UNIVERSIDAD DOCTOR JOSÉ MATÍAS DELGADO.FACULTAD DE INGENIERÍA Ciclo: 01 -2016 Materia: Investigación de Operaciones II Tema: Modelo de colas Catedrático: Ingeniero Rene Hernán Linares Silva INTEGRANTES DE GRUPO: Apellidos, Nombres Grupo Alas Cabrera, Kevin Emilio 2-1 Cabrera Molares, Eduardo Rafael 2-1 Ochoa Méndez, Teresa Cristina 2-1 Romero de León, Luis Alfredo 2-1 Fecha de entrega: Antiguo Cuscatlán, 11 de febrero del 2016 1 Índice Introducción ....................................................................................................................................... 4 Objetivos ............................................................................................. ¡Error! Marcador no definido. Objetivo General ............................................................................ ¡Error! Marcador no definido. Objetivo Especifico ........................................................................ ¡Error! Marcador no definido. Modelo de cola .................................................................................................................................. 5 Modelo de Colas de Poisson Generalizado ............................................................................. 6 Ejemplo 1.1 ................................................................................................................................ 8 Ejemplo 1.2 ................................................................................................................................ 9 Ejemplo 1.3 .............................................................................................................................. 10 Colas especializadas de Poisson ............................................................................................ 10 Notación usada en la teoría de colas ...................................................................................... 11 Medidas de Rendimiento de Estado Estable ......................................................................... 14 Ejercicio 2.1 ............................................................................................................................. 15 Ejercicio 2.2 ............................................................................................................................. 17 Modelo de un Solo Servidor...................................................................................................... 17 (M/M/1): (GD//) ...................................................................................................................... 18 Ejercicio 3.1 ............................................................................................................................. 21 Ejercicio 3.2 ............................................................................................................................. 22 (M/M/1): (GD/N/∞) ...................................................................................................................... 24 Ejercicio 4.1 ............................................................................................................................. 24 Ejercicio 4.2 ............................................................................................................................. 25 Ejercicio 4.3 ............................................................................................................................. 25 (M/M/1): (DG/∞ / ∞) .................................................................................................................... 26 Ejemplo 5.1 .............................................................................................................................. 27 Ejemplo 5.2 .............................................................................................................................. 28 Ejemplo 5.3 .............................................................................................................................. 29 (M/M/1): (DG/N/∞) ...................................................................................................................... 30 Modelo de Servidores Múltiples ............................................................................................... 32 (M/M/C): (DG/∞ / ∞) ................................................................................................................... 34 2 Ejemplo 6.1 .............................................................................................................................. 35 Ejemplo 6.2 .............................................................................................................................. 36 Ejemplo 6.3 .............................................................................................................................. 37 (M/M/C): (DG/N/∞)...................................................................................................................... 38 Ejemplo 7.1 .............................................................................................................................. 40 Ejemplo 7.2 .............................................................................................................................. 41 Ejemplo 7.3 .............................................................................................................................. 43 Modelo (M/M/∞): (GD/∞/∞) ....................................................................................................... 46 Ejemplo 8.1 .............................................................................................................................. 48 Ejemplo 8.2 .............................................................................................................................. 49 Modelo de Servicio de Máquinas .................................................................................................. 50 Ejercicio 9.1 ............................................................................................................................. 51 Ejercicio 9.2 ............................................................................................................................. 52 Formula de Pollaczek-Khintchine (P-K) .................................................................................. 53 Ejercicio 10.1 ........................................................................................................................... 54 Ejercicio 10.2 ........................................................................................................................... 55 Fuentes de información ................................................................................................................. 57 Bibliografía ................................................................................................................................... 57 Páginas Web ............................................................................................................................... 57 3 Introducción Una cola se caracteriza por el número máximo admisible de clientes que puede contener; estas pueden ser infinitas o finitas; el proceso básico de colas estáreferido como “cliente” que requiere de servicio se generan en el tiempo por medio de una “fuente de entrada”. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En diversos momentos, se selecciona a uno de los clientes formados para darle servicios mediante un modelo de cola. El desarrollo del modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo, o de estado estable, de la cola, que se alcanza después de que el sistema ha estado funcionando durante un tiempo; supone que las frecuencias tanto de llegada como de salida dependen del estado, y esto quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicios. La característica de operaciones en modelos de colas es determinada en gran parte por propiedades estadísticas en este caso la distribución de Poisson, nos ayuda con los tiempos entre llegada y los tiempos de servicios para los sistemas reales de colas. Los modelos de colas en los que las llegadas y salidas no siguen la distribución de Poisson son complejos. En general, es aconsejable utilizar la simulación como una herramienta alternativa para analizar estas situaciones entre esta conocerán La fórmula estados Pollaczek - Khinchine una relación entre la longitud de la cola y la distribución del tiempo de servicio. El término también se utiliza para referirse a las relaciones entre la longitud media de cola y la media de espera con respecto al tiempo del servicio. 4 MODELO DE COLA Una cola se caracteriza por el número máximo admisible de clientes que puede contener; estas pueden ser infinitas o finitas; la suposición de una cola infinita es la estándar para la mayor parte de modelos de colas, incluso para casos en donde se hace referencia a un número predeterminado de clientes es relativamente grande; para los sistemas de cola en donde este número predeterminado de clientes es pequeño y logra alcanzar con frecuencia entonces decimos que es necesario suponer una cola finita. El proceso básico de colas está referido como “cliente” que requiere de servicio se generan en el tiempo por medio de una “fuente de entrada”. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En diversos momentos, se selecciona a uno de los clientes formados para darle servicios mediante la disciplina de cola. • Fuente de • Mecanismo Entrada • Cola del Servicio cliente cliente servidos Esquema del proceso básico de colas La disciplina en cola se refiere al orden en que se selecciona a los miembros de la cola para que reciban el servicio; un ejemplo es el primero en llegar recibirá el primer servicio, también puede ser seleccionado al azar. Mecanismo de servicio este consiste en medios de servicios que contiene en uno o más canales paralelos de servicio llamado servidores, un modelo de colas debe especificar la disposición de los medios y el número de servidores en cada uno. El tiempo que transcurre, para un cliente, desde que se inicia el servicio hasta su compleción en uno de los medios a esto le llamamos tiempo de servicio 5 alcanzado después de que el sistema ha estado en operación durante un tiempo suficientemente largo. estas distribuciones pueden tomar cualquier forma sin embargo para la exposición de un modelo de teoría de colas se requiere de predicciones reales Dentro de esta sección se desarrolla un modelo de colas general que combina tanto llegadas como salidas con base en la superposición de Poisson. En el modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegada como de salida dependen del estado. es decir. .Modelo de Colas de Poisson Generalizado La característica de operaciones en modelos de colas es determinada en gran parte por propiedades estadísticas en este caso la distribución de Poisson nos ayuda con los tiempos entre llegada y los tiempos de servicios para los sistemas reales de colas. Este tipo de análisis contrasta con el comportamiento transitorio (o de calentamiento) que prevalece durante el inicio de la operación del sistema. Se definirá lo siguiente: 6 . y esto quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicios. los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio siguen la distribución exponencial. El desarrollo del modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo o de “estado estable” de la situación de colas. El mínimo de varias variables aleatorias exponenciales independientes se representan de la siguiente forma. Cuando se carece de un dato estadístico 𝑃{𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡} = 𝑒 −𝛼𝑡 3. El modelo general asume que tanto las tasas de entrada como de salida dependen del estado. 7 . 2. El modelo generalizado define a Pn como función de λn y Pn. lo que significa que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicio. el estado “n” solo puede cambiar a dos estados posibles : n-1 cuando hay una salida con frecuencia μn. Para la representación matemática de Poisson tomaran en cuenta las siguientes 5 propiedades 1. El estado cero solo puede cambiar al estado q cuando hay una llegada con frecuencia λo. el tiempo promedio de espera y la utilización promedio de la instalación. Después se usan estas probabilidades para determinar las medidas de funcionamiento del sistema. El sistema de colas está en estado n cuando la cantidad de clientes en él es “n”. Las probabilidades Pn se calculan usando el diagrama de frecuencia de transición. tiende a cero cuando h→0.n=Cantidad de clientes en el sistema λn =Frecuencia de llegada cuando hay n clientes en el sistema μn =Frecuencia de salida cuando hay n clientes en el sistema Pn= Probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el sistema. Como es conocido la probabilidad de que suceda más de un evento durante un intervalo pequeño h. eso quiere decir que para n>o. y n+1 cuando hay una llegada con la frecuencia λn. Si 𝑓𝑡 (𝑡) es una función estrictamente decreciente (𝑡 ≥ 0) tenemos que: 𝑃{0 ≤ 𝑇 ≤ ∆𝑡} < 𝑃{𝑡 ≤ 𝑇 ≤ 𝑡 + ∆𝑡} Para cualquier calor estrictamente positivo ∆𝑡 y 𝑡. como la longitud promedio de la cola. Calcular la probabilidad p de estado estable de que haya n clientes en las cajas.8 Entonces: 10 1 𝑃1 = { } 𝑃0 = 2𝑃0 5 10 2 𝑃2 = { } 𝑃0 = 4𝑃0 5 10 3 𝑃3 = { } 𝑃0 = 8𝑃0 5 10 3 10 1 𝑃4 = { } { } 𝑃0 = 8𝑃0 5 10 8 . Relación de Poisson 𝑃{𝑥(𝑡)} = 𝑒 −𝛼𝑡 5. Si tenemos todos los valores positivos 𝑃{𝑥(𝑡)} = 1 − 𝑒 −𝛼∆𝑡 Ejemplo 1.3 μn { 12 2𝑥5 = 101 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑛 = 4. De la información del problema se tiene que Λn= λ=10 clientes por hora n=0. 60 = 5 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑛 = 1.5. en función de la cantidad de clientes en la tienda: Los clientes llegan a las cajas siguiendo una distribución de Poisson. El tiempo promedio de atención a un cliente es exponencial.1 B&K Groceries opera con tres cajas. con 12 minutos de promedio.6 3𝑥5 = 15 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑡𝑎. con una frecuencia media de 10 por hora. 𝑛 = 7.2. 𝑛 𝑃{𝑈 > 𝑡} = 𝑒 − ∑𝑖=1 𝛼𝑡 4. El gerente usa el siguiente programa para determinar la cantidad de cajeras en operación.1…. Ejemplo 1. Po= 1/55 Conocida Po ya se puede determinar cualquiera de las probabilidades del problema.225 9 . la probabilidad de que solo haya una caja abierta se calcula como la que haya entre 1 y 3 clientes en el sistema.2 Continuando con el problema anterior diremos que. 10 3 10 2 𝑃5 = { } { } 𝑃0 = 8𝑃0 5 10 10 3 10 3 𝑃6 = { } { } 𝑃0 = 8𝑃0 5 10 10 3 10 3 10 𝑛−6 2 𝑛−6 𝑃𝑛 = { } { } { } 𝑃0 = 8 { } 𝑃0 5 10 15 3 El valor de Po se determina con la ecuación Po+Po(2+4+6+8+8+8+8(2/3)+ 8(2/3)2+8(2/3)3+…)=1 Se aplica la fórmula para una serie geométrica: ∝ 1 ∑= . esto es P1+P2+P3=(2+4+8)(1/55)=0. 𝑙𝑥𝑙 < 1 1−𝑥 𝑖=0 Para obtener 1 𝑃𝑜 = (31 + 8 ( )) = 1 2 1−3 En consecuencia. Use el modelo de llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales para responder las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté recibiendo un corte de pelo y nadie esté esperando? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté recibiendo un corte de pelo y un cliente esté esperando? λ = 2.2 0 𝑎)𝑃1 = { } ∗ 0. La frecuencia de llegadas al sistema es λ clientes por unidad de tiempo.56 5 2.56 = 0. para el caso de B&K.037 clientes por minuto μ = 5 cortes por hora = 0. lo que 10 .Se puede usar Pn para determinar medidas de funcionamiento.2464 5 Colas especializadas de Poisson El modelo de colas especializadas de Poisson se da cuando hay “c” servidores en paralelo. Los clientes llegan a la tasa de 2.56 5 2. Todos los servidores están en paralelo y son idénticos.3 1) Marty’s Barber Shop tiene una peluquería.2 clientes por hora. Un cliente en espera se selecciona de la cola para iniciar su servicio en el primer servidor disponible.083 cortes por minuto 2. Ejemplo 1.2 𝑎)𝑃0 = 1 − = 0. o de eficiencia. (Cantidad esperada de cajas vacías) 3Po+2(P1+P2+P3)+1(P4+P5+P6)+0(P7+P8+…)= 1 Caja. Por ejemplo.56 = 0. y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de cinco por hora.2 clientes por horas = 0.2 1 𝑎)𝑃2 = { } ∗ 0. quiere decir que la tasa de servicio en cualquier servidor es μ clientes por unidad de tiempo.1 Representación esquemática de un sistema de colas con c servidores paralelos.∞) d= disciplina en la cola e= Número máximo (finito o infinito) permitido en el sistema (haciendo cola o en servicio) f= tamaño de la fuente solicitante (finita o infinita) Notación usada en la teoría de colas Las notaciones normales o estándar para representar las distribuciones de llegadas y de salidas son: 11 . Fig.2…. los que hay en el servicio y los que esperan en la cola. Tenemos que: a= Distribución de llegadas b= Distribución de salidas (tiempo de servicio) c= Cantidad de servidores paralelos (=1. La cantidad de clientes en el sistema incluye por definición. primero en ser servido ULPS = Último en llegar. Nomenclatura λ= Número de llegadas por unidad de tiempo µ= Número de servicios por unidad de tiempo si el servidor está ocupado c= Número de servidores en paralelo ρ ⋅ = λ/(c* µ) : Congestión de un sistema con parámetros: (λ.µ. c) N(t): Número de clientes en el sistema en el instante t Nq(t): Número de clientes en la cola en en el instante t Ns(t): Número de clientes en servicio en el instante t Pn(t): Probabilidad que haya n clientes en el sistema en el instante t=Pr{N(t)=n} N: Número de clientes en el sistema en el estado estable Pn : Probabilidad de que haya n clientes en estado estable Pn=Pr{N=n} 12 . la suma de distribuciones exponenciales independientes) GI = Distribución general del tiempo entre llegadas G = Distribución general del tiempo de servicio Entre la notación de disciplinas de cola están: PLPS = Primero en llegar. M = Distribución de Markov (o de Poisson) de las llegadas o de las salidas (o lo que es igual. primero en ser servido SEOA = Servicio de orden aleatorio DG = Disciplina en general (es decir. W. distribución exponencial del tiempo entre llegadas o tiempo de servicio) D = Tiempo constante (determinístico) Ek = Distribución Erlang o gamma de tiempo (o bien. Lq y Wq La única. cualquier tipo de disciplina) Relaciones entre L. 13 .L : Número medio de clientes en el sistema Lq : Número medio de clientes en la cola Tq : Representa el tiempo que un cliente invierte en la cola S : Representa el tiempo de servicio T = Tq+S: Representa el tiempo total que un cliente invierte en el sistema Wq= E[Tq]: Tiempo medio de espera de los clientes en la cola W=E[T]: Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema r: número medio de clientes que se atienden por término medio Pb: probabilidad de que cualquier servidor esté ocupado. Medidas de Rendimiento de Estado Estable El objetivo que se persigue al analizar situaciones de espera consiste en generar medidas de desempeño para evaluar los sistemas reales. si interesa analizar el sistema en condiciones transitorias o de estado estable Las medidas de desempeño más comúnmente utilizadas en una situación de colas son: Ls= Cantidad esperada de clientes en un sistema Lq= cantidad esperada de clientes en una cola Ws= Tiempo de espera en el sistema Wq= Tiempo de espera anticipado en la cola 𝑐̅= Cantidad esperada de servidores ocupados Se recuerda que el sistema incluye tanto la cola como las instalaciones de servicio. Entonces: Para Ls 𝜆 𝑙𝑠 = ∑𝛼𝑛=1 𝑛𝑃𝑛 = 𝑙𝑞 + 𝜇 Para Lq: 𝑳𝒒 = ∑𝜶𝒄+𝟏(𝒏 − 𝒄)𝑷𝒏 Para Ws: 𝟏 𝑾𝒔 = 𝑾𝒒 + 𝝁 Para 𝒄̅: 𝝀 𝒄̅ = 𝑳𝒔 − 𝑳𝒒 ̅𝒄 = 𝝁 14 . debido a que un sistema de espera opera como función del tiempo. Se debe decidir con anticipación. 1 El estacionamiento para visitantes en el colegio Ozark se limita a solo 5 espacios. 𝑛 = 1. El tiempo de estacionamiento está distribuido exponencialmente con una media de 30 minutos.5 𝜇𝑛 = { 30 ℎ𝑜𝑟𝑎 60 5 ( ) .7.2. Determine lo siguiente: a) La probabilidad Pn de que haya n autos en el sistema b) La tasa de llegadas efectiva de los autos que por lo general utilizan el estacionamiento c) El promedio de autos en el estacionamiento d) El tiempo promedio que un auto espera un espacio de estacionamiento Solución: Observamos primero que en un espacio de estacionamiento actúa como un servidor. Otros que no pueden estacionarse o encontrar un espacio de espera temporal deben irse a otra parte.Ejercicio 2. Asimismo.4. 𝑛 = 6. n=0. la capacidad máxima del sistema es 5+3=8 autos. El espacio temporal tiene cabida solo para 3 autos. de modo que el sistema cuenta con un total de c=5 servidores paralelos.2.…8 60 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑛 ( ) = 2𝑛 .8 30 Luego 15 . La probabilidad Pn puede determinarse como un caso especial del modelo generalizado λn= 6 autos/hora. Los autos que utilizan estos espacios llegan de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 6 por hora.3. Los visitantes que no pueden encontrar un espacio vacío pueden esperar temporalmente en el estacionamiento hasta que un auto estacionado salga.1. 09744 0. + λperdida Entonces se tiene que un auto no podrá entrar al estacionamiento si ya entraron 8.16240 0. λperdida=λ8 =6x0.4812 Ahora se procede a calcular p1 a p8 teniendo: n 1 2 3 4 5 6 7 8 Pn 0.2.02105=0.4.05847 0. 3𝑛 𝑃𝑜.….02105 La tasa de llegadas efectivas se calcula por medio de la ecuación λ=λefect.5 𝑃𝑛 = { 𝑛! 𝑛 3 𝑃𝑜.1263 autos/hora Entonces b) λefect.7. Por lo tanto.21654 0.03508 0. Esto significa que la proporción de autos que no podrán entrar al estacionamiento es P8.14436 0.= λ.λperdida =6-0. n=1.8737 autos/hora El promedio de autos en el estacionamiento (los que esperan que se desocupe un espacio) como: 16 . 𝑛 = 1. en la siguiente ecuación Po+P1+…+P8=1 O bien 3 32 33 34 35 36 37 38 P0 + P0(1! + + + + + 5!5 + 5!52 + 5!53 ) =1 2! 3! 4! 5! a) Esto da un resultado de P0=0.8. 𝑛 = 6.8 5! 5𝑛−5 El valor de Po se calcula sustituyendo Pn.1236=5.2.21654 0.3. =5.8737 = 0.1286 Si Ws=𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡.𝜇 𝐿𝑠 3.1286 autos Un auto que espera en el espacio temporal es en realidad un auto que está haciendo cola.1/2 = 0. Se usarán los símbolos claves introducidos anteriormente: 17 .75 3 2.2 Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola La tasa media de llegadas es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 4 3 clientes Lq Wq 0.75 clientes por minuto La tasa media de servicio es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto Wq 3 min 1 1 Ws Wq 3 4 min 1 Ls Ws 0. Por lo tanto su tiempo de espera hasta que se encuentra un espacio W q. c) Ls=0P0+1P1+…+8P8=3.03265 horas El promedio de espacios de estacionamientos ocupados es igual al promedio de servidores ocupados. Para determinar W q usamos: 1 Wq=W s.53265 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 d) Wq=0. 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡 𝑐̅ = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑞 = 2 Ejercicio 2.53265.25 clientes Modelo de un Solo Servidor Esta sección se centra en los sistemas de colas básicos que tiene un solo servidor. Las llegadas ocurren a razón de λ clientes por unidad de tiempo y la tasa de servicio es un μ clientes por unidad de tiempo. o número esperado de terminaciones de servicio por unidad de tiempo. Los resultados de los modelos se derivan como casos especiales de los resultados del modelo generalizado. Los clientes son servidos con la política PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola. 18 . visto anteriormente. y el segundo supone un límite finito del sistema. y representa la fracción de tiempo promedio que utiliza el servidor para atender a los clientes. Un nuevo símbolo para esta sección es ρ = λ / μ donde ρ es la letra griega ro. Ambos modelos suponen una capacidad infinita de la fuente. Se utilizara la notación “GD” (disciplina general). A esta cantidad ρ se llama factor de utilización. o número esperado de llegadas por unidad de tiempo. Acá se presentan dos modelos para el caso de un solo servidor (c=1). Entonces podemos decir que 1/λ es el tiempo esperado entre llegadas (el tiempo promedio entre la llegada de clientes consecutivos) y 1/μ es el tiempo esperado de servicio para cada cliente.λ = tasa media de llegadas para los clientes que entran al sistema de colas. Se utilizara la notación ampliada de Kendall para caracterizar cada situación. pero el promedio de arribos no cambia con el tiempo. El primer modelo no limita el número máximo de su sistema. No hay límites de capacidad en el sistema. Los arribos son independientes de arribos anteriores. (M/M/1): (GD//) Características: Posee 1 servidor. μ = tasa media de servicio (para un servidor normalmente ocupado). ´W = Wq + 1/µ. 19 . La tasa de servicio es más rápida que la de arribo. µ ≡ tasa de servicio. Además. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí. 𝑐̅ ≡ numero medio de clientes en servicio. En otro caso el número de clientes en el sistema se incrementa sin límite. 1/𝜆= tiempo promedio entre llegadas 1/𝜇=tiempo promedio requerido para el servicio Relaciones básicas: Modelo general Formula de Little: ´ L = λW y Lq = λWq. s ≡ numero de servidores. Si ´ ρ < 1 entonces el sistema se estabiliza. pero su tasa promedio es conocida Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa. Los arribos son descritos mediante la probabilidad de poisson y proceden de una población muy grande o infinita. Objetivo: dados los siguientes parámetros (se suelen estimar estadísticamente) λ ≡ tasa de llegadas. L ≡ valor esperado del número de clientes en el sistema Lq ≡ valor esperado del número de clientes en cola W ≡ tiempo medio de espera en el sistema Wq ≡ tiempo medio de espera en la cola 𝑝𝑛 ≡ probabilidad de que n clientes esten en el sistema (en estado estacionario). Se calcula: ρ = λ/µ ≡ factor de utilización del sistema o intensidad de tráfico (proporción de tiempo esperado en el que los servidores están ocupados). Si 𝜆 ≥ 𝜇. n=1. entonces: 𝑝𝑜 = 1 − ρ. Este resultado tiene sentido. 𝐿𝑠 1 1 𝑊𝑆 = = = 𝜆 𝜇(1 − 𝜌) 𝜇 − 𝜆 20 . La fórmula general de 𝑝𝑛 es de la siguiente distribución geométrica: 𝒑𝒏 = (𝟏 − 𝝆)𝝆𝒏 .2… Suponiendo que ρ < 1.… (ρ<1) Esta fórmula impone la condición (ρ<1) o que 𝜆 < 𝜇. la serie geométrica no converge. intuitivamente.2. Deducción de formulas Si ρ = λ/µ la ecuación 𝑝𝑛 en el modelo generalizado se reduce a 𝑝𝑛 = 𝜌𝑛 𝑝𝑜 . la cola crece en forma indefinida. De estas tres fórmulas se deduce: L = Lq + λ/µ.1. n= 0. Para “𝐿𝑠 ” ∝ ∝ 𝐿𝑠 = ∑ 𝑛𝑝𝑛 = ∑ 𝑛(1 − 𝜌)𝜌𝑛 𝑛=0 𝑛=0 ∝ 𝑑 = (1 − 𝜌)𝜌 ∑ 𝜌𝑛 𝑑𝜌 𝑛=0 𝑑 1 = (1 − 𝜌)𝜌 ( ) 𝑑𝜌 1 − 𝜌 1 𝐿𝑠 = ( ) 1−𝜌 Como 𝜆𝑒𝑓𝑓 = 𝜆 las medidas restantes de desempeño se calculan con las siguientes ecuaciones. y no existirían las probabilidades 𝑝𝑛 de estado estable. porque al menos que la tasa de servicio sea mayor que la frecuencia de llegada. 1 𝜌 𝑊𝑞 = 𝑤𝑠 − = 𝜇 𝜇(1 − 𝜌) 𝜌2 𝐿𝑞 = 𝜆𝑊𝑄 = 1−𝜌 𝐶̅ = 𝐿𝑆 − 𝐿𝑞 = 𝜌 𝜆𝑒𝑓𝑓 : es la tasa de llegadas efectiva al sistema. durante todo el sábado. el gerente estima que los coches sucios llegan a una tasa de 22 por hora. pero el día de trabajo más pesado es siempre el sábado. Se cuenta con una línea de espera con un solo canal. Clean está abierto seis días a la semana. Supón las llegadas con distribución de Poisson y tiempos exponenciales de servicio. los automóviles se lavan de uno en uno cuando les toca su turno. 𝐿𝑠 = 𝜆𝑒𝑓𝑓 𝑤𝑠 𝐿𝑒𝑓𝑓 𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 + 𝜇 𝜆𝑒𝑓𝑓 𝐶̅ = 𝐿𝑆 − 𝐿𝑞 = 𝜇 Por lo tanto podemos decir que la diferencia entre el numero promedio de clientes en el sistema y el numero promedio de clientes en la cola es igual al número promedio de servidores ocupados.1 El servicio de lavado de autos Mr. cuando todos los clientes que llegan ingresan al sistema. es igual a la tasa nominal 𝜆. él calcula que los automóviles se pueden lavar a una tasa de uno cada dos minutos. Solución: 21 . Ejercicio 3. Con una brigada completa trabajando la línea de lavado a mano. A partir de datos históricos. es decir. ¿Cuál es su ingreso mensual promedio? c) Si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cada uno. Las peticiones de trabajo llegan en promedio cada 5 días. El número promedio de automóviles en la línea se definirá de la siguiente manera: El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado: El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio: La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema: Ejercicio 3. obtendremos los parámetros operacionales. A continuación. ¿Cuánto debe esperar pagar en promedio? Datos: 1 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 1 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠 𝜆=5 𝜇=4 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑠 Solución a) 𝑃𝑂 = 1 − 𝜌 22 . El tiempo en promedio para terminar un trabajo es también exponencial. Hace trabajos extraños para aumentar sus ingresos. con una media de 4 días a) ¿Cuál es la probabilidad de que le falte trabajo a John? b) Si John cobra $50 por trabajo.2 John Macko es un alumno de la universidad de Ozark. pero el tiempo en promedio es exponencial. 82 c) 𝐿𝑞 = 1−𝜌 = 1−0.8 = 0.2 1 b) 𝜇(30𝑑𝑖𝑎𝑠)($50) = (30𝑑𝑖𝑎𝑠)($50) = $375 4 𝜌2 0.2)=$128 23 . 𝜆 =1−𝜇 = 1 − 0.2 $40(3.8 = 3. 33384158) =19.84008 = 0. procedamos a encontrarla por aplicación de la fórmula: Ls= { ρ[ 1.1.(M/M/1): (GD/N/∞) Este modelo difiere de (M/M/1) : (GD/∞/∞) en que hay un límite N en el número del sistema (longitud máxima de la cola= N-1). 24 . c) ¿Cuál es el tiempo promedio estimado que un paciente. así que ya tenemos el ρ = 1.5) / ( 1.(15+1)1.0.1. Algunos ejemplos incluyen situaciones de manufactura en las que una maquina puede tener un espacio intermedio limitado y una ventanilla de servicio en su coche en un restaurante de comida rápida. No se permiten nuevas llegadas cuando la cantidad de clientes en el sistema llega a N. Ejercicio 4.000762 Asíla probabilidad de que un paciente no Espere es de 0. c) Debemos hallar a Ws = Ls/ λefectiva pero no se tiene a Ls.5[ 1. esto es que en promedio un paciente debe esperar 39 minutos en la clínica.1 Los pacientes llegan a una Clínica según una distribución de Poisson a una tasa de 30 pacientes por hora. asíya podemos encontrar a P0 y éste viene dado por: P0 = {(1 .1.5)(1.5 Para éste modelo no importa que ρ>1.000762.515+1) =0.(N+1)ρN + N ρN+1] / (1. tarda en la Clínica? Solución a) λ=30 y µ =20 por tanto ρ= 30/20 = 1. pero uno que debe estar adentro chequeándose con el Dr.ρ ) / ( 1 – ρ N+1) = (1 – 1.5pacientes esperando. Determine: a)La probabilidad de que un paciente no tenga que esperar. Son N=16. La sala de espera tiene sólo 14 asientos y no da más cabida. b) λefectiva = λ(1-PN) = 30(1.515 + 15 1. El tiempo de auscultación por paciente es exponencial con tasa media de 20 pacientes por hora.65172 de hora.515+1] / (1. Exactamente 20 pacientes llegan a la clínica.98475≈ 20.ρ)(1- ρN+1) Ls= {1.516) = -05/-655. b) La tasa efectiva de llegada. A)0. al menos que el área de espera esté llena. Janet espera que los clientes lleguen en forma aleatoria (proceso poisson) con una tasa media de 1 cada 4 minutos.Ejercicio 4. Compara la fracción de clientes potenciales que se pierden por falta de espacio de espera si se proporcionan. El tiempo de lavado de un carro tiene función exponencial con media de 3 minutos.2 En Forester Manufacturing se ha asignado a un técnico el mantenimiento de 3 máquinas. b)2. c) 4 espacios además del lugar de lavado) 1 𝜆= 𝑚𝑖𝑛 4 1 =3 𝜇 25 .3 Janeth tiene un auto lavado y desea saber cuántos espacios asignar a los autos que esperan. en cuyo caso los autos se irán a otra parte. a) ¿Qué modelos de colas se ajusta a este sistema? b) ¿Cuál es la fracción de tiempo que el técnico estará ocupado? Datos: 1 𝜆= (3) = 1/3 9 𝜇 = 1/2 Solución a) Es un modelo M/M/1 con una población finita de arribos (N=3 máquinas) 𝜆 1/3 b) 𝜌 = 𝜇 = 1/2 = 2/3 Ejercicio 4. Para cada máquina la distribución de probabilidad de tiempo de operación antes de descomponerse es exponencial con media de 9 horas. El tiempo de reparación también tiene distribución exponencial con media de 2 horas. para que el sistema alcance estabilidad.154 1 − 3/44 c) Para 4 espacios 3 (1 − 4)3/45 𝑃5 = = 0. Definiendo ρ = λ / µ obtenemos la siguiente fórmula general para este modelo: Pn = (1. conduce a un elemento intuitivo.2.ρ .ρ ) * r ρ n .… Que es una distribución geométrica.429 1 − 3/42 b) Para 2 espacios 3 (1 − 4)3/43 𝑃3 = = 0. O sea ρ > 1 significa que λ < µ lo que establece que la tasa de llegadas debe ser estrictamente menor que la tasa de servicio en la instalación. con llegadas y salidas de Poisson con tasa medias λ y µ. n = 0.72 1 − 3/46 (M/M/1): (DG/∞ / ∞) Este es un modelo de servidor único sin límites en la capacidad del sistema o de la fuente de llamadas. 26 . donde además p0 = 1.1. 𝜇 = 1/3𝑚𝑖𝑛 1/4 𝜌= = 3/4 1/3 a) Para 0 espacios 1−𝜌 𝑃1 = 𝑁+1 𝜌𝑛 1−𝜌 3 3 (1 − 4)(4) 𝑃1 = = 0. El requisito matemático de que r > 1 necesario para garantizar la convergencia de la serie geométrica (1 + ρ + ρ 2 +… ) . …) Si ρ = λ / μ.l / m = ρ 2 /(1.1 A un cajero automático sólo llega un promedio de 10 vehículos por hora. Conteste las preguntas siguientes: 1. la ecuación de Pn en el modelo generalizado de colas con un servidor se reduce a: Pn = ρn P0 Para determinar el valor de P0 se usa la siguiente identidad: P0 (1 + ρ + ρ2 + …) = 1 27 .¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno? Se considera que un vehículo que está ocupado en el cajero automático. y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales.ρ ) ] Lq = Ls .. ¿cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático? 4.Para este modelo las medidas de básicas de desempeño se calculan de la siguiente forma: Ls = E{ n} = (ρ) / (1.¿Cuál es la probabilidad de que el cajero automático se encuentre vacío? Para responder la interrogante anterior es necesario plantear el siguiente modelo de probabilidad para el sistema de colas con un servidor: Pn = probabilidad de estado estable de tener exactamente n clientes en el sistema (para n = 0.. Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 4minutos..ρ) Wq = Lq / l = r / [m ( 1. 1. no está esperando en la cola. incluyendo el tiempo de servicio? 3.ρ ) Ws = Ls / λ = 1 / [ µ ( 1. 2.ρ ) ] Ejemplo 5.¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco. 2..En promedio. 2 Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla de servicio para automovilistas. En el espacio de la ventanilla pueden caber 10 vehículos cuanto mucho. b) La cantidad estimada de clientes esperando que los atiendan. la serie geométrica tiene la suma finita (1/(1. Los automovilistas llegan de acuerdo a una distribución de poisson con una frecuencia de 2 cada 5 minutos. otros automóviles pueden esperar fuera de este espacio. La fórmula general de Pn es entonces la de la siguiente distribución geométrica: Pn = (1 – ρ) ρn. Calcule lo siguiente: a) La probabilidad de que la instalación este vacía. n = 1. c) El tiempo estimado de espera para que un cliente llegue a la ventanilla y haga su pedido. d) La probabilidad de que la línea de espera sea mayor que la capacidad de 10 lugares.ρ)). El tiempo de servicio por cliente es exponencial. incluyendo al que se está sirviendo. con una media de 1. 2. siendo que ρ < 1.6667 28 .Suponiendo que ρ < 1.5𝑚𝑖𝑛 𝜇 𝜇 = 0. Si es necesario. … (ρ <1) Ejemplo 5.5 minutos.ρ. Datos: 2 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝜆=5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 N=10 1 = 1. y entonces P0 = 1. 6667(1. El tiempo de servicio de cada cliente es exponencial.3 Los clientes llegan en automóvil a una ventanilla bancaria de acuerdo con una distribución de poisson.6667 𝜌2 b) 𝐿𝑞 = 1−𝜌 0.9 automovil 1 − 0. que es atendido. 29 .0036 Ejemplo 5.0.6) d) P(𝐿𝑞 > 10) = 𝜌𝑛+1 P(𝐿𝑞 > 10) = 0.24𝑚𝑖𝑛 0.62 = 0.610+1 = 0. con una media de 10 por hora.Solución: a) 𝑝0 = 1 − 𝜌 = 1 − 𝜆/𝜇 2 1− 5 = 0. deben esperar fuera de este espacio para 3 vehículos. con una media de 5 minutos. incluyendo el del automóvil que es atendido.4 1 − 0.6 = = 2. Hay 3 espacios frente a la ventanilla.6 𝜌 c) 𝑊𝑞 = 𝜇(1−𝜌) 0. Si llegan más vehículos. En este modelo.5787 53+1 b) 𝑃(𝐿𝑞 > 3) = (𝜌𝑛+1 ) = 6 = 0.a) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llega pueda entrar en uno de los 3 espacios? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llega deba esperar fuera de los 3espacios? c) ¿cuánto tiempo debe esperar un cliente que llegue para que comiencen a atenderlo? Datos 10 1 𝜆= = ℎ𝑜𝑟𝑎 6 1 = 5 min .4822 𝜌 5/6 c) 𝑊𝑞 = 𝜇(1−𝜌) = 1/5(1−5/6) = 25 𝑚𝑖𝑛 (M/M/1): (DG/N/∞) La diferencia de este modelo y el anterior radica en que el número máximo de clientes (para este modelo) permitidos en el sistema es N (longitud máxima de la línea de espera es = N-1). se impiden todas las nuevas llegadas o no se les permite unirse a la línea de espera. Esto significa cuando haya N clientes en el sistema. haciendo r = l / m obtenemos que: 30 . 𝜇 = 1/5 𝜇 Solución 1/63 a) 𝑃(𝐿 = 𝑛) = 𝜌𝑛 = 1/5 = 0. ρ ) ( 1.ρ N+1) ] ρ n .[ ( 1-pN )] / µ pN = Probabilidad de que una unidad no sea capaz de unirse al sistema.(1.ρ) / ( 1.ρ N+1) ] . una vez que se determina la tasa efectiva de llegadas λ ef de la forma siguiente: λ e.ρ N+1) . f / µ ) = Ls . ρ = 1 Para este modelo no se hace necesario que r > 1 pues el número de unidades en el sistema está controlado por la longitud de la línea de espera (= N-1). Lq.2. ρ = 1 Las medidas Lq. Wq = Lq / λ e. f = Ls / [λ ( 1-pN ) ] Ws = Wq +1/ µ = Ls / [λ ( 1-pN ) ] 31 . Ws y Wq se pueden calcular a partir de Ls. Usando el valor anterior de pn. 1 / (N+1) . ρ = 1 Entonces las fórmulas para pn pueden resumirse como: [ (1.. f = l ( 1-pn) usando Ls y λ ef obtenemos las fórmulas para calcular.1. ρ ≠1 Po = 1 / N+1 . ρ≠ 1 Ls = N / 2 .. . encontramos que el número esperado de unidades en el sistema se calcula como sigue: { ρ [ 1-( N+1)* ρ N + N ρ N+1] } / [ ( 1. ρ ≠ 1 pn = n = 0.ρ ) / ( 1. Wq y Ws: Lq = Ls-( λ e. Para cambiar esta estructura con el fin de asegurar la atención de los clientes en orden cronológico de llegada. En algunos casos. lavar. sería preciso formar una fila única desde la cual. limpiar ventanas y estacionar) en una secuencia bastante uniforme. Fase única: Las ventanillas de los cajeros en un banco y las cajas registradoras en almacenes de departamentos con altos volúmenes de ventas son ejemplos de este tipo de estructura. Fases Múltiples: Este caso es semejante al anterior. Uno de los factores críticos en el caso de canal único con servicio en serie es la cantidad de acumulación de elementos que se permite frente a cada servicio. mojar. enjabonar. o Canales Múltiples. algunos clientes son atendidos primero que otros que llegaron antes y hasta cierto punto se producen cambios entre las filas. lo cual a su vez significa filas de espera separadas. salvo que se realizan dos o más servicios en secuencia. o Canales Múltiples. pues allíse realiza una serie de servicios (aspirar. El principal problema que plantea esta estructura es que requiere un control rígido de la fila para mantener el orden y dirigir a los clientes a los servidores múltiples. secar. Un centro de lavado de autos ilustra este tipo de estructura. se llama al siguiente cliente en la fila. a medida que se desocupa un servidor.Modelo de Servidores Múltiples Dentro de los modelos de teoría de colas que incorporan servidores múltiples. Como resultado. la asignación de números a los clientes en orden de llegada ayuda a aliviar este problema. porque por lo general se sigue en una secuencia especifica de pasos: Establecer el contacto inicial en el sitio de admisiones Llenar formularios Elaborar etiquetas de identificación Asignar un cuarto 32 . La admisión de pacientes en un hospital sigue este patrón. La dificultad que plantea este sistema es que el tiempo de servicio desigual que se asigna a cada cliente redunda en una velocidad o flujo desigual en las filas. Fases múltiples. se pueden identificar las siguientes variantes: o Canal único. Servicios secuenciales Servidor Cola Servidor Salida 33 . La estructura principal de estos modelos es la siguiente Servidor Salida Modelo de Cola Llegada una línea. Múltiples Cola Servidor servidores Salida Cola Servidor Salida Llegada Modelo de Cola una línea. Llevar al paciente al cuarto Como hay varios servidores disponibles para efectuar este procedimiento. Servidor Salida Servidores Múltiples Servidor Salida Modelo Cola Servidor Salida Llegada varias líneas. se puede procesar a más de un paciente a la vez. la tasa combinadas de salidas de la instalación es c* µ. en términos del modelo generalizado. Morse da dos aproximaciones útiles para p0 y Lq. f = λ. si n es menor que c. tenemos: λn=λn≥0 nµ .ρ ) ] p0 = [ c ρ / ( c.(M/M/C): (DG/∞ / ∞) En este modelo los clientes llegan con una tasa constante λ y un máximo de c unidades puede ser atendidos simultáneamente. el valor de pn y p0 se calcula de la siguiente forma: ( ρ n/ n!) p0 0 ≤ n ≤ c Pn = ( ρ n/ c n-cc!) p0 n > c 𝑝𝑛 𝑝𝑐 1 P0=(∑𝐶−1 𝑛=0 𝑛! + ( 𝑝 )-1 𝑐! 1− 𝑐 Los valores de las medidas de desempeño se obtienen como sigue: Lq = [ρ c+1/ (c-1)(c. n. El efecto último de usar c servidores paralelos es acelerar la tasa de servicio al permitir servicios simultáneos.ρ ) 2] pc Ls = Lq + ρ Wq = Lq/λ Ws = Wq + 1/µ Las operaciones asociadas con este modelo pueden ser tediosas. es igual o excede a c. La tasa de servicio por servidor activo es también constante e igual a m y λ e. n ≤ c µn = cµ . Así. la tasa de servicio es igual a n* µ. Si el número de clientes en el sistema. Por otra parte. n ³c Si hacemos ρ = λ / µ . Para ρ mucho menor que 1 34 . numero de servidores c=4. Esto se ve porque llegan ocho llamadas por hora a la oficina de cada empresa. µ=5. Las llamadas llegan siguiendo una distribución de Poisson. esto es. El tiempo promedio en el viaje es de 12 minutos. Al consolidarlas se tendrá el modelo (M/M/4): (GD/∞/∞) con 𝜆=2x8=16 llamadas por hora y µ=5 viajes por taxi por hora.P0= 1. y se sabe que las dos empresas comparten partes iguales del mercado. µ=5. Se puede representar a cada empresa como un modelo (M/M/2): (GD/∞/∞) con un 𝜆=8 llamadas por hora y µ=60/12=5 viajes por taxi por hora.ρ)(c-1)!/cc y Lq= ρ/c-p Ejemplo 6. un inversionista compro las dos empresas.ρ y Lq= ρ c+1 /c2 Y para ρ/c muy próxima a 1 P0=((c. numero de servidores c=2 y 𝜆=16. 𝑊𝑞 Por lo tanto se tienen dos escenarios en dicho problema: Dado 𝜆=8. Utilizando los datos para 2 y 4 servidores con las fórmulas de tiempo de espera se obtiene que: 35 . y el tiempo de viaje es exponencial. Solución. Analice la propuesta del nuevo dueño.1 Hay dos empresas de taxis que dan servicio a una población. Hace poco. los taxis son los servidores y el viaje es el servicio. Una medida adecuada para comparar los modelos es el tiempo promedio que espera un cliente para un viaje. Desde el punto de vista de las colas. y le interesa consolidarlas en una sola oficina para dar mejor servicio a los clientes. Cada empresa es dueña de dos taxis. En particular. identifique los clientes y los servidores.75 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝜆 2 c) Pasa un tiempo promedio de 45 minutos.5 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝐿 1. Por lo tanto la decisión óptima es optar por consolidar las dos empresas.2 La tienda Mom-and-Pop’s tiene un estacionamiento pequeño adyacente con tres espacios reservados para los clientes. ¿Cuál es el servicio proporcionado? ¿Qué constituye el tiempo de servicio? B) Determine las medidas de desempeño básicas para este sistema de colas C) Use los resultados para determinar el tiempo promedio que un auto permanece en el espacio. Ejemplo 6. 1.3 la Probabilidad Pn de que haya justo n espacios ocupados es P0= 0.2) + 1(0.356 horas (21 minutos) para el caso de dos empresas El tiempo de espera para un viaje es 0.5 𝑊= = = 0. P3=0.149 horas (9 minutos) para el caso de la fusión. P2=0. a) Describa la interpretación de este estacionamiento como sistema de colas. 36 .2. b) 𝐿 = 0𝑃0 + 1𝑃1 + 2𝑃2 + 3𝑃3 = 0(0.2) = 1. El tiempo de servicio es la cantidad de tiempo que un automóvil pasa en dicho espacio.3. Solución.3) + 2(0.2.El tiempo de espera para un viaje es 0.3) + 3(0. Para n=0. 2. Si la tienda está abierta los autos llegan y usan un espacio con una tasa media de 2 por hora. a) Un estacionamiento es un sistema de colas que provee a los automóviles como clientes y espacios de estacionamiento como servidores. P1=0.1. iii) después de las 2:00pm? Suponga que no llegan más clientes antes de la 1:00pm. iii) antes de la 1:01pm? Solución. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente haya completado su servicio) antes de las 2:00pm. a las 12:00 del día acaba de llegar un cliente.238 −1𝑥2 Siguiente llegada después de 2:00pm 𝑃 = (1 − 𝑒 2 ) = 0. Lo que es más. 𝑛>0 Teniendo 𝜆𝑛 = 2 μ 𝑛 = {2 1.3 Un sistema de colas tiene dos servidores.368 b) Probabilidad siguiente llegada entre 1:00-2:00pm pero no llegadas entre 12:00- 1:00pm: 37 .Ejemplo 6. ahora. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada tenga lugar entre la 1:00 y las 2:00pm? ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llegadas entre la 1:00pm y las 2:00pm. 1 1 .393 −1𝑥2 −1 Siguiente llegada entre 1:00pm-2:00pm 𝑃 = (1 − 𝑒 2 ) − (1 − 𝑒 2 ) = 0. ii) antes de la 1:10pm. sea i) 0. distribución de tiempos entre llegadas exponencial con media de 2 horas y distribución de tiempos de servicio exponencial con media de 2 horas para cada servidor. ii)1. A) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada ocurra i) antes de la 1:00pm ii) entre la 1:00 y las 2:00pm. iii) 2 o más? Si ambos servidores están ocupados a la 1:00pm. 𝑛=2 a) Probabilidad 1 Siguiente llegada antes de 1:00pm 𝑃 = 1 − 𝑒 −2 = 0. La tasa de llegadas efectiva 𝜆𝑒𝑓𝑓 es menor que 𝜆 debido al límite de sistema N.607 0! Probabilidad de una llegada entre 1:00-2:00pm (𝜆𝑡)𝑒 −𝜆𝑡 1 −1 𝑃= = 𝑒 2 = 0303 1! 2 Probabilidad de dos o más llegadas entre 1:00-2:00pm 1 1 −1 𝑃 = 1 − 𝑒 −2 − 𝑒 2 = 0.1 2 d) Probabilidad de teléfono no atendido antes de las 2:00pm 𝑃 = 𝑒 −1 = 0368 Probabilidad de teléfono no atendido antes de 1:10pm 1 𝑃 = 𝑒 −1(6) = 0.846 Probabilidad de teléfono no atendido antes de 1:10pm 1 𝑃 = 𝑒 −1(60) = 0. 38 .393 c) Probabilidad de no llegada entre 1:00pm y 2:00pm: (𝜆𝑡)𝑒 −𝜆𝑡 −1 𝑃= = 𝑒 2 = 0.4 − 0.3 = 0. Esto significa que el tamaño de la cola es (N-c).983 (M/M/C): (DG/N/∞) El modelo difiere de (M/M/C): (GD/∞/∞) en el que el límite del sistema es finito e igual a N. Las tasas de llegadas y servicio son 𝜆 y µ. −1 𝑃 = (1 − 𝑒 2 ) = 0. ≠1 𝑐 𝑛=𝑐 Y 𝜌𝑐 (𝑁 − 𝑐)(𝑁 − 𝑐 + 1) 𝜌 𝐿𝑞= 𝑃𝑜 . 𝑐<𝑛<𝑁 𝐶 𝑛−𝑐 𝐶! En donde se tiene: 𝑁 𝜌 𝐿𝑞= ∑(𝑛 − 𝑐)𝑃𝑛 . =1 2𝑐! 𝑐 Para determinar 𝑊𝑞 y por consiguiente 𝑊𝑠 y 𝐿𝑠 . 0<𝑛<𝑁 𝜆𝑛 = { 0. 0<𝑛<𝑐 𝑃𝑛 = { 𝑛! 𝑜 𝜌𝑛 𝑃𝑜 .En términos generales se tiene: 𝜆. calculamos el valor de 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 como: 𝜆𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 = 𝜆𝑃𝑛 𝜆𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝜆 − 𝜆𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 = (1 − 𝑃𝑛 ) 39 . 𝑛>𝑁 𝑛μ. 0<𝑛<𝑐 μ𝑛 = { 𝑐μ. 0<𝑛<𝑁 𝜆 Sustituyendo 𝜆𝑛 y μ𝑛 en la expresión general y dado que 𝜌 = µ se obtiene: 𝜌𝑛 𝑃. Ejemplo 7. (Debido a la alta rasa de llegadas. existe una pérdida de tiempo por mecánico que vale 0. puede presumirse una fuente infinita).1730 𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠 40 . y un empleado puede hacer solicitudes a una tasa de 20 por hora (exponencial). se compara el costo agregado del empleado adicional con el tiempo que ahorran los mecánicos. Si el costo de un empleado del departamento de autopartes es de US$6 la hora y el costo de un mecánico es de US$12 la hora. determine el número óptimo de empleados para atender el mostrador. En primer lugar se van a utilizar tres empleados. 𝜆 Primero hay que obtener el numero promedio en la fila. se obtiene: 𝐿𝑞 = 0.1 En el departamento de servicios del concesionario de automóviles Glenn-Mark. utilizando las formulas y agregando el empleado adicional es decir 𝑐 = 4.8888 𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 12 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑥 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 𝑈𝑆$85. porque el hecho de tener solo uno o dos generaría filas infinitamente largas (puesto que 𝜆 = 40 Y μ = 20). El funcionario de esa división hace la solicitud mientras el mecánico aguarda. los mecánicos que requieren piezas para reparación o servicio de vehículos presentan sus formularios de solicitud en el mostrador del departamento de autopartes. En este punto se tiene un promedio de 0. Solución.32 El siguiente paso consiste en volver a determinar el tiempo de espera si se agrega otro empleado al departamento de autopartes. Los mecánicos llegan de manera aleatoria (Poisson) a una tasa de 40 por hora.8888 mecánicos aguardando todo el día. dados los valores de =2 µ y 𝑐 = 3. Luego. Para un día de 8 horas a US$12 por hora.8888 𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠. se obtiene 𝐿𝑞 = 0. Una vez más. 2 American Vending Inc. dos empleados que trabajen juntos pueden reparar siete maquinas por hora. 0. y las averías se distribuyen de manera Poisson.61 = 𝑈𝑆$68. la gerencia tiene que afrontar un problema constante de reparaciones. En promedio se averían tres máquinas por hora.71 El costo de un empleado adicional es de 𝑈𝑆$6 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑥 = 𝑈𝑆$48 ℎ𝑜𝑟𝑎 Costo de la reducción al agregar un cuarto empleado es 𝑈𝑆$20. El tiempo muerto le cuesta a la compañía US$25/hora por máquina y a cada empleado de mantenimiento le pagan US$4 por hora.71 Ejemplo 7. distribuida exponencialmente. distribuida exponencialmente.32 − 𝑈𝑆$16.61 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎𝑟𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 El valor ahorrado en tiempo de mecánico es de 𝑈𝑆$85. Como los estudiantes acostumbran patear las maquinas furiosos y frustrados. ¿Cuál es el tamaño óptimo del equipo de mantenimiento para reparar las maquinas? Solución.1730 𝑥 𝑈𝑆$12 𝑥 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 𝑈𝑆$16. Un empleado puede reparar las maquinas a una tasa promedio de cinco por hora. y un equipo de tres trabajadores puede reparar ocho por hora distribuidas exponencialmente. Caso I: Un trabajador 41 . (AVI) suministra dispensadores de alimentos a una universidad de gran tamaño. Se debe resolver para cada uno de los casos en los que se determinara el número de servidores a utilizar. 50 Caso II: Dos trabajadores Dado que 𝜆 = 3/ℎ𝑜𝑟𝑎 y μ = 7/ℎ𝑜𝑟𝑎 𝜆 3 𝐿𝑠 = = = 0.00 = 𝑈𝑆$41.75 + 𝑈𝑆$8.00 = 𝑈𝑆$41.50 + 𝑈𝑆$4.75 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 μ−𝜆 7−3 Tiempo muerto (0.75 x US$25) Mano de obra (2 trabajadores x $US4) 𝑈𝑆$18.50 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎.5 x US$25) Mano de obra (1 trabajador x US$4) 𝑈𝑆$37.50 Tiempo muerto (1. 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑈𝑆$40 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎.5 = 𝑈𝑆$37.00 = 𝑈𝑆$26.50 + 𝑈𝑆$4.75 Caso III: Tres trabajadores 42 .Dado que 𝜆 = 3/ℎ𝑜𝑟𝑎 y μ = 5/ℎ𝑜𝑟𝑎 En el sistema hay un número promedio de máquinas de: 𝜆 3 1 𝐿𝑠 = µ−𝜆 = 5−3 = 1 2 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 El tiempo muerto es de 𝑈𝑆$25 𝑥 1. Y el costo total por hora para un trabajador es de 𝑈𝑆$37. peluquero durante más de 20 años.75 + 𝑈𝑆$12. pero esos tiempos varían mucho. parece que la distribución exponencial se adapta razonablemente bien para representar la distribución de los tiempos de servicio. de modo que el patrón de llegada de sus clientes es esencialmente aleatorio. con un costo de US$26. Antonio está considerando llevar al negocio a Marcos. 43 . Hace 2 meses el periódico local público un artículo sobre Antonio. se determina que el caso II.00 = 𝑈𝑆$27. que hizo que su negocio mejorara bastante. pero el champú con estilo podría llevar hasta una hora o más. con dos trabajadores es la decisión óptima.75.60 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 μ−𝜆 8−3 Tiempo muerto (0. En la actualidad la tasa de llegada se acerca más a un cliente cada 35 minutos. su primo.00 Comparando los costos obtenidos respectivamente. Siempre ha sido más o menos 1 cliente cada 50 minutos. Un recorte podría requerir tan solo 5 minutos. pero desde que el negocio mejoro hay quienes se quejan que la espera es demasiado larga. Ejemplo 7. Los clientes de Antonio siempre han sido pacientes.3 Estética Antonio es atendida y es propiedad de Antonio Jiménez. para mejorar el servicio a los clientes. dependiendo de las necesidades del cliente. Antonio no hace citas. Para los cortes de pelo necesita un promedio de 25 minutos. Suponga que Marcos corta el cabello con la misma velocidad que Antonio. Por esta razón.Dado que 𝜆 = 3/ℎ𝑜𝑟𝑎 y μ = 8/ℎ𝑜𝑟𝑎 𝜆 3 𝐿𝑠 = = = 0.60 x US$25) Mano de obra (3 trabajadores x US$4) 𝑈𝑆$15. ¿Qué mejoría en el desempeño del sistema podrán percibir los clientes cuando haya un peluquero más? Solución. Los valores de las medidas de desempeño son 𝜌 0. ¿Cuánto ha disminuido la calidad del servicio desde que la peluquería tiene más clientes? b. El tiempo promedio entre llegadas era 1 de cada 50 minutos. 𝜌 = µ = 0. antes de la aparición del artículo periodístico.2 𝐿𝑞 0.5 𝑊𝑞 = = = 0. que se traduce en un tiempo de servicio igual a 60 μ= = 2. a) Primero se determinan las diversas medidas de desempeño del sistema.2 44 . que da una tasa de llegadas igual a 𝜆 = 60 = 1.4167 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝜆 1.5 𝐿= = =1 (1 − 𝜌) 0. Antonio está ocupado la mitad de su tiempo.5 Esto es.5 𝐿 1 𝑊= = = 0.a.2 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 50 Cada corte requiere un promedio de 25 minutos.4 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 25 𝜆 Por consiguiente.5 𝐿𝑞 = 𝜌𝐿 = 0.8333 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝜆 1. en promedio.4167) (60)=25 minutos. hay muchos que podrían esperar bastante más.458 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝜆 1.78 𝑊𝑞 = = 1.7143 𝐿𝑞 1.5 𝑊= = = 1. Esto indica que 𝜆 se modificó a 60/35= 1. más de una hora para ser atendido. De hecho. debido a que la distribución de 𝑊𝑞 es exponencial.7143 𝜌= = = 0. b. Las medidas de desempeño son ahora 0. Si se agrega un peluquero más. para pasar a cortarse el cabello.5 1 − 0.Esto significa decir que antes los clientes esperaban (0. en promedio. Con dos barberos: 𝜆 1.4) −1 0.0383 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝜆 1.111−1 = 0.3571 μ (2)(2.5) = 1.7143 y 𝜌=0.7143 Es claro que la queja de los clientes es válida.3572 45 .7143.7143)(2. Un cliente debe esperar. Después de la aparición del artículo.7143 𝐿𝑞 = 𝜌𝐿 = (0.7143 𝐿= = 2. la tasa de llegada aumento a 1 cliente cada 35 minutos.4737 2! 1 − 0. mejora el desempeño del sistema.71432 1 𝑃0 = {1 + 0.7857 𝐿 2.7143 + + } = 2. 7143 1 𝑊 = 𝑊𝑞 + = 0. los clientes podrían más de una hora para ser atendidos.3571)2 2! 𝐿 = 𝐿𝑞 + 𝑐𝜌 = 0. Integrando al peluquero. 𝑛>0 𝑟= 𝑛! μ 46 .35713 𝐿𝑞 = (0.0522 + 0. este tiempo se reduce a menos de 2 minutos en promedio.0384 ℎ𝑜𝑟𝑎 (1.82 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠) 𝜆 1. Con un solo peluquero.0304 + 0.7665 𝐿𝑞 0.0522 (1 − 0. Modelo (M/M/∞): (GD/∞/∞) En ocasiones se puede estar diseñando un sistema donde el número de servidores simultáneos no sea un límite (por ejemplo a un servidor de red). Si el tiempo de servicio tiene igual distribución con el número de servidores μ𝑛 = 𝑛μ La probabilidad de que hayan n clientes simultáneamente es de: 𝑟 𝑛 𝑒 −𝑟 𝜆 𝑃𝑛 = .04471 ℎ𝑜𝑟𝑎 (27 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠) μ Se puede apreciar que al agregar otro peluquero se mejora mucho el desempeño del sistema.7143 = 0.4167 = 0.Por consiguiente 22 0.0522 𝑊𝑞 = = = 0.4737) = 0. Aunque esto podría parecer no realista. El número de clientes en el sistema es igual al número de servidores ocupados. L. es µ en ambos casos. 47 . la distribución de la cantidad de clientes en el sistema (o la cantidad de servidores ocupados) en el estado estable 1 tiene distribución de Poisson con tasa .2. independientemente de cuantos clientes se encuentren en el sistema. Por lo tanto se busca lo siguiente: Con una tasa de llegada 𝜆 y tasa de servicio µ. la cantidad de clientes en el sistema.1. … 𝑘! Lo que significa que la media y la varianza de la cantidad de clientes en el sistema. Sin embargo. 𝜆 en estado estable. muchos problemas en la realidad se pueden modelar en esta forma. es decir: µ − 𝜆𝑘𝜆 µ 𝑒 μ 𝑃{𝑛=𝑘} = 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0. Como no hay cola de clientes que esperen su servicio. no es cero. Por consiguiente. las medidas de desempeño 𝐿𝑞 y 𝑊𝑞 son ambas cero. no hay tiempo de espera. 𝜆 1 𝐿= 𝑊= μ μ μ𝑛 = 𝑛μ Una cantidad infinita de servidores indica que siempre hay un servidor disponible. 4 por mes.1 La planeación de personal es una función importante para muchas empresas.4)(4) = 13. que es ¼ por mes.4 por mes. y µ la rapidez con la que se llenan los puestos. La 𝜆 cantidad esperada de puestos vacantes es µ Siendo entonces 𝜆 la tasa con la que dejan sus puestos los empleado. hay 100 − 36 = 86. su puesto entra a la cola de puestos vacantes. Para determinar la distribución de los puestos ocupados. El análisis de datos del pasado indica que la cantidad de empleados que salen de la empresa por mes tiene distribución de Poisson. la media de la cantidad de puestos vacantes es 𝜆 3. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 15 puestos vacantes en cualquier momento? ¿Cuántos puestos del departamento están ocupados en promedio? ¿Cuántos puestos debe tener la empresa para que las personas que trabajen en el departamento sean 100 en promedio? Solución.4 = = (3. el modelo correcto es el de una cantidad infinita de servidores. se modela como un problema M/M/∞.6 μ 1 4 Por consiguiente. Suponiendo que se inicia de inmediato la búsqueda de un remplazo. y que la empresa requiere 4 meses para llenar las vacantes. Veamos el departamento de una compañía con tamaño deseado de personal igual a 100 puestos. que es 3. Por consiguiente.4 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑙𝑙𝑒𝑛𝑜𝑠 48 . Supongamos que los empleados dejan sus puestos con una frecuencia o tasa de 3.Ejemplo 8. Cada vez que sale un empleado. 6. En tanto. con media 13.2 Los clientes llegan a un sistema de colas según un proceso de Poisson con tasa media de llegadas de 2 clientes/minuto. 𝜆 𝑃1 = 𝑃𝑜 = 2𝜌0 μ 𝑃2 = 2(1)𝑃𝑜 2𝑛 𝑃𝑛 = 𝑃 𝑛! 𝑜 ∞ ∑ 𝑃𝑛 = 𝑒 2 𝑃0 = 1 𝑛=0 𝑃0 = 𝑒 −2 𝑃1 = 2𝑒 −2 = 0. Solución. Ejemplo 8. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con media de 1 minuto. Calcule las probabilidades de estado estable de que haya justo un cliente en el sistema.29 aproximadamente. 100 puestos ocupados en cualquier momento. sea mayor que 15. Se tiene un número ilimitado de servidores por lo que los clientes nunca esperan que comience su servicio.La probabilidad de que haya más de 15 puestos vacantes es la de una variable aleatoria de Poisson.3 49 . habría en promedio. También la consecuencia es que si el departamento tuviera 114 plazas y no 100. la probabilidad es 0. se llama a uno de los técnicos en mantenimiento para que la repare.Modelo de Servicio de Máquinas La jurisdicción de este modelo es un taller con k maquinas. no podrá haber más llamadas de servicio. En función del modelo de colas. 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝐾 En función del modelo generalizado se obtiene (𝐾 − 𝑛)𝜆 𝜆𝑛 = { 0 𝑛𝜇 𝜇𝑛 = {𝑅𝜇 Luego 𝐶𝑛𝐾 𝜌𝑁 𝑝0 𝑃𝑛 = { 𝐾 𝑛! 𝜌𝑛 𝐶𝑛 ( )𝑝 𝑅! 𝑅 𝑛−𝑅 0 𝑅 𝐾 𝑛! 𝜌𝑛 𝑃0 = (∑ 𝐶𝑛𝑘 𝜌𝑛 + ∑ 𝐶𝑛𝐾 ) 𝑅! 𝑅 𝑛−𝑅 𝑛=0 𝑛=𝑅+1 Todo el término anterior se eleva a la -1 No hay expresión de alguna forma cerrada para Ls y por consiguiente debe calcularse por medio de la siguiente definición básica: 50 . Una vez que todas las maquina se descompongan. Dada λ de descomposturas por máquina. tener n maquinas en el sistema significa que n máquinas están descompuestas y que la tasa de descomposturas asociada de todo el taller es: 𝜆𝑛 = (𝐾 − 𝑛)𝜆. la tasa de descomposturas de todo el taller es proporcional a la cantidad de máquinas que están funcionando. La fuente en este modelo es finita porque las maquinas que están funcionando pueden descomponerse y por consiguiente puede generar llamadas de servicio. Cuando una maquina se descompone. La tasa de descomposturas y servicios siguen la distribución de Poisson. K = 3.7% En promedio la cantidad de máquinas a reparar en la empresa es: 1−K ρ2 1+5 0. P0 = ?.8333 = 16.8333 La cantidad de máquinas en promedio en cola es: 51 . los autos llegan a un promedio de 18 carros por hora en forma Poisson.83332 L=( )( + ρ) = ( )( + 0. Wq = ?. = 83. L = ?.1 Al Taller El Recambio para cambio de aceite. Ws = ?. puede servir a un promedio de 6 carros por hora de acuerdo a una distribución exponencial. = 18 carros / hora. = ?.33% En promedio el tiempo que permanece ocupado el sistema es del 83. La población es infinita pero el espacio físico en el sistema alcanza solamente para 3 vehículos. S = 1 = 2/24. Llegadas Poisson.8333) = 3 2K 1−ρ 2 ∗ 5 1 − 0. determinar las estadísticas de congestión de este taller. servicios especiales con cola finita. W = ?.33% El tiempo promedio que el sistema permanece ocioso es: P0 = 1 − ρ = 1 − 0. Lq = ?. 𝐾 𝐿𝑠 = ∑ 𝑛𝑃𝑛 𝑛=0 El valor de efecto se calcula como λefect = E{λ(K − n)} = λ(K − Ls ) Ejercicio 9. S = 1. = 6 carros/hora. Calcular las características de operación de la empresa.0. Tiempo promedio que permanece ocupado el sistema.104.249 horas = 1hora 14min 2K μ−λ 2 ∗ 5 2.158 . µ P0 = 1.4 Ws = W .8333.𝜌 = 1-0.054 hor = 3. W s=? λ 2 𝜌= = 2. P0 =?.2 En una empresa la reparación de un cierto tipo de maquinaria existente en el mercado se realiza en 5 operaciones básicas que se efectúan de una manera secuencial. W q=?:.27 min Un cambio de aceite tarda en promedio 3.249 + = 1.16666. µ= 2. Ws = 0. Ws = 0.4 − 2 En promedio una maquina espera en el sistema antes de ser atendida: 1 1 W = Wq + = 1. servicios constantes: λ= 2 máquinas/hora. 𝜌 =?. 52 .27 minutos. Estas máquinas se descomponen según una distribución Poisson con una razón media de 2 máquinas / hora y en la fábrica solo hay un mecánico que las repara.49 2K 1−ρ 2 ∗ 5 1 − 0. 1+K ρ2 1+5 0.4 = 0. Llegadas Poisson.4 máquinas/hora.8333 En promedio las maquinas en la cola antes de ser atendidas permanecen: 1+K ρ 1 + 5 0.83332 Lq = ( )( )=( )( ) = 2. K=5.Wq. Ejercicio 9. si le tiempo que se lleva en realizar cada uno de los 5 pasos tiene una distribución exponencial con media de 5 minutos.66 horas = 1 hora 39 min μ 2. Tiempo promedio que el sistema permanece ocioso.8333 Wq = ( )( )=( )( ) = 1.8333 = 0. Lq=?. 4 En promedio una maquina espera en el sistema antes de ser atendida 1 hora 39 minutos. es aconsejable utilizar la simulación como una herramienta alternativa para analizar estas situaciones.66 . 𝜇 2.66h. Ws = W .1.249 + W= 1.49 La cantidad de máquinas promedio en cola es de 2.49 1+𝐾 𝜌 1+5 0. asícomo también Po.8333)= (10) ( 0.83332 6 0. Ws = 1.Wq. 1 1 W= W q+ = 1. 𝑊 q= (10) ( ). El modelo no proporciona una expresión de forma cerrada para Pn debido a la incontrolabilidad analítica.W q= 1. En general.8333 + 0. está representado por cualquier distribución de probabilidad con media E(t) y varianza var(t). 1+𝐾 𝜌2 1+5 0.249.8333) = (10) ( + 0. Se trata del caso en el que el tiempo de servicio t.411 hor = 25 min En promedio el tiempo de un servicio es de 25 minutos Formula de Pollaczek-Khintchine (P-K) Los modelos de colas en los que las llegadas y salidas no siguen la distribución de Poisson son complejos.83332 6 0. Lq = ( 2∗5 ) (1−0.4 En promedio las maquinas en la cola antes de ser atendidas permanecen 1 hora 14 minutos.167 En promedio la cantidad de máquinas a reparar en la empresa es de 3.4−2.8333) = 3 0. Los resultados del modelo incluyen las medidas de desempeño básicas Ls. Ws. y Wq.83332 L= ( 2𝑘 ) (1 − 𝜌 + 𝜌) = ( 2∗5 ) (1−0. 14 min. W q= ( 2∗5 ) (2.166 )= 2.8333 Wq= ( 2𝐾 ) (𝜇−𝜌).0) . Lq. 0.8332 Lq= ( 2𝐾 ) (1−𝜌). Acá se presenta una de las pocas colas no de Poisson para la cual hay disponibles resultados analíticos.= 1hor 39 min. 53 . 1+𝑘 𝜌2 1+5 0. Ws = 0.8333 6 0.249h = 1h. se puede demostrar por medio de un análisis de cadena de Markov/probabilidad compleja que 𝜆2 (𝐸 2 (𝑡) + 𝑣𝑎𝑟(𝑡)) 𝐿𝑠 = 𝜆𝐸(𝑡) + 2(1 − 𝜆𝐸(𝑡)) 𝜆𝐸(𝑡) < 1 La probabilidad de que la instalación este vacía se calcula con: 𝑝0 = 1 − 𝜆𝐸(𝑡) = 1 − 𝜌 Ejercicio 10. El tiempo de servicio es constante de modo que E(t)=10/60=1/6 hora y var(t)=0. 1 2 1 42 ((6) + 0) 𝐿𝑠 = 4 ( ) + = 1. Por lo tanto.Sea λ la tasa de llegadas a la instalación de un solo servidor. Dadas E(t) y var(t) de la distribución del tiempo de servicio y que λE(t)< 1.1 En la instalación de lavado de autos Automata los autos llegan según una distribución de Poisson con una media de 4 autos por hora.333𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 6 4 2(1 − 6) 4 𝐿𝑞 = 1.333 𝑊𝑠 = = 0. ¿ Cómo afecta el nuevo sistema al funcionamiento de la instalación? Solución λefect=4autos por hora.667 𝑊𝑞 = = 0.333 − ( ) = 0. Se tiene un nuevo sistema de modo que el tiempo de servicio de todos los autos es constante e igual a 10 minutos.167 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 4 54 .667 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 6 1.333 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 4 0. W s y Wq b) Suponga que sustituyen el coffee shop por una máquina expendedora que requiere justo 75 segundos de operación por cliente. Lq. a) Con el modelo M/G/1 encuentre L. Lq.05555 55 .0208333 𝜇 1 σ= = 0.020833 = 0. Encuentre Ls.6667 𝑊𝑠 = 0.2 Los clientes de un coffee shop siguen un proceso Poisson con tasa media de 30 por hora.208333 𝜇 S=1 Resolviendo: (30)2 (0.Ejercicio 10. El tiempo necesario para que sirvan a un cliente tiene distribución exponencial con media de 75 segundos.04166 𝐿𝑠 = 0.034722 + 0.625) 𝐿𝑞 = 1. = 30 3600 𝜇= = 48 75 1 = 0.04166 = 1. W s y Wq a.625)2 𝐿𝑞 = 2(1 − 0.0208333)2 + (0.625 + 1. 020833 = 0. 1. 30 (30)2 (0)2 + (0.625 + 0.01736 30 56 .5208 𝐿𝑠 = 0.034722b.5208 = 1.01736 + 0.038193 0.1458 𝑊𝑠 = 0.04166 𝑊𝑞 = = 0.625)2 𝐿𝑞 = 2(1 − 0.625) 𝐿𝑞 = 0.5208 𝑊𝑞 = = 0. google. 7ªEDICIÓN TAHA HAMDY A.pdf 57 .com. INVESTIGACION DE OPERACIONES HILLIER LIBERMAN 7 EDICION.html http://catarina.com/materias/modelo-generalizado-de-colas-de- poisson/0 http://fmarrerodelgado.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/garduno_a_f/capitulo2.galeon.com/colas.buenastareas. LIBERMAN 7ªedición Páginas Web https://books. Fuentes de información Bibliografía INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. METODOS CUANTITATIVOS PARA ADMINISTRACION. HILLIER.sv/books?id=3oHztjMSuL8C&pg=PA593&lpg=PA593&dq =modelo+de+colas+de+poisson+generalizado&source=bl&ots=nMDF9e5SFL&sig =zCbj4MhD8Nm_vLE05xyyWMLVEnU&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwj3lqPx- nKAhUGpB4KHdzAB1YQ6AEINjAH#v=onepage&q&f=true http://www.