UNIDAD ITEORIA DEL MUESTREO Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar las características poblacionales desconocidas, examinando la información obtenida de una muestra, de una población. El punto de interés es la muestra, la cual debe ser representativa de la población objeto de estudio. Se seguirán ciertos procedimientos de selección para asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la población de la que proceden, ya que solo se pueden hacer observaciones probabilísticas sobre una población cuando se usan muestras representativas de la misma. Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierto observa. Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población. Muestras Aleatorias Cuando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes, se utilizan muestras por muchas razones; una enumeración completa de la población, llamada censo, puede ser económicamente imposible, o no se cuenta con el tiempo suficiente. A continuación se verá algunos usos del muestreo en diversos campos: 1. Política. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones. 2. Educación. Las muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza. 3. Industria. Muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad. 4. Medicina. Muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo. 5. Agricultura. Las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en la producción los efectos de un fertilizante nuevo. 6. Gobierno. Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional. Errores en el Muestreo Cuando se utilizan valores muestrales, o estadísticos para estimar valores poblacionales, o parámetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral. El error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras tomadas de la misma población. Cuando una muestra no es una copias exacta de la población; aún si se ha tenido gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamaño sean representativas de una cierta población, no esperaríamos que las dos sean idénticas en todos sus detalles. El error muestral es un concepto importante que ayudará a entender mejor la naturaleza de la estadística inferencial. Los errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores muestrales y se denominan errores no muestrales. El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. El sesgo muestral se refiere a una tendencia sistemática inherente a un método de muestreo que da estimaciones de un parámetro que son, en promedio, menores (sesgo negativo), o mayores (sesgo positivo) que el parámetro real. El sesgo muestral puede suprimirse, o minimizarse, usando la aleatorización. La aleatorización se refiere a cualquier proceso de selección de una muestra de la población en el que la selección es imparcial o no está sesgada; una muestra elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria. Los tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático. Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, la llamamos muestra aleatoria simple. Ejemplo 1.1 Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadística de 20 alumnos. 20 C 5 da el número total de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15,504 maneras diferentes de tomar la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos separados de papel, una tarea tremenda, luego los colocamos en un recipiente y después los revolvemos, entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de papel con cinco nombres. Un procedimiento más simple para elegir una muestra aleatoria sería escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y después extraer cinco papeles al mismo tiempo. Otro método parea obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20 utiliza una tabla de números aleatorios. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. También se puede prescindir de estas y hacer la tabla escribiendo diez dígitos del 0 al 9 en tiras de papel, las colocamos en un recipiente y los revolvemos, de ahí, la primera tira seleccionada determina el primer número de la tabla, se regresa al recipiente y después de revolver otra vez se selecciona la seguida tira que determina el segundo número de la tabla; el proceso continúa hasta obtener una tabla de dígitos aleatorios con tantos números como se desee. Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico, imposible o no deseado; aunque sería deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre elecciones presidenciales, sería muy costoso o tardado. El muestreo estratificado requiere de separar a la población según grupos que no se traslapen llamados estratos, y de elegir después una muestra aleatoria simple en cada estrato. La información de las muestras aleatorias simples de cada estrato constituiría entonces una muestra global. Ejemplo 1.2 Suponga que nos interesa obtener una muestra de las opiniones de los profesores de una gran universidad. Puede ser difícil obtener una muestra con todos los profesores, así que supongamos que elegimos una muestra aleatoria de cada colegio, o departamento académico; los estratos vendrían a ser los colegios, o departamentos académicos. El muestreo por conglomerados requiere de elegir una muestra aleatoria simple de unidades heterogéneas entre sí de la población llamadas conglomerados. Cada elemento de la población pertenece exactamente a un conglomerado, y los elementos dentro de cada conglomerado son usualmente heterogéneos o disímiles. Ejemplo 1.3 Suponga que una compañía de servicio de televisión por cable está pensando en abrir una sucursal en una ciudad grande; la compañía planea realizar un estudio para determinar el porcentaje de familias que utilizarían sus servicios, como no es práctico preguntar en cada casa, la empresa decide seleccionar una parte de la ciudad al azar, la cual forma un conglomerado. En el muestreo por conglomerados, éstos se forman para representar, tan fielmente como sea posible, a toda la población; entonces se usa una muestra aleatoria simple de conglomerados para estudiarla. Los estudios de instituciones sociales como iglesias, hospitales, escuelas y prisiones se realizan, generalmente, con base en el muestreo por conglomerados. El muestreo sistemático es una técnica de muestreo que requiere de una selección aleatoria inicial de observaciones seguida de otra selección de observaciones obtenida usando algún sistema o regla. Ejemplo 1.4 Para obtener una muestra de suscriptores telefónicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los números de las páginas del directorio telefónico; al elegir el vigésimo nombre de cada página obtendríamos un muestreo sistemático, también podemos escoger un nombre de la primera página del directorio y después seleccionar cada nombre del lugar número cien a partir del ya seleccionado. Por ejemplo, podríamos seleccionar un número al azar entre los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entonces seleccionamos los nombres del directorio que corresponden a los números 40, 140, 240, 340 y así sucesivamente. Error Muestral Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacional , entonces la media muestral, como medida, conlleva algún error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población con media = 15: si la media de la muestra es x=12, entonces a la diferencia observada x- = -3 se le denomina el error muestral. Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacional y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces: Ejemplo 1.5 Se toman muestras de tamaño 2 de una población consistente en tres valores, 2, 4 y 6, para simular una población "grande" de manera que el muestreo pueda realizarse un gran número de veces, supondremos que éste se hace con reemplazo, es decir, el número elegido se reemplaza antes de seleccionar el siguiente, además, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se seleccionan las observaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada (2,4) es distinta de la muestra ordenada (4,2). En la muestra (4,2), se seleccionó primero 4 y después 2. La siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tamaño 2 que es posible seleccionar con reemplazo y también contiene las medioas muestrales y los correspondientes errores muestrales. La media poblacional es igual a = (2+4+6)/3 = 4. Ver la tabla en la siguiente página. Notese las interesantes relaciones siguientes contenidas en la tabla: La media de la colección de medias muestrales es 4, la media de la población de la que se extraen las muestras. Si x denota la media de todas las medias muestrales entonces tenemos: x = (3+4+3+4+5+5+2+4+6)/9 = 4 La suma de los errores muestrales es cero. e 1 + e 2 + e 3 + . . . + e 9 = (-2) + (-1) + 0 + (-1) + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 = 0 Muestras ordenadas x Error muestral e = x - (2,2) 2 2 – 4 = -2 (2,4) 3 3 – 4 = -1 (2,6) 4 4 – 4 = 0 (4,2) 3 3 – 4 = -1 (4,4) 4 4 – 4 = 0 (4,6) 5 5 – 4 = 1 (6,2) 4 4 – 4 = 0 (6,4) 5 5 – 4 = 1 (6,6) 6 6 – 4 = 2 En consecuencia, si x se usa para medir, estimar, la media poblacional , el promedio de todos los errores muestrales es cero. Distribuciones Muestrales Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia, impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y tomadas de la misma población tenga la misma media muestral o que sean completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribución de todos los valores posibles de un estadístico. Tales distribuciones serán muy importantes en el estudio de la estadística inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones se harán usando estadísticas muestrales. Como el análisis de las distribuciones asociadas con los estadísticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido. Como los valores de un estadístico, tal como x, varían de una muestra aleatoria a otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente distribución de frecuencias. La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño. Suponga que se han seleccionado muestras aleatorias de tamaño 20 en una población grande. Se calcula la madia muestral x para cada muestra; la colección de todas estas medias muestrales recibe el nombre de distribución muestral de medias, lo que se puede ilustrar en la siguiente figura: Suponga que se eligen muestras aleatorias de tamaño 20, de una población grande, y se calcula la deviación estándar de cada una. La colección de todas estas desviaciones estándar muestrales se llama distribución muestral de la desviación estándar, y lo podemos ver en la siguiente figura: Ejemplo 1.6 Se eligen muestras ordenadas de tamaño 2, con reemplazo, de la población de valores 0, 2, 4 y 6. Encuentre: , la media poblaciona. , la desviación estándar poblacional. x, la media de la distribución muestral de medias. x , la desviación estándar de la distribución muestral de medias. Además, grafique las frecuencias para la población y para la distribución muestral de medias. Solución: La media poblacional es: a. La desviación estándar de la población es: b. A continuación se listan los elementos de la distribución muestral de la media y la correspondiente distribución de frecuencias. La media de la distribución muestral de medias es: d) La desviación estándar de la distribución muestral de medias es: De aquí que podamos deducir que: Como para cualquier variable aleatoria, la dsitribución muestral de medias tiene una media o valor esperado, una varianza y una desviación estándar, se puede demostrar que la distribución muestral de medias tiene una media igual a la media poblacional. Esto es: Distribuciones muestrales Después de haber realizado el ejercicio anterior se puede ver que una distribución muestral se genera extrayendo todas las posibles muestras del mismo tamaño de la población y calculándoles a éstas su estadístico. Si la población de la que se extraen las muestras es normal, la distribución muestral de medias será normal sin importar el tamaño de la muestra. Si la población de donde se extraen las muestras no es normal, entonces el tamaño de la muestra debe ser mayor o igual a 30, para que la distribución muestral tenga una forma acampanada. Mientras mayor sea el tamaño de la muestra, más cerca estará la distribución muestral de ser normal. Para muchos propósitos, la aproximación normal se considera buena si se cumple n=30. La forma de la disitribución muestral de medias sea aproximadamente normal, aún en casos donde la población original es bimodal, es realmente notable. Teorema del límite central Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media y desviación estándar , entonces, cuando n es grande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una media igual a y una desviación estándar de . La aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea cada vez mayor. Ejemplo Para la dsitribución muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre: a. El error muestral de cada media b. La media de los errores muestrales c. La desviación estándar de los errores muestrales. Solución: En la tabla siguiente se ven las muestras, las medias de las muestras y los errores muestrales: Muestra x Error muestral, e=x- (0,0) 0 0 - 3 = -3 (0,2) 1 1 - 3 = -2 (0,4) 2 2 - 3 = -1 (0,6) 3 3 – 3 = 0 (2,0) 1 1 – 3 = -2 (2,2) 2 2 – 3 = -1 (2,4) 3 3 – 3 = 0 (2,6) 4 4 – 3 = 1 (4,0) 2 2 – 3 = -1 (4,2) 3 3 – 3 = 0 (4,4) 4 4 – 3 = 1 (4,6) 5 5 – 3 = 2 (6,0) 3 3 – 3 = 0 (6,2) 4 4 – 3 = 1 (6,4) 5 5 – 3 = 2 (6,6) 6 6 – 3 = 3 a. La media de los errores muestrales es e , es: b. La desviación estándar de la distribución de los errores muestrales e, es entonces: La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar de la media denotado por x , es 1.58. Con esto se puede demostrar que si de una población se eligen muestras de tamaño n con reemplazo, entonces el error estándar de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de los errores muestrales. En general se tiene: Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin reemplazo, se puede usar la formula siguiente para encontrar x . donde es la desviación estándar de la población de donde se toman las muestras, n es el tamaño de la muestra y N el de la población. Como regla de cálculo, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la población es al menos 20 veces el tamaño de la muestra (N 20), entonces se puede usar la fórmula. El factor se denomina factor de corrección para una población finita. Ejemplo: Suponga que la tabla siguiente muestra la antiguedad en años en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas: Maestro de matemáticas Antiguedad A 6 B 4 C 2 Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral. Solución: Se pueden tener 3 C 2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales. Muestras Antigüedad Media Muestral A,B (6,4) 5 A,C (6,2) 4 B,C (4,2) 3 La media poblacional es: La media de la distribución muestral es: La desviación estándar de la población es: El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es: Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de correción tendriamos que: Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de corrección obtendremos el valor correcto: El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse cuando se calcula el valor del error estándar: Distribución Muestral de Medias Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica. Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula: En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z. Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la formula de la distribución normal con y , entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la siguiente manera: y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo: Ejemplo: Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. Solución: Este valor se busca en la tabla de z La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062. Ejemplo: Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros. Solución: Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso. a. (0.7607)(200)=152 medias muestrales b. (0.0336)(200)= 7 medias muestrales Distribución muestral de Proporciones Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos reprobados en la muestra. NOTA: Es decir queremos saber el porcentaje de la muestra que representa ciertas características. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde "x" es el número de éxitos u observaciones de interés y "n" el tamaño de la muestra) en lugar del estadísitico media. Una población binomial está estrechamente relacionada con la distribución muestral de proporciones; una población binomial es una colección de éxitos y fracasos, mientras que una distribución muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos los números posibles de éxitos en un experimento binomial, Cualquier evento se puede convertir en una proporción si se divide el número obtenido entre el número de intentos. Generación de la Distribución Muestral de Proporciones Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere la distribución muestral de proporciones para el número de piezas defectuosas. Como se puede observar en este ejercicio la Proporción de artículos defectuosos de esta población es 4/12=1/3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote están defectuosas. 4/12 = 1/3 porque se le saca cuarta 4/12 ÷ 4/4 = 1/3 NOTA: 4/12 = 33.33 % También se puede sacar con la regla de tres: 12 = 100 % 4 = ? ?= (4 x 100)/12 = 33.33 El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12 elementos es 12 C 5 =792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera: Artículos Buenos Artículos Malos Proporción de artículos defectuoso Número de maneras en las que se puede obtener la muestra 1 4 4/5=0.8 8 C 1 * 4 C 4 =8 2 3 3/5=0.6 8 C 2 * 4 C 3 =112 3 2 2/5=0.4 8 C 3 * 4 C 2 =336 4 1 1/5=0.2 8 C 4 * 4 C 1 =280 5 0 0/5=0 8C5*4C0=56 Total 792 Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y dividirla entre el número total de muestras. Esto es: Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la Proporción de la población. p = P También se puede calcular la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones: La varianza de la distribución binomial es 2 = npq, por lo que la varianza de la distribución muestral de proporciones es 2 p =(Pq)/n. Si se sustituten los valores en esta fórmula tenemos que: , este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos falta agregar el factor de corrección para una población finita y un muestreo sin reemplazo: La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones está basada en la aproximación de la distribución normal a la binomial . Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra. A esta fórmula se le puede agregar el factor de corrección de si se cumple con las condiciones necesarias. Ejemplo: Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55. Solución: Este ejercicio se puede solucionar por dos métodos. El primero puede ser con la aproximación de la distribución normal a la binomial y el segundo utilizando la fórmula de la distribución muestral de proporciones. Aproximación de la distribución normal a la binomial: Datos: n=800 estudiantes p=0.60 x= (.55)(800) = 440 estudiantes p(x< 440) = ? Media= np= (800)(0.60)= 480 p(x< 440) = 0.0017. Este valor significa que existe una probabilidad del 0.17% de que al extraer una muestra de 800 estudiantes, menos de 440 fuman cigarrillos. Distribución Muestral de Proporciones Datos: n=800 estudiantes P=0.60 p= 0.55 p(p< 0.55) = ? Observe que este valor es igual al obtenido en el método de la aproximación de la distribución normal a la binomial, por lo que si lo buscamos en la tabla de "z" nos da la misma probabilidad de 0.0017. También se debe de tomar en cuenta que el factor de corrección de 0.5 se esta dividiendo entre el tamaño de la muestra, ya que estamos hablando de una proporción. La interpretación en esta solución, estaría enfocada a la proporción de la muestra, por lo que diríamos que la probabilidad de que al extraer una muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la proporción de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al 55% es del 0.17%. Ejemplo: Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%. a. Resolverlo mediante la aproximación de la normal a la binomial b. Resolverlo con la distribución muestral de proporciones a. Aproximación de la distribución normal a la binomial: Datos: n=150 personas p=0.03 x= (0.04)(150) = 6 personas p(x>6) = ? Media = np= (150)(0.03)= 4.5 p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una probabilidad del 17% de que al extraer una muestra de 150 personas, mas de 6 presentarán una reacción adversa. b. Distribución Muestral de Proporciones Datos: n=150 personas P=0.03 p= 0.04 p(p>0.04) = ? Observe que este valor es igual al obtenido y la interpretación es: existe una probabilidad del 17% de que al tomar una muestra de 150 personas se tenga una proporción mayor de 0.04 presentando una reacción adversa. Ejemplo: Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60 tenga: a. Menos del 3% de los componentes defectuosos. b. Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas. Solución: a. Datos: n= 60 artículos P=0.04 p= 0.03 p(p<0.03) = ? La probabilidad de que en una muestra de 60 artículos exista una proporción menor de 0.03 artículos defectuosos es de 0.2327. Datos: n= 60 artículos P=0.04 p= 0.01 y 0.05 p(0.01<p<0.05) = ? Distribución Muestral de Diferencia de Medias Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y desviación estándar 1 , y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n 1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n 2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico La distribución es aproximadamente normal para n 1 30 y n 2 30. Si las poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras. En ejercicios anteriores se había demostrado que y que , por lo que no es difícil deducir que y que . La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es: Ejemplo: En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas. Solución: Datos: 1 = 100 libras 2 = 85 libras 1 = 14.142 libras 2 = 12.247 libras n 1 = 20 niños n 2 = 25 niñas = ? Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056. Ejemplo: Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B. Solución: Datos: A = 7.2 años B = 6.7 años A = 0.8 años B = 0.7 años n A = 34 tubos n B = 40 tubos = ? Ejemplo: Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1?. Solución: En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales. Datos: 1 = 1.23 Km/Lto 2 = 1.37 Km/Lto n 1 = 35 autos n 2 = 42 autos a. = ? b. ? La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.0117. Distribución Muestral de Diferencia de Proporciones Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan algunos ejemplos: - Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban matemáticas que las de los que aprueban inglés? - Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B que también presentan una reacción de ese tipo? - Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y mujeres en posiciones gerenciales. - Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos que genera la máquina A a los que genera la máquina B? Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos proporciones muestrales, la distribución muestral de diferencia de proporciones es aproximadamente normal para tamaños de muestra grande (n 1 p 1 5, n 1 q 1 5,n 2 p 2 5 y n 2 q 2 5). Entonces p 1 y p 2 tienen distribuciones muestrales aproximadamente normales, así que su diferencia p 1 -p 2 también tiene una distribución muestral aproximadamente normal. Cuando se estudió a la distribución muestral de proporciones se comprobó que y que , por lo que no es difícil deducir que y que . La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de proporciones es: Ejemplo: Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres. Solución: Datos: P H = 0.12 P M = 0.10 n H = 100 n M = 100 p(p H -p M 0.03) = ? Se recuerda que se está incluyendo el factor de corrección de 0.5 por ser una distribución binomial y se está utilizando la distribución normal. Se concluye que la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor de la pena de muerte, al menos 3% mayor que el de mujeres es de 0.4562. Ejemplo: Una encuesta del Boston College constó de 320 trabajadores de Michigan que fueron despedidos entre 1979 y 1984, encontró que 20% habían estado sin trabajo durante por lo menos dos años. Supóngase que tuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de 320 trabajadores de entre todos los empleados despedidos entre 1979 y 1984. ¿Cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más? Solución: En este ejercicio se cuenta únicamente con una población, de la cual se están extrayendo dos muestras y se quiere saber la probabilidad de la diferencia de los porcentajes en esas dos muestras, por lo que se debe de utilizar la distribución muestral de proporciones con P 1 = P 2 , ya que es una misma población. Otra de las situaciones con la cual nos topamos es que desconocemos la proporción de trabajadores despedidos entre 1979 y 1984 que estuvieron desempleados por un período de por lo menos dos años, sólo se conoce la p 1 = 0.20 ya que al tomar una muestra de 320 trabajadores se observó esa proporción. En la fórmula de la distribución muestral de proporciones para el cálculo de probabilidad se necesita saber las proporciones de las poblaciones, las cuales en este ejercicio las desconocemos, por lo que se utilizará el valor de 0.20 como una estimación puntual de P. En el siguiente tema se abordará el tema de estimación estadística y se comprenderá el porque estamos utilizando de esa manera el dato. También debe de comprenderse la pregunta que nos hace este problema, ¿cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más?, la palabra difiera quiere decir que puede existir una diferencia a favor de la muestra uno, o a favor de la muestra dos, por lo que se tendrán que calcular dos áreas en la distribución y al final sumarlas. Datos: p 1 = 0.20 n 1 = 320 trabajadores n 2 = 320 trabajadores P 1 = P 2 La probabilidad de que su proporcion muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 0.05 o más es de 0.1260. Ejemplo: Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son defectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son defectuosos; se toman muestras de 120 objetos de cada máquina: a. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10? b. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15? Solución: Datos: P 1 = 3/6 = 0.5 P 2 = 2/5 = 0.4 n 1 = 120 objetos n 2 = 120 objetos a. p(p 2 -p 1 0.10) = ? Otra manera de hacer este ejercicio es poner P 1 -P 2 : La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos defectuosos de por lo menos 10% a favor de la máquina 2 es de 0.0011. b. p(p 1 -p 2 0.15)=? La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos defectuosos de por lo menos 15% a favor de la máquina 1 es de 0.2357. Distribución Muestral de Número de Defectos En el control de calidad y específicamente en los gráficos de control "c" se aplica esta distribución, la cual consiste en que al extraer un artículo contabilicemos el número de defectos que tiene ese artículo. Esta distribución muestral proviene de la distribución de Poisson, en la cual le media es y que en este caso es el número promedio de defectos por unidad. Como ya es conocido la varianza de la distribución de Poisson es igual a por lo que se puede deducir la formula de la siguiente manera: Para la distribución muestral de número de defectos la nomenclatura utilizada es: c = número defectos por unidad de inspección C = número de defectos promedio por unidad de inspección Se debe de recordar que la distribución de Poisson es una distribución discreta, y se esta utilizando la aproximación de la normal a la Poisson, debiendo aplicar el factor de corrección de ± 0.5 según sea el caso. La formula para la dsitribución muestral de número de defectos quedaría de la siguiente manera: Ejemplo: En cierta empresa se fabrican productos con un promedio de 8 defectos por unidad. Determine la probabilidad de que el próximo producto inspeccionado tenga un número de defectos: a. Mayor o igual a 6 b. Exactamente 7 c. Como máximo 9 a. La probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga por lo menos 6 defectos es de 0.8106. b. La probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga exactamente 7 defectos es de 0.1344. c. La probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga a lo más 9 defectos es de 0.7019. Problemas propuestos 1. Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye normalmente con media de 2000 libras y una varianza de 25,000 lbs 2 . Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 cuerdas; determine la probabilidad de que en esa muestra: a. La resistencia media encontrada sea de por lo menos 1958 libras. b. La resistencia media se mayor de 2080 libras. 1. Como parte de un proyecto general de mejoramiento de la calidad, un fabricante textil decide controlar el número de imperfecciones encontradas en cada pieza de tela. Se estima que el número promedio de imperfecciones por cada pieza de tela es de 12, determine la probabilidad de que en la próxima pieza de tela fabricada se encuentren: a. Entre 10 y 12 imperfecciones. b. Menos de 9 y más de 15 imperfecciones. 1. En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72 puntos y la desviación estándar es de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en: a. 3 ó más puntos. b. 6 o más puntos. c. Entre 2 y 5 puntos. 1. Un especialista en genética ha detectado que el 26% de los hombres y el 24% de las mujeres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150 mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de: a. Menos de 0.035 a favor de los hombres. b. Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres. 1. Una urna contiene 80 bolas de las que 60% son rojas y 40% blancas. De un total de 50 muestras de 20 bolas cada una, sacadas de la urna con remplazamiento, ¿en cuántas cabe esperar a. Igual número de bolas rojas y blancas? b. 12 bolas rojas y 8 blancas? c. 8 bolas rojas y 12 blancas? d. 10 ó mas bolas blancas? 1. Los pesos de 1500 cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de 2.40 onzas y desviación estándar de 0.048 onzas. Si se extraen 300 muestras de tamaño 36 de esta población, determinar la media esperada y la desviación estándar de la distribución muestral de medias si el muestreo se hace: a. Con remplazamiento b. Sin remplazamiento 1. La vida media de una máquina para hacer pasta es de siete años, con una desviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estas máquinas siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre: a. La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años. b. El valor de la a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve. 1. Se llevan a cabo dos experimentos independientes en lo que se comparan dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes con el tipo A y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lo mismo se hace con el tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son ambas 1.0. Suponga que el tiempo medio de secado es igual para los dos tipo de pintura. Encuentre la probabilidad de que la diferencia de medias en el tiempo de secado sea mayor a uno a favor de la pintura A. Respuestas a los problemas propuestos: 1. a) 0.9960 b) 0 2. a) 0.3221 b) 0.3122 3. a) 0.2150 b) 0.0064 c) 0.4504 4. a) 0.2227 b) 0.2848 5. a) 6 b) 9 c) 2 d) 12 6. a) b) ligeramente menor que 0.008 7. a) 0.6898 b) 7.35 8. 0.0013 ESTIMACION El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones al total de la misma. Como vimos en la sección anterior, los estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros sus valores. Existen dos tipos de estimaciones para parámetros; puntuales y por intervalo. Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador. Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parámetro. Estimación Puntual La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en los valores calculados de varias cantidades muestrales . Po ejemplo, representamos con (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del valor de . De forma similar, si es la varianza de la distribución de resistencia a la ruptura, el valor de la varianza muestral s 2 se podría utilizar pra inferir algo acerca de . Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra griega para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más razonable de . Una muestra aleatoria de 3 baterías para calculadora podría presentar duraciones observadas en horas de x 1 =5.0, x 2 =6.4 y x 3 =5.9. El valor calculado de la duración media muestral es = 5.77, y es razonable considerar 5.77 como el valor más adecuado de . Una estimación puntual de un parámetro es un sólo número que se puede considerar como el valor más razonable de . La estimación puntual se obtiene al seleccionar una estadística apropiada y calcular su valor a partir de datos de la muestra dada. La estadística seleccionada se llama estimador puntual de . El símbolo (theta sombrero) suele utilizarse para representar el estimador de y la estimación puntual resultante de una muestra dada. Entonces se lee como "el estimador puntual de es la media muestral ". El enunciado "la estimación puntual de es 5.77" se puede escribir en forma abreviada . Ejemplo: En el futuro habrá cada vez más interés en desarrollar aleaciones de Mg de bajo costo, para varios procesos de fundición. En consecuencia, es importante contar con métodos prácticos para determinar varias propiedades mecánicas de esas aleaciones. Examine la siguiente muestra de mediciones del módulo de elasticidad obtenidos de un proceso de fundición a presión: 44.2 43.9 44.7 44.2 44.0 43.8 44.6 43.1 Suponga que esas observaciones son el resultado de una muestra aleatoria. Se desea estimar la varianza poblacional . Un estimador natural es la varianza muestral: En el mejor de los casos, se encontrará un estimador para el cual siempre. Sin embargo, es una función de las X i muestrales, por lo que en sí misma una variable aleatoria. + error de estimación entonces el estimador preciso sería uno que produzca sólo pequeñas diferencias de estimación, de modo que los valores estimados se acerquen al valor verdadero. Propiedades de un Buen Estimador Insesgado.- Se dice que un estimador puntual es un estimador insesgado de si , para todo valor posible de . En otras palabras, un estimador insesgado es aquel para el cual la media de la distribución muestral es el parámetro estimado. Si se usa la media muestral para estimar la media poblacional , se sabe que la , por lo tanto la media es un estimador insesgado. Eficiente o con varianza mínima.- Suponga que 1 y 2 son dos estimadores insesgados de . Entonces, aun cuando la distribución de cada estimador esté centrada en el valor verdadero de , las dispersiones de las distribuciones alrededor del valor verdadero pueden ser diferentes. Entre todos los estimadores de que son insesgados, seleccione al que tenga varianza mínima. El resultante recibe el nombre de estimador insesgado con varianza mínima (MVUE, minimum variance unbiased estimator) de . En otras palabras, la eficiencia se refiere al tamaño de error estándar de la estadística. Si comparamos dos estaíisticas de una muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cual de ellas es un estimador mas eficiente, escogeríamos la estadística que tuviera el menor error estándar, o la menor desviación estándar de la distribución de muestreo. Tiene sentido pensar que un estimador con un error estándar menor tendrá una mayor oportunidad de producir una estimación mas cercana al parámetro de población que se esta considerando. Como se puede observar las dos distribuciones tienen un mismo valor en el parámetro sólo que la distribución muestral de medias tiene una menor varianza, por lo que la media se convierte en un estimador eficiente e insesgado. Coherencia.- Una estadística es un estimador coherente de un parámetro de población, si al aumentar el tamaño de la muestra se tiene casi la certeza de que el valor de la estadística se aproxima bastante al valor del parámetro de la población. Si un estimador es coherente se vuelve mas confiable si tenemos tamaños de muestras mas grandes. Suficiencia.- Un estimador es suficiente si utiliza una cantidad de la información contenida de la muestra que ningún otro estimador podría extraer información adicional de la muestra sobre el parámetro de la población que se esta estimando. Es decir se pretende que al extraer la muestra el estadístico calculado contenga toda la información de esa muestra. Por ejemplo, cuando se calcula la media de la muestra, se necesitan todos los datos. Cuando se calcula la mediana de una muestra sólo se utiliza a un dato o a dos. Esto es solo el dato o los datos del centro son los que van a representar la muestra. Con esto se deduce que si utilizamos a todos los datos de la muestra como es en el caso de la media, la varianza, desviación estándar, etc; se tendrá un estimador suficiente. Estimación por Intervalos Un estimado puntual, por ser un sólo número, no proporciona por sí mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación. Por ejemplo, imagine que se usa el estadístico para calcular un estimado puntual de la resistencia real a la ruptura de toallas de papel de cierta marca, y suponga que = 9322.7. Debido a la variabilidad de la muestra, nunca se tendrá el caso de que = . El estimado puntual nada dice sobre lo cercano que esta de . Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esté estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un estimado de intervalo o intervalo de confianza (IC). Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza, que es una medida de el grado de fiabilidad en el intervalo. Un intervalo de confianza con un nivel de confianza de 95% de la resistencia real promedio a la ruptura podría tener un límite inferior de 9162.5 y uno superior de 9482.9. Entonces, en un nivel de confianza de 95%, es posible tener cualquier valor de entre 9162.5 y 9482.9. Un nivel de confianza de 95% implica que 95% de todas las muestras daría lugar a un intervalo que incluye o cualquier otro parámetro que se esté estimando, y sólo 5% de las muestras producirá un intervalo erróneo. Cuanto mayor sea el nivel de confianza podremos creer que el valor del parámetro que se estima está dentro del intervalo. Una interpretación correcta de la "confianza de 95%" radica en la interpretación frecuente de probabilidad a largo plazo: decir que un evento A tiene una probabilidad de 0.95, es decir que si el experimento donde A está definido re realiza una y otra vez, a largo plazo A ocurrirá 95% de las veces. Para este caso el 95% de los intervalos de confianza calculados contendrán a . Esta es una construcción repetida de intervalos de confianza de 95% y se puede observar que de los 11 intervalos calculados sólo el tercero y el último no contienen el valor de . De acuerdo con esta interpretación, el nivel de confianza de 95% no es tanto un enunciado sobre cualquier intervalo en particular, más bien se refiere a lo que sucedería si se tuvieran que construir un gran número de intervalos semejantes. Encontrar z a partir de un nivel de confianza Existen varias tablas en las cuales podemos encontrar el valor de z, según sea el área proporcionada por la misma. En esta sección se realizará un ejemplo para encontrar el valor de z utilizando tres tablas diferentes. Ejemplo: Encuentre el valor de z para un nivel de confianza del 95%. Solución 1: Se utilizará la tabla que tiene el área bajo la curva de - hasta z. Si lo vemos gráficamente sería: El nivel de confianza bilateral está dividido en partes iguales bajo la curva: En base a la tabla que se esta utilizando, se tendrá que buscar el área de 0.975, ya que cada extremo o cola de la curva tiene un valor de 0.025. Por lo que el valor de z es de 1.96. Solución 2: Si se utiliza una tabla en donde el área bajo la curva es de 0 a z: En este caso sólo se tendrá que buscar adentro de la tabla el área de 0.475 y el resultado del valor de z será el mismo, para este ejemplo 1.96. Solución 3: Para la tabla en donde el área bajo la curva va desde z hasta : Se busca el valor de 0.025 para encontrar z de 1.96. Independientemente del valor del Nivel de Confianza este será el procedimiento a seguir para localizar a z. En el caso de que no se encuentre el valor exacto se tendrá que interpolar. Estimación para la Media Es conocido de nosotros durante este curso, que en base a la distribución muestral de medias que se generó en el tema anterior, la formula para el calculo de probabilidad es la siguiente: . Como en este caso no conocemos el parámetro y lo queremos estimar por medio de la media de la muestra, sólo se despejará de la formula anterior, quedando lo siguiente: De esta formula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra como el valor de z se conocerán. Z se puede obtener de la tabla de la distribución normal a partir del nivel de confianza establecido. Pero en ocasiones se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribución llamada "t" de student si la población de donde provienen los datos es normal. Para el caso de tamaños de muestra grande se puede utilizar una estimación puntual de la desviación estándar, es decir igualar la desviación estándar de la muestra a la de la población (s= ). Ejemplos: 1. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. Solución: La estimación puntual de es = 2.6. El valor de z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, por lo tanto: Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo será más amplio: El intervalo de confianza proporciona una estimación de la precisión de nuestra estimación puntual. Si es realmente el valor central de intervalo, entonces estima sin error. La mayor parte de las veces, sin embargo, no será exactamente igual a y la estimación puntual es errónea. La magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre y , y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá . Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel de confianza del 95%. 2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalos de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. Solución: Con un nivel de confianza del 96% se sabe que la duración media de los focos que produce la empresa está entre 765 y 765 horas. 3. La prueba de corte sesgado es el procedimiento más aceptado para evaluar la calidad de una unión entre un material de reparación y su sustrato de concreto. El artículo "Testing the Bond Between Repair Materials and Concrete Substrate" informa que, en cierta investigación, se obtuvo una resistencia promedio muestral de 17.17 N/mm 2 , con una muestra de 48 observaciones de resistencia al corte, y la desviación estándar muestral fue 3.28 N/mm 2 . Utilice un nivel de confianza inferior del 95% para estimar la media real de la resistencia al corte. Solución: En este ejercicio se nos presentan dos situaciones diferentes a los ejercicios anteriores. La primera que desconoce la desviación estándar de la población y la segunda que nos piden un intervalo de confianza unilateral. El primer caso ya se había comentado y se solucionará utilizando la desviación estándar de la muestra como estimación puntual de sigma. Para el intervalo de confianza unilateral, se cargará el área bajo la curva hacia un solo lado como sigue: Esto quiere decir que con un nivel de confianza de 95%, el valor de la media está en el intervalo (16.39, ). Estimación de una Proporción Un estimador puntual de la proporción P en un experimento binomial está dado por la estadística P=X/N, donde x representa el número de éxitos en n pruebas. Por tanto, la proporción de la muestra p =x/n se utiuñlizará como estimador puntual del parámetro P. Si no se espera que la proporción P desconocida esté demasiado cerca de 0 ó de 1, se puede establecer un intervalo de confianza para P al considerar la distribución muestral de proporciones. Al despejar P de esta ecuación nos queda: En este despeje podemos observar que se necesita el valor del parámetro P y es precisamente lo que queremos estimar, por lo que lo sustituiremos por la proporción de la muestra p siempre y cuando el tamaño de muestra no sea pequeño. Cuando n es pequeña y la proporción desconocida P se considera cercana a 0 ó a 1, el procedimiento del intervalo de confianza que se establece aquí no es confiable, por tanto, no se debe utilizar. Para estar seguro, se debe requerir que np ó nq sea mayor o igual a 5. El error de estimación será la diferencia absoluta entre p y P, y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá . Ejemplos: 1. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas. Solución: n=500 p = 15/500 = 0.03 z(0.90) = 1.645 0.0237<P<0.0376 Se sabe con un nivel de confianza del 90% que la proporción de discos defectuosos que no pasan la prueba en esa población esta entre 0.0237 y 0.0376. 2. En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por la Everlast Company, se encontraron 20 defectuosas. Si la proporción p de pilas defectuosas en esa muestra se usa para estimar P, que vendrá a ser la proporción verdadera de todas las pilas defectuosas tipo B fabricadas por la Everlast Company, encuentre el máximo error de estimación tal que se pueda tener un 95% de confianza en que P dista menos de de p. Solución: p=x/n = 20/400=0.05 z(0.95)=1.96 Si p=0.05 se usa para estimar P, podemos tener un 95% de confianza en que P dista menos de 0.021 de p. En otras palabras, si p=0.05 se usa para erstimar P, el error máximo de estimación será aproximadamente 0.021 con un nivel de confianza del 95%. Para calcular el intervalo de confianza se tendría: Esto da por resultado dos valores, (0.029, 0.071). Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la proporción de pulas defectuosas de esta compañía está entre 0.029 y 0.071. Si se requiere un menor error con un mismo nivel de confianza sólo se necesita aumentar el tamaño de la muestra. 3. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales. Solución: P= 60/300 = 0.20 Z(0.90) = 1.645 0.162<P<0.238 Estimación de la Diferencia entre dos Medias Si se tienen dos poblaciones con medias 1 y 2 y varianzas 1 2 y 2 2 , respectivamente, un estimador puntual de la diferencia entre 1 y 2 está dado por la estadística . Por tanto. Para obtener una estimación puntual de 1 - 2, se seleccionan dos muestras aleatorias independientes, una de cada población, de tamaño n 1 y n 2 , se calcula la diferencia , de las medias muestrales. Recordando a la distribución muestral de diferencia de medias: Al despejar de esta ecuación 1 - 2 se tiene: En el caso en que se desconozcan las varianzas de la población y los tamaños de muestra sean mayores a 30 se podrá utilizar la varianza de la muestra como una estimación puntual. Ejemplos: 1. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B es 24 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente. Solución: Es deseable que la diferencia de medias sea positiva por lo que se recomienda restar la media mayor menos la media menor. En este caso será la media del motor B menos la media del motor A. El valor de z para un nivel de confianza del 96% es de 2.05. 3.43< B - A <8.57 La interpretación de este ejemplo sería que con un nivel de confianza del 96% la diferencia del rendimiento promedio esta entre 3.43 y 8.57 millas por galón a favor del motor B. Esto quiere decir que el motor B da mas rendimiento promedio que el motor A, ya que los dos valores del intervalo son positivos. 2. Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36,300 kilómetros y para la marca B 38,100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100 kilómetros para la marca B. Solución: -2662.68< B - A <6262.67 Gráficamente: Como el intervalo contiene el valor "cero", no hay razón para creer que el promedio de duración del neumático de la marca B es mayor al de la marca A, pues el cero nos está indicando que pueden tener la misma duración promedio. Estimación de la Diferencia de dos Proporciones En la sección anterior se vio el tema de la generación de las distribuciones muestrales, en donde se tenía el valor de los parámetros, se seleccionaban dos muestras y podíamos calcular la probabilidad del comportamiento de los estadísticos. Para este caso en particular se utilizará la distribución muestral de diferencia de proporciones para la estimación de las misma. Recordando la formula: Despejando P 1 -P 2 de esta ecuación: Aquí se tiene el mismo caso que en la estimación de una proporción, ya que al hacer el despeje nos queda las dos proporciones poblacionales y es precisamente lo que queremos estimar, por lo que se utilizarán las proporciones de la muestra como estimadores puntuales: Ejemplos: 1. Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de partes componentes. Se toman muestras del procedimiento existente y del nuevo para determinar si éste tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo. Solución: Sean P 1 y P 2 las proporciones reales de defectuosos para los procesos actual y nuevo, respectivamente. De aquí, p 1 =75/1500 = 0.05 y p 2 = 80/2000 = 0.04. con el uso de la tabla encontramos que z para un nivel de confianza del 90% es de 1.645. -0.0017<P 1 -P 2 <0.0217 Como el intervalo contiene el valor de cero, no hay razón para creer que el nuevo procedimiento producirá una disminución significativa en la proporción de artículos defectuosos comparado con el método existente. 2. Un artículo relacionado con la salud, reporta los siguientes datos sobre la incidencia de disfunciones importantes entre recién nacidos con madres fumadoras de marihuana y de madres que no la fumaban: Usuaria No Usuaria Tamaño Muestral 1246 11178 Número de disfunciones 42 294 Proporción muestral 0.0337 0.0263 Encuentre el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones. Solución: Representemos P 1 la proporción de nacimientos donde aparecen disfunciones entre todas las madres que fuman marihuana y definamos P 2 , de manera similar, para las no fumadoras. El valor de z para un 99% de confianza es de 2.58. -0.0064<P 1 -P 2 <0.0212 Este intervalo es bastante angosto, lo cual sugiere que P 1 -P 2 ha sido estimado de manera precisa. Determinación de Tamaños de Muestra para Estimaciones Al iniciar cualquier investigación, la primer pregunta que surge es: ¿de qué tamaño debe ser la o las muestras?. La respuesta a esta pregunta la veremos en esta sección, con conceptos que ya se han visto a través de este material. Cálculo del Tamaño de la Muestra para Estimar una Media ¿Qué tan grande debe ser una muestra si la media muestral se va a usar para estimar la media poblacional?. La respuesta depende del error estándar de la media, si este fuera cero, entonces se necesitaría una sola media que será igual necesariamente a la media poblacional desconocida , porque = 0. Este caso extremo no se encuentra en la práctica, pero refuerza el hecho de que mientras menor sea el error estándar de la media, menor es el tamaño de muestra necesario para lograr un cierto grado de precisión. Se estableció antes que una forma de disminuir el error de estimación es aumentar el tamaño de la muestra, si éste incluye el total de la población, entonces sería igual a cero. Con esto en mente, parece razonable que para un nivel de confianza fijo, sea posible determinar un tamaño de la muestra tal que el error de estimación sea tan pequeño como queramos, para ser mas preciso, dado un nivel de confianza y un error fijo de estimación , se puede escoger un tamaño de muestra n tal que P( ) = Nivel de confianza. Con el propósito de determinar n. El error máximo de estimación esta dado por: Si se eleva al cuadrado ambos lados de esta ecuación y se despeja n de la ecuación resultante, obtenemos: Como n debe de ser un número entero, redondeamos hacia arriba todos los resultados fraccionarios. En el caso de que se tenga una población finita y un muestreo sin reemplazo, el error de estimación se convierte en: De nuevo se eleva al cuadrado ambos lados y se despeja la n, obteniendo: Ejemplos: 1. Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los ciervos cazados en el estado de Maryland. Un estudio anterior de diez ciervos cazados mostró que la desviación estándar de sus pesos es de 12.2 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el 95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 libras? Solución: En consecuencia, si el tamaño de la muestra es 36, se puede tener un 95% de confianza en que difiere en menos de 4 libras de . 2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal con una desviación estándar de 40 horas. ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se desea tener 96% de confianza que la media real esté dentro de 10 horas de la media real? Se necesita una muestra de 68 focos para estimar la media de la población y tener un error máximo de 10 horas. ¿Qué pasaría si en lugar de tener un error de estimación de 10 horas sólo se requiere un error de 5 horas? Se puede observar como el tamaño de la muestra aumenta, pero esto tiene como beneficio una estimación más exacta. 3. Suponga que en el ejercicio anterior se tiene una población de 300 focos, y se desea saber de que tamaño debe de ser la muestra. El muestreo se realizará sin reemplazo. Solución: Como se tiene una población finita y un muestreo sin reemplazo es necesario utilizar la formula con el factor de corrección. Si se tiene una población finita de 300 focos sólo se tiene que extraer de la población una muestra sin reemplazo de 56 focos para poder estimar la duración media de los focos restantes con un error máximo de 10 horas. Cálculo del Tamaño de la Muestra para Estimar una Proporción Se desea saber que tan grande se requiere que sea una muestra para asegurar que el error al estimar P sea menor que una cantidad específica . Elevando al cuadrado la ecuación anterior se despeja n y nos queda: Esta fórmula está algo engañosa, pues debemos utilizar p para determinar el tamaño de la muestra, pero p se calcula a partir de la muestra. Existen ocasiones en las cuales se tiene una idea del comportamiento de la proporción de la población y ese valor se puede sustituir en la fórmula, pero si no se sabe nada referente a esa proporción entonces se tienen dos opciones: - Tomar una muestra preliminar mayor o igual a 30 para proporcionar una estimación de P. Después con el uso de la fórmula se podría determinar de forma aproximada cuántas observaciones se necesitan para proporcionar el grado de precisión que se desea. - Tomar el valor de p como 0.5 ya que sustituyendo este en la fórmula se obtiene el tamaño de muestra mayor posible. Observe el siguiente ejemplo: Se desconoce el valor de P, por lo que se utilizarán diferentes valores y se sustituirán en la formula para observar los diferentes tamaños de muestras. El nivel de confianza que se utilizará es del 95% con un error de estimación de 0.30. p n 0.10 3.84 0.20 6.82 0.30 8.96 0.40 10.24 0.50 10.67 0.60 10.24 0.70 8.96 0.80 6.82 0.90 3.84 Como se puede observar en la tabla anterior cuando P vale 0.5 el tamaño de la muestra alcanza su máximo valor. En el caso de que se tenga una población finita y un muestreo sin reemplazo, el error de estimación se convierte en: De nuevo se eleva al cuadrado ambos lados y se despeja la n, obteniendo: Ejemplos: 1. En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de Hamilton, Canadá, se encuentra que 340 están suscritas a HBO. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimación de P esté dentro de 0.02? Solución: Se tratarán a las 500 familias como una muestra preliminar que proporciona una estimación de p=340/500=0.68. Por lo tanto si basamos nuestra estimación de P sobre una muestra aleatoria de tamaño 2090, se puede tener una confianza de 95% de que nuestra proporción muestral no diferirá de la proporción real por más de 0.02. 2. Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para conocer qué proporción del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos estatales para pagar abortos. ¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere un confianza del 95% y un error máximo de estimación de 0.10? Solución: En este problema, se desconoce totalmente la proporción de residentes que conoce la opinión de la legisladora, por lo que se utilizará un valor de 0.5 para p. Se requiere un tamaño de muestra de 97 residentes para que con una confianza del 95% la estimación tenga un error máximo de 0.10. Cálculo del Tamaño de la Muestra para Estimar la Diferencia de Medias Si se recuerda a la distribución muestral de diferencia de medias se tiene que error esta dado por: En esta ecuación se nos pueden presentar dos casos: - Los tamaños de muestra son iguales. - Los tamaño de muestra son diferentes . Para el primer caso no se tiene ningún problema, se eleva al cuadrado la ecuación y se despeja n ya que n 1 es igual a n 2. Para el segundo caso se pondrá una n en función de la otra. Este caso se utiliza cuando las poblaciones son de diferente tamaño y se sabe que una es K veces mayor que la otra. Ejemplo: Un director de personal quiere comparar la efectividad de dos métodos de entrenamiento para trabajadores industriales a fin de efectuar cierta operación de montaje. Se divide un número de operarios en dos grupos iguales: el primero recibe el método de entrenamiento 1, y el segundo, el método 2. Cada uno realizará la operación de montaje y se registrará el tiempo de trabajo. Se espera que las mediciones para ambos grupos tengan una desviación estándar aproximadamente de 2 minutos. Si se desea que la estimación de la diferencia en tiempo medio de montaje sea correcta hasta por un minuto, con una probabilidad igual a 0.95, ¿cuántos trabajadores se tienen que incluir en cada grupo de entrenamiento? Cada grupo debe contener aproximadamente 31 empleados. Cálculo del Tamaño de la Muestra para Estimar la Diferencia de Proporciones Si se recuerda a la distribución muestral de diferencia de medias se tiene que error esta dado por: En esta ecuación se nos pueden presentar dos casos: - Los tamaños de muestra son iguales. - Los tamaño de muestra son diferentes . Para el primer caso no se tiene ningún problema, se eleva al cuadrado la ecuación y se despeja n ya que n 1 es igual a n 2. Para el segundo caso se pondrá una n en función de la otra. Este caso se utiliza cuando las poblaciones son de diferente tamaño y se sabe que una es K veces mayor que la otra. Ejemplo: Una compañía de productos alimenticios contrató a una empresa de investigación de mercadotecnia , para muestrear dos mercados, I y II, a fin de comparar las proporciones de consumidores que prefieren la comida congelada de la compañía con los productos de sus competidores. No hay información previa acerca de la magnitud de las proporciones P 1 y P 2 . Si la empresa de productos alimenticios quiere estimar la diferencia dentro de 0.04, con una probabilidad de 0.95, ¿ cuántos consumidores habrá que muestrear en cada mercado? Se tendrá que realizar encuestas a 1201 consumidores de cada mercado para tener una estimación con una confianza del 95% y un error máximo de 0.04. Problemas propuestos 1. Se probó una muestra aleatoria de 400 cinescopios de televisor y se encontraron 40 defectuosos. Estime el intervalo que contiene, con un coeficiente de confianza de 0.90, a la verdadera fracción de elementos defectuosos. 2. Se planea realizar un estudio de tiempos para estimar el tiempo medio de un trabajo, exacto dentro de 4 segundos y con una probabilidad de 0.90, para terminar un trabajo de montaje. Si la experiencia previa sugiere que = 16 seg. mide la variación en el tiempo de montaje entre un trabajador y otro al realizar una sola operación de montaje, ¿cuántos operarios habrá que incluir en la muestra? 3. El decano registró debidamente el porcentaje de calificaciones D y F otorgadas a los estudiantes por dos profesores universitarios de matemáticas. El profesor I alcanzó un 32%, contra un 21% para el profesor II, con 200 y 180 estudiantes, respectivamente. Estime la diferencia entre los porcentajes de calificaciones D y F otorgadas por los dos profesores. Utilice un nivel de confianza del 95% e interprete los resultados. 4. Suponga que se quiere estimar la producción media por hora, en un proceso que produce antibiótico. Se observa el proceso durante 100 períodos de una hora, seleccionados al azar y se obtiene una media de 34 onzas por hora con una desviación estándar de 3 onzas por hora. Estime la producción media por hora para el proceso, utilizando un nivel de confianza del 95%. 5. Un ingeniero de control de calidad quiere estimar la fracción de elementos defectuosos en un gran lote de lámparas. Por la experiencia, cree que la fracción real de defectuosos tendría que andar alrededor de 0.2. ¿Qué tan grande tendría que seleccionar la muestra si se quiere estimar la fracción real, exacta dentro de 0.01, utilizando un nivel de confianza fe 95%? 6. Se seleccionaron dos muestras de 400 tubos electrónicos, de cada una de dos líneas de producción, A y B. De la línea A se obtuvieron 40 tubos defectuosos y de la B 80. Estime la diferencia real en las fracciones de defectuosos para las dos líneas, con un coeficiente de confianza de 0.90 e interprete los resultados. 7. Se tienen que seleccionar muestras aleatorias independientes de n 1 =n 2 =n observaciones de cada una de dos poblaciones binomiales, 1 y 2. Si se desea estimar la diferencia entre los dos parámetros binomiales, exacta dentro de 0.05, con una probabilidad de 0.98. ¿qué tan grande tendría que ser n?. No se tiene información anterior acerca de los valores P 1 y P 2 , pero se quiere estar seguro de tener un número adecuado de observaciones en la muestra. 8. Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases de largueros de aluminio utilizados en la fabricación de alas de aeroplanos comerciales. De la experiencia pasada con el proceso de fabricación se supone que las desviaciones estándar de las resistencias a la tensión son conocidas. La desviación estándar del larguero 1 es de 1.0 Kg/mm 2 y la del larguero 2 es de 1.5 Kg/mm 2 . Se sabe que el comportamiento de las resistencias a la tensión de las dos clases de largueros son aproximadamente normal. Se toma una muestra de 10 largueros del tipo 1 obteniéndose una media de 87.6 Kg/mm 2 , y otra de tamaño 12 para el larguero 2 obteniéndose una media de 74.5 Kg/mm 2 . Estime un intervalo de confianza del 90% para la diferencia en la resistencia a la tensión promedio. 9. Se quiere estudiar la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utilizados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que la tasa de combustión de los dos propelentes tiene aproximadamente la misma desviación estándar; esto es 1 = 2 = 3 cm/s. ¿Qué tamaño de muestra debe utilizarse en cada población si se desea que el error en la estimación de la diferencia entre las medias de las tasas de combustión sea menor que 4 cm/s con una confianza del 99%?. Respuesta a los Problemas propuestos 1. 0.07532 P 0.1246 2. n= 44 3. 0.0222 P 1 - P 2 0.1978 4. 33.412 34.588 5. n= 6147 6. 0.059 P B -P A 0.141 7. n= 1086 8. 12.22 1 - 2 13.98 9. n= 8 UNIDAD II PRUEBA DE HIPOTESIS Las secciones anteriores han mostrado cómo puede estimarse un parámetro a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis. Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis. Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones. Suponga que se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor sólido utilizado en los sistemas de salida de emergencia para la tripulación de aeronaves. El interés se centra sobre la rapidez de combustión promedio. De manera específica, el interés recae en decir si la rapidez de combustión promedio es o no 50 cm/s. Esto puede expresarse de manera formal como H o ; = 50 cm/s H 1 ; 50 cm/s La proposición H o ; = 50 cm/s, se conoce como hipótesis nula, mientras que la proposición H 1 ; 50 cm/s, recibe el nombre de hipótesis alternativa. Puesto que la hipótesis alternativa especifica valores de que pueden ser mayores o menores que 50 cm/s, también se conoce como hipótesis alternativa bilateral. En algunas situaciones, lo que se desea es formular una hipótesis alternativa unilateral, como en H o ; = 50 cm/s H o ; = 50 cm/s ó H 1 ; < 50 cm/s H 1 ; > 50 cm/s Es importante recordar que las hipótesis siempre son proposiciones sobre la población o distribución bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra. Por lo general, el valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis nula se determina en una de tres maneras diferentes: 1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del proceso, entonces el objetivo de la prueba de hipótesis usualmente es determinar si ha cambiado el valor del parámetro. 2. Puede obtenerse a partir de alguna teoría o modelo que se relaciona con el proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo. 3. Cuando el valor del parámetro proviene de consideraciones externas, tales como las especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones contractuales. En esta situación, el objetivo usual de la prueba de hipótesis es probar el cumplimiento de las especificaciones. Un procedimiento que conduce a una decisión sobre una hipótesis en particular recibe el nombre de prueba de hipótesis. Los procedimientos de prueba de hipótesis dependen del empleo de la información contenida en la muestra aleatoria de la población de interés. Si esta información es consistente con la hipótesis, se concluye que ésta es verdadera; sin embargo si esta información es inconsistente con la hipótesis, se concluye que esta es falsa. Debe hacerse hincapié en que la verdad o falsedad de una hipótesis en particular nunca puede conocerse con certidumbre, a menos que pueda examinarse a toda la población. Usualmente esto es imposible en muchas situaciones prácticas. Por tanto, es necesario desarrollar un procedimiento de prueba de hipótesis teniendo en cuenta la probabilidad de llegar a una conclusión equivocada. La hipótesis nula, representada por H o , es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia a priori"). La hipótesis alternativa, representada por H 1 , es la afirmación contradictoria a H o , y ésta es la hipótesis del investigador. La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la evidencia muestral sugiere que H o es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a H o , se continúa creyendo en la validez de la hipótesis nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de hipótesis son rechazar H o o no rechazar H o . Prueba de una Hipótesis Estadística Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema de la rapidez de combustión del agente propulsor presentado con anterioridad. La hipótesis nula es que la rapidez promedio de combustión es 50 cm/s, mientras que la hipótesis alternativa es que ésta no es igual a 50 cm/s. Esto es, se desea probar: H o ; = 50 cm/s H 1 ; 50 cm/s Supóngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10 especímenes, y que se observa cual es la rapidez de combustión promedio muestral. La media muestral es un estimador de la media verdadera de la población. Un valor de la media muestral que este próximo al valor hipotético = 50 cm/s es una evidencia de que el verdadero valor de la media es realmente 50 cm/s; esto es, tal evidencia apoya la hipótesis nula H o . Por otra parte, una media muestral muy diferente de 50 cm/s constituye una evidencia que apoya la hipótesis alternativa H 1 . Por tanto, en este caso, la media muestral es el estadístico de prueba. La media muestral puede tomar muchos valores diferentes. Supóngase que si 48.5 51.5, entonces no se rechaza la hipótesis nula H o ; = 50 cm/s, y que si <48.5 ó >51.5, entonces se acepta la hipótesis alternativa H 1 ; 50 cm/s. Los valores de que son menores que 48.5 o mayores que 51.5 constituyen la región crítica de la prueba, mientras que todos los valores que están en el intervalo 48.5 51.5 forman la región de aceptación. Las fronteras entre las regiones crítica y de aceptación reciben el nombre de valores críticos. La costumbre es establecer conclusiones con respecto a la hipótesis nula H o . Por tanto, se rechaza H o en favor de H 1 si el estadístico de prueba cae en la región crítica, de lo contrario, no se rechaza H o . Este procedimiento de decisión puede conducir a una de dos conclusiones erróneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez promedio de combustión del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin embargo, para todos los especímenes bajo prueba, bien puede observarse un valor del estadístico de prueba que cae en la región crítica. En este caso, la hipótesis nula H o será rechazada en favor de la alternativa H 1 cuando, de hecho, H o en realidad es verdadera. Este tipo de conclusión equivocada se conoce como error tipo I. El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula H o cuando ésta es verdadera. También es conocido como ó nivel de significancia. Si tuviéramos un nivel de confianza del 95% entonces el nivel de significancia sería del 5%. Análogamente si se tiene un nivel de confianza del 90% entonces el nivel de significancia sería del 10%. Ahora supóngase que la verdadera rapidez promedio de combustión es diferente de 50 cm/s, aunque la media muestral caiga dentro de la región de aceptación. En este caso se acepta H o cuando ésta es falsa. Este tipo de conclusión recibe el nombre de error tipo II. El error tipo II ó error se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es falsa. Por tanto, al probar cualquier hipótesis estadística, existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea. Decisión H o es verdadera H o es falsa Aceptar H o No hay error Error tipo II ó Rechazar H o Error tipo I ó No hay error 1. Los errores tipo I y tipo II están relacionados. Una disminución en la probabilidad de uno por lo general tiene como resultado un aumento en la probabilidad del otro. 2. El tamaño de la región crítica, y por tanto la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o los valores críticos. 3. Un aumento en el tamaño muestral n reducirá y de forma simultánea. 4. Si la hipótesis nula es falsa, es un máximo cuando el valor real del parámetro se aproxima al hipotético. Entre más grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipotético, será menor . PASOS PARA ESTABLECER UN ENSAYO DE HIPOTESIS INDEPENDIENTEMENTE DE LA DISTRIBUCION QUE SE ESTE TRATANDO 1. Interpretar correctamente hacia que distribución muestral se ajustan los datos del enunciado. 2. Interpretar correctamente los datos del enunciado diferenciando los parámetros de los estadísticos. Así mismo se debe determinar en este punto información implícita como el tipo de muestreo y si la población es finita o infinita. 3. Establecer simultáneamente el ensayo de hipótesis y el planteamiento gráfico del problema. El ensayo de hipótesis está en función de parámetros ya que se quiere evaluar el universo de donde proviene la muestra. En este punto se determina el tipo de ensayo (unilateral o bilateral). 4. Establecer la regla de decisión. Esta se puede establecer en función del valor crítico, el cual se obtiene dependiendo del valor de (Error tipo I o nivel de significancia) o en función del estadístico límite de la distribución muestral. Cada una de las hipótesis deberá ser argumentada correctamente para tomar la decisión, la cual estará en función de la hipótesis nula o H o . 5. Calcular el estadístico real, y situarlo para tomar la decisión. 6. Justificar la toma de decisión y concluir. Tipos de Ensayo Se pueden presentar tres tipos de ensayo de hipótesis que son: - Unilateral Derecho - Unilateral Izquierdo - Bilateral Dependiendo de la evaluación que se quiera hacer se seleccionará el tipo de ensayo. - Unilateral Derecho. El investigador desea comprobar la hipótesis de un aumento en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. Ensayo de hipótesis: H o ; Parámetro x H 1 ; Parámetro > x - Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hipótesis de una disminución en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. Ensayo de hipótesis: H o ; Parámetro x H 1 ; Parámetro < x - Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo. Ensayo de hipótesis: H o ; Parámetro = x H 1 ; Parámetro x Para realizar los ejemplos y ejercicios de ensayo de hipótesis se recomienda seguir los pasos mencionados anteriormente. Los ejemplos siguientes se solucionarán por los pasos recomendados, teniéndose una variedad de problemas en donde se incluirán a todas las distribuciones muestrales que se han visto hasta aquí. Ejemplos: 1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05. Solución: 1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. 2. Datos: =70 años = 8.9 años = 71.8 años n = 100 = 0.05 3. Ensayo de hipótesis H o ; = 70 años. H 1 ; > 70 años. 4. Regla de decisión: Si z R 1.645 no se rechaza H o . Si z R > 1.645 se rechaza H o . 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión. Como 2.02 >1.645 se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años. Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisión en base al estadístico real, en este caso la media de la muestra. De la formula de la distribución muestral de medias se despeja la media de la muestra: Regla de decisión: Si 71.46 No se rechaza H o Si > 71.46 Se rechaza H o Como la media de la muestral es de 71.8 años y es mayor al valor de la media muestral límite de 71.46 por lo tanto se rechaza H o y se llega a la misma conclusión. 2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04. Solución: Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. 1. Datos: =800 horas = 40 horas = 788 horas n = 30 = 0.04 3. Ensayo de hipótesis H o ; = 800 horas H 1 ; 800 horas 4. Regla de Decisión: Si –2.052 Z R 2.052 No se rechaza H o Si Z R < -2.052 ó si Z R > 2.052 Se rechaza H o 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión: Como –2.052 -1.643 2.052 por lo tanto, no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duración media de los focos no ha cambiado. Solución por el otro método: 785.02 y 814.98 Regla de decisión: Si 785.02 814.98 No se rechaza H o Si < 785.02 ó > 814.98 se rechaza H o Como la = 788 horas, entonces no se rechaza H o y se concluye que la duración media de los focos no ha cambiado. 3. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en pomedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, < 5.5 onzas en el nivel de significamcia de 0.05. Solución: Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar desconocida, pero como el tamaño de muestra es mayor a 30 se puede tomar la desviación muestral como un estimador puntual para la poblacional. 1. Datos: = 5.5 onzas s= 0.24 onzas = 5.23 onzas n = 64 = 0.05 3. Ensayo de hipótesis H o ; = 5.5 onzas H 1 ; < 5.5 onzas 4. Regla de decisión: Si Z R -1.645 No se rechaza H o Si Z R < -1.645 Se rechaza H o 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión: Como –9 < -1.645 por lo tanto se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que las bolsas de palomitas pesan en promedio menos de 5.5 onzas. Solución por el otro método: Regla de decisión: Si 5.45 No se Rechaza H o Si < 5.45 Se rechaza H o Como la = 5.23 y este valor es menor que 5.45 pot lo tanto se rechaza H o . 4. Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10. Solución: 1. Se trata de una distribución muestral de proporciones. 2. Datos: P= 0.70 p = 8/15 = 0.5333 n = 15 = 0.10 3. Ensayo de hipótesis H o ; P = 0.70 H 1 ; P 0.70 4. Regla de Decisión: Si –1.645 Z R 1.645 No se rechaza H o Si Z R < -1.645 ó si Z R > 1.645 Se rechaza H o 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión: Como –1.645 -1.41 1.645 No se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia de 0.10 que la afirmación del constructor es cierta. Solución por el otro método: = 0.505 y 0.894 Regla de decisión: Si 0.505 p R 0.894 No se rechaza H o Si p R < 0.505 ó si Z R > 0.894 Se rechaza H o Como el valor del estadístico real es de 0.533 por lo tanto no se rechaza H o y se llega a la misma conclusión. 3. Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este nivel de calidad, utilizando = 0.05. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso? Solución: 1. Se trata de una distribución muestral de proporciones. 2. Datos: P= 0.05 p = 4/200 = 0.02 n = 200 = 0.05 3. Ensayo de hipótesis H o ; P = 0.05 H 1 ; P < 0.05 4. Regla de decisión: Si Z R -1.645 No se rechaza H o Si Z R < -1.645 Se rechaza H o 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión: Puesto que –1.946<-1.645, se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la fracción de artículos defectuosos es menor que 0.05. 6. Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapaporos. Se prueban dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar, y la fórmula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es ocho minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. Se pintan diez especímenes con la fórmula 1, y otros diez con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado muestrales son 121 min y 112 min respectivamente. ¿A qué conclusiones puede llegar el diseñador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando = 0.05? Solución: 1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de medias con desviación estándar conocida. 2. Datos: 1 = 2 = 8 n 1 =n 2 = 10 = 0.05 3. Ensayo de hipótesis H o ; 1 - 2 = 0 H 1 ; 1 - 2 > 0 Se desea rechazar H o si el nuevo ingrediente disminuye el tiempo promedio de secado, por eso se pone la diferencia mayor a cero o sea positiva para poder probar que 2 es menor que 1 . 4. Regla de decisión: Si z R 1.645 no se rechaza H o . Si z R > 1.645 se rechaza H o . 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión: Puesto que 2.52>1.645, se rechaza H o , y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la adición del nuevo ingrediente a la pintura si disminuye de manera significativa el tiempo promedio de secado. Solución por el otro método: Regla de decisión: Si 5.88 No se rechaza H o Si > 5.88 Se rechaza H o Puesto que = 121-112 = 9 y este número es mayor a 5.88 por lo tanto se rechaza H o . 7. Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16.0 onzas. Las distribuciones de los volúmenes de llenado pueden suponerse normales, con desviaciones estándar 1 = 0.020 y 2 = 0.025 onzas. Un miembro del grupo de ingeniería de calidad sospecha que el volumen neto de llenado de ambas máquinas es el mismo, sin importar si éste es o no de 16 onzas. De cada máquina se toma una muestra aleatoria de 10 botellas. ¿Se encuentra el ingeniero en lo correcto? Utilice = 0.05 MAQUINA 1 MAQUINA 2 16.03 16.01 16.02 16.03 16.04 15.96 15.97 16.04 16.05 15.98 15.96 16.02 16.05 16.02 16.01 16.01 16.02 15.99 15.99 16.00 Solución: 1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de medias con desviación estándar conocida. 2. Datos: 1 = 0.020 2 = 0.025 Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la máquina 1. Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la máquina 2. n 1 =n 2 = 10 = 0.05 3. Ensayo de hipótesis H o ; 1 - 2 = 0 H 1 ; 1 - 2 0 Si se cae en H o se podrá probar que el volumen de llenado es el mismo en las dos máquinas. 4. Regla de Decisión: Si –1.96 Z R 1.96 No se rechaza H o Si Z R < -1.96 ó si Z R > 1.96 Se rechaza H o 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión: Como –1.96 0.987 1.96 entonces no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que las dos máquinas tienen en promedio la misma cantidad de llenado. Solución por el otro método: -0.019 y 0.019 Regla de decisión: Si –0-019 0.019 No se rechaza H o Si < -0.019 ó > 0.019 Se rechaza H o Como = 16.015 – 16.005 = 0.01, entonces cae en la región de aceptación y no se rechaza H o . 8. Existen dos tipos de plástico apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrónicos. La tensión de ruptura de ese plástico es un parámetro importante . Se sabe que 1 = 2 = 1.0 psi. De una muestra aleatoria de tamaño 10 y 12 para cada plástico respectivamente, se tiene una media de 162.5 para el plástico 1 y de 155 para el plástico 2. La compañía no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura de éste exceda a la del plástico 2 al menos por 10 psi. Con base a la información contenida en la muestra, ¿la compañía deberá utilizar el plástico 1? Utilice = 0.05 para llegar a una decisión. Solución: 1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de medias con desviación estándar conocida. 2. Datos: 1 = 2 = 1.0 psi n 1 = 10 n 2 = 12 = 0.05 3. Ensayo de hipótesis H o ; 1 - 2 = 10 H 1 ; 1 - 2 > 10 Se desea rechazar H o si la media del plástico 1 supera a la media del plástico 2 en por lo menos 10 psi. 4. Regla de decisión: Si z R 1.645 no se rechaza H o . Si z R > 1.645 se rechaza H o . 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión: No existe evidencia suficiente para apoyar el uso del plástico 1 ya que –5.83 1.645, por lo tanto no se rechaza H o . Solución por el otro método: Regla de decisión: Si 10.70 No se rechaza H o Si > 10.70 Se rechaza H o Puesto que = 162.5-155 = 7.5 y este número es no es mayor a 10.7 por lo tanto no se rechaza H o . 8. Se evalúan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible uso en una operación de pulido en la fabricación de lentes intraoculares utilizados en el ojo humano después de una cirugía de cataratas. Se pulen 300 lentes con la primera solución y, de éstos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido. Después se pulen otros 300 lentes con la segunda solución, de los cuales 196 resultan satisfactorios. ¿Existe alguna razón para creer que las dos soluciones para pulir son diferentes? Utilice = 0.01 Solución: 1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de proporciones. 2. Datos: p 1 = 253/300= 0.8433 p 2 = 196/300= 0.6533 n 1 =n 2 = 300 3. Ensayo de hipótesis: H o ; P 1 -P 2 = 0 H 1 ; P 1 -P 2 0 4. Regla de Decisión: Si –2.575 Z R 2.575 No se rechaza H o Si Z R < -2.575 ó si Z R > 2.575 Se rechaza H o 5. Cálculos: En esta fórmula se puede observar que en el denominador se tienen a las proporciones poblacionales o sea los parámetros, los cuales no se conocen, por lo que en el ensayo de hipótesis la fórmula para poder calcular la Z R cambia, estimando a el parámetro común P de la siguiente forma: ó bien Entonces la fórmula de Z R quedaría de la siguiente manera: Se calculará el valor de P: 6. Justificación y decisión: Puesto que 5.36>2.575, se rechaza la hipótesis nula y se concluye con un nivel de significancia de 0.01 que los dos fluidos para pulir son diferentes. 10. Se tomará el voto entre los residentes de una ciudad y el condado circundante para determinar si se debe construir una planta química propuesta. El lugar de construcción está dentro de los límites de la ciudad y por esta razón muchos votantes del condado consideran que la propuesta pasará debido a la gran proporción de votantes que favorecen la construcción. Para determinar si hay una diferencia significativa en la proporción de votantes de la ciudad y votantes del condado que favorecen la propuesta, se realiza una encuesta. Si 120 de 200 votantes de la ciudad favorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado también lo hacen, ¿estaría de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es más alto que la proporción de votantes del condado? Utilice un nivel de significancia de 0.025. Solución: 1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de proporciones. 2. Datos: p 1 = 120/200= 0.60 p 2 = 240/500= 0.48 n 1 = 200 n 2 = 500 3. Ensayo de hipótesis: H o ; P 1 -P 2 = 0 H 1 ; P 1 -P 2 > 0 4. Regla de decisión: Si z R 1.96 no se rechaza H o . Si z R > 1.96 se rechaza H o . 5. Cálculos: Se calculará el valor de P: 6. Justificación y decisión: Puesto que 2.9>1.96, se rechaza la hipótesis nula y se concluye con un nivel de significancia de 0.025 que la proporción de votantes de la ciudad a favor de la propuesta es más alta que la proporción de votantes del condado. Uso de valores P para la toma de decisiones Al probar hipótesis en las que la estadística de prueba es discreta, la región crítica se puede elegir de forma arbitraria y determinar su tamaño. Si es demasiado grande, se puede reducir al hacer un ajuste en el valor crítico. Puede ser necesario aumentar el tamaño de la muestra para compensar la disminución que ocurre de manera automática en la potencia de la prueba (probabilidad de rechazar H o dado que una alternativa específica es verdadera). Por generaciones enteras de análisis estadístico, se ha hecho costumbre elegir un nivel de significancia de 0.05 ó 0.01 y seleccionar la región crítica en consecuencia. Entonces, por supuesto, el rechazo o no rechazo estricto de H o dependerá de esa región crítica. En la estadística aplicada los usuarios han adoptado de forma extensa la aproximación del valor P. La aproximación se diseña para dar al usuario una alternativa a la simple conclusión de "rechazo" o "no rechazo". La aproximación del valor P como ayuda en la toma de decisiones es bastante natural pues casi todos los paquetes de computadora que proporcionan el cálculo de prueba de hipótesis entregan valores de P junto con valores de la estadística de la prueba apropiada. - Un valor P es el nivel (de significancia) más bajo en el que el valor observado de la estadística de prueba es significativo. - El valor P es el nivel de significancia más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis nula H o . - El valor P es el mínimo nivel de significancia en el cual H o sería rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto dado de información. Una vez que el valor de P se haya determinado, la conclusión en cualquier nivel particular resulta de comparar el valor P con : 1. Valor P ¬ rechazar H o al nivel . 2. Valor P > ¬ No rechazar H o al nivel . Ensayo Unilateral Derecho: Ensayo Unilateral Izquierdo: Ensayo Bilateral: Ejemplos: 1. Calcular el valor de P para el primer ejemplo de ensayo de hipótesis en donde se quería probar que la edad media de los habitantes de Estados Unidos es superior a 70 años. Solución: 1. Ensayo de hipótesis H o ; = 70 años. H 1 ; > 70 años. 2. Regla de decisión: Si P 0.05 se rechaza H o . Si P > 0.05 No se rechaza H o . 3. Cálculos: Esta es el valor de Z que se utilizará para calcular el valor de P, como es un ensayo unilateral derecho se calculará el área a la derecha de este valor. 4. Justificación y decisión: Como el valor de P es 0.217 y es menor al valor del nivel de significancia de 0.05 por lo tanto se rechaza H 0 , y se concluye que la edad media de los habitantes es mayor a 70 años. 1. Calcular el valor de P para el ejemplo 7 de esta sección en donde se tiene dos máquinas y se quiere ver si tienen la misma cantidad promedio de llenado en las botellas de plástico. Solución: 1. Ensayo de hipótesis H o ; 1 - 2 = 0 H 1 ; 1 - 2 0 Si se cae en H o se podrá probar que el volumen de llenado es el mismo en las dos máquinas. 2. Regla de Decisión: Si P 0.05 Se rechaza H o Si P > 0.05 No se rechaza H o 3. Cálculos: Como este es un ensayo bilateral se procederá a calcular el valor de P mediante el valor de la Z R , positiva y negativa y luego se sumarán las áreas. Como el valor de P es mayor al de , se no se rechaza H 0 , y se concluye que las maquinas tienen el mismo llenado promedio. 1. Se afirma que un automóvil se maneja en promedio más de 20,000 kilómetros por año. Para probar esta afirmación, se pide a una muestra de 100 propietarios de automóviles que lleven un registro de los kilómetros que viajen. ¿Está de acuerdo con esta afirmación si la muestra aleatoria tiene un promedio de 23,500 kilómetros y una desviación estándar de 3900 kilómetros? Utilice un valor P para su conclusión. Solución: En este ejercicio no nos manejan ningún valor de , por lo que se procederá a plantear el ensayo y luego calcular z para poder conocer el valor de P y llegar a una conclusión. 1. Ensayo de hipótesis H o ; = 20,000 kilómetros. H 1 ; > 20,000 kilómetros. 2. Cálculos: 3. Decisión. Se observa que este valor de Z es muy grande, ni siquiera se encuentra en la tabla, entonces quiere decir que el área a la derecha de ese valor es cero y este sería el valor de P, por lo que no apoya a la hipótesis nula y se concluye que los automóviles se manejan en promedio más de 20,000 kilómetros por año. 4. Se estudia la fracción de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de fotolitografía. Para ello se somete a prueba una muestra de 300 circuitos, en la que 13 son defectuosos. Utilice los datos para probar H o : P=0.05 contra H 1 : P 0.05. Utilice un valor de P para su conclusión. Solución: 1. Ensayo de hipótesis H o ; P = 0.05 H 1 ; P 0.05 2. Cálculos: 3. Decisión: Este valor de P de 0.596 es muy grande por lo que se concluye que la fracción defectuosa de circuitos integrados es de 0.05, o sea no se rechaza H o . ERROR TIPO II ó Al evaluar un procedimiento de prueba de hipótesis, también es importante examinar la probabilidad del error tipo II, el cual se denota por . Esto es, = P(error tipo II) = P(aceptar H o / H o es falsa) Para calcular se debe tener una hipótesis alternativa específica; esto es, debe tenerse un valor particular del parámetro. Por ejemplo, supóngase que es importante rechazar la hipótesis nula H o : = 50 cada vez que la rapidez promedio de combustión es mayor que 52 cm/s o menor que 48 cm/s. Para ello, puede calcularse la probabilidad de un error tipo II para los valores = 52 y = 48, y utilizar este resultado para averiguar algo con respecto a la forma en que se desempeñará la prueba. De manera específica, ¿cómo trabajará el procedimiento de prueba si se desea detectar, esto es, rechazar H o , para un valor medio de = 52 ó = 48? Dada la simetría, sólo es necesario evaluar uno de los dos casos, esto es, encontrar la probabilidad de aceptar la hipótesis nula H o : = 50 cuando el valor verdadero es = 52. Para hacer este cálculo se tendrá un tamaño de muestra de 10 y una desviación estándar de la población de 2.5 cm/s. Además se evaluará el error tipo II con un nivel de significancia de 0.06. H o : = 50 H 1 : 50 Como ya sabemos se trata de un ensayo bilateral por lo que se tendrá que calcular el valor del estadístico de la siguiente manera: Para facilitar los cálculos se redondearán estos números a 48.5 y 51.5 Para poder comprender mejor el cálculo del error tipo II se delimitará el área de la región de aceptación con dos líneas ya que es bilateral y se evaluará la probabilidad de caer en esa área cuando la media tiene un valor de 52 y de 48. Como se puede observar en cada calculo del valor se tuvieron que evaluar los dos valores de z. En el primer calculo de se tiene un valor de z=-4.43, esto quiere decir que no existe área del lado izquierdo del 48.5, por lo que sólo será el área que corresponda a la z=-0.63. Lo mismo pasa con el segundo cálculo de . Como las medias de 52 y 48 son equidistantes del 50 por este motivo los valores del error tipo II son los mismos. En caso que no estén equidistantes se tienen que calcular por separado y calcular los valores correspondientes de z porque en ocasiones se tiene un área que no está dentro de la región de aceptación, la cual no se tiene que tomar en cuenta para evaluar al error tipo II. A continuación se procederá a generar algunas curvas características de operación para evaluar al error tipo II, entre más se aleja el valor verdadero de la media de la media de la hipótesis nula, menor es la probabilidad del error tipo II para un tamaño de muestra y nivel de significancia dadas. A medida que el tamaño de la muestra aumenta la probabilidad de cometer el error tipo II disminuye. Esto se observará en los ejercicios siguientes. Ejemplos: 1. Generar una curva característica de operación para el ejercicio número 1 de la sección de ensayo de hipótesis con las siguientes medias supuestas: = 70.5, 71, 71.5, 72, 72.5, 73, 73.5, y 74. 2. Datos: =70 años = 8.9 años = 71.8 años n = 100 = 0.05 3. Ensayo de hipótesis H o ; = 70 años. H 1 ; > 70 años. Se calculará el estadístico límite: En la mayoría de los libros de estadística existen las curvas características de operación para diferentes tamaños de muestra y éstas se proporcionan tanto para = 0.05 como para = 0.01 (son las más comunes). Para poder utilizar las curvas se define un parámetro llamado d, que estandariza para cualquier valor de y : Si se quisiera consultar en un libro, ¿cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II ó cuando la media verdadera es de 72?; se tendría que calcular el valor de d y buscar en las curvas la que pertenezca a un tamaño de muestra de 100 con un = 0.05. Este valor se encuentra en el eje de las x. Si se transforma la curva característica de operación con el valor de d quedaría de la siguiente manera: Se comentó anteriormente que si el tamaño de la muestra aumenta los dos tipos de errores y disminuyen. Para probar esto y específicamente en lo que se refiere al error tipo II se realizará el ejercicio anterior suponiendo que en lugar de tener 100 personas, el tamaño de la muestra aumenta a 150 personas. Se calculará el estadístico límite: 1. Generar una curva característica de operación (CCO) para el ejercicio 5 de ensayo de hipótesis. Suponer los siguientes valores de P; 0.04, 0.03, 0.025, 0.02 y 0.01. Enseguida se proporciona la información necesaria para realizar la CCO: Datos: P= 0.05 p = 4/200 = 0.02 n = 200 = 0.05 Ensayo de hipótesis H o ; P = 0.05 H 1 ; P < 0.05 Solución: Se procederá a calcular el estadístico límite p L : En una distribución muestral de proporciones, para graficar la CCO, se necesita calcular el valor de np, que es el que irá en el eje de las x para estandarizar la curva. 2. Genere un CCO para el ejercicio número 6 de la sección anterior. Suponga las siguientes diferencias de medias: 1 - 2 =2, 4, 6, 7, 9, 12 y 14. Datos: 1 = 2 = 8 n 1 =n 2 = 10 = 0.05 Ensayo de hipótesis H o ; 1 - 2 = 0 H 1 ; 1 - 2 > 0 Para graficar la curva se utilizará el valor de d, el cual para una distribución muestral de diferencia de medias tiene la siguiente fórmula: En los libros de estadística lo que se acostumbra en algunos de los ejercicios es preguntar sólo un punto de la CCO, por lo que a continuación se resolverán dos problemas tipo. 3. Se require que la tensión de ruptura de un hilo utilizado en la fabricación de material de tapicería se al menos de 100 psi. La experiencia ha indicado que la desviación estándar de la tensión de ruptura es de 2 psi. Se prueba una muestra aleatoria de nueve especímenes, y la tensión de ruptura promedio observada en ella es de 98 psi. ¿Cual es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula con un = 0.05 si la tensión promedio de ruptura verdadera de la fibra es 104 psi? Solución: Ensayo de hipótesis: H o ; = 100 H 1 ; > 100 Se calcula el estadístico límite: 4. Del ejercicio número 7 de la sección anterior encontrar el error tipo II ó suponiendo que la diferencia verdadera entre las medias de las máquinas es fe 0.03 Datos: 1 = 0.020 2 = 0.025 n 1 =n 2 = 10 = 0.05 Solución: Ensayo de hipótesis H o ; 1 - 2 = 0 H 1 ; 1 - 2 0 Por ser bilateral se calcularon dos valores de z, y como se puede observar del lado izquierdo de –0.019 ya no se encuentra área, por lo que el error tipo II sólo será el área a la izquierda del valor de la diferencia del estadístico límite 0.019. Problemas propuestos 1. En un estudio para estimar la proporción de residentes de cierta ciudad y sus suburbios que están a favor de la construcción de una planta de energía nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes urbanos están a favor de la construcción mientras que sólo 59 de 125 residentes suburbanos la favorecen. ¿Hay una diferencia significativa entre la proporción de residentes urbanos y suburbanos que favorecen la construcción de la planta nuclear? Use un valor de P para su conclusión. 2. Una compañía petrolera afirma que un quinto de las casas en cierta ciudad se calientan con petróleo. ¿Tenemos razón en dudar de esta afirmación si, en una muestra aleatoria de 1000 casas en esta ciudad, se encuentra que 136 se calientan con petróleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01. 3. Se sabe que la duración, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duración promedio de 1014 horas. a. ¿Existe evidencia que apoye la afirmación de que la duración promedio del foco es mayor que 1000 horas? Utilice un = 0.05. b. ¿Cual es el valor P para la prueba? c. ¿Cuál es el valor de para la prueba del inciso a) si la verdadera duración promedio del foco es de 1050 horas? 4. Se estudia la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utilizados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que la tasa de combustión de los dos propelentes tiene aproximadamente la misma desviación estándar de 3 cm/s. Se prueban dos muestras aleatorias de 20 especímenes cada una, obteniéndose medias de 18 y 24 cm/s respectivamente. a. Pruebe la hipótesis de que los dos combustibles sólidos tienen la misma rapidez promedio de combustión. Utilice un = 0.05. b. ¿Cuál es el valor de P de la prueba? c. ¿Cuál es el valor de para la prueba del inciso a) si la verdadera diferencia en la rapidez promedio de combustión es 2.5 cm/s? 4. Un artículo publicado en Fortune afirma que casi la mitad de todos los ingenieros continúan sus estudios académicos después de obtener la licenciatura. Un artículo publicado en Engineering Horizons indica que 117 de 484 recién graduados planean continuar sus estudios. a. ¿Los datos publicados en Engineering Horizons son consistentes con los publicados en Fortune? b. Encuentre el valor de P de la prueba. 6. En un invierno con epidemia de gripe, una compañía farmacéutica bien conocida estudió 2000 bebes para determinar si la nueva medicina de la compañía era efectiva después de dos días. Entre 120 bebes que tenían gripe y se les administró la medicina, 29 se curaron dentro de dos días. Entre 280 bebés que tenían gripe pero que no recibieron la medicina, 56 se curaron dentro de dos días. ¿Hay alguna indicación significativa que apoye la afirmación de la compañía de la efectividad de la medicina? Calcule el valor P. 7. Se lanza 20 veces una moneda, con un resultado de cinco caras. ¿Esta es suficiente evidencia para rechazar la hipótesis de que la moneda esta balanceada a favor de la alternativa de que las caras ocurren menos de 50% de las veces.? Realice la prueba con un nivel de significancia de 0.03 y cite un valor P. 8. Se supone que los neumáticos para automóvil de cierto tipo recién comprados deben llenarse a una presión de 30 lb/pulg 2 . Se representa con el verdadero promedio de presión. Encuentre el valor P asociado con cada valor del estadístico z dado para probar H o ; = 30 contra H 1 ; 30. a) 2.10 b) –1.75 c) –0.55 d) 1.41 e) –5.3 9. Se realizó un experimento para comparar la resistencia a la fractura del acero con níquel maragizado, con el acero de pureza comercial del mismo tipo. Para 32 especímenes, la resistencia promedio muestral fue de 65.6 para el acero de alta pureza, mientras que se obtuvo una media muestral de 59.8 en 38 especímenes del acero comercial. Debido que el acero de alta pureza es más costoso, su uso para cierta aplicación puede justificarse sólo si su resistencia a la fractura excede la del acero de pureza comercial en más de 5. Suponga que ambas distribuciones de resistencias son normales. a. Si se supone que 1 = 1.2 y 2 = 1.1, pruebe las hipótesis pertinentes usando = 0.001. b. Calcule para la prueba del inciso anterior cuando 1 ÷ 2 = 6. 10. Se cree que la portada y la naturaleza de la primera pregunta de encuestas por correo influyen en la tasa de respuesta. Un artículo probó esta teoría al experimentar con diferentes diseños de portadas. Una portada sencilla, y la otra utilizó la figura de un paracaidista. Los investigadores especularon que la tasa de devolución sería menor para la portada sencilla. Portada Número de envíos Número de devoluciones Sencilla 207 104 Paracaidista 213 109 ¿Esta información apoya la hipótesis de los investigadores? Haga la prueba con un nivel de significancia de 0.10, calculando primero un valor P. Respuesta a los Problemas propuestos 1. z= 2.40; sí, P=0.01 2. P<0.0001; concluir que menos de 1/5 de las casas se calientan con petróleo. 3. a) z = 2.50; se rechaza H o b) P = 0.0062 c) 0 4. a) Se Rechaza H o , z= -6.32 b) 0 c) 0.248 5. a) Se rechaza H o , z= -11.36 b) valor P = 0 6. No se rechaza H o , z= 0.93, valor de P = 0.1762 7. Rechazar H o . Valor P = 0.0207 8. a) 0.0358 b) 0.0802 c) 0.5824 d) 0.1586 e) 0 9. a) z=2.89, no se debe usar el acero de alta pureza o se no se rechaza H o . b) 0.2981 10. Valor P = 0.4247, no se rechaza H o. UNIDAD III TEORIA DE PEQUEÑAS MUESTRAS O TEORIA EXACTA DEL MUESTREO En las unidades anteriores se manejó el uso de la distribución z, la cual se podía utilizar siempre y cuando los tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más pequeñas si la distribución o las distribuciones de donde proviene la muestra o las muestras son normales. En esta unidad se podrán utilizar muestras pequeñas siempre y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condición para utilizar las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad; t de student, X 2 ji-cuadrada y Fisher. A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande. En esta unidad se verá un nuevo concepto necesario para poder utilizar a las tres distribuciones mencionadas. Este concepto es "grados de libertad". Para definir grados de libertad se hará referencia a la varianza muestral: Esta fórmula está basada en n-1 grados de libertad (degrees of freedom). Esta terminología resulta del hecho de que si bien s 2 está basada en n cantidades . . . , éstas suman cero, así que especificar los valores de cualquier n-1 de las cantidades determina el valor restante. Por ejemplo, si n=4 y ; y , entonces automáticamente tenemos , así que sólo tres de los cuatro valores de están libremen te determinamos 3 grados de libertad. Entonces, en esta unidad la fórmula de grados de libertad será n-1 y su simbología DISTRIBUCION "t DE STUDENT" Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media y varianza . Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población 2 es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta. La media y la varianza de la distribución t son = 0 y para >2, respectivamente. La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media = 0. Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar. Propiedades de las distribuciones t 1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. 2. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z. 3. A medida que aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye. 4. A medida que , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl = La distribución de la variable aleatoria t está dada por: Esta se conoce como la distribución t con grados de libertad. Sean X 1 , X 2 , . . . , X n variables aleatorias independientes que son todas normales con media y desviación estándar . Entonces la variable aleatoria tiene una distribución t con = n-1 grados de libertad. La distribución de probabilidad de t se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W. S. Gosset. En esa época, Gosset era empleado de una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibición, publicó su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En consecuencia, la distribución t normalmente se llama distribución t de Student, o simplemente distribución t. Para derivar la ecuación de esta distribución, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una población normal. Aunque esto parecería una suposición muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseen distribuciones en forma casi de campana aún proporcionan valores de t que se aproximan muy de cerca a la distribución t. La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. Unicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas. Se acostumbra representar con el valor t por arriba del cual se encuentra un área igual a . Como la distribución t es simétrica alrededor de una media de cero, tenemos ; es decir, el valor t que deja un área de a la derecha y por tanto un área de a la izquierda, es igual al valor t negativo que deja un área de en la cola derecha de la distribución. Esto es, t 0.95 = -t 0.05 , t 0.99 =-t 0.01 , etc. Para encontrar los valores de t se utilizará la tabla de valores críticos de la distribución t del libro Probabilidad y Estadística para Ingenieros de los autores Walpole, Myers y Myers. Ejemplo: El valor t con = 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda, y por tanto un área de 0.975 a la derecha, es t 0.975 =-t 0.025 = -2.145 Si se observa la tabla, el área sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer renglón de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten y se obtendrá el valor de t. Ejemplo: Encuentre la probabilidad de –t 0.025 < t < t 0.05. Solución: Como t 0.05 deja un área de 0.05 a la derecha, y –t 0.025 deja un área de 0.025 a la izquierda, encontramos un área total de 1-0.05-0.025 = 0.925. P( –t 0.025 < t < t 0.05 ) = 0.925 Ejemplo: Encuentre k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribución normal. Solución: Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un área de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale a . Luego se busca el valor de 0.005 en el primer renglón con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de está en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = - 2.977 por lo tanto: P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045 Ejemplo: Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05 , queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. Solución: De la tabla encontramos que t 0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711. Se procede a calcular el valor de t: Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa. INTERVALO DE CONFIANZA PARA ; CON DESCONOCIDA Si y s son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de una población normal con varianza , desconocida, un intervalo de confianza de ( )100% para es: donde /2 es el valor t con = n-1 grados de libertad, que deja un área de /2 a la derecha. Se hace una distinción entre los casos de conocida y desconocida al calcular las estimaciones del intervalo de confianza. Se debe enfatizar que para el primer caso se utiliza el teorema del límite central, mientras que para desconocida se hace uso de la distribución muestral de la variable aleatoria t. Sin embargo, el uso de la distribución t se basa en la premisa de que el muestreo se realiza de una distribución normal. En tanto que la distribución tenga forma aproximada de campana, los intervalos de confianza se pueden calcular cuando la varianza se desconoce mediante el uso de la distribución t y se puede esperar buenos resultados. Con mucha frecuencia los estadísticos recomiendan que aun cuando la normalidad no se pueda suponer, con desconocida y n 30, s puede reemplazar a y se puede utilizar el intervalo de confianza: Por lo general éste se denomina como un intervalo de confianza de muestra grande. La justificación yace sólo en la presunción de que con una muestra grande como 30, s estará muy cerca de la real y de esta manera el teorema del límite central sigue valiendo. Se debe hacer énfasis en que esto es solo una aproximación y que la calidad de este enfoque mejora a medida que el tamaño de la muestra crece más. Ejemplos: 1. El contenido de siete contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal. Solución: La media muestral y la desviación estándar para los datos dados son: 10 y s= 0.283 En la tabla se encuentra que t 0.025 =2.447 con 6 grados de libertad, de aquí, el intervalo de confianza de 95% para es: Con un nivel de confianza del 95% se sabe que el promedio del contenido de los contenedores está entre 9.47 y 10.26 litros. 2. Un artículo publicado en el Journal of Testing and Evaluation presenta las siguientes 20 mediciones del tiempo de combustión residual en segundos de especímenes tratados de ropa de dormir para niños: 9.85 9.93 9.75 9.77 9.67 9.87 9.67 9.94 9.85 9.75 9.83 9.92 9.74 9.99 9.88 9.95 9.95 9.93 9.92 9.89 Se desea encontrar un nivel de confianza del 95% para el tiempo de combustión residual promedio. Supóngase que el tiempo de combustión residual sigue una distribución normal. Solución: La media muestral y la desviación estándar para los datos dados son: 9.8525 y s= 0.0965 En la tabla se encuentra que t 0.025 =2.093 con 19 grados de libertad, de aquí, el intervalo de confianza de 95% para es: Por lo tanto, se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de combustión residual promedio se encuentra entre 9.8073 y 9.8977 segundos. PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCION NORMAL, VARIANZA DESCONOCIDA Ciertamente sospechamos que las pruebas sobre una media poblacional con desconocida, debe incluir el uso de la distribución t de Student. La estructura de la prueba es idéntica a la del caso de conocida, con la excepción de que el valor en la estadística de prueba se reemplaza por la estimación de s calculada y la distribución normal estándar se reemplaza con una distribución t. Ejemplos: 1. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos eléctrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt- hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal. Solución: 1. Datos: = 46 kilowatt-hora s= 11.9 kilowatt-hora = 42 kilowatt-hora n = 12 = 0.05 3. Ensayo de hipótesis H o ; = 46 kilowatt-hora H 1 ; < 46 kilowatt-hora 4. Regla de decisión: Si t R -1.796 No se rechaza H o Si t R < -1.796 Se rechaza H o 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión: Como –1.16 > -1.796, por lo tanto no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el número promedio de kilowwatt-hora que gastan al año las aspiradoras no es significativamente menor que 46. Solución por el otro método: Regla de decisión: Si 39.83 No se Rechaza H o Si < 39.83 Se rechaza H o Como la = 42 y este valor no es menor que 39.83 por lo tanto no se rechaza H o . Se puede aprovechar este ejemplo para calcular el valor de P , como el valor de t calculada es de –1.16, se busca en la tabla y se ve que el area a la izquierda de este valor es de 0.135 con 11 grados de libertad, por lo tanto no se rechaza H o ., ya que sería un valor alto para un nivel de significancia. 1. Un artículo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesión de 22 especímenes de aleación U-700. La carga para la que cada especímen falla es la siguiente en MPa: 19.8 18.5 17.6 16.7 15.8 15.4 14.1 13.6 11.9 11.4 11.4 8.8 7.5 15.4 15.4 19.5 14.9 12.7 11.9 11.4 10.1 7.9 ¿Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10Mpa? Supóngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribución normal, y utilicese = 0.05. Calcule el valor de P. Solución: 1. Datos: = 10 s = 3.55 = 13.71 n = 22 = 0.05 3. Ensayo de hipótesis H o ; = 10 H 1 ; > 10 4. Regla de decisión: Si t R 1.721 no se rechaza H o . Si t R > 1.721 se rechaza H o . 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión. Como 4.90 >1.721 se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la carga de falla promedio es mayor que 10Mpa. Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisión en base al estadístico real, en este caso la media de la muestra. De la fórmula de la distribución muestral de medias se despeja la media de la muestra: Regla de decisión: Si 11.30 No se rechaza H o Si > 11.30 Se rechaza H o Como la media de la muestral es de 13.71 MPa y es mayor al valor de la media muestral límite de 11.30 por lo tanto se rechaza H o y se llega a la misma conclusión. Para calcular el valor de P se va a la tabla y se busca en 21 grados de libertad el valor de t = 4.90. Se obseva que el valor mayor de t que se encuentra en la tabla con 21 grados de libertad es de 3.819 el cual le corresponde un área a la derecha de 0.0005, por lo que para el valor de 4.90 el valor de P es practicamente cero, y esto apoya la decisión de rechazar H o . 3. Los pesos en libras de una muestra aleatoria de bebés de seis meses son: 14.6, 12.5, 15.3, 16.1, 14.4, 12.9, 13.7 y 14.9. Haga una prueba con nivel de 5% de significancia para determinar si el peso promedio de todos los bebés de seis meses es distinto a 14 libras, suponga que sus pesos se distribuyen normalmente y calcule el valor de P. Solución: 1. Datos: = 14 libras s = 1.21 libras = 14.3 libras n = 8 = 0.05 2. Ensayo de hipótesis H o ; = 14 libras H 1 ; 14 libras 3. Regla de Decisión: Si –2.365 t R 2.365 No se rechaza H o Si t R < -2.365 ó si t R > 2.365 Se rechaza H o 4. Cálculos: 5. Justificación y decisión: Como –2.365 0.7012 2.365 por lo tanto, no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el peso promedio de todos los bebés de seis meses es de 14 libras. Solución por el otro método: 12.98 y 15.01 Regla de decisión: Si 12.98 15.01 No se rechaza H o Si < 12.98 ó > 15.01 se rechaza H o Como la = 14.3 libras, entonces no se rechaza H o . Para calcular el valor de P se busca en la tabla el valor de 0.7012 con 7 grados de libertad. Se obseva que este valor no se encuentra pero se puede interpolar entre los valores de 0.549 y 0.896 con áreas de 0.30 y 0.20 respectivamente. Interpolando linealmente se obtiene el valor de 0.2561. Error tipo II ó El error tipo II se calcula de la misma forma en la que se calculó con la distribución z. Se realizarán algunos ejercicios en los cuales se determinará la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la distribución. Existen curvas características de operación en los libros con diferentes grados de libertad para determinar los tamaños de muestra correspondientes según el grado de error que se quiera, recordando que entre mayor sea el tamaño de muestra menor será el error. 1. Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tamaño C se distribuyen normalmente, se probó una muestra aleatoria de 15 y se encontró que la media es de 1.4 volts con una desviación estándar de 0.21 volts. En el nivel de significancia de 0.01: a. ¿Indica esto que la media de los voltajes es menor que 1.5 volts? b. Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas es de 1.3 volts. Solución: 1. Datos: = 1.5 volts. s= 0.21 volts = 1.4 volts. n = 15 = 0.01 2. Ensayo de hipótesis H o ; = 1.5 volts H 1 ; < 1.5 volts 3. Regla de decisión: Si t R -2.624 No se rechaza H o Si t R < -2.624 Se rechaza H o 5. Cálculos: 6. Justificación y decisión: Como –1.84 > -2.624, por lo tanto no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia del 0.01 que los voltajes de las pilas tamaño C no son menores a 1.5. Para calcular el error tipo II se tiene que obtener el valor de de la siguiente forma: Para encontrar el valor de se busca en la tabla de la distribución t el valor de 1.05 con 14 grados de libertad. Como este valor no se encuentra en la tabla se interpola entre 0.868 y 1.076 con un área de 0.20 y 0.15 respectivamente. Al interpolar se obtiene un área de 0.15612 y esta es la probabilidad de cometer el error tipoII cuando la media verdadera es de 1.3 volts y un tamaño de muestra de 15. 2. Para el ejercicio del peso de los bebés de 6 meses, calcular el error tipo II, si los pesos verdaderos hubieran sido de 11 y 14.5 libras. Solución: Primero se calculan los valores de : En este último cálculo para se tendrá que analizar las áreas de los dos extremos, pues estas no están dentro de la región de aceptación, por lo tanto no se deben de tomar en cuenta para el error tipo II. Se busca en la tabla el valor de 3.55 con 7 grados de libertad, y al interpolar nos da un área de 0.00475. El área correspondiente a 1.19 con 7 grados de libertad es de 0.1479. Por lo que =1-(0.00475+0.1479)= 0.8473 3. Para el ejercicio en donde se dan los resultados de pruebas de resistencia a la adhesión de 22 especímenes de aleación U-700., encontrar la probabilidad de cometer el error tipo II si la carga promedio de falla es igual a 11. Solución: Primero se obtendrá el valor del estadístico límite: DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X 2 ) En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s 2 . O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas. Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X 2 . Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico: tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X 2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por: donde n es el tamaño de la muestra, s 2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión: Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada 1. Los valores de X 2 son mayores o iguales que 0. 2. La forma de una distribución X 2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X 2 . 3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. 4. Las distribuciones X 2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha. 5. Cuando n>2, la media de una distribución X 2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). 6. El valor modal de una distribución X 2 se da en el valor (n-3). La siguiente figura ilustra tres distribuciones X 2 . Note que el valor modal aparece en el valor (n- 3) = (gl-2). La función de densidad de la distribución X 2 esta dada por: para x>0 La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crítico de una distribución X 2 con gl grados de libertad se usa el símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva X 2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X 2 0.05 (6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla. Cálculo de Probabilidad El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal. Ejemplos: 1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. Solución: Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s 2 =2 como sigue: El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s 2 >2) 2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza , tenga una varianza muestral: a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745 Solución. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada: Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s 2 >9.1) = 0.05 1. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada: y Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94. Por lo tanto la P(3.462 s 2 10.745) = 0.94 Estimación de la Varianza Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada. Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda: Los valores de X 2 dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la gráfica se tiene: Ejemplos: 1. Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal. Solución: Primero se calcula la desviación estándar de la muestra: al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s 2 = 0.286. Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X 2 . Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X 2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha. Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es: Graficamente: Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado. 2. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efectúa como parte del control de calidad, se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%. Solución: Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s 2 = 0.0285. Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obteniéndose dos resultados. Para X 2 (0.95,5) = 1.145 y para X 2 (0.0,5) = 11.07. Entonces el intervalo de confianza esta dado por: y Ensayo de Hipótesis para la Varianza de una Población Normal En la mayoría de los casos se tiene el problema de desconocer la varianza o desviación estándar de la población, en donde las distribuciones son normales. Si se desea probar una hipótesis acerca de la varianza se puede hacer utilizando las medidas estadísticas con las que se construyó el intervalo de confianza , esto es con la distribución Ji- cuadrada. Ejemplos: 1. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s 2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal, ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05. Solución: Como en todos los ensayos de hipótesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Después de que se identifican los datos, se plantea la hipótesis para determinar el tipo de ensayo. Datos: = 0.0002 n = 10 s 2 = 0.0003 = 0.05 Ensayo de hipótesis: H o ; = 0.0002 H 1 ; > 0.0002 Regla de decisión: Si X 2 R 16.919 no se rechaza H o . Si X 2 R >16.919 se rechaza H o . Cálculos: Justificación y decisión: Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmación del proveedor. Este ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla se busca el valor de 13.5 en el renglón de 9 grados de libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P de 0.1484. 2. El contenido de azúcar del almíbar de los duraznos enlatados tiene una distribución normal, donde se cree que la varianza es = 18 mg 2 . Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviación estándar de 4.8 mg. ¿Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado?. Use un = 0.05 y calcule el valor de P. Solución: Datos: = 18 n = 10 s = 4.8 = 0.05 Ensayo de hipótesis: H o ; = 18 H 1 ; 18 Regla de decisión: Si 2.7 X 2 R 19.023 no se rechaza H o . Si X 2 R <2.7 ó si X 2 R >19.023 se rechaza H o . Cálculos: Justificación y decisión: Como 11.52 está entre 2.7 y 19.023, no se rechaza H o, y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la varianza del contenido de azúcar del almíbar no ha cambiado, esto es es de 18 mg 2 . Si recordamos al principio de este tema se dijo que la media de la distribución ji- cuadrada es (n-1), por lo tanto la media de este ejercicio es de 9. Como el valor real de X 2 R = 11.52 este número se encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere decir que el valor de P/2 será el área a la derecha del valor de X 2 R . Al buscar el valor de 11.52 en la tabla se obtiene un área de 0.2423, por lo tanto P/2 = 0.2423 y P= (2)(0.2423) = 0.4846 3. Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de último año de preparatoria completen una prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una desviación estándar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes de último año de preparatoria y se obtiene una desviación estándar de 4.51. ¿Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviación estándar disminuyó?. Utilice el valor de P para su decisión. Solución: Datos: = 6 n = 20 s = 4.51 Ensayo de hipótesis: H o ; = 6 H 1 ; < 6 Cálculos: Para obtener el valor de P, se busca en la tabla el 10.735 con 19 grados de libertad, y el área que se encuentra es la que está a la derecha de este valor. Como la media de esta distribución ji-cuadrada es de 19, por lo tanto el valor de 10.735 queda a la izquierda de la media. El valor de P es de 0.07, y con esto se puede concluir que si hubiéramos utilizado un nivel de significancia de 0.10, se rechaza H o y se concluye que la desviación estándar disminuyo, pero si se utiliza un valor de = 0.05, entonces no se rechaza H o y se concluiría que la desviación estándar no disminuyó. La decisión depende del error tipo I que esté dispuesto a tolerar el investigador. Error tipo II ó El error tipo II se calcula de la misma forma en la que se calculó con la distribución z. Se realizarán algunos ejercicios en los cuales se determinará la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la distribución Ji-cuadrada. 1. Se tiene un ensayo de hipótesis unilateral derecho, con n=20 y = 0.05 H o ; = 0.10 H 1 ; > 0.10 Se quiere calcular el error tipo II ó si las desviaciones estándar verdaderas fueran de 0.12 y 0.14. Solución: Para poder calcular el error tipo II, primero se debe encontrar el valor de la varianza muestral límite, esto es s 2 L , para poder calcular los valores de X 2 y posteriormente calcular el área. Al buscar en la tabla X 2 (0.05,19) =30.144, este valor se sustituirá en la formula. Al despejar de la fórmula original de X 2 se obtiene: 2. Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta sección, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la varianza del contenido de azúcar en el almíbar de los duraznos ha cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26. Solución: Como este es un ensayo bilateral se tendrán dos valores de s 2 L . Los cuales se calcularán utilizando las ji-cuadradas límites que eran de de 2.7 y 19.023. y Estos dos valores se utilizarán para calcular las nuevas ji-cuadradas para calcular el valor de . DISTRIBUCION "F" FISHER La necesidad de disponer de métodos estadísticos para comparar las varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del análisis de una sola población. Frecuentemente se desea comparar la precisión de un instrumento de medición con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que varía el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro. Intuitivamente, podríamos comparar las varianzas de dos poblaciones, y , utilizando la razón de las varianzas muestrales s 2 1 /s 2 2 . Si s 2 1 /s 2 2 es casi igual a 1, se tendrá poca evidencia para indicar que y no son iguales. Por otra parte, un valor muy grande o muy pequeño para s 2 1 /s 2 2 , proporcionará evidencia de una diferencia en las varianzas de las poblaciones. La variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables aleatorias ji-cuadrada independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de libertad. Esto es, donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes con grados de libertad 1 y 2 respectivamente. Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribución ji cuadradas con grados de libertad, respectivamente. Entonces la distribución de la variable aleatoria está dada por: y se dice que sigue la distribución F con grados de libertad en el numerador y grados de libertad en el denominador. La media y la varianza de la distribución F son: para para La variable aleatoria F es no negativa, y la distribución tiene un sesgo hacia la derecha. La distribución F tiene una apariencia muy similar a la distribución ji-cuadrada; sin embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los dos parámetros proporcionan una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribución. Si s 1 2 y s 2 2 son las varianzas muestrales independientes de tamaño n 1 y n 2 tomadas de poblaciones normales con varianzas 1 2 y 2 2 , respectivamente, entonces: Para manejar las tablas de Fisher del libro de Introducción a la Inferencia Estadística del autor Güenther, se tendrá que buscar primero los grados de libertad dos para luego localizar el área correspondiente, relacionándola con los grados de libertad uno, para calcular el valor de F. Las tablas tienen la siguiente estructura: P 1 2 3 ……. ….. 500 … 6 0.0005 0.001 0.005 . . 0.9995 30.4 El valor de 30.4 es el correspondiente a una Fisher que tiene 3 grados de libertad uno y 6 grados de libertad dos con un área de cero a Fisher de 0.995. Si lo vemos graficamente: Como nos podemos imaginar existen varias curvas Fisher, ya que ahora su forma depende de dos variables que son los grados de libertad. Ejemplos : 1. Encontrar el valor de F, en cada uno de los siguientes casos: a. El área a la derecha de F, es de 0.25 con =4 y =9. b. El área a la izquierda de F, es de 0.95 con =15 y =10. c. El área a la derecha de F es de 0.95 con con =6 y =8. o. El área a la izquierda de F, es de 0.10 con con =24 y =24 Solución: a. Como el área que da la tabla es de cero a Fisher, se tiene que localizar primero los grados de libertad dos que son 9, luego un área de 0.75 con 4 grados de libertad uno. b. En este caso se puede buscar el área de 0.95 directamente en la tabla con sus respectivos grados de libertad. c. Se tiene que buscar en la tabla un área de 0.05, puesto que nos piden un área a la derecha de F de 0.95. d. Se busca directamente el área de 0.10, con sus respectivos grados de libertad. 1. Si s 1 2 y s 2 2 son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaños n 1 =10 y n 2 =20, tomadas de poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, encuentre P(s 1 2 /s 2 2 2.42). Solución: Primero se establecen los grados de libertad. Como en el numerador está la población uno y en el denominador la población dos, entonces los grados de libertad uno equivalen a 10-1=9 y los grados de libertad dos a 20-1=19. Se procede a ir a la tabla a buscar los grados de libertad dos que son 19 y se observa que no están, por lo tanto se tiene que interpolar entre 15 y 20 grados de libertad, buscando el valor de fisher que quedaría: Este valor de 2.42 se busca en la columna de 9 grados de libertad uno, con 15 grados de libertad dos, y se encuentra los siguiente: Area 0.90 2.09 0.95 2.59 Al interpolar entre estos dos valores nos queda un área de 0.933. Se procede a hacer lo mismo pero con 20 grados de libertad dos: Area 0.95 2.39 0.975 2.84 Al interpolar entre estos dos valores nos queda un área de 0.9516. Ahora ya se tienen las dos áreas referentes a los grados de libertad dos, por lo que se interpolará para ver cuánto le corresponde a los grados libertad dos con un valor de 19. Area 15 0.933 20 0.9516 Al interpolar nos queda que para 9 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos con un valor de Fisher de 2.42 el área a la izquierda es de 0.9478. 2. Si s 1 2 y s 2 2 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaño n 1 = 25 y n 2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 1 2 =10 y 2 2 = 15, respectivamente, encuentre P(s 1 2 /s 2 2 > 1.26). Solución: Calcular el valor de Fisher: Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posición se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un área de 0.95, pero esta área correspondería a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muestrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sería 0.05, siendo esta la probabilidad de que s 1 2 /s 2 2 > 1.26. Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas de Dos Distribuciones Normales Supóngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas 1 2 y 2 2 , respectivamente. De este par de poblaciones, se tienen disponibles dos muestras aleatorias de tamaños n 1 y n 2 , respectivamente, sean s 1 2 y s 2 2 las dos varianzas muestrales. Se desea conocer un intervalo de confianza del 100( ) por ciento para el cociente de las dos varianzas, 1 2 / 2 2 . Para construir el intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas poblacionales, se coloca la varianza muestral mayor en el numerador del estadístico F. Ejemplos: 1. Un fabricante de automóviles pone a prueba dos nuevos métodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran el la tabla: Método 1 Método 2 n 1 = 31 n 2 = 25 s 1 2 = 50 s 2 2 = 24 2. Construya un intervalo de confianza del 90% para 1 2 / 2 2 . 3. Solución: 4. Por la recomendación de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente fórmula: 5. 6. al despejar: . 7. F toma dos valores dependiendo del nivel de confianza y de los grados de libertad. En este caso los grados de libertad uno valen 30 y los grados de libertad dos 24. 8. 9. y 10. Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera: 11. Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la relación de varianzas 1 2 / 2 2 esta entre 1.07 y 3.93. Esto supondría que la varianza de la población 1 es mayor a la varianza de la población 2 entre 1.07 y 3.93. 12. Una compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Al ingeniero de manufactura le gustaría seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de n 1 =16 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar s 1 = 4.7 micropulgadas, y una muestra aleatoria de n 2 =12 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar s 2 = 5.1 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas 1 2 / 2 2 . Suponga que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie está distribuida de manera normal. Solución: Por la recomendación de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente fórmula: al despejar: . En este caso los grados de libertad uno valen 11 y los grados de libertad dos 15. y Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera: Puesto que este intervalo de confianza incluye a la unidad, no es posible afirmar que las desviaciones estándar de la rugosidad de la superficie de los dos procesos sean diferentes con un nivel de confianza del 90%. Ensayo de Hipótesis Supóngase que se tiene interés en dos poblaciones normales independientes, donde las medias y las varianzas de la población son desconocidas. Se desea probar la igualdad de las dos varianzas, ya que para poder comparar las medias de estas dos poblaciones se utiliza la distribución t de Student, en la cual podemos tener varianzas iguales o diferentes en la población. Para conocer esto último se requiere de la distribución Fisher, y después de utilizarla, se tomará la decisión de tener o no varianzas iguales en la población, dando pié a realizar la comparación de las dos medias según estemos hablando. Primer caso en que las varianzas de la población son desconocidas pero iguales, o en el caso dos donde se tienen varianzas desconocidas pero disímiles. Para el ensayo de hipótesis se utilizará la relación de varianzas, la cual puede dar tres resultados: En base a lo que se quiera probar, el ensayo podrá ser unilateral derecho, izquierdo o bilateral. Ejemplos: 1. La variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos químicos, utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos líneas de producción 1 y 2, hizo un pequeño ajuste al proceso 2, con la esperanza de reducir la variabilidad, así como la cantidad media de impurezas en los productos químicos. Muestras de n 1 =25 y n 2 =20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias y varianzas: ¿Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son menores para el 2? Realice una prueba con un = 0.05. Solución: Datos: Población 1 Población 2 n 1 = 25 n 2 = 20 = 0.05 Ensayo de hipótesis: Estadístico de prueba: La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1 = 25-1 = 24 y 2 = 20-1=19. Regla de decisión: Si F c 2.11 No se rechaza H o , Si la F c > 2.11 se rechaza H o . Cálculo: Decisión y Justificación: Como 2.04 es menor que 2.11 no se rechaza H o , y se concluye con un = 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que la varianza del proceso 2 es menor que la del proceso 1. 2. En su incansable búsqueda de un sistema de llenado adecuado, cierta empresa prueba dos máquinas. Robo-fill se usa para llenar 16 tarros y da una desviación estándar de 1.9 onzas en el llenado. Con Automat-fill se llenan 21 frascos que dan una desviación estándar de 2.1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en función de la uniformidad de llenado. ¿Cual deberá seleccionar? Use un = 0.10. Solución: Datos: Robo-Fill s RF = 1.9 n RF = 16 = 0.10 Automat-Fill s AF = 2.1 n AF = 21 Ensayo de hipótesis: Estadístico de prueba: La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1 = 21-1 = 20 y 2 = 16-1=15. Regla de decisión: Si F c 2.20 No se rechaza H o , Si la F c > 2.20 se rechaza H o . Cálculo: Decisión y Justificación: Como 1.22 es menor que 2.20 no se rechaza H o , y se concluye con un = 0.10 que la variación de llenado de la máquina Robo-Fill no es menor a la de Automat-Fill, por lo que se selecciona cualquier máquina. 3. Las capas de óxido en las obleas semiconductoras son depositadas en una mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor es una característica crítica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la fabricación es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cuál se obtienen mejores resultados en cuanto a la reducción en la variabilidad del espesor del óxido. Veintiún obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estándar de cada muestra del espesor del óxido son s 1 = 1.96 angstroms y s 2 = 2.13 angstroms. ¿Existe evidencia que indique una diferencia en las desviaciones? Utilice =0.05. Solución: Datos: s 1 = 1.96 n 1 = 21 s 2 = 2.13 n 2 = 21 Ensayo de hipótesis: Estadístico de prueba: La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1 = 21-1 = 20 y 2 = 21-1=20. Regla de decisión: Si 0.406 F c 2.46 No se rechaza H o , Si la F c < 0.406 ó si F c > 2.46 se rechaza H o . Cálculo: Decisión y Justificación: Como 0.85 esta entre los dos valores de H o no se rechaza , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales. Error Tipo II ó 1. Para el ejercicio anterior, encontrar la probabilidad de cometer error tipo II si la verdadera relación 1 2 / 2 2 = 2. Solución: 1. Del ejercicio número 1 del ensayo de hipótesis en donde la variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos químicos dependía del tiempo que tardaba el proceso y el fabricante empleaba dos líneas de producción 1 y 2, e hizo un pequeño ajuste al proceso 2, calcular la probabilidad de cometer error tipo II si le relación 1 2 / 2 2 = 1.5. Solución: por lo tanto s 1 2 /s 2 2 = 2.11 ya que esto fue lo que dio la tabla y al despejar nos queda los mismo. Se calcula un nuevo valor de F con la relación de varianzas de 1.5. Si se recuerda para este ejercicio se tienen 24 grados de libertad uno y 19 de grados de libertad dos, por lo que se tiene que hacer una doble interpolación ya que 19 grados de libertad dos no vienen en la tabla. Primero se interpolará para 24 grados de libertad uno y 15 grados de libertad dos: Area Valor de F 0.50 1.02 0.75 1.41 Al interpolar para un valor de Fisher de 1.406 se ve que este valor está muy cercano a 1.41, el cual le corresponde un área de 0.75, por lo que queda un resultado de 0.7474 Ahora se procede a interpolar para 24 grados de libertad uno y 20 grados de libertad dos: Area Valor de F 0.75 1.35 0.90 1.77 La interpolación para un valor de Fisher de 1.406 es de 0.77. Teniendo los dos valores, se puede calcular el área correspondiente a 24 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos: 2 Area 15 0.7474 20 0.77 Por lo tanto al interpolar para 19 grados de libertad dos nos da un valor de 0.76548 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS En esta sección se verá el caso en donde se tienen dos poblaciones con medias y varianzas desconocidas, y se desea encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias 1 ÷ 2 . Si los tamaños de muestras n 1 y n 2 son mayores que 30, entonces, puede emplearse el intervalo de confianza de la distribución normal. Sin embargo, cuando se toman muestras pequeñas se supone que las poblaciones de interés están distribuidas de manera normal, y los intervalos de confianza se basan en la distribución t. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES Si s 1 2 y s 2 2 son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaño n 1 y n 2 , respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un intervalo de confianza del 100( ) por ciento para la diferencia entre medias es: en donde: es el estimador combinado de la desviación estándar común de la población con n 1 +n 2 – 2 grados de libertad. Ejemplos: 1. Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4. Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de los dos tipos de cementos. Por otra parte, supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma desviación estándar. Solución: El estimador combinado de la desviación estándar es: Al calcularle raíz cuadrada a este valor nos queda que s p = 4.41 expresión que se reduce a – 0.72 1 ÷ 2 6.72 Nótese que el intervalo de confianza del 95% incluye al cero; por consiguiente, para este nivel confianza, no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias. 2. Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del tiempo promedio. Suponga varianzas iguales. Medicamento A Medicamento B n A = 12 n B = 12 S A 2 = 15.57 S B 2 = 17.54 Solución: 2.35 B ÷ A 9.25 Con un nivel confianza del 95% se sabe que el tiempo promedio para alcanzar un nivel específico es mayor para el medicamento B. PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS, POBLACIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES Las situaciones que más prevalecen e implican pruebas sobre dos medias son las que tienen varianzas desconocidas. Si el científico prueba mediante una prueba F, que las varianzas de las dos poblaciones son iguales, se utiliza la siguiente fórmula: donde: Los grados de libertad están dados por: Ejemplos: 1. Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes: Con Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9 Sin Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1 ¿Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el suero es efectivo? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales. Solución: Primero se probará el supuesto de varianzas iguales con un ensayo de hipótesis bilateral utilizando la distribución Fisher. Datos: Con tratamiento s= 1.97 n = 5 Sin tratamiento s = 1.1672 n = 4 Ensayo de hipótesis: Estadístico de prueba: La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1 = 5-1 = 4 y 2 = 4-1=3. Regla de decisión: Si 0.10 F c 15.1 No se rechaza H o , Si la F c < 0.10 ó si F c > 15.1 se rechaza H o . Cálculo: Decisión y Justificación: Como 2.85 esta entre los dos valores de H o no se rechaza , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales. Con la decisión anterior se procede a comparar las medias: Ensayo de Hipótesis H o ; CT - ST =0 H 1 ; CT - ST >0 Los grados de libertad son (5+4-2) = 7 Regla de decisión: Si t R 1.895 No se Rechaza H o Si t R > 1.895 se rechaza H o Cálculos: por lo tanto s p = 1.848 Justificación y decisión: Como 0.6332 es menor que 1.895, no se rechaza H o , y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que el suero detiene la leucemia. 2. Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule con = 0.05 si existe diferencia entre los tiempos promedio y obtenga el valor de P. Suponga varianzas iguales. Medicamento A Medicamento B n A = 12 n B = 12 S A 2 = 15.57 S B 2 = 17.54 Solución: Primero se pondrá a prueba el supuesto de varianzas iguales mediante una prueba de hipótesis con = 0.10. Ensayo de hipótesis: Estadístico de prueba: La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1 =12-1=11 y 2 =12-1=11. Regla de decisión: Si 0.355 F c 2.82 No se rechaza H o , Si la F c < 0.355 ó si F c > 2.82 se rechaza H o . Cálculo: Decisión y Justificación: Como 1.13 esta entre los dos valores de H o no se rechaza , y se concluye con un = 0.10 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales. Con la decisión anterior se procede a comparar las medias: Ensayo de Hipótesis H o ; B - A =0 H 1 ; B - A 0 Los grados de libertad son (12+12-2) = 22 Regla de decisión: Si –2.074 t c 2.074 No se rechaza H o , Si la t c < -2.074 ó si t c > 2.074 se rechaza H o . Cálculos: Justificación y decisión: Como 3.49 es mayor que 2.074, no se rechaza H o , y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la media del tiempo para que el medicamento A llegue a un nivel específico en el torrente sanguíneo es distinta de la que toma al fármaco B alcanzar ese mismo nivel. Para calcular el valor de P se ubicará la t calculada en la gráfica para proceder a buscar el área y multiplicarla por dos ya que es bilateral. P = (2)(0.00139) = 0.00278 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DIFERENTES Consideremos ahora el problema de encontrar una estimación por intervalos de 1 ÷ 2 cuando no es probable que las varianzas poblacionales desconocidas sean iguales. La estadística que se usa con más frecuencia en este caso es: que tiene aproximadamente una distribución t con grados de libertad, donde: Como rara vez es número entero, lo redondeamos al número entero más cercano menor. Esto es si el valor de nu es de 15.9 se redondeará a 15. Al despejar la diferencia de medias poblacionales de la formula de t nos queda: Ejemplos: 1. El departamento de zoología de la Universidad de Virginia llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes del río James. El ortofósforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estación 1 y se ontuvo una media de 3.84 con una desviación estándar de 3.07 miligramos por litro, mientras que 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 con una desviación estándar 0.80 miligramos por litro. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia del contenido promedio real de ortofósforo en estas dos estaciones, suponga que las observaciones vienen de poblaciones normales con varianzas diferentes. Solución: Datos: Estación 1 Estación 2 n 1 = 15 n 2 = 12 S 1 = 3.07 S 2 = 0.80 Primero se procederá a calcular los grados de libertad: Al usar =0.05, encontramos en la tabla con 16 grados de libertad que el valor de t es 2.120, por lo tanto: que se simplifica a: 0.60 1 ÷ 2 4.10 Por ello se tiene una confianza del 95% de que el intervalo de 0.60 a 4.10 miligramos por litro contiene la diferencia de los contenidos promedios reales de ortofósforo para estos dos lugares. PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS, POBLACIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DIFERENTES Ejemplo: 1. Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes: Diseño 1 n 1 = 16 s 1 2 = 10 Diseño 2 n 2 = 10 s 2 2 = 40 2. Con = 0.05, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños, donde se supone que las dos poblaciones son normales, pero no es posible suponer que las varianzas desconocidas sean iguales. 3. Solución: 4. Primero se probarán varianzas desiguales. 5. Ensayo de hipótesis: 6. 7. 8. Estadístico de prueba: 9. La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . 10. Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1 = 10-1 = 9 y 2 = 16-1=15. 11. 12. Regla de decisión: 13. Si 0.265 F c 3.12 No se rechaza H o , 14. Si la F c < 0.265 ó si F c > 3.12 se rechaza H o . 15. Cálculo: 16. 17. Decisión y Justificación: 18. Como 4 es mayor que 3.12 se rechaza H o , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son diferentes. 19. Con la decisión anterior se procede a comparar las medias: 20. Ensayo de Hipótesis 21. H o ; 1 - 2 =0 22. H 1 ; 1 - 2 0 23. Para poder buscar el valor de t en la tabla, se necesita saber el valor de los grados de libertad: 24. 25. Este valor se redondea al próximo menor que sería 11. 26. 27. Regla de decisión: 28. Si –2.201 t R 2.201 No se rechaza H o 29. Si t R < -2.201 ó si t R > 2.201 se rechaza H o 30. Cálculos: 31. 32. Justificación y decisión: 33. Como 0.1395 esta entre –2.201 y 2.201, no se rechaza H o y se concluye con un = 0.05, que no existe diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños. 34. Dos proveedores fabrican un engrane de plástico utilizado en una impresora láser. Una característica importante de estos engranes es la resistencia al impacto la cual se mide en pies-libras. Una muestra aleatoria de 10 engranes suministrados por el primer proveedor arroja los siguientes resultados: y s 1 = 12. Del segundo proveedor se toma una muestra aleatoria de 16 engranes, donde los resultados son y s 2 = 45. ¿Existe evidencia que apoye la afirmación de que los engranes del proveedor 2 tienen una mayor resistencia promedio al impacto. Use un nivel de significancia de 0.05. Calcule el valor de P. Solución: Datos: Proveedor 1 Proveedor 2 n 1 = 10 n 2 = 16 S 1 = 12 S 2 = 45 Primero se probarán varianzas desiguales. Ensayo de hipótesis: Estadístico de prueba: La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1 = 16-1 = 15 y 2 = 10-1=9. Regla de decisión: Si 0.320 F c 3.01 No se rechaza H o , Si la F c < 0.320 ó si F c > 3.01 se rechaza H o . Cálculo: Decisión y Justificación: Como 14.06 es mayor que 3.01 se rechaza H o , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son diferentes. Con la decisión anterior se procede a comparar las medias: Ensayo de Hipótesis H o ; 2 - 1 =0 H 1 ; 2 - 1 >0 Para poder buscar el valor de t en la tabla, se necesita saber el valor de los grados de libertad: Este valor se redondea al próximo menor que sería 18. Regla de decisión: Si t R 1.734 No se rechaza H o Si t R > 1.734 se rechaza H o Cálculos: Justificación y decisión: Como 2.61 es mayor que 1.734, se rechaza H o y se concluye con un =0.05, que existe evidencia suficiente para decir que el promedio de resistencia de los engranes del proveedor 2 es mayor a el promedio de resistencia de los engranes del proveedor 1. Para calcular el valor de P se busca adentro de la tabla de t el valor de 2.61 con 18 grados de libertad y se observa que se encuentra entre dos áreas que son 0.01 y 0.0075, al interpolar nos da un valor de P = 0.00894. INFERENCIA RESPECTO A LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS CUANDO SE USAN MUESTRAS DEPENDIENTES PEQUEÑAS Para hacer inferencias estadísticas sobre dos poblaciones, se necesita tener una muestra de cada población. Las dos muestras serán dependientes o independientes de acuerdo a la forma de seleccionarlas. Si la selección de los datos de una población no está relacionada con la de los datos de la otra, son muestras independientes. Si las muestras se seleccionan de manera que cada medida en una de ellas pueda asociarse naturalmente con una medida en la otra muestra, se llaman muestras dependientes. Cada dato sale de alguna fuente; una fuente es algo, una persona o un objeto, que produce datos. Si dos medidas se obtienen de la misma fuente, se puede pensar que las medidas están pareadas. En consecuencia dos medidas que se obtienen del mismo conjunto de fuentes son dependientes. Note que si dos muestras son dependientes, entonces necesariamente tienen el mismo tamaño. Muchas aplicaciones prácticas requieren hacer comparaciones entre dos poblaciones con base en datos pareados o en muestras dependientes. Las aplicaciones que pueden involucrar muestras dependientes incluyen: - Medicina.- Poner aprueba los efectos de una dieta mediante la obtención de las medidas del peso en la misma persona antes y después de aplicar una dieta. - Enseñanza.- Probar la efectividad de una estrategia de enseñanza aplicando exámenes antes y después a los mismos individuos. - Agricultura.- Poner a prueba los efectos de dos fertilizantes en la producción de frijol de soya comparando la producción de parcelas similares en las mismas condiciones. - Finanzas.- Comparar las estimaciones de dos talleres de autos chocados para las mismas unidades. - I ndustria.- Poner a prueba dos marcas de llantas en cuanto al desgaste del piso colocando una de cada marca en los rines traseros de una muestra de coches del mismo tipo. Si se tienen dos muestral aleatorias dependientes de tamaño n, donde cada elemento de la primera muestra es pareja de un elemento de la segunda, entonces estas dos muestras dan lugar a una de parejas o a una diferencias, como lo indica la siguiente figura. La muestra de diferencias d = x 1 – x 2 se puede pensar como una muestra de la población de diferencias de datos pareados de dos poblaciones. La media de la población de diferencias es igual a la diferencias de las medias poblacionales. Se puede demostrar que la media de las diferencias es la diferencias de las mismas considerando las dos poblaciones siguientes con cuyos elementos se han formado parejas: Población 1 Población 2 Diferencia d 2 5 2 – 5 = -3 4 6 4 – 6 = -2 6 2 6 – 2 = 4 8 4 8 – 4 = 4 10 8 10 – 8 = 2 Suma 30 25 5 Media 6 5 1 La diferencia entre medias poblacionales es: 1 ÷ 2 = 6 – 5 = 1 y la media de la población de diferencias se representa: En consecuencia se ve que la media de la población de diferencias es igual a la diferencia entre las medias poblacionales. Siguiendo la misma línea de razonamiento, se puede demostrar que, para dos muestras dependientes, la media de sus diferencias muestrales es igual a la diferencia entre sus medias muestrales. Esto es, si x 1 – x 2 = d, entonces Si se tiene una muestra aleatoria de n pares de datos y si las diferencias d se distribuyen normalmente, entonces el estadístico: tiene una distribución muestral que es una distribución t con gl=n-1, donde s d representa la desviación estándar de la muestra de puntajes diferencia. Estadístico donde g.l = n-1 Límites del intervalo de confianza para 1 ÷ 2 cuando se usa muestras dependientes Ejemplos: 1. Se hizo un estudio para definirse si los ejercicios aeróbicos reducen el ritmo cardiaco de una persona durante el descanso, y al examinar a diez voluntarios antes y después de seguir un programa de ese tipo durante seis meses, sus pulsaciones, en latidos por minuto, dieron los siguientes registros: Voluntario 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 73 77 68 62 72 80 76 64 70 72 Después 68 72 64 60 71 77 74 60 64 68 2. Use = 0.05 para calcular si los ejercicios aeróbicos reducen el ritmo cardiaco durante el reposo. Calcule el valor de P. 3. Solución: 4. Ensayo de hipótesis: 5. H o ; A ÷ D = 0 6. H 1 ; A ÷ D > 0 7. 8. Regla de decisión: 9. Si t R 1.833 No se rechaza H o 10. Si t R > 1.833 se rechaza H o 11. Cálculos: 12. Se procederá a calcular las diferencias de cada par: Voluntario 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 73 77 68 62 72 80 76 64 70 72 Después 68 72 64 60 71 77 74 60 64 68 Diferencia 5 5 4 2 1 3 2 4 6 4 13. Al calcular la media de las diferencias nos da 3.6 con una s d = 1.58. 14. 15. Justificación y decisión: 16. Como 7.20 es mayor que 1.833, se rechaza H 0 , y se concluye cn un nivel de significancia de 0.05 que los datos indican que los ejercicios aeróbicos disminuyen significativamente el ritmo cardiaco durante el reposo. 17. Para calcular el valor de P se busca el 7.20 en el renglón de 9 grados de libertad en la tabla t, y se observa que el valor mayor que aparece en dicha tabla es 4.781 al cual le corresponde una área a la derecha de 0.0005, entonces se puede concluir que el valor de P es prácticamente cero. 18. Diez hombres se sometieron a una dieta especial registrando sus pesos antes de comenzarla y después de un mes de estar en ella. Los resultados de los pesos, en libras, se muestran a continuación: Hombre A B C D E F G H I J Antes 181 172 190 186 210 202 166 173 183 184 Después 178 175 185 184 207 201 160 168 180 189 19. Haga una prueba con = 0.05 para determinar si la dieta logró alguna diferencia, ya sea positiva o negativa. Calcule el valor de P. 20. Solución: 21. Ensayo de hipótesis: 22. H o ; A ÷ D = 0 23. H 1 ; A ÷ D 0 24. 25. Regla de decisión: 26. Si –2.262 t c 2.262 No se rechaza H o , 27. Si la t c < -2.262 ó si t c > 2.262 se rechaza H o . 28. Cálculos: 29. Se procederá a calcular las diferencias de cada par: Hombre A B C D E F G H I J Antes 181 172 190 186 210 202 166 173 183 184 Después 178 175 185 184 207 201 160 168 180 189 Diferencia 3 -3 5 2 3 1 6 5 3 -5 30. Al calcular la media de las diferencias nos da 2 con una s d = 3.53. 31. 32. Justificación y decisión: 33. Como 1.79 está entre los dos valores críticos de –2.262 y 2.262, por lo tanto no se rechaza H 0 , y se concluye con un = 0.05 que no existe evidencia estadística que apoye la efectividad de la dieta para variar el peso. 34. Para calcular el valor de P se interpola entre 0.10 y 0.05, con 9 grados de libertad obteniendo un área de 0.0574, pero como el ensayo es bilateral este sería un valor de P/2, por lo tanto el valor de P = (2)(0.0574) = 0.1148 35. 36. Calcula el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias poblacionales del ejercicio anterior. Solución: El intervalo de confianza del 95% es –0.53 y 4.53 y como contiene a cero, no podemos concluir que la dieta sea efectiva para cambiar el peso. Problemas Propuestos 1. Un economista considera que el número de galones de gasolina que consume mensualmente cada automóvil en Estados Unidos es una variable aleatoria normal con =50 y varianza desconocida. a. Supóngase que una muestra aleatoria de nueve observaciones presenta una varianza muestral de 36. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 54? b. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor que 44? c. ¿Cuál es la probabilidad de que x este comprendida entre 44 y 55 ? d. ¿Cómo modificarían las respuestas a las preguntas anteriores si n = 36 ? 2. Una máquina produce las varillas de metal utilizadas en el sistema de suspensión de un automóvil. El diámetro de la varilla está distribuido en forma normal, con media y varianza desconocida. Se toma una muestra aleatoria de 10 piezas, y se encuentra que los diámetros son: 2.25, 2.24, 2.27, 2.26, 2.23, 2.25, 2.24, 2.27, 2.22 y 2.23 pulgadas. Encuentre el intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de todas las varillas de metal. 3. Una muestra de 12 latas de sopa producida por cierta compañía produjo los siguientes pesos netos, medidos en onzas: 11.9 12.2 11.6 12.1 12.1 11.8 11.9 11.8 12.0 12.3 11.8 12.0 4. Si se supone normalidad en los pesos, construya un intervalo de confianza del 95% para el peso promedio de todas las latas de sopa producidas por la compañía. 5. Los siguientes datos registrados en días, representan el tiempo de recuperación para pacientes que se tratan al azar con uno de los medicamentos para curar infecciones graves de la vejiga: Medicamento 1 Medicamento 2 n 1 = 14 n 2 = 16 x 1 = 17 x 2 = 19 s 1 2 = 1.5 s 2 2 = 1.8 6. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia promedio en el tiempo de recuperación para los dos medicamentos, suponga poblaciones normales con varianzas iguales. 7. Un experimento compara las economías en combustible para dos tipos de camiones compactos a diesel equipados de forma similar. Suponga que se utilizaron 12 camiones Volkswagen y 10 Toyota en pruebas de velocidad constante de 90 kilómetros por hora. Si los 12 VW promedian 16 Km/lto con una desviación estándar de 1.0 km/lto, y los 10 Toyota promedian 11 km/lto con una desviación estándar de 0.8 km/lto, construya un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre los kilómetros promedio por litro de estos dos camiones. Suponga poblaciones normales con varianzas iguales. 8. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza = 6, tenga una varianza s 2 a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745 7. Encuentre el intervalo de confianza del 90% para la varianza del diámetro de las varillas del ejercicio 2 e interprete resultado. 8. Una máquina que produce bolas para cojinetes se le detiene periódicamente para verificar el diámetro. En este caso en particular no interesa el diámetro medio, sino la variabilidad de los diámetros. Supóngase que se toma una muestra de 31 bolas y se encuentra que la varianza de los diámetros es de 0.94 mm 2 . Construya un intervalos de confianza de 95% para la varianza, e interprete los resultados, suponiendo normalidad en la población. 9. Si s 1 2 y s 2 2 representan las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaño n 1 =8 y n 2 =12, tomadas de poblaciones normales con varianzas iguales, encuentre P(s 1 2 /s 2 2< 4.89). 10. Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas que producen dos compañías cinematográficas. Compañía Tiempo (minutos) I 103, 94, 110, 87, 98 II 97, 82, 123, 92, 175, 88, 118 Construya un intervalo de confianza del 90% para la relación de varianzas. 11. Construya un intervalo de confianza de 98% para la relación de desviaciones estándar del problema número 5, y de acuerdo con los resultados obtenidos, diga si estuvo bien el supuesto de varianzas iguales. 12. Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son: 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribución del contenido es normal. 13. De acuerdo con un estudio dietético una ingesta alta de sodio se puede relacionar con úlceras, cáncer de estómago y migraña. El requerimiento humano de sal es de sólo 220 miligramos por día, el cual se rebasa en la mayoría de las porciones individuales de cereales listos para comerse. Si una muestra aleatoria de 20 porciones similares de Special K tiene un contenido medio de 244 miligramos de sodio y una desviación estándar de 24.5 miligramos ¿esto sugiere, en el nivel de significancia del 0.05, que el contenido promedio de sodio para porciones individuales de Special K es mayor que 220 miligramos? Suponga que la distribución de contenidos de sodio es normal. 14. Una compañía armadora de automóviles grandes trata de decidir si compra llantas de la marca o de la B para sus modelos nuevos. Se lleva a cabo un experimento para ayudar a llegar a una decisión, en el que se usan 12 llantas de cada marca. Los resultados son: Marca A: xA = 37,900 Kilómetros; SA = 5,100 Kilómetros. Marca B: xB = 39,800 Kilómetros; SB = 5,900 Kilómetros Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia en las dos marcas de llantas con un nivel de significancia de 0.05. También calcule el valor de P, suponiendo normalidad y varianzas iguales. 15. Dos secciones de un curso de estadística son sometidas a un mismo examen final. De las calificaciones obtenidas se extrae una muestra aleatoria de tamaño 9 en la grupo "A", y otra de tamaño 4 en el grupo "B". Grupo "A": 65, 68, 72, 75, 82, 85, 87, 91, 95 Grupo "B": 50, 59, 71, 80 a. Con un nivel de significación de 0.05 ¿podría decirse que los dos grupos tienen las mismas calificaciones promedio?. Suponga que provienen de poblaciones normales con varianzas iguales. b. Calcule el valor de P para este ensayo e interprete su resultado c. Por medio de un ensayo de hipótesis diga si estuvo acertada la suposición de las varianzas iguales en el inciso a). Haga la prueba con un nivel de significación de 0.10. 15. Una máquina automática empacadora de azúcar se usa para llenar bolsas de 5 libras. Una muestra aleatoria de 15 bolsas indicó una media de 4.94 libras y una desviación estándar de 0.02; si se supone que la distribución de los pesos es normal, y de la experiencia pasada se sabe que la desviación estándar de los pesos es de 0.015 libras, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que hubo un aumento en la variabilidad?. Haga la prueba con un nivel de significancia del 0.05 y calcule el valor de P. 17. Una empresa empacadora de azúcar está considerando una máquina nueva para reemplazar su máquina actual. Los pesos de una muestra de 21 paquetes de 5 libras empacados por la máquina vieja producen una varianza de 0.16, mientras que los pesos de 20 paquetes de 5 libras empacados por la máquina nueva dan una varianza de 0.09.En base a estos datos, ¿aconsejaría usted al gerente a comprar la máquina nueva? Use un = 0.05. 18. La Metro Bus Company en una ciudad grande afirma tener una varianza en los tiempos de llegada de sus carros, medidos en minutos, a las distintas paradas, de no más de 5; un ejecutivo de la compañía ordenó tomar los tiempos de llegada en varias paradas para determinar si los conductores están cumpliendo con sus horarios. Si una muestra de 12 llegadas a una parada particular produjo una varianza de 5.7 y se supone que los tiempos de llegada se distribuyen normalmente, ¿muestran estos datos suficiente evidencia para contradecir a la compañía? Use un nivel de significancia de 0.10 y calcule el valor de P. Respuesta a los Problemas Propuestos 1. a) 0.0421, b) 0.00862, c) 0.97276 2. 2.2284 2.2635 3. 11.859 12.11 4. 0.70 2 ÷ 1 3.30 5. 4.3 vw - T 5.7 6. a) 0.05, b) 0.94 7. 4.689 x 10 -5 2 1.559 x 10 -4 8. 0.60 2 1.679 9. 0.99 10. 2.20 ( 2 / 1 ) 2 61.50 11. 0.549 ( Vw / T ) 2.69. Estuvo bien la suposición puesto que el uno esta dentro del intervalo. 12. Región crítica -3.25 t 3.25. t = 0.77 por lo tanto no rechaza Ho. 13. Región crítica t>1.729. t= 4.30 rechazar Ho. 14. Región crítica -2.074 t 2.074. t = -0.84 no rechazar Ho. P = 0.411 15. a) Región crítica -2.201 t 2.201. t = 2.27 rechazar Ho. b) P = 0.0445 c) Región crítica 0.1129 F 4.07. F = 1.578, no rechaza Ho, estuvo bien la suposición de varianzas iguales. 16. Región crítica X 2 > 23.685. X 2 = 24.88 rechazar Ho. P = 0.0377 17. Región critica F > 2.16. F = 1.77, no se rechaza Ho y no conviene comprar la máquina nueva. 18. Región crítica X 2 > 17.275. X 2 = 12.54 no se rechaza Ho. P = 0.3280 UNIDAD IV PRUEBAS CHI-CUADRADA Y ESTADISTICA NO PARAMETRICA Como ya se ha visto varias veces, los resultados obtenidos de muestras no siempre concuerdan exactamente con los resultados teóricos esperados, según las reglas de probabilidad. Por ejemplo, aunque consideraciones teóricas conduzcan a esperar 50 caras y 50 cruces cuando se lanza 100 veces una moneda bien hecha, es raro que se obtengan exactamente estos resultados. Supóngase que en una determinada muestra se observan una serie de posibles sucesos E 1 , E 2 , E 3 , . . . , E K , que ocurren con frecuencias o 1 , o 2 , o 3 , . . ., o K , llamadas frecuencias observadas y que, según las reglas de probabilidad, se espera que ocurran con frecuencias e 1 , e 2 , e 3 , . . . ,e K llamadas frecuencias teóricas o esperadas. A menudo se desea saber si las frecuencias observadas difieren significativamente de las frecuencias esperadas. Para el caso en que solamente son posibles dos sucesos E 1 y E 2 como, por ejemplo, caras o cruces, defectuoso, etc., el problema queda resuelto satisfactoriamente con los métodos de las unidades anteriores. En esta unidad se considera el problema general. Definición de X 2 Una medida de la discrepancia existente entre las frecuencias observadas y esperadas es suministrada por el estadístico X 2 , dado por: donde si el total de frecuencias es N, Si X 2 = 0, las frecuencias observadas y esperadas concuerdan exactamente, mientras que si X 2 >0, no coinciden exactamente. A valores mayores de X 2 , mayores son las discrepancias entre las frecuencias observadas y esperadas. Si las frecuencias esperadas son al menos iguales a 5, la aproximación mejora para valores superiores. El número de grados de libertad está dado por: = k – 1 – m en donde: K = número de clasificaciones en el problema. m = número de parámetros estimados a partir de los datos muestrales para obtener los valores esperados. Ensayo de Hipótesis En la práctica, las frecuencias esperadas se calculan de acuerdo con la hipótesis H o . Si bajo esta hipótesis el valor calculado de X 2 dado es mayor que algún valor crítico, se deduce que las frecuencias observadas difieren significativamente de las esperadas y se rechaza H o al nivel de significación correspondiente. En caso contrario, no se rechazará. Este procedimiento se llama ensayo o prueba de chi-cuadrado de la hipótesis. Debe advertirse que en aquellas circunstancias en que X 2 esté muy próxima a cero debe mirarse con cierto recelo, puesto que es raro que las frecuencias observadas concuerden demasiado bien con las esperadas. Para examinar tales situaciones, se puede determinar si el valor calculado de X 2 es menor que las X 2 críticas o de tabla (ensayo unilateral izquierdo), en cuyos casos se decide que la concordancia es bastante buena. Ejemplos: 1. La siguiente tabla muestra las frecuencias observadas al lanzar un dado 120 veces. Ensayar la hipótesis de que el dado está bien hecho al nivel de significación del 0.05. Cara 1 2 3 4 5 6 Frecuencia Observada 25 17 15 23 24 16 2. Solución: 3. Ensayo de Hipótesis: 4. H o ; Las frecuencias observadas y esperadas son significativamente iguales 5. (dado bien hecho) 6. H 1 ; Las frecuencias observadas y esperadas son diferentes (dado cargado). 7. Primero se procede a calcular los valores esperados. Como es bien sabido por todos la probabilidad de que caiga cualquier número en un dado no cargado es de 1/6. Como la suma de los valores observados es de 120, se multiplica este valor por 1/6 dando un resultado de 20 para cada clasificación. Cara 1 2 3 4 5 6 Total Frecuencia Observada 25 17 15 23 24 16 120 Frecuencia esperada 20 20 20 20 20 20 8. Grados de libertad = k-1-m = 6-1-0 = 5 9. No se tuvo que calcular ningún parámetro para obtener las frecuencias esperadas. 10. 11. Regla de decisión: 12. Si X 2 R 11.1 no se rechaza H o . 13. Si X 2 R >11.1 se rechaza H o . 14. Cálculos: 15. 16. Justificación y decisión: 17. Como 5 es menor a 11.1 no se rechaza H o y se concluye con una significación de 0.05 que el dado está bien hecho. 18. En los experimentos de Mendel con guisantes, observó 315 lisos y amarillos, 108 lisos y verdes, 101 rugosos y amarillos y 32 rugosos y verdes. De acuerdo con su teoría, estos números deberían presentarse en la proporción 9:3:3:1. ¿Hay alguna evidencia que permita dudar de su teoría al nivel de significación del 0.01? Solución: Ensayo de Hipótesis: H o ; La teoría de Mendel es acertada. H 1 ; La teoría de Mendel no es correcta. El número total de guisantes es 315+108+101+32=556. Puesto que los números esperados están el la proporción 9:3:3:1 (9+3+3+1=16), se esperaría: lisos y amarillos lisos y verdes rugosos y amarillos rugosos y verdes Grados de libertad = k-1-m = 4-1-0 = 3 No se tuvo que calcular ningún parámetro para obtener las frecuencias esperadas. Regla de decisión: Si X 2 R 11.3 no se rechaza H o . Si X 2 R >11.3 se rechaza H o . Cálculos: Justificación y decisión: Como 0.470 es menor que 11.3 no se rechaza H o y se concluye con un nivel de significación de 0.01 que la teoría de Mendel es correcta. Como el valor de 0.470 está cercano a cero, se procede a hacer un ensayo unilateral izquierdo: Ensayo de Hipótesis: H o ; La teoría de Mendel es acertada. H 1 ; La teoría de Mendel es muy acertada. Regla de decisión: Si X 2 R 0.115 no se rechaza H o . Si X 2 R < 0.115 se rechaza H o . Como el valor de 0.470 no es menor a 0.115 se concluye que el experimento o la teoría de Mendel solo es buena. 19. Una encuesta sobre 320 familias con 5 niños dio la distribución que aparece en la siguiente tabla. ¿Es el resultado consistente con la hipótesis de que el nacimiento de varón y hembra son igualmente posibles? Use = 0.05. Número de niños 5 4 3 2 1 0 Número de niñas 0 1 2 3 4 5 Número de familias 18 56 110 88 40 8 20. Solución: 21. Ensayo de hipótesis: 22. H 0 ; El nacimiento de niños y niñas es igualmente probable. 23. H 1 ; El nacimiento de niños y niñas no es igualmente probable. 24. Este experimento tiene un comportamiento binomial, puesto que se tienen dos posibles resultados y la probabilidad de éxito se mantiene constante en todo el experimento. 25. Se le llamará éxito al nacimiento de un varón o niño. Por lo que la variable aleatoria "x" tomará valores desde 0 hasta 5. 26. Como se quiere ver si es igualmente probable el nacimiento de niños y niñas, la probabilidad de éxito será de 0.5. 27. Utilizando la fórmula de la distribución binomial se calcularán las probabilidades, que multiplicadas por el número total de familias nos darán los valores esperados en cada clasificación. 28. Recordando la fórmula de la distribución binomial: 29. 30. en donde n = 5 y "x" es el número de niños . 31. Probabilidad de 5 niños y 0 niñas = 32. Probabilidad de 4 niños y 1 niña = 33. Probabilidad de 3 niños y 2 niñas = 34. Probabilidad de 2 niños y 3 niñas = 35. Probabilidad de 1 niño y 4 niñas = 36. Probabilidad de 0 niños y 5 niñas = 37. Si cada una de estas probabilidades se multiplican por 320 se obtienen los valores esperados: Número de niños 5 4 3 2 1 0 Total Número de niñas 0 1 2 3 4 5 Número de familias 18 56 110 88 40 8 320 Frecuencias esperadas 10 50 100 100 50 10 38. Grados de libertad: k-1-m = 6-1-0 = 5 39. 40. Regla de decisión: 41. Si X 2 R 11.1 no se rechaza H o . 42. Si X 2 R >11.1 se rechaza H o . 43. Cálculos: 44. 45. Justificación y decisión: 46. Como el 12 es mayor a 11.1, se rechaza H 0 y se concluye con un = 0.05 que el nacimiento de hombres y mujeres no es igualmente probable. 47. Una urna contiene 6 bolas rojas y 3 blancas. Se extraen al azar dos bolas de la urna, se anota su color y se vuelven a la urna. Este proceso se repite un total de 120 veces y los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla. Determinar al nivel de significación del 0.05 si los resultados obtenidos son consistentes con los esperados. 0 1 2 Bolas blancas 2 1 0 Número de extracciones 6 53 61 Solución: Este experimento tiene las características de una distribución hipergeométrica, por lo cual se calcularán los valores esperados con el razonamiento de esta distribución. Se llamara "x" a la variable aleatoria de interés que en este caso serán las bolas rojas. Por lo tanto "x" puede tomar valores desde 0 hasta 2. La fórmula de la distribución hipergeométrica es: Se tiene: Probabilidad de extraer 0 rojas y 2 blancas: Probabilidad de extraer 1 roja y 1 blanca: Probabilidad de extraer 2 rojas y 0 blancas: Con las probabilidades anteriores se obtendrán los valores esperados multiplicando por 120. 0 1 2 Bolas blancas 2 1 0 Número de extracciones 6 53 61 Frecuencias esperadas 10 60 50 Grados de libertad: k-1-m = 3-1-0 = 2 Regla de decisión: Si X 2 R 5.991 no se rechaza H o . Si X 2 R >5.991 se rechaza H o . Cálculos: Justificación y decisión: Como el 4.83 no es mayor a 5.991, no se rechaza H 0 y se concluye con un = 0.05 que los resultados son los mismos que los esperados. PRUEBA CHI-CUADRADA PARA LA BONDAD DEL AJUSTE A lo largo de este curso nos ocupamos de la prueba de hipótesis estadísticas acerca de parámetros de una población como , y P. Ahora se considera una prueba para determinar si una población tiene una distribución teórica específica. La prueba se basa en qué tan buen ajuste se tiene entre la frecuencia de ocurrencia de las observaciones en una muestra observada y las frecuencias esperadas que se obtienen a partir de la distribución hipotética. La formula que se utilizará para calcular el valor de chi-cuadrada es igual a la de la sección anterior, con el mismo concepto de grados de libertad. Ejemplo: 1. Una moneda fue lanzada al aire 1000 series, de 5 veces cada serie y se observó el número de caras de cada serie. El número de series en los que se presentaron 0, 1, 1, 3, 4 y 5 caras se muestra en la siguiente tabla. Número de caras Número de series (frecuencia observada) 0 38 1 144 2 342 3 287 4 164 5 25 Total 1000 2. Ajustar una distribución binomial a los datos con un = 0.05. 3. Solución: 4. H 0 ; Los datos se ajustan a una distribución binomial. 5. H 1 ; Los datos no se ajustan a una distribución binomial. 6. Para obtener los valores esperados se tiene que utilizar la formula de la distribución binomial: , donde n en este ejercicio vale 5, p y q son las probabilidades respectivas de cara y sello en un solo lanzamiento de la moneda. Para calcular el valor de p, se sabe que =np en una distribución binomial, por lo que = 5p. 7. Para la distribución de frecuencias observada, la media del número de caras es: 8. 9. Por lo tanto . Así pues, la distribución binomial ajustada viene dada por p(x) = . 10. Al seguir esta fórmula se calcula la probabilidad de obtener caras, según el valor de la variable aleatoria. La probabilidad multiplicada por 1000 nos dará el valor esperado. Se resumen los resultados en la tabla siguiente: Número de caras (x) P(x caras) Frecuencia esperada Frecuencia observada 0 0.0332 33.2 38 1 0.1619 161.9 144 2 0.3162 316.2 342 3 0.3087 308.7 287 4 0.1507 150.7 164 5 0.0294 29.4 25 11. Para los grados de libertad el valor de m será uno, ya que se tuvo que estimar la media de la población para poder obtener el valor de p y así poder calcular los valores esperados. 12. Grados de libertad: k-1-m = 6-1-1 = 4 13. 14. Regla de decisión: 15. Si X 2 R 9.49 no se rechaza H o . 16. Si X 2 R >9.49 se rechaza H o . 17. Cálculos: 18. Justificación y decisión: 19. Como el 7.54 no es mayor a 9.49, no se rechaza H 0 y se concluye con un = 0.05 que el ajuste de los datos a una distribución binomial es bueno. 20. Se propone que el número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson. Se reúne una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se observa el número de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes: Número de defectos Frecuencia observada 0 32 1 15 2 9 3 ó más 4 21. ¿Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que provienen de una distribución Poisson?. Haga la prueba de la bondad del ajuste con un = 0.05. 22. Solución: 23. H 0 ; La forma de la distribución de los defectos es Poisson. 24. H 1 ; La forma de la distribución de los defectos no es Poisson. 25. La media de la distribución Poisson propuesta en este ejemplo es desconocida y debe estimarse a partir de los datos contenidos en la muestra. 26. 27. A partir de la distribución Poisson con parámetro 0.75, pueden calcularse las probabilidades asociadas con el valor de x. Esto es la fórmula de la Poisson es: 28. 29. Con esta fórmula se calculan las probabilidades, mismas que se multiplican por 60 para obtener los valores esperados. Número de defectos Probabilidad Frecuencia esperada Frecuencia observada 0 0.472 28.32 32 1 0.354 21.24 15 2 0.133 7.98 9 3 ó más 0.041 2.46 4 30. Puesto que la frecuencia esperada en la última celda es menor que 5, se combinan las dos últimas celdas. Número de defectos Frecuencia esperada Frecuencia observada 0 28.32 32 1 21.24 15 2 ó más 10.44 13 31. Los grados de libertad serían 3-1-1=1, debido a que la media de la distribución Poisson fue estimada a partir de los datos. 32. 33. Regla de decisión: 34. Si X 2 R 3.84 no se rechaza H o . 35. Si X 2 R >3.84 se rechaza H o . 36. Cálculos: 37. 38. Justificación y decisión: 39. Como el 2.94 no es mayor a 3.84, no se rechaza H 0 y se concluye con un = 0.05 que la distribución de defectos en las tarjetas de circuito impreso es Poisson. 40. Pruebe la hipótesis de que la distribución de frecuencia de las duraciones de baterías dadas en la siguiente tabla, se puede aproximar mediante una distribución normal con media = 3.5 y desviación estándar =0.7. Utilice un = 0.05. Límites de clase Frecuencias observadas 1.45 – 1.95 2 1.95 – 2.45 1 2.45 – 2.95 4 2.95 – 3.45 15 3.45 – 3.95 10 3.95 – 4.45 5 4.45 – 4.95 3 Solución: Se procede a elaborar el histograma, para visualizar los datos: Como se puede observar el histograma tiene una forma que aparenta ser normal, se probará esta hipótesis. H 0 ; Los datos provienen de una distribución normal. H 1 ; Los datos no provienen de una distribución normal. En este ejercicio en particular se cuenta con la media y desviación estándar de la población, por lo que no se tiene que estimar. En caso de que no se tuviera, se estimarían a partir de los datos agrupados con las fórmulas que se vieron en la Unidad III del curso de probabilidad y estadística, tomando en cuenta que para los grados de libertad el valor de m sería 2, ya que se estimaría la media y la desviación estándar. Se procederá a calcular los valores de z para encontrar las probabilidades en la tabla. Recordando que , se sustituye el valor de x por los límites de clase comenzando con el límite de 1.95 Límite real P(x) 1.95 -2.21 P(x 1.95) = 0.01355 2.45 -1.50 P(x 2.45) = 0.06680 2.95 -0.79 P(x 2.95) = 0.21476 3.45 -0.07 P(x 3.45) = 0.47210 3.95 0.64 P(x 3.95) = 0.26109 4.45 1.36 P(x 4.45) = 0.08691 La razón por la cual se comienza con el límite de 1.95 y se termina con el límite de 4.45, es porque la suma de todas las probabilidades debe ser 1, bajo la curva normal. A continuación se muestra la curva normal con sus respectivas probabilidades, según los limites reales. Las probabilidades que no se muestran en la tabla anterior y están en la curva se calcularon por diferencias. P(1.95 x 2.45) = 0.0668-0.013553 = 0.053254 P(2.45 x 2.95) = 0.21476-0.0668 = 0.147953 P(2.95 x 3.45) = 0.4721-0.21476 = 0.25734 P(3.45 x 3.50) = 0.50-0.4721 = 0.0279 P(3.50 x 3.95) = 0.50-0.26109= 0.23891 P(3.95 x 4.45) = 0.26109-0.086915 = 0.17417 Con estas probabilidades se calcularán los valores esperados, multiplicando cada probabilidad por 40. Límites de clase Frecuencias observadas Probabilidad Frecuencia esperada 1.45 – 1.95 2 0.01355 0.54212 1.95 – 2.45 7 1 0.05325 2.13016 2.45 – 2.95 4 0.14795 5.91812 2.95 – 3.45 15 0.25734 10.29360 3.45 – 3.95 10 0.26681 10.67240 3.95 – 4.45 8 5 0.17417 6.96680 4.45 – 4.95 3 0.08691 3.47660 Grados de libertad: k-1-m = 4-1-0 = 3 Regla de decisión: Si X 2 R 7.815 no se rechaza H o . Si X 2 R >7.815 se rechaza H o . Cálculos: Justificación y decisión: Como el 3.06 no es mayor de 7.815, no se rechaza H 0 y se concluye con un = 0.05 que el ajuste de los datos a una distribución normal es bueno. TABLAS DE CONTINGENCIA En muchas ocasiones, los n elementos de una muestra tomada de una población pueden clasificarse con dos criterios diferentes. Por tanto, es interesante saber si los dos métodos de clasificación son estadísticamente independientes. Supóngase que el primer método de clasificación tiene r niveles, y que el segundo tiene c niveles. O sea O ij la frecuencia observada para el nivel i del primer método de clasificación y el nivel j del segúndo método de clasificación. En general, los datos aparecerán como se muestra en la siguiente tabla. Una tabla de este tipo usualmente se conoce como tabla de contingencia r x c. Columnas Renglones 1 2 . . . c 1 O 11 O 12 . . . O 1c 2 O 21 O 22 . . . O 2c . . . . . . . . . . . . . . . r O r1 O r2 . . . O rc El interés recae en probar la hipótesis de que los dos métodos de clasificación renglón-columna son independientes. Si se rechaza esta hipótesis, entonces se concluye que existe alguna interacción entre los dos criterios de clasificación. Los procedimientos de prueba exactos son difíciles de obtener, pero puede obtenerse un estadístico de prueba aproximado válido para n grande. Sea p ij la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar caiga el la ij-ésima celda, dado que las dos clasificaciones son independientes. Entonces, p ij =u i v j, donde u i es la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar pertenezca al renglón de la clase i, y v j es la probabilidad de que un elemento seleccionado pertenezca a la columna de la clase j. Ahora bien, si se supone independencia, los estimadores de u i y v j son: Por lo tanto, la frecuencia esperada de la celda es: Entonces, para n grande, el estadístico tiene una distribución aproximada ji-cuadrada con (r-1)(c-1) grados de libertad si la hipótesis nula es verdadera. Por consiguiente, la hipótesis de independencia debe rechazarse si el valor del estadístico de prueba X 2 calculado es mayor que X 2 crítico o de tabla. Ejemplos: 1. Una asociación de profesores universitarios quiere determinar si la satisfacción en el trabajo es independiente del rango académico. Para ello realizó un estudio nacional entre los académicos universitarios y encontró los resultados mostrados son la tabla siguiente. Con =0.05, haga una prueba para saber si son dependientes la satisfacción en el trabajo y el rango. Rango Satisfacción en el trabajo Instructor Profesor asistente Profesor asociado Profesor Mucha 40 60 52 63 Regular 78 87 82 88 Poca 57 63 66 64 2. Solución: 3. H o ; La satisfacción en el trabajo y el rango son independientes. 4. H 1 ; La satisfacción en el trabajo y el rango son dependientes. 5. Grados de libertad: (r-1)(c-1) = (3-1)(4-1)=(2)(3) = 6 6. 7. Regla de decisión: 8. Si X 2 R 12.592 no se rechaza H o . 9. Si X 2 R > 12.592 se rechaza H o . 10. Se procederá a calcular los valores esperados de cada celda. Como los grados de libertad son 6, esto quiere decir que necesitamos calcular únicamente 6 frecuencias esperadas, y las faltantes se encuentran por diferencia. 11. Se calcularán los valores esperados E 11 , E 12 , E 13, E 21 , E 22 y E 23 . 12. Como se necesitan los totales de renglón y columna se mostrarán en la tabla: Satisfacción en el trabajo Rango Instructor Profesor asistente Profesor asociado Profesor Total Mucha 40 60 52 63 215 Regular 78 87 82 88 335 Poca 57 63 66 64 250 Total 175 210 200 215 800 13. 14. 15. Rango Satisfacción Instructor Profesor asistente Profesor asociado Profesor Total Mucha 40 (47.03) 60 (56.44) 52 (53.75) 63 (57.78) 215 Regular 78 (73.28) 87 (87.94) 82 (83.75) 88 (90.03) 335 Poca 57 (54.69) 63 (65.62) 66 (62.50) 64 (67.19) 250 Total 175 210 200 215 800 16. Los valores entre paréntesis son los esperados, los que no se calcularon por fórmula se obtuvieron por diferencia con respecto a los totales. 17. 18. Decisión y justificación: Como el valor de 2.75 es menor que el de tabla 12.592, por lo tanto no se rechaza H o y se concluye con un =0.05 que la satisfacción en el trabajo y el rango son independientes. 19. En un estudio de un taller, se reúne un conjunto de datos para determinar si la proporción de defectuosos producida por los trabajadores es la misma para el turno matutino, vespertino o nocturno. Se reunieron los siguientes datos: Turno Matutino Vespertino Nocturno Defectuosos 45 55 70 No defectuosos 905 890 870 Utilice un nivel de significancia de 0.025 para determinar si la proporción de defectuosos es la misma para los tres turnos. Solución: H o ; La proporción de artículos defectuosos es la misma para los tres turnos. H 1 ; La proporción de artículos defectuosos no es la misma para los tres turnos. Grados de libertad: (r-1)(c-1) = (2-1)(3-1)=(1)(2) = 2 Regla de decisión: Si X 2 R 7.378 no se rechaza H o . Si X 2 R > 7.378 se rechaza H o . Se procederá a calcular los valores esperados de cada celda. Como los grados de libertad son 2, esto quiere decir que necesitamos calcular únicamente 2 frecuencias esperadas, y las faltantes se encuentran por diferencia. Se calcularán los valores esperados E 11 , y E 22 . Como se necesitan los totales de renglón y columna se mostrarán en la tabla: Matutino Vespertino Nocturno Total Defectuosos 45 55 70 170 No defectuosos 905 890 870 2665 Total 950 945 940 2835 Matutino Vespertino Nocturno Total Defectuosos 45 (57.0) 55 (56.7) 70 (56.3) 170 No defectuosos 905 (893.0) 890 (888.3) 870 (883.7) 2665 Total 950 945 940 2835 Decisión: Si se busca este valor dentro de la tabla de ji-cuadrada con 2 grados de libertad nos dará un valor de P aproximado a 0.04. Si se observa el valor de la ji-cuadrada calculada de 6.29 con el valor de tabla de 7.378, se llega a la decisión de no rechazar H o . Sin embargo sería riesgoso concluir que la proporción de defectuosos producidos es la misma para todos los turnos por tener un valor de P de 0.04. Tablas de Contingencia para probar Homogeneidad El uso de la tabla de contingencia de dos clasificaciones para probar independencia entre dos variables de clasificación en una muestra tomada de una población de interés, es sólo una de las aplicaciones de los métodos de tablas de contingencia. Otra situación común se presenta cuando existen r poblaciones de interés y cada una de ellas está dividida en las mismas c categorías. Luego se toma una muestra de la i-ésima población, y los conteos se introducen en las columnas apropiadas del i-ésimo renglón. En esta situación se desea investigar si las proporciones son o no las mimas en las c categorías de todas las poblaciones. La hipótesis nula de este problema establece que las poblaciones son homogéneas con respecto a las categorías (como el ejemplo pasado de los diferentes turnos), entonces la prueba de homogeneidad es en realidad una prueba sobre la igualdad de r parámetros binomiales. El cálculo de las frecuencias esperadas, la determinación de los grados de libertad y el cálculo de la estadística ji-cuadrada para la pruebe de homogeneidad son idénticos a los de la prueba de independencia. ESTADISTICA NO PARAMETRICA La mayor parte de los procedimientos de prueba de hipótesis que se presentan en las unidades anteriores se basan en la suposición de que las muestras aleatorias se seleccionan de poblaciones normales. Afortunadamente, la mayor parte de estas pruebas aún son confiables cuando experimentamos ligeras desviaciones de la normalidad, en particular cuando el tamaño de la muestra es grande. Tradicionalmente, estos procedimientos de prueba se denominan métodos paramétricos. En esta sección se consideran varios procedimientos de prueba alternativos, llamados no paramétricos ó métodos de distribución libre, que a menudo no suponen conocimiento de ninguna clase acerca de las distribuciones de las poblaciones fundamentales, excepto que éstas son continuas. Los procedimientos no paramétricos o de distribución libre se usan con mayor frecuencia por los analistas de datos. Existen muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería donde los datos se reportan no como valores de un continuo sino mas bien en una escala ordinal tal que es bastante natural asignar rangos a los datos. Un ejemplo donde se aplica una prueba no paramétrica es el siguiente, dos jueces deben clasificar cinco marcas de cerveza de mucha demanda mediante la asignación de un grado de 1 a la marca que se considera que tiene la mejor calidad global, un grado 2 a la segunda mejor, etcétera. Se puede utilizar entonces una prueba no paramétrica para determinar donde existe algún acuerdo entre los dos jueces. Se debe señalar que hay varias desventajas asociadas con las pruebas no paramétricas. En primer lugar, no utilizan la información que proporciona la muestra, y por ello una prueba no paramétrica será menos eficiente que el procedimiento paramétrico correspondiente, cuando se pueden aplicar ambos métodos. En consecuencia, para lograr la misma potencia, una prueba no paramétrica requerirá la correspondiente prueba no paramétrica. Como se indicó antes, ligeras divergencias de la normalidad tienen como resultado desviaciones menores del ideal para las pruebas paramétricas estándar. Esto es cierto en particular para la prueba t y la prueba F. En el caso de la prueba t y la prueba F, el valor P citado puede ser ligeramente erróneo si existe una violación moderada de la suposición de normalidad. En resumen, si se puede aplicar una prueba paramétrica y una no paramétrica al mismo conjunto de datos, debemos aplicar la técnica paramétrica más eficiente. Sin embargo, se debe reconocer que las suposiciones de normalidad a menudo no se pueden justificar, y que no siempre se tienen mediciones cuantitativas. PRUEBA DEL SIGNO La prueba del signo se utiliza para probar la hipótesis sobre la mediana de una distribución continua. La mediana de una distribución es un valor de la variable aleatoria X tal que la probabilidad de que un valor observado de X sea menor o igual, o mayor o igual, que la mediana es 0.5. Esto es, . Puesto que la distribución normal es simétrica, la media de una distribución normal es igual a la mediana. Por consiguiente, la prueba del signo puede emplearse para probar hipótesis sobre la media de una población normal. Suponga que las hipótesis son: Supóngase que X 1 , X 2 , . . . , X n es una muestra aleatoria tomada de la población de interés. Fórmense las diferencias Ahora bien si la hipótesis nula es verdadera, cualquier diferencia tiene la misma probabilidad de ser negativa o positiva. Un estadístico de prueba apropiado es el número de estas diferencias que son positivas, por ejemplo R + . Por consiguiente, la prueba de la hipótesis nula es en realidad una prueba de que el número de signos positivos es un valor de una variable aleatoria binomial con parámetro P = ½. Puede calcularse un valor P para el número observado de signos positivos r + directamente de la distribución binomial. Al probar la hipótesis que se muestra al principio, se rechaza H 0 en favor de H 1 sólo si la proporción de signos positivos es suficientemente menor que ½ ( o de manera equivalente, cada vez que el número observado de signos positivos r + es muy pequeño). Por tanto, si el valor P calculado P = P(R + r + cuando p = 1/2) es menor o igual que algún nivel de significancia seleccionado previamente, entonces se rechaza H 0 y se concluye que H 1 es verdadera. Para probar la otra hipótesis unilateral se rechaza H 0 en favor de H 1 sólo si el número observado de signos más, r + , es grande o, de manera equivalente, cada vez que la fracción observada de signos positivos es significativamente mayor que ½. En consecuencia, si el valor P calculado P = P(R + r + cuando p = 1/2) es menor que , entonces H 0 se rechaza y se concluye que H 1 es verdadera. También puede probarse la alternativa bilateral. Si las hipótesis son: se rechaza H 0 si la proporción de signos positivos difiere de manera significativa de ½ (ya se por encima o por debajo). Esto es equivalente a que el número observado de signos r + sea suficientemente grande o suficientemente pequeño. Por tanto, si r + >n/2 el valor P es P=2P(R + r + cuando p = ½) Y si r + >n/2 el valor P es P=2P(R + r + cuando p = ½) Si el valor P es menor que algún nivel preseleccionado , entonces se rechaza H 0 y se concluye que H 1 es verdadera. Ejemplos: 1. Un artículo informa cerca de un estudio en el que se modela el motor de un cohete reuniendo el combustible y la mezcla de encendido dentro de un contenedor metálico. Una característica importante es la resistencia al esfuerzo cortante de la unión entre los dos tipos de sustancias. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos al probar 20 motores seleccionados al azar. Se desea probar la hipótesis de que la mediana de la resistencia al esfuerzo cortante es 2000 psi, utilizando = 0.05. Solución: Se mostrará la tabla del ejercicio y es función del investigador poner los signos con respecto a la mediana. Observación Resistencia al esfuerzo cortante x i Signo de la diferencia x i -2000 Observación Resistencia al esfuerzo cortante x i Signo de la diferencia x i -2000 1 2158.70 + 11 2165.20 + 2 1678.15 - 12 2399.55 + 3 2316.00 + 13 1779.80 - 4 2061.30 + 14 2336.75 + 5 2207.50 + 15 1765.30 - 6 1708.30 - 16 2053.50 + 7 1784.70 - 17 2414.40 + 8 2575.10 + 18 2200.50 + 9 2357.90 + 19 2654.20 + 10 2256.70 + 20 1753.70 - De la tabla se puede observar que el estadístico de prueba r + = 14. Regla de decisión: Si el valor de P correspondiente a r + =14 es menor o igual que =0.05 se rechaza H 0 . Cálculos: Puesto que r + =14 es mayor que n/2=20/2=10, el valor de P se calcula de P=2P(R + 14 cuando p = ½) La P se calcula con la fórmula de la distribución binomial: Conclusión: Como P=0.1153 no es menor que =0.05, no es posible rechazar la hipótesis nula de que la mediana de la resistencia al esfuerzo constante es 2000 psi. Otra manera de resolver el problema es con Aproximación normal: Cuando p=0.5, la distribución binomial esta bien aproximada por la distribución normal cuando n es al menos 10. Por tanto, dado que la media de la distribución binomial es np y la varianza es npq, la distribución de R + es aproximadamente normal con media 0.5n y varianza 0.25n, cada vez que n es moderadamente grande. Por consiguiente las hipótesis pueden probarse con el estadístico: Las reglas de decisión se establecerán como cualquier ensayo en una distribución muestral en donde se utiliza la distribución normal. Para resolver el problema anterior: Como la es mayor que 10 se utilizará la aproximación normal. Regla de Decisión: Si –1.96 Z R 1.96 No se rechaza H o Si Z R < -1.96 ó si Z R > 1.96 Se rechaza H o Cálculos: Decisión y Conclusión: Como 1.789 esta entre –1.96 y 1.96, no se rechaza H 0 y se concluye con un =0.05 que la mediana es de 2000 psi. Prueba del Signo para Muestras Pareadas También se puede utilizar la prueba de signo para probar la hipótesis nula para observaciones pareadas. Aquí se reemplaza cada diferencia, d i , con un signo más o menos dependiendo si la diferencia ajustada, d i -d 0 , es positiva o negativa. A lo largo de esta sección suponemos que las poblaciones son simétricas. Sin embargo, aun si las poblaciones son asimétricas se puede llevar a cabo el mismo procedimiento de prueba, pero las hipótesis se refieren a las medianas poblacionales en lugar de las medias. Ejemplo: 1. Una compañía de taxis trata de decidir si el uso de llantas radiales en lugar de llantas regulares con cinturón mejora la economía de combustible. Se equipan 16 automóviles con llantas radiales y se manejan por un recorrido de prueba establecido. Sin cambiar de conductores, se equipan los mismos autos con llantas regulares con cinturón y se manejan una vez más por el recorrido de prueba. Se registra el consumo de gasolina, en kilómetros por litro, de la siguiente manera: Automóvil Llantas radiales Llantas con cinturón 1 4.2 4.1 2 4.7 4.9 3 6.6 6.2 4 7.0 6.9 5 6.7 6.8 6 4.5 4.4 7 5.7 5.7 8 6.0 5.8 9 7.4 6.9 10 4.9 4.9 11 6.1 6.0 12 5.2 4.9 13 5.7 5.3 14 6.9 6.5 15 6.8 7.1 16 4.9 4.8 ¿Se puede concluir en el nivel de significancia de 0.05 que los autos equipados con llantas radiales obtienen mejores economías de combustible que los equipados con llantas regulares con cinturón? Solución: Regla de decisión: Si z R 1.645 no se rechaza H o . Si z R > 1.645 se rechaza H o . Se procede ha realizar las diferencias entre de los kilómetros por litro entre llantas radiales y con cinturón: Automóvil Llantas radiales Llantas con cinturón d 1 4.2 4.1 + 2 4.7 4.9 - 3 6.6 6.2 + 4 7.0 6.9 + 5 6.7 6.8 - 6 4.5 4.4 + 7 5.7 5.7 0 8 6.0 5.8 + 9 7.4 6.9 + 10 4.9 4.9 0 11 6.1 6.0 + 12 5.2 4.9 + 13 5.7 5.3 + 14 6.9 6.5 + 15 6.8 7.1 - 16 4.9 4.8 + Al observar las diferencias se ve que sólo existe una n=14, ya que se descartan los valores de cero. Se tiene r + = 11 Decisión y conclusión: Como 2.14 es mayor a 1.645 se rechaza H 0 y se concluye con un = 0.05 que las llantas radiales mejoran la economía de combustible. PRUEBA DE RANGO CON SIGNO DE WILCOXON Se puede notar que la prueba de signo utiliza sólo los signos más y menos de las diferencias entre las observaciones y 0 en el caso de una muestra, o los signos más y menos de las diferencias entro los pares de observaciones en el caso de la muestra pareada, pero no toma en consideración la magnitud de estas diferencias. Una prueba que utiliza dirección y magnitud, propuesta en 1945 por Frank Wilcoxon, se llama ahora comúnmente prueba de rango con signo de Wilcoxon. Esta prueba se aplica en el caso de una distribución continua simétrica. Bajo esta condición se puede probar la hipótesis nula = 0 . Primero se resta 0 de cada valor muestral y se descarta todas las diferencias iguales a cero. Se asigna un rango de 1 a la diferencia absoluta más pequeña, un rango de 2 a la siguiente más pequeña, y así sucesivamente. Cuando el valor absoluto de dos o más diferencias es el mismo, se asigna a cada uno el promedio de los rangos que se asignarían si las diferencias se distinguieran. Por ejemplo, si la quinta y sexta diferencia son iguales en valor absoluto, a cada una se le asignaría un rango de 5.5. Si la hipótesis = 0 es verdadera, el total de los rangos que corresponden a las diferencias positivas debe ser casi igual al total de los rangos que corresponden a las diferencias negativas. Se representan esos totales como w + y w - , respectivamente. Se designa el menor de w + y w - con w. Al seleccionar muestras repetidas esperaríamos que variarían w + y w - , y por tanto w. De esta manera se puede considerar a w + y w - , y w como valores de las correspondiente variables aleatorias W + , W - , y W. La hipótesis nula = 0 se puede rechazar a favor de la alternativa < 0 sólo si w + es pequeña y w - es grande. Del mismo modo, la alternativa > 0 se puede aceptar sólo si w + es grande y w - es pequeña. Para una alternativa bilateral se puede rechazar H 0 a favor de H 1 si w + o w - y por tanto w son suficientemente pequeñas. No importa cuál hipótesis alternativa puede ser, rechazar la hipótesis nula cuando el valor de la estadística apropiada W + , W - , o W es suficientemente pequeño. Dos Muestras con Observaciones Pareadas Para probar la hipótesis nula de que se muestrean dos poblaciones simétricas continuas con 1 = 2 para el caso de una muestra pareada, se clasifican las diferencias de las observaciones paradas sin importar el signo y se procede como en el caso de una muestra. Los diversos procedimientos de prueba para los casos de una sola muestra y de una muestra pareada se resumen en la siguiente tabla: No es difícil mostrar que siempre que n<5 y el nivel de significancia no exceda 0.05 para una prueba de una cola ó 0.10 para una prueba de dos colas, todos los valores posibles de w + , w -, o w conducirán a la aceptación de la hipótesis nula. Sin embargo, cuando 5 n 30, la tabla A.16 muestra valores críticos aproximados de W + y W - para niveles de significancia iguales a 0.01, 0.025 y 0.05 para una prueba de una cola, y valores críticos de W para niveles de significancia iguales a 0.02, 0.05 y 0.10 para una prueba de dos colas. La hipótesis nula se rechaza si el valor calculado w + , w -, o w es menor o igual que el valor de tabla apropiado. Por ejemplo, cuando n=12 la tabla A.16 muestra que se requiere un valor de w + 17 para que la alternativa unilateral < 0 sea significativa en el nivel 0.05. Ejemplos: 1. Los siguientes datos representan el número de horas que un compensador opera antes de requerir una recarga: 1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2 y 1.7. Utilice la prueba de rango con signo para probar la hipótesis en el nivel de significancia de 0.05 que este compensador particular opera con una media de 1.8 horas antes de requerir una recarga. Solución: H 0 ; = 1.8 H 1 ; 1.8 Se procederá a efectuar las diferencias y a poner rango con signo a los datos. Dato d i = dato - 1.8 Rangos 1.5 -0.3 5.5 2.2 0.4 7 0.9 -0.9 10 1.3 -0.5 8 2.0 0.2 3 1.6 -0.2 3 1.8 0 Se anula 1.5 -0.3 5.5 2.0 0.2 3 1.2 -0.6 9 1.7 -0.1 1 Regla de decisión: Para una n = 10, después de descartar la medición que es igual a 1.8, la tabla A.16 muestra que la región crítica es w 8. Cálculos: w + = 7 + 3 + 3 = 13 w - = 5.5 + 10 + 8 + 3 + 5.5 + 9 + 1 = 42 por lo que w = 13 (menor entre w + y w - ). Decisión y Conclusión: Como 13 no es menor que 8, no se rechaza H 0 y se concluye con un = 0.05 que el tiempo promedio de operación no es significativamente diferente de 1.8 horas. 2. Se afirma que un estudiante universitario de último año puede aumentar su calificación en el área del campo de especialidad del examen de registro de graduados en al menos 50 puntos si de antemano se le proporcionan problemas de muestra. Para probar esta afirmación, se dividen 20 estudiantes del último año en 10 pares de modo que cada par tenga casi el mismo promedio de puntos de calidad general en sus primeros años en la universidad. Los problemas y respuestas de muestra se proporcionan al azar a un miembro de cada par una semana antes del examen. Se registran las siguientes calificaciones del examen: Par Con problemas de muestra Sin problemas de muestra 1 531 509 2 621 540 3 663 688 4 579 502 5 451 424 6 660 683 7 591 568 8 719 748 9 543 530 10 575 524 Pruebe la hipótesis nula en el nivel de significancia de 0.05 de que los problemas aumentan las calificaciones en 50 puntos contra la hipótesis alternativa de que el aumento es menor a 50 puntos. Solución: La prueba de rango con signo también se puede utilizar para probar la hipótesis nula 1 ÷ 2 = d 0 . En este caso las poblaciones no necesitan ser simétricas. Como con la prueba de signo, se resta d 0 de cada diferencia, se clasifican las diferencias ajustadas sin importar el signo y se aplica el mismo procedimiento. En este caso d 0 = 50, por lo que se procede a calcular las diferencias entre las muestras y luego restarles el valor de 50. Se representara con 1 y 2 la calificación media de todos los estudiantes que resuelven el examen en cuestión con y sin problemas de muestra, respectivamente. H 0 ; 1 ÷ 2 = 50 H 1 ; 1 ÷ 2 < 50 Regla de decisión: Para n=10 la tabla muestra que la región crítica es w + 11. Cálculos: Par Con problemas de Sin problemas de d i d i – d 0 Rangos muestra muestra 1 531 509 22 -28 5 2 621 540 81 31 6 3 663 688 -25 -75 9 4 579 502 77 27 3.5 5 451 424 27 -23 2 6 660 683 -23 -73 8 7 591 568 23 -27 3.5 8 719 748 -29 -79 10 9 543 530 13 -37 7 10 575 524 51 1 1 w + = 6 + 3.5 + 1 = 10.5 Decisión y Conclusión: Como 10.5 es menor que 11 se rechaza H 0 y se concluye con un = 0.05 que los problemas de muestra, en promedio, no aumentan las calificaciones de registro de graduados en 50 puntos. Aproximación Normal para Muestras Grandes Cuando n 15, la distribución muestral de W + ó W - se aproxima a la distribución normal con media y varianza . Por tanto, cuando n excede el valor más grande en la tabla A.16, se puede utilizar la estadística para determinar la región crítica de la prueba. Problemas Propuestos 1. Se lanza 180 veces un dado con los siguientes resultados: X 1 2 3 4 5 6 f 28 36 36 30 27 23 2. ¿Es un dado balanceado? Utilice un = 0.01. 3. Se supone que una máquina mezcla cacahuates, avellanas, anacardos y pacanas a razón de 5:2:2:1. Se encuentra que una lata que contiene 500 de estas nueces mezcladas tiene 269 cacahuates, 112 avellanas, 74 anacardos y 45 pacanas. Al nivel de significancia de 0.05 pruebe la hipótesis de que la máquina mezcla las nueces a razón de 5:2:2:1. 4. Se seleccionan tres canicas de una urna que contiene cinco canicas rojas y tres verdes. Después de registrar el número x de canicas rojas, las canicas se reemplazan en la urna y el experimento se repite 112 veces. Los resultados que se obtienen son los siguientes: x 0 1 2 3 f 1 31 55 25 5. Pruebe la hipótesis con un nivel de significancia de 0.05, de que los datos registrados se pueden ajustar a una distribución hipergeométrica. 6. Se lanza una moneda hasta que sale cara y se registra el número de lanzamientos x. Después de repetir el experimento 256 veces, se obtuvieron los siguientes resultados: X 1 2 3 4 5 6 7 8 f 136 60 34 12 9 1 3 1 7. Pruebe la hipótesis con un nivel de significancia de 0.05 de que la distribución observada de x se puede ajustar por una distribución geométrica g(x;1/2), x = 1, 2, 3, … 8. Con los siguientes datos, pruebe la bondad de ajuste entre las frecuencias de clase que se observan y las frecuencias esperadas correspondientes de una distribución normal con = 65 y = 21, utilice un nivel de significancia de 0.05. Límite de clase Frecuencia 10 - 19 3 20 – 29 2 30 – 39 3 40 – 49 4 50 – 59 5 60 – 69 11 70 – 79 14 80 – 89 14 90 - 99 4 9. En un experimento para estudiar la dependencia de la hipertensión de los hábitos de fumar, se tomaron los siguientes datos de 180 individuos: No fumadores Fumadores moderados Fumadores empedernidos Con hipertensión 21 36 30 Sin hipertensión 48 26 19 10. Pruebe la hipótesis de que la presencia o ausencia de hipertensión es independiente de los hábitos de fumar. Utilice un nivel de significancia de 0.05. 11. Una muestra aleatoria de 200 hombres casados, todos retirados, se clasifica de acuerdo con la educación y el número de hijos: Número de hijos Educación 0 - 1 2 - 3 Más de 3 Elemental 14 37 32 Secundaria 19 42 17 Universidad 12 17 10 Pruebe la hipótesis, con un nivel de significancia de 0.05, de que el tamaño de la familia es independiente del nivel de instrucción del padre. 12. Se comparan dos tipos de instrumentos para medir la cantidad de monóxido de azufre en la atmósfera en un experimento de contaminación atmosférica. Se registraron las siguientes lecturas diarias en un período de dos semanas: Día Instrumento A Instrumento B 1 0.96 0.87 2 0.82 0.74 3 0.75 0.63 4 0.61 0.55 5 0.89 0.76 6 0.64 0.70 7 0.81 0.69 8 0.68 0.57 9 0.65 0.53 10 0.84 0.88 11 0.59 0.51 12 0.94 0.79 13 0.91 0.84 14 0.77 0.63 13. Con el uso de la aproximación normal a la distribución binomial, realice una prueba de signo para determinar si los diferentes instrumentos conducen a diferentes resultados. Utilice un nivel de significancia de 0.05. 14. Los siguientes datos representan el tiempo, en minutos, que un paciente tiene que esperar durante 12 visitas al consultorio de una doctora antes de ser atendido por ésta: 17 15 20 20 32 28 12 26 25 25 35 24 Utilice la prueba de rango con signo al nivel de significancia de 0.05 para probar la afirmación de la doctora de que la media del tiempo de espera para sus pacientes no es mayor que 20 minutos antes de entrar al consultorio. 15. Los pesos de cuatro personas antes de que dejan de fumar y cinco semanas después de dejar de fumar, en kilogramos, son los siguientes: Individuo 1 2 3 4 5 Antes 66 80 69 52 75 Después 71 82 68 56 73 Utilice la prueba de rango con signo para observaciones pareadas para probar la hipótesis, en el nivel de significancia de 0.05, de que dejar de fumar no tiene efecto en el peso de una persona contra la alternativa del que el peso aumenta si deja de fumar. 16. Los siguientes son los números de recetas surtidas por dos farmacias en un período de 20 días: Día Farmacia A Farmacia B 1 19 17 2 21 15 3 15 12 4 17 12 5 24 16 6 12 15 7 19 11 8 14 13 9 20 14 10 18 21 11 23 19 12 21 15 13 17 11 14 12 10 15 16 20 16 15 12 17 20 13 18 18 17 19 14 16 20 22 18 17. Utilice la prueba de rango con signo al nivel de significancia de 0.01 para determinar si las dos farmacias, en promedio, surten el mismo número de recetas contra la alternativa de que la farmacia A surte más recetas que la farmacia B. 18. Se afirma que una nueva dieta reducirá el peso de una persona 4.5 kilogramos, en promedio, en un período de dos semanas. Se registran los pesos de 10 mujeres que siguen esta dieta antes y después de un período de dos semanas, y se obtienen los siguientes datos: Mujer Peso antes Peso después 1 58.5 60.0 2 60.3 54.9 3 61.7 58.1 4 69.0 62.1 5 64.0 58.5 6 62.6 59.9 7 56.7 54.4 8 63.6 60.2 9 68.2 62.3 10 59.4 58.7 19. Utilice la prueba de rango con signo al nivel de significancia de 0.05 para probar la hipótesis de que la dieta reduce la mediana del peso en 4.5 kilogramos contra la hipótesis alternativa de que la mediana de la diferencia en pesos es menor que 4.5 kilogramos. 20. Se toman 10 muestras de un baño de cultivo sobre placa utilizado en un proceso de fabricación de componentes electrónicos, y se mide el pH del baño. Los valores de pH medidos son 7.91, 7.85, 6.82, 8.01, 7.46, 6.95, 7.05, 7.35, 7.25, 7.42. Los ingenieros creen que el valor de la mediana del pH es 7.0. ¿ La muestra indica que esta proposición es correcta? Utilice la prueba del signo con = 0.05 para investigar esta hipótesis. Encuentre el valor P de esta prueba. 21. Se mide de manera rutinaria el nivel de impurezas (en ppm) en un producto químico intermedio. En una prueba reciente se observan los datos siguientes: 2.4 2.5 1.7 1.6 1.9 2.6 1.3 1.9 2.0 2.5 2.6 2.3 2.0 1.8 1.3 1.7 2.0 1.9 2.3 1.9 2.4 1.6 ¿Puede afirmarse que la mediana del nivel de impureza es menor que 2.5 ppm? Establezca y pruebe la hipótesis apropiada utilizando la prueba de signo con = 0.05. ¿Cuál es el valor P de esta prueba? Respuestas a los Problemas Propuestos 1. Región crítica X 2 > 15.086, X 2 = 4.47 por lo tanto no rechazar H 0 , el dado está balanceado. 2. Región crítica X 2 > 7.815, X 2 = 10.14, rechazar H 0 . Las nueces no están mezcladas en la proporción 5:2:2:1. 3. Región crítica X 2 > 5.991, X 2 = 1.67, no rechazar H 0 . Los datos se ajustan a una distribución hipergeométrica. 4. Región crítica X 2 > 11.07, X 2 = 2.57, no rechazar H 0 . Los datos se ajustan a una distribución geométrica. 5. Región crítica X 2 > 12.592, X 2 = 12.78, rechazar H 0 . Los datos no se ajustan a una distribución normal. 6. Región crítica X 2 > 5.991, X 2 = 14.6, rechazar H 0 . La presencia o ausencia de hipertensión y hábitos de fumar no son independientes. 7. Región crítica X 2 > 9.488, X 2 = 7.54, no rechazar H 0 . El tamaño de la familia es independiente del nivel se educación del padre. 8. Región crítica –1.96 z 1.96, z= 2.67, rechazar H 0 . 9. Región crítica w - 11 para una n=10, w - = 12.5, no rechazar H 0. 10. Región crítica w + 1 para n = 5, w + = 3.5, no rechazar H 0 . 11. Región crítica z>2.575. z= 2.80, rechazar H 0 , la farmacia A surte más recetas que la farmacia B. 12. Región crítica w + 11 para una n = 10. w + = 17.5, no rechazar H 0 . 13. 2P(R + 8 / p = 0.5) = 0.109 , como no es menor a 0.05, no se rechaza H 0 . 14. H 0 ; H 1 ; P(R + 2/ p = 0.5) = 0.0002, se rechaza H 0 . Devore, J.L. (2000). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias, Quinta Edición, Thomson Learning. Mendenhall, W. (1998). Estadística para Administradores, Segunda Edición, Grupo Editorial Iberoamérica. Montgomery, D.C. y Runger G.C. (1996). Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Ingeniería, Primera Edición, Mc Graw Hill. Sheaffer, R. L. y McClave, J.T. (1990). Probabilidad y Estadística para Ingeniería, Primera Edición, Grupo Editorial Iberoamérica. Spiegel, M.R. (1970). Estadística, Primera Edición, Serie Schaum, Mc Graw Hill DI STRI BUCI ÓN BET A I N T R O D U C C I Ó N Una distribución que permite generar una gran variedad de perfiles es la distribución beta. Se ha utilizado para representar variables físicas cuyos valores de encuentran restringidos a un intervalo de longitud finita y para encontrar ciertas cantidades que se conocen como límites de tolerancia sin necesidad de la hipótesis de una distribución normal. Además, la distribución beta juega un gran papel en la estadística bayesiana. D E F I N I C I Ó N Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución beta de parámetros α y β ambos mayores que 0 si su función de densidad está definida como: Las cantidades α y β de la distribución beta son, ambas, parámetros de perfil. Valores distintos de α y β darán distintos perfiles para la función de densidad beta. Si tanto α como β son menores que uno, la distribución beta tiene un perfil en forma de U. Si α<1 y β≥ 1 , la distribución tiene un perfil de J transpuesta, y si β<1 y α≥ 1, el perfil es una J. Cuando los dos valores son mayores que uno, la distribución presenta un pico en x = (α - 1)/(α + β - 2). Finalmente, la distribución beta es simétrica cuando α = β. Se pueden obtener ejemplos de todas estas formas mediante la utilización del applet situado más abajo, donde dando diferentes valores a α y β se podrán apreciar los diferentes perfiles de la función según estos valores. La función de distribución acumulativa se encuentra definida por: E S P E R A N Z A Y V A R I A N Z A A P L I C A C I O N E S Algunas áreas, en las que se emplea la distribución beta como modelo de probabilidad incluyen la distribución de artículos defectuosos sobre un intervalo de tiempo específico; la distribución del intervalo de tiempo necesario para completar una fase de proyecto PERT, evaluación de programas y técnicas de revisión; la distribución de la proporción de los valores que deben caer entre dos observaciones extremas. La esencia de esta última área tiene relación con los límites estadísticos de tolerancia. Estos límites son muy importantes, especialmente en el control estadístico de calidad donde el control de variabilidad de un producto es esencial. Este control, en general, se lleva a cabo mediante la medición de algunas propiedades del producto o determinando los ajustes que deben hacerse al proceso de producción para mejorar la calidad del producto. Los límites estadísticos de tolerancia no son iguales a las tolerancias físicas o especificaciones límite. Éstos son conjuntos de criterios diseñados para un proceso de producción en particular y que se espera que todas las unidades cumplan. E J E M P L O 1 Los sensores de infrarrojos de un sistema robótico computarizado envían información a otros sensores en diferentes formatos. El porcentaje y de las señales que se envían y que son directamente compatibles para todos los sensores del sistema sigue una distribución beta con α = β = 2. a) Calcule la probabilidad de que más del 30% de las señales de infrarrojos enviadas en el sistema sean directamente compatibles para todos los sensores. b) Calcula la media y la varianza de y. a) La función de densidad de probabilidad para y está dada por: Si sustituimos α = β = 2 en la expresión para f(y), obtenemos: La probabilidad que buscamos es P(y>0.30). Al integrar f(y) obtenemos: b) La media y la varianza serían: