Teorema de MenelaoTriángulo ABC cortado por la recta EDF. El teorema de Menelao, atribuido a Menelao de Alejandría, es un teorema acerca de triángulos en geometría plana. Teniendo en cuenta los puntos A, B, C que forman el triángulo ABC, y los puntos D, E, F que se encuentran en las líneas de BC, AC, AB, entonces el teorema establece que D, E, F son colineales si y sólo si: En cambio, si se utilizan segmentos dirigidos, será: 1 Teorema de Ceva Sean X, Y, Z tres puntos cualesquiera de los lados BC, CA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas, término que procede del matemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734). Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva. El teorema de Ceva afirma: Denotamos por (ABX) el área del triángulo determinado por esos tres puntos. El recíproco del teorema de Ceva es cierto también. BY y CZ se cortan en un punto P.Si las tres cevianas AX. se obtiene que Multiplicando. Entonces De la misma forma. . entonces Demostración del teorema La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Es decir. BY y CZ son concurrentes. se cumple que si entonces las tres cevianas son concurrentes. Supongamos que las tres cevianas AX. tiene un correspondiente teorema de alineación: el teorema de Menelao. un teorema de concurrencia.El teorema Ceva. Entonces. En general pueden formularse del siguiente modo: . Sean X. Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC. AC y AB (o sus prolongaciones). una condición necesaria y suficiente para que los puntos X. están los llamados teoremas de configuración en los que se trata de un número finito de puntos y de rectas. Z estén alineados es que ALGUNOS TEOREMAS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Teorema de Ceva Teorema de Menelao Teorema de Desargues Teorema de Pappus Teorema del hexagrama "místico" de Pascal ______________________________________________________________ _________________________________________________ Entre los resultados más simples de la Geometría. Y. así como de su pertenencia recíproca. Este teorema dice lo siguiente. con puntos inaccesibles. al tratar los puntos y rectas notables de un triángulo. Son especialmente útiles para la resolución de problemas referentes a la construcción con diferentes restricciones como por ejemplo el trazado de figuras en una parte limitada del plano. Algunos constituyen el fundamento para la Geometría Proyectiva.647-1. en sus versiones originales son antiguos.Si algunos puntos pertenecen a una recta (o algunas rectas pasan por un punto) entonces algunos otos puntos están en una recta (o algunas otras rectas pasan por un punto). uno data de la Grecia antigua y el otro de 1. de C.678 Menelao de Alejandría fue un astrónomo griego que vivió en el primer siglo d. cuando el italiano Giovanni Ceva (1. se llamará recta ceviana del triángulo para dicho vértice. Este trabajo arroja considerable luz sobre el desarrollo griego de la trigonometría. Aunque el teorema de Ceva está estrechamente relacionado con el de Menelao. Ambos son potentes herramientas que permiten tratar elegantemente muchos problemas en los que interviene la colinealidad de puntos y la concurrencia de rectas. que se ha conservado hasta nuestros días en árabe. sabemos de algunas de ellas por las observaciones que han hecho estudiosos posteriores y su tratado de tres libros Sphoerica . Definiciones: Un punto que esté en un lado de un triángulo. parece que su descubrimiento fue eludido hasta 1.678. Aunque sus obras en el griego original no han llegado a nosotros. se llamará punto de Menelao del triángulo para dicho lado. pero que no coincida con ningún vértice.736) publicó un trabajo que contenía tanto este teorema como el teorema de Menelao. Una recta que pase por un vértice de un triángulo pero que no coincida con ningún lado. El teorema de Ceva está estrechamente relacionado con el de Menelao. Teoremas de Menelao y Ceva: Los teoremas de Menelao y Ceva. . Algunos de estos resultados se estudian en los cursos de Geometría elemental. Las tres cevianas son concurrentes si y sólo si se verifica: 1. 3. 2.. Y.Demuestra mediante este teorema que las 3 medianas de un triángulo se cortan en un punto.. BY y CZ tres cevianas. Z situados en los lados BC.Comprueba la veracidad del teorema. CA y AB de un triángulo (o en sus prolongaciones) están alineados si y solamente si: . Teorema de Menelao: Los puntos X.Experimenta trazando distintas cevianas..Teorema de Ceva: Sea ABC un triángulo cualquiera y sean AX. Demuestra que las bisectrices exteriores de los tres ángulos de un triángulo escaleno cortan a sus tres respectivos lados opuestos en tres puntos que están alineados.Y.Z se encuentren en las prolongaciones de los lados.. .Demuestra que las bisectrices interiores de dos ángulos de un triángulo escaleno y la bisectriz exterior del tercer ángulo cortan a sus respectivos lados opuestos en tres puntos que están alineados..Y. 2.1. Para profundizar: 4.Comprueba la veracidad del teorema...Experimenta en el caso de que sólo uno de los puntos X.Experimenta en el caso de que los tres puntos X.. 5. 3.Z esté fuera del triángulo.