Teoria Da Plasticidade

March 31, 2018 | Author: elisabetedsf | Category: Stress (Mechanics), Yield (Engineering), Building Engineering, Continuum Mechanics, Solid Mechanics
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R. M. Natal Jorge L. M. J. S.Dinis Teoria da Plasticidade Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Faculdade de Engenharia Universidade do Porto (2004/2005) Teoria da Plasticidade 1 Teoria da Plasticidade 1. Introdução Na generalidade dos projectos de componentes estruturais, admite-se que as solicitações impostas conduzem a um comportamento elástico dos materiais que os constituem. No entanto, em determinadas situações, como por exemplo, motivos de segurança, é necessário prever o comportamento dos componentes perante o aparecimento de deformações com características plásticas. Por outro lado, a simulação dos processos tecnológicos de fabrico, como por exemplo a estampagem ou o forjamento por injecção, envolvem inevitavelmente deformações plásticas nas peças a enformar. Para os materiais utilizados normalmente na construção mecânica, e à temperatura ambiente, é possível analisar o seu comportamento recorrendo à teoria matemática da plasticidade [6][18][19][22][28][36], pois, de uma forma geral, as deformações plásticas envolvidas podem-se considerar independentes do tempo. No presente texto apresenta-se, de um ponto de vista genérico, os conceitos fundamentais do modelo elasto-plástico: critério de cedência, regras de encruamento e de escoamento plástico e, leis constitutivas. Teoria da Plasticidade 2 2. Problemas Uniaxiais Tomando a tensão aplicada σ e a deformação ε, para um comportamento que se possa identificar com o comportamento plástico, podem-se fazer as seguintes distinções: i) Comportamento linear elástico: σ σ σ ε Fig. 1-Modelo linear elástico. ii) Comportamento rígido-perfeitamente plástico: σ σ atrito σ ε Fig. 2-Modelo rígido-perfeitamente plástico. 3-Modelo rígido-plástico com encruamento linear. iv) Comportamento elástico-perfeitamente plástico: σ σ atrito σ ε Fig. .Teoria da Plasticidade 3 iii) Comportamento rígido-plástico com encruamento linear: σ σ atrito ε Fig. v) Comportamento elásto-plástico com encruamento linear: σ atrito σ ε Fig. 4-Modelo elástico-perfeitamente plástico. 5-Modelo elásto-plástico com endurecimento linear. a força uniaxial (compressão ou tracção) a que corresponde um estado de tensão coincidente com a tensão de cedência obtida no ensaio de tracção. Admita-se ainda que. y 45 1 2 45 3 L x. e a carga de rotura. ∆2 Fig. cujo módulo de elasticidade vale E. A. uma vez atingida a tensão de cedência o material pode deformar-se infinitamente mantendo-se contudo o estado de tensão constante. Pretende-se determinar qual o valor da carga de rotura da estrutura.Teoria da Plasticidade 4 Como exemplo de aplicação. . Pr. 6-Estrutura articulada. apresentam igual secção. isto é. Considere-se que as três barras são constituídas do mesmo material. em função de Pc. considere-se uma estrutura articulada hiperestática representada na figura seguinte. EiAi/Li×cosθi EiAi/Li×cosθi×senθi EiAi/Li ×(cosθi)2 cosθi Li y θi x Fig. ∆1 P. 7-Esforços normais numa barra. é Pc. pode-se recorrer ao método dos deslocamentos [15]. Considerando os graus de liberdade assinalados na figura. tem-se os seguintes coeficientes de rigidez para a estrutura: K11 = K 21 = ∑ i =1 3 Ei Ai × cos 2 θ i Li ∑ i =1 3 Ei Ai × cos θ i × senθ i = K12 Li (1) K 22 = ∑ i =1 3 Ei Ai × sen 2θ i Li ou explicitando: K11 ⎛ cos 2 45o cos 2 90o cos 2 135o ⎞ 2 EA = EA ⎜ + + ⎟ = L2 L3 2 L ⎝ L1 ⎠ ⎛ sen45o × cos 45o sen90o × cos 90o sen135o × cos135o ⎞ + + K 21 = K12 = EA ⎜ ⎟ = 0 L1 L2 L3 ⎝ ⎠ (2) ⎛ ⎛ sen 2 45o sen 2 90o sen 2 135o ⎞ 2 ⎞ EA K 22 = EA ⎜ 1 + + + ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ L2 L3 2 ⎟ ⎝ L1 ⎠ ⎝ ⎠ L O estabelecimento das equações de equilíbrio segundo os respectivos graus de liberdade permite determinar as componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força exterior. o que permitirá determinar quais os esforços normais suportados por cada barra. Para o efeito.Teoria da Plasticidade 5 Numa primeira fase estabelece-se um cálculo linear elástico. a uma variação de comprimento cosθi. 7). ∆1 e ∆2. P: ⎡ 2 ⎢ EA ⎢ 2 L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎧u ⎫ = ⎧ 0 ⎫ ⇒ ⎧u ⎫ = L × 1 ⎧ 0 ⎫ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 2⎞ ⎨ ⎬ ⎛ P⎭ v⎭ P EA ⎛ 2 ⎞⎥ ⎩v ⎭ 1+ ⎜ ⎟ ⎩ ⎩ ⎜ ⎟⎩ ⎭ 2 1 + ⎝ ⎠ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ 0 (3) O esforço normal em cada uma das barras pode ser calculado por: Fi = Ai Ei AE cos θ i × u + i i senθ i × v Li Li (4) Para o conjunto das três barras tem-se: . em que numa dada barra i. corresponde um esforço normal EiAi/Li×cosθi (ver Fig. v′: v′ = Pc L L L × ⎛ P′2 ⎞ = × ⎛ 12 ⎞ × = Pc EA ⎜ EA ⎜ 2 − 2 EA ⎜ 1+ 2 ⎟ ⎟ ⎜1+ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (8) Devido à simetria do problema.Teoria da Plasticidade 6 ⎡ cos θ1 ⎢ ⎢ L1 F ⎧ 1⎫ ⎢ cos θ 2 ⎪ ⎪ ⎨ F2 ⎬ = AE ⎢ ⎢ L2 ⎪F ⎪ ⎩ 3⎭ ⎢ cos θ 3 ⎢ ⎢ ⎣ L3 senθ1 ⎤ ⎥ L1 ⎥ senθ 2 ⎥ ⎧u ⎫ ⎥×⎨ ⎬ L2 ⎥ ⎩ v ⎭ senθ 3 ⎥ ⎥ L3 ⎥ ⎦ (5) ou. permitem concluir que a barra 2 é a que suporta um maior esforço normal. L2=L e L1=L3= 2 L / 2 . as duas restantes barras atingirão em simultâneo a carga de cedência. o que ocorrerá quando a força P atingir um valor P″. Com base neste raciocínio é possível determinar o valor da força P (P′) que leva a que a primeira barra da estrutura (barra 2) atinja a carga de cedência: F2 = Pc = 2 − 2 P ( ) → P′ = Pc 2− 2 (7) a que corresponde um deslocamento vertical no nó de aplicação da força. que apenas são válidos enquanto todas as barras "funcionarem" no domínio linear elástico. Para o cálculo deste valor pode-se recorrer ao equilíbrio vertical do nó de aplicação da força. ⎡ ⎧ F1 ⎫ ⎢ AE ⎪ ⎪ ⎨ F2 ⎬ = L ⎢ ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 3⎭ ⎣ 2 2 cos 45 cos 90 2 2 cos135 ⎧2 − 2 ⎫ ⎪ ⎪ 2 ⎤ 2 ⎪ 2 sen45 ⎪ ⎥ L ⎧0⎫ ⎪ ⎪ × ⎛ 12 ⎞ ⎨ ⎬ = ⎨ 2 − 2 ⎬× P sen90 ⎥ × P ⎜ 1+ 2 ⎟ ⎟⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎥ EA ⎜ 2 ⎝ ⎠ 2 sen135 ⎦ ⎪2 − 2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎭ (6) Os esforços calculados. atendendo à relação entre comprimentos. num processo de carregamento incremental será a primeira a atingir a carga correspondente à tensão de cedência. . pelo que. Pc. ∆2 Fig. 8-Estrutura articulada para P>P′. ∆1 P∈[P′.Pr[. y 45 1 Pc 45 3 L x. resulta: Pr = (1 + 2 × cos 45 ) Pc = 1 + 2 Pc ( ) (10) Para forças exteriores em que se verifique P ∈ [P′. A equação de equilíbrio vertical permite escrever: P (≡Pr) ∑F v i = 0 → Pc + F1 cos 45 + F3 cos 45 − P = 0 (9) Fazendo coincidir F1=F3≡Pc e P≡Pr. As componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força tomam os seguintes valores: ⎡ 2 EA ⎢ ⎢ 2 L ⎢ ⎢ 0 ⎣ ⎤ 0 ⎥ ⎧ 0 ⎫ ⎧u ⎫ ⎧u ⎫ L 2 ⎧ 0 ⎫ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ × ⎬ ⇒ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ EA 2 ⎩ P − Pc ⎭ 2 ⎥ ⎩v ⎭ ⎩v ⎭ ⎩ P − Pc ⎭ ⎥ 2 ⎦ (11) . mas considerando apenas as duas barras que se encontram em regime elástico. o cálculo dos deslocamentos nodais faz-se de modo semelhante.Teoria da Plasticidade 7 Pc F1 F3 A carga de rotura é atingida quando os esforços normais F1 e F3 igualarem a carga de cedência.Pr[. 10. P ×Pc 1+ 2 1 1+ 2 1 2 ×LPc/EA v Fig. designando-se provete. P ≡ Pr = (1 + 2) Pc . Para a realização do ensaio o corpo sólido tem dimensões normalizadas. 9-Gráfico carga-deslocamento vertical. 3. Limite de Proporcionalidade. o gráfico tensãodeformação pode tomar o aspecto representado na Fig. 9. O provete é então submetido a um carregamento uniaxial o que provoca a sua deformação. Pode-se agora traçar o gráfico carga-deslocamento. um dos ensaios mecânicos mais importantes.1.Teoria da Plasticidade 8 Pelo que. A aplicação de uma força num corpo sólido promove uma deformação do material na direcção dessa força. Limite Elástico e Tensão de Cedência A facilidade de execução e a reprodutividade dos resultados tornam o ensaio de tracção. . consistindo o ensaio de tracção em submeter ao corpo sólido uma força que tende a alongá-lo. o deslocamento vertical segundo o grau de liberdade ∆2 toma o valor: vr = 2 Pc L / EA . Para uma liga metálica. que se encontra representado na Fig. Observações Experimentais: O Ensaio de Tracção 3. para uma força exterior de. seguido de uma ligeira quebra.Teoria da Plasticidade 9 σ P B A tensão limite elástico tensão limite proporcionalidade O ε p εe ε Fig. correspondendo-lhe a tensão. Outros metais apresentam no entanto uma curva ligeiramente distinta da anterior (Fig. Seguidamente. o fenómeno associado à ausência de deformações pós carregamento. o limite elástico de comportamento do material ocorre no ponto B. 11). 10-Gráfico tensão-deformação de uma liga metálica. Esta região . verifica-se um aumento da deformação. 11-Gráfico tensão-deformação de um aço de baixo teor em carbono [13]. De facto. No ponto A atinge-se o limite do comportamento linear. mas que não é acompanhado por variação na tensão. conhecida como tensão limite elástico. Entendendo-se como comportamento elástico. a partir do qual não é. σ limite superior da tensão de cedência patamar de cedência O ε Fig. alguns metais. tensão limite superior da tensão de cedência. aplicável a lei de Hooke como lei constitutiva. regra geral. sendo a tensão correspondente designada por tensão limite de proporcionalidade. apresentam um valor de tensão. 12) não é exactamente linear e paralela à porção elástica inicial da curva. é normalmente muito reduzida. retomando a curva inicial em A″. Histerese e Encruamento Na região plástica. Devido à dificuldade existente em distinguir no ensaio todos estes parâmetros. a parcela da curva AB no gráfico da Fig. 10 é. Regra geral. No carregamento seguinte (curva A′A″) observa-se que a curva não coincide com a curva de descarga. Este fenómeno é conhecido por histerese [6] não sendo considerado no modelo descrito no presente texto. designando-se o fenómeno. pelo que se refere apenas tensão de cedência. normalmente apenas se refere a tensão de cedência como a tensão necessária para provocar uma deformação plástica de 0. também a diferença entre o valor da tensão limite superior da tensão de cedência e o patamar de cedência. 12-Gráfico tensão-deformação com descarregamento e carregamento. .2%. Por outro lado. Nos metais mais correntes. isto é. Posteriormente. em geral. ou tensão de escoamento. o valor da tensão retoma uma variação crescente. σ Y0 . muito reduzida. e diz-se que houve um encruamento do material. σ A A″ O A′ ε Fig.2. a curva tensão-deformação de descarregamento pós deformação plástica (AA′ do gráfico da Fig.Teoria da Plasticidade 10 do gráfico é conhecida como patamar de cedência. o incremento de deformação plástica é acompanhado de um incremento de tensão. sendo por isso frequente não distinguir entre tensão limite elástico e tensão limite de proporcionalidade. quando o nível de carregamento corresponde a um valor para a tensão superior à tensão de cedência. como encruamento (endurecimento por deformação) do material. 3. 4. . neste ponto (D) o carregamento é totalmente retirado. para a tensão de cedência à T C T C tracção ( σ Y0 ) e compressão ( σ Y0 ) não coincidem. portanto para além do ponto representativo da tensão de cedência ( σ Y0 ).Teoria da Plasticidade 11 3. permanecendo uma deformação plástica (ponto G). atingindo-se o ponto D′. 3. verificando-se σ Y0 > σ Y0 . na respectiva curva tensão-deformação se atinja o ponto D (ver T Fig. Efeito de Bauschinger Considere-se o seguinte ciclo de carregamento: o provete é submetido a um esforço de tracção de modo a que. Efeito do Tempo Geralmente. σ T σ Y0 D O C σ Y0 G ε D′ Fig. agora de compressão. 13). verificando-se a necessidade de um certo intervalo de tempo para que a deformação plástica atinja o seu valor final (real). os valores em módulo. 13-Efeito de Bauschinger. a deformação permanente é dependente do tempo.3. Esta dependência da tensão de cedência com o sentido de carregamento é conhecida como efeito de Bauschinger [9]. seguidamente aplica-se um esforço. Como se esquematiza na figura. Realizando-se vários testes para níveis de tensão diferente obtém-se a curva OP′. Na Fig. Quando o ponto A′ é atingido a taxa de deformação é aproximadamente nula. segue o percurso ABC. entre o ponto A e o ponto A′ a taxa de deformação sofreu uma variação. e portanto numa situação dinâmica. e em que apenas. O descarregamento realizado a partir do ponto A na curva de equilíbrio dinâmico. & ε p O t Fig. mantendo-se contudo o mesmo nível de tensão. verifica-se que o estado de deformação tende. 14 representa-se um gráfico tensão-deformação com duas curvas obtidas em dois ensaios de tracção realizados a velocidades diferentes. . que a taxa de deformação com que se realiza o ensaio de tracção conduz a diferentes curvas tensão-deformação. do ponto B para C se verifica uma variação linear. com o tempo. A curva OP é obtida num ensaio realizado com uma taxa de deformação superior à taxa aplicada no ensaio referente à curva OP′. cuja lei pode seguir a curva do gráfico da Fig. enquanto a curva OP é designada por curva de tensão-deformação dinâmica. 15. observando-se uma deformação plástica entre A e B. denominada curva quase-estática de tensão-deformação.Teoria da Plasticidade 12 σ A A′ P P′ B O C ε Fig. se se parar no ponto A. Conclui-se assim. 14-Curvas tensão-deformação em equilíbrio dinâmico e quase-estático. sendo feito com uma velocidade finita. para o ponto A′. Outra observação importante que se verifica nestes testes. 15-Variação da taxa de deformação com o tempo. isto é. realizando-se o ensaio a uma taxa de deformação finita. é que. Quadro II Metal Temperatura (ºC) 18 Alumínio 350 550 18 Cobre 450 900 Aço 930 1200 Valores de r para as seguintes reduções em altura 10% 0. Quadro I Metal Alumínio Cobre Valores de r para as seguintes reduções em altura 10% 0. .116 30% 0. No quadro seguinte apresentam-se vários valores de r para um ensaio de compressão realizado à temperatura ambiente [21].002 0. Humidade e Temperatura O expoente r.010 3.105 0.196 Os ensaios experimentais realizados com materiais dúcteis e submetidos a diferentes pressões hidrostáticas mostraram que o valor obtido para a tensão de cedência destes materiais não é afectado com a variação da pressão hidrostática.141 0. de modo a quantificar a dependência da deformação plástica com a taxa de deformação é ainda função da temperatura. a dependência da deformação plástica com a taxa de deformação & r .073 0.018 0.088 0. definido anteriormente.001 30% 0.141 50% 0.031 0.013 0.190 0.001 0.5. em que o expoente r depende da pode ser razoavelmente quantificada por [24] ε deformação plástica e da temperatura.008 0.020 0.002 50% 0.094 0. como se mostra no quadro seguinte [21].Teoria da Plasticidade 13 Em certos metais.155 0.088 0.134 0. Efeito da Pressão.001 0.130 0.055 0.013 0.020 0.018 0. verificando-se contudo que a deformação na fractura aumenta com a pressão hidrostática [6].154 0.010 0. O fenómeno acabado de descrever é conhecido por fluência (creep) [22] e para certos materiais pode até ser verificado à temperatura ambiente. Na curva de fluência típica (a traço interrompido) é possível distinguir três estágios correspondentes a: fluência primária. εc curva de fluência para elevada temperatura e tensão fluência terciária fluência secundária fluência primária curva de fluência a baixa temperatura e tensão O t Fig. 17 [24]. 16 em que. verificandose um valor limite. maior será o alongamento verificado. 16-Definição de Fluência. Quanto maior for o tempo de permanência da tensão constante.Teoria da Plasticidade 14 Considere-se a curva tensão-extensão representada no gráfico da Fig. a carga é mantida constante. quando se atinge o ponto A da curva localizado na região plástica. Observa-se que a deformação aumenta de A para B e o seu valor depende do tempo de permanência da tensão constante. σ A B′ B O ε Fig. 17-Curvas de fluência típicas para os metais. obtém-se tipicamente para os metais uma das curvas representadas na Fig. Considerando a extensão de fluência ( ε c ) como a extensão total menos a inicial (em que se aplicou a tensão). secundária e terciária. Para elevadas temperaturas e tensões a fluência primária mostra uma dependência logarítmica ou potencial de acordo com uma das seguintes leis [24]: . Para baixas temperaturas e tensões apenas é visível o estagio de fluência primário. verificando-se que a expressão de Nadai (13) descreve esta mesma lei tomando n=0 e r=1/q. a fluência descrita pela lei da potência pode ser obtida a partir duma fórmula que relaciona a tensão. eventualmente. ⎪ & ε = ⎨⎛ σ Y0 ⎞ σ ⎪⎜1 − σ ⎟ η . e ε 0c é um valor fictício definido pela intercepção da recta tangente à curva de fluência num ponto pertencente à zona em que a taxa de fluência é estacionária. ou. σ < σ Y0 ⎠ ⎩⎝ (16) . para um estado de tensão reduzido.2) em que α toma valores entre 0 e 1. a relação da temperatura com essa taxa de fluência segue uma lei análoga à expressão de Arrhenius para a taxa de deformação. para um metal submetido a elevadas temperaturas e tensões pode-se considerar como característica desse metal a taxa de fluência mínima. pode ser aproximada por uma lei exponencial para um elevado estado de tensão. por uma função potencial do tipo: c &min (14) ε ∝σq Esta relação é normalmente conhecida pela lei de Bailey-Norton [24]. Por outro lado. para muitos materiais e a diferentes temperaturas. que se analisará adiante. Um modelo simples que descreve este efeito é o modelo de Bingham: σ < σ Y0 ⎧0. n e r dependem da temperatura. de rotura. para uma dada temperatura. Uma aproximação utilizada para o cálculo da deformação de fluência como função do tempo e para uma dada temperatura é a seguinte: c c &min (15) ε c (t ) = ε0 +ε t c &min em que ε é a taxa de fluência mínima. Todavia.1) (12. Segundo Lubliner [24]. a deformação de fluência ( ε c ) e a taxa de & c ): deformação de fluência ( ε n r (13) &c ) σ = C (ε c ) (ε em que C. Para um determinado estado de tensão. Segundo Nadai [29].Teoria da Plasticidade 15 ε c ∝ ln(t ) ε c ∝ tα (12. designando-se por lei de fluência de Andrade para α=1/3. a dependência dessa taxa de fluência mínima. A fluência terciária é normalmente considerada como resultante de modificações ao nível estrutural acompanhada de perda de resistência e. a deformação inelástica é insignificante quando o nível de tensão é inferior à tensão de cedência. 18). expresso como uma função da temperatura. quer para as constantes elásticas. De um modo geral. ε efectiva. pode-se escrever: & . é a tensão efectiva.T . σ T ε Fig. 3.ε & é a taxa de deformação em que σ . também é referida como a tensão efectiva ou tensão equivalente representando um estado triaxial de tensões. Deve-se ainda observar que o modelo de Bingham acabado de descrever representa de facto o modelo mais simples apresentado pela teoria da viscoplasticidade. dos obtidos à temperatura ambiente. ϖ reflecte a estrutura metalúrgica do material.6. verifica-se um decréscimo da tensão de cedência com o aumento da temperatura [6] (Fig. quer para as propriedades de resistência.ϖ ) (17) σ = f (ε . Uma das . Existem de facto algumas expressões cujo objectivo é determinar a influência que cada um dos termos atrás referidos provoca no valor da tensão de cedência. 18-Dependência da tensão de cedência com a temperatura [24]. Assim.Teoria da Plasticidade 16 em que η representa a viscosidade do metal e σ representa o estado de tensão instalado. T é a temperatura e. Genericamente. do estado de deformação. Por exemplo. para os metais. Os trabalhos experimentais demonstraram que nos ensaios de tracção realizados a temperaturas superiores à temperatura ambiente se obtêm valores diferentes. os aços ao carbono revelam um aumento da resistência à tracção para temperaturas até 300ºC a partir da qual a resistência à tracção desce cerca de 50% até temperaturas da ordem de 500 a 600ºC. ε é a deformação efectiva. da taxa de deformação e da microestrutura. Combinação de Efeitos Para os metais. a tensão de escoamento é simplesmente a tensão de cedência para o estado uniaxial de tensão. Por exemplo.001) ε (22) em que α0 é uma função dependente da deformação efectiva.Teoria da Plasticidade 17 funções. enquanto os restantes parâmetros são funções com a seguinte forma: KT = A1 exp ( −m1T ) (20.104 (21) Existem ainda outras expressões que tentam combinar os vários efeitos que os diferentes parâmetros possam provocar nas características de resistência. Q representa uma energia de activação do escoamento plástico. m e n são funções não lineares dependentes da temperatura.2) (20. como por exemplo a expressão de ALSPEN. 647 m2 = 0. Outra função para a tensão de cedência e que. permitindo analisar a influência da temperatura e da taxa de deformação em simultâneo: & × exp Z = ε ( Q R (T + 273) ) (18) em que Z é o parâmetro de Zener-Hollomon. R é a constante de Boltzmann (8. que é adequada para as ligas de alumínio [12]: n &m σ = c (α 0 + 0.3) Kε = A2ε m2 & m3 Kε& = A3ε Os parâmetros Ai e mi diferem de acordo com o tipo de metal. para o aço inoxidável tomam os seguintes valores [17]: A1 = 17. contrariamente à de Sellars-Tegart. 00284 A2 = 1. . 07 m1 = 0. 217 A3 = 0. através da deformação efectiva ε . e que foram estabelecidas para um determinado tipo de metais. é a seguinte [37][38]: (19) σ = K f0 KT Kε Kε& em que K f0 é um coeficiente que depende do metal. normalmente independente da temperatura e em muitos casos independente do estado de deformação. baseada na equação de Arrhenius [24]. tem em consideração o estado de deformação. foi proposta por Sellars-Tegart [23][37]. 789 m3 = 0.1) (20. tomando por exemplo para o aço inoxidável valores compreendidos entre 153 e 303.314 J/molºK) e T é a temperatura em ºC. e os coeficientes c. Na Fig. com carregamento e . a partir de um determinado nível de tensão. Lei da Decomposição O comportamento elasto-plástico é caracterizado por uma resposta do material.Teoria da Plasticidade 18 4. por um comportamento essencialmente plástico. εp ε c) Fig. 19(a) apresenta-se o comportamento típico. inicialmente elástica e. O comportamento plástico do material é geralmente acompanhado por uma invariância do seu volume. σ σ σY σ Y0 σ Y = f (ε ) σ Y0 σ = σ Y0 εp σ ε a) εp σ Y = f (ε p ) ε b) σY σ Y0 a) carregamento/descarregamento. c) modelo elasto-plástico com endurecimento. 19-Comportamento elasto-plástico obtido num ensaio de tracção. b) modelo elasto-perfeitamente plástico. obtido com um provete de material plástico e submetido a um teste uniaxial de tracção. denomina-se critério de cedência.σ Y0 ). 19(b)) e elasto-plástico com endurecimento (Fig. Na figura. O modo como se estabelece esse valor da tensão aplicada. a tensão de cedência corresponde ao atrito entre as placas. No modelo da figura. manter-se constante com o aumento de deformação. Se. a extensão causada pelo carregamento é elástica até um determinado ponto. Na Fig. Atingida a tensão de cedência. de modo a compará-lo com a tensão de cedência. ou não. O comportamento do material. diz-se que o material está a sofrer um encruamento. Aplica-se uma força (tensão σ). . o comportamento linear elástico é caracterizado pela constante elástica da mola E traduzindo-se matematicamente pela expressão: σ = E × ε e = E (ε − ε p ) (25) A deformação plástica inicia-se quando a tensão aplicada atinge o valor da tensão de cedência ( σ Y0 ). Se esse valor não depender do aumento da extensão plástica. após o qual. cujo resultado pode ser aferido pela extensão causada: ε= ∆l l0 (23) que comporta uma componente elástica e. 20 mostra-se o modelo reológico unidimensional. 20-Modelo reológico elasto-plástico. dizse que o material tem um comportamento perfeitamente plástico. este valor pode. que provoca um alongamento do modelo (∆l). 19(c)). aumentar com o crescimento da extensão plástica. denominado limite elástico (e a tensão que o provoca: tensão limite elástico ou tensão de cedência . isto é. Os modelos normalmente utilizados simulam o comportamento elastoperfeitamente plástico (Fig. o valor da tensão de cedência. pelo contrário.Teoria da Plasticidade 19 descarregamento. o material apresenta deformação plástica. uma componente plástica: ε =ε e + ε p E (24) σ (1 + ε e ) L1 σ Y0 atrito σ (1 + ε p ) L2 Fig. 0. 21. Considere-se a barra representada na Fig. Na segunda fase aplica-se um segundo esforço normal de tracção passando a partícula a ocupar a posição 3 X = 2 X + ∆u = 1 X + 2 u . e ∇ s u a sua parte simétrica. Numa primeira fase o esforço normal de tracção provoca uma extensão longitudinal da barra passando a referida partícula a possuir a abcissa 2 X = 1 X + 1 u . j (26. tem-se o tensor das extensões definido do seguinte modo: ε = ∇ su = 1 2 ( ∇u + ( ∇u ) ) T i. Para o processo referente à primeira fase da deformação. aplica-se sobre a outra extremidade um esforço normal de tracção. e sobre a qual se tem como ponto de referência. Mantendo-se a extremidade esquerda fixa.1) (26. enquanto a extremidade esquerda coincide com a origem do referencial. cujo eixo axial coincide com o eixo X=(1. e considerando apenas a sua componente não nula. De acordo com a teoria da elasticidade para as pequenas deformações. a partícula com a abcissa 1 X . vem: ′= F1. o gradiente de deformação.1 X 1 X + 1u u = =1 + 1 1X 1X 1X 2 (27) .0).Teoria da Plasticidade 20 Nas formulações elasto-plásticas contidas neste texto. Por facilidade de exposição considera-se apenas as variáveis (e suas derivadas) relativas ao eixo coincidente com eixo axial da barra.2) ε ij = 1 2 (u + u j . 21-Lei da decomposição. pelo que sofreu um deslocamento na direcção axial de 1 u . pelo que o ponto material sofreu um deslocamento ∆u.i ) em que ∇u é o gradiente dos deslocamentos. considera-se apenas as pequenas deformações. X 1 1 u ∆u 2 X 2 X u 3 X Fig. a extensão em cada uma das fases é a seguinte: ε′= 2 X − 1 X 1u = 1X 1X X − 2 X ∆u = 1X 1X (32) ε ′′ = 3 (33) Adicionando as extensões de cada fase resulta: ε = ε ′ + ε ′′ = 2 X − 1 X 3 X − 2 X 3 X − 1 X 2u + = = 1X 1X 1X 1X (34) ou seja. isto é.1 3 X 2 X + ∆u ∆u = =1 + 2X 2X 2X 3 (28) Se o estado final. e considerando como configuração inicial. quando comparadas com a dimensão 1 X . . ε″.1 ′′ = F1. Deve-se notar que o cálculo da extensão.1 = F1.1 a que corresponde a extensão total: X 3X 3X × = 1X 2X 1X 2 (30) ε=3 X − 1 X 2u = 1X 1X (31) Considerando as normas dos deslocamentos 1 u e 2 u muito reduzidas. a posição do ponto em incremento. pelo que em pequenas deformações pode-se aplicar a lei da decomposição aditiva. o gradiente de deformação viria: F1. a configuração final da fase anterior. enquanto que para grandes deformações pode ser vantajoso utilizar a lei multiplicativa [31][32]. obteve-se o valor da extensão total calculado como se de uma só fase se tratasse. A multiplicação efectuada em (30) designa-se por lei da decomposição multiplicativa. só é válido para pequenas deformações. tem-se: ′′ = F1. fosse atingida com um único (29) O mesmo resultado se obtém multiplicando (27) por (28): ′ × F1.1 = X 1X 3 X . enquanto que a adição efectuada em (34) é denominada de lei da decomposição aditiva.Teoria da Plasticidade 21 Quanto à mesma componente referente à segunda fase. ter-se-á formalmente para o tensor das extensões ε . pelo que se torna conveniente estabelecer modelos matemáticos. é habitual decompor-se o tensor das extensões numa componente elástica e. comportando a deformação total. pode ser formulado do seguinte modo: F ( σ. importando agora definir o modelo matemático para a componente plástica das deformações. que na sua forma mais geral. Para um material isotrópico. F: F = FeF p Fi . as componentes elástica e plástica. numa componente plástica.b) ε = εe + ε p e ε ij = ε ij + ε ijp Assim. vindo a segunda fase a ocorrer no domínio plástico. descrevendo. a função escalar F torna-se apenas dependente de um valor escalar.Teoria da Plasticidade 22 Fazendo coincidir a primeira fase com o domínio elástico. definindo a relação entre tensão e deformação pósplastificação. O comportamento elástico é descrito pela teoria da elasticidade. se e como. 5.a) (36. em termos do tensor das tensões.ej F jp . separadamente. j = Fi . que traduzam os fenómenos físicos da elasticidade e da plasticidade. Funções de Cedência O aparecimento do comportamento plástico é condicionado por um critério de cedência. α′ ) = 0 (37) em que α′ indica um conjunto de variáveis de endurecimento e σ é o tensor das tensões. depois de se iniciar a plastificação.a) (35. e nunca das suas orientações no espaço das tensões. ii) Uma lei de encruamento. três aspectos devem ser considerados: i) Um critério de cedência indicando o nível de tensão. numa formulação elasto-plástica envolvendo pequenas deformações. Com esse objectivo. em que a cedência plástica dependa unicamente da grandeza das tensões principais. de modo a analisar-se o início da plastificação. e para o gradiente de deformação. conhecido por parâmetro de encruamento -α: .b) (36. iii) Uma regra de escoamento.i (35. o critério de cedência depende do grau de deformação plástica. Teoria da Plasticidade 23 F ( σ, α ) = f ( σ ) − σ Y (α ) = 0 (38) em que f (σ ) é a função de cedência. Esta função pode tomar várias formas analíticas com representação geométrica no espaço distintas. Tratando-se de uma função de tensão pode assumir-se como espaço para a respectiva representação geométrica, o espaço de tensões de Westergaard [3], em que três eixos mutuamente ortogonais são coincidentes com as direcções principais de tensão (ver Fig. 22). σ3 P P″ P′ O′ O σ2 f (σ ) σ1 σ1 =σ 2 =σ 3 Fig. 22-Espaço de Westergaard. Considere-se um ponto material com um estado uuur de tensão representado pelo ponto P e resultante de um incremento traduzido pelo vector OP . Este vector é decomposto num uuuu r vector com a direcção OO′ ( OP′ ), que coincide com o eixo em que as três tensões principais tomam o mesmo valor, e num outro cuja linha de acção se encontra sobre o uuuu r plano normal a OO′ ( OP′′ ). No caso de se admitir que a pressão hidrostática não tem qualquer efeito na uuuu cedência do material, esta dependerá somente da intensidade, direcção e r sentido do vector OP′′ , ou seja, das tensões de desvio. Admitindo que a função de cedência é independente do referencial escolhido então possível expressá-la em função dos três invariantes das tensões: I1 = tr ( σ ) = σ ii ndim ,é (39.1) Teoria da Plasticidade 24 I2 = I3 = 1 3 1 2 tr ( σ 2 ) = 1 2 σ ijσ ji (39.2) (39.3) tr ( σ 3 ) = 1 3 σ ijσ jk σ ki Com base em observações experimentais, é possível concluir que a deformação plástica, ou seja, a função de cedência dos metais, não depende da pressão hidrostática, p [5][22]. Consequentemente, a partir da definição das tensões de desvio, s = dev ( σ ) = σ − 1 3 tr ( σ ) I 2 (40.a) (40.b) sij = σ ij − 1 3 σ kk δ ij a função de cedência apenas depende do segundo e terceiro invariantes das tensões de desvio: J2 = J3 = 1 3 1 2 tr ( s 2 ) = 1 3 1 2 sij s ji (41.1) (41.2) tr ( s3 ) = sij s jk ski Com base nestes dois invariantes é possível estabelecer um outro, cuja interpretação geométrica se verá adiante: θ = ⎛ 3 3 × J3 ⎞ 1 sen −1 ⎜ − ⎟ ; ⎜ 23 J ⎟ 3 2 ⎠ ⎝ θ ∈ ⎢− , + ⎥ 6⎦ ⎣ 6 ⎡ π π⎤ (42) Outra forma de representação geométrica da superfície de cedência é através das projecções ortogonais dos eixos das tensões no plano normal a OO′. Na Fig. 23 encontram-se representadas duas superfícies de cedência: uma corresponde, no espaço das tensões principais, a um cilindro; outra, no mesmo espaço, corresponde a um prisma. O plano de corte dos objectos geométricos, e que coincide com o plano do papel designa-se plano do desviador. σ3 σ1 σ2 Teoria da Plasticidade 25 Fig. 23-Projecção de duas superfícies de cedência no plano do desviador. Atendendo a (38) pode-se concluir que, se num determinado ponto de um corpo material deformável, se verificar a inequação f (σ ) < σ Y (α ) , o corpo nesse ponto apresentará um comportamento elástico. Se, por outro lado, se verificar a igualdade f (σ ) = σ Y (α ) , o comportamento será plástico. Atingido este estado, o comportamento subsequente desse ponto material, será condicionado pela variação de f relativamente a σ , ⎛ ∂f ⎞ df = ⎜ ⎟ dσ + L ⎝ ∂σ ⎠ T (43) em que ∂f ∂σ é um vector normal à superfície de cedência (ver Fig. 24) encontrando-se as componentes do tensor das tensões agrupadas sob a forma de um vector ( σ ), bem como as respectivas variações ( dσ ). σ2 ∂f ∂σ ∂f ∂σ 2 ∂f ∂σ 1 σ1 Fig. 24-Condição de ortogonalidade no espaço das tensões σ1-σ2. De um modo sucinto, pode-se concluir o seguinte: ¾ Se df < 0, indica que se está perante uma situação de descarregamento elástico. O estado de tensão situa-se no interior da superfície de cedência, retomando o material, um comportamento elástico; ¾ Se df = 0, indica que o estado de tensão atingiu a superfície de cedência, o que corresponde a um regime plástico, se o material apresentar comportamento perfeitamente plástico (α constante); Dado que os mecanismos de rotura são diferentes entre gamas de materiais diferentes. α ) = σ 1 − σ Y (α ) (44) σ3 σ1 =σ 2 =σ 3 O σ2 σ1 Fig. é usual distinguir-se os materiais frágeis dos materiais dúcteis. 25-Superfície de cedência para a tensão normal máxima. não existe um critério de cedência universal para todos os materiais. não se mantendo esta constante. este critério equivale à seguinte função: F ( σ. até pela natureza do estado de tensão existente no ponto central da secção média do provete utilizado no ensaio de tracção. É o que acontece no comportamento dum material com encruamento. Em termos de função de cedência. pelo que os critérios de cedência a aplicar. foi o critério da tensão normal máxima. indica que o estado de tensão se mantém sobre a superfície de cedência. 5. Critério da Tensão Normal Máxima Um dos primeiros critérios a ser estabelecido.1. nuns e noutros.Teoria da Plasticidade 26 ¾ Se df > 0. Por exemplo nos materiais correntemente utilizados. não coincidem. Em função dos invariantes anteriormente definidos pode-se ainda escrever: . Segundo este critério a cedência ocorre quando o estado de tensão num ponto material conduz a uma tensão normal máxima que iguala o valor da tensão normal máxima verificada para o ponto de cedência no ensaio de tracção. deve-se verificar todas as condições (46) com o sinal de desigualdade. representado pela equação (ver Fig. α ) = I1 2 J 2 × sen (θ + 2 + 3 π ) − σ Y (α ) 3 3 (45) 5.3) em que Y(α) é uma função característica do material obtida com base no ensaio de tracção uniaxial. ocorre sempre que a tensão tangencial máxima atinge um determinado valor limite. e que depende da deformação plástica. no espaço das tensões principais. Π. Esta condição pode ser representada. Graficamente. em função das tensões principais. enquanto que em regime plástico se deve verificar a igualdade para uma ou duas das proposições. Num ponto material. Critério de Tresca Este critério.2) (46. 26) [35]: σ1 + σ 2 + σ 3 = 0 (47) . α. que se encontre no estado elástico de deformação.2.Teoria da Plasticidade 27 F ( σ.1) (46. admite por hipótese. Esta variação pode ser quantificada em função do parâmetro de endurecimento. cujo eixo σ 1 = σ 2 = σ 3 é perpendicular ao plano do desviador. que a deformação plástica num ponto material. as expressões (46) definem. baseado em resultados experimentais. pelas expressões: σ 1 − σ 2 ≤ σ Y (α ) = Y (α ) σ 1 − σ 3 ≤ σ Y (α ) = Y (α ) σ 2 − σ 3 ≤ σ Y (α ) = Y (α ) (46. postulado por Tresca em 1864 [44]. um prisma hexagonal regular e infinitamente longo. 3. representativo da superfície de cedência do critério de Tresca. O critério de Tresca apresenta a dificuldade no cálculo de ∂f ∂σ . α ) = (σ 1 − σ 3 ) − σ Y (α ) para σ1 > σ 2 > σ 3 (48. parte dos . a projecção do prisma.1) (48. nas regiões de singularidade (faces no modelo 3D e pontos no modelo 2D) existentes na respectiva superfície [51]. Critério de Mohr-Coulomb Nos materiais frágeis a rotura verifica-se mediante a ausência de qualquer deformação plástica prévia. Como se pode observar da figura. 26-Representação gráfica das superfícies de cedência de Tresca e von Mises.α ) = 2 cos θ × J 2 − σ Y (α ) 5. no plano do desviador é um hexágono regular. pelo que no gráfico resultante do ensaio de tracção não é visível um ponto que se identifique como um ponto de cedência. Este critério tem a seguinte representação matemática: F ( σ.Teoria da Plasticidade 28 σ3 Plano do Desviador von Mises Tresca σ2 σ1 σ1 =σ 2 =σ 3 Fig. Por outro lado.2) F ( σ. Admita-se os círculos de Mohr (ver Fig. 28-Círculo de Mohr-Coulomb. τ 0 ) provocando a cedência do material (Fig. Resultados experimentais permitem concluir que. pois na vizinhança desses "defeitos" verifica-se a existência de elevados gradientes de tensão. quando submetidos a esforços de compressão. já que os vazios eventualmente existentes tendem a ser colmatados. τ σC σT σ Fig. Considerese um estado de tensão. cujo par de coordenadas no círculo de Mohr é ( σ 0 . 27) representativos dos estados de tensão limites para o caso de solicitações simples de tracção ( σ T ) e de compressão ( σ C ). A curva envolvente pode ser expressa matematicamente como uma função do tipo: . B τ A τ = φ (σ ) τ τ0 τ 0 = φ (σ 0 ) σ3 σ σ0 σ1 σ Fig. 27-Domínio de segurança segundo o critério de Mohr-Coulomb.Teoria da Plasticidade 29 materiais frágeis apresentam a particularidade de apresentarem diferentes valores característicos de resistência quando sujeitos a esforços de tracção ( σ T ) e de compressão ( σ C ). em parte constituída pelo lugar geométrico dos círculos intermédios (curva a traço-ponto na figura). em aplicações cujas solicitações conduzam a estados de tensão triaxiais. existe uma curva envolvente. 28). verifica-se alguma tendência para um aumento da resistência à compressão. Ao contrário. Este facto pode explicar-se pela existência de inclusões e vazios eventualmente existentes no corpo material que provocam uma diminuição da resistência à tracção. Substituindo (51) em (50) e eliminando σ 0 obtém-se: τ = cosψ × ( c − σ × tangψ ) (52) Esta condição de cedência é representada no espaço de Westergaard por uma superfície de cedência. e designa-se superfície de cedência de Mohr-Coulomb: F ( σ. correspondem outros pontos relativos à tensão tangencial máxima (B) constituindo outra curva cujas equações paramétricas são: τ = φ (σ 0 ) 1 + ( ) ∂φ ∂σ 0 2 (50.2) σ = σ 0 + φ (σ 0 ) ∂φ ∂σ 0 as quais por eliminação de σ 0 conduzem a uma equação τ = f (σ ) . A primeira condição de cedência baseada no círculo de Mohr foi proposta por Coulomb em 1773 e baseia-se na hipótese de que as deformações plásticas ocorrem por escorregamento existindo uma relação linear entre σ 0 e τ 0 : τ 0 = c − σ 0 × tangψ (51) em que c representa a coesão e ψ representa o ângulo de atrito interno. enquanto a de Mohr-Coulomb corresponde a uma pirâmide. no espaço de Westergaard a superfície de cedência de Tresca corresponde a um prisma. qualquer uma destas superfícies apresenta arestas vivas que no caso de estados de tensão complexos tornam o seu tratamento analítico ou numérico de complicada resolução.1) (50. De facto. cuja representação geométrica corresponde a uma pirâmide hexagonal. α ) = 1 1 ⎞ (σ 1 − σ 3 ) − ⎛ ⎜ c × cosψ − (σ 1 + σ 3 ) × senψ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ (53) No caso particular do material apresentar um ângulo de atrito interno igual a zero (ψ=0) resulta a seguinte superfície de cedência: F ( σ. No entanto. . α ) = 1 (σ 1 − σ 3 ) − c 2 (54) A comparação de (48) com (54) permite concluir que o critério de Tresca é um caso particular do critério de Mohr-Coulomb com σ Y (α ) = 2 × c .Teoria da Plasticidade 30 τ 0 = φ (σ 0 ) (49) A variações sucessivas no estado de tensão e que provocam a deslocação do ponto A sobre a envolvente. mas com a envolvente substituída pelo segmento de recta FH . em função dos valores de tensão (56) .4) Pela semelhança dos triângulos CBE e CAD obtém-se a seguinte relação: BE CB = AD CA ou.1) (55.2) AD = AF − DF = CB = C0 + 0B = σC 2 − − σT 2 σT 2 σ1 + σ 3 2 + (55. O estado de tensão em análise está representado pelo círculo de Mohr a traço fino sendo a tensão normal máxima σ 1 e a tensão normal mínima σ 3 . σ 1 e σ 3 . τ σC σ3 A D B E 0 σ1 H C σT σ F G Fig.Teoria da Plasticidade 31 Do ponto de vista analítico. 29 encontra-se representado o limite de segurança estabelecido com base no critério de MohrCoulomb. Do ponto de vista prático interessa estabelecer uma relação entre o estado de tensão actual. Na Fig.3) CA = C0 + 0A = σT 2 σC 2 (55. a curva envolvente representada no semi-eixo positivo das ordenadas é substituída por uma recta tangente aos círculos limites. isto é. Com base características geométricas observadas na figura é possível estabelecer as seguintes relações: BE = BG − EG = σ1 − σ 3 σ T 2 − 2 (55. com os valores limites σ C e σ T . 29-Domínio de segurança simplificado do critério de Mohr-Coulomb. Teoria da Plasticidade 32 σ1 − σ 3 − σ T σ T − σ1 − σ 3 σ3 σ1 = ⇒ − C =1 C T T C T σ −σ σ +σ σ σ (57) De notar que nesta expressão os valores limites σ C e σ T entram em valor absoluto enquanto as tensões principais relativas ao estado de tensão tomam o seu valor algébrico.4. O critério de Mohr-Coulomb é utilizado para representar o comportamento dos materiais granulosos dotados de atrito interno. A energia de deformação elástica por unidade de volume pode ser calculada a partir dos tensores de extensão e tensão: U0 = 1 σ ijε ij 2 (59) Atendendo aos conceitos de dilatação média ( ε m ) e extensão de desvio ( ε d ). tendo-se no entanto verificado que estes materiais atingem em geral um estado de cedência plástica à tracção antes de se ter atingido a superfície de Mohr-Coulomb. εm = 1 ε ii 3 (60) (61) d ε ij = ε ij − ε mδ ij bem como aos conceitos de tensão de desvio (s) e tensão média ( σ m ). Com o objectivo de ter em conta estes resultados.α ) = (σ 1 − σ 2 ) − c ⎜1 − ( tangψ ) − (σ 1 + σ 3 ) × tangψ ⎟ 2 c ⎝ ⎠ 1 2 (58) 5. Critério de Beltrami Para determinado tipo de materiais verifica-se que o início do comportamento plástico está relacionado com a quantidade de energia de deformação elástica por unidade de volume (U0) que um corpo pode armazenar. obtém-se por intermédio da lei de Hooke as seguintes relações: . Prandtl propôs em 1921 uma superfície de cedência obtida a partir da de Mohr por substituição do vértice da pirâmide por uma superfície parabólica. conhecida por superfície de cedência de Mohr-Prandtl e que se pode representar matematicamente pela seguinte função: 1 1 2 ⎛ ⎞ F ( σ. α ) = 1 1 2 J2 + σ m − U 0 critico 2µ 2k (70) . µ é um dos parâmetros de Lamé (numericamente igual ao módulo de elasticidade transverssal-G) e k é o módulo de expansão volumétrica: µ = k = E 2 (1 + ν ) E 3 (1 − 2ν ) (64) (65) Substituindo (62) e (63) em (61) obtém-se o tensor das extensões em função da tensão média e do tensor das tensões de desvio: ε ij = sij 2µ + σm 3k δ ij (66) que substituindo em (59) permite rescrever a expressão para o cálculo da energia de deformação por unidade de volume: U0 = ⎞ 1 ⎛ 1 1 σ ij ⎜ sij + σ mδ ij ⎟ 2 ⎝ 2µ 3k ⎠ (67) ou ainda.Teoria da Plasticidade 33 εm = d ε ij = σm 3k sij 2µ (62) (63) em que. apenas em função do tensor das tensões de desvio e da tensão média: U0 = 1 1 2 sij sij + σ m 12µ 2k (68) É ainda usual escrever-se a expressão da energia de deformação em função do segundo invariante das tensões de desvio (J2) expresso em (41): U0 = 1 1 2 J2 + σ m 2µ 2k (69) Beltrami apresentou em 1885 [4] um critério de cedência que estabelece para o início da deformação plástica o estado de tensão que corresponde a um valor crítico da energia de deformação elástica por unidade de volume: F ( σ. resultante do ensaio de tracção: U 0 critico 2 2 σY α ) σY ( (α ) = + 6µ 18k (71) obtendo-se a função de cedência em função da tensão de cedência: F ( σ. Devido à dependência de J 2 .Teoria da Plasticidade 34 Este valor crítico pode ser obtido para uma estado de tensão uniaxial. a teoria da plasticidade que utiliza este critério em conjunto com a lei associativa é referida na literatura como a teoria do escoamento J 2 . . 5. α ) = ⎛ 1 1 1 2 1 ⎞ 2 −⎜ + J2 + σ m ⎟ σ Y (α ) 2µ 2k ⎝ 6µ 18k ⎠ (72) No espaço de Westergaard esta condição de cedência representa-se por uma superfície elíptica com simetria circular em relação ao eixo hidrostático. Critério de von Mises Von Mises formulou um critério de cedência em 1913 [46].5. sugerindo que a cedência ocorre quando o segundo invariante das tensões de desvio J 2 atinge um valor crítico: J2 − 1 2 Φ (α ) = 0 (73) em que Φ (α ) . dependente do parâmetro de endurecimento (α) é o raio da superfície de cedência. cujos vértices coincidem com os eixos principais de inércia [13]. que é a tensão de corte nos planos do octaedro regular. Uma.Teoria da Plasticidade 35 σ3 von Mises (J2=constante) Tresca (τmáx=constante) σ 2 -σ 3 σ 1 -σ 3 θ σ1 (a) σ2 (b) Fig. em termos do tensor das tensões de desvio. nesta expressão. Φ (α ) = efectiva. que contém duas parcelas. enquanto a segunda estabelece a energia de deformação associada à dilatação. A interpretação de Hencky percebe-se rapidamente se se atender à expressão (69) para o cálculo da energia de deformação elástica por unidade de volume. Outra interpretação. τ oct = 2 3 J 2 . 30-Representação das projecções das superfícies dos critérios de Tresca e de von Mises. dada por Nadai (em 1937). Como se verá à frente. mostra que a cedência ocorre quando a energia elástica de distorção atinge um valor crítico [18]. vem: 2 3 σ Y . Substituindo (65) em (69) resulta: . σ . De facto. a primeira estabelece a energia de deformação associada à energia de deformação elástica de distorção. que introduziu o conceito de tensão de corte octaédrica. dada por Hencky (em 1924). pelo que a tensão (74) σ = 3J 2 = 3 2 s :s = 3 2 sij sij resultando finalmente para a condição (73): σ -σ Y (α ) = 0 (75) Existem duas interpretações físicas possíveis para o critério de von Mises. para o ensaio de tracção. permitindo concluir que.5. resultando um valor nulo para a segunda parcela. Da figura anterior. Critério de Drucker-Prager Ainda para aplicação ao comportamento de materiais granulosos dotados de atrito interno existe uma outra função de cedência utilizada com alguma frequência e que corresponde à superfície de cedência de Drucker-Prager cuja expressão matemática é a seguinte [10]: .6. σ 2 = 0 ). pelo que a função de cedência vem: F ( σ. pode-se verificar que os critérios de Tresca e von Mises apresentam a sua máxima diferença para o caso do corte puro ( σ 3 = −σ 1 . o critério de Tresca é mais conservativo que o de von Mises. α ) = 1 1 2 J2 − σ Y (α ) = 0 2µ 6µ (77) Combinando (75) com (77) obtém-se a seguinte expressão para a tensão efectiva: σ = 3J 2 (78) concluindo-se deste modo que o critério de von Mises é uma caso particular do critério de Beltrami e aplicável a materiais cuja energia de deformação volúmica se pode considerar desprezável.Teoria da Plasticidade 36 U0 = 3 (1 − 2ν ) 2 1 J2 + σm 2µ 2E (76) Por definição do módulo de expansão volumétrica. resultando da aplicação de cada um dos critérios: σ Tresca = σ 1 − σ 3 = 2σ 1 (79) 2 σ von Mises = 1 2 ( (σ − σ ) 1 2 2 + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) 2 )= 3σ 1 (80) Combinando estas duas expressões. em elasticidade a condição de incompressibilidade é garantida pela imposição de ν = 0. pode-se concluir que a tensão efectiva calculada por aplicação do critério de Tresca pode ser 2 / 3 ≈ 1. 5.15 vezes maior que a obtida pelo critério de von Mises. 7. depois de se ter atingido o estado plástico do material.Teoria da Plasticidade 37 ( F = 3ασ m + J 2 − k ′ = 0 (81) ( em que os coeficientes α e k ′ são constantes do material e que dependem do ângulo de atrito interno (ψ) e da coesão (c): α = k′ = ( 2 × senψ 3 × ( 3 − senψ ) 6c × cosψ 3 × ( 3 − senψ ) (82. 5. Regra do Encruamento A regra do encruamento estabelece as condições para que um novo escoamento plástico possa ocorrer. Critério de Green Para materiais com fendas interiores ou materiais porosos. Green apresentou uma superfície de cedência que é função do coeficiente de porosidade do material [16]: F = ( 3 2 × ln β ( )) ( 2 ( 4 ⎛ ⎞ σ + 3 × ⎜ 3− 2×3 (β ⎟ J 2 − σ Y 3(1− β ) ⎝ ⎠ 2 2 m (83) ( em que β é o coeficiente de porosidade sendo definido do seguinte modo: β = ( volume de vazios volume total (84) 6. .2) No espaço de Westergaard a superfície representativa do critério de Drucker-Prager representa-se por um cone de revolução em torno do eixo hidrostático ( σ 1 = σ 2 = σ 3 ). Esta situação verifica-se em virtude da superfície de cedência poder sofrer contínuas alterações à medida que se dá o escoamento plástico.1) (82. os dois modelos de endurecimento descritos são equivalentes. de acordo com três modelos elementares [18]: ¾ Se a superfície de cedência subsequente. a sua simplicidade. Este modelo. α′ .Teoria da Plasticidade 38 Na expressão (37) introduziu-se um conjunto de variáveis de endurecimento contidas num vector. é exclusivamente uma expansão uniforme da superfície de cedência precedente. não conseguindo. existem dois tipos de aproximações para a dependência de qualquer variável interna de endurecimento α i′ ∈ α′ . (1 ≤ i ≤ nendurecimento ) [38]: i) Se uma variável de endurecimento é assumida como dependente da deformação plástica efectiva. α i′ = α i (W p ) . é definida do seguinte modo [27][49]: εp= 2 3 εp :εp = 2 3 ε ijpε ijp (85) Esta deformação plástica efectiva «reflecte a história» do processo de deformação plástica. e relaciona a variável de endurecimento com o trabalho plástico total. e não simplesmente pelo seu estado inicial e final: ε p = ∫ dε p dε p dt = = ∫ dt 0 t p ε ij ∫( 0 2 3 dε ijp dε ijp ) 12 (86) ii) A segunda possibilidade designa-se por endurecimento energético. em que [1]: W = ∫ σ : dε = ∫ σ ij dε ijp p p 0 0 εp p ε ij (87) Segundo Nayak e Zienckiewicz [30] para o caso dos materiais em que seja possível aplicar o critério de von Mises. . como por exemplo o efeito de Bauschinger [9]. α i′ = α i′(ε p ) . reproduzir determinados aspectos reais da deformação de alguns materiais. Para o caso bidimensional. proposto por Odquist [33] apresenta como principal vantagem. o modelo de encruamento é designado de isotrópico [22]. Basicamente. no entanto. em que a deformação plástica efectiva. diz-se que ocorre deformação com encruamento. A variação da superfície de cedência pode ser classificada. as curvas obtidas no ensaio de tracção conduzem ao mesmo nível de encruamento. ε p . ou seja. isto é. 31(a). provocada pelo incremento de deformação plástica. exemplifica-se na Fig. na medida em que estabelece que o endurecimento é determinado por cada parcela infinitesimal de deformação plástica. usualmente conhecido por tensor das tensões de recuperação [38]. pode ser a seguinte: α′T = { ε p . apresentado inicialmente por Prager. A expressão (38) pode ser reformulada. enquanto que o tensor.(a) Encruamento isotrópico (b) Encruamento cinemático Com o objectivo de modelar matematicamente os dois primeiros modos de encruamento. admite-se que a escolha das variáveis de endurecimento no vector α′ . o tipo de encruamento diz-se cinemático (ver Fig. Endurecimento distorcional. σ b . o efeito de Bauschinger. o valor escalar da deformação plástica efectiva ε p é suficiente para a definição de qualquer tipo de endurecimento isotrópico. a igualdade α = ε p . mantiver a mesma forma. ¾ Superfície de cedência corrente τ Superfície de cedência corrente τ Superfície de cedência inicial σ Superfície de cedência inicial σ Fig. adicionando o encruamento cinemático e. em que se admite a expansão. σb (ε p ) } (88) em que. mas simplesmente for transladada no espaço das tensões como um corpo rígido. 31. ou inclusive a mudança de forma [11]. a translação e a rotação da superfície de cedência. Este modo de encruamento. tendo portanto a mesma dimensão do tensor das tensões. resultando: .Teoria da Plasticidade 39 ¾ Se a superfície de cedência subsequente. muito corrente em materiais sujeitos a regimes de carregamento cíclico. assumindo para o endurecimento isotrópico. é necessário para a descrição do endurecimento cinemático. 31(b)) [20][35][42]. A tensão de recuperação observa-se graficamente pela translação no espaço das tensões do centro da superfície de cedência. surgiu com o objectivo de modelar um fenómeno bem visível experimentalmente. H ′ é a derivada da função geral h. ) (92) ( ) (93) O encruamento cinemático é mais complexo de definir. H. É necessário expressar o incremento escalar e a direcção para o incremento da tensão de recuperação. de uma função unicamente dependente da deformação plástica efectiva [35]: σ Y = σ Y0 + h ( ε p ) exprimindo-se a lei do encruamento isotrópico do seguinte modo: dσ Y = H ′ ( ε p (90) ) dε p (91) em que. pode-se admitir uma função. importa definir as leis para o encruamento isotrópico e para o encruamento cinemático. relativamente a ε p . o que pode ser feito da seguinte maneira [1][38]: dσ b = 2 ) K ′ (ε 3 p ) dε p ∂F ∂σ k (94) em que: σ k = σ − σb (95) A função de cedência F é. dependente simplesmente. isto é. h ≡ 0 . em aplicações práticas assume-se normalmente outras duas hipóteses [38]: σ Y = σ Y0 + H ε p σ Y = σ Y0 + ( H ∞ − H 0 ) 1 − exp ( − nε ε p ) ) em que. assumida como o potencial na validação da variável interna do encruamento cinemático.Teoria da Plasticidade 40 F ( σ. H ∞ . ou seja. pois não é um valor escalar. à priori. são constantes do material. Na prática. Além do comportamento perfeitamente plástico. Também são possíveis modelos numéricos combinando os dois encruamentos. o que leva à conhecida lei associativa do escoamento plástico. H 0 e nε nε. K ′ ( ε p ) = K ′ ≡ constante em (94). o encruamento cinemático é assegurado como sendo ) linearmente dependente de ε p . Os termos lineares de ambas as leis podem ser expressos por H e β ′ em vez de H e K ′ [2][38]: . do valor de início da plastificação σ Y0 e. Para o encruamento isotrópico. α′ ) = f σ − σ b ( ε ( p ) ) − σ (ε ) p Y = 0 (89) Com base em (89). As tensões de desvio segundo as direcções principais são: . Importa agora mostrar que para além da relação entre σ 1 e ε1p . ou seja. por hipótese. No ensaio de tracção tem-se. o mesmo gráfico também representa a relação entre os valores efectivos do estado de tensão e do correspondente estado de deformação. 1 ]. 32 uma curva típica de um ensaio de tracção dum provete metálico. A curva resulta das medidas de σ 1 e ε1 . Tendo em atenção novamente o ensaio de tracção. vindo a tensão média σ m = σ ii 3 = σ 1 3 .Teoria da Plasticidade 41 σ Y = σ Y0 + β ′H ε p K ′ = (1 − β ′ ) H (96. mostra-se na Fig.2) em que β ′ é uma constante. σ 1 ≠ 0 e σ 2 = σ 3 = 0 . 32-Curva tensão-deformação de um ensaio de tracção uniaxial. β ′ ∈ [ 0 . σ -ε p . σ dσ ET dε p dε dε e σ Y0 E τ Fig. em que o índice 1 indica a direcção para a primeira direcção principal.1) (96. que no domínio elástico se tem no ensaio a seguinte relação tensãodeformação: . ET . as outras duas deformações plásticas principais são ε 2p = ε 3p = -0. para que a expressão que relaciona σ -ε p . pode-se relacionar facilmente σ 1 com ε1p . do seguinte modo: dσ 1 dσ 1 dσ 1 d ε1 ET ET = = = = H ′ (ε p ) = p e e dσ 1 E 1 − ET E d ε1 d ε 1 − d ε1 dε 1− 1 1− d σ 1 ET d ε1 (102) Conclui-se assim. e consequentemente. seja válida para σ 1 -ε1p . em que se assume a incompressibilidade do material (ν=0. calcula-se a partir da curvatura obtida no ensaio: ET = dσ 1 dσ = dε d ε1 (101) O módulo de encruamento pode-se obter. substituindo estas tensões de desvio na expressão para o cálculo da tensão efectiva (74). pode ser obtida a partir do ensaio de tracção uniaxial. resultando: εp= 2 3 (ε p p 1 1 ε + ε 2p ε 2p + ε 3p ε 3p ) = ε1p (99) Então. e assumir essa relação como válida para o caso geral σ -ε p . em função desta tangente.5).5ε1p . obtém-se: σ = 3 2 ( s1 s1 + s2 s2 + s3 s3 ) = σ1 (98) De modo análogo para a deformação plástica efectiva. s2 = s3 = − 1 3 (97) Utilizando o critério de von Mises e por conseguinte.Teoria da Plasticidade 42 s1 = 2 3 σ1. isto é [35]: H ′ (ε p )= dσ 1 dσ = p dε d ε1p (100) A tangente local à curva tensão-deformação. que a função de encruamento H ′(ε p ) . Note-se ainda. necessária para uma implementação numérica. o estado de deformação plástico depende da trajectória do carregamento. pois devido a fenómenos de origem térmica e/ou de contacto a nível atómico. 7. Teoria do Escoamento Plástico No estudo do comportamento dos materiais em regime plástico existem duas formulações em que se baseiam as relações constitutivas: Teoria incremental . De uma forma geral. a teoria da deformação plástica. Todavia. enquanto que a segunda (teoria da deformação total) suporta a teoria da deformação plástica. sendo a parcela da energia acumulada denominada energia plástica. designando-se esse processo conservativo. A teoria do escoamento plástico baseia-se em alguns princípios que são descritos seguidamente. . passa a ter um comportamento plástico. coincidindo ambas as teorias para o caso em que o carregamento apresenta uma trajectória linear. embora ignore a influência da trajectória de carregamento.Teoria da Plasticidade 43 dσ 1e E= e d ε1 (103) 7. Relativamente à energia associada a um comportamento plástico. pois a sua aplicação simplifica consideravelmente a solução de problemas em plasticidade. Teoria da deformação total A primeira formulação (teoria incremental) serve de base à denominada teoria do escoamento plástico.relaciona o tensor das tensões com o tensor das extensões. é frequentemente utilizada. esta não se pode designar por processo conservativo. Tendo como objectivo tratar esses fenómenos de uma maneira . A energia elástica (associada ao processo de deformação elástico) de deformação é totalmente recuperável. Postulado de Drucker Se o material no ensaio de tracção atingir a tensão de cedência.admite a influência da trajectória de carregamento e portanto relaciona o tensor das tensões aos incrementos de deformação plástica. o processo é dissipativo.1. Para um ponto material submetido a um estado de tensão σ e a um estado de deformação plástico ε p . σ εp >0 σ =0 σ >0 σ <0 ε σ <0 σ >0 σ =0 εp <0 Fig. Admitindo que o encruamento do material por deformação pode ser descrito como uma função do estado de tensão e da deformação plástica na forma infinitesimal pode-se considerar as seguintes relações [24]: σε p > 0 → processo de encruamento σε p = 0 → material perfeitamente plástico σε p < 0 → processo de amaciamento (104.3) que para um ensaio de tracção (estado uniaxial de tensão) podem ser representados pelo gráfico da Fig.Teoria da Plasticidade 44 sistemática e passível de modelação surgiram o postulado de Drucker e a regra da normalidade [7]. à energia por unidade de volume. Considere-se então um estado de tensão uniaxial cujo valor é σ a .1) (104.2) (104. 33. o produto σε p corresponde. 33-Postulado de Drucker: ilustração para um estado uniaxial. em termos dimensionais. ao considerar o incremento de . Por outras palavras. que conduz a um incremento de tensão (dσ). enquanto que o trabalho correspondente à parcela plástica do estado de deformação pode tomar um valor maior ou igual a zero. como se pode verificar facilmente pela observação do gráfico tensão-deformação esta descrição não é válida para certos materiais. e para os referidos incrementos de tensão e deformação. o qual pode ser decomposto numa componente elástica dε e e. O trabalho desenvolvido pelo sistema que actua sobre o sólido neste ciclo de carregamento-descarregamento depende apenas da parcela plástica do incremento de deformação: dσ dε p (106) Por outro lado. provocando um incremento de deformação dε. o pressuposto adoptado por Drucker. como por exemplo para um material perfeitamente plástico. para um carregamento incremental o trabalho desenvolvido for positivo e. em que num estado uniaxial de tracção não é possível qualquer aumento no valor da tensão. numa plástica dε p (sendo portanto o incremento total de deformação: dε = dε e + dε p ). no processo de carregamento–descarregamento o trabalho realizado for não negativo. Seguidamente procede-se ao descarregamento desse incremento de carga. Note-se que o termo referido nesta descrição para incremento de carga deve entender-se como algo que provoca o incremento de tensão. A definição acabada de descrever é conhecida na literatura como o postulado de Drucker.Teoria da Plasticidade 45 que corresponde a deformação plástica ε p . verifica-se que o trabalho correspondente à parcela elástica do estado de deformação ( dσ dε e ) é sempre positivo. O trabalho efectuado pelo incremento de carga vale: d σ dε = dσ ( dε e + dε p ) (105) Admita-se agora um processo cíclico de carregamento-descarregamento. Assim. Desta forma. Admita-se um incremento de carga. para o estado de deformação total resulta que: dσ dε > 0 .1) (107.2) Particularizando para um material com comportamento perfeitamente plástico verifica-se dσ ij dε ijp = 0 . Também para os materiais cujo gráfico tensão-deformação revele um amaciamento do estado de tensão. para um controle ao nível do estado de tensão estes materiais são instáveis. partindo-se do mesmo estado inicial de tensão (σ) e deformação plástica ( ε p ). sendo dσ ij dε ijp ≥ 0 válido para um material com encruamento. Todavia. vindo para um estado geral de tensão/deformação [24]: dσ ij dε ij > 0 dσ ij dε ijp ≥ 0 (107. Drucker definiu que um material é susceptível de encruar com o incremento do estado de deformação plástica se. Para uma análise não linear do material e rotura no betão. Admitindo então um incremento de carga que conduza o * estado de tensão de σ ij para o estado de tensão σ ij e subsequentemente um * descarregamento que conduza novamente o estado de tensão para σ ij . segundo Lubliner [24] foi proposto independentemente por von Mises em 1928. Neste caso. por Taylor em 1947 e por Hill em 1948. também pode ser estendido para um incremento de tensão finito. para o caso em que o estado de tensão inicial * ( σ ij ) se encontra no interior da superfície de cedência e o estado de tensão final ( σ ij ) está sobre a superfície de cedência. representa uma vantagem para a utilização de um critério de cedência fisicamente baseado em deformações. tem-se um postulado análogo devido a Ilyushin. A expressão (109) tem importantes consequências na teoria da plasticidade. esse facto. decorrente do trabalho pioneiro de Ilyushin (1961). Desta forma. a falha na relação unívoca tensão-deformação. Utilizando uma abordagem em termos do espaço das deformações. . que a superfície de cedência é diferenciável em todos os seus pontos. o postulado de Drucker implica a seguinte relação: (σ ij * − σ ij ) dε ijp ≥ 0 (108) 7. a expressão (108) pode rescrever-se do seguinte modo: (σ − σ ) * dε p ≥ 0 (109) Esta desigualdade representa a propriedade de que a variação de extensão é positiva se o valor do estado de tensão final não for inferior ao estado de tensão inicial elástico. Segundo Lubliner [24]. isto é. O postulado de Drucker acabado de descrever e em que um incremento de carga provoca um incremento infinitesimal de tensão. Postulado da Dissipação Plástica Máxima Admitindo um problema em que apenas se considere um estado de tensão uniaxial. por exemplo. um determinado estado de tensão conduziria a mais que um estado de deformação possível. não é válido.Teoria da Plasticidade 46 carga (incremento de tensão) como variável independente. Em particular. como ocorre na superfície correspondente ao critério de von Mises. pode-se imaginar uma relação em que a variável independente seja o estado de deformação. Tendo em vista a resolução do problema descrito. ao qual corresponde uma resposta em termos de extensão (variável dependente).2. Considere-se por exemplo. alguns autores desenvolveram critérios de cedência seguindo esta abordagem [34]. Esta interpretação constitui o postulado da dissipação plástica máxima e que. A descrição acabada de descrever é conhecida como a regra da normalidade [22][24]. como se pode verificar na Fig. a relação (109) representa um produto escalar: (σ − σ ) * ⋅dε p ≥ 0 (110) dε p σ* σ -σ * σ Fig. se o estado de tensão inicial se encontrar do outro lado do plano tangente a inequação (110) é violada. Admitindo uma representação esquemática da superfície de cedência num espaço bidimensional como o representado na Fig. deve ser normal ao plano tangente à superfície e com o sentido a apontar para fora da superfície. 35. No entanto. Para que o produto interno (110) possa ser válido para um estado de tensão elástico inicial arbitrário.Teoria da Plasticidade 47 num qualquer ponto pertencente à superfície de cedência é possível definir um plano tangente à superfície e um vector normal a esse plano. bem como a conclusão acerca da convexidade da superfície de cedência são consideradas propriedades consequentes do postulado da dissipação plástica máxima. 34-Normalidade do vector incremento de deformação. pelo que se pode concluir que a superfície de cedência é convexa. Deste modo. o vector correspondente ao incremento de deformação plástica dε p . 35-Convexidade da superfície de cedência. A regra da normalidade. 34. σ* σ dε p σ -σ * Fig. toda a região elástica se encontra do mesmo lado do plano tangente. . Deste modo.a) (112. (114) (113) O trabalho de deformação correspondente ao incremento de deformação plástica . No entanto. Potencial Plástico e Regra de Escoamento Na teoria do escoamento plástico relaciona-se incrementos infinitesimais de tensão com incrementos infinitesimais de extensão.b) Lévy (1871) e mais tarde von Mises (1913) propuseram que o incremento total de extensão se relaciona com o respectivo estado de tensão da seguinte forma: dε = dγ s dε = dγ sij (112. O incremento infinitesimal de extensão total dε é igual à soma dos incrementos infinitesimais correspondentes a uma componente elástica dε e e a uma componente plástica dε p : dε = dε e + dε p e dε ij = dε ij + dε ijp (111. Para esta situação suponha-se que à componente elástica do incremento de extensão é aplicável a lei de Hooke e que à restante parte do incremento de extensão (componente plástica) se aplica a expressão (112). o incremento infinitesimal de extensão total pode então ser calculado por intermédio da seguinte expressão: 1 ⎛ 3ν ⎞⎞ e δ ijσ m ⎟ ⎟ + ( dγ sij ) dε ij = ( dε ij ) + ( dε ijp ) = ⎛ ⎜ ⎜ dσ ij 1 +ν ⎠⎠ ⎝ 2µ ⎝ vem: dW p = σ ij dε ijp = σ ij dγ sij = dγ ( sij + δ ijσ m ) sij = dγ sij sij = 2dγ J 2 em que J2 representa o segundo invariante das tensões de desvio definido em (41. que a expressão (112) só seria aplicável em materiais cujo processo de deformação não inclua componente elástica (Hill denominaos de materiais fictícios [18]).Teoria da Plasticidade 48 7.3.1). admita-se a aplicação de (112) a um material cujo processo deformação inclua também componente elástica. Naturalmente.b) em que γ é um coeficiente de proporcionalidade e que pode eventualmente variar ao longo do processo de deformação plástica.a) (111. Admitindo que o incremento de deformação elástica é desprezável. a partir de (113) pode-se calcular o incremento de deformação total do seguinte modo: dε ij = dγ sij (117) A expressão (117) permite calcular o incremento de extensão total a partir do tensor das tensões de desvio e corresponde às equações de Lévi-Mises: dε xx = dε yy = dε zz = dε σ dε (σ (σ xx −1 2 (σ yy + σ zz ) ) (118.5) (118.3) (118. quando comparado com o incremento de deformação total.Teoria da Plasticidade 49 A partir de (114) e considerando a condição de cedência de von Mises obtém-se para o coeficiente dγ: dγ = dW p 3dW p = 2J2 2σ 2 (115) Substituindo em (113) o valor de dγ calculado em (115) obtém-se a denominada equação de Prandtl-Reuss [22][24]: dε ij p 1 ⎛ 3ν ⎞ 3dW = δ ijσ m ⎟ + sij ⎜ dσ ij − 2µ ⎝ 1 +ν 2σ ⎠ (116) De facto.2) (118.4) (118.6) σ dε yy −1 2 (σ zz + σ xx ) ) −1 2 (σ xx + σ yy ) σ (σ zz ) dε xy = dε xz = dε yz = 3 dε τ xy 2 σ 3 dε τ xz 2 σ 3 dε τ yz 2 σ . tendo posteriormente Reuss (1930) efectuado a generalização para problemas tridimensionais.1) (118. segundo Hill [18]. a extensão da expressão de Lévi-Mises (112) para problemas planos e em que o processo de deformação incluísse no respectivo incremento ambas as componentes (elástica a plástica) deve-se a Prandtl (1924). que por sua vez são um caso particular da equação de escoamento (113). A lei do escoamento plástico pode ser obtida por uma outra via. Entende-se por função do potencial plástico Q(σ) a função escalar do tensor das tensões a partir da qual os incrementos de deformação plástica podem ser determinados por derivação parcial em ordem às componentes do tensor das tensões [6][18][22][36]: dε p = dγ dε ijp = dγ dQ ∂σ (119. 36 representa-se geometricamente a lei associativa e não associativa. assegurando desse modo a condição de incompressibilidade. o que torna a utilização da lei associativa aceitável do ponto de vista termodinâmico [38].Teoria da Plasticidade 50 Analisando as equações de Lévy-Mises verifica-se uma analogia com a lei de Hooke para a elasticidade em que o inverso do módulo de Young (1/E) é substituído pelo coeficiente dγ e.5. Para os metais. isto é. Pode-se ainda concluir que as equações de Lévy-Mises são um caso particular das equações de Prandtl-Reuss (116). como se fez na validação do incremento da tensão de recuperação. Q ≡ F . o coeficiente de poisson é igual a 0. No entanto. pode-se mostrar que a lei associativa do escoamento plástico e a lei associativa do encruamento cinemático. é normal à superfície de cedência em qualquer ponto do espaço das tensões. Na Fig. a utilização da lei associativa origina resultados concordantes com observações experimentais [3][39].b) ∂Q ∂σ ij em que o escalar dγ. pois o gradiente ∂F / ∂σ .a) (119. A lei associativa do escoamento plástico também é referida como condição de normalidade. denominado multiplicador plástico. é uma constante de proporcionalidade maior que zero. . assume-se também aqui uma lei da plasticidade associativa. são equivalentes ao princípio da máxima dissipação plástica [18][25][26]. Do mesmo modo. designado correntemente por vector fluxo. a função de cedência coincide com o potencial plástico. em que se considera que o incremento de deformação plástica deriva de uma função potencial. a aplicação da lei associativa aos metais. . para outros materiais. muitos materiais não apresentam propriedades isotrópicas. em solos. embora apresentando características isotrópicas em regime elástico. a aplicação de regras de escoamento plástico fazendo uso da lei não associativa em simulações numéricas. No entanto. (b) não associado. ou são fortemente anisotrópicos.Teoria da Plasticidade 51 σ2 ∂F ∂Q ≡ ∂σ ∂σ σ2 Q ∂F ∂σ ∂Q ∂σ F≡Q σ1 F σ1 a) b) Fig. No presente texto. 8. mesmo quando sujeitos a estados de tensão em domínio linear elástico (por exemplo os materiais compósitos). outros materiais. ou adquirem anisotropia ao longo do processo de deformação plástica. Anisotropia Plástica Nos itens anteriores admitiu-se que o material apresenta propriedades com carácter isotrópico. De facto. significa que as funções de cedência de von Mises e de Tresca são também potenciais plásticos. conduz a resultados mais realistas [45][50]. em conjugação com determinadas aplicações envolvendo plasticidade. como por exemplo. sendo usual efectuar-se a generalização e designar-se o material por isotrópico. Note-se que. 36-Formas de escoamento: (a) associado. ou outra direcção. Recorrendo a título exemplificativo. σ 2 = σ 3 = 0 ). como se mostra na Fig. Tomando as direcções de rolamento e transversal como sendo as direcções principais (ver Fig. considere-se a direcção de rolamento (RD) e a direcção transversal à direcção de rolamento. quando se considera uma. Hill propôs um critério de cedência aplicável a materiais anisotrópicos (apresentando simetria ortotrópica) e que se pode considerar como uma generalização do critério de von Mises [18]. a anisotropia plástica evidencia-se como a característica do material em apresentar comportamentos diferenciados para distintas direcções. Rolo RD TD 1 3 2 Fig. De facto. 37) e considerando o espaço das tensões principais para a representação da superfície de cedência. 37.Teoria da Plasticidade 52 Sob uma perspectiva macroscópica. Em 1948. a forma matemática representativa da superfície de cedência correspondente ao critério de Hill é a seguinte: F (σ 2 − σ 3 ) + G (σ 1 − σ 3 ) + H (σ 1 − σ 2 ) 2 2 2 (120) em que F. Para um estado uniaxial de tensão.G. pode-se entender a superfície de cedência representativa do critério de Hill como uma distorção da superfície correspondente ao critério de von Mises. a processos tecnológicos relacionados com a conformação em chapa. obtendo-se: F ( 0 − 0 ) + G (σ − 0 ) + H (σ − 0 ) = ( G + H ) σ 2 2 2 2 (121) . As propriedades mecânicas da chapa podem apresentar características distintas. correspondente ao ensaio de tracção. e H são constantes do material que caracterizam a anisotropia. a direcção da tensão coincide com a direcção principal 1 (sendo o estado de tensão representado por σ 1 = σ ≠ 0 . 37-Direcções consideradas na anisotropia. ou simplesmente direcção transversal (TD). .a) (124.b) (124. obtém-se para os incrementos de deformação plástica (segundo as três direcções principais): dε1p = dγ dε 2p = dγ dε 3p = dγ ∂σ ∂σ 1 ∂σ ∂σ 2 ∂σ ∂σ 3 (124.c) Resultando para uma estrutura tipo casca a partir da derivação de (122) (e não de (123)) e tomando posteriormente σ 3 ≈ 0 dε1p = dε 2p = dγ Gσ 1 + H (σ 1 − σ 2 ) σ G+H dγ Fσ 2 + H (σ 2 − σ 1 ) σ G+H dγ Gσ 1 + Fσ 2 σ G+H (125.c) dε 3p = − em que σ toma o valor proveniente de (123). que para um material que apresente as constantes F=G=H=1/2 o critério de cedência de Hill coincide com o critério de von Mises (como se pode confirmar com (80)). Como se referiu anteriormente. peças em que uma das dimensões (no caso da chapa é a espessura) é muito inferior. quando comparada com as outras duas.Teoria da Plasticidade 53 Igualando (120) ao segundo membro de (121) obtém-se a tensão equivalente para o critério de cedência de Hill (em função das tensões principais) σ2 = F G H 2 2 2 (σ 2 − σ 3 ) + (σ 1 − σ 3 ) + (σ 1 − σ 2 ) G+H G+H G+H (122) De notar. Neste tipo de componentes é usual admitir-se que uma das tensões normais (a normal ao plano tangente à superfície média da chapa) é desprezável (tome-se σ 3 ≈ 0 ). tomando portanto para potencial plástico a própria função de cedência e utilizando a expressão (119) para a regra de escoamento. e portanto. uma das aplicações do critério de Hill envolve componentes em chapa.b) (125.a) (125. A tensão equivalente correspondente ao critério de Hill vem então σ= F G H 2 2 σ2 + σ 12 + (σ 1 − σ 2 ) G+H G+H G+H (123) Fazendo uso da lei associativa. e H terão que ser determinados experimentalmente.G. e em que são determinados os cocientes entre extensões obtidas em ensaios de tracção. 38-Orientação dos provetes em chapa para o ensaio de tracção. Para o efeito são efectuados provetes a partir da própria chapa como se mostra na Fig. B TD RD A β 1 2 3 Fig. por recorrência à condição de normalidade. 38. coeficiente de anisotropia segundo a direcção TD vale: RTD = p p dε RD dε11 = p p dε esp dε 33 (127) Para uma direcção arbitrária. 38).Teoria da Plasticidade 54 Os valores associados às constantes do material F. define-se coeficiente de anisotropia (R) segundo a direcção RD como sendo: RRD = p p dε TD dε 22 = p p dε esp dε 33 (126) Para um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção TD (provete B). o coeficiente de anisotropia resultará p do cociente entre a componente do incremento de deformação dε ⊥ β . definida pelo ângulo β. Tomando um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção RD (provete A na Fig. A sua determinação correcta pode ser efectuada pela medição dos valores da tensão de cedência efectuada em várias direcções e para diferentes estados de tensão. ocorrida no plano da chapa e medida na direcção perpendicular à direcção de tracção. e a componente do p incremento de deformação verificada na direcção da espessura ( dε 33 ) Rβ = p dε ⊥ β dε (128) p 33 . No entanto. este procedimento raramente é adoptado na prática [47]. sendo as constantes determinadas de forma indirecta. Teoria da Plasticidade 55 Considerando as componentes do incremento de deformação estabelecidas no referencial definido pelo eixos RD. podia-se estimar como valor médio o resultante da seguinte expressão R= 1 2π R ( β ) dβ 2π ∫0 (132) . R = R0 = R90 = R45 . e as constantes do material presentes no critério de Hill (F. TD e 3. Se.4). obtém-se para o coeficiente de anisotropia Rβ Rβ = 1 2 ( dε p 11 p p p p + dε 22 -dε 22 sin ( 2 β ) ) − 12 ( dε11 ) cos ( 2β ) − dε12 dε (129) p 33 p corresponde à componente angular do incremento de deformação cuja relação em que dε12 com o estado de tensão se encontra definido em (118. em que o termo “normal” significa perpendicular ao plano da chapa (e portanto com isotropia plana) [48]. ou seja. esta hipótese corresponde a tomar o mesmo valor para o coeficiente de anisotropia. Para o caso em que o provete é executado de modo a que seja esticado (por aplicação de uma tensão de tracção σ ) segundo a direcção RD tem-se: σ 1 = σ . A relação entre os coeficientes de anisotropia. torna-se necessário obter um valor para R. RRD e RTD . σ 2 = σ 3 = 0 p p F σ 2 + H ( σ 2 − σ1 ) H dε TD dε 22 = Rβ =0 = R0 = p = p = − dε 33 dε 33 F σ 2 + Gσ 1 G (130) Para o caso em que o provete é executado de modo a que seja esticado segundo a direcção TD tem-se: σ 2 = σ . Relativamente à função de cedência de Hill. do tipo valor médio. É o caso especial da anisotropia normal. σ 1 = σ 3 = 0 Rβ =90 = R90 = p p dε RD dε11 G σ 1 + H σ 1 − Hσ 2 H = =− = p p dε 33 dε 33 Fσ 2 + G σ 1 F (131) É ainda usual considerar-se o caso em que o provete é executado de modo a que a aplicação da tensão de tracção σ se efectue segundo uma direcção a 45º com a direcção de laminagem Rβ = 45 = R45 . verificando-se de facto alguma anisotropia no plano. Em muitos problemas é por vezes conveniente considerar que as características no plano da chapa são indistintas.G e H) pode ser obtida com base no ensaio de tracção e recorrendo às expressões (125). teoricamente se dispusesse de um número infinito de coeficientes de anisotropia obtidos num número infinito de ensaios de tracção. No entanto. R45 R= R0 + 2 R45 + R90 4 R0 − 2 R45 + R90 2 (133) Um segundo parâmetro utilizado para considerar a variação de R com β é o seguinte [47]: ∆R = (134) No entanto. isto é.Teoria da Plasticidade 56 o que é impraticável. Admitindo um critério de cedência que possa ser escrito com a deformação plástica efectiva.ε p ) = f ( σ ) − σ (ε ) = 0 p Y (136) Diferenciando (136). pelo que a partir de (130) e (131) se tem: G=F e H=RF. a função correspondente ao critério quadrático de Hill é frequentemente utilizada em problemas envolvendo anisotropia normal. A substituição destas relações em (123) permite estabelecer a expressão para a tensão equivalente correspondente ao critério de cedência quadrático de Hill e com aplicação em componentes de chapa (consultar alguns artigos de [14]) σ = σ 12 − 2R 2 σ 1σ 2 + σ 2 1+ R (135) 9. pois os procedimentos analíticos são simplificados. ε p . Como aproximação. utiliza-se o valor resultante da média obtida com base nos coeficientes R0 . R90 . resultando: a= ∂F . ∂σ aQ = ∂Q ∂σ (137. ou seja: F ( σ. como variável interna do endurecimento isotrópico. estabelecer a equação tensorial válida para uma relação tensão-deformação pós-plastificação.a) . estabelecem-se os gradientes da função de cedência e do potencial plástico. Modelo Constitutivo Elasto-Plástico Na definição matemática dos comportamentos elástico e plástico é usual estabelecerse o módulo tangente elasto-plástico. Note-se que neste caso se considera R = R0 = R90 = R45 . (119). como a soma da deformação elástica e da deformação plástica: dε = dε e + dε p e dε ij = dε ij + dε ijp (140. da deformação plástica efectiva. respectivamente. logo F=0. ∂σ ij (a ) Q ij = ∂Q ∂σ ij (137. isto é. e (138).b) No processo de plastificação o estado de tensão permanece sobre a superfície de cedência. Definindo o valor do escalar aQ .a) (141. para o estado de tensão: dσ = C4 : ( dε − dγ aQ ) dσ ij = Cijkl dε kl -dγ ( aQ ) (142. obtém-se para o estado de deformação total: 1 dε = C − 4 : dσ + d γ a Q -1 dε ij = Cijkl dσ kl + dγ ( aQ ) (141. (137). o incremento da variável interna.a) (140. como: aQ = 2 3 aQ : aQ = 2 3 (a ) (a ) Q ij (138) Q ij e atendendo às expressões (85).a) (143.b) aplicando ainda a lei de Hooke à parte elástica e.b) em que a e aQ são designados de vector de cedência e vector de fluxo.b) ij ou. pode ser exprimido como: dε p = dγ aQ (139) Tomando a decomposição da deformação total. Diferenciando (136) e atendendo a (91) e (137).Teoria da Plasticidade 57 aij = ∂F .b) permitindo relacionar a variação da deformação plástica efectiva com a variação do estado de tensão: . obtém-se: dF = a : dσ − H ′dε p = 0 dF = aij dσ ij -H ′d ε p = 0 (143. substituindo (139) em (140).a) ( kl ) (142. vem: dγ aQ = 1 a : dσ H′ 1 a : dσ H′ (144) (145) e substituindo (142) em (145). obtém-se: dγ aQ = 1 a : C4 : ( dε − dγ aQ ) H′ (146) Daqui é possível estabelecer uma expressão para o multiplicador plástico: 1 ⎛ ⎞ 1 dγ ⎜ aQ + a : C4 : aQ ⎟ = a : C4 : dε H′ ⎝ ⎠ H′ dγ = (147) a : C 4 : dε a : C 4 : dε H′= H ′aQ + a : C4 : aQ H ′aQ + a : C4 : aQ 1 H′ (148.a) ep = Cijkl Cijkl aQ H ′ + aqr Cqrst ( aQ ) Cijmn ( aQ ) aop Copkl st (150.Teoria da Plasticidade 58 dε p = Atendendo a (139).b) Este tensor é usualmente conhecido [8][40][41] como módulo tangente contínuo e. µ e λ: . pode ser expresso em função das constantes de Lamé. estabelece-se uma relação entre o estado de tensão e o estado de deformação total: dσ = Cep 4 : dε em que: Cep 4 = C4 C4 :aQ ⊗ a : C4 (149) aQ H ′+a:C4 :aQ mn (150.a) dγ = H ′aQ + aij Cijmn ( aQ ) aij Cijmn dε mn (148.b) mn Substituindo (148) em (142). aQ não é constante. Particularizando. enquanto que para os critérios de Mohr-Coulomb e Drucker- Prager. Q≡F ⇒ aQ = a. é o módulo de expansão volumétrica: k = λ+ 2 3 µ (152) Note-se. para o critério de von Mises. sabe-se que: dα = σ Y dε e atendendo ao teorema de Euler [35]. para o encruamento energético: dσ Y dσ Y dε p dσ 1 H ′ = = = dα dε p dα dε p σ Y σ Y (158) Substituindo (157) e (158) em (155).3 I ⊗ I ) − 2 µ s:s s:s H ′+K ′ 1+ 3µ ⊗ s (151) em que k. resulta finalmente para o encruamento energético: . com base em (87): dα = dW p = σ : dε p ou. tem-se aQ =1 [30].Teoria da Plasticidade 59 s 1 Cep 4 = kI ⊗ I +2µ ( I . Se se admitir um encruamento energético. sendo para o critério de Tresca aQ = 2 3 . recorrendo à condição de ortogonalidade: (153) dα = dγ σ : a resultando então: H ′aQ = (154) dσ Y σ :a dα (155) Recorrendo ao ensaio de tracção uniaxial. sendo a simetria verificada apenas para a lei associativa. em vez do encruamento por deformação atrás descrito tem-se. dependendo do estado de tensão na superfície de cedência. σ : a =σ Y p (156) (157) resulta. ou seja. que pode não ser um tensor simétrico. a análise de (159) permite concluir que o encruamento por deformação só coincide com o encruamento energético.Teoria da Plasticidade 60 H ′aQ = H ′ ⇒ aQ = 1 (159) Conforme foi notado por Nayak e Zienkiewicz [30]. No módulo tangente substitui-se aQ H ′ por aQ ( H ′+cK ′ ) . e 2 c= 2 3 a:a Q = 3 aij ( aQ ) (160) ij sendo igualmente c =1 . para o critério de cedência de von Mises. Se se pretender incluir o encruamento cinemático no modelo. em que K ′ é o módulo de encruamento cinemático. . a. Neste caso. relativamente aos quais se verifica aQ =1 . Q. é necessário incluir a tensão de recuperação definida em (94). aQ ) são expressas em função de σ k . para os materiais que obedecem ao critério de cedência de von Mises. em vez de σ . todas as funções ( F . & Sturgess.1049-1060.10. (1979).. (Eds) (1999). Eng. J. Isotropic plasticity..C. 1st Lomb. in Numerical Modelling of Material Deformation Processes. T. & Samuelsson. Vol.. P. (eds. Proceedings of the 4th International Conference and Workshop on Numerical Simulation of 3D Shett Forming Processes. Vol. Chapman and Hall. Y. pp. A. 2nd ed.14. Singapore.W. J. G. Sweden. Chichester. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures.K. Chung.M.. Structural Analysis. Vol.. (1976). pp. Num. Meth. D. Int. P. Theory of Plasticity. R.S. C. Appl. Thesis. (1988). I. Hartley. (1987). Crisfield. [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] . Bridgeman. McGrawHill. pp. J. K..C. Continuum Mechanics. B. Two material models for cyclic plasticity: nonlinear kinematics hardening and generalized plasticity..A. Pillinger.. Fjaer.). Axelsson. (1952). (1995). Rend. France. M.68-83.704.. New York. (1990). P.211-225.. M. McGraw-Hill. & Prager. Drucker. Numisheet’99 .L. SpringerVerlag. (1952). A. Referências [1] Auricchio. Finite element analysis of elastic-plastic materials displaying mixed hardening. J.... Math.21B. (1885). Mechanical Metallurgy. F.Teoria da Plasticidade 61 10. Vol. & Taylor.A.. University of Franche-Comté and ENSMM Besançon. Third ed. pp. Ghali.C. U. Ekmark. J. pp. Sulle condizioni de resistenze di corpi elastici. E. New Jersey. Vol.G. Studies in Large Plastic Flow and Fracture.65-98. Picart.18. New York. On Large Strain Theories in Sheet Metal Forming..A. Fung. U. of Plasticity.. H.1. Tokyo. Luleå University... PhD. (1992).. Vol. John Wiley & Sons.157-165. U.11. Foundations of Solid Mechanics.. Prentice-Hall. McGraw-Hill. Int.. London. A.S. A Unified Classical and Matrix Approach. (1994).. pp. Chakrabarty. (1983). Beltrami. Dieter. Metallurgical Transactions B.E. Bate. Q. & Mo.J. Gelin. Soil mechanics and plastic analysis or limit design. Prentice-Hall International Ed.Numerical Simulation of 3D Sheet Forming Processes. & Neville A. ALSPEN-A mathematical model for thermal stresses in direct chill casting of aluminium billets. (1989). (1965). W. Num. J.M. New York. (1933). Int.. Solids Struct. A maximum-Dissipation Principle Generalized Plasticity. (1979). pp. J. A plasticity theory for porous solids.B. H. Nayak. (1978)...15.215-224. (1984). pp. Vol. New York. Krengl. pp. (1990). Swansea.52. Matthies..B.. McGraw-Hill. Mech. London. Lubliner.113-135. Plasticity Theory.5. Normality Rules in Large-Deformation Plasticity. T.. Plasticity: Theory and Application. Anpassung von Warmvalz-Stichplänen an Veranderung der Walzguttemperatur. New York.. Int. pp. MIR Publishers. McMillan. On finite deformation elasto-plasticity. TU Clausthal. Nemat-Nasser. & Mellor P. Vol.. Meth. Hodge. Engineering Plasticity. Vol... Vol. Computational Plasticity: Models. Vol. Hill.14. Plastic Analysis of Structures. Van Nostrand Reinhold Company. Mechanics of Materials. Int..13. A. Acta Mechanica.C.K. W. R. Pineridge. (1986). W..360. Mendelson. F. Johnson. (1962).J. Generalization for various constitutive relations including strain softening. The Mathematical Theory of Plasticity. Kachanov. Solids Struct. Math. (1950). Fundamentals of the Theory of Plasticity.. & Spittel. (1959). A.C..Teoria da Plasticidade 62 [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] Green. (1950). Int. Van Nostrand Reinhold Company. J.29-34. Oxford University Press. Macmillan Publishing Company. Hensel. (1982). Mech. L. Kraft und Arbeitsbedarf bildsamer Formgebungsverfahren.. & Mellor P. The Theory of Flow and Fracture of Solids. Vol. Part 1. (1973). & Zienkiewicz.. R.5. A. J. Lubliner..27-48.. [28] [29] [30] [31] [32] [33] . G. Lubliner. Moscow. O.G. Eng.18. Sci. J. J. VEB Deutscher Verlar für Grundstoffindustrie. Leipzig. Elasto-plastic stress analysis.G. Johnson. London. pp. The rate problem for complex material behaviour with internal variables. (1989). pp. (1972). Nadai. Vol.. S. McGraw-Hill. (1984). S. (1974). Software and Applications. Institut für Werkstoffumformung. (1972). J. Decomposition of strain measures and their rates in finite deformation elastoplasticity. R... (1968). Nemat-Nasser. pp.. pp.225-237. Odquist.155-166. Plasticity for Mechanical Engineers..857-872. P. K. Livros Técnicos e Científicos Editora S. H. pp. R.669-675. (eds. Tresca. Vol. Springer-Verlag. R. J. Timoshenko.. & Hinton. Monografia CIMNE (centro Internacional de Metodos Numericos en Ingenieria). Comp.. Meth. Wagoner. (1992). John Wiley & Sons. Göttinger Nachr. T. Cambridge University press. Wales.H. Mech. New York. (1983).. Brasil (tradução Brasileira).-L..101-118. Barcelona. W. Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice.. Chenot. Comp.. (1985). Appl. (2001). (1989). Prager. U. J..C. Siegfried. PhD.582. Rodic. Amsterdam. Mech. P. T.-L.K. Wales. pp... 29. von Mises. S.III/3. [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] . pp. (1978). J.J. Math. Pineridge Press. (1988). Vol.. Chenot.. Metal Forming Analysis. Thesis. Lectures on Nonlinear Finite Element Analysis of Concrete Shells. R. Experimental studies of yield phenomena in biaxial loaded metals. Comp.16.. University College of Swansea. Phys. in Constitutive equations in viscoplasticity: Computational and Engineering Aspects. H. Meth.48. Simo. S. Vermeer. Thesis. Unified numerical analysis of cold and hot metal forming processes. (1980). Owen.H. Resistência dos Materiais.. Schönauer. Nair. Wagoner.68. & de Borst. E. Non-associated plasticity for soils.J. A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and multiplicative decomposition. Ziegler. Part II: Computational aspects. An Introduction to Thermodynamics. Vol. An Introduction to Plasticity.1-31.1-33. D. E.. & Taylor. (1984).R.. (1959). (1993). V.A. A numerical study of plasticity models and finite elements types. & Garg. Thomas. M. & Saczalski. Appl. U. Numerical Analysis of Thermomechanical Process During Deformations of Metals at High Temperatures. 3. Addison-Wesley. J. University College of Swansea. & Struct. R.J. (1976). Mechanic der Festen Körper in Plastisch Deformablem Zustand. (1996). J. The non-linear field theories of mechanics.A. S.. pp.K.Teoria da Plasticidade 63 [34] Oñate. Handbuch der Physic.H. Fundamentals of Metal Forming.. Berlin. ASME. concrete and rock.. North-Holland. R. Heron.L.K.. U.C. PhD.K. Espanha... pp. Vol. Vol2. Eng. (1983). Consistent tangent operators for rateindependent elastoplasticity. Simo. Swansea. Stricklin. Eng. (1913). Kl.A. (1864).). Rio de Janeiro..P. (1969). Géotechnique. [51] . J.4. & Lewis. Meth. Humpheson.P.671-689. O. C.. pp.. Int. finite element approach. Eng. Vol. I. & King.75-100. O. Associated and nonassociated visco-plasticity and plasticity in soil mechanics. Num.C. (1975).W.1. Zienkiewicz. S. pp. R.... Elasto-plastic solutions of engineering problems ´initial stress`. Valliappan.C. Vol.Teoria da Plasticidade 64 [50] Zienkiewicz. σ tensão normal genérica simbolo (da janela de simbolos. ou do mahtype σ.Teoria da Plasticidade 65 ⎛ ∂f ⎞ df = ⎜ ⎟ dσ + L σ . α ) = f ( σ ) − σ Y (α ) = 0 σ times new roman do mahtype (tensor) σ.symbol bold (vector) ⎝ ∂σ ⎠ T F ( σ. σ ) .
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