Teoría de ConjuntosNOCION INTUITIVA DE CONJUNTO Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a e A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota ae A. Ejemplos de conjuntos: o C : el conjunto vacío, que carece de elementos. o N: el conjunto de los números naturales. o Z: el conjunto de los números enteros. o Q : el conjunto de los números racionales. o R: el conjunto de los números reales. o C: el conjunto de los números complejos. Se puede definir un conjunto: o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo: o A := {1,2,3, ... ,n} o B := {pe Z | p es par} Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A _ B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a e A ¬ a e B. Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A _ B y B _ A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica). Para cualquier conjunto A se verifica que C_ A y A _ A; B _ A es un subconjunto propio de A si A = C y B = A. El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota ¸ (A). Entonces, la relación B _ A es equivalente a decir B e ¸ (A). Ejemplos: Si A = {a,b} entonces ¸ (A) = {C ,{a},{b},A}. Si a e A entonces {a} e¸ (A). Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A ÷ B := {a e A | a e B}. Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A A B := (A ÷ B) (B ÷ A). Si A e ¸ (U), a la diferencia U ÷ A se le llama complementario de A respecto de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano). Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: o C ' = U . o U ' = C. o (A')' = A . o A _ B · B' _ A' . o Si A = { x e U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x e U | p(x) es una proposición falsa}. Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A B := { x | x e A v x e B}. Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A · B := {x | x e A . x e B}. Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A ÷B = A · B'. En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades : PROPIEDADES UNION INTERSECCION 1.- Idempotencia A A = A A · A = A 2.- Conmutativa A B = B A A · B = B · A 3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A · ( B · C ) = ( A · B ) · C 4.- Absorción A ( A · B ) = A A · ( A B ) = A 5.- Distributiva A ( B · C ) = ( A B ) · ( A C ) A · ( B C ) = ( A · B ) ( A · C ) 6.- Complementariedad A A' = U A · A' = C Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole. Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades: o A C = A , A · C = C ( elemento nulo ). o A U = U , A · U = A ( elemento universal ). o ( A B )' = A' · B' , ( A · B )' = A' B' ( leyes de Morgan ). Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados: A × B := { (a,b) : a e A . b e B} Dos pares (a,b) y (c,d) de A × B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica A × B = C × D · ( A = C . B = D ) Se llama grafo relativo a A × B a todo subconjunto G _ A × B. Dado un grafo G relativo a A × B, se llama proyección de G sobre A al conjunto Proy A G := { a e A : (a,b) e G, - b e B} Análogamente se define la proyección Proy B G de G sobre B. Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos. Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto A i , entonces se define el conjunto { A i : i e I } y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { A i } i e I . De forma análoga se define una familia de elementos ( a i ) i e I . Dada una familia de conjuntos { A i } i e I se definen: o i eI A i := { a : a e A i , - i e I } o · i e I A i := { a : a e A i , ¬ i e I } o [ i e I A i := { (a i ) : a i e A i , ¬ i e I } Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan : ( i e I A i )' = · i e I A' i , (· i e I A i )' = i e I A' i DIAGRAMAS DE VENN Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos. Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva. A _ B A B A · B A ÷ B A A B RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto); entonces se tiene la siguiente correspondencia: conjuntos A _ B A = B A B A · B A' A ÷ B A A B proposiciones a ¬ b a ·b a v b a . b a' a . b' a v b Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología. Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa; a modo de ejemplo: A ( A · B ) = A a v ( b . c ) · a A ( B · C ) = ( A B ) · ( A C ) a v ( b . c ) · ( a v b ) . ( a v c ) ( A B )' = A' · B' ( a v b )' · a' . b' PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES Los símbolos ¬ (cuantificador universal) y - (cuantificador existencial) se utilizan en Matemáticas para enunciar proposiciones logicas relativas a objetos matemáticos. Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento x. (1) Cuantificador universal : La expresión ¬ x e A ¬ p(x) se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposición { x e A : p(x) } = A (2) Cuantificador existencial : La expresión - x e A | p(x) se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposición { x e A : p(x) } = C La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la proposición p(x) y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa. Así, la negación de la proposición "¬ x e A ¬ p(x)" es "- x e A | p(x)' ", mientras que la negación de "- x e A | p(x)" es "¬ x e A ¬ p(x)' " Conjuntos finitos : Combinatoria La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se dedica al estudio de los conjuntos finitos. Puesto que la propiedad principal de estos conjuntos es que se puede representar su número de elementos mediante un número natural (llamado cardinal de dicho conjunto), la tarea básica de la Combinatoria es precisamente el cálculo del cardinal de dichos conjuntos. Para dicho cálculo se necesita definir los llamados números combinatorios: (1) Números factoriales: se define n! mediante la ley de recurrencia n! = n · (n-1)! y la condición inicial 0! := 1. De forma iterativa, se tiene n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1 n! es el número de permutaciones de n elementos, es decir, es el número total de formas de ordenar n elementos de todas las formas distintas posibles. (2) Coeficientes binomiales: se definen por la fórmula El número "n sobre k" es el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k, es decir, el número de subconjuntos distintos de k elementos que tiene un conjunto con n elementos. Los coeficientes binomiales tienen dos propiedades básicas: (a) (b) Como aplicación de los números combinatorios y del Binomio de Newton, podemos contar el número total de subconjuntos que tiene un conjunto A con n elementos, es decir, el cardinal de partes de A; para ello, notemos que el número de tales subconjuntos se obtiene sumando el número de subconjuntos de 0 elementos más los de 1 elemento, más los de 2 elementos, y así hasta los de n elementos, es decir: Pero esta cantidad corresponde a desarrollar mediante el binomio de Newton la expresión (1+1) n = 2 n Así pues se obtiene que # ¸ (A) = 2 n si # A = n. DEFINICION La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos. En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia. La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así: { a, b, c, ..., x, y, z} Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,). El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos. Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo: El conjunto { a, b, c } también puede escribirse: { a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a } En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo: El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }. MEMBRESIA Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo: A={ a, c, b } B={ primavera, verano, otoño, invierno } El símbolo e indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como e . Ejemplo: Sea B={ a, e, i, o, u }, a eB y c e B SUBCONJ UNTO Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 } En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también. Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B c A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal . . Note que e se utiliza solo para elementos de un conjunto y c solo para conjuntos. UNIVERSO O CONJ UNTO UNIVERSAL El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral). Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda: U={ 1, 2, 3, 4, 5 } Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia: - Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde N={ 1, 2, 3, .... } - Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } - Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q - Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I. - Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R. Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión. Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60. Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos: { x/x e N ; x<60 } En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60. Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente: { x/x e Z ; -20 s x s 30 } También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo L={ 1, 3, 4, 6, 9 } P={ x/x e N ; X e L } En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L. OPERACIONES CON CONJUNTOS UNION La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por: A B = { x/x e A ó x e B } Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 } A B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 } INTERSECCION Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 } Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A · B, algebraicamente se escribe así: A · B = { x/x e A y x e B } Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B. Ejemplo: Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z } Q · P={ a, b, o, r, s, y } CONJ UNTO VACIO Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo C . Por ejemplo: Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A · B. A · B= { } El resultado de A · B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como: A · B=C CONJ UNTOS AJ ENOS Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir: Si A · B = C entonces A y B son ajenos. COMPLEMENTO El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como: A'={ x e U/x y x e A } Ejemplo: Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A c U El complemento de A estará dado por: A'= { 2, 4, 6, 8 } DIFERENCIA Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como: A - B={ x/x e A ; X e B } Ejemplo: Sea A= { a, b, c, d } y B= { a, b, c, g, h, i } A - B= { d } En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es B – A = { g, h, i } E indica los elementos que están en B y no en A. DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834- 1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas. La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje. Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como: Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas. En el caso de este curso las indicaremos por medio de un color azul por ejemplo: 1. - Exprese en forma tabular: - El conjunto de los edificios del Colegio de Postgraduados en Montecillo, Edo. De México. - El conjunto de los días de la semana. - El conjunto de los números dígitos - El conjunto de los mejores cantantes de Rock. - El conjunto de las mejores películas Mexicana de la era de oro. - 2. - Indique en cada caso si los conjuntos que se dan a continuación son iguales: - a) { 2, 4, 6 } y { 6, 2, 4 } - b) { 3, 5, 6, 9 } y { 3, 5, 8} - c) {5 } y el conjunto de números enteros mayor que 4 y menores que 6 3 .- El conjunto de los números que aparecen en la cifra: 3, 132, 231 es: 4 .- El conjunto de las letras del palíndroma "dabale arroz a la zorra el abad" es: 5 .- El conjunto de las letras que aparecen en la frase "Alto, los valientes no asesinan" es: 6 .- Sea A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, indique la pertencencia, membresía o no de los siguientes ejercicios: a) 2 A b) 7 A c) 3.5 A d) 12 A e) -4 A f) 9 A 7 .- Sea A = { 1, 3, 5, 6, 7, 11 }, indentifique los conjuntos que son subconjuntos de este: a) B = { 3, 7, 8 } b) C = { 0, 1, 2 } c) E = { 11, 1, 3, 5 } d) D = { 4 } 8 .- Si A c B y B c A que se puede sacar como conclusión de los conjuntos A y B?. 9.- Sean C = { a, b, c, d, f } ; D = { a , b, c } y E = { b, c, k } Indique cuales de los siguientes incisos son correctos a) n c B b) k e E c) E e D d) c c E e) D c c f) c e D 10 .- Indique la representación por comprehensión de los siguientes conjuntos: a. { 1 , 2, 3, 4, 5 } b. { 2, 4, 6, 8, 10 } c. { 1, 2, 4, 5, 7, 9 } d. { A, B, C, D } 11 .- Exprese los siguientes conjuntos: a. { x/x e N; x < 10 } b. { y/y e Z; -3 < y < 2 } 12.- Si M = { 2, 3, 4, 5 }; S = { 1, 3, 4 } y N = { 1, 3, 4, 5 } exprese { x/x e N; x e M} y { x/x e S ó X e N } 13 .- Si: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } R = { 3, 5, 6, 8 } Z = { 1, 2, 3, 8 } Obtenga: a. S R b. S Z c. S R Z d. S · R e. S · Z f. R · Z g. S · R · Z h. ( S · Z ) R 14 .- Sean A = { 3, 5, 9 }; B = { 2, 4, 6 } y C = { 2, 3, 4, 5, 9 } a. ¿ Los conjuntos A y B son ajenos y porque? b. ¿ A es subconjunto de C? c. ¿ | es un subconjunto de C? d. ¿ B es subconjunto de C? 15 .- Complete la siguiente tabla: Conjunto A Elemento en A Subconjunto de A Número de Subconjutos de A | 0 | 1 = (2 0 = 1) { a } 1 | , { a } 2 = (2 1 = 2) { a, b } 2 | , { a }, {b}, { a , b } 4 = (2 2 = 4) { a, b, c } { a, b, c, d } 16.- Si U = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 } A = { 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 } B = { 1, 2, 5, 7, 9, 13 } Encuentre: a) B’ = b) A’ · B’ = c) ( A · B )’ = e. (A’ B)’ = 17.- ¿ Cuales de las siguientes igualdades son verdaderas ? a. ( A A’) = U b. (A · A’) = | c. (A’)’ = A d. | ’ = U e. U’ = | f. (A B ) = A’ · B’ 18.- Si A = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 } B = { 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 } C = { 1, 2, 5, 7, 9, 13 } Encuentre: a. A - B = b. B - A = c. B - C = d. C - A = 19.- Si A = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 } B = { 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13 } C = { 1, 2, 5, 7, 9, 13 } Haga un diagrama de Venn resultante de los conjuntos A, B y C. 20.- Represente en diagrama de Venn: a. A’ b. A B c. A · B · C = d. (A · B · C)’ = e. (A · B) C = 21.- La dirección de la escuela Nacional preparatoria de la U.N.A.M. llevó al cabo una encueta entre 1000 estudiantes de los cuales 160 reprobaron física, 18 de ellos reprobaron historia y seis de estos también reprobaron matemáticas; 58 reprobaron exactamente dos asignatiras de las tres, y 16 de estos reprobaron historia y matemáticas, 120 reprobaron historia y 180 reprobaron matemáticas. a. ¿Cuántos alumnos reprobaron las tres materias? b. ¿ Cuantos alumnos reprobaron historia como única materia? c. ¿ Cuantos alumnos reprobaron historia y física pero no matemáticas? d. ¿ Qué número de alumnos reprobaron física y matemáticas pero no historia? e. ¿ Qué número de alumnos reprobaron únicamente una materia? f. ¿ Que número de alumnos reprobaron al menos una materia? g. ¿ Qué número de alumnos no reprobaron ninguna materia? Nota: Use diagramas de Venn para solucionar este problema. 22.- Encuentre 9 palabras ocultas en la siguiente sopa de letras relacionada con conjuntos. R A I C N E N E T R E P N F U A T U C I S I A N O O N M O S O S V O A O N L I I N M M T A I I I O D V N P R P U C O M C T U E N U T L N I N A C N A R N A S E I O N S E U T S E L R M R A U V S J N O V E A E M P A L R N E V F M N N O C C E E O P I R L I T I A N O T C D L A A Q O P N I V N A F B C D A N O M I T I 23 .- Llene el siguiente conjuntograma 3 5 2 + + + 1 ÷ Q Q Q Q Q S Q C C I O N 7 ÷ A J E N O S 6 ÷ 4 ÷ 1.- Operación que indica a los elementos comunes de dos o más conjuntos. 2.- Agrupación de elementos de una misma especie. 3.- Indica la totalidad de los elementos de uno o mas conjuntos. 4.- Nulo. 5.- Pertenencia. 6.- Conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de estos o a todos. 7.- Intersección de conjuntos que da como resultado conjunto vacío.