UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCAFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Cátedra: TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA 1 Profesor: Carlos Morocho Cabrera Teoría Electromagnética Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Gauss Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga Conductores en el Campo Electrostático Dieléctricos en el Campo Electrostático 2 Profesor: Carlos Morocho Cabrera Teoría Electromagnética Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Gauss Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga Conductores en el Campo Electrostático Dieléctricos en el Campo Electrostático 3 Profesor: Carlos Morocho Cabrera Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Coulomb Charles Augustin de Colulomb (1736-1806), en 1875 midió por primera vez cuantitativamente las atracciones y repulsiones eléctricas y dedujo la ley que las rige. Existe una fuerza entre dos cargas, directamente proporcional a las magnitudes de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. 𝑞1 𝑞2 𝐹 ∝ 2 𝑟 𝐅, 𝑞1 , 𝑞2 𝜀 , 𝑟, Balanza de Torsión 4 Profesor: Carlos Morocho Cabrera 𝐹= 1 𝑞1 𝑞2 4𝜋𝜀 𝑟 2 Fuerza Carga eléctrica Permitividad del medio Distancia Newtons (N) Coulomb (C) metros (m) Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática El estudio de la interacción entre cargas en reposo se llama electrostática, y se fundamenta en la Ley de Coulomb. Para ello, considérese dos cargas puntuales, 𝑞1 y 𝑞2 , separadas por una distancia 𝑟12 y situadas en el vacío. Ambas cargas están en posiciones fijas 𝑟1 y 𝑟2 con respecto a una referencia de un sistema arbitrario de coordenadas cartesianas. La fuerza electrostática 𝐹𝑒,12 se refiere a la fuerza que ejerce la carga 𝑞1 sobre la carga 𝑞2 . Esta fuerza viene dada en términos del vector de posición relativo de 𝑞2 respecto de 𝑞1 . 𝐫12 =𝐫2 − 𝐫1 5 Profesor: Carlos Morocho Cabrera 𝐮12 𝐫12 𝐫2 − 𝐫1 = = 𝑟12 𝐫2 − 𝐫1 La Ley de Coulomb se escribe entonces: 𝐅𝑒. su dirección es a lo largo de la recta que une las dos cargas y su sentido va desde la carga 𝑞1 a la carga que experimenta la fuerza 𝑞2 .12 = 𝑘 𝑞1 𝑞2 𝐮 𝑟12 2 12 6 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . El vector unitario 𝐮12 determina la dirección y sentido de 𝐫12 .Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática El vector 𝐫12 tiene por módulo la distancia 𝑟12 entre las dos cargas (𝑟12 = 𝐫12 ). m2 . N −1 . la fuerza es repulsiva. de manera si 𝑞1 𝑞2 > 0 (las cargas tienen el mismo signo). m−2 es la permitividad del vacío. Su valor en el vacío es 𝑘 = 9 × 109 N. y si 𝑞1 𝑞2 < 0 (las cargas tienen signos opuestos).Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática 𝐅𝑒. 7 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . aunque es más común escribir 𝑘 = 1 4𝜋𝜀0 Donde 𝜀0 = 8.12 = 𝑘 𝑞1 𝑞2 𝐮 𝑟12 2 12 𝐮12 = 𝐫12 𝐫2 − 𝐫1 = 𝑟12 𝐫2 − 𝐫1 Siendo 𝑘 la constante de Coulomb. la fuerza es atractiva. C −2 . El sentido de la fuerza electrostática depende del valor del producto de las cargas 𝑞1 𝑞2 .85 × 10−12 C2 . 𝑁0 8 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . … .Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática La ley de Coulomb se generaliza para el caso de una distribución discreta de cargas puntuales (es decir. Por tanto la fuerza que ejerce una distribución discreta de cargas puntuales 𝑞1 .10 + 𝐅𝑒. … .20 + ⋯ + 𝐅𝑒. 𝐫𝑁 . 1. 𝐫2 . 𝑞2 .2.𝑁 0 = 𝐅𝑒. sobre una carga puntual 𝑞0 con vector de posición 𝐫0 .…. 𝑞𝑁 con vectores de posición 𝐫1 . es: 𝐅𝑒. número entero de cargas puntuales individuales separadas una de otra) según el llamado principio de superposición: las fuerzas aplicadas sobre la misma partícula se suman como vectores. 20 𝜇C.Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática Ejemplo 1. sabiendo que Q1 se sitúa en (0.3 𝑥 10−5 C? Ejemplo 2.Hallar la fuerza ejercida sobre la carga Q1. 0) m.Consideremos que las cargas totales positiva y negativa en una moneda de cobre se pueden separar una distancia tal que su fuerza de atracción sea de 4. 2) m y Q2 en (2. debida a la carga Q2 − 300 𝜇 C.. 1.5 N. 0. 9 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .. A qué distancia tendrán que estar si la magnitud de la carga q es 1. Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Coulomb Ejemplo 3. ¿Qué fuerza obra sobre q1?. 𝑞3 = − 2.3 𝑥 10−6 C.La siguiente figura muestra tres cargas. 𝑟13 = 10 cm. q1.. q2 y q3. y 𝜃 = 32°.7 𝑥 10−6 C. 𝑟12 = 15 cm. 10 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . Supóngase que 𝑞1 = −1.2 𝑥 10−6 C. 𝑞2 = +3. Tome como valores 𝑞 = 1.Cuál es la fuerza resultante sobre la carga colocada en el vértice inferior izquierdo del cuadrado?. Demuestre que la magnitud de la fuerza resultante en cualquiera de esas cargas es: 0.0 × 10−7 C y 𝑎 = 5.213𝑞 2 𝐹 = 𝜀0 𝑎2 11 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Coulomb Ejemplo 4.0 cm.Un cubo de arista 𝑎 tiene una carga punto 𝑞 en cada vértice... Ejemplo 5. .Dos bolas similares de masa 𝑚 se cuelgan de hilos de seda de longitud 𝑙 y llevan cargas similares 𝑞 . Supóngase que 𝜃 es tan pequeña que tan 𝜃 puede remplazarse por sin 𝜃 por ser aproximadamente igual. Haciendo esta aproximación demuestre que: 𝑥 = 𝑞 2 𝑙 2𝜋𝜀0 𝑚𝑔 1 3 12 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Coulomb Ejemplo 6. Pensamos en función de carga ⇌ campo y no desde el punto de vista de acción a distancia. Según la ley de Coulomb. La noción de campo eléctrico resuelve este problema. y sin embargo ninguna interacción puede propagarse a velocidad infinita. Para ello se requiere: • El cálculo de campos establecidos a partir de distribuciones de cargas dadas. la fuerza electrostática actúa instantáneamente entre cargas que se encuentran separadas una de la otra. en función de carga ⇌ carga. nos encontramos con el problema de la acción de la distancia. El campo eléctrico juega un papel intermedio en las fuerzas que obran entre las cargas. • El cálculo de las fuerzas que campos dados ejerzan sobre cargas colocadas en ellos.Electrostática y Ley de Coulomb Campo Eléctrico creado por cargas puntuales Al analizar la expresión de la ley de Coulomb para la interacción entre dos cargas puntuales en reposo. 13 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . 1. La carga 𝑞1 produce un campo eléctrico en el espacio que le rodea. Las cargas están arbitrariamente lejos una de la otra. con vector de posición 𝐫. Podemos pensar que la carga fuente 𝑞0 ha modificado el espacio que la rodea de tal manera que.Electrostática y Ley de Coulomb Definición de Campo Eléctrico Consideremos una carga puntual 𝑞 . 14 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . que experimenta una fuerza electrostática 𝐅𝐞 debida a la acción de otra carga puntual 𝑞0 que está en 𝐫0 . en cada punto de este espacio. El campo obra sobre la carga 𝑞2 . 2. la interacción entre la carga fuente 𝑞0 y la carga 𝑞 ya no es una acción a la distancia. ha creado un campo eléctrico. sino una interacción de contacto entre el campo eléctrico que crea 𝑞0 en el punto 𝐫 y la carga 𝑞 que se encuentra también en ese punto. Así. esto se pone de manifiesto por la fuerza F que experimenta 𝑞2 . es la fuerza electrostática ejercida sobre una carga de prueba 𝑞 dividida por la propia carga de prueba. tal que 1V = 1N. suponemos que 𝑞 es pequeña en comparación con 𝑞0 . la unidad de campo eléctrico resulta V/m. Se dice entonces que 𝑞 es una carga de prueba. 𝐅𝑒 𝐄 = 𝑞 es decir. Se usa a menudo otra unidad. Se define el campo eléctrico como la fuerza electrostática 𝐅𝒆 que ejerce 𝑞0 sobre 𝑞 . N 15 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . llamada voltio (V). m. La unidad SI de campo eléctrico es C .Electrostática y Ley de Coulomb Definición de Campo Eléctrico Para obtener el campo eléctrico creado por 𝑞0 en 𝐫. C−1 . de tal manera que no afecta considerablemente al proceso de medición de campo eléctrico. Con ello. Electrostática y Ley de Coulomb Intensidad de campo eléctrico Cuando la fuente del campo eléctrico es una carga puntual 𝑞0 situada en el punto 𝑃0 . es: 𝐅𝑒 𝑞0 𝐄 = = 𝐮 𝑞 4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑃0 𝑃 𝑃0𝑃 𝐮𝑃0𝑃 𝐄 𝐫 = 𝑘𝑞0 𝐫 − 𝐫0 2 𝐮𝑃0𝑃 𝐫 − 𝐫0 = 𝐫 − 𝐫0 𝐫 − 𝐫0 = 𝑘𝑞0 𝐫 − 𝐫0 3 16 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . con vector de posición 𝐫. con vector de posición 𝐫0 . de la ley de Coulomb se obtiene que el campo eléctrico 𝐄(𝐫) creado por 𝑞0 en el punto P. Electrostática y Ley de Coulomb Intensidad de campo gravitacional La definición de campo gravitacional 𝐠 es muy semejante a la de intensidad de campo eléctrico.1083 x 10−31 kg 17 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . salvo que es la masa del cuerpo de prueba y no su carga la propiedad que interesa. N/kg 𝐄 = → N/C Partícula Protón Neutrón Electrón 1𝑒 = 1.60206 × 10−19 C Símbolo 𝑝 𝑛 𝑒 − Carga +𝑒 0 −𝑒 Masa 1. 𝐠 = 𝐅 𝑚 𝐅𝑒 𝑞 → m/s2 .67239 x 10−27 kg 1.67470 x 10−27 kg 9. Tanto 𝐠 como 𝐄 se expresan como una fuerza dividida entre una propiedad (masa o carga) del cuerpo de prueba. Electrostática y Ley de Coulomb Campo Eléctrico Ejemplo 7. (b) Hacia dónde tendría que apuntar 𝐄 para contrarrestar la fuerza gravitacional? 18 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . colocado en el campo.(a) Cuál es la magnitud de la intensidad de campo eléctrico 𝐄 tal que un electrón.. experimenta una fuerza eléctrica igual a su peso?. sobre un punto 𝐫 es: : 𝐄 1. … . El campo eléctrico creado por una distribución discreta de cargas puntuales 𝑞1 .…. 𝐫2 . el campo eléctrico satisface también. como lo hacía la fuerza electrostática.Electrostática y Ley de Coulomb Campo Eléctrico – Distribuciones discretas de cargas puntuales Para una distribución discreta de cargas puntuales. … . indicando que los campos eléctricos que actúan en el mismo punto se suman como vectores. el principio de superposición. 𝑞𝑁 . 𝐫𝑁 .2.𝑁 𝐫 = 𝐄1 𝐫 + 𝐄2 𝐫 + ⋯ + 𝐄𝑁 (𝐫) 19 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . situadas en los puntos 𝐫1 . 𝑞2 . Electrostática y Ley de Coulomb Líneas de campo eléctrico Para representar gráficamente un campo. Sin embargo. estas líneas son también tangentes a la fuerza que experimenta una carga de prueba en ese punto. La figura muestra varias líneas de campo. donde se muestran las componentes 𝐸𝑥 y 𝐸𝑦 (esto para el caso de un campo de dos dimensiones. éste se lo hace a través de las líneas de campo. En el caso eléctrico. ya que la trayectoria no depende sólo de la aceleración sino también de la velocidad. las líneas de campo eléctrico no tiene por qué coincidir con la trayectoria que seguiría la carga de prueba. que son líneas tangentes al campo en cada punto del espacio. es evidente que: 𝐸𝑦 𝑑𝑦 = 𝐸𝑥 𝑑𝑥 20 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . donde 𝐸𝑧 = 0). Con base a la geometría. Líneas muy cercanas. 21 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . La tangente a una línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de 𝐄 en ese punto. 𝐄 es grande. y líneas muy alejadas. Las líneas de fuerza se dibujan de modo que el número de líneas por unidad de área de sección transversal sea proporcional a la magnitud 𝐄 . 2.Electrostática y Ley de Coulomb Líneas de campo eléctrico La relación entre las líneas de fuerza (imaginarias) y el vector intensidad de campo es el siguiente: 1. 𝐄 es pequeña. el campo eléctrico tiene la expresión: 𝑁 𝐫 − 𝐫𝑛 𝐄 = 𝑘𝑞𝑛 𝐫 − 𝐫𝑛 3 𝑛=1 Por extensión. la distribución de carga de un cuerpo no se puede describir adecuadamente como un conjunto discreto de cargas puntuales en su interior.Electrostática y Ley de Coulomb Campo eléctrico – Distribuciones continuas de carga En situaciones macroscópicas. cuando se tiene una distribución continua de carga tenemos y 𝑞 → 𝑑𝑞 (𝑑𝑞 ubicada en 𝐫 ′ ). Cuando se tiene un conjunto de cargas puntuales. Con ello la expresión para el campo queda: 𝐄 = 𝑘 22 → 𝐫 ′ 𝐫 − 𝐫 ′ 𝑑𝑞 𝐫 − 𝐫 ′ 𝟑 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . se considera la carga en un cuerpo macroscópico como una distribución continua en su interior. En lugar de esto. 𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫 ′ 𝜆(𝐫 ′ ) ′ 𝑑𝑙 𝐫 − 𝐫 ′ 𝟑 23 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .Electrostática y Ley de Coulomb Distribuciones de Carga – Carga Lineal En este caso se tiene una densidad lineal 𝜆(𝐫 ′ ) [C/m] de modo que el elemento diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜆 𝐫 ′ 𝑑𝑙. 𝐄 = 𝑘 𝑆 𝐫 − 𝐫 ′ σ(𝐫 ′ ) 𝑑𝑠 𝐫 − 𝐫 ′ 𝟑 24 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .Electrostática y Ley de Coulomb Distribuciones de Carga – Carga Superficial En este caso se tiene una densidad superficial de carga 𝜎(𝐫 ′ ) [C/m2 ] de modo que el elemento diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜎 𝐫 ′ 𝑑𝑠. 𝐄 𝐫 = 𝑘 𝐫 − 𝐫 ′ 𝜌 ′ 𝑑𝑣 𝐫 − 𝐫 ′ 3 25 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .Electrostática y Ley de Coulomb Distribuciones de Carga – Carga Volumétrica Consideremos una distribución de carga en volumen representada por el campo escalar 𝜌(𝐫 ′ ) [ C/m3 ] de modo que el elemento diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜌 𝐫 ′ 𝑑𝑣 ′ . el grupo así formado se llama dipolo eléctrico.Electrostática y Ley de Coulomb Cálculo de Campo Eléctrico Ejemplo 8. 26 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . separados una distancia 2𝑎..La siguiente figura muestra una carga positiva y una carga negativa de igual magnitud 𝑞 . Supóngase que 𝑟 ≫ 𝑎. Cuál es el campo E debido a esas cargas en el punto P. a una distancia 𝑟 según la perpendicular bisectriz de la línea que une las cargas?.Dipolo Eléctrico.. .La siguiente figura muestra una carga 𝑞1 = +1.0 × 10−6 C. En qué punto de la línea que une las dos cargas es nula la intensidad de campo eléctrico? 27 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .Electrostática y Ley de Coulomb Cálculo de Campo Eléctrico Ejemplo 9.0 × 10−6 C a 10 cm de una carga 𝑞2 = +2. La siguiente figura muestra un anillo de carga 𝑞 y de radio 𝑎. 28 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . Calcúlese E para puntos situados en el eje del anillo a una distancia 𝑥 de su cetro. Este elemento produce un campo eléctrico diferencial 𝑑𝑬 en el punto P. localizado en la parte superior del anillo. Contiene un elemento cuya carga se expresa así: 𝑑𝑞 = 𝑞 𝑑𝑠 2𝜋𝑎 Siendo 2𝜋𝑎 la circunferencia del anillo..Electrostática y Ley de Coulomb Cálculo de Campo Eléctrico Ejemplo 10. Considérese un elemento diferencial del anillo de longitud 𝑑𝑠. la carga por unidad de longitud. 29 Profesor: Carlos Morocho Cabrera ..Electrostática y Ley de Coulomb Cálculo de Campo Eléctrico Ejemplo 11..Línea de carga. Calcúlese el campo E a una distancia 𝑦 de la línea. medida en C/m) tiene el valor constante 𝜆.La siguiente figura muestra una porción de una línea infinita de carga cuya densidad lineal de carga (esto es. Electrostática y Ley de Coulomb Campo eléctrico . Si se conoce el 𝐄 externo y se mide la aceleración de una carga prueba inmersa en él. Por tanto. 30 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . consideraremos el comportamiento de una carga prueba 𝑞 inmersa en un campo eléctrico. La segunda ley de Newton establece que una partícula de masa 𝑚 sometida a una fuerza externa 𝐅 sufre una aceleración 𝐚 = 𝐅/𝑚 . De la definición de campo eléctrico. la aceleración que adquiere debida al campo eléctrico externo es: 𝐚 = 𝑞 𝐄 𝑚 Siendo 𝑚 la masa de la partícula cargada. la carga de prueba está sometida a una fuerza electrostática 𝐅𝑒 = 𝑞𝐄. la ecuación anterior nos informaría la relación carga-masa de la partícula.Movimiento de una carga prueba Conocido el 𝐄 creado por cierta distribución de carga estática. . Describa su movimiento.Electrostática y Ley de Coulomb Movimiento de una carga prueba Ejemplo 12.Una partícula de masa 𝑚 y carga 𝑞 se coloca en reposo en un campo eléctrico uniforme y se suelta. 31 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . Electrostática y Ley de Coulomb Energía potencial electrostática El trabajo que realiza una fuerza en el desplazamiento de una partícula sobre la que actúa es una medida de lo eficaz que es esa fuerza para que la partícula realice ese desplazamiento. 𝑑𝐫 32 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . Cuando la fuerza es conservativa. el trabajo que realiza se relaciona con la variación de una energía potencia. El trabajo que realiza la fuerza eléctrica 𝐅𝑒 = 𝑞𝐄 en una trayectoria de la carga de prueba 𝑞 desde el punto A al punto B es: 𝐵 𝑊 = 𝐴 𝐅𝑒 . Consideremos una carga de prueba 𝑞 que se mueve bajo la influencia del campo eléctrico 𝐄 creado por cierta distribución de carga. Electrostática y Ley de Coulomb Energía potencial electrostática La fuerza electrostática es conservativa. podemos definir la energía potencial por unidad de carga como: 𝑊 = −𝑞 𝑉 𝐵 − 𝑉(𝐴) 𝑉 = 𝑈𝑒 𝑞 → Potencial electrostático −𝑊 ∆𝑉 = 𝑉 𝐵 − 𝑉 𝐴 = 𝑞 33 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . debido a que el campo electrostático no depende explícitamente ni de la velocidad de la carga de prueba ni del tiempo. Dado que el campo eléctrico es la fuerza por unidad de carga. El trabajo realizado por la fuerza electrostática sobre una carga prueba se escribe entonces: 𝑊 = − 𝑈𝑒 𝐵 − 𝑈𝑒 𝐴 = −∆𝑈𝑒 Donde 𝑈𝑒 es la energía potencial electrostática. su momento de dipolo 𝐩 forma un ángulo 𝜃 con 𝐄. La dirección de 𝐩 para el dipolo es de la carga negativa a la positiva. 34 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . El dipolo se coloca en un campo eléctrico uniforme externo E.Electrostática y Ley de Coulomb Dipolo en un campo eléctrico El momento de un dipolo eléctrico se puede considerar como un vector 𝐩 cuya magnitud 𝑝 es el producto 𝑑𝑞 de la magnitud de cualquiera de las cargas 𝑞 por la distancia 𝑑 entre las cargas. 𝜃 𝑈 = 𝑝𝐸 𝜃0 sin 𝜃 𝑑𝜃 35 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .Electrostática y Ley de Coulomb Dipolo en un campo eléctrico 𝑝 = 𝑑𝑞 𝛕 = 𝐩 × 𝐄 Un dipolo eléctrico colocado en un campo eléctrico externo 𝐄 experimenta un momento que tiende a alinearlo con el campo. Este trabajo queda almacenado como energía potencial 𝐔 en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo usado para establecer el campo externo. Existe un trabajo (positivo o negativo) mediante un agente externo para cambiar la orientación de un dipolo eléctrico en un campo externo. 0 cm. a partir de una posición colineal al campo (𝜃 = 0°)? 36 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .0 × 10−6 C separadas una distancia 𝑑 = 2.Electrostática y Ley de Coulomb Dipolo en un campo eléctrico Ejemplo 13.. a) Cuál es el máximo momento que ejerce el campo en el dipolo? b) Cuánto trabajo debe hacer un agente exterior para dar al dipolo media vuelta. El dipolo está colocado en un campo externo de 1.0 × 105 N/C.Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas opuestas de magnitud 𝑞 = 1. Teoría Electromagnética Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb Ley de Gauss Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga Conductores en el Campo Electrostático Dieléctricos en el Campo Electrostático 37 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . Se define el flujo Ψ de 𝐴 a través de la superficie 𝑆 como la Integral de superficie del producto de dos vectores. 𝑎𝑛 𝑎𝑛 vector unitario normal a S.Volumen que cruza una superficie en unidad de tiempo. Consideremos un campo vectorial 𝐴 definido en todo el espacio y una superficie cualquiera 𝑆.. El concepto general de flujo es algo que cruza una superficie. El flujo Ψ es un campo escalar que depende del sentido en que se escoja el vector unitario 𝑎𝑛 .Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Concepto general de flujo Flujo de Fluido. 𝑑𝑠 𝑑𝑠 = 𝑑𝑠. Ψ= 𝑆 𝐴. El elemento de tiempo no es fundamental al concepto de flujo mientras que la superficie sí. 38 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . Flujo en esfera cerrada Definición producto punto. el producto punto o producto escalar se define como el producto de la magnitud de A. 𝐁 = 𝐀 𝐁 cos 𝜃𝐴𝐵 39 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Concepto general de flujo Para superficies cerradas. 𝐀.) se usará para designar el producto punto de dos vectores. la magnitud de B y el coseno del ángulo menor entre ellos.. se define el flujo Ψ de 𝐴. como: Ψ= 𝐴.Dado dos vectores A y B. 𝑑𝑆 El símbolo (. También por definición. Ψ=Q (C) Mientras el flujo eléctrico Ψ es una cantidad escalar. 40 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . el flujo eléctrico Ψ se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. el flujo Ψ termina en el infinito.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Flujo eléctrico y densidad de flujo Por definición. la densidad de flujo eléctrico D es un campo vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo. En ausencia de cargas negativas. un coulomb de carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo eléctrico. en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico 𝐄. 𝐃 = 𝑑Ψ 𝒂 𝑑𝑆 𝑛 A la densidad de flujo se la mide en C/m2 (unidad algunas veces descrita como “líneas por metro cuadrado”.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Flujo eléctrico y densidad de flujo La densidad de flujo eléctrico 𝐃 es un campo vectorial que pertenece a la clase de los campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta del tipo de “campos de fuerza”. 41 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . porque cada línea se debe a un coulomb). La dirección de 𝐃 en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas. dividida entre el área de la superficie. 𝑑𝑺 42 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . la densidad de flujo eléctrico 𝐃 puede variar en magnitud y dirección en cada punto de 𝑆. 𝐃 hace un ángulo 𝜃 con la normal 𝑎𝑛 . Sin embargo. entonces el flujo diferencial que cruza 𝑑𝑆 está dado por: 𝑑Ψ = 𝐷𝑑𝑆 cos 𝜃 = 𝑫. En general 𝐃 no estará a lo largo de la normal a 𝑆. el flujo neto que cruza una superficie cerrada 𝑆 (de una distribución de carga volumétrica de carga de densidad 𝜌) representa una medida exacta de la carga neta encerrada.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Flujo eléctrico y densidad de flujo Dado que cada coulomb de carga Q tiene por definición un coulomb de flujo Ψ. Si en el elemento de superficie 𝑑𝑆. 𝑑𝑆𝑎𝑛 = 𝑫. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑐 43 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . que establece que el flujo total que sale de una superficie cerrada es igual a la carga neta contenida dentro de la superficie. 𝑑𝐒 sobre la superficie cerrada 𝑆 (puesto que Ψ = 𝑄) da la ley de Gauss. 𝑑𝐒 𝐃.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Ley de Gauss La integración de la expresión 𝑑Ψ = 𝐃. 𝑑Ψ = 𝐃. 44 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . Para un campo eléctrico. el flujo (Ψ) se mide por el número de líneas de corriente que atraviesan la superficie.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Flujo de campo eléctrico Para un campo de flujo. Para superficies cerradas. Ψ𝐸 es positiva para la superficie 𝑆1 . Ψ𝐸 es negativa para la superficie 𝑆2 . el Ψ𝐸 es positivo si las líneas de fuerza apuntan hacia afuera en todos lados y negativo si apuntan hacia dentro. el flujo (Ψ𝐸 ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie. El número de líneas ha de ser proporcional al área S de la superficie. El número N de líneas de campo que atraviesan una superficie es proporcional al campo. 45 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . para ello se considera un vector unitario normal 𝐚𝑛 perpendicular a la superficie y hacia afuera en cada punto. 1. pues la intensidad de campo viene determinada por la densidad numérica de las líneas. más líneas atraviesan la superficie. El número de líneas depende de la orientación de la superficie. 2. consideremos una superficie hipotética donde se han dibujado algunas líneas eléctricas correspondientes a un campo uniforme y que atraviesan una superficie plana de área S. pues a mayor área.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Flujo de campo eléctrico Para entender el significado de flujo. 3. ∆𝐒 𝐄. Los vectores 𝐄 y Δ𝐒 que caracterizan a cada cuadrado forman un ángulo 𝜃 entre sí. siendo 𝐄 constante en todos los puntos de un cuadrado dado. 𝑑𝐒 46 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . En forma semicuantitativa se define el flujo: Ψ𝐸 ≅ Ψ𝐸 = 𝐄.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Flujo de campo eléctrico Se considera una superficie dividida en cuadrados infinitesimales. ¿Cuál es el Ψ𝐸 para esta superficie cerrada? 47 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .La siguiente figura muestra un cilindro hipotético de radio R colocado dentro de un campo eléctrico uniforme E.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Flujo de campo eléctrico Ejemplo 14. estando el eje del cilindro paralelo al campo.. entonces por simetría. 𝐃 debida a 𝑄 es de magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal a ella. La ley de Gauss establece: → 𝐃.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Relación entre la densidad de flujo y la intensidad de campo eléctrico Considérese una carga puntual 𝑄 (positiva para simplificar) localizada en el origen. Si está encerrada por una superficie esférica de radio 𝑟 . 𝑑𝐒 = 𝑄 𝑄 = 𝐷 𝑑𝑆 = 𝐷(4𝜋𝑟 2 ) 𝑄 𝐷 = 4𝜋𝑟 2 Se conoce que la intensidad de campo eléctrico debido a Q es: 𝑄 𝐄 = 𝐚 4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟 Se concluye: 𝐃 = 𝜀0 𝐄 48 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . o que la atraviesan un número par de veces. siendo 𝑄1 la carga encerrada por la superficie. 𝑑𝐒 = 𝑆 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜀0 Ψ𝐸 a través de la superficie S es 𝑄1 𝜀0. 𝐄. El resto de la carga. es una fuente de líneas de campo que no atraviesan la superficie. que es 𝑄 − 𝑄1 . 49 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Ley de Gauss La Ley de Gauss resume todo esto: el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada cualquiera es igual a la carga total encerrada por ella (𝑄𝑖𝑛𝑡 ) dividida por 𝜖0 . de modo que esta carga no contribuye al flujo. . 3. 𝑄2 = 150nC y 𝑄3 = −70nC.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Aplicaciones de la ley de Gauss Ejemplo 15. Obtenga 𝐃 en (3.Tres cargas puntuales.Una carga puntual 𝑄 = 30nC está localizada en el origen de las coordenadas cartesianas. 50 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . Ejemplo 18. -4) m. están encerradas por una superficie S..Hallar la carga en el volumen definido por 0 ≤ 𝑥 ≤ 1m.. ¿Qué flujo neto cruza por S?. 0 ≤ 𝑦 ≤ 1m y 0 ≤ 𝑧 ≤ 1m. si 𝜌 = 30𝑥 2 𝑦 (μC/m3 ).Dos cargas lineales uniformes idénticas yacen a lo largo de los ejes 𝑥 y 𝑦 con densidades de carga 𝜌𝑙 = 20μC/m. 3) m. ¿Qué ocurre para los límites −1 ≤ 𝑦 ≤ 0m? Ejemplo 17. 𝑄1 = 30nC. Ejemplo 16.. 3. Hallar la densidad de flujo eléctrico 𝐃 en (1. 51 Profesor: Carlos Morocho Cabrera . La densidad de carga 𝑝 (carga por unidad de volumen.La siguiente figura muestra una distribución de carga esférica de radio R..Campo creado por una esfera homogénea. C/m3 ) en cualquier punto depende sólo de la distancia del punto al centro y no de la dirección.. Encuéntrese una expresión para 𝐄 para puntos (a) fuera y (b) dentro de la distribución de carga.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Aplicaciones de la ley de Gauss Ejemplo 19. condición que se llama simetría esférica. La siguiente figura muestra una porción una lámina no conductora delgada infinita de carga.Flujo Eléctrico y Ley de Gauss Ley de Gauss Ejemplo 20. C m2) es constante.. la densidad superficial de carga 𝜎 (carga por unidad de área.Una lámina de carga. Cuál es E a una distancia 𝑟 enfrente del plano? 52 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .. UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Cátedra: TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA 53 Profesor: Carlos Morocho Cabrera .