Teoría de Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS1 .-2. En su forma explícita.. 1.3. 1. La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor.. –3. a  0 2 .2. sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.2. 3.} Enteros (Z) Z = { .Cuando se determina una característica o propiedad que permite identificar a los elementos. Relación de pertenencia..-1. los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos. b) Por Comprensión. en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. en los años 1870 quien manifestó que no puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples.TEORÍA DE CONJUNTOS La teoría de Conjunto es una rama de las matemáticas a las que Georg Cantor.Cuando se identifica a cada uno de los elementos que forman parte del conjunto. 4. 0. Conjuntos Numéricos a) b) c) Naturales(N) N = {1.} Racionales (Q) permite dar solución a las ecuaciones de la forma ax + b = 0. dio un tratamiento formal en 1870 y mejorado por el mismo Cantor en 1874. de lo contrario se indica que ()no pertenece al conjunto.. Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase. pues se puede encontrar implícita o explícitamente. Determinación de conjuntos a) Por Extensión. En matemática tiene el mismo significado. donde a.. Definiciones Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común. 2. por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas...b. incluso más que la operación de contar. Cuando un elemento se encuentra formando parte de un conjunto se indica que existe una pertenencia y se representa por ()..  Z ..  } Reales (R) es el conjunto formado por los racionales y los irracionales R = {N U Z U Q U Q’ } f) Complejos (C) están formado por una parte entera y otra imaginaria C = { x/x = a + bi . Conjuntos especiales: 3 .b  R  i = 1 } DIAGRAMA DE VENN – EULER DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS 5.  Z  b  o } d) Irracionales (Q’) son aquellos números no racionales. e) 3 . e.-.. es decir. aquellos números que no pueden expresarse como fracciones.Q = { x/x a /b a. 5 Q’ = { .b. . a.. e. c.a. conjuntos iguales conjuntos equivalentes: cuando poseen la misma cantidad de elementos inclusión de conjuntos cuando todo elemento de a se encuentra en b conjuntos disjuntos no poseen elemento algún elemento en común conjuntos comparables si uno de ellos es sub. Operaciones entre conjuntos unión. e. d. f. Cuando tienen elementos comunes Cuando no tienen elementos comunes 4 Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto . diferencia simétrica. c. intersección. d. 6. conjunto nulo o vacío conjunto unitario conjunto universal conjunto finito conjunto infinito Relaciones de conjuntos a. conjuntos de A 7. b. b. conjunto del otro conjunto potencia esta formado por todos los sub. diferencia. UNION: a A  a A B b Ab B  b A B c B  c A B INTERSECCIÓN: Está formado por aquellos elementos que pertenecen a ambos conjuntos a la vez. complemento de un conjunto. i. m. a. c } B = { i. Donde: a A  a A B b AbB  b A B c B  c A B Cuando no tienen elementos comunes Cuando tienen elementos comunes Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO donde A  U se denota por A´ se indica como: A’ = U – A = { x/x  U y x  A} a) Sean U = { m. c} En forma gráfica: 5 .DIFERENCIA DE CONJUNTOS: La diferencia esta formado por los elementos que pertenecen solamente al conjunto A. t. t. e } Su complemento de A es: b) Sean U = { letras de la palabra aritmética} y A' = { m. t. m. r } B = { vocales de la palabra vida } Determinado por extensión tenemos U = { a. r. a. e. e. a } En forma gráfica: Su complemento de B es: B' = { r. e } y A = { t. r. Si: U = { 1 . 7.Si: S = { 1. 2. 5.. 6. 0. 7. 16/7. 13 } B = { 1. 5.Determinar por comprensión los siguientes conjuntos: A= { -5. 3.. -3 < y < 2 } 3. 4. 13 } Encuentre: a) B’ = b) A’  B’ = c) ( A  B )’ = 5 . 9.. 11. 3. 8 } Z = { 1. 11. 7. 9.. 2. 2. 2. 25/9} 2 . 6. 6 } R = { 3. 10. 5. 8. 5.¿Cuales de las siguientes igualdades son verdaderas ? 6 d) (A’  B)’ = R e) S  Z . 4. 5. 8 } Obtenga: a) S f) R   R Z b) S g) S  R   Z  c) S R  Z Z d) S h) ( S  Z)   R 4 . 4/3. 3.. 10. 9. x < 10 } b) { y/y  Z. 12. 15 } B = { 1. 9/5. 13 } A = { 1. 5.Exprese los siguientes conjuntos por extensión: a) { x/x  N. 2.DIFERENCIA SIMÉTRICA Es la unión de: (A-B) y (B-A) se denota como: EJERCICIOS DE APLICACION 1. 3. . (A’)’ = A   d. Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 28 mañanas. ( A  A’) = U b. 12. 2. 2. 5. 10.Encuentre 9 palabras ocultas en la siguiente sopa de letras relacionada con conjuntos. 4. 13 } Encuentre: a) A . 2. 6. 5. 8. 13 } B = { 1. 7. 9. 7. 11. 13 } C = { 1. 3. 5. (A  c. 12. 7.. 4. 3. 5. 13 } Represente en diagrama de Venn: a) A’ b) A  B c) A  B  C d) (A   B C)’ 8. 11. 9. S   R T   A  B  C 10. 10. R A I C N E N E T R E P N F U A T U C I S I A N 7 .A = c) B . 9. 7. 5. 5. 2. 13 } C = { 1. 13 } B ) = A’  B’ B = { 1. 2.A = 7. (A  6. 6.Si : A = { 1 . 3. U’ = f.  A’) = ’=U e.Sean los conjuntos: A = { 1 . 9.Juan come huevos o tocino en el desayuno de cada mañana durante el mes de enero. 8.. 3..Sombrea en cada uno de los diagramas la solución que satisfagan a la operación de conjuntos pedida.B = b) B . 7. 11. 2. 11..a. ¿Cuántas mañanas come solamente huevos? Nota: Use diagramas de Venn para solucionar este problema. 9.C = d) C . 9. 9. 7. O O N M O S O S V O A O N L I I N M M T A I I I O D V N P R P U C O M C T U E N U T L N I N A C N A R N A S E I O N S E U T S E L R M R A U V S J N O V E A E M P A L R N E V F M N N O C C E E O P I R L I T I A N O T C D L A A Q O P N I V N A F B C D A N O M I T I 8 . ¿Cuántos consumen mayonesa pero no Ketchup? Problema 12 De 75 alumnos de un aula. los que usan sombrero y anteojos son los ¾ del total. ¿Cuántos días desayunó solamente jugo de papaya? Problema 1 De un grupo de 65 alumnos: 30 prefieren lenguaje 40 prefieren matemática 5 prefieren otros cursos ¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje? Problema 9 Al estudiar la calidad de un producto se consideran dos tipos de defectos: A y B. y 24 no bailan pero si cantan. ¿Cuántos elementos tiene AB? Problema 5 De 300 alumnas que salieron al recreo: 90 bebieron Inca Kola. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj? Problema 13 Un conjunto A tiene 42 elementos y otro conjunto B tiene 24 elementos. a ½ de la población les gusta la carne y a los 5/12 les Problema 8 Durante el mes de febrero del 2000. ¿Cuántas personas no cantan ni bailan? Problema 7 En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican básquet. ¿Cuántos artículos tienen exactamente un defecto? Problema 2 De 50 estudiantes encuestados: 20 practican sólo fútbol 12 practican fútbol y natación 10 no practican ninguno de estos deportes ¿Cuántos practican natación y cuántos sólo natación? Problema 10 De un grupo de 110 personas: 70 hablan inglés.Ejercicios Variados de Teoría de Conjuntos jugo de papaya. 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. 57 consumen mayonesa. si AB tienen 52 elementos. ¿Cuántas alumnas bebieron sólo una de estas bebidas? Problema 14 Si 20 personas usan anteojos solamente. los 3/5 usan reloj. ¿Cuántos usan corbata pero no anteojos? Problema 4 Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y Ketchup. ¿Cuántos profesores integraban la reunión? Problema 15 A una reunión asistieron 80 personas de las cuales de las cuales 32 no cantan pero si bailan. Si: 12 días desayunó solamente jugo de naranja. si 10 personas no usan ni corbata ni anteojos. 10 no consumen ninguna de estas salsas. los 2/5 usa anteojos y reloj. 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos. 150 no tienen el defecto A. si el número de personas que no cantan ni bailan es el doble del número de personas que cantan y bailan. 45 consumen Ketchup. 105 no practican básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó? Problema 16 En una ciudad de 120 personas: a ¼ de la población no les gusta la carne ni el pescado. ¿Cuántos hablan inglés y francés? Problema 3 En un salón de 100 alumnos: 65 aprobaron Razonamiento Matemático 25 aprobaron Razonamiento matemático y Razonamiento Verbal 15 aprobaron solamente Razonamiento Verbal ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados? Problema 11 En una reunión de 58 caballeros se observó que los que usan corbata y anteojos representan la tercera parte de los que usan corbata. Santiago sólo desayuno jugo de naranja y/o jugo de papaya. 10 bebieron ambas bebidas. 47 eran de matemática. ¿Cuántas personas usan sombreros y anteojos? Problema 6 En una reunión de profesores de ciencias. 35 practican básquet y ajedrez. 20 no hablan ni inglés ni francés. 90 personas no usan anteojos. 70 no usan sombrero. 3 días desayunó jugo de naranja y 9 . el número de los que hablan francés es el doble de los que hablan solamente inglés. los que usan anteojos son el doble de los que usan corbata y anteojos. 40 eran sólo de Física. 60 bebieron Coca Cola. Se analizaron 350 artículos con los resultados siguientes: 50 no tienen ninguno de estos defectos. 90 practican sólo ajedrez. 230 no tienen el defecto B. pierna y brazo a la vez? Problema 20 En el Colegio “San Miguel” de Piura se ha evaluado a 1000 alumnos en las asignaturas de lenguaje. 26 practican básquet y 25 practican vóley. ¿Cuántas personas no estudian? ¿Cuántas amas de casa no ven ninguno de estos canales? ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canal A? ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canas B? ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canas C? ¿Cuántas amas de casa ven solamente uno de estos canales? ¿Cuántas amas de casa ven el canal A pero no el canal B? ¿Cuántas amas de casa ven el canal B pero no el canal C? ¿Cuántas amas de casa ven solamente dos canales? ¿Cuántas amas de casa ven por lo menos dos canales? ¿Cuántas amas de casa ven el canal A o el canal B pero no el canal C? Problema 18 En una encuesta realizada a un grupo de lectores de revistas: 40 personas leen la revista A: 60 personas leen la revista B. ¿A cuántas personas no les gusta el pescado? Problema 17 De un grupo de 90 personas: 20 estudian y trabajan. lenguaje y matemática Si todos los alumnos aprobaron por lo menos uno de estos cursos: ¿Cuántos aprobaron biología? ¿Cuántos aprobaron sólo lenguaje y matemática? ¿Cuántos aprobaron sólo matemática? Problema 23 De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol. 5 en la cabeza y brazo. ¿Cuántos no practican ninguno de estos deportes? Problema 24 En una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de un instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado: 28 estudian español 30 estudian alemán 42 estudian francés 8 estudian español y alemán 10 estudian español y francés 5 estudian alemán y francés 3 estudian los tres idiomas ¿Cuántos estudiantes toman el francés como único idioma de estudio? Problema 21 Se encuestaron a 180 amas de casa sobre sus preferencias por los canales de televisión A. si 80 personas no leen la revista A. El número de los que no estudian ni trabajan es la mitad de los que trabajan. 43 en el brazo. 9 practican fútbol y vóley.gusta el pescado. hombres 42 fueron heridos en la cabeza. 13 practican fútbol y básquet. C obteniendo los siguientes resultados 110 ven el canal A 120 ven el canal B 130 ven el canal C 66 ven los canales A y C 78 ven los canales A y B 90 ven los canales B y C 52 ven los tres canales Responde a las siguientes preguntas: Problema 25 De un grupo de 59 personas se observa los siguientes: 8 personas leen sólo el “Comercio” 16 personas leen sólo la “República” 20 personas leen sólo el “Expreso” 7 personas leen el “Comercio” y la “República” 8 personas leen el “Comercio” y “Expreso” 10 . los que no leen ninguna de estas revistas son el triple de los que leen ambas revistas. Si 6 practican los tres deportes. 32 en la pierna. B. 8 en el brazo y la pierna. 10 practican básquet y vóley. obteniéndose los siguientes resultados: 680 alumnos aprobaron lenguaje 320 alumnos aprobaron Biología 400 alumnos aprobaron sólo lenguaje 50 alumnos aprobaron lenguaje y biología pero no matemática 170 alumnos aprobaron biología y matemática pero no lenguaje 40 alumnos aprobaron biología. 40 no conocen Brasil. ¿Cuántas personas conocen sólo Brasil?       Problema 22 En una Batalla donde intervinieron 100. ¿Cuántas personas leen ambas revistas? Problema 19 De 120 personas: 30 conocen sólo Argentina. el número de personas que conocen Brasil es el cuádruple del número de personas que conocen Brasil y Argentina. 6 en la pierna y la cabeza. matemática y biología. el número de los que solamente trabajan es el doble de los que solamente estudian. ¿Cuántos fueron heridos en la cabeza. f} y C={a. 3. el número de personas que practican el deporte A y el deporte B es: Problema 30 Dados los conjuntos: P={xIN / 12<x<25  x es múltiplo de 3}. practican el deporte B. B={x/x+5=11. b. 2. 5}. Q={xIN / 20<x<32  x es Problema 38 Cuántos conjuntos se formarán en el conjunto E={xIN/ x no es primo. B={xIN / 3<x<9} y C={xIN / 5x=20}. d. 4} y B={2. 4} y B={2. 3}. es par y menor que 14}. c. 3. “x” es número natural}.3 personas leen la “República”. 11 . ¿Cuántos son los alumnos en total? Problema 32 Halla la reunión de los siguientes conjuntos: A={xIN / x<5}. a) b) c) d) Problema 36 Sean los conjuntos A={1. entonces. 3}. C={2. Problema 31 Dados los conjuntos A={xIN / x<7}. 3}A {3}A A A 3A Problema 26 Una encuesta realizada entre 82 madres de familia arrojó el siguiente resultado: 43 saben costura 47 saben repostería 58 saben tejido 19 saben costura y repostería 28 saben costura y tejido 30 saben repostería y tejido 11 saben las tres ocupaciones ¿Cuántas amas de casa saben sólo una de las tres especialidades? Problema 34 Si A={1. 2 no practican ninguno de estos dos deportes. B={3. 2. 2. 2 personas no leen ninguno de estos diarios ¿Cuántas personas leen expreso? múltiplo de 6}. 7 practican el deporte A. Problema 25 De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican se sabe que: 70 estudian inglés 40 estudian química 40 estudian matemática 15 estudian matemática y química 20 estudian matemática e inglés 25 estudian inglés y química 5 estudian los tres cursos. B={xIN / x2=16} y C={xIN / x –3 =2} Problema 33 Si A={1. h} halla: AB BC AC ABC Problema 37 De un grupo de personas se sabe los siguiente. 4. “x” es número natural}. halla ABC y representa gráficamente el resultado. Halla: (A’-B’)C’ Problema 29 Sean los conjuntos A={a. 5}. B y C 17 leen las revistas A y C ¿Cuántos leen la revista A pero no la revista B? Problema 35 Diga cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: {}= {0}={ } {0}= { }= Problema 28 Dados los conjuntos A={x / 7<x<9. 3}. cada una de las siguientes proposiciones: A BA 3A 2A A {3}B Problema 27 De 185 lectores de revistas: 47 leen la revista A 53 leen la revista B 65 leen la revista C 15 leen la revista A y B 13 leen la revista B y C 5 leen las revistas A. con V si es verdad y con F si es falsa. 5} y U={1. e. indicar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas: {2. 2. 4. b. B={b. “Expreso” y el comercio. De ellos cuál o cuáles son unitarios. 3. c. 3. g}. indicar. halla PQ y representa la unión con los diagramas de Venn. e. 2 no practican ninguno de estos dos deportes. 2 B) 8 E) Problema 49 Dados los siguientes conjuntos A={2x / xN  x < 6} B={(y + 4) + 2 / y  A  (y+4)/2  N} C={(2m+1)+3 / mB  (2m+1)/3N} ¿Cuántos elementos tiene C? A) D) 1 B) 4 E) 2 C) 5 3 Problema 50 Si A={x2+4 / xZ  -4 < x < 6}. 2. 3. 0. Halla: a. 5}. 3. 9999. e. c. El número de subconjuntos propios no vacíos de MN es: (A es subconjunto propio de B si A es subconjunto de B y existe un elemento de B que no pertenece a “A”) Problema 41 Hallar el número de elementos de P(A). Problema 42 Sean: A = {2x / xN  x<6} x+4 B = { -----. al 65% de la población le gusta el jugo de papaya. 1./ yB} 3 ¿Cuál es el valor de n(C)? Si A={1. 3.1) / xN  x<6} D) {(10x .       {3}   Problema 43 Sean los conjuntos: A={1. {x / xZ  2 x2+5x+2=0} A) D) 5 Problema 48 Dado el conjunto E={9. 999. 2. 3} B) {-3. {}. 3. sí A={. 2. (B) 3 C) 11 Problema 47 ¿Qué alternativa presenta un conjunto vacío? A) {} B) {x / xN  x<0} C) {x / xZ  D) {x / xQ  2x-1=4} E) N. 2y+1 C = { -----. 8 practican el deporte B. 99999} Determinado por comprensión es: A) {(10x-1) / xN  x<6} B) {(10x+9) / xN  x5} C) {(10x . 2. al 60% le gusta el jugo de 12 . el número de personas que practican el deporte A o el deporte B es: 4 B) 7 E) 5 C) 8 6 Problema 51 Determina por extensión el siguiente conjunto: A={3x-3 / xN  x<4} A) {0. 6} D) {1.A./ xA} 2 a. 25. {} 1 III. d. {x / xZ  x2 = 25} 2 II. 4} y B={2.manzana. 3} E) No es posible Problema 45 En una ciudad. 3} B={3. (A – C)  (C – A) c. f. Halla n(A) A) D) Problema 44 De un grupo de 14 personas se sabe lo siguiente: 7 practican el deporte A. b. 5} y C={2. (3n+13)} es unitario Problema 40 Dados M={xIN/ 6<x2+1<40} y N={x+1/xIN  2<x<6}. indica con “V” si es verdad y “F” si es falsa cada una de las siguientes proposiciones. (A – B)  C b. ¿A qué porcentaje de la población le gusta el jugo de papaya y el jugo de manzana? Problema 39 Hallar m+n si el conjunto M={(4m-3).a} Problema 46 ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son unitarios? I. entonces.A. 6} C) {0. 4.1) / xZ+  x<6} E) N. {x / xN  x2 + 7 = 0} IV. 3}. 99. El menor elemento de (B-B) es 0 A) D) 0 B) 3 E) 1 C) 4 Problema 57 Si el conjunto k tiene 127 subconjuntos propios. {xN / x<8} III. x < 5} A) D) 6 B) 15 E) 14 C) 16 13 Problema 58 ¿Qué alternativa presenta un conjunto unitario? A) { } B) {x / xN  x<2} C) {x / xZ  x2=9} D) {x / xQ  x3=-1} E) {x / xR  x2+1=0} Problema 55 Si: U={Enteros positivos menores que 20} V={Números primos menores que 20 W={Números impares menores que 20} Marca la alternativa correcta.x(AB)  x(AB) III. 13}. 7. 10. 9. Problema 54 Calcula el cardinal de A si: A={3x / 3x  N. y posee 992 subconjuntos más. 43. II y III C) II y IV D) Todas E) I y III Problema 53 Si A-B={(a-b) / aA  bB} A={8. hallar cuántos elementos tiene AB. n(B-A)=9 IV. 13. A) D) 10B) 14 E) 11 C) 9 12 A) I y II B) I. 8. 1. xAxA' IV. 7} ¿Cuántas alternativas son correctas? I. 2. El menor elemento de (A-B) es 6 III. xA  x (A-B) Problema 52 Si A tiene el doble de elementos que B. 11. 17. Problema 59 ¿Qué alternativa presenta un conjunto unitario? A) { } B) {x / xN  x<2} C) {x / xZ  x2=9} D) {x / xQ  x3=-1} E) {x / xR  x2+1=0} A) W  V B) V  W C) U W D) VW={3. 5. 3. 4. 23. 13. sabiendo además que A y B comparten sólo 3 elementos. {0.Problema 56 ¿Qué afirmaciones son correctas? I.A. B={2. {xQ / -3< x  4} II. ¿Cuál de los siguientes puede ser el conjunto k? I. n(A-B)=8 II. 83} 2 A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) Sólo III E) N. x(AB)  x(AB) II. 19} E) U(WV) 13 . En física o historia pero no en matemática. ¿Cuántos alumnos : a. 9 química y física . ¿Cuántos hombres no estudian historia? 7. Exactamente en 2 de los 3 cursos c. De un grupo de 50 estudiantes. f. 8. 32 saben ingles y 15 saben ambos cursos. Hallar el número de alumnos que están inscritos en : a. Aprobaron al menos dos cursos e. Aprobaron física y química pero no matemática. Manuel Campos Tesen Problemas de conjuntos 1. d. aptitud y entrevista personal. Si come mantequilla 5 mañanas y mermelada 6 mañanas . En ninguno de los 3 cursos e. 28 saben matemáticas. d.¿Cuántas mañanas come mantequilla y mermelada. Saben un solo curso. 12 café y 2 no tomaron ninguna de las bebidas ¿Cuántos tomaron té y café? 2. Se realizaron tres pruebas: conocimientos. Aprobaron matemática o física pero no química. 16 tomaron té. 115 en matemáticas y 75 en física. En cierta universidad la clase de primer año está formada por 100 alumnos. No conocen ninguno de estos. En matemática o física pero no historia. en su desayuno cada mañana durante una semana. En un restauran habían 20 personas. 17 matemática . 7 aprobaron química y matemática . El resultado fue: o 35 aprobaron la prueba de conocimientos 12 . c. b. f. De un grupo de estudiantes que rindieron exámenes . Si el 61 % de una población consume carne de ave y el 77% carne de pescado. 55 están en historia y matemática. de estos 40 son mujeres. 19 física 18 química y 4 aprobaron los tres cursos . En historia y física pero no en matemática. los resultados fueron: 10 aprobaron matemática y física. ¿Cuántos alumnos : a. ¿Cuál es el porcentaje de la población que consume ambas carnes? 4. Aprobaron sólo matemática o sólo física. 6. 3. h. Aprobaron sólo un curso. 5. Una persona come mantequilla o mermelada o ambos.Universidad Alas Peruanas MATEMÁTICA I Prof. 35 en física e historia. 30 en matemática y física y 20 están inscritos en los tres cursos . 73 estudian Historia y 12 son mujeres que no estudian historia. Una empresa tiene cierto número de vacantes para la que se han presentado 70 postulantes. Sólo en uno de los tres cursos. Por lo menos 2 cursos g. Rindieron examen. 105 están inscritos en historia. En un grupo de 200 alumnos. b. Historia pero no física b. Sólo español y francés. e. distribuidos de la siguiente manera: o Sólo alemán 25 o 12 sólo español o Francés pero no alemán ni español 15 o Alemán y francés 10 o Alemán y español 8 o Además los que estudian español y francés eran tantos como los que estudian alemán y español. ¿Cuántos aprobaron sólo dos pruebas? c. o Hallar cuantos estudian: a. ¿Cuántos entran a trabajar si el requisito es aprobar por lo menos dos o de los exámenes. ¿Cuántos aprobaron sólo un examen? b. En una clase de 75 alumnos. ¿Cuántos alumnos practican ambos deportes? o 10. En un grupo de 80 estudiantes se halla que el total que estudian los diversos idiomas era de 72 . Los tres idiomas. 35 en los tres cursos. Si estudió 23 días matemática y 17 días estudió historia ¿Cuántos días estudió: a. Están inscritos en sólo un curso. Están inscritos al menos en dos cursos d. 50 en A y C . ¿Cuántos han aprobado conocimiento y aptitud pero no la entrevista? o 9. e. Están inscritos en A pero no en C. Historia pero no matemática. o 10 de aptitud y de conocimiento o 13 conocimiento y entrevista o 12 de aptitud y entrevista. B y C . o o 13 . Matemática e historia b. f.170 en el curso B y 110 en el curso C.155 en el curso A. Dos idiomas solamente. Francés o alemán. b. No están inscritos en ninguno de los tres cursos c.o o 30 la entrevista personal. Matemática pero no Historia. o 11. ¿Cuantos no aprobaron ningún examen? d. ¿Cuántos alumnos: a. b. Un alumno estudio matemática o historia cada día durante el mes de octubre. 70 en B y C . o 30 la de aptitud. o 8 las tres pruebas a. 85 en A y B . 300 estudiantes están inscritos en el curso A.| c. Español o francés pero no alemán. 50 básquet y 10 ninguno de los 2 deportes. c. d. Ninguna lengua. 60 juegan fútbol. o 12. .x  2    5     C  x  N/ x escuadrado perfecto  x  10 o Calcular:  A  B   C .1 x  3 C  x  Z/ x -2  x  2 A  x  Z/ x  -2  x 3 o o o o    C    A  B o Calcular: o o o 15..o 13. conjuntos:   B  x  U/ x escuadrado perfecto C  x  U/ x es impar o Calcular:  A  B '  C a) o b) o c) o o d)  A .2   B   x  N/ 5 .Sean los conjuntos   A  x  N/ 7 .Dados los conjuntos:   B  x  N/ ..A  o a) 14  .Sea el conjunto Universal:     U  x  N/ 0 x  10 o A  x  U/ x es primo  y los sub.C '  B  AB  C  A  C '   B  C o o 14.x  3  x 3 o o 6x . …………………..…………………. vacío. 9. o ……..   a2  b2 o Calcular o o a) 100 b) 90 c) 12 o o o 18.. o o o o o o U   a  b .10.o b) o c)  A  B   B  C   A  B   A . 10} o o C= {6. 11. 7. 12  o 17. 2 B  xR/ x 4  0 o ……. universal.…………………. D  1. potencia...6. C   x  Z / x  5 o …….3. infinito) o A   x  N /  x  1 2 x  1  0 ……. 7.15... finito. 12} o o Calcula: o 15 d) 50 e) 40 .3. 6.21. a  2b...…………………..C   AB   B  C o d) o o o 16.Indicar que clase de conjunto especial se trata (unitario. 10.Dados los siguientes conjuntos: o   o A= { x N / 1 x < 9} o o B= {5. 8.Sabiendo que: es un conjunto unitario. o n(A o o a) 3 o  B) + n(A  C) + n(B b) 9  C) c) 7 o o o o 16 d) 6 e) 5 . Documents Similar To Teoría de ConjuntosSkip carouselcarousel previouscarousel nextFOROTEORIA_DE_CONJUNTOS[1]Teoria de Los Conjuntos Borrosostopologia 4 hilosCapitulo II. Matemática pre universitaria. Msc. Rafael González. 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