I.E.P “SEMINARIO DE SAN CARLOS Y SAN MARCELO” Prof.FERNÁNDEZ NÚÑEZ, Nicolás Santiago TEORÍA DE CONJUNTOS Notación y Representación A ={ a, e, i, o, u } ; B= { 1; 2; 3; …; 50 } ; C= { letras del alfabeto castellano } Pertenencia y no pertenencia A = { a, e, i, o, u } → e ∈ A ; d ∉ A DETERMINACIÓN a) Por Extensión : A = { ciruela, mango, plátano, manzana } ; B = { a, b, c, … z } b) Por Comprensión : R = { vocales del alfabeto castellano } R = { x / x es una vocal } REPRESENTACIÓN GRÁFICA a) Diagrama de Venn-Euler b) c) “ lineal : se da en la relación de inclusión “ de Lewis Carroll : diagramas rectangulares que sirven para representar conjuntos que no tienen comunes .Ejemplo : En una reunión de 32 hombres y 28 mujeres , 15 hombres fuman y 20 mujeres no fuman . Representar gráficamente el conjunto descrito. CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS a) 1. 2. 3. Según el número de elementos Unitario Finito Infinito b) Especiales 1. Vacío : φ 2. Universal : U 3. Disjuntos : A y B son disjuntos ↔ { x / x RELACIONES ENTRE CONJUNTOS a) Relación de Inclusión : Se da a nivel de conjunto a conjunto. A También significa: - “ A está incluído en B” - “ A es subconjunto de B” -“ B contiene a A” : B ∈ A ^ x ∉ B } ⊂ ⊂ B ↔ ( x ∈ A → x ∈ B ) ⊃ A b) Relación de Igualdad A=B ↔ ( A ⊂ B ^ B ⊂ A ) {b. {a }. c} → P ( A ) = { φ . { 8 } } f) Conjunto Potencia : P ( A ) ⊂ B y al menos un Dado el conjunto A. c }} El número de elementos o subconjuntos de P(A) está dada por la fórmula : n [ P (A) ] = 2 n(A) OPERACIONES CON CONJUNTOS a) UNIÓN ó REUNIÓN : U AUB = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B } : son los elementos comunes y no comunes i) Si los conjuntos se traslapan . al conjunto formado por todos los subconjuntos de A. { 5. c } . 6. 7 } .3 } . Ejemplo: Si A = { a. si A elemento de B no está en A e) Familia de conjuntos o conjunto de conjuntos Es aquel cuyos elementos a su vez son todos conjuntos . ii ) Si : A – B = A → A ∩ B = φ . { a. b } .c) Conjuntos comparables A es comparable con B ↔ ( A ⊂ B ∨ B ⊂ A ) d) Subconjunto propio Un conjunto A se llama “subconjunto propio o parte propia de B” . . se llama conjunto potencia de A. Ejemplo : A = { { 2 }. {a. incluído el conjunto vacío y el propio conjunto A. entonces : n ( A U B ) = n (A) + n ( B ) – n (A ∩ B ) ii) Si los conjuntos son disjuntos : n ( A U B ) )= n ( A ) + n ( B ) iii) Para tres conjuntos : n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)–n(A +n(A ∩ B ∩ C) b) INTERSECCIÓN : A c) ∩ B) . c } . b. { a. { b } . b.n (A ∩ C) -n(B ∩ C) ∩ A ^ x ∩ B = { x/x ∈ ∈ B } : son solo los elementos comunes DIFERENCIA : “ – ” A – B = { x / x∈ A ^ x Observación: i) A – B ≠ B – A ∉ B } : son sólo los elementos de A. { 2. {c } . iii) A U φ = A . ii ) A ∩ ∩ A = A . ii) A ∩ ( B U C ) = ( A∩ B ) U ( A ∩ C) ∩ ii) ( A ∩ C ) c = Ac U B c f) Del Complemento i) A U A c = U . ii) A ∩ Ac = φ . ii) A g ) De Identidad i) A U U = U . ii) A iii) A U ( A c ∩ (AUB) = A . ii ) ( A d) Distributiva i) A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) e) Leyes de De Morgan i) ( A U B ) c = A c Bc ∩ B) ∩C ∩ (B ∩ C) ∩ ( A U C ) . ii ) A B = B ∩ = A A c) Asociativa i) ( A U B ) U C = A U ( B U C ) . iii) (A c ) c = A ∩ U = A . ii) ( U ) c = φ . iv) A ∩ φ =φ h) De Absorción i) A U (A ∩ B ) = A . iii) ( φ ) c = U . iv) A ∩ ∩ B ) = AU B ∩( Ac U B ) = A∩ B Leyes Auxiliares i) A – B = A Bc . .d) DIFERENCIA SIMÉTRICA : ∆ A ∆ B = {x/x ∈ (A–B) U x ∈ (B–A)} También : A ∆ B = { (AUB)–(B e) ∩ A)} COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO : Ac Ac = U – A = { x / x ∈ U ^ x ∉ A } LEYES DEL ÁLGBEBRA DE CONJUNTOS a) Idempotencia i) A U A = A b) Conmutativa i) A U B = B U A . 4 n ( B ) Rpta. B = { 2 y +1 / y 3 x +4 /x 2 ∈ A } ∈ B }. 38 6. n ( B – A ) = 8 Hallar : 5 n ( A ) . si se sabe que los conjuntos B y C son iguales. siendo A y B dos conjuntos tales que : n ( A U B ) = 30 . 5. Rpta. d) { x2 + x / x N ^ 1< x <8} e) { x2 + x / x Z ^ x < 6} ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ 3. b) { 4 } { {4 }. IV. Nicolás Santiago CONJUNTOS : PRÁCTICA N° l 1. a. 2 ∈ ∩ B .E. Si U = { Naturales }. e) φ { 3. 42.P “SEMINARIO DE SAN CARLOS Y SAN MARCELO” Prof.22 x + 24 = 0 } . 10 } ∈ N ^ x < 10 } . A φ ∩ C = { 9. C = { a – b . A = { x / x ( 11 – x ) = 30 } . C = A U B . 2 } . B = { x / 5 ( x2 + 4 ) = 29 x } 2 C = { x / ( 3x . n ( A – B ) = 12 . 4 } 2. M=: (CUB) ∩ (A–C) c c Hallar la suma de los elementos de M. 30. ¿ Cuántos elementos tiene C? Rpta . A = B U C . 6. c) ( A – B ) U ( B – A) . Si : A = { a. . A = { 1. ( A U B U C ) c = Hallar el conjunto A. { 4 } . 2 4. 3.I. 5 } . B = A U C . B = { 6 . 3. C = { 5 x / x Rpta. b/ 2 } Hallar la suma de los elementos de A. 9. y. 10 } 8. A = { y / y ∈ N ^ y ≤ 5 } . 2 } . Determinar el conjunto dado por comprensión : a) { x2 + 1 / x N ^ x ≤ 7 } .6 } . . De las siguientes expresiones . y las alternativas : I. b) { x2 + 1 / x N ^ x ≤ 6} c) { x ( x + 1) / x N ^ x ≤ 7 } . Rpta .Si A = { 2. V. 12. { 4 } . 8 } ∈ N ^ x < 5} . III. y.y. C= { A = { 2x / x ∈ N ^ x < 6} . 3 } = { 3. Sea : U = { x / x N } . 5. A ∩ B = { 3. Si : U = { x / x C = { 2n / n ∈ N ^ x ≤ 10 } . 7. 20. Si “n” significa el número de elementos . B = { 3 x / x 6} ¿ Cuántos elementos tiene ( A U C ) B? ∈ ∈ N ^ x < 10 } . 18 5. 2. 5 } . 9 } . ¿ Cuál de las siguientes operaciones es equivalente a : A c – B c? a) ( C ∩ B)c . Si : A = { 2 x / x N ^ x < 15 } . 5. Rpta. 29 9. Si : U = { x / x Además : ( A U B ) c = { 1. 3. B = { 1. c) { 3 } φ d) { 3. 2 } ∈ ∈ ⊂ ⊂ { 2. d) ( A U B ) ∩ C . determinar cuál de ellas es falsa : a) { 2. b } . b) Ac U B c . C = A ¿ Cuántas son verdaderas? Rpta. II. e) B – A 10. y. FERNÁNDEZ NÚÑEZ. 56 }. 5 ∈ N ^ x < ∩ 7. B = A – C . Sean A. entonces : ¿ Cuánto puede ser ( a + x + y )? Rpta : 5 ó 6. { 8. la intersección de los tres conjuntos tiene 5 elementos.11.C ) ] C ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ____________________________________ 19. d } . 5 ∩ ∩ 20. 10 } 17. b < 4 } ¿ Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto A? ∈ ∈ Rpta. b) A tiene 3 elementos . F U G ={ ( a + 4 b ) . c c c ¿ Cuántos elementos tiene el conjunto A ∩ B ∩ C ? Rpta. F U G es un conjunto unitario: 13. e } . B y C tres conjuntos contenidos en un Universo finito de 60 elementos. b) [ B – ( A U C ) ] c c) [ (A B) – C] U [(B C)–A ] d) ( A B C)c A e) ) B . El conjunto A tiene 3 elementos menos que el conjunto B. 5 21. entonces se puede decir que : a) Es absurdo . ( 3a – 1 ) } . ( b + 1 – 3 a ) } Hallar : F G Rpta. 15. P Calcular : n ( Q – P ) + n ( Q ) ∩ Q={c} Rpta. C = {z/z ≥ 12 } Rpta. b Z. Sea = { a/ b / a N . c) A tiene 5 elementos . φ .(A ∩ Bc) ≤ 10 } . Dados los conjuntos : A = { x/ x ∩ Rpta. Si : P U Q = { a. d) ( A B)-C e) (A B) Cc ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ________________________________ A B ________________________________________ 18. el conjunto B C A c es vacío. A = { x / x Hallar = ( C c ∈ ∩ ≠ ∩ A) . A B _________________________________ ¿ Qué expresión representa la parte sombreada de la figura? a) ( A B C ) . Si : U = { números naturales } . 10 14.[ ( B – A ) U ( B . B = { ( 3x + y ) .B ) 7 Hallar : n ( A ) – n ( B ) 22. B = { y / y ≥8} . B= { C = { 2x / x (B–A) } Calcular la suma de los elementos de : A ∆ C ∈ 2x −1 ∈ Z / 1 < x < 7} −3 Rpta. Si : n ( A B ) = 2 . n ( A . ( x – y + 8 ) } son conjuntos unitarios. b) C (A B)c c) A B C . ( b2 + 1 ) } . ¿ Que expresión representa la parte sombreada? a) ( A U B ) – C . Para a. 2 ∈ N ^ 4< x<9}. d) A no está incluído en P(A) e) No se afirma nada . y. 23 16. Si ( B . ¿ Cuál es el máximo número de elementos de ( A U B )? Rpta. F y G son conjuntos tales que G F = { ( a2 + 2 b ) . el conjunto A – ( B U C ) tiene 10 elementos. 137 12. n ( A U B ) = 14 . 9.C c .b N ^ a < 4. c. que por cierto tiene 7 168 subconjuntos más que A. Si la unión del conjunto A con su respectivo conjunt6o potencia tiene 37 elementos .C ) U ( C – B ) tiene 40 elementos . b. 18 . Si : A = { ( a2 + 1 ) . P – Q = { d. FERNÁNDEZ NÚÑEZ. es el quíntuplo de quienes sólo postulan a la UPAO. por lo menos 40 toman gaseosa solamente.En total hay 22 economistas. 35 leen alemán. y. que el 60% no lee “Satélite” y que el 40% lee “La Industria” o “Satélite” pero no ambas .N.N. ¿ Entre cuántas personas se hizo la encuesta. De un grupo de turistas que llegaron al Perú: 31 visitaron el Callao.20 tiene dos profesiones. y el 50% fuman “Premier”. 74 7. ¿ Cuántos no hablan ni Inglés ni Castellano? Rpta. La cantidad de postulantes a la U. De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 revistas A. Si se sabe que 68 libros tienen la lra falla .T. 100 personas fuman las dos marcas. 22 visitaron exactamente 2 lugares. fallas en la impresión y fallas en la encuadernación. si se sabe que todas las personas fuman por lo menos una de estas marcas? Rpta. 6. 32 tiene la 2da falla. En un distrito se determinó que el 30% de la población no lee “La Industria”.N. 3 leen los tres idiomas. 12 de ellos son mujeres .N.¿ Cuál es el valor de “n”? Rpta. otras agua mineral y otras bebidas alcohólicas.T y/ o la UPAO. por lo menos 32 toman agua mineral. 19 leen francés y alemán . En un salón hay 72 alumnos que se preparan para postular a la U. es el triple de los que postulan a la U. 46 leen francés. Si el 20% de los que hablan Inglés hablan también Castellano. español y alemán. a) ¿ Cuántos libros tienen sólo la 3ª falla? Rpta. economistas-abogados y solamente abogados.Hay tantos ingenieros hombres como mujeres economistas . 4 y 64 9. tanto en los hombreas como en las mujeres. 25 8. 14 . 50 leen B y C . y. En una encuesta entre “t” personas. 8 400 4. 4 2. 27 leen español.P “SEMINARIO DE SAN CARLOS Y SAN MARCELO” Prof. En una encuesta a “n” azafatas sobre habilidad de leer francés. 69 10. 500 En un evento internacional el 60% de los participantes habla Inglés y el 25% habla Castellano. 5 toman gaseosa y agua mineral pero no bebidas alcohólicas. 69 11. ¿ Cuántos hombres hay con sólo una profesión? Rpta. se observa que 40 leen las revistas A y B. 17 toman agua mineral y bebidas alcohólicas pero no gaseosa.T. 38 visitaron sólo y nada más que l lugar. 675 5. economistas y abogados: . 45 son hombres. y 4 toman las tres bebidas¿ Cuántas personas toman bebidas alcohólicas por lo menos? Rpta. B y C. 60 leen A y C ¿ Cuántas personas leen por lo menos las tres revistas? Rpta. De un grupo de ingenieros. 34 visitaron el Cuzco. y son 1 200 los que hablan sólo Inglés.y. 29 visitaron Trujillo. ¿Cuántos visitaron los 3 lugares y cuántos eran en total? Rpta. 40 tiene sólo la lra falla.¿ Cuántas personas hay en la población? Rpta.T y a la UPAO. Nicolás Santiago CONJUNTOS : PRÁCTICA N° 2 – PROBLEMAS 1. y 4 ejemplares tienen las 3 fallas. . 57 3. Si 2 940 leen “La Industria” y “Satélite”.Hay tantos economistas hombres como mujeres ingenieros . ¿ Cuántos de los postulantes se presentarán a una Universidad? Rpta.¿Cuántos hombres compraron el libro si todos los alumnos tenían libros? Rpta.Hay igual cantidad de ingenieros-economistas. 5 tiene la lra y la 2da falla solamente. se encuentra que el 70% fuman “Hamilton”. 10 leen español y alemán. Si se sabe que 68 toman gaseosa. 29 b) ¿ “ “ “ la 3ra falla por lo menos? Rpta. En la edición de un l9bro hay 120 ejemplares con fallas en el papel. 8 leen francés y español. En un almuerzo de 120 personas se determinó que habían personas que tomaban gaseosas . a 53 la biblioteca les prestó un libro de Química a cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar dicho libro.E. En un salón de clase de 65 alumnos. la cantidad de los que exclusivamente postulan a la U. 17 tienen la 2da y la 3ra falla pero no la lra.I. 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los cursos. En un salón de clase formado por 35 alumnos entre hombres y mujeres. 18 el primer y 2do examen solamente. Si hay 16 hombres en el salón. la mitad son ingenieros.De las que no son mayores de 18 años. 34 21. n [ C . si ellas son la tercera parte de todas las que tiene ojos negros? Rpta. Si los que postulan a una sola universidad son 320. 40 son peruanos y 60 ingenieros. 4. de los cuales 38 enseñan matemática. 64 el 3er examen . y.¿ Cuántas mujeres aprobaron sólo lenguaje? Rpta.24 tiene ojos azules pero no tiene 15 años . 147 casados de color. 12 19. n [ A . 7 20. 7 hombres aprobaron matemática.¿ Cuántos de ellos enseñan por lo menos 2 de los 3 cursos? Rpta. 86 varones casados y 25 hombres casados de color¿ Cuántas mujeres son solteras? Rpta.10 hombres no tienen ojos negros . 100 señoritas rindieron tres exámenes para ocupar una vacante en una institución en los puestos de mecanografía. 470 son casados. 60 son hombres.12 . e) N. 294 14. 320 no se presentaron a A. Si el conjunto potencia de T posee 64 elementos. n (S) = 100 . n(B) = 41 .¿ Cuántas señoritas se pueden contratar . 15 historia y 20 C. 14 no tiene ojos negros ni azules.( A U B ) ] = 20 . En un colegio hay 58 profesores. incluidos en “S” tal que: n(A) = 44 . Ciertos datos en un estudio de grupo de 1000 empleados de una fábrica de algodón referente a la raza. de los peruanos con computadora. de los primeros.6 mujeres tienen ojos negros . 220 no se presentaron a C. c) { x / x es una vocal } 4 d) { x Z / x = 16 x2 . taquigrafía y recepcionista. 14 18. 16 aprobaron el 2do y 3ro examen únicamente.A Rpta. 4.T. hay 42 varones de color. n [ ( A B ) – C ] = n [ ( A C ) – B ] + 1 Hallar : n [ ( B C)–A ] Rpta . 6. si además sólo 10 señoritas aprobaron el primer y tercer examen. y que todas aprobaron al menos un examen? Rpta. En una reunión de 100 personas. 5 de cada 6 ingenieros tienen computadora. 7 } . 260 no se presentaron a B. 68 señoritas aprobaron el primer examen. B y C.¿ Cuántos llevan uno y sólo uno de los cursos? Rpta. De 500 postulantes a las Universidades A.1 } . De un grupo de 100 alumnos . Según el examen de selección. 20 22. Si hay 3 profesores que enseñan los tres cursos.¿ Cuántos hombres son padres solteros? Rpta. 2. ¿ Cuántas quinceañeras tienen ojos azules. sexo y estado civil arrojaron los siguientes resultados: 322 son hombres.13 mujeres no tienen ojos azules . ¿ Cuántos hombres no tienen ojos negros ni azules? Rpta. 11 ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ 15.17 mujeres no tienen ojos negros . 3 aprobaron los dos cursos y 11 aprobaron sólo matemática. se sabe que 40 no tiene hijos. ¿ Cuántos varones con computadora no son peruanos ni ingenieros. 6 13.A.( A U C ) ] = 15 .De un grupo de 70 mujeres: . si en el hotel se alojan 85 personas con computadora? Rpta. 6 hombres lenguaje. se sabe que: . 5.8 no tienen ojos negros ni azules y son mayores de 18 años . 25 personas casadas tienen hijos. De un grupo de 50 personas. ( a) ∈ ∈ ∨ 16. 80 aprobaron el 2do examen. Entre los varones que se alojan en un hotel. ¿ Cuál de los siguientes conjunto puede ser T? a) { x 3 / x N ^ x < 6 } .¿ Cuántos postulan a las tres universidades? Rpta. 42 17. b) { 1. Sean A.( B U C ) ] = 20 n [ B . n ( A B C ) = 5 . Si se dio la orden de que se contrate a las señoritas que aprueben los tres exámenes. 3. B y C. hay 5 madres solteras. 20 . n(C) = 45 .13 personas tienen ojos azules. los 3/ 4 tienen computadora. Si 27 no lleva ninguno de estos cursos. 30 23. 49 no llevan el curso básico I y 53 llevan el curso de Física I .