ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULODEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Programa de Pós-Graduação em Eng Mecânica – PPGEM PME-5015 - Tópicos da Teoria da Elasticidade Aplicados à Engenharia Mecânica 2a Lista de Exercícios – Estudo das Deformações 1) Numa deformação homogênea (ver item 80 do livro-texto), o campo de deslocamentos dos pontos do sólido é dado pela seguinte relação: ⎡ u ⎤ ⎡ a11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ v ⎥ = ⎢a 21 ⎢ w⎥ ⎢ a ⎣ ⎦ ⎣ 31 a12 a22 a32 a13 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ a23 ⎥.⎢ y ⎥ a33 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ r onde r = ( x, y, z ) b representa o vetor-posição de um dado ponto do sólido na configuração inicial (não-deformada) do mesmo e aij são constantes. Pede-se: a) determinar a relação entre a matriz (constante) A = [aij ] e o gradiente dos deslocamentos, [L] , dos pontos do sólido; b) mostre que, neste caso, linhas retas antes da deformação permanecem retas após a deformação; c) mostre que, neste caso, seções planas antes da deformação permanecem planas após a deformação; d) mostre que, neste caso, o alongamento (local) de uma fibra passando por um ponto do sólido segundo uma dada direção será sempre o mesmo (ou seja, independe do ponto tomado); e) mostre que, neste caso, a distorção (local) segundo duas direções inicialmente ortogonais será sempre a mesma para todos os pontos do sólido (uma vez fixadas as direções). 2) Considere a deformação homogênea num sólido deformável dada por: ⎡ u ⎤ ⎡ 0,2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ v ⎥ = ⎢ 0,03 ⎢ w⎥ ⎢0,003 ⎣ ⎦ ⎣ − 0,05 0,1 − 0,2 − 0,1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ − 0,02⎥.⎢ y ⎥ 0,03 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ Pede-se obter a equação do plano (na configuração deformada) que, na configuração inicial (nãodeformada), coincide com o plano Oxy. 1 na r configuração inicial é: n = (0. a partir da aproximação obtida no item (b). ) r 3 / 3 b e b) n = ( 2 / 2.8) b . considerando todas as possibilidades de fibras que passam pelo ponto P e que. d) a máxima distorção possível. 0 b .n e (γ / 2).002 ⎥⎦ 0 0. linear e quadrático). escritas na base b = ( e x . qual seria o maior erro relativo (dado por (ε m − ε ) / ε ). se considerarmos que m < 2 e que ε < 1% . Ramos Jr.3 e para as fibras cujos versores tangentes em r r r P.003 ⎣ − 0. desprezando os termos iguais ou superiores à ordem O(ε 3 ) . m pede-se: a) obter a relação ε m = ε m (ε ) . c) a magnitude da máxima distorção que a fibra mencionada em (b) poderá ter com outras que. onde ε é o alongamento linear (obtido para m = 1). 3) Considere que num dado ponto P de um sólido deformável o estado de deformações seja dado pelo seguinte tensor das deformações: [E ]b ⎡ 0.t ) para o ponto P do sólido cujo tensor das deformações é o indicado no ex.PME PME-5015 / Tópicos da Teoria da Elasticidade Prof. na configuração inicial. e y .003⎤ ⎥ 0 ⎥ 0. ) 2 / 2. 0.003 ⎢ =⎢ 0 ⎢− 0. ou seja.004 0 Pede-se: a) determinar a magnitude e a direção de ocorrência do maior alongamento em valor algébrico. 2 . R. são ortogonais a ela. e) as direções das fibras cuja distorção é indicada em (d). r r r 5) Determine o vetor-deformação ( δ ) e suas componentes ( ε . b) o alongamento (local) da fibra que passa por este ponto e cujo versor tangente (no ponto). considerando apenas os três primeiros termos da série (termo constante. 4) Lembrando que o alongamento ε m é definido (para valores não-nulos de m) por: εm = ( ) 1 m .6.EPUSP . 0. c) determine. são dadas por: r a) n = ( 3 / 3. 3 / 3. e z ) . na configuração inicial. b) faça a expansão em série de Taylor da relação obtida no item (a). são ortogonais entre si. λ −1 . 2 ⎥⎦ a) determinar o alongamento quadrático da fibra que passa pelo ponto e cujo versor tangente na r configuração inicial é dado por: n = ( 2 / 2. 7) Considere que o tensor das deformações em um dado ponto P de um sólido deformável.1⎤ ⎥ 0 ⎥ 0. as equações de transformação de deformação podem ser obtidas a partir da seguinte relação (mudança de base): [E ]b′ = [M ]t .EPUSP . no caso geral. e2 . 3 . é dada. expresso r r r na base formada pelas direções principais de deformação b = (e1 . e y . 2 / 2) .3 ⎢ =⎢ 0 ⎢− 0.PME PME-5015 / Tópicos da Teoria da Elasticidade Prof. b) obter o alongamento linear correspondente à fibra dada no item (a). 0. erz′ ) [M ] = matriz de mudança de base (da base b para a base b´).[M ] onde: [E ]b r r r = tensor das deformações escrito com relação à base de versores b = (e x . R. ery′ . é dado por: [E ]b ⎡ε 1 ⎢ = ⎢0 ⎢0 ⎣ 0 ε2 0 0⎤ ⎥ 0⎥ ε 3 ⎥⎦ Mostre que a distorção entre as fibras que passam pelo ponto. Ramos Jr.e y + m31.e z ). e cujos versores tangentes em P formam ângulos iguais com as direções principais de deformação. 6) Mostre que. e z ) [E ]b′ = tensor das deformações escrito com relação à nova base de versores b´ = (erx′ .e x + m21. em módulo por: γ = ε1 − ε 3 8) Seja o tensor das deformações de Green num determinado ponto P do sólido dado por: [E ]b ⎡ 0.4 0 − 0. e3 ) .[E ]b .: e x′ = m11.1 ⎣ 0 0. dada por: ⎡ m11 [M ] = ⎢⎢m21 ⎢m ⎣ 31 m12 m22 m32 m13 ⎤ ⎥ m23 ⎥ m33 ⎥⎦ construída de tal forma que a i-ésima coluna de [M ] corresponda às componentes do i-ésimo versor r r r r da base b´ escrito na base b (ex. PME PME-5015 / Tópicos da Teoria da Elasticidade Prof. c) obter a distorção entre as fibras que passam pelo ponto e cujos versores tangentes. antes da r r deformação. 2 / 2) e n = (− 2 / 2. 0.[ E ].{n} . R. Ramos Jr.EPUSP . eram dados por: n = ( 2 / 2. 0. 2 / 2) . d) verifique o erro cometido se para o cálculo acima fosse utilizada a aproximação (válida apenas r r para o caso de pequenas deformações) dada por: γ ≅ 2. 4 .{m}t .
Report "Teoria Da Elasticidade - Exercícios Estudo Das Deformações"