Teoría de Control (Giraldo y Tabares)

TEOR´ DE CONTROL IADidier Giraldo B. e Ivń Tabares G. a 1997 TABLA DE CONTENIDO PREFACIO xi 1 INTRODUCCION 1 1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Sistema de control escalar en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5 Sistema de control escalar en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.6 Problema b´sico de la Ingenier´ de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 a ıa 1.7 Ejemplos de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.8 Requerimientos de un sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 Algunos tipos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9.1 Control adaptivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9.2 Control ´ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 o 1.9.3 Control digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.10 Ejemplo introductorio a los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.11 Construcciń del modelo matem´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 o a 1.12 Linealizaciń del modelo matem´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 o a 1.13 Selecciń de u (Estrategia de control) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 o 1.14 Acciones b´sicas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 a 1.15 Efectos de la realimentaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o 1.16 Efecto en la ganancia total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.17 Efecto en la estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.18 Efecto en la sensitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.19 Efecto en la perturbaciń externa o ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 o 2 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 25 2.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Modelos matem´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 a 2.3 Clasificaciń de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 o 2.3.1 Sistema determin´ ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Sistema causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3 Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.4 Sistema invariante con el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 iii iv 2.4 2.5 2.6 Ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Una ecuaciń diferencial de n−´simo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 o e Sistemas mecńicos de traslaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a o 2.6.1 Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.2 Resorte traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.3 Amortiguador traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Un m´todo para obtener la ecuaciń de estado y la de salida . . . . . . . . . 36 e o Otro m´todo para obtener la ecuaciń de estado y la de salida . . . . . . . . 39 e o Sistemas mecńicos de rotaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 a o 2.9.1 Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.9.2 Resorte rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.9.3 Amortiguador rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Circuito serie R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Analog´ fuerza-torque-voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ıa Circuito paralelo R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Analog´ fuerza-torque-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ıa Ecuaciones de estado para circuitos elćtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 e M´todo sistem´tico para obtener las ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . 57 e a Ecuaciones de estado con derivadas de las entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Otras analog´ electromecńicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ıas a 2.17.1 Palancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.17.2 El transformador ideal como an´logo de la palanca . . . . . . . . . . . . 64 a 2.17.3 El transformador como acoplador de impedancias . . . . . . . . . . . . . 64 2.17.4 La palanca como acoplador de elementos mecńicos . . . . . . . . . . . . 65 a 2.17.5 Sistemas acoplados de movimento rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.17.6 El engranaje como acoplador de elementos mecńicos . . . . . . . . . . 69 a Linealizaciń de un modelo matem´tico no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 o a El servomotor hidrúlico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 a Gobernador de velocidad de una turbina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Linealizaciń de las ecuaciones de estado no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 o Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbaciń . . . . . . . . . . . . . . . . 82 o Reducciń de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 o Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.25.1 Sism´grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 o 2.25.2 El servomotor bif´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 a 2.25.3 Motor de CC controlado en el inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.25.4 Motor de CC controlado en el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Sensores de error en sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.26.1 Potenci´metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 o 2.26.2 Synchros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Ejemplos de control de posiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 o 2.27.1 Control de posiciń con sensor de error potenciom´trico . . . . . . . . 99 o e 2.27.2 Control de posiciń con synchros y motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . 101 o 2.27.3 Control de posiciń con synchros y motor bif´sico . . . . . . . . . . . . 104 o a 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 0.0 TABLA DE CONTENIDO 2.28 Sistemas de nivel de l´ ıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.29 Sistemas de nivel de l´ ıquido con interacciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.30 Sistema de nivel de l´ ıquidos no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.31 Sistemas neum´ticos o de presiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a o 2.32 Sistemas t´rmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 3.1 El Amplificador Operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Algunos Circuitos con Amplificador Operacional . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.1Amplificador con dos Fuentes de Entrada 3.1.1.2Sumador 3.1.1.3Integrador 3.1.1.4Derivador 3.1.1.5Filtro de un Polo 3.2 Elementos de C´lculo Anal´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a o 3.2.1 Soluciń de ecuaciones diferenciales mediante la computadora o anal´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2.2 Elementos b´sicos de c´lculo anal´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a o 3.3 Soluciń de ecuaciones diferenciales mediante la computadora o anal´gica o S´ ıntesis de funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Realizaciń ”OBSERVER” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4 Generaciń de algunas funciones del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.5 Escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Escalamiento en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Escalamiento en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Otras realizaciones para representar sistemas por ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Realizaciń ”CONTROLLER” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.6.2 Realizaciń ”OBSERVABILITY” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.6.3 Realizaciń ”CONTROLLABILITY” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4 ACCIONES BASICAS DE CONTROL 4.1 Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2 Clasificaciń de los controles autom´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 4.2.1 Controles de dos posiciones o de SI-NO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Acciń de control proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2.3 Acciń de control integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2.4 Acciń de control proporcional integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2.5 Acciń de control proporcional y derivativo (PD) . . . . . . . . . . . . . o 4.2.6 Acciń de control proporcional integral derivativo (PID) . . . . . . o 4.2.6.1Algunas estructuras del controlador PID 5 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 5.1 Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error estacionario . . . . . . . . 5.1.1 Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Error estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 106 108 111 113 117 121 121 122 122 124 125 126 128 128 128 130 131 131 134 136 136 138 140 140 142 144 147 147 147 148 151 155 158 160 161 163 175 175 176 176 vi 5.1.3 Respuesta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.1.4 Algunos teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.1.5 Sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.1.5.1Respuesta al escalń unitario o 178 5.1.5.2Respuesta a la rampa unitaria 181 5.1.5.3Respuesta al impulso unitario 181 5.1.6 Sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.6.1Caso subamortiguado o respuesta con 0 < ζ < 1 184 5.1.6.2Caso de amortiguamiento cr´ ıtico o respuesta con ζ = 1 185 5.1.6.3Caso sobreamortiguado o respuesta con ζ > 1 186 5.1.6.4Respuesta oscilatoria o caso de amortiguamiento nulo, ζ=0 187 5.2 Especificaciones de respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.2.1 Especificaciones de respuesta transitoria para sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 191 5.2.1.1Tiempo de crecimiento o tiempo de levante tr 191 5.2.1.2Tiempo de pico tp 192 5.2.1.3M´ximo sobreimpulso Mp a 193 5.2.1.4Tiempo de establecimiento ts 5.3 Sistemas de ´rdenes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 o 5.3.1 Sistema de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.3.2 Respuesta transitoria de sistemas mayor orden . . . . . . . . . . . . . . . 197 6 CRITERIOS DE ESTABILIDAD 199 6.1 Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 o 6.1.1 M´todo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 e 6.2 An´lisis de estabilidad por cancelaciń de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 a o 6.2.1 Explicaciń de la diferencia en comportamiento de las realizaciones o de las Figs 6.3 y 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.3 Controlabilidad y observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.3.1 Aclaraciń sobre controlalibidad y observabilidad . . . . . . . . . . . . . 207 o 6.4 Control por realimentaciń de variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 o 6.5 Criterios algebraicos y frecuenciales de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.5.1 Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 o 6.5.2 Criterio de Routh y Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.6 Criterios frecuenciales de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.6.1 El principio del argumento o del ńgulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 a 6.6.2 El criterio de Mikhailov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.6.3 El criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.6.4 Regla de las transiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.6.5 Estabilidad segń el diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 u 7 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 235 7.1 Especificaciones en el dominio frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.2 Correlaciń entre respuestas transitoria y frecuencial para un o sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.3 Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.4 Margen de amplitud y margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 0.0 TABLA DE CONTENIDO 7.4.1 Margen de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode . . . . . 7.5 Tćnicas de compensaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 7.5.1 Compensador de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2.1Tipo Cero 7.5.2.2Tipo Uno 7.5.2.3Compensaciń con adelantor de fase o 7.5.3 El compensador de atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3.1Compensaciń con atrasador de fase o REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO 8.1 Realimentaciń de las variables de estado y controlabilidad de los o modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Algunas f´rmulas para la ganancia de realimentaciń . . . . . . . . . o o 8.1.2 Importancia de la forma canńica ”CONTROLLER” . . . . . . . . . o 8.1.3 Otras f´rmulas para la ganancia de realimentaciń . . . . . . . . . . . . o o 8.1.4 F´rmula de Mayne-Murdoch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.1.5 Realimentaciń del estado y los ceros de la funciń de o o transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6 Realizaciones no controlables y estabilizables . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.7 Reguladores, referencias diferentes de cero y seguimiento . . . . . . 8.1.7.1Referencias diferentes de cero 8.1.7.2Perturbaciones de entrada constante y realimentaciń o integral 8.1.7.3Observaciones finales ˜ DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES 9.1 Observadores asint´ticos para medida de los estados . . . . . . . . . . . . . . . . o 9.1.1 Un observador en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Un observador en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 F´rmulas para el vector de ganancias del observador . . . . . . . . . . o 9.2 Observador y controlador combinados (compensadores). . . . . . . . . . . . . . 9.2.0.1Implementaciń del observador o 9.2.0.2Resumen 9.2.1 Perturbaciones constantes y realimentaciń integrativa . . . . . . . . o TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PROGRAMA MATLAB B.1 Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o B.2 Entrando matrices simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Elementos de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Declaraciones y variables del MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5 Informaciń sobre el espacio de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o B.6 C´mo terminar el programa y guardar el espacio de trabajo . . . . . . . . . o B.7 N´meros y expresiones aritm´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u e vii 240 242 243 247 247 250 251 251 253 258 260 265 266 267 268 270 271 272 272 273 273 275 278 279 279 280 281 282 283 287 287 287 293 297 297 297 298 299 300 300 301 8 9 A B viii B.8 B.9 B.10 B.11 B.12 B.13 B.14 B.15 B.16 B.17 B.18 B.19 B.20 B.21 B.22 B.23 B.24 B.25 B.26 B.27 B.28 B.29 B.30 B.31 B.32 B.33 B.34 B.35 B.36 B.37 B.38 B.39 B.40 B.41 B.42 B.43 B.44 B.45 B.46 B.47 B.48 B.49 B.50 B.51 B.52 Formato de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divisiń de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones sobre arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones relacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones l´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Funciones matem´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Manipulaciń de vectores y matrices. Generaciń de vectores. . . . . . . . o o Referencia a los elementos de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencia a los elementos de una matriz usando vectores con ceros y unos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices vac´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıas Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construcciń de matrices m´s grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios y procesamiento de seãles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n Procesamiento de seãles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n Filtraje de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones como funciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Integraciń num´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e Ecuaciones no lineales y funciones de optimizaciń. . . . . . . . . . . . . . . . . . o Funciones de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Gr´ficos en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Creaciń de un gr´fico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a Estilos de l´ ıneas, marcadores y colores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adiciń de l´ o ıneas a un gr´fico existente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Datos complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El archivo tipo m ”peaks”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ficos de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Funciones especiales para gr´ficas en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . a Gr´ficos en 3 dimensiones. Gr´ficos de l´ a a ıneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ”Meshgrid”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pseudocolor en gr´ficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Gr´ficas en malla y superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Algunas funciones para gr´ficos de prop´sito general. . . . . . . . . . . . . . . . a o Flujo de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lazos for. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lazos while. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Declaraciones if y break. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Archivos tipo m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Archivos ”script”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Archivos funciń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Ayuda en l´ ınea para los archivos m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 303 303 304 304 304 305 306 306 307 308 309 309 310 310 311 311 312 313 314 315 315 316 317 317 318 319 320 320 321 321 326 327 328 330 331 333 334 334 336 336 337 337 338 339 . . . . . . .3 Del cap´ ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . .6 Del cap´ ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Del cap´ ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0. .5 Del cap´ ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . .53 Comandos ”echo”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Cadenas de texto. . . . . . . D. . . . . . . . . . . . ”keyboard”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Del cap´ ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y ”pause”. . . . . . . . . . . . . . . . . . D. . . . . . . D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o D EJERCICIOS PROPUESTOS D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Del cap´ ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . ”input”. .57 Como incrementar velocidad y memoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Del cap´ ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 TABLA DE CONTENIDO B. . . . . . .2 Construcciń de un modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 Variables globales. . . . . . . . BIBLIOGRAF´ IA ix 339 340 340 341 342 343 345 345 346 349 361 361 362 368 369 373 375 380 383 384 387 . . . . . . . . . . B. B. . . . . . . . . .8 Del cap´ ıtulo 8 .9 Del cap´ ıtulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o C. . . . . . o B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 La funciń ”eval”. . . . . . . . B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. . . . . . . . . . .1 Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Inicio de una simulaciń . . . .58 Archivos de entrada y salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C INTRODUCCION AL SIMULINK C. . . . . . . . . . B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. . . . . . . . . . . Se linealizan sistemas no lineales alrededor de un punto de operaciń. En el cap´ ıtulo 8 se estudia el m´todo moderno del control por realimentaciń de e o variables de estado. Se enfatiza el criterio de Nyquist. mecńica. Los modelos se presentan en su forma b´sica de a ecuaciones diferenciales. En el apńdice D se incluyen algunos problemas o n e t´ ıpicos. circuitos. Se espera que el estudiante tenga conocimientos previos sobre ecuaciones diferenciales. El cap´ ıtulo 1 es una introducciń a los sistemas de control realimentados en el que o se incluye el an´lisis y control de un pńdulo invertido. Se introducen los efectos de a e la realimentaciń. la variable compleja y a a la transformada de Laplace. Se pasan luego a su representaciń cl´sica de funciones de o a transferencia y a la moderna del espacio de estado. Su objetivo es servir como texto para un primer curso en sistemas de control. la e a a simulaciń y el diseõ de sistemas. de nivel de l´ e ıquido. Esta ediciń incluye una introducciń al programa MATLAB y a su herramienta o o SIMULINK. a El cap´ ıtulo 5 se refiere al an´lisis de las respuestas de un sistema en el tiempo. El cap´ ıtulo 7 trata sobre el diseõ de sistemas realimentados en el dominio de la n frecuencia utilizando compensadores. an´lisis vectorial-matricial. o El cap´ ıtulo 3 se refiere a la simulaciń y s´ o ıntesis de funciones de transferencia utilizando el amplificador operacional y se presentan varias representaciones o realizaciones canńicas b´sicas. a Se enfatiza el sistema de segundo orden para establecer las especificaciones de la respuesta transitoria. o a e El cap´ ıtulo 4 presenta las acciones b´sicas de control utilizadas por la industria. de gran utilidad para el an´lisis matem´tico. etc. a e t´rmicos.PREFACIO Este libro presenta un estudio del an´lisis y diseõ de sistemas de control de tiempo a n continuo. Tambiń se incluye el escalamiento en amplitud y tiempo. o El cap´ ıtulo 2 presenta la forma de modelar sistemas f´ ısicos mecńicos. elćtricos. El cap´ ıtulo 9 es un complemento al cap´ ıtulo 8 ya que trata sobre el diseõ de n observadores asint´ticos para estimar las variables de estado. o xi . El cap´ ıtulo 6 estudia diferentes criterios de estabilidad algebraicos y frecuenciales. en los apńdices B y C. . el paso o siguiente es la descripciń matem´tica.2 Sistema Es un modelo de un dispositivo o de un conjunto de ellos existentes en el mundo real (sistema f´ ısico). la cual se obtiene utilizando leyes f´ o a ısicas. algunos de los efectos de la realimentaciń en o a o caracter´ ısticas de los sistemas que la utilizan. Una vez obtenido el modelo. descripciń matem´tica. Se a o n presentan. En general.3 Sistema de control 1 . la ganancia total y la sensitividad.CAPITULO 1 INTRODUCCION 1. presentar algunos ejemplos en forma puramente descriptiva y desarrollar un ejemplo introductorio en el cual se hace el an´lisis.1 Objetivo Dar algunas definiciones utilizadas en sistemas de control. controlabilidad y observabilidad. s´lo para sistemas est´ticos. ya sea ajustando ciertos par´metros o en otros casos introduciendo coma pensadores. Si la respuesta del sistema no es satisfactoria. 1. A partir de la anterior se puede hacer el an´lisis cuantitativo que consiste en hallar a las respuestas debido a la aplicaciń de ciertas seãles de entrada. y tambiń los efectos en las perturbaciones externas o ruido. la linealizaciń y el esbozo del diseõ de un sistema de control. y el cualitativo o n que consiste en analizar ciertas propiedades tales como estabilidad. el sistema debe ser mejorado u optimizado. an´lisis y diseõ. e 1. el estudio de sistemas f´ ısicos consta de cuatro partes: modelaje. tales como la estabilidad. o a a n Para desarrollar el modelo de un sistema f´ ısico es necesario un profundo conocimiento del mismo y de los rangos de operaciń. 1 Bloque que representa un sistema La Fig. yn o a ¤t £ y las entradas u = u1 u2 . 1.4 Sistema de control escalar en lazo abierto Aquel que utiliza un controlador (un sistema) en cascada con el sistema a ser controlado (planta o proceso) para obtener la respuesta deseada. flotadores.2. o .2 INTRODUCCION Es aquel cuyo fin es obtener varias respuestas deseadas (a partir de ciertas entradas) Figura 1.2 Sistema de control escalar en lazo abierto 1. um . 1. generalmente n elćtrica. Ejemplos: potenci´metros. 1. etc. como se muestra en la Fig. como se muestra en la Fig. Figura 1. y = y1 y2 . termocuplas. pree o s´statos.3. . . 1. Cuando m = n = 1 el sistema es escalar.5 Sistema de control escalar en lazo cerrado Aquel que utiliza una medida de la salida actual para compararla con la respuesta deseada. . termistores. tacogeneradores.1 muestra un bloque que representa un sistema multivariable en el que se ¤t £ supone hay una descripciń matem´tica entre las salidas. . Un transductor es un dispositivo que convierte una seãl a otra. 4 Estructura general de un sistema de control El problema b´sico de la Ingenier´ de Control es determinar una entrada u = a ıa .3 Sistema de control escalar con realimentaciń o 1.6 Problema b´sico de la Ingenier´ de Control a ıa Figura 1.1.6 Problema b´sico de la Ingenier´ de Control 3 a ıa Figura 1. 4 INTRODUCCION £ ¤t u u2 . sea igual al nivel deseado. . Si el controlador es un ser humano. .7 Ejemplos de sistemas de control Ejemplo 1. Váse Fig 1. Ejemplo 1. .1 Una lavadora puede ser el ejemplo de un sistema de control en lazo abierto.4) de modo que imparta sobre la salida c = e £ 1 ¤t c1 c2 . . 1. um (váse Fig. 1. e Figura 1.2 La Fig.5 Sistema de control en lazo abierto Ejemplo 1. 1. 1. Cuando la seãl a n n de referencia r(t) es constante se habla de un regulador mejor que un servo. el cual genera una seãl (variable de control) que n despu´s de ser amplificada en potencia (actuador) actua sobre la v´lvula para variar e a el caudal de entrada al tanque. en donde la salida es el grado de limpieza actual y la referencia es el grado de limpieza deseado.5. Un sistema de control se define como un servo si la salida c(t) es diseãda para n seguir lo m´s cercanamente posible una seãl de referencia dada r(t). la compara con el nivel deseado (seãl de referencia) y abre o cierra la v´lvula de entrada del l´ n a ıquido dependiendo del resultado anterior. cp cierto comportamiento deseado.3 En el sistema de control en lazo cerrado de la Fig. despu´s de cierto o e tiempo.6 muestra un sistema de control manual del nivel de l´ ıquido en un tanque ya que el ser humano sensa la salida (nivel actual).7 la seãl resuln tante de la comparaciń (comparador) entre la de referencia y otra que es proporcional o al nivel actual del l´ ıdo (salida) en el tanque (sensor de nivel) es la entrada al conıqu´ trolador o cerebro del sistema. . N´tese que se pretende que la salida. se dice que el sistema es controlado manualmente. 8 las seãles de salida de la planta (generador s´ n ıncrono mas el motor DC y la carga) son la magnitud del voltaje generado y la frecuencia (que . 1.7 Sistema de control escalar en lazo cerrado Ejemplo 1.7 Ejemplos de sistemas de control 5 Figura 1.1.6 Sistema de control manual Figura 1.4 En la Fig. Obs´rvese que se pretende que las salidas.6 INTRODUCCION ´ es proporcional a la velocidad del motor DC). La variable que se desea controlar es la temperatura actual del agua a la e salida del tanque y la seãl de referencia es la temperatura deseada. respectivamente. cuya salida manipula el flujo de vapor hacia el intercambiador de calor. sean iguales a la magnitud del voltaje generado y la frecuencia deseadas.9 muestra el sistema de control en lazo cerrado de un sistema t´rmico. Figura 1.8 Sistema de control bivariable en lazo cerrado Ejemplo 1. que son amplificadas n (actuadores) actuan sobre el campo del generador s´ ıncrono y la armadura del motor DC. . La variable de n control (salida del controlador) es la entrada al actuador. despu´s de cierto e e tiempo.5 La Fig. y sus salidas. 1. Estas despu´s de ser comparadas con e seãles de referencia son aplicadas a controladores. 10 Sistema de control en lazo cerrado multivariable .9 Sistema de control en lazo cerrado de un sistema t´rmico e Figura 1.1.7 Ejemplos de sistemas de control 7 Figura 1. SV y SF representan los sensores de ox´ ıgeno. temperatura (t) y presiń (p) del vapor. Las respuestas deben ser razonablemente r´pidas y razonablemente amortiguadas.9. c. respectivamente. Los errores (si los hay). presiń. se pueden enunciar. y la magnitud y frecuencia del o voltaje generado (v y f). 1. se adapta a los cambios de la planta o cambios ambientales ´ que afectan la misma.11. Es decir. ıa. 1. A/D es el conversor an´logo-digital. temperatura. y ai simbolizan a a el agua. 1. se deben reducir a un m´ ınimo tolerable. a 3.9 1. los siguientes: n 1. 1.8 INTRODUCCION Ejemplo 1. SO. Debe ser estable. . respectivamente.8 Requerimientos de un sistema de control Aunque los requerimientos de un sistema de control dependen l´gicamente de los o objetivos del diseõ. energ´ tiempo.1 Algunos tipos de control Control adaptivo Es el que examina o identifica la planta para ajustar los par´metros del controlador a a valores optimos.2 Control optimo ´ Aquel cuya funciń objeto consiste en minimizar o maximizar variables tales como o combustible.10 se muestra un sistema de control multivariable de una planta de generaciń t´rmica en el que las salidas del sistema son: ox´geno (o) en o e ı la caldera. voltaje y o frecuencia. La topolog´ t´ ıa ıpica de este tipo de control se muestra en la Fig.6 En la Fig. 1. D/A es el conversor digital-an´logo y a. ST. SP.9. GV es el gobernador de velocidad de la turbina. 2. en general.3 Control digital Es aquel en el que el controlador es un microprocesador (computador digital) o un microcontrolador.9. el combustible y el aire que le entran a la caldera. etc. En este caso el controlador es un computador digital. 1. 12 la barra B es restringida a movimientos en el plano del papel y es balanceada sobre la parte superior del carro C. .12 El pńdulo invertido e En la Fig. 1.10 Ejemplo introductorio a los sistemas de control 9 Figura 1.11 Topolog´ t´ ıa ıpica de un sistema de control digital 1.1.10 Ejemplo introductorio a los sistemas de control Figura 1. Esta no es una n caracter´ ıstica general de sistemas controlados. se supondr´ ausencia total de fuerzas perturbadoras predecibles.13 Sistema no controlable de 2 barras Figura 1. Esta soluciń es basada o en la intuiciń. Para simplificar u el an´lisis.14 Sistema controlable de 2 barras .14. 1.13 y 1.10 INTRODUCCION El objetivo de control es mantener la barra verticalmente tanto como sea posible. la razń de este ejemplo es enfatizar o que ań sistemas inestables pueden ser adecuadamente controlados. Figura 1. La barra y el carro constituyen la planta o el sistema a ser controlado. Consid´rese o a o ıa e por ejemplo los sistemas de las Figs. Para sistemas m´s complejos la intuiciń podr´ fallar. La planta ser´ ıa inestable sin la asistencia de la seãl de control (fuerza de control) u. a a Para lograr el objetivo de control se instala un motor en el carro y a trav´s de ene granajes se genera una fuerza u sobre las ruedas del carro. representado por un sistema de ecuaciones difea renciales.11 Construcciń del modelo matem´tico 11 o a El sistema de la Fig. es afectada por la seãl de control u. 1.13 no.1.14 puede ser balanceado mientras que el sistema de la Fig. se necesita usar relaciones b´sicas de la mecńica cl´sica aplicables a este a a a sistema f´ ısico.11 Construcciń del modelo matem´tico o a El modelo debe revelar c´mo la salida del sistema. 1. Los conceptos de controlabilidad y observabilidad. 1. Esto se debe a que el de la Fig.14 es controlable y el de la Fig.13 no. representada en este caso por la o desviaciń angular φ. Para la barra: posiciń horizontal = y + L sen φ o . a 1. 1.15 las coordenadas de los centros de gravedad con respecto a un origen arbitrariamente escogido son: 1.15 Diagramas de cuerpo libre de la barra y el carro En la Fig. o n Para obtener el modelo matem´tico. desarrollados por la teor´ de ıa control moderno serń vistos posteriormente. 1. Figura 1. Para el carro: posiciń horizontal = y o 2. . ıa N´tese que este es un problema m´s de s´ o a ıntesis que de an´lisis puesto que se debe a especificar una funciń adecuada para la seãl de control u. o ´ 1.5) a (1. el a o CC.2 N´tese que estas ultimas son ecuaciones diferenciales no lineales. V . se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: I d2 φ = V L sen φ − HL cos φ dt2 V − mg = m H=m d2 (L cos φ) dt2 (1.4) se puede reescribir de la siguiente manera: u−H =M . se har´ por linealizaciń.2 . suponiendo que u podr´ ser especificada. ya sea con un ıan o computador an´logo o con programas de simulaciń como el MATLAB. Este problema no es o n simple y no tiene soluciń unica. a o Cualquier sistema de ecuaciones diferenciales no lineales puede ser linealizado si las variables dependientes son limitadas a pequeãs variaciones alrededor de un punto.4) dt2 El momento de inercia de la barra I se calcula con respecto a su centro de gravedad y es I = 1 mL2 . (1.. y.7) (1..8) V − mg = −mL(φ sen φ + φ cos φ) H = m y + mL(φ cos φ − φ sen φ) u−H =M y .12 INTRODUCCION posiciń vertical = L cos φ o Si se toman momentos alrededor del centro de gravedad de la barra y sumando las fuerzas que actuan sobre el carro y la barra en direcciones vertical y horizontal. n llamado punto de operaciń. u otro.1) (1.3) d2 (y + L sen φ) dt2 d2 y (1.1) a (1. el PSI. Las 4 variables o ´ desconocidas son φ. (1..6) (1.. 3 El sistema de ecs.5) (1. I φ = V L sen φ − HL cos φ . (1. . o . H.8) podr´ ser resueltas por simulaciń.2) (1. .12 Linealizaciń del modelo matem´tico o a Aunque las ecs. . Consid´rese entonces s´lo relativas pequeãs desviaciones del angulo φ: φ ¿ 1rad. 2. e o n ´ Utilizando la expansiń en series de Taylor: o f (x) = ∞ X f (n) (xo ) n=0 n! (x − xo )n (1.11) en las ecuaciones (1..15) Eliminando V y H del anterior sistema de ecuaciones se obtiene: (I + mL2 ) φ + mL y − mgLφ = 0 mL φ + (m + M ) y = u . La estrategia debe resultar en un sistema que pueda ser fćilmente implementado a con dispositivos f´ ısicos. restringir o φ de modo que |φ| nunca exceda 1o ..13 Selecciń de u (Estrategia de control) 13 o N´tese de las ecuaciones que la no linealidad aparece fundamentalmente en la variable o φ. (1..9) las funciones sen φ y cos φ se pueden expandir alrededor del punto φ = 0: sen φ = φ − cos φ = 1 − . φ3 +··· ≈ φ 3! (1. (1.11) (1.. . y por lo tanto se necesita un criterio m´s espec´ a ıfico. .10) y (1.13) (1. . la cual es una frase vaga..1) a (1.14) (1. . . Por ejemplo.4) se obtiene: I φ = V Lφ − HL V − mg = 0 H = m y + mL φ u−H =M y .12) (1. o que φ se aproxime a cero asint´ticamente.. ..17) 1..10) φ2 + ··· ≈ 1 2! Reemplazando (1.16) (1.13 Selecciń de u (Estrategia de control) o Consideraciones: 1.1. El objetivo de control es mantener la barra verticalmente. Se deben considerar o n limitaciones f´ ısicas del sensor y del transductor. es decir n c´mo reacciona el motor en respuesta a la seãl del sensor φ. la aproximaciń es de naturaleza real´ o ıstica (las constantes de tiempo del sistema mecńico son mucho menores que las del elćtrico). N´tese que esta n o o estructura es del tipo lazo cerrado. es decir: o u = K1 φ (1.18) donde K1 en el sistema MKS tiene dimensiones Newtons/Radiń.14 Acciones b´sicas de control a (a) CONTROL PROPORCIONAL: La estrategia m´s simple de control se obtiene cuando el motor produce una fuerza a proporcional a la desviaciń angular. a e .14 INTRODUCCION 3. Seleccionar u tal que al ser reemplazada en (1. se ha supuesto que ellos responden instantaneamente.16. lo cual f´ ısicamente no es posible. es o decir. Para supervisar y controlar el angulo φ se escoge la estructura del sistema como se ´ muestra en la Fig. Figura 1. Se considerarń cualidades din´micas de sistemas de control que se obtienen haciendo a a simples suposiciones acerca de las reacciones del transductor. 1. Se tiene libertad en escoger la seãl u(φ). Sin embargo. a N´tese que se han despreciado los retardos en tiempo debidos al sensor y el motor.17) se pueda obtener la soluciń o de la salida del sistema. 1.16 Estructura de control para el pńdulo invertido e El sensor da informaciń sobre φ la cual es realimentada a un transductor de poo tencia el cual genera la seãl u para corregir la posiciń del carro. ..25) (1. mL φ + (m + M ) y −K1 φ = 0 K1 − g(m + M) mLφ = 0 I(m + M) + mML2 K1 − g(m + M) mL I(m + M) + mML2 a= b= K1 m+M .19) (1.25) y (1.. .20) Eliminando y de (1. (1..21) ω2 = (1. Se suponen las siguientes condiciones iniciales: y(0) = y (0) = φ (0) = 0. .14 Acciones b´sicas de control 15 a Reemplazando (1. Si se define la ganancia cr´ ıtica...19) se obtienen (1.20) se obtiene (1.19) y (1.22) (1. . pero lo opuesto no es cierto.27) se pueden considerar los tres siguientes casos. Kcr como: Kcr = g(m + M ) (1.25) y (1.17) y escribiendo de nuevo (1. o . . cuyas respuestas se pueden obtener fćilmente utilizando la Transformada de Laplace en las ecs (1.28) (1..16) se obtiene: (I + mL2 ) φ + mL y − mgLφ = 0 .24) mL m+M Utilizńdolas en (1.26): a φ + ω2φ = 0 y = aφ − b φ .26): a ıtica) i.1.. φ(0) = φo .29) ii. φ+ Definiendo: (1.21) y (1. .21): . K1 > Kcr (Ganancia supercr´ φ = φo cos ωt y = φo a + bω 2 (1 − cos ωt) ω2 (1... K1 = Kcr (Ganancia cr´ ıtica) .26) N´tese que φ es independiente de y.18) en (1. (1.23) (1. 32) (1. .31) ıtica) iii.17 Diferentes respuestas del pńdulo con acciń proporcional e o N´tese que este sistema de control proporcional tiene una respuesta inaceptable para o e valores muy bajos de K1 . K1 < Kcr (Ganancia subcr´ φ = φo cosh |ω|t y = φo a − b|ω|2 (cosh |ω|t − 1) |ω|2 (1. Se dice ı ´ a entonces que el sistema es inestable.17.30) (1. El motor es demasiado d´bil para corregir las desviaciones angulares.33) Las respuestas φ para cada uno de los casos se muestran en la Fig. as´ el angulo crecer´ indefinidamente hasta que la barra cae. 1.16 INTRODUCCION φ = φo a y = φo t2 2 (1. 25 20 posición angular (grados) 15 10 5 0 -5 -10 0 2 4 6 tiempo (segs) 8 10 i ii iii Figura 1. Reemplazando (1. u = K1 φ + K2 φ .34) Obviamente se requiere un sensor m´s sofisticado que mida φ y φ o un medio de a diferenciar la seãl φ. la barra y el carro desarrollan oscilaciones armńicas (como las de un pńdulo sin amortiguamiento). ..36) se obtiene: (1..18. Tiene o e o sentido entonces hacer que el motor actue cuando las desviaciones estń a punto de e ocurrir. (b) CONTROL PROPORCIONAL MAS DERIVATIVO Las oscilaciones debidas al control proporcional se pueden amortiguar por medio del control derivativo.34) en (1..16) se obtiene: (I + mL2 ) φ + mL y − mgLφ = 0 mL φ + (m + M ) y −K1 φ − K2 φ = 0 φ + 2α φ + ω 2 φ = 0 donde α= 1 mLK2 2 I(m + M) + mM L2 K1 − g(m + M) mL I(m + M) + mML2 . La inclusiń de la derivada de una seãl significa f´ n o n ısicamente que se est´ h´bil para desarrollar un cierto grado de predicciń de los valores futuros a a. Una o .38) e−αt sen( ω 2 − α2 t + arctan φ = φo √ α ω 2 − α2 que es v´lida para valores reales del radical y cuya forma de onda se muestra en la a Fig. posible soluciń es hacer la fuerza de control u una combinaciń lineal de φ y de φ: o o . .14 Acciones b´sicas de control 17 a o Para K1 > Kcr . 1. . o o de φ.. .37) y su soluciń es: o o √ p ω ω 2 − α2 ) (1.17) y escribiendo de nuevo (1. ω2 = Suponiendo las mismas condiciones iniciales anteriores y utilizando la Transformada de Laplace se puede resolver la ecuaciń diferencial (1.35) y (1. es decir.1.37) . . que la fuerza de control actue antes de que la desviaciń ocurra. N´tese que la barra no cae y se puede decir que el e o objetivo de control ha sido pobremente satisfecho. (1. . .36) Eliminando y de (1.35) (1.. La presencia de oscilaciones no amortiguadas se debe al hecho de que el motor actua s´lo despu´s de que la desviaciń angular ya ha ocurrido. ya que φ es una medida de la rata de cambio de φ dando una indicaciń hacia donde tiende.. (1. .38) e 10 8 6 posición angular (grados) 4 2 0 0 5 tiempo (segs) 10 15 Figura 1. (1.39) e Cuando el t´rmino derivativo es grande en comparaciń con el t´rmino proporcional. (1.18 INTRODUCCION 10 8 6 4 2 0 -2 posición angular (grados) 0 2 4 6 8 tiempo (segs) 10 12 Figura 1.19 Respuesta del pńdulo correspondiente a la ec.18 Respuesta del pńdulo correspondiente a la ec.39). (1. el e o e radical se hace imaginario y la respuesta del sistema en este caso es sobreamortiguada y dada por la ec. se usar´ la notaciń del sistema est´tico.1. que se muestra en la Fig. o N´tese de las Figs. cuya ley de control se define por la ecuaciń (1. que la realimentaciń o tiene como prop´sito reducir el error entre la entrada de referencia y la salida del o sistema. Si se considera tambiń como salida la posiciń lineal del carro. de manera simplificada. 1. como por ejemplo el control ON-OFF.17. 1. o el sistema no es observable (concepto que ser´ visto posteriormente) y por lo tanto a no todas las frecuencias naturales (que deciden la estabilidad del sistema) aparecen a la salida. ocurre cuando α > |ω|. el ancho de banda.19 la superioridad de este ultimo control sobre el o ´ control proporcional. es decir. y. Sin embargo. la ganancia total. e o o Se mostrar´ que ´sta tambiń tiene efectos en caracter´ a e e ısticas del sistema como la estabilidad (como en el ejemplo introductorio).19.40) |φ| El controlador propuesto en este ejemplo introductorio no se garantiza para otras condiciones que las supuestas en el an´lisis. o φ= φ umax = umax sgn(φ) (1. se notar´ e o a que el sistema es inestable. ´ste es apenas uno de los prop´sitos de la realimentaciń.39) Esta soluciń.18 y 1. la posiciń angular de la barra. Es importante anotar que con la salida considerada.15 Efectos de la realimentaciń o Hasta ahora se ha visto en los ejemplos.20 Sistema con realimentaciń o . u= 1.15 Efectos de la realimentaciń 19 o h i √ √ p p φo 1 2 2 2 2 √ (α + α2 − ω2 )e−(α− α −ω )t − (α − α2 − ω2 )e−(α+ α −ω )t 2 α2 − ω 2 (1. por ahora. la impedancia y la sensitividad. Por simplicidad. Esta soluciń se plantea mediante simulaciń en el apńdice C. lineales y no lineales. 1. Por lo tanto es necesario incluir otro u controlador. para pequeãs (infinitesimales a n en el sentido estricto) perturbaciones. o o e Existen otras estrategias de control.40). ań en lazo cerrado. para este caso particular. a o a Figura 1. 42) se nota que la realimentaciń afecta la ganancia G del sistema sin reao limentaciń por un factor de (1 + GH).42) 1.17 Efecto en la estabilidad De manera no rigurosa se puede decir que un sistema es inestable si su salida se incrementa sin acotamiento (en amplitud) cuando la entrada es acotada.20 INTRODUCCION En la Fig. Asi la realimentaciń podr´ hacer o ıa que un sistema que era originalmente estable. Recu´rdese que e solo se est´ tratando el caso est´tico y. N´tese de (1. en general. GH = −1 no es la unica condiciń a a ´ o para inestabilidad. 1. 1. se vuelva inestable. En el ejemplo introductorio se mostr´ que una de las ventajas de incorporar realio mentaciń es que se puede estabilizar un sistema inestable. La cantidad GH podr´ incluir un signo o ıa menos. o . En un sistema de control prćtico G y H son funciones de la frecuencia y por lo tanto a la magnitud de 1 + GH podr´ ser mayor que 1 en un rango de frecuencia y menor ıa que 1 en otro. la salida del sistema es infinita para cualquier o entrada finita y entonces el sistema es inestable. asi el efecto general de la realimentaciń podr´ incrementar o decrementar la o ıa ganancia.42) que si GH = −1.41) De (1. Por eso la realimentaciń podr´ incrementar la ganancia del sistema o ıa en un rango de frecuencia pero decrementarla en otro.16 Efecto en la ganancia total De (1. Por lo tanto: e c = Ge = G(r − b) = Gr − GHc (1.41) se obtiene la ganancia total M : M= G c = r 1 + GH (1.20 consid´rese que G y H son ganancias constantes. 43) r 1 + GH + GF N´tese que aunque las propiedades de G y H son tales que el sistema con el lazo de o realimentaciń interior es inestable. Por o ejemplo.18 Efecto en la sensitividad Puesto que todos los elementos f´ ısicos tienen propiedades que cambian con el ambiente y el tiempo. no se puede considerar siempre que los par´metros de un sistema de a control son completamente estacionarios durante toda su vida de operaciń.20 a la ganancia a o G como un par´metro que podr´ variar.21 Sistema con doble lazo de realimentaciń o Supńgase que el sistema realimentado de la Fig. como se o muestra en la Fig.18 Efecto en la sensitividad 21 Figura 1. 1.1. La sensitividad de la ganancia total del a ıa sistema M debido a la variaciń en G se define como: o M SG = ∂M M ∂G G = porcentaje de cambio en M porcentaje de cambio en G (1. ıa 1. Recu´rdese que en o e la prćtica GH es funciń de la frecuencia y la condiciń de estabilidad del sistema a o o en lazo cerrado depende de la magnitud y fase de GH. un buen sistema de o control debe ser muy insensitivo a variaciones en los par´metros pero sensitivo a a los comandos de entrada. En general. el sistema total puede ser estable si se selecciona o adecuadamente la ganancia F del lazo de realimentaciń exterior. 1. Se investigar´ el efecto que la realimentaciń tiene en la a o sensitividad a variaciones de par´metros.21. Si se introduce otro lazo de realimentaciń con ganancia F .44) . 1. la realimentaciń o podr´ mejorar la estabilidad o empeorarla si no es adecuadamente aplicada. Supńgase en la Fig. la relaciń entrada-salida del sistema total es: o G c = (1. Es decir. la resistencia de los devanados de un motor elćtrico cambia con el aumento e de temperatura del motor durante su operaciń.20 es inestable debido a que o GH = −1. o G SG = 1. Recu´rdese que en la prćtica GH es funciń de la frecuencia. De (1. con la condiciń n o de que el sistema permanezca estable. Perturbaciń externa. 1. en muchas situaciones la realimentaciń puede reducir el efecto del ruido o perturbaciń en el o o desarrollo del sistema.19 Efecto en la perturbaciń externa o ruido o Todos los sistemas f´ ısicos estń sujetos a algunos tipos de seãles extraãs o ruido a n n durante su operaciń. Aunque no se pueden sacar conclusiones generales. 1.22 Sistema con realimentaciń y ruido o En la Fig. la magnitud de la funciń sensio tividad se puede hacer arbitrariamente pequeã incrementando GH. L´gicamente para el sistema en lazo abierto. n es la seãl de ruido. voltajes en circuitos electrńicos debido al ruido o o t´rmico.22. Figura 1. H = 0.45) De (1. Por ejemplo. en el diseõ de un sistema de control se deben hacer consideraciones de n modo que el sistema sea insensitivo a las perturbaciones y ruidos y sensitivo a los comandos de entrada. tal como el viento actuando sobre sobre una antena. ∂G. Si no hay realimentaciń.42): M SG = 1 ∂M G = ∂G M 1 + GH (1.45) se nota que si GH es una constante positiva.22 INTRODUCCION en donde ∂M denota el cambio incremental en M debido al cambio incremental en G. Asi la magnitud de e a o 1 + GH podr´ ser menor que 1 sobre algunos rangos de frecuencia de modo que la ıa realimentaciń podr´ ser peligrosa para la sensitividad a variaciń de par´metros en o ıa o a ciertos casos. la salida es: n o . e o Por esto. N´tese que G2 no tendr´ efecto en esta relaciń.1. La relaciń seãl a ruido es n e o n ahora: c= SR = G1 G2 1+G1 G2 H r G2 1+G1 G2 H n = G1 r n (1. la o n aplicaciń de realimentaciń sugiere una posibilidad de mejorarla bajo ciertas condio o ciones. 1.48) 1 + G1 G2 H 1 + G1 G2 H Comparando (1. Supńgase que en el sistema de la Fig.49) que es la misma que sin realimentaciń. pero la componente debido a la seãl tambiń es cambiada por la misma cantidad. La a n relaciń seãl a ruido es entonces o n SR = G1 G2 r G2 1+G0 G2 H n 1 = G1 r (1 + G0 G2 H) 1 n (1. La realimentaciń en general tambiń tiene efectos en caracter´ o e ısticas de desarrollo tales como el ancho de banda.50) G2 n (1. Es o decir G0 G2 1 r0 = G1 G2 r 1 + G0 G2 H 1 Con G1 incrementada a G0 .19 Efecto en la perturbaciń externa o ruido 23 o c = G1 G2 e + G2 n en donde e = r. o 1 Existen otras configuraciones en los sistemas de control que permiten reducir los efectos de las perturbaciones y el ruido. la magnitud de G1 se incrementa o a n a G0 y r a r0 sin cambiar los otros par´metros. . o Con realimentaciń.51) 1 + G0 G2 H 1 la cual es m´s pequeã que la salida debida a n cuando G1 no es incrementada.22.48) con (1. respuesta transitoria y respuesta frecuencial. Sin embargo. La relaciń seãl a ruido SR de la salida se define como: o n (1. 1. En este caso. la realimentaciń no tiene o o efecto directo en la relaciń seãl a ruido del sistema de la Fig. la impedancia.22. la salida del sistema debido a r y n actuando simultaneamente o es: SR = G2 G1 G2 r+ n (1.47) salida debido al ruido G2 n n Para incrementar esta relaciń se debe incrementar la magnitud de G1 o e relativo a o ıa o n.52) la cual es mayor que la del sistema sin realimentaciń por un factor de (1 + G0 G2 H). de modo que la salida debida a la seãl 1 de entrada actuando sola tiene el mismo nivel que cuando no hay realimentaciń. la salida debida al ruido actuando sola es 1 e|n=0 = c|r=0 = (1.46) salida debido a la se˜ al n G1 G2 e e = = G1 (1.46) se nota que la componente de la salida debida al ruido e se reduce por el factor 1 + G1 G2 H si ´ste es mayor que 1. . hidrúlicos.2 Modelos matem´ticos a Muchos sistemas din´micos. se pueden o o caracterizar por ecuaciones diferenciales las cuales se obtienen con base en leyes f´ ısicas. independientemente de que sean mecńicos. Por ejemplo. inicialmente se a obtiene un modelo matem´tico simple.1. al despreciar la masa de un resorte. como por ejemplo ignorando no linealidades a y par´metros distribuidos (como en el caso de l´ a ıneas de transmisiń elćtrica).1 Objetivo Se plantean modelos matem´ticos de sistemas mecńicos traslacionales y rotacionales. etc. como por ejemplo las leyes de Kirchhoff.CAPITULO 2 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 2. a Se debe tener en cuenta que a veces los modelos son v´lidos en operaciones de baja a frecuencia y no a frecuencias muy altas. neum´ticos y t´rmicos. su modelo es v´lido a bajas frecuencias. Otro ejemplo que ilustra como un dispositivo f´ ısico se podr´ modelar con varios modelos es el de una bobina. a a e t´rmicos. hidrúlicos. Muchas veces en el an´lisis de un sistema. 25 . etc. a a sistemas elćtricos. qu´ e a a ımicos. Se puede definir un modelo matem´tico como la descripciń matem´tica del coma o a portamiento del sistema. elćtricos. biol´gicos. su masa debe a ser tenida en cuenta en el modelo. neum´ticos. ıa 2. Para altas frecuencias. e a a e 2. las leyes de Newton. como se muestra en la Fig. econ´micos. con el o e fin de obtener ecuaciones diferenciales lineales y de par´metros concentrados. lineales. podr´ incluir operaciones como diferenciaciń e integraciń y podr´ ser dado en ıa o o ıa lenguaje probabil´ ıstico. La relaciń entre la entrada y la salida se indica a menudo o simb´licamente como: o y(t) = Lv(t) (2. Podr´ ser funciń de v. conocidas como ecuaciones de estado o mediante una ecuaciń diferencial de n−´simo orden. . y y ıa o t.26 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2.2 no contiene fuentes independientes y que su estado energ´tico inicial es nulo antes de que la seãl e n de entrada sea aplicada. aunque ya esto implica que el sistema es lineal o ha sido linealizado. 2. Antes de continuar con estos dos m´todos se harń las definiciones de lo que son e a sistemas determin´ ısticos.3 Clasificaciń de sistemas o Figura 2. Sin emo e bargo.1 Diferentes modelos de una bobina Los modelos matem´ticos se pueden representar b´sicamente en dos formas: mea a diante un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden.2 Sistema con estado energ´tico inicial nulo e Para las siguientes definiciones se supone que el sistema de la Fig. invariantes con el tiempo y causales. ´ Las funciones o matrices de transferencia se pueden obtener a partir de las anteriores. 2.1) expresa que hay una relaciń de causa y o o efecto entre v(t) y y(t). esta ultima queda restringida a sistemas con una sola entrada y una sola salida.1) en donde L es un operador que caracteriza el sistema. La ecuaciń (2. 2. o e o La mayor´ de sistemas lineales lo son en solamente rangos restringidos de ope-raciń. Un ultimo ejemplo es la alinealidad por zona muerta.5). como se muestra en la Fig.3. tales ıan como el ruido. α y β.2. 2. y(to ) est´ determinada completamente por las caracter´ ısticas del sistema y por los valores de v(t) para t ≤ to . 2. pueden ser descritas s´lo en un sentido estad´ o ıstico o probabil´ ıstico. v2 .3.1 Sistema determin´ ıstico Un sistema es determin´ ıstico si para cada entrada v(t) hay una unica salida y(t). la salida es no o determin´ ıstica. Si la entrada a un sistema determin´ ıstico es una funciń aleatoria. respectivamente.2): o L[αv1 (t) + βv2 (t)] = αL[v1 (t)] + βL[v2 (t)] (2.3. En particular. la seãl de salida de un amplificador se puede saturar para niveles ı n elevados de la seãl de entrada.3 Sistema lineal 27 2. entonces y(t) ≡ 0 ∀ t < to . ıa o As´ por ejemplo.4).3 Sistema lineal Si se supone que las respuestas del sistema de la Fig.2 Sistema causal Un sistema es causal o no anticipativo si la salida actual no depende de valores a futuros de la entrada. los a cuales pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad y no lineales a altas velocidades (en este caso la fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad. cada una con cierta probabilidad de ocurrencia para una entrada dada.3). 2. 2.2) La ecuaciń (2.2) tambiń se conoce como el principio de superposiciń. 2. se dice que el sistema es lineal si la respuesta a v(t) = αv1 (t) + βv2 (t) es y(t) = αy1 (t) + βy2 (t) para o todos los valores de v1 . y que α y β son dos constantes. Esto se puede expresar simb´licamente mediante la ecuaciń (2. Las aleatorias. En tal caso. A esta no linealidad se le conoce como alinealidad n por saturaciń (váse la Fig. si v(t) ≡ 0 ∀ t ≤ to . la cual se puede presentar entre ´ las posiciones angulares de un par de engranajes mecńicos (váse la Fig. En ´ un sistema probabil´ ıstico o no determin´ ıstico hay varias posibles salidas. Las entradas a un sistema podr´ ser funciones conocidas o funciones aleatorias. a e . o e Otro ejemplo lo constituyen los amortiguadores utilizados en sistemas mecńicos.2 a dos entradas diferentes v1 (t) y v2 (t) son y1 (t) y y2 (t). entonces la respuesta a .28 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2. Si la respuesta a v(t) es y(t).4 Alinealidad cuadr´tica a Figura 2.3.4 Sistema invariante con el tiempo Un sistema es invariante con el tiempo si la relaciń entre la entrada y la salida o es independiente del tiempo.3 Alinealidad por saturaciń o Figura 2.5 Alinealidad por zona muerta 2. la amplitud y forma de la salida son independientes del tiempo en el cual la entrada es aplicada. la ecuaciń (2. o se ha linealizado alrededor de un punto de operaciń (deo mostraciń que se har´ posteriormente).4 Ecuaciones de estado Las ecuaciones de estado o la ecuaciń (matricial) de estado la constituye un conjunto o de ecuaciones diferenciales de primer orden.3) 2. t) ˙ en donde f es un funciń vectorial no lineal. Matem´ticamente: a x = f (x.6 Sistema multivariable Si el sistema es lineal. que describe completamente el comportamiento del sistema que se quiere modelar.6) en donde C es de dimensiones p × n y se le conoce como matriz de salida.4 Matriz de transferencia 29 v(t−λ) es y(t−λ). y D es de dimensiones p × m y se le conoce como matriz directa. y o B es de dimensiones n × m y se le conoce como matriz de entrada. Este m´todo de plantear el modelo e matem´tico de un sistema es muy importante porque puede ser aplicado a sistemas a no lineales y sistemas multivariables.4) se reduce a: o a o x = Ax+Bu ˙ (2.5) en donde A es de dimensiones n × n y se le conoce como matriz de realimentaciń. Si el sistema ha sido completamente descrito mediante variables de estado. As´ se plantea la a e o e ı ecuaciń de salida: o y = Cx+Du (2.4) Figura 2. o (2.2. Simb´licamente: o L[v(t − λ)] = y(t − λ) (2. En tal sistema. siempre ser´ posible expresar las p salidas de inter´s (y) en funciń de ´llas. . u. S´lo depende de los par´metros que caracterizan al sistema.4. y es aquella que relaciona Y(s) con U(s). entonces de (2.10) 2.8) Como la matriz de transferencia (H(s)) se define suponiendo que el estado ener-g´tico e inicial es nulo.6 Sistemas mecńicos de traslaciń a o Los elementos de sistemas mecńicos idealizados son la masa.12) La cual no depende de las condiciones iniciales ni del tipo de seãl aplicada a la n entrada.7) (2.11) suponiendo condiciones iniciales nulas (y(0) = y (1) (0) = · · · = y(n−1) (0) = 0).9) se obtiene: H(s) = C(sI − A)−1 B+D (2.6) suponiendo que el estado energ´tico inicial es x(0− ).7) en (2.1 Matriz de transferencia Utilizando la transformada de Laplace en las ecuaciones (2. Matem´ticamente: a y (n) + a1 y(n−1) + · · · + an y = b0 u(m) + b1 u(m−1) + · · · + bm u (2.11) Utilizando la transformada de Laplace en (2.30 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 2.5 Una ecuaciń diferencial de n−´simo orden o e El m´todo de plantear el modelo matem´tico de un sistema mediante una ecuaciń e a o diferencial de n−´simo orden es util en sistemas escalares. el resorte y el amora tiguador. o a 2. se obtiene la funciń de transferencia: o H(s) = b0 sm + b1 sm−1 + · · · + bm s Y (s) = n U (s) s + a1 sn−1 + · · · + an s (2.5) y (2. y organizando se obtienen: e X(s) = (sI − A)−1 x(0− ) + (sI − A)−1 BU(s) Y(s) = CX(s)+DU(s) Reemplazando (2. adem´s de servir en sistemas escalares.8) se obtiene: Y(s) = C(sI − A)−1 x(0− ) + [C(sI − A)−1 B+D]U(s) (2. . es para sistemas lineales o que a han sido linealizados. Si se utiliza la funciń de e ´ o transferencia.9) (2. El desplazamiento del extremo a superior y y del extremo inferior yo se miden desde sus respectivas posiciones de equilibrio. Su sentido en el extremo superior se muestra en la Fig.6. 2. u es la fuerza neta resultante actuando sobre a ´lla y y su desplazamiento con respecto a una posiciń de equilibrio (es decir. 2.7 se muestra el diagrama de un masa M que se ha aislado de un sistema m´s complejo del cual forma parte. cuando e o el sistema est´ en reposo).2. 2. Una fuerza restauradora es desarrollada debido a la propiedad el´stica del a resorte.14): o .2 Resorte traslacional Figura 2.13) dt2 Es importante hacer notar que la masa en movimiento almacena energ´ y cuya exıa ˙ presiń. su sentido de a o referencia se muestra en la Fig.13): o o d2 y (2.6 Resorte traslacional 31 2. 2.8 se muestra el diagrama de un resorte con constante K que se ha aislado de un sistema m´s complejo del cual forma parte. la cual se puede demostrar fćilmente.7 y su expresiń es dada por la ecuaciń (2.6.8 (en el inferior tiene el sentido opuesto al del superior) y su expresiń.1 Masa Figura 2. es dada o u por la ecuaciń (2. segń la ley de Hooke.8 Resorte traslacional En la Fig. o a 2 fM = M 2. es E = 1 M (y)2 .7 Masa En la Fig. Una fuerza de reacciń fM se desarrolla. el amortiguador es un dispositivo que transforma energ´ en calor.32 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS fK = K(y − yo ) (2.9 y su expresiń es dada por o la ecuaciń (2.15) Si el terminal de referencia. . 2 Se puede demostrar que la energ´ almacenada por el resorte es E = 1 u . se miden desde sus respectivas posiciones de equilibrio. Ejemplo 2. 2. entonces en este caso fB = B y. Una fuerza de reacciń se desarrolla. 2. Las a posiciones y y yo de los extremos superior e inferior. y se puede demostrar que la energ´ transıa ıa formada en calor por unidad de tiempo (potencia P ) es dada por P = Bv2 .10(a) plantear un a o modelo matem´tico. en donde ıa 2 K u es la fuerza neta en el extremo superior. su o sentido en el extremo superior se muestra en la Fig. u(t) es una fuerza externa.1 Para el sistema mecńico traslacional de la Fig.14) Si el extremo inferior (podr´ denominarse como el extremo de referencia) est´ en el ıa a origen del sistema de coordenadas. yo .6. es estacionario. 2.3 Amortiguador traslacional Figura 2. 2. ˙ A diferencia de los dos elementos idealizados anteriores.9 Amortiguador traslacional En la Fig.15): o fB = B( dy dyo − ) dt dt (2. y1o es la posiciń en reposo con peso a y yo es la longitud del resorte sin peso (longitud natural del resorte).9 se muestra el diagrama de un amortiguador con coeficiente de fricciń o viscosa B que se ha aislado de un sistema m´s complejo del cual forma parte. entonces en este caso fK = Ky. en donde v es la velocidad relativa de los extremos del amortiguador. respectivamente. 17) en (2.20) .10 Sistema del ejemplo 2.1 Utilizando el diagrama de cuerpo libre de la Fig.17): M g = K(y1o − yo ) Reemplazando (2.18) (2.16) y organizando se obtiene: M d2 y1 dy1 + K(y1 − y1o ) = u(t) +B 2 dt dt (2.19) (2.16): o Mg − B d2 y1 dy1 + u(t) − K(y1 − yo ) = M 2 dt dt (2.16) se reduce a: o a Mg − 0 + 0 − K(y1o − yo ) = 0 de donde se obtiene (2. 2. 2.10 la convenciń utilizada para medir la posiciń de la masa con respecto a la o o posiciń de equilibrio y) : o y = y1 − y1o d(y1 − y1o ) dy1 dy = = dt dt dt (2.17) Haciendo un cambio de variable con relaciń a la posiciń de equilibrio (n´tese en la o o o Fig.2.16) N´tese que cuando el sistema est´ en reposo con u(t) = 0.10(b) y aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuaciń (2. (2.6 Amortiguador traslacional 33 Figura 2. Dividiendo ambos miembros de (2. o o el peso no interviene.26) + K −2 Ms U (s) (2.22) por M y tomando la transo formada de Laplace en ambos lados de la ecuaciń.21) en (2.24) Se obtienen polinomios en el numerador y el denominador de G(s) con exponentes negativos.18) se obtiene la ecuaciń diferencial que o relaciona la posiciń de la masa M desde la posiciń de equilibrio (y) con la entrada o o (u(t)): dy d2 y + Ky = u(t) (2. De (2. El siguiente procedimiento para obtener las anteriores ecuaciones se generalizar´ en la a siguiente secciń.25): Y (s) = Se define: E(s) .2 Plantear un conjunto de ecuaciones de estado y de salida del sistema del ejemplo anterior.20) y (2.28) 1 1+ B −1 Ms 1 −2 Ms U(s) B −1 K + M s−2 Ms Y (s) = U (s) 1+ 1 −2 Ms B −1 K + M s−2 Ms (2.25) 1+ (2.26): B −1 K −2 s U(s) − s U (s) M M (2. Por lo tanto se dividen tanto el numerador como el denominador por s2 en este caso particular y se obtiene: G(s) = De (2.22) +B 2 dt dt N´tese que si se escoge como referencia la posiciń de equilibrio (sistema en reposo).23) (2.19). (2. M Ejemplo 2.27) en (2.27) .34 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS d2 y1 d2 y = (2.23): ˙ K 1 B s+ )Y (s) = U (s) M M M de la cual se obtiene la funciń de transferencia del sistema: o (s2 + G(s) = Y (s) = 2 U (s) s + 1 M B K Ms+ M (2.27) se obtiene: E(s) = U (s) − Reemplazando (2. suponiendo condiciones iniciales o nulas (y(0) = y(0) = 0) se obtiene (2.21) dt2 dt2 Reemplazando (2. 31).33) (2.2 N´tese del diagrama de bloques que: o 1 X2 (s) = X1 (s) s (2.28) se obtiene la mayor parte del diagrama de bloques (´til o u en simulaciń de sistemas) de la Fig. utilizando la Transformada inversa de Laplace suponiendo condiciones iniciales nulas y escribiendo las ecuaciones en forma matricial se obtiene la ecuaciń de estado (2.7 Un m´todo para obtener la ecuaciń de estado y la de salida 35 e o 1 −2 s E(s) (2. (2. Y (s) = Figura 2.11 Diagrama de bloques del ejemplo 2.30) 1 B 1 K X1 (s) − X2 (s)) (2.30) y (2.2.29) se obtiene el resto del diagrama de bloques de la Fig.34) .32) 0 x2 ˙ x2 1 0 Con la ecuaciń (2.11).31) X1 (s) = E(s) = (U(s) − s s M M Multiplicando ambos miembros de las ecuaciones (2.11 y o a su vez se obtiene la ecuaciń de salida: o 1 X2 (s) M que en el dominio del tiempo y en forma matricial es: ¸ · ¤ x1 £ ¤ £ 1 0 M + 0 u(t) y(t) = x2 Y (s) = (2. 2.32): o ¸ · B ¸ · ¸ ¸· · K 1 x1 x1 ˙ −M −M = + u(t) (2. del cual se pueden obtener fćilmente o a las ecuaciones de estado si se consideran como variables de estado las salidas de los integradores (x1 y x2 ).29) M Utilizando la ecuaciń (2. 2.12.12 Diagrama de bloques de la realizaciń ”Controller” o Con (2.37) en (2. Sin p´rdida de generalidad. se obtiene: H(s) = Se define: b0 s−1 + b1 s−2 + · · · + bn−1 s−n Y (s) = U(s) 1 + a1 s−1 + · · · + an s−n 1 U (s) + · · · + an s−n (2.38) De la ecuaciń (2.36) E(s) = De donde: 1 + a1 s−1 (2.38) se puede deducir parte del diagrama de bloques de la Fig.7 Un m´todo para obtener la ecuaciń de estado e o y la de salida Este m´todo es v´lido para sistemas escalares cuya funciń de transferencia es conoe a o cida.35) Dividiendo tanto el numerador como el denominador de H(s) por sn . Se supone que el grado del polinomio del numerador de la funciń de transfereno cia es menor o igual que el del denominador. o Figura 2. consid´rese: e e H(s) = b0 sn−1 + b1 sn−2 + · · · + bn−1 Y (s) = U(s) sn + a1 sn−1 + · · · + an (2.36 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 2.37) E(s) = −a1 s−1 E(s) − a2 s−2 E(s) − · · · − an s−n E(s) + U (s) (2.36) se obtiene: . . se puede deducir de la Fig. 0      =       +           u(t)  (2. xn ˙   −a1 1 . . . .3 a La Fig. ··· · · · −an ··· 0 . 0 −a2 0 . 2.12. . . 1 0      x1 x2 . 2. . 2.2. . La entrada al sistema es el desplazamiento u(t). . . .41) Esta representaciń es conocida como una simulaciń o realizaciń canńica llamada o o o o ”Controller”. . xn (2.3 Para el sistema mecńico traslacional de la Fig. .12 las ecuaciones de estado y de salida:      x1 ˙ x2 ˙ .13 plantear un a conjunto de ecuaciones que lo describa completamente y obtener la funciń de transo ferencia considerando como salida el desplazamiento y. Figura 2.7 Un m´todo para obtener la ecuaciń de estado y la de salida 37 e o Y (s) = b0 s−1 E(s) + b1 s−2 E(s) + · · · + bn−1 s−n E(s) (2. o 2.39) Con la ecuaciń (2.14 muestra los diagramas de cuerpo libre de las dos masas. en donde por simplicidad se ha supuesto que u > y > z. xn    1 0 . . . Si se definen las salidas de los integradores como las variables de estado.39) se obtiene la otra parte del diagrama de bloques de la Fig.40) y(t) = £ b0 b1 · · · bn−1 ¤    x1 x2 . . Ejemplo 2.13 Sistema mecńico traslacional del ejemplo 2.. . 46) y (2.43) dz d2 z = M2 2 dt dt Reorganizando t´rminos se obtienen (2.46) y (2.38 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2.44) y (2. K1 (u − y) − K2 (y − z) − B1 K2 (y − z) − B2 dy d2 y = M1 2 dt dt (2.42) (2. las cuales describen completamente el sistema.42) y (2.43).44) y (2.48) a1 = M1 B2 + M2 B1 M1 M2 a2 = K2 M1 + (K1 + K2 )M2 + B1 B2 M1 M2 .14 Diagramas de cuerpo libre de M1 y M2 Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las masas se obtienen las ecuaciones (2.47) Manipulando algebrícamente (2.45): e M1 y + B1 y + (K1 + K2 )y − K2 z = K1 u(t) ¨ ˙ −K2 y + M2 z + B2 z + K2 z = 0 ¨ ˙ (2.46) (2.45) Aplicando la Transformada de Laplace a ambos miembros de las ecuaciones (2.44) (2.45) suponiendo condiciones iniciales nulas se obtienen (2.47): [M1 s2 + B1 s + (K1 + K2 )]Y (s) − K2 Z(s) = K1 U (s) −K2 Y (s) + [M2 s2 + B2 s + K2 ]Z(s) = 0 b3 Y (s) = 4 3 + a s2 + a s + a U (s) s + a1 s 2 3 4 donde: b3 = K1 M1 M2 (2.47) se obtiene la funciń de transferencia: a o (2. Sea ´sta de la forma dada o e en la ecuaciń (2.49) se obtiene: y (n) + [a1 y − b0 u](n−1) + · · · + [an−1 y − bn−2 u](1) = [bn−1 u − an y] Integrando ambos miembros se obtiene: y(n−1) + [a1 y − b0 u](n−2) + · · · + [an−1 y − bn−2 u] = Reorganizando (2.52): (n−2) (n−3) (2.49): o y(n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y (1) + an y = b0 u(n−1) + b1 u(n−2) + · · · + bn−2 u(1) + bn−1 u (2.8 Otro m´todo para obtener la ecuaciń de e o estado y la de salida Este m´todo es tambiń v´lido para un sistema escalar y se parte de que se conoce e e a la ecuaciń diferencial que relaciona la entrada y la salida. 2.41) fćilmente se pueden obtener las ecuaciones de estado a y de salida.54) (2.53) Se repite el mismo proceso hasta que se finalmente se obtiene: Z y (1) + [a1 y − b0 u] = [x3 + b1 u − a2 y]dt = x2 y (1) = x2 + b0 u − a1 y (2.40) y (2.51): y (n−1) + [a1 y − b0 u](n−2) + · · · + [an−2 y − bn−3 u](1) = xn + bn−2 u − an−1 y (2.49) Reorganizando (2.8 Otro m´todo para obtener la ecuaciń de estado y la de salida 39 e o a3 = B1 K2 + B2 (K1 + K2 ) M1 M2 a4 = K1 K2 M1 M2 Utilizando ahora (2.50) Z [bn−1 u − an y]dt = xn (2.51) y + [a1 y − b0 u] + · · · + [an−2 y − bn−3 u] = Z [xn + bn−2 u − an−1 y]dt = xn−1 (2.52) Integrando (2.2.55) . De dicho diagrama se pueden obtener fćilmente las ecuaciones de estado y a de salida.   . xn ˙ xn bn−1 −an · · · 0 0   x1  x2  £ ¤  (2.   .  ..   ..57)  . . . = .   x2   b1  .54).56).49) se puede obtener la funciń de transferencia: o o H(s) = Y (s) b0 sn−1 + b1 sn−2 + · · · + bn−1 = (2.  . . . .40 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Z y= [x2 + b0 u − a1 y]dt = x1 (2. las cuales escritas en forma matricial son:    −a  1 · · · 0  x1   b0  1 x1 ˙ .56) Las ecuaciones (2.   .15 es conocida como la tipo ”Obo o o server”. (2.  u(t) . xn De la ecuaciń diferencial (2.58) y(t) = 1 0 · · · 0  .  +  . .  . (2.  x2   .15 Realizaciń canńica ”Observer” o o La simulaciń o realizaciń canńica de la Fig. 1  .59) U(s) sn + a1 sn−1 + · · · + an que es la misma que se utiliz´ en el m´todo de la secciń anterior para obtener las o e o ecuaciones de estado y de salida. . . Figura 2.   . 2. 2.53) y (2. .      ˙   −a2 0  (2.51) se pueden implementar mediante el diagrama de bloques de la Fig.15. 9.1 Inercia Figura 2.16 y su expresiń es dada o por la ecuaciń (2. ıa o a 2 2. 2.9 Resorte rotacional 41 2. Un torque de reacciń TJ se a o desarrolla.9.9 Sistemas mecńicos de rotaciń a o Los elementos de sistemas mecńicos de rotaciń idealizados son la inercia.2 Resorte rotacional . 2. es E = 1 J(θ)2 .16 Inercia En la Fig. 2.60) Es importante hacer notar que un cuerpo con inercia en movimiento angular almacena ˙ energ´ y cuya expresiń.2. el resorte a o y el amortiguador. la cual se puede demostrar fćilmente.60): o d2 θ dt2 TJ = J (2. T es el torque neto resultante a actuando sobre ´lla y θ su desplazamiento angular con respecto a una posiciń de e o equilibrio (es decir. cuando el sistema est´ en reposo).16 se muestra el diagrama de un cuerpo con inercia J que se ha aislado de un sistema m´s complejo del cual forma parte. su sentido de referencia se muestra en la Fig. 2.17 se muestra el diagrama de un resorte rotacional (un ejemplo puede ser un eje el´stico) con constante K que se ha aislado de un sistema m´s complejo a a del cual forma parte. 2. respectivamente.17 Resorte rotacional En la Fig.42 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2. A diferencia de los dos elementos idealizados anteriores. 2.18 se muestra el diagrama de un amortiguador rotacional con coeficiente de fricciń viscosa B que se ha aislado de un sistema m´s complejo del cual forma o a parte.61): o TK = K(θ − θo ) (2.9.61) 1 T2 2 K. entonces en este caso TK = Kθ. y se puede demostrar que la energ´ ıa ıa transformada en calor por unidad de tiempo (potencia P ) es dada por P = Bω 2 .62): o o dθ dθo − ) (2.17 y su expresiń o es dada por la ecuaciń (2. en donde ω es la velocidad angular relativa de los extremos del amortiguador. 2. su sentido en el extremo derecho se muestra en o la Fig. 2. TB = B( . Las posiciones angulares θ y θo de los extremos derecho y de referencia (el izquierdo). Su sentido en el extremo derecho se muestra en la Fig. entonces en este caso TB = B θ.62) dt dt ˙ Si el extremo de referencia es estacionario. Un torque de reacciń se desarrolla. Si el extremo de referencia es estacionario.18 y su expresiń es dada por la ecuaciń (2.18 Amortiguador rotacional En la Fig. Se puede demostrar que la energ´ almacenada por el resorte rotacional es E = ıa en donde T es el torque neto actuando en el extremo derecho. El desplazamiento angular del extremo derecho θ y del extremo izquierdo (extremo de referencia) θo se miden desde sus respectivas posiciones de equilibrio.3 Amortiguador rotacional Figura 2. se miden desde sus respectivas posiciones de equili-brio. el amortiguador rotacional es un dispositivo que transforma energ´ en calor. Un torque de reacciń se desarrolla debido a la propiedad el´stica del o a resorte. 63) Organizando se obtiene la ecuaciń pedida: o d2 θ dθ + Kθ = T (t) +B dt2 dt J (2.63): a o d2 θ dθ − Kθ = J 2 dt dt T (t) − B (2.4 a Utilizando el diagrama de cuerpo libre de la Fig.10 Circuito serie R-L-C 43 Ejemplo 2.19(b) y aplicando la segunda ley de Newton para sistemas mecńicos rotacionales se obtiene la ecuaciń (2. 2. o Figura 2.10 Circuito serie R-L-C .4 Para el sistema mecńico rotacional de la Fig.2.65) 2.64) suponiendo condiciones inio ciales nulas se obtiene la funciń de transferencia: o θ(s) = 2 T (s) s + 1 J B K Js+ J G(s) = (2. 2.19 hallar la ecuaciń a o θ(s) diferencial que relaciona a θ(t) con T (t) y la funciń de transferencia T (s) .19 Sistema mecńico rotacional del ejemplo 2.64) Transformando ambos miembros de la ecuaciń (2. Esto explica porqu´ se denomina la analog´ fuerza-torque-voltaje.20) se nota que son de forma idńtica. (2. 2.68): o L 1 d2 q dq + R + q = vi (t) dt2 dt C (2. Tales e e sistemas se denominan sistemas an´logos y los t´rminos que ocupan las posiciones a e correspondientes en las ecuaciones diferenciales se denominan magnitudes y variables an´logas.68) de los sistemas f´ ısicos correspondientes (mecńico traslacional de la Fig. 2. 2.67) Reemplazando (2.19 y circuito elćtrico de la Fig. La a e ıa siguiente tabla hace un resumen de las analog´ ıas: .20 Circuito serie RLC Aplicando la segunda ley de Kirchhoff (de voltajes) a la unica trayectoria cerrada del ´ circuito de la Fig.11 Analog´ fuerza-torque-voltaje ıa Comparando las ecuaciones diferenciales (2.66) se obtiene la ecuaciń diferencial (2.22).20 se obtiene la ecuaciń (2.68) 2.10. 2.44 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2.67) en (2.66) Utilizando la definiciń de corriente elćtrica como la variaciń por unidad de tiempo o e o del flujo neto de carga a trav´s de la secciń transversal de una puerta: e o i= dq dt (2.66): o Z vi (t) = Ri + L 1 di + dt C idt (2.64) y (2. mecńico rotacional de la a a Fig. fricciń viscosa B o Constante del resorte K Sist. ıa Figura 2. en el circuito se supone que todas las corrientes de malla tienen el mismo sentido. Ejemplo 2. mecńico traslacional a Fuerza u Velocidad lineal y ˙ Desplazamiento lineal y Masa M Coef.21 utilizando la analog´ fuerza-torque-voltaje.5 a ˙ N´tese de la Fig.11 Analog´ fuerza-torque-voltaje 45 ıa Sist. 2. a a El circuito elćtrico an´logo a un sistema mecńico traslacional (rotacional) se puede e a a obtener teniendo en cuenta la anterior tabla y notando que por cada masa (inercia) o punto que se desplace (rote) a cierta velocidad en el sistema mecńico. 2. habr´ una malla a a en el circuito an´logo. sin p´rdida de generalidad.5 Plantear un modelo matem´tico para el sistema mecńico traslacional a a de la Fig.2. que todas aquellas a e velocidades son positivas con respecto a la referencia. mecńico rotacional a Torque T ˙ Velocidad angular θ Desplazamiento angular θ Inercia J Coef. fricciń viscosa B o Constante del resorte K Sistema elćtrico e Voltaje v Corriente i Carga q Inductancia L Resistencia R Inverso capacitancia 1 C Es posible entonces obtener circuitos elćtricos an´logos a sistemas mecńicos traslae a a cionales y rotacionales y utilizar todas las tćnicas de descripciń de redes para e o plantear modelos matem´ticos para los sistemas mecńicos.21 que hay dos velocidades y1 y y2 que se suponen positivas con o ˙ . Si se supone.21 Sistema mecńico traslacional del ejemplo 2. 22 se obtienen las ecuaciones que lo describen: Z 1 di2 (i2 − i1 )dt + R2 (i2 − i1 ) + (2. Figura 2. lo cual coincide con que si p(0) > 0. las corrientes i1 (o) e i2 (0) son positivas con los sentidos mostrados ˙ cuando v(0) > 0. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada una de las mallas del circuito de la Fig. 2. la fuerza externa p(t) tiene como an´logo en el circuito la fuente de voltaje a v(t). Utilizando la tabla de la a ˙ ˙ analog´ fuerza-torque-voltaje se obtienen los elementos de circuito correspondientes a ıa las masas. Por lo tanto. 2.22 Circuito elćtrico an´logo del ejemplo 2.70) se a . B2 y K2 . ambas con el mismo sentido (horario en este caso). si el estado energ´tico inicial o e se supone nulo. C1 = K1 . entonces las corrientes netas a trav´s de las inductancias an´logas ˙ ˙ ı correspondientes L1 y L2 son i1 e i2 y por lo tanto pertenecen a las mallas 1 y 2. y1 (0) y y2 (0) son positivas con ˙ los sentidos mostrados.46 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS respecto a la referencia. a pertenecen a la malla 1. v(t) = p(t). L1 = M1 . con sentido de referencia hacia e arriba) ya que los extremos de sus an´logos. C2 = K2 .22) tendr´ e a a dos mallas (1 y 2) cuyas corrientes i1 e i2 . el circuito elćtrico an´logo (Fig. As´ ˙ mismo. ˙ ˙ Finalmente.70) 0 = L1 dt C1 C2 Reemplazando las anteriores magnitudes y variables an´logas en (2. R1 = B1 . i2 = y2 . Puesto que las masas M1 y M2 se mueven a las e a velocidades y1 y y2 . respectivamente. se mueven a las velocidades a ˙ ˙ y1 y y2 (la velocidad relativa del extremo inferior con respecto al superior es y1 − y2 ). como uno de los extremos de B1 y de K1 se mueve a la velocidad y1 y el otro extremo es fijo. N´tese que con la polaridad mostrada de la fuente. R2 = B2 . respectivamente.69) v(t) = L2 dt C2 Z Z 1 1 di1 i1 dt + (i1 − i2 )dt + R2 (i1 − i2 ) + R1 i1 + (2. entonces sus elementos de circuito an´logo R1 y C1 .69) y (2. son an´logas a las velocidades y1 y y2 . N´tese que R2 y C2 son elementos comunes a las mallas o 1 y 2 (la corriente neta a trav´s de ellos es i1 − i2 . ˙ i1 = y1 .5 e a Las siguientes son las magnitudes y variables an´logas: a 1 1 ˙ L2 = M2 . resortes y amortiguadores. 74) se obtienen (2. que y2 > y1 y que y2 > y1 . en los cuales se ˙ ˙ ha supuesto.11 Analog´ fuerza-torque-voltaje 47 ıa obtienen las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema mecńico traslaa cional de la Fig.73) y (2. 2.7 Plantear un modelo matem´tico para el sistema mecńico rotacional a a de la Fig. 2.24 utilizando la analog´ fuerza-torque-voltaje.72) Ejemplo 2.71) 0 = M1 dy1 dy2 d2 y1 dy1 + K1 y1 + K2 (y1 − y2 ) + B2 ( − ) + B1 2 dt dt dt dt (2.6 Verificar que las ecuaciones (2.72) describen el comportamiento del sistema de la Fig. Ejemplo 2. ıa .23 se obtienen las siguientes ecuaciones: p(t) − B2 ( dy2 dy1 d2 y2 − ) − K2 (y2 − y1 ) = M2 2 dt dt dt dy2 dy1 dy1 d2 y1 − ) − B1 − K1 y1 = M1 2 dt dt dt dt (2.71) y (2. 2.74) Reorganizando (2. por comodidad . 2.2. 2.71) y (2. Figura 2.21.21: p(t) = M2 dy2 dy1 d2 y2 − ) + K2 (y2 − y1 ) + B2 ( dt2 dt dt (2.73) K2 (y2 − y1 ) + B2 ( (2.23 Diagramas de cuerpo libre de M1 y M2 Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las masas de la Fig. La Fig.23 muestra los diagramas de cuerpo libre de las dos masas.72). entonces sus elementos de circuito an´logo R1 y R2 . Puesto que las ˙ ˙ inercias J1 y J2 se mueven a las velocidades θ1 y θ2 . Figura 2. e a 2. uno de los extremos de ˙ B3 y de B4 se mueve a la velocidad θ2 y el otro extremo es fijo. N´tese a que C es un elemento comń a las mallas 1 y 2 (la corriente neta a trav´s de ´l es u e e a i1 −i2 .25 Circuito elćtrico an´logo del ejemplo 2. son an´logas a las velocidades θ1 y θ2 . si el estado energ´tico inicial se supone nulo. resortes y amortiguadores.24 Sistema mecńico rotacional del ejemplo 2. entonces sus elemeno tos de circuito an´logo R3 y R4 . respectivamente. las corrientes i1 (o) e i2 (0) e son positivas con los sentidos mostrados cuando v(0) > 0. 2. entonces las corrientes netas a trav´s de las inductancias an´logas correspondientes L1 y L2 son i1 e i2 y por lo tanto e a pertenecen a las mallas 1 y 2. respectivamente. pertenecen a la malla 2. K. con sentido de referencia hacia abajo) ya que los extremos de su an´logo.7 e a . Como uno de los extremos de B1 y de B2 se mueve a la ˙ a velocidad θ1 y el otro extremo es fijo. el torque externo T (t) tiene como con respecto al derecho es θ an´logo en el circuito la fuente de voltaje v(t). Por lo tanto. ambas con el mismo sena ˙ ˙ tido (horario en este caso). el circuito elćtrico an´logo (Fig. a Utilizando la tabla de la analog´ fuerza-torque-voltaje se obtienen los elementos de ıa circuito correspondientes a las inercias. pertenecen a la malla 1.25) tendr´ dos mallas (1 y 2) cuyas corrientes i1 e i2 . θ1 (0) y θ2 (0) son positivas con los sentidos mostrados. lo cual coincide con que si ˙ ˙ T (0) > 0. Finalmente. se ˙ ˙ mueven a las velocidades angulares θ1 y θ2 (la velocidad relativa del extremo izquierdo ˙ ˙1 − θ2 ).48 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2. respectivamente.24 que hay dos velocidades angulares θ1 y θ2 que se suponen o positivas con los sentidos mostrados. Asi mismo. N´tese que con la polaridad mostrada a o de la fuente.7 a ˙ ˙ N´tese de la Fig. 77) y (2. 2.75) y (2.80) dθ2 dθ2 d2 θ2 − B4 = M2 2 dt dt dt Reorganizando (2.12 Circuito paralelo R-L-C 49 Las siguientes son las magnitudes y variables an´logas: a 1 L2 = J2 . ˙ i2 = θ Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada una de las mallas del circuito de la Fig. 2.24: T (t) = (B1 + B2 ) 0 = (B3 + B4 ) dθ1 d2 θ1 + M1 2 + K(θ1 − θ2 ) dt dt (2.26 Diagramas de cuerpo libre de J1 y J2 Aplicando la segunda ley de Newton para sistemas rotacionales a cada una de las inercias de la Fig.75) v(t) = (R1 + R2 )i1 + L1 dt C Z 1 di2 + (i2 − i1 )dt (2. R2 = B2 . R4 = B4 . ˙2 .25 se obtienen las ecuaciones que lo describen: Z 1 di1 + (i1 − i2 )dt (2.26 se obtienen las siguientes ecuaciones: T (t) − B1 dθ1 dθ1 d2 θ1 − B2 − K(θ1 − θ2 ) = M1 2 dt dt dt (2. R3 = B3 . R1 = B1 . i1 = θ1 . v(t) = T (t). 2.77) (2. 2.77) y (2.76) se a obtienen las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema mecńico rotaa cional de la Fig.26 muestra los diagramas de cuerpo libre de las dos inercias Figura 2.79) y (2. C = K .78) describen el comportamiento del sistema de la Fig.80) se obtienen (2.78).24.76) 0 = (R3 + R4 )i2 + L2 dt C Reemplazando las anteriores magnitudes y variables an´logas en (2.79) (2. La Fig.78) dθ2 d2 θ2 + M2 2 + K(θ2 − θ1 ) dt dt Ejemplo 2. 2.8 Verificar que las ecuaciones (2. −K(θ2 − θ1 ) − B3 . L1 = J1 .2. 83) 2.12 Circuito paralelo R-L-C Figura 2. mecńico rotacional de la a a Fig. Tales e e sistemas tambiń se denominan sistemas an´logos y los t´rminos que ocupan las e a e posiciones correspondientes en las ecuaciones diferenciales se denominan magnitudes y variables an´logas.83): o 1 d2 φ 1 dφ + φ = is (t) + 2 dt R dt L C (2.81) se obtiene la ecuaciń diferencial (2.13 Analog´ fuerza-torque-corriente ıa Comparando las ecuaciones diferenciales (2.27) se nota que son de forma idńtica. 2.19 y circuito elćtrico de la Fig. 2. De esta comparaciń se explica porqu´ se denomina la analog´ a o e ıa fuerza-torque-corriente. 2.82) en (2.27 se obtiene la ecuaciń (2.22).83) de los sistemas f´ ısicos correspondientes (mecńico traslacional de la Fig.10.81): o 1 is (t) = L Z e de +C R dt edt + (2. entonces el voltaje en los terminales de la inductancia es dado por: dφ dt e= (2.50 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 2.82) Utilizando (2. (2.81) Si se tiene en cuenta que el flujo concatenado por la inductancia es φ = Li.27 Circuito paralelo R-L-C Aplicando la primera ley de Kirchhoff (de corrientes) al unico corte del circuito de la ´ Fig.64) y (2. 2. La siguiente tabla hace un resumen de las analog´ en ıas este caso: . y1 (0) y y2 (0) son ˙ positivas con los sentidos mostrados. Utilizando la tabla de la analog´ fuerza-torque-corriente se obtienen ıa los elementos de circuito correspondientes a las masas.28) e a tendr´ dos nodos (1 y 2) y el de referencia (0) cuyos voltajes con respecto al de a a ˙ ˙ referencia (llamados voltajes de nodo) e1 y e2 . Ejemplo 2.21 utilizando ahora la analog´ fuerza-torque-corriente. mecńico rotacional a Torque T ˙ Velocidad angular θ Desplazamiento angular θ Inercia J Coef. suponiendo el nodo 1 a mayor potencial con respecto al nodo 2) ya que los extremos de sus an´logos. As´ mismo. Finalmente. B2 y K2 . fricciń viscosa B o Constante del resorte K Sistema elćtrico e Corriente i Voltaje v Flujo φ Capacitancia C 1 Conductactancia R Inverso inductancia 1 L Nuevamente entonces se pueden obtener circuitos elćtricos an´logos a sistemas mecńicos e a a traslacionales y rotacionales y utilizar todas las tćnicas de descripciń de redes (inclue o sive muchos teoremas que simplifican el an´lisis) para plantear modelos matem´ticos a a para los sistemas mecńicos. la fuerza externa p(t) tiene como an´logo en el ˙ circuito la fuente de corriente i(t). en el circuito se supone que todos los nodos estń a mayor potencial con respecto al a de referencia.21 que hay dos velocidades y1 y y2 que se suponen positivas o ˙ con respecto a la referencia. . lo cual coincide con que si p(0) > 0. que todas aquellas velocidades son positivas con respecto a la referencia. resortes y amortiguadores. a N´tese que R2 y L2 son elementos conectados entre los nodos 1 y 2 (la diferencia o de potencial entre sus terminales es e1 − e2 . mecńico traslacional a Fuerza u Velocidad lineal y ˙ Desplazamiento lineal y Masa M Coef. son an´logos a las velocidades y1 y y2 .13 Analog´ fuerza-torque-corriente 51 ıa Sist. Si se supone.9 Plantear un modelo matem´tico para el sistema mecńico traslacional a a de la Fig. Por lo tanto. respectivamente. ˙ ˙ Puesto que las masas M1 y M2 se mueven a las velocidades y1 y y2 . entonces sus elementos de circuito ˙ a an´logo R1 y L1 . entonces los voltajes entre los terminales de las capacitancias an´logas correspondientes C1 y C2 a son e1 y e2 y por lo tanto estń conectadas entre los nodos 1 y referencia y 2 y a referencia. se mueven a ˙ a las velocidades y1 y y2 (la velocidad relativa del extremo inferior con respecto al ˙ ˙ a superior es y1 − y2 ). ıa ˙ N´tese de la Fig. el circuito elćtrico an´logo (Fig. respectivamente. 2. como uno de los extremos de B1 y de K1 se ı mueve a la velocidad y1 y el otro extremo es fijo. habr´ un a a nodo en el circuito an´logo (adem´s del de referencia). sin p´rdida de a a e generalidad. estń conectados entre el nodo 1 y el de referencia. a El circuito elćtrico an´logo a un sistema mecńico traslacional (rotacional) se puede e a a obtener teniendo en cuenta la anterior tabla y notando que por cada masa (inercia) o punto que se desplace (rote) a cierta velocidad en el sistema mecńico. fricciń viscosa B o Constante del resorte K Sist. 2. los voltajes de nodo e1 (o) y e2 (0) son e ˙ positivos cuando i(0) > 0. respectivamente. N´tese que con el sentido mostrado de la fuente. o si el estado energ´tico inicial se supone nulo.2. 2. i(t) = p(t). a Ejemplo 2. 2. entonces sus a elementos de circuito an´logo R1 y R2 .24 utilizando la analog´ fuerza-torque-corriente. Como uno de los extremos ˙ de B1 y de B2 se mueve a la velocidad θ1 y el otro extremo es fijo. Utilizando la tabla de la analog´ a fuerza-torque-corriente se obtienen los elementos de circuito correspondientes a las inercias. estń conectados entre el a nodo 1 y el de referencia. respectivamente. resortes y amortiguadores. respectivamente.29) tendr´ dos nodos (1 y 2) y el de referencia (0) cuyos voltajes de nodo e1 y e2 .24 que hay dos velocidades angulares θ1 y θ2 que se suponen o positivas con los sentidos mostrados.28 Circuito elćtrico an´logo del ejemplo 2.9 e a Las siguientes son las magnitudes y variables an´logas: a 1 1 1 1 ˙ C2 = M2 .84) y (2.28 se obtienen las ecuaciones que lo describen: Z Z e1 1 1 e1 − e2 de1 e1 dt + (e1 − e2 )dt + + + (2. e2 = y2 . 2.85) i(t) = C2 dt R2 L2 Reemplazando las anteriores magnitudes y variables an´logas en (2.21. L2 = K2 . ˙ e1 = y1 .84) 0 = C1 dt R1 L1 L2 R2 Z 1 de2 (e2 − e1 ) (e2 − e1 )dt + + (2. R1 = B1 . respectivamente. respectivamente. el circuito elćtrico an´logo (Fig.10 Plantear un modelo matem´tico para el sistema mecńico rotacional a a de la Fig. uno de los extremos de B3 y de B4 se mueve a . son a ˙ ˙ ıa an´logos a las velocidades θ1 y θ2 . R2 = B2 . 2. C1 = M1 .71). ıa ˙ ˙ N´tese de la Fig.85) se a obtienen las ecuaciones (2. Puesto que las inercias J1 y J2 se mueven a las ˙ ˙ velocidades θ1 y θ2 . que describen el comportamiento del sistema mecńico traslacional de la Fig. e a 2.52 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2. L1 = K1 . Por lo tanto.72) y (2. 2. Asi mismo. entonces los voltajes entre los terminales de las capacitancias a an´logas correspondientes C1 y C2 son e1 y e2 y por lo tanto estń conectadas entre a los nodos 1 y referencia y 2 y referencia. Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig. ˙ yθ Finalmente. i(t) = T (t). C1 = J1 .2.87) se a obtienen las ecuaciones (2.10 e a Las siguientes son las magnitudes y variables an´logas: a 1 1 1 1 1 C2 = J2 . a Ejemplo 2.86) y (2. ˙ ˙ e2 = θ2 . R2 = B2 . R3 = B3 . los voltajes de nodo e1 (o) y e2 (0) son positivos cuando i(0) > 0.87) Reemplazando las anteriores magnitudes y variables an´logas en (2. 2. que describen el comportamiento del sistema mecńico rotacional de la Fig. θ1 (0) y θ2 (0) son positivas con los sentidos mostrados.77). . suponiendo el nodo 1 a mayor potencial con respecto al nodo ˙ 2) ya que los extremos de su an´logo. e1 = θ1 .13 Analog´ fuerza-torque-corriente 53 ıa ˙ a la velocidad θ2 y el otro extremo es fijo. el torque externo T (t) tiene como an´logo en el circuito la fuente de a corriente i(t).29 Circuito elćtrico an´logo del ejemplo 2. R4 = B4 . se mueven a las velocidades angulares θ1 a ˙ ˙2 (la velocidad relativa del extremo izquierdo con respecto al derecho es θ1 − θ2 ). Figura 2.30 utilizando la analogá fuerza-torquea ı corriente.86) Z (e2 − e1 )dt (2. ˙ ˙ lo cual coincide con que si T (0) > 0. respectivamente. si el estado energ´tico o e inicial se supone nulo. L = K .11 Obtener un modelo matem´tico que describa el comportamiento del a sistema mecńico traslacional de la Fig. 2. respectivamente. estń conectados entre el nodo 1 y el de referencia.78) y (2. entonces sus elementos de circuito an´logo a o R3 y R4 . N´tese que con el sentido mostrado de la fuente. 2. N´tese que L es un elemento conectado entre los nodos 1 y 2 (la diferencia de potencial entre sus terminales es e1 −e2 .24.29 se obtienen las ecuaciones que lo describen: 1 de1 e1 + C1 + i(t) = (R1 + R2 ) dt L e2 1 de2 0= + C2 + (R3 + R4 ) dt L Z (e1 − e2 )dt (2. K. Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig. R1 = B1 . 3 1 Rk = Bk . 2. 2.54 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2. i = 1.31 Circuito elćtrico an´logo del ejemplo 2. 4 . 2 1 Lj = Kj . e a Figura 2.11 e a Las par´metros y variables an´logas son: a a Ci = Mi . 3. 2.30 Sistema mecńico traslacional del ejemplo 2. k = 1.11 a Utilizando el mismo procedimiento de los dos ejemplos anteriores se obtiene el circuito elćtrico an´logo que se muestra en la Fig. j = 1.31. Figura 2. 2.89) y (2. v(t) = u(t).12 Plantear un modelo matem´tico para el sistema mecńico traslacional a a de la Fig.13 utilizando la analog´ fuerza-torque-corriente.90) a a se obtienen las ecuaciones que describen el sistema de la Fig. e2 = z. L2 = K2 . 2.2.93) Ejemplo 2. C1 = M1 .91) (2. e2 = y2 . en donde las a e magnitudes y variables an´logas son: a 1 1 1 1 ˙ ˙ C2 = M2 . e1 = y1 . e3 = y3 Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1. 2.12 e a Aplicando la primera ley de Kirchhoff a los nodos 1 y 2 se obtienen las ecuaciones (2.90) (e3 − e2 )dt + dt L4 R2 Utilizando los par´metros y variables an´logas en las ecuaciones (2.32. 2.89) R1 L3 dt L4 Z 1 e3 − e1 de3 C3 + =0 (2.32 Circuito elćtrico an´logo del ejemplo 2.92) (2. ıa El circuito an´logo elćtrico en este caso se muestra en la Fig. ˙ e1 = y.13 Analog´ fuerza-torque-corriente 55 ıa ˙ ˙ ˙ i(t) = p(t).94) y (2.30: 1 1 de1 +( + ) C1 dt L1 L2 Z ˙ ˙ ¨ ˙ ˙ M1 y1 + (K1 + K2 )y1 + K3 (y1 − y2 ) + B1 (y1 − y2 ) + B2 (y1 − y3 ) = p(t) B1 (y2 − y1 ) + K3 (y2 − y1 ) + M2 y2 + K4 (y2 − y3 ) = 0 ˙ ˙ ¨ ˙ ¨ ˙ M3 y3 + K4 (y3 − y2 ) + B2 (y3 − y1 ) = 0 (2. (2. L1 = K1 .88) L3 R1 R2 Z Z 1 1 e2 − e1 de2 (e2 − e1 )dt + C2 (e2 − e3 )dt = 0 + + (2.95): .88). R2 = B2 .31: Z 1 e1 − e2 e1 − e3 (e1 − e2 )dt + e1 dt + + = i(t) (2. 2 y 3 se obtienen las ecuaciones que describen el circuito de la Fig. R1 = B1 . que describen el sistema mecńico de la Fig.95) Reemplazando los anteriores par´metros y variables an´logas en (2. Una red impropia es aquella que contiene por lo menos una trayectoria cerrada (llamada impropia) compuesta unicamente de condensadores y/o fuentes indepen´ dientes de voltaje y/o un corte (llamado impropio) formado unicamente por inductores ´ (con o sin acoplamiento m´tuo) y/o fuentes independientes de corriente.95) se a a obtienen las ecuaciones (2. Por lo tanto es natural seleccionar como variables de estado las corrientes en todos los inductores y los voltajes en todos los capacitores en redes propias (que no son impropias). (e1 − u)dt + ˙ 1 L2 Z (e1 − e2 )dt = 0 (2. en e e una red impropia se deben escoger como variables de estado los voltajes en todos los condensadores.14 Ecuaciones de estado para circuitos elćtricos e Se ver´ un procedimiento sistem´tico para asignar variables de estado y plantear las a a ecuaciones de estado para circuitos con par´metros concentrados que pueden contener a fuentes independientes de voltaje y de corriente.94) y (2. no haya variables de estado redundantes). entonces el comportamiento de la red est´ completamente a descrito. u N´tese que al aplicar la segunda (primera) ley de Kirchhoff a cada trayectoria impropia o (corte impropio) aparece una dependencia lineal entre los voltajes (corrientes) de los condensadores (inductancias) que forman parte de ´lla (´l).94) 1 de2 e2 + + C2 R2 dt L2 Z (e2 − e1 )dt = 0 (2.44) y (2. a 2. Por lo tanto.45). menos una por cada corte impropio (la correspondiente a cualquiera de las inductancias del corte impropio) para que el n´mero de variables de estado sea u m´ ınimo (es decir. menos uno por cada trayectoria impropia (el correspondiente a cualquiera de los condensadores de la trayectoria impropia) y las corrientes en todas las inductancias. Recu´rdese que un conjunto de cortes es m´ e ınimo si cada uno de ´llos tiene una s´la e o rama.56 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 1 de1 e1 + + C1 R1 dt L1 Z . 2. . Si en una red elćtrica se conocen las corrientes en todas las inductancias y los voltajes e en todos los condensadores.13. todos los e condensadores que correspondan a enlaces y todos los inductores que forman parte del ´rbol normal en funciń de las variables de estado y las entradas (fuentes a o independientes) mediante la aplicaciń de la segunda y la primera ley de Kirchhoff o .15 M´todo sistem´tico para obtener las ecuaciones de estado 57 e a Figura 2. Expresar los voltajes y corrientes a trav´s de todas las resistencias. Obviamente hay una redundancia aqu´ ı. 2. un arbol ´ normal consiste de todas las fuentes de voltaje. Generalmente no contiene fuentes de corriente 2. 2.2. las resistencias y finalmente el n´mero m´ a u ınimo de inductancias. Hacer un gr´fico y seleccionar un arbol que se llamar´ ´rbol normal. Asignar los voltajes en los condensadores que forman parte del arbol normal ´ y las corrientes en las inductancias que corresponden a enlaces como variables de estado. resistencias. Por lo tanto.33 Circuitos impropios N´tese que si en cualquiera de los circuitos impropios de la Fig.33 se asignan los o voltajes en todos los condensadores y las corrientes en todas las inductancias como variables de estado se ve que x1 (t) = x2 (t) ∀t. inductancias y fuentes de corriente. 3. Los voltajes en los condensadores que corresponden a enlaces y las corrientes en las inductancias que forman parte del arbol normal no son necesarios ´ escogerlos como variables de estado. el m´ximo n´mero permisible de a u capacitores (en el caso de una trayectoria impropia no todos los condensadores pueden formar parte del ´rbol). en donde a ´ aa las ramas de ´ste se escogen en el siguiente orden: fuentes de voltaje. capacie tores.15 M´todo sistem´tico para obtener las ecuae a ciones de estado 1. 34 a ¤t £ ¤t £ = v2 v3 i7 Se escogen como variables de estado a x = x1 x2 x3 Se expresana v6 (y por lo tanto i6 ) e i4 (y por lo tanto v4 ) en funciń de las variables o de estado y de las entradas.13 e Se obtiene el gr´fico que se muestra en la Fig.35 Gr´fico del circuito de la Figura 2.13 Plantear las ecuaciones de estado y de salida del circuito mostrado en la Fig. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff en el anillo formado por los nodos 1-0-2-1 se obtiene: . 2.34. Ejemplo 2. 4.58 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS a los anillos (un anillo es una trayectoria cerrada que contiene un s´lo enlace) y o cortes que contienen aquellos elementos. usando las leyes de Kirchhoff. Figura 2.34 Circuito elćtrico del ejemplo 2.35. Figura 2. en donde el arbol es un ´rbol a ´ a normal. 2. Aplicar la segunda y la primera ley de Kirchhoff a cada anillo y cada corte que contiene cada elemento que ha sido asignado como variable de estado. 101) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff (slk) en el enlace formado por los nodos 0-2-34-0 y organizando se obtiene (2. x1 = − ˙ 1 1 1 1 x1 − x3 + u1 (t) + u2 (t) R1 C1 C1 R1 C1 C1 1 x3 C2 (2. Aplicando la primera ley de Kirchhoff (plk) al corte c2 . usando (2.100) Usando la primera ley de Kirchhoff en el corte c3 y organizando se obtiene (2.98) Ahora se obtienen las ecuaciones de estado. 1 R2 1 x1 − x2 − x3 (2.100). x3 = ˙    − R11C1 x1 ˙  x2  =  0 ˙ 1 x3 ˙ L 0 0 1 −L 1 − C1 1 C2 − R2 L  La ecuaciń de salida se puede expresar fćilmente en funciń de las variables de o a o estado y las entradas como: y = v7 = L x3 = x1 − x2 − R2 x3 la cual escrita en forma matricial es: y= £ 1 −1 −R2 ¤   x1  x2  x3 (2.102) en forma matricial se obtiene la ecuaciń de o estado (2.   x1   x2  +  x3 1 R1 C1 1 C1 0 0 0  0  · u1 (t) u2 (t) ¸ (2.100).15 M´todo sistem´tico para obtener las ecuaciones de estado 59 e a v6 = u1 (t) − x1 Por lo tanto: i6 = u1 (t) − x1 R1 (2.102).102) L L L Reescribiendo (2.101) y (2. (2.96) (2.103) .103). x2 = ˙ (2.101).99) (2.97) y organizando se obtiene (2.97) Aplicando la primera ley de Kirchhoff al corte c4 se obtiene: i4 = x3 Por lo tanto: v4 = R2 x3 (2.2.104) . 2. Las salidas son: el voltaje en el condensador C1 con la polaridad mostrada y la corriente a trav´s de la inductancia L2 con el sentido mostrado.14 La Fig. e Figura 2.37 muestra el gr´fico orientado en donde se us´ el arbol normal.60 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Ejemplo 2.14 Plantear las ecuaciones de estado y de salida del circuito mostrado en la Fig. a o ´ Figura 2. 2.36 a .36 Circuito del ejemplo 2.36.37 Gr´fico del circuito de la Figura 2. respectivamente: C1 x1 − C2 (x2 − x1 ) − u2 − x3 = 0 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ C3 x2 + C2 (x2 − x1 ) + u2 = 0 Organizando (2. usando las ecs.112) (2. es conveniente plantear la ecuaciń u o primitiva que relaciona los voltajes entre sus terminales y las derivadas temporales de las corrientes.114) (2.15 M´todo sistem´tico para obtener las ecuaciones de estado 61 e a ¤t £ ¤t £ = v2 v3 i6 Se escogen como variables de estado a x = x1 x2 x3 Como hay inductancias m´tuamente acopladas.113) y resolviendo para x1 y x2 se obtienen: x1 = ˙ C2 + C3 C3 x3 + u2 π1 π1 C1 C2 x3 − u2 π1 π1 (2.112) y (2.113) x2 = ˙ en donde π1 = C1 C2 + C1 C3 + C2 C3 .111) y organizando se obtiene: R 1 1 M − L1 .108) Aplicando la plk a los cortes c2 y c3 y usando la ec. Es decir.2. (2.110) (2.105) di6 v6 −M L2 dt Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al anillo que contiene el enlace 7 y la primera ley de Kirchhoff a los cortes que contienen la ramas 5 y 4. .116) .111) (2.107) (2.107) y (2. se obtienen: v7 = x2 − x1 i5 = u2 + x3 i4 = x3 Por lo tanto: i7 = C2 (x2 − x1 ) ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ v5 = L1 (u2 + x3 ) − M x3 v4 = Rx3 (2. Aplicando la slk al anillo que contiene el enlace 6. respectivamente.115) . Reescribiendo las ecuaciones de estado en forma matricial: x3 = − ˙ (2. (2. (2.105). (2. u2 x1 − x3 + u1 + π2 π2 π2 π2 en donde π2 = L1 + L2 − 2M .109) se obtienen.109) (2. en este caso: ¸ · ¸ · di5 ¸ · L1 −M v5 dt = (2.106) (2. 120): o (2.121) De (2.117) y= 1 0 0 0 0 1  x1  x2  x3 (2. o o .16 Ecuaciones de estado con derivadas de las entradas Como se puede notar del ejemplo anterior (caso de un circuito impropio). o Es decir.62 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS La ecuaciń de salida es: o   0 x1 ˙  x2  =  0 ˙  1 x3 ˙ − π2  0 0 0 C2 +C3 π1 C2 π1 2 − R2 π    0 x1   x2 + 0 1 x3 π2 · ¸  C3 π1 1 − C1 π 0   ·  ¸ 0 u1 + 0 u2 0 0 0 M−L1 π2   · u1 ˙ u2 ˙ ¸ (2.122) y organizando: (2.120) Para evitar que estas derivadas de las entradas aparezcan en la ecuaciń de estado.122): b x = A[b + B2 u]+B1 u x b x = Ab + [B1 + AB2 ]u x y = Cb + [CB2 + D]u x .119): (2. x − B2 u x − B2 u = Ax+B1 u ˙ ˙ Reemplazando (2.118) 2.121) en (2.124) es la ecuaciń de salida en funciń de las nuevas variables de estado x.123) es la nueva ecuaciń matricial de estado. o La ecuaciń de salida se obtiene reemplazando (2. en forma general: ˙ x = Ax+B1 u+B2 u ˙ y = Cx+Du (2. .124) b (2. (2. a veces pueden aparecer en la ecuaciń matricial de estado la primera derivada de las entradas.119) (2. o se pueden redefinir las variables de estado de la siguiente manera: b x .121) en (2.123) (2. 38 el cual consta de una palanca ideal e a y un punto de apoyo. de la siguiente manera: o ω= v1 v2 = d1 d2 de donde se obtiene la relaciń entre las velocidades lineales: o d1 v1 = v2 d2 (2. Matem´ticamente: F1 v1 = F2 v2 de donde se obtiene la relaciń entre las fuerzas en los extremos: o d2 F1 = F2 d1 (2.17 El transformador ideal como an´logo de la palanca 63 a 2. 2.2.126) . Supńgase que F1 (con el sentido mostrado) es una fuerza o externa aplicada en el extremo de la izquierda y F2 (con el sentido mostrado) es la fuerza generada sobre alguna carga mecńica. aplicando el principio de conservaciń de la energ´ la potencia entregada en el extremo izquierdo de la o ıa.17. v1 y v2 . la cual no se muestra.125) Puesto que se ha supuesto que la palanca es ideal.17 2. palanca (F1 v1 ) es igual a la potencia absorbida por la carga en el extremo derecho de a la palanca (F2 v2 ).1 Otras analog´ electromecńicas ıas a Palancas Figura 2.38 Palanca ideal Consid´rese el sistema mecńico de la Fig. entonces. La velocidad a angular ω de la palanca que rota alrededor del punto de apoyo se puede expresar en funciń de las velocidades lineales de los extremos. 125) y la (2.39 El transformador ideal La Fig. en donde la carga podr´ e ıa . en donde e1 y e2 (i1 e i2 ) ıa o o ıa son an´logos a v1 y v2 (F1 y F2 ) y la relaciń a = n1 a d1 . 2.40 El transformador con carga Consid´rese el transformador ideal mostrado en la Fig.3 El transformador como acoplador de impedancias Figura 2.128) con la (2.128) en donde e1 y e2 (i1 e i2 ) son los voltajes (corrientes) con las polaridades (sentidos) mostradas entre (a trav´s de) los terminales de los devanados del primario y del e secundario. 2.39 muestra el circuito de un transformador ideal.2 El transformador ideal como an´logo de la palanca a Figura 2.40.127) con la (2. ıa 2. Comparando las ecuaciones (2.64 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 2. en el cual se satisfacen las siguientes relaciones: n1 e1 = =a e2 n2 n2 1 i1 = = i2 n1 a (2.126) se puede establecer una analog´ entre la palanca y el transformador.17. N´tese que esta analog´ a n2 d2 usa la analog´ fuerza-corriente.127) (2. a es la relaciń del n´mero de espiras del primario al o u secundario. respectivamente.17. 132) dt = a2 L.128) en (2. Si la carga es una capacitancia C. entonces: de2 dt Usando (2. entonces: di2 dt Usando (2.17 La palanca como acoplador de elementos mecńicos 65 a ser una resistencia. es una capacitancia equivalente vista entre los terminales del 2. a. di1 (2.38.2. una inductancia o una combinaciń de estos o elementos. 2. es una resistencia equivalente vista entre los terminales del primario.131) se obtiene (2. de1 (2. Si se supone que la carga es una resistencia R.4 La palanca como acoplador de elementos mecńicos a Consid´rese la palanca ideal de la Fig.130): e1 = Req i1 (2.133) en donde Ceq primario.132): e2 = L e1 = Leq (2.127) y (2.130) (2. un condensador.128) en (2. o cualquier conexiń de estos elementos.131) en donde Leq primario.134): i2 = C i1 = Ceq (2. e ıa un resorte o un amortiguador.134) dt C = a2 .127) y (2.17.129) en donde Req = a2 R.128) en (2. es una inductancia equivalente vista entre los terminales del c. en donde la carga podr´ ser una masa.129) se obtiene (2. b. entonces: e2 = Ri2 Reemplazando (2.127) y (2.133) se obtiene (2. o . Si la carga es una inductancia L. 137) se obtiene (2. b. es la masa equivalente en el extremo izquierdo de la .135) (2.125) y (2. Usando (2.139) se obtiene (2. ³ d2 d1 dv1 dt (2. entonces: o F2 = Bv2 Usando (2. entonces: Z F2 = K v2 dt (2.136) o en donde Beq = d2 B.38 y la referencia.138): Z F1 = Keq v1 dt (2.126) en (2. Si la carga es una masa M en el extremo derecho de la palanca. es el coeficiente de fricciń viscosa del amortiguador equivd1 alente en el extremo izquierdo de la palanca.139) Usando (2.125) y (2. conectado entre el extremo derecho de la Fig.126) en (2.135) se obtiene (2.137) ³ ´2 en donde Keq = d2 K. 2. es la constante del resorte equivalente en el extremo d1 izquierdo de la palanca.136): F1 = Beq v1 ³ ´2 (2. entonces: dv2 dt F2 = M (2.140) ´2 M. con coeficiente de fricciń viscosa B. 2.66 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS a.125) y (2. Si se supone que la carga conectada entre el extremo derecho de la Fig. Si la carga es un resorte con constante K.140): F1 = Meq en donde Meq = palanca.126) en (2.38 y la referencia es un amortiguador.138) c. 41 Sistema mecńico del ejemplo 2.141) se obtiene (2. L = K .42. e = d2 Aplicando la plk en el nodo 1 se obtiene (2.2.42 Circuito elćtrico an´logo del ejemplo 2. i(t) = p(t).15 Para el sistema mecńico de la Fig. El circuito elćtrico an´logo se muesa ıa e a tra en la Fig. Figura 2. Suponer que la palanca es ideal.15 a Se utilizar´ la analog´ fuerza-torque-corriente.141) dt R Reemplazando las analog´ en (2.141): ai(t) = c dy dt e de + (2.15 e a Las analog´ son: ıas 1 1 C = M. Figura 2. R = B .142) que es la ecuaciń difeıas o .41 hallar la ecuaciń diferena o cial que relaciona el desplazamiento de la masa M con la fuerza externa p(t). 2. a = d1 . 2.17 La palanca como acoplador de elementos mecńicos 67 a Ejemplo 2. 68 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS rencial pedida: M d2 dy d2 d2 y = p(t) +B 2 d1 dt d1 dt (2.17.143) Puesto que se ha supuesto que el acoplamiento es ideal. ω1 y ω2 . entonces: r2 N2 1 ω1 = = = ω2 r1 N1 N (2. respectivamente. Como la relaciń o del n´mero de dientes de los engranajes es proporcional a la relaciń de los radios u o respectivos. Supńgase que T1 (con el sentido mostrado) es una torque externo aplicado o en el engranaje de la izquierda y T2 (con el sentido mostrado) es el torque generado sobre la carga mecńica.5 Sistemas acoplados de movimento rotacional Figura 2. 2. de la siguiente o manera: v = ω1 r1 = ω2 r2 donde r1 y r2 son los radios de los engranajes 1 y 2. la cual no se a muestra.43.142) 2. izquierdo (T1 ω1 ) es igual a la potencia absorbida por la carga conectada en el eje del a engraje derecho (T2 ω2 ). a se puede expresar en funciń de las velocidades angulares. Matem´ticamente: T1 ω1 = T2 ω2 . v. 2.43 el cual consta de un par e a de engranajes y alguna carga mecńica en el engranaje de la derecha.43 Engranajes Consid´rese el sistema mecńico rotacional de la Fig. aplicando el principio de conservaciń de la energ´ la potencia entregada en el eje del engranaje o ıa. entonces. La velocidad tangencial en el punto A de la Fig. 2. en donde e1 y e2 (i1 e i2 ) son an´logos a ω1 y ω2 (T1 y T2 ) y la 1 o ıa ıa relaciń a = n1 a N = N2 . entonces: Z T2 = K ω2 dt (2. es la constante del resorte equivalente en el eje del engranaje 1.145) se obtiene (2. b. o entonces: T2 = Bω2 Usando (2. Si la carga es una inercia J en el engranaje 2.146): T1 = Beq ω1 2 (2. N´tese que esta analog´ usa la analog´ torque-corriente. Si la carga es un resorte rotacional con constante K.143) y (2. 2.144) Comparando las ecuaciones (2.17 El engranaje como acoplador de elementos mecńicos 69 a de donde se obtiene la relaciń entre los torques: o N1 T1 = =N T2 N2 (2. o cualquier conexiń de estos elementos. con coeficiente de fricciń viscosa B. un resorte o un amortiguador. o a.145) (2. 2. o n2 N1 2. Si se supone que la carga conectada en el engranaje 2 de la Fig. c.43 y la referencia es un amortiguador rotacional.146) en donde Beq = N B.128) con la (2.43 y la referencia.2.144) en (2.148): Z F1 = Keq v1 dt (2.148) en donde Keq = N 2 K.147) se obtiene (2.143) y (2.143) y la (2.144) se puede establecer una analog´ entre el par de engranajes acoplados rotacionalmente y el ıa a transformador. entonces: .6 El engranaje como acoplador de elementos mecńicos a Consid´rese el engranaje ideal de la Fig.127) con la (2. es el coeficiente de fricciń viscosa del amortiguador equio valente en el eje del engranaje 1.144) en (2. en donde la carga podr´ ser una e ıa inercia.17. conectado en el engranaje 2 de la Fig.43.147) Usando (2. 70 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS dω2 dt Usando (2.44.149) se obtiene (2.44 Sistema del ejemplo 2. e. son dados por: e = Km ωm = Km Tm = KT ia dθm dt (2.151) (2.150): T2 = J T1 = Jeq dω1 dt (2.144) en (2. Ejemplo 2.143) y (2. y el torque generado por el mismo. respectivamente. entonces el voltaje inducido en la armadura del motor. es la inercia equivalente en el eje del engranaje 1. 2.149) (2.16 Como se supone que la corriente de campo del motor es constante. Figura 2.152) o donde Km y KT son las constantes de voltaje y de torsiń del motor.16 Plantear un conjunto linealmente independiente de ecuaciones diferenciales que describa completamente el comportamiento del sistema mostrado en la Fig.150) en donde Jeq = N 2 M. Tm . Aplicando la slk en la armadura del motor se tiene: . 17 El engranaje como acoplador de elementos mecńicos 71 a dia +e (2. C1 = J1 . C2 = J2 .155) a2 R1 R2 Rc R1 R2 + R1 Rc + a2 R2 Rc . a = N . Rc = Bc . para el sistema mecńico rotacional se ıa a obtiene el circuito elćtrico an´logo de la Fig.154) (2. em = dθm .46 Circuito reducido de la Figura 2. 2.153) dt Utilizando la analog´ fuerza-torque-corriente.45 en donde: Ceq = C1 + Req = C2 + Cc a2 (2.45 queda reducido al circuito simple de la Fig. Cc = Jc m m u(t) = Ra ia + La Figura 2. R1 = B1 . ec = dθc . el circuito de la Fig. R2 = B2 . dt dt 1 Rm = B1 .16 a a Si los elementos de circuito del lado derecho del transformador (secundario) se refieren al lado izquierdo del mismo (primario). Lm = G1 . 2. 2. en donde las analog´ son: e a ıas 1 1 1 Im = Tm .45 Circuito an´logo del sistema mecńico rotacional del ejemplo 2. Figura 2.46.2.45. z0 )+ [ k |P0 ∂x k! ∂y k! ∂z k! 1 (2. z − z0 . x(m) .162) (2.158) 1 dθc d2 θc 1 1 [B1 + N 2 (Bc + B2 ) + [J1 + N 2 (Jc + J2 ) 2 + Gm ( θc − θm ) = 0 (2.158).156) (2. (2.160) Sea: ∆x .159) N dt N dt N Las ecuaciones (2.155) en (2. z0 ) = P0 .18 lineal Linealizaciń de un modelo matem´tico no o a Supńgase que se tiene la funciń f (x.164) . z) y se desea expandir en series de Taylor o o alrededor del punto (x0 . y (1) .44.164): o o Kx = F (x. a 2. 2. 2. f(x.154) y (2.46 se obtienen: Z 1 em (em − aec )dt = Im + Rm Lm Z 1 d(aec ) aec + + Ceq (aec − em )dt = 0 Req dt Lm Bm 1 dθm + Gm (θm − θc ) = Tm dt N (2. y.157) se obtienen: ıas. y0 . y. z) = f(x0 . Entonces: ∞ X ∂k f (x − x0 )k ∂ k f (y − y0 )k ∂ k f (z − z0 )k + k |P0 + k |P0 ] f(x.153). (2. ∆y . y0 . x(1) . y. ∆f .159) constituyen el modelo matem´tico que describe completamente el comportamiento del sistema de la Fig. y − y0 . (2.161) Despreciando t´rminos de orden superior a uno y utilizando las definiciones (2. x − x0 .160) se obtiene: ∆f ≈ Kx ∆x + Ky ∆y + Kz ∆z en donde: ∂f ∂f ∂f |P0 . z) − f(x0 .72 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Aplicando la plk a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig. Ky = |P0 . ∆z . (2.151). Kz = |P ∂x ∂y ∂z 0 Supńgase ahora que se tiene la ecuaciń diferencial no lineal (2. y (n) ) = 0 (2. y0 . z0 ) (2.157) Reemplazando las analog´ (2.156) y (2.152).161) e en (2. · · · . · · · . y (2. y.163) (2. y0 ). o x2 ( En este caso: dx 2 dy 1 d2 y ) + 2x = y3 2 + (1 + y2 )( )2 + dt dt dt y (2. · · · . P0 . ∆y(k) = ∆ k = (2. x(m) . Km = |P ∂x 0 ∂x(1) 0 ∂x(m) 0 ∂F ∂F ∂F |P . y (n) ) = F (x0 . K1 = |P . y0 .166) en donde: ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F |P ∆x+ (1) |P0 ∆x(1) +· · ·+ (m) |P0 ∆x(m) + |P ∆y+· · ·+ (n) |P0 ∆y(n) ∂x 0 ∂y 0 ∂x ∂x ∂y (2. x0 . · · · . y0 .2. y0 ) + α (2. d1 = − (1) |P0 . y0 ) = 0 en donde: x0 = (k) (1) (m) (1) (n) (1) (m) (1) (n) (2. dn = − (n) |P0 ∂y 0 ∂y ∂y (2. y0 .164) y despreciando t´rminos de orden superior e a uno: F (x. · · · .167) (1) (m) (1) (n) α= y: dk x dk ∆x dk y dk ∆y = . y0 = k |P0 ∂tk ∂t Expandiendo en series de Taylor (2. x(1) . · · · . x0 .165) ∂kx ∂ky (k) |P0 .169) K0 = y: d0 = − ∂F ∂F ∂F |P . x0 . y (1) . y.17 Linealizar la ecuaciń diferencial no lineal (2. · · · .172) . · · · .172) alrededor de un o punto de operaciń que se supone conocido. y0 .165) en (2.171) Ejemplo 2. · · · .166) y usando (2. y0 . · · · .168) dtk dtk dt dtk Reemplazando (2.163) y o o por lo tanto: F (x0 . x0 . x0 . · · · . · · · . o Obviamente el punto de operaciń debe satisfacer la ecuaciń diferencial (2.18 Linealizaciń de un modelo matem´tico no lineal 73 o a y el punto de operaciń P0 = (x0 . x0 .170) (2.164) y (2. y0 .168) se obtiene la ecuaciń o diferencial linealizada alrededor del punto P0 : ∆x(k) = ∆ d∆x dm ∆x d∆y dn ∆y + · · · + Km + · · · + dn = d0 ∆y + d1 dt dtm dt dtn K0 ∆x + K1 donde: (2. a o a P0 . La diferencia de presiń a ambos lados del pistń de potencia produce el desplazamiento de ´ste hacia o o e la izquierda.19 El servomotor hidrúlico a Figura 2. Se determinar´ la funciń de transferencia. Cuando el pistń piloto se desplaza hacia la izquierda.47 El servomotor hidrúlico a Como ejemplo de un sistema f´ ısico no lineal se considera el servomotor hidrúlico. d1 = [2(1 + y 2 )y (1) ] |P0 . y (1) . El funcionamiento descriptivo del sistema consiste en que si la v´lvula piloto es desplazada hacia la derecha. a cuyo modelo matem´tico se linealiza alrededor de un punto de operaciń conocido. K1 = [2x2 x(1) ] |P0 1 d0 = [3y 2 y (2) + 2y(y (1) )2 − y2 ] |P0 . a o . y(2) ) = x2 (x(1) )2 + 2x − y 3 y (2) − (1 + y 2 )(y (1) )2 − Por lo tanto la ecuaciń linealizada es: o K0 ∆x + K1 d∆x d∆y d2 ∆y = d0 ∆y + d1 + d2 dt dt dt2 1 y (2. El aceite retorna. x(1) . aceite a presiń entra por el lado derecho del pistń de o o potencia y el aceite del lado izquierdo del mismo va hacia el drenaje.74 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS F (x. recibe nuevamente presiń por una bomba y vuelve a o circular al sistema.173) en donde: K0 = [2x(x(1) )2 + 2] |P0 . el pistń o o de potencia se mueve hacia la derecha. y. d2 = [y 3 ] |P0 2. 48 Curvas no lineales de Q1 y Q2 La Fig. Las expresiones matem´ticas no lineales son: a p Q1 = Kd x Ps − P1 Linealizando (2. ∆x.19 El servomotor hidrúlico 75 a despu´s de ser linealizado obviamente el sistema.174) y (2.175) ∆Q1 = K1 ∆x − K2 ∆P1 ∆Q2 = K3 ∆x + K4 ∆P2 (2.176) (2. entonces: Q1 = Q2 = y por lo tanto: dy d(Ay) =A dt dt .175): p Q2 = Kd x P2 (2. respectivamente y del desplazamiento de la v´lvula piloto. considerando como salida el cambio e en el desplazamiento de la carga mecńica. a x4 x3 Q1 Q2 x4 x3 x2 x2 x1 x1 P1 Ps P2 Figura 2. Q1 y Q2 .174) (2.2. K3 = [Kd P2 ] |P0 . x. y como entrada el cambio en el a desplazamiento de la v´lvula piloto. K2 = 2√Kd−P |P0 . ∆y.177) donde: √ √ x √x K1 = [Kd Ps − P1 ] |P0 . 2. en funciń de las o a presiones P1 y P2 . K4 = 2KdP |P0 Ps 1 2 Puesto que el caudal se define como el cambio de volumen por unidad de tiempo.48 muestra curvas no lineales de los caudales. 182).176) y (2.179) Reemplazando (2.184) .76 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS ∆Q1 = ∆Q2 = A d∆y dt (2. se obtiene la funciń de transferencia pedida: o K ∆Y (s) = ∆X(s) s(T s + 1) (2. o despreciable. suponiendo condiciones iniciales nulas.179) se obtiene (2.181) d2 y dy =M 2 dt dt Reemplazando (2. debida al pistń de potencia es: o F = A(P1 − P2 ) y por lo tanto: ∆F = A(∆P1 − ∆P2 ) (2.183) Kx M donde K = B+Ky y T = B+Ky Si la constante de tiempo T es muy pequeã.177) y despejando M P1 y M P2 en (2.180): ∆F = Kx ∆x − Ky d∆y dt (2. entonces el servomotor n hidrúlico en este caso se comporta como un integrador con ganancia K: a K ∆Y (s) = ∆X(s) s (2.181) se obtiene la ecuaciń diferencial que relaciona M x o y M y: M d2 ∆y d∆y = Kx ∆x + (B + Ky ) 2 dt dt (2. con sentido de derecha a izquierda.180) Haciendo el diagrama de cuerpo libre de M y aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: F −B y por lo tanto: ∆F − B d2 ∆y d∆y =M dt dt2 (2.178) en (2.180) en (2.182) Usando la transformada de Laplace en (2.178) La fuerza que actua sobre la masa M . 49 Gobernador de velocidad de una turbina N´tese que si Pref . lo que hace bajar E y abre m´s la v´lvula de aguja. C y D. abriendo la v´lvula piloto. la potencia de referencia. a a a La turbina se acelera y ω = Kf aumenta.2. aumenta. Si se considera la palanca A-B-C: Xc = f(XA . entonces. a cerrar la v´lvula a piloto. la que a a hace bajar B.20 Gobernador de velocidad de una turbina Figura 2. a abriendo m´s la v´lvula de aguja. baja la velocidad ω = Kf . Al aumentar la velocidad las masas m se separan y el punto B baja. incrementando la velocidad de la turbina. D o sube. XB ) Linealizando: ∆Xc = ∂F ∂F |X =const ∆XA + |X =const ∆XB ∂XA B ∂XB A b a+b ∆XB ∆Xc = − ∆XA + a a . Cuando se consigue el estado estacionario la v´lvula piloto se cierra. si la turbina es cargada. En el equilibrio (nuevo) se vuelve. con Pref constante.20 Gobernador de velocidad de una turbina 77 2. C y D bajan. La v´lvula piloto se abre y E baja. C y D. C sube. las masas se acercan subiendo los puntos B. el punto A baja. a Asimismo. . TG = 4 1 K4 K5 .50 Concatenaciń simple del gobernador de velocidad con la turbina. generador y area de potencia. Figura 2.187) y utilizando (2. 1+ (2.186) (2.185) (2. respectivamente.78 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Puesto que ∆XB ∝ ∆f y ∆XA ∝ ∆Pref entonces: ∆Xc = K1 ∆f − K2 ∆Pref Asimismo para la palanca C-D-E: ∆XD = K3 ∆XC + K4 ∆XE Si se considera la funciń de transferencia simple del servomotor entonces: o Z ∆XE = −K5 ∆XD dt K3 K4 ∆Xc (s) 1 K4 K5 s (2.185) en (2.189) R= K2 K1 .188) KG 1 (∆Pref (s) − ∆f (s)) 1 + TG s R (2. 2. o generador y area de potencia La Fig.187) Transformando (2.50 muestra una concatenaciń simple del gobernador de velocidad con la o turbina.188): ∆XE (s) = donde: 3 KG = KKK2 .186) : ∆XE (s) = − Con (2. en donde los modelos para la turbina-generador y el area de potencia se han escogido de primer orden. ∆PG y ∆PD son los incrementos de la potencia generada y la demandada por los usuarios. Sea la trayectoria nominal de operaciń (punto de operaciń) denotada por x0 (t).2. 2.190) en series de Taylor alrededor del punto de operaciń y despreciando los o t´rminos de orden superior a uno: e n X ∂fi (x.192) (2.194) (2. u) j=1 xi (t) = fi (x0 . t) ˙ (2. la o o o cual corresponde a la entrada nominal u0 (t).u0 (uj − u0j ) (2.u0 ∆xj + La cual se puede reescribir en forma matricial como: ∆x = A∗ ∆x+B ∗ ∆u ˙ en donde:   A∗ =   ···  ∂f1 ∂x1 ∂f2 ∂x1 ∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2 ∂fn ∂x2 p X ∂fi (x. u0 ) ˙ Reemplazando (2.196) . uj − u0j . u) j=1 ∂uj |x0 .u0 ∆uj (2.193) en (2. u.191): ∆xi = ˙ n X ∂fi (x.u0 (xj − x0j ) + ∂uj |x0 . · · · .195)  x0 . u) j=1 p X ∂fi (x. u) j=1 (2. xi − x0i Adem´s: a x0i = fi (x0 . n. e o ya que este ultimo se define estrictamente solo para sistemas lineales e invariantes con ´ el tiempo. u0 ) + ˙ ∂xj |x0 .192) y (2.191) en donde i = 1.190) en donde x y u son vectores (columna) que contienen las variables de estado (n) y las entradas al sistema (p).21 Linealizaciń de las ecuaciones de estado no lineales 79 o 2. ∆uj . La representaciń de un sistema no lineal y/o variante con el tiempo mediante ecuao ciones de estado es una gran ventaja sobre el m´todo de la funciń de transferencia. Se definen: ˙ ˙ ˙ ∆xi . y f es una funciń vectorial no lineal de o x.21 Linealizaciń de las ecuaciones de estado no o lineales Sea el conjunto de ecuaciones de estado no lineales: x = f (x. Expandiendo la ecuaciń de estado no lineal (2.u0 ∂fn ∂x1 ··· ··· ··· ··· ··· ∂f1 ∂xn ∂f2 ∂xn ∂fn ∂xn    ···  (2. ∆xi . xi − x0i .193) ∂xj |x0 . respectivamente. u y t. en general. aunque la ec. A∗ y B ∗ podr´ contener elementos que var´ con el tiempo.197) Figura 2. ∗ ∗   B∗ =   ··· ∂f1 ∂u1 ∂f2 ∂u1 ∂f1 ∂u2 ∂f2 ∂u2 ∂fn ∂u2 ∂fn ∂u1 ··· ··· ··· ··· ··· ∂f1 ∂up ∂f2 ∂up ∂fn ∂up    ···  (2.51 muestra el diagrama de un sistema de suspensiń magnó e tico de una bola met´lica. las ecuaciones de e(t) = Ri + L Si se definen las variables de estado como :x1 = y.195) es lineal.199) x3 = i.80 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS   x0 .u0 N´tese que A y B son evaluados en el punto nominal. (2.190) alrededor del punto nominal de operaciń. o Se ha linealizado el sistema no lineal (2. ıan Ejemplo 2. El objetivo del sistema es controlar la posiciń de la bola ajua o stando la corriente en el electroimń mediante el voltaje de entrada e(t).200) .18 La Fig.198) (2. 2. (2.51 Sistema de suspensiń magn´tico de una bola o e Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema se pueden obtener aplicando la segunda ley de Newton a la bola y la segunda ley de Kirchhoff al circuito elćtrico: e Mg − d2 y i2 =M 2 y dt di dt dy dt . o ıan Sin embargo. Plantear un a modelo matem´tico mediante ecuaciones de estado y linealizarlo alrededor del punto a de equilibrio y0 (t) = Y0 = constante. x2 = estado del sistema son: dx1 = x2 dt (2. 204) x2 = x1 (t)u(t) ˙ (2. x2 (t) = x2 (0) = 1 e integrando (2.204) y (2.206) es un conjunto de ecs. Puesto que y0 (t) = x01 (t) = Y0 = o 2 y0 cons tan te. ∂x1 = ∂u 1 2 2 ∂f2 ∂f2 2 .(2. = u(t).204).206) (2. de estado lineales con coeficientes variables con el tiempo. e Utilizando el punto nominal de operaciń y linealizando las ecs. ∂u = x1 (t) y evaluando estas en el punto de operaciń se obtienen o x3 (t) ∂x1 2 las ecuaciones pedidas: · ∆x1 ˙ ∆x2 ˙ ¸ = · 0 2 0 0 ¸· ∆x1 ∆x2 ¸ + · 0 1−t ¸ ∆u(t) (2.205) o Linealizarlas alrededor de la trayectoria nominal [x01 (t).205). √ Adem´s. de estado no lineales o se obtiene (2. 2.201) (2.22 Diagramas de bloques 81 1 x2 dx2 3 =g− dt M x1 R dx3 1 = − x3 + e(t) dt L L (2.2. x02 (t)] que es la soluciń a las ecuaciones con las condiciones iniciales x1 (0) = x2 (0) = 1 y la entrada u(t) = 0. Es decir.205) serń linealizadas a ∂f ∂f ∂f es descrita por x01 (t) = −t + 1 y x02 (t) = 1.22 Diagramas de bloques .203) Ejemplo 2. entonces x02 (t) = dx01 (t) = 0. Integrando (2. Como ∂x1 = ∂x2 = ∂f1 = 0. la trayectoria nominal alrededor de la cual las ecs. reemplazando a dt ´ste en (2. como d dt2(t) = 0.203):   0 ∆x1 ˙ g  ∆x2  =  Y ˙  0 ∆x3 ˙ 0      1 0 0 ∆x1 q  g 0 −2 MY0  ∆x2  +  0  ∆e(t) 1 ∆x3 0 −R L L (2.198) se obtiene i0 (t) = x03 (t) = MgY0 . x1 (t) = −t + 1.19 Sea el sistema no lineal de ecuaciones: x1 = − ˙ 1 x2 (t) 2 (2.202) Se determina el punto nominal de operaciń. la funciń de o o o transferencia en lazo abierto y la directa son iguales.23 Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbaciń o Figura 2. r(t) y u(t) se puede obtener utilizando superposiciń: o . y la funciń o o E(s) de transferencia en lazo abierto como B(s) = Wla (s) = G(s)H(s).53 debido a ambas entradas. N´tese que si o E(s) la funciń de transferencia de realimentaciń es la unidad (H(s) = 1). Para el sistema en lazo cerrado se tiene: C(s) = G(s)E(s) = G(s)[R(s) − B(s)] = G(s)[R(s) − H(s)C(s)] de la cual se halla la funciń de transferencia en lazo cerrado: o G(s) C(s) = Wlc (s) = R(s) 1 + G(s)H(s) (2.207) 2.53 Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbaciń o La respuesta del sistema lineal de la Fig.52 Sistema de lazo cerrado La Fig. 2. Se define la funciń de transferencia directa como C(s) = G(s).82 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2. 2.52 muestra un diagrama de bloques general de un sistema en lazo cerrado. se puede o obtener usando (2. se ve que el efecto de perturbaciń se atená considera o u 1 ablemente ya que CN (s) ' G1 (s)H(s) → 0.24 Reducciń de diagramas de bloques o La reducciń de un diagrama de bloques complicado a uno m´s simple se puede llevar o a a cabo utilizando los diagramas equivalentes que se muestran en la Fig. Se supone ahora R(s) = 0.24 Reducciń de diagramas de bloques 83 o a. | G1 (s)H(s) |À 1. 2.207): G1 (s)G2 (s) CR (s) = R(s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s) (2. N(s) 2. entonces la respuesta debida a R(s).208) b.54.2. tambiń e se puede obtener usando (2. R(s) Si adem´s. entonces la respuesta debida a N (s).210) Suponiendo que | G1 (s)G2 (s)H(s) |À 1. CN (s). se puede notar que la respuesta debido a la 1 referencia es aproximadamente independiente de G1 (s) y G2 (s) ya que CR (s) ' H(s) . Supńgase N (s) = 0. . CR (s).209) Usando superposiciń la respuesta del sistema es: o C(s) = CR (s) + CN (s) = G2 (s) [G1 (s)R(s) + N (s)] 1 + G1 (s)G2 (s)H(s) (2.207): G2 (s) CN (s) = N (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s) (2. Figura 2.54 Diagramas equivalentes Ejemplo 2.20 Las Figuras 2.56 y 2.84 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2.55 y obtener la funciń o de transferencia.57 muestran las diferentes etapas para la reducciń del diagrama o FG . 2. de bloques en donde A = 1−F GI .55 Diagrama de bloques del ejemplo 2. B = 1−F F GH GI+GHJ .20 Reducir el diagrama de bloques de la Fig. 2.55 o Figura 2.20 o Finalmente entonces la funciń de transferencia es: o .24 Reducciń de diagramas de bloques 85 o Figura 2.2.57 Reducciń final del diagrama del ejemplo 2.56 Reducciń parcial del diagrama de la Fig. 21 Reducir el mismo diagrama de bloques de la Fig. (2.25 Ejemplos .211). E = H − 1.55 de otra manera. 2. 2. 2. o 2.58 muestra las diferentes etapas para la reducciń del diagrama de bloques o GH I de otra manera. en donde D = 1+GHJ .86 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS F GH C(s) = R(s) 1 − F GI + GHJ + F GH (2. Figura 2. La Fig.58 Otra manera de reducir el diagrama de la Fig.55 Finalmente se obtiene la misma funciń de transferencia dada por la ec.211) Ejemplo 2. y = x0 − xi es el desplazamiento de la masa m con respecto al gabinete. se obtiene: m¨ + B y + Ky = −mxi y ˙ ˙ Utilizando Laplace y suponiendo condiciones iniciales nulas se obtiene la funciń de o transferencia: ms2 Y (s) =− 2 Xi (s) ms + Bs + K (2.25 El servomotor bif´sico 87 a 2. Asi entonces se obtiene a la salida (jω)| (y) una seãl cuya forma de onda es igual al desplazamiento de entrada (xi ).59 Diagrama esquem´tico de un sism´grafo a o El sism´grafo b´sicamente indica el desplazamiento de su envoltura con respecto al o a espacio inercial. xi es el desplazamiento de la envoltura o gabinete con respecto al espacio inercial o referencia. .1 Sism´grafo o Figura 2. x0 = y + xi .2. x0 es el desplazamiento de la masa m con respecto a la referencia.25. Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la masa m y aplicando la segunda ley de Newton: ˙ x B(xi − x0 ) + K(xi − x0 ) = m¨0 ˙ y haciendo cambio de variable.212) Si el rango de frecuencias de inter´s es relativamente alto de modo que para s = jω se e p tiene que mω 2 À (Bω)2 + K 2 (desigualdad que sirve para el diseõ del sism´grafo) n o |Y entonces de (2.212) se obtiene que |Xi(jω)| ' 1. n Este dispositivo tambiń puede ser utilizado como aceler´metro ya que s2Y (s) = e o Xi (s) Y (s) a(s) − m ms2 +Bs+K . el servomotor bifsico es un dispositivo no lineal. generalmente se usa como seãl de control) y fase de referencia (su voltaje es ef (t) = E cos ωt).60 muestra una curva t´ . La Fig. lo cual se refleja fundamentalmente en la relaciń entre el torque generado.25. ωm . Es un motor con o rotor jaula de ardilla y en el estator tiene dos devanados en cuadratura.61 Curvas de voltaje de control y torque del servomotor bif´sico con a velocidad constante Muy utilizado en servomecanismos de instrumentaciń y control. con la velocidad o ıpica. y el voltaje Ec (t). dada por los angular.88 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 2. 2.60 El servomotor bif´sico a Ec(t) Voltaje ec(t) Tiempo Torque T(t) Tiempo Figura 2. llamados fase de control (cuyo voltaje entre sus terminales ec (t) = Ec (t) sen ωt. T .2 El servomotor bif´sico a Figura 2. Como la n mayor´ de sistemas f´ ıa ısicos. u o Asi pues T = T (ωm .214) con condiciones iniciales nulas se obtiene la funciń de o transferencia: J K ∆θ(s) = ∆Ec (s) s(1 + τ s) donde K = k2 B+k1 (2.3 Motor de CC controlado en el inducido Figura 2.214) dt2 dt Usando Laplace en (2. el voltaje inducido en la armadura es dado por ea = Ka φωm .62 Motor de CC controlado por la armadura Aplicando la slk en el circuito de armadura: dia (2. 2. ec ) y linealizando alrededor de algń punto de operaciń P0 : ∂T ∂T |P0 ∆ωm + |P ∆ec ∂ωm ∂Ec 0 d2 ∆θ d∆θ d∆θ = −k1 + k2 ∆ec = J +B dt dt2 dt = ∆T (2. Se supone n o que las variaciones de Ec (t) son lentas comparadas con la seãl de alimentaciń sen ωt.214): o d2 ∆θ d∆θ = k2 ∆ec + (B + k1 ) (2. de esta relaciń y la Fig. el cual se supondr´ v − ea = Ra ia + La . el torque generado por el motor T (t) es proporcional a Ec (t).213) Organizando (2. 2.216) dt en donde ea .215) yτ= J B+k1 .25.61 muestra que. siendo a ωm la velocidad angular del motor y φ el flujo en el entrehierro. para una velocidad angular o constante.213) se obtiene la ecuaciń diferencial (2.25 Motor de CC controlado en el inducido 89 fabricantes.2. (2.217) Asimismo.219) con condiciones iniciales nulas y organizńdolas se obtienen: a Ia (s) = 1 (V (s) − Ea (s)) Ra + La s Ea (s) = Ke ωm (s) (2. .63 Diagrama de bloques del motor de CC controlado por el inducido Con las ecs.222) ωm (s) = (2.216) a la (2. Transformando las ecs. 2.221) τ (s) = Kτ Ia (s) 1 (τ (s) − τL (s)) Js + B (2.63 del motor de cc controlado por el inducido.220) (2. que en este caso se supone constante. el torque generado por el motor es dado por τ = Kb φia .220) a la (2.219) (2. (2.90 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS proporcional a la corriente de campo. Por lo tanto: τ = Kτ ia Con el diagrama de cuerpo libre de la inercia J y utilizando la sln: τ − τL = j dωm + Bωm dt (2.218) o en donde τL es el torque de perturbaciń en la carga.223) se obtiene el diagrama de bloques de la Fig. Por lo tanto: ea = Ke ωm (2.223) Figura 2. como sucede a veces. Aqu´ no se ı supondr´.64 Motor de CC controlado en el campo En este caso se supone que el voltaje aplicado a la armadura es constante. El comportamiento del sistema es descrito con las siguientes ecuaciones: V = Ra ia + La dia + ea dt ea = K0 φω = K1 if ω τ = K0 φia = K1 if ia dω + Bω dt dif dt τ =j vf = Rf if + Lf las cuales despu´s de ser linealizadas alrededor de un punto de operaciń se convierten e o en: ∆V = 0 = Ra ∆ia + La d∆ia + ∆ea dt ∆ea = Kf ∆if + Kω ∆ω .2.25. que la corriente de armadura es constante (conectando a una resistencia alta en serie con la armadura) ya que esto no es estrictamente cierto.25 Motor de CC controlado en el campo 91 2.4 Motor de CC controlado en el campo Figura 2. 92 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS ∆τ = K2 ∆if + Kω ∆ia d∆ω + B∆ω dt d∆if dt ∆τ = j ∆vf = Rf ∆if + Lf y utilizando la transformada de Laplace en ´llas con condiciones iniciales nulas: e ∆If (s) = 1 ∆Vf (s) Rf + Lf s 1 ∆Ea (s) Ra + La s ∆Ia (s) = − ∆Ea (s) = Kf ∆If (s) + Kω ∆ω(s) ∆τ (s) = K2 ∆If (s) + Kω ∆Ia (s) ∆ω(s) = 1 ∆τ(s) Js + B de las cuales se puede obtener el diagrama de bloques de la Fig. 2.65 o mediante la mao nipulaciń algebríca de las ultimas cinco ecuaciones se puede obtener la funciń de o a ´ o transferencia: . 2. Figura 2.65.65 Diagrama de bloques del motor de CC controlado en el campo Utilizando reducciń de diagramas de bloques en la Fig. en sistemas de control a menudo es necesario comparar varias seãles n en cierto punto de un sistema.26 Sensores de error en sistemas de control Como se sabe. un transformador. la comparaciń de la entrada de reo ferencia con la variable controlada. Si la inductancia de armadura es despreciable. que es llamada la seãl de error. entonces la funciń de transferencia se o reduce a: −Kf Kω + K2 −Kf Kω + Ra K2 ∆ω(s) Ra ' = 2 ∆Vf (s) (Rf + Lf s)(Ra Js + Ra B + Kω ) (Rf + Lf s)(Js + B + 2 Kω Ra ) (2. se puede calcular utilizando el teorema del valor final: ∆ωss = lim ∆ω(t) = lim s∆ω(s). En este caso da: t→∞ s→0 f (K2 − Ra ω )Ra = 2 Rf (Ra B + Kω ) K K ∆ωss de donde se puede notar que si: f n a. es decir la a velocidad decrece con el aumento de vf . Se considerarń algunos de ellos. un sensor de error puede ser un simple potenci´metro o una o combinaciń de ellos.26 Potenci´metros 93 o K (K2 − Raf Kω s )(Ra + La s) ∆ω(s) +La = 2 ∆Vf (s) (Rf + Lf s)[La Js2 + (Ra J + La B)s + (Ra B + Kω )] (2. ∆ωss .226) 2.2. a . Por ejemplo. entonces ∆ω(s) > 0. por lo tanto e o ∆Vf (s) = 1 . un amplificador o diferencial. Kf K b. Ra es grande de modo que (K2 − Ra ω ) > 0. es decir ∆vf (t) = us (t). es decir la velocidad crece con el aumento de vf . En t´rminos n e de componentes f´ ısicos. etc. un engranaje diferencial. un synchro. Partiendo de que el sistema es estable entonces el cambio en velocidad s en estado estacionario.225) y si la resistencia en el circuito de armadura se hace grande (conectando una resistencia alta en serie): ∆ω(s) K2 ' ∆Vf (s) (Rf + Lf s)(Js + B) (2.224) Consid´rese como entrada un escalń unitario. entonces ∆ω(s) < 0. Ra es pequeã de modo que (K2 − KRKω ) < 0. 2. o Potenci´metros rotatorios son disponibles comercialmente en forma de una o m´ltio u ples revoluciones. La entrada al dispositivo es en forma de desplazamiento n e mecńico.94 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS 2. en donde Ks es una constante de o proporcionalidad. ´ o Figura 2. sea traslacional o rotacional. Es decir e(t) = Ks θc (t). En este caso se permite la comparaciń de dos o posiciones de ejes localizados remotamente. linealmente o de acuerdo a alguna relaciń no lineal.66a se tiene el modelo de un potenci´metro rotatorio lineal. Este a ultimo es preferible para control de precisiń. Entonces el voltaje de salida e(t) ser´ proporcional a a a la posiciń del eje θc (t). Un arreglo m´s flexible se obtiene usando dos potenci´metros conectados en pa-ralelo a o como se muestra en la Fig.26.66b. Este diso positivo se puede usar para indicar la posiciń absoluta de un sistema o la posiciń o o relativa de dos salidas mecńicas. El voltaje de salida se toma entre los terminales variables de los dos potenci´metros y es dado por e(t) = Ks [θ1 (t) − θ2 (t)]. el voltaje de salida que se mide entre el terminal variable o y tierra es proporcional al desplazamiento de entrada. Cuando se aplica un voltaje entre los termia nales fijos del potenci´metro. o . El material comunmente es alambre o pl´stico conductor.66 Potenci´metros o En la Fig.1 Potenci´metros o Un potenci´metro es un transductor electromecńico que convierte una seãl mecńica o a n a en una seãl elćtrica. 2. En la terminolog´ del control. 2.68 Ondas t´ ıpicas del motor DC La Fig. N´tese que todas las seãles son demoduladas.68 se muestran formas de onda t´ o ıpicas o o n del sistema para cuando θr (t) es un escalń unitario. una seãl DC se refiere a una seãl ıa n n no modulada. Por otro lado. o .26 Potenci´metros 95 o Figura 2.67 Control de posiciń con motor DC o Referencia E e(t) ea(t) pos. 2. En la Fig.2. carga Tiempo Figura 2.67 muestra el diagrama esquem´tico simplificado de un t´ a ıpico sistema de control de posiciń con motor DC. una seãl AC se refiere a aquella que es modulada por n un proceso de modulaciń. 69 Control de posiciń con motor bif´sico AC o a Referencia v(t) error posición e(t) pos.67. 2.69 muestra un sistema de control que sirve esencialmente al mismo prop´sito o que el de la Fig. 2.70. La seãl de e-rror es e(t) = Ks θe (t)v(t).96 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2. es la diferencia entre el desplazamiento de entrada y el .70 Ondas t´ ıpicas del motor bif´sico AC a La Fig. en donde θe (t) = θr (t) − θL (t). Seãles t´ n a e n ıpicas del sistema de control AC se muestran en la Fig. carga Tiempo Figura 2. v(t) = E sen ωc t es llamada n la portadora cuya frecuencia es ωc . excepto que prevalecen las seãles AC. El voltaje aplicado al n detector de error es sinusoidal. 2. La frecuencia de esta seãl es usualmente mucho m´s n a alta que la de la seãl que est´ siendo transmitida a trav´s del sistema. usando relaciones trigonom´tricas.229) ES3 S1 = . se aplica al rotor a trav´s de dos anillos a e deslizantes.2.70. 2. el motor actua como un n e demodulador. si θe (t) = sen ωs t. entonces. n o 2. Se puede demostrar que las magnitudes de los voltajes en los terminales del estator son: √ ES1 S2 = 3KER sen(θ + 240◦ ) (2. Su diagrama esquem´tico se muestra a en la Fig. e(t) es una seãl n modulada con portadora suprimida ya que no contiene la frecuencia original portadora. Por e 2 eso.26 Synchros 97 n desplazamiento de la carga.2 Synchros Son muy confiables. El synchro transmisor.71 El synchro transmisor Un voltaje AC monof´sico. Aqu´ s´lo se discuten el synchro transmisor y el synchro ı o transformador de control. Para la seãl θe (t) de la Fig. El a rotor es de polos salientes con un solo devanado. e(t) = 1 Ks E[cos(ωc − ωs )t − cos(ωc + ωs )t]. Cuando la seãl modulada se transmite a trav´s del sistema. e(t) no contiene a ωc o ωs .228) (2. ec = ER sen ωc t.71.26.227) ES2 S3 = √ 3KER sen(θ + 120◦ ) √ 3KER sen θ (2. sino a ωc + ωs y ωc − ωs . B´sicamente un synchro es un dispositivo rotatorio que opera a con el mismo principio que un transformador y produce una correlaciń entre una o posiciń angular y un voltaje o conjunto de ellos. 2. en donde normalmente ωs ¿ ωc . Los synchros son dispositivos AC o y hay muchos tipos de ellos. Por ejemplo. de modo que el desplazamiento de la carga ser´ de la misma forma que a la seãl DC antes de modulaciń. Los devanados de su estator estń conectados en Y. Figura 2. Naturalmente el detector de error s´ ıncrono es un dispositivo no lineal. un synchro o transmisor sirve para identificar posiciones angulares. Se debe hacer notar que la seãl de error en los terminales del rotor del transformador n n de control cuando el voltaje aplicado al rotor del transmisor es ER sen ωc t. Esta cualidad es esencial para un transformador de control ya que los terminales del rotor son conectados usualmente a un amplificador o un dispositivo elćtrico similar. en donde E es un voltaje de error en voltios.98 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS en donde θ es la posiciń del rotor relativa alguna referencia.72. es una seãl modulada de portadora suprimida. . e(t) = Ks θe (t) sen ωc t. excepto que el rotor es de forma cil´ ındrica de modo que el flujo en el entrehierro es uniformemente distribuido alrededor del rotor.229) se aplican a los correspondientes terminales del estator del transformador de control. el voltaje del rotor del del transformador de control es aproximadamente proporcional a la diferencia de posiciń. e Cuando los voltajes (2. para pequeãs desviaciones angulare de hasta 15◦ en la vecindad de las n 2 posiciones nulas del seno.227) a (2. para pequeãs o n desviaciones angulares. Figura 2. θr y θL son las posiciones de los ejes del transmisor y del transformador de control en radianes. Por lo tanto. θe es el error de las posiciones de los ejes en rads. 2. El synchro transformador de control. Por eso. respectivamente. la funciń de transferencia del detector de error s´ o ıncrono se E E puede aproximar por una constante Ks = θr −θL = θe .72 Detector de error por synchros B´sicamente el principio de operaciń del synchro transformador de control es idńtica a o e a la del trasmisor. Un detector de error por synchros involucra el uso de dos: el transmisor y el transformador de control como se muestra en la Fig. de modo e que ´ste vea una impedancia constante. y Ks es la sensitividad del detector de error en voltios/rad. la amplitud del voltaje en su rotor es funciń del o seno de la diferencia entre los ńgulos de los ejes del transmisor y del transformador a de control. Sin embargo. K1 es la ganancia del detector de error potenciom´trico. o Figura 2.74 Jm y Bm son: el momento de inercia y el coeficiente de fricciń o u viscosa del motor. El rotor del transformador de control se conecta al eje controlado y el rotor del transmisor se conecta al eje de entrada de referencia.73 Control de posiciń con motor bif´sico o a La Fig.2.27.1 Ejemplos de control de posiciń o Control de posiciń con sensor de error potenciom´trico o e Los siguiente tres ejemplos tienen como objetivo el control de una posiciń angular. n = N1 . 2. es la relaciń del n´mero de dientes de los N2 o engranajes primario y secundario. respectivamente. 2.74 Control de posiciń con sensor de error potenciom´trico y motor DC o e o En la Fig.27 2.73 muestra un diagrama simplificado de un sistema de control de posiciń o empleando un detector de error s´ ıncrono. 2.27 Control de posiciń con sensor de error potenciom´trico 99 o e Figura 2. Km es la constante de voltaje y de torsiń del motor e (iguales en el sistema MKS). . 100 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS KA es la ganancia del amplificador. de salida (en la carga) y del motor. respectivamente. y θ1 son los desplazamientos angulares de los ejes de referencia. Transformando las ecuaciones con condiciones iniciales nulas se obtienen: E(s) = K1 (R(s) − C(s)) Va (s) = KA E(s) Ia (s) = 1 (Va (s) − Ea (s)) Ra + La s Ea (s) = Km ω1 (s) τ (s) = Km Ia (s) ω1 (s) = 1 τ(s) Beq + Jeq s n ω1 (s) s C(s) = . c. Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema son: e = K1 (r − c) va = KA e va − ea = Ra ia + La ea = Km ω1 τ = Km ia τ = Jeq dω1 + Beq ω1 dt dia dt 1 ω1 = c ˙ n en donde Jeq = (Jm + n2 JL ) y Beq = (Bm + n2 BL ). r. 27 Control de posiciń con synchros y motor DC 101 o Con estas ecuaciones se puede obtener el diagrama de bloques que se muestra en la Fig.2 Control de posiciń con synchros y motor DC o Figura 2.74 Utilizando reducciń de diagramas de bloques o mediante manipulaciń de las ecuao o ciones transformadas se puede obtener la funciń de transferencia.75 Diagrama de bloques del sistema de la Fig. la cual. Figura 2. es: K1 KA Km n C(s) = 2 + (R B + K 2 )s + K K K n R(s) Ra Jeq s a eq 1 A m m 2. en el caso o de despreciar la inductancia de armadura. 2.2.75.76 Control de posiciń con synchros y motor DC o . 2.27. en donde vr = V cos ωc t. 2. es necesario entonces demodular el error. lo cual justifica parte de las gr´ficas de a la Fig. ec = K(θi − θ0 ) cos ωc t.77a. el an´lisis del circuito se puede hacer en dos partes: a a.77a sin considerar el condensador.77b es equivalente o al de la Fig. si ec > 0 ⇒ v0 > 0. θr − θL . son lentas con relaciń a la portadora. Figura 2.2. 2. como los transistores P y Q quedan en saturaciń y corte. el circuito de la Fig. 2. En este caso los transistores P y Q quedan en corte . y si ec < 0 ⇒ v0 < 0. 2.77c se usa una red equivalente Thevenin en donde: 2 (2R1 +R2 RT h = R2(R1 +R2 ) ) y eT h = − 2(RR2 2 ) ec . para lo cual se utiliza el circuito de la Fig. b. Cuando θr − θL > 0 y vr < 0. Cuando θr − θL > 0 y vr > 0. Por lo tanto: 1 +R v0 = R ec 2R1 + R2 Asi.77 Demodulador y circuitos equivalentes o Como se supone que las variaciones del error. En el circuito de la Fig.78.102 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Puesto que la seãl de error del detector de error s´ n ıncrono es modulada. y se desea usar un motor DC. respectivamente. En este caso. 27 Control de posiciń con synchros y motor DC 103 o y saturaciń.79 Diagrama de bloques de la Figura 2.78 Seãles del demodulador n El condensador en el circuito de la Fig. y si ec < 0 ⇒ v0 > 0. lo cual justifica otra parte de las gr´ficas de la Fig.78. Haciendo un an´lisis como en el caso anterior se o a obtiene: R ec 2R1 + R2 Asi. si ec > 0 ⇒ v0 < 0.2.77a sirve como filtro para obtener a la salida del demodulador una se˜ al DC que es proporcional al error de las posiciones n angulares θr − θL . a v0 = − Vr ec Vo Vr ec Vo Tiempo Figura 2.2. 2. Figura 2.76 . respectivamente. 2. Sus voltajes de o a referencia. de una vez en el dominio de s. completan el conjunto que describe el sistema de la Fig.104 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS La Fig.3 Control de posiciń con synchros y motor bif´sico o a Figura 2. en donde Kθ es la ganancia del detector de error s´ a acciń del demodulador y KT G es la ganancia del tacogenerador de imń permanente. El tacogenerador en este caso es AC.79 muestra el diagrama de bloques correspondiente al sistema de la Fig. 2. al igual que el aplicado al rotor del synchro transmisor son de la misma frecuencia angular. KDM representa la 2.80 muestra el control de posiciń angular utilizando detector de error o sincrńico y motor bif´sico. 2.27.80 Control de posiciń con synchros y motor bif´sico o a La Fig. o 2. La inercia y coeficiente de fricciń viscosa equivalentes en el eje o del motor son: ´2 ³ ³ ³ ´2 ³ ´2 ´2 Jme = Jm + N1 Jc + N4 N2 N1 Jt .76. ıncrono. y Bme = Bm + N1 Bc + N4 N2 N1 Bt N2 N5 N3 N2 N2 N5 N3 N2 La funciń de transferencia del motor bif´sico que se encontr´ anteriormente es: o a o Km θm (s) = E2 (s) s(1 + Tm s) Las siguientes ecuaciones.80: θe (s) = θr (s) − θt (s) E(s) = Ks θe (s) . es: o Ks AKm n1 θc (s) = 2 + (1 + AK K n )s + K AK n θr (s) Tm s m t 2 s m 2 donde n1 = N1 N2 y n2 = N4 N2 N5 N3 .81.80 La funciń de transferencia. Figura 2. 2.28 Sistemas de nivel de l´ ıquido 105 Ea (s) = E(s) − Et (s) E2 (s) = AEa (s) θc (s) = N1 θm (s) N2 θt (s) = N4 N2 θc (s) N5 N3 Et (s) = Kt sθt (s) Con estas ecuaciones se puede obtener el diagrama de bloques de la Fig. 2. 2.28 Sistemas de nivel de l´ ıquido .81 Diagrama de bloques del sistema de la Fig. que se puede obtener por manipulaciń algebraica de las o o ecuaciones o por reducciń del diagrama de bloques.2. 106 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2.231) Adem´s. entonces. suponiendo una secciń transversal constante. e e respectivamente. el sistema se describe mediante ecuaciones diferenciales no u lineales o lineales. entonces: o ∂f (H) |P0 ∆H = A∆H (2. (2. l´ ıquido en el tanque y el nivel en el sistema hidrúlico tienen como an´logos elćtricos a a e a la carga elćtrica (q) en un condensador y la diferencia de potencial (voltaje e). respectivamente.230) se define la capacitancia del tanque como C . entonces el volumen aumenta y vicerversa.232) . De (2.231): ∆V = ∆V = C∆H (2.230) ∂H N´tese que el l´ o ıquido en el tanque almacena energ´ Si se considera que el volumen del ıa. Es decir: V = f(H) Cuando ocurre un pequeõ cambio en el nivel con respecto al valor del punto de n operaciń. entonces: dV dt Asi si Qi − Q0 > 0. es funciń del nivel del o o mismo.82 Sistema de nivel de l´ ıquido Dependiendo de si el flujo del l´ ıquido es turbulento o laminar.230) se puede reescribir como (2. como la diferencia entre el caudal que le entra al tanque y el que le sale es a la variaciń del volumen del l´ o ıquido en el tanque. En el sistema de nivel de l´ ıquido (sistema hidrúlico) de la Fig. H. Naturalmente el volumen (V ) del l´ en el tanque.232): Qi − Q0 = (2. lo cual se mide con el n´mero de Reynolds. y comparando con la ec. A es el promedio a de la secciń transversal del tanque.82a. A y por lo tanto (2. 2. puesto que q = Ce e. donde Ce es la capacitancia elćtrica. Qi es el caudal (volumen por unidad de tiempo) o ıquido a la entrada y Q0 es el caudal a la salida. 2.2. dq .239) 1 d∆H + ∆H = ∆Qi dt R (2.233): ∆Qi − ∆Q0 = d∆H (2. es decir Q0 = Q0 (H). Linealizando alrededor o del punto de operaciń: o ∆Qi − ∆Q0 = C ∂Q0 (H) |P0 ∆H (2.235) ∂H Como se sabe. Por lo tanto. entonces de (2.234) y organizando se obtiene la ecuaciń diferencial que relaciona o un cambio en el caudal de entrada con un cambio en el nivel del sistema de la Fig. 2. ∆Q0 .238) ∆Qi (s) RCs + 1 Si se considera como salida el caudal a trav´s de la v´lvula de salida y como ∆Q0 (s) = e a 1 ∆H(s).82b. la resistencia elćtrica Re se define por Re . Esta es la pendiente de la curva mostrada en la Fig.83 Circuito elćtrico an´logo al sistema de nivel de l´ e a ıquido de la Fig.235) se define la resistencia de la v´lvula a la a a ∆H ´ salida como R . el cual como se muestra en la Fig.82b puede e ser una funciń no lineal del nivel H.236) en (2.28 Sistemas de nivel de l´ ıquido 107 d∆V (2. a e Con (2. 2.236) R Con (2. e dt entonces el an´logo del caudal es la corriente elćtrica. 2.231) en (2.237) Figura 2.82a . entonces: R 1 ∆Q0 (s) = ∆Qi (s) RCs + 1 (2.82a: ∆Q0 = C La funciń de transferencia es: o R ∆H(s) = (2. e y con ∆Q0 an´logo a e a i i y ∆H an´logo a e. reescribiendo (2.233) dt Es importante notar que puesto que la corriente elćtrica se define como i .234) dt Consid´rese el caudal a la salida Q0 .235): ∆Q0 = 1 ∆H (2. 82a como se muestra en la Fig.83 se obtiene: ˙ i = Ce e + 1 e Re (2. Re e Capacitancia elćtrica. 2.240) se obtiene nuevamente la ecuaciń diferencial ıas o (2. considerando a a o como entrada una variaciń del caudal Q. Para el tanque de la izquierda: . ∆Q.29 Sistemas de nivel de l´ ıquido con interacciń o Figura 2. 2. i Resistencia elćtrica. ıas o Sistema hidrúlico a Nivel. i0 = ∆Q0 . Ce e 2.84 muestra dos tanques conectados a trav´s de una v´lvula. y como salida la variaciń en el caudal o o Q2 . 2. En la Fig. e Corriente. ∆Q2 . e = ∆H.108 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Teniendo en cuenta las analog´ elćtricas descritas en esta secciń.237). Aplicando la plk al nodo superior del circuito de la Fig. i = ∆Qi . 2. La siguiente tabla hace un resumen de las analog´ consideradas en esta secciń.83. ∆Q Resistencia hidrúlica. se puede obtener ıas e o el circuito elćtrico an´logo del sistema de nivel de l´ e a ıquido de la Fig.83 las analog´ son: ıas Ce = C.84 Sistema de nivel de l´ ıquido con interacciń o La Fig. C a Sistema elćtrico e Voltaje. ∆H Caudal.240) Reemplazando las analog´ en (2. 2. Se plantear´ un e a a modelo matem´tico linealizado y se obtendr´ la funciń de transferencia. Re = R. R a Capacitancia hidrúlica. 248) ∆Q2 (s) = Figura 2. entonces: dV1 dt d∆V1 d∆H1 = C1 dt dt (2.245) (2.241) a (2.29 Sistemas de nivel de l´ ıquido con interacciń 109 o Q − Q1 = Entonces: ∆Q − ∆Q1 = Como Q1 = Q1 (H1 − H2 ).85 Diagrama de bloques del sistema de la Fig.244) Suponiendo condiciones iniciales nulas y transformando (2.2.247) (2.241) 1 (∆H1 − ∆H2 ) R1 Similarmente para el tanque de la derecha: ∆Q1 = Q1 − Q2 = ∆Q1 − ∆Q2 = y como Q2 = Q2 (H2 ).246) (2.243) (2. 2.244) se obtienen: ∆H1 (s) = ∆Q1 (s) = ∆H2 (s) = 1 [∆Q(s) − ∆Q1 (s)] C1 s 1 [∆H1 (s) − ∆H2 (s)] R1 1 [∆Q1 (s) − ∆Q2 (s)] C2 s 1 ∆H2 (s) R2 (2.84 .242) d∆V2 d∆H2 = C2 dt dt (2. entonces: ∆Q2 = 1 ∆H2 R2 dV2 dt (2. 250) 0 = C2 s∆H2 (s) + 1 1 ∆H2 (s) + [∆H2 (s) − ∆H1 (s)] R2 R1 (2. que resulta ser la misma funciń de ∆Q(s) transferencia obtenida anteriormente y dada por la ec. 2.251) o de las cuales se puede obtener ∆H2 (s) en funciń de ∆Q(s) y teniendo en cuenta 1 o que ∆Q2 (s) = R2 ∆H2 (s) se obtiene ∆Q2 (s) .85 y a partir de ´ste o mediante reducciń de diagrama de e o bloques se obtiene la funciń de transferencia: o 1 ∆Q2 (s) = 2 + (R C + R C + R C )s + 1 ∆Q(s) R1 C1 R2 C2 s 1 1 2 2 2 1 (2. 2. 2. (2. Figura 2. 2. 2.30 Sistema de nivel de l´ ıquidos no lineal .248) se puede obtener el diagrama de bloques que se muestra en la Fig.86.86. y que se obtienen aplicando la plk en dos nodos son: ∆Q(s) = C1 s∆H1 (s) + 1 [∆H1 (s) − ∆H2 (s)] R1 (2.84 es el que se muestra e a a en la Fig.245) a (2.249).110 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Con las ecuaciones (2.84 e a a Las ecuaciones que describen el circuito de la Fig. de una vez en el dominio de s.86 Circuito elćtrico an´logo al sistema hidrúlico de la Fig.249) El circuito elćtrico an´logo al sistema hidrúlico de la Fig. 2. 2. 2.87. Q2 = K2 H2 .87 Sistema hidrúlico a √ √ o En el sistema hidrúlico de la Fig.2.88 Tanque esf´rico de la Fig. Q1 = K1 H1 . El caudal u es la entrada al sistema. N´tese que a la secciń transversal del tanque esf´rico var´ con el nivel de su l´ o e ıa ıquido. e e . 2. Figura 2. Se a plantearń las ecuaciones de estado no lineales que describen el comportamiento del a sistema.88 consid´rese el diferencial de volumen mostrado.30 Sistema de nivel de l´ ıquidos no lineal 111 Figura 2. es decir su capacitancia hidrúlica no es constante.87 e En el tanque esf´rico de la Fig. 257) se obtienen las ecuaciones de estado no lineales que describen el comportamiento del sistema de la Fig.253) Las ecuaciones no lineales (2. Matem´ticamente: a i h ¡ ¢ dv = π r2 − (r − H)2 dH = π 2rH − H 2 dH Z Es decir.256) Q1 − Q2 = πH2 (2r − H2 ) (2.87: u − Q1 = A y para el tanque esf´rico: e Q1 − Q2 = dV2 dt (2.259) 2.254) dH1 dt (2. 2.258) (2.254): (2.257) Con (2.112 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS dv. 2.253) y con (2.255) y (2. el volumen en el tanque esf´rico para un nivel determinado H2 es: e ¢ ¡ π 2rH − H 2 dH 0 µ ¶ 3 H2 2 = π rH2 − 3 = H2 V2 (2.256) en (2.87: K1 p 1 dH1 =− H1 + u dt A A h p p i dH2 1 = K1 H1 − K2 H2 dt πH2 (2r − H2 ) (2.252) Para el tanque superior de la Fig.31 Sistemas neum´ticos o de presiń a o .255) Q2 = K2 Reemplazando (2.252) en (2.255) y (2.255) en (2.256) son dadas: Q1 = K1 p H1 p H2 dH2 dt (2. R la constante universal de los gases y T la temperatura absoluta. entonces la resistencia al flujo de gas R. Si se supone que el gas en la c´mara de la Fig. es funciń.89. entonces la a ıa. v el volumen espec´ o ıfico del gas.89 Sistema neum´tico a En el sistema neum´tico de la Fig. 2.31 Sistemas neum´ticos o de presiń 113 a o Figura 2. en general no e o o lineal. con el sentido mostrado. Ya que el flujo o de gas a trav´s de la restricciń. cuya expresiń matem´tica es dada por: e o a ∆Q = ¯ R p = T (2. de (2. teniendo en cuenta la definiciń de o a o resistencia elćtrica. ρ su densidad.262) ρ m en donde p es la presiń absoluta. y se var´ la presiń a la cual ıa o est´ sometido. e. entonces: Q = Q(Pi − P0 ) la cual despu´s de ser linealizada alrededor del punto de operaciń Pop . Re = e . Pi es la presiń a o o a de entrada (antes de la restricciń) y P0 es la presiń en la c´mara.89 est´ bajo ciertas condiciones. a a como por ejemplo volumen y temperatura constantes. masa M tambiń var´ Por lo tanto en el sistema de la Fig. linealizando alrededor del punto de operaciń: o pv = . 2.2.89 se tiene una restricciń o v´lvula y una a o a c´mara de gas. de la diferencia de presiones Pi − P0 .261) R Consid´rese la ley de los gases ideales. m ¯ su peso molecular. M = M(P0 ). entonces su densidad (ρ) var´ y puesto que M = V ρ. y e ıa. Q es el flujo de gas (masa por unidad de tiempo). y la diferencia de a e presiń an´loga a la diferencia de potencial.260) Si se considera al flujo de gas an´logo a la corriente elćtrica. 2.260) se e i define como: R= ∆Pi − ∆P0 = ∆Q 1 ∂Q ∂(Pi −P0 ) |Pop Por lo tanto (2.260) se puede reescribir como: 1 (∆Pi − ∆P0 ) (2. i. se obtiene: e o ∆Q = ∂Q |P (∆Pi − ∆P0 ) ∂(Pi − P0 ) op (2. C a Sistema elćtrico e Voltaje.264) d∆M (2. ∆Q Resistencia neum´tica.265) dt Con (2. ıas o Sistema neum´tico a Presiń.266) dt R R y utilizando la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas se obtiene la funciń de transferencia: o C 1 ∆P0 (s) = (2. 2. o Figura 2. se a e puede definir la capacitancia neum´tica C de la c´mara del gas como: a a ∆M = ∆M = C∆P0 ∂M en donde en el punto de operaciń C = ∂P0 |Pop .89 e a La siguiente tabla hace un resumen de las analog´ consideradas en esta secciń. Re e Capacitancia elćtrica.264) en (2.90 y obtener la misma funciń de transferencia de la ec. 2. se puede obtener ıas e o el circuito elćtrico an´logo del sistema neum´tico de la Fig.263) ∂P0 op Ya que el flujo de gas es variaciń de masa por unidad de tiempo.265) se obtiene la ecuaciń diferencial lineal que relaciona o un cambio en la presiń de la c´mara del gas con un cambio en la presiń de entrada: o a o 1 d∆P0 1 + ∆P0 = ∆Pi (2.90 Circuito elćtrico an´logo del sistema de la Fig. i Resistencia elćtrica. Q = dM .267) ∆Pi (s) RCs + 1 Teniendo en cuenta las analog´ elćtricas descritas en esta secciń. Q es an´logo a la corriente elćtrica. ∆P o Flujo. entonces la masa a e R R M = Qdt tiene como an´logo a la carga elćtrica. y puesto o dt que.267). R a Capacitancia neum´tica. i. Ce e . (2.114 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS ∂M |P ∆P0 (2. e Corriente. 2.261) y (2. Asi entonces. como se dijo antes. qe = idt. o Como: ∆Q = (2.89 como se muestra e a a en la Fig. 91. a e a Figura 2.92 se obtiene el conjunto de ecuaciones que se desea: 1 1 [∆P01 (s) − ∆Pi1 (s)] + C1 s∆P01 (s) + [∆P01 (s) − ∆P02 (s)] = 0 R1 R3 1 1 [∆P02 (s) − ∆P01 (s)] + C2 s∆P02 (s) + [∆P02 (s) − ∆Pi2 (s)] = 0 R3 R2 .92 Circuito elćtrico an´logo del sistema de la Fig.31 Sistemas neum´ticos o de presiń 115 a o Ejemplo 2. Ri es la resistencia neum´tica de la i-´sima v´lvula y Ci es la capacitancia neum´tica de la i-´sima c´mara. es decir en el dominio de s. de una vez transformado.22 a La Fig.92 muestra el circuito elćtrico an´logo del sistema neum´tico de la Fig. Figura 2.91 Sistema neum´tico del ejemplo 2.91 e a Aplicando la plk a los nodos 1 y 2 del circuito de la Fig 2.91 plantear un conjunto de a ecuaciones en el dominio de s que describa el comportamiento del sistema en funciń o o de los cambios de presiń ∆P01 y ∆P02 . 2.22 Para el sistema neum´tico de la Fig. 2. e a a 2. 2. Los cambios de presiń en las entradas o a e a son ∆Pi1 y ∆Pi2 .2. y de la derecha. y linealizando: ˙ Los flujos de gas a trav´s de las restricciones de la izquierda. Mi . Obtener la funciń de transferencia considerando como entrada un cambio en la presiń P0 . las cuales despu´s de ser linealizadas se convierten en: 1 ˙ ∆Mi = (∆P0 − ∆Pi ) R1 1 ˙ ∆Mf = (∆P0 − ∆P2 ) R2 Aplicando la ley de los gases ideales en cada uno de los fuelles se obtienen: Pi Vi = Kg Mi Ti (2. la temperatura en los fuelles constante y que el gas es ideal. o o o ∆P0 . y como salida un cambio en la posiciń z.93 A es la secciń transversal a o de cada fuelle. 2. ∆z.268) Pf Vf = Kg Mf Tf las cuales al ser linealizadas se reducen a: . son funciones de las respectivas diferencias de presiń. Es ˙ ˙ ˙ ˙ e decir. Suponer conocido el punto de operaciń. P0 − Pi y P0 − Pf . 2.93 Sistema neum´tico del ejemplo 2.23 En el sistema neum´tico de la Fig.116 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Ejemplo 2. Mi = Mi (P0 − Pi ) y Mf = Mf (P0 − Pf ).269) (2. i = 1. o Figura 2. e ˙ o Mf . Por lo tanto A(Pf − Pi ) = Kz. K es la constante del resorte.23 a Se supone que la presiń del gas en el fuelle de la izquierda es Pi y en el de la derecha o Pf . Kg es la constante de los gases ideales y Ri es la resistencia al flujo del gas en cada una de las restricciones.270) A(∆Pf − ∆Pi ) = K∆z (2. 271) y (2.278) en (2.278) Con (2.272) (2. b1 = 2A.273) ∆Mf = C3 ∆Pf + C4 A∆z (2. entonces un pequeõ n n´mero de sistemas t´rmicos pueden ser representados por ecuaciones diferenciales u e lineales.32 Sistemas t´rmicos e Si se supone que la temperatura de un cuerpo es uniforme.276) respectivamente: ¸ · R1 s 1 ∆P0 (s) − C2 A∆z(s) ∆Pi (s) = R1 C1 s + 1 R1 s ∆Pf (s) = ¸ · R2 s 1 ∆P0 (s) − C4 A∆z(s) R2 C3 s + 1 R2 s (2. transformando (2.273) y (2.275) y (2.2.277) (2. a0 = KR1 R2 C1 C3 + AR1 R2 C1 C4 − AR1 R2 C2 C3 a1 = KR1 C1 + KR2 C3 + AR2 C4 − AR1 C2 .277) y (2.276) Despejando ∆Pi (s) y ∆Pf (s) de (2.271) ∆Mf = C3 ∆Pf + C4 ∆Vf Reemplazando ∆Vi = ∆Vf = A∆z en (2. e .274) despu´s de ser tambiń transformadas se obtienen: e e e ∆Mi (s) = 1 [∆P0 (s) − ∆Pi (s)] = C1 ∆Pi (s) + C2 A∆z(s) R1 s 1 [∆P0 (s) − ∆Pf (s)] = C3 ∆Pf (s) + C4 A∆z(s) R2 s (2.268) despu´s de ser transformada y organizando se halla e la funciń de transferencia pedida: o b0 s + b1 ∆z(s) = 2+a s+a ∆P0 (s) a0 s 1 2 en donde: b0 = A (R1 C1 + R2 C3 ) . a2 = K 2.269) y (2.275) ∆Mf (s) = (2.272): ∆Mi = C1 ∆Pi + C2 A∆z (2.32 Sistemas t´rmicos 117 e ∆Mi = C1 ∆Pi + C2 ∆Vi (2. Se considerar´ espec´ a ıficamente un calentador de agua como ejemplo de un t´ ıpico sistema t´rmico.274) Suponiendo condiciones iniciales nulas.270) y reemplazando en ´llas (2. entonces teniendo ∆Qc = .118 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2.94 Sistema t´rmico e En la Fig. Por lo tanto: ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Qi + Qh = Qc + Q0 + Ql y linealizada: ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ∆Qi + ∆Qh = ∆Qc + ∆Q0 + ∆Ql (2. 2. Qc = Qc (Tt ).280) ∂Tt 0 Si se considera que el calor almacenado en el tanque es an´logo a la carga elćtrica a e a (qe ) en un condensador y la temperatura es an´loga al voltaje (e). Por lo tanto: ∂Qc |P ∆Tt (2.94 el mezclador tiene como fin uniformizar la temperatura del l´ ıquido en el tanque. Se definen las siguientes variables: ˙ ıas/segundo) Qi : flujo de calor que entra (por ejemplo en calor´ ˙ Qh : flujo de calor producido por la resistencia ˙ Qc : calor almacenado por unidad de tiempo ˙ Q0 : flujo de calor que sale ˙ l : calor perdido a trav´s del aislante por unidad de tiempo e Q ıquido que sale Tt : temperatura en el tanque y del l´ Te : temperatura en el exterior La relaciń fundamental de sistemas t´rmicos en equilibrio establece que el calor o e a e adicionado al sistema (Qi + Qh ) es igual al calor almacenado m´s las p´rdidas de calor (Qc + Q0 + Ql ).279) El calor almacenado en el tanque es funciń de la temperatura del l´ o ıquido. Por lo tanto (2.280) se puede e ∂T e reescribir como ∆Qc = C∆Tt .283) y (2.32 Sistemas t´rmicos 119 e o en cuenta la definiciń de capacitancia elćtrica. Re = e .2. y la ecuaciń (2.286) ˙ Si se supone que no hay cambios en el caudal.285) en (2.282) El flujo de calor perdido a trav´s del aislante depende de la diferencia de temperaturas e ˙ ˙ en el tanque y en el exterior. es decir ∆M = 0. Tt .279) y organizando: µ ¶ d∆Tt ˙ 0 + 1 ∆Tt = ∆Qi + ∆Qh + 1 ∆Te − cTt0 ∆M ˙ ˙ ˙ + cM C dt R R (2.284) se puede reescribir: aislamiento R = ∂(Tt −Te ) |P0 1 ˙ ∆Ql = (∆Tt − ∆Te ) R (2. del caudal.287) que es la ecuaciń diferencial que relaciona un cambio en la temperatura en el tanque o ˙ ˙ con cambios en Qi y en Qh . Ql = Ql (Tt − Te ).283) (2. ni cambios en la temperatura en el exterior.280). (2.284) se puede definir la resistencia t´rmica de e hi i−1 ˙ ∂ Ql .284) Como el flujo de calor es variaciń de calor por unidad de tiempo. .285) Con (2.281).286) se reduce a: C µ ¶ d∆Tt 1 ˙ ˙ ˙ + cM0 + ∆Tt = ∆Qi + ∆Qh dt R (2. entonces aqu´l o e es an´logo a la corriente elćtrica y teniendo en cuenta la definiciń de resistencia a e o e elćtrica. es funciń del par´metro denominado capacidad cal´rica ˙ a espec´ ıfica. es decir ∆Te = 0. Matem´tica-mente: ˙ ˙ Q0 = cM Tt la cual despu´s de ser linealizada alrededor del punto de operaciń es: e o ˙ ˙ ˙ ∆Q0 = cTt0 ∆M + cM0 ∆Tt (2. qe = Ce e. c. entonces de (2. Linealizando alrededor del punto de operaciń: o ˙ ∆Ql = ˙ ∂ Ql |P (∆Tt − ∆Te ) ∂(Tt − Te ) 0 (2. M . o e c se define la capacitancia t´rmica como C = ∂Qt |P0 . (2. entonces (2. Q0 . la cual despu´s de ser derivada es: ˙ ˙ ∆Qc = C∆Tt (2.281) ˙ o a o El flujo de calor que sale. y de la temperatura del l´ ıquido.Por lo tanto. Es decir. e Corriente.95 muestra un circuito elćtrico an´logo al sistema t´rmico de la Fig. 2. i Resistencia elćtrica. y si la fuente de voltaje ∆Te se despreciara. N´tese que cM0 es el inverso de una resistencia elćtrica an´loga a las p´rdidas o ıa a la salida. C e Sistema elćtrico e Voltaje. Ce e . 2. ıa C representa la capacitancia t´rmica del l´ e ıquido en el tanque. ∆Qi y ∆Qh son an´logas a e a dos fuentes de corriente conectadas en paralelo suministrando energ´ al circuito. estar´ en paralelo con la ˙ ˙ a resistencia an´loga a la resistencia t´rmica de aislamiento.120 MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS Figura 2. La siguiente tabla hace un resumen de las analog´ consideradas en esta secciń.95 Circuito elćtrico an´logo al sistema de la Fig. ∆Q Resistencia t´rmica. 2e a e ˙ e a e 94. Re e Capacitancia elćtrica. ∆T Flujo de calor. ıas o Sistema t´rmico e Temperatura.94 e a La Fig. R e Capacitancia t´rmica. 3. Un amplificador operacional ideal ser´ aquel que tuviese impedancia de entrada inıa finita. como el LM741. tiene. el ancho de banda depende de la configuraciń y el desbalance es imperfecto pero pequeõ. impedancia de salida 75 Ohm. como valores t´ ıpicos. Un amplificador real. Sin embargo. el microprocesador o el microcontrolador se pueden utilizar no solo para simular sistemas sino tambiń para sintetizar e funciones de transferencia tales como filtros activos. la computadora digital. Cuando se utiliza realimentaciń negativa el voltaje entre (+) y (−) es o prćticamente nulo y las corrientes de entrada a ambos terminales tambiń se pueden a e despreciar. impedancia de entrada 2M. o ancho de banda infinito y balance perfecto. alta impedancia de entrada y baja impedancia de salida al cual se le aãde realimentaciń para obtener n o diferentes funciones de transferencia. controladores y compensadores en un sistema de control 3. Tiene o dos entradas: una inversora (−) y otra no inversora (+). La Fig. 121 .CAPITULO 3 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA El amplificador operacional. ganancia de voltaje sin realimentar 200000. si se realimenta o n negativamente su comportamiento es muy cercano al ideal. Si el voltaje entre (+) y (−) es mas positivo en (−).1(b).1(a) muestra su representaciń. amplificaciń de voltaje sin realimentar infinita. la salida es negativa como se muestra en el modelo de la Fig. impedancia de salida cero.1 El Amplificador Operacional Es un amplificador directamente acoplado de muy alta ganancia. 3. Algunos circuitos b´sicos son los siguientes: o a 3.1. filtros activos. 3. integradores.1. derivadores.1 Amplificador con dos Fuentes de Entrada La Fig.1 Algunos Circuitos con Amplificador Operacional Con el amplificador operacional se pueden obtener amplificadores inversores y noinversores de signo. desde la salida v0 (s) al terminal inversor (-) a trav´s de la o 0 impedancia Z (s).2 Amplificador con dos entradas N´tese que: o .1.1 S´ ımbolo y modelo 3.122 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Figura 3. y en general cualquier funciń de transferencia. sumadores. Figura 3.2 muestra un amplificador operacional con dos entradas v1 (s) y v2 (s) con e realimentaciń negativa . es aquel para el cual R = 0 ´ y R = ∞.3) que es un amplificador inversor de ganancia − R . Por otro lado.3. . llamado seguidor de voltaje.5) Este es un amplificador de ganancia unitaria positiva que se caracteriza por tener una alt´ ısima impedancia de antrada y una muy baja impedancia de salida lo que lo hace muy util para acoplar un circuito de alta impedancia de salida con otro cuya ´ impedancia de entrada sea relativamente baja. con impedancias resistivas: 0 0 R v0 (s) =1+ v2 (s) R 0 (3. con impedancias resistivas Z (s) = R y Z(s) = R: 0 0 R v0 (s) =− v1 (s) R 0 (3. porque: v0 (s) =1 v2 (s) (3.2) v1 (s) = 0.4) con lo que se tiene un amplificador no-inversor de signo cuya ganancia es siempre 0 mayor que la unidad.1) Adem´s como v(+) − v(−) ' 0 y v(+) = v2 (s): a ! Ã 0 0 Z (s) Z (s) v1 (s) + 1 + v2 (s) v0 (s) = − Z(s) Z(s) (3. Un caso particular.1 Sumador 123 v1 (s) − v(−) v0 (s) − v(−) + = i(−) ' 0 Z(s) Z 0 (s) (3. Con R = R se tiene un inversor R de signo para el cual v0 (s) = −v1 (s). si en (3. pero muy util.2) Si v2 (s) = 0. 0 R La salida v0 es el negativo de la suma ponderada por las ganancas Rk de las entradas 0 vk .6) ! =− n X k=1 Ã R vk Rk 0 ! (3. in = Rn e i = R0 : 0 n v1 v2 vn v0 + +···+ + 0 = i(−) ' 0 R1 R2 Rn R As´ ı: v0 = − Ã R R R v1 + v2 + · · · + vn R1 R2 Rn 0 0 0 v1 −v(−) R1 = v1 R1 . ya que v(−) ' v(+) = 0.1. i1 = 0 v v · · ·.8) k=1 . 2 · · · n) y v0 son funciones del tiempo t. (3.3.3 Sumador Como se muestra en la Fig.1. Si R1 = R2 = · · · = Rn = R la salida es directamente el negativo de la suma de las seãles de entrada: n n X v0 = − vk (3. i2 = v2 R2 . 3.2 Sumador Figura 3.124 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 3.7) donde vk (con k = 1. 1. i1 = R1 .4 Integrador Un circuito que produce la integral de las entradas se muestra en la Fig.3.10) donde v0 (0+ ) es la condiciń inicial o valor de v0 en el tiempo t = 0+ o .9) de donde: ¶ n XZ µ 1 vk dt + v0 (0+ ) v0 = − Rk C k=1 (3. in = Rn e i = C dt : v2 vn dv0 v1 = i(−) ' 0 + +···+ +C R1 R2 Rn dt (3. · · ·.1. Se v utiliza un condensador C en la realimenteciń.4.1 Derivador 125 3. 3.3 Integrador Figura 3. Como v(−) ' v(−) = 0. o 1 0 v2 vn dv0 i2 = R2 . el factor ω = 2πf en la amplitud RCωV1Rm amplifica considerablemente el ruido.4 Derivador Figura 3. v0R.11) v0 = −RC (3.5 muestra un circuito derivador con una entrada. la salida es proporcional a la derivada de la entrada.6: . Es preferible deteriorar un poco la funciń derivadora filtrńdola. especialmente. con el o a circuito de la Fig 3. si ω es de alta frecuencia. En este caso como v(−) ' v(+) = 0 : C y as´ el voltaje de salida es: ı dv1 dt dv1 v0 + = i(−) ' 0 dt R (3. si v1 contiene una componente de ruido v1R = V1Rm sen(ωt). es: d (V1Rm sen(ωt)) = −RCωV1Rm cos(ωt) dt v0R = −RC (3. la componente de ruido a la salida. 3.1. por ejemplo.13) Con f la frecuencia en Hertzios. Esto es.1.126 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 3. Este uso no es recomendable porque amplifica el ruido.12) Es decir.5 Derivador La Fig. 14) la funciń de transferencia del derivador filtrado es: o 1 v0 (s) = (−RCs) v1 (s) 1 + R1 Cs (3.6 Derivador filtrado Como v(−) ' v(+) = 0 : v0 (s) v1 (s) = i(−) ' 0 1 + R R1 + Cs (3. .16) es la parte filtrante con frecuencia de corte o ancho de banda 1 R1 C rad/seg.1 Filtro de un Polo 127 Figura 3.3.15) La parte (−RCs) corresponde a la funciń derivadora y : o G (s) = 1 1 + R1 Cs (3. 3.2.17) (3.8): a o .128 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 3.5 Filtro de un Polo Figura 3. 3.7 Filtro de un polo Un filtro de un polo se puede obtener con el circuito de la Fig.1 Elementos de C´lculo Anal´gico a o Soluciń de ecuaciones diferenciales mediante la como putadora anal´gica o Un elemento b´sico de la computadora anal´gica es el integrador (Fig.7: Sumando corrientes con v(−) ' 0 : v1 (s) v0 (s) + + Csv0 (s) = i(−) ' 0 R1 R2 de donde: R2 v0 (s) =− v1 (s) R1 µ 1 1 + R2 Cs ¶ 1 R2 C (3.1. 3.2 3.18) que es un filtro de ganancia − R2 y frecuencia de corte o ancho de banda R1 rad/seg.1. La Tabla 3.1 resume la operaciń del circuito integrador b´sico dependiendo de las o a posiciones de los conmutadores S1 y S2 : Tabla 3. o a Modo del integrador Posiciń de o los conmutadores Circuito resultante C´mputo o o c´lculo a ”HOLD” (Sostenimiento) .3.2 Soluciń de ecuaciones diferenciales mediante la computadora anal´gica 129 o o Figura 3.1 Modos de operaciń del integrador b´sico.8 Circuito integrador b´sico a o Donde ei es la entrada que se integra y VIC = −e0 (0) sirve para establecer la condiciń inicial. 2. o Tabla 3. o 3. o e a Si se desea congelar la soluciń se utiliza el circuito de sostenimiento. Despu´s de lo cual se puede utilizar el circuito de c´lculo.1.2 Elementos b´sicos de c´lculo anal´gico a a o La Tabla 3.130 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Modo del integrador Posiciń de o los conmutadores Circuito resultante ”RESET” (Reposiciń) o Con referencia a la Tabla 3.2 muestra algunos elementos b´sicos de c´lculo utilizados en la computaa a dora anal´gica.2 Algunos elementos de c´lculo anal´gico a o Ciruito S´ ımbolo Operaciń b´sica o a e0 = a ei 0<a<1 e0 = −a ei a = R0 Ri k=1 ak = e0 = n P ak ek R0 Rk . para obtener la condiciń inicial e0 (0) = −VIC se utiliza o el circuito de reposiciń. 3.3. Otro elemento o especial. Generalmente se utilizan configuraciones o realizao ciones que no incluyan derivadores al hacer la simulaciń de un sistema para evitar o la amplificaciń de ruido.3 Soluciń de ecuaciones diferenciales mediante o la computadora anal´gica o S´ ıntesis de funciones de transferencia Existen diferentes realizaciones para resolver ecuaciones diferenciales. o 3.1 Realizaciń ”OBSERVER” o Sea por ejemplo la funciń de transferencia: o .3 Realizaciń ”OBSERVER” 131 o Ciruito S´ ımbolo Operaciń b´sica o a −a e0 (t) = Rt 0 ei (τ ) dτ +e0 (0) a = 1/RC e0 = aei1 ei2 e0 = F (ei ) n P e0 = − k=1 Rt ak 0 eik (τ) dτ +e0 (0) ak = 1/Rk C La Tabla 3. Una de ellas se llama realizaciń ”OBSERVER”. es el derivador que debe ser de tipo filtrado para evitar la amplificaciń de ruido. Se consideran a a o como elementos especiales el multiplicador y el generador de funciń. o 3.2 muestra algunos elementos b´sicos de c´lculo anal´gico. no incluido en la tabla. 23) (b2 u − a2 y + x3 ) dt (3.24): Z (3.27) (3. (3.21) (3.23).22) o Se define la tercera variable de estado x3 mediante la ecuaciń: Z x3 = (b3 u − a3 y) dt Integrando (3. x3 = −a3 x1 + b3 u As´ las matrices A. B.25) y (3. x2 = −a2 x1 + x3 + b2 u . para la realizaciń tipo ”OBSERVER”.24) Se define la segunda variable de estado x2 por: Z x2 = (b2 u − a2 y + x3 ) dt Integrando (3. (3.21): Z d d2 y (b1 u − a1 y) + (b2 u − a2 y) + (b3 u − a3 y) dt = dt2 dt (3.20) (3.28) (3.29) .29): x1 = −a1 x1 + x2 + b1 u .132 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA b1 s2 + b2 s + b3 y (s) = 3 u (s) s + a1 s2 + a2 s + a3 que en el dominio del tiempo es: d3 y d2 y dy d2 u du + a3 y = b1 2 + b2 + b3 u + a1 2 + a2 3 dt dt dt dt dt Agrupando derivadas del mismo tipo: d2 d d3 y = 2 (b1 u − a1 y) + (b2 u − a2 y) + (b3 u − a3 y) 3 dt dt dt Integrando (3.19) (3.26) de donde: Se puede definir la primera variable de estado x1 : Z x1 = (b1 u − a1 y + x2 ) dt y = x1 Derivando (3.25) y= (b1 u − a1 y + x2 ) dt (3. son: ı o .27) se obtienen las ecuaciones de estado (3. C y D.22): dy = (b1 u − a1 y) + dt Z (3. 9: Figura 3.10 Diagrama de c´lculo anal´gico de la realizaciń ”OBSERVER” a o o .3. 3.10: a o Figura 3.3 Matrices de la realizaciń ”OBSERVER” o La realizaciń ”OBSERVER” puede ser representada por medio del diagrama de o bloques mostrado en la Fig.3 Realizaciń ”OBSERVER” 133 o −a1 A =  −a2 −a3 C= £   1 0 0 1  0 0 ¤  b1 B =  b2  b3 D=0  1 0 0 Tabla 3.9 Diagrama de bloques de la realizaciń ”OBSERVER” o El correspondiente diagrama de c´lculo anal´gico se muestra en la Fig 3. 5 y a3 = 0. .31) Figura 3. (3.30) (3.4 Generaciń de algunas funciones del tiempo o 1) Generaciń de y (t) = t.75 −udt + x1 dt x3 = − 100K × 1uf 1M × 1uf o ´: x3 = −0.53 0.53x1 + 7.12: .12 Diagrama para obtener INV1 3.11 Diagrama circuital de INT1 N´tese que x3 se puede expresar: o · ¸ Z Z 0.5u = −a3 x1 + b3 u que corresponde a la tercera ecuaciń de estado. o El circuito para realizar el inversor INV1 se muestra en la Fig. 3. o t0 ≤ t ≤ tf . el diagrama circuital para el integrador INT1 es: Figura 3. Note que y (t) = 1 y con y (0) = 0 el diagrama correspondiente se muestra en la Fig .53.134 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Por ejemplo si b3 = 7. y (0) = 0.14: Figura 3. el diagrama correspondiente o se muestra en la Fig 3. o = .14 Generaciń de la funciń y (t) = t2 o o 3) Generaciń de y (t) = Ae−at o .13 Generaciń de la funciń y (t) = t o o t0 ≤ t ≤ tf 2) Generaciń de y (t). .4 Generaciń de algunas funciones del tiempo 135 o 3.15 Generaciń de y (t) = −aAe−at o N´tese que: o .3. N´tese que y (t) = −aAe−at = −ay (t).. t2 . N´tese que y (t) = 2t. .15: Figura 3. y (t) = 2 y con y (0) = 0. y con y (0) = A. la funciń se puede obtener o o mediante el diagrama mostrado en la Fig 3.13: Figura 3. es necesario frenar la velocidad a la cual se simulan esos problemas a en la computadora con el fin de poderlos observar bien sea en un osciloscopio o en un graficador. Para fen´menos que tienen lugar o o muy r´pidamente. por ejemplo. se pueden acelerar al hacer una simulaciń con el fin de o seleccionar mas r´pidamente los par´metros. . la tensiń m´xima en cualquier amplificador no debe ser o a demasiado pequeã. Por otro lado.32) y (t) = −ay (t) que es la ecuaciń diferencial original. etc.) a La escala en tiempo relaciona la variable independiente del problema f´ ısico.1 Escalamiento en amplitud Se ilustra la selecciń de los factores de escala en amplitud utilizando como ejemplo o la funciń: o . en el rango de horas. (3. los de un controlador. ńgulo. n Al establecer el diagrama de computadora es deseable que la m´xima variaciń de a o tensiń de salida sea la misma para cualquier amplificador. (3. sistemas como hornos y tanques. con la variable independiente de la computadora anal´gica.136 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA µZ ¶ ay (t) dt − A y (t) = − entonces: . que tienen respuestas lentas.5 Escalamiento La tensiń de salida de cualquier amplificador no debe exceder del voltaje de polao rizaciń para evitar la saturaciń de los amplificadores lo cual puede causar errores o o en la soluciń de una ecuaciń diferencial o en la generaciń de una funciń de transo o o o ferencia. .5.33) con todas las condiciones iniciales cero. distancia. a a 3.. 3. o De aqu´ que sea de gran importancia elegir las magnitudes apropiadas de los factores ı de escala que son los que relacionan las tensiones de salida de los amplificadores con las correspondientes cantidades f´ ısicas (velocidad. Por otro lado. o Ejercicio 1) Estudiar factores de escala de amplitud y de tiempo 2) Hacer un diagrama de computadora para la soluciń de: o θ +3 θ +67θ = 30 sen(5t) . fuerza. 3) Obtener la ecuaciń diferencial y el diagrama circuital para generar la funciń: o o y (t) = A t e−at con y (0) = 10. 3.5 Escalamiento en amplitud 137 x = 10 sen(3t) Note que: x= 30 cos(3t) .. x= −90 sen(3t) .. x= −9 × 10 sen(3t) = −9x As´ la ecuaciń diferencial correspondiente es: ı o x (t) + 9x (t) = 0 Selecionando las variables de estado x1 y x2 mediante las ecuaciones: x1 x2 entonces: x1 . x2 . .. . (3.34) (3.35) = x . = x . (3.36) = = x2 .. x = = x −9x = −9x1 lo que define las ecuaciones de estado (3.37): x1 . x2 Las condiciones iniciales son: . = x2 = −9x1 (3.37) x1 (0) = x (0) = 0 . x2 (0) = x (0) = 30 Para hacer la realizaciń utilizando amplificadores operacionales las variables de eso a tado x1 y x2 serń representadas por los voltajes vx1 y vx2 mediante las relaciones: x1 = k1 vx1 x2 = k2 vx2 (3.38) donde k1 y k2 son factores de escala en amplitud. Reemplazando (3.38) en (3.37) se obtiene: k1 vx1 . k2 vx2 o ´: vx1 . vx2 . k2 = k1 vx2 = −9 k1 vx1 k2 . = k2 vx2 = −9k1 vx1 (3.39) que son las ecuaciones de estado escaladas. Como x1 = x = 10 sen(3t): 138 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA k1 vx1 = 10 sen(3t) Si se escoge k1 = 1: vx1 = 10 sen(3t) (3.40) Cuya amplitud m´xima es 10 voltios lo que no satura un amplificador alimentado con a voltajes de polarizaciń de ± 12 voltios o m´s. o a . . Como x2 = x1 = x = 30 cos(3t): x2 = k2 vx2 = 30 cos(3t) Y si se escoge k2 = 3: vx2 = 10 cos(3t) . (3.41) cuya amplitud m´xima es 10 voltios. Las nuevas ecuaciones escaladas de estado son: a vx1 = 3vx2 vx2 = −3vx1 . (3.42) Note que vx1 = 3 , vx2 = −9vx1 , lo que da: vx1 +9vx1 = 0 .. .. . (3.43) que es la misma ecuaciń original. o o As´ con vx1 (0) = 0 y vx2 (0) = 10 se obtiene la realizaciń con amplificadores operaı, cionales mostrada en la Fig 3.16. Figura 3.16 Generaciń de la funciń vx1 = 10 sen 3t o o 3.5.2 Escalamiento en tiempo En este caso el tiempo real t se relaciona con el tiempo de simulaciń tc por medio o de la ecuaciń: o t = kt tc (3.44) 3.5 Escalamiento en tiempo 139 Obs´rvese que: e o a tc < t, si kt > 1, simulaciń r´pida o tc > t, si kt < 1, simulaciń lenta Sea por ejemplo la ecuaciń: o v x1 = Al escalarla en tiempo queda: dvx1 = kt 3vx2 (3.45) dtc Esto equivale en general a multiplicar las ganancias de todas las entradas a los ino tegradores por kt . Algunos computadores anal´gicos disponen de un condensador adicional que es 10 o 100 veces menor que el utilizado normalmente. Con ´sto se ´ e puede obtener la soluciń en forma repetitiva para observar la respuesta en un osciloo scopio y hacer ajustes de par´metros, por ejemplo los de un controlador, r´pidamente. a a En el caso del ejemplo se tendr´ con un condensador 100 veces menor: ıa vx1 = 300vx2 · vx2 = −300vx1 · . dvx1 = 3vx2 dt (3.46) lo que dar´ como soluciń vx1 = 10 sen (300t), que es la misma soluciń con una ıa o o frecuencia 100 veces mayor. En general el proceso de escalamiento exige tantear, especialmente cuando no se conocen previamente los valores m´ximos de las variables. a Si se expresa el comportamiento din´mico del sistema mediante ecuaciones de estado, a un posible punto de inicio para seleccionar los factores de escala, es hacer que los coeficientes de las ecuaciones escaladas estń en el rango 0 a ±10. Por ejemplo, para e un sistema de dos ecuaciones de estado: x1 x2 con x1 = k1 v1 x2 = k2 v2 u = ku vu se tiene v1 v2 · · · · = a11 x1 + a12 x2 + b1 u = a21 x1 + a22 x2 + b2 u µ µ ¶ ¶ k2 ku = (a11 ) v1 + a12 v2 + b1 vu k1 k1 µ µ ¶ ¶ k1 ku = a21 v1 + (a22 ) v2 + b2 vu k2 k2 140 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Si todos los coeficientes: ¯ ¯ ¯ kj ¯ ¯aij ¯ para i = 1, 2, j = 1, 2 |aijv | = ¯ ki ¯ ¯ ¯ ¯ ku ¯ |biu | = ¯bi ¯ para i = 1, 2 ¯ ki ¯ son menores que 10, al hacer la primera simulaciń se puede determinar cuales vario ables superan 10 voltios para cambiar las escalas correspondientes. Ejercicio Hacer un escalamiento previo de las ecuaciones de estado: x1 x2 x3 con: u = 20 sen (2π0.1) t de tal manera que todos los coeficientes de las variables escaladas estń en el rango 0 e a ±10. · · · = 0.5x1 − 20x2 − 5x3 + 3u = 0.6x1 = 80x2 3.6 Otras realizaciones para representar sistemas por ecuaciones de estado 3.6.1 Realizaciń ”CONTROLLER” o b1 s2 + b2 s + b3 y (s) = 3 u (s) s + a1 s2 + a2 s + a3 Definiendo: ¢ ¡ y (s) = b1 s2 + b2 s + b3 z (s) (3.48) Sea la funciń de transferencia. o (3.47) donde z (s)es una variable auxiliar, que no afecta la funciń de trasferencia original: o ¡ 2 ¢ b1 s + b2 s + b3 z (s) y (s) = 3 (3.49) u (s) (s + a1 s2 + a2 s + a3 ) z (s) En el dominio del tiempo: ¢ ¡ u (s) = s3 + a1 s2 + a2 s + a3 z (s) 3.6 Realizaciń ”CONTROLLER” 141 o z y = b1 d 2 + b2 dz + b3 z dt dt 2 (3.50) u= Definiendo d3 z dt3 2 z + a1 d 2 dt + a2 dz dt + a3 z x3 x2 x1 As´ ı: = z dz = dt d2 z = dt2 (3.51) d3 z . = x1 dt2 Lo que permite obtener las ecuaciones de estado: . x1 . x2 . x3 con la ecuaciń de salida: o = −a1 x1 − a2 x2 − a3 x1 + u = x1 = x2 (3.52) y = b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 Las matrices Ac , Bc , Cc y Dc para la realizaciń tipo ”CONTROLLER”, son: o −a1 Ac =  1 0 Cc = £ b1 b2  −a2 0 1 b3 ¤  −a3 0  0  1 Bc =  0  0 Dc = 0  (3.53) Tabla 3.4 Matrices de la realizaciń ”CONTROLLER” o Esta realizaciń puede ser representada en diagrama de bloques como se muestra en la o Fig 3.17. Note que Ac = At , Bc = C t y Cc = B t , donde t indica transpuesto. A, B y C son las matrices de la realizaciń ”OBSERVER”. As´ la realizaciń ”CONTROLLER” o ı, o es dual de la ”OBSERVER”. 142 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Figura 3.17 Diagrama de bloques de la realizaciń ”CONTROLLER” o 3.6.2 Realizaciń ”OBSERVABILITY” o b1 s2 + b2 s + b3 y (s) = 3 u (s) s + a1 s2 + a2 s + a3 La funciń de transferencia: o (3.54) puede ser escrita: d2 y dy d2 u dy d3 y − a3 y + b1 2 + b2 + b3 u = −a1 2 − a2 3 dt dt dt dt dt Llamando: w1 = y . w2 =y .. w3 =y Como w3 = y : w3 = −a1 w3 − a2 w2 − a3 w1 + b1 u +b2 u +b3 u . w2 = w3 . w1 = w2 de donde: z }| { • ¡ .¢ · w3 − b1 u = −a1 w3 − a2 w2 − a3 w1 + b2 u +b3 u z3 = w3 − b1 u . . . .. . . ... (3.55) (3.56) (3.57) (3.58) definiendo w3 = z3 + b1 u Reemplazando 3.59: (3.59) 3.6 Realizaciń ”OBSERVABILITY” 143 o z 3 = −a1 z3 − a2 w2 − a3 w1 + (b2 − a1 b1 ) u +b3 u . . w2 = z3 + b1 u . w1 = w2 de donde: z (z3 − (b2 − a1 b1 ) u) = −a1 z3 − a2 w2 − a3 w1 + b3 u z }| { (w2 − b1 u) = z3 w1 • • . . (3.60) }| • { (3.61) = w2 definiendo: x3 x2 x1 se obtiene: z3 w2 y y reemplazando en (3.61): x1 . x2 . x3 Llamando: β1 β2 β3 = b1 = b2 − a1 b1 = b3 − a2 b1 − a1 (b2 − a1 b1 ) . = z3 − (b2 − a1 b1 ) u = w2 − b1 u = w1 (3.62) = x3 + (b2 − a1 b1 ) u = x2 + b1 u = w1 = x1 = x2 + b1 u = x3 + (b2 − a1 b1 ) u = −a3 x1 − a2 x2 − a1 x3 + [b3 − a2 b1 − a1 (b2 − a1 b1 )] u (3.63) (3.64) las matrices Aob , Bob , Cob y Dob son: 0 = 0 −a3 £  1 0 −a2 ¤  0 1  −a1  β1 =  β2  β3  Aob Bob Cob = 1 0 0 Dob = 0 Tabla 3.5 Matrices para la realizaciń ”OBSERVABILITY” o 144 SIMULACION Y SINTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA e La matriz Bob se puede tambiń calcular mediante:   1 β1 =  β2  =  a1 β3 a2  0 1 a1 −1   0 b1 0   b2  1 b3 Bob (3.65) La realizaciń ”OBSERVABILITY” puede ser representada en un diagrama de bloo ques como se muestra en la Fig 3.18. Figura 3.18 Diagrama de bloques para la realizaciń ”OBSERVABILITY” o 3.6.3 Realizaciń ”CONTROLLABILITY” o La realizaciń ”CONTROLLABILITY” es dual de la ”OBSERVABILITY”. Las mao trices Aco , Bco , Cco y Dco son:  0 0 −a3 =  1 0 −a2  0 1 −a1  £ β1 β2 β3 ¤  1 = 0  0  Aco Bco Cco = Dco = 0 Tabla 3.6 Matrices para la realizaciń ”CONTROLLABILITY” o donde Cco se puede calcular mediante: £ ¤ £ ¤  1 a1  0 1 0 0 −1 a2 a1  1 Cco = β1 β2 β3 = b1 b2 b3 (3.66) Figura 3.6 Realizaciń ”CONTROLLABILITY” 145 o El diagrama de bloques de la realizaciń ”CONTROLLABILITY” se muestra en la o Fig 3.3.19.19 Diagrama de bloques para la realizaciń ”CONTROLLABILITY” o . . o En este cap´ ıtulo se presentan las acciones de control b´sicas usadas comunmente en los a controles autom´ticos industriales y sus efectos en el funcionamiento de un sistema. compara el valor efectivo de salida (c) de una planta a con el valor deseado (r). determina la desviaciń (e) y produce una seãl de control o n (m) que reduce la desviaciń a cero o a un valor pequeõ. a Figura 4.4. Controles de dos posiciones (todo-nada.CAPITULO 4 ACCIONES BASICAS DE CONTROL 4.1 Introducciń o Un control autom´tico. 147 . si-no.1. Fig. on-off). o n La forma en que el control autom´tico produce la seãl de control (m) recibe el nombre a n de acciń de control.1 Sistema controlado 4. Controles proporcionales. 2.2 Clasificaciń de los controles autom´ticos o a Los sistemas de control autom´tico se clasifican segń su acciń de control: a u o 1. 4.2. e(t) > 0 e (t) < 0 (4. u Si m (t) es la salida del controlador y e (t) es la seãl de error actuante: n m(t) = ½ M1 . Tambiń los controles neum´ticos proporcionales con muy altas ganancias e e a actán como controles de 2 posiciones. 5.3 Brecha diferencial o hist´resis e El rango en que e(t) se debe desplazar antes de que se produzca la conmutaciń se o .1 Controles de dos posiciones o de SI-NO Figura 4. proporcionales y derivativos (PD). Son generalmente dispoı sitivos elćtricos en donde habitualmente hay una v´lvula accionada por un solenoide e a elćtrico. integrales y derivativos (PID). 4. Controles Controles Controles Controles integrales.1) o Generalmente M2 = −M1 ´ M2 = 0. M2 . Figura 4. 6. proporcionales e integrales (PI).148 ACCIONES BASICAS DE CONTROL 3. proporcionales.2 Control de dos posiciones Aqu´ el controlador tiene solamente dos posiciones fijas. 6: .4. a La respuesta del sistema se muestra en la Fig.4.5: a e C h dh + = qi (t) dt R (4. qi. Fig 4. cuando h = h2 la v´lvula de entrada se cierra y con h = h1 .5 An´logo elćtrico de un tanque a e La ecuacion diferencial que relaciona la salida h con la entrada. se abre. sin considerar el controlador se puede obtener del an´logo elćtrico de la Fig 4. Figura 4.2) Consid´rese ahora el controlador de dos posiciones en el cual la v´lvula de entrada e a o est´ abierta o cerrada. Figura 4.4 Control SI-NO de un tanque a Con referencia a la Fig 4.2 Controles de dos posiciones o de SI-NO 149 llama brecha diferencial o hist´resis. Debe notarse que la brecha diferencial evita la acciń excesivamente o frecuente del mecanismo de SI-NO. La brecha diferencial hace que la salida e del control m (t) mantenga su valor hasta que la seãl de error actuante haya pasado n del valor cero.3. Entonces qi (t) = Q ´ qi (t) = 0.4. h (t) se ve que se puede reducir la amplitud de la oscilaciń o de la salida si se reduce la brecha diferencial.4.6 Respuesta del nivel de un tanque con control SI-NO con brecha diferencial h (t) se obtiene de (4. ´ a . Esto.7 Diagrama de bloques de un tanque con control SI-NO De la respuesta del sistema.7 muestra el diagrama de bloques del sistema: Figura 4. aumenta la cantidad de conmutaciones por minuto y reduce la vida util de los componentes mecńicos.150 ACCIONES BASICAS DE CONTROL Figura 4.2) con: h (0) = 0 h (t1 ) = h2 h (t2 ) = h1 qi (t) = Qu (t) qi (t) = 0 qi (t) = Qu (t − t2 ) para 0 ≤ t ≤ t1 para t1 ≤ t ≤ t2 para t2 ≤ t ≤ t3 (4.3) La Fig. sin embargo. o: M (s) = KP E (s) (4.4.6) KP >> 1: 1 .2 Acciń de control proporcional 151 o 4. 1 + KP G1 G2 G2 . 1 + KP G1 G2 KP G1 G2 .2.5) (4.8 Acciń de control proporcional o En este caso.8.2 Acciń de control proporcional o Figura 4.4) Con el fin de estudiar los efectos de la acciń de control proporcional en el comporo tamiento de un sistema consid´rese la Fig 4. la seãl de control m (t) es proporcional al error e (t): n m (t) = KP e (t) ´ donde KP es la ganancia proporcional. 1 + KP G1 G2 = = = con N (s) = 0 con R (s) = 0 con N (s) = 0 (4.9 Control proporcional de una planta con perturbaciń o As´ ı: E R C N C N Si en (4.6) .9: e Figura 4. Fig 4. 1 Control proporcional de un sistema de primer orden.152 ACCIONES BASICAS DE CONTROL 1 E ≈ →0 R KP G1 G2 1 C ≈ →0 (4.10 Control proporcional de un tanque Para la Fig 4.10: R ∆H (s) = ∆Qi (s) RCs + 1 El diagrama de bloques del control proporcional se muestra en la Fig 4.11 Diagrama de bloques de un tanque con control proporcional . ıa dependiendo de la ubicaciń en el plano complejo de los polos de la funciń de transo o ferencia.11: (4.7) N KP G1 C → 1 R Pero si G1 (s) G2 (s) tiene varios polos. Ejemplo 4. se podr´ tener problemas de estabilidad. Figura 4.8) Figura 4. 10) KR (4.12 muestra la respuesta (4. t>0 t<0 (4. As´ ı: KR KR ∆H (s) = RCs+1 = = KR ∆R (s) RCs + 1 + KR T s + 1 + KR 1 + RCS+1 donde T = RC. 0.4.12) en fracciones parciales: KR 1 T KR 1 · − · 1 + KR s T s + 1 + KR T s + 1 + KR ∆H (s) = y antitransformando: (4.14): . donde K es la ganancia proporcional. Supńgase que: o ∆r (t) = u (t) con u (t) la funciń escalń unitaria: o o u(t) = se tiene: 1 s ½ 1.2 Acciń de control proporcional 153 o Debido al control proporcional ∆Qi (s) = K (∆R (s) − ∆H (s)).9) ∆R (s) = y: (4.14) RC T = 1 + KR 1 + KR La Fig 4.13) ∆h (t) = donde: T1 = i t KR h 1 − e− T1 u (t) 1 + KR (4.12) Expandiendo (4.11) ∆H (s) = 1 KR · T s + 1 + KR s (4. Como se ver´ en la siguiente o a secciń. Este se puede disminuir si K se hace grande. para eliminar este corrimiento hay que agregar la acciń de control integral.17) 1 Ts + 1 s T s + 1 + KR (4.18) 1 1 + KR (4.154 ACCIONES BASICAS DE CONTROL Figura 4.16) llamado corrimiento o error est´tico.12 Control proporcional de un tanque La respuesta en estado estacionario es: ∆hss (t) = lim ∆h (t) = t→∞ KR 1 + KR (4. a El corrimiento es una caracter´ ıstica del control proporcional de una planta cuya funciń transferencia no posee elemento integrador. o o Otra manera de calcular el corrimiento es obtener la funciń de transferencia del error: o 1 Ts + 1 E (s) = = KR R (s) T s + 1 + KR 1 + T s+1 con R (s) = 1/s : E (s) = y aplicando el teorema del valor final: ess = lim e (t) = lim sE (s) = t→∞ s→0 (4.19) .15) N´tese que en el estado estacionario hay un error: o ess = 1 − 1 KR = 1 + KR 1 + KR (4. e (t) disminuye y e (t) = r (t) − c (t) aumenta. de respuesta a o e o cero o ”reset” se muestra en la Fig 4. Si e (t) < 0. Si el sistema total es estable la unica forma de llegar al o ´ estado estacionario es que finalmente el error sea cero.21) o ´: Figura 4. m (t) es constante la cual mantiene la salida deseada de la planta. Para todo el sistema: si e (t) > 0. Si e (t) = 0. .14 Seãl de control si el error permanece cosntante n Suponiendo que e (t) = C1 =constante. m (t) disminuye.4. m (t) = C1 t (Fig 4.13.13 Control integrativo La acciń de control integral. De esta manera R C1 dt = 0 s´lo si C1 = 0. donde: Z m (t) = K e (t) dt (4.3 Acciń de control integral o Figura 4. El control s integrativo es bueno para plantas muy estables. m (t) crece e (t) aumenta y e (t) = r (t) − c (t) disminuye. resello.2. ıa El integrador K podr´ afectar grandemente la estabilidad del sistema. llamada tambiń de reposiciń .20) K M (s) = E (s) s (4.14).2 Acciń de control integral 155 o 4. 4.15.16 Seãl de error y de control proporcional n Se hace notar que la acciń de control integral. la seãl de control. puede llevar a una respuesta oscilatoria que. la ıa acciń de control integral puede inestabilizar totalmente el sistema. Si la planta posee muchos polos. m (t) en cada instante es el n a ´rea bajo la curva de la seãl de error actuante e (t) hasta ese momento. si bien elimina el efecto de corrimiento o o error de estado de r´gimen. Fig 4.17. m (t) puede n ser diferente a cero cuando e (t) = 0 como se muestra en la Fig. n Figura 4.4. Figura 4.156 ACCIONES BASICAS DE CONTROL En el control proporcional de una planta cuya funciń de trasferencia no posee un o e integrador 1 . aunque e amortiguada.15 Seãles de error y de control integrativo n Lo anterior es imposible en el caso del control proporcional pues una seãl de control n no nula requiere una seãl de error actuante como se muestra en la Fig. podr´ ser indeseable. Este corrimiento se puede eliminar si se incluye la acciń de control o o integral. o .16. En el control integral de una planta. hay un error en estado de r´gimen o corrimiento en la respuesta a una s entrada escalń. 19 Diagrama de bloques del control integrativo de un tanque Las funciones de transferencia para la salida y para el error son: .4.18 con controlador integrativo se puede obtener el diagrama de bloques de la Fig 4.2 Control integral de un sistema de primer orden.17 Algunas respuestas no aceptables Ejemplo 4.19: Figura 4.2 Acciń de control integral 157 o Figura 4. Figura 4.18 Control integral de un tanque Para la Fig 4. 20: ³ ´ KI KP s + KP KI M (s) = KP + = (4. Note que el controlador PI tambiń puede ser interpretado e como un controlador integrativo con un cero ubicado en: .2 = − 2RC 2RC C s (4.22) (4.20 Control proporcional e integrativo Para la Fig 4.25) 4. el control integral del sistema de nivel de liquido elimina el error de estado de r´gimen en la respuesta a la entrada escalń. para una entrada escalń unitario e a o 1 ∆r (t) = u (t) o ∆R (s) = S se puede obtener aplicando el teorema del valor final: ¡ ¢ s RCs2 + s 1 · =0 (4. KP ayuda a corregir m´s r´pidamente el error. El error de estado de r´gimen. o error est´tico.23) (4.24) 1 ±j =− 2RC K − C se presentan oscilaciones pero es estable. a a s Con este tipo de controlador. e o µ 1 2RC ¶2 (4.27) E (s) s s Este tipo de control combina las caracter´ ısticas de los anteriores controles. Si K/C > (1/2RC)2 s1.2 KR ∆H (s) = ∆R (s) R (s2 + s + KR) ¡ ¢ R s2 + s ∆E (s) = ∆R (s) RCs2 + s + KR N´tese que los polos estń ubicados en: o a s µ ¶2 K 1 1 ± − s1.26) ∆ess = lim s∆E (s) = lim 2 + s + KR s s→0 s→0 RCs Por lo tanto. las condiciones de estabilidad se mejoran con respecto al control integral puro. KI elimina totalmente el error.2.4 Acciń de control proporcional integral (PI) o Figura 4.158 ACCIONES BASICAS DE CONTROL y con K > 0 el sistema es estable. 28) KP El cero mejora las condiciones de estabilidad. o o Ejercicios .31) (4.21 Ejemplo con control proporcional e integrativo Para este sistema: ¢ ¡ 1 1 KP + KI s(Js+f ) s s(Js+f ) ¢ ¢ ¡ ¡ · R (s) + N (s) C (s) = 1 1 1 + KP + KI s(Js+f ) 1 + KP + KI s(Js+f ) s s E (s) = o ´: C (s) = E (s) = ¡ 1 + KP + Js3 1 KI s (4.35) muestran que: a) la salida alcanza exactamente el valor unitario del escalń y b) el error estacionario es nulo.34) y (4.35) ess = e (t) = lim sE (s) = 0 s→0 (4.21 con un controlador proporcional e integral: e Figura 4.4. a pesar de la perturbaciń presente.29) ¢ 1 s(Js+f) R (s) − ¡ 1 + KP + 1 s(Js+f ) ¢ KI 1 s s(Js+f ) N (s) (4.30) KP s + KI s R (s) + 3 N (s) 2+K s+K 2+K s+K + fs Js + f s P I P I (4. Consid´rese el sistema de la Fig.4. como se ver´ en la siguiente secciń.32) s s2 (Js + f) R (s) − 3 N (s) 3 + f s2 + K s + K 2+K s+K Js Js + f s P I P I Con los escalones c (t) = u (t) y n (t) = No u (t): R (s) = 1 s N (s) = No s Css = lim c (t) = lim sC (s) = 1 + 0 × No t→∞ s→0 (4. a o s=− Ejemplo 4.33) (4.2 Acciń de control proporcional integral (PI) 159 o KI (4.34) (4.3 Control proporcional e integral. m ser´ grande ayudando a corregir el error a a en forma m´s efectiva.23.4 Control proporcional derivativo. por ejemplo. n El control PD es un controlador estabilizante. t→∞ d) ¿ Si KP = 0.23 Seãl de control b) cuando el error a) crece linealmente n En la Fig 4. es el sistema estable ? 4. b) Si r (t) = t u (t) y n (t) = No u (t) encuentre ess . Es como un efecto anticipativo que impide un crecimiento a brusco de error.36) A la acciń proporcional se le aãde la acciń derivativa que aumenta la seãl m de tal o n o n manera que si el error crece r´pidamente.2. c) Con r(t) = u (t) y n (t) = No u (t) obtenga mss = lim m (t) . La acciń de control derivativo tiene o la desventaja de amplificar las seãles de ruido. n Ejemplo 4.160 ACCIONES BASICAS DE CONTROL a) Con KI = 0 (controlador proporcional) calcule ess con los escalones: n(t) = No u (t) y r (t) = u (t) .5 Acciń de control proporcional y derivativo (PD) o Figura 4. a) b) Figura 4.22 Controlador proporcional-derivativo En este caso: M (s) = KP + KD s E (s) (4. la seãl de control m (t) crece mas r´pidamente a mayor n a pendiente de la seãl de error e (t). . 24) de una carga inercial con controlador PD.25.6 Acciń de control proporcional integral derivativo (PID) o La Fig 4.2.26 muestra la combinaciń de los anteriores controles: o . Figura 4. y el sistema es estable. Si KD se aumenta la amplitud de las oscilaciones disminuye. Si r(t) = u(t). se muestra en la Fig 4.25 Una posible respuesta del sistema de la Fig.37) Si KP > 0 y TD > 0 las raices de Js2 + KD s + KP = 0 tienen parte real negativa. ¿ Es estable el sistema ? ´ 4.4. c(t). 4. una posible respuesta oscilatoria amortiguada.24 Ejercicio Para el sistema anterior. encontrar c(t) si r(t) = u(t) y el controlador es proporcional unicamente.2 Acciń de control proporcional integral derivativo (PID) 161 o Considere el sistema (Fig 4.24 Ejemplo con control proporcional-derivativo Para este sistema: (KP + KD s) C (s) KP + KD s = 2 = 2 R (s) Js + KD s + KP Js + KD s + KP (4. Figura 4. o o s KD s = acciń de crecimiento por unidad de tiempo (”rate action”). en (4.38).39) define un sistema anticipativo (no causal). o Esta terminolog´ proviene primordialmente del ´rea qu´ ıa a ımica donde se habla de control de procesos en lugar de control de sistemas. KI = acciń de reposiciń (de respuesta a cero) (”reset action”). ya que al final. entonces: o y (t) = $−1 (H (s) X (s)) = x (t + T ) (4. f´ ısicamente imposible. El numerador de la funciń de trasferencia del PID. o tiene una similitud con la funciń de adelanto. (KI + KP s + KD s2 ). o El PID es ampliamente utilizado por la industria donde se encuentran t´rminos proe pios tales como: o KP = acciń proporcional (”proportional action”). . u s)2 o N´tese que H (s) = eT s = 1 + T s + (T2! + · · · es una funciń de adelanto.162 ACCIONES BASICAS DE CONTROL Figura 4.39) (4.27 Seãl de control b) cuando el error a) var´ linealmente con el tiempo n ıa u KP aumenta la rapidez de respuesta y solo actá en el transitorio.27 b) muestra la seãl de control m (t) cuando el error e (t) crece linealmente: n Figura 4. El t´rmino KD s e s actá para ayudar a la estabilidad. ganando completo control de la planta. el e t´rmino KI elimina el error.26 Controlador proporcional integral derivativo As´ ı: KI KI + KP s + KD s2 M (s) = KP + + KD s = (4.38) E (s) s s La Fig 4. a proporcional en porcentaje. no produzca modificaciń en la velocidad en estado estacionario de r´gimen. Gc (s). es decir. 4. o e que el error en estado estacionario sea cero. que podr´ usarse de modo que el sistema sea estable y que un par perturbador constante. Por ejemplo.4.29 seleccionar el tipo de controlador. ∆E(s) b) El controlador es de tipo integral: ∆Qi (s) ∆E(s) = KI s .2. Ejercicio 1 KP 100% es la banda Figura 4.28 Selecciń de controlador o Para la Fig.30 muestra el controlador PID cl´sico: a .2 Algunas estructuras del controlador PID 163 Adem´s las constantes se definen como bandas.1 Algunas estructuras del controlador PID La Fig 4.28 suponga ∆Qi = 0 y que ocurre una perturbaciń n (t) = no u (t) o (escalń) o Determine el error en estado estacionario si: a) El controlador es de tipo proporcional: ∆Qi (s) = KP . Figura 4. 4. n (t) = no u (t).6.29 Selecciń de Gc (s) o ıa Para la Fig 4. 40) La Fig 4. . La n ley de control correspondiente es: Z dy dt u = KP e + KI edt − KD (4.30 Controlador PID cl´sico a Cuya ley de control es: Z de dt u = KP e + KI edt + KD (4.41) Otra estructura. En lugar de derivar el error se deriva la salida.31 muestra otra estructura del controlador PID: Figura 4.164 ACCIONES BASICAS DE CONTROL Figura 4. Con esto se evita que la planta responda a cambios bruscos de la seãl de referencia r.31 PID con derivada de la salida Esta estructura es muy utilizada. se muestra en la Fig 4. menos utilizada que la anterior. En ´sta e la acciń de control proporcional se toma tambiń de la salida en lugar de la seãl de o e n error e.32. 4.32 Otra estructura del PID La ley de control correspondiente es: Z dy u = KI edt − KP y − KD dt Ejemplo 4.5 Ejemplo de un PID.43) (4.44) .42) Figura 4.2 Algunas estructuras del controlador PID 165 Figura 4. La Fig 4.33 muestra un controlador PID hidromecńico para un sistema de nivel de a l´ ıquido: (4.33 PID hidromecńico a N´tese que: o z1 z2 = = a1 h b a2 h b (4. 46) Transformando (4.6 El telescopio del transbordador espacial. .50) d3 d4 z5 + z6 d3 + d4 d3 + d4 (4.43) y (4. Fig 4. Est´ suspendido por medio de actuadores a magn´ticos que producen una fuerza u (t). El desplazamiento de la v´lvula es: a z= Adem´s: a z5 = d1 d2 z1 + z4 d1 + d2 d1 + d2 (4.166 ACCIONES BASICAS DE CONTROL z3 = a3 h b (4. ¢ B z3 − z 4 = Kz4 a3 Bs τs · z3 (s) = · H (s) Bs + k τs + 1 b (4.44): z4 (s) = (4.46) y luego usando (4.34a.47) en (4.45) se obtiene: z (s) = KP · H (s) + donde: d4 d1 a1 (d3 + d4 ) (d1 + d2 ) b d3 K1 a2 (d3 + d4 ) b d4 d2 τa3 (d3 + d4 ) (d1 + d2 ) b KI s H (s) + KD H (s) s τs + 1 (4.51) KP KI KD = = = (4. donde Ci es una constante. entonces: a z6 (s) = Del amortiguador y el resorte: ¡. El cable que le suministra energ´ elćtrica e ıa e se modela como un resorte de constante K = 1 N ew/m.48) en donde τ = B/K.40).52) Entonces el caudal de entrada se puede calcular como qi = −Ci z.(4. El telescopio para seguir estrellas y asteroides de transbordador espacial se puede modelar como una masa M = 100 Kg. Ejemplo 4.49) con (4. .47) K1 K1 a2 H (s) · z2 (s) = · s b s (4.45) Como la carga del serromotor hidrúlico (SMH) es despreciable. 6 Dise˜e un controlador PID tal que el error ess = e (∞) para una entrada rampa n r (t) = t u (t) sea 0.55) (4.53) se obtiene la funciń de transferencia de la planta: o 1 Z (s) = U (s) M s2 + K De la Fig 4.01 y que tenga un par de polos complejos como se muestra en la Fig.34c adem´s del tercer polo real.56) (rampa r (t) = t u (t)): .35b: KD s2 + KP s + KI Z (s) = R (s) M s3 + KD s2 + (KP + K) s + KI y.35a: u − Kz = M d2 z dt2 (4.4.4.35 Diagrama del cuerpo libre a) y de bloques b) para el ejemplo 4. ¡ ¢ s Ms2 + K E (s) = R (s) Ms3 + KD s2 + (KP + K) s + KI Con ess = 0.01 para R (s) = 1 s2 (4.53) Transformando (4. a Figura 4.54) (4.6 De la Fig 4.2 Algunas estructuras del controlador PID 167 Figura 4.34 Ejemplo 4. 63) (4.34c es: o Ã √ √ !Ã √ √ ! 2 2 2 2 A (s) = s + +j s+ −j (s + p) 2 2 2 2 A (s) = s3 + o ´: A (s) = s3 + de donde: ³√ ´ ³ √ ´ 2 + p s2 + 1 + 2p s + p KI =1 M KD M KP + K M (4. (4.62) p = √ 2+p = √ 1 + 2p = As´ ı: (4. ı.60) El polinomio caracter´ ıstico del sistema es: KI KD 2 (KP + K) s + s+ M M M que de acuerdo con la ubicaciń de polos de la Fig 4.61) (4.57) ess (4.7 PID neum´tico.01 KI (4.168 ACCIONES BASICAS DE CONTROL ¡ ¢ s Ms2 + K 1 E (s) = 2 s Ms3 + KD s2 + (KP + K) s + KI # " ¢ ¡ s Ms2 + K = lim sE (s) = lim s × 2 s→0 s→0 s [Ms3 + KD s2 + (KP + K) s + KI ] K = 0. a ³ √ ´ = 100 1 + 2 ³ √ ´ = 100 1 + 2 − 1 .55) se puede escribir: KD 2 KP KI Z (s) M s + M s+ M = R (s) s3 + KD s2 + (KP +K) s + M M (4.58) de donde: ess = As´ KI = 100.59) KI M (4.64) KD KP Ejemplo 4. 37a y b: Ac ∆P2 Kf ∆z + Af ∆Pi de donde: ∆y ∆z = = Ac ∆P2 Kc Af (∆PD − ∆Pi ) Kf (4. P0 = −K y.2 Algunas estructuras del controlador PID 169 Figura 4. Figura 4.67) (4. ϕin = K1 P1 − P2 . 4. ϕ0 = K2 x P2 .36 se comporta como un controlador PID.66) .68) = Kc ∆y = Af ∆PD (4.36 PID neum´tico a √ √ Con P1 constante. Kg constante de los gases ideales y con la temperatura T de los fuelles constante.37 Diagrama de cuerpo libre para puntos de masa cero De las Figs.4.65) (4. el sistema de la Fig 4. 72) (4.71) (4.73) p = K2 P20 K2 x0 √ = 2 P20 (4. 1 (∆e − ∆z) 2 ∆P0 − ∆Pi = R1 ∆P0 − ∆PD = R2 ∆P2 = − Rin (4.69) (4.70) (4. Con la ley de los gases P2 υ 2 = Kg T con υ2 = temperatura absoluta: M2 ∆M2 = el volumen espec´ ıfico y T la P2 V2 Kg T = C2 ∆P2 + Kv2 ∆V2 Donde la capacitancia C2 y la constante Kv2 son: C2 Kv2 = = V20 Kg T P20 Kg T .74) donde M2 es la masa de gas en el volumen V2 .170 ACCIONES BASICAS DE CONTROL Adem´s: a ∆x = ∆ϕi ∆ϕD ∆ϕin donde: 1 K1 =− √ Rin 2 P1 − P20 Tambiń: e ∆ϕ0 = Kx ∆x + Kp2 ∆P2 donde: Kx Kp2 Para la presiń de salida: o ∆P0 = −K∆y La diferencia de flujos es: ϕin − ϕ0 = dM2 dt V2 M2 . 73) y (4.4. Con ∆V2 = Ac ∆y: ∆ϕin − ∆ϕ0 = C2 De la misma manera.67) en (4.76) (4.75) y utilizando la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas: K2 ∆P2 (s) =− ∆x (s) 1 + τ2 s donde: Kx + Kp2 Kv2 A2 c Kc K2 τ2 = = 1 Rin C2 + 1 Rin + Kp2 Generalmente la constante de tiempo τ2 es muy pequeã y: n ∆P2 (s) ' −K2 ∆x (s) adem´s: a K2 >> 1 Con (4.70) y (4.79) (4. (4.72).78) (4.77) Vi0 Ci = Kg T V CD = KD0 gT Pi0 Kvi = Kg T P KV D = KD0 gT Con (4.2 Algunas estructuras del controlador PID 171 suponiendo T constante.75) y ϕD = ∆ϕi ∆ϕD donde: µ ¶ d∆z d∆ Pi + Kvi Af − dt dt d∆ PD d∆z + KV D Af = CD dt dt = Ci (4.76) y transformando: (τi s + 1) ∆Pi (s) = ∆P0 (s) + τD s ∆PD (s) Con (4.68) en (4.77) y transformando: (τD s + 1) ∆PD (s) = ∆P0 (s) + τi s ∆Pi (s) donde: 0 0 (4.80) . como ϕi = dMi dt d∆P2 d∆y + Kv2 Ac dt dt dMD dt : (4.68) en (4.71) y (4. 68) se obtiene el diagrama de bloques: " Figura 4. (4.78). (4.83) 1 2 A (−K2 ) Kc (−K) : c . (4.82) ∆P0 (s) # A2 f ∆ (s) = Ci CD + (Ci KV D + CD KV i ) s2 + (τi + τD ) s + 1 Kf Con (4.79) y (4.172 ACCIONES BASICAS DE CONTROL ³ ´ K A τi = Ci + vi f f R1 K ³ ´ K D A2 τD = CD + VKf f R2 De (4.67). con K = 0 (4.38 se puede dibujar.80): τD = τi = 0 0 Kvi A2 R1 f Kf KV D A2 R2 f Kf ∆Pi (s) = ∆PD (s) = donde: ´ ³ 0 1 + τD + τD s ∆ (s) ³ ´ 0 1 + τi + τi s ∆ (s) ∆P0 (s) (4. (4.38 Diagrama de bloques del PID neum´tico a Como: í h ³ í h ³ 0 0 1 + τi + τi − 1 + τD + τD = Ci R1 − CD R2 La Fig 4.74). (4.82) y (4.81).69).81) (4. 84) 0 KP KI = = KD = . As´ ı: KI ∆P0 (s) ' Kp + + KD s ∆e (s) s donde: Kf (τi + τD ) Af (Ci R1 − CD R2 ) Kf Af (Ci R1 − CD R2 ) h i A2 Kf Ci CD + Kf (Ci KV D + CD Kvi ) f Af (Ci R1 − CD R2 ) (4.39 Diagrama de bloques simplificado donde K >> 1 porque K2 >> 1.4.2 Algunas estructuras del controlador PID 173 Figura 4. . para −∞ < t < ∞. la salida se mantiene en el mismo estado. en ausencia de perturbacińes o de entradas de a o referencia. estabilidad relativa y error estacionario La caracter´ ıstica m´s importante del comportamiento din´mico de un sistema de a a control es la estabilidad absoluta. Un sistema de control lineal invariante en el tiempo. las raices de a (s) .etc. la rampa. considere el sistema de la Fig 5. deben estar ubicadas en el semiplano complejo izquierdo. o En otras palabras. o o 5. a Por ahora es suficiente saber que un sistema es estable si las ra´ ıces del polinomio b(s) caracter´ ıstico o denominador de la funciń de transferencia del sistema H (s) = a(s) o tienen parte real negativa.1: 175 . n Una funciń f (t) es acotada si f (t) < M1 . concepto que se ver´ posteriormente. es estable si finalmente la salida retorna a un estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a una perturbaciń o o a una seãl de entrada acotada. Un sistema est´ en equilibrio si. esto es. Lo cual significa que los valores de s que satisfacen la ecuaciń caracter´ o ıstica a(s) = 0.CAPITULO 5 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO El objetivo de este cap´ ıtulo es obtener la respuesta temporal de los sistemas a seãles n aperi´dicas tales como el escalń.1 Estabilidad absoluta. Si la salida del sistema de control en estado estacionario no coincide exactamente con . Para garantizar una respuesta transitoria r´pida y bien amortiguada.2: Figura 5.1.176 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Figura 5. Esta podr´ ıa presentar excesivas oscilaciones o ser muy lenta. respuesta transitoria antes de alcanzar un estado estacionario.1. los polos de a H (s) deben quedar en una zona como la mostrada en la Fig 5.2 Error estacionario Ya que un sistema f´ ısico de control generalmente tiene elementos que almacenan energ´ su salida no puede seguir inmediatamente a la entrada sino que presenta una ıa.2 Regiń recomendada para la ubicaciń de polos o o 5.1 Estabilidad relativa El hecho de que todos los polos de H (s) queden en el semiplano complejo izquierdo de s no garantiza caracter´ ısticas satisfactorias de respuesta transitoria.1 Funciń de transferencia de un sistema o H (s) es estable si: $−1 (x (s)) = x (t) < M1 . produce una salida acotada: $−1 (y (s)) = y (t) < M2 . −∞ < t < ∞ −∞ < t < ∞ 5. 4 Algunos teoremas En las siguientes consideraciones se suponen condiciones iniciales nulas.1.5. Es importante analizar en los sistemas de control la respuesta transitoria. As´ la transformada de Laplace de ı la respuesta impulsiva h (t) es la funciń de transferencia del sistema H (s) . x (t) = 0 para t < 0. α) = f (u1 . α)] dx ∂α (5.4) Aplicńdola a (5. se dice que el sistema tiene n n un error estacionario. o respuesta a un impulso unitario δ (t). En la o a prćtica se puede considerar como un impulso.5) . 5.3) y (t) = x (t) ~ h (t) = 0 0 5. el cual indica la exactitud del sistema. a un pulso de entrada con muy corta a duraciń en comparaciń con las constantes significativas del sistema. y: y (s) = H (s) = $ (h (t)) (5. el tiempo necesario para alcanzar el estado estacionario.3 Respuesta impulsiva Para el sistema de la Fig 5. y el error en este estado. entonces x (s) = 1. o o La respuesta impulsiva h (t) es la respuesta de un sistema lineal a una entrada impulso unitario con condiciones iniciales iguales a cero. entonces: Z t Z t h (τ ) x (t − τ ) dτ = h (t − τ ) x (τ ) dτ (5.1) Figura 5.1 donde h (t) es la respuesta impulsiva del sistema. α) u0 (α) du1 du0 − f (u0 .3: (5.1: y (s) = H (s) x (s) El diagrama correspondiente en el dominio del tiempo se muestra en la Fig 5. o Si el sistema es causal. α) + dα dα Z Z u1 (α) u0 (α) ∂ [f (x. 1. Note que si x (t) = δ (t).1 Algunos teoremas 177 la seãl deseada. Por la f´rmula de Leibniz o d dα Z u1 (α) f (x.3 Diagrama de bloques en el dominio del tiempo del sistema de la Fig 5. llamada seãl de referencia o entrada.2) La funciń de transferencia y la respuesta impulsiva de un sistema lineal invariante o en el tiempo contienen la misma informaciń sobre la din´mica del sistema.1.3) : a dy (t) = h (t) x (0) + dt t 0 ∂ [h (τ ) x (t − τ)] dτ ∂t (5. Supńgase por ejemplo que se conoce la ´ o respuesta de un sistema cuando la entrada es un impulso δ (t).3): y (λ) = integrando (5.10) (5. rampa unitaria e impulso unitario suponiendo o condiciones iniciales nulas. u Los anteriores resultados son muy utiles. la respuesta impulsiva se puede obtener derivando a a la respuesta al escalń.6) (5. entonces la nueva salida es y2 (t) = 0− y (τ ) dτ.1. 5. una entrada x (t) es y (t). si x (t) = 0− u (t) dτ . entonces y (t) = 0− h (τ ) dτ.8) Con λ = t : Z Z t λ 0 x (λ − τ) dλ = Z Z Z t 0 x (t − τ ) dt (5.7): Z t Z λ 0 h (τ ) x (λ − τ ) dτ (5.9) As´ (5. ı. si se conoce la respuesta de un sistema lineal a la funciń escalń u (t).178 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Como x (0) = 0 : dy (t) = dt Z t h (τ ) 0 ∂x (t − τ ) dτ ∂t (5. entonces la respuesta a la derivada de la entrada x (t) es y (t).6) indica que si la respuesta de un sistema lineal a . o de un solo polo.1. Es decir se conoce h (t) = $−1 (H (s)) . o 5.5 Sistema de primer orden Se analizarń las respuestas de un sistema de primer orden.10) indica que la respuesta de un sistema lineal a la integral de la entrada x (t) es la integral de la salida y (t) .5.8) tambiń puede ser escrita: ı e t t y (t) dt = h (τ) 0 0 0 x (t − τ) dt dτ (5. Rt Rt Asimismo.7) y (λ) dλ = 0 Z tZ 0 λ 0 h (τ) x (λ − τ) dτ dλ = Z t h (τ ) 0 Z λ 0 x (λ − τ) dλ dτ (5. . a a entradas tales como el escalń unitario. Rt Rt As´ como u (t) = 0− δ (τ ) dτ . Adem´s. Cambiando la variable t por λ en (5. a o o fćilmente obtenible en prćtica. 2.4: . Pruebas similares se pueden hacer para derivadas de m´s alto orden e integrales a m´ltiples.1 Respuesta al escalń unitario o Un sistema de primer orden se muestra en la Fig 5. 14) se muestra en la Fig 5. 0.14) " 1 1 − 1 s s + T1 # (5.1 Respuesta al escalń unitario 179 o Figura 5.5: .12) A = K1 B = −K1 T1 As´ ı: Y (s) = K1 Antitransformando: ³ ´ y (t) = K1 1 − e−t/T1 u (t) (5.11) K1 T1 Con un escalń unitario: o r (t) = u (t) = la respuesta es: Y (s) = A y B son: ½ = = KP K 1 + KP K T 1 + KP K 1 t>0 ⇒ R (s) = t<0 s 1. A B A + T1 As + Bs 1 K1 = + = s 1 + T1 s s 1 + T1 s s (1 + T1 s) (5.5.4 Sistema de primer orden Para este sistema: P KP K Y (s) s = H (s) = 1+T P K = K R (s) 1 + T s + KP K 1 + 1+T s K K o ´: KP K Y (s) = H (s) = R (s) 1 + KP K donde: µ 1 1 + T1 s ¶ = K1 1 + T1 s (5.13) (5. A menor valor de la constante de tiempo. Por eso se acostumbra suponer que despu´s de cuatro constantes de tiempo.2% de su valor final K1 . e ıa El error o corrimiento e (∞) = ess es: ess = 1 − K1 = 1 − 1 KP K = 1 + KP K 1 + KP K (5. 1 n mas r´pida es la respuesta del sistema.18) .15) Otra caracter´ ıstica importante de la curva exponencial es que la pendiente de la 1 tangente en t = 0 es K1 : T ¯ ¯ K1 − Tt ¯ K1 dy (t) ¯ ¯ 1 ¯ = e = (5. y se define el tiempo de soluciń ts por la ecuaciń: o ts = 4T1 (5.16) ¯ dt ¯t=0 T1 T1 t=0 Si se traza una recta: yp (t) = K1 t T1 ´sta alcanzar´ el valor final K1 en t = T1 segundos. y cuando T1 es pequeã. el polo p = − T1 se a aleja del eje imaginario hacińdose mas negativo. el sistema ha alcanzado e o el estado estacionario.180 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Figura 5.17) ´ Este tambiń puede ser calculado utilizando la funciń de trasferencia del error: e o 1 1 + Ts E (s) = = R (s) T s + 1 + KP K 1 + KP K 1+T s (5. e a Para t = 4T1 la respuesta est´ a menos del 2% del valor final K1 .5 Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada en escalń o unitario u (t) N´tese que la constante de tiempo T1 es aquel valor de tiempo para el cual la respuesta o ha alcanzado el 63. 5.6: e .14). la respuesta del sistema es la o derivada de la respuesta al escalń: o ´ i K t d h ³ 1 −T K1 1 − e−t/T1 u (t) = e 1 dt T1 y2 (t) = (5.22) 5.5. la respuesta a la rampa o unitaria r (t) = t u (t) es la integral de esta ecuaciń: o Z t y1 (t) = El error e (t) es: 0 h i h i τ t K1 1 − e− T1 dτ = K1 t − T1 + T1 e− T1 (5.5. o (5.21) 5. 5.3 Respuesta al impulso unitario Como el impulso unitario es la derivada del escalń.6 Sistema de segundo orden Consid´rese el servomecanismo que se muestra en la Fig 5.1.17). o sea que este sistema no sigue la rampa.19) h i t e (t) = t u (t) − K1 t − T1 + T1 e− T u (t) ³ ´ t = K1 T1 1 − e− T1 u (t) + (1 − K1 ) t u (t) Para t >> T1 : e (t) ' (1 − K1 ) t + K1 T1 N´tese que e (∞) = ∞.1.1.1 Sistema de segundo orden 181 Con R (s) = 1 s : E (s) = 1 1 + Ts × s T s + 1 + KP K y aplicando el teorema del valor final: ess = lim e (t) = lim sE (s) = t→∞ s→0 1 1 + KP K que es el mismo resultado (5.2 Respuesta a la rampa unitaria Como la respuesta al escalń unitario esta dado por (5.20) (5. 182 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Figura 5.6 Control de posiciń o El correspondiente diagrama de bloques se muestra en la Fig 5.7: Figura 5.7 se puede simplificar al diagrama de bloques mostrado en la Fig 5.7 Diagrama de bloques para la Fig 5.6 donde: n = J f N1 N3 · N2 N4 = Jm + n2 JL = fm + n2 fL Con: K T = = K0 K1 Km 2 (Ra f + Km ) n Ra J 2 Ra f + Km la Fig 5.8: . 9: Figura 5.25) o polos del sistema son: ıces p 2 2 4ζ 2 ωn − 4ωn p 2 = −ζωn ± ζ 2 − 1ωn = −2ζωn ± λ1.9 Una representaciń estandarizada del diagrama de bloques de la Fig 5.24) o donde σ se llama atenuaciń.7 El diagrama de la Fig 5.8 Diagrama simplificado de la Fig 5.23) 2 ωn C (s) = 2 2 R (s) s + 2ζωn s + ωn (5.1 Caso subamortiguado o respuesta con 0 < ζ < 1 183 Figura 5. frecuencia natural no amortiguada y ζ.8 o donde: 2 ωn = = = 2ζωn ζ As´ ı: K T 1 = 2σ T 1 √ 2 KT (5.25) Las ra´ de (5. ωn .2 (5. relaciń o o razń de amortiguaciń.5.26) .8 se puede dibujar como el de la Fig 5. o o La ecuaciń caracter´ o ıstica del sistema es: 2 A (s) = s2 + 2ζωn s + ωn = 0 (5. 28) ζ = sen −1 Si la entrada es un escalń unitario r (t) = u (t) ´ R (s) = o o C (s) = p 1 − ζ 2 = tan−1 (5.1.2 = −ζωn ± j 1 − ζ 2 ωn = −ζωn ± jωd p donde ωd = 1 − ζ 2 ωn se llama frecuencia natural amortiguada.29) : 2 ωn As + B K 1 · 2 + 2 = 2 2 s s + 2ζωn s + ωn s s + 2ζωn s + ωn Con K = 1.27) Figura 5.6.1 Caso subamortiguado o respuesta con 0 < ζ < 1 Si ζ < 1 : p λ1.10: o (5. La ubicaciń correspondiente de los polos se muestra en la Fig 5. A = −1 y B = −2ζωn : C (s) = s + 2ζωn 1 1 − 2 = − 2 s s + 2ζωn s + ωn s s + 2ζωn ³p ´2 (s + ζωn )2 + 1 − ζ 2 ωn = s + ζωn ζωn 1 − − s (s + ζωn )2 + (ωd )2 (s + ζωn )2 + (ωd )2 .10 Ubicaciń de los polos para el caso subamortiguado (0 < ζ < 1) o en donde: cos θ sen θ tan θ o ´: θ = cos −1 = ζωn =ζ ω pn = 1 − ζ2 p 1 − ζ2 = ζ p 1 − ζ2 ζ 1 s (5.184 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 5. 1.33) c (t) = 1 − p 1 − ζ2 1 1− p 1 − ζ2 sin ωd t u (t) cos ωd + p 1 − ζ2 ) h i p −ζωn t 2 cos ω t ζ sin ωd t + 1 − ζ e u (t) d #) (5.6. (5.32) se puede escribir en forma compacta como en la ecuaciń (5.11 Respuesta subamortiguada de un sistema de segundo orden 5.31) = C (s) = Antitransformando (5.11: p donde ωd = 1 − ζ 2 ωn . (5.33): o ) ( e−ζωn t sin (ωd t + θ) u (t) con ζ < 1 (5. Utilizando las relaciones (5.34) .30) se tiene: para t ≥ 0.1 Caso de amortiguamiento cr´ ıtico o respuesta con ζ = 1 185 p 1 s + ζωn 1 ζωn · 1 − ζ 2 ωn − −p · s (s + ζωn )2 + (ωd )2 1 − ζ 2 ωn (s + ζωn )2 + (ωd )2 s + ζωn ζ ωd 1 p − · (5.28).31) tambiń se puede escribir: e c (t) = = ( 1−e −ζωn t c (t) = 1 − e−ζωn t cos ωd t − p " ζ ( que es el primer tipo de respuesta mostrado en la Fig 5.30) 2 2 − 2 (s + ζω )2 + (ω )2 s (s + ζωn ) + (ωd ) 1−ζ n d ζ 1 − ζ2 e−ζωn t sin ωd t (5.2 Caso de amortiguamiento cr´ ıtico o respuesta con ζ = 1 Si ζ = 1 : 2 2 ωn ωn C (s) = 2 = 2 2 R (s) s + 2ωn s + ωn (s + ωn ) (5.5.32) Figura 5. 1.6.35) se obtiene (5. Si R (s) = 1 : s C (s) = 1 ωn A K B · + = + s (s + ωn )2 s (s + ωn )2 (s + ωn ) ı: donde K = 1. o a Con: p 1 − ζ2 sin jθ cos jθ y utilizando (5.36) (5.36): ª © C (s) = 1 − e−ωn t (1 + ωn t) u (t) con ζ = 1 (5.2 = −ωn .186 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO que corresponde a un par de polos reales ubicados en λ1.35) Antitransformando (5.12 Respuesta de amortiguamiento cr´ ıtico de un sistema de segundo orden Esta respuesta tambiń se puede obtener de (5.36) es el segundo tipo de respuesta mostrado en la Fig 5. A = −ωn y B = −1.12: Figura 5.32) usando la regla de L’Hoppital. e 5. As´ C (s) = 1 ωn 1 − − s (s + ωn ) (s + ωn )2 (5.3 Caso sobreamortiguado o respuesta con ζ > 1 Si ζ > 1 la ubicaciń del par de polos reales correspondientes est´ dada por (5.36).32): ( " ζ #) ´ ³p ´ ³p ζ 2 − 1ωn t + cosh ζ 2 − 1ωn t senh u (t) p = j ζ2 − 1 = j senh θ = cosh θ c (t) = 1−e −ζωn t p ζ2 − 1 (5.37) . la respuesta es similar a la de un sistema de primer orden con un solo polo ubicado en −s2 .1.39) .38): e ( · −s1 t ¸) e−s1t t e ωn − u (t) 1+ p s1 s2 2 ζ2 − 1 c (t) = (5.14: a (5.6.13 Respuesta sobreamortiguada de un sistema de segundo orden 5.4 Respuesta oscilatoria o caso de amortiguamiento nulo.1 Respuesta oscilatoria o caso de amortiguamiento nulo. Es decir. hay un par de polos complejos ubicados en λ1.2 = ±jωn y la soluciń es: c (t) = {1 − cos ωn t} u (t) cuya gr´fica se muestra en la Fig 5. ζ = 0 187 c (t) tambiń se puede reescribir como (5.13: Figura 5. ζ = 0 o Si ζ = 0.38) donde: s1 s2 ´ ³ p ζ + ζ 2 − 1 ωn ´ ³ p = ζ − ζ 2 − 1 ωn = Si s1 >> s2 . La respuesta correspondiente sobre el caso sobreamortiguado se muestra en la Fig 5. la respuesta debido a s1 se puede despreciar ya que al t´rmino que e a involucra a s1 cae mucho mas r´pidamente que el correspondiente a s2 .5. 8 se aproxima al valor final mas r´pidamente que uno con amortiguamiento cr´ a ıtico o sobreamortiguado. . Un sistema subamortiguado con 0. Dos sistemas de segundo orden con el mismo ζ. ess = 0. pero diferente ωn tienen el mismo sobreimpulso y el mismo diagrama oscilatorio mostrado anteriormente. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento en responder a a cualquier entrada. Entre los sistemas que responden sin oscilaciń. el error o en estado estacionario es cero.15 resume los casos vistos: Figura 5.5 < ζ < 0. excepto para la respuesta oscilatoria (ζ = 0).188 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Figura 5.14 Respuesta oscilatoria de un sistema de segundo orden La Fig 5. el amortiguado cr´ o ıticamente presenta la respuesta mas r´pida.15 Diferentes respuestas de un sistema de segundo orden N´tese que en todos los casos. La entrada escalń. se acostumbra suponer que las condiciones iniciales son cero. sistemas con almacenamiento de energ´ no pueden responder ıa instantńeamente y presentan transitorios siempre que se les somete a entradas de a referencia o perturbaciones. facil de generar. Obviamente la respuesta transitoria de un sistema depende de las condiciones iniciales. Cuando la respuesta transitoria presenta oscilaciones amortiguadas es habitual dar las especificaciones mostradas en la Fig 5. como se vi´ a o anteriormente.16: Figura 5. Sin embargo. td . es frecuentemente usada para especificar las o caracter´ ısticas de funcionamiento de un sistema de control.5.2 Especificaciones de respuesta transitoria 189 5. en o principio es posible calcular la respuesta a cualquier entrada. Adem´s.16 Especificaciones para un sistema con respuesta subamortiguada Las especificaciones son las siguientes: 1 Tiempo de retardo. El tiempo que la respuesta tarda en alcanzar por primera vez la mitad del valor final. . si se conoce la respuesta de un sistema a una entrada escalń. para poder comparar fćilmente las caracter´ a ısticas de la respuesta transitoria de diversos sistemas.2 Especificaciones de respuesta transitoria Como se dijo antes. . El requerido para que la respuesta crezca del 10 al 90%.4 el sobrepaso es excesivo y para ζ > 0. Este se define en forma porcentual mediante (5. ts . Comentarios. a ı.8 la respuesta es lenta. Para sistemas con error estacionario para entradas escalń. del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. si Mp decrece. Se ver´ posteriormente que Mp y tr estń en conflicto entre s´ Es decir. tr . El requerido por la respuesta para alcanzar el primer pico del sobreimpulso o sobrepaso. Este rango generalmente se especifica en porcentaje absoluto del valor final (habitualmente 5% ´ 2%).8. tp . a tr aumenta y viceversa. tr . Se utilizar´ esta ultima especificaciń (0 al 100%) en c´lculos a ´ o a posteriores.190 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 2 Tiempo de crecimiento. virtualmente queda determinada la o forma de la respuesta.40) y es un indicativo de la estabilidad relativa del sistema. y Mp . Para ζ < 0. o Tiempo requerido por la respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final.4 < ζ < 0. ts . Excepto donde no se toleren oscilaciones. El tiempo de establecimiento se o relaciona con la constante de tiempo m´s grande del sistema. 3 Tiempo de pico o de sobrepaso. Para un sistema sobreamortiguado no se aplican los t´rminos tiempo pico y m´ximo e a sobreimpulso. tp . a El criterio para la fijaciń del porcentaje de error a usar depende de los objetivos del o diseõ del sistema en cuestiń.40): Mp = e (tp ) − e (∞) × 100% e (∞) (5. 5 Tiempo de establecimiento o de soluciń. se desea una respuesta transitoria suficientemente r´pida y suficientemente amortiguada. Mp . Para sistemas de segundo orden el a rango recomendado para ζ es: 0. el error se o debe mantener dentro de un nivel porcentual espec´ ıfico. n o N´tese que si se especifican td . 4 Maximo sobreimpulso o sobrepaso. 2π. Por lo tanto: tr = π−θ π−θ =p ωd 1 − ζ 2 ωn (5. · · · (5.2.2. 3π.1. o n 5. 5.44) N´tese que para un valor pequeõ de tr .5.46) (5. la pendiente es cero: ¯ ζωn dc (t) ¯ ¯ =p e−ζωn tp sen (ωd tp + θ) ¯ dt t=tp 1 − ζ2 p 1 − ζ 2 ωn −ζωn tp − p e cos (ωd tp + θ) = 0 1 − ζ2 ζ sen (ωd tp + θ) p = cos (ωd t + θ) 1 − ζ2 p 1 − ζ2 tan (ωd tp + θ) = ζ As´ ı: (5. ωn debe ser grande. tiempo pico.43) (5. Los valores a se obtendrń en t´rminos de ζ y ωn y se supondr´ que el sistema es subamortiguado a e (ζ < 1). Reemplazando en (5.41) de donde: (5.1 Especificaciones de respuesta transitoria para sistemas de segundo orden Se obtendrń el tiempo de crecimiento.45) de donde: o ´: .2 Tiempo de pico tp 191 5.1.1 Tiempo de crecimiento o tiempo de levante tr Utilizando el criterio de 0 al 100%.2 Tiempo de pico tp Con (5.33) cuando t = tp .42) El primer cruce de c (t) con el valor unitario o 100% ocurre cuando (ωd tr + θ) = π. c (tr ) = 1.33): e−ζωn tr c (tr ) = 1 = 1 − p sen (ωd tr + θ) 1 − ζ2 sen (ωd tr + θ) = 0 As´ ı: (ωd tr + θ) = π. m´ximo sobrepaso y tiempo de a a establecimiento de sistemas de segundo orden obtenidos del sistema (5.24).2. Con el ISE se obtiene ζ = 0. o Existen otros criterios de optimizaciń.707.1. Utilizando este criterio con e (t) = o r (t) − c (t) se obtiene ζ = 0. o o R∞ Uno de ellos se llama criterio ITAE el cual minimiza la integral J = 0 |e| tdt. · · · (5. R∞ Otro criterio es el ISE que minimiza la integral J = 0 e2 dt. que trata de penalizar la magnitud del error y la duraciń del mismo.49) c (tp ) − 1 = −e Pero de (5. integral del valor absoluto del error multiplicado por el tiempo. 1.5.51) Existen diferentes criterios integrales para establecer lo que podr´ llamarse el valor ıa o ´ptimo de la razń de amortiguaciń ζ.32) se tiene: −ζωn tp (5. Este criterio no penaliza la duraciń de error.50) −ζωn tp Ã sen π cos π + p 1 − ζ2 − √ ζπ = e−ζωn tp Mp = e−ζωn tp = e 1−ζ 2 (5. el valor de ζ = 0.192 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO ωd tp + θ = tan −1 ! Ãp 1 − ζ2 = θ + πn ζ n = 0. Para ζ = 0.2. o integral del cuadrado del error.3%. Sin embargo.48) 5.47) El primer pico ocurre cuando n = 1 : tp = π π =p ωd 1 − ζ 2 ωn (5.48) ωd tp = π y: Mp = −e o ´: Ã sen ωd tp cos ωd tp + p 1 − ζ2 ζ ! ζ ! = Mp (5.7 corresponde o al valor cercano al ´ptimo con respecto a varios de ellos.3 Este es: M´ximo sobreimpulso Mp a Mp = c (tp ) − 1 Utilizando (5.17 muestra una gr´fica del sobrepaso Mp en funciń de la razń de amora tiguaciń ζ para el sistema de segundo orden: o . el sistema de o segundo orden tiene una respuesta r´pida a la entrada escalń con un sobrepaso de a o aproximadamente el 4.7. o o La Fig 5. 52): Mp (t) = e−ζωn t (5. o tiempo de establecimiento dado por (5.707 e es menor del 4. mientras que para ζ > 0.4 el sobrepaso es del 25.51) Mp = e−ζωn tp .53) N´tese que la constante de tiempo de las envolventes es o 1 ζωn .3%.1. ır (5.53): ts = 4 ζωn (5.2.4%. a para el tiempo ts .18: .52) que es una curva exponencial tal que: 4 ζωn Mp (t) < 2% para t > 4T = As´ se puede aceptar que el transitorio de c (t) est´ a menos del 2% del valor final ı.17 Sobrepaso en funciń de la razń de amortiguaciń o o o Obs´rvese que para ζ = 0.2 Tiempo de establecimiento ts 193 Figura 5.4 Tiempo de establecimiento ts De (5.5. 5. As´ se puede constru´ una curva envolvente de sobrepasos ı. Fig 5. ζ = 1 y ζ > 1. Sin embargo. el tiempo de establecimiento para un e sistema muy levemente amortiguado. Es a decir. Con C(s) = s2 +2ζωn s+ω2 y r (t) = δ (t). ω2 Figura 5. o Ejemplo 5. la relaciń de amortiguaciń ζ no debe ser demasiado pequeã. como el valor de ζ generalmente es determinado por un requerimiento de m´ximo sobreimpulso permitido.194 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Figura 5. la funciń impulso. y para limitar el a o o n m´ximo sobrepaso Mp . a 2. ωn debe ser grande. hallar el error en estado estacionario ess cuando r (t) = t u (t) en funciń de ζ y ωn .18 Curvas envolventes de sobrepaso Obs´rvese que para el mismo ωn y ζ < 1. es mayor que para un sistema adecuadamente amortiguado. Hacer gr´ficos y comparar. Entonces.1 C´lculo de algunos par´metros. el tiempo de establecimiento ts a est´ determinado principalmente por la frecuencia natural no amortiguada ωn . para tener una respuesta r´pida. la duraciń del per´ o ıodo transitorio puede ser variada sin modificar el m´ximo a sobrepaso.19. ajustando ωn . a Ejercicio. a a .19 Sistema de segundo orden Para el sistema de la Fig 5. hallar c (t) : R(s) n n para ζ = 0. ζ < 1. o 1. 61 As´ ı: ζ = 0. El sistema anterior es de segundo orden: 2 K ωn C (s) = 2 = 2 2 R (s) s + (1 + KKh ) s + K s + 2ζωn s + ωn (5.48): tp = As´ ı: π π =p =1 ωd 1 − ζ 2 ωn y ωn = 3.51): − √ ζπ √ = K = 1 + KKh 1 + KKh √ = 2 K Mp p 1 − ζ2 ζπ = e 1−ζ 2 = 0.2 y el tiempo de pico de 1 segundo.2 Tiempo de establecimiento ts 195 Figura 5.5.14 Adem´s: a .20 Sistema para el ejemplo 5.456 De (5.1 Para el sistema de la Fig 5.20. hallar los valores de ganancia K y la constante de realimentaciń de velocidad Kh de manera que el m´ximo sobrepaso en la respuesta o a al escalń unitario sea 0. Con estos valores de K o y Kh hallar el tiempo de crecimiento y el de establecimiento.54) donde: ωn 2ζωn ζ De (5.53 ωd = 3.2 = 1. 178 = K tr = Como: θ = tan entonces: tr = y para el criterio de 2%: ts = Ejercicio. se puede obtener c (t).10 ζ π − 1.48 seg ζωn Resolver el ejemplo anterior con un sobrepaso del 3%.1 Sistemas de ordenes superiores ´ Sistema de tercer orden 2 ωn p C (s) = 2 2 R (s) (s + 2ζωn s + ωn ) (s + p) Consid´rese el sistema (5. Calcule K. con un tiempo de soluciń de o 1 segundo.55): e (5. tr y tp 5.196 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO K Kh De (5.65seg 3.56) − 2 βζ (β − 2) + 1 .3 5.56). (5.55) Si r (t) = u (t) o R (s) = 1 .3.44): 2 = ωn = 12. −1 π−θ ωd ! Ãp 1 − ζ2 = 1. con 0 < ζ < 1: s e−ζωn t × c (t) = 1 − 2 βζ (β − 2) + 1 ( ) £ ¤ p p βζ ζ 2 (β − 2) + 1 p βζ 2 (β − 2) cos 1 − ζ 2 ωn t + sen 1 − ζ 2 ωn t 1 − ζ2 ept (5.14 4 = 2.10 = 0. Kr .5 2ζωn − 1 = 0. n ¢ ¡ 2 βζ 2 (β − 2) + 1 = ζ 2 (β − 1) + 1 − ζ 2 > 0 5.58) con R (s) = S . 1 o o Por descomposiciń en fracciones parciales de (5. Por lo tanto el efecto e del polo real situado en s = −p en la respuesta al escalń unitario es reducir el o m´ximo sobrepaso y podr´ aumentar el tiempo de establecimiento. o se obtiene (5.57) si no hay polos repetidos. Si el polo real a ıa est´ ubicado a la derecha de los polos complejos conjugados.59): p q r X bk (s + ζk ωk ) + ck ωk 1 − ζ 2 a X aj k c (s) = + + (5.58) 2 (s2 + 2ζk ωk s + ωk ) j=1 k=1 Si se antitransforma (5. Entonces los polos que estń ubicados lejos del e a eje jω tienen partes reales negativas grandes y por lo tanto los t´rminos exponenciales e en c (t) que corresponden a esos polos caen muy r´pidamente a cero ya que el tiempo a de establecimiento depende de la distancia horizontal de los polos al eje jω.59) 2 s j=1 s + pj s2 + 2ζk ωk s + ωk k=1 i=1 r Q c (t) = a+ + aj e−pj t + bk e−ζk ωk t cos ωk q 2 1 − ζk t k=1 r X q 2 1 − ζk t (5.2 Respuesta transitoria de sistemas mayor orden b0 sm + b1 sm−1 + · · · + bm C (s) = R (s) a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an K· (s + pj ) · m Q Para el sistema dado por (5. . c (t) se puede expresar: q X j=1 r X k=1 donde q + 2r = n. hay tendencia a una a respuesta lenta y el sistema se comporta como uno sobreamortiguado al cual los polos complejos conjugados aãden ondulaciones a la curva de respuesta.57): (5.5.59). entonces: C (s) = q Q R (s) (s + zi ) (5.60) ck e−ζk ωk t sen ωk para t ≥ 0 Si todos los polos estń en el semiplano complejo izquierdo: a css = lim c (t) = a t→∞ Consid´rese que el sistema es estable. funciń escalń.3.3 Respuesta transitoria de sistemas mayor orden 197 p donde β = ζωn Obs´rvese que como: e entonces el coeficiente del t´rmino e−pt es siempre negativo. La Fig 5. . Su comportamiento es similar al de uno de segundo orden.198 RESPUESTA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO La curva de respuesta de un sistema estable de orden superior a una entrada escalń o unitario es la suma de cierto n´mero de curvas exponenciales y curvas senoidales u amortiguadas.21c muestra la respuesta de un par de polos complejos dominantes sobre la que se superpone la respuesta de otro par de polos complejos menos dominantes.21. Algunas respuestas se muestran en la Fig 5. a) b) c) Figura 5.21a la respuesta corresponde a un par de polos complejos conjugados dominantes.21 Algunas respuestas de sistemas de orden superior En la Fig 5. En la Fig 5. ya que se asemeja a la respuesta de un sistema de primer orden sobre el que se superpone la respuesta de un par de polos complejos conjugados menos dominantes.21b se nota la presencia de un polo real dominante. 3): o o a y (t) = Cx (t) + Du (t) 199 (6. con una entrada y una salida: e Figura 6.3) . La ecuaciń de salida est´ dada por (6.1.1) puede ser descrito mediante las variables de estado x (t): x (t) = Ax (t) + Bu (t) llamada ecuaciń de estado. (6.CAPITULO 6 CRITERIOS DE ESTABILIDAD 6.1) Cualquier sistema como el (6.1 Introducciń o Un sistema con funciń de transferencia W (s) es estable si todos sus polos estń en o a el semiplano complejo izquierdo.1 Sistema realimentado donde: y (s) G (s) = W (s) = u (s) 1 + G (s) H (s) (6. Consid´rese el sistema de lazo cerrado de la Fig 6.2) . 6) se puede escribir: G (s) b (s) C [adj (sI − A)] B y (s) = C (sI − A)−1 B = = = u (s) det (sI − A) 1 + G (s) H (s) a (s) (6. As´ a (sk+1 ) − a (sk ) ' a0 (sk ) (sk+1 − sk ) donde: a0 (sk ) = ¯ da (s) ¯ ¯ ds ¯s=sk a (sk ) a0 (sk ) (6. Cuando el grado del polinomio a (s) = det (sI − A) = sn + a1 sn−1 + · · · + an . en estos casos se debe recurrir a m´todos iterativos para encontrar las ra´ e ıces como por ejemplo el m´todo de Newton-Raphson.7) donde adj (sI − A) es la matriz adjunta de (sI − A).8) se o a ız. El sistema es estable si los ceros de a (s) = det (sI − A) estń en el semiplano complejo a izquierdo. es de orden mayor que 3. etc. e 6. con D = 0: sx (s) = Ax (s) + Bu (s) y (s) = Cx (s) o ´: x (s) = (sI − A) con (6. entonces: ∆a (s) ' Si sk es el valor de s en la k-´sima iteraciń y sk+1 en la siguiente.200 CRITERIOS DE ESTABILIDAD En general D = 0. entonces ∆a (s) = e o ı: a (sk+1 ) − a (sk ) y ∆ (s) = sk+1 − sk .9) .6) −1 (6.2) y (6.5) en (6. en general. la ecuaciń caracter´ o ıstica de un sistema.5) (6. donde det significa determinante.8) Si en la iteraciń k+1 se est´ muy cerca de una ra´ entonces a (sk+1 ) ' 0 y (6.1 M´todo de Newton-Raphson e da (s) ∆s ds Con a (s) = 0. puede escribir: sk+1 = sk − (6.4): y (s) = C (sI − A)−1 Bu (s) Para el caso SISO.4) Bu (s) (6. una entrada una salida (6. las ra´ no se pueden calcular. o Transformando (6. ya que D 6= 0 implica conexiń directa entre entrada y salida. Por lo tanto. anal´ ıces ıticamente.3).1. aparentemente. Hallar las ra´ de a (s) = s3 + 9s2 + 25s + 25 usando el m´todo de Newton-Raphson. sin necesidad de tener que encontrar las ra´ ıces del polinomio a (s). Para a o e ver porqu´. existen criterios de estabilidad que permiten determinar si un sistema es estable o no. y as´ sucesivamente. 6.2 An´lisis de estabilidad por cancelaciń de polos a o 1 s−1 Consid´rese un sistema con funciń de trasferencia Hf (s) = e o Fig 6. consid´rese la realizaciń que se muestra en la Fig 6. Para aplicar (6.10) se hizo una cancelaciń de un polo con un cero. Sin embargo.3: e e o .2 An´lisis de estabilidad por cancelaciń de polos 201 a o que es la f´rmula iterativa de Newton-Raphson.6. o estabilidad al sistema. ıces e Escoger como valor inicial s1 = −1 + j. n Ejercicio. se escoge un valor o ı inicial arbitrario s1 y se calcula s2 . lo cual le da.9).2: el cual es inestable. Figura 6. como por ejemplo el criterio de estabilidad de Routh y Hurwitz. El algoritmo se puede detener cuando: |sk+1 − sk | < ² donde ² es un valor positivo pequeõ.10) En (6. Como se ver´ a continuaciń.2 Compensaciń serie o cascada o Supńgase que para estabilizarlo se precede Hf (s) con un compensador Hc (s) = o para lograr la funciń de transferencia total: o s−1 s+1 Hf (s) Hc (s) = (s − 1) 1 1 · = (s − 1) (s + 1) s+1 estable? (6. esta tćnica no funciona. 3 tienen las funciones de trasferencia mostradas.202 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Figura 6. ¸ · x1 −1 0 x1 −2 . = + v (6.3 Realizaciń para la Fig 6. Como puede verse (6. Sin embargo el resultado obtenido de (6.11): x1 = −x1 − 2v con las condiciones iniciales: x1 (0) = x10 y transformando: sx1 (s) − x10 = −x1 (s) − 2v (s) 2 x10 x1 (s) = − v (s) (s + 1) (s + 1) y x2 (0) = x20 .12) muestra claramente la presencia de una ra´ s = 1 ubicada en el plano complejo ız derecho y por lo tanto el sistema es inestable. o De (6.11) x2 1 1 1 x2 £ ¤ · x1 x2 ¸ y la ecuaciń de salida es: o y= 0 1 Obs´rvese que la ecuaciń caracter´ e o ıstica obtenida de las ecuaciones de estado es: · ¸ s+1 0 det (sI − A) = det = (s + 1) (s − 1) = 0 (6. las ecuaciones de estado son: ¸· ¸ · ¸ · .12) es enteramente correcto. Con x1 y x2 como variables de estado.10) y (6. de donde: .12) −1 s − 1 (6. Una manera de ver mas claramente el origen de esta contradicciń es obtener la respuesta del sistema incluyendo las condiciones iniciales.12) se contradicen. Verificar que las realizaciones de la Fig 6.2 o Ejercicio. 2. Como es evidente. F´ ısicamente la cancelaciń exacta es imposible debido a la variaciń en los o o valores de los componentes.4 Compensador Hc (s) adelante de Hf (s) a e En la Fig 6. o A veces se argumenta que la inestabilidad es debida a la cancelaciń inexacta de polos o y ceros. . Sin embargo. Sin embargo. Ahora consid´rese el sistema de la Fig 6. la razń de la inestabilidad es mucho m´s o a profunda.4 es a o completamente equivalente al de la Fig 6. Hc (s) est´ despu´s de Hf (s).13) muestra claramente que el sistema es inestable. (6. y (t) crecer´ sin l´ a ımite. es dif´ mantener ıcil x10 = x20 = 0.13) x10 v (s) x20 + + s − 1 (s − 1) (s + 1) (s + 1) . el m´todo de e cancelaciń de polos y ceros es totalmente insatisfactorio. El hecho es que. de la Fig 6. Desde el punto de vista de manejo matem´tico de diagramas de bloques la funciń de transferencia. la funciń de transferencia es e e o 1 como es de esperarse.4.4: e Figura 6. a menos que el estado energ´tico inicial se e s+1 pueda mantener en cero. el sistema es inestable.6. si algń valor inicial es u o u diferente de cero. Obs´rvese que si el estado energ´tico inicial es cero. ań con una cancelaciń perfecta.2 An´lisis de estabilidad por cancelaciń de polos 203 a o x1 (t) = x10 e−t − 2e−t ~ v (t) Adem´s: a x2 = x1 + x2 + v (t) sx2 (s) − x2 (0) = x1 (s) + x2 (s) + v (s) (s − 1) x2 (s) = x20 + x1 (s) + v (s) de donde: x2 (s) = y (s) = y antitransformando: x2 (t) = y (t) = x20 et + ¢ x10 ¡ t e − e−t + e−t ~ v (t) 2 (6. Por lo tanto. 17) se nota que ambas variables de estado son inestables. x1 .5 Realizaciones para la Fig 6. x2 y transformando: = x1 + v = −2x1 − x2 sx1 (s) − x10 = x1 (s) + v (s) (s − 1) x1 (s) = x10 + v (s) de donde: x1 (s) = Adem´s: a v (s) x10 + s−1 s−1 (6.4 Sin embargo.14): . sin embargo reemplazńdolas en (6. = + v (6. ¸ · x1 1 0 x1 1 .15) y= 1 1 x2 De (6. la ecuaciń de estado y la de o o salida son: ¸· ¸ · ¸ · . si se considera la realizaciń de la Fig 6.16) sx2 (s) − x20 = −2x1 (s) − x2 (s) (s + 1) x2 (s) = x20 − 2x1 (s) lo cual da: x2 (s) = 2x10 2v (s) x20 − − s + 1 (s + 1) (s − 1) (s + 1) (s − 1) (6.204 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Figura 6.15) se obtiene: a .5.16) y (6.14) x2 −2 −1 0 x2 ¸ · £ ¤ x1 (6.17) Observando (6. 3 y 6. En otras palabras.19) N´tese que ahora el sistema es estable en lo que toca a y (t). −1. no todos los modos correspondientes. Una realizaciń con matrices A. podr´ no o ıa mostrar todos los modos de la realizaciń actual del sistema. no es singular. Sin embargo. C es m´ o ınima si es controlable y observable. El comportamiento interno es determinado por las frecuencias naturales de la realizaciń sin seãl de entrada. aparecerń en la funciń de transferencia total. ań si el estado energ´tico o u e inicial es diferente de cero. B. Esto quiere decir que si una realizaciń es controlable.18) se obtiene (6.2. Para un an´lisis como a pleto. mientras a a en la Fig 6.5 el modo et es controlable pero no observable. o ıa N´tese que la estabilidad determinada mediante las ra´ o ıces de det (sI − A) = 0 no falla.6.1 Explicaciń de la diferencia en comportamiento de las o realizaciones de las Figs 6. Esto es posible si o se es cuidadoso en los c´lculos de la funciń de transferencia. pero no es controlable porque la entrada externa v (t) no puede afectarla directamente. debido a la cancelaciń. las cuales en el ejemplo anterior son s = +1. ya a o que la funciń de transferencia es definida con condiciones iniciales nulas. entonces: o det Co 6= 0 realizaciń controlable o .5 El modo inestable et en la Fig 6. 6.3 Controlabilidad y observabilidad 205 x10 x20 v (s) + + s+1 s+1 s+1 Antitransformando (6. Sin embargo. o frecueno cias naturales. An´lisis m´s detallados por variables de estado permiten predecir esta diferencia en comportamiento sin c´lculos a expl´ ıcitos. C} es controlable si y solo si la matriz: o Co = B AB llamada matriz de controlabilidad tiene rango total. Sin o n embargo.18) (6. aparece a la salida. o o 6.3 es observable. fue la a o ecuaciń de estado la que di´ claridad con respecto al problema.5 es todav´ o ıa e internamente inestable ya que x1 (t) y x2 (t) tienen t´rminos que crecen como et .19): y (s) = y (t) = (x10 + x20 ) e−t + e−t ~ v (t) (6. se necesita hacerle un buen seguimiento a todos los modos. excepto para ıa realizaciones m´ ınimas. B. Estabilidad externa podr´ no ser equivalente a estabilidad interna. es decir. la realizaciń de la Fig 6. La conclusiń de las anteriores discusiones es que el comportamiento interno de una o realizaciń podr´ ser mas complicada que lo que indica su comportamiento externo. aquellos mostrados expl´ ıcitamente por la funciń de transferencia y los escondidos.3 Controlabilidad y observabilidad £ · · · An−1 B ¤ Una realizaciń {A. es decir.3 las matrices A. Para la realizaciń de la Fig 6. entonces: o det Ob 6= 0 realizaciń observable o Ejemplo 6. o Para la realizaciń de la Fig 6.206 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Una realizaciń {A. Esto quiere decir que si una realizaciń es observable. B. . y C son: o · −1 0 1 1 ¸ · −2 1 ¸ £ ¤ A= B= C= 0 1 y las matrices de controlabilidad y observabilidad se pueden calcular de la manera siguiente: −2 2 = = 1 −1   · ¸ 0 1 · ¸  £ ¤ = 0 1 −1 0 = 0 1 1 1 1 1 · −2 1 · −1 0 1 1 ¸· −2 1 ¸¸ · ¸ Co Ob Como det Co = 0 y det Ob = −1 esta realizaciń es observable pero no controlable. B. CAn−1      llamada matriz de observabilidad tiene rango total. o .1 Controlabilidad y observabilidad. no es singular.5 las matrices A. y C son: o A= · 1 0 −2 −1 ¸ B= · 1 0 ¸ C= £ 1 1 ¤ Calculando Co y Ob se obtiene: ¸ · ¸¸ · ¸ 1 0 1 1 1 = −2 −1 0 0 −2   · ¸ 1 1 · ¸ 1 1  £ ¤ = = 1 0 1 1 −1 −1 −2 −1 = 1 0 · · Co Ob Como det Co = −2 y det Ob = 0 esta realizaciń es controlable pero no observable. B. . C} es observable si y solo si la matriz: o   Ob =    C CA . 20) (6.3.6.4 Control por realimentaciń de variables de o estado Supńgase que el sistema de la Fig 6.7 de tal manera que resulte estable. con D = 0: x (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t) . un sistema es observable si dados u (t) y y (t) se puede determinar x (t).1 Aclaraciń sobre controlalibidad y observabilidad o Figura 6. Fig 6. Un sistema es controlable si es posible encontrar una seãl de control u (t) de modo n que el estado x (t0 ) pueda ser llevado a un estado deseado x (tf ). (6.7 Control por realimentaciń de variables de estado o Como. Si el sistema es controlable o entonces los polos o valores propios se pueden reubicar utilizando realimentaciń de o variables de estado como en la Fig 6.21) .6 Representaciń de un sistema con variables de estado o Con referencia a la Fig 6. 6.6 es inestable.6.4 Control por realimentaciń de variables de estado 207 o 6. a menos.25) se observa que ahora la ecuaciń caracter´ o ıstica es: y (s) = C (sI − A + BK)−1 Br (s) = a (s) = det (sI − A + BK) = (s − s1 ) · · · (s − sn ) = 0 (6.23) Con (6.25) (6. se pueden reubicar arbitrariamente utilizando realimentaciń de variables de estado.22) donde: (6. sn se pueden ubicar seleccionando las componentes de la matriz K si el sistema es controlable. a .20) se tiene: x (t) = Ax (t) + B (r (t) − K x (t)) .21): C adj (sI − A + BK) B r (s) det (sI − A + BK) De (6. lo cual aumenta el orden del sistema en una unidad. Obs´rvese que el orden del sistema no se incrementa como ocurre en el caso de usarse e otros tipos de controladores. por ejemplo. x (t) = (A − BK) x (t) + Br (t) Transformando (6. PID.22) en (6. o Una f´rmula para determinar K es la siguiente: o t K = qn · α (A) (6. por supuesto.208 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Ya que: u (t) = r (t) − K x (t) K = (k1 . Tambiń se puede demostrar que la realimentaciń por variables de estado no afecta e o los ceros de la funciń de transferencia. Si el sistema no es controlable significa que algunos valores propios no se pueden reubicar. ıa Se dice entonces que un sistema es ESTABILIZABLE si todos los valores propios no estables.24) . generalmente se hace necesario utilizar un integrador en serie con la seãl de error para eliminar el error n est´tico.23) con condiciones iniciales cero: sx (s) = (A − BK) x + Br (s) (sI − A + BK) x (s) = Br (s) de donde: x (s) = (sI − A + BK)−1 Br (s) (6.24) en (6.27) t qn −1 · 01] Co donde α (s) es el polinomio caracter´ ıstico deseado y = [00 · · es la ultima ´ −1 fila de Co . · · ·. aquellos con parte real positiva.26) (6. lo cual no ser´ problema si son estables. k2 . que sean cancelados o por una escogencia especial del polinomio α (s) .26) indica que los nuevos valores propios o polos s1 . (6. Sin embargo. · · ·kn ) Con (6. 8a.8 Sistema de control en lazo cerrado Si se tiene el sistema de control de la Fig 6. como en la Fig 6. y es la ganancia de lazo.5. La estabilidad es una caracter´ ıstica propia de un sistema y no depende de la escogencia de la seãl de salida.5 Criterios algebraicos y frecuenciales de estabilidad 6. o ambas. Este. Y1 es la salida indirectamente controlada o y. El an´lisis de esta funciń a o conduce a la determinaciń de la estabilidad del sistema en lazo cerrado.29) tienen parte real negativa. aquellos valores de s que satisfacen la ecuaciń caracter´ o ıstica (6. o funciń de transferencia en lazo o abierto. Wl−a (s) = G (s) H (s) se llama funciń de n transferencia de lazo abierto. esto es. H (s) puede o ser la funciń de transferencia de un transductor.28) donde K (s). la variable directamente controlada. Cuando se cierra el lazo.1 Introducciń o Una planta inestable puede formar parte de un sistema de control estable. para an´lisis a de estabilidad se considera como entrada X y como salida Y . de todas maneras. en lazo o cerrado. y D (s) son polinomios en s.6. Entonces.5 Introducciń 209 o 6.8b la funciń de transferencia. Y es la seãl directamente controlada.28): Wl−a (s) = K (s) Y (s) = E (s) D (s) (6. ıces Wl−a (s) es estable si las ra´ de D (s).30) . Una planta es estable si la parte real de cada polo de la funciń de transferencia es o negativa.8b se muestra la funciń Wl−a (s). a) b) Figura 6. n o En la Fig 6. o una realimentaciń especial que o o trata de disminuir el error o mejorar la estabilidad. tiene que ser estable para poder ser utilizado. Wl−c (s) es: Wl−c (s) = Wl−a (s) Y (s) = X (s) 1 + Wl−a (s) (6. definida por (6.29): D (s) = 0 (6. .2 Criterio de Routh y Hurwitz Sea la ecuaciń caracter´ o ıstica de un sistema: A (s) = an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 = 0 Se construye la siguiente tabla: sn s sn−2 sn−3 sn−4 .5. o que las ra´ de: ıces A (s) = 0 (6. 6. . . ¯ . ··· ··· ··· ··· ··· b1 = − an−1 b2 = − an−3 b3 an−5 b5 b1 ¸ ¸ c1 = − · · b1 b2 b2 b3 b4 b5 b6 b2 ¸ ¸ b3 = − an−1 b4 = − an−1 b1 c3 = − b1 b2 .31) A (s) = K (s) + D (s) (6.33) tengan parte real negativa. . . an−2 an−3 b3 b4 c3 . . . no es necesario conocer las ra´ ıces. .32) Para estabilidad es necesario entonces que los polos de Wl−c (s) estń en el plano e complejo izquierdo. . Las ra´ ıces se pueden calcular anal´ ıticamente para ecuaciones hasta de tercer grado. Lyapunov.210 CRITERIOS DE ESTABILIDAD o ´: B (s) K (s) = K (s) + D (s) A (s) donde el polinomio caracter´ ıstico de Wl−c (s) es: Wl−c (s) = (6. . . ya que solo se necesita saber el signo de sus partes reales. para ecuaciones linealizadas de plantas no lineales. . ¯ . an−4 an−5 b5 b6 c5 .1 Criterio de Routh y Hurwitz donde: · · an an−1 an an−1 an−2 an−3 an−4 an−5 ¸ ¸ · · an−1 b1 b1 ¯ ¯ an ¯ ¯ an−1 ¯ ¯ b1 ¯ ¯ b2 ¯ ¯ c1 ¯ ¯ . . Existen varios tipos de criterios: algebraicos y frecuenciales. No hay m´todo anal´ e ıtico para mayor grado. solo m´todos iterativos. s0 n−1 (6. . . o m´todos de e e ensayo y error. .34) Tabla 6. ¯ . . Las reglas para conocer la ubicaciń de las ra´ respecto al eje imaginario se llaman o ıces criterios de estabilidad. Sin embargo.M. en o e 1892. Esta condiciń fu´ extendida por A. ¯ . . an−6 an−7 b7 b8 c7 . el sistema es inestable. c1 · · · > 0 En caso de inestabilidad. Con: A (s) = s5 + s4 + 4s3 + 4s2 + 2s + 1 = 0 la tabla es: s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 1 ² 4²−1 ² −²2 +4²−1 4²−1 ² ² 1 4 4 1 =1 0 0 2 1 0 0 0 0 .10 100 = −34. an−1 . u Ejemplo 6.67 − 21 44¸ · 1 62 6 52 6 62 52 = 53.5 Criterio de Routh y Hurwitz 211 El criterio es el siguiente: Para que el sistema sea estable es necesario que todas las constantes de la primera columna sean positivas. lo cual indica dos polos en el plano complejo derecho.6 48 ¸ · 20. b2 .6.10 48 100 48 8.3 . Hay dos cambios de signo. Esto es: an . Con: A (s) = s6 + 6s5 + 21s4 + 44s3 + 62s2 + 52s + 100 = 0 la tabla de Routh y Hurwitz es: s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 − − 1 6¸ · 1 21 6 44 6 = 13. + − +. b1 .2 . Ejemplo 6. el n´mero de ra´ en el plano complejo derecho es igual al u ıces n´mero de cambios de signo.33 100 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 20.6 8.8 0 0 100 Como el primer elemento de la fila s1 es negativo. 212 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Cuando ² → 0+ el primer ¡elemento de la cuarta fila (s2 ) es negativo (−). dos ra´ en el plano complejo derecho. en lo que respecta al par de polos ±j4. Los coeficientes de F (s) reemplazan los ceros. estas ıces ıces ra´ ıces se obtienen de la ecuaciń F (s) = 10s2 + 160 = 0. Para el polinomio caracter´ ıstico: A (s) = a4 s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0 la tabla es: s4 s3 s2 s1 s0 a4 a3 a2 a1 a0 0 0 a0 0 0 0 0 a2 a3 −a1 a4 = a3 a1 x−a3 a0 x a0 x . Para la ecuaciń caracter´ o ıstica: A (s) = s3 + 10s2 + 16s + 160 = 0 la tabla es: s3 s2 s1 s 0 1 10 0 20 160 16 160 0 0 0 → F (s) = 10s2 + 160 = 0 ← F 0 (s) = 20s Cuando aparece una fila con ceros. complejas o reales. Ceros en una fila indican: 1) Pares de ra´ ıces. La respuesta ser´ oscilaa toria de amplitud constante. Determinar la estabilidad de un sistema con ecuaciń caracter´ o ıstica: A (s) = s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + 4 = 0 Ejemplo 6. En el caso de este ejemplo. El primer ¢ ıces elemento de la quinta fila s1 es 1.2 = ±j 10 Esto significa que el sistema est´ en el l´ a ımite de estabilidad. 2) Pares de ra´ imaginarias en el eje imaginario. Ejemplo 6. de signo opuesto. se deriva la ecuaciń correspondiente o 0 a la fila inmediatamente superior. Hay dos cambios de signo. Ejercicio. De donde el par de ra´ o correspondiente es: r 160 = ±j4 s1. como la de s1 .4 .5 . si la ecuaciń caracter´ o ıstica de un sistema es: A (s) = an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 = 0 donde todos los coeficientes son n´meros reales.9 Sistema del ejercicio Para el sistema mostrado en la Fig 6. es negativo. a1 y a4 > 0. ai < 0.9. En Resumen: a4 . a2 . a3 > 0. a0 > 0 (x > 0) a2 a3 > a1 a4 a1 x > a3 a0 N´tese que siendo a3 . demuestre que para estabilidad en lazo cerrado: ¶ µ 1 1 1 + + (T1 + T2 + T3 ) − 1 K< T3 T2 T1 En resumen. a1 . a0 > 0 y adem´s: a x > 0 ´ a2 a3 > a1 a4 o y a1 x > a3 a0 En general. a3 . el sistema es inestable y no es necesario hacer la prueba de Routh y Hurwitz. de la ecuaciń caracter´ o ıstica A (s) = 0. de a2 a3 > a1 a4 . si alguno de los coeficientes ai .5 Criterio de Routh y Hurwitz 213 Para estabilidad: a4 > 0. a2 > 0 porque a3 . El criterio se usa solo si los ai > 0. Debe tenerse en cuenta que ai > 0 no indica estabilidad. para que en esta ecuaciń no existan u o ra´ con la parte real positiva es necesario pero no suficiente que: ıces . Figura 6.6. Ejercicio. a0 y x mayores que cero. a1 > 0. o Si a1 > 0. · · ·. se debe aplicar el criterio de Nyguist o el m´todo e del lugar de las ra´ ıces. 2. 2) Ninguno de los coeficientes sea nulo. esto es positivamente. a en otras palabras. o sea. ıces Con s = jω : A (jω) = an (jω − p1 ) (jω − p2 ) · · · (jω − pn−1 ) (jω − pn ) (6. Otra limitaciń del criterio de Routh-Hurwitz es que solo facilita informaciń sobre o o la estabilidad absoluta del sistema. cuń cerca del eje imaginario del plano s estń situadas las ra´ a a ıces. entonces.1 Criterios frecuenciales de estabilidad El principio del argumento o del angulo ´ Si A (s) = an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 . como ocurre en el caso de un sistema con retardo. 6. Por otra parte. si el sistema es inestable. la prueba de Routh no nos proporciona indicaciń alguna sobre como podemos establilizarlo. Para estudiar la estabilidad o relativa de un sistema de control. ıa Si ω var´ entre −∞ y +∞.36) (6. pues interesa adem´s saber el grado de estabilidad.6 6.10. El que un sistema resulte estable por la prueba de Routh no es suficiente.10 Principio del angulo o del argumento ´ donde (jω − pi ) es el vector trazado desde pi al punto jω sobre el eje imaginario como se muestra en la Fig 6. Para sistemas reales los polos complejos siempre son pares conjugados y todos los coeficientes de la ecuaciń caracter´ o ıstica son n´meros reales. por factorizaciń: o A (s) = an (s − p1 ) (s − p2 ) · · · (s − pn−1 ) (s − pn ) donde pi (i = 1.214 CRITERIOS DE ESTABILIDAD 1) Todos los coeficientes del polinomio tengan el mismo signo. Si la ecuaciń contiene u o funciones exponenciales de s.6. el criterio de Routh-Hurwitz no puede aplicarse. y el cambio del angulo es: ´ .35) Figura 6. el angulo o arg (jω − p1 ) var´ entre − π y + π en sentido ıa ´ 2 2 antihorario. n) son las ra´ de A (s) = 0. l = n − m. si no hay polos en el plano derecho. entonces m = 0 y: ∆ arg A (jω)= nπ −∞→ω→∞ (6.6.6 El criterio de Mikhailov 215 ∆ arg (jω − p1 )= −∞→ω→∞ π ³ π´ − − =π 2 2 Pero el angulo o arg (jω − p3 ) var´ entre − π y + π pero en sentido horario.37) donde: l. entonces: ı.2 El criterio de Mikhailov Figura 6. por cada polo complejo p2 existe su conjugado p∗ . entonces: ∆ arg A (jω)= (n − 2m) π −∞→ω→∞ (6. es el n´mero de polos en el plano complejo izquierdo. o reales.38) Por lo tanto. u m. u Ya que n = l + m. o sea ´ ıa 2 2 negativamente.11 Criterio de Mikhailov Para sistemas realizables. es el n´mero de polos en el plano complejo derecho.6. 2 As´ si ω var´ entre 0 e ∞ (0 → ω → ∞). ıa . esto es: h π ³ π í − − ∆ arg (jω − p3 )= − = −π 2 2 −∞→ω→∞ Por eso: ∆ arg A (jω)= lπ − mπ = (l − m) π −∞→ω→∞ (6.39) 6. entre a0 y 2 es π + β. Por ejemplo.11. Como: ∆ arg A (jω)= (n − 2m) 0→ω→∞ π =0 2 con n = 4. 2 2 2 porque el giro entre 2 y 3 es (−β).6 . 2 La Fig 6. Hay dos polos en el semiplano complejo derecho. 2 a)Sistemas estables b)Sistemas inestables Figura 6.216 CRITERIOS DE ESTABILIDAD ∆ arg A (jω) = ∆ arg (jω − p1 ) + ∆ arg (jω − p2 ) + ∆ arg (jω − p∗ ) 2 0→ω→∞ ´ hπ i hπ i ³π´ ³π −0 + − (−α) + − (α) = 3 ∆ arg A (jω) = 2 2 2 2 0→ω→∞ segń la Fig 6. grado de A (s) .12b corresponde a sistemas inestables.38) y (6.40) La ecuaciń (6. n cuadrantes positivamente.40) constituye el criterio de Mikhailov: o Un sistema es estable si al variar ω entre 0 e ∞. alrededor del origen es π . el giro entre a0 y 1. u As´ las ecuaciones (6.12a muestra varios casos estables. entre a0 y 4 es 0 porque el giro entre 3 y 4 es − π . ∆ arg A (jω)= 0→ω→∞ ½ nπ 2 (n − 2m) π 2 si el sistema es estable si el sistema es inestable (6. N´tese. 2 Finalmente. para n = 4.12 Gr´ficos de A(jω) para el criterio de Mikhailov a La Fig 6. ⇒ m = 2. por ejemplo. esto es.39) pueden ser escritas: ı. el angulo o argumento de A (jω) ´ cambia n π . Ejemplo 6. entre a0 y 3 es π . dando un giro neto de cero. . el giro entre 4 y 5 (para ω → ∞) es (−γ) + (γ). Con n. que la curva para o n = 3 gira 3 π radianes alrededor del origen. sea estable.25ω 2 + j 2.1s) + K y el polinomio caracter´ ıstico es: A (s) = (1 + 2s) (1 + 0. para que el sistema Wl−c (s) sea estable.13: Wl−a (s) = K (1 + T1 s) (1 + T2 s) (1 + T3 s) con T1 = 2 seg.6 El criterio de Mikhailov 217 Figura 6.1s3 + 1.6s + (1 + K) ¤ £ ¤ £ = (1 + K) − 1.1 seg.13 Sistema del ejemplo 6.1ω 3 Como n = 3. como se muestra en la fig 6.5 seg y T3 = 0. la curva de A (jω) debe girar alrededor del origen 3 π radianes. As´ ı: Wl−c (s) = K Wl−a (s) = 1 + Wl−a (s) (1 + 2s) (1 + 0.6.6 Para la Fig 6. T2 = 0.25s2 + 2. la funciń de transferencia en lazo cerrado.1s) + K = 0.14: 2 Figura 6.5s) (1 + 0.5s) (1 + 0.14 Gr´fico de A(jω) estable a Para ω = 0: A (jω)|ω=0 = 1 + K Las frecuencias para las cuales A (jω) corta el eje imaginario se obtienen haciendo la parte real cero: .6ω − 0. determine el valor m´ximo que puede a o tener K para que Wl−c (s). Con el mismo sistema del Ejemplo 6.25 Como ω π debe ser real. Las frecuencias para las cuales A (jω) corta el eje real se obtienen haciendo la parte imaginaria cero: Im A (jω)|ω=ω0 .1ω 2 > 0 Im A jω π 2 2 2 K π > 0 → ω2 = 2 es decir π 2.ω 0 π ½ ω0 = 0 √ ωπ = 26 Obs´rvese que en el criterio de Mikhailov se descartan las frecuencias negativas. el punto A debe estar a la izquierda del origen.25ω 2 ¯ω=ω π 2 r 1+K = 1.6.5 Adem´s n´tese que. graficar las curvas de Mikhailov para a) K = 40 y b) K = −5.ωπ lo que da: ¤¯ £ = 0 = ω 2.25ωπ < 0 de donde: K < 31.3 El criterio de Nyquist Figura 6. para asegurar el cruce.1ω 2 ¯ω=ω . En resumen. Para e estabilidad. Ejercicio.6. Es decir: 2 2 U (ωπ ) = Re A (jωπ ) = (1 + K) − 1.6 − 0. esto es: 2 K > −1.6 − 0.6 − 0. u 6.5. para estabilidad: a o ³ ´ ¢ ¡ π = ω π 2. es necesario que 1 + K > 0. para que el giro neto sea 3 π radianes. Para cada caso calcular el n´mero de polos inestables.5.15 Sistema b´sico para el criterio de Nyquist a . este sistema es estable si −1 < K < 31.218 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Re A (jω)|ω=ω π 2 lo que da: ω π 2 ¯ = 0 = (1 + K) − 1. el mismo resultado anterior.25 < 31.1ω 2 2 1+K < 26 1. 43): o D (s) + K (s) = 1 + Wl−a (s) (6.46) y: ∆ arg F (jω)=∆ arg [1 + Wl−a (jω)]= ∆ arg 0→ω→∞ 0→ω→∞ 0→ω→∞ D (jω) + K (jω) D (jω) de donde: ∆ arg F (jω)= ∆ arg [D (jω) + K (jω)] − ∆ arg D (jω)= n 0→ω→∞ 0→ω→∞ 0→ω→∞ π π −n =0 2 2 (6. con la definiciń dada por (6. se tiene: Wl−c (s) = Wl−a = 1 + Wl−a (6.44) π 2 si Wl−a es estable (6. Resumiendo: F (s) = si n ≥ r grado de D (s) = n grado de K (s) = r entonces grado de [D (s) + K (s)] = n Caso 1: Wl−a estable.6. Si el grado de D (s) es n y el de K (s) es r.15. dado 0→ω→∞ 0→ω→∞ que Wl−a (s) sea estable.6 El criterio de Nyquist 219 En la Fig 6.41) donde K (s) y D (s) son polinomios en s.47) Asi: Un sistema en lazo cerrado es estable si la variaciń del ńgulo de o a F (jω) = 1 + Wl−a (jω) es cero cuando ω cambia entre cero e infinito. Entonces por el criterio de Mikhailov: ∆ arg D (jω)= n 0→ω→∞ (6. el origen.42) Se define la funciń F (s) con (6.43) D (s) F´ ısicamente es dif´ encontrar funciones de transferencia en las cuales el grado de ıcil K (s) sea mayor que el de D (s). Dicho de otra manera. .28): o Wl−a = K (s) D (s) Wl−a D(s)+K(s) D(s) (6.45) Para que el sistema sea estable en lazo cerrado: ∆ arg [D (jω) + K (jω)]= n 0→ω→∞ π 2 si Wl−c es estable · ¸ (6. si F (jω) =1 + Wl−a (jω) no enlaza el punto 0 + j0. esto implica que el grado de [D (s) + K (s)] es n. un sistema en lazo cerrado es estable. ı. e con ω variando desde 0 a ∞. no enlaza el punto −1 + j0. y as´ II es inestable. De esta manera. con 0 → ω → ∞. En la Fig 6. se puede reformular: o 0→ω→∞ Un sistema es estable en lazo cerrado. el criterio de Nyquist aplicado a la ı funciń Wl−a (jω). dado que Wl−a (s) sea estable. s´ lo hace. se ve en la Fig 6.7 . regresa a cero. llamada curva de Nyquist. para diferentes valores de K. El cambio en ńgulo neto resulta ser cero y por lo tanto es a estable. a a Wl−c (s) ser´ estable si la gr´fica de Wl−a (jω). va hasta un m´ximo ´ a a positivo y regresa a cero. el angulo de 1 + Wl−a (jω) tiene un cambio neto ´ de −2π radianes 6= 0. no enlaza el punto −1 + j0. no enlaza el punto −1 + j0.16b se ha graficado Wl−a (jω). si el lugar geom´trico de Wl−a (jω). Ejemplo 6.17: a .16a. N´tese que la curva I. si Wl−a (s) es estable. estable. con 0 → ω → ∞.16a se muestra el gr´fico 1 + Wl−a (jω) de dos sistemas. a En la Fig 6. Sea: K (1 + T1 s) (1 + T2 s) (1 + T3 s) Wl−a (s) = cuyo gr´fico Wl−a (jω). que es el mismo gr´fico de F (jω) = 1 + Wl−a (jω) pero desplazado una unidad hacia la izquierda ya que Wl−a (jω) = F (jω) − 1.220 CRITERIOS DE ESTABILIDAD a) Criterio aplicado a 1 + Wl−a (jω) b) Criterio aplicado a Wl−a (jω) Figura 6. curva II. inestable.16 Criterio de Nyquist En la Fig 6. mientras que o la curva II. En otras palabras. En la curva I a el angulo va desde cero a un m´ximo negativo. cuando Im Wl−a (jω) = 0. y T3 positivos.6. Como: Wl−a (jω) = = K (1 + jωT1 ) (1 + jωT2 ) (1 + jωT3 ) K 1 − (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3 ) ω 2 + jω(T1 + T2 + T3 − T1 T2 T3 ω2 ) en ω = ωπ la parte imaginaria es cero. α (ω) = − tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 − tan−1 ωT3 As´ α (0) = 0 y α (∞) = − 3π mientras que |Wl−a (jω)| decrece cuando 0 → ω → ∞. para el cual el sistema en lazo cerrado empieza a ser inestable. KLIM . As´ para que el sistema en lazo cerrado sea estable es necesario que: Wl−a (jωπ ) > −1 Siendo ωπ la frecuencia de cruce por 180◦ .7 Existe un valor l´ ımite de K. Wl−a (jω) puede ser escrito: Wl−a (jω) = |Wl−a (jω)| α (ω) donde: |Wl−a (jω)| = K q q q 1 + (ωT1 )2 1 + (ωT2 )2 1 + (ωT3 )2 y. T2 . por lo tanto: 2 T1 + T2 + T3 − T1 T2 T3 ωπ de donde: ωπ = 0 r T1 + T2 + T3 = T1 T2 T3 .17 Diagrama de Nyquist de Wl−a (s) del ejemplo 6.6 El criterio de Nyquist 221 Figura 6. ı 2 ı Con T1 . Wl−a es estable. 48) se puede o tambiń escribir: e −Wl−a (jωπ ) < 1 Esto es: K +T (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3 ) (T1T1 T2 +T3 ) − 1 2 T3 <1 lo que finalmente da: K< µ 1 1 1 + + T1 T2 T3 ¶ (T1 + T2 + T3 ) − 1 = KLIM para que el sistema sea estable.48) ı. y (n − m) ra´ ıces en el plano izquierdo.222 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Entonces: Wl−a (jωπ ) = K +T 1 − (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3 ) (T1T1 T2 +T3 ) 2 T3 > −1 (6. Por el criterio de Mikhailov: π con Wl−a (s) inestable ∆ arg D (jω)= (n − 2m) 2 0→ω→∞ Para que el sistema en lazo cerrado sea estable. As´ la condiciń (6. N´tese tambiń que: o e µ 1 1 1 + + T1 T2 T3 ¶ µ ¶ T2 + T3 1+ T1 µ ¶ µ ¶ T1 + T3 T1 + T2 + 1+ + 1+ >1 T2 T3 (T1 + T2 + T3 ) = Caso 2: Wl−a (s) inestable. En este caso: Wl−a (s) = K(s) tiene m polos en el plano derecho. con: Wl−c (s) = ser´ necesario que: a ∆ arg [D (jω) + K (jω)]= n 0→ω→∞ Wl−a (s) Wl−a (s) Wl−a (s) = D(s)+K(s) = 1 + Wl−a (s) F (s) D(s) π 2 con Wl−c (s) estable o ´: ∆ arg F (jω)=∆ arg [D (jω) + K (jω)] − ∆ arg D (jω)= n 0→ω→∞ 0→ω→∞ 0→ω→∞ π π − (n − 2m) 2 2 . esto es: D (s) tiene D(s) m ra´ ıces en el plano derecho. o N´tese que Wl−a (jωπ ) < 0 o (−Wl−a (jωπ )) > 0. o ganancia de lazo. 2 Ejemplo 6. es estable en lazo cerrado. con Wl−a (s) inestable. Supńgase que se tiene la funciń de transferencia de un sistema inestable en lazo o o abierto: .9 .18 el sistema en lazo cerrado Wl−c (s) es estable porque el vector F (jω) gira m (2π) = 2π radianes alrededor del punto −1 + j0. para que Wl−c (s) sea estable Wl−a (jω) debe enlazar el punto −1 + j0. situados en el plano derecho. Figura 6. Wl−c (s). m veces. esto es. m = 2. donde m es el n´mero de polos de la funciń de u o transferencia en lazo abierto. si el diagrama de Nyquist con 0 → ω → ∞ de Wl−a (jω) enlaza m veces el 2 punto −1 + j0.6 El criterio de Nyquist 223 o sea: m (2π) 2 ½ Wl−a (s) inestable Wl−c (s) estable ∆ arg F (jω)=∆ arg [1 + Wl−a (jω)]= 0→ω→∞ 0→ω→∞ con (6.18 Diagrama de Nyquist estable para Wl−a (s) inestable con m = 2 Si por ejemplo Wl−a (s) tiene dos polos. En otras palabras: Si Wl−a (s) es inestable con m polos en el plano derecho.8 .49) Consecuentemente: Un sistema.6. 2 Ejemplo 6. Wl−a (s). en el plano derecho y Wl−a (jω) es como se muestra en la Fig 6. 224 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Wl−a (s) = K (T1 s − 1) (1 + T2 s) Se puede aplicar Routh y Hurwitz al denominador de Wl−a (s) para determinar cuantas ra´ hay en el plano complejo derecho. Es decir. Es decir. 1 2 K (jωT1 − 1) (1 + jωT2 ) vez para ser estable. En este caso ıces 1 1 a no es necesario ya que los polos de Wl−a (s) estń ubicados en s1 = T1 y s2 = − T2 . y el lugar geom´trico de Nyquist o gr´fica de la funciń: e a o Wl−a (jω) = debe enlazar el punto −1 + j0. Entonces m = 1. −1 + j0 debe ser +π radianes.19 Caso K > 1 y T1 < T2 N´tese que: o Wl−a (j0) = −K < −1 con K > 1 Adem´s: a ωT1 − tan−1 ωT2 arg Wl−a (jω) = − tan−1 −1 ¢ ¡ = − π − tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 arg Wl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 < −π porque con T1 < T2 : Para ω → ∞ : (tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 ) < 0 Esto es: . para determinar m. el giro alrededor de Figura 6. Consid´rese varios casos: e a) K > 1 y T1 < T2 . a Con T1 y T2 mayores que cero s1 est´ ubicado en el plano complejo derecho. alrededor de −1 + j0.20 Caso K < 1 y T1 > T2 N´tese que: o Wl−a (j0) = −K > −1 con K < 1 Adem´s: a arg Wl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 > −π porque con T1 > T2 : Para ω → ∞ : (tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 ) > 0 Wl−a (jω) → 0 arg Wl−a (jω) = −π ω→∞ El giro neto de F (jω) es cero alrededor de −1 + j0. As´ el caso K < 1. T1 > T2 es ı. el caso K > 1 y T1 < T2 es inestable en lazo cerrado. c) K > 1 y T1 > T2 . b) K < 1 y T1 > T2 . Figura 6. . lo que indica inestabilidad. Entonces ı.6. inestable.6 El criterio de Nyquist 225 Wl−a (jω) → 0 w→∞ arg Wl−a (jω) ω→∞ = −π + π π − = −π 2 2 As´ F (jω) gira −π rad. Figura 6.21 Caso K > 1 y T1 > T2 N´tese que: o Wl−a (j0) = −K < 1 con K > 1 Adem´s: a arg Wl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 > −π porque con T1 > T2 : Para ω → ∞ : Wl−a (jω) → 0 arg Wl−a (jω) = −π ω→∞ (tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 ) > 0 As´ F (jω) gira +π radianes alrededor de −1 + j0.22 Posibles casos del Nyquist del ejemplo 6.226 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Figura 6. Entonces. el caso K > 1 y T1 > T2 ı es estable en lazo cerrado.10 . Ejemplo 6.10 . 50) con K > 1 Wl−a (j0) = −K < −1 Adem´s: a con: ½ tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 − tan−1 ωT3 > 0 para 0 < ω < ωπ arg Wl−a (jω) = −π + tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 − tan−1 ωT3 > −π Para ω → ∞ : |Wl−a (jω)| → 0 y arg Wl−a (jω) ω→∞ = −π + 3π π π π − − =− 2 2 2 2 Entonces Wl−a (jω) cruza 180◦ para terminar en − 3π en ω = ∞.6. esto es: 2 T1 − T2 − T3 − ωπ T1 T2 T3 de donde ωπ As´ ı: = 0 r T1 − T2 − T3 = T1 T2 T3 −Wl−a (jωπ ) = = K 2 1 + ωπ (T1 T2 + T1 T3 − T2 T3 ) K 1+ (T1 −T2 −T3 ) T1 T2 T3 (T1 T2 + T1 T3 − T2 T3 ) <1 . entonces F (jω) debe girar m (2π) = +π radianes alrededor de −1 + j0 2 para que el sistema en lazo cerrado.50): Wl−a (s) = K (T1 s − 1) (1 + T2 s) (1 + T3 s) (6. 2 Como m = 1. mientras que la I. Por lo tanto: Wl−a (jωπ ) > −1 ´ o Como: Wl−a (jω) = − [1 + ω 2 (T1 T2 K + T1 T3 − T2 T3 )] + jω [T1 − T2 − T3 − ω2 T1 T2 T3 ] − Wl−a (jωπ ) < 1 ωπ se obtiene haciendo la parte imaginaria cero. Wl−c (s). La curva II de la Fig 6.6 El criterio de Nyquist 227 Para el sistema (6. ı. +π. sea estable. As´ I es estable y Wl−a (jωπ ) debe estar a la derecha de −1 + j0.22 gira −π. 52) N´tese que de (6. u ıces en el plano complejo derecho ni sobre el eje Supńgase que D1 (s) no tiene ra´ o imaginario. Consid´rese el caso ν = 1. como se muestra en la Fig 6. a ńgulo de −π/2.52) Wl−a (jω)→ ∞.23a. (6. un solo integrador. a) Figura 6. y si ω → ∞. se tendr´ una funciń de transferencia. si se desplaza el polo ubicado en el origen una pequeã cantidad β hasta la n ıa o posiciń p0 . de la forma: Wl−a (jω) = En (6. µ 1 1 1 − + T3 T2 T1 ¶ En este caso la funciń de transferencia en lazo abierto es: o Wl−a (s) = K (s) sν D1 (s) (6.51) donde ν es el n´mero de integradores.51) puede ser escrita: e Wl−a (jω) = k + k1 (jω) + · · · + kr (jω)r K (jω) ´ ³ 0 = jωD1 (jω) jω d0 + d1 (jω) + · · · + dn−1 (jω)n−1 ω→0 (6. como se muestra en la Fig 6. o con s = jω. As´ para ω → 0. se tiene: ω→0 K (jω) (jω − p0 ) D1 (jω) k0 =R βd0 (6.54) .23 Caso de un solo integrador b) Ahora.23b. cuando ω → 0. Wl−a (jω) → 0. Wl−c (s) es estable si: 1 < K < 1 + (T1 − T2 − T3 ) Caso 3: Sistemas Integradores.53) Wl−a (jω)= (6. con un o ı.228 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Entonces.53). Wl−a (jω) → ∞. Si se tienen dos polos en el origen. Figura 6. As´ para que el diagrama de Nyquist quede completo. a) Un sistema de control con integradores. donde m es el n´mero de polos de Wl−a (s) en 2 el plano complejo derecho. lo cual corresponde a un giro de −π radianes. Por eso. m veces. tal como se muestra en la Fig 6. si el diagrama de Nyquist de Wl−a (jω). debe cerrarse con un arco de ı. porque el punto −1 + j0 no es encerrado por el diagrama de Nyquist. Este arco se denomina complemento en infinito. encierra el punto u −1 + j0. b) Un sistema de control con integradores. si el a diagrama de Nyquist de Wl−a (jω) con su complemento en infinito no encierra el punto −1 + j0. R → ∞.23a. radio infinito que gira −π/2. El II. O sea.11 . contribuye con −π/2 al angulo de (jω−p0 )D1 (jω) . en Wl−a (jω). correspondiente a la l´ ınea punteada. ´ d0 K(jω) ´ O sea el fasor jω − p0 . es estable en lazo cerrado. sobre el eje imaginario. Sea el sistema: Wl−a (jω) = entonces: K s (1 + T1 s) (1 + T2 s) . se consider´ que el polo en el origen est´ desplazado una distancia a o a infinitesimal β a la izquierda. es estable en lazo cerrado. Fig 6. en el an´lisis. ν = 2. inestable en lazo abierto.6 El criterio de Nyquist 229 y cuando β → 0.6. con angulo de 0 radianes. as´ las siguientes reglas: ı. As´ se puede aplicar al caso Wl−a (s) estable. cada uno contribuye con −π/2. que el complemento en infinito son 2/4 de c´ ırculo.24. es inestable porque −1 + j0 es encerrado por el lugar geom´trico. si k0 > 0. polos de Wl−a (s) estń en el plano complejo izquierdo.24 Ejemplo 6. con su complemento en infinito.23a: El sistema I es estable. o −π radianes. media circunferencia. m´s bien marginalmente estable. estable en lazo abierto. entonces se est´ partiendo de la base de que todos los a a ı. en la Fig 6. c) Si Wl−a (s) tiene polos. N´tese que al recorrer el eje o imaginario hay que rodear el polo por la derecha dando un giro adicional de +π radianes. el complemento en infinito se hace con −π radianes. ´ Como. e Se pueden establecer. As´ la curva I de la Fig 6. Figura 6.11 Con T1 y T2 mayores que cero Wl−a (s) no tiene polos en el plano complejo derecho. Para estabilidad. con su complemento en infinito.55) |Wl−a (jω)| = arg Wl−a (jω) = −90◦ − tan−1 ωT1 − tan−1 ωT2 Para ω = 0: |Wl−a (j0)| = ∞ arg Wl−a (j0) = −π/2 Para ω = ∞: |Wl−a (j∞)| = 0 arg Wl−a (j∞) = −3π/2 K q q ω 1 + (ωT1 )2 1 + (ωT2 )2 con K > 0 El diagrama de Nyquist correspondiente. .230 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Wl−a (jω) = = As´ ı: K s (1 + jωT1 ) (1 + jωT2 ) K −ω 2 (T1 + T2 ) + jω (1 − ω 2 T1 T2 ) (6. m = 0. ı El cruce con el eje de 180◦ debe estar a la derecha de este punto. se muestra en la Fig 6.25 es estable.25.25 Diagrama de Nyquist del ejemplo 6. el diagrama de Nyquist no debe enlazar el punto −1 + j0. 1 y T2 = 0. ωπ es: ı 1 ω = ωπ = √ T1 T2 y: Wl−a (jωπ ) = − Para estabilidad: Wl−a (ωπ ) > 1 ´ − Wl−a (ωπ ) < 1 o lo que da: KT1 T2 <1 T1 + T2 o ´ K< µ 1 1 + T1 T2 ¶ 2 ωπ 0 √ 1 T1 T2 KT1 T2 K =− (T1 + T2 ) T1 + T2 con T1 = 0.6 El criterio de Nyquist 231 Los cortes con el eje real se pueden obtener haciendo la parte imaginaria de Wl−a (jω) cero en (6.6. esto es: ¢ ¡ ω 1 − ω 2 T1 T2 = 0 ½ lo que da ω = As´ la frecuencia de cruce por π radianes. a) b) Figura 6.55).2 : 0 < K < 15.26 Polos sobre el eje imaginario Consid´rese: e . Ejemplo 6.12 . en general.27. si se consideran las transiciones sobre el eje real. complemento en infinito. a De los diagramas de la Fig 6. cuando ω .6. Luego el diagrama gira ´ −π radianes.232 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Wl−a (s) = con Wl−a (jω) = K (s2 + 1) (1 + T1 s) K 2 ) (1 + jωT ) (1 − ω 1 N´tese que cuando ω → 1. Wl−a → ∞.26b. Luego Wl−a (jω) gira −π radianes. Si K < 0 : ½ −π − tan−1 ωT1 para 0 ≤ ω < 1 arg Wl−a (jω) = para ω > 1 −2π − tan−1 ωT1 Cuando ω → 1. para el intervalo (−∞. como se muestra en la Fig 6. con un ńgulo − tan−1 1 × T1 .4 Regla de las transiciones Figura 6. o 6. complemento en infinito. ı. y el angulo ´ ser´ −2π − tan−1 ωT1 . Si K > 0. As´ el diagrama de la Fig 6. Asi K no puede ser positivo ni inferior a cero. entonces −1 < K < 0.27 Regla de las transiciones Con referencia a la Fig 6. Fig 6.26a: o ½ − tan−1 ωT1 para 0 ≤ ω < 1 arg Wl−a (jω) = para ω > 1 −π − tan−1 ωT1 a Entonces Wl−a → ∞. La condiciń de estabilidad es. termi´ a nando en − 3π en ω = ∞. −1). positivas del plano superior al inferior. Para este diagrama K > −1. Wl−a (jω) → ∞. Como m = 0 el diagrama de Nyquist no debe enlazar el 2 punto −1 + j0. I es estable porque no encierra el punto −1 + j0.26a es inestable.26b. con angulo −π − tan−1 1 × T1 . cuando ω → 1. y el angulo ser´ −π − tan−1 ωT1 . para la Fig 6. −1) est´ asociado con valores positivos de |Wl−a |dB . As´ el a ´ ı. o Ejercicio Por el m´todo de las transiciones determinar la estabilidad de Wl−c (s) para: e Wl−a (s) = con: K (1 + T1 s) s (T2 s − 1) T1 . Supńgase m = 2. 2 Adem´s. y + 1 transiciń si lo hace hacia abajo. el intervalo ınea −π en el diagrama (−∞. lo que verifica o 2 el resultado.28 Regla de las transiciones para el diagrama de Bode Ya que cuando |Wl−a (jω)| > 1. 5π. −1). tambiń cuando ω aumenta. |Wl−a (jω)|dB = 20 log |Wl−a (jω)| > 0.6 Estabilidad segń el diagrama de Bode 233 u aumenta. · · ·. La l´ a de Nyquist est´ asociada.27. el criterio de Nyquist aplicado al diagrama de Bode puede ser formulado: . es estable. debe tenerse en cuenta las transiciones del complemento en infinito si ´ste a e toca la regiń (−∞. T2 > 0 y K > 0 6. o Si el diagrama arranca a la izquierda de −1 + j0. con los angulos −π. en el u o plano complejo derecho. se considera − 1 transiciń si lo hace 2 o hacia arriba. De esta manera. luego el sistema en lazo cerrado Wl−c (s).5 Estabilidad segń el diagrama de Bode u a) Diagrama de Bode b) Curva de Nyquist correspondiente Figura 6. donde u 2 m es el n´mero de polos de la funciń de transferencia en lazo abierto Wl−a (s). el e sistema es estable si la suma algebraica del n´mero de transiciones es igual a m . en este caso particular. · · ·. intervalo (−∞. −3π. 2 N´tese que el giro neto alrededor de −1+j0 es 2π = m (2π) con m = 2. −3π.6. −1) corresponde a |Wl−a (jω)|dB > 0 y ϕ (ω) = arg Wl−a (jω) = −π. −5π. y negativas del plano inferior al superior. El n´mero de transiciones a la izquierda de o u −1 + j0 es 2 − 1 = 1 y m = 1. en el Bode.6. · · ·. en lazo cerrado. |Wl−a (jω)|dB > 0 ´ o u |Wl−a (jω)| > 1. donde m es el n´mero de polos 2 de Wl−a (s) en el plano complejo derecho. Negativas en el caso contrario.234 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Un sistema de control. cuando la curva de amplitud en decibelios |Wl−a (jω)|dB del sistema en lazo abierto es positiva. la curva de fase de Wl−a (jω). es igual a m . es estable si la suma algebraica del n´mero de transiciones positivas y negativas de u ıneas −π. −3π. ϕ (ω) con las l´ −5π. . Las transiciones son (+) positivas cuando ϕ (ω) aumenta positivamente. como se muestra en la Fig 7.1 Con: Especificaciones en el dominio frecuencial 1) Ancho de Banda: AB. como la frecuencia a la cual |M (jω)| vale el 70.1.7% del nivel a frecuencia cero o 3dB por debajo del nivel de frecuencia nula.CAPITULO 7 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 7. C (jω) Wl−a (jω) = = M (ω) ejφm (ω) (7. M (jω) = Figura 7.1 Ancho de banda 235 . AB.1) R (jω) 1 + Wl−a (jω) Se define el ancho de banda. a Posteriormente se ver´ que a valores altos de Mv corresponden amplios sobrepasos a en la respuesta temporal.2: 2 C (s) ωn = 2 2 R (s) s + 2ζωn s + ωn Con s = jω se tiene: C (jω) =³ R (jω) 1− 1 ´ = M (ω) ejϕ(ω) (7.236 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA N´tese que AB indica las caracter´ o ısticas de filtraje de ruido del sistema y da tambiń e una medida de las propiedades de la respuesta transitoria. 3) Frecuencia de resonancia: ωv . si AB es pequeã. solo pasarń las a n a seãles de baja frecuencia y.1 < Mv < 1. las se˜ ales n de alta frecuencia pasan a la salida. Por el contrario. la respuesta temporal ser´ lenta. es decir. para buenos resultados.2 Correlaciń entre respuestas transitoria y o frecuencial para un sistema de segundo orden Figura 7. Normalmente se admite que 1. Es la frecuencia para la cual se produce el pico de resonancia.5. 7.2 Sistema de segundo orden Para el sistema de la Fig 7.2) ω2 2 ωn ω + j2ζ ωn donde: . Es el valor m´ximo de |M (jω)|. por consiguiente. la respuesta transitoria tiene un tiempo de subida. o de levante. Es un indicativo de la estabilidad relativa del sistema. Si AB es grande. Estos conceptos se verń mas a adelante. r´pido. n a 2) Factor de pico o de resonancia: Mv . Otros factores importantes en la medida de la estabilidad relativa de un sistema de control son el margen de amplitud y el margen de fase. M (ω) es m´ximo si (7.3. Esto es.5) ωn ωn Derivando (7.707.5) es m´ a ınimo: µ ¶2 µ ¶2 ω2 ω D2 (ω) = 1 − 2 + 2ζ (7.6) 1 √ 2 = 0.707 Observe que ωv existe si 1 − 2ζ > 0. si: ζ < no hay resonancia y M (ω) < 1. Figura 7. .7) La Fig 7. como se muestra en la Fig 7.3 Respuesta frecuencial de un sistema de segundo orden Con (7.6) en (7.3): 1 1 = p Mv = q 2 2ζ 1 − ζ 2 (2ζ 2 ) + 4ζ 2 (1 − 2ζ 2 ) (7.4) El pico de resonancia es el valor m´ximo de M (ω).2 Correlaciń entre respuestas transitoria y frecuencial para un sistema de segundo orden 237 o M (ω) = r³ 1− −1 ω2 2 ωn ϕ (ω) = − tan Ã 1 ´2 2ζ ωn 1− ³ ´2 ω + 2ζ ωn ! ω ω2 2 ωn (7.7.4 muestra la correlaciń existente entre el pico de resonancia Mv y el m´ximo o a sobrepaso Mp .3) (7.5): ¯ dD2 (ω) ¯ ¯ dω ¯ω=ωv de donde: ωv = ωn 2 µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶¯ ω2 2ω ω 2ζ ¯ ¯ 2 1− 2 − 2 + 2 2ζ ωn ωn ωn ωn ¯ω=ωv µ ¶ 2 ωv = − 1 − 2 + 2ζ 2 = 0 ωn = p 1 − 2ζ 2 (7. Cuando ζ > 0. que se puede calcular minimizando a su denominador. esto es. mientras que la segunda es un proa blema de diseõ.5 muestra el concepto de estabilidad relativa de un sistema en lazo cerrado Wl−c (s) mediante los lugares de Nyquist de Wl−a (jω) para un sistema de tercer orden.3 Estabilidad relativa Evidentemente del diagrama de Nyquist se logra una buena idea de margen de estabilidad de un sistema. correspondiente a un lugar de Nyquist mas alejado de −1 + j0. por lo tanto la respuesta a un escalń unitario es una oscilaciń senoidal o o ıtico.5c pasa mas pr´ximo al punto cr´ por consiguiente. Es decir: 1) ¿ Si el sistema es estable. el lugar Wl−a (jω) de la Fig 7.5b. En la Fig 7. sostenida. Si Mv aumenta. e Recu´rdese que si ζ aumenta.5c y d no enlazan el punto cr´ o ıtico. 7. La Fig 7. s´ n ıntesis o proyecto. en qu´ grado lo es ? e 2) ¿ Y si no es suficientemente estable. tambiń lo hace Mp . o ıtico −1 + j0 y el sistema est´ entre la estabilidad y la a Wl−a (jω) pasa por el punto cr´ inestabilidad. Mp disminuye y el transitorio se suaviza. o es inestable.4 correlaciń entre Mv y Mp . suponiendo Wl−a (s) estable.238 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Figura 7. la respuesta del sistema a un escalń unitario ser´ mas oscilante y o a con un sobrepaso mas pronunciado que el mostrado en la Fig 7. con cuatro valores distintos de la ganancia K. . Los lugares Wl−a (jω) en las figuras 7. o a e Obs´rvese que Mp y Mv estń relacionados. El lugar Wl−a (jω) en la Fig 7.5a enlaza el punto −1 + j0 por lo cual Wl−a (s) es inestable y la respuesta a un escalń unitario crece con el tiempo. y Sin embargo.5d. Lo mismo se e puede decir del factor o pico de resonancia Mv . c´mo puede mejorarse la o condiciń de estabilidad del sistema ? o La primera pregunta es un problema de an´lisis. 5 Grados de estabilidad de un sistema Cuantitativamente. la distancia entre el lugar Wl−a (jω) y el punto −1 + j0 da una medida de la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado. Mas espec´ ıficamente.7. 7.4 Margen de amplitud y margen de fase 239 a) b) c) d) Figura 7.4 Margen de amplitud y margen de fase . el margen de amplitud y el marge de fase se utilizan generalmente para determinar el grado de estabilidad relativa de un sistema de control. 240 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA figura 7.1 Margen de amplitud Es una medida de la proximidad del punto de fase cr´ ıtica al punto cr´ ıtico. y por lo tanto |Wl−a (jωcp )| = 0 y entonces el margen de amplitud es infinito. como se muestra en la Fig 7.6 que si la ganancia en lazo abierto se aumenta hasta que e |Wl−a (jωcp )| = 1 el margen de amplitud vale 0 dB. para un sistema de segundo orden el lugar Wl−a (jω) no corta el eje real negativo. La interpretaciń f´ o ısica del margen de amplitud es la siguiente: El margen de amplitud es la ganancia en decibelios que se puede aãdir a la cadena n en lazo abierto antes de que el sistema alcance la inestabilidad.7. en decibelios. . Con ω = ωcp la frecuencia en el punto de fase cr´ α = |Wl−a (jωcp )| y el margen de amplitud en dB del sistema se define como: Margen de amplitud en dB = 20 log 1 1 = 20 log |Wl−a (jωcp )| α (7.4.6.8) Obs´rvese en la Fig 7. Si Wl−a (jω) pasa por el punto −1 + j0 el margen de amplitud vale 0 dB lo que implica que la ganancia de la cadena ya no puede aumentarse sin provocar la inestabilidad. punto B ıtica: en la Fig 7. Por otro lado.6 Margen de amplitud y margen de fase 7. Un margen de amplitud negativo corresponde a un sistema inestable siempre y cuando Wl−a (s) sea estable. el corte con el eje negativo |Wl−a (jωcp )| es cero y el margen de amplitud es infinito.8 Lugares de Nyquist de dos sistemas con igual margen de amplitud pero con distinta estabilidad relativa . un sistema con un amplio margen de amplitud debe ser m´s estable o a que otro con un margen de amplitud menor. infinito.7. 0→ω→∞ Figura 7. Wl−a (jω) debe enlazar m veces el punto 2 cr´ ıtico para que Wl−c (s) sea estable. el margen de amplitud es una de las varias formas esenciales empleadas para indicar la estabilidad relativa de un sistema. Ya que si Wl−a (s) es inestable. En la prćtica. el valor de la ganancia de o la cadena puede aumentarse hasta infinito antes de que se produzca la inestabilidad. |Wl−a (jωcp )| > 1 y el margen de Cuando el lugar Wl−a (jω) enlaza el punto cr´ amplitud en dB se hace negativo. Te´ricamente. te´ricamente.8 tienen el mismo margen de amplitud. el margen de amplitud por si solo no da indicaciń suficiente de la a o estabilidad relativa del sistema. los dos lugares Wl−a (jω) de la Fig 7. ıtico. es decir que. con m polos en el plano derecho. Sin embargo. Por ejemplo.7 Lugar de Nyquist de un sistema de segundo orden Para un sistema de segundo orden. En general.4 Margen de amplitud 241 Figura 7. esta afirmaciń no siempre o es cierta. 9 tienen tambiń el mismo margen de amplitud. pero el sistema correspondiente a la curva A representa ciertamente un sistema mas estable.8 y 7.10 Margen de fase .9 Lugares de Nyquist de dos sistemas con igual margen de amplitud pero con diferente grado de estabilidad relativa e Los dos lugares Wl−a (jω) de la Fig 7. 7. es posible que el lugar n u a B pase por el punto −1 + j0 o lo enlace. Para definir adecuadamente la estabilidad relativa de un sistema.4.9. el lugar A corresponde a un sistema mas estable que el lugar B ya que con cualquier pequeõ cambio en algń par´metro del sistema.242 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Sin embargo.2 Margen de fase Figura 7. se utiliza el margen de fase para diferenciar el grado de estabilidad de casos como los de las figuras 7. Figura 7. Se define como el ńgulo que debe girarse el lugar de Nyquist de Wl−a (jω) para que a ıtico −1 + j0.4. por ejemplo. 7. arg Wl−a (jωcg ) y el eje de −180◦ es el margen de fase para K = 1 .4 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode 243 El margen de fase mide la proximidad del punto de ganancia cr´ ıtica al punto cr´ ıtico. en un sistema de segundo orden la fase o tiende a −180◦ asint´ticamente cuando ω → ∞. = γ = α − 180◦ = arg Wl−a (jωcg ) − 180◦ = 180◦ + θ (7. Si la curva de fase no corta nunca el eje de −180◦ permaneciendo por encima. b) Suponga K = 5. 20 log K. el punto |Wl−a (jωcg )| = 1 del lugar pase por el punto cr´ La Fig 7. 3) Para obtener el margen de fase. Fig 7.7. Para cualquier otro valor de K.11. se determina en primer lugar el punto en que la curva |Wl−a (jω)| en dB corta al eje de 0 dB. Algunos valores recomendables de donde ωcg es la frecuencia de la ganancia cr´ diseõ son: M. Entonces: Margen de fase.= 60◦ .A.F. El margen de amplitud para K = 1 es el valor que toma la curva de amplitud |Wl−a (jω)| en dB. es decir.10 muestra que el margen de fase es el angulo que el radio vector unidad ´ forma con el eje real negativo en el plano Wl−a (jω). el margen de fase se obtiene desplazando el eje de 0 dB a −K en dB y siguiendo el procedimiento que se acaba de indicar.3 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode Con Wl−a (s) el procedimiento para obtener el margen de amplitud y el margen de fase a partir del lugar de Bode. . K El ńgulo entre la curva de fase en el punto de ganancia cr´ a ıtica. es el siguiente: 1) Construir el lugar de Bode de |Wl−a (jω)| K y de arg Wl−a (jω) en funciń de ω. Dado: Wl−a (s) = K (1 + s) (1 + 2s) (1 + 3s) ımites de K para que el a) Dibuje el lugar de Nyquist de Wl−a (jω) y determine los l´ sistema en lazo cerrado Wl−c (s) sea estable. c) Hallar el valor de K para que el margen de amplitud del sistema sea igual a 20 dB. Determine la frecuencia correspondiente al punto de fase cr´ ıtica ωcp y el margen de amplitud en dB y el margen de fase. en el punto K de fase cr´ ıtica.9) ıtica. se determina en primer lugar el punto en que arg Wl−a (jω) corta el eje de −180◦ . M. Fig 7. el sistema es siempre estable.11. Para cualquier otro valor de K el margen de ampitud es simplemente el margen de amplitud para K = 1 menos el valor de K en dB. el punto de ganancia cr´ ıtica. M. punto de fase cr´ ıtica. n Ejercicio. o 2) Para obtener el margen de amplitud.F. = 12dB. 1b.1b un polo sobre el eje real negativo. 1) La configuraciń de polos y ceros de una funciń de transferencia en lazo cerrado o o Wl−c (s) viene dada en la Fig P7. b) Se aãde un cero como indica la Fig P7.11 M´rgenes de fase y de amplitud en el diagrama de Bode a Ejercicios. pero n o a una distancia del origen 10 veces mayor que la del cero.1 b) a) Calcular la banda pasante del sistema. . a) Figura P7. ¿ C´mo queda modificada la AB ? n o c) Se aãde a la configuraciń de la Fig P7.244 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Figura 7.1a. AB. o ancho de banda. b) Determinar el factor de resonancia Mv y la frecuencia de resonancia ωv del sistema. a o ¿ Cu´les son los valores l´ a ımites correspondientes del coeficiente de amortiguamiento y del factor de resonancia Mv ? 3) La funciń de transferencia en lazo cerrado de un servosistema es: o Wl−c (s) = 1 C (s) = R (s) (1 + 0. 4) La funciń de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentaciń o o unitaria es: Wl−a (s) = K (1 + T s) s (1 + s) (1 + 0.1s) (1 + 0. 6) Use el criterio de estabilidad de Nyquist para determinar si los sistemas con las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto son estables: 10 (1 + s) (1 + 2s) (1 + 3s) 10 s (1 + s) (1 + 10s) 10 s2 (1 + 0. b) Determinar el valor de K para que el margen de amplitud del sistema sea de 20dB.2s) 2 2 (1 + 0. c) Determinar el valor de K para que el margen de fase del sistema sea de 60◦ .1s) (1 + s) a) Determinar el valor de K para que el factor de resonancia Mv del sistema sea igual a 1.4. c) Determinar el coeficiente de amortiguamiento ζ y la frecuencia propia no amortiguada ωn del sistema de segundo orden que produce el mismo Mv y la misma ωv que el sistema original.01s) Determinar el menor valor posible de T para que el sistema tenga un margen de amplitud infinito.05s + 0.1s) (1 + 10s) s a) b) c) d) Wl−a (s) = Wl−a (s) = Wl−a (s) = Wl−a (s) = .4 Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de Bode 245 ¿ C´mo queda afectado el AB? o 2) La especificaciń dada para un servosistema de segundo orden es que el sobrepaso o m´ximo de la respuesta a un escalń unitario no exceda del 25%.01s2 ) a) Trazar la curva de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado.01s) (1 + 0.7. 5) La funciń de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentaciń o o unitaria es: Wl−a (s) = K s (1 + 0. 1s) 16 s (2 + s) .246 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 7) Figura P7.2 Determine la estabilidad de los sistemas cuyos lugares geom´tricos de Wl−a (jω) se e muestran en las figuras P7. > Ta > 0.5s) s (1 + 5s) 60 (1 + s) s2 (1 + 0. 8) Para un sistema de segundo orden: Wl−a (s) = a) Grafique el diagrama de Bode. Tb > T1 > 0 T1 > Tb > 0 K (Ta s + 1) (Tb s + 1) s2 (T1 s + 1) as + 1 s2 Wl−a (s) = Wl−a (s) = 60 (1 + 0.2a. b) Determine Mv y ωv . 11) Trazar los diagramas polares de: Wl−a (s) = para los dos casos siguientes: a) b) Ta T1 > T1 > 0. 9) Repita el problema 8 cuando: a) b) 10) Dado. Suponga que Wl−a (s) no tiene polos en el semiplano derecho. Wl−a (s) = hallar a tal que el margen de fase sea 45◦ . b y c. 1 Compensador de adelanto de fase Consid´rese el circuito de la Fig 7. Recuerde que Wl−a (s) = G (s) H (s) . utilizando el criterio de Nyquist.12. Wl−a (jω).5 Tćnicas de compensaciń e o Se refiere al uso de redes de adelanto.7. 13) Figura P7. a fin de conseguir estabilidad relativa aceptable y error disminuido.5 Compensador de adelanto de fase 247 12) Figura P7.5.10) (7. 7. Hallar el valor cr´tico de K respecto a ı estabilidad. 7.3 Determine el valor cr´ ıtico de Kh respecto a la estabilidad del sistema de lazo cerrado de la Fig P7. Para este circuito: e V(+) V(−) Como V(+) ' V(−) : R3 R2 V1 = V2 R R3 + R4 R2 + 1+R1 Cs 1 = = R2 V1 R2 V1 ¢= ¡ 1 R 1 R2 + R1 // Cs R2 + R11 Cs + 1 R3 V2 R3 + R4 (7.4.4 Sea el sistema que se muestra en la Fig P7.11) Cs .3. atraso y adelanto-atraso combinadas para reformar la respuesta frecuencial de lazo abierto. 248 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Figura 7.12 Compensador de adelanto de fase de donde: (1 + R1 Cs) R2 R3 + R4 V2 ´ ·³ · = Gc (s) = V1 R3 (R1 + R2 ) 1 + R1R2 2 R1 Cs +R R3 + R4 R3 R2 <1 R1 + R2 R1 C αR1 C < T1 1 T1 1 > ω1 T2 T2 ω1 = T1 ω2 s ω1 s ω1 (7.13) Gc (jω) = Av0 α y la fase de Gc (jω) es: ϕc (jω) = tan−1 porque con ω1 < ω2 : ω ω > ω1 ω2 (7.15) .14) ω ω − tan−1 >0 ω1 ω2 (7.12) Llamando: Av0 = α = T1 T2 ω1 ω2 = = = = α = (7.12) se puede expresar: Gc (s) = Av0 α Con s = (jω) : 1+ 1 + T1 s = Av0 α 1 + T2 s 1+ ω 1 + j ω1 ω 1 + j ω2 (7. 16) Figura 7. N´tese tambiń que: o e ³ ´³ ´ ´ ³ 2 ω ω ω ω 1 + j ω1 1 − j ω2 1 + ωωω2 + j ω1 − ω2 1 = Gc (jω) = Av0 α ³ ´2 ³ ´2 ω ω 1 + ω2 1 + ω2 ³ ω ω1 de donde: tan ϕc (ω) = − ω ω2 1+ ω2 ω1 ω2 ´ (7.7.16): a ¯ d tan ϕc (ω) ¯ ¯ ¯ dω ³ 1 ω1 = ω=ωm = µ d  dω 1+ − 1 ω2 h im h i¯ ¶ 1 + ω2 − ω 2ω ¯ ¯ ω1 ω2 ω1 ω2 ¯ 1 1 − ¯ h i2 ¯ 2 ω1 ω2 ¯ 1 + ωωω2 1 ω ω1 ω2 ´  ω  2 ω=ω =0 ω=ωm .13 Diagrama de Bode del compensador de adelanto de fase Para obtener el m´ximo adelanto de fase ϕcm se deriva (7.5 Compensador de adelanto de fase 249 Entonces es un circuito que puesto en cascada con una planta puede servir para adelantar fase y mejorar la estabilidad relativa. (7.17) 2 ωm ω2 −2 m =0 ω1 ω2 ω1 ω2 El m´ximo adelanto de fase ocurre en el medio geom´trico de las dos frecuencias de a e quiebre ω1 y ω2 .19) Tambiń: e (1 − α) 1−α 1−α q =√ = √ 2 1+α 2 1 − 2α + α2 + 4α (1 − α) + (2 α) 1 − sin ϕcm 1 + sin ϕcm α= (7. disminuir el error. se puede utilizar u a un compensador de atraso de fase.20) Entonces: Reemplazando (7.17) en (7.13. Con (7.2 Errores Al diseãr un compensador no solo se busca mejorar la estabilidad relativa.14): v u ³ ´2 s u u 1 + ωm 1+ ω1 |Gc (jω)|ω=ωm = Av0 αu ³ ´2 = Av0 α t 1+ 1 + ωm ω2 ω2 ω1 ω1 ω2 r Av0 α ω2 = Av0 α = √ ω1 α 1 |Gc (jω)|ω=ωm dB = 20 log (Av0 α) + 20 log √ α como se muestra en la Fig 7. a Consid´rese.17) en (7. el sistema mostrado en la Fig 7. en lo posible.18) (7.16): ³ ωm ω1 ωm ω2 tan ϕcm sin ϕcm = = − 1+ 2 ωm ω1 ω2 ´ = ³√ ω1 ω2 ω1 − 1+ ´ √ ω1 ω2 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 = 1−α √ 2 α (7. El compensador de adelanto al mejorar la e estabilidad permite aumentar la ganancia del sistema en lazo abierto lo cual disminuye el error.13. Para mejorar ań m´s el sistema.5. El diagrama de Bode se muestra en la Fig 7.250 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA O sea: 1+ de donde: ωm = √ ω1 ω2 (7. sino n tambiń. en lo que respecta al error. como se ver´ posteriormente.14: e . por ejemplo.21) 7. Si R es una rampa: r (t) = R1 t.14 Sistema en lazo cerrado donde E es la seãl de error E = R − C.1 Tipo Cero Una planta tipo cero es aquella que no tiene integradores.5. pero infinito para ı. a 7. la cual es: n E (s) = El error est´tico se define por: a ess = lim e (t) = lim sE (s) = lim t→∞ s→0 1 R (s) 1 + Wl−a (s) (7.23) Dependiendo de cuantos integradores tenga una planta se puede hacer una clasificaciń por tipos de integraciń: o o 7. par´bola. etc. el error est´tico es: o s s R0 R0 s = s→0 1 + Wl−a (s) 1 + Kp 1 ess · 100 = · 100% R0 1 + Kp lim n Q 1 (1 + Tj s) ess y = ess % = (7. por ejemplo: Kp Wl−a (s) = r Q 1 (1 + Ti s) (7.5. 1 b) Rampa.24) Se puede analizar el error est´tico para diferentes seãles de entrada: a n a a) Escalń. o rampa.5 Tipo Uno 251 Figura 7. Si R (s) = R0 .7.22) s→0 sR (s) 1 + Wl−a (s) (7.2 Tipo Uno Una planta tipo uno tiene un integrador. A mayor ı ganancia menor error.2.2. Por ejemplo: .25) As´ el error disminuye con la ganancia del sistema en lazo abierto Kp . entonces R (s) = R2 s ess = lim 1 s · R2 s =∞ 1 + Wl−a (s) s→0 As´ un sistema tipo cero tiene error finito para entrada escalń. a u Analizando sistemas de tipo mayor.1 Errores est´ticos segń el tipo y la seãl de entrada a u n Kp . Ka y Kc son las ganancias de las plantas. R (s) = R1 s2 s→0 n Q 1 r Q 1 (1 + Ti s) (7. o Para todos los casos de error finito puede notarse que el error es tanto menor cuanto mayor sea la ganancia de la planta. que de acuerdo al tipo de la planta reciben diferentes nombres: Kp Kv Ka Kc : : : : constante constante constante constante de de de de error error error error de de de de posiciń. o veloaceleraciń. Kv . ess = ∞ As´ un sistema tipo uno sigue un escalń con error cero.252 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Kv Wl−a (s) = s Los errores est´ticos para diferentes seãles de entrada son: a n a) Escalń. Con R (s) = R0 : o s ess = lim b) Rampa. aceleraciń. etc.26) (1 + Tj s) s R0 s =0 1 + Wl−a (s) : 1 s · R2 R1 s = 1 + Wl−a (s) Kv ess = s→0 lim ess % = 1 · 100% Kv R2 2 2 t . una rampa con error finito. c´bica. Si R es una par´bola: r (t) = a a En este caso: entonces R (s) = R2 s3 . dos integradores o mas. . o velocidad. o pero no sigue una par´bola. c) Par´bola. se puede elaborar la siguiente tabla: Error Seãl→ Escalń R0 Rampa Ri t Par´bola R2 t2 C´bica R3 t3 n o a u 2 3! R0 ∞ ∞ ∞ 0 1+Kp R1 ∞ ∞ 1 0 Kv Tipo R1 ∞ 2 0 0 Ka R3 3 0 0 0 Kc Tabla 7. ı. Seleccionar una frecuencia ωcgn tal que el adelanto de fase exigido al compensador ϕcm no sobrepase 60◦ . ϕ compensado = {ϕ no ompensado + ϕc } en ω = ωcp donde ϕ compensado = −180◦ . Para que ωm = ωcgn . R2 y C. Calcular las frecuencias de quiebre del compensador: r q 2 √ √ ω1 ω1 2 = = αω2 = √ ωm = ω1 ω2 = αω2 α α de donde: √ αωm ωm = √ α = ω1 ω2 7. o 2. entonces Av0 · α = 1.5 Compensaciń con adelantor de fase 253 o 7. Procedimiento 1: 1. Determinar la ganancia en lazo abierto para la especificaciń de error dada. a Chequear el margen de ganancia |Wl−a |dB compensado = −MG donde este c´lculo se hace cuando ϕ compensado = −180◦ . o Esta nueva frecuencia ser´ tambiń ωm = ωcgn . Algunos par´metros se pueden escoger libremente. Evaluar el margen de fase del sistema con el compensador y chequear la ganancia en ωcgn que debe ser 1.7. Suponer Av0 = α .5. 4. A fin de satisfacer el requerimiento de margen de fase en el sistema compensado: γ = 180◦ + ϕNC + ϕcm | en ω=ωcgn . evaluar el margen de fase del sistema no ı compensado. Calcular T1 = ω1 . 3. la nueva frecuencia de cruce.2. Calcular el adelanto de fase ϕc requerido para obtener el margen de fase deseado n mas aproximadamente 5◦ . As´ el aumento de ganancia en ω = ωm 1 ser´ 20 log √α . 1. 1 1 a o 8. Usando la ganancia K as´ determinada. 5. Procedimiento 2: Este opera en forma un poco inversa al anterior. 1 ı. T2 = ω2 y los par´metros del circuito de las f´rmulas para T1 y e a T2 en t´rminos de R1 . Determinar α de: 1 − sin ϕcm con ϕcm ≤ 60◦ α= 1 + sin ϕcm ϕcm ≤ 60◦ para que ω1 y ω2 no queden excesivamente separadas. ser´ necesario busa a 1 car un punto de |Wl−a (jω)| tal que |Wl−a (jω)|dB = 20 log |Wl−a (jω)| = −20 log √α . 1 Entonces seleccińese ω = ωcgn la frecuencia para la cual |Wl−a (jω)|dB = −20 log √α .3 Compensaciń con adelantor de fase o Diferentes metodolog´ se han planteado para el diseõ o s´ ıas n ıntesis del compensador de adelanto. a e 6.o cero dB. Se le aãden unos 5◦ ya que la frecuencia del cruce cambia al insertar el compensador. 1 As´ K = 10. Si no.15 Sistema del ejemplo 7. proc´dase a intercalar adem´s un compeno n e a sador de atraso para mejorar las condiciones de error. Calcular la ganancia en dB del sistema no compensado en ωcgn : |Wl−a (jω)|dB = 20 log |Wl−a (jω)|ω=ωcgn La ganancia del compensador en ωcg = ωm es: √ α |Gc (jω)|ω=ωm = Av0 √ = Av0 α α Para que el sistema compensado cruce por cero dB en ωcg = ωm es necesario entonces que: ¡ √ ¢ 20 log Av0 α = − |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB 1 20 log Av0 = 20 log √ − |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB α 4. por lo menos. 5. Verificar el margen de fase y la ganancia en ωcgn . el diseõ es correcto. Calcular el error est´tico del sistema con el compensador inclu´ a ıdo. Calcular el compensador.16 muestra el diagrama de Bode para este sistema. la nueva frecuencia de cruce. 1+sin cm 3.254 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA donde ϕNC es la fase del sistema no compensado en ω = ωcgn . ı . Para el sistema de la Fig 7. La Fig 7. Calcular α = 1−sin ϕcm .15: o se especifica Kv = 20. Si excede la especificaciń. Calcular el margen de ganancia MG = − |Wl−a (jω)|ω=ωcf dB donde ωcf es la frecuencia a la cual: ϕcompensado = ϕno compensado + ϕc = −180◦ Ejemplo 7. N´tese que: Wl−a (s) = 2K K 20 4K ¢ ¢ = ¡s v ¢ = ¡ = ¡s s s (s + 2) s 2 +1 s 2 +1 s 1+ 2 o tambiń: e Figura 7. ϕ 2. γ = 50◦ y M G = 10dB.1 . e 2 dB dB e A partir de ω = 2 el Bode cae con −40 dec. para el t´rmino 1+ s . del t´rmino 1 t´rmino 1+ s .1 Procedimiento 1 El Bode de amplitud es: |Wl−a | dB 20 = 20 log q ¡ ¢2 ω 1+ ω 2 = 20 log 20 − 20 log ω − 20 log Para bajas frecuencias: r 1+ ³ ω ´2 2 |Wl−a | dB ≈ 20 log 20 − 20 log ω = 26 − 20 log ω o sea: Y1 dB Y1 dB = 26 − 20 log ω = 0 en ω = 20 1 s dB y −20 dec. Esto es Y2 dB = Y20 − 40 log ω. e 2 En ω = 2: Y2 dB = 20 .16 Bode de Wl−a (jω) del ejemplo 7.5 Compensaciń con adelantor de fase 255 o Figura 7. del 1 La primera frecuencia de quiebre es 2. : −20 dec.7. 6◦ . El margen ı.256 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA por lo tanto: As´ ı: Y20 = 20 + 40 log 2 = 32dB Y2 dB = 32 − 40 log ω Y2 dB = 0 cuando 32 − 40 log ω = 0. de fase pedido es γn = 50◦ .244 y se busca un ω tal que |Wl−a | dB = −6.3 = −162.18 Chequeo Con compensador: ϕcomp = −90◦ − tan−1 En ω = 8. entonces: = 50◦ − 17.44 s 1 + 18.4◦ = ϕcm = ϕm 1 − sin ϕm 1 − sin 37.98: ω ω ω + tan−1 − tan−1 2 4.3) = −90◦ − tan−1 As´ γv = 180◦ − 162. que es el margen de fase no compensado.44rad/seg 1 α = −40 log ω + 32 = −6.4◦ = 17.98 = ωm y ω2 = ωm = 18.13dB α 0.4◦ 2 = 6.3.44 18.4◦ de donde: α= = = 0.13 = 8. ϕ (6.4◦ ϕc Se puede seleccionar ωcgn de la siguiente manera: se calcula 1 1 |Wl−a | dB = −20 log √ = −20 log √ = −6.13dB. Esto es para: ω = 1032/40 = 6.6◦ + 5◦ = 37.3 rad/seg La fase del sistema no compensado es: ϕ (ω) = −90◦ − tan−1 En ω ω 2 6.244 1 + sin ϕm 1 + sin 37.18 . Ya que: Y2 dB entonces ωcgn As´ ı: ω1 = √ αωm = 4.18rad/seg α El compensador con Av0 = es: Gc (s) = s 1 + 4. Esto indica que ωcgn est´ un poco a la izquierda de 8.44C .44 20  = 20 log  q ¡ ω ¢2 · q ¡ ¢2 1 + 18. As´ el compensador debe suministrar ϕc = 168. Pero note que el sistema no compensado ten´ ϕ = −90◦ − tan−1 ω > −180◦ ıa 2 Como el compensador adelanta fase.7◦ .7◦ < 60◦ .02 en lugar de 1 y en este caso: n 20 Av0 = 1. 2 Para γn = 50◦ la fase del sistema compensado debe ser ϕcomp = −180◦ +50◦ = −130◦ .7   ω=ωcgn 20  = 20 log  q ¡ ω ¢2 ω 1+ 2 = −8. lo que excede la especificaciń. Procedimiento 2 Como ϕ = −90◦ −tan−1 ω . La fase del compensador en ∞ es ϕc (∞) = 0 y ϕcomp (∞) = ı. y R1 = 225KΩ. R2 Con α = R1 +R2 = 0. |Wl−a |comp dB = −∞.18 α C´lculo de los par´metros a a 1 1 De T1 = R1 C = ω1 .18 y con R3 = 10KΩ. arbitrario.3 . arbitrario. entonces ϕ (10) = −168.7.18dB.18dB ω=8. ıa a Podr´ reajustarse Av0 de tal manera que compense los −0. y con C = 1µf. O sea ωcf = ∞.5 Compensaciń con adelantor de fase 257 o ϕcomp γn |Wl−a |dB |Wl−a |dB deber´ ser cero. +R Con Av0 = R3R3 4 = 4.231 1 + sin 38. = −130◦ = 180◦ − 130◦ = 50◦  q ¡ ω ¢2 1 + 4.49dB α entonces: Av0 = 10 14. R1 = 4. entonces R2 = 73KΩ.98 Margen de ganancia Se busca ωcf esto es cuando ϕcomp = −180◦ .98. Entonces: ı. As´ o MG = − |Wl−a |comp dB = ∞.02 = 4.244.13dB 1 20 log Av0 = 20 log √ − |Wl−a (jωcgn )|dB = 14. α = |Wl−a (jωcgn )|dB As´ ı: 1 − sin 38. si se selecciona ω = ωcgn = 10.18 = 1. −90 − 90 = −180◦ .7◦ − 130◦ = 38.18 ω 1+ ω 2 = −0.49 20 = 5. se obtiene R4 = 32KΩ. entonces R1 = 225KΩ. Pero en ∞. entonces ϕcomp > −180◦ para toda frecuencia excepto en ωcf = ∞. Como Av0 α = 1 ıa ¢ ¡ para el diseõ se puede escoger Av0 α = 0.7 = 0. 3 El compensador de atraso de fase En la Fig 7.81 q ¡ ω ¢2 1 + 4.231 · Como: s 1 + 4.3 · 0.3 · 0.3 · 0.9985 20 log 0.17: 1 R2 + Cs 1 + R2 Cs V1 V1 = 1 1 + (R1 + R2 ) Cs R2 + Cs + R1 R3 V2 R3 + R4 V(+) V(−) = = (7.231 · 20 = 24.81 s 1 + 20.28) .258 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA ω1 ω2 Y el compensador es: Gc (s) = 5.231 · 10 = 4.231 entonces: ω ω ω − tan−1 = −90◦ − tan−1 + tan−1 2 4.231 · El sistema en lazo abierto compensado es: Wl−a (s) = 5.1% Kv 7.27) (7.81 s 1 + 2 s 1 + 4.3 · 0.81 ω 1+ ω 2 ϕcomp ϕcomp (10) γ |Wl−a (j10)| |Wl−a (j10)|dB = = = = −130◦ 180◦ − 130◦ = 50◦ 0.5.231 · q ¡ ω ¢2 · q ¡ ¢2 1 + 20.81 20 |Wl−a (jω)| = 5.5.81 10 √ = 20.81 = = √ 0.81 0.81 20.81 20 ¢ · ¡ s s 1 + 20.013dB ≈ 0 n Para bajas frecuencias la ganancia es Kv = 5.9985 = −0. Este diseõ tiene a un Kv mayor que el especificado y por lo tanto el error est´tico es menor: ess % = 1 · 100 = 4. 7.5 El compensador de atraso de fase 259 Figura 7.17 Compensador de atraso de fase Como V(+) ' V(−) : Gc (s) = O sea: 1+ 1 + T2 s = Av0 1 + T1 s 1+ s ω2 s ω1 R3 + R4 1 + R2 Cs V2 (s) = · V1 (s) R3 1 + (R1 + R2 ) Cs (7.29) Gc (s) = Av0 (7.30) donde: T1 = (R1 + R2 ) C > T2 T2 = R2 C ω1 = ω2 = 1 T1 1 T2 T1 = βT2 β= ω2 = R1 +R2 R2 βω1 Con T1 > T2 , ω1 < ω2 . As´ ocurre primero el quiebre del polo. ı, Adem´s: a ϕc = tan−1 porque: 1 1 < ω2 ω1 O sea que este tipo de compensador atrasa fase. Este compensador no puede mejorar la estabilidad utilizando su caracter´stica de fase. ı Se utiliza, mas bien, la atenuaciń de ganancia a altas frecuencias, para correr el punto o de 0 dB, ωcg , a la izquierda, donde la fase sea mas favorable. Con Av0 = 1, R3 = ∞, la atenuaciń a altas frecuencias es −20 log β. De esta forma, indirectamente mejora o la estabilidad. ω ω − tan−1 <0 ω2 ω1 260 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Figura 7.18 Diagrama de Bode del atrasador de fase Por otro lado, si el sistema original ya tiene un margen de estabilidad aceptable, γ apropiado, si se escoge Av0 ≈ β, a altas frecuencias se tiene 20 log Av0 ≈ 0, no produce atenuaciń, pero a bajas frecuencias se tiene 20 log Av0 ≈ 20 log β, que aumenta la o ganancia est´tica, disminuyendo el error. a 7.5.3.1 Compensaciń con atrasador de fase o Procedimiento 1. Determinar la ganancia en lazo abierto a bajas frecuencias que satisfaga el requerimiento de error. 2. Dibujar el diagrama de Bode con esta ganancia y determinar el margen de fase del sistema compensado. Si las especificaciones de margen de fase son satisfechas, continuar en el punto 7. Si las especificaciones de margen de fase no son satisfechas, seguir con el punto 3. 3. Encontrar una frecuencia ω donde la fase sea: ϕ = −180◦ + γ + (5◦ a 12◦ ) Se aãde 5◦ a 12◦ por el atraso que introducir´ el compensador. Seleccionar esta n a frecuencia como la nueva frecuencia de cruce ωcgn . e 4. Seleccionar la frecuencia ω2 , cero del compensador, entre una octava y una dćada abajo de la nueva ωcgn : 1 1 ωcgn < ω2 < ωcgn 10 2 Una escogencia muy baja de ω2 puede conducir a valores muy grandes de T1 y T2 , exigiendo valores altos de resistencias y condensadores en el circuito. 5. Determinar la atenuaciń requerida en ωcgn para que el Bode de amplitud cruce o por cero dB : 7.5 Compensaciń con atrasador de fase 261 o 20 log µ Av0 β ¶ = 20 log Av0 − 20 log β = − |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB Si la atenuaciń requerida es grande, es preferible hacer Av0 = 1 a fin de que T1 no o resulte exageradamente grande. Por lo general β ≤ 10 y T1 depende de β, porque T1 = βT2 . 6. Chequear el margen de fase y de ganancia. Chequear la amplitud 0 dB en ωcgn y calcular el circuito. 7. Si en el punto 2 las especificaciones de margen de fase son satisfechas, seleccionar ωcgn tal que: ϕ = −180◦ + r + (5◦ a 12◦ ) 8. Proceder como en el punto 4 y continuar despu´s en el punto 9. e 9. Calcular Av0 de: µ Av0 β ¶ 20 log = − |Wl−a (jω)|ω=ωcgn dB escogiendo un valor de β ≤ 10 tal que T1 no resulte demasiado grande. 10. Proceder como en el punto 6. Ejemplo 7.2 . Figura 7.19 Sistema del ejemplo 7.2 Para el sistema de la Fig 7.19 se especifica Kv = 5, γ = 40 y un margen de ganancia MG de por lo menos 10 dB. 262 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Figura 7.20 Diagrama de Bode con compensaciń con atraso de fase o Sin Gc (s), la ganancia a bajas frecuencias es K, entonces con Kv = 5, K = 5. A bajas frecuencias |Wl−a (s)| = 5 . s Y dB1 = |Wl−a (jω)|dB = 20 log 5 − 20 log ω = 14 − 20 log ω En ω = 1, Y dB1 (1) = 14dB. Adem´s Y dB2 = Y02 − 40 log ω. En ω = 1, Y dB2 (1) = 14dB. Entonces Y02 = a 14 + 40 log 1 = 14. As´ ı: Y dB2 = 14 − 40 log ω En ω = 2, Y dB2 (2) = 14 − 40 log 2 = 1.96dB. Adem´s Y dB3 = Y03 − 60 log ω. En ω = 2, Y dB (3) = 1.96. Entonces Y03 = 20dB. a As´ ı: Y dB3 = 20 − 60 log ω Y dB3 = 0 en ωcg . Por lo tanto 0 = 20 − 60 log ωcg , o ωcg = 10 60 = 2.15. ´ ωcg = 2.15 La fase es: ϕ = −90◦ − tan−1 En ωcg = 2.15, ϕ (2.15) = −202◦ y: γ = 180◦ + ϕ (2.15) = −22◦ ω ω − tan−1 1 2 rad seg 20 7.5 Compensaciń con atrasador de fase 263 o Esto indica que si se cierra el lazo, el sistema resulta inestable. Se busca, entonces, un punto donde la fase sea: ϕ = −180◦ + 40◦ + 12◦ = −128◦ Tanteando: ω ϕ 1 −161◦ 0.5 −130◦ 0.45 −126◦ 0.47 −128.4◦ Se escoge ωcgn = 0.47 rad . seg En ωcgn = 0.47, Y dB1 = 14 − 20 log 0.47 = 20.56dB. 20.56 o Con Av0 = 1, −20 log β = −20.56, β = 10 20 = 10.7. El valor de β result´ mayor que 10. Quiz´s se necesite primero un compensador de adelanto para mejorar las a condiciones de estabilidad y as´ conseguir un Kv mejor que el especificado. ı ´ Como 0.47 < ω2 < 0.47 , o 0.047 < ω2 < 0.235, se puede escoger ω2 = 0.1. Entonces: 10 2 ω1 T2 T1 = = = 0.1 ω2 = = 9.34 · 10−3 β 10.7 1 = 10 ω2 1 = 107 9.34 · 10−3 +R Con C = 100 µf, R2 = T2 = 100K, R1R2 2 = β = 10.7. Con R1 = 100K, R2 = C 1.07M. Adem´s como se escogi´ Av0 = 1, R4 = 0 y R3 = ∞. a o Chequeo El compensador es: Gc (s) = Entonces: ω ω ω ϕcomp (ω) = −90◦ − tan−1 ω − tan−1 + tan−1 − tan−1 2 0.1 9.34 · 10−3 q ¡ ω ¢2 1 + 0.1 5 q |Wl−a (jω)| = q ¢2 · √ ¡ ¡ 2 ¢2 ω 1 + 9.34·10−3 ω 1 + ω2 1 + ω 2 ϕcomp (0.47) = −139.3◦ γ = 180◦ + ϕ = 40.7◦ > 40◦ |Wl−a (j0.47)| = 0.889 s 1 + 0.1 s 1 + 9.34·10−3 En ω = ωcg = 0.47: 264 SINTESIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA ıa e |Wl−a (j0.47)| deber´ ser 1. Para corregir ´sto se puede tomar Av0 = R3 +R4 . Con esto, si R3 = 100K, R4 = 13K. R3 Margen de ganancia Por tanteos, en ω = 1.31 ϕcomp = −179.8◦ ≈ 180◦ y |Wl−a |dB = −14.8dB. Entonces el margen de ganancia es MG = 14.8dB que excede la especificaciń. o Ejemplo 7.3 . Para el sistema compensado con adelantador de fase, por el procedimiento 2, se obtuvo el sistema compensado, en lazo abierto: Wl−a (s) = 5.3 · 0.231 · s 1 + 2.41 20 ¢ · ¡ s s 1 + 20.81 s 1 + 2 1 0.889 = 1.13 = con un Kv = 24.5. Se desea cambiar el Kv a 100 perdiendo solo 5◦ de margen de fase, esto es γn = 45◦ . Como el sistema ya tiene 50◦ en ωcgn = 10 se puede introducir un compensador de atraso que atrase 5◦ en ωcgn = 10 rad . seg 100 La ganancia adicional requerida es Av0 = 24.5 = 4.1. Se escoge entonces β = Av0 para no producir atenuaciń a altas frecuencias, esto es β = 4.1. o La fase del compensador es entonces: ϕc = tan−1 que contribuye con la fase: ϕc (ωcg ) = tan−1 ωcg βωcg − tan−1 ω2 ω2 ω ω ω βω − tan−1 − tan−1 = tan−1 ω2 ω1 ω2 ω2 Con β = 4.1, tanteando valores de ω2 en la ecuaciń: o ϕc (10) = tan−1 se obtiene: ω2 = As´ ı: ω1 = Y el sistema compensado resulta: s s 1 + 2.41 1 + 1.16 20 ¢ Wl−a (s) =4.1 · · 5.3 · 0.231 · · ¡ s s s 1 + 0.283 1 + 20.81 s 1 + 2 | {z } | {z } Atraso Adelanto 10 4.1 · 10 − tan−1 = −5◦ ω2 ω2 rad 10 = 1.16 8.6 seg 1.16 rad ω2 = = 0.283 β 4.1 seg CAPITULO 8 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO Introducciń o Unas de las primeras aplicaciones de las variables de estado en sistemas lineales fue la de realimentarlas para reubicar los valores propios de un sistema dado. Los polos y los valores propios coinciden en sistemas mńimos, aquellos que son controlables y ı observables. En lugar de realimentar y (t), salida de un sistema, y sus derivadas o realimentar y (t) a trav´s de un compensador, lo adecuado es hacerlo a trav´s del estado x (t) e e de una realizaciń del sistema ya que, despu´s de todo, el estado resume toda la o e informaciń actual del sistema. Por eso, cualquier operaciń que pueda ser hecha o. o a con y (t), y (t), etc. , se debe poder realizar con los estados y, lo m´s importante, cualquier operaciń que no se pueda hacer con los estados, probablemente no puede o ser hecha en ninguna otra forma general. La realimentaciń de las variables de estado o puede ser usada para modificar las frecuencias naturales del sistema y, en particular, hacerlas todas estables, siempre y cuando la realizaciń usada para definir los estados o del sistema £ controlable por realimentaciń de las variables de estado, es decir, la sea o ¤ o matriz C = B AB · · · An−1 B de la realizaciń {A, B, C} no es singular. La utilidad de este resultado depende de la habilidad para obtener los estados, lo cual ser´ considerado m´s adelante. Por claridad de discusiń y por razones pedag´gicas, a a o o se tratarń por ahora, el problema de la determinaciń de los estados y el de la realia o mentaciń de ellos separadamente. Por el momento se supone que, por algń medio, o u los estados son disponibles. Recuerde que para obtener los estados, si el sistema es observable, se necesita conocer no solo la salida y (t) y sus derivadas sino tambiń la ene o n . trada u (t) y, en general, se necesita y (t) , y (t) , · · · ,y (n−1) (t) ,u (t) , · · · ,u(n−1) (t) . Por eso, se esperar´ que una configuraciń deseable de realimentaciń involucre la ıa o o salida y algunas de sus derivadas y la entrada y algunas de sus derivadas. Se puede obtener entonces compensadores que permitan reubicar arbitrariamente los polos, garantizar estabilidad interna de la configuraciń total y mantener el grado del polio 265 266 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO nomio del denominador de la funciń de transferencia total igual al del sistema origio nal. Si no hay restricciń en este ultimo, el uso directo de la entrada no es necesario. o ´ 8.1 Realimentaciń de las variables de estado y o controlabilidad de los modos Considere el siguiente problema. Se da la realizaciń: o x (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t) con el polinomio caracter´ ıstico: a (s) = det (sI − A) = sn + a1 sn−1 + · · · + an Si se especifica una funciń de transferencia de la forma: o H (s) = b1 sn−1 + · · · + bn b (s) = n a (s) s + a1 sn−1 + · · · + an (8.3) (8.2) . (8.1) Se supondr´ que {A, B, C} es alguna realizaciń con n estados de esta funciń de a o o transferencia. Se desea modificar el sistema dado, mediante el uso de realimentaciń de las variables o de estado, para obtener un nuevo sistema con valores propios especificados, o en otras palabras, para obtener un polinomio caracter´ ıstico deseado. Es decir: α (s) = sn + α1 sn−1 + · · · + αn (8.4) Figura 8.1 Realizaciń modificada por realimentaciń de las variables de estado o o En la Fig 8.1, la seãl de control u (t) se obtiene, utilizando realimentaciń por varin o ables de estado, mediante la ecuaciń: o y por lo tanto K se puede encontrar igualando los coeficientes que corresponden a iguales potencias de s.1.6): x (t) = (A − BK) x (t) + Bv (t) y (t) = Cx (t) que tiene el polinomio caracter´ ıstico: aK (s) = det (sI − A + BK) .8. El uso de −K x (t) en lugar de K x (t) es puramente convencional. Hay muchas maneras de determinar K. 8.7) El objetivo es escoger K de modo que aK (s) = α (s) . algunas de las cuales serń presentadas aqu´ a ı. Con esta realimentaciń se tiene la realizaciń o o o (8.11) son polinomios en s. respectivamente.8) en donde In e Im son matrices identidad de dimensiones n × n y m × m.6) (8.1 Algunas f´rmulas para la ganancia de realimentaciń o o Se deducir´ la f´rmula de Bass y Gura que usa la siguiente identidad: a o det [In − P Q] = det [Im − QP ] (8. y P y Q son matrices de dimensiones n × m y m × n.12): a o (sI − A)−1 = ¡ ¢ 1 {sn−1 I + sn−2 (A + a1 I) + sn−3 A2 + a1 A + a2 I + · · · + a (s) ¡ ¢ +s An−2 + a1 An−3 + · · · + an−2 I ¡ n−1 ¢ +s◦ A + a1 An−2 + · · · + an−1 I } (8.12) .5) en donde v (t) es la nueva entrada externa.9) Usando la identidad (8. De (8. respectivamente.10) de donde: (8.9): (8.11) Ambos lados de (8. (8. ya que la realimentaciń es usualmente negativa.8) en (8.1 Algunas f´rmulas para la ganancia de realimentaciń 267 o o u (t) = v (t) − Kx (t) con K = [K1 · · · Kn ] (8. Para hacerlo se utilizar´ la f´rmula (8.7): aK (s) = det (sI − A + BK) io n h = det (sI − A) I + (sI − A)−1 BK i h = det (sI − A) det I + (sI − A)−1 BK h i aK (s) = a (s) 1 + K (sI − A)−1 B aK (s) − a (s) = a (s) K (sI − A)−1 B (8. · · · . KAB + a1 KB. An−1 B [1 a1 · · · an−1 ] t y A es una matriz Toeplitz triangular inferior con primera columna: (8. α3 − a3 = KA2 B + a1 KAB + a2 KB y asi sucesivamente. sin a e ´ . . · · · . favorecimiento del ruido. si y solo si C es nosingular.268 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO Con (8.15). o La reubicaciń de valores propios por realimentaciń de las variables de estado ha o o sido llamada controlabilidad de modos. la forma canńica ”CONTROLLABILITY”.15) es conocida como la f´rmula de Bass-Gura para determinar K. e a valores m´s grandes en las ganancias del vector K.13) en donde: α = [α1 α2 · · · αn ] a = [a1 a2 · · · an ] ¤ £ C = B. o Entonces la ganancia de realimentaciń requerida se puede calcular como: o K = (α − a) At C −1 (8. ıan 8.14) Puesto que A es nosingular. para o la cual C = I es la m´s conveniente. . a1  0 0 ··· 0 1 α − a = K C At (8. AB.  £ ¤ 2 n−1 .   0 0 1 ··· .12) en (8. C}. en general. Not´se de (8. KAn−1 B + a1 KAn−2 B + · · · + an−1 KB   1 a1 a2 · · · an−1  0 1 a1 · · · an−2    .  = K B. Se ha probado entonces que mediante realimentaciń o de las variables de estado se pueden reubicar arbitrariamente los valores propios de ª © una realizaciń {A.  . · · · .. si y solo si C = B. . A B   .13) para hallar K para α y a arbitrarios. . α2 − a2 = KAB + a1 KB. Note tambiń que o e grandes valores de K podr´ ser debidos a que C es cercanamente singular. AB. B. Reescribińdolas en forma matricial: e α−a = ¤ £ KB. AB. Tambiń es util para calcular K de (8.1..  .2 Importancia de la forma canńica ”CONTROLLER” o Para controlabilidad de los estados. con consecuentes dificultades en a la implementaciń y operaciń (alejamiento del punto de operaciń a una regiń no o o o o lineal.. A B. An−1 B es no singular.15) (8. · · · .15) que cambios grandes en los coeficientes de a (s) necesitar´. se puede resolver (8. . distorsiń en el transitorio.11) se obtiene: α1 − a1 = KB. etc). . Cc = At . o es controlable. a Kc = α − a (8. en donde Ac es una matriz ”companion” o con [−a1 .19) en (8. Si se reemplaza ´sta en (8.19) Se puede demostrar que si la nueva realizaciń. −an ] como primera fila. C} es convertirla primero en una forma ”CONTROLLER” por medio de un cambio adecuado de variables: x (t) = T xc (t) con det T 6= 0 Con (8. Bc .16) Otra derivaciń de (8. Recuerde que para la forma a canńica ”CONTROLLER” {Ac .8.15) se obtiene(8.16). − (a1 + Kc1 ) − (a2 + Kc2 ) · · · − (an + Kcn )  1 0 0   1 Ac − Bc Kc =   .  . 0 . −a2 .18) De (8.1 Importancia de la forma canńica ”CONTROLLER” 269 o embargo. en este caso tipo ”CONTROLLER”. . Bc tiene como primer elemento uno y los −1 e dem´s ceros. es posible encontrar una forma m´s simple. · · · .18) se obtiene inmediatamente (8.16) se obtiene observando que. B. y por lo tanto: a ıa (8. entonces: −1 T = C Cc (8. debido a la forma especial de o Bc . Lo anterior sugiere que una manera de resolver el problema para una realizaciń o general {A.16).21) Por lo tanto: ¡ ¢ aK (s) = det (sI − A + BK) = det sI − T Ac T −1 + T Bc K ª © = det T [sI − Ac + Bc KT ] T −1 = det T det (sI − Ac + Bc KT ) det T −1 As´ ı: . 0 1 0 det (sI − Ac + Bc Kc ) = sn + (a1 + Kc1 ) sn−1 + · · · + (an + Kcn )         (8.1) se obtiene: A = T Ac T −1 B = T Bc (8. Cc }.20) (8.17) la cual est´ todav´ en forma ”CONTROLLER”. . . 26) la ultima fila de α (Ac ).24) es util algunas veces para an´lisis te´ricos. 8. .15). se obtiene de nuevo (8.24) en donde α (s) es el polinomio caracter´ ıstico deseado.27) α (Ac ) = An + α1 An−1 + · · · + αn I c c y del teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada matriz cuadrada. .n α (Ac ) (8.25) la ultima fila de C −1 . 0 0 ··· 1     = [0 · · · 01]  (8. a o en cuyo caso: t Kc = α − a = qc. porque: ´ t qc. . .n Puesto que: = [0 · · · 01] C −1 = [0 · · · 01] At  1 a1 · · · an−1  0 1 · · · an−2  = [0 · · · 01]  . ´ (8. .3 Otras f´rmulas para la ganancia de realimentaciń o o (8. Ac en este caso.23) Con (8. Para demostrar (8.16).24) se supondr´ que se tiene una realizaciń tipo ”CONTROLLER”. sabiendo que Cc = A−t y reemplazando en (8.270 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO aK (s) = det (sI − Ac + Bc KT ) KT = Kc (8.22) (8.15) es una f´rmula para K en t´rminos de los coeficientes del polinomio carcter´ o e ıstico viejo y del nuevo. .1. La siguiente es la f´rmula de Ackerman: o t K = qn α (A) (8.21). (8. . satisface su ecuaciń caracter´ o ıstica: a (s) = sn + a1 sn−1 + · · · + an = 0 a (Ac ) = An + α1 An−1 + · · · + an I = 0 c c Entonces: . y t qn = [0 · · · 01] C −1 (8.23).  . Note que no se requiere un conoci´ a o miento expl´ ıcito del polinomio original a (s) = det (sI − A) . 30) n X (αi − ai ) An−i α (Ac ) = c i=1 (8. a veces es preferible trabajar directamente con ellos. ıa o 8.32) es la misma ecuaciń (8.8.24) se obtiene (8.33) .29) e en donde et denota el vector fila [00 · · · 010 · · · 0] con el i ´simo elemento igual a uno.28) La propiedad de desplazamiento de las matrices ”companion” establece que: et Ac = et i i−1 2 ≤ i ≤ n et Ac = [−a1 − a2 · · · − an ] 1 (8. Note que (8. la propiedad de ´ desplazamiento es de la forma: A ei = ei+1 i = 1 2···n − 1 Utilizando (8. al menos cuando son e distintos.16).32): n X = et α (Ac ) = (αi − ai ) et An−i n n c i=1 (8.4 F´rmula de Mayne-Murdoch o Ganancias de realimentaciń en t´rminos de los valores propios o e En muchos problemas son especificados los valores propios del sistema y.28) en (8. por prop´sitos o num´ricos.27) y se obtiene: n X i=1 ai An−i c (8.29) y la anterior propiedad en (8. ıces deseadas Suponga que A es diagonal con valores propios {λ1 · · · λn } y que las ra´ o son {µ1 · · · µn }.32) que era lo que se quer´ demostrar.31) Kc = (α1 − a1 ) et + (α2 − a2 ) et + · · · + (αn−1 − an−1 ) et + (αn − an ) et 1 2 n−1 n = [α1 − a1 α2 − a2 · · · αn−1 − an−1 αn − an ] O sea: Kc = α − a (8.1 F´rmula de Mayne-Murdoch. 271 o An = − c (8.10) se obtiene: X Ki bi aK (s) = 1 + K (sI − A)−1 B = 1+ a (s) (s − λi ) i=1 n (8. De la ecuaciń (8. i Si la ultima columna de la matriz ”companion” es − [an · · · a1 ]t .1. Note que despu´s de realimentar el estado la realizaciń es {Ac − Bc Kc . e aunque son de menos importancia. que sean cancelados por la escogencia apropiada del nuevo polinomio del denominador α (s).272 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO De (8. la e o cual es todav´ del tipo ”CONTROLLER” y por lo tanto la funciń de transferencia ıa o es: b (s) Y (s) = V (s) α (s) Es decir.1. 8.34): Q (λi − µJ ) J (8. entonces . |λi − µJ |.5 Realimentaciń del estado y los ceros de la funciń de o o transferencia Se ha demostrado que mediante realimentaciń del estado se puede cambiar el deo nominador de la funciń de transferencia de a (s) a cualquier polinomio.33) por (s − λi ) y se hace s = λi para obtener (8. o F´rmulas expl´ o ıcitas para cuando A no es diagonalizable tambiń se pueden obtener. . por supuesto. se multiplica ambos lados de (8. λi 6= λJ Fćilmente se puede demostrar que esta realizaciń es controlable si y solo si cada a o uno de los elementos de B es diferente de cero. o {Ac . Cc = [b1 b2 · · · bn ] . x = Λx + Bu Λ = diag {λ1 · · · λn } . a Una manera simple es suponer que la realizaciń es de tipo ”CONTROLLER”. aqu´lla resuelve el problema de los e ceros ubicados indeseablemente (limitaciones en las caracter´ ısticas de fase y de atraso del sistema). α (s) o o del mismo grado. o o a menos. Cc }. t Bc = [10 · · · 0] y Cc contiene los coeficientes de b (s). la realimentaciń del estado no afecta los ceros de la funciń de transferencia. 8.33) se nota que una regla para obtener Ki es expandir en fracciones parciales −1 aK (s) e por bi .34) Ki bi = Q (λi − λJ ) J6=i (8. b1 = b3 = 0. Se estudiar´ ahora el efecto sobre los ceros. en donde Ac es la matriz ”companion” con primer fila − [a1 · · · an ]. por ejemplo. Por lo tanto.34) muestra claramente que la ganancia de realimentaciń se incrementa a medida o que aumenta la separaciń entre los polos de lazo abierto y de lazo cerrado.1. Suponga que se tiene una realizaciń tipo diagonal y con todos los valores propios o diferentes. Bc .6 Realizaciones no controlables y estabilizables Modos controlables e incontrolables. mńico. Si. a(s) y dividir el coeficiente del t´rmino (s − λi ) M´s expl´ a ıcitamente. Cc }. Bc . es decir. compromiso en la reubicaciń de los valores propios. que se desea tener: y (t) = Cx (t) → yd t→∞ . utilizando o realimentaciń de las variables de estado. pero a un precio que tiene que ser pagado en t´rmino de alta energ´ e ıa del control. 8.1. Sin embargo. no pueden ser afectados por realimentaciń del estado. Una realizaciń diagonal es estabilizable si y solo si los {bi } correspondientes a los o inestables {λi } son diferentes de cero. en una realizaciń diagonal no o o controlable ciertos valores propios no se pueden reubicar. o en otras palabras. Este resultado se utiliza o generalmente en problemas de regulaciń. B. si los modos inestables son todos controlables. Puesto que una realizaciń {A. C} que es controlable. dada una realizaciń {A. x (0) = x0 6= 0. habr´ problemas. en donde las condiciones iniciales difeo o rentes de cero. incremento en el ancho de banda del sistema en lazo cerrado y por lo tanto el incremento en la sensitividad al ruido. se tratarń o ı. Aqu´ sin embargo. B} ser´ estabilizable si y solo si todos los valores a propios de Ac tienen parte real negativa.1 Referencias diferentes de cero 273 la entrada est´ desacoplada de los correspondientes modos λ1 y λ3 . a ninguna realimentaciń puede afectarlos. se puede obtener una realo izaciń {A − BK. y por eso la entrada externa v es tomada como cero.7 Reguladores. Si estos modos son estables. © |{z} |{z} }r }n − r 8. en muchas situaciones. provienen de alguna perturbaciń y la realimentaciń −K x se usa para restablecer el estado a cero a una velocidad determio nada por los valo-res propios de A − BK.8. C} con det (sI − A + BK) arbitrario. y por lo tanto. B} con ª o matriz ”CONTROLLABILITY” C de rango © r se puede transformar en el par A. en donde: · ¸ · ¸ A= Ac 0 r A12 Ac n−r B= Bc 0 ª entonces A.1. Si se supone. si son inestables.7. B. sin embargo. u = −K x + v. y por lo tanto {A. As´ debe de haber un ı. referencias diferentes de cero y seguimiento Se ha demostrado que. etc. Por eso.1 Referencias diferentes de cero En el problema del regulador. SCI. K grande. Un decaimiento bastante r´pido se puede a obtener moviendo los valores propios lejos del eje imaginario en el semiplano complejo izquierdo. el objetivo es regresar el estado x a cero. B . no es importante que no puedan ser afectados. o entonces. B . Una realizaciń es estabilizable si todos a o los valores propios inestables se pueden reubicar arbitrariamente por realimentaciń o de las variables de estado. a algunos problemas que pueden ser tratados con pequeãs modificaciones a la soluciń n o del problema del regulador. o Esto se puede lograr usando un comando de entrada constante vd tal que: x = 0 = (A − BK) xd + B vd yd = Cxd = −C (A − BK)−1 B vd = HK (0) vd en donde HK (s) es la funciń de transferencia en lazo cerrado: o HK (s) = C (sI − A + BK)−1 B Note que (A − BK)−1 existe ya que K se escoge. con la condiciń de que HK (0) 6= 0. los ceros de o o HK (s) son los mismos de la funciń de transferencia original H(s). x (0) = x0 − xd As´ la respuesta. o salida del sistema. se puede expresar como: ı. en el estado estacionario. y(t).de manera suficientemente lenta. Por lo tanto.274 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO u en donde yd . el anterior esquema puede desarrollar un trabajo razonable de seguimiento. para que los valores propios de A − BK tengan partes reales suficientemente negativas. x (0) = xd = 0. como se demostr´ antes. el comando de entrada vd se puede determinar si y solo si: H (0) = −CA−1 B 6= 0 Una vez encontrado vd . por lo tanto. como la suma de las soluciones a los casos: o 1) v 2) v = vd . . ˜ ˜ con ˜ x (0) = x0 − xd ˜ x (t) = (A − BK) x (t) Observe que x (t) → 0 a una velocidad determinada por los valores propios de t→∞ A − BK y. utilizando superposiciń. presumiblemente. t→∞ Si el comando yd es cambiado. es algń valor deseado diferente de cero. es decir. la respuesta del sistema se puede hallar. o comando. la funciń de transferencia en lazo o o cerrado no debe tener ceros en el origen. ningń valor propio de A − BK es cero. y (t) = yd + C x (t) ˜ en donde: . Pero. y en particular. Por lo tanto vd se puede determinar u con la ecuaciń: o −1 vd = HK (0) yd . y (t) → yd a esa misma rata. de la combinaciń C x (t) . x = Ax + Bu + w.1 Perturbaciones de entrada constante y realimentaciń integral 275 o 8.1. ¸ · x A − BK −BKq x w .8. x (0) = x0 Si se usa realimentaciń de las variables de estado. se pueden eliminar utilizando realimentaciń o o integral del error. entonces el valor de y en el estado estacionario ser´ cero. ya que de la segunda ecuaciń anterior: a o 0 = Cx (∞) = y (∞) . para estabilizar o el sistema original.2 Realimentaciń de las variables de estado y la integral de la salida o El sistema aumentado en lazo cerrado es: ¸· ¸ · ¸ · .As´ el sistema se puede desribir mediante las ecuaciones: ı.7. la presencia de w producir´ un valor de estado estacionario a diferente de cero. Los efectos de vectores o o de perturbaciń constantes. As´ se introduce una variable de estado adicional: ı. Este valor se puede reducir incrementando K. a menudo. = + q C 0 q 0 Si {K. y = Cx . Kq } se escogen de modo que el sistema sea estable. sin embargo. o pero desconocido. este procedimiento tiene l´ ımites debido a los efectos de saturaciń y ruido. o Un m´todo razonable podr´ ser tratar de estimar el descononido w de alguna manee ıa ra y usar esta estimaciń para cancelar la perturbaciń. q (t) = y ˙ y se usa la realimentaciń: o u (t) = Kx (t) − Kq q (t) ley de control Figura 8.2 Perturbaciones de entrada constante y realimentaciń integral o Suponga que en el modelo del sistema se tiene un vector de perturbaciń w constante. u (t) = −K x (t). d´ ıa 29 1) Con u = 0. un sat´lite en o e n o e ese punto puede ser estabilizado. Despu´s se demostrar´ que usando a e a realimentaciń del estado.. y +2ω x +4ω2 y = u en donde: x perturbaciń de la posiciń radial.1 . hay un punto L1. en adiciń a la realimentaciń integrativa se puede obtener un valor de estado o o estacionario y (∞) deseado. Las ecuaciones din´micas para pequeãs desviaciones del punto de equilibrio se puede a n demostrar que son: x −2ω y −9ω2 x = 0 . o o 2 u = F/mω F fuerza del motor en la direcciń y. Fig 8. .276 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO Es importante notar que el error de estado estacionario es llevado a cero sin conocer la perturbaciń w. este punto de equilibrio es inestable como se ver´. demostrar que el punto de equilibrio es inestable. usar realimentaciń de las variables de estado: o u = −K1 x − K2 x −K3 y − K4 y . Figura 8. o o y perturbaciń de la posiciń acimutal. .3.3 Ejemplo En la l´ ınea que conecta el centro de la tierra con el centro de la luna. a trav´s de un pequeõ motor de reacciń.. Sin embargo. Ejemplo 8. Adem´s. n´tese que usando un comando de entrada vd . 2) Para estabilizar el sistema. . o refeo a o rencia. . o m masa del sat´lite e 2π −1 ω = rad. . en donde la fuerza de atracciń de la tierra sobre un sat´lite (en una orbita o e ´ alrededor de la tierra con el mismo per´ ıodo que la orbita de la luna) es exactamente ´ igual a la fuerza de atracciń de la luna m´s la fuerza centr´ o a ıfuga. 1 Perturbaciones de entrada constante y realimentaciń integral 277 o Determinar los Ki de modo que el sistema en lazo cerrado tenga los polos en s = −3ω. La ecuaciń caracter´ o ıstica es: a (s) = det (sI − A) = s4 − ω2 s2 − 36ω 4 cuyas ra´ se determinan con: ıces √ ¢ ¡ √ ω2 1 ± 145 ω 4 + 144ω 4 = s = 2 2 Por lo tanto. por ejemplo. 2) Como ¡ sistema es controlable. .8. entonces: C = [0 0 1 0] Calculando: HK (0) = −C (A − BK)−1 B = − 1 24ω 2 . se puede reubicar los valores propios por realimentaciń de las variables de estado.5ω2 3) Como la salida es y. s = −4ω. o 4) Explicar porqu´ un controlador como el anterior para la posiciń x no puede ser e o diseãdo para el sat´lite. y s = (−3 ± j3) ω. ya que la matriz de controlabilidad C ∗ (A. ±jω2. y . entonces: 0  9ω 2 A=  0 0  1 0 0 −2ω 0 0 0 −4ω 2  0 2ω   1  0  0  0  B=   0  1  . ´ por comparaciń de coeficientes o o o con el polinomio det (sI − A + BK) se obtiene: K4 = 13ω K3 = −28ω 2 K2 = 50.35. El polinomio caracter´ ıstico deseado es: α (s) = (s + 3ω) (s + 4ω) (s + 3ω + j3ω) (s + 3ω − j3ω) = s4 + 13ωs3 + 72ω 2 s2 + 198ω 3 s + 216ω 4 Utilizando la f´rmula de Bass-Gura. B) es no el ¢ o singular det C ∗ = −36ω4 . 3) Diseãr un controlador con la anterior realimentaciń y con un comando de refen o rencia para la posiciń y.55} y el sistema es claramente inestable. n e Soluciń: o 1) Utilizando como variables de estado x. los valores propios son: 2 ω2 ± {±ω2. x. y.5ω K1 = 157. tiempo de establecn imiento. el m´ximo sobrepaso.3 Observaciones finales La escogencia de un conjunto de valores propios deseados. Naturalmente esto es a o o imprćtico ya que implicar´ conseguir un gran n´mero de sensores.278 REALIMENTACION LINEAL DE LAS VARIABLES DE ESTADO Por lo tanto: −1 vd = HK (0) yd = −24ω 2 yd y la soluciń por realimentaciń. o no existe ninguna regla espec´ ıfica para escoger las matrices Q y R en el anterior ´ ındice cuadr´tico. ley de control. ı. y consecuentemente un conjunto unico o ´ de valores propios es minimizando el ´ ındice de desarrollo cuadr´tico: a Z ∞h i t t x (t) Qx (t) + u (t) Ru (t) dt J= 0 K se puede determinar resolviendo la ecuaciń algebraica de Riccati. Esta metodolog´ est´ fuera del alcance de este libro.7. El paso restante consiste en diseãr un ”estimador” a n u ”observador asint´tico” el cual permite estimar todo el vector de estado. . As´ es imposible encontrar una entrada vd para ajustar cualquier valor deseado de x. Sin embargo. Por supuesto o el conjunto de valores propios obtenidos no ser´ unico. 8. La unica manera sistem´tica a´ ´ a conocida para las ganancias de realimentaciń. depende de criterios de funcionamiento de diseõ tales como el tiempo de crecimiento. o reales.1. o compensador. La suposiciń de a ıa u o la disponibilidad de las entradas meramente permiten proceder con el primer diseõ. y entonces: ıa C = [1 0 0 0] −1 Si se calcula −C (A − BK) B = 0 para todo K. a ıa a Una de las ventajas de la tćnica propuesta en este cap´ e ıtulo es que el procedimiento consiste de dos pasos independientes. etc. la magnitd m´xima de las seãles.5ω 2 50. Aunque estos a a n criterios sean precisamente especificados. n que se llamar´ ley de control. en donde la ley de control se basa en los estados estimados en lugar de los estados actuales. El cono trolador final. consistir´ de la combinaciń de la ley de control y el a o estimador. es: o o u (t) = −Kx − 24ω2 yd en donde: £ K = 157. El primero supone que todas las variables de estado estń disponibles para prop´sitos de realimentaciń.5ω − 28ω 2 13ω ¤ 4) En este caso la salida ser´ x. no hay respuesta simple al problema propuesto. Una manera de proceder es por simulaciń en el computador. t > 0− 279 . B. C} es controlable. o el uso de los estados estimados en lugar de los verdaderos para realimentaciń. Est´ tćnica es por supuesto imprćtica y se desarrollar´ un a e a a estimador de estado m´s real´ a ıstico conocido como observador asint´tico. Si el sistema es observable.CAPITULO 9 ˜ DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES Si una realizaciń {A. 9. .1 Observadores asint´ticos para medida de los o estados Se desea determinar los estados de la realizaciń: o x (t) = Ax (t) + Bu (t) . Se ver´ que las ecuaciones de diseõ para el controlador no se afectan por el hecho de a n que se usen los estados aproximados en lugar de los verdaderos. mediante diferenciaciń se pueden o calcular los estados. x (0−) = x0 y (t) = Cx (t) . Sin embargo. Se ver´ adem´s que la a a configuraciń total del observador-controlador es internamente estable. Se discutir´ el a problema de obtener los estados de la realizaciń conociendo unicamente la entrada u y o ´ la salida y del sistema. podr´ o ıa conducir en general a un deterioro de la respuesta transitoria. entonces la realimentaciń de las variables o o de estado puede reubicar los valores propios de A a donde se desee. Su nombre o es debido a que los estados se pueden obtener unicamente con un error tal que tiende ´ a cero a una rata exponencial deseada. 1. por lo tanto. C. 9. x (t) = Ax (t) + Bu (t) x (0−) = x0 = x0 + ζ ˆ ˆ (9. x (t) = A x (t) ˜ ˜ x (0−) = ζ ˜ (9.280 DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES suponiendo conocidos y (t) y u (t) . Se puede demostrar que con u (t) = 0. C} con el e. · · · .i de la simulaciń tiene un ligero error. x (t)−x (t) que satisface la ecuaciń diferencial (9.2) Obviamente hay un error x (t) . Si se simula el sistema {A.i correcto y se excita con la entrada {u (t) . Observe que es una estrategia en lazo abierto y es susceptible.2): .e. Los estados serń las variables x (t) en lugar de x (t) : a ˆ . a perturbaciones y no hay medio para compensar por algunos errores.e. en lugar de x0 . t > 0−}. B. t ≤ 0− : h it O.1) (9. y (n−1) (0−) © ª de la cual podr´ hallarse x (0−) si se da y (0−) .i) e x (0−) = x0 .1 Sistema original y simulaciń o Suponga que el e. es decir se tiene x0 . Si se conocen A. o ˆ kζk << kx0 k. El problema sin embargo es que no se conoce el estado energ´tico inicial (e. t > 0−}.3) . B.x (0−) = y (0−) .3) ˜ ˆ o que se obtiene de (9. Figura 9. x (t) = Aˆ (t) + Bu (t) . x0 +ζ. · · · . y (t) y u (t) se puede simular el sistema y usar como entrada a u (t).1 Un observador en lazo abierto.e. ˆ x . y (n−1) (0−) como parte del ıa problema. se puede obtener {x (t) .1) y (9. i produce un error x (t) . los efectos de errores iniciales y perturbaciones. y (t) es disponible. Una seãl de error se puede generar como: n y (t) − y (t) = y (t) − Cˆ (t) = C [x (t) − x (t)] = C x (t) ˆ x ˆ ˜ la cual puede ser utilizada para excitar la ecuaciń del estimador. el error es x (t) − x (t) = x (t). Estas observaciones o llevan a considerar un estimador para x (t) de la forma mostrada en la Fig 9. a 9. los efectos de los errores en las estimaciones iniciales tomarń mucho tiempo n a en desaparecer prćticamente. n En nuestro problema. s˜ (s) − ζ = A˜ (s) x x −1 x (s) = (sI − A) ζ ˜ (9.2. pero por supuesto x (t) no est´ ˆ ˜ a disponible.4) en fracciones parciales se nota que x (t) ser´ una suma de t´rminos ˜ a e ª © de la forma eλi t . o al menos o o controlar deseablemente. puede ser utilizada ahora ya o que con y (t) = Cx (t). As´ ı: .4) Si se expande (9. Por esto se debe obtener una seãl de referencia de alguna otra manera. Obviamente si el sistema es inestable (recu´rdese que interesa determinar los estados para e ser realimentados y lograr estabilidad) entonces el error x (t) crecer´ indefinidamente ˜ a a medida que t → ∞ sin importar que tan pequeõ es el error inicial. a especialmente si se hace una reinicializaciń peri´dica.9. n Ań si el sistema es estable. en donde los {λi } son los valores propios de A.1. n La salida y (t). no usada en la relaciń de lazo abierto. para eliminar. Se supone que se tiene acceso a la entrada y salida del sistema original. El problema consiste e o en como determinar este error.e. Sin embargo.1 Un observador en lazo cerrado 281 Es decir. o . En problemas cl´sicos de realimentaciń se obtiene a o de la seãl de referencia. la manera cl´sica de resolver estas dificultades potenciales de sistemas a de lazo abierto es usar realimentaciń para que el error tienda a cero. el error ζ en el e.5) donde x0 es una estimaciń inicial del vector de estado y l es un vector de ganancias ˆ o de realimentaciń que debe ser escogido deseablemente. ˜ Usando Laplace: ∀t ≥ 0 − . si algunos valores propios tienen partes reales muy u pequeãs. tJ eλK t · · · .2 Un observador en lazo cerrado Habr´ situaciones en las que un estimador de lazo abierto puede ser satisfactorio. x (t) = Aˆ (t) + Bu (t) + l [y (t) − Cˆ (t)] ˆ x x x (0) = x0 ˆ ˆ (9. excitando el o sistema con un t´rmino proporcional al error en la estimaciń. e o El efecto de realimentar el error l [y − y ] = lC [x − x] es dar algń control sobre el ˆ ˆ u comportamiento del error x. B} controlable. Este problema es esencialmente el mismo como el de determinar el vector de realimentaciń K requerido para darle una din´mica arbitraria a una realizaciń que o a o es controlable. (9. Por ahora la estimaciń inicial x0 no es importante u a o ˜ o si no se tiene informaciń especial. o Se demostrar´ que si {C.3) o ecuaciń de error en lazo abierto.282 DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES Figura 9. y lo que se trata de hacer es escoger l de modo que el error se atené tan r´pido como se desee. se puede o o encontrar un vector K de varias maneras de modo que: .7) 9. B. por razones ˆ o que se verń m´s adelante.2 Observador asint´tico o El sistema que genera x es llamado observador u observador asint´tico.5) se obtiene: . x (t) = (A − lC) x (t) ˜ ˜ ˆ x (0) = x0 − x0 ˜ (9.6) se reduce a (9.6) Obs´rvese que con l = 0. es decir: en donde los αi son completamente arbitrarios.3 F´rmulas para el vector de ganancias del observador o Se demostr´ que dada una realizaciń {A. entonces se puede hallar l de modo que a A − lC tenga valores propios arbitrarios. l debe ser escogido para controlar adecuadamente el error a a x = x − x. det (sI − A + lC) = α (s) = sn + α1 sn−1 + · · · + αn (9. A menudo se toma x0 = 0. ˜ ˆ De (9. La razń para el o ˜ nombre observador asint´tico debe ser clara ahora. las frecuencias naturales serń los valores ˜ a propios de A − lC.2) y (9.1. A} es observable. En efecto. C} con {A. 10) Entonces para calcular l es necesario que el sistema sea observable. . 283 det (sI − A + BK) = sn + α1 sn−1 + · · · + αn o para cualquier αi . a1  0 1 entonces l se puede encontrar si y solo si C (At .9) t Para reformular el problema del observador de la anterior manera.   1 a1 a2 · · · an−1  0 1 a1 · · · an−2     0 0 1 · · · an−3    .   . C t ) es no singular. por ejemplo. . Γt =  . .  ..8) (9. B) (9.   .   . C t = C t At C t · · · At(n−1) C t = O (A C) l = O−1 (A. 9. entonces: ¢ ¡ det (sI − A + lC) = det (sI − A + lC)t = det sI − At + C t lt y si en la soluciń del problema del controlador se reemplaza: o A → At B → Ct K → lt en donde a es el vector de coeficientes de a (s) = det (sI − A) y Γ es una matriz triangular superior Toeplitz con [1 a1 · · · an−1 ] como la primer fila. puesto que det M = det M t . . C) Γ−t (α − a)t Por lo tanto el vector de ganancias l del observador se puede calcular como: (9. Una f´rmula.  .2 Observador y controlador combinados (compensadores) El problema del observador se gener´ por la necesidad de obtener los estados para o usarlos en el controlador.9. C t − Pero: i ¡ ¢ h C At .2 Observador y controlador combinados (compensadores). es: K = (α − a) Γ−1 C −t (A. La dualidad entre el problema del observador asint´tico y el del controlador modal es muy util y puede o ´ ser usada como se hizo anteriormente. Ahora se tiene estimaciones asint´ticas correctas de los o . Entonces: ¡ ¢ lt = (α − a) Γ−t C −1 At . como se ver´ m´s adelante. o e se puede cerrar el lazo a trav´s del vector de ganancias K. Sin embargo. Si se tiene H (s) se puede obtener una reo alizaciń conveniente. De otra manera. Este x x ultimo hecho debe ser as´ pues de lo contrario los estados x no seguirń a los estados ´ ı.11) . con perfecta realimentaciń de los estados. por ejemplo.284 DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES estados en lugar de los estados mismos y una pregunta natural es si el resultado previo de ubicar polos arbtrariamente por realimentaciń de las variables de estado o se sostendr´ cuando solo se dispone de tales estimaciones de los estados actuales. B. (9. se probar´ que la ıan a incorporaciń de un observador asint´tico estable no inestabiliza el sistema total. Por eso. o o Figura 9. u = v − Kˆ. . ˆ a x. se debe e usar estados estimados x. los cuales se obtienen del sistema simulado que es excitado ˆ por el error l [y − Cˆ] y por la misma entrada del sistema original. Si ´stas son directamente medibles.3 puede ser descrito por su funciń de transferencia o H (s) o por una realizaciń {A. a L´gicamente en estado estacionario el observador asint´tico es adecuado ya que los o o errores en las estimaciones son nulos. Para el sistema de la Fig 9. C}. la funciń a a o de tranferencia del observador y controlador conbinadas ser´ la misma que la del cona trolador puro.3 Observador y controlador combinados El sistema original de la Fig 9. de modo que se pueda o usar realimentaciń de las variables de estado. Pero la preocupaciń b´sica o o a es si la incorporaciń del sistema din´mico observador en el lazo de realimentaciń o a o afectar´ la estabilidad de el sistema total ya que interconexiones de subsistemas esa tables podr´ conducir a sistemas totales inestables.3 se pueden plantear las siguientes ecuaciones: x (t) = Ax (t) + B [v (t) − Kˆ (t)] x x (t) = Ax (t) − BKˆ (t) + Bv (t) x . tipo ”CONTROLLER”. 16) (9.9. = + v (t) lC A − lC − BK x (t) ˆ B x (t) ˆ ¸ · ¸ · x (0−) x0 = x0 ˆ x (0−) ˆ y (t) = C x (t) · (9.18) Una identidad matricial muy util es: ´ h i−1 I + C (sI − A)−1 B = I − C (sI − A + BC)−1 B (9. x (t) = (A − lC) x (t) ˜ ˜ ˆ x (0−) = x0 − x0 ˜ Observe que en la ecuaciń (9. as´ ı: ¸ · ¸· ¸ · ¸ . se o V (s) obtiene: sx (s) = Ax (s) − BKˆ (s) + B V (s) x sˆ (s) = lCx (s) + (A − lC − BK) x (s) + B V (s) x ˆ Eliminando x (s) entre (9.14) (9.13) (9.15) para obtener la funciń de transferencia total.19) .12) x (t) = x (t) − x (t) = Ax (t) − Aˆ (t) − lCx (t) + lCˆ (t) ˜ ˆ x x .13) la entrada no interviene. (9. Ho−c (s) = Y (s) .12) se pueden reescribir. .17) se obtiene: ˆ i h sI − A + BK (sI − A + BK + lC)−1 lC x (s) = i h = I − BK (sI − A + BK + lC)−1 B V (s) (9. x (t) = Aˆ (t) + B [v (t) − Kˆ (t)] + l [Cx (t) − Cˆ (t)] ˆ x x x . x (t) = l Cx (t) + (A − lC − BK) x (t) + Bv (t) ˆ ˆ x (0−) = x0 ˆ ˆ El error en los estados obedece la siguiente ecuaciń: o . o Las ecuaciones (9.17) (9.2 Observador y controlador combinados (compensadores).16) y (9. 285 x (0−) = x0 .14) y (9.15) Suponiendo el estado energ´tico inicial nulo y usando la transformada de Laplace en e (9.11) y (9. . x (t) A −BK x (t) B . en forma matricial. tendr´ las mismas a salidas que el sistema original. se pueden . la funciń de transferencia no dea o pende de que tan r´pido el error en los estados estimados tienda a cero. el polinomio caracter´ ıstico del sistema total es el producto de los polinomios caracter´ ısticos del observador y del sistema controlado suponiendo que se conocen perfectamente los estados. esto es: Bv (s) = i h I + BK (sI − A + lC)−1 n h i o sI − A + lC − I − BK (sI − A + BK + lC)−1 lC x (s) (9. el observador asint´tico es lo mismo que o o el observador perfecto.14): o · ¸ sI − A BK (9. la funciń de transferencia es la misma del sistema controlado y no depende o de la din´mica del observador.21) en (9.15): Y (s) = Cx (s) Con (9.25) −lC sI − A + lC + BK −lC sI − A + BK ao−c (s) = det (sI − A + BK) det (sI − A + lC) ao−c (s) = acont (s) aobs (s) (9. se obtiene (9. entonces por supuesto el observador. x (t) = x (t) cuando x (0) = 0 = x (0). ıa o Es decir. Esto significa que las frecuencias naturales o modos del sistema total se pueden ubicar para que este sea estable.23) que es la misma que se obtendr´ con realimentaciń perfecta de los estados. que son las e o ra´ de la ecuaciń carater´ ıces o ıstica de la realizaciń (9.22) se obtiene la funciń de transferencia total: o Ho−c (s) = C (sI − A + BK)−1 B (9. al calcular la funciń de transferencia. para ambos x y x.20) = (sI − A + lC + BK − lC) x (s) Bv (s) = (sI − A + BK) x (s) De donde: x (s) = (sI − A + BK)−1 B V (s) Transformando (9.22) (9. Es decir. La explicaciń a o es que con estado inicial cero. En otras palabras.24) ao−c (s) = det −lC sI − A + lC + BK por transformaciones en las filas y columnas de la matriz en (9.26) por lo tanto: Entonces. Por ˆ ˆ eso. De hecho.18). Sin embargo el principal inter´s es con los modos de la realizaciń total.20).24) se puede simplificar este determinante de modo que: · ¸ · ¸ sI − A BK sI − A + lC 0 = (9.19) en (9.286 DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES Si se usa la identidad matricial (9.21) (9. ˆ cuando se excita con las mismas entradas que el sistema original. 1 Implementaciń del observador o El hecho de que el observador tenga tantos estados como el sistema original no significa que se tiene que replicar el sistema original para lograr los anteriores resultados. no solo el controlador. entonces e ao−c (s) tambiń lo es. As´ en muchas aplicaciones. con ra´ ıces ubicadas en el plano complejo izquierdo. w = 0 . Resultado que es fundamental y que no era obvio ya que.26) es que el controlador y el observador se pueden diseãr ´ n independientemente el uno del otro. es posible utilizar ı. o con grandes ventajas de tamaõ. Sin embargo. como se dijo antes. As´ o ı.2 Resumen Usando realimentaciń de los estados de una realizaciń completamente controlable o o y completamente observable de la funciń de transferencia original. la din´mica del observador a a asint´tico se puede calcular del conocimiento de A y C sin importar si este se va a o combinar con un controlador por realimentaciń o no. Aunque se ha obtenido este resultado solo para sistemas escalares. si acont (s) y aobs (s) son estables. los modernos desarrollos en la n electrńica integrada facilita el uso de observadores de muy alto orden en el control de o sistemas f´ ısicos bastante complicados. o se puede hacer acont (s) = det (sI − A + BK) arbitrario. un procesador ıa qu´ ımico. 9. si n no tambiń las ecuaciones de estado del observador.2. se sabe que. una entrada. De hecho. una salida.0. se diseãr´ o n a un observador para estimar a w y usar ´sta para compensar la perturbaciń. se puede obtener o una nueva realizaciń internamente estable cuyas frecuencias naturales estń ubicadas o e donde se desee. similarmente. Para el c´lculo de las ganancias de realimentaciń a o K no importa si son los verdaderos estados. si la realizaciń original es controlable y observable. se puede construir con circuiteria electrńica. Afortunadamente. es decir. miniaturizada.9. costo. En particular. etc. hay muchas situaciones en las que la interconexiń de sistema estables o conduce a un sistema inestable. etc. seleccionando K como en el Cap´ ıtulo 8. los que estń disponibles. un microprocesador diseãdo especialmente para integrar. Otra consecuencia util de (9. .2. El sistema original podr´ ser una complicada planta de potencia. hay una extensiń natural al caso multivariable y en esto representa quiz´s el o a mayor triunfo del m´todo del estado espacial en el control de sistemas lineales.1 Perturbaciones constantes y realimentaciń integrativa o Para un sistema excitado con una perturbaciń constante desconocida w. o Lo anterior constituye la as´ llamada propiedad de separaciń en el procedimiento de ı o diseõ del observador-controlador. e 9.0. excepto en circunstancias muy especiales. no se necesita contruir el observador de la misma manera como el sistema original. sobre realimentaciń por variables de estado. e 9.2 Perturbaciones constantes y realimentaciń integrativa 287 o escoger arbitrariamente. o las estimaciones asint´ticas correctas o de los estados. Por eso. Matemé o a ticamente: x = Ax + Bu + Bw . habr´ un deterioro en la respuesta n a transitoria del sistema combinado (ver ejemplo).2. w ˆ # = · A − l1 C −l2 C B 0 ¸· x ˆ w ˆ ¸ + · B 0 ¸ u+ · l1 l2 ¸ y La estructura del observador se muestra en la Fig 9. x ˆ . o Un observador para el sistema aumentado es dado por: " .4 Sistema con perturbaciń o Si se tuviera una estimaciń w de w. = + u + l (y − Cˆ) x 0 0 w ˆ 0 w ˆ x (0) = 0. Esto motiva para obtener un observador que estime a w. Se tiene entonces el sistema aumentado mostrado en la Fig 9. se tiene: t " .288 DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES y = Cx en donde u es la entrada de control y y la salida observada. La perturbaciń constante o se modela como la salida de un integrador no excitado. # · ¸· ¸ · ¸ A B x ˆ B x ˆ . l2 ] . Partiendo l como [l1 . con l2 un escalar. w (0) = 0 ˆ ˆ t t en donde l es un vector columna de dimensiones (n + 1)×1.4: Figura 9. se ajustar´ u = −w para tratar de cancelar la o ˆ ıa ˆ perturbaciń.5: . 5 Observador para estado y perturbaciń o Si el sistema aumentado es observable. Para el ejemplo del sat´lite resuelto en el cap´ e ıtulo de realimentaciń de variables de o estado. y as´ asegurar que w se aproxima ı ˆ asint´ticamente a w. Entonces: n o C = [0 0 1 0] Para determinar si el sistema es observable:  C  CA   0∗ =   CA2  CA3  CA CA2 CA3  = = = [ 0 [ 0 £ −18ω 3 0 0 −2ω 0 1 0 −4ω 2 0 0 −2ω 0 0 −4ω 2 0 1 ] 0 ¤ ] −8ω 2 Por lo tanto: 0  0 0∗ =   0 −18ω 3  0 1   0  −8ω 2 det 0∗ = −36ω4 6= 0 El sistema es observable y se puede diseãr el observador. Debido a la propiedad de separaciń el observador se puede diseãr independienteo n mente del diseõ de la realimentaciń de las variables de estado.3) = 9.1 . s = −3ω ± j3ω. lo cual significa que los errores estimados decaerń en un tiempo de aproximadamente a 4/2ω = 2/ω = 2/ (2π/29. n . diseãr un observador utilizando medidas de la perturbaciń de la posiciń n o o acimutal y.2 Perturbaciones constantes y realimentaciń integrativa 289 o Figura 9.9. Ubicar los polos del observador en s = −2ω.33 d´ ıas. tiendan a cero con el tiempo. se puede escoger l de tal manera que los modos del error decaigan. s = −3ω. o Ejemplo 9. 5ω l2 = 8.290 DISENO DE OBSERVADORES ASINTOTICOS Y COMPENSADORES sI − A + lC  =    =     s −9ω 2 0 0 s −9ω 2 0 0   −1 0 0 s 0 −2ω   + 0 s −1   s 2ω 4ω2  −1 l1 0 −2ω  s l2  −1  0 s + l3 s 2ω 4ω2 + l4  l1 ¤ l2  £  0 0 1 0 l3  l4   s l2 −1 l1 −2ω −1  + 9ω 2  0 s + l3 s + l3 det (sI − A + lC) = s det  0 s 2ω 4ω 2 + l4 2ω 4ω2 + l4 ¤ © £ 2 ª = s s s + l3 s + 4ω 2 + l4 + 2ω [−l2 + 2ωs + 2ωl3 ] © £ 2 ¤ ª +9ω 2 − s + l3 s + 4ω2 + l4 + 2ω [−l1 ] £ ¤ = s4 + s3 [l3 ] + s2 4ω 2 + l4 + 4ω2 − 9ω 2 ¤ £ ¤ £ +s 2ω (−l2 + 2ωl3 ) + 9ω2 l3 + 9ω 2 4ω 2 + l4 − 2ωl1 La ecuaciń caracter´ o ıstica deseada del observador es:   0 −1  s α (s) = (s + 2ω) (s + 3ω) (s + 3ω − J3ω) (s + 3ω + J3ω) α (s) = s4 + 11ωs3 + 54ω 2 s2 + 126ω 3 s + 108ω 4 Comparando los coeficientes correspondientes se obtienen las componentes del vector l: l1 = 23. .6 muestra el esquema del control con el observador.5ω 2 l3 = 11ω l4 = 55ω 2 La Fig 9. 2 Perturbaciones constantes y realimentaciń integrativa 291 o Figura 9.9.6 Control del sat´lite con observador e . . APENDICE A TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 293 . .) tn e−at (n = 1. f (t) impulso unitario δ (t) escalń unitario 1 (t) o t tn−1 (n−1)! F (s) 1 1 s 1 s2 1 sn n! sn+1 1 s+a 1 (s+a)2 1 (s+a)n n! (s+a)n+1 ω s2 +ω2 s s2 +ω2 ω s2 −ω2 s s2 −ω2 1 s(s+a) 1 (s+a)(s+b) s (s+a)(s+b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (n = 1. 2. 3. 2. 2. . 3. . .294 TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Tabla A. . . . .1. 2.) sen ωt cos ωt senh ωt cosh ωt 1 a 1 b−a 1 b−a (1 − e−at ) ¡ −bt ¢ be − ae−at ¡ −at ¢ e − ebt . 3. 3. .) e−at te−at tn 1 n−1 (n−1)! t e−at (n = 1. . .) (n = 1. . A.0 TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 295 Tabla A.1 Continuaciń o 1 ab 17 18 19 20 21 22 h 1+ 1 a2 1 a−b (1 − e−at − ate−at ) (at − 1 + e−at ) e−at sen ωt e−at cos ωt ¡ −at ¢i be − ae−bt 1 s(s+a)(s+b) 1 s(s+a)2 1 s2 (s+a) ω (s+a)2 +ω2 s+a (s+a)2 +ω2 2 ωn 2 s2 +2ζωn s+ωn 1 a2 ³ p ´ √ωn e−ζωnt sen ωn 1 − ζ 2 t 2 1−ζ 23 −√ 1 ³ p ´ e−ζωnt sen ωn 1 − ζ 2 t − φ 1−ζ 2 √ 1−ζ 2 φ = tan−1 ζ ³ p ´ e−ζωnt sen ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2 √ 2 1−ζ φ = tan−1 ζ 1 − cos ωt ωt − sen ωt sen ωt − ωt cos ωt 1 2ω t sen ωt s 2 s2 +2ζωn s+ωn 24 1− √ 1 2 ωn 2 s(s2 +2ζωn s+ωn ) 25 26 27 28 29 30 31 1 2 2 ω2 −ω1 ω2 s(s2 +ω2 ) ω3 s2 (s2 +ω2 ) 2ω3 (s2 +ω2 )2 s (s2 +ω2 )2 s2 −ω2 (s2 +ω2 )2 t cos ωt (cos ω1 t − cos ω2 t) 1 2ω (sen ωt + ωt cos ωt) ¢ ¡ 2 2 ω1 6= ω2 s 2 2 (s2 +ω1 )(s2 +ω2 ) s2 (s2 +ω2 )2 . 2. L [Af (t)] = AF (s) L [f1 (t) ± f2 (t)] = F1 (s) ± F2 (s) h L± d2 dt2 f 1 2 3 4 L± L± i (t) = s2 F (s) − sf (0±) − f (0±) n ¤ P n−k (k−1) (t) = sn F (s) − s f (0±) k=1 (k−1) £d dt f ¤ (t) = sF (s) − f (0±) 5 £ dn dtn f donde f (t)= dk−1 f dtk−1 (t) 6 £R R L± £R ¤ f (t) dt = F (s) s2 F (s) s + £R ¤ f (t)dt s ¤ t=0± 7 L± ¤ f (t) dt dt = + £R f (t)dt s2 t=0± + £R R f (t)dt dt s ¤ t=0± 8 L± £R R ¤ · · · f (t) (dt)n = L± R∞ 0 F (s) sn + k=1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 f (t) dt =lim F (s) si s→0 hR t f 0 i (t) dt = n P 1 sn−k+1 hR i R · · · f (t) (dt)k t=0± F (s) s L [e−at f (t)] = F (s + a) α≥0 R∞ 0 f (t) dt existe L [f (t − α) 1 (t − α)] = e−as F (s) £ ¤ d2 L t2 f (t) = − ds2 F (s) dn dsn F L [tf (t)] = − dF (s) ds L [tn f (t)] = (−1)n L £1 tf (s) n = 1.296 TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Tabla A. . . 3.2. £ ¡ t ¢¤ L f a = aF (as) ¤ R∞ (t) = s f (s) ds . . f) Funciones del MATLAB. ”toolboxes”. El ambia e o ente es tal que los problemas y soluciones se expresan como se escriben matem´ticaa mente. b) Generar matrices usando declaraciones y funciones propias del MATLAB. Se pueden entrar de diferentes maneras: a) Una lista expl´ ıcita de elementos. una matriz num´rica e rectangular con elementos posiblemente complejos. o a o La cualidad mas importante del MATLAB es que es fćilmente extendible. u e d) Formato de salida. redes neurales.1 Introducciń o Programa que sirve para c´lculo num´rico y visualizaciń de alto desarrollo. o c) N´meros y expresiones aritm´ticas. El contenido de este apńdice describe: e a) Como entrar matrices simples. a MATLAB tambiń tiene cajas de herramientas. los elementos para construirlas. Es un sistema interactivo cuyo elemento o b´sico de datos es una matriz que no requiere dimensionamiento. declaraciones y variables del MATLAB.APENDICE B PROGRAMA MATLAB B. optimizaciń y otros (Matem´tica simb´lica). e) Ayuda. diseõ de sistemas de n n control. Esto a permite crear nuestras propias aplicaciones. que resuelven clases e particulares de problemas tales como procesamiento de seãles. sin la tradicional programaciń. o a o sistemas de control robustos. simulaciń de sistemas din´micos. identificaciń de sistemas. B. 297 .2 Entrando matrices simples El MATLAB trabaja fundamentalmente con una clase de objeto. b) Como conseguir informaciń del espacio de trabajo y como guardarla. 7321 4.3 sqrt (3) resulta en: x = −1.) se usa para indicar los finales de las filas. El lenguaje MATLAB no contiene declaraciones ”DIMENSION” ni ”TYPE”. A = [1 2 3.) o espacios en blanco. x = [−1.8000 los elementos de la matriz pueden ser referenciados con ´ ındices dentro de parńtesis. Ejemplo B. Se pueden entrar matrices desde archivos de disco si su nombre tiene extensiń ·m.3000 1. e (1 + 2 + 3) ∗ 4/5] . c) El comienzo y el fin de la matriz se indica con corchetes [ ]. d) Cargar matrices de archivos de datos externos. 4 5 6. b) El punto y coma (.2 . Entrando una lista expl´ ıcita de elementos se siguen las siguientes convenciones: a) Se separa la lista de elementos con comas (.298 PROGRAMA MATLAB c) Crear matrices en archivos M. Separa la memoria necesaria para el almacenamiento. B.3 Elementos de las matrices Estos pueden ser cualquier expresiń del MATLAB. 7 8 9] Esta declaraciń genera la siguiente salida: o A= 1 4 7 2 5 8 3 6 9 La matriz A es guardada por el MATLAB para uso posterior. o Si un archivo llamado gena · m tiene las siguientes l´ ıneas de texto: A= [1 4 7 2 5 8 3 6 9] entonces la declaraciń gena o lee el archivo y genera A. o El punto y coma (.) puede ser reemplazado por el ” RETURN” ´ ”ENTER”. o Ejemplo B.1 . funciones y nombres de variables. La evaluaciń de la expresiń produce una matriz la o o cual se muestra en la pantalla y se asigna a la variable.8000 0 1. . :) . interpreta y evalá las expresiones o u escritas. r] que resulta en: A= 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12 Se puede extraer matrices pequeãs de matrices grandes usando dos puntos (:). Si se omite el nombre de la variable y el signo =. x (5) = abs (x (1)) produce: x = −1. n Ejemplo B. Es decir. Se pueden construir matrices grandes usando matrices pequeãs como elementos. o Las expresiones se pueden componer de operadores y otros caracteres especiales.B. toma las tres primeras filas y todas las columnas de la A actual.3 . A = A (1 : 3. Por n ejemplo.4 Declaraciones y variables del MATLAB Ejemplo B.4 . para adicionar otra fila a la matriz A : r = [10 11 12] .3000 299 Note que el tamaõ de x se incrementa autom´ticamente para acomodar el nuevo n a elemento y que los elementos no definidos se igualan a cero. A = [A .4 Declaraciones y variables del MATLAB El MATLAB es un lenguaje de expresiń.3000 1.7321 4. MATLAB autom´ticamente crea a una variable con el nombre ans. B. Las declaraciones son frecuentemente de la forma: variable = expresiń o o ´ simplemente expresiń. 22·10−16 .5 . Ensayar el comando help lookf or. o B.4568 Una declaraciń normalmente termina con ”RETURN” ´ ”ENTER”. pero INV (A) se refiere a una funciń no definida. 1900/81 produce: ans = 23. incluyendo cero. Todos los nombres de a u u funciones deben ser en min´sculas. eps = 2−52 ≈ 2. Cada elemento de una matriz real requiere 8 bytes de memoria. Adem´s. Si es necesaria m´s de una l´ a ınea para la expresiń se puede usar · · · (3 puntos) y el o ”RETURN” para indicar que continá en la pr´xima l´ u o ınea. MATLAB recuerda s´lo los primeros 19 caracteres de un u o nombre. p = eig (A) . Las variables ans y eps son permanentes y no se pueden borrar. eps es una tolerancia para determinar aspectos tales como singularidades y rango. o o o si el ultimo caracter es punto y coma (. el cual guarda todas las variables en un archivo del disco llamado matlab. As´ como ı help what y help which. ı o Ejemplo B.mat.300 PROGRAMA MATLAB Ejemplo B.5 Informaciń sobre el espacio de trabajo o Para listar las variables en el espacio de trabajo escriba: n who . . halla los valores propios de A pero no los muestra en pantalla. seguida por cualquier n´mero de letras y digitos. u As´ inv (A) invierte A. El MATLAB tiene la facilidad help. Antes de parar se puede guardar o el espacio de trabajo con el comando save . ı. distingue entre may´sculas y min´sculas. Se le puede reasignar otro valor.) antes del ”RETURN” ´ ”ENTER” el ´ resultado no se muestra en la pantalla pero s´ se realiza la asignaciń.6 C´mo terminar el programa y guardar el o espacio de trabajo Para terminar el programa escribir quit ´ exit .6 . Se pueden formar variables y nombre de funciones con una letra. Sin embargo. B. Para ver el tamaõ de las variables se puede usar whos . B. Si se usa i y j como variables y se sobreescribe sus valores. ∗ (multiplicaciń). As´ save temp x y z ı. C´lculos como Inf /Inf ´ 0/0 la producen. / (divisiń por la derecha). s = 1/0 = Inf La variable NaN implica ”no un n´mero”. 3 + 7i 4 + 8i] Un nombre de una funciń interna puede ser un nombre de una variable. ˆ (potenciaciń). aproximadamente. o tambiń guardar unicamente las variables que se deseen. en u todas sus operaciones y funciones. pero en este o caso no es disponible la funciń interna dentro del actual ´rea de trabajo hasta que la o a variable no sea borrada.8 Formato de salida 301 La pr´xima vez que se invoque el MATLAB se puede ejecutar el comando load para o recuperar el espacio de trabajo desde matlab. o o Los parńtesis sirven para afectar la precedencia. save y load se pueden usar con otros nombres de archivos. 16 o u digitos decimales significativos. e B.602e − 20 6. A = [1 + 5i 2 + 6i.mat. o La funciń Inf es usada para infinito.6397238 1. e La funciń pi calcula π (usa 4 ∗ atan (1)). Ejemplo B. Se puede incluir la o potencia 10 como un factor de escala o una unidad compleja como un sufijo. o o \ (divisiń por la izquierda). Ejemplos ´ de n´meros son: u 3 − 99 0.8 .7 N´meros y expresiones aritm´ticas u e Usa notaciń convencional decimal.mat.mat. recupera todas las variables del archivo temp. con el punto decimal opcional. u a o MATLAB maneja n´meros complejos. o Ejemplo B. ´ e ´ guarda las variables x.001 9. se puede generar una nueva unidad de complejos y usarse de la manera usual: . indicados por las funciones especiales i y j. load y save pueden tambiń importar y exportar archivos de datos ASCII. y y z en el archivo llamado temp.022e 23 2i − 3. Se pueden construir expresiones con las operaciones aritm´ticas usuales y con reglas e de precedencia: + (suma).7 .14159i 3e5i La precisiń relativa de los n´meros es eps que equivale a. − (resta). load temp . El rango es ≈ de 10−308 hasta 10308 . 3333e + 00 1.302 PROGRAMA MATLAB ii = sqrt (−1) z = 3 + 4ii B. se dispone de varios formatos de salida.23450 · · · 0 e − 06 | {z } 15 . x = [4/3 1.3333 0. son: format short 1.9 . y la salida resultante para este vector. Si por lo menos un elemento de la matriz no es un entero exacto. la matriz se muestra en un formato sin puntos decimales. el cual muestra aproximadamente 5 d´ ıgitos decimales significativos. o Si todos los elementos de una matriz son exactos.8 Formato de salida El comando f ormat afecta la forma en que se muestran las matrices en la pantalla.2345e − 6] Los formatos. no c´mo se calculan o guardan.00000123450000 | {z } 14 format long e 1. 3333 · · · 3 e + 00 1.0000 format short e 1. Los otros formatos muestran m´s d´ a ıgitos significativos o usan notaciń cient´ ´ o ıfica. El formato por defecto es el short.2345e − 06 format long 1. 3333 · · · 3 0. Ejemplo B. MATLAB desarrolla todos los c´lculos en doble o ´ a precisiń. Las funciones pueden tener varios argumentos de entrada y varias salidas.33 0. [y. Para la transpuesta no 0 conjugada.10 Operaciones matriciales 0 El caracter (prima o ap´strofe) denota la transpuesta de una matriz.00 f ormat hex f ormat + Con los formatos short y long si el elemento mas grande de una matriz es mayor que 1000 o menor que 0.· · ·). a especiales. otras son disponibles en la librer´ de archivos exterıa nos tipo m. x). y = [1 2 3] − 1 = [0 1 2] . distribu´ con el MATLAB (las herramientas).11 Divisiń de matrices o 303 format bank 1. y el ´ a ındice respectivo en i. funciones especiales. Las salidas son delimitadas con corchetes [ ] y separadas con comas. D] = eig (A). retorna 2 matrices.10 . con los vectores y valores propios de la matriz A. MATLAB nunca modifica la entrada o argumentos de entrada a la funciń. ´ conj z . i] = max (x). Usar el help para ver las diferentes categor´ de funciones anal´ ıas ıticas disponibles en el MATLAB (matem´tica elemental. o B. El usuario puede crear ıda sus propias funciones para aplicaciones mas especializadas (posteriormente se hablar´ a de los archivos m). V y D. regresa el m´ximo valor del vector x en y. z es la ´ ³ 0 transpuesta de la conjugada z.B. Si uno de los operandos es un escalar. o + y − denotan suma y resta de matrices siempre y cuando tengan las mismas dimensiones. matrices elementales. Siempre o retorna las salidas de una funciń en los argumentos del miembro izquierdo. Algunas son intr´ ınsecas. ´ste es sumado ´ restado de todos los e o elementos del otro operando.001. [V. la matriz total se muestra con un factor de escala comń. Ejemplo B. usar z. respectivamente. usa 2 argumentos de entrada.9 Funciones Gran parte de la potencia del MATLAB proviene de su extensivo conjunto de funciones. ´ u B. Ejemplos: theta = atan2 (y. Si z es una o 0 matriz con complejos. D] = eig (A) B. ˆ. trace. ejemplo: expm (A) y sqrtm (A). B. A\B y B/A corresponden formalmente a la multiplicaciń por la izquierda y por la derecha de B por la inversa o de A. Hay 3 o definidas expm.) precediendo un operador (∗. determinante. o B. es decir. para otros valores de p donde: [V.304 PROGRAMA MATLAB ∗ denota multiplicaciń de matrices. Si A es cuadrada no singular. V´lida si hay conformabilidad en la multiplio a caciń de las matrices. Una funciń matem´tica trascendental se interpreta como una funciń matricial si o a o se adiciona una m al nombre de la funciń.ˆ p/V . ) indica una operaciń sobre arreglos.11 Divisiń de matrices o Se usan 2 s´ ımbolos: \ y /. Se pueden calcular tambiń funciones trascendene tales matriciales. En general: a x = A\B es una soluciń a A ∗ x = B o x = B/A es una soluciń a x ∗ A = B o Aˆp = A · A {z · · · A .12 Funciones matriciales MATLAB considera expresiones como exp (A) y sqrt (A) como operaciones sobre cada uno de los elementos de la matriz. \.13 Operaciones sobre arreglos Esto se refiere a operaciones aritm´ticas sobre cada elemento de una matriz. e 0 o Un punto (. y otras. det. Otras funciones matriciales elementales incluyen: poly. si p es un entero > 1 ·· } | p Aˆp = V ∗ D. Sin embargo el resultado se obtiene sin el c´lculo de la inversa. las cuales se definen solo para matrices cuadradas (son generalmente dif´ ıciles de calcular). logm y sqrtm. inv (A) ∗ B y B ∗ inv (A). la traza. . tales como la matriz exponencial y la matriz logaritmo. /. polinomio caracter´ ıstico. Ejemplo B. Para el x y y anterior: z = x./B y A .14 . en donde uno representa ”cierto” y cero ”falso”.\y = [4. z = x. == igual. o Ejemplo B. <= menor o igual que. > mayor que.B.5000 2.15 Operaciones l´gicas o 305 Para suma y resta.11 . B. El resultado es una matriz con unos y ceros. ı . 2 + 2 ∼= 4 es simplemente cero . ∗ y = [4 10 18] A . as´ + y − se pueden considerar como operaciones sobre matrices o arreglos. >= mayor o igual que.\B dan los cocientes de los elementos individuales.12 . Ejemplo B. las operaciones sobre arreglos y sobre matrices son las mismas.ˆ denota potencias de arreglos. Si: x = [1 2 3] . entonces: z = x.0000] .ˆ2 = [1 4 9] (el exponente es un escalar) z = 2.13 . MATLAB compara los pares de elementos correspondientes. ˜ = no igual.ˆy = [1 32 729] z = x. Ejemplo B.0000 2.∗ denota la multiplicaciń de arreglos. < menor que.ˆ [x y] = [2 4 8 16 32 64] (la base es un escalar) y = [4 5 6] .14 Operaciones relacionales Se dispone de 6 operadores relacionales para comparar 2 matrices de iguales dimensiones. ellipj. cos. cosh. y ceros en donde cualquiera tenga un cero.16 Funciones matem´ticas a Un conjunto de funciones matem´ticas elementales se aplican a los arreglos. atanh. asin. A = [1 2 3. gamma. all (x) retorna 1 s´lo si todos los elementos de x son diferentes de cero. floor. A y B deben tener las mismas dimensiones. atan. rat. sqrt. exist. ceil. o C = A & B es una matriz cuyos elementos son unos en donde A y B tengan elementos diferentes de cero. | y ∼ son los operadores l´gicos ”Y ”. exp. sign. gcd. Un escalar puede operar con otro escalar o una matriz. Incluye estas funciones elementales: abs. issparse. tan. fix. ellipk. isstr. imag. isempty. erf inv. C = A | B es una matriz cuyos elementos son unos en donde A o B tengan elementos diferentes de cero. isnan. acos.15 . Para las siguientes funciones relacionales y l´gicas: o any. ”O” y ”N O”. las especiales tambiń operan sobre arreglos ı e cuando los argumentos son matrices. lcm. y ceros en donde ambas tengan ceros. log10.306 PROGRAMA MATLAB B. a Ejemplo B. a menos que una sea un escalar. retorna un vector fila con el resultado para cada columna. As´ como las funciones elementales. log. 4 5 6] · ¸ −1 1 −1 B = cos (pi ∗ A) = 1 −1 1 MATLAB incluye todas las funciones trigonom´tricas y exponenciales: e sin. usar help para saber que hacen. a menos que una sea un escalar. . beta. Estas funciones o son utiles particularmente en declaraciones como: ´ if all (A < 0. sinh. tanh. f inite. acosh. round. asinh. find. ´ o any (x) retorna 1 si cualquiera de los elementos de x son diferentes de cero. rem. isglobal. isinf . erf .5) haga algo end Si los argumentos de any y all son matrices. atan2. B =∼ A es una matriz cuyos elementos son unos en donde A tiene ceros y ceros en donde A tiene elementos diferentes de cero. angle. conj. Las funciones any y all son utiles con operaciones l´gicas. B. real.15 Operaciones l´gicas o Los operadores &. A y B deben tener las mismas dimensiones. retorna cero de otra manera. all. Algunas funciones especiales suministran capacidades m´s avanzadas: a bessel. 0000 0.16 .0000 0. 0.2 : 3. y = exp (−x) . Para obtener una tabla en forma o o a vertical se traspone el vector fila obtenido de la notaciń (:). .2000 .0) . . pi. o La declaraciń x = 1 : 5 genera un vector fila que contiene los n´meros de 1 a 5 con o u incrementos unitarios.0472 1. la cual genera vectores uniforme y logar´ ıtmicamente espaciados.0070 0 Otras funciones para generar vectores son: logspace.1416 . .0 : 0. x = (0.B. 3.18 Referencia a los elementos de una matriz 307 B. o Ejemplo B. mejor que el incremento: k = linspace (−pi. 4) k = −3.0000 0. ∗ sin (x) .0472 3.1627 . y linspace.5708 2.0000 0.1416 − 1. la cual permite especificar el n´mero de u puntos.17 Manipulaciń de vectores y matrices o Generaciń de vectores. .1416 Los incrementos tambiń pueden ser negativos: e z = 6 : −1 : 1 da: z=654321 La notaciń (:) permite la generaciń fćil de tablas. Es decir: x=12345 Se pueden usar incrementos diferentes a la unidad: y = 0 : pi/4 : pi resulta en: y = 0. [x y] produce: ans = 0.3562 3.7854 1. se calcula una columna o de los valores de una funciń y luego se forma la matriz de las 2 columnas. 3) o especif´ la submatriz de 5×1 (vector columna) que contiene los primeros 5 elementos ıca en la tercera columna de A. Efectos sofisticados se obtienen referenciando submatrices en ambos lados de una declaraciń de asignaciń. ı Ejemplo B. En general. A (v. 1 : 3) reemplaza la tercera.19 . j) se refiere al elemento de la i-´sima fila. Por ejemplo A (i. w) es la matriz obtenida tomando los elementos de A con ´ ındices fila de v e ´ ındices columna de w. 3 4 . As´ A (:. n : −1 : 1) invierte las n columnas de A. 7 : 10) es la submatriz de 5×4 cuyos ı elementos son las primeras 5 filas y las ultimas 4 columnas de A. quinta y decima columnas de A con las 3 primeras columnas de B. Por ejemplo supńgase que A es una matriz de 10×10. 5 6] . Ejemplo B. enotnces A (1 : 5.18 Referencia a los elementos de una matriz Los elementos individuales de una matriz se pueden referenciar indicando su posiciń o en parńtesis. vectores como ´ ındice permiten el acceso a submatrices contiguas y no contiguas. entonces A (v. o o Ejemplo B. v = 2 : 2 : n.18 . ´ Usar (:) (”colon”) en lugar de un ´ ındice indica todas las correspondientes filas o ´ columnas. entonces x (v) es: [x (v (1)) . 3) es la tercera columna de A y A (1 : 5. A (1 : 5.17 . A = [1 2 . x (v (n))] En matrices. w) A (:) en el lado derecho de una declaraciń de asignaciń denota todos los elementos o o de A pero organizados en un vector columna. w = [3 1 4 1 6] . x (v (2)) . j-´sima e e e columna. As´ mismo. · · · . [3 5 10]) = B (:. A (:. Si x y v son vectores. Un ´ ındice puede ser un vector. Por ejemplo A (:. :) contiene las primeras 5 filas de A. si v y w son vectores cuyos elementos son enteros.308 PROGRAMA MATLAB B. y la funciń isempty o o sirve para indicar si una matriz es vac´ ıa.B. creados generalmente de operaciones relacionales. L = x (:.19 Referencia a los elementos de una matriz usando vectores con ceros y unos Se pueden usar vectores con ceros y unos. :) especifica las filas de A en donde los elementos de L son diferentes de cero. 3) > 100 . reemplaza x con aquellas filas de x cuya tercera columna es mayor que 100. para referirse a submatrices. Si A es una matriz de dimensiones m × n y L es un vector de longitud m de ceros y unos. A (:) = 11 : 16 es ahora: o   11 14 A =  12 15  13 16 B. B.20 . El uso subsecuente o o de esta matriz no conduce a una condiciń de error. x = x (L. La funciń exist sirve para probar la existencia de una matriz.20 Matrices vac´ ıas La declaraciń x = [ ] asigna una matriz de dimensiń 0 × 0 a x.21 Matrices especiales 309 b = A (:) resulta en:    b=     1 3 5 2 4 6         A (:) en el lado izquierdo de una declaraciń de asignaciń denota una matriz con o o las mismas dimensiones de A pero con el nuevo contenido de lado derecho de la asignaciń. propaga matrices vac´ o ıas. Por ejemplo. la matriz A anterior es de 3 × 2. Una manera eficiente de remover filas y columnas de una matriz es asignarles una matriz vac´ ıa. x = x (x <= 3 ∗ std (x)) . entonces A (L. Ejemplo B. :) . remueve del vector x aquellos elementos mayores que 3 desviaciones estandar. . 21 Matrices especiales Una colecciń de funciones generan matrices especiales del algebra lineal y en proceo ´ samiento de seãles: n compan. linspace. hadamard. La funciń size devuelve un vector con dos elementos: el n´mero de filas y el n´mero o u u de columnas de una matriz. hankel. Ejemplo B. Para generar la matriz ”companion” asociada con el polinomio: s3 − 7s + 6 p = [1 0 − 7 6] A = compan (p) genera:  0 7 −6 A= 1 0 0  0 1 0 eig (A) = [−3 2 1] t  Los valores propios de A son las ra´ del polinomio: ıces Otras funciones que generan matrices son: zeros. gallery. flipud. [2 4]) = [] borra las columnas 2 y 4 de A. tril. toeplitz. Por ejemplo. C = A A . La funciń length devuelve la longitud de un vector. n Otras funciones que manipulan matrices son: rot90. B. meshgrid (usar help para m´s a detalles). Las dimensiones de las matrices m´s n a pequeãs deben ser consistentes.ˆ2 crea una matriz dos veces el tamaõ de A. rand.22 Construcciń de matrices m´s grandes o a Se pueden formar matrices mas grandes de matrices pequeãs. vander. diag. o . ones. si A es cuadrada. B. hilb. randn. [ y ]. triu. eye. delimitńdolas con n a h i 0 corchetes. diag. ones (size (A)) A. logspace.310 PROGRAMA MATLAB A (:.21 . etc. f liplr. etc. 3884  . util para matrices cuadradas y rectangulares. u] = lu (A) Factorizaciń ortogonal : la funciń qr.1229 r =  −5.24 Polinomios y procesamiento de se˜ ales n su ecuaciń caracter´ o ıstica se calcula con: Representaciń de polinomios. B. S. Si:   1 2 3 A= 4 5 6  7 8 0 p = poly (A) p = [1 − 6 − 72 − 27] que es la representaciń del polinomio s3 − 6s2 − 72s − 27.7345  −0. Vectores y valores propios: la asignaciń [x. o MATLAB los representa como vectores fila que contienen los coeficientes ordenados por potencias descendientes.24 Polinomios y procesamiento de seãles n 311 B.23 Funciones matriciales Factorizaciń triangular : la funciń lu factoriza una matriz cuadrada con el producto o o de dos matrices esencialmente triangulares. Los elementos de la diagonal de S son los valores singulares de A. Las dos matrices se obtienen con: [Q. R] = qr (A) Descomposiciń en valores singulares: la asignaciń [U. Las matrices o U y V son ortogonales y la matriz S es diagonal. o Las ra´ de esta ecuaciń son: ıces o r = roots (p)  12. D] = eig (A) retorna en los elementos de o la diagonal de D los valores propios de A y en las columnas de x los correspondientes vectores propios.B. o o ´ expresa la matriz como el producto de una matriz ortonormal y una matriz superior. V ] = svd (A) produce los o o tres factores en esta descomposiciń (”singular value decomposition”). Para obtener las dos matrices utilizar: [L. polyvalm (evaluaciń de un polinomio o o matricial). n . los vectores pueden contener datos de seãles muestradas n n o ´ secuencias. cov. if f t. deconv. los mismos valores propios de la matriz A. a) q = [4 5 6] r = [0 0 0 0 0] Otras funciones polinomiales son: poly. polyval (evaluaciń polinomial). La herramienta ”signal processing” del MATLAB suminitra muchas funciones para el procesamiento de seãles.25 Procesamiento de se˜ ales n En procesamiento de seãles. Para sistemas con m´ltiples entradas. residue (expansiń en fracciones parciales). b) c = [4 13 28 27 18] Se usa deconvoluciń para dividir polinomios: o [q. Tambiń e se pueden obtener el polinomio original con poly : p2 = poly (r) p2 = [1 − 6 − 72 − 27] Sea a (s) = s2 + 2s + 3 y b (s) = 4s2 + 5s + 6. o a = [1 2 3] . conv. El producto de los dos polinomios es la convoluciń de los coeficientes. angle. polyder. o B. f ft. cada fila de una matriz correu ponde a un punto de muestra con los ”canales” distribuidos a lo largo de las columnas de la matriz.312 PROGRAMA MATLAB Estas ra´ ıces son. b = [4 5 6] c = conv (a. r] = deconv (c. por supuesto. roots. Algunas funciones para el procesamiento de seãles son: n abs. polyfit. La ecuaciń de diferencia del filtro es: o y (n) = b (1) x (n) + b (2) x (n − 1) + · · · + b (nb ) x (n − nb + 1) + −a (2) y (n − 1) − · · · − a (na ) y (n − na + 1) o ´ la funciń de transferencia z : o b (1) + b (2) z −1 + · · · + b (nb ) z −(nb −1) Y (z) = H (z) = x (z) 1 + a (2) z −1 + · · · + a (na ) z −(na −1) Por ejemplo. x) . para encontrar y graficar la respuesta al impulso (con n puntos) de un filtro digital: x = [1 zeros (1. y = filter (b. Se puede usar freqz para encontrar y graficar la respuesta frecuencial con n puntos. ff t (x) es la transformada discreta de Fourier del vector x. phase = angle (h) .27 Funciones como funciń o 313 B. [h. muchos m´todos son e n e posibles. n) es la transformada discreta de Fourier del vector x con n puntos. n − 1)] . plot (y. o La respuesta frecuencial es H (z) evaluada alrededor del c´ ırculo unitario en el plano complejo. w] = f reqz (b.0 o0 ) la funciń freqz retorna la respuesta frecuencial de filtros digitales. mag = abs (h) . a. n) . z = ejω . phase) La herramienta ”signal processing” incluye numerosas funciones para el diseõ de n filtros digitales. Si x es una matriz. mag) plot (w.26 Filtraje de datos La funciń y = f ilter (b. Sabiendo algunas tćnicas de diseõ de filtros. las tćnicas de la transformaciń bilineal y el mapeo de polos e o y ceros convierten prototipos en el dominio s al dominio z. ff t (x. a . if f t (x) es la transformada r´pida inversa del vector x. a. Por ejemplo. semi log y (w. x) filtra los datos del vector x con el filtro descrito por los o vectores a y b. a. f ft (x) es la transformada r´pida de Fourier de cada columna de a x.B. Los datos filtrados son devueltos en el vector y. 9)2 + 0.5 1 1.3) .1 Gr´fica de la funciń ”humps” a o .01 : 2./ ((x − . o c) Soluciń de ecuaciones diferenciales.01) + 1.9) .m con las siguientes declaraciones: f unction y = humps (x) y = 1.27 Funciones como funciń o Una clase de funciones en MATLAB no trabaja con matrices num´ricas. la funciń: o f (x) = 1 1 + −6 2 (x − 0. o MATLAB representa funciones matem´ticas declarńdolas como funciń en archivos a a o tipo m.ˆ2 + .5 0 0.3) + 0.0 w0 ) 100 80 60 40 20 0 -20 -1 -0.04) − 6. por ejemplo: a o x = −1 : .04 se puede generar en MATLAB creando un archivo tipo m llamado humps.314 PROGRAMA MATLAB B. Por ejemplo. plot (x.01 (x − 0.ˆ2 + . si no con e funciones matem´ticas. Una gr´fica de esa funciń es. Estas funciones como funciń incluyen: a o a) Integraciń num´rica./ ((x − . o e b) Ecuaciones no lineales y optimizaciń. humps (x) .5 2 Figura B. B.30 Funciones de ecuaciones diferenciales. 315 B.28 Integraciń num´rica o e El area bajo la curva f (x) se puede calcular num´ricamente integrando f (x) . La e funciń que se usa es quad ´ quad8. Por ejemplo, para integrar la funciń definida en o o o humps.m desde 0 hasta 1 : q = quad (0 humps0 , 0, 1) q = 29.8583 N´tese que el primer argumento de la funciń quad es el nombre del archivo, que o o contiene la funciń matem´tica, entre comillas simples. o a B.29 Ecuaciones no lineales y funciones de optimizaciń o fmin m´ ınimo de una funciń de una variable. o fmins m´ ınimo de una funciń multivariable. o fzero cero de una funciń de una variable. o Ejemplo B.22 . xm = f min (0 humps0 , .5, 1) xm = 0.6370 es el m´ ınimo de la funciń definida en humps.m en la regiń 0.5 a 1. o o El valor de la funciń en el m´ o ınimo es: y = humps (xm) y = 11.2528 xz1 = fzero (0 humps0 , 0) localiza el cero cerca a x = 0, es decir: xz1 = −0.1316 y: xz2 = fzero (0 humps0 , 1) localiza el cero cerca a x = 1, es decir: xz2 = 1.2995 La herramienta ”optimization” del MATLAB contiene varias funciones de funciones para ecuaciones no lineales y optimizaciń. o 316 PROGRAMA MATLAB B.30 Funciones de ecuaciones diferenciales Las funciones para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias son: ode23 m´todo de Runge-Kutta de orde 2/3. e ode45 m´todo de Runge-Kutta de orde 4/5. e Sea la ecuaciń diferencial de Vander Pol: o ¡ ¢ .. x + x2 − 1 x + x = 0 ˙ ¡ ¢ x1 = x1 1 − x2 − x2 ˙ 2 x2 = x1 ˙ El primer paso es crear una funciń en un archivo tipo m con estas ecuaciones difero enciales. Si el archivo es llamado vdpol.m, entonces debe contener: f unction xdot = vdpol (t, x) Reescribińdola como ecuaciones de estado: e xdot = zeros (2, 1) ; xdot (1) = x (1) . ∗ (1 − x (2) .ˆ2) − x (2) ; xdot (2) = x (1) ; Para simular la ecuaciń diferencial definida en vdpol.m en el intervalo 0 ≤ t ≤ 20, se o usar´ ode23. a to = 0 ; tf = 20; xo = [0 0.25] ; % condiciones iniciales 0 [t, x] = ode23 (0 vdpol0 , to, tf, xo) plot (t, x,0 w0 ) B.32 Gr´ficos en dos dimensiones. a 317 3 2 1 0 -1 -2 -3 0 5 10 15 20 Figura B.2 Gr´ficas de las variables de estado de la ecuaciń de Vander Pol a o Para trabajar con ecuaciones diferenciales o simulaciń, el MATLAB tiene otra her´ o ramienta especializada llamada ”Simulink”, la cual se estudiar´ en detalle posteriora mente. B.31 Gr´ficos a El sistema de gr´ficos del MATLAB suministra una variedad de tćnicas sofisticadas a e para presentar y visualizar datos. Este sistema utiliza objetos gr´ficos, tales como a l´ ıneas y superficies, los cuales se pueden controlar con los valores de las propiedades de los objetos. Sin embargo, ya que el MATLAB implementa un rico conjunto de funciones gr´ficas de alto nivel (en 2 y 3 dimensiones), la mayor´ de las veces no es a ıa necesario accesar estos objetos gr´ficos a bajo nivel. a Se describir´ como usar las capacidades gr´ficas de alto nivel del MATLAB para a a presentar los datos. B.32 Gr´ficos en dos dimensiones a Existe una variedad de funciones para presentar datos como gr´ficos en dos dimena siones. Cada una acepta entradas en forma de vectores o matrices y autom´ticamente a escalan los ejes para acomodar los datos de entrada. plot crea una gr´fica de vectores o columnas de matrices. a ´ loglog crea una gr´fica usando escalas logar´ a ıtmicas en ambos ejes. semilogx crea una gr´fica usando una escala logar´ a ıtmica para el eje x y una escala lineal para el eje y. semilogy grafica con escala logar´ ıtmica para el eje y y escala lineal para el x. Se pueden adicionar t´ ıtulos, etiquetas de ejes, cuadr´ ıculas y texto al gr´fico usando: a 318 PROGRAMA MATLAB title adiciona un t´ ıtulo al gr´fico. a xlabel adiciona una etiqueta al eje x. ylabel adiciona una etiqueta al eje y. text muestra una cadena de caracteres en la localizaciń que se especifique. o gtext coloca texto en el gr´fico usando el ratń (”mouse”). a o grid habilita la cuadr´ ıcula. ginput permite leer valores del gr´fico con el ratń. a o B.33 Creaciń de un gr´fico o a Si y es un vector, plot (y) produce un gr´fico lineal de los elementos de y contra a el ´ ındice de los elementos de y. Si se especifican dos vectores como argumentos, plot (x, y) produce un gr´fico de y contra x. a Tambiń se pueden especificar m´ltiples conjuntos de datos y definir el color y estilo e u de l´ ınea para ser usado con cada conjunto de datos. Ejemplo B.23 . t = 0 : pi/100 : 2 ∗ pi; x = sin (t) ; y1 = sin (t + .25) ; y2 = sin (t + .5) ; plot (x, y1,0 r−0 , x, y2,0 g − −0 ) plot genera un gr´fico de y1 contra x y y2 contra x en los mismos ejes. a El primer conjunto de datos ser´ graficado con una l´ ıa ınea s´lida roja y el segundo o conjunto con una l´ ınea discontinua verde. Con el fin de mostrar las gr´ficas, en lugar a del comando anterior se usar´: a plot (x, y1,0 w−0 , x, y2,0 w − −0 ) el cual permite ver las gr´ficas en la pantalla con fondo negro y las curvas blancas. a Sin embargo al importarlas a este texto los dos colores anteriores se intercambian. Las siguientes declaraciones le adicionan un t´ ıtulo al gr´fico y etiquetas a los ejes: a title (0 f ase0 ) ¢ ¡ xlabel 0 x = sen (t)0 B.34 Estilos de l´ ıneas, marcadores y colores. 319 Los resultados de este ejemplo se muestran en la Fig. B.3. fase 1 ¡ 0¢ ylabel 0 y = sen (t+) 0.5 y=sen(t+) 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 x=sen(t) 0.5 1 Figura B.3 Resultados del ejemplo B.23 B.34 Estilos de l´ ıneas, marcadores y colores En la declaraciń plot (x, y, s), s es una cadena de 1, 2 ´ 3 caracteres (entre comillas o o simples) para especificar el estilo de l´ ınea y colores en la gr´fica. Los caracteres usados a se muestran en la siguiente tabla: s´mbolo ı y m c r g b w k color amarillo f ucsia cyan rojo verde azul blanco negro s´mbolo ı • ◦ x + ∗ − . . −. −− color punto c´rculo ı x m´s a estrella continua punteada raya − punto discontńua ı si no se especifica un color, la funciń plot autom´ticamente usa los colores de arriba. o a Para una l´ ınea, el color por defecto es amarillo, ya que ´ste es el color m´s visible e a sobre un fondo negro. Para m´ltiples l´ u ıneas, la funciń plot utiliza en forma c´ o ıclica 320 PROGRAMA MATLAB los 6 primeros colores de la tabla. Los s´ ımbolos •, ◦, x, + y ∗ son marcadores escalables. B.35 Adiciń de l´ o ıneas a un gr´fico existente a Se pueden adicionar l´ ıneas a un gr´fico existente utilizando el comando hold. a Cuando se usa la declaraciń hold on, MATLAB no remueve las l´ o ıneas existentes y se pueden adicionar nuevas l´ ıneas en los ejes actuales. Sin embargo, los ejes se pueden reescalar si los nuevos datos estń fuera del rango de los datos anteriores. Por ejemplo, a utilizando los mismos datos del ejemplo anterior: plot (x,0 w−0 ) ; hold on ; plot (y1,0 w − −0 ) ; hold of f plot (y2,0 w − .0 ) ; Estas declaraciones producen un gr´fico con tres curvas como se muestra en la Fig. a B.4. 1 0.5 0 -0.5 -1 0 50 100 150 200 250 Figura B.4 Gr´ficas de x, y1, y2 del ejemplo B.23 a B.36 Datos complejos Cuando los argumentos de plot son complejos, la parte imaginaria es ignorada excepto cuando el argumento de plot es uno s´lo. En este caso, se obtiene una gr´fica de la o a parte real contra la parte imaginaria. As´ plot (z), en donde z es un vector o una matriz de complejos, es equivalente a ı, ´ plot (real (z) , imag (z)) . B.38 Gr´ficos de matrices. a Ejemplo B.24 . plot (eig (randn (20, 20)) ,0 x0 ) Esta gr´fica se muestra en la Fig. B.5. a 321 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 5 Figura B.5 Gr´fica del ejemplo B.24 a Para graficar m´s de una matriz compleja, se deben tomar expl´ a ıcitamente las partes reales e imaginarias. B.37 El archivo tipo m ”peaks” Futuros ejemplos usan el archivo tipo m llamado peaks para generar una matriz de datos. Los datos se basan en una funciń de dos variables que tiene m´ximos y o a m´ ınimos: ³x ´ 2 2 2 2 2 2 1 − x3 − y5 e−x −y − e−(x+1) −y f (x, y) = 3 (1 − x)2 e−x −(y+1) − 10 5 3 El archivo peaks crea una matriz que contiene los valores de la funciń para valores o de x y y en el rango de −3 a 3. Los valores de x var´ a lo largo de las columnas y ıan los de y a lo largo de las filas. Se puede espec´ ıficar el tamaõ de la matriz cuadrada n pasńdole un argumento a peaks. Ejemplo M = peaks (20) ; crea una matriz de datos a de 20 × 20. Si se omite el argumento de entrada, por defecto el tamaõ es 49. n B.38 Gr´ficos de matrices a La funciń plot puede tomar un solo argumento matricial: plot (Y ) . o 322 PROGRAMA MATLAB Ella dibuja una curva por cada columna de Y . El eje x corresponde al ´ ındice de las filas, 1 : m, en donde m es el n´mero de filas en Y . Por ejemplo, plot (peaks,0 w−0 ) u produce un gr´fico con 49 curvas. Váse Fig. B.6. a e 10 5 0 -5 -10 0 10 20 30 40 50 Figura B.6 Resultado de plot(peaks,0 w−0 ) Esta gr´fica es una vista desde la superficie peaks mirando a lo largo del eje x (es a o decir, una vista desde el azimuth = 90◦ y elevaciń = 0◦ ). La funciń plot tambiń acepta dos vectores o dos matrices como argumentos. Por o e e ejemplo, plot (peaks, rot90 (peaks) ,0 w−0 ) . Váse Fig. B.7. 10 5 0 -5 -10 -10 -5 0 5 10 Figura B.7 Resultado de plot(peaks, rot(peaks),0 w−0 ) 25 . si plot es usada con dos argumentos y si X ´ Y tienen m´s de una fila o o a ´ columna.0 w−0 ) 50 40 30 20 10 0 -10 -5 0 5 10 Figura B. X2 . Los diferentes pares pueden u ser de dimensiones diferentes. · · ·) Cada par X −Y es graficado generando m´ltiples curvas. e plot (peaks. B. si x tiene m elementos y Y es m × n entonces se grafican las columnas de Y contra x. La orientaciń por filas o columnas se selecciona dependiendo del n´mero o ´ u de elementos en x. Ejemplo B. entonces: a) Si Y es una matriz y x es un vector. Y2 . Es decir. Ejemplo B.38 Gr´ficos de matrices. Si Y es cuadrada. y. y) grafica cada fila o columna de X contra el vector y.26 . plot (X. plot (x. Y ) grafica las columnas de X n contra las columnas de Y. y si x tiene n elementos y Y es m × n se grafican las filas de Y contra x. usando diferentes colores ´ tipos de l´ o ıneas para cada una. Almacenar en un archivo tipo m la siguiente matriz: . Y1 . plot (X. a 323 En general. b) Si X es una matriz y y es un vector.25 c) Si X y Y son matrices del mismo tamaõ. Váse Fig. Y ) grafica sucesivamente las filas o ´ columnas de Y contra el vector x. se grafican las columnas. Se puede usar la funciń plot con m´ltiples pares de argumentos matriciales: o u plot (X1 .8.8 Resultados del ejemplo B.B. y = 1 : 49. 9 2. precip = weather (:.0 3. Las siguientes declaraciones producen un gr´fico como se muestra en la Fig. 1.10 que a muestra la relaciń entre temperatura y precipitaciń mes a mes: o o .4 4.9 muestra las dos curvas. 1) . almacena las columnas de temperatura y e o precipitaciń en vectores individuales. plot (temp) subplot (2. 2) . 2) .1 3.9 Gr´ficas del ejemplo B.324 PROGRAMA MATLAB weather = [30 31 38 49 59 68 74 72 65 55 45 34 4. B.9] con el nombre mweather. 1. 1) .26 a La Fig. Las declaraciones: temp = weather (:. o Graficar la temperatura contra el n´mero del mes y la precipitaciń contra el n´mero u o u del mes en la misma ventana.5 2.m. plot (precip) 80 60 40 20 0 5 4 3 2 0 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 Figura B.7 3. despu´s de usar la declaraciń mweather.4 3.2 4.7 3. B.7 4.7 3. utilizando plot y subplot: subplot (2. precip.0 N ov0 .0 Oct0 .2]) text (temp.0 M ar0 .39 Funciones especiales para gr´ficas en dos dimensiones..0 F eb0 .0 Abr0 . .5 precip 4 3. a . 0 Sep0 .0 wo0 ) axis ([28 80 2. .5 5.0 Ago0 . a 325 mes = [0 Ene0 . definieno a do expl´ ıcitamente el escalamiento de los ejes a valores mayores que el rango de datos. 0 M ay 0 .0 Jun0 .10 Relaciń entre temperatura y precipitaciń cada mes o o La declaraciń axis en el ejemplo anterior adiciona espacio extra al gr´fico.B..0 Jul0 . precip. Esto permite que el texto permanezca dentro de los l´ ımites del cuadro del gr´fico.5 3 2.5 Ene Feb Mar Nov Abr Oct May Sep Jun Jul 30 40 50 temp 60 70 80 Ago Dic Figura B. mes) xlabel (0 temp0 ) ylabel (0 precip0 ) title (0 Boston0 ) Boston 5 4.. plot (temp.0 Dic0 ].. 326 PROGRAMA MATLAB B. polar crea una gr´fica en coordenadas polares. pero sin las l´ a ıneas internas. Crear la funciń: o f unction y = f ofx (x) y = cos (tan (pi ∗ x)) . x = (0 : 1/2000 : 1)0 . en la misma ventana a as´ ı: subplot(2. o ´ Ejemplo B. 1.m.27 . 1). como se muestra en la Fig. a quiver crea una gr´fica de un gradiente u otro campo vectorial. cos (tan (pi ∗ x))) Los dos gr´ficos se pueden ver. B. Despu´s. a stairs crea una gr´fica similar a una de barras. fill dibuja un pol´ ıgono y lo llena con colores s´lidos o interpolados. dentro del MATLAB correr: e f plot (0 fof x0 . o hist crea un histograma. a rose crea un histograma de ńgulos. 1) . a feather crea una gr´fica de angulos y magnitudes de n´meros complejos con flechas a ´ u emanando desde puntos igualmente espaciados a lo largo de un eje horizontal. errorbar crea una gr´fica con barras de error.39 Funciones especiales para gr´ficas en dos a dimensiones bar crea una gr´fica de barras. con el nombre f of x. o Esta gr´fica se puede comparar con la que se obtiene de la siguiente manera: a x = (0 : 1/2000 : 1)0 . plot (x.11. cos (tan (pi ∗ x))) . [0 1]) para graficar la funciń correspondiente en el intervalo (0. plot (x. a compass crea una gr´fica de angulos y magnitudes de n´meros complejos con flechas a ´ u emanando desde el origen. fplot evalua una funciń y grafica los resultados. y. f plot (0 f of x0 . Si x. 2) .40 Gr´ficos en 3 dimensiones. z) genera una l´ ınea que pasa a trav´s de los puntos cuyas e coordenadas son los elementos de x.4 0.5 en este caso particular. .8 1 Figura B. cos (t) . plot3 (x. y.40 Gr´ficos en 3 dimensiones. t) .11 Gr´ficos del ejemplo B.4 0.8 1 0 -1 0 0. El an´logo tridimensional a la funciń plot es plot3. [0 1]) 1 0 -1 0 1 0. Gr´ficos de l´ a a ıneas. y.6 0.2 0. Ejemplo B.B.27 a La funciń f plot tiene la ventaja de que muestrea la funciń a intervalos m´s cercanos o o a en la regiń en donde la rata de cambio es mayor. z y luego produce una proyecciń bidimensional o de esa l´ ınea en la pantalla. generando as´ una figura m´s precisa o ı a cerca a x = 0. 327 subplot (2. Gr´ficos de l´ a a ıneas. B.6 0. 1.2 0. plot3 (sin (t) .28 . t = 0 : pi/50 : 10 ∗ pi. z son 3 vectores de la a o misma longitud. y las columnas de Y con copias del vector y. o para graficar funciones de dos variables. Z. o La funciń meshgrid transforma el dominio especificado por dos vectores. S es lo mismo que en la funciń plot. z2. o B. s2. Las filas de X son copias del vector x. y2. Váse Fig. y) . z = f (x. z1. Z. sobre el dominio de la funciń. La gr´fica se a forma uniendo puntos adyacentes con l´ ıneas rectas. y tiene n elementos. B. Luego se usan estas matrices para evaluar funciones de dos variables. S). en o matrices X y Y . Es importante notar que si x tiene m elementos.328 PROGRAMA MATLAB produce una figura como la de un resorte. x y y.12 Figura del ejemplo B. Estas superficies son utiles para visualizar matrices que son demasiado grandes para ´ mostrar en forma num´rica.41 ”Meshgrid” MATLAB define una superficie en forma de malla mediante las coordenadas z de puntos por encima de una cuadr´ ıcula rectangular en el plano x − y. s1.12. e 40 30 20 10 0 1 1 0 -1 -1 0 Figura B.28 Tambiń se pueden usar matrices en lugar de vectores: e plot3 (X. z. e ´ El primer paso para mostrar (en pantalla) una funciń de dos variables. Y. y1. Y. x2. respectivamente. entonces X es . o es generar dos matrices X y Y que consisten de filas repetidas y columnas repetidas. o O tambiń se pueden combinar los gr´ficos definidos por las cu´druples (x. s) : e a a plot3 (x1. Despu´s se usan estas matrices para o e evaluar y graficar la funciń. · · ·) en donde todas las xi. Se grafican las lineas obtenidas de las columnas de X. y. yi y zi son vectores ´ matrices y las si cadenas como en la o funciń plot. 5 : 8.29 Las funciones contour y contour3 sirven para generar gr´ficas de contorno (de nivel) a en 2 y 3 dimensiones.13. Z = sin (R) .ˆ2) + eps. Se evaluar´ esta funciń para a o el rango de x entre −8 y 8. : x = −8 : 0. Y ] = meshgrid (x. 329 Considere la funciń sinc (r) = sin(r) que produce la superficie popularmente conocida o r como el ”sombrero” como se muestra en la Fig. Z) 1 0./R. y.5 : 10. y) R = sqrt (X. mesh (x.5 0 -0.41 ”Meshgrid”. respectivamente.13 Superficie del ejemplo B.ˆ2 + Y.B.5 10 10 0 -10 -10 0 Figura B. de dimensiń n × m y Y tambiń. y y entre −10 y 10. o e Ejemplo B.29 . [X. . y = −10 : 0. B. C.30 . K. El mapeo es lineal. pink.330 PROGRAMA MATLAB Ejemplo B. 20) Usar el comando help para m´s informaciń. etc. j) un color. contour (peaks. bone. Ejemplo B. colormap (bone) pcolor (z) Las funciones contour y pcolor muestran esencialmente la misma informaciń sobre o la misma escala.31 . cool. a un arreglo de ´ a ı a ındices. La intensidad de los colores se puede especificar en el rango 0.0. copper. cuyos valores estń en el rango [Cmń. verde y azul.42 Pseudocolor en gr´ficas a ´ pcolor (Z) muestra en cada punto Z(i. Los ´ ındices son luego usados con colormap para determinar el color asociado con cada elemento de la matriz. Los objetos gr´ficos que usan pseudocolor (objetos SURFACE y PATCH). en el rango [1. hot.0 a 1. Ejemplo [0 0 0] es negro y [1 1 1] es blanco. Para a usar l´ ıneas negras para todos los contornos. 20) contour3 (peaks. tales como hsv. Los valores de Cmń y Cm´x son min (min (C)) y max (max (C)). gray. Este se determina de un mapa de colores con un ´ ındice (n´mero) obtenido escalando el valor del elemento Z(i. Cm´x]. . a o B. los cuales a son creados con las funciones mesh. a veces es util superponer las dos. con Cmń mapeando el ´ ı ındice 1 y Cm´x el ´ a ındice m. surf . Para eliminar las l´ ´ ıneas de la cuadr´ ıcula en el gr´fico pcolor se debe cambiar el modo ”shading” a f lat. De hecho. m] . especificar 0 k0 para su color. donde map es una matriz con cualquier n´mero de filas y tres u columnas. El mapa de colores es una matriz con tres columnas que especifica la intensidad de las tres componentes de video. y pcolor. j) de la u matriz Z. El comando para el mapa de colores es colormap(map). Usar help color para ver mapas de colores ya predefinidos. rojo. z = peaks . o son especificados ı a por caxis. mapean una matriz de color. image est´ diseãda para mostrar fotograf´ a n ıas.43 Gr´ficas en malla y superficie a mesh y surf muestran superficies en tres dimensiones. C) y surf (Z. a o B. colormap (hot) pcolor(peaks) shading f lat hold on contour(peaks. j). este argumento especifica tanto la altura como el color de la superficie. etc. C) especifican independientemente el color usando el segundo argumento. entonces mesh (Z) genera una vista de la superficie en malla y a colores. La funciń shading permite eliminar las l´ o ıneas en malla o ´ escoger interpolaciń en el ”shading”. As´ como con ı pcolor (C). las declaraciones mesh (Z. a delineados con l´ ıneas negras.0 k0 ) hold of f 331 El MATLAB tambiń maneja la funciń image que es similar a pcolor. Usar help para m´s informaciń. Ambas proe o ducen figuras bidimensionales con valores de brillo o color proporcionales a los elemen´ tos de una matriz dada. Sin embargo. o Cuando mesh (Z) y surf (Z) se usan con una sola matriz como argumento. Similarmente surf (Z) genera una vista de la superficie con cuadril´teros en malla de color constante. los valores de C se escalan y se utilizan como ´ ındices en el mapa actual de color. 20.. Si Z es una matriz cuyos elementos Z(i. . pinturas. Ejemplo B.32 .43 Gr´ficas en malla y superficie. mesh (peaks) surf (peaks) Con dos matrices como argumentos. j) definen la altura de una superficie sobre una cuadr´ ıcula inferior (i.33 .B. mientras pcolor es diseãda para visualizar objetos matem´ticos m´s n a a abstractos. a Ejemplo B. 14 muestra la superficie del ejemplo B. C = del2 (peaks) . C) . a o . 20 : 30) = nan ∗ p (30 : 40. Esto crea huecos en la superficie en la localizaciń correspondiente. ya que estos no son graficados. meshz.14 Superficie del ejemplo B.35 . 20 : 30) .34 . % renglones con curvaturas similares se dibujan en el colormap (hot) % mismo color. p) La Fig. 10 5 0 -5 -10 60 40 20 0 0 20 60 40 Figura B. mesh (peaks. p (30 : 40. surf (peaks.332 PROGRAMA MATLAB Ejemplo B. p = peaks .25 Usar help sobre las funciones surf c. B.35. Se pueden eliminar partes de una superficie con datos tipo NaN . surf l para m´s informaciń. % funciń que calcula el laplaciano discreto de o % cualquier matriz. o Llenando elementos de la matriz de color con datos tipo N aN se obtienen regiones de la superficie invisibles. Ejemplo B. ı: axis (0 ij 0 ) cambia el origen del sistema de coordenadas as´ el origen queda en la esquina superior izquierda.44 Algunas funciones para gr´ficos de prop´sito general. a Generalmente. Estos son llamados ejes matriciales. . con respecto al origen de los ejes como se muestra en la Fig. Se debe especificar el azimuth y la elevaciń del punto desde donde se quiere o ver. elevaciń). a o 333 B. El formato de la funciń es: view(azimuth.15 Convenciń para los ńgulos azimuth y elevaciń o a o La funciń axis permite seleccionar el escalamiento.15. el MATLAB encuentra el m´ximo y el m´ a ınimo de los datos a graficar y escoger una caja apropiada para el gr´fico (l´ a ımites).44 Algunas funciones para gr´ficos de prop´sito a o general La funciń view permite especificar el angulo desde el cual se ve un gr´fico tridimeno ´ a sional. axis (axis) congela el escalamiento a los l´ ımites actuales. orientaciń y relaciń de ejes de o o o los gr´ficos. Figura B. a ´ axis (0 auto0 ) retorna al escalamiento por defecto.B. B. Los l´ ımites de los ejes se pueden cambiar as´ ı: axis ([xmń xm´x ymń ym´x zmń zm´x]) ı a ı a ı a Para gr´ficos bidimensionales se omiten los ultimos dos argumentos. Como ejemplo se puede o o utilizar la matriz peaks para ver su superficie desde varios puntos. y el eje j es horizontal y se numera de izquierda a derecha. v = axis guarda el escalamiento de los ejes en el vector v. el eje i es vertical y se numera de arriba hacia abajo. Usar help para informaciń sobre la funciń moviein. o [m. p) divide la ventana de la pantalla para m × n subgr´ficos y escoge a el gr´fico p como el actual. axis manipula el objeto axes. etc. a a Para m´s informaciń referirse a la gu´ del usuario del MATLAB (p´gs 2-101 a a o ıa a 2-123). o o La funciń ginput permite usar el mouse o las teclas de direcciń para escoger puntos o o en un gr´fico.45 Flujo de control MATLAB tiene declaraciones de flujo de control como las encontradas en la mayor´ ıa de los lenguajes de computador. superficies y otros objetos gr´ficos que el MATLAB usa para producir gr´ficos sofisticados. n] = size (E) .46 Lazos f or f or end v = expresiń o declaraciones La forma general para el lazo f or es: La expresiń es actualmente una matriz. este sistema tambiń suministra un a e conjunto de funciones a bajo nivel que permiten crear y manipular l´ ıneas. o a o axis (0 square0 ) y axis (0 equal0 ) afectan la relaciń ancho-altura del gr´fico y la relaciń entre las escalas de los ejes x y y. o . movie. for J = 1 : n v = E (: .334 PROGRAMA MATLAB axis (0 xy 0 ) pone los ejes en el modo caartesiano (por defecto). el cual es un objeto gr´fico. Ella retorna las coordenadas de la posiciń del ”seãlador”. expresiń es algo como m : i : n. declaraciones end Usualmente. luego la a a segunda. B. Esto permite que el MATLAB sea utilizado como un lenguaje de programaciń de alto nivel. Las columnas de la matriz se asignan una a o una a la variable v y luego son ejecutadas las declaraciones. o figure (N) hace la figura N la figura actual. Sin embargo. a subplot (m. o Las cualidades gr´ficas discutidas hasta ahora comprenden la interfase a alto nivel a del sistema gr´fico del MATLAB. Usar la funciń figure sin argumentos abre una nueva ventana. n. ya sea a o n cuando el botń del mouse o una tecla se presiona. Los gr´ficos se numeran a lo largo de la fila. o B. J) . Una manera m´s clara a de lograr lo mismo es as´ ı: E = expresiń . que es una matriz con una sola fila. r = 0.B. Graficar la respuesta al escalń unitario de un sistema de segundo orden con frecuencia o o natural 1 rad y relaciń de amortiguamiento variando desde 0 hasta 1. el lazo f or de MATLAB es como los lazos F OR o DO de otros lenguajes.5 Amortiguamiento 1 0 5 10 Tiempo 15 20 Figura B. B.5.0. Y ) hold on ylabel (0 tiempo0 ) xlabel (0 amortiguamiento0 ) zlabel (0 respuesta0 ) view (60. j) = step (n.36 . % numerador de la FT f or j = 1 : 1 : 20 d = [1 2 ∗ r (j) 1] .05 : 1. Ejemplo B.5 1 0.36 B.36. % respuesta al escalń o % unitario end mesh (r.16 muestra los resultados del ejemplo B. d. % denominador de la FT Y (:.16 Resultados del ejemplo B.05 : 0. t) . 2 Respuesta 1. 335 y por lo tanto sus columnas son escalares.5 : 19. t. n = 1. En este caso especial.47 Lazos while. seg t = 0 : 0.5 0 0 0.47 Lazos while . 30) La Fig. 2) == 0 disp (0 Es par 0 ) . n = 1.m. se puede reducir usando las funciones o any y all. Este ejemplo encuentra el primer entero n para el cual n! es un n´mero de 100 d´ u ıgitos. Ejemplo B.48 Declaraciones if y break Ejemplo B. Se muestra como un c´lculo se puede dividir en tres casos. Ejemplo B.39 . La matriz expresiń es casi siempre o o una expresiń relacional 1 × 1. n = n + 1. while prod (1 : n) < 1.37 . dependiendo del signo y a la paridad de n : u n = input(0 Entre un n´mero positivo = 0 ). Se repite el proceso hasta que el entero llega a 1.336 PROGRAMA MATLAB Su forma general es: while expresiń o declaraciones end Las declaraciones se ejecutan repetidamente siempre y cuando todos los elementos en la matriz expresiń sean diferentes de cero. u rem (n. Si es par se divide por 2. end n B.38 . o o Cuando la matriz expresiń no es un escalar. ¿Existe algń entero para el cual el proceso no termina?.0 e 100 . en este caso expresiń 6= 0 corrsponde a true (cierto). si es impar se u multiplica por 3 y se le suma 1. Se lee un n´mero positivo por teclado. % Datos por teclado If n < 0 disp (0 Es negativo 0 ) parid elseif else disp (0 Es impar 0 ) end Debe archivarse como archivo tipo m con el nombre parid. Por ejemplo.49 Archivos tipo m MATLAB puede ejecutar secuencias de comandos que son almacenados en un archivo.0 ).40 . B. 2) == 0 n = n/2. Estos archivos son utiles para desarrollar an´lisis. else end. las cuales posiblemente incluyan referenc´ a otros archivos m. while n > 1 if rem(n.50 Archivos ”script”. Ejemplo B. 337 while 1 n = input(0 Entre n > 0. Las declaraciones operan globalmente sobre los datos en el espacio de trabajo. n = 3 ∗ n + 1. ıas Un archivo m se puede llamar a si mismo recursivamente y se puede crear usando un editor de texto o un procesador de palabra. Dos tipos de archivos m se pueden usar: los que automatizan secuencias de comandos (archivos ”script”) y las funciones que hacen m´s extensible el MATLAB. Gran parte a de la potencia del MATLAB consiste en que permite crear nuevas funciones que resuelven problemas espec´ ıficos del usuario. Un archivo m consiste de una secuencia de declaraciones normales del MATLAB. un archivo llamado bessel. if n <= 0 break. end. resolver problemas o diseãr largas ´ a n secuencias de comandos que se vuelven dif´ ıciles de manejar interactivamente.m como la ultima parte del nombre del archivo ´ (la extensiń). % Salida de los lazos end. B. end. Los archivos de disco que contienen declaraciones del MATLAB son llamados archivos m porque tienen un tipo de archivo con . MATLAB simplemente ejecuta los comandos encontrados en el archivo.50 Archivos ”script” Cuando un archivo de estos es invocado.m contiene declaraciones del o MATLAB que evaluan las funciones de Bessel.B. . Ambos tipos de archivo son ordinariamente archivos de texto ASCII. Calcula los primeros 16 n´meros de F ibonacci y crea una gr´fica. [m.ˆ2) . o a % Retorna un vector fila que contiene el valor medio y la desviaciń estńdar o a % de cada columna cuando x es una matriz.51 Archivos funciń o Un archivo m que contiene la palabra ”function” al comienzo de la primera l´ ınea es un archivo funciń. Los ”demos” del MATLAB son buenos ejemplos de como usar estos archivos para desarrollar tareas m´s complicadas.41 . si ´ste e existe. o cualquier o otra cosa que se quiera predefinir en el espacio de trabajo. autom´ticamente a a ejecuta un archivo llamado ”matlabrc. o y las variables definidas y manipuladas dentro del archivo son locales a la funciń y o no operan globalmente en el espacio de trabajo. B. crear nuevas funciones del MATLAB utilizando su propio lenguaje.m”.m” con las siguientes declaraciones es una funciń: o function [med. u f = [1 1] . . Ejemplo B. if m == 1 m=n. end med = sum (x) /m. Este difiere del ”script” en que se le pueden pasar argumentos. while f (i) + f (i + 1) < 1000 f (i + 2) = f (i) + f (i + 1) i=i+1 end plot (f ) Escribiendo f ibno causa que es el MATLAB ejecute los comandos. es decir. El archivo ”media.ˆ2) /m − med. i = 1. n] = size (x) . en el cual se pueden entrar constantes f´ ısicas. Los archivos funciń son utiles para o ´ extender el MATLAB.m” contiene los siguientes comandos: % Este es un archivo para calcular % los n´meros de F ibonacci. Se puede utilizar con: z = 1 : 99. u a Despu´s de que la ejecuciń del archivo est´ completa.338 PROGRAMA MATLAB El archivo llamado ”fibno.m”.el cual corre el archivo ”startup. desv = sqrt (sum (x. desv] = media (x) % Retorna el valor medio y la desviaciń estńdar de los elementos del vector x. factores de conversiń. las variables f e i permanecen e o a en el espacio de trabajo. Cuando se invoca el MATLAB. As´ cuando se entra help media (ver ejemplo anterior). Son las primeras l´ ıneas contiguas de comentarios. B.52 Ayuda en lńea para los archivos m ı Se puede crear ayuda en l´ ınea para los archivos m entrando texto en una o m´s l´ a ıneas de comentario. 339 [me. med y desv. a 2) El s´ ımbolo ” % ” indica que el resto de la l´ ınea es un comentario y debe ser ignorada.53 Comandos ”echo”. med y desv son locales a la funciń media y no existen en o el espacio de trabajo despu´s de que media ha terminado (o si exist´ previamente. ´ o La funciń input obtiene entrada del usuario. ”keyboard”. y ”pause”. ”keyboard”. los comandos en el archivo no se muestran en la pantalla. As´ o ı: n = input (0 Entre un entero0 ) . 3) Las primeras pocas l´ ıneas documentan el archivo M y la muestra cuando se escribe ”help media ”. ”input”. B. 3 y 4 se muestran. lo cual es util para depuraciń o para demostraciones. las l´ ı ıneas 2. n. ”input”. los argumentos de entrada x (si es m´s de uno.5774 N´tese que: o 1) La primera l´ ınea declara el nombre ”function”. e ıan permanecen sin cambiar). El comando echo hace que los archivos m se vean en la medida que se ejecutan.B. de] = media (z) lo cual resulta en: me = 50 de = 28. 5) El vector z que conten´ los enteros de 1 a 99 fu´ pasado o copiado en media en ıa e donde llega a ser una variable local llamada x.53 Comandos ”echo”. 4) Las variables m. se separan por comas) y los argumentos de salida. empezando con la segunda l´ ınea del archivo. y ”pause” Normalmente mientras un archivo m se ejecuta. El sistema de ayuda ignora las l´ ıneas que aparecen posteriores a cualquier declaraciń ejecutable o ań una l´ o u ınea en blanco. un caracter por elemento.55 Cadenas de texto Las cadenas de texto se entran en MATLAB delimitadas por comillas simples. El formato es: global Nombrevariable1 Nombrevariable2 . B. es disponible a todas las otras funciones o o que la declaran global. La funciń keyboard invoca el teclado del computador como un ”script”. las cuales son separadas de aquellas de otras funciones. o El comando pause hace que un procedimiento pare y espere que el usuario presione cualquier tecla antes de continuar. Sin embargo.340 PROGRAMA MATLAB muestra el mensaje ”Entre un entero”. pause (n) pausa durante n segundos antes de continuar. B. Los caracteres son almacenados como sus valores ASCII y abs muestra estos valores: . si varias funciones y posiblemente el espacio de trabajo.54 Variables globales Generalmente cada funciń del MATLAB. en cualquier funciń.. declaran todas un nombre particular como global. Cuando o se usa en archivos m es util para depuraciń o para modificar variables durante la ´ o ejecuciń. espera y luego asigna a n el valor o expresiń o entrada por el teclado. definida por un archivo m. Por ejemplo: s = 0 Hola0 resulta en: s = Hola El texto se almacena en un vector. En este ejemplo: size (s) ans = 14 indica que s tiene cuatro elementos. Cualquier ´ asignaciń a esa variable.. de aquellas del espacio de trabajo y de aquellas de archivos ”script”. En las funciones esta declaraciń se puede hacer despu´s de las primeras l´ o e ıneas de comentario. entonces todos comparten una copia unica de esa variable. tiene sus propias o variables locales. 42 . Si CADENA es el texto fuente para cualquier expresiń o declaraciń del MATLAB. c = (f − 32) /1. o o Ejemplo B. y strcmp. disp muestra el texto en la variable. la cual compara ´ cadenas de caracteres. Los e valores num´ricos son a veces concatenados para poner t´ e ıtulos en gr´ficos que incluyen a valores num´ricos: e f = 70.8. o 341 abs (s) ans = 72 111 108 97 la funciń setstr permite mostrar el vector como texto en lugar de mostrar los valores o ASCII. int2str. num2str (c) .0 amigos0 ] s = Hola amigos Valores num´ricos son convertidos a caracteres con sprintf . 0 grados C 0 ]) B. El uso de corchetes concatena variables de texto en cadenas mas largas: s = [s. codifica el texto en t. eval (t) hace que el texto contenido en t sea evaluado. o o entonces: t = 0 CADENA0 .56 La funciń ”eval”. Escribir t imprime el texto (en pantalla) y eval (t) hace que el texto sea interpretado. Otras funciones utiles son: isstr la cual detecta caracteres. como una declaraciń o como un factor en una expresiń. title ([0 la temperatura del cuarto es 0 . .B.56 La funciń ”ev al” o La funciń eval trabaja con variables de texto para implementar una poderosa fao cilidad al estilo macro. num2str. En este ejemplo los archivos m tienen los nombres : resist. Se puede usar eval e input para escoger una de varias tareas definidas en archivos m.57 Como incrementar velocidad y memoria Para obtener la m´xima velocidad del MATLAB.43 . Ejemplo B.44 . j) = eval (t) . Una manera de obtener el seno de 1001 n´meros desde el 1 hasta 10 es: u . 0 induct0 . f or i = 1 : n f or end end genera la matriz del Hilbert de orden n. K = input (0 Escoja n´mero de elemento : 0 ) . int2str (i)]) end B. 0 conden0 ] . nombre ar. En este ejemplo se muestra como eval puede usar el comando load para cargar 10 archivos de datos numerados secuencialmente: nombre ar = 0 misdatos0 . convertir lazos f or y while a operaciones con vectores o matrices. induct. Siempre que sea posible.m y conden. :)) N´tese que el n´mero de columnas en elementos implica que cada fila debe tener el o u mismo n´mero de caracteres. se debe hacer el esfuerzo de vectora izar los algoritmos en los archivos m. eval (elementos (K.45 . elementos = [0 resist0 .342 PROGRAMA MATLAB t = 0 1/ (i + j − 1)0 . u j=1:n a (i. Ejemplo B. f or i = 1 : 10 eval ([ 0 load 0 . u Ejemplo B.m.m. 01 : 10 i = i + 1. los lazos f or se pueden acelerar preubio cando los vectores en los cuales los resultados son almacenados. si no se puede vectorizar un pedazo de c´digo. Aunque o se haya dejado mucha memoria libre. As´ preubicaciń ayuda a reducir la fragmentaciń.01 : 10 . Las funciones leen y escriben archivos en formato de texto y archivos de datos binario. y = sin (t) . for t = 0 : . o o B. podr´ no haber suficiente espacio contiguo para ıa sostener una variable grande. ı. o ıa . 343 i = 0. Por ejemplo. Durante una sesiń del MATLAB. 100) .58 Archivos de entrada y salida. Informaciń adicional se puede encontrar en la gu´ del usuario del MATLAB. la memoria tiende a fragmentarse. que han sido guardados en otro formato. el interpretador del MATLAB debe cambiar el tamaõ n del vector y a un elemento m´s grande cada vez en el lazo de iteraciń. el lazo f or se ejecuta mas r´pido en: o o a y = zeros (1. Estas funciones son basadas en las funciones de archivos de entrada y salida del lenguaje C. Si el vector a o es prelocalizado. y (i) = sin (t) . se elimina este paso y ejecuta m´s r´pido.58 Archivos de entrada y salida Las funciones de archivos de entrada y salida del MATLAB permiten leer datos.B. a a El esquema de prelocalizaciń tiene un segundo beneficio: usa memoria m´s eficienteo a mente. end Una versiń con vectores del mismo c´digo es: o o t = 0 : . o escribir datos generados en el MATLAB en formatos requeridos por otro programa o dispositivo. al incluir la primer declaraciń que usa la funciń zeros. Si no se preubican vectores. for i = 1 : 100 end ¢ ¡ y (i) = det X ˆ i . directamente en el MATLAB. . APENDICE C INTRODUCCION AL SIMULINK C.1 Introducciń o El SIMULINK es una herramienta del MATLAB que permite simular sistemas tanto lineales como no lineales interactuando con el usuario de una manera gr´fica. a una vez se est´ dentro del MATLAB. e Para entrar al programa se escribe simulink Se presenta un pantallazo con varias ventanas (cajas) que contienen los diferentes bloques de simulaciń. Estas ventanas son: o ”sources” (fuentes), ”sinks” (sumideros), ”discrete” (discretos), ”linear” (lineales), ”nonlinear” (no lineales), ”connections” (conexiones) y ”extra” (extras). Sources Sinks Discrete Linear Nonlinear Connections Extras SIMULINK Block Library (Version 1.3c) Figura C.1 Librer´ del Simulink ıas Una sesiń t´ o ıpica comienza por definir un modelo o traer un modelo ya definido y luego se procede al an´lisis del modelo. a Los modelos se crean y editan principalmente con comandos manejados por el ”mouse”. Despu´s de definir un modelo se puede analizar escogiendo opciones de los men´s del e u SIMULINK o entrando comandos en la ventana de comandos del MATLAB. El progreso de una simulaciń se puede ver mientras est´ corriendo, y los resultados o a finales se pueden hacer disponibles en el area de trabajo del MATLAB cuando la ´ simulaciń est´ completa. o a 345 346 INTRODUCCION AL SIMULINK C.2 Construcciń de un modelo o La definiciń de un sistema en el SIMULINK es como la representaciń del sistema o o en diagramas de bloques, en donde ´stos son copiados de las librer´ de bloques del e ıas SIMULINK (las anteriores ventanas) o las que se contruyan. La librer´ estńdar se ıa a organiza en varios subsistemas, agrupando bloques de acuerdo a su comportamiento, por ejemplo ”sources” contiene bloques para generar seãles. Se pueden abrir pren sionando dos veces el botń izquierdo (doble click) del mouse. Los bloques que all´ o ı se presentan se pueden copiar donde se desee, por ejemplo en el modelo que se est´ e creando, seãlizandolos con el botń izquierdo del mouse y arrastrńdolo (sin soltar n o a el botń). o Un sistema nuevo se puede abrir seleccionando ”new” del men´ ”file”, a lo cual u aparece una ventana vac´ ıa. La mayor´ de los bloques se pueden abrir para mostrar sus par´metros en ventanas ıa a ´ separadas. Estas permiten controlar el comportamiento del bloque modificando los valores de sus par´metros. Por ejemplo, el bloque ”signal generator” (generador de a seãles) del subsistema ”sources” tiene como par´metros la forma de onda, amplitud n a y frecuencia. Otro bloque importante del subsistema ”sources” es el denominado ”from workspace” (del espacio de trabajo) el cual sirve para recibir en el SIMULINK cualquier seãl n o seãles que se deseen del MATLAB en una matriz cuya primer columna tiene los n instantes de tiempo y las dem´s columnas las seãles correspondientes. a n Signal Source Library 12:34 Clock Digital Clock 1 Constant Repeating Sequence Signal Generator Sine Wave untitled.mat From File Step Input [T,U] Pulse Generator From Workspace Chirp Signal Random Number Band-Limited White Noise Figura C.2 Librer´ de ”sources” ıa El subsistema ”sinks” contiene bloques que en general son utilizados como salidas: C.2 Construcciń de un modelo o 347 osciloscopios (”scope”) graficadores (”graph”) y un bloque llamado ”to workspace” (al espacio de trabajo) el cual sirve para mandar las seãles (respuestas, por ejemplo) n que se deseen de la simulaciń al espacio de trabajo en una matriz, en donde cada o columna corresponde a cada respuesta o salida, y las filas al ´ ındice de cada instante de simulaciń. Para enviar el vector que contiene los intantes de tiempo al MATo LAB, se puede usar el bloque ”clock” del subsistema ”sources” conectado al bloque ”to workspace”. Signal Sinks Library yout To Workspace Scope untitled.mat Graph To File STOP Auto-Scale Stop Simulation Graph XY Graph Hit Crossing Figura C.3 Librer´ de ”sinks” ıa En general, los bloques tienen entradas (en el bloque se representa con > apuntando hacia el mismo) y salidas (se presenta con > saliendo del bloque). Para conectar la salida de un bloque a la entrada de otro, se presiona el botń izquierdo o del mouse en cualquiera de los terminales anteriores y se arrastra hacia el otro. Al conectarsen se dibuja una linea que los une, los > desaparecen y una flecha en la linea indica la direcciń del flujo de datos. Si se quiere borrar o editar una linea se o selecciona con el mouse en cualquier lugar de ella. Todos los vertices son seãlados con n pequeõs cuadrados s´lidos. Una vez que la l´ n o ınea es seleccionada se puede eliminar del modelo presionando la tecla ”delete”. La simulaciń de un sistema f´ o ısico en el SIMULINK depende del modelo matem´tico a que se tenga. Por ejemplo, un sistema lineal descrito mediante una funciń de transo ferencia se puede simular usando el bloque ”transf er f cn” del subsistema ”linear”. Tambiń se puede usar el bloque ”state − space” de la misma librer´ cuando el mode ıa, elo es dado mediante las ecuaciones de estado y de salida. O si se tiene un conjunto de ecuaciones que describe el comportamiento del sistema se pueden simular usando todos los bloques disponibles tanto en al librer´ ”linear” (integradores, sumadores, ıa ganancias, derivadores, etc.) como en la ”nonlinear” (saturaciń, rel´s, productos, o e funciones de variables, valor absoluto, zona muerta, etc.). 348 INTRODUCCION AL SIMULINK Nonlinear Library Linear Library + + Sum 1/s Integrator 1 Gain 1 s+1 Transfer Fcn K Matrix Gain . Inner Product du/dt Derivative 1.317 Slider Gain (s-1) s(s+1) Zero-Pole Sign Relay Backlash Saturation Quantizer * Product >= Relational Operator f(u) Fcn Dead Zone Coulombic Rate Limiter Friction Abs Abs AND Logical Combinatorial Operator Logic system S-Function MATLAB Function MATLAB Fcn Switch 1/s Reset Integrator 1/s Look-Up Table 2-D Look-Up Table x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space Memory Transport Limited Variable Delay Transport Delay Integrator a) ”Linear” b) ”Nonlinear” Figura C.4 Subsistemas ”linear” y ”nonlinear” del Simulink Cuando se tienen varias seãles que se quieren ver en una misma gr´fica por ejemplo, n a se puede usar un bloque ”mux” que est´ en la librer´ ”connections” el cual sirve para a ıa multiplexar sus entradas en un unico vector a la salida. Tambiń est´ en la misma ´ e a librer´ el bloque ”demux” el cual separa un vector con varias seãles en seãles ıa n n escalares (demultiplexa). Otros dos bloques de esta librer´ son: ”inport”, el cual suministra un enlace a una ıa entrada externa y para linealizaciń; tambiń tiene el ”outport”, que suministra un o e enlace a una salida externa y sirve tambiń para linealizaciń. e o Connections Library 1 Inport 1 Outport Mux Mux Demux Demux Figura C.5 Librer´ de ”connections” ıa Si el sistema que se quiere simular es digital, se pueden usar los bloques de la librer´ ıa ”discrete”: ”unit delay” (retardo unitario), ”discrete transfer fcn” (funciń de o C.3 Inicio de una simulaciń o 349 tranferencia discreta), ”discrete state space” (ecuaciones estado y de salida discretas), etc. Cada uno de los bloques discretos tiene un muestrador interno a su entrada y un retenedor de orden cero en su salida. Cuando bloques discretos se mezclan con bloques an´logos (continuos), la salida entre tiempos de muestreo de los bloques discretos es a mantenida constante. Las entradas a los bloques discretos son actualizadas unicamente en los instantes de ´ muestreo. El tiempo de muestreo se da en el campo del tiempo de muestreo de la caja de di´logo del bloque. a Discrete-Time Library 1/z Unit Delay 1 1+2z -1 Filter (z-1) z(z-0.5) Discrete Zero-Pole 1 z+0.5 Discrete Transfer Fcn x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) y(n)=Cx(n)+Du(n) Discrete State-Space Zero-Order Hold 1 First-Order Hold z-1 Discrete-Time Discrete-Time Integrator Limited Integrator Figura C.6 Librer´ de ”discrete” ıa C.3 Inicio de una simulaciń o Una simulaciń puede ser iniciada desde la l´ o ınea de comandos del MATLAB o del men´ del SIMULINK: ”simulation”. Todos los m´todos usan los mismos argumentos u e y par´metros. a A. Simulaciń desde el men´ ”simulation”. o u La simulaciń se puede arrancar seleccionando ”start” del men´ ”simulation”. o u Los par´metros de la simulaciń se pueden ajustar seleccionando ”parameters” en a o el men´ ”simulation”. En los campos que all´ aparecen se pueden entrar n´meros u ı u o expresiones legales del MATLAB, por ejemplo, las variables tini, tf in, pasomin, pasomax y tol las cuales se pueden definir en el espacio de trabajo del MATLAB. Váse Fig. C.7. e 350 INTRODUCCION AL SIMULINK Figura C.7 Panel de control del Simulink Las variables de retorno [t, x, y] son usadas para poner el tiempo, las trayectorias del estado y de la salida en el espacio de trabajo del MATLAB. Los tiempos de inicio y de parada de la simulaciń son ajustados en las variables tini o y tf in. Los par´metros de integraciń tol, pasomin y pasomax controlan el error a o local relativo, el m´ ınimo y m´ximo intervalos de integraciń de la simulaciń. a o o Correr una simulaciń desde el men´ permite desarrollar ciertas operaciones interaco u tivamente durante una simulaciń: o a) Cambiar los par´metros de un bloque, siempre y cuando no cause un cambio en el a n´mero de estados, entradas o salidas para ese bloque. u b) Cambiar cualquiera de los par´metros de simulaciń, excepto las variables de rea o torno y el tiempo de inicio. c) Cambiar el algoritmo de simulaciń. o d) Cambiar el tiempo de muestreo para bloques discretos. e) Simular otro sistema al mismo tiempo. f) Seleccionar una l´ ınea para ver su salida en un ”osciloscopio flotante”, el cual consiste de un bloque ”scope” desconectado. Este muestra la salida de cualquier l´ ınea que se seleccione. B. Simulaciń desde la l´ o ınea de comandos del MATLAB. Cualquier simulaciń que se corra desde el men´ tambiń se puede correr desde la o u e l´ ınea de comandos. Por ejemplo, para configurar una simulaciń con par´metros o a idńticos a los descritos en el ejemplo anterior y mostrados en la Fig C.7, se debe usar e el comando: [t, x, y] = linsim(0 modelo0 , [tini, tf in] , ... C.3 Inicio de una simulaciń o xo, [tol, pasomin, pasomax]); 351 en donde ”modelo” es el nombre del diagrama del sistema y linsim es una de las tćnicas de integraciń. e o Las condiciones iniciales, que no se pueden ajustar desde el men´ de ”simulation”, u se definen en el vector xo. Estas condiciones iniciales prevalecen sobre las condiciones iniciales ajustadas en los bloques, a menos que xo sea una matriz vac´ ıa. La simulaciń desde la l´ o ınea de comandos tiene las siguientes ventajas: a) Se puede definir las condiciones iniciales, las cuales prevalecen sobre las definidas en los bloques. b) Si no se especifican los argumentos del lado izquierdo del comando de simulaciń, o autom´ticamente se grafican las salidas o, cuando no hay salidas, las trayectorias del a estado. c) Entradas externas se pueden especificar usando una variable extra ut, la cual va al final de los par´metros del comando de simulaciń. ut puede ser una cadena de a o caracteres o una tabla de valores. Por ejemplo ut = 0 sin0 o ut = 0 ones (2, 1) ∗ sin (3 ∗ t + 2)0 . Si es una tabla, la primer columna debe ser un vector con los tiempos en orden ascendente. d) Una simulaciń se puede correr desde un archivo M permitiendo que par´metros o a en los bloques sean cambiados interactivamente. e) Para pequeõs modelos, la simulaciń se ejecuta m´s r´pido. n o a a Todos los algoritmos de integraciń tienen idńtica sintaxis de modo que los diferentes o e m´todos se pueden seleccionar simplemente cambiando el nombre de la funciń: euler, e o rk23, rk45, linsim, adams y gear. La velocidad y precisiń con las cuales se pueden resolver las ecuaciones diferenciales o no s´lo dependen de los par´metros del intervalo de integraciń y el error relativo o a o si no tambiń del algoritmo que se escoja. Estas rutinas se pueden usar para una e variedad de problemas: linsim usa un m´todo que extrae la din´mica lineal de un sistema dejando unicamente e a ´ la din´mica no lineal del sistema para ser simulado. Este m´todo trabaja muy bien a e cuando el sistema a ser simulado es relativamente lineal, y se pueden tomar intervalos grandes de integraciń. Por esto es necesario limitar el m´ximo intervalo de o a integraciń si se quieren puntos de salida razonablemente espaciados. o El m´todo de euler es un m´todo de intervalo unico el cual simplemente multiplica e e ´ las derivadas por el tamaõ del intervalo para producir la actualizaciń del estado. Se n o incluye por razones hist´ricas. Se deben tomar intervalos de integraciń mucho m´s o o a pequeõs que los de los otros m´todos para lograr la misma precisiń y, por ´sto, no n e o e se recomienda para la mayor´ de problemas. ıa Los m´todos de Runge-Kutta, rk23 y rk45, son m´todos buenos de prop´sito general e e o que trabajan bien para un buen rango de problemas. Aunque rk45 es generalmente m´s r´pido y preciso que rk23, produce menos puntos de salida; por eso rk23 podr´ a a ıa ser preferido para gr´ficas ”suaves”. Son los mejores m´todos cuando el sistema a ser a e simulado tiene discontinuidades. adams y gear son m´todos predictores-correctores que trabajan bien con problemas e en donde las trayectorias de estado son suaves. El m´todo de gear es fundamentalmente para sistemas con mezcla de din´micas r´pida e a a 352 INTRODUCCION AL SIMULINK y lenta. Estos m´todos no trabajan bien cuando el sistema es discontinuo. e Todos los m´todos son de intervalo de integraciń variable, el cual se ajusta contie o nuamente de modo que se mantenga el error relativo. Los m´todos, excepto gear y e adams, se pueden convertir a m´todos de intervalo fijo haciendo que los intervalos e m´ ınimo y m´ximo sean iguales. a linsim y euler son m´todos de intervalo unico: un nuevo punto de salida se genera e ´ a cada intervalo de tiempo. rk23 y rk45 son m´todos de Runge-Kutta que toman e intervalos intermedios entre los puntos generados por las trayectorias de salida. Las rutinas de adams y gear son m´todos predictores-correctores los cuales toman e un n´mero variable de puntos para generar un punto de salida. u Todos los algoritmos de integraciń (excepto euler) podr´ tomar pasos hacia atr´s o ıan a en el tiempo cuando el error de prediciń calculado es mayor que el error relativo. En o este caso el intervalo de integraciń es reducido pero nunca por debajo del intervalo o m´ ınimo; por eso, es posible producir resultados imprecisos si cualquiera, el error relativo o el m´ ınimo intervalo de integraciń, son demasiado grandes. o Sistemas puramente discretos se pueden simular usando cualquiera de los m´todos e de integraciń; no hay diferencia en las soluciones. Para lograr puntos de salida que o reflejen unicamente los instantes de muestreo, se debe ajustar el m´ ´ ınimo intervalo de integraciń a un valor mayor que el m´ximo tiempo de muestreo. o a Ejemplo C.1 . Este ejemplo sirve para simular el control por realimentaciń de variables de estado o de la planta constituida por el pńdulo invertido considerado en el Cap´ e ıtulo 1, cuya descripciń matem´tica es dada por las ecuaciones (1.16) y (1.17). Referirse tambiń o a e al art´ ıculo de los autores ”Frecuencias escondidas en sistemas lineales”, en la revista Scientia et Technica, No. 5 de Abril de 1997. Si se definen las variables de estado como: ˙ ˙ x1 = φ, x2 = φ, x3 = y, x4 = y entonces el modelo matem´tico mediante a    x1 ˙ 0 1 0  x2   a21 0 0  ˙ =  x3   0 0 0 ˙ x4 ˙ a41 0 0 variables de estado es:     x1 0 0 0   x2   b2   +  u 1   x3   0  0 x4 b4 en donde: a21 b2 (m + M )mgL (mL)2 g , a41 = , d d mL I + mL2 , b4 = , d = (m + M)I + mML2 = − d d = La Fig. C.8 muestra el diagrama del Simulink para el control del pńdulo invertido, e el cual es archivado con el nombre ”sipend”. pide las ganancias por las cuales se deben o multiplicar las variables de estado. contenidos en el bloque ”clock”. k3 = ’) o k4=input(’Ganancia de realimentaciń para x4.5. ıa 3) Las variables que se quieren observar (control y estado) se env´ al espacio de ıan trabajo en un bloque ”to workspace” ( Vector de Estado) para ser graficados con un archivo tipo m o un programa que usa comandos del MATLAB que se muestra m´s a adelante.g=9. I=m*Lˆ2/3.C. % Se calculan las matrices A y B . a El programa que maneja la simulaciń. ya que su modelo matem´tico a es dado mediante ecuaciones de estado y de salida.3 Inicio de una simulaciń o 353 Reloj ti Tiempo u Señal de Control x' = Ax+Bu x y = Cx+Du Vector de Estado Péndulo Invertido K Ganancias de Realimentación Figura C. Los instantes de simulaciń. k2 = ’) o k3=input(’Ganancia de realimentaciń para x3. tambiń son o e enviados al espacio de trabajo para ser usados en las gr´ficas de los resultados.05.M=0.L=1. k1 = ’) o k2=input(’Ganancia de realimentaciń para x2. calcula las matrices A y B y grafica los resultados es el siguiente: ´ % PENDULO INVERTIDO % Se piden las ganancias de realimentaciń o k1=input(’Ganancia de realimentaciń para x1. C. k4 = ’) o % Par´metros del pńdulo invertido a e m=0.8 Diagrama del Simulink para el control del pńdulo invertido e N´tese de la Fig.8.delta=(m+M)*I+m*M*Lˆ2.8 que: o 1) La planta se simula con el bloque ”state − space”. 2) La realimentaciń de las variables de estado se hace a trav´s del bloque ”matrix gain” o e de la librer´ ”linear”. k2 = 24.[pi/18.0. excepto el angulo inicial ´ % del pńdulo que es 10 grados e linsim(’sipend’.u.-m*L/delta.’w-’) ylabel(’desplazamiento del carro.3). es decir sin realimentar y y y se muestran en las Figuras C.x(:.(m+M)*m*g*L/delta 0 0 0.001. % Se simula el sistema en lazo cerrado. angular del péndulo. angular del pńdulo.x(:. Newtons’).01]) % Se grafica la posiciń angular del pńdulo o e figure(1) plot(ti.0. 6 8 10 Figura C. el desplazamiento del carro es inestable.’) grid on % Se grafica la fuerza de control figure(3) plot(ti.0]. 10 pos.’) e grid on % Se grafica el desplazamiento del carro figure(2) plot(ti. grados 8 6 4 2 0 0 2 4 segs.[0.1)*180/pi.xlabel(’segs. % Todas las condiciones iniciales son nulas.0.’w-’) ylabel(’fuerza de control.01.354 INTRODUCCION AL SIMULINK A=[0 1 0 0.10]. N´tese que aunque la posiciń angular ˙ o o es controlada.xlabel(’segs. grados’).’) grid on Los resultados del control con k1 = 65.-(m*L) ˆ2*g/delta 0 0 0].(I+m*L ˆ2)/delta].xlabel(’segs.0.10.9 Posiciń angular del pńdulo o e .[0. k3 = k4 = 0.0 0 0 1. metros’). % Vector de ganancias del controlador k=[-k1 -k2 -k3 -k4].0.9 y C. B=[0.’w-’) ylabel(’pos. grados 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 0 2 4 segs.10 Desplazamiento del carro Los resultados del control realimentando todas las variables de estado con k1 = 65. angular del péndulo. k3 = 8.12.11 y C. N´tese o que ahora la posiciń angular y el desplazamiento del carro estń completamente o a controlados. 6 8 10 Figura C. metros 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 segs. 10 pos. k4 = 11.C.3 Inicio de una simulaciń o 355 7 desplazamiento del carro.11 Posiciń angular del pńdulo o e . se muestran en las Figuras C. 6 8 10 Figura C. k2 = 24. 01 .01 0   Q=  . El criterio de optimizaciń consiste en minimizar el ´ o ındice cuadr´tico: a Z ∞ [xt Qx + ut Ru]dt J= 0 para lo cual se utiliza la funciń ”lqr” (”linear quadratic regulator”) de la herramienta o ”Control” del MATLAB. 6 8 10 Figura C.1 . Referirse al art´ ıculo de los autores ”Diseõ n de un controlador ´ptimo que utiliza un observador asint´tico para realimentar las o o variables de estado estimadas”.5 desplazamiento del carro. Las matrices ponderantes Q y R que restringen respectivamente. en la revista Scientia et Technica.356 INTRODUCCION AL SIMULINK 0.3 0.01 100 R = .01  0 0 .01 Puesto que se introduce un integrador con el fin de eliminar el error de estado estacionario.2 0.01 0  0 .01 .12 Desplazamiento del carro Ejemplo C.4 0.1 0 0 2 4 segs. 4 de Octubre de 1996. metros 0. No. Este ejemplo sirve para simular el control ´ptimo usando realimentaciń de las vao o riables de estado estimadas de una planta (motor DC y su ”drive”) por medio de un observador asint´tico (Váse Cap´ o e ıtulo 9). las variables de estado y de control.2 .01 . se escogen como:   1 0 . la planta es de cuarto orden y su modelo matem´tico mediante ecuaciones a de estado es descrito por las matrices: . 13 Diagrama de simulaciń del ejemplo C.55 −3. y la traspuesta de [1 0 0] que se obtiene de C2 eliminando la cuarta columna.9177 0   A2 =   0 0 −12.C.3 Inicio de una simulaciń o 357  −.414 . . ya que no es necesario estimar la salida del integrador porque se tiene acceso a ´lla. C2 = 1 0 0 0 0   Puesto que el observador es reducido. C.2879 0 0  −11. el observador asint´tico y las ganancias de realimentaciń. o o Se usan multiplexores para reunir varias seãles en un s´lo vector.1653 . N´tese que o o el bloque ”state − space” es usado 3 veces para: simular la planta. Señal de control u estadore x' = Ax+Bu Demux y = Cx+Du Al espacio de SaturaciónModelo del Demux2 trabajo3 motor Salida y Error de x' = Ax+Bu Mux x4 control 1/s y = Cx+Du + I1 S2 Referencia Ganancias deMux1 realimentación ti Vector de estado Reloj Al espacio de estimado trabajo2 + x' = Ax+Bu Demux Mux S1 y = Cx+Du Error del Mux2 Observador Demux1 observador asintótico Mux estado espacio Mux Altrabajo1 de Figura C. n Se usan los bloques ”to workspace” para enviar varias seãles y el tiempo al espacio n de trabajo con el fin de graficar algunas variables.13 muestra el diagrama de simulaciń del sistema total.2 o La Fig. en la determinaciń de las ganancias del e o observador se utilizan: la traspuesta de la matriz A1 que se obtiene eliminando en A2 la cuarta fila y la cuarta columna.5  . y demultiplexores n o para separar las seãles de vectores.3 0  −1 0 0 0  0  0  £ ¤  B2 =   147. 0.j). L=L1’ % SE SIMULA EL SISTEMA EN LAZO CERRADO CON EL SIMULINK. LAS REALES. n o El siguiente es el programa que carga las matrices Q.[0.’w-’) grid on xlabel(’segs.Q. A2 . K1 ´ % SE CALCULAN LAS GANANCIAS DEL OBSERVADOR ASINTOTICO L ´ % UTILIZANDO LA FORMULA DE ACKERMAN.15 voltios. ˜ % LA SENAL DE CONTROL Y EL ERROR DEL OBSERVADOR.j).001.01]) % SE GRAFICAN LAS VARIABLES DE ESTADO ESTIMADAS.4]. for j=1:3 figure(j) plot(ti.[].0]. Po=[-10.’) pause end .01.0.[1. o Usa el m´todo de integraciń ”rk45” y grafica los resultados. R.estado(:. ´ % USANDO EL REGULADOR LINEAL CUADRATICO [K1.B2. L1=acker(A1’. un sumador y ıa un integrador de la librer´ ”linear” y el bloque ”step” de la librer´ ”sources” para ıa ıa generar la seãl de referencia: un escalń de amplitud 8.[0. B2 y C2 .R). ´ % SUS POLOS ESTAN EN EL VECTOR Po.358 INTRODUCCION AL SIMULINK Otros bloques utilizados son: ”saturation” de la librer´ ”nonlinear”.Po).estado(:.’) pause end for j=4:5 figure(j) plot(ti. rk45(’lqrnue33’.’w-’) hold on plot(ti.E]=lqr(A2.-20. e o ´ ´ ´ % CALCULO OPTIMO DE LAS GANANCIAS DE REALIMENTACION % POR VARIABLES DE ESTADO PARA EL MODELO DEL MOTOR ´ % SE CARGAN Q Y R OPTIMOS load qroptim % SE CARGA PRIMERO EL MODELO DEL MOTOR load modmotor ´ % SE CALCULAN LAS GANANCIAS DE REALIMENTACION K1. % EL PROGRAMA SE LLAMA lqrnue33.j).estadore(:.0.S. utiliza de la herramienta ”Control” las funciones ”lqr” que se usa para optimizar y ”ac ker ” que sirve para hallar tanto las ganancias de realimentaciń de las variables de estado o como las ganancias del observador asint´tico cuando los polos respectivos son dados.’w-’) grid on hold off xlabel(’segs.-30]. 3 Inicio de una simulaciń o 10 8 6 359 4 2 0 0 1 2 segs.15 Variables de estado x2 y xo2 150 100 50 0 -50 -100 0 1 2 segs.16 Variables de estado x3 y xo3 .C.14 Variables de estado x1 y xo1 80 60 40 20 0 -20 0 1 2 segs. 3 4 Figura C. 3 4 Figura C. 3 4 Figura C. 3 4 Figura C.18 se muestran las variables de estado estimadas comparadas con las reales.360 INTRODUCCION AL SIMULINK 10 8 6 4 2 0 0 1 2 segs. que en este caso es de 8.18 Error del observador En las Figuras C.15 voltios. N´tese como a pesar n o de que el estado energ´tico inicial de la planta [4. la seãl de control y el error del observador. x1 . haciendo seguimiento perfecto de la seãl de referencia.14 a la C.5 60] es totalmente diferente e del estado inicial del observador [0 0 0].17 Seãl de control u n 5 4 3 2 1 0 -1 0 1 2 segs. n .5 segundos. en menos de medio segundo las variables de estado estimadas convergen asint´ticamente a las reales y la salida del sistema. 3 4 Figura C.075 2. alo canza el estado estacionario en aproximadamente 3. 2 Trabajar´ el sistema del ejemplo introductorio si en lugar del control proporcionalıa derivativo se usara control derivativo puro?. 361 . como se muestra en la Fig. D.1.1 Del cap´ ıtulo 1 D.1. demostrar que las ecuaciones de n movimiento son: Mv m(v • •• −li Θi ) • = mgΘ1 + mgΘ2 + u = −mgΘi . utilizando una estrategia de control en donde la o e fuerza (seãl) de control u es proporcional a φ y y. n Plantear el conjunto de ecuaciones linealmente independiente que describe el comportamiento de este sistema de control. D. 2 en donde v es la velocidad del carro y u es una fuerza externa aplicada al mismo.1. u = K1 φ + K2 y.1 Consid´rese el mismo sistema (planta) del ejemplo introductorio (el pńdulo ine e vertido) y supńgase que se desea controlar no s´lo la posiciń angular sino la o o o posiciń horizontal tambiń. es decir.APENDICE D EJERCICIOS PROPUESTOS D.1.3 Sobre un carro de masa M hay dos pńdulos invertidos de longitudes l1 y l2 y e con masas en sus extremos del mismo valor e igual a m. suponiendo que el transductor responde instantaneamente. D. Para valores pequeõs de Θ1 y Θ2 . i = 1. 2 Del cap´ ıtulo 2 Figura D. D.1.362 EJERCICIOS PROPUESTOS Figura D.3.2.1 Sistema del problema D.1.2 Sistema del ejercicio D. . 2 Para el sistema mecńico traslacional de la Figura D. Figura D.2.3 Sistema del ejercicio D.3.2. D. a .3 plantear las ecuaciones de a estado y de salida.D.2.2.2. resortes y amortiguadores como se muestra o en la Figura D.2. Plantear un conjunto de ecuaciones linealmente independiente que lo describa completamente.1 Un an´logo simple del cuerpo humano para estudios de vibraciń se considera a o como una interconexiń de masas. Figura D.4 Sistema mecńico rotacional del problema D.2 Del cap´ ıtulo 2 363 D. no hay fuerza del resorte. Supńgase que cuando el pńdulo est´ e o e a vertical. tambiń.5. a Figura D. que θ es pequeõ.6 Sistema mecńico del problema D.2.4 Plantear un conjunto de ecuaciones de estado que describa el comportamiento del sistema del pńdulo da la Figura D.3 Plantear un modelo matem´tico que describa completamente el comportamiento a del sistema mecńico rotacional de la Figura D.2. Figura D.364 EJERCICIOS PROPUESTOS D.4.4.5. El momento de e n inercia de m con respecto al punto A es ml2 .2. e D.5 Pńdulo del problema D.2. a . Figura D. C1 = 1f. y(t). e D. con la entrada u(t).2. e D.2.7 Circuito elćtrico del problema D.2 Del cap´ ıtulo 2 365 D.6. o Figura D. Hallar las matrices A.2.6 Describir el comportamiento del circuito elćtrico de la Figura D. C y D y la matriz de transferencia. hallar la ecuaciń diferencial que a o relaciona la posiciń de la masa M1.2.5 Para el sistema mecńico de la Figura D.6.8: R = 2Ω. C2 = 1 f. B. L1 = e 2 .2.D.7 Para el circuito elćtrico de la Figura D.8 Circuito elćtrico del ejercicio D.7.7 mediante e variables de estado. o . Considerando como salida o del sistema el cambio ∆ω de la velocidad angular ω. D.366 EJERCICIOS PROPUESTOS M = 1h y L2 = 2h. El diagrama de bloques. por reducciń de diagrama de bloques.8. C y D del o resultado anterior. Plantear las ecuaciones de estado y de salida. Obtener la funciń de transferencia a partir de las matrices A.9 est´ trabajando en un punto de operaciń Po conocido.2. b. Figura D.9 Motor del problema D. b. La funciń de transferencia o ∆ω(s) ∆vf (s) . B.2.8 El sistema de la Fig. a. obtener: a. ea = Ka φ ω τ = Ka φ ia φ= K1 if 1 + b if D. a o Una pequeã desviaciń ∆vf del voltaje vf ocurre en un instante determinado n o y como consecuencia el punto de operaciń se afecta. 9 La Figura D. El objetivo o i de control es mantener la bola de metal suspendida en la posiciń nominal de o equilibrio controlando la corriente en el imń con el voltaje e(t).2. D. i(t) y dy(t) dt en equilibrio (punto de operaciń). Linealizar las ecuaciones de estado anteriores alrededor del punto de equilibrio.2.10 Sistema del problema D. x3 = dy(t) y encontrar las dt ecuaciones de estado no lineales. o b. La bola de acero se suspende en el aire por la fuerza eleco tromagn´tica generada por el electroimń.11 Sistema de nivel de l´ ıquido del ejercicio D. La resistencia a L de la bobina es R y la inductancia es L(y) = y(t) . a.2 Del cap´ ıtulo 2 367 Figura D.9. Sea E el valor nominal de e(t). Encontrar los valores nominales de y(t).D.2. . Definir las variables de estado como x1 = i. x2 = y. Figura D. c. la cual es directamente proporcional e a al cuadrado de la relaciń y con constante de proporcionalidad K. en donde L es una constante.10 muestra el diagrama esquem´tico del sistema de control de una a bola en suspensiń.10. 12 hallar la funciń de transferencia o Y (s) U (s) .no haya saturaciń en ninguno de los amplificadores o operacionales.2.seg resistencia al flujo en la restricciń ( m2 . iv.11. Se o a o debe tener en cuenta que: i.. q: caudal en Kg/seg. s´lo de dispone de voltajes D.11.C.3.1 Hacer un diagrama de c´mputo an´logo para generar la funciń 20 t e−t . iii. el n´mero de amplificadores u . D.2. K: constante del resorte (N/m) o D.3 Del cap´ ıtulo 3 D. B = 10m. el voltaje de polarizaciń o o de los amplificadores operacionales es ±15 voltios. A: area del pistń (m2 ).368 EJERCICIOS PROPUESTOS D. Hallar la ecuaciń diferencial no lineal que relaciona a h con u(t). o e m3 u(t) |Po = Uo = 2 seg y h(t) |Po = Ho = 16m.10 En el sistema de nivel de l´ ıquido de la Figura D.Kg ). o b.12 Sistema del ejercicio D. A = 15m. R: ´ o N.11 Para el sistema de la Figura D. suponiendo que en ´ste. a. ζ: densidad del aceite (Kg/m3 ).. Figura D.2. H = 25m √ y q = 2h en el sistema MKS. Linealizar la anterior alrededor del punto de operaciń. ii. D.4 Del cap´ ıtulo 4 . a D. o 3 3 D.3 Las ecuaciones de estado y de salida de un sistema son. D.2. R1 = R3 = 3.13: a.4 Del cap´ ıtulo 4 operacionales sea m´ ınimo. respectivamente:     −1 −2 −2 2 • x =  0 −1 1  x +  0  u 1 0 −1 1 y= £ 1 1 0 ¤ x Hacer el diagrama de c´mputo an´logo para una realizaciń tipo ”observer” sin usar o a o mas de 5 amplificadores operacionales. e a b. C1 = 2 . 369 Figura D.2 Para el sistema de nivel de l´ ıquido de la Figura D.3.3. C2 = 1 . u(t): variable de control. R2 = 1. Hacer un diagrama de c´mputo an´logo para simular las ecuaciones anteriores sin o a usar m´s de 3 amplificadores operacionales. Obtener un circuito elćtrico an´logo y plantear las ecuaciones de estado. n(t): perturbaciń.3.13 Sistema de nivel de l´ ıquido del ejercicio D. Justificar el valor seleccionado para cada ganancia del PI.2 La temperatura x(t) en el horno elćtrico de la Figura D. .14 Sistema t´rmico del ejercicio D. el error de estado estacionario sea 0. Se desea que la temperatura x(t) siga la seãl de referencia w1 (t).4. en donde us (t) es el escalń unitario.14 es descrita por la e ecuaciń diferencial: o dx(t) = −2x(t) + u(t) + w2 (t) dt en donde u(t) es la seãl de control y w2 (t) es una perturbaciń debido a las p´rdidas n o e por calor. Figura D. Encontrar n las ganancias proporcional Kp e integral Ki de un controlador proporcional-integral (PI) de modo que todas las ra´ de la ecuaciń caracter´ ıces o ıstica en lazo cerrado estń e en -10. Hallar las respuestas de x(t) para t ≥ 0 cuando w1 (t) = us (t) y w2 (t) = −us (t) o con condiciones iniciales nulas. Bosquejar las respuestas.2. e D.370 EJERCICIOS PROPUESTOS D.4.4.01.1 La funciń de transferencia de una planta es: o 100 C(s) = 2 U (s) s + 10s + 100 Diseãr un controlador proporcional-integral (PI) de modo que cuando la referencia n sea una rampa unitaria. . b.4. n: perturbaciń (nivel).4.3. y: salida (nivel).4.D. Obtener las ecuaciones de estado y de salida del sistema de la Figura D.3 a. C1 = C2 = 1. Determinar valores y/o condiciones en las ganancias de un controlador tipo PI. u: variable de control (caudal).16 Sistema del ejercicio D.15 Sistema del ejercicio D. Hacer un diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado.01. Figura D.4 Del cap´ ıtulo 4 371 Figura D.4.15 y su matriz de transferencia. o D. de modo que el error de estado estacionario para una seãl de referencia rampa unitaria n sea 0. R1 = R2 = R3 = 1. N2 Kb = constante de fem inducida = 0. D.5 Del cap´ ıtulo 5 . 1.0. ii.372 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Ra = 10Ω. c.4 En el sistema de la Figura D.16. suponiendo un controlador tipo proporcional con ganancia Kp . a donde Ki = 10 ft3 /(seg-rad). Proporcional-derivativo. Proporcional-integral. controladas simultńeamente por θc . n = N1 = 100 . D. Definir las variables de estado de la planta como x1 = h. Hallar la funciń de transferencia de la planta y del sistema en lazo cerrado (ino cluyendo el controlador). Jm = inercia del rotor = 0. o c. La ≈ 0. 2. El error de estado estacionario para una referencia escalń debe ser nulo. Ks = 1 v/ft. n Las siguientes son las consideraciones para el diseõ del control: n a. x2 = θm .005 oz-in-seg2 . dt Siendo la variable de control ei (t). Fricciń del motor y la carga despreciables. Ki = constante de torque = 10 oz-in/A. plantear las ecuaciones de estado de la planta (sin el controlador).02 seg/ft2 . iii.5 El modelo matem´tico de una planta que se quiere controlar es el siguiente: a x1 • x2 • = −2 x2 (t) = −2 u(t) donde u(t) es la seãl de control y la salida es y(t) = x1 (t). Todas las v´lvulas tienen las mismas caracter´ a ısticas y son ı. No se admiten oscilaciones (ni siquiera amortiguadas) en la salida cuando la referencia es un escalń. R = 0. o b.0.θc (t). Proporcional ii. Hacer un diagrama de bloques.N. As´ el caudal de entrada qi (t) es Ki . x3 = dθm . Para cada uno de los siguientes controladores justificar porqu´ si o porqu´ no lo e e selecciona y haga el diseõ respectivo: n i. Determinar la estabilidad del sistema y el error de estado estacionario para una referencia rampa unitaria si Kp es: i. JL = inercia de la ´ carga = 10 oz-in-seg2 . D. La magnitud de todos los polos en lazo cerrado debe ser 2. Ka = 50. A = area del tanque o = 50 ft2 . el n´mero de v´lvulas conectadas al tanque u a de reserva es N = 8.4. b. a.0706 v/rad/seg.4. 17 Modelo del ejercicio D.2. Te es el tiempo para estudiar.1. Algunos valores t´ ıpicos de los par´metros ser´ K1 = 1.1 Un modelo muy simple del sistema de realimentaciń que un estudiante utiliza o para controlar sus notas se muestra en la Figura D. Tx es el tiempo para actividades extracurriculares. para lo cual determinado estudiante podr´ tener K2 = 1 .5. D. ıa 2 a. Usar el tiempo pico para esta estimaciń. τ1 = 1 mes. b. o Cuńtos meses transcurren antes de que el incremento en tiempo disponible resulte a en notas mejores. en donde: Td es el tiempo disponible. y τ2 = 1 mes. determinar el tiempo necesario para alcanzar el estado estacionario. a ıan 2 El esfuerzo en eliminar actividades extracurriculares se refleja en la ganancia K2 .D.5. .5 Del cap´ ıtulo 5 373 Figura D. Calcular la respuesta del sistema a un incremento en escalń en el tiempo disponible.18 Sistema del problema D. para un estudiante cuya dedicaciń a actividades extracurriculares o se refleja con K2 = 2. y b. ocurre debido a ex´menes m´s dif´ o o s Usando el tiempo de establecimiento. Una perturbaciń en escalń. Repetir a. Determinar el efecto en estado estacionario sobre las notas debido a la perturbaciń escalń de magnitud D. Figura D. D(s) = D . o o c.5. N representa las notas y K1 es un efecto proporcional en las notas.17. o a a ıciles. determinar l´ m´ximo sobreimpulso al 10%.4 Para el sistema de la Figura D. o El controlador (Jet a gas) opera por comando de voz y puede ser representado aproximadamente por una ganancia proporcional K2 . Determinar la ganancia necesaria K3 para que el error en estado estacionario sea 1 cm. V es velocidad y o y es la posiciń en metros. en donde: R es la posiciń deseada. T es el torque. Hacer gr´ficos y comparar. con un tiempo de soluciń de o 1 segundo. ζ < 1. Por esta razń o se propone un controlador por voz cuyo diagrama simplificado se muestra en la Figura D. Con esa ganancia K3 .2 En determinadas misiones espaciales los astronautas deben abandonar la nave y operar en el espacio.5 Resolver el ejemplo 5.5.5.19 Sistema del ejercicio D. ζ = 1 y o ζ > 1. a D.3 La funciń de transferencia de un sistema es: o 2 ωn C(s) = 2 2 R(s) s + 2ζωn s + ωn Con r(t) = δ(t). tr y tp .18. Para permitir que las extremidades del astronauta estń e libres es necesario proveer un sistema de control que no las utilice.374 EJERCICIOS PROPUESTOS D. a Figura D.5. a. n ımites en la ganancia K1 K2 para restringir el b. Kr .4. hallar el error en estado estacionario ess cuando r(t) = t u(t) en funciń de ζ y ωn . E es un comando por voz. o D.19.1 con un sobrepaso del 3%. . La inercia del hombre y el equipo es J = 25 Kg-m2 .5. la funciń impulso.5. Calcular K. D. con una seãl de entrada rampa unitaria. hallar c(t) para cuando: ζ = 0. 6.20 Circuito del ejercicio D. las ganancias de un controlador que utiliza realimentaciń de las o variables de estado.3.20.1 Para cada uno de los sistemas de las Figuras 6. .D.6. Figura D. e b.6 Del cap´ ıtulo 6 D. Existir´ alguna funciń u(t) tal que las corrientes en todas las inductancias y a o los voltajes en todos los condesadores de la Figura D.21 Circuito del ejercicio D. e Figura D.5. en caso de ser posible. D.6 Del cap´ ıtulo 6 375 D.6.20 puedan ser llevados desde ciertos valores iniciales (arbitrarios) a otros tambiń arbitrarios? Justificar.2. determinar.3 y 6.6. de modo que todas las frecuencias naturales del sistema en lazo cerrado estń ubicadas en -10. Determinar la estabilidad interna del sistema de la Figura D.2 a. 4 Utilizando el criterio de Routh y Hurwitz. Utilizar el criterio de estabilidad de Nyquist. D.376 EJERCICIOS PROPUESTOS D.6.22.6.22 Sistema del problema D.6. de un controlador PD de modo que el sistema sea estable en lazo cerrado.21. demostrar. D. utilizando el criterio de Routh y Hurwitz. Kp > 0.6. que para estabilidad en lazo cerrado: 1 1 1 + + )(T1 + T2 + T3 ) − 1 T3 T2 T1 K <( D. Kd > 0.6 Una planta tiene como funciń de transferencia: o 1 (2s + 1)(s − 1) Gp (s) = Encontrar condiciones en las ganancias proporcional. determinar la estabilidad de un sistema con ecuaciń caracter´ o ıstica: A(s) = s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + 4 Figura D.5 Para el sistema mostrado en la Figura D. y derivativa.6. Ser´ a posible determinar las corrientes en todos lss inductancias y los voltajes en todos los condensadores en cualquier instante t? Justificar. .5.3 Suponer que y(t) y u(t) son dadas para el sistema de la Figura D. Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist.9 Se tiene una planta cuyo funciń de transferencia es: o Gp (s) = 1 s2 (1 + T1 s)(1 + T2 s) donde T1 .8 Por el m´todo de las transiciones determinar la estabilidad de Wl−c (s).23: GC (s) = 1 + TD (s) K GP (s) = s2 (1 + T1 s) donde K.D. T1 . para e Wl−a (s) = K(1+T1 s) . Td > 0.6. con K. T2 > 0.7 Para el sistema de la Figura D. T1 y TD para que el sistema sea estable. K. Proporcional-derivativo con funciń de transferencia K(1 + Td s). D. s(T2 s−1) D.6. de modo que el sistema en lazo cerrado sea estable cuando el controlador es de tipo: a. Proporcional con ganancia K > 0. Establecer condiciones.6 Del cap´ ıtulo 6 377 Figura D. o .6.7. b.23 Sistema del ejercicio D. T2 > 0. Utilizar el criterio de estabilidad de Nyquist para hallar todas las condiciones. establecer condiciones sobre K.6. T1 . si las hay. D. TD > 0. 24: G1 (s) = K(s + 3) 1 G2 (s) = (s2 + 4)(s − 2) H(s) = s + 2 .24 Sistema del problema D.11. Figura D. Usando el criterio de estabilidad de Nyquist. T1 .23: GC (s) = 1 + Td s K GP (s) = 2 (1 + T s) s 1 donde K.6.6.378 EJERCICIOS PROPUESTOS Figura D.23 Sistema del ejercicio D.10. Td > 0.11 En el sistema de la Figura D. D.6. D.10 En el sistema de la Figura D.6. establecer condiciones sobreK. y Td para que el sistema sea estable. T1 . 6. D.12 La funciń de transferencia en lazo abierto de un sistema es: o Wl−a (s) = K(s − 1) s(s + 1) Utilizar el criterio de estabilidad de Nyquist para encontrar condiciones en K de modo que el sistema sea estable en lazo cerrado.6. K > 0.15 Un sistema es descrito por la siguiente ecuaciń matricial de estado y de salida: o    1 0 0 1 x =  −1 0 4  x+ 0  u 0 −1 −2 0 •  y= a. -2 y -2.6. y determinar los (s+1)2 l´ ımites de K para que el sistema en lazo cerrado sea estable.14 Las ecuaciones de estado y de salida de un sistema son. Usar el criterio de Nyquist.6. D. o £ 1 1 0 ¤ x D. establecer condiciones en la ganancia K > 0. determinar las ganancias en la realimentaciń de las vario ables de estado de modo que la funciń de transferencia del sistema en lazo cerrado o muestre un s´lo polo en -4.D. o £ 1 2 1 ¤ x . Mostrar todos los posibles lugares geom´tricos o de Nyquist.13 Bosquejar el lugar de Nyquist de Wl−a (s) = K(s−1) .6 Del cap´ ıtulo 6 379 Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist. e D. Dibujar un diagrama de bloques para las anteriores ecuaciones y luego adicionar la realimentaciń requerida. para que el sistema sea estable. En caso de ser posible. respectivamente:    −1 −2 −2 2 x =  0 −1 1  x +  0  u 1 0 −1 1 •  y= Utilizar realimentaciń de las variables de estado para transferir los modos del sistema o a -1. 7. ya que se desea que la salida (h2 ) siga.16. La tćnica a utilizar es por realimentaciń de las variables de estado 2 a o e (h1 y h2 ) m´s realimentaciń de la integral del error a trav´s de una ganancia. Justificar.7 Del cap´ ıtulo 7 D. a la referencia que es una seãl tipo escalń.16 La Figura D. n o Diseãr el controlador de modo que las frecuencias naturales del sistema en lazo n cerrado estń ubicadas en −10 ± j y −10.6.26a. R1 = o e o R2 = R3 = 1 .1 La configuraciń de polos y ceros de una funciń de transferencia en lazo cerrado o o Wl−c (s) viene dada en la Fig D. u es la variable de control y C1 = C2 = 1. en el estado estacionario.25 Sistema de nivel de l´ ıquido del ejercicio D. Figura D.6. sumadores e inteo gradores. D.380 EJERCICIOS PROPUESTOS b.25 muestra un sistema de nivel de l´ ıquido que se quiere controlar. e Hacer un diagrama de bloques donde se muestren expl´ ıcitamente la planta y la estructura completa del controlador. . en donde: n es una perturbaciń incontrolable. D. S´lo deben aparecer ganancias. Es m´ ınimo el sistema en lazo cerrado?. a.2 La especificaciń dada para un servosistema de segundo orden es que el sobrepaso o m´ximo de la respuesta a un escalń unitario no exceda del 25%. Determinar los a o valores l´ ımites correspondientes del coeficiente de amortiguamiento ζ y del factor de resonancia Mv . Determinar el coeficiente de amortiguamiento ζ y la frecuencia propia no amortiguada ωn del sistema de segundo orden que produce el mismo Mv y la misma ωv que el sistema original. b. c.D.7 Del cap´ ıtulo 7 381 a) b) Figura D.01s2 ) Wl−c (s) = a. o ancho de banda.3 La funciń de transferencia en lazo cerrado de un servosistema es: o 1 C (s) = R (s) (1 + 0.4 La funciń de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentaciń o o unitaria es: Wl−a (s) = K (1 + T s) s (1 + s) (1 + 0. Determinar el factor de resonancia Mv y la frecuencia de resonancia ωv del sistema. Calcular la banda pasante del sistema.7. Trazar la curva de respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado. b.26b.01s) Determinar el menor valor posible de T para que el sistema tenga un margen de amplitud infinito.05s + 0. . Se aãde a la configuraciń de la Fig D. D.7. AB.01s) (1 + 0.1.26 Polos y ceros del ejercicio D. Se aãde un cero como indica la Fig D. D.¿ C´mo queda afectado el o AB? D.7. ¿ C´mo queda modificado el AB ? n o c.7. pero n o a una distancia del origen 10 veces mayor que la del cero.26b un polo sobre el eje real negativo. d. c.7 Para un sistema de segundo orden: Wl−a (s) = a. 16 s (2 + s) D.6 Usar el criterio de estabilidad de Nyquist para determinar si los sistemas con las siguientes funciones de transferencia de lazo abierto son estables: a.5s) s (1 + 5s) . Determinar el valor de K para que el factor de resonancia Mv del sistema sea igual a 1.2s) 2 s2 (1 + 0.7.7. Determinar Mv y ωv . b.382 EJERCICIOS PROPUESTOS D. b.7.8 Repetir el problema D. Determinar el valor de K para que el margen de fase del sistema sea de 60◦ .1s) (1 + 10s) D. Graficar el diagrama de Bode. D. Wl−a (s) = Wl−a (s) = Wl−a (s) = Wl−a (s) = 10 (1 + s) (1 + 2s) (1 + 3s) 10 s (1 + s) (1 + 10s) 10 s2 (1 + 0.1s) (1 + s) a.7. Determinar el valor de K para que el margen de amplitud del sistema sea de 20dB.5 La funciń de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentaciń o o unitaria es: Wl−a (s) = K s (1 + 0.7. Wl−a (s) = 60 (1 + 0.1s) (1 + 0.7 cuando: a.4. b. c. D. el margen de n ganancia no sea menor a 8 db y el coeficiente de error est´tico de velocidad Kv sea 4 a seg−1 .7.9 Dado: Wl−a (s) = hallar a tal que el margen de fase sea 45◦ . margen de fase 40◦ y margen de ganancia de por lo menos 10 db. D.8.1s) 383 D.10 La funciń de transferencia de una planta es: o Gp (s) = 10 s(s + 4) Diseãr un compensador en atraso tal que el coeficiente de error est´tico de velocidad n a Kv sea 50 seg−1 .1 La funciń de transferencia de un sistema es: o G(s) = ¿Ser´ posible cambiarla a: a Gn (s) = (s − 1) (s + 2)(s + 3) (s − 1)(s + 2) (s + 1)(s − 2)(s + 3) .11 La funciń de transferencia de una planta es: o Gp (s) = K s(0.8 Del cap´ ıtulo 8 b. as + 1 s2 D.7. D.8 Del cap´ ıtulo 8 D. Wl−a (s) = 60 (1 + s) s2 (1 + 0.7.1s + 1)(s + 1) Diseãr un compensador en adelanto tal que el margen de fase sea 45◦ . C = 1 1 2 0 −1 4 0  Diseãr un controlador. B. o explicar c´mo. y con un comando de referencia para la salida. v es la velocidad vertical. D.8.8.9 Del cap´ ıtulo 9 D. C} de un sistema en lazo abierto son:    1 0 0 1 £ ¤ A =  −1 0 4  .1 Las ecuaciones aproximadas del movimiento de un globo son: θ v • • • 1 θ+u τ1 1 1 = − v + σθ + ω τ2 τ2 = − = v h donde θ es la desviaciń (variaciń) en la temperatura del aire del globo con relaciń o o o a la temperatura de equilibrio. B.2 Las matrices {A. o D.384 EJERCICIOS PROPUESTOS utilizando realimentaciń de las variables de estado?. u es proporcional a la variaciń en calor adicionado o al aire del globo (control).9. a D. de modo que la salida del sistema responda como uno de primer orden y que alcance prćticamente el estado estacionario en 1 segundo. C = 1 4 3 0 −1 4 0  Diseãr un controlador. B =  0  . B =  0  . con realimentaciń de las variables de estado y con comando n o de referencia.3 Las matrices {A. Si la respuesta es afirmativa. que utiliza realimentaciń de las variables de estado. de modo n o que la funciń de transferencia del sistema en lazo cerrado muestre s´lo dos polos en o o el eje imaginario con ω = 1 rad/seg. h es la variaciń en la altura o . C} de un sistema en lazo abierto son:    1 0 0 1 £ ¤ A =  −1 0 4  . 5 ± j0. graficar z 1 . v. Es el sistema completamente controlable por ω?. Colocar los o o polos del controlador por realimentaciń del estado en s = −ωo ± jωo y ambos polos o del observador en s = −ωo . n c.5. D. z2 y u = −Kz. respectivamente). d. b.9.9. z 2 y u = −K z. Obtener las frecuencias naturales del sistema.6 0. e.3 Las ecuaciones de estado de un oscilador armńico no amortiguado son: o x1 (t) • x2 • = x2 (t) 2 = −ωo x1 (t) + u(t) (t) n Utilizando una observaciń de la velocidad. Hacer el diagrama de bloques donde se muestre todo el sistema: la planta y el compensador completo (observador m´s realimentaciń de las variables de estado a o estimadas). estimadas z (0) = 0 0 preferiblemente sobre las curvas del punto b. graficar z1 = y. Diseãr un observador cuyos modos estń ubicados en −1 ± j1.9 Del cap´ ıtulo 9 385 desde la altura de equilibrio y ω es la velocidad vertical del viento supuesta constante (perturbaciń). Con el estado inicial dado anteriormente y con el estado inicial de las variables £ ¤t ∧ ∧ ∧ ∧ y con referencia cero. h y ω ser observadas por una medida continua de h?. de modo que los polos del £sistema en lazo o e ¤t cerrado queden ubicados en −0. b.2 Las ecuaciones de estado y de salida de una planta son: ¸ · ¸ 0 1 0 z+ u 1 0 −1 £ ¤ 1 0 z = = · z • y a. .D. y = x2 . diseãr un compensador con o observador y realimentaciń del estado para controlar la posiciń x1 . D. ¿Pueden θ. Suponer que u es la entrada.35 y con referencia cero. Con el estado inicial z(0) = −0. Suponer que se tiene acceso a las variables de estado z y diseãr un controlador n por realimentaciń de ´llas (u = −Kz). z2 y la seãl de control u = −Kz. (Notar que son n e m´s r´pidos que los polos deseados en lazo cerrado. Es el sistema completamente controlable por u?. o a. pero suficientemente lentos para a a ver claramente su efecto en la respuesta del sistema). (z1 . . 1967. DORF. NJ. Addison-Wesley Iberoamericana. Sistemas de Control Autom´tico. J. [5] T. e ¨ ˚STROM y B. L. Prentice-Hall Hispanoamericana. o [4] O. ROHRS. Optimal Control. 1975. H. FALB. Ingenier´ de Control Moderna. Linear System Theory and Design. CHEN. ıa 2a. Theory of Automatic Control. Interamericana. E. WHITE. ATHANS y P.C. Sistemas de Control. ediciń. 2a. 1984. NJ. [12] G. 1980. [16] M. Linear Optimal Control Systems. J. WileyInterscience. Automatic Control Engineering. KAILATH. WITTENMARK. Moscow. POWELL. SAGE y C. G. Optimum System Control. Linear Systems. SCHWARZ y B. Adaptive Filtering Prediction and Control. 1989. ediciń. ediciń. Prentice-Hall Hispanoamericana. SIVAN. ediciń. 1981. [8] R. [7] C. 1993. Prentice-Hall. NY. Sistemas de Control Lineal. 1961. 1996. 1994. RAVEN. J. o [11] F. A Hall. P. MELSA y D. [17] H. [18] A. McGraw-Hill Book Company. KUO. NJ. Automatic Control Systems. Prentice[13] K. 2a. NY. 1978. 1987. o [2] B. NJ. HOSTETTER. NETUSHIL. F. OGATA. SIN. 1984. C. [15] R. [14] G. a 7a. o [9] K. FRANKLIN y J. C. Digital Control of Dynamic Systems. NY. GOODWIN y K. D. MIR Publishers. I. a [10] A. Linear Systems. ediciń. 387 . C. SCHULTZ. Prentice-Hall. 1965. McGraw-Hill. Addison-Wesley Publishing Company. KUO. T. McGraw-Hill Kogakusha. o [19] G.BIBLIOGRAF´ IA [1] B. 3a. L. Din´mica de Sistemas. 1966. C. Prentice-Hall Hispanoamericana. McGraw-Hill. Computer Controlled Systems. CBS College Publishing. OGATA. C. T. KWAKERNAAK y R. 1972. o [3] K. Sistemas Modernos de Control. Control System Theory. M´xico. ediciń. 1984. 1977. Prentice-Hall. J. FRIEDLAND. ELGERD. McGraw-Hill. SAVANT y R. STEFANI. 2a. [6] C. H. S. Basic Circuit Theory. SHAN y otros. Academic Press. J. PrenticeHall. I. Analysis of Linear Networks and Systems. 2a. Addison Wesley. A. KUH. S. 1995. McGraw-Hill Kogakusha. C. Linear Algebra and its Applications. 1984. MILLMAN. Tata McGraw-Hill Publishing Company. ACOSTA. REDHEFFER. McGraw-Hill Book Company. KREYSZIG. J.. C. Advanced Engineering Mathematics. New Delhi. o E. 1980. HASSUL. 1966. o A.. [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] . J. SIMULINK User’s Guide. 1995. Editorial Limusa. O.. MATLAB User’s Guide. Inc. Microelectronics: Digital and Analog Circuits and Systems. Inc. McGraw-Hill Book Company. I. ediciń. L. DESOER y E. GIRALDO. 1969. Mathematics of Phisics and Modern Engineering. McGraw-Hill. WILCOX. G. The Fourier Integral and its Applications. The MathWorks. SOKOLNIKOFF y R. 1979. A. e A. B. 1976. THALER y M. The MathWorks. 1962. 1972. P. M´quinas Elćtricas. Inc. HALKIAS. John Wiley & Sons. CALLE y D. McGraw-Hill Book Company. Universidad Tecnol´gica de Pereira. 1995. NY. e o S.388 BIBLIOGRAFIA Prentice-Hall. STRANG. PAPOULIS. 1972. The MathWorks. 2a. Integrated Electronics. 1984. 1983. M. ediciń. Introducciń al An´lisis de Circuitos o a Elćtricos. NJ. NJ. J. PAPOULIS. McGraw-Hill Kogakusha. ELGERD.. E. Control System Toolbox: For Use with MATLAB. Inc. S. MILLMAN y C. 1974. Electric Energy Systems Theory: An Introduction. a e M´xico. G. SHAHIAN y M. Control System Design Using MATLAB. Random Variables and Stochastic Processes. Probability.

Comments

Description