = ∞ k=−∞ F[δ(x −k)] Apliquemos esta igualdad a ϕ ∈ S: A la izquierda tenemos: 2π _ ∞ k=−∞ δ(x −2πk), ϕ _ = 2π ∞ k=−∞ (δ(x −k), ϕ) = 2π ∞ k=−∞ ϕ(2πk) y, a la derecha: _ ∞ k=−∞ F[δ(x −k)], ϕ _ = ∞ k=−∞ (δ(x −k), F[ϕ]) = ∞ k=−∞ F[ϕ](k) Por lo tanto, queda: 2π ∞ k=−∞ ϕ(2πk) = ∞ k=−∞ F[ϕ](k) (4.75) que se conoce con el nombre de F´ ormula de suma de Poisson. Si en esta f´ ormula tomamos: ϕ(x) = exp _ − tx 2 4π 2 _ entonces: F[ϕ](ξ) = 2π √ π √ t exp _ − ξ 2 π 2 t _ , ∀t > 0 y se obtiene: ∞ k=−∞ e −tk 2 = _ π t ∞ k=−∞ exp _ − k 2 π 2 t _ (4.76) La fórmula (4.76) aparece en la teor´ıa de funciones el´ıpticas. Funciones generalizadas de crecimiento lento 107 4.8 Ejemplos, n ≥ 2 1. Sea δ S R la capa simple sobre la esfera S R en R 3 . Demostrar que F[δ S R ] = 4πR sin R[ξ[ [ξ[ (4.77) DEMOSTRACION: Como δ S R es una función finita, aplicamos la f´ ormula (4.61): F[f] = (f, η(x)e iξ·x ). Tene- mos: F[δ S R ] = (δ S R (x), η(x)e iξ·x = _ S R e iξ·x dS x pues η(x) = 1 en el soporte de δ S R , o sea, sobre S R . Pero S x = R 2 sin θdθdϕ y, como al recorrer S R , ϕ y θ recorren todos sus valores, colocamos ξ en la dirección de Ox 3 . Entonces, ξ x = [ξ[[x[ cos θ = [ξ[Rcos θ y, por lo tanto: F[δ S R ] = R 2 _ π 0 _ 2π 0 e iR|ξ| cos θ sin θdθdϕ = 2πR 2 _ π 0 e iR|ξ| cos θ sin θdθ = = 2πR 2 _ 1 −1 e iR|ξ|y dy = 2πR i[ξ[ [e iR|ξ| −e −iR|ξ| = 4πR sin R[ξ[ ξ LQQD. 2. Sea n = 2. DEFINICION: P 1 |x| 2 ∈ S se define como: _ P 1 [x[ 2 , ϕ _ = _ |x|<1 ϕ(x) −ϕ(0) [x[ 2 + _ |x|>1 ϕ(x) [x[ 2 (4.78) Entonces, demostrar que: F _ P 1 [x[ 2 _ = −2π ln [ξ[ −2πC 0 (4.79) donde C 0 = _ 1 0 1 −J 0 (u) u du − _ ∞ 1 J 0 (u) u du (4.80) DEMOSTRACION: Tenemos: 108 José Mar´ın Antu˜ na _ F _ P 1 [x[ 2 _ , ϕ _ = _ P 1 [x[ 2 , F[ϕ] _ = = _ |x|<1 F[ϕ](x) −F[ϕ](0) [x[ 2 dx + _ |x|>1 F[ϕ](x) [x[ 2 dx = = _ |x|<1 1 [x[ 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ)[e ix·ξ −1]dξdx + _ |x|>1 1 [x[ 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ)[e ix·ξ dξdx = = _ 1 0 1 r 2 _ 2π 0 _ ∞ −∞ ϕ(ξ)[e ir|ξ| cos ϕ −1]rdrdϕdξ + + _ ∞ 1 1 r 2 _ 2π 0 _ ∞ −∞ ϕ(ξ)e ir|ξ| cos ϕ rdrdϕdξ = = _ 1 0 1 r _ ∞ −∞ ϕ(ξ) __ 2π 0 e ir|ξ| cos ϕ dϕ −2π _ dξdr + + _ ∞ 1 1 r _ ∞ −∞ ϕ(ξ) __ 2π 0 e ir|ξ| cos ϕ dϕ _ dξdr Pero: J 0 (x) = 1 2π _ 2π 0 e ixcos ϕ dϕ (4.81) es la integral de Bessel. Por lo tanto, _ F _ P 1 [x[ 2 _ , ϕ _ = 2π _ 1 0 1 r _ ∞ −∞ ϕ(ξ)[J 0 (r[ξ[) −1]dξdr + 2π _ ∞ 1 _ ∞ −∞ ϕ(ξ)J 0 (r[ξ[)dξdr = = 2π _ ∞ −∞ ϕ(ξ) __ 1 0 J 0 (r[ξ[) −1 r _ dξ + 2π _ ∞ −∞ ϕ(ξ) _ ∞ 1 J 0 (r[ξ[) r drdξ = = 2π _ ∞ −∞ ϕ(ξ) _ _ |ξ| 0 J 0 (u) −1 u du + _ ∞ |ξ| J 0 (u) u du _ dξ (4.82) Analicemos la expresión entre llaves en (4.82): _ _ |ξ| 0 J 0 (u) −1 u du + _ ∞ |ξ| J 0 (u) u du _ = = _ 1 0 J 0 (u) −1 u du + _ |ξ| 1 J 0 (u) −1 u du + _ ∞ |ξ| J 0 (u) u du = = _ 1 0 J 0 (u) −1 u du + _ |ξ| 1 J 0 (u) −1 u du + _ ξ 1 J 0 (u) u du − _ ξ 1 du u + _ ∞ |ξ| J 0 (u) u du = = − _ 1 0 1 −J 0 (u) u du −ln [ξ[ + _ ∞ 1 J 0 (u) u du = = − __ 1 0 1 −J 0 (u) u du − _ ∞ 1 J 0 (u) u du _ −ln [ξ[ ≡ −C 0 −ln [ξ[ Funciones generalizadas de crecimiento lento 109 Por lo tanto: _ F _ P 1 [x[ 2 _ , ϕ _ = −2π _ ∞ −∞ ϕ(ξ)(C 0 + ln [ξ[)dξ ≡ ≡ (−2πC 0 −2π ln [ξ[, ϕ) (4.83) LQQD. 3. Demostrar que: F _ θ(R −[x[) _ R 2 −[x[ 2 _ = 2π sin R[ξ[ [ξ[ , ∀n = 2 (4.84) teniendo en cuenta la identidad _ 1 0 J 0 (xy)xdx √ 1 −x 2 = 1 y sin y (4.85) DEMOSTRACION: Tenemos que: F _ θ(R −[x[) _ R 2 −[x[ 2 _ = _ |x|<R e iξ·x dx _ R 2 −[x[ 2 = = _ R 0 _ 2π 0 e ir|ξ| cos ϕ √ R 2 −r 2 rdrdϕ = _ R 0 r √ R 2 −r 2 _ 2π 0 e ir|ξ| cos ϕ dϕdr = = 2π _ R 0 rJ 0 (r[ξ[)dr √ R 2 −r 2 = 2πR _ 1 0 uJ 0 (R[ξ[u)du √ 1 −u 2 = 2π sin R[ξ[ [ξ[ LQQD. 4. Demostrar que: F _ 1 z _ = 2πi ζ (4.86) DEMOSTRACION: Vimos anteriormente la f´ ormula (2.156): ∂ ∂z ∗ 1 z ≡ 1 2 _ ∂ ∂x +i ∂ ∂y _ 1 z = πδ Por lo tanto: 1 2 F __ ∂ ∂x +i ∂ ∂y _ 1 z _ = πF[δ] = π (4.87) La parte izquierda es: 110 José Mar´ın Antu˜ na = 1 2 _ f _ ∂ ∂x 1 z _ +iF _ ∂ ∂y 1 z __ = 1 2 _ −iξF _ 1 z _ +i(−iη)F _ 1 z __ = = 1 2 (−i)F _ 1 z _ (ξ +iη) Por lo tanto: − iζ 2 F _ 1 z _ = π De donde se obtiene (4.86). 5. Demostrar que: F _ 1 [x[ 2 _ = 2π 2 [ξ[ , ∀n = 3 (4.88) DEMOSTRACION: Como 1 |x| 2 es localmente integrable en R 3 , tenemos: _ f _ 1 [x[ 2 _ , ϕ _ = _ 1 [x[ 2 , F[ϕ] _ = _ R 3 1 [x[ 2 f[ϕ]dx = = lim R→∞ _ |x|<R 1 [x[ 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ)e iξ·x dξdx = lim R→∞ _ ∞ −∞ ϕ(ξ) _ |x|<R e iξ·x [x[ 2 dxdξ = = lim R→∞ _ ∞ −∞ ϕ(ξ) _ R 0 _ π 0 _ 2π 0 e i|ξ|r cos θ r 2 r 2 dr sin θdθdϕdξ = = 2π lim R→∞ _ ∞ −∞ ϕ(ξ) _ R 0 _ 1 −1 e i|ξ|ry drdydξ i[ξ[r i[ξ[r = = 2π lim R→∞ _ ∞ −∞ ϕ(ξ) _ R 0 e i|ξ|ry i[ξ[r [ 1 −1 drdξ = 4π _ ∞ −∞ ϕ(ξ) [ξ[ _ R 0 sin [ξ[r r drdξ = (esta integral converge para [ξ[ ,= 0) = 4π _ ∞ −∞ ϕ(ξ) [ξ[ dξ π 2 = 2π 2 _ ∞ −∞ ϕ(ξ) [ξ[ dξ ≡ _ 2π 2 [ξ[ , ϕ _ LQQD. 4.9 Ejercicios del Cap´ıtulo Demostrar: Funciones generalizadas de crecimiento lento 111 1. F _ 1 x _ = iπsignξ (4.89) 2. F[signx] = 2iP 1 ξ (4.90) 3. F[θ(x)x] = −iπδ (ξ) −P 1 ξ 2 (4.91) 4. F _ P 1 x 2 _ = −π[ξ[ (4.92) 5. F[[x[] = −2P 1 ξ 2 (4.93) 112 José Mar´ın Antu˜ na Cap´ıtulo 5 Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 5.1 Solución generalizada de una ecuación Sea a α ∈ C ∞ (R n ) y la ecuaci´ on diferencial lineal de orden m: m |α|=0 a α (x)D α u = f(x) (5.1) con f ∈ D . Introduzcamos la notación: L(x, D) ≡ m |α|=0 a α (x)D α (5.2) que es un operador diferencial lineal. Entonces, la ecuaci´ on adopta la forma: L(x, D)u = f(x) (5.3) DEFINICION: Se llama Solución generalizada de (5.1) en la regi´ on G a la funci´ on generalizada u ∈ D tal que para toda ϕ ∈ D(G): (L(x, D)u, ϕ) = (f, ϕ) (5.4) O sea, satisface la ecuaci´ on en sentido generalizado. 113 114 José Mar´ın Antu˜ na La expresión (5.4) es equivalente a (u, L ∗ (x, D)ϕ) = (f, ϕ) (5.5) donde L ∗ (x, D)ϕ ≡ m |α|=0 (−1) |α| D α (a α ϕ) (5.6) lo que puede demostrarse con facilidad a partir de lo estudiado en los cap´ıtulos anteriores. TEOREMA 1: Toda solución cl´ asica es a la vez generalizada. DEMOSTRACION: Es obvio, pues si es cl´ asica, entonces para cualquier ϕ ∈ D(G) cumple también (5.4) y, por lo tanto, es generalizada. TEOREMA 2: Si f ∈ C(G) y en G la solución generalizada u(x) de (5.1) pertenece a C m (G), entonces también es solución clásica de (5.1) en G. DEMOSTRACION: Como u ∈ D ∩C m (G), por lo tanto, las derivadas clásicas y las generalizadas coinciden. Como, por hip´ otesis, u es solución generalizada de (5.1), por lo tanto L(x, D)u − f ≡ 0 en el sentido de las funciones generalizadas. Pero, por el Lema de du Bois-Reymond, que dec´ıa: ”Para que f(x) localmente integrable en G sea cero en G en el sentido de las funciones generalizadas, es necesario y suficiente que f(x) = 0 en casi todo punto de G”, tenemos que, por lo tanto, L(x, D)u−f(x) = 0 en G, lo que significa que se cumple la ecuaci´ on en sentido clásico, lo que significa que u es también soluci´ on clásica. LQQD. 5.2 Solución fundamental Sean a α (x) ≡ a α = const. Entonces L(x, D) se convierte en L(D) = m |α|=0 a α D α (5.7) y Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 115 L ∗ (D) = L(−D) (5.8) DEFINICION: Solución fundamental (función de influencia) del operador diferencial L(D) se llama a la funci´ on generalizada E ∈ D que satisface en R n la ecuación L(D)E = δ(x) (5.9) TEOREMA: La soluci´ on fundamental no es ´ unica: se determina con exactitud de un sumando que es solución de la ecuación homogénea L(D)E 0 = 0. DEMOSTRACION: Por hip´ otesis, L(D)E = δ(x) y L(D)E 0 = 0. Por lo tanto: L(D)(E +E 0 ) = δ(x) LQQD. TEOREMA (importante): Para que E ∈ S sea soluci´ on fundamental del operador L(D) es necesario y suficiente que su transformada de Fourier F[E] cumpla la ecuaci´ on L(−iξ)F[E] = 1 (5.10) donde L(ξ) = m |α|=0 a α ξ α (5.11) DEMOSTRACION: Necesidad: Aqu´ı la hipótesis es: L(D)E = δ(x). Apliquemos Fourier: F[L(D)E] = 1. Pero: F[L(D)E] = F _ _ m |α|=0 a α D α E _ _ = m |α|=0 a α F[D α E] = (teniendo en cuenta la propiedad de la transformada de la derivada) = m |α|=0 a α (−iξ) α F[E] ≡ L(−iξ)F[E] (5.12) 116 José Mar´ın Antu˜ na Por lo tanto, efectivamente L(−iξ)F[E] = 1. Es decir, (5.10). Demostrada la necesidad. Suficiencia: Por hip´ otesis ahora se cumple (5.10). Pero por (5.12) ésto significa que F[L(D)E] = 1 ≡ F[δ] Es decir, L(D)E = δ(x), lo que significa que E(x) es la soluci´ on fundamental. Demostrada la suficiencia. Demostrado el teorema. Conclusi´ on del teorema: La construcci´ on de soluciones fundamentales de crecimiento lento de operadores diferenciales lineales equivale a resolver en S ecuaciones algebráicas del tipo P(ξ)X = 1 (5.13) donde P es cierto polinomio. Denotemos por N p = ¦ξ[P(ξ) = 0¦ al conjunto de ceros del polinomio P(ξ). Entonces, ∀ξno ∈ N p , la soluci´ on de (5.13) coincide en D con 1 P(ξ) , y si N p ,= ¸, entonces la soluci´ on de (5.13) no es ´ unica y las distintas soluciones se diferencian entre s´ı en una función generalizada con soporte en N p . Ejemplo 1 La ecuación ξX = 1 tiene por soluciones generalizadas las funciones generalizadas P 1 ξ (5.14) 1 ξ +i0 (5.15) 1 ξ −i0 (5.16) donde, por las f´ ormulas de Sojotsky (1.59) y (1.60): Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 117 1 ξ +i0 −P 1 ξ = −iπδ(ξ) (5.17) 1 ξ −i0 −P 1 ξ = iπδ(ξ) (5.18) 1 ξ +i0 − 1 ξ −i0 = −2iπδ(ξ) (5.19) Las expresiones dadas por las f´ ormulas (5.17), (5.18) y (5.19) son funciones generalizadas con soporte en N p = ¦ξ = 0¦. Ejemplo 2 Sea la ecuaci´ on dE dx +aE = δ(x) (5.20) Aplicamos la Transformada de Fourier: (−ix +a)F[E] = 1 (5.21) de donde F‘[E] = i x +ia (5.22) Aqu´ı, N p = ¸, pues no hay ceros sobre el eje real. Por lo tanto, E(x) = i 2π _ ∞ −∞ e −ixξ dξ ξ +ia = i 2π _ −2πiRes _ e −ixξ ξ +ia , −ia __ = e −ax Por lo tanto: E(x) = e −ax (5.23) De esta manera es como se opera. De los ejemplos podemos afirmar lo siguiente: 1. Si 1 P(ξ) es localmente integrable en R n (en R 1 en el segundo ejemplo), entonces el funcional regular definido por ella es solución en S de la ecuación (5.13). 118 José Mar´ın Antu˜ na 2. Pero si 1 P(ξ) no es localmente integrable en R n (en R 1 en el primer ejemplo), entonces Hermander en 1959 demostró que la ecuaci´ on (5.13) siempre es soluble en S . Llamemos reg 1 P(ξ) a una soluci´ on cualquiera de (5.13) en S . Su construcci´ on depende esencialmente de la estructura del conjunto N p y se hace concretamente para cada polinomio concreto P(ξ). Entonces, la ecuaci´ on (5.10) siempre es soluble en S : F[E] = reg 1 L(−iξ) (5.24) Por lo tanto, todo operador diferencial lineal L(D) con coeficientes constantes tiene soluci´ on fundamental de crecimiento lento que se calcula as´ı: E(x) = F −1 _ reg 1 L(−iξ) _ ≡ 1 (2π) n F _ reg 1 L(iξ) _ (5.25) Este resultado ser´ a aplicado más adelante. Ahora continuaremos viendo otras cosas generales. 5.3 Ecuación con parte derecha Veamos la ecuación L(D)u = f(x) (5.26) con f arbitraria. TEOREMA: Sea f ∈ D tal que en D exista la convolución E ∗ f. Entonces, la soluci´ on de (5.26) existe en D , es ´ unica y viene dada por u = E ∗ f (5.27) DEMOSTRACION: Sabemos que D α f ∗ g = D α f ∗ g = D α (f ∗ g) = f ∗ D α g Además, por definici´ on: L(D)E = δ(x). Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 119 Por lo tanto, L(D)(E ∗ f) ≡ L(D)E ∗ f ≡ δ ∗ f ≡ f lo que significa que, efectivamente (5.27) da la solución de (5.26). Demostremos ahora la unicidad. Lo haremos por reducci´ on al absurdo: Supongamos dos soluciones u 1 y u 2 . Entonces, para u = u 1 −u 2 tendremos que L(D)u = 0 (5.28) cuya soluci´ on es sólo la trivial. Efectivamente, teniendo en cuenta (5.28): u ≡ u ∗ δ ≡ u ∗ L(D)E ≡ L(D)u ∗ E ≡ 0 Demostrado el teorema. COROLARIO: Si u ∈ D y existe en D la convolución u ∗ E, entonces es v´ alida la igualdad u = L(D)u ∗ E (5.29) Sentido f´ısico de la soluci´ on (5.27) Como la fuente puede representarse as´ı: f(x) = δ ∗ f = _ f(ξ)δ(x −ξ)dξ (5.30) y como L(D)E = δ(x), por lo tanto, cada fuente puntual f(ξ)δ(x−ξ) tiene como respuesta del sistema la influencia puntual f(ξ)E(x −ξ). Por lo tanto, la solución u(x) = E ∗ f ≡ _ f(ξ)E(x −ξ)dξ es la superposici´ on de estas influencias puntuales. 5.4 Método del descenso Sea la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes en R n+1 de las variables (x, t) ≡ (x 1 , x 2 , ..., x n , t): 120 José Mar´ın Antu˜ na L _ D, ∂ ∂t _ u = f(x) δ(t) (5.31) con f ∈ D (R n ) y donde L _ D, ∂ ∂t _ = p q=1 ∂ q ∂t q L q (D) +L 0 (D) (5.32) y L q (D) son operadores diferenciales en las variables x. Sea la función generalizada u ∈ D (R n+1 ) y supongamos que admite una prolongación a funciones del tipo ϕ(x)1(t) con ϕ ∈ D(R n ) en el siguiente sentido: Para cualquier sucesi´ on η k (t) ∈ D(R 1 ), k = 1, 2, ... convergente a 1 en R 1 existe el l´ımite: lim k→∞ (u, ϕ(x)η k (t)) = (u, ϕ(x)1(t)) (5.33) y este l´ımite no depende de la sucesi´ on ¦η k (t)¦. Denotemos por u 0 al funcional (5.33): (u 0 , ϕ) = (u, ϕ(x)1(t)) = lim k→∞ (u, ϕ(x)η k (t)) (5.34) para todo ϕ ∈ D(R n ). Este funcional (se ve que) es lineal y continuo; o sea, pertenece a D (R n ) y se llama prolongaci´ on de la funci´ on u. Como el espacio D (R n ) es completo, también el l´ımite u 0 ∈ D (R n ). Ejemplos de c´ omo construir la prolongación u 0 . a) Sea u(x, t) tal que _ [u(x, t)[dt es localmente integrable en R n . Entonces, u 0 (x) es localmente integrable en R n y se expresa por la integral: u 0 (x) = _ ∞ −∞ u(x, t)dt (5.35) Efectivamente: u(x, t) es localmente integrable en R n+1 y, por lo tanto, el l´ımite (5.33) es: Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 121 lim k→∞ (u, ϕ(x)η k (t)) = lim k→∞ _ u(x, t)ϕ(x)η k (t)dxdt = = _ u(x, t)ϕ(x)dxdt = _ ϕ(x) _ ∞ −∞ u(x, t)dtdx (5.36) que existe ∀ϕ ∈ D(R n ) y no depende de ¦η k (t)¦. Por lo tanto, por (5.34) se obtiene (5.35). b) Sea u(x, t) = f(x) δ(t), con f ∈ D (R n ). Entonces, u 0 = f, pues: (u 0 , ϕ) = lim k→∞ (u, ϕ(x)η k (t)) = lim k→∞ (f(x) δ(t), ϕ(x)η k (t)) = = lim k→∞ (f(x), ϕ(x)η k (0)) = (f, ϕ) (5.37) para todo ϕ ∈ D(R n ). LQQD. Tiene lugar el siguiente, TEOREMA: Si la soluci´ on u ∈ D (R n+1 ) de la ecuación (5.31) admite la prolongación (5.34), entonces, la función generalizada u 0 ∈ D (R n ) satisface la ecuaci´ on L 0 (D)u 0 = f(x) (5.38) DEMOSTRACION: Sea ¦η k (t)¦ →1 en R 1 para k →∞. Entonces, para q = 1, 2, ... se cumple que ¦η k (t) +η (q) k (t)¦ →1 (5.39) en R 1 también para todo ϕ ∈ D(R n ): lim k→∞ (u, ϕ(x)η (q) k (t)) ≡ ≡ lim k→∞ (u, ϕ(x)[η k (t) +η (q) k (t)]) − lim k→∞ (u, ϕ(x)η k (t)) = (u 0 , ϕ) −(u 0 , ϕ) ≡ 0 (5.40) Teniendo en cuenta (5.40), comprobemos que la función generalizada u 0 cumple (5.38): 122 José Mar´ın Antu˜ na (L 0 (D)u 0 , ϕ) = (u 0 , L 0 (−D)ϕ) = lim k→∞ (u, L 0 (−D)ϕ(x)η k (t)) = = lim k→∞ (u, L 0 (−D)ϕ(x)η k (t)) + lim k→∞ _ u, p q=1 (−1) q L q (−D)ϕ(x)η (q) k (t) _ = (5.41) (el segundo sumando en (5.41) es cero por (5.40), o sea, sumamos un cero) = lim k→∞ _ u, _ L 0 (−D) + p q=1 _ − ∂ ∂t _ q L q (−D) _ ϕ(x)η k (t) _ = = lim k→∞ _ u, L _ −D, − ∂ ∂t _ ϕ(x)η k (t) _ = lim k→∞ _ L _ D, ∂ ∂t _ u, ϕ(x)η k (t) _ = (5.42) (por (5.31)) = lim k→∞ (f(x) δ(t), ϕ(x)η k (t)) = lim k→∞ (f(x), ϕ(x)η k (0)) = (f, ϕ) (5.43) Por lo tanto, queda demostrado que L 0 (D)u 0 = f en sentido generalizado. Demostrado el teorema. El método para obtener la soluci´ on u 0 de (5.38) con n variables a partir de la solución u(x, t) de (5.31) con n + 1 variables se llama Método del descenso respecto a la variable t o Método de Hadamard. Es muy ´ util y c´ omodo para construir funciones fundamentales. Efectivamente, aplicando el teorema para f = δ(x): Si E(x, t), solución fundamental de L _ D, ∂ ∂t _ admite una prolongaci´ on E 0 del tipo (5.34), entonces la funci´ on generalizada (E 0 , ϕ) = (E, ϕ(x)1(t)), ∀ϕ ∈ D(R n ) (5.44) es la solución fundamental de L 0 (D). En particular, si E(x, t) es tal que _ [E(x, t)[dt es localmente integrable en R n , entonces: E(x) = _ ∞ −∞ E(x, t)dt (5.45) Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 123 Aunque más adelante aplicaremos todo ésto para hallar soluciones fundamentales de importancia y utilidad para la F´ısica, a continuación veremos el caso particular de un operador con derivadas ordinarias. 5.5 Solución fundamental del operador diferencial lineal con derivadas ordinarias En un ejemplo en un cap´ıtulo anterior, donde analizamos la funci´ on (2.65) demostramos que E(t) = θ(t)Z(t) (5.46) es la solución de la ecuaci´ on LE ≡ d n E dt n +a 1 d n−1 E dt n−1 +... +a n E = δ(t) (5.47) donde Z(t) es la solución del problema de Cauchy: LZ = 0 (5.48) Z(0) = Z (0) = ... = Z (n−2) (0) = 0; Z (n−1) (0) = 1 Ahora podemos afirmar que (5.46) es la solución fundamental de ese operador. Dos casos particulares de interés para las aplicaciones f´ısicas son: 1. L = d dt +a (5.49) Entonces el problema (5.48) es: dZ dt +aZ = 0 (5.50) Z(0) = 1 cuya soluci´ on es Z(t) = e −at (5.51) Por lo tanto, E(t) = θ(t)e −at (5.52) 124 José Mar´ın Antu˜ na 2. L = d 2 dt 2 +a 2 (5.53) Entonces el problema (5.48) es: d 2 Z dt 2 +a 2 Z = 0 (5.54) Z(0) = 0, Z (0) = 1 cuya soluci´ on es: Z(t) = sin at a (5.55) Por consiguiente, E(t) = θ(t) sin at a (5.56) 5.6 Soluci´ on fundamental del operador de conducción del calor Busquemos la solución fundamental del operador que describe la propagaci´ on de calor o la difusión. Sea ∂E ∂t −a 2 ∇ 2 E = δ(x, t) (5.57) Apliquemos el método explicado en los ep´ıgrafes anteriores: Aplicamos la transformada de Fourier respecto a la variable espacial x: F x _ ∂E ∂t _ −a 2 F x [∇ 2 E] = F x [δ(x, t)] = F x [δ(x) δ(t)] = 1(ξ)δ(t) Además: F x _ ∂E ∂t _ = ∂ ∂t F x [E] y Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 125 F x [∇ 2 E] = −[ξ[ 2 F x [E] Por lo tanto, queda: ∂E(ξ, t) ∂t +a 2 [ξ[ 2 E(ξ, t) = 1(ξ)δ(t) (5.58) donde hemos llamado E(ξ, t) a la transformada de Fourier de E(x, t). O sea: E(ξ, t) ≡ F x [E](ξ, t) (5.59) Por (5.52) tenemos que: E(ξ, t) = θ(t)e −a 2 |ξ| 2 t (5.60) Por lo tanto, aplicando la transformada inversa: E(x, t) = θ(t) (2π) n _ e −a 2 |ξ| 2 t−iξ·x dξ = ... = θ(t) (2a √ πt) n exp _ − [x[ 2 4a 2 t _ (5.61) que se obtiene por métodos tradicionales de cálculo. 5.7 Solución fundamental del operador de onda (D’A- lembert) Sea ∂ 2 E n ∂t 2 −a 2 ∇ 2 E n = δ(x, t) (5.62) y sea E n (ξ, t) = F x [E n (x, t)] (5.63) la transformada de Fourier de la soluci´ on fundamental E(x, t). Entonces, aplicando transformada de Fourier a (5.62) se obtiene 126 José Mar´ın Antu˜ na ∂ 2 E n (ξ, t) ∂t 2 +a 2 [ξ[ 2 E n = 1(ξ)δ(t) (5.64) Entonces, por (5.56): E n (ξ, t) = θ(t) sin a[ξ[t a[ξ[ (5.65) O sea: E n (x, t) = θ(t)F −1 ξ _ sin a[ξ[t a[ξ[ _ (5.66) Veamos varios casos particulares: 1. n = 3. O sea, en R 3 . Anteriormente vimos la fórmula (4.77) que era F[δ S R ] = 4πR sin R[ξ[ [ξ[ Por lo tanto: F −1 _ sin a[ξ[t a[ξ[ _ = 1 4πat δ Sat (x) (5.67) Por consiguiente, de (5.66): E 3 (x, t) = θ(t) 4πa 2 t δ Sat (x) ≡ θ(t) 2πa δ(a 2 t 2 −[x[ 2 ) (5.68) La función E 3 (x, t) obtenida en (5.68) act´ ua seg´ un la regla: (E 3 , ϕ) = 1 4πa 2 _ ∞ 0 (δ Sat , ϕ) dt t ≡ 1 4πa 2 _ ∞ 0 1 t _ Sat ϕ(x, t)dS x dt (5.69) con ϕ ∈ S(R 4 ). 2. n = 2. En un ejercicio obtuvimos la expresi´ on (4.84): F _ θ(R −[x[) _ R 2 −[x[ 2 _ = 2π sin R[ξ[ [ξ[ Por lo tanto: Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 127 E 2 (x, t) = θ(t) 2πa θ(at −[x[) _ a 2 t 2 −[x[ 2 (5.70) Comparar este resultado con el obtenido en el libro de Métodos Matem´ aticos de la F´ısica del autor. 5.8 Solución fundamental del operador de Laplace Este es: ∇ 2 E n = δ(x) (5.71) Usamos el método desarrollado: Aplicar la transformada de Fourier: −[ξ[ 2 E n (ξ) = 1 (5.72) Caso n = 2: En este caso, como 1 |ξ| 2 es absolutamente integrable, por lo tanto: E 2 (ξ) = −P 1 [ξ[ 2 (5.73) De aqu´ı que: E 2 (x) = −F −1 _ P 1 [ξ[ 2 _ = − 1 4π 2 F _ P 1 [ξ[ 2 _ (5.74) Ya vimos la f´ ormula (4.79) que establec´ıa que F _ P 1 [x[ 2 _ = −2π ln [ξ[ −2πC 0 Por lo tanto: E 2 (x) = 1 2π ln [x[ + C 0 2π (5.75) Como ∇ 2 C 0 2π ≡ 0 y la soluci´ on fundamental se obtiene con exactitud de una solución de la ecuación homogénea, por lo tanto: 128 José Mar´ın Antu˜ na E 2 (x) = 1 2π ln [x[ (5.76) Caso n = 3: Aqu´ı − 1 |ξ| 2 es localmente integrable en R 3 . Por lo tanto: E 3 (x) = −F −1 _ 1 [ξ[ 2 _ = − 1 (2π) 3 F _ 1 [ξ[ 2 _ (5.77) Pero, ya vimos en la f´ ormula (4.88) que: F _ 1 [x[ 2 _ = 2π 2 [x[ Por lo tanto E 3 (x) = − 1 8π 3 2π 2 [x[ ≡ − 1 4π[x[ (5.78) conocid´ısima soluci´ on fundamental del operador de Laplace en tres dimensiones y que puede verse también en el libro de Métodos Mamtemáticos de la F´ısica del autor. Caso n > 3: Aqu´ı aplicamos el método del descenso que estudiamos en este cap´ıtulo a la ecuación con a = 1: ∂E ∂t −∇ 2 E = δ(x)δ(t) (5.79) Como resultado, se obtiene: −∇ 2 E = δ(x)1(t) (5.80) La solución era: E(x, t) = θ(t) (2 √ πt) n exp _ − [x[ 2 4t _ (5.81) Por lo tanto, aplicando el método obtenemos: E n (x) = − _ ∞ −∞ E(x, t)dt = − _ ∞ 0 1 (2 √ πt) n exp _ − [x[ 2 4t _ dt = Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 129 haciendo el cambio de variable u = [x[ 2 /(4t) = − _ ∞ 0 4 n/2 u n/2 2 n π n/2 [x[ n e −u [x[ 2 du 4u 2 = − [x[ −n+2 4π n/2 _ ∞ 0 e −u u n/2−2 du = = − [x[ −n+2 4π n/2 Γ _ n 2 −1 _ (5.82) y, como Γ _ n 2 −1 _ = Γ(n/2) n 2 −1 (5.83) pues Γ(x) = (x −1)Γ(x −1), queda: E n (x) = − [x[ −n+2 (n −2)2π n/2 Γ _ n 2 _ (5.84) O sea: E n (x) = − 1 (n −2)σ n [x[ −n+2 (5.85) con σ n = 2π n/2 Γ _ n 2 _ (5.86) 5.9 Soluci´ on fundamental de la ecuaci´ on de Helmholtz Aqu´ı tenemos: (∇ 2 +k 2 )E n = δ(x) (5.87) Ya vimos en R 3 que: E 3 (x) = − e ik|x| 4π[x[ (5.88) y que 130 José Mar´ın Antu˜ na E ∗ 3 (x) = − e −ik|x| 4π[x[ (5.89) Calculemos en R 2 , o sea, para n = 2. Aplicamos la transformada de Fourier: (−[ξ[ 2 +k 2 )E 2 (ξ) = 1 (5.90) Escribamos la soluci´ on de (5.90) as´ı: E 2 (ξ) = lim ε→0 1 k 2 +iε −[ξ[ 2 ≡ 1 k 2 +i0 −[ξ[ 2 (5.91) Como la transformada de Fourier es continua: E 2 (x) = F −1 _ 1 k 2 +i0 −[ξ[ 2 _ = 1 4π 2 lim ε→0 lim R→∞ _ |ξ|<R e −iξ·x dξ k 2 +iε −[ξ[ 2 = (usando coordenadas polares) = 1 4π 2 lim ε→0 lim R→∞ _ R 0 _ 2π 0 exp¦−ir[x[ cos ϕ¦rdrdϕ k 2 +iε −r 2 = = 1 4π 2 lim ε→0 lim R→∞ _ R 0 r k 2 +iε −r 2 __ 2π 0 exp¦−ir[x[ cos ϕ¦dϕ _ dr = = 1 2π lim ε→0 lim R→∞ _ R 0 rJ 0 (r[x[)dr k 2 +iε −r 2 = 1 2π lim ε→0+ _ ∞ 0 rJ 0 (r[x[)dr r 2 −(k 2 +iε) = = − 1 2π lim ε→0 _ ∞ 0 rJ 0 (r[x[)dr r 2 + [−i √ k 2 +iε] 2 = = − 1 2π lim ε→0 K 0 (−i √ k 2 +iε[x[) = − 1 2π K 0 (−ik[x[) ≡ − 1 2π π 2 iH (1) 0 (k[x[) (5.92) En los cálculos de arriba hemos tenido en cuenta que: _ ∞ 0 xJ 0 (ax)dx x 2 +k 2 = K 0 (ak) (5.93) con a > 0 y Rek > 0, donde K 0 (x) es la funci´ on cil´ındrica de argumento imaginario de segundo tipo (función de MacDonald); además, que K 0 (x) = π 2 iH (1) 0 (ix) (5.94) Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 131 por lo que K 0 (−ix) = π 2 iH (1) 0 (x) (5.95) donde H (1) 0 es la conocida función de Hankel. Finalmente, se obtiene: E 2 (x) = − i 4 H (1) 0 (k[x[) (5.96) y su conjugada: E ∗ 2 (x) = i 4 H (2) 0 (k[x[) (5.97) 5.10 Otras soluciones fundamentales En este ep´ıgrafe simplemente expondremos sin demostraci´ on algunos resultados ´ utiles en las aplicaciones. 1. Solución fundamental del operador de D’Alembert en R n Para la ecuaci´ on ∂ 2 E n ∂t 2 −a 2 ∇ 2 n E n = δ(x, t) (5.98) la solución es: E n (x, t) = θ(t) 2πa _ d 2 πa 2 dt 2 _n−3 2 δ(a 2 t 2 −[x[ 2 ) (5.99) para n ≥ 3 impar y E n (x, t) = (−1) n/2−1 2a π −(n+1)/2 Γ _ n −1 2 _ θ(at −[x[) _ (a 2 t 2 −[x[ 2 ) n−1 (5.100) para n ≥ 2 par Su empleo para n ,= 2, 3 es en espacios m´ as complejos de coordenadas generalizadas, superstrings, etc. 132 José Mar´ın Antu˜ na 2. Soluciones fundamentales del operador de Klein-Gordon La ecuación de Klein-Gordon es: _ ∂ 2 ∂t 2 −∇ 2 +m 2 0 _ E = δ(x, t) (5.101) donde x 0 = ct y x = (x 1 , x 2 , x 3 ); c es la velocidad de la luz. Esta ecuación describe la part´ıcula relativista pseudoescalar. Las soluciones son: E r (x 0 , x) ≡ ≡ D r (x 0 , x) = θ(x 0 ) 2π δ(x 2 0 −[x[ 2 ) − m 0 4π θ(x 0 −[x[) J 1 (m 0 _ x 2 0 −[x[ 2 ) _ x 2 0 −[x[ 2 (5.102) E a (x 0 , x) ≡ D a (x 0 , x) = E r (−x 0 , x) (5.103) La notación usada con mayor frecuencia en la Mec´ anica Cu´ antica Relativista es con las letras D. También se definen las funciones: D + (x 0 , x) = 1 8π 3 i F[θ(ξ 0 )δ(ξ 2 0 −[ξ[ 2 −m 2 0 )] (5.104) D − (x 0 , x) = − 1 8π 3 i F[θ(−ξ 0 )δ(ξ 2 0 −[ξ[ 2 −m 2 0 )] (5.105) que satisfacen la ecuación de Klein-Gordon y la relaci´ on D + +D − = D r −D a (5.106) Las funciones D r , D a , D + y D − juegan un papel importante en la teor´ıa cu´ antica del campo. 3. Solución fundamental del operador de Schrodinger La ecuación de Schrodinger para la solución fundamental es _ i ∂ ∂t + 2 2m 0 ∇ 2 _ E(x, t) = δ(x, t) (5.107) y la soluci´ on fundamental tiene la forma: E(x, t) = −iθ(t) _ m 0 2πt _n 2 exp _ i _ m 0 2t [x[ 2 − nπ 4 __ (5.108) Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 133 5.11 Ejercicios del Cap´ıtulo 1. Demostrar la igualdad de la parte extrema derecha de la fórmula (5.61) para la soluci´ on fundamental del operador de conducción del calor: E(x, t) = θ(t) (2a √ πt) n exp _ − [x[ 2 4a 2 t _ (5.109) 2. Demostrar la igualdad a la derecha de (5.68). Para ello, tener presente que δ(x 2 −a 2 ) = δ(x −a) +δ(x +a) 2[a[ (5.110) 3. Comprobar que E 3 (x, t) dada por la fórmula (5.68) se convierte en la función de Green que se obtuvo en el libro de Métodos Matem´ aticos de la F´ısica del autor para la ecuación escrita de manera diferente: 1 a 2 ∂ 2 E ∂t 2 −∇ 2 E = δ(x, t) (5.111) y que ten´ıa la forma: E(x, t) ≡ G(x, t) = 1 2πa[x[ δ _ t − [x[ a _ (5.112) 134 José Mar´ın Antu˜ na Bibliograf´ıa 1. Mar´ın Antu˜ na J. Métodos Matem´ aticos de la F´ısica. ENPES, La Habana, Cuba, 1994. 2. Vlad´ımirov V.V. Ecuaciones de la F´ısica Matemática. Editorial Nauka, Mosc´ u, 1975. 3. Mar´ın Antu˜ na J. Teor´ıa de Funciones de Variable Compleja.Editorial ”Pueblo y Edu- cación”, Cuba, 1977; segunda edición, 1990. 4. Shilov G.E. An´ alisis Matemático, Segundo curso especial. Editorial Nauka, Mosc´ u,1965. 135

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