1Tentativas De Demonstração Do Quinto Postulado De Euclides Sabe-se muito pouco sobre Euclides. Sabe-se que nasceu depois dos discípulos diretos de Platão, mas antes de Erastóstenes e Arquimedes e que viveu em Alexandria quando Ptolomeu governava o Egito, ou seja, entre 306 e 283 antes de Cristo. Os Elementos foram escritos por volta do ano 300 a.c com o intuito de formular e organizar os resultados da geometria anterior. Nesta obra, dividida em 13 livros, Euclides não se limita, porém a compilar resultados dos matemáticos que o antecederam, mas tem a preocupação de, em muitos casos, aperfeiçoar as demonstrações. Excetuam -se alguns resultados para os quais considerava não existir demonstração satisfatória e o estudo das cônicas, sobre as quais Euclides terá escrito uma obra intitulada de ³Cônicas´ que não chegou aos nossos dias . Embora, antes de Euclides, já outros matemáticos, como Hipócrates de Quios, tenham reunido os conhecimentos disponíveis no seu tempo num único livro, a mestria da obra de Euclides foi tal que suplantou todas as que a antecederam e das quais não sobreviveu uma única cópia. Trata-se de fato de uma obra sem rival que durante séculos atraiu a atenção dos maiores matemáticos e que constituía um modelo de como a lógica pode funcionar. A obra começa com definições de termos geométricos (embora nem todas sejam atualmente consideradas satisfatórias), definições essas que não eram mais do que descrições que se pretendiam compreensíveis, para que se percebesse do que é que se estava a falar. Depois das definições, Euclides aponta cinco post ulados ou suposições fundamentais sobre objetos geométricos. Esses postulados são: 1. (É possível) traçar uma e uma só linha reta de qualquer ponto a qualquer outro ponto. 2. (É possível) prolongar continuamente um segmento, a partir de qualquer das suas e xtremidades numa linha reta [tanto quanto se queira] 3. (É possível) traçar uma circunferência com qualquer centro e raio. 4. Todos os ângulos retos são iguais. 5. Se uma linha reta cai sobre outras duas de modo que os dois ângulos internos de um mesmo lad o sejam nos seus conjuntos [isto é, na sua soma] menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram -se num ponto do mesmo lado em que os dois ângulos são inferiores a dois retos. Euclides apresenta em segu ida cinco noções comuns (aquilo a que hoje chamamos axiomas) consideradas evidentes, verdadeiras (não apenas na geometria), e necessárias para as demonstrações: 1. Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si. 2. Se a quantidades iguais se adicionam qua ntidades iguais, obtêm -se quantidades iguais. 3. Se a quantidades iguais se subtraem quantidades iguais, obtêm -se quantidades iguais. 4. Coisas que coincidem são iguais. 5. O todo é maior que a parte. 2 Uma das razões pelas quais esta obra é tão grandiosa é o fato de tanto ter sido deduzido de tão pouco. Na verdade, demonstrar 465 proposições, partindo de apenas cinco postulados, cinco noções comuns e algumas definições é um grande feito. Contudo, muitos matemáticos posteriores acreditaram que o mesmo podia ser obtido com apenas os primeiros quatro postulados e, que o quinto postulado não era mais do que uma proposição demonstrável a partir dos primeiros quatro postulados. Ou seja, para estes matemáticos não fazia sentido verificarem -se os quatro primeiros postulados e não se verificar o quinto, pois este seria conseqüência lógica dos outros quatro. Daí a idéia de tentar demonstrar o quinto postulado. Aliás, o próprio Euclides também terá visto algo de especial no quinto postulado, razão pela qual não o utiliza na demonstração das primeiras 28 proposições (e só a partir da 32ª todas o utilizam). É quase como se Euclides evitasse a sua utilização tanto quanto possível. Muitas foram as tentativas de demonstrar o quinto postulado ao longo da história, mas ninguém o conseguiu fazer corretamente, até porque, como mais tarde se viria a provar, essa demonstração é impossível! Dos matemáticos que se embrenharam nesta tarefa impossível, foram vários os que chegaram a acreditar (erradamente) que o tinham conse guido. Em muitos desses casos, o erro estava na utilização (ainda que implícita) de outro postulado equivalente ao quinto postulado dos Elementos de Euclides, como viria a ser descoberto pelos próprios ou por algum matemático posterior. Postulado das Paral elas Embora o enunciado do quinto postulado não fale diretamente em linhas paralelas, ele é também conhecido por Postulado das Paralelas. Nos Elementos, as linhas retas paralelas são definidas como linhas retas que estão no mesmo plano e, se prolongadas indefinidamente em ambas as direções, não se encontram em nenhuma delas. Transpondo para linguagem corrente, pode -se considerar que a definição diz que retas paralelas são retas definidas no mesmo plano que não se intersectam. No âmbito da geometria euclidiana, é impossível demonstrar a 29ª proposição sem o quinto postulado: Proposição 29 - uma linha reta que corta duas linhas retas paralelas faz os ângulos alternos iguais entre si, o ângulo externo igual ao ângulo inter no oposto e a soma dos ângulos internos do mesmo lado igual a dois ângulos retos. A demonstração desta proposição é talvez a primeira relação do postulado com o paralelismo (até porque a 29ª proposição é a primeira em cuja demonstração é utilizado este pos tulado). Foi por aqui que enveredaram alguns dos matemáticos que tentaram demonstrar o quinto postulado (como Ptolomeu). Contudo, ao provarem corretamente esta proposição tinham de necessariamente utilizar um postulado equivalente ao quinto. Esta dificuldade em demonstrar a 29ª proposição sem o quinto postulado foi incorretamente ultrapassada, com a utilização de uma definição especial de paralelismo. Para Posidônio (século I a.C), ³linhas paralelas são linhas num único plano que não convergem nem divergem, mas têm todas as perpendiculares, desenhadas dos pontos de uma para os da outra, iguais ´ (Proclus, séc. V, 176.5176.11). Isto é, duas retas são paralelas se forem eqüidistantes, ou seja, se a distância medida numa ou a uma similar. afirmar que retas paralelas são eqüidistantes é equivalente a afirmar o próprio quinto postulado de Euclides. isso não se verificará. com base nesse erro. Para infortúnio dos que recorreram a esta definição. foram propostas várias de monstrações do quinto postulado. duas retas não se intersectam se e só se estiverem sempre à mesma distância. substitui geralmente o quinto postulado de Euclides na construção axiomática da geometria euclidiana. . À primeira vista. A designação de Postulado das Paralelas torna -se mais intuitiva se considerarmos o axioma de Playfair. se tomar em conta que aí se apresenta um estudo sobre o quinto postulado de Euclides (e até uma demonstração). mas que não são eqüidistante s. Foi o autor de um famoso tratado de astronomia em 13 livros. ou Claudius Ptolemaeus. séc. mas não se chegam a intersectar. compreende -se que o que Ptolomeu afirma no título do livro é precisamente o quinto postulado de Euclides. de fato. como o caso da hipérbole e da conchoide com as suas assimptotas. Proclus apresenta as demonstrações de Ptolomeu para as proposições 28 e 29 dos Elementos e para o quinto postulado de Euclides. Embora não reproduza toda a argumentação que Ptolomeu utilizou para demonstrar esses teoremas. em Alexandria. Apesar de acreditar na demonstrabili dade do quinto postulado. para demonstrar o quinto postulado. que chegou até à atualidade através de uma tradução árabe: Almagesto. Porém. o axioma de Playfair é mais conhecido do que propriamente o quinto postulado dos Elementos de Euclides. O livro (que não chegou até aos nossos dias) intitulava -se ³Que linhas prolongadas de ângulos menores que dois ângulos retos encontram -se uma com a outra´. O título pode hoje não fazer muito sentido. vários matemáticos voltaram a insistir em definições de paralelismo deste tipo e. Ao longo da história. Proclus escreve: ³a sua demonstração [do quinto postulado] utiliza muitos dos teoremas estabelecidos pelo auto r dos Elementos precedentes a este [a proposição 29] ´ (Proclus. ou seja. será possível haver retas que não se intersectam. V.8-10). O axioma de Playfair foi proposto em 1796 por John Playfair e. A Demonstração do quinto Postulado de Euclides por Ptolomeu Ptolomeu. Por essa razão. é num outro livro que Ptolomeu apresenta a sua demonstração do quinto postulado de Euclides. A propósito da proposição 29 e referindo -se a Ptolomeu. 365. no sentido em que os ângulos que r efere são os dois ângulos também referidos no dito postulado como menores que dois retos. muitos dirão que esta nova definição nada tem de err ado e que. Mas.3 qualquer perpendicular de uma delas for sempre igual. existe uma e uma só reta contendo o ponto e paralela à reta dada. equivalente ao quinto postulado de Euclides: dada uma reta e um ponto exterior. se não for suposto o quinto postulado. independentemente da perpendicular escolhida. Proclus percebe que a definição de paralelismo de Posidônio não é correta e refere a existência de linhas que se aproximam cada vez mais. desde então. foi geógrafo e astrônomo e viveu no século II. Contudo. como a linha reta GF corta a linha AB. então AF e C H também se encontram (por ambas satisfazerem as tais condições). ou se a soma dos ângulos internos do mesmo lado for igual a dois ângulos retos . 362. Conseqüentemente os ângulos AFG. as linhas retas são paralelas se não se intersectarem (não secantes). estão determ inados como iguais a dois ângulos retos.Se uma linha reta ao cortar outras duas. isto é. Nesta demonstração Ptolomeu queria provar que duas linhas que satisfazem certas condições nunca se intersectam. logo também FA e GC quando prolongadas irão encontrar -se. ela faz os ângu los AFG e BFG iguais a dois ângulos retos. É por isso impossível que linhas se encontrem quando os ângulos internos são iguais a dois ângulos retos. Ptolomeu parece cometer um erro ao não justificar devidamente um passo da demonstração. Eu digo que as linhas retas são paralelas.4 Proposição 28 . BFG. Suponhamos então que FA e GC encontram -se em L. ou seja. AFG e CGF. CGF e DGF são iguais a quatro ângulos retos. Do mesmo modo. no entanto. as linhas retas são paralelas entre si. não secantes. então. forem iguais a dois ângulos retos. O que Ptolomeu tinha que provar era que se FB e GD se . a dada altura. mas não pode fazê -lo ao provar que é um absurdo que as linhas que satisfazem essas condições se encontram sempre. séc V. Se então. Vejamos a demonstração da proposição 28 do livro I dos Elementos de Euclides feita por Ptolomeu a partir do modo como Proclus a transcreve: ³Sejam AB e CD duas linhas retas cortadas por uma linha reta EFGH de modo a fazer os ângulos BFG e FGD iguais a dois ângulos retos. dos quais dois. As linhas retas irão encontrar -se ou em ambos os lados ou em nenhum se estes [os ângulos internos deste lado]. Então as linhas retas LABK e LCDK cercam uma área. que é o que é feito quando diz que se FB e GD se encontram. Se possível.´ (Proclus. Então. fizer o ângulo externo igual ao ângulo interno oposto do mesmo lado. são também iguais a dois ângulos retos. Por isso elas são paralelas. sejam FB e GD prolongadas até se encontrarem em K. Não é esse o seu erro na demonstração do postulado. quando os ângulos internos são iguais a dois ângulos retos as linhas FB e GD quando prolongadas encontram -se uma à outra em K. por este motivo os outros dois ângulos. em que conclui do particular para o universal uma suposição. É sabido que esta proposição é demonstrável. ela faz os ângulos CGF e DGF iguais a dois ângulos retos.18) Na transcrição apresentada vê -se que Ptolomeu utiliza uma definição de paralelismo que coincide com a de Euclides. BFG e DGF. como GF corta CD. como aqu eles [ângulos internos do outro lado]. pois os ângulos AFG e CGF são também iguais a dois ângulos retos.20 -363. o que é impossível. e que não se intersectam ´. Este tipo de demonstração é válida se demonstrarmos que a negação da proposição que pretendemos provar leva a um absurdo. que a recíproca é t ambém verdadeira. diz que se FB e GD se encontram. e assim FB tem de cair sobre GC. ao assumir que FB e GD encontram -se em K. o ângulo externo igual ao ângulo interno oposto e a soma dos ângulos internos do mesmo lado igual a dois ângulos retos. aquilo que Ptolomeu supõe sem apresentar justificação. são iguais a dois ângulos retos) se intersectam. como FB e GD encontram-se em K. portanto apenas prova D=´Há retas com as quais uma terceira reta que as intersecte faz ângulos internos. Mais uma vez. cuja soma é igual a 180º.Uma linha reta que corta duas linhas retas paralelas faz os ângulos alternos iguais entre si. não se intersectam´. através da rotação em torno do ponto médio de FG) de modo a que FG caia onde está GF na figura e GD caia sobre FA. O erro de lógica que Ptolomeu comete é que para provar que A= ´Todas as retas com as quais uma terceira reta que as intersecte faz ângulos internos num lado cuja soma é igual a 180º. o mesmo teria de acontecer do outro lado. algumas vezes. GC e FA também têm de encontrar -se num ponto correspondente L. por isso. não pondo a hipótese que. Contudo. Para a demonstração estar completa. podemos tomar o triângulo KFG e colocá -lo (por exemplo. Ptolomeu supõe que todas as retas com as quais uma terceira reta que as intersecte faz ângulos internos num lado cuja soma é igual a 180º se intersectam e. e que se intersectam´.5 encontrarem isso implica um absurdo. que quando linhas retas paralelas são cortadas por uma linha reta. mas não necessariamente sempre. com uma reta que as intersecte a ambas. isto é. Como é necessário que a linha que corta as linhas paralelas faça os ângulos internos no mesmo l ado ou iguais a dois ângulos retos ou menores ou maiores que . Contudo. a demonstração está incorreta.´ Vejamos agora a demonstração apresentada por Ptolomeu para a proposição 29. num dos lados. Ptolomeu não usa o quinto postulado. Ptolomeu não se limita a tomar por hipótese que FB e GD se encontram . Eis a transcrição de Proclus da demonstração de Ptolomeu: ³Eu digo. não basta provar que é absurdo B= ´Todas as retas com as quais uma terceira reta que as intersecte faz ângulos internos num de um lado cuja soma é igual a 180º. Ora. se de um lado estas retas se intersectam. por isso. donde. p. Só assim seria a negação da proposição e que se reduzida ao absurdo provaria a proposição. pois é impossível prová -la sem este postulado. Citando Heath (1925. de um lado. os ângulos internos no mesmo lado são iguais a dois ângulos retos. então. Nesta demonstração. intersectam se´. como era de esperar. Proposição 29 . como pretendia. aparentemente. a nega ção de A é C=´Há retas com as quais uma terceira reta que as intersecte faz ângulos internos num lado cuja soma é igual a 180º. Ptolomeu teria de justificar o que diz e mostrar que. nomeadamente BFG a CGF e FGD a AFG. pois. o erro acaba po r não ter conseqüências. pode ser demonstrado. pois. 204): ³Seria mais claro se tivesse sido mostrado que os dois ângulos internos num lado de EH são respectivamente iguais aos dois ângulos no outro lado. já está a supor que todas as linhas nas referidas condições (os ângulos internos que fazem. Mas. então AF e CH também se encontrarão por estarem nas mesmas condições. se encontram. Ptolomeu comete nesta demonstração um erro lógico do mesmo tipo do que cometeu na demonstração da proposição anterior. Pois se os ângulos AFG e CGF são maiores que dois ângulos retos. pois para provar que A=´Sempre que uma reta cai sobre duas retas paralelas faz ângulos internos do mesmo lado iguais a dois ângulos retos ´ não basta provar que é absurdo B= ´Existe uma reta que sobre duas retas paralelas ou faz ângulos internos do mesmo lado maiores que dois retos (nos dois lados da reta) ou faz ângulos internos do mesmo lado menores que dois retos (nos dois lados da reta) ´ como faz Ptolomeu. este argumento não é válido e . V. então também a linha que cai sobre FB e GD faz os ângulos internos maiores que dois ângulos retos. ele não poderia assumir isso. então a soma dos ângulos internos de um lado teria de ser igual à soma dos ângulos internos do outro. a única conclusão restante é que a linha que cai nelas faz os ângulos internos na mesma direção iguais a dois ângulos retos. se AB e CD são paralelas.6 dois ângulos retos. provada esta proposição.15) Ao apresentar esta demonstração. ela o faz nem maiores n em menores que dois ângulos retos.17-366. De fato. Assim sendo. CGF. então. A negação de A é C= ´Existe uma reta que caída sobre duas retas paralelas. 365. como FB e GD são tão paralelas de um lado quanto AF e CG são do outro. Sejam AB e CD linhas paralelas. que é equivalente ao quinto postulado de Euclides. provado isto. o que é impossível. os restantes ângulos BFG e DGF. pois AF e CG não são mais paralelas que FB e GD. se a linha que cai sobre AF e CG faz os ângulos internos maiores que dois ângulos retos. é equivalente a afirmar que. como Proclus referirá no seu comentário a esta demonstração. Tendo isto sido demonstrado. nada o impede de demonstrar o quinto postulado de Euclides. pode provar o quinto postulado de Euclides. afirmar que FA e GC são tão paralelas para um lado quanto FB e GD são para o outro. Mas estes mesmos ângulos são também maiores que dois ângulos retos. e seja GF uma reta que cai sobre elas.´ (Proclus. não faz ângulos internos do mesmo lado iguais a dois ângulos retos ´. Ptolomeu tem razão ao afirmar que. Contu do. Mas estes mesmos ângulos são menores que dois ângulos retos (pois os quatro ângulos AF G. séc. se não está a ser suposto o quinto postulado de Euclides. Ptolomeu crê que. por qualquer ponto exterior a uma reta. Logo. se o quinto postulado não é suposto. esta demonstração é incorreta. Eu digo que não faz os ângulos internos no mesmo lado maiores que dois ângulos retos. Se. BFG e DGF são iguais a quatro ângulos retos). que deixa em aberto a hipótese de . logo. Ptolomeu apresenta o argumento de que. a proposição perante nós [o quinto postulado] pode ser incontestave lmente provada. portanto a demonstração é incorre ta. são menores que dois ângulos retos. passa uma única paralela (Axioma de Playfair). O que este argumento tem que lhe permitirá demonstrar esta proposição e depois o quinto postulado é o fato de que. Mas. Analogamente nós podemos provar que a linha que cai sobre as paralelas não faz os ângulos internos na mesma direção menores que dois ângulos retos. nas condições referidas. V. Ora. (Proclus. pelo que as linhas retas serão não secantes em ambos os lados.15 -367. Mas se elas são não secantes no lado em que os ângu los são menores que dois ângulos retos. Em seguida. pois isso só é verdade se considerar o quinto postulado ou seu equivalente). o ângulo CGF será menor que o ângulo BFG. Para provar que os ângulos internos são retos Ptolomeu supõe. as linhas retas se prolongadas encontrar -se-ão nesse lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos. Mas também supõe (embora julgue deduzir) que os ângulos interno s do outro lado verificarão exatamente a mesma propriedade. então sim estaríamos necessariamente perante um absurdo (não forçando a que do outro lado isso se verificasse. Portanto elas encontram -se no outro lado. tendo em vista um absurdo. Depois de julgar demonstrada a proposição 29 sem utilizar o quinto postulad o de Euclides. 367. o que tinha de provar era que. Por isso os outros ângulos são maiores que dois ângulos retos. Assumamos que elas se encontram no lado de B e D no ponto K. . séc. é subtraído. se uma linha reta cai sobre duas linhas retas e faz os ângulos internos no mesmo lado menores que dois ângulos retos. do outro também o serão. Segue -se que o ângulo externo do triângulo KFG é menor que o interno oposto. o que é impossível´. Mas se elas se encontram uma com a outra.´ (Proclus. Os mesmos ângulos são por isso iguais a dois ângulos retos e menores que dois ângulos retos. e se assim for. será ou no lado de A e C ou no lado de B e D. Mas foi provad o que a linha que cai sobre paralelas fará os ângulos internos no mesmo lado iguais a dois ângulos retos.3) Ptolomeu demonstrou que. séc. ou seja. naquele em que os ângulos são menores que dois ângulos retos. pressupõe que. que a soma dos ângulos internos num lado é menor ou maior que dois retos. Então como os ângulos AFG e CGF são menores que dois ângulos retos e os ângulos AFG e BFG são iguais a dois ângulos retos.7 haver de um lado da reta ângulos internos menores que dois ângulos retos e do outro maiores que dois ângulos retos. Conseqüentemente elas não se encontram neste lado. Ptolomeu prossegue para a demonstração do próprio postulado (sem ter consciência que. Agora já foi demonstrado que as linhas retas não são não secant es. o ângulo AFG. se de um lado os ângulos fossem maiores ou menores que dois ângulos retos. se o termo comum. se de um lado são maiores. Suponhamos que elas não se encontram. já o havia utilizado implicitamente): ³Eu digo que. V.12-367. M as elas encontram-se. elas são paralelas. e seja EFGH uma linha caída sobre elas que faz os ângulos AFG e CGF menores que dois ângulos retos. muito mais serão elas não secantes no outro lado em que os ângulos são maiores que dois ângulos retos. as retas se intersectam. para demonstrar a proposição 29.27). completa a demonstração e prova que elas se intersectam do lado em que a soma dos ângulos internos é menor que d ois ângulos retos e não na dire ção em que é maior: ³Sejam AB e CD duas linhas retas. 366. o que é impossível. E a sua recíproca é provada pelo próprio Euclides como um teorema. Após transcrever o quinto postulado.8 E assim termina a demonstração de Ptolomeu do quinto postulado de Euclides. apesar de a afirmação que linhas retas convergem quan do os ângulos retos estão diminuídos ser verdadeira e necessária.e requer. estudar com Plutarco na Academia de Platão. Mais tarde. terá chegado a diretor da Academia. Pois é um teorem a´. O u melhor. diz que aceitar raciocínios pr ováveis de um geômetra é como exigir provas de um retórico. R esta-nos acreditar nas palavras de Proclus que declara citar Ptolomeu na totalidade das três demonstrações apresentadas. várias definições assim como teoremas. Terá ido aprender filosofia para Alexandria e. Proclus escreve: ³Este [o quinto postulado] deve ser retirado do conjunto dos postulados. A Demonstração do Quinto Postulado de Euclides por Proclus Proclus Diadochus nasceu em Constantinopla por volta do ano 410. são estes os trechos da demonstração de Ptolomeu que chegaram até nós. Aristóteles. E Simmias é levado por Platão a dizer ³Estou ciente que aqueles que fazem demonstrações a partir de probabilidades são impostores. Proclus é aí bastante claro ao referir que o quinto postulado de Euclides é um teorema e que pode ser demonstrado a partir dos restantes quatro postulados. O seu ³Comentário ao primeiro livro dos Elementos de Euclides ´ é a principal fonte de conhecimentos sobre a história antiga da geometria grega. foi para Atenas. do mesmo modo. por elas convergirem mais quando são prolongadas para mais longe. no entanto a conclusão de que. Geminus d eu resposta apropriada quando disse que aprendemos dos próprios fundadores desta ciência a não prestar atenção a imaginações plausíveis na determinação das proposições a serem aceites na geometria.´ Logo aqui. cargo que manteve até morrer. é plausível. não podemos saber ao certo se P roclus terá reproduzido com exatidão a argumentação de Ptolomeu. Que há linhas que se aproximam indefinidamente mas nunca se encontram . no ano 485. mas não necessária. para a sua demonstração. elas se irão encontrar a certa altura. A tais pessoas. teorema este que coloca muitas questões que Ptolomeu se propôs resolver num dos seus livros . na ausência de um arg umento provando que isto é verdade para linhas retas. Porque estes trechos são transcrições feitas por Proclus da obra de Ptolomeu. como esse ensino não o satisfez. Mas talvez algumas pessoas pensem erradamente que esta proposição merece ser classificada entre os postulados com base em os ângulos serem menores que dois ângulos retos fazer -nos de imediato acreditar na convergência e intersecção das linhas retas. Embora não conheçamo s os seus nomes. de fato. como eu disse anteriormente. 191. Por este motivo outros antes de nós classificaram-no entre os teoremas e exigiram uma demonstração disto que foi tomado como um postulado pelo autor dos Elementos. Por um lado. ele pode ser provado racionalmente. Proclus reafirma a sua convicção de que o postulado é de fato um teorema e . aproximam-se uma da outra cada vez mais não é. não existindo por isso razão par a considerá-lo como postulado.´ (Proclus. 364.21-193. V.3). portanto demonstrável. não deixou de estudar minuciosamente e de pôr em causa o seu postulado número cinco. ficamos sabendo da existência de uma comunidade exigente e interessada que. portanto provavelmente se encontrarão). o postulado não é demonstrável e a sua recíproca é).9 parece ser implausível e paradoxal. séc. então também o deveria ser o postulado (o que não é verdade pois. Escreve então: ³Como eu disse na parte da minha exposição que precede os teoremas. se a recíproca do postulado (proposição XVII) é um teorema demonstrável. não implica necessariamente que se encontrem. é apesar disso verdade e foi verificado para outras espécies de linhas. quando prolongadas. Não poderá isto. o que é dito acerca de outras linhas despoja a nossa imaginação da sua plausibilidade. (Proclus. desde que Euclides escreveu os Elementos. E apesar de os argumentos contra a intersecção destas li nhas poderem conter muito que nos surpreenda. realça que. então. Por outro lado. nem todos admitem que esta proposição geralmente aceite seja indemonstrável. séc. realça a dificuldade dessa demonstração pelo fato de que duas linhas estarem cada vez mais próximas. Nesta passagem é visível a profunda crença de que o quinto postulado de Euclides é demonstrável. em todo o triângulo. . Proclus regressa à problemática do quinto postulado quando chega à proposição 29 que refere ser a primeira em cuja demonstração Euclides utiliza o quinto postulado. No entanto. porque foram descobertas outras linhas que conver gem na direção uma da outra mais e mais mas nunca se encontram. Visto também o fato que duas linhas retas. um sinal de que elas se encontrarão. pois a verificação do quinto postulado não se deve a um fato de probabilidade (no sentido em que intuitivamente se vê que as retas se aproximarão cada vez mais e . Como poderia isso ser quando a sua recíproca é registrada entre os teoremas como algo demonstrável? Pois o teorema que.18-365. De destacar que Proclus aponta a existência de ³outros antes de nós ´ que também consideraram que este postulado seria um teorema. Para Proclus. não deveríamos nós recusar-nos a admitir na nossa tradição este apelo sem razão à probabilidade? Estas considerações tornam claro que devemos procurar uma demonstração do teorema com que nos deparamos e que lhe falta o caráter especial de um postulado . ser possível para linhas retas como essas? Até termos demonstrado firmemente que elas se encontram. quaisquer dois ângulos internos são menores que dois ângulos retos é a recíproca deste postulado.6). V. Seja o diagrama igual ao anterior. Tomando duas linhas retas AB e CD e a linha AC caída sobre elas e fazendo os ângulos internos menores que dois ângulos retos. Ao afirmar sem restrição que linhas prolongadas de ângulos menores que dois ângulos retos não se encontram. e assim em troca as linhas FK e GL são maiores que a base por tanto quanto tiraram da linha FG . e seja um comprimento AF igual a AE. eles estão derrubando o que não pretendem. não se intersectam as duas. AC. bissectando as linhas de ligação. Outra vez desenhe-se a linha FG e bissectada em H. Seja AC bissec tado em E. dois lados de um triângulo serão iguais a um terceiro. eles dizem que provam que as linhas AB e CD não se encontrarão em local algum. Mas não há razão pela qual elas não devam encontrar-se em K e L. mesmo fazendo ângulos inferiores a dois retos com uma terceira reta que as intersecte. ainda assim. colocado sobre AB. não especificando quem ao certo é que defendia este argumento que contrari a o quinto postulado: ³Agora examinemos aqueles que dizem que é impossível que linhas prolongadas de ângulos menores que dois ângulos retos se encontrem. Analisa depois um argumento que defende que duas retas. Pois se AK e CL se encontram em K e L. desenhando linhas entre os pontos não -coincidentes. É claro que AF e CG não se encontrarão em nenhum ponto em FG. transcrevendo a demonstração de Ptolomeu do postulado 29 e do quinto postulado de Euclides. Ao fazer isto indefinidamente. mas que não prova tanto quanto pensam. Seja considerado que AB e CD não se encontram quando os ângulos BAC e DCA são definidas pelos pontos F e G. Estes do mesmo modo não se encontrarão. mesmo que FK e GL sejam iguais a FH e HG. . A eles temos que responder que o que dizem é verdade. parte de FG passou a pertencer a AK e CL. eles pensam que podem demonstrar que AB e CD não se encontram. o que é impossível.10 É após este apontamento que Proclus fala de Ptolomeu e do seu trabalho sobre o quinto postulado. Não é verdade. Isto também deveria ser dito. Estes são os seus argumentos. e colocando sobre as linhas retas comprimentos iguais às suas metades. e sobre CD um comprimento CG igual a EC. isto é. Proclus aponta falhas nas demonstrações de Ptolomeu que classifica de fracas e insatisfatórias. pois se elas se encontram. os ângulos KFH e LGH não serão mais os mesmos. pelas mesmas razões que antes. no entanto. e sejam iguais comprimentos colocados sobre [FK e GL]. que as linhas nunca se encontram. É verdade que não é possível deste modo simples encontrar o ponto em que a intersecção ocorre. o processo não tem fim. compreende que. séc. talvez seja falha minha. V. poderia dizer -se que com tal redução [aos ângulos retos] as linhas retas continuam não secantes. Então como os ângulos FAC e GCA são menores que dois ângulos retos. logo. começando por afirmar a necessidade de aceitar à partida certo axioma: ³A quem quiser ver este argumento construído. elas encontram -se. no sentido em que contraria não só o quinto postulado. Contudo. É neste contexto que Proclus prossegue com o seu ³argumento´ para demonstrar o quinto postulado de Euclides. parece perder -se (refiro-me à parte que coloquei a itálico e cujo sentido não consegui perceber. Se isto é possível. Segundo o argumento por Proclus analisado. na sua análise. apesar de este método nunca enc ontrar o ponto de intersecção. seja desenhada essa linha. digamos que terá que aceitar antecipadamente um axioma como o que Aristóteles us ou para estabelecer a finitude do universo: se de um ponto único duas linhas retas fazendo um ângulo são prolongadas indefinidamente. o que é absurdo. Proclus avise que ainda não foi encontrado o ³argumento´ que prova isso para todas as retas. a reta AG nunca intersectaria a reta CD e. embora. estão a negar. ou seja. isso não significa que as retas nunca se intersectem. que afirma ser possível desenhar uma linha reta de qualquer ponto a outro qualquer ponto. mas as retas encontram-se numa distância finita. pois prova ³demais´. é ainda mais claro que GAC e GCA são menores que dois ângulos retos. Deste modo. e são prolongadas de ângulos menores que dois ângulos retos. Proclus não foi capaz de detectar a falha no argumento apresentado e. Conseqüentemente não é possível dizer sem restrição que linhas prolongadas de ângulos menores que dois ângulos retos não se encontram.10) Aparentemente.´ (Proclus. não chegaria a G. de modo análogo ao que se passa com o paradoxo de Aquiles e da Tartaruga. segundo o qual se poderia traçar uma linha reta ligando A a G. não apenas o quinto postulado. Proclus afirma que não há dúvida que existem retas que se intersectam. que ainda não foi demonstrado o quinto postulado de Euclides.1371.11 Agora é possível ou não desenhar uma linha reta de A a G? Se eles dizem que não é possível. mas também o primeiro. mas quer -me parecer que falta algo no raciocínio. com outra redução maior [aos ângulos retos] que esta. Proclus aponta que a conclusão deste argumento não faz sentido . enquan to que. se bem que o argumento que prova isto de todas essas linhas ainda está por ser encontrado. Contudo. talvez algo se tenha perdido entre as várias traduções ao longo dos tempos). o intervalo entre elas quando prolongadas indefinidamente excederá . é claro que algumas linhas prolongadas de ângulos menores que dois ângulos retos encontram -se. Pelo contrário. 369. Portanto AG e CG encontram-se em G. mas também o primeiro. este argumento mostraria que as retas nunca se intersectariam. a verdade é que. Dado que ³menor que dois ângulos retos ´ é indeterminado. como existem duas linhas retas passando por um ponto F. eu digo que. Sejam AB e CD duas linhas retas e EF caída sobre elas e a fazer ângulos BEF e DFE menores que dois ângulos retos.12 qualquer grandeza finita. pois se é finito. não é equivalente e não permite provar o quinto postulado. por isso. quando FB e FG são estendidas indefinidamente. V. É então que Proclus. As linhas retas estendidas indefinidament e. . portanto. que se afasta cada vez mais da tangente no vértice mas nunca se afasta mais do que uma determinada distância finita. se uma linha reta corta uma de duas paralelas. dando o exemplo da conchóide de Nicomedes. se as linhas estendidas do centro para a circunferência são infinitas. Pelo menos ele provou que. apresenta a sua própria demonstração do quinto postulado: ³Se isto é estabelecido. o intervalo entre elas é infinito. Eu digo que também corta CD. partindo d este axioma. séc. elas terão entre elas um intervalo maior que qualquer grandeza e. Pois. maior que a distância entre as linhas paralel as. se bem que possa ser considerado discutível. Provado isto. divergirão uma da outra uma distância maior que qualquer grandeza finita.11-371. então. é possível aumentar o intervalo entre elas. que criticou o axioma e que diz que. pois o argumento que Aristóteles usa para concluir a finitude do universo não prova este axioma. Sejam AB e CD linhas paralelas e EFG uma linha que corta AB. Contudo. quando são separadas uma da outra uma maior distância que aquela entre as linhas paralelas. E. 371. do mesmo modo que não se pode supor que duas linhas que se aproximam cada vez mais se irão intersectar. também não se pode supor que duas linhas q ue se afastam cada vez mais se irão afastar mais do que qualquer distância finita. É o caso de Clavio. podemos demonstrar a proposição perante nós [o quinto postulado] como sua conseqüência. ela corta a outra também. este axioma. ela cortará a outra também. FG cortará CD. de modo que as linhas retas não sejam infinitas. se uma linha reta corta uma de duas retas paralelas. Portanto. ´ (Proclus. Há quem critique este axioma pressuposto por Proclus dizendo que também ele teria que ser demonstrado.23). É daí que prova o quinto postulado e. Ele preocupou -se em apresentar a questão de uma forma ponderada e científica. 371. aqueles que diziam que as retas nunca se encontravam e. Proclus não cai pois no erro de considerar a defi nição de paralelismo de Posidônio (retas eqüidistantes) como equivalente à de Euclides (retas que não se intersectam). Analisou uma tentativa anterior à sua (a de Ptolomeu.23 -373. nomeadamente HEF e DFE. o que seria pressupor desde logo o quinto postulado.3) Como se verifica. Há mesmo quem ponha a hipótese. xxxi). considera que a distância entre duas paralelas se mantém menor que uma distância fixa. pois isso é equivalente ao quinto postulado de Euclides (na geometria hiperbólica. o trabalho de Proclus é extremamente relevante. Na sua tradução do comentário de Proclus. pelo que a proposição perante nós foi demonstrada. Logo acaba por não demonstrar o postulado visto que o pressupôs. a partir de uma referência de Philoponus. de fato.13 Eu digo que as linhas retas encontrar -se-ão no lado em que os ângulos s ão menores que dois ângulos retos. como os ângulos BEF e DFE são menores que dois ângulos retos. na demonstração da proposição inicial (a partir da qual demonstrou o quinto postulado) e é aí que está o seu erro. seja HEB igual ao excesso de dois ângulos retos sobre eles [seja HEB dois ângulos retos menos BEF e DFE]. Apesar disso. a partir dessa proposição pode -se demonstrar o quinto postulado de Euclides. séc. V. HK e CD são linhas retas paralelas. . 1970. por um lado. pela proposição já demonstrada. e CD faz os ângulos internos iguais a dois ângulos retos.´ (Proclus. e seja HE prolongada até K. é falso que a distância entre duas paralelas s eja sempre inferior a certa distância finita). irá. Então. como EF cai sobre KH. E AB corta KH. Não se limitou a apresentar a sua demonstração. Contudo. AB e CD. que Proclus teria tido este assunto em tão elevada con ta que teria mesmo chegado ao ponto de escrever um livro sobre ele. Proclus começa por apresentar a demonstração de uma proposição que diz que uma linha reta que encontra uma de duas paralelas também intersecta necessariamente a outra. Morrow considera que ³esta tentativa de provar o quinto postulado de Euclides é a contribuição mais ambiciosa de Proclus para os elementos da geometria´ (Morrow. entretanto perdido. por outro. ainda que involuntariamente. Pois. aqueles que se fundamentavam em ³probabilidades ´ para concluir que as retas tinham que se encontrar só porque a tendência das retas era aproximar -se cada vez mais. que corretamente identificou como errada) e atacou. portanto se encontrarão na direção em que os â ngulos são menores que dois ângulos retos. portanto cortar CD. isso impli ca o quinto postulado. elas mantêm -se sempre à mesma distância e. p. como Aganis foi seu amigo ou mestre. é a distância mais curta e. está a pressupor que. Já no que toca a Diodorus. há quem o identifique com Geminus. na parte do seu comentário dedicada às definições. é perpendicular a ambas ´ (Heath.14 A Demonstração do Quinto Postulado de Euclides por Aganis Outra tentativa de demonstrar o quinto postulado aparece no comentário árabe de Al-Nirizi (século IX) que chegou aos nossos dias através de uma tradução para latim de Gerardo de Cremona (século XII). por sua vez. O comentador árabe aceitou sem questionar as mestre) Aganis para o quinto postulado. Ficamos também a saber que Simplicius não se apercebeu do erro da demonstração de Ptolomeu. chamar paralelas a linhas retas eqüidistantes. Al-Nirizi. igual a si própria em todos os pontos da reta. em todos os pontos da reta. 1925. Simplicius apresenta idéias similares às de Posidônio. Simplicius viveu no século VI. é sempre a mesma ´ (Heath. não causa grande surpresa q ue Aganis (citado por Simplicius) cometa o erro de. cujas distâncias entre si. No referido comentário. Simplicius diz que . mas também quem negue essa possibilidade. postulados e axiomas. se duas retas não se intersectam. Esta referência mostra que nesta altura já eram vários os que haviam contestado o quinto postulado de Euclides (e vários os que julgavam ter conseguido demonstrá -lo. situadas no mesmo plano. ³A distância referida é a linha mais curta que liga coisas desligadas e no que se refere à distâ ncia entre duas linhas. 191). sobre o qual Pappus escreveu um comentário. Simplicius terá escrito um comentário ao primeiro livro dos Elementos de Euclides em que declarava ser possível demonstrar o quinto postulado. Por isso. inclui muitas referências a Simplicius (século VI). uma e a mesma. A partir da sua d efinição de paralelismo. então. 1925. Ao que parece. é citada a definição de paralelismo do filósofo Aganis: ³Linhas retas paralelas são linhas retas. essa distância é. 191). pressupõe-se que tenha vi vido por essa altura. Ou seja. como já referi. pelo que a demonstração não faz sentido. se as linhas forem paralelas. No seu comentário. acredita -se que seja o autor do idéias e demonstrações do sue antecessor e cita Simplicius que. Sobre quem seja Abthinathus apenas há especulações. duas linhas retas perpendiculares a uma terceira são . Para clarificar esta definição. enquanto que Ptolomeu o havia explicado e demonstrado usando proposições dos Elementos de Euclides. apresenta a demonstração do seu amigo (ou do seu Analemma . p. se prolongadas indefinidamente em ambas as direções ao mesmo tempo. como Posidônio. Não se sabe ao certo quem foi Aganis. se bem que estivessem enganados pois é impossível demonstrar o quinto postulado sem recorrer a um novo postulado). Aganis constrói uma demonstração do quinto postulado deduzindo as seguintes proposições: a distância mais curta entre duas paralelas é a perpendicular comum a ambas as linhas. Esta tentativa é atribuída a um tal de Aganis. Simplicius diz que este postulado requer demonstração e que Abthinathus e Diodorus já o tinham demonstrado recorrendo a muitas proposições diferentes. . Mas.trace-se MN perpendicular a EZ. ZC = 4 ZN. e são maiores no lado onde AB faz um ângulo obtuso. a encontrar ZD em N. bissecte -se PZ em M. Seja esse o ponto M.o ponto C assim encontrado é o ponto de intersecção das duas linhas retas AB e GD. bissecte-se MZ.. já se pressupõe o quinto postulado e. podem se demonstrar as três proposições referidas.8 -9): . . O raciocínio apresenta algumas semelhanças com uma parte da demonstração de Nasiraddin do quinto postulado. 1912. NS. sem perda de generalidade. estar no segmento LZ..se duas retas AB e CD são cortadas por uma terceira reta PQ. o mesmo múltiplo de ZN que ZE é de ZM.. formam ângulos internos no mesmo lado que são suplementares (iguais a dois ângulos retos) e reciprocamente. que é perpendicular apenas a uma delas (considere-se que seja CD). que AEZ é um ângulo reto.. Nasiraddin (1201-1274) apresenta uma demonstração do quinto postulado cuja parte final utiliza um raciocínio similar ao de Aganis. . Eis como Aganis constrói o ponto de intersecção de duas linhas retas que não são eqüidistantes (de acordo com Bonola.suponha-se. Esta última proposição é similar à proposição 29 do primeiro livro dos Elementos de Euclides. então. as distâncias medidas nas perpendiculares de AB para CD são menores do que PQ no lado em que AB faz um ângulo agudo com PQ. Nasiraddin começa por assumir o seguinte resultado como óbvio: . seria necessário mostrar que os segmentos ZN. A Demonstração do Quinto Postulado de Euclides por Nasiraddin at-Tüsi Natural da Pérsia..15 paralelas entre si.sejam AB e GD duas linhas retas cortadas por uma transversal EZ.tome-se um ponto arbitrário T sobre ZD.no caso da figura.bissecte-se o segmento EZ em P. Para provar isto. portanto. . duas paralelas. . cortadas por uma terceira linha reta. M. até um dos pontos médios P. p.sobre ZD.. . etc. marque-se o segmento ZC.de T trace-se TL perpendicular a ZE. proposição essa que carece do quinto postulado para ser corretamente demonstrada. de modo que a soma dos ângulos AEZ e EZD seja menor que doi s ângulos retos. . têm iguais projeções sobre ZE. . ao pressupor aquela definição de paralelismo. . . que foram marcados um após o outro sobre a linha ZD. CA será menor que BD). Demonstração (de acordo com Heath. depois. se era p reciso supor alguma coisa.sejam AB e CD duas linhas retas intersectadas pela linha reta FCE. BD é menor que CA (e se for o ângulo BDC agudo. Nasiraddin demonstra que. Três casos são distinguidos. 1925. então pela suposição inicial. porque não supor o próprio quinto postulado de Euclides. então cada u m dos ângulos ACD e BDC será reto e CD será igual a AB. Por fim. recorrendo ao fato de todos os triângulos poderem ser divididos em dois triângulos re tângulos. e depois unir -se C a D. facilmente se prova que DC=AB.16 A falha de Nasiraddin está nesta suposição que é equivalente ao quinto postulado e. como a demonstração de Nasiraddin assenta nesta suposição. nomeadame nte de Saccheri e Wallis. p. p. mas pode-se reduzir ao caso em que os ângulos internos são um re to e o outro agudo. de modo a fazer o ângulo ECD reto e o ângulo CEB agudo. de modo a fazer ângulos retos com AB. se dois segmentos AC e BD forem traçados das extremidades de um segmento AB para o mesmo lado. . generaliza a todos os triângulos. Primeiro utiliza a conclusão acabada de referir. Se o ângulo ACD for agudo. De modo análogo atinge -se o absurdo ao supor o ângulo obtuso. o que é absurdo por hipótese. iguais um ao outro. Nasiraddin prova depois que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos. Nasiraddin entrega -se à demonstração do quinto postulado propriamente dito (apesar desta demonstração estar comprometida pela suposição inicial). logo será agudo ou obtuso. A partir da referida suposição. 209 -210): . para demonstrar o resultado para triângulos retângulos e. Como todos os ângulos são retos. portanto. Supõe-se que um ângulo não é reto. Esta suposição foi alvo de críticas. é provado por redução ao absurd o. 209): Que os ângulos serão retos. Demonstração (de acordo com Heath. 1925. acaba por não demonstrar nada. Wallis terá mesmo dito que. então. os ângulos EQG e QGH são retos e QG=EG. . duas linhas retas são paralelas se a distância medida numa qualquer perpendicular de uma delas for sempre igual. pode-se provar que as perpendiculares de N. NO. tome -se a perpendicular de N para EC.portanto RG=GQ. Por isso CD.trace-se EQ igual a GH com ângulos retos em relação a EH e coloque -se SR sobre SN. no século V.do mesmo modo se pode proceder com as outras perpendiculares. Se coincidir. todos iguais a EH. a linha reta NS. M (de EC) respectivamente.ao longo de GB coloquem -se GN. . independentemente da perpendicu lar escolhida.se GH estiver no lado de E em relação a CD. etc. . a perpendicular GH estará no lado de D em relação a E (estará dentro do ângulo FEB) e coincidirá com CD ou não. EG e GH. pelo resultado atrás demonstrado. irá cortar EP. Aproximadamente em 300 a. se prolongada o suficiente. L. também igual a GH.. então há que prosseguir com o seguinte raciocínio: . todos iguais a EG até EP ser o mesmo múltiplo de EG que EM é de EH. O. Por construção. RGQ é uma linha reta e os ângulos opostos NGR e EGQ são iguais. sairá fora do triângulo e portanto cortará EB) . Posidônio apresentou uma definição de paralelismo segundo a qual as retas paralelas são as retas eqüidistantes. está provada a proposição. Assumir isto é equivalente a pressupor o quinto postulado e. está dentro Tentativas De Demonstração do Quinto Postulado De Euclides Do Século III A.se GH não coincide com CD mas está do lado de F em relação a CD. Do mesmo modo se conclui que os ângulos SRG e RGH são retos e RG=SH.. . ou seja. Trace -se QG e GR. por isso. até encontrar um ponto M. Euclides escreveu os Elementos .17 .como o ângulo CEG é agudo. .tome-se um qualquer ponto G em EB e trace -se GH perpendicular a EC.assim. Proclus. . coloquem -se HK. como é paralela a MP e do triângulo PME. e terá de cortar EG (está a pressupor que se CD for prolongada o suficiente. . KL. PM é perpendicular a FE.assim. .C. para lá de C. as demonstrações baseadas nesta definição não estavam corretas. os ângulos NRG e EQG são ambos retos e NG=GE. criticou esta definição de Posidônio e apontou o fato de que é plausível a idéia do quinto postulado não se verificar . C. No século I a. . Para provar isso.então. donde SH=HE=KH e S coincide com K. pois há linhas como a hipérbole que convergem para as . então CD estará dentro do triângulo formado por HE. P para EC intersectam os pontos K. .ao longo de HC. Ao Século XXI.C. etc. Nasiraddin At-Tüsi. supor isso é equivalente a supor o quinto postulado. apresenta também uma demonstração do quinto postulado. O seu erro resi de no fato desta suposição ser equivalente ao quinto postulado. terá apresentado a demonstração de Aganis. AB). A sua demonstração assenta no fato de o conjunto dos pontos eqüidistantes de uma reta (de um lado da reta) formarem uma linha reta. A sua demonstração acaba por ter algumas semelha nças com a de Nasiraddin. Então. por isso. e a sua própria tentativa de demonstração que falha ao pressupor que a distância entre duas linhas paralelas é sempre inferior a uma distância fixa (ainda que possa variar). está errada. Sob a sua influência. Ora. Borelli (1608 -1679) e Vitale (1633 -1711) irão. Contudo. O fato de esta demonstração de Aganis chegar até nós através do comentário de um matemático árabe é sintomático da importância da Matemática árabe após a decadência da Grécia. mas não chegam a intersectar-se. No século XVII.18 suas assíntotas. num comentário seu ao primeiro livro de Euclides. Nesta demonstração. Também no século XVI. . no que toca ao quinto postulado. nos seus estudos. Proclus acreditou que o quinto postulado era demonstrável e disse que outros antes dele haviam afirmado o mesmo. que identifica como errada. Cataldi (1548-1626) é o primeiro matemático a publicar uma obra exclusivamente dedicada à teoria das para lelas. que havia sido levantada por Posidônio. cai no erro de juntar à definição de paralelismo a idéia de eqüidistância No entanto. várias críticas surgem de alguns comentadores. pois parece ser óbvio. é citado Simplicius (século VI) que. o que essas demonstrações demonstram não é mais do que a equivalência dessas hipóteses ao quinto postulado (a maioria dessas hipóteses saem diretamente do quinto postulado e estes matemáticos provam que. Em 1533 foi impresso pela primeira vez o Comentário de Proclus. Commandino (1509-1575). No seu comentário ao primeiro livro dos Elementos. que traduziu para latim os Elementos. regressar à idéia de eqüidistância das linhas paralelas. Proclus apresentou uma tentativa de demonstração do quinto postulado por Ptolomeu (séc ulo II). Cataldi assume uma hipótese que é equivalente ao quinto postulado: linhas retas não eqüidistantes convergem numa direção e divergem na outra. acaba por aceitar a demonstração de Proclus que como já se referiu. Também Clavio (1537-1612). mas os matemáticos não conseguem demonstrá-lo. Nasiraddin supõe que se duas retas AB e CD são cortadas por um a reta PQ que é perpendicular apenas a uma delas ( por exemplo. No século XIII. que comete o erro de assumir uma defi nição de paralelismo semelhante à de Posidônio. No entanto. elas implicam o quinto postulado). reciprocamente. pois isso é equivalente ao quinto postulado. A generalidade das tentativas de demonstração até aqui referidas têm em comum o fato de pressuporem alguma hipótese que se julga óbvia e que. Numa tradução do século XII de um comentário árabe aos elementos de Euclides de Al-Nirizi (século IX). não precisaria de demonstração. reproduziu e criticou a demonstração de Proclus e apresentou uma demonstração sua do quinto postulado. as distâncias medidas nas perpendiculares de AB para CD serão menores do lado em que PQ faz ângulos agudos com CD e maiores do lado em PQ faz ângulos obtusos com CD. Quase 2000 anos passaram desde que Euclides escreveu os Elementos e o seu quinto postulado continua a gerar perplexidade . foi Gerolamo Saccheri (16671733). Contudo. a soma dos ângulos internos de um triângulo é ser retos. Na sua demonstração do quinto postulad o. mas está a utilizar um axioma alternativo. Os ângulos e são os ângulos de topo. Wallis demonstra co m sucesso o quinto postulado. Apesar disso. Nessas análises. é de destacar o fato de estar consciente disso e apresentar o seu axioma como alternativa ao quinto postulado. durante o século XVII. Wallis desiste de tentar demonstrar o quinto postulado a partir unicamente dos primeiros quatro postulados e introduz um axioma que considera ser mais plausível que o quinto postulado: sobre um segmento é sempre possível construir um triângulo semelhante a um triângulo dado. Intuitivamente. se consideram alguma hipótese que não é demonstrada dos primeiros quatro postulados. que abandona a idéia de eqüidistância que os matemáticos seus antecessores haviam utilizado sem sucesso para tentar demonstrar o postulado. Saccheri analisou e crit icou muitas das tentativas de demonstrar o quinto postulado por matemáticos anteriores. pois por não fazer algo muito diferente dos seus antecessores. portanto. a e têm de tendência será dizer que é óbvio que estes quadriláteros são retângulos e os ângulos afirmação não pode ser provada! Saccheri provou várias equivalências ao quinto postulado: todos os quadriláteros de Saccheri são retângulos. sem nunca considerar o quinto postulado. Outro matemático que se dedicou muito a tentar demonstrar o quinto postulado de Euclides e que deu um passo largo no caminho das geometrias não euclidianas. acaba . É o caso de Wallis (1616-1703). Saccheri não cometeu esse erro. que se caracterizam por ter um par de lados opostos iguais e perpendiculares a um terceiro lado. Em primeiro lugar. Entretanto. Contudo. o quinto postulado implica aquele axioma). como haviam feito muitos matemáticos anteriores. por incrível que pareça se não for considerado o quinto postulado. essa . não fazia sentido tomar certas hipóteses sem as demonstrar. alguns matemáticos irão aperceber -se que.19 Muitos desses matemáticos que tentaram demonstrar o quinto postulado de Euclides tiveram o cuidado de estudar e criticar as tentativas que os precederam. existe pelo menos um retângulo (!). portanto o que está a provar é equivalência desse axioma ao quinto postulado (porque reciprocamente. Profundamente convicto de que poderia demonstrar o quinto postulado. embrenhou -se num longo estudo com esse objetivo. Começou por considerar um tipo es pecial de quadriláteros (os quadriláteros de Saccheri). Este lado chama-se base e o oposto é o topo. Wallis ao provar que uma determinada hipótese é equivalente ao quinto postulado. então não é correto usá-la para demonstrar o quinto postulado. Saccheri sublinhou que tudo tinha que ser demonstrado e que. muitos acabaram por reincidir-nos mesmos erros ou em erros semelhantes. é publicada a obra. O esforço de Saccheri teve sucesso ao provar que HAO levava a um absurdo. No ano da sua morte. um dos melhores matemáticos do seu tempo e que. Aqui. ao estudar quadriláteros cujas característica s essenciais seriam ter pelo menos três ângulos retos (quadriláteros de Lambert). Contudo. Lambert (1728-1777) estudou as investigações de Saccheri e descobriu novos resultados no âmbito da HAA. É espantoso ver que Saccheri lançou as fundações das geometrias não euclid ianas. comete um erro na demonstração que o faz pensar ter chegado à conclusão que pretendia . Lagrange. Então. De destacar em 1763. Saccheri vai estudar a geometria hiperbólica sem se aperce ber disso. vai demonstrar propriedades desta nova geometria até chegar a um ponto em que. o grande erro de Euclides era ter colocado aquele resultado como postulado e para livrá -lo dos erros tinha de demonstrá -lo. mas não atingirá contradição. mas simplesmente não quis acreditar. Na busca de absurdos. vários matemáticos famosos franceses manifestaram interesse nesta temática da t eoria das paralelas e o quinto postulado. começa a ser levantada a possibilidade de ser impossível demonstrar o quinto postulado. Para ele. a realização da tese de Georg Klügel (1739-1832). provou que os ângulos de topo teriam que ser congruentes e que. Há quem defenda que Saccheri apercebeu -se que a sua demonstração não estava absolutamente correta e que por isso hesitou tanto antes de publicá -la. para concluir que HAR era a única possível. ambos agudos ou ambos obtusos. começa a ter notáveis avanços também em França. intitulada de Euclides ab omne naevo vindicatus . pois HAA é impossível provar ser um absurdo. Nesse sentido. o estudo da teoria das paralelas. Ao considerar HAA. como foi o caso de D Alembert. por isso. Já no século XVIII. Klügel concluiu que todas eram insatisfatórias e sugeriu que o postulado não podia ser provado e que ape nas era aceite como verdadeiro por causa dos testemunhos dos nossos sentidos. finalmente. Nos finais do século XVIII. quando tinha o único intuito de destruí-las! Há quem considere que Saccheri descobriu as geometrias não euclidianas. o sucesso não foi total.20 180º. procedeu a uma de monstração por redução ao absurdo: considerou três hipóteses consoante os ângulos (a hipótese do angulo agudo (HAA). Saccheri procurou provar que os quadrilátero s por ele inventados seriam retângulos mesmo que não se considerasse o quinto postulado. Também ele contribuirá com novos resultados para a geometria não euclidiana. teriam que ser ambos retos. que já havia dado frutos na Itália e na Alemanha. Por esta altura. Carnot e Laplace. D Alembert terá mesmo falado no escândalo da geometria a propósito do fracasso das muitas tentativas de demonstração do quinto postulado! Destaca-se o caso de Legendre (1752-1833). . Primeiro. Lambert teve também uma aproximação semelhante à de Saccheri. a hipótese do angulo reto (HAR) e a hipótese do angulo obtuso (HAO)) e procurou atingir absurdos a partir de HAA e HAO. talvez por querer tanto que aquilo resultasse num absurdo. que consistiu em analisar vinte e oito tentativas de demonstrar este postulado. o que significará algo como Euclides liberto de todos os erros . de tal modo desenvolveu uma espécie de obsessão pela demonstração do quinto postulado. eu não o faço (. mas achava que para a realidade física só a euclidiana faria sentido. se." Noutro momento. nomeadamente a teoria das paralelas e o quinto postulado. o caminho pelo qual enveredei não conduz à meta desejada. 319): ". Após. pelo menos nem por. conseguiu -se ver que também ele tinha compreendido a possibilidade do quinto postulado ser impossível de demonstrar. mas nenhum me satisfaz. Janos Bolyai era filho de Wolfgang Bolyai (1755 -1856). embora ainda se acredite que no espaço físico é a geometria euclidiana a única possível. 1980. em resposta a uma carta de Wolfgang Bolyai em que este afirmava ter demonstrado o quinto postulado. Ainda em 1799.. geometria deve ser classificada. alguém consegue provar que existe um triângulo retângulo cuja área é maior que qualquer número dado.. começa-se a compreender que é possível uma geometria sem o quinto postulado. Gauss escreve (traduzindo a transcrição de Greenberg. foram Janos Bolyai (1802-1860) e Nikolai Lobachevsky (17931856) quem descobre e corajosamente anuncia a descoberta de novas geometrias. mas que aos meus olhos prova quase nada. acabou por tornar -se oficial no exército austríaco. Janos tinha aprendido matemática com o seu pai.. mas com a mecânica". o intelecto humano.. o que transmite a idéia que Gauss estava a aperceber-se da possibilidade de geometria s não euclidianas (pois não pode demonstrar que só existe a euclidiana).21 que durante 29 anos publicou tentativa após tentativa em várias edições do seus Élements de Géométrie . Há quem considere que Gauss (1777-1855) terá sido o primeiro a ter noção dessa geometria que contrariava o quinto postulado. A maioria das pessoas certamente exporia este teorema como um axioma. mas. um matemático que se tinha dedicado ao estudo da teoria das paralelas e que também havia tentado provar o quinto postulado. Só através de publicações póstumas. onde revelou muito talento. contudo. No entanto. a meta que declaras ter atingido. nomeadamente correspondência sua com outros matemáticos.. que é puramente apriorista. não com a aritmética. contudo. Gauss não publicou nada sobre os seus estudos neste campo durante a sua vida. se bem que não aceitasse uma geometria não euclidiana como possível.. No século XIX. perante o insucesso dessa tentativa tiveram a coragem de acreditar que h avia uma alternativa ao que os sentidos faziam parecer ser a única hipótese. terá afirmado que "Eu estou a chegar mais e mais à convicção que a necessidade da nossa geometria não pode se r demonstrada. co mo tantos outros. Também eles haviam tentado demonstrar o quinto postulado mas. então eu sou capaz de estabelecer todo o sistema da geometria [euclidiana] com todo o rigor.) Eu estou na posse de vários teoremas deste tipo. Eu certamente alcancei resultados que a maioria das pessoas veria como prova. Vários matemáticos estudaram esta temática durante este século e aproximaram-se das geometrias não euclidianas. isso não o impediu de investigar Matemática. ter fracassado em demonstrar o . diferentes da euclidiana. p. por exemplo. mas antes a uma dúvida sobre a validade da geometria [euclidiana]. nem para. provou que não havia contradição lógica em considerar os quatro primeiros postulados e um quinto que contrariasse o quinto postulado Euclides. ao provar que se a geometria euclidiana é consistente. não faz muito sentido. enviou uma cópia da obra a Gauss. Wolfgang aconselha então o seu filho a publicar o mais depressa possível o seu estudo pois. descobre também ele uma geometria não euclidiana (e é Lobachevsky quem primeiro publica uma obra sobre geometria não euclidiana. Contudo isso voltou a acontecer. na Rússia. que após Beltrami provar que era impossível demonstrar o quinto postulado. foram descobertas mais tarde. revelando uma profundo desânimo pessoal nesta área da Matemática à qual tanto se havia dedicado: toda a luz e alegria da minha vida. portanto. . Matthew Ryan (desconheço quem foi ou o que fazia ao certo. de uma geometria não euclidiana. como a elíptica (para esta geometria não basta negar o quinto postulado). Muitos outros matemáticos vieram a distinguir -se no campo das geometrias não euclidianas. Quando Janos diz a seu pai que está a estudar o problema das paralelas . Janos. que extinguiu considera ser um caminho impossível de percorrer. Apresento os dois exemplo s que encontrei: Em 1905. também o é a geometria hiperbólica. Nem Bolyai nem Lobachevsky chegaram a ver o seu valor reconhecido pela gran de descoberta que fizeram. não eram novidade para si.22 quinto postulado. O que de fato acontecerá neste caso em que Lobachevsky. Beltrami prova a consistência de uma geometria não euclidiana. Enviaram um novo exemplar e Gauss responde que aqueles resultados. Este senhor demonstra o quinto postulado recorrendo a linhas em movimento. Janos continua o seu estudo e acaba por convencer o seu pai de que está a chegar a conclusões importantes na teoria das paralel as. outras. Em 1868. que ninguém voltaria a tentar o mesmo (pelo menos se tivesse conhecimentos científicos). aliás ) publicou um folheto de 30 páginas Euclid's World-Renowned Parallel Postulate em que mistura o quinto postulado com religião. Estes dois matemáticos apenas descobriram uma geometria não euclidiana. É interessante ler a correspondência entre pai e filho referente a esta matéria. o que é não é permitido na geometria euclidiana e. Janos publica a sua obra como apêndice a uma obra do seu pai sobre geometria. Este autor revela um autêntico de . Ainda assim. logo. acabando por descobrir uma geometria não euclidiana. provou que era impossível demonstrar o quinto postulado pois. Janos terá dito: "criei um mundo novo e diferente a partir do nada"! Em 1831. mas o livro perdeu -se no correio. Janos e Wolfgang esperaram ansiosamente pela resposta. pois ele próprio já andava a refletir sobre aquilo há muito tempo. Janos não gostou do comentário de Gauss e pensou que este lhe quisesse retirar o crédito da descoberta. Wolfgang tinha estudado com Gauss e correspondia -se regularmente com ele (nomeadamente sobre tentativas de demonstrar o quinto postulado). Wolfgang procura desencorajá -lo. estas aparecem em diferentes lugares . tentou demonstrar a sua falsidade. pois Atravessei essa noite sem fim. em 1829). Deste modo. quando o tempo está maduro para certas coisas. Terá ficado de tal modo deprimido que não voltou a publicar nada da sua pesquisa neste campo. E pede ao filho que abandone esse estudo. Seria de esperar. O ensino da Geometria "imaginária" ou Não -Euclidiana em universidades e escolas geraria uma raça de estudantes arrogantes e imbecis. não é uma tentativa ingênua de quem não conhece a longa história deste postulado. Deus" (traduzido de Dudley. Nesta obra. New York: Dover Publications Inc. Hugo. 158) Em 1931. Roberto. LOBACHEVSKY. como o governo humano. Carslaw. Quererá isto dizer que ainda nos dias de hoje.. Lobachevsky. critica os principais matemáticos que desenvolveram as geometrias não euclidianas: Gauss.. Non-Euclidean Geometry . de natureza a desorientar as mentes. mostra que a invenção da Geometria "imaginária" ou Não Euclidiana é bestialmente tola. . a achou suficientemente rel evante para publicá-la. Carslaw. Non-Euclidean Geometry . estando aí o fundamento para a sua demonstração (dizer que retas paralelas são eqü idistantes é equivalente a afirmar o quinto postulado). Contudo. The Science of Absolute Space . New York: Dover Publications Inc. in BONOLA. o presidente de uma universidade nos EUA apresentou uma demonstração do quinto postulado. juntamente com as declarações tolas dos Não -Euclidianos. "As tentativas de demonstração do Quinto Postulado dos Elementos de Euclides". tradução inglesa de H. doutri na Cristã. numa obra que denominou de Euclid or Einstein . 1955 . que colocariam a sociedade em perigo através da aplicação de raciocínios "imaginários" e falaciosos aos temas mais importantes. desperdiçar o tempo. Bolyai. J. Ou seja. é um tentativa de demonstração q ue tem por objetivo rebater tudo o que já foi descoberto de geometrias não euclidianas. 1955. tradução inglesa de H. Roberto. 2. Nicholas. 2004 BONOLA. As loucas Satânicas deduções da Geometria Não -Euclidiana. Roberto.. que. na atualidade. este autor utiliza uma definição de linhas paralelas similar à de Posidônio. e destruir a saúde de milhões de estudantes cada ano. não posso deixar de notar. tradução inglesa de Ge orge Bruce Halsted. New York: Dover Publications Inc. se esta publicação está online é porque alguém. Carslaw. há quem defenda que se pode demonstrar o quinto postulado de Euclides? REFERÊNCIAS Autor do Artigo: MARQUES. S. Callahan. 1955. mais pelo contrário. S. BOLYAI. S. in BONOLA. por isso. p. 1992. e. Non-Euclidean Geometry.23 pânico perante a idéia de Geometrias Não-Euclidianas e quase anuncia o apocalipse. tradução inglesa de H. John. Riemann. milagres de Cristo. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Pode parecer descabida esta demonstração do quinto postulado tanto tempo depois de ser demonstrado que é impossível fazê -lo. contudo. trabalho e capital. tradução inglesa de George Bruce Halsted. The Theory of Parallels . como se pode depreender das suas palavras de conclusão: "1. Marvin Jay. Euclidean and Non -Euclidean Geometries : Development and History . Morrow. Thomas.. L. VELOSO.24 DUDLEY. 1956 (edição original 1925). Freeman and Company . Eduardo. Underwood. New York: Dover Publications Inc. Washington D.: The Mathematical Association of America. Temas Actuais : Materiais para Professores . 1998 . Lisboa: IIE. 1970 . HEAT. tradução inglesa de Glenn R. .C. A Commentary on the first book os Euclid¶s Elements. 1992 . San Francisco: W. PROCLUS. GREENBERG. New Jersey: Princeton University Press. Geometria. Mathematical Cranks . 1980. The thirteen books of Euclid ¶s Elements translated with introduction and commentary (volume 1). H.
Report "TENTATIVAS DE DEMONSTRAÇÃO DO QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES"