Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías- UNSECarrera: Licenciatura en Sistemas de Información Asignatura: Investigación Operativa II Nombre del Alumno: Año 2011 Fecha: septiembre de 2011 Trabajo Práctico Nº 2 Tema: “Modelos de Líneas de Espera. Elementos y características” OBJETIVOS: Que el alumno logre: Identificar los parámetros que describen cuantitativamente al modelo de espera, de una situación real. Evaluar sistemas de líneas de espera analizando sus mediadas de desempeño Calcular los costos de la espera de un problema dado. INTRODUCCIÓN. La línea de espera, en su concepto más simple, se forma por la llegada de clientes que entran a un sistema a recibir un servicio proporcionado por un servidor. La naturaleza de los clientes, el sistema, el servicio, varía con la organización de que se trate. Pero los modelos de este tipo pueden aplicarse en múltiples situaciones, constituyendo esta teoría una importante herramienta de análisis. De hecho se aplica a situaciones tales como: • Entrada y Salida de aviones en un aeropuerto. • Carga y Descarga de buques. • Atención al público por ventanillas o en cajas de supermercados. • Reparación de equipos en un taller. • Estación Terminal de ómnibus. • El número de camas que debe tener un determinado servicio en pabellón de un hospital. Y muchos ejemplos más, en los cuales un individuo que requiere un servicio tiene que consumir parte de su tiempo disponible esperando ser atendido. A su vez, los clientes pueden llegar y/o ser atendidos individualmente o por grupos. Y tanto el servidor como el cliente pueden o no ser seres humanos. El fenómeno de la espera es el resultado de la aleatoriedad en la operación de las instalaciones de servicio. Los objetivos que persiguen la teoría de Colas o Líneas de Espera se los puede sintetizar en los siguientes dos aspectos: • Caracterizar cualitativa y cuantitativamente una cola. • Determinar los valores adecuados de ciertos parámetros de manera de compatibilizar el costo social de la espera con el costo asociado al consumo de recursos. O sea, minimizar el costo de espera de un cliente y optimizar el sistema de atención de manera de reducir la capacidad ociosa en los canales de servicio. Los componentes que caracterizan a estos Sistemas son el patrón de llegada de los clientes (tasa de llegada), el patrón de servicio (tasa de servicio), el número de servidores, la capacidad del Sistema y el orden a que se atienden los clientes. Si bien existen diversos modelos de espera, según se definan los distintos componentes que lo caracterizan, todos responden a una estructura básica similar a la siguiente: Entrada COLA DESPACHO O CANAL DE SERVICIO Salida Al estudiar sistema de este tipo, se trata de determinar parámetros del modelo tal que se logre un equilibrio entre el costo de operar el sistema y el costo asociado a la espera. Cuando el número de servidores aumenta, el costo del sistema también lo hace, mientras que a la vez disminuye el costo de espera. Como el costo total está dado por la suma de ambas componentes, se busca un número óptimo tal que el costo total sea mínimo. 1 por lo que atención se distribuye exponencialmente con una media de un cliente cada 4 minutos. En general. La probabilidad de que se forme cola. Se pide determinar: a. La longitud promedio de la cola. El tiempo en que se atiende a un cliente responde a una distribución negativa con una media de un cliente cada 4 minutos. lo que Como se observa. Para el ejercicio propuesto se tiene que la tasa de llegadas sigue una distribución de cliente λ = 10 hora . Desarrollo. o sea. La tasa de Poisson con una media de 10 clientes por hora. se desarrollan las cuestiones solicitadas en el ejercicio mediante la aplicación de las correspondientes fórmulas. por 1 cliente µ= 4 min . Para el ejemplo se elegirá trabajar en minutos. c.Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías. d. por lo que se debe elegir con cuál unidad se trabajará y convertir la otra a la misma. como por ejemplo. para resolver cualquier ejercicio perteneciente a la teoría de Colas. Para calcular la longitud esperada de la cola. por 10 cliente λ= 60 min lo que De esta forma: La probabilidad de que se forme cola es igual a: 2 1 4 2 2 1 − ( P0 (t ) + P1 (t )) = 1 − ((1 − ρ ) + ρ (1 − ρ ) ) = 1 − 1 − ρ + ρ − ρ ) = 1 − 1 + ρ = 6 = = 0. las unidades de tiempo utilizadas para definir la tasa de llegada de clientes y la tasa de atención son distintas. la tasa media de atención y el número de servidores. La probabilidad de que un cliente permanezca más de 12 minutos en el negocio. en primer lugar debemos determinar algunos valores que caracterizan al sistema. La llegada de clientes responde a una distribución de Poisson con una tasa media de 10 clientes por hora. A continuación.UNSE Carrera: Licenciatura en Sistemas de Información Asignatura: Investigación Operativa II Año 2011 EJERCICIO RESUELTO Una pastelería es atendida por su propio dueño. El número de servidores es tan sólo uno.444 1 9 4 ( ) Por lo que la probabilidad de que se forme cola es de 44. la tasa media de llegadas.4 %. la cantidad esperada de personas en la cola debemos determinar L. El tiempo de espera en la cola. pues este parámetro justamente nos indica lo que buscamos: 2 1 1 4 λ2 6 L= = = 36 = µ (µ − λ ) 1 1 1 1 3 − 4 4 6 48 2 . b. Por último. y los clientes llegan a una tasa de 20 por hora. ¿cuántas cartas diarias se espera que ella escriba? 3 .UNSE Carrera: Licenciatura en Sistemas de Información Asignatura: Investigación Operativa II Año 2011 Por lo que se espera que en la cola siempre se encuentren esperando (esperanza) aproximadamente dos personas. con media de dos minutos. Realmente este tiempo varía y está distribuido exponencialmente. Parece que el número de clientes que solicitan ajustes.Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías. los clientes siempre esperan hasta ser atendidos. ¿Después de llegar cuánto tiempo gasta un cliente esperando en la línea y en ser atendido? c. La ventanilla de un banco tiene un tiempo medio de servicio de 2 minutos. la probabilidad de que un cliente permanezca más de 12 minutos en el negocio viene dado por el siguiente cálculo: P(TW > 12) = e 1 2 − (1− )12 4 3 = e −1 = 0. Los ajustes se realizan se realizan con un orden del tipo primero en llegar. primero en atenderse y dado que las modificaciones son sin costo.37 Por lo que. Lo que debemos encontrar en el ítem c) es cuál es el tiempo que se espera tenga que esperar para ser atendido la última persona que entra a la cola. pues éste nos proporciona la respuesta a nuestro interrogante: 1 1 λ 6 TS = = = 6 = 8 min µ (µ − λ ) 1 1 1 1 − 4 4 6 48 Del cálculo realizado. La “Sección Caballeros” de una importante tienda tiene a un sastre para ajustes a la medida. PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1. Suponiendo que los clientes representan tasas con una distribución de Poisson: a. ¿Qué porcentaje del tiempo estará ocioso el cajero? b. sigue una distribución de Poisson con una tasa media de llegadas de 24 por hora. la probabilidad de que espere más de 12 minutos es de un 37%. Aparentemente el tiempo que toma realizar el ajuste para un cliente se distribuye exponencialmente. Para ello debemos calcular TS. Si ella necesita el 40% de su tiempo para otras actividades. ¿Qué fracción de clientes debe esperar en la línea? Problema 2. a) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la sala de ajustes? b) ¿Cuánto tiempo de permanencia en la sala de ajuste debería planear un cliente? c) ¿Qué porcentaje del tiempo permanece ocioso el sastre? d) ¿cuál es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre mas de 10 minutos? Problema 3. Una mecanógrafa copia una carta en un tiempo promedio de 8 minutos. se tiene que el tiempo promedio de espera de un cliente en la cola para ser atendido es de 8 minutos. determine: a. Encuentre los parámetros que describen cuantitativamente a este surtidor. Se pide: a. b) Responda el cuestionario que figura en la misma página Web. Determine el costo diario por la espera de la empresa de autobús que hace 6 recorridos completos diarios por la zona.UNSE Carrera: Licenciatura en Sistemas de Información Asignatura: Investigación Operativa II Año 2011 Problema 4. La única ventanilla de atención al público recibe gente de acuerdo a una distribución de Poisson. Se proporciona servicio a 22 personas/hora. ¿cuál es el tiempo medio entre llegadas (de aterrizaje o despegue) para asegurar que el tiempo promedio de espera sea 5 minutos o menos? (Suponer una distribución exponencial del tiempo entre llegadas) Problema 5. Problema 7. Sólo se da el servicio en este surtidor de uno por vez y en el orden de llegada. en promedio. Problema 6. ¿cual es la probabilidad de que exista una cola de 10 personas a la tercera hora de operación. encuentre 3 vehículos en el sistema. Suponiendo que dicha ventanilla esté vacía en el tiempo t = 0. una para súper y una para gasoil. mientras que el servicio muestra una distribución exponencial. El tiempo promedio (valor esperado) para retirarse servido por la refinería. siendo esta una variable aleatoria distribuida exponencialmente. 4 . e. 4 para nafta común. b. Las compañías de camiones se quejan de que algunas veces deben esperar en la línea y perder dinero por mantener esperando al conductor y al camión. El valor esperado de camiones haciendo cola. El promedio de llegada al surtidor de gasoil es de 5 autobuses por hora. Visite el grupo yahoo “iounse_catedra”. encontrará un link al archivo “Complemento Teoría de Colas. d. La probabilidad de que al llegar un camión. a continuación del video. dado que hubo una cola de 5 personas a los 60 minutos de estar operando? Problema 8.Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías. La probabilidad de que al llegar un camión a la terminal de carga. luego de ver atentamente el video inserto en él: a) Mencione las características de los distintos tipos de sistemas de Cola-Servidor que se muestran en el video y ejemplifique cada uno de ellos. El valor esperado del tiempo de espera de un camión.2011” donde deberá realizar las siguientes consignas. Un aeropuerto puede atender tres aviones en dos minutos ya sea que despeguen o que aterricen. a razón de 20 personas/hora. La estación tiene 6 mangueras surtidoras. Si esta tasa tiene una distribución de Poisson. La llegada de autobuses que cargan gasoil muestra una distribución que se aproxima a la de Poisson. c. f. Solicitando a la refinería disponer de una segunda Terminal de carga para disminuir la espera. Se informa que el costo mensual de operación del autobús haciende a mil pesos y opera 22 días por mes con 18 hs/día. encuentre la terminal desocupada. Se conoce que la tasa de llegada (para todos los camiones) es de 2/hora y la tasa de servicio es de 3/hora que corresponden a una distribución de Poisson y Exponencial respectivamente. en la carpeta trabajos prácticos 2011. b. mientras que los servicios promedios en ese surtidor son 7 por hora. 40. La probabilidad de que la espera total en la cola sea mayor a 30 minutos. llenando el tanque cada 3 recorridos. Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se cargan en la Terminal de carga. PetroMex estudia el funcionamiento de una estación surtidora de combustibles ubicada en la Ruta Nac.