Temario Para Pcg Cientifica 2014
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León Profesor Jorge Gutiérrez REVISADO Y ACTUALIZADO –2008 Profesor Jorge Gutiérrez (módulos 2 y 4) REVISADO Y ACTUALIZADO –2010 Profesor Jorge Gutiérrez Profesor Ricardo Pérez 7 CIENCIA Método BIOLOGÍA VIDA CITOLOGÍA (Célula) ZOOLOGÍA (Animal) Genética (genes) 8 Anatomía (estructura) MICROBIOLOGÍA (Microorganismo s) Fisiología (función) Embriología (desarrollo) BOTÁNICA (Vegetal) Taxonomía (clasificación) Ecología (ambiente) a- 9 10 ´ ´ ´ ´ 11 12 13 14 Esquema resumen de los niveles de organización de los seres vivos 15 16 COMPUESTOS INORGÁNICOS Agua, CO2, Bicarbonatos etc COMPUESTOS ORGANICOS C--H CARBOHIDRATOS C.H.O Energía Monosacáridos Disacáridos Polisacáridos PLANTAS LÍPIDOS C,H,O Reserva Monoglicéridos Diglicéridos Triglicéridos ANIMALES PROTEINAS C,H,O,N,S Estructura Aminoácidos Dipéptidos Polipéptidos ACIDOS NUCLEICOS P,C,H,O,N DNA, RNA Nucleótidos MICROORGANISMOS 17 ´ 18 19 ´ 20 Esquema tomado de Robertis, 1997 21 22 l 23 24 . ´ 25 26 27 28 29 30 31 ´ 32 33 34 ´ 35 l 36 37 38 39 40 41 42 ´ 43 ´ 44 Cuadro Resumen de Organelos Citoplasmáticos y sus Funciones Organelo citoplasmático Función. Retículo endoplasmático rugoso Transporte de proteínas que se forman en su membrana, hacia otros organelos. Retículo endoplasmático liso Transporte de glucosa y glucógeno. Síntesis de esteroides. Biosíntesis de lípidos. Aparato de golgi Lisosomas Degradan moléculas complejas (lípidos, proteínas, carbohidratos y ácidos nucleicos). Vacuolas Almacenamiento de nutrientes en plantas y animales. Peroxisomas Transforman las moléculas de peroxido de hidrógeno, que se forman durante el proceso de ´ respiración celular. Glioxisomas Convierten los lípidos almacenados en la semillas de las plantas en azúcares. Mitocondrias Extraer la energía contenida en los alimentos durante el proceso de respiración celular para la síntesis de ATP. Cloroplastos Convierten la energía solar en energía química, que almacena en los alimentos a través del proceso de fotosíntesis. Citoesqueleto En la movilidad celular, durante el desarrollo embrionario, el movimiento de los orgánulos en la secreción, la fagocitosis y en la separación de los cromosomas durante la división celular. Núcleo Control de las actividades celulares como: síntesis de proteínas y división celular. 45 46 47 bcde- d- 48 49 50 51 52 de la 53 OBJETIVO DEL METABOLISMO Transformar la materia y energía Incorporada del medio ambiente en materia prima de la célula CATABOLISMO Moléculas complejas a simples + ATP Obtener energía utilizable por la célula 54 ANABOLISMO Moléculas simples + ATP a complejas Fabricar los componentes celulares y almacenar sustancias 55 BALANCE DE LA GLICÓLISIS ocurre en el citoplasma 56 57 58 59 ´ Fuente: Robertis, 1997 60 Fuente: Robertis, 1997 61 62 ´ ´ 63 64 65 66 67 Fuente: http://fai.unne.edu.ar/biologia/cel_euca/meiosis.htm n 68 69 70 71 ti 72 ventajosas la 73 ESPERMATOGENESIS OVOGÈNESIS Las espermatogonas en los testìculos se divide varias veces por mitosis Las ovogonas en los ovarios se dividen varias veces Espermatogenia Espermatocito Ovocito primario Ovogenia Primera divisiòn meiotica Primera divisiòn Espermatocito cuerpos polares Segunda divisiòn meióotica Segunda división meiótica Espermatidas òvulo Células espermatidas maduras cuerpo polar 74 75 76 77 a. a. a. a. a. 78 79 ´ ´ 80 ´ ´ ´ ´ 81 82 ´ 83 Figura de una flor. 84 85 n 86 87 ` r 88 89 d ´ carpelo 90 ` ` 91 ´ MODULO 6. LEYES DE MENDEL, ADN Y ARN (ESTRUCTURA) Objetivos: 1.1. Comprender las reglas y las leyes que rigen la herencia. 1.2. Conocer los principales términos utilizados en genética 1.3. Explicar las estructuras químicas del ADN y ARN. I. LEYES DE MENDEL: Mendel, basó sus leyes en experimentos cuantitativos y siguió un pensamiento abstracto, lógico y aplicado a la interpreación de sus resultados. Se dedicó a hibridar guisantes, de una variedad, a la que el polen de otra planta t no podía fecundar y a seleccionar plantas con caracteres alternativos claros (semilla lisa o rugosa, amarilla o verde, tallo largo o corto) luego, se preocupó de cuantificar, estadísticamente, los resultados, lo que le permitió establecer las siguienes leyes estadísticas: t A. La primera ley o de la uniformidad y reciprocidad: dice que al cruzar dos líneas puras, la primera generación estará formada por individuos idénticos, que presentarán solo uno de los caracteres paternos, el dominante. Todos los cruces se representan en los diagramas de Punnett de la figura 1-A Figura 1-A: Cruce de homocigotos con un solo carácter: Gametos: A= semilla amarilla a= semilla verde A a Aa a Aa A Aa Aa Descendencia : 100% Aa Genotipo: 1(Aa) Fenotipo: semilla amarilla En un segundo cruce, fecundó los híbridos obtenidos entre sí y observó que el carácter recesivo, reaparecía en la segunda generación en un 25 % de los hijos (ver figura 1-A1 de Punnett). 92 Figura 1-A1: Cruce de heterocigotos con un solo carácter: Gametos: A= semilla amarilla a= semilla verde A a A AA Aa a Aa aa Descendencia : 25% AA homocigoto dominante 50% Aa heterocigoto 25% aa homocigoto recesivo Genotipo: 1:2:1 Fenotipo: 3 semilla amarilla (A): 1 semilla verde (a) Luego, fecundó un híbrido, obtenido en la segunda generación con uno de la línea pura o parental y obtuvo una tercera generación, compuesta por un 50% que presentaba el carácter en dominancia y otro 50% que lo presentaba en recesividad (figura 1-A2). Figura 1-A2: Cruce de heterocigoto con homocigoto con un solo carácter: Gametos: A= semilla amarilla a= semilla verde A a Aa a Aa a aa aa Descendencia : 50% Aa, 50% aa Genotipo: 1(Aa): 1(aa) Fenotipo: 1 semilla amarilla (A):1 semilla verde (a) A partir de estas hibridaciones, Mendel estableció la segunda ley o de la segregación y pureza de los gametos: diciendo que el carácter era controlado por un factor (ahora sabemos que es un gen), que se transmite sin mezclarse; pero que puede separarse en el híbrido y entrar, en gametos diferentes, para distribuirse después entre la descendencia. Posteriormente, cruzó progenitores con dos caracteres diferentes y dedujo la tercera ley (Figura 2-A y 2-A1), de la distribución independiente o de la libre combinación de factores hereditarios: deduciendo que cuando dos o más factores hereditarios se segregan, simultáneamente, la distribución de cualquiera de ellos es independiente de los demás. 93 94 e, Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_sangu%C3%ADneo. Modificado. 95 ´ 96 97 98 ´ ´ ´ ´ ¿ ´ - ? 99 ´ a- N o- a - ch e . 100 101 102 ´ ´ ´ Fuente: Robertis, 1997 103 104 que 105 106 ,q 107 1. a. b. c. d. a. b. c. d. a) a).. a) a) 108 ´ ns a. c. 109 l 110 Árbol Filogenético Universal 111 i- 112 Categorías de clasificación y concepto de especie La clasificación de los seres vivos se realiza en varias categorías. La categoría más grande de la clasificación es el reino, que se divide en filum. A su vez, el filum contiene varias clases que abarcan varios órdenes, Un orden reúne varias familias, las cuales se dividen en géneros. Cada género está constituido por una o varias especies. En el cuadro siguiente se observa la clasificación de diferentes seres vivos: Categoría Taxonómica Reino Hombre Animalia Filum Chordata Clase Orden Saltamontes Animalia Bacteria de Diente de león Plantae Protista Arthropoda Tracheophyta Schizomycophyta Mammalia Primates Insecta Orthoptera Angiospermae Campanulales Schizomycetes Eubacteriales Familia Hominidae Acridiidae Compositae Bacteriaceae Género Homo Schistocerca Taraxacum Eberthella Especie Homo sapiens Taraxacum officinale Eberthella typhosa Schistocerca americana i 113 114 m: nis 115 116 ´ 117 R 118 y ´ ´ ´ ´ 119 Omnívoros Omnívoros Consumidores terciarios 120 121 ´ 122 a ´ ´ r ´ ´ ´ ´ 123 ´ 124 - 125 126 s s 127 ´ l pl 128 Área Cientifica Matemática MATEMÁTICA AUTORES Profesor Profesora Profesora Profesora Belisario Brandao Myrta C. de Jaén Gladys de Sanjur Leydis de Silvera REVISADO Y ACTUALIZADO –2006 Profesora Leydis de Silvera Profesor Edis Flores REVISADO Y ACTUALIZADO –2008 Profesora Guadalupe Melo Profesora Gladys Bonilla 105 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 1: TEORÍA DE CONJUNTOS Objetivos 1. Construir ejemplos de conjuntos. 2. Determinar conjuntos por comprensión y extensión. 3. Determinar la unión, intersección y complemento de conjuntos. 4. Clasificar los números reales como naturales (IN), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I). 5. Enunciar las propiedades de la adición y la multiplicación en IR. 6. Representar el orden sobre la recta real. 7. Definir los intervalos como conjuntos de puntos. 8. Calcular el valor absoluto de un número. 9. Expresar potencias con exponentes negativos como potencias con exponentes positivos y viceversa. 10. Expresar potencias con exponentes fraccionarios como radicales. 1. Conjunto: Colección bien definida de objetos, llamados elementos. Notación de Conjuntos: Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas. Ejemplo: A, B, C. Los conjuntos pueden escribirse entre llaves y separando sus elementos por comas (,). Por ejemplo R ={0,3,7,}. Los elementos de un conjunto se denotan por letras minúsculas. Ejemplo: a, b, c, d son elementos. Los elementos de un conjunto no deben repetirse. El orden de los elementos no es importante. R = {a, b, c} = {c, b, a} = {b, c, a} Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto utilizamos el símbolo y el signo para no pertenece. Ejemplo: R = { 0, 3, 7, 8}; 0 2. R; 4 R. Determinación de conjuntos: Para determinar un conjunto, lo podemos hacer de dos (2) maneras: a. Por Extensión: Se dan en forma explícita sus elementos; como letras, números o nombres de objetos. Ejemplo: A = {Domingo, Lunes, Martes, Jueves, Sábado}. b. Por Comprensión: Se da una propiedad o criterio de pertenencia que nos permite decidir si un elemento pertenece o no al conjunto considerado. En forma general se describe: A = {x | p(x)}donde p(x) es la propiedad de criterio. Ejemplo: A = {x | x es un día de la semana}. 2.1.Clases de conjuntos: 1. 1 130 Conjunto Vacío: Aquel que carece de elementos. Se denota por ó {}. Área Cientifica 2 Matemática Conjunto Finito: Consiste de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto, el proceso de contar puede acabar. Ejemplo: X = {a, b, c, d, ..., y, z}; A = {x | x es el número de dos dígitos}; Y = {a, e, i, o, u}. 3 Conjunto Infinito: Aquel que no es finito. Ejemplo: B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 3. Relación de inclusión de Conjuntos: Definición de Subconjuntos: Dados dos conjuntos A y B, si cada elemento del conjunto A es elemento del conjunto B, entonces se dice que A es subconjunto de B. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ⊂ B. Observaciones: 1. Si A ≠ B y A ⊂ B, se dirá que A es subconjunto propio de B. 2. Si A = B y A ⊆ B, se dirá que A es subconjunto impropio de B. 3. Sea E un conjunto cualquiera, φ ⊂ E. 4. Operaciones fundamentales con conjuntos: Unión de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos, A ∪ B = {x | x ∈ A ó ∈ B}. Ejemplo: A = {1, 2, 3}, C = {a, b, c}; A ∪ C = {1, 2, 3, a, b, c}. Intersección de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos, A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}. Ejemplo: A = {1, 2, 3}, C = {a, b, c}; A ∩ C = {x | x ∈ A y x ∈ C} = φ. Complemento de un Conjunto: Sea E un conjunto de referencia (Universal) y A ⊂ E, el complemento de A con respecto al conjunto E, denotado: A C E = {x | x ∈ E y x ∉ A} A Ejemplo: Sea E = {x | x es vocal}, A = {a, e, o}; C E = {i, u}. Diferencia de dos Conjuntos: La diferencia del conjunto B con respecto al conjunto A se denota A - B y A - B = {x : x ∈ A y x ∉ B}. 131 131 Dirección General de Admisión Temario Los Números Reales: El con juntos de los números reales denotado por IR está constituido por subconjuntos de importancia tales como: Números Reales IR Números Racionales Q = {a/b,| a, b ∈ Z, b ≠ 0} Números Irracionales I, no tienen representación fraccionaria o decimal. Números Enteros Z Números Negativos Cero Números Positivos llamados Naturales IN = {1, 2, 3, ...} En el conjunto R = Q ∪ Ir, se verifican las siguientes propiedades: Si 0 y 1 son números especiales conocidos como cero y uno respectivamente y las letras a, b, c representan números reales, se tiene que: 1) a + b = b +a; ab = ba Propiedad Conmutativa. 2) a+(b+c) = (a+b)+c; a(bc) =(ab)c Propiedad Asociativa. 3) a) Para a ∈ R, existe -a ∈ R tal que a + (-a) = 0 Inverso Aditivo. b) Para cada a ≠ 0, a ∈ R, existe 1 ⎛1⎞ tal que a⎜ ⎟ = 1 . a ⎝a⎠ 4) a(b+c) = ab + ac; (a+b)c = ac + bc Inverso Multiplicativo Propiedad Distributiva. Observación: 1. El cero suele denominarse neutro aditivo y el uno (1) neutro multiplicativo. 2. -a recibe el nombre de inverso aditivo de a (u opuesto de a). 3. Si a ≠ 0, 1 es llamado inverso multiplicativo de a (o recíproco de a). a Definiciones: a-1 = 132 132 1 . a Área Cientifica Matemática Ejemplo: 1) ( 7 x 5 ) 7 = 7 ( 7 x 5 ) propiedad conmutativa. 2) 9 ( 4 + 5 ) = ( 4 + 5 ) 9 propiedad conmutativa. 3) ( 4 x 5 ) 4 = 4 ( 5 x 4 ) propiedad asociativa. La recta Real o Numérica Es posible asociar el conjunto de los números reales con el conjunto de puntos en una recta de modo que a cada número real le corresponda un punto y cada punto de la recta, le corresponda exactamente un número real. Para ello se escoge un punto arbitrario llamado el origen y se asocia con él, el número real 0. los puntos asociados con los enteros queda determinado al marcar segmentos de recta espaciados de igual longitud a cada lado de 0. -3 -2 -1 0 1 2 3 Observaciones: 1) Los números que corresponden a los puntos del lado derecho de 0 son llamados números reales positivos y del lado izquierdo negativos. Orden y Desigualdades: Orden: Si a y b son reales y a -b es positivo, se dice que a es mayor que b y se escribe a > b, y si a –b es negativo se dice que b es mayor que a y se escribe b > a. Desigualdades: Los símbolos < ó > se llaman signos de desigualdades y las expresiones b < a; a > b se llaman desigualdades. Ejemplo: a. - 2 < 1 dado que 1 + 2 es positivo. b. –5 < 0 dado que 0 + 5 = 5 es positivo. Intervalos: Los intervalos son conjuntos especiales que tiene una representación gráfica particular, los hay de cuatro tipos: a. Intervalo Abierto: se denota (a, b), se define como {x | a < x < b} y se representa por: ( a ) b b. Intervalo Cerrado: se denota por [a, b], se define como {x | a ≤ x ≤ b} y se representa por: [ a c. ] b Intervalo Semi-Abierto o Semi-Cerrado: Ejemplo: (a, b] = {x | a < x ≤ b} y se representa por: ( a ] b 133 1 Dirección General de Admisión Temario Intervalo de Extremo Infinito: d. Ejemplo: (- ∞ , a] = {x | x ≤ a} (a, ∞) = {x | x > a} Se representan respectivamente por: -∞ ] a +∞ -∞ ( a +∞ Valor Absoluto: |a| = a si a ≥ 0 a si a < 0 - Ejemplo: 1. 3 =3 2. 2 2 3. =2 - 2 = - (-2) = 2 2 Potencias y Exponentes: Notación: Toda potencia consta de una base y un exponente, be, donde b es la base y e el exponente. a ⋅a 4⋅ a ⋅⋅⋅⋅ a ⋅ Definición: Si n ∈ Z + entonces a n = 144 a244⋅4 3 n veces Ejemplo: 3 ⎛1⎞ ⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞ 1 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠⎝ 2⎠⎝ 2⎠ 8 (-3)3 = (-3) (-3) (-3) = -27 Propiedades de las Potencias: Si a, b son reales y m, n enteros positivos; a, b ≠ 0: 1) am an = a m+n 2).(am)n = a n 4) an ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = n ,b≠0 b ⎝b⎠ 7. a-n = 1 a Ejemplo: 1) 2) 134 a3 ⋅ a 4 = a 7 a5 a2 134 = a3 n 5. am 8. b an m =a mn 3.(ab) m–n 6. a0 = 1 m n ⎛ 1 ⎞ = ⎜b n ⎟ = ⎝ ⎠ ( b) n m = n bm n =a n b n Área Cientifica 3) Matemática 2 a 1 = a -3 = 3 a5 a 4) ( a-2 b3 ) -3 = a 6 b-9 = 6 a b9 5) ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎜ 4a 3 ⎟ ⎜ 2a 2 ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ 1 1 5 ⎞ ⎟= 8 a 3 a 2 = 8 a 6 ⎟ ⎠ 6) (r s ) = r s2 2 1 6 3 2 3 Práctica # 1 I.- Escriba cada uno de los siguientes con jun tos por ext ens ión: 1. {x|x letra de la palabra verano} 2. {x|x letra del nombre del lect or} 3. {x|x números del reloj} 4. {x|x entero entre 7 y 10} 5. {x|x entero, O ≤ x ≤ 5} II.- E scriba cada uno de los sig uientes conjuntos por comprensión: ⎧1 1 1 1 ⎫ , , , ⎬ ⎩1 3 5 7 ⎭ 1. ⎨ 2.{2,3,4} 3.{2,4,6} 4.{w,x,y,z} 5.{1,4,7,10,13} III.- Diga si las sigui entes proposici ón son verdaderas o n o. Justi fi que su respuesta. a) 5 ∈ {x| x entero, x < 5} b) 5 ∉ {15,20, 25} c) 3 ∉ {x/ x entero, x < 5} d) 8 ∈ {O, 8, 9} e) 12 f) 1 ∈ {0.25, 0.5, 0.75} 2 ∉ {x/x es par} 135 135 Dirección General de Admisión Temario IV.- Trac e la gráfi ca d e cad a con junt o dado, con x ∈ ℜ 1. {x| x entero, 2 ≤ x ≤ 8} 2. {x|x>5} 3. {x|x> 1 7 } 2 4. {x/ 1 < x <10 } 2 3 5. {x/ 3 ≤ x ≤6} V.- D iga si la p roposici ón es verdadera o no. Justifique la respuesta. 1.{1,3,6} ⊂ {7,6,5,4,3,2,1} 2. {0,2} ⊂ {1,3,2,4} 3. {x/x estudiantes de secu ndaria}⊂ {x|x persona que estudia álgebra} 4. {0} ⊄ {10,6,8} 5. ∅ ⊂ {0} VI.- Sea U = {a, b, c, d, e, f, g , h} y A = {a, b, c, d}, B = {a, b, e, f, g }, c = {b, c, e, h}, exprese cada conjunto por extensión : a. A ∩ B A b. A ∪ B c. CU d. (A ∩ B) ∪ C e. A B CU ∪ CU f. B CU ∩ C VII. Justifiqu e la igualdad, haciendo uso de sólo un a de las sigu ien tes p ropiedades: conmutativa, asoc iativa, elemento unidad, el emento inverso, distributiva. 1) (2x5)2 = 2(2x5) 2) 3(4+5) = (4+5)3 3) (4x5)4 = 4(5x4) 4) (4+5)3 = 4x3 + 5x3 5) 3(5+0) = 3x5 6) 3 + (-3) = 0 7) 1(2+3) =2+3 8) (1+2)+1=1+(1+2) 9) ( 1 ) • 4=1 4 VIII.- Exp rese el enu nciado en términos de desigualdad 1) - 8 es menor q ue - 5 4) 2 es menor que π 7) a está entre 5 y 3 2) 2 es mayor que 1.9 3) O es mayor que –1 5) x es negativo 6) y es pos itivo 8) b es mayor o igual a 2 9) c no es mayor qu e 1 IX .- Evalu ar las expresiones : 1) |3|+|6| 6) -(2|-5|) 136 2) |-4|+|-8| 7) (|-23|+|15|) 136 3) |-13|+|12| 4) -|-7| 5) -|5|+|7| Área Cientifica Matemática X.- Simplifique las expresiones siguientes: 1) (-2)4 2) (-3)2 - 23 3) 5 −2 2 −5 4) 2-4 + (-4)2 5) (16,478)° 2 (6 x )(2 x ) 9) (3 x ) 2 4 2 18c 11 1 6) (-3b )(4b )( b7) 6 7) 10) (m4)(-4m3)(3m-2) 11) (3x 3y 4w-9)0 12) 14) (3x-2 yz3 )4 15) (a+b)2 (a+b)-2 4 2 3 3 8) (5y )(-2y ) (6c ) 4 2 (4c )(− 3c ) −3 ⎛ 3x 2 y 3 ⎞⎛ 2 xy 4 ⎟⎜ 3 ⎟⎜ 5 ⎝ 4 x ⎠⎝ 6 x 13) ⎜ ⎜ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ -2 -2 16) (- 4a b ) 7 6c 2 ⎛ a − 2 ⎞⎛ b ⎞ 18) ⎜ − 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜b ⎟ a ⎝ ⎠⎝ ⎠ -1 -1 17) (cd ) 2 5 −2 XI. Simplifique: a) 1400 b) f) g) 4 81x 5 s 8 x 3 c) 7 3 3 8 16 x y z d) 3a b 4 2 ( 2r − s ) 3 h). ( 3 5 6a b 27 a 3 b 2 c ) 2 27 x 3 e) 8y5 6a 5 b 3 i) 12 a 6 b XII.- Escriba las expresiones dadas con exponentes fraccionarios. a) 4 x3 b) 3 (a + b ) 2 c) x2 + y2 d) 3 e) 8y3 5 XIII.- Escriba las expresiones dadas con radicales. 3 a) 4 2 b) (4x ) 2 3 3 c) 4+ x 2 d) (4 + x ) 2 3 1 f) (8 − y ) 3 1 137 137 Dirección General de Admisión Temario XIV. Simplifique la expresión dada: 1) 16 3 2 ( 2) (0.027 ) 6) − 8w ) 2 6 3 3) (− 243) 1 3 ⎛ 1 3⎞ 7) ⎜ 6 x 3 y 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎜w 3 8) ⎜ 3 ⎜ w2 ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞ 4) ⎜ 2u 2 ⎟⎜ 6u 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 6 ⎛ 1⎞ 5) y ⎜ 8y 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (x y ) 9) (x y ) 2 5 ⎛ 1 ⎞2 10) ⎜ ⎟ ⎝ 4x ⎠ − −4 2 1 2 1 3 −3 1 6 1 XV. Escriba las expresiones dadas como un radical con el menor índice posible 1) 3 x3 2) 4 u2 3) 9 4) c3 6 r3 s9 RESPUESTAS I Respuestas: 1) A = {v, e, r , a, n, o} 2) B = {J , u , a, n} o cualquier otro nombre 3) C = { ,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (los números horarios del reloj) 1 4) D = {8,9} 5) E = {0,1,2,3, 4,5} II. Respuestas: 1. 2. 3. 4. 5. 138 1 ⎧ ⎫ , y 3 ≤ n ≤ 9, con n impar ⎬ ⎨x / x = n−2 ⎩ ⎭ {x / x es entero entre 1 y 5} {x / x es entero par entre 1 y 7} {x / x es 4 últimas letras del alfabeto} {x / x = 1 + 3n, y 0 ≤ n ≤ 4, con n entero} 138 5) 3 xy 2 4 x3 y 6) ab 3 3 a2 b Área Cientifica Matemática III. Respuestas: (Verdadero y Falso) a. Falso, 5 no pert en ec e a este conjunto. d. Verdadero, 8 pertenece al conjunto. b. Verdadero, 5 no está en este conju nto. e. Falso, 12 es par y pertenec e al con junto. c. Falso, p ues 3 es elemento del conjunto f. Verdadero, 1 2 es equivalente a 0.5 que es elemento del conjunto IV. Respuestas. (trazo de grafica sobre el conjunto de los números reales) 1) 2) 3) 4) [2 3 4 7 8] 5 (son solo puntos, se trata de números enteros) +∞ (###################### −∞ 71 2 (####################) 31 2 5) 10 +∞ +∞ [##########] −∞ V. 6 (############# −∞ −∞ 5 3 6 +∞ Respuestas: (Verdadero y F also) 1) Verdadero, l os elementos 1, 3 y 6 están contenid os en el con junt o mayor. 2) Falso, 0 no es elemento del conju nto mayor. 3) Verdadero, t odos los es tudiantes de secundaria estud ian ál gebra. 4) Verdadero, 0 no perten ece al c onjun to mayor. 5) Verdadero, el c onjunt o vacio esta contenido en todos l os c onjuntos. VI. Respuestas. a) A I B = {a , b} d) (A I B ) U C = {a, b ,c, e, h} b) A U B = {a , b, c, d , e, f , g } e) A B CU U CU = {c, d ,e, f , g , h } c) A CU = { , f , g , h } e f) B CU I C = { , h } c 139 139 Dirección General de Admisión VII. Temario R espuestas (propiedades de los números) 1) C o n m u ta ti v a . 6) Elemento inverso aditivo 2) C o n m u ta ti v a 7) Elemento neutro multiplicativo 3) Asociativa respecto al producto 8) Asociativa respecto a la adición 4) D i s t r i b u t iv a 9) Elemento inverso multiplicativo 5) Elemento neutro aditivo VIII. R espuesta (Expresiones con desigualdades) 1) − 8 < −5 6) y>0 2) 2 > 1.9 7) 3<a<5 3) 0 > −1 8) b≥ 2 4) 2 <π 9) c ≤1 5) IX. x<0 R espuestas: (Evaluar expresiones num éricas) 1) 5) 2 2) 12 6) -10 3) 25 7) 38 4) 140 9 -7 140 Área Cientifica Matemática X. Respuestas: (Simplificación de expr esiones) 1) 16 11) 1 2) 1 12) − 2c 2 13) y7 4x 5 32 25 3) 4) 1 16 16 14) 5) 1 8 1y 4 z 12 x8 6) 15) 1 7) 1 3 c 2 16) b4 16a 6 8) − 40 y 11 17) 9) 32 81 d c 10) X I. − 2b 13 − 12m 5 18) 1 Respuestas: (Simplificación de expresiones algebraicas) a) 10 14 f) 3xs 2 4 x b) x3 x g) (2r − s) c) 2x y 2 z 3 2 y 2 z h) 27a 3 b 2c d) 3a 3b 2 2 a i) e) 3x 2y 2 b 2a 3x 2y XII. Respuestas: (expresiones con exponentes fraccionarias) 3 4 a) x b) (a + b ) c) (x d) 53 2 2 3 + y2 ) 1 2 1 141 141 Dirección General de Admisión XIII. Temario Respuestas: (expresiones con radicales) (4 + x )3 a) 43 d) b) (4 x )3 e) 83 y c) 4 + x3 f) 3 8−y XIV. Respuestas: (Simplificación de expresiones) 1) 64 2) 3 10 2 7) 36 x 3 y 3 8) 1 w 11 3) 9 4) 12u 3 9) x3 y2 5) 8 10) 6) 1 2 x 4w 4 y XV. Respuestas (radicales con menor índice) 1) x 2) 3) u 3 r ⋅ s3 4) 5) 12 6) 142 6 142 c x 13 y 11 b7 a 8 1 Área Cientifica Matemática MÓDULO 2: OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS, ECUACIONES LINEALES, ECUACIONES CUADRÁTICAS E INECUACIONES Objetivos: 1. Simplificar fracciones algebraicas. 2. Determinar el mínimo común denominador de dos o más fracciones algebraicas. 3. Sumar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas. 4. Simplificar fracciones algebraicas compuestas. 5. Resolver ecuaciones lineales enteras fraccionarias y con dos incógnitas. 6. Emplear el concepto de ecuación lineal en la resolución de problemas de aplicación. 7. Resolver ecuaciones cuadráticas por los métodos de factorización, completar cuadrado, fórmula general. 8. Resolver inecuaciones enteras y fraccionarias. 9. Resolver inecuaciones lineales con valor absoluto. 10. Resolver inecuaciones de segundo grado del tipo ax2 + c ≥ 0 ó ax2 + c < 0 con a ≠ 0. Operaciones con Fracciones algebraicas. Las expresiones algebraicas que involucran la operación de división se llaman expresiones fraccionarias. Algunos ejemplos son: a b + 2c; 2+x ; x2 - 4 a b 2+ b a El tercer ejemplo es lo que se denomina fracción compuesta o compleja, pues posee fracciones como términos en su numerador o su denominador. Las expresiones fraccionarias aparecen con bastante frecuencia y a menudo se hace necesario reducir las fracciones compuestas a fracciones simples o cambiar la forma de las expresiones de manera que pueden combinarse por adición en una sola fracción. Definición: Se dice que un polinomio A divide a un polinomio B, si A es un factor de B. Ejemplo: (a + b) divide al polinomio a2 – b2 pues a2 – b2 = (a – b) (a + b) y a + b es un factor de a2 – b2. Definición: El mínimo común múltiplo (M. C. M) de un conjunto de polinomios, es un polinomio L, tal que L es dividido por todo múltiplo común de M. Ejemplo: La expresión ab, 2a2, 6b2, 4a2 b3 tienen como M. C. M., 12 a2 b3. 143 143 Dirección General de Admisión Temario Pasos para encontrar el M. C. M. De un conjunto de expresiones: 1. Se escribe cada expresión en forma factorial: ab, 2a2, 2 ∗ 3 b2, 22 a2 b3. 2. El M. C. M. debe contener a cada parte a la mayor potencia con que aparece en cualquiera de las expresiones dadas: (22) (a2) (b3) (3) = 12 a2 b3 M. C. M. Observaciones: Se pueden combinar cualquier número de fracciones, si se hallan primero las fracciones equivalentes, todas las cuales tengan un mínimo denominador. Operaciones con Fracciones Algebraicas 1) Combinar 2 b 3a + 2+ 2 3ab 2a b a) El M. C. M. de los denominadores es 6 a2 b2. b) Luego: ( = 2) x 2 - 6x + 9 2 x -1 ) ⋅ ) 4ab + 3b3 + 18 a 3 6 a 2 b2 2x - 2 ( x - 3 )2 = x -3 ( x +1) ( x -1) ⋅ 2 ( x -1 ) x -3 = 2 ( x -1) ( x - 3 ) 2 ( x + 1 ) ( x -1 ) ( x - 3 ) = 3) Divida: ( 2 b 3a 2 ( 2ab ) + b 3b 2 + 3a 6a 2 + 2+ 2 = 3ab 2a b 6 a 2 b2 2 ( x -3) x +1 x-y (x+ y)(x-y) x 2 − y2 entre 2 = x + 3y x + 3y x + 3xy ⋅ x ( x + 3y ) x-y = x(x+ y) a b b a 4) Fracción Algebraica Compuesta: 1 1 3 a b 3 144 144 - b 2 ab 3 b - a 3 a 3 b 3 a = 2 Área Cientifica Matemática = ( a - b ) ( a + b) a3 b3 ⋅ ab ( b - a ) ( a 2 + ab + b 2 ) = - ( b - a ) ( a + b ) a 2 b2 ( b - a ) ( a 2 + ab + b 2 ) a 2b2 ( a + b ) = 2 a + ab + b 2 Ecuaciones Lineales Ecuaciones: Igualdad entre dos expresiones algebraicas. Ejemplos 1. x + 3 = 0 2. x2 – 5 = 4x 3. (x2 – 9) 3 x +1 = 0 Observaciones: 1. El valor o los valores de la variable que satisface la ecuación se llaman raíz o solución de la ecuación. 2. Atendiendo a la solución o raíz se tienen 3 tipos de ecuaciones: Identidad: se verifica para cualquier valor. Condicional: se verifica para ciertos valores la variable; Contradictoria: la Igualdad no se verifica para ningún valor. 3. Resolver una ecuación, significa encontrar todas las soluciones. 4. El método para resolver una ecuación es transformar la ecuación original en otra equivalente a la anterior de manera más sencilla que la que le precede y terminar en una ecuación que permita la solución de la misma. Definición: Una ecuación de 1er grado en una variable es una ecuación que puede ser escrita en la forma ax + b = 0 donde a ≠ 0. Ejemplo: Resuelva la ecuación: 2x - 5 = 3 Solución: 2x - 5 = 3 2x = 3 + 5 2x = 8 x=4 145 145 Dirección General de Admisión Temario Observación: A una ecuación del tipo ax + b = 0 se le llama ecuación lineal en x. Definición: Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es de la forma ax + by = c donde a, b, c son constantes. Ejemplo: 1. 3x – 4y = 20 2. 2x – y = 2 3. x – y = 4 Observación: Una ecuación de 1 er grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Fórmula: Una ecuación que expresa una propiedad o relación entre magnitudes. Ejemplo: Resuelva para la variable c la siguiente fórmula S = C ( 1 + it ) S = C 1 + it Aplicación de la ecuación de primer grado. Las calificaciones de un estudiante son 64 y 78. ¿Cuánto debe ganar en una tarea o examen para obtener un promedio de 80? Solución: a) Sea X la calificación de la tarea o examen. b) El promedio de los 3 exámenes es: c) Debe tener 80 de promedio: 64 + 78 + x 3 64 + 78 + x = 80 y se encuentra que x = 98. 3 Ecuación Cuadrática Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 +bx +c = 0, donde a, b y c son reales ya≠0 Métodos de Resolución de la Ecuación Cuadrática: 1. Por factorización, resuelva: 3x 2 + x – 10 =0 Factorización : 3x 2 + x – 10 = 0 (3x – 5) (x + 2) = 0 ⇒ 3x – 5 = 0 y x + 2 = 0 X1 = 146 146 5 3 Y X 2= -2 Área Cientifica Matemática −b± 2. Por la fórmula Cuadrática: x = a = 3, b = -1, c= -10 x = − (− 1) ± b 2 − 4 ac , resolviendo 3x 2 – x – 10 = 0, por tanto 2a (− 1)2 − 4 (3 )(− 10 ) 2 (3 ) = 1 ± 1 + 120 6 x = x= Luego: x 1 = 1 ± 121 6 1 ± 11 6 1 + 11 1 − 11 y x2 = 6 6 x 1= 2 y x 2 = -10/6 = -5/3 3. Com pletando Cuadrado: 3x 2 - x –10 = 0 3x 2 – x = 10 3x 2 x 10 − = 3 3 3 x2 − 1 1 10 1 = + x+ 3 36 3 36 1⎞ ⎛ ⎜x − ⎟ 6⎠ ⎝ x− 2 = 121 36 1 121 11 =± =± 6 36 6 x = 1 11 ± 6 6 x1 = 1 11 1 11 5 + = 2 y x2 = − = − 6 6 6 6 3 Inecuaciones Lineales Y Cuadráticas Para trabajar Inecuaciones o desigualdades debemos conocer las 4 propiedades fundam entales: Sean a, b, c ∈ IR. 1. Si a > b y b > c, entonces a > c. 2. Si a > b, entonces a + c > b + c. 3. Si a > b y c > 0, entonces a c > b c. 4. Si a > b y c < 0, entonces a c < b c. Solución de una Inecuación: Si tenemos una desigualdad o inecuación en x, y obtenemos un enunciado verdadero cuando un número real a, se reem plaza por x, entonces a se denomina solución de la inecuación o desigualdad. 147 147 Dirección General de Admisión Temario Observaciones: 1. Resolver una inecuación significa encontrar todas las soluciones. 2. Para resolver una desigualdad se procede en forma análoga a las ecuaciones, esto es, se reemplaza por una cadena de desigualdades equivalentes hasta llegar a una para la cual la solución es obvia. Ejemplo: 1. Resuelva: -3x + 4 > 11, y de la solución en forma de intervalo, gráfica y en conjunto. Solución: -3x + 4 > 11 -3x > 11– 4 x < −7 3 x ∈ (– ∞, − 7 ) 3 ) −7 -∞ | +∞ 0 3 { x ∈ IR : x < − 7 3 } 4 - 3x < 1 presente la solución en forma de intervalo, gráfico y en conjunto. 2 2. Resuelva − 5 ≤ Solución: 4 - 3x <1 2 - 10 ≤ 4 - 3x < 2 - 10 - 4 ≤ - 3x < 2 - 4 −5≤ - 14 ≤ - 3x < - 2 14 2 ≥ x > 3 3 ( x ∈ 2 , 14 3 3 ] | -∞ 0 { x ∈ IR : 2 148 148 3 (/////////////////] 2 14 3 3 < x < 14 } 3 +∞ Área Cientifica Matemática Inecuaciones con Valor Absoluto Para trabajar este tipo de inecuaciones debemos conocer las propiedades de los valores absolutos con desigualdades. Si a, b ∈ IR 1. | a | < b ⇔ -b < a < b. 2. | a | > b ⇔ a > b ó a < -b 3. | a | = b ⇔ a = b ó a = -b Ejemplo: Resuelva | x - 3| < 0.1 Por la propiedad 1 se tiene que: -0.1 < x – 3 < 0.1 Solución: (2.9, 3.1) o -0.1 + 3 < x < 0.1 + 3 {x | 2.9 < x < 3.1} 2.9 < x < 3.1 (/////////////////////////////////////) 2.9 3.1 Inecuaciones del Tipo ax2 + C ≥ 0 Para este tipo de Inecuaciones se puede despejar x2 y luego aplicando la propiedad. x2 > d ⇔ |x| > d1/2 ⇔ x > d1/2 ó x < -d1/2 1 1 1 8 ⎛ 8⎞2 ⎛ 8 ⎞2 ⎛ 8 ⎞2 Ejemplo: Resolver -3x + 8 ≥ 0 ⇒ -3x ≥ -8 ⇒ x ≤ ⇒ |x| ≤ ⎜ ⎟ ⇒ - ⎜ ⎟ ≤ x ≤ ⎜ ⎟ 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 2 2 2 1 1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎛ 8 ⎞2 ⎛ 8 ⎞2 ⎟ Solución: ⎜ - ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎟ ⎜ ⎝ 3⎠ ⎠ ⎝ 149 149 Dirección General de Admisión Temario Práctica # 2 I. Red uce las fr acciones a un término mínimo. 2. a 2 + a -6 ax - ay - x + y 5. ax+ ay- x - y II. 6x3y2 - 6x3 3x3y3 - 3x3 6. a2 - a - 2 1. (a - b)2 - c2 a - ( b + c)2 4 xy 2z 8x 2 y - 4xy2 3. a - 6a + 9 (x 3 -1)(x2 -1) 7. 2 a3 - 27 4. 2 (x - 1)(x +1)3 Efectué las siguientes oper aciones y simpli fi que: 9 9 1. 2y + 4. 4-x y- 4 (y - x )(2 - x ) (x - y )(2 - y ) x ⋅ 2 7. III. - y + 3 3- y ⎛ 1 1⎞ ⋅⎜ - ⎟ 2 ⎟ ⎜ x - xy ⎝ x y ⎠ x 5. 8. 3. (x - 1)⎛ x + 1 + x2- 1⎞ ⎟ ⎜ ⎠ 2 ⎝ a 2 + 3a + 9 ÷ a-2 a2 - 4 a 3 - 27 1 b -a 2a - b - 2 2 a + b b (b + a ) b - a 6. a a b + + a - b a + b b-a 2. x xy - y ⋅ ⋅ (x + 1) y x3 - x x x -1 9. x 1x-1 1+ 10. 1- 1 1 1+ 1 a Res uelva las siguientes ecu ac iones: 1) 5x – 1 = 3x + 2 2) 6x – 1 = 2x – 13 3) 3 ( 5a – 2) + 4 (1 – 3a) = 0 4) 3 (b + 2) – (b - 4) = 0 5) 7 (4y + 15) – 6 (8y + 4) = 1 1⎞ 1 ⎛1 x - ⎟ = (8x + 6 ) ⎝ 2 2⎠ 2 6) 4 ⎜ 7) 8) 3a - 1 = 2a + 3 2 9) 10) y-6 1 y- = 26 2 11) a - 2 a -1 + =3 2 3 1 2) 13) IV. 1 1 1 x - + x -5 = 4 2 3 2a - 1 = 10 3 - 5a b =2- 2b - 4 3 2y - 5 3y + 2 5 + = 5 3 6 Res uelva los sigui ent es pr oblemas: 1. Con ob jeto d e aumen tar sus vent as , el pr opietario de una tienda, r evuelve nueces de B /. 12.00 el kil o con 30 kil os de Avellanas de B /. 15.00 el kilo y vende la mezcla a B/. 13.80 el kilo. ¿ Cuántos kil os de n uec es necesita? 2. Resp.: 20 ki los. Cinco veces un número es 10 unidades más que el triple del mi smo númer o. Hallar el númer o. Resp: 5. 3. Un a barra de 6 0 cm de longi tud se c orta en dos ped azos, uno de ellos es 5 centí metr os más corto q ue el otr o. Hall ar la l ongitud de cada pieza. 150 150 Resp : 27½ cm y 32½ cm. Área Cientifica Matemática 4. El n umerador de cierta fracción es 5 unidades mayor que el denomin ad or. Si el numerador se disminuye en 9 y el denominador se aumenta en 1, l a frac ción que result a es ½. ¿Cuál es la fracción? Resp: 14 . 9 5. Un lote de 18 mon ed as de 0.10 y 0.25 tiene u n valor total de B/. 2.25. Hallar el número de cada tip o de monedas. Resp: 3 de 0.2 5, 15 de 0.10. V. Resuelva las sigui entes fórmulas para la variable indicada. 1. 1 = a + (n – 1)d para n . 3. C= 5 (F – 32) para F. 9 2. A= 4. h (h' + B) p ara h ' 2 m= Y-y X-x para y; p ara X. 5. C = nE para n. R + nr VI. Resuelva las sigui ent es ecuaciones cuadráti cas: 4 z2 = 1 9 1. r = 4 2. 4. b2 – 8 = 0 5. 49 t2 = 4 7. (y + 2) 2 = 1 2 8. 4(z + 3) 2 = 25 3. x -49 = 0 1 =0 2 2 1⎞ ⎛ 9. ⎜ r + ⎟ = 25 7⎠ ⎝ 6. 8u 2 − VII. Resu el va por factori zación las siguientes ecu aciones: 1. x2 – 9x + 20 =0 2. x 2 + 17 x + 70 =0 3. x2 –x - 2 =0 4. y2 – 19 y +84 =0 5. 3m 2 + 4m - 15 =0 6. z2 + z =2 7. z2 + 9z =10 VIII. Resu el va completando cuadrado las sig uientes ecuaciones: 2 2 1. x + 2x - 8 =0 4. y2 +y - 6 =0 2 2. 3m - 6m - 9 =0 5. y 2 – 4y + 3 =0 3. x + 2x =7 IX.Resuelva por la fórmul a cuadrática, las siguientes ecu aciones: 1. 3x2 + 5x + 1 =0 2. 4x 2 + 7 x + 2 =0 4. 6x2 + x - 35 =0 3. 4x2 - 6x + 1 =0 5. x 2 + 4x =3 X.Resuelva las sigu ientes inecuaciones y trace la gráfica del conjunto sol ución: 1. y –1 > 9 – 4y 2. -y + 2(9 – y ) < 0 3. –2(3m – 6) < 6 (2+m) 151 151 Dirección General de Admisión Temario 3 (2t − 20) + 5 ≤ t − 60 10 10 4. 15(-4 – z) > -5(12 – 3z) 5. 7. |2y - 1| < 5 8. 1 < |4 - k| 10 | u | - 4 XI. ≥ 3 6. |b - 1| > 0 9. - | x | ≥ 0 11. | 3 - w | > 2 Resolver las siguientes Inecuaciones c uadráticas y trazar la gráfica del conjunto de soluciones. 1. y 2 –12 > 0 2. x 2 – 49 ≥0 3. 4. 49t2 ≥ 4 8u 2 − 1 ≥0 2 RESPUESTAS I. 1) 5) (a +1) 2) (a + 3 ) x− y x+ y 6) 2(y +1) 3) y + y +1 2 a−b+c a+b+c 7) yz 2x − y 4) a + 3a+ 9 a −3 2 x3 −1 (x +1)2 II. 2 y3 1) 2 y −9 2 5) (x +1)(x +1) 9) 2) 1 − 2x 2 2 2a − ab − b a −b 2 2 3) b2 − ab− a2 ( b b −a 2 4) 2 (x− 2) (2− y) 8) x y 7) − x = −3 3) a= 67 18 8) a = −8 6) 1 ) 2 a−3 a+ 2 4) b = −5 5) 9) b=2 10) a +1 10) III. 3 2 1) x= 6) x=− 11) 152 2) 5 2 a=5 152 7) x = 12) y = 5 6 13) 2 3 a= 31 52 y=4 y =3 Área Cientifica Matemática IV. 1) 20 kilos x= 4) x=5 2) 14 9 3) a = 27 1 cm 2 y b = 32 1 cm 2 5) 3 de 0 .25 y 15 de 0.10 V. 1) n = 1− a + d d 2) 4) y = Y − m( X − x ) ; X = h′ = 2a − Bh . h 3) Y − y − mx m F = 9 C+32 5 5) n = CR E − Cr VI. 1) 4) r = ± 2 (reales ) b = ±2 2 8) z1 = − 1 3 2) z = ± 5) t = ± 11 1 ; z2 = − 2 2 3) 2 7 9) r1 = 6) 34 7 u =± r2 = − ; x = ±7 1 4 7) y1 = −3 ; y2 = −1 36 7 VII. 1) x1 = 5 4) x2 = 4 ; 2) x1 = −10 x1 = 7 ; x 2 = 12 7) z1 = −10 ; x 2 = −7 5) m1 = −3 ; m2 = 3) 5 3 x1 = 2 ; x 2 = −1 6 ) z1 = −2 ; z2 = 1 ; z2 = 1 VIII 1) x1 = 2 ; x 2 = −4 3) x1 = − 1 + 2 2 5) y1 = 3 ; ; 2) m1 = x2 = −1 − 2 2 1+ 2 7 ; 3 4) m2 = y1 = 2 1− 2 7 3 ; y 2 = −3 y2 = 1 153 153 Dirección General de Admisión Temario IX. Resp uestas : 1) x1 = − 5 + 13 ; x2 = 6 2) x1 = − 7 + 17 8 3) x1 = 3+ 5 4 − 5 − 13 6 4) x 1 = x2 = − 7 − 17 8 5) x1 = −2 + 7 ; x2 = −2 − 7 ; x2 = ; 7 3 ; x2 = - 5 2 3− 5 4 X. Respuestas: (Inecuaciones) 5 1) y >5 3 -2 7) −2 < y < 3 (///////////////////// −∞ +∞ (///////////////) −∞ +∞ 6 2) y > 6 3 (/////////////////// −∞ 8) k < 3 ó k > 5 5 /////////) (///////// −∞ +∞ +∞ 0 3) m > 0 (///////////////// −∞ 9) R (todo número real) +∞ -7 0 4) z < 0 10) u ≥ 7 ó u ≤ −7 /////////////////) −∞ 11) w < 1 ó w > 5 −∞ +∞ 6) b > 1 o ′ b < 1 //////////] [////////// −∞ +∞ -1 0 ////////////////] 5) t ≤ −10 7 +∞ 1 5 /////////) (//////// −∞ +∞ / ////////////)(/////////////// 1 XI. y < −2 3 ó y > 2 3 2 3 Respuestas: 1) +∞ −2 3 −∞ /////////) (///////// −∞ +∞ -7 2) y < −7 ó y > 7 /////////) −∞ 154 154 3) u < − 4) t < − 7 (//////// +∞ 1 1 ó u> 4 4 2 2 ó t > 7 7 -1/4 /////////] 1/4 [//////// +∞ −∞ -2/7 2/7 ///////////] −∞ [//////// +∞ Área Cientifica Matemática MÓDULO N° 3 : PROPORCIONES Y PROPORCIONALIDAD Objetivos 1. Simplific ar razones. 2. Dis tinguir l as proporci ones directas y las i nvers as . 3. Resolver problemas de apli cación de proporción direc ta e in versa. 4. Definir el concepto de tanto por cient o. 5. Resolver problemas de apli cación sobre el tanto por ciento. Razones Razón: Se defi ne como razón la comparación entre dos canti dad es de la misma esp ec ie. Est a compar ación puede ser por m edio de la diferencia (razón aritmética) o por medio del coc iente (razón geométrica). Nos limitarem os al estudio de la razón geométrica que llamaremos si mpl emente razón. Así, la r az ón del númer o a al número b es el cociente indicado a el cual se puede exp resar a:b , y se lee: “a” b es a “b”. Los n úmeros a y b reciben el nombre de antecedente y consecuente respectivament e. Cabe resal tar, entonces, que toda razón tiene dos part es. Ejemplo: Exprese la razón que hay de 3 pi es a 9 pulgadas. Recordan do que las c antidades a comparar deben estar en la misma un idad de medida, esta razón se expres a como: Lo qu e también puede calcu larse como: 3 pies 4 = 3 pies 1 4 36 pulg. 4 = ó 4:1. 9 pulg. 1 ó 4:1. Hay t ipos especiales de razón como lo son la veloci dad que s e da en Km /hr, m/ s, etc. Simplificación de Razones: Las Razones son consi deradas como una fracció n y por el lo podemos afirmar q ue si multiplic amos o dividimos am bos términos de una razón por u n mis mo número, la razón no varía. Si en la razón 15 5 15 = reduc ida a su más mínim a expresión. se divide ambos miem bros por 3 tenemos: 12 12 4 Proporción: Una prop orción es l a igualdad entre d os razones. a c = , donde a y d son l os términos extremos, b d c y d son l os t érminos medi os y se puede escribir a:b = c:d. Ejemplo: x 8 10 3 = ; = 4 5 4 5 155 155 Dirección General de Admisión Temario Propiedades de las Proporciones: En c ualquier proporció n el produc to de los medios es igual al p roducto de los ext remos. Ejemplo: Encuentre el valor de x si: x 2 = 15 5 Solución : 5x = (15)(2) 30 5 x = 6 x = Proporción Directa e Inversa Proporción Directa: Si dos variables están relaci onadas de tal forma que el aumento o la d ismi nución de una causa el aumento o disminuc ión de la otra, entonces se dice q ue la primera varía directamente con la otra. Así cuando y varía direc tamente con x , podemos esc ribir: y = kx ( k es la. c onstante de proporc ionalidad). Ejemplo: a. La longitu d de u na circun ferencia C es direc tamente proporcional a su diámetro C = Kd. (mayor diámetro, mayor longitud ). b. La distancia recorrida por un móvil en tiempo const an te es direct amente prop orcional a su velocid ad d = KV. ( a menor velocidad, menor distanc ia r ecorri da). Proporción Inversa: Si dos var iables est án relacionadas d e tal forma que el aumento o d isminución en una causa la disminu ción o aumento de la otra, entonces se dice que la primera varía inversamente c on la otra. Cuan do Y varía in versamente con x , tenemos: y = k x (k es l a con stante de proporcionalidad). Ejemplo: A temperatura c onstante, el volumen de una masa de gas es inversamente pro porcional a la presión V= (a mayor presión, men or vol umen). Problemas de aplicación: El costo C de producir x número de artícu los varí a directament e con x. Si cuesta B/. 560.00 p roducir 70 artículos, ¿cuál es el valor de C c uando x = 400? 156 156 k p Área Cientifica Matemática Solución: C = kx L uego: 560 = k (7 0) C = 8 (400) 560 =k 70 C = 3,200.00 k= 8 C uesta B/. 3,200.00 prod ucir 400 artíc ulos. 1) Y v aría inversament e c on x. Encu en tre la constante de proporc ionalidad cuando y = 15 y x = 1/3. Solución: y = 15 = k x k 1 3 1 (15 ) = k 3 k = 5 2) Z v aría directamente propor cional con x . E ncuentre la cons tan te de pr oporcion ali dad c uando Z = 4 y x = 2 3. Solución: z = kx 4= k ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 12 =k 2 6= k Tanto Por Ciento: Tanto por ci en to de un númer o es una o v arias de las cien partes iguales en que se puede dividir el núm ero. El símbolo es % y si gnifica dividir por c ien. Por ejemplo 20% = 20 1 = . 100 5 Ejem plo: Al C alcular el 20% de 80 es d ividir 80 en cien partes y lu ego t omar 20 de esas partes. 20 80 4 4 x 80 = 16 . = ⇒ x 20 = 16 , se puede hacer rápidamente calculando: 1 00 5 5 100 Proble ma s de A plicación de Tanto Por cie nto: Los problemas de tanto por c iento se pu eden resolver uti lizando razones y propor ciones. En un pr oblema de tanto por c iento siemp re encontramos tres datos c onocidos y uno desconoc ido. El dato desconoci do puede ser un núm ero dado c omo total; un tanto por c iento, o u na parte de un número. 157 15 7 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo: 75 x 75 x 100 = ⇒ x = = 6%. 1250 100 1250 a) ¿Qué % es 75 de 1250? Resolviendo como proporción b) Encuentre el 35% de 180. c) ¿De qué número 46 representa el 23%?. d) Pedro tenía que pagar B/. 90.00, si le rebajan el 5% de su deuda. ¿Cuánto tiene que pagar? Solución: x = 35 x 180 x 35 = ⇒ x = = 63. 100 180 100 90 x 5 45 = = 4.50 100 100 Tiene que pagar 90.00 - 4.50 = B/. 85.50 158 158 23 46 100 x 46 = ⇒ x = = 200. 100 x 23 Área Cientifica Matemática PRÁCTICA I. Exprese las razones sig uientes simplificando: a) 4 40 b) 64 8 5 20 m c) d) 40 m 3 x -y x2 - y2 II. Hallar el valor de x en las sigu ien tes p roporc iones: a) 2 3 = 3 b) x 3+ x 5+ x 6 = c) 8 3. 5 x 3 = 5 4 d) 2:x : : 4:3 e) (5-x) : (x+3) : : 3:5 2 III. Resuelva los sig uientes problemas de proporcionalidad. a. Los ¾ de la capacidad de un estanque son 500 l itros ¿Cuál será la c apac idad de los 3 del mismo 8 estanque? b. Una persona camina 9 Km, en dos h oras. ¿Cuánt o tar dará en cami nar 30 Km.? c. Si x es directamente proporcion al a y, para x = 8, y = 3. Hallar x cuando y = 2. d. Si x es inversamente proporcional a y. Para x = 8; y = 3. Hallar x cuando y = 2. e. Si u na pelota rueda por un plano in clinado, la distancia recorrida varía directamen te como el cuadrado del tiempo. Si la pelota recor re 12 centímetros en 2 segundos, ¿a qué distancia rodará en 3 seg undos? IV. Resuelva los problemas de apl icación de tanto por cien to. a) Una camisa me cuesta B/. 15.00. ¿A cómo tengo que vend erla para ganar el 20% d el c osto? b) Una caja pesa el 8% de su contenido. Si el contenido p esa 275 kilos. ¿Cuánto pesa la c aja? c) ¿Qué númer o au mentado en el 75% de sí mismo es igu al a 140? d) Un vendedor vendió B/. 460.00 y su comisión fue de 69.00. ¿A qué porcentaje le están pagando? e) En u na fábrica el 8% de las máquinas se descomponen y se reemplazan por nuevas. ¿Cuánt as máq uinas había en la fábrica si las máqui nas d es compuestas fueron 144? Respuestas: I. a) II. a) III. IV. 5 8 9 2 b) 3 c) 10 b) 3 c) 20 35 a) 250 litros b) a) B/. 18;00 b) 22 kilos 3 3 Horas. 1 2 d) d) c) 1 x+y 3 2 16 3 c) 80 e) 2 d) 12 e) 27 cm. d) 15% e) 1800 máq uinas. 159 159 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 4: LA RECTA; LA CIRCUNFERENCIA; LA PARÁBOLA; LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA. Objetivos 1. Definir el con cepto de p endiente de una recta. 2. Determinar la ecuación de la rect a: a) Dados dos puntos de ella. b) Dado un punto y la pend iente. 3. Encontrar la ecuación de la recta que es paralela o perpendicular a u na recta dada. 4. Determinar la ecuación c anónica y la ecuaci ón general de la c ircunferencia con centro en (0,0), conociendo el rad io. 5. Determinar la ecuación c anónica de una parábola con vértice en (0,0) conociendo algu no d e su s elementos. 6. Dada la ec uación general de la parábola con vértice en (0,0) d et er mi nar sus elemen tos. 7. Determinar la ecuación c anónica de la elipse c on centro en (0,0) conociendo al gunos de sus elemen tos. 8. Dada la ec uación general de una elipse con centro en (0,0) determinar s us elementos. 9. Determinar la ecuación c anónica de la h ipérbola con cent ro en (0,0) c onociendo algunos de sus elementos. 10. Dada la ec uación general de una hipérbola con centro en (0,0) determinar sus elementos. 11. Dada una de las ecuaciones generales identificar el ti po de lu gar geométrico a que corresp onde. La Recta: Una ecuac ión de la forma y = mx + b, donde m y b son n úmeros reales, puede represent arse como una recta en el plano c artesiano, en ella m es la pendiente y b la intersec ción con el eje y. Ejemplo: y = 3x + 5, la pendiente es 3 y el punto de intersec ción es (0,5). Pendiente de una Recta: Dados dos pu ntos cualesquiera A(x1 y 1) y B(x 2, y2 ) de una lín ea rec ta, el valor de la pendiente (denotada por m) es: m= y2 − y1 x2 − x1 Recordemos qu e la pendien te se puede definir como la tangente del ángulo de inclinación de la recta, Y... m =tan θ 160 160 Área Cientifica Matemática Ejemplo: Dado los puntos A (-2, -1) y B(-3, 2). Encuent re la p end iente. m= 2 − ( −1) 3 = = −3 − 3 − (2) − 1 Ecuación de la Recta; La ecuación de la recta que pasa por un punto P(x,y) y tiene pendiente m es: y- y1 =m (x-x 1) A esta ecuación se le llama punto pendiente. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los punt os A(1, 5) y B(-1, 1) Solución: m= 5 −1 4 = =2 1 +1 2 y – 5 = 2(x-1) y = 2x +3 Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2⎞ 1 ⎛ P⎜ 3, − ⎟ , m = 5⎠ 3 ⎝ Solución: ⎛ 2⎞ 1 y − ⎜ − ⎟ = (x − 3 ) ⎝ 5⎠ 3 2 (x − 3) y+ = 5 3 ⇒ 15y – 5x = -21 Rectas Paralelas y Perpendiculares: Si dos rect as L1 y L2 tienen p end ientes respectivas m1 y m 2 se tiene lo siguiente: a. L1 y L 2 serán paralelas si sus pendientes son ig ual es ; m1 = m 2 b- L1 y L 2 son perpendicu lares si una de sus pendientes es el opuesto del recip roco de la otra; m1 = − 1 m2 Ejemplo: Encon trar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1 ,-2) y es perpendic ular a la recta 2x + 5y + 8 = O y= ─ 2 8 2 5 x - ⇒ m = - La ecu ación de la r ecta es: y − (−2 ) = (x − (− 1)) 5 5 2 5 2y - 5x = 1 161 161 Dirección General de Admisión Temario La Circunferencia: La circunferencia es el conjunto de todos los puntos P(x,y) cuya distancia a un punto fijo llamado centro C(h,k) es constante. Esta distancia constante se denomina radio y se denota r. La ecuación general de una circunferencia es x 2 + y2 + Dx + Ey +F = 0 y la forma canónica (x-h)2 + (y-k)2 = r2 En particular, si el centro es el origen (0,0), la ecuación se reduce a: X2 + Y2 = r2 (Forma Canónica). Ejemplo: Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro (0,0) y que pasa por el punto ( 0, 5). Solución: como el punto (0 ,5) es parte de la circunferencia éste satisface a la ecuación X2 + Y2 = r2,por lo tanto (0)2 + (5)2 = r2 de esto r2 = 25, que finalmente obtenemos x2 + y2 = 25 Práctica I. Escriba las ecuaciones de las rectas que tienen las siguientes condiciones: a) Pasan por los puntos A (-1,4) y B (3,2). b) La pendiente m = -4 y corta al eje y en el punto (0,7), c) La pendiente m = -0.25 y pasa por el punto (0,0), d) Es perpendicular a la recta 3x+y-9=0 y pasa por el origen. e) Es paralela a la recta 4x - 9y + 5 = 0 y pasa por el punto (2,3). f) Pendiente 0 y con ordenada al origen 5. g) Pasa por el punto (3,-3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1, 2) y (3,-1). h) Determine el valor de k en la ecuación de la recta kx -3y = 0 que es perpendicular a la recta y= 2x + 4 i) Determine la ecuación de la recta con pendiente m = 3 y que intercepta a y en -2. j) Determine la ecuación de la recta con intercepción con el eje x, en 1, y el eje y, en - 3. k) Determine la ecuación de la recta que pasa por (4, 5) y es paralela al eje x. l) En la ecuación 3x - 4y = 12, determine la pendiente y la intercepción de la recta con los ejes . II. Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene las siguientes condiciones: a) Centro (0,0), y pasa por el punto (-7,-9). b) Centro en el origen y es tangente a la recta y = 4. c) Con centro (0,0) y la recta 2y = 3x - 5 se intercepta con la circunferencia en el punto de intersección con e! eje y, d) Centro en el origen y radio igual a 7. e) Indique ¿qué representa la ecuación (x -0)2 +(y -0)2 = 0? f) Determine la ecuación de la circunferencia con centro (0,0), y que pasa por el punto P (-7,9). g) Determine el valor de y, si x = -3 en la ecuación x2 + y2 = 25. 162 162 Área Cientifica Matemática h) Dada la ecuación x 2 + y 2 = 100. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente a esa circunferencia en el punto (x,8) y que tiene pendiente m = 3. Respuesta: y - 3x + 10 = O , y - 3x - 26 = 0. La Parábola La función f(x )= ax 2 + bx + c;. a ≠ 0, se puede representar en una gráfica llamada Parábola, Definición: una Parábola es el conjunto de todos los puntos A(x,y) del plano que equidistan de una recta fija L y de un punto fijo F. Elementos de la Parábola: La recta L se llama directriz y el punto fijo F es el foco y además tiene otro elemento V llamado vértice. que es el punto medio entre el foco y la directriz. Eje de una parábola: recta que contiene al foco y que pasa por el v értice A A′ = AF F (0 , p ) A( x , y ) A′ ( x , − p ) V(0,0) L La ecuación general de la parábola con vértice en el origen (0,0) es x 2 + Ey = 0 con eje x = 0 y cuya ecuación canónica es x 2 = 4py ; donde p es la distancia del foco al vértice, la ecuación general de la parábola con vértice en el origen (0.0) es y 2+Dx = 0 con eje y=0 y cuya ecuación canónica es y 2 = 4px ; donde p es la distancia del foco al vértice. La Parábola con vértice en (0,0) puede tener cuatro posiciones básicas dependiendo del eje donde se encuentre el foco, si está sobre el eje horizontal o el o vertical, así tenemos el siguiente cuadro: Ecuación X2 X2 Y2 Y2 = = = = 4P y - 4P y 4Px - 4P x Vértice (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) Eje X X Y Y = = = = 0 0 0 0 Foco Directriz (0, P) (0, -P) (P, 0) (-P, 0) Y Y X X = = = = – P P – P P Gráficam ente la parábola debe abrir Hacia Arriba Hacia Abajo Hacia la derecha Hacia la Izquierda 163 163 Dirección General de Admisión Temario P ráctica 1. Dada la ecuación y = x 2 , encuentre el foco y la directriz. 2. O btener el foco e indicar hacia donde se extiende la gráfica de la parábola x = – 3. Com plete el siguiente cuadro: Ecuación -2x 2 = y y 2 = 12x y 2 = -10x 2 x + 4y = 0 Eje Foco 1 2 y . 8 D irectriz Gráfico I 4. Encuentre la ecuación canónica de la Parábola que satisface las condiciones indicadas. a) Vértice (0,0) eje x = 0, pasa por (-1,4). b) Vértice (0,0), eje y = 0, F (2,0). c) Dada la ecuación y 2 - 10x = 0. Encuentre el foco y la directriz. d) Encuentre los puntos de intersección de la Parábola x = y 2 y la recta y = x – 2. e) Explique porque la Parábola x = y 2 no se intercepta con la recta x = -1. R espuestas: ⎛ ⎝ 1) Foco ⎜ 0, 1 1⎞ ⎟ , directriz y = − . 4 4⎠ 2) Foco (-2, 0), hacia la izquierda. 3) Ecuación Foco -2x 2 = y x = 0 1⎞ ⎛ ⎜ 0, - ⎟ 8⎠ ⎝ y 2 = 12x y = 0 (3, 0) y 2 = -10x y = 0 ⎛ 5 ⎞ ⎜- , 0⎟ 2 ⎝ ⎠ x 2 + 4y = 0 164 Eje x =0 (0 , − 1) 164 D irectriz y = 1 8 Gráfica , x = -3 x = 5 2 y =1 I Área Cientifica Matemática 4) a. y=4x2 b. y2=8x c. F ( 5 , 0) ; d. (1, -1) ; (4, 2) 2 x=- 5 2 La Elipse Definición: Una elipse es el conjunto de puntos, P(x, y) del plano, tales que la suma de las distancias entre P y los puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es constante e igual a 2a. Elementos de la Elipse: ≤ El centro de la elipse es el punto medio del segmento de recta F1 y F2. El eje mayor de una elipse es el segmento rectilíneo que pasa por su centro, contiene los focos y sus puntos extremos llamados vértices están en la elipse V1 y V2. El eje menor es el segmento de recta que pasa por el centro, perpendicular al eje mayor. La ecuación general de la elipse con centro en (0, 0) es Ax2 + Cy2 + F = 0; con A y C positivos. La ecuación canónica de la elipse con centro (0,0) y eje mayor y = 0 es x2 a 2 + y2 b 2 = 1; donde c2 = a2 – b 2 ; a ≥ b . ? L2 L1 V1′ d (PF1) + d (PF2 ) = K P F2 F1 V2 V1 V2 ′ 165 165 Di'eión Gareál de A.ún8atn (0, C x con Laecuación canónica la elipse cenho 0) y eje mayor = 0; es; donde = d- a'z; a<=b de y cüadro l-asecuaciones elementoG la elipsecon centrcen (0, 0), estándadasen ei slguiente de Gcuaclón = E jeX ,y o = E i e Y ,x 0 E enrplo 1! obtener 106vértlces y 106ñoco6de la et¡peecuya eq.¡aciónes 6x2 + 3y2 = 54, Trazar la ,l gráflca. L lL =1 9 18 que sobre Y' d Observamos 18> 9, entonces ejemapr está los y r=3 porcondgdente vértlces (O,3"D)y @,- 3"8), sont que focos Fr(0,-3) son: cE é ef Para enconbar focoutlllzamos = I -Ú, C =18- 9 entonces 3estolmpllcr 106 y Fd0,3). = a=3it a2 18y b, = 9, entonces J-2, l*.., a"\ x \"' io,-¡Jz ) 142 166 Área Cientifica Matemática Ejemplo 2: Obtenga la ecuación de la elipse con un foco en (2,0) y un vértice en (5,0) x2 y 2 + =1 a2 b2 Como el foco esta en el eje x la ecuación es de la forma 2 c = 2; a = 5; b = 25 – 4 =21. Entonces la ecuación pedida es x2 y2 + =1 25 21 Práctica I. Encuentre los vértices y los focos de las siguientes ecuaciones de la elipse. a) x2 y2 + =1 16 25 b) x2 + y2 =1 10 c) x2 y2 + =2 8 4 2 2 d) x + 6y = 6 2 2 e) 4x + 7y = 28 II. Obtenga la ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: a) Centro (0,0), Vértice (±5,0); b = 2. b) Vértice (0, ±7); intersección con x = ±4. c) Vértice (0, ±4); Focos (0, ±2). d) ¿Qué puede Ud. Deducir de la ecuación de la elipse? x2 y 2 + =1 16 16 Respuestas I. a) V (0,±5 ) ; F (0,±3 ) ( b) V (0, ± 10 ) ; F 0,±3 ) ( c) V ( ± 2 2, 0 ) ; F ± 2 , 0 ) ( d) V ( ± 6 , 0) ; F ± 5 , 0 ) ( e) V (± 7 , 0) ; F ± 3 , 0 ) II. a) x 2 y2 + =1 25 4 b) x2 y2 + =1 16 49 c) x2 y 2 + =1 12 16 167 143 Dirección General de Admisión Temario La Hipérbola Definición: Una hipérbola es el conjunto de puntos P(x,y) del plano, tales que la diferencia de las distancias entre dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es una constante. d (PF1 ) − d (PF2 ) = K P F2 V2 V1 F1 Elementos de la Hipérbola: • Sobre el eje de la hipérbola se encuentran los Focos y los Vértices de ella. Además se le llama eje transversal • Una hipérbola consta de dos curvas separadas. • El centro de la hipérbola es el punto medio del segmento F1, F2. La definición de la elipse y la de la hipérbola son muy parecidas con excepción de la palabra "suma" para la elipse y "diferencia" para la hipérbola; por ello sus ecuaciones difieren en los signos. La ecuación general de la hipérbola es: Ax2 + Cy2 + F = 0; con A y C de signos contrarios. La ecuación canónica de la hipérbola con eje x es x2 y2 − = 1 donde c2 =a2+b2. a2 b2 La ecuación canónica de la hipérbola con eje y es y2 x2 − = 1 = 1 donde c2 = a2 +b2 a2 b2 La hipérbola solo intercepta el eje en el cual están los focos, este eje pasa por su centro y se llama eje transverso, el eje perpendicular al transverso se llama eje conjugado. 144 168 Área Cientifica Matemática L as e cu ac io ne s y e le m e nto s de la hipé rbo la co n ce ntr o e n (0,0) , e stá n da da s e n e l siguie nte cua d r o . Ec u ac ió n y2 x2 = 1 2 a b2 2 2 x y - 2 =1 2 a b Ej e Fo co E x tre m o d el Ej e T ran s ve rs o E xt rem o s d e l Ej e C o n ju g ad o ( ±a, 0) Eje X, y = 0 (± c, 0 ) ( ±a , 0) ( 0, ±b) ( 0, ± a ) Ej e Y , x = 0 (0, ±c) ( 0, ±a ) ( ±b, 0) Vé rtic e As ín tota s: R e cta s que pa sa n p o r e l ce ntr o d e l o s e j e s de co o rde na da s. Ve r fi gura . L as e cu ac io ne s de es as r e cta s se pue de n o b te ne r de la s e cua cio ne s ca nó ni ca s as í: 2 2 y y⎞ x ⎛ x - y⎞ ⎛x - 2 = 0 ⎯ + ⎯→ ⎜ ⎟ = 0 ⎟ ⎜ 2 b⎠ ⎝a b⎠ a b ⎝ a De d o nde la s e cua cio n es d e la s a sínto t as so n : y = − b x a y = b x a b a 2 E je m plo 1: Obte ne r l o s vé rti ce s, fo co s y a sínto ta s de la hip é rbo la cu ya e cua ció n e s x 2 C o m o x 2 e s po sitiv a , e sta hipé rbo la tie ne e je tra nsv e rso ho riz o nta l, a = 1 , b = 3 , c = y 9 = 1 10 . V é rtice s ( ±1, 0) . F o co ( ± 1 0 , 0). A sínto ta s y = 3x , y = - 3x. E je m plo 2 : Ha lle la e c uac ió n de la hipé rbo la co n ce nt ro (0,0) , v é rtic e ( ±3 , 0) y fo co (± 5, 0). Sí e l v é rtice y el fo c o e stá n e n e l e j e x , la hipé r bo la tie ne e l e je tr a nsve r sa l ho riz o nta l. a = 3, c = 5, b = 4. La ec ua ció n es x2 y2 = 1 16 9 169 145 Dirección General de Admisión Temario PR ÁCT ICA I. O btenga los vér tices, focos y así ntotas de l as si guientes hipérbol as: y2 x2 = 1 16 9 a) b) y 2 – x2 = 9. c) 4x 2 – 25y2 = 100 d) x 2 – y2 = 1. x2 = 1 4 e) y2 - I I. H allar la ecuación de la hipérbola que satisface las condi ciones dadas: a) Centr o ( 0,0), V ér tice (± 3,0), un foco en (5,0). b) Centr o ( 0,0), V ér tice ( 0,1), foc o en ( 0, ±3). c) Centr o ( 0,0), Foco ⎜ d) Longi tud del eje conjugado 6, longitud del eje tr ansver sal 8, cent ro en (0,0) y eje pr incipal y = 0. e) Centr o en (0,0), eje tr ans verso en x = 0 y pasa por los puntos P 1(-2,4) y P 2(-6,7). ⎞ ⎛5 , 0 ⎟ , longitu d del eje conjugado 2. ⎝2 ⎠ I II . D adas l as si guientes ecuaciones gener ales, identi fi car el tipo de lugar geom étrico que c orresponde. 4x 2 – 25y 2 = 10 0 a) b) y = x 2 + 4x + 6 c ) 9x 2 + y 2 = 9 d) 16x 2 + 144 = 9y 2. Re spue sta s: I. a) V (±4,0), F(±5,0), y = ± 29 ,0), y = ± c) V (± 5,0), F( ± e) V (0, ±1), F(0, ± II. a) d) x2 9 - y2 16 3 x 4 5 ), y = ± =1 x2 y2 = 1 16 9 b ) V(0, ±3), F(0, 3± 2 x 5 2 ), y = ± x. d) V (±1,0), F( ± 2 ,0), y = ± x. x 2 b) y2 - x2 8 = 1 c) 4x 2 – 21y2 = 21 e) 32y 2 – 33x 2 = 38 0 II I. a) Hip ér bola 146 170 b) Par ábola c) E lipse d) H ipérbola Área Cientifica Matemática MÓDULO 5: RELACIONES Y FUNCIONES Objetivos 1. D eterminar el domi no y el rango de una relación . 2. Clasificar fun ciones de acuerdo a la expr es ión que la d efine. 3. Analizar el comport amiento de la gráfica de una funció n c uadrática. 4. D eterminar el domi nio de cada una d e las func iones algebraicas especiales. 5. D efi nir funci ón exponenci al . 6. E nunciar l as pr opiedades generales de la g ráfica de l a func ión exponenc ial. 7. E nunciar l as pr opiedades generales de la g ráfica de l a func ión logarítmica. 8. D ar la defi nición de logarit mo. 9. Aplic ar las propiedades de los logaritmos. 10. Resolver problemas de aplicación de las funci ones exponenc ial es y logarítmic as. Producto C artesiano: Sean A y B dos c onjun tos, el c onju nto A x B = { (x, y) / x ∈ A : y ∈ B } se le llama produ cto cartesiano, los elementos del conjunto reciben el nombre de par ord enad o. Relación Definición: Un a relació n es un c onjun to de pares or denados, de númer os r eales . El conjunto de los primeros elementos de los pares se llama dominio de la relaci ón y el c onjun to de los segundos el ementos se llama r an go d e la relac ión. Nota: Rango, recorr ido, codominio, conjunto de imág enes s ignifican lo mismo. Ejemplo: El con junto de pares de números: { (3,4),(3,5),(6,10),(8,15)} define un a relación. El c onjun to {3,6,8} es el dominio y el conjunto {4, 5 , 10, 15} es el rango. Nota: Una r elac ión se puede representar por medio de una ecuación . Función Definición: Una función es una relación tal que a cada elemento del dominio le correspon de un único elemento del rango. E sto es q ue el con junto de los p ares ordenados no puede contener dos pares diferentes con el mismo primer elemen to. Nota: T oda fu nción es una relación , pero no toda r elac ión es una función. Ejemplos: 1. R1 = {(0,1), (2,3), (4,5), (6,7)} d efin e un a func ión, pues no hay dos par es c on el primer elemento igual. 2. R 2 = {(2,-1), (2,1), (4,-5), (7,2), (9,-3)} no define una func ión pues hay par es d ifer entes con el primer elemen to igual. 171 147 Dirección General de Admisión Temario Una función queda definida por su dominio y la ley de correspondencia asociada a él, que indica cómo se obtiene la imagen de cada elemento x que está en el dominio de la función. Con frecuencia nos referimos a una función en general de una manera simbólica “y es una función de x” y escribimos: . y = f (x) En esta notación, el símbolo f representa la función. x f(x) f Entrada (dominio) Salida (imagen) Denotaremos al Dominio por Df y al Codominio por Cf. Ejemplo: Sea la función f(x) = 2x3, cuyo dominio es IR, si definimos como dominio a los elementos del conjunto D = {0, 1, 2, 3} entonces el conjunto de pares ordenados asociados a esta serán: {(0,0), (1,2), (2,16), (3,54)}. Si f(x) = 2x3, el dominio {0, 1, 2, 3} define el conjunto {(0,0), (1,2), (2,16), (3,54)} Ejemplo: En cada una de las funciones dadas encontrar el dominio y el rango de la función: 1. f(x) = x2. Df = R Para toda x ∈ R, sabemos que x2 ≥ 0, luego Rf = [0, ∞) En la práctica, un método para encontrar el recorrido es: a) Como y = f(x), escribimos y = x2. b) Despejamos x en función de y, obteniéndose: x = ± c) Determinamos el conjunto de todos los valores “y” para los cuales la ley de correspondencia este bien y. definida. d) En este caso: x = ± y ⇒ y ≥ 0 ⇒ Cf = [0, +∞). . Nota: Existen funciones para los cuales el dominio y el codominio quedan restringidos a un subconjunto de números reales. 2. Para la función f(x) = un número real. 148 172 x 2 - 4 , debemos buscar valores de x que hagan posible que la raíz cuadrada sea Área Cientifica Matemática Se debe cumplir que para toda x en el dominio de la función f, x2 – 4 ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 4 ⇒ |x| ≥ 2 ⇔ x ≤ -2 ó x ≥ 2, luego, Df = (-∞, 2] ∪ [2, ∞). Para el recorrido procedemos de la siguiente manera: y= x 2 - 4 ⇒ x 2 = y2 + 4 ⇒ x = ± y 2 + 4 se observa que por medio de la ley de correspondencia (x en función de y), “y” puede ser cualquier número real, pero como “y” es igual a y = x 2 - 4 y la raíz cuadrada es positiva, entonces necesariamente es y ≥ 0, por lo tanto, Cf = [0, +∞). 3. f(x) = x debemos buscar valores de x para los cuales el denominador sea diferente de cero. Df = x -1 IR – {1} Para el recorrido procedemos de la siguiente manera: y= x y ⇒ y(x – l) = x ⇒ yx – y = x ⇒ yx – x = y ⇒ x (y – 1) = y ⇒ x = x -1 y -1 entonces: y ≠ 1, el Cf = R – {1} Clasificación de Funciones: A. Funciones Algebraicas: Definición: Se dice que una función de una variable x es algebraica si x esta sometida a un número finito de una o varias de la operaciones básicas del álgebra. Entre las funciones algebraicas tenemos: a) Función Constante: Esta función le asigna el mismo número real a cada elemento del dominio. f(x) = k y K ∈ R Df = R Cf = k F(x) = k k b) Función Polinomial: esta función esta definida por un polinomio cualquiera y se expresa como: f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao. Su dominio es todo R 173 149 Dirección General de Admisión Temario Dentr o de la s func iones polinom ia les, se ti en e: 1. Fu n ció n Lin eal: E sta función e s de la form a : f(x ) = m x + b; m, b ∈ R , m ≠ 0, donde D f = R y el C f = R . E je mp lo : y = 3x + 1 C uya gr áfic a e s: N o ta: La grá fica de una funció n l ine al e s un a r e cta en e l pl ano ca rtes ia n o . 2. F un ció n Cu a d rática: E sta fu nción e s de la for ma : f( x) = a x 2 + bx + c , a ≠ 0, donde a , b, c ∈ R. D f = R N ota : 1) La grá fica de una func ión c ua drá tica s e pue de di buja r ta bula ndo alg unos p ar e s orde na dos, lue go unié ndolos por me di o d e u na c urv a sua ve y c ontinua cu ya s coor de na das sat isfa gan la e c uac ión cua drá tic a da da . 2) Cua ndo e l c oe fi cie nte de x2 e s pos itivo, la cur va a bre ha c ia a r riba ; cua nd o e s n eg at ivo, la curv a a bre ha cia a ba jo. 3) La gr áfic a de la funci ón cua drá tic a e s una pa rá bola . 4) El v ér tice de una pa rá bola e sta det er m ina do p or V( x, f( x) ) donde x = 5) El codom inio de pe nde de l v é rtice y h ac ia a don de a br e l a c urva ( ha cia a rrib a o ha ci a a ba j o). Ej em p lo : La función f de finid a por : f (x ) = - ½ x 2 – x + 4. S o lu ció n : Dom inio: D f = IR Codom inio: B usca m os e l vé r tice x = -1; y = 9 9⎞ ⎛ . V ⎜ − 1, ⎟ 2 2⎠ ⎝ Abr e ha ci a a ba j o y a que a = - ½ < 0. El codom inio se rá ; C f = ( -∞ , 9/ 2], cu ya grá fica es: 150 174 −b . 2a Área Cientifica Matemática Co m po rtam iento de la grá fica de una f unció n cua drá tica a trav és de l dis crim inante 2 2 Sea y = ax + bx +c . Haciend o y = 0, obtenem os la ecuación ax + b + c = 0 cuy as r aíces son: x 12 = −b± b 2 − 4a c 2a L a ex presión b 2- 4ac es el d iscrim inante de la ecuación. 1. Si b 2 – 4ac > 0, entonces la parábola corta al eje x en dos puntos a< 0 2. a >0 Si b 2 - 4ac = 0 entonc es l a par ábola ti en e v értice en el eje x a >0 a <0 3. Si b 2-4ac < O entonc es la p ar ábola no c orta al eje x, 175 151 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo: sea y = x 2 + x - 6, indique si la gráfica corta el eje x. Solución: a= 1, b = 1.c= - 6, b 2 - 4ac = 1-4(1 )(-6) = 25, Como b2 - 4ac > 0 en tonces la parábola corta al eje x en dos p untos, ad emás como a > 0. la curva se abre hacia arriba. c). Función Racional: Es ta funci ón es de la forma f (x) = ejemplo, f (x ) = 2x 2 + x − 1 x +2 Ejemplo: determine el dominio y c odomi nio de Solución: Df= {x∈ R| x ≠ Nota: Para x = − 5 4x + 1 5− y 4y luego C f= {y ∈ r / y ≠ 0}. 152 176 5 4x + 1 1 1 − , f(x) no está definida, luego − no es elemen to del d omini o d e la funci ón. 4 4 Y (4x +1) = 5 = x= f (x ) = 1 } 4 Para el c odomi nio, p rocederemos a des pejar la x y= P ( x) don de P(x) y Q(x) son polin omios. Por Q( x ) Área Cientifica Matemática Funciones Trascendentes: Definición: una función trascendente es aquella que no se p ued e expresar por u n número finito de operaciones algebraicas. Por ejempl o, las funciones exponenciales y logarít mic as . a-) Función Exponencial: es aquella en q ue la variable aparece como exponente. x ⎛1⎞ Ejemplo: f(x) = 2 , f(x) = ⎜ ⎟ , f (x ) = ex, ⎝2⎠ x Definición: sea a > o, a ≠ 1. La funci ón exponencial de base a, se define por f(x) = a x p ara t odo x ∈ R. El dominio está consti tuido por todos lo s números reales, es deci r Df=R El cond omin io l o forman los números reales positivos, es decir Cf=[0,∞) Ejemplo: Trace la gráfica de f(x)= 2x Observaciones: 1. Un a fun ción expon en cial no se defi ne para u na b ase negativa puesto que si a = - ½ y x = ¼, entonces (-½ )¼ no tiene senti do en R. Tampoco se defin e para a = 1, ya q ue en este caso 1x = 1 para todo x ∈ R y el comportamiento de la fun ción es diferente. 2. Para a > 1, la función f(x) = a x es creciente y x x para 0 < a < 1, la función f(x) = a es decrecien te (grafique y = (½) ) 3. La gráfica de f(x) = ax s iempre est a por en cima del eje x. 4. Para toda x, ax ≠ 0. 5. Como a0 = 1, (0, 1) es u n punto en la gráfica de cualquier fu nción exp onencial. x ⎛1⎞ x ⎟ es simét rica a la g ráfica de y = a co n respecto al eje y. a⎠ ⎝ 6. La gráfica de y = ⎜ b) Función Logarítmica: Es aquella que se puede representar por y = loga X, donde la b as e a es positiva y a ≠ 1. La fu nción logarí tmica se define con base a la función exponencial. 177 153 Dirección General de Admisión Temario Definición: Sean a > 0, a ≠ 1. La función logarítmica de base a, se define por y = log a x ⇔ x = a y Gráfica de y = log 2 x. Observaciones: 1. La gráfica de y = log a x corta el eje x en el punto (1,0). 2. La gráfica y = log a x es creciente si a > 1 y decreciente si 0< a<1. 3. El dominio de la función logarítmica corresponde al codominio de la función exponencial. 4. El codominio de la función logarítmica corresponde al dominio de la función exponencial. Lista de ecuaciones logarítmicas y sus equivalentes ecuaciones exponenciales. Forma Logarítmica Forma Exponencial Log 2 8 = 3 23 = 8 3 2 9 2 = 27 Log 9 27 = 3 Ejemplo: Encuentre x si log 5 x= - 4. Solución: Usando la forma exponencial equivalente, tenemos: x = 5 − 4 = 1 5 4 = 1 625 Propiedades de los Logaritmos: Sea a, M, N números reales positivos, a ≠ 1, sea r un número real cualquiera. Entonces: i. log a MN = log aM + log aN ii. log a ⎜ iii. log aM r = r log aM iv. log aa = 1 ⎛M ⎞ ⎟ = log aM - log aN ⎝ N ⎠ Ejemplo: Exprese como un solo logaritmo. 2 log ax + 154 178 1 log ay – 3 log a (x+2). 2 Área Cientifica Matemática Solución: 1 (loga x2 + loga y½) – loga (x + 2)3 = loga (x2 y½) – loga (x + 2)3 = loga x2 y 2 (x + 2 )3 PROBLEMAS DE APLICACIONES Ejemplo: Supongamos que el número de bacterias por milímetro cuadrado, en un cultivo crece exponencialmente con respecto al tiempo. El día martes habían 2000 bacterias por milímetro cuadrado, El día jueves aumentó el número a 4500. a) Encontrar la ecuación particular. b) Predecir el número de bacterias por milímetro cuadrado que habría en el cultivo el día jueves de la siguiente semana. Solución: a) Sea y el número de bacterias por milímetro cuadrado. Sea t el número de días a partir del martes. Como y varía exponencialmente con respecto a t. La ecuación general es y = A0 at, y los pares ordenados dados son (0,2000) y (2, 4500). Sustituyendo (0,2000) genera: 2000 = A0 a0 ⇒ A0 = 2000. Sustituyendo 2000 para A0 y (2,4500) para (t, y) se obtiene: 4500 = 2000 a2 ⇒ a= 4500 = 2000 2.25 = 1.5 , luego la ecuación es y = 2000(1.5)t Esto lo podemos representar en una tabla de valores. t Martes 0 Jueves 2 Otro jueves 9 y 2000 4500 ? b) Para el siguiente jueves, t = 9, luego y = 2000(1.5)9 ≈ 76887 bacterias/mm2. 179 155 Dirección General de Admisión Temario Práctica 1. D e las si guientes relaciones ind icar cuales son func iones: a) {(1,2), (3,4 ), (5,7), (8,3)} b) {(1,2), (1,3), (1,4 ), (1,5)} c) {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6)} 2. S ea f(x) = 2x 2 + x – 1, calcular: a) f(0) b) f(-1) c) f(x + h) d) f(x + h) - f(h) h 3. E ncuentre el dominio y recorrido de cada fun ción: x+5 a) f(x) = e) f(x) = 1 x +1 b) g(x) = 2x f) f(x) = 2 c) f(x) = |x-3| d) f(x) = 5x – 6 x 2 - 16 4. T race la gráfica de la fu nción: a. f(x) = -3x2 + 6 b) f(x) = 4x 2 + 2x – 3 5 Clasifique las sigui entes funciones: x x +1 a) h(x) = 3 x2 – x –12 b) g(x) = d) f(x) = x3 +2x 2 +1 e) f(x) = -4x + 2. c) f(x) = 4 6. Trace la gráfica de las siguientes funci ones c uadráticas, muest re su vértice e int er sección con los ejes si, exist e. a) 2 g(x) = x – x – 12 2 2 b) f(x) = -3x + 5x – 4 c) f(x) = 3x +6x+12. 7. Hacer la gráfica de cada fun ción en el intervalo indicado. a) y = 3x, x ∈ [-4, 3] ⎛ 1⎞ ⎝ 2⎠ x b) y = ⎜ ⎟ , x ∈ [-4, 5] c) y = log 3 x, x ∈ [0, 9] 8. T ransforme las siguientes expresiones a la forma lo garítmica: a) 34 = 81 156 180 b) (32)1/ 5 = 2 c) (2/3)3 = 8 27 d) 5 -1 = 1 5 Área Cientifica Matemática 9 . Tr an sfo rm e la s sig uie nte s e xpr e sio ne s a la fo rm a e xp o nen cia l. a ) lo g 1/ 5 125 = - 3 b) lo g 2 1 = -3 8 c) lo g 1/3 27 = -3 d) lo g 6 36 = 2 1 0 . En cu e ntre x , a ó y e n ca d a una de lo s siguie nt es e c ua cio ne s: a ) lo g 4 x = -2 b) lo g a 25 = ½ c) lo g 25 5 = y d) lo g 1 6 x = ¾ 1 1 . Es cribir co m o u n so lo lo g a ritm o . a ) 2 lo g a x + 2 1 lo g a ( x – 1) – lo g a y 2 3 3 12 lo g a x 5 5 b) lo g a Y - 27 lo g a Z. 5 1 2 . Se a b re una cu ent a de a h o rr o co n B/ . 1 0 0 0 y a l fina l de un a ño se t ie ne B /. 1 0 5 2 .0 0 supo nie nd o q ue e l di ne ro de la c ue nta cre ce e xpo n en cia lm en te, a ) De te rm ine la e c ua ció n pa rtic ula r pa ra e sta funció n e x po ne ncia l. b) D e te rm ine la ca ntida d que se te n drá e n 4 a ño s de sp ué s de inv er tir lo s B /. 1 0 0 0 . 1 3 . A una cie rta te m pe ra tura e l núm e ro de ba cte ria s e n la le che se d o bla ca da 3 h o ra s. S i inicia lm e nte ha y A 0 e n una bo te lla de l ec h e de spué s de t h o ra s, hay y = A 0 2 t/3 ba cte r ia s e n l a le c he. T ra ce la grá fica pa ra t = 0 , 3 , 6 , 9 , 1 2 , 1 5 , lu e go unir e sto s pu nto s m edi an te u na c urv a c o ntinu a . R E S P UE S T AS : 1. a y c 2. a) -1 3. a ) D f = [- 5 , + ∞ ) C f = [0, + ∞) e ) D f = IR – {- 1 } C f = IR - {0 } 2 2 c) 2 x + 4x h + 2h + x + h – 1 b) 0 b) D f = R c) D f = R C f = [0 , + ∞) d) 4x + 2h + 1 d) D f = R C f = [ 0 , +∞ ) Cf = R f) D f = ( -∞ , - 4 ] ∪ [ 4, +∞ ) C f = [0, + ∞) 4. 5. a ) C u a drá tica b) Ra cio na l c) C o nsta nte d) Po l ino mi al ( cúbi ca ) e ) Line a l 181 157 Dirección General de Admisión Temario 6. 7. y = log3 x, x ∈ [0, 9 ] 8. a) log3 81 = 4 b) log32 2 = −3 9. 10. ⎛ 1 ⎞ = 125 ⎝ 5⎠ b) 2- 3 = a) ⎜ ⎟ a) x = 1 a) loga x 2 ( x - 1) 3 1 158 a) y = 1000 ax 182 c) log2/ 3 ⎛ 1⎞ ⎝ 3⎠ 3 y 12 5 27 z =3 = 27 c) y = ½ x5 b) loga 8 d) log5 1 5 −3 c) ⎜ ⎟ b) a = 625 16 y2 12. 5 1 8 2 11. 1 27 5 b) y = $1224.79 d) 62 = 36 d) x = 8 = -1 Área Cientifica Matemática MÓDULO 6: GEOMETRÍA PLANA Objetivos: 1. Resolver problemas de triángulos semejantes. 2. Encontrar el área de regiones poligonales. 3. Encontrar el área de un círculo. 4. Resolver problemas aplicando el teorema de recta paralela cortadas por una transversal. 5. Resolver problemas utilizando el teorema de Pitágoras. Triángulos Semejantes Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos proporcionales. Esto es, tienen la misma forma aunque no tengan necesariamente, el mismo tamaño. ∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C', AB BC AC = = A' B' B' C' A' C' Para indicar "ser semejante" se utiliza el símbolo ~. La expresión ΔABC ~ ΔA' B' C' se lee: “el triángulo ABC es semejante al triángulo A prima B prima C prima”. A lados homólogos de triángulos semejantes se oponen ángulos iguales. Teorema Fundamental de Existencia de Triángulos Semejantes Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero. Hipótesis: MN es paralelo a AB . Tesis: ΔCMN ~ ΔCAB 183 159 Dirección General de Admisión Temario Casos de Semejanza de Triángulos Primer Caso: Dos Triángulos son semejan tes cuando tiene dos ángulos resp ectivamente iguales. Hipótesis: <A = < A'; <C = <C' Tesis: ΔABC ~ Δ A' B' C' Segundo Caso: Dos Triángulos son semejantes cu an do tiene l ados p roporci onales e i gual el ángul o comp rendido. Hipótesis: < B = < B' y a a' = C c C' c' Tesis: ΔABC ~ Δ A' B' C' b A a c b' a' B A' c' B' Tercer Caso: Dos Triángulos son semejantes cuand o tienen proporcionales sus tres lados. Hipótesis: a b c = = a' b' c' C C' Tesis: ΔABC ~ Δ A' B' C' b A a c b' a' B A' c' Ejemplos: 1. Sean ΔACB ~ ΔA' B' C'. Encontrar CB y C' B' C 4 A 160 184 C' x +2 12 B A' 2x + 5 B' B' Área Cientifica Matemática Solución: En ΔACB y ΔA' C' B' s e tiene: 4 x+2 AC CB = ; l uego s e ti en e: = A' C' C' B' 12 2x + 5 4 (2x + 5) = 12 (x + 2) 8x + 20 = 12x + 24 x = -1 si x = -1, enton ces CB = 1 y C' B' = 3. C H 1. En los Triángul os ACB y GH B, GH // AC . AC = 18, GH = 6, HB = 9. Encontrar CB. Solución: Como: Luego: GH // AC , enton ces Δ ACB ~ ΔGHB. A G B AC CB 18 CB = ⇒ = ⇒ CB = 27 GH HB 6 9 P RÁC TICA # 1 1. S ean ΔLUK ~ ΔZEN . En contrar UK y EN . E U 3 L x+3 9 9 5x + 3 K Z N Solución: UK = 6; EN = 18 2. E n ΔABC, DE // AB . Encontrar lo qu e se indi ca: CD = 12, CA = 18, CE = 8, CB = ? (sol. 12) a) CD = 10, CA = 24, CE = 12, CB= ? (sol. 28, 8) C D b) CD = 4, DA = 8, CB = 18, EB = ? (sol. 12) A E B 185 161 Dirección General de Admisión Temario 3. Hallar x. C D 10 X A Solución: x = E 20 12 B 20 3 Áreas de Regiones Poligonales Superficie: Se refiere a la forma. Hay superficies triangulares, rectangulares, cuadradas, circulares, etc. Área: Es la medida de una superficie (todo lo que hay dentro de una figura). Se refiere al tamaño. 1. Triángulos: El área de un Triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura. C h bh Área ΔABC = 2 A b B Ejemplo: C Encuentre el área de cada Triángulo. C 15 cm 8 cm 10 cm A B (a) 162 186 A 7 cm B (b) Área Cientifica Matemática Solución: a) Área ΔABC = ½ (b)(h) b) Área ΔABC = ½ (b)(h) = ½ (15) (10) = ½ (7) (8) 2 = 28 cm2 = 75 cm 1. Rectángulo y Cuadrado: El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura. A h A b s s Arectángulo = bh donde b es la base y h la altura. Acuadrado = S2; donde s es la longitud de un lado. Ejemplo: Encuentre el área de la región sombreada. 2 Solución: 2 6 5 2 Área del rectángulo mayor: (12)(8) = 96 u2 Área del cuadrado: 22 = 4 u2 Área del rectángulo menor: (2)(5) = 10u2 7 3 2 Área sombreada: 96 – 4 – 10 = 82 u 187 163 Dirección General de Admisión Temario Práctica # 2 1.- Encuentre el área d e cada Triángulo. a-) Un Triángulo isósceles c on lado de long itud 10,10 ,16. (sol. Área = 48 uz) b.)(sol . 32 3 u2 ) c) (sol.18 3 u2 ) 2.- Encuentre la base d e un Triángulo con una al tura de 15 cm y un área de 60 cm 2 . (sol. Base = 8cm). 3.- Encontrar el área de un rectángulo de base 12,5 cm y altura 6 cm. (sol, 75 cm 2 ). 4.- Encontrar el área de la fig ura. sol. 207 u2 164 188 Área Cientifica Matemática 5.- E! área de un rectángulo es de 48 cm 2 y la altura es 6 cm. Encont rar la base. (sol. 8cm). 6.- Encontrar el área de la región sombreada. Sol: A = 116 u2 Área de un Círculo r o P 2 Área del circulo = π r Ejemplo: 1-Encontrar el área de un círculo con diámetro igual a 10 cm. Solución: Ao= π r2 , pero r = 1 10 • [diámetro) = = 5. Lueg o Ao= π (5)2 =25π u2 2 2 Práctica #3 1.- Encuen tre el área del ci rculo cu yo radio es: a-) r = 8 (sol. 64π r2 ) b-) r= 15 (sol. 225π r2), 2.- Encuen tre el área total de la región mostrada: (sol. 150 u2 +25π r 2). 189 165 Dirección General de Admisión Temario Rectas Paralelas Cortadas por una Transversal Sean a y b dos rectas paralelas y t una transversal Entonces se tiene lo siguiente: 1. Ángulos correspondientes son iguales < 6 = < 3; < 2 = < 7; < 5 = < 4 y < 1 = < 8. 2. Ángulos alternos internos son iguales < 1 = < 3; < 4 = < 2. 3. Ángulos alternos externos son iguales. < 5 = < 7; < 6 = < 8. 4. Ángulos conjugados internos, entre paralelas son suplementarios: < 2 y < 3; < 1 y < 4. < 2 + < 3 = 180°; < 1 + < 4 = 180°. 5. Ángulos conjugados externos entre paralelas son suplementarios: < 5 y < 8, < 6 y < 7. Así: < 5 + < 8 = 180°, < 6 + < 7 = 180°. Ejemplo: Si las rectas c y d son paralelas, encontrar la medidas del <1, 1 c 3x + 5 2x + 10 166 190 d Área Cientifica Matemática Solución: 3x + 5 = 2x + 10 ⇒ x = 5. Luego 3x + 5 = 20°, así < 1 = 20° Teorema de Pitágoras La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. “c2 = a2 + b2” B a c Ejemplo: C A b b A B C 6 24 B 7 10 c C A Encontrar el cateto b Solución: a2 +b2 = c2 62 +b2 = 102 b2 = 100 –36 b2 = 64 b=8 Encontrar la hipotenusa c a2 +b2 = c2 49 +576=c2 c2 = 625 191 167 Dirección General de Admisión Temario Práctica N° 4 1. Dado AD // BC . Indique un par de ángulos congruentes. 2. En los casos siguientes, hallar x,y. 3. ABCD es un rectángulo. Encobtrar BD si AB = 60 y AD = 11 4. Sea ABC un Triángulo rectángulo. Encontrar el lado desconocido: a) b= 40, c = 50, a = ? b) a= 8, C = 17, b = ? c) A = 16, b= 30, c = ? d) BA // CD a= 24, c = 40, b = ? R espuestas: ∠ x = 65 ° ∠ x = 6 4° 2. b) a) ∠ y = 86 ° 3. BD = 61 4.a) 30; 168 ∠ y = 65 ° 192 b) 15; c) 34; d) 32 Área Cientifica Matemática MÓDULO N°. 7: FUNCIONES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. Objetivos 1. Transformar grados a radianes y radianes a grados. 2. Determinar los valores de las funciones trigonométricas de ángulo de 45º, 30º y 60º. 3. Determinar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales. 4. Resolver Triángulos rectángulos dado algunos de sus elementos. 5. Resolver problemas de aplicación de triángulos rectángulos. 6. Resolver ecuaciones con identidades trigonométricas fundamentales. El dominio de cada función trigonométrica es un conjunto de ángulos y el codominio es un subconjunto de números reales. Definición: Denominamos ángulos especiales a los múltiplos positivos o negativos de 30°, 45°, y 60° pudiéndose encontrar las seis funciones trigonométricas de forma rápida y con facilidad en las figuras siguientes. 2 2 2 1 1 3 60,0° 30,0° 1 45,0° 1 3 3 entonces tenemos: 3 2 Sen 60° = Cos 60° = 1 2 Tan 60° = 3 Sec 60° = 2 Cot 60° = 3 3 Csc 60° = 2 3 3 Ejemplo: Tomando en cuenta las figuras, encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas que corresponden a los ángulos de 30° y 45°. 193 169 Dirección General de Admisión Temario Medidas de ángulos: Los ángulos se miden en dos diferentes unidades que son la medida en grados y la medida en radianes. En general denotamos a un ángulo θr que tiene medida en grados, por θ° y que tiene medida en radianes por θr, obteniéndose la proporción: θ° θr = π 180° Ejemplo Encuentre la medida en radianes de un ángulo de 40°. a) 40° θ r 40° xπ 2π = ⇒θ r = = 180° π 180° 9 Encuentre la medida en grados de un ángulo de (2π)r b) θ 180° = 2π π ⇒θ r = 180° x 2π π = 360° Observación: los radianes también se pueden representar por medio del símbolo rad. Por ejemplo 2r =2 rad. Definición de ángulo en posición estándar: Es el que se mide desde el eje x positivo, en sentido contrario a las manecillas del reloj hasta su lado terminal. Definición: Si θ es un ángulo de posición estándar y P(a,b) un punto a R unidades del origen (R = a 2 + b 2 ) sobre el lado final de θ (fig,1), definamos las seis funciones trigonométricas por las siguientes ecuaciones: b b Tanθ = , a ≠ 0; ; R a R a Secθ = , a ≠ 0; Cosθ = ; a R Senθ = Cotθ = a , b ≠ 0; b Cscθ = R ,b≠0 b Nota:”a” recibe el nombre de lado adyacente “b” el nombre de lado opuesto y “R" el nombre de hipotenusa. 170 194 Área Cientifica Matemática Definición: Si θ es un ángulo en posición estándar y el lado terminal no se encuentra sobre un eje coordenado y es mayor de 90°, entonces él ángulo de referencia para θ es un ángulo agudo θ’ que hace el lado terminal de θ con el eje de x, positivo o negativo. Por ejemplo: θ Y 60° X θ = - 240° Ejemplos: Y 1. Cos 300° = ½ 300° 1 X − 3 2 P ( 1, − 3 ) 195 171 Dirección General de Admisión Temario 2. Tan (-135) = 1 Y -1 45° -1 X 2 P (-1, -1) Definición: Los ángulos cuadrantes son aquellos que tienen su lado final o terminal sobre uno de los ejes coordenados. Este es el caso cuando la medida de cualquier múltiplo positivo o negativo de 90° ó π . 2 Ejemplos: b 1 Sen 90° = = =1 R 1 Csc π R 1 = = =1 2 b 1 r 1 ⎛ π⎞ b Tan ⎜ − ⎟ = - (no está definida) 0 ⎝ 2⎠ a Cot 180° = a 1 = (no está definida) b 0 Aplicaciones de los Triángulos Rectángulos Los vértices de un triángulo los denotaremos como A, B, C. Los ángulos del triángulo ABC se denotarán por α, β, γ, respectivamente y las longitudes de los lados opuestos a estos ángulos como a, b, c respectivamente. El triángulo lo designaremos como ΔABC. Resolver el triángulo significa encontrar todos los elementos, es decir, la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos. Ejemplos: 1.- Si en el ΔABC, γ = 90°, α = 60°, β = 1. Calcule los demás elementos del triángulo. Solución: Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180°. Luego: α+β+γ=180° β = 180°-α-γ = 180°-60°-90°= 180°= 150° =30° 172 196 Área Cientifica Matemática Además, Tan 60° = Entonces C= a ⇒ a = (b)(Tan 60°) = (1)( 3 ) = 3. . b a2 + b2 = ( 3) 2 + 12 = 3 + 1 = 4 = 2 2-- Un punto en el suelo se encuentra a 135 pies de la base de una torre. El ángulo de elevación de dicho punto a cúspide de la estructura es de 60°. Calcule la altura de la torre. Solución: Tan 60°= h ⇒ h = (135)(Tan 60°) = (135)( 3 ) = 135 3 pies. 135 197 173 Dirección General de Admisión Temario Ecuaciones Trigonométricas Definición: Una ecuación trigonométrica es aquella en la que intervienen funciones trigonométricas de ángulos conocidos. Tipos de Ecuaciones Trigonométricas: a) Ecuaciones Trigonométricas Idénticas (Identidades): Aquellas que se satisfacen para todos los valores de los ángulos desconocidos para los cuales las funciones están definidas. Dentro de las identidades tenemos: a) sen2 x + cos2 x = 1 e) cos x = 1 sec x b) 1 + tan2 x =sec2 x f) tan x = 1 cot x c) 1 + cot2 x =csc2 x g) tan x = sen x cos x h) cot x = cos x senx d) sen x = 1 csc x π b) Ecuaciones trigonométricas Condicionales; Aquellas que se satisfacen sólo para valores particulares de ángulos desconocidos. Una solución de una ecuación trigonométrica tal como sen x = 0. es un valor del ángulo que satisface la ecuación, ¿En este caso se encontrará como solución un valor angular en lugar de un valor numérico? Las soluciones de sen x = 0 son: x = 0 y x = π , puesto que la función seno se anula para x = 0 ó x = 180 (π ) . Solamente se considerarán ángulos entre 0° y 360° (0 y 2 π ). Resolución de Ecuaciones Trigonométricas: En la búsqueda de la solución de una ecuación trigonométrica se procede de forma semejante a como se hace en álgebra (factorizando expresiones, trasponiendo términos, etc.) 174 198 Área Cientifica Matemática Sugerencias: a) Que se factorice de ser posible. b) Si aparecen varias funciones, que se trate de expresar en una sola función. c) Algunas veces es posible tomar la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. Ejemplos: 1) Encuentre la solución de la ecuación sen x - 2senx cosx = 0. Senx (1 – 2 cos x)=0 senx = 0 x=0 ó ó x = 180 1 – 2 cos x = 0 2 cos x = 1 cos x =1/2 x = 60°, 300°, ⎛ 5π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 2) Resuelva la ecuación; sen2(x) =1 sen x= ±1 ⇒ x=90°. 270° 3) Encuentre la solución de la ecuación 2 tan2 x + sen2 x = 2. Como sen2 (x) = 1 + tan2 (x) entonces: 2 tan2 x + (1 + tan2 x) = 2 1 + 3 tan2 (x) = 2 3 tan2 (x) = 1 tan2 (x) = 1/3 tan (x) = ± 1 3 ⇒ x = 30°, 210° ó x = 150°, 330° 199 175 Dirección General de Admisión Temario PRÁCTICA 1. Encuentre la medida en radianes de cada án gulo: 30°, 120°, 150°, 300°, - 255°, -450°. ⎛ π ⎞ , ⎛ 2 π ⎞ , π r , ⎛ π ⎞ , ⎛ π ⎞ , ⎛ 5 π ⎞ , ⎛ - 3π ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝6⎠ ⎝2⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 4 ⎠ r r r r 2. Encuentre la medida en grados de cada ángulo: ⎜ 3. Encuentre el valor de las siguientes funciones trigono métricas: r b . Csc (-135), e. Cos (210°), ⎛ π⎞ f. Sen ⎜ ⎟ , ⎝ 3⎠ i. Cos (90°), c. Tan (300°), g. Tan (-45°), a. Sec (135°), ⎛ 3π ⎞ ⎟ , j. Sen ⎜ − ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ d. Cot ⎜ − ⎟ , ⎝ 4 ⎠ ⎛ 3π ⎞ h. Cot ⎜ ⎟ , ⎝ 4 ⎠ r r r r r k. Cot (-2π) , l. Tan (2π) , ⎛π⎞ n . Csc ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ r r m. Sec (π) , Para la figura: B c β a α A γ b C 4. Si γ = 90°, a = 1, b = 1. D etermine las partes restantes. 5. Si γ = 90°, α = 30°, c = 20. Encuent re las partes restantes. 6. Si γ = 90°, β = 45°, c = 35. Encuentre las partes restantes. 7. Encuentre el ángulo d e elevac ión del sol si un niño d e 1 m de estatura produce u na sombra de 3 m de longitud en el suelo. 176 200 r Área Cientifica 8. Matemática Encuentr e l a s ol ución a las siguientes ecuaci ones trigonom étric as: a) tan 2 (x) = 1 b) cos2 (x ) = ¼. c) 2 sen 2 (x) – 3 c os(x) = 0 d) 2 sen (x) – e) Sen 2 (θ) - f) 2 cos (θ) – 1 = 0 g) 3 tan2 (θ) – 1 = 0 h) 2 sen 2 (θ) – sen (θ) = 0 2 3 cos(x ) + 1 = 0 3 cos(θ) = 1 R espuestas: 1. π 6 , 2π 5π 5π 17π 5π . , , , , 3 6 3 12 2 2. 60°, 120°, 180°, 30°, 90°, 150° , - 13 5° . 3. a. e. b. - 2, c. - 2, ─ 3 3 2 f. 2 i. 0 j. 1 m . -1 ─ 3 d. 1 g. - 1 h . -1 k. no existe l. 0 n. 1. 2, α = 45° , β = 45°. 4. b= 5. a = 10, c = 1 0 6. α = 45°, a = 7. El ángulo de elevaci ón es de 30°. 8. a) x = 45° b) x = 60° c) x = 60° d) x = 30° e) θ = 90° f) θ = 60° y θ = 300° 3 , β = 60° . 35 2 2 ,c = 35 2 2 . g) θ = 30° ; θ = 15 0° ; θ = 210° ; θ = 330° h) θ = 0°; θ =30°; θ = 150°; θ = 180 ° 201 177 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 8: DERIVADAS Objetivos 1. Calcular la derivada de una función constante. 2. Hallar la derivada de la función idéntica. 3. Hallar la derivada de la función f(x) = xn, n ∈ Z 4. Calcular la derivada de una suma de funciones 5. Calcular la derivada de un producto de funciones 6. Calcular la derivada de un cociente de funciones Derivada de una función Sea f una función en un intervalo abierto que contiene el número real a. En la figura No. 1 se ilustra la gráfica de f y una recta secante IPQ que pasa por P(a,f(a)) y Q(x,f(x)) I P Q a x IPQ Fig.No 1 La recta I representa la recta tangente en el punto P. Luego la pendiente m de I es el valor límite de la pendiente de IPO cuando Q tiende a P, es decir: m= lím f(x) - f(a) x →a x -a Siempre y cuando el límite exista. Si introducimos una nueva variable h tal que x = a + h, esto es h = x - a, como se ilustra en la fig, No.2 I P Q a a+h=x Fig. N°2 178 202 IPQ Área Cientifica Matemática Obtenemos entonces : m = lim h →0 f (a + h ) − f (a ) = f ′( a ) h que es equivalente a la anterior. Este límite se denomina derivada de una función f en a. Definición: Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al número real a. La derivada f en a, denotada por f ′(x ) esta dada por. f ′(a ) = lim h →0 f (a + h) − f ( a ) h si este límite existe. Además f'(a) también se puede escribir como: f ′ (x) = lim x →a f (x ) − f ( a ) x−a el símbolo f ′( a ) se lee " f prima de a ", la frase “ f ′( x) existe " significa que el límite existe. Si f ′(a ) existe decimos que la función f es derivable en a, que es diferenciable en a o que f tiene derivada en a. Definición; Si f es derivable para todo x en intervalo entonces, asociando a cada x el número f ′( x) , se obtiene una función f ′ llamada derivada de f. El valor de f ′ en x está dado por el siguiente límite: f ′ ( x) = lim f ( x + h) − f (x ) h →0 h Notación: Hay muchas formas de denotar la derivada de una función y = f(x). Además de f ′(x) , las más comunes son: y’ se lee "y prima" dy dx se lee "dy dx" "la derivada de y con respecto a x". df dx se lee "df dx" ó "la derivada de f con respecto a x". D xf se lee "dx def" 203 179 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo: Util izando la defi nición de derivada en cuentre f ’(x) en las siguien tes fu nciones: 1. f ’(x)=3x 2-5x+4 f ’(x)= f ’(x)= lím f(x + h) - f(x) h→0 h [3(x + h) 2 lím h→0 ( − 5(x + h ) + 4 − 3 x 2 − 5 x + 4 h [ )] lím 3( x 2 + 2 xh + h 2 ) ─ 5 x─ 5h + 4 ─ 3 x2 + 5 x─ 4 f ’(x)= h→ 0 h f ’(x)= [3x 2 + 6 xh + 3h 2 ─ 5 x─ 5h + 4 lím h→ 0 f ' (x) = f ' (x) = 2) f' (x) = 2 lím h [6xh + 3h h→0 2 - 5h h ]= h [6x + 3h - 5 ] h→0 h lím lím [ 6x + 3h – 5] = 6x – 5 h→0 h→0 x+h - x h f ' (x) = lím h→0 x+h - x ⋅ h f ' (x) = lím h→0 h f ' (x) = f ' (x) = 204 3 x 2 + 5 x─ 4 ] x f ' (x) = 180 ] lím ( (x + h ) - lím x ) = x) x+ h + = x h h → 0 h ( x +h + 1 ( x+h + x x +h + x x +0 + x) = lím h→0 h lím h→ 0 1 ( x ( x+h-x x+h + x + x) 1 ( = x+h + 1 2 x = x 2x x) ) Área Cientifica Matemática R eglas pa ra dete rmina r De rivada s V am os a estudiar algunas r eg las gen er ales q ue si mpl ifican la tarea de enc on trar deriv adas. 1. Deriva da de un a F unció n Con stante de difere ncia ció n: S ea f(x) = K, k es una constant e, entonc es f ′( x ) = 0. Ej em plo: Encuentr e f ′( x ) si f( x) = - 23, l uego f ′(x ) = 0. 2. Deriva da de la Funció n Idéntica: Sea f( x) = x , ent onces f ′( x ) = 1. 3. Deriva da de la Fun ció n Po tencia: Sea f ( x ) = x , dond e n es un núm er o entero, entonc es n f ′( x ) = n ⋅ x n −1 Ej em plos: a) f ( x) = x 7 a) f ( x ) = x −3 en tonces f ′( x ) = 7x 6 entonces f ′( x ) = − 3 x −4 Obse rva cio nes: a) Si n = 1, f(x) = x, que es la fu nción idéntic a, luego f ′(x ) = 1. b ) Si f( x) = K xn , entonc es f ′ ( x ) = K nxn -1. Ej em plos: En cuentre f ′( x ) si: 1. f(x) = 4x 3 entonces f ′( x ) = 12x2 2. f(x) = -2x 5 entonc es f ′(x ) = - 10x4 4. Deriv ada d e una Su m a d e Fu ncio n es: Sean g y h dos funciones y f l a fun ción definida por: f( x) = g(x) + h(x); ent onces f ′( x ) = g ′(x ) + h′ (x ) E jem plos: Enc uentre la derivada d e: 1. f( x) = 5x + 2 , entonc es f ′ ( x ) = 5. 2. f( x) = x 2 – 5x + 1, luego f ′( x ) = 2x – 5. 3. f( x) = 3x 2 – 9, luego f ′(x ) = 6x . 5. Deriva da de un Pro ducto de Funcione s: S ean g, h dos funci ones y f la función definid a por : f(x) = g(x )h(x), entonces: f ' (x) = g(x) h'(x ) + h(x) g '(x) Ej em plo: Encuentr e la deri vada de: 2 f(x) = (x – 2) (x + 1) f(x) = (x 2- 2)(1) + (2x )(x+ 1) f(x) = x2 – 2 + 2x + 2x 2 2 f(x) = 3x + 2x – 2 6. Deriv ada d el Co cie n te de Funcio nes: Sean g y h dos funciones y f l a func ión definida por: f (x ) = g (x ) g ' (x ) h(x) - g ( x) h' (x) c on h(x) ≠ 0, entonces: f ' (x) = h (x ) [h (x)]2 205 181 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo: Encuent re f ' (x) si: f ′( x ) = x2 +1 2x - 3 ( ) 2 x (2x - 3 ) - x 2 + 1 ( 2) f ′( x) = [2x - 3] 2 2 2 f ′( x) = 4 x - 6x - 2x - 2 f ′( x ) = 2 x 2 - 6x - 2 [2 x - 3]2 [2x - 3]2 Práctica 12. f (x) = 13. f (x) = 1. f ( x) = 48 2. f ( x) = 9 x − 2 3. f ( x) = 17 − 6 x f ( x) = 7 x 2 − 5 5. f ( x) = 10 x + 9 x − 4 6. f ( x) = 6 x − 5 x + x + 9 7. f ( x) = x 3 − 7 x2 + 3 8. k ( x ) = 2 x2 − 4 x + 1 ( 6 x − 5 ) 9. g (s ) = s 3 − 5 s + 9 (2 s + 1) ( ) ) ( )( 10. f ( x) = x 3 + 1 2 x 2 + 8 x − 5 11. f ( x) = 182 206 17. ) ( 4x − 5 3x + 2 2w w −7 3 16. f (x) = 2 x + 2 x −1 2 )( 2 − 9x 15. f (x) = 3x − 4 2 ( 8 − x − 3 x2 14. f (x) = 4. 3 8 x 2 − 6 x + 11 x −1 g( r) = 5r 2 ─ 4r ─ 2 18. f (t ) = 5t −1 7 ( )( 19. f (x) = 8 x2 − 5 x 13 x2 + 4 ) 20. f (x) = x3 −1 x3 +1 ) Área Cientifica Matemática Respuestas: 1. f ′( x) = 0 2. f ′( 0 ) = 9 3. f ′( x) = − 6 13. f ′( x) = 14. 4. f ′( x) = 20 x + 9 6. f ′( x) = 18 x 2 − 10 x + 1 7. k ′( x ) = 36 x − 68 x + 26 9. g ′( s ) = 8 s 3 − 3s 2 − 20 s + 13 10. f ′ ( x) = 10 x + 32 x (w 3 ─ 7)2 f ′( x) = 5 x + 9 x − 14 x 8. ─ 4 w 3 ─ 14 f ′( x) = 14 x 5. f ′( w) = 27 x 2 ─ 12 x + 70 ( 2 ─ 9 x) 2 4 15. f ′( x) = 16. f ′( x) = 2 − 2 17. 2 11. f ′( x) = 12. f ′( x ) = 4 (3x −12 x5 23 2 +2 3 ) x 2 g' ( r ) = 10 r + 18. f ′( t ) = 8 r3 −5 7t 2 2 15 x +4x +8 19. f ′( x) = 416 x − 195 x + 64 x − 20 3 2 8 x 2 ─ 16 x ─ 5 2 20. f ′( x) = 2 6 x2 ( x3 + 1)2 ( x─ 1) 2 207 183 Dirección General de Admisión 104 208 Temario Física Área CientÍfica FÍ SI CA AUTORES Profesor Profesor Profesor Profesor Profesor Julio Aris Álvaro Maturell Armando Tuñón Eduardo Sáenz Sergio Guerra REVISADO Y ACTUALIZADO –2006 Profesor Profesor Profesor Eduardo Sáenz Gustavo Bracho César Rodríguez 185 Temario Dirección General de Admisión MÓDULO 1: NOTACIÓN CIENTÍFICA Objetivos 1. Definir el concepto de notación científica. 1.1 Transformar de notación decimal a notación científica y viceversa. 2. Estimar el orden de magnitud de una cantidad física escrita en notación decimal o notación científica. NOTACIÓN CIENTÍFICA Cómo surge la notación científica? Nace como una necesidad de expresar magnitudes grandes y pequeñas, en cantidades manejables desde el punto de vista de ciertas operaciones como la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. La notación científica consiste en representar una cantidad real positiva como el producto de dos factores uno de los cuales es un número mayor o igual que 1 pero menor que 10, y el otro es una potencia entera de base 10. Por ejemplo la cantidad 2,53 X 106 está escrita en notación científica. Reglas para transformar notación científica en notación decimal y viceversa Ejemplos: 1. Escriba los siguientes números en notación decimal: a) 3,48 X 107 3,48 X107= 34800000 Como el exponente es positivo, se corre el punto decimal hacia la derecha, tantos espacios como lo indique el exponente. En este caso, el punto decimal se corre 7 lugares hacia la derecha. Para que la base sea un número mayor que 1 y menor que 10, corremos el punto decimal un lugar hacia la derecha, luego añadimos una potencia de diez con exponente igual al número de lugares que corrimos el punto. b) 4,67 X 10-3 En este caso el exponente es negativo por lo tanto, el punto decimal se corre 3 lugares hacia la izquierda: 4,67 X 10-3 = 0,00467 2. Escriba las siguientes cantidades en notación científica: a) 0,255 0,255 = 2,55 X 10-1 Comprobamos: 2,55 X 10-1 = 2,55 X 0,1 = ,255 b) 5935 Para que la base sea un número mayor que 1 y menor que 10, corremos el punto decimal 3 lugares hacia la izquierda y añadimos la potencia de diez, en este caso 103 (en este caso asumimos que el punto decimal está a la derecha del último dígito de la derecha). 5935 = 5,935 X 103 (comprobar este resultado) 186 210 Física Área CientÍfica EJERCICIO DE PRÁCTICA No. 1 1. Escriba los siguientes números en notación decimal: a) 3,4 X 105 b) 4.67 X 10 -3 c) 5,480 X 10 3 d) 0,0034 X 10 4 e) 6,45 X 10 -2 2. Escriba los siguientes números en notación científica: a) 0,003 4 b) 456 000 c) 3 570 000 d) 0,399 e) 3 456 ORDEN DE M AGNITUD El orden de magnitud de una cantidad es la potencia de diez (positiva o negativa ) que más cerca esté de dicha cantidad. Para obtener el orden de magnitud de una cantidad dada es necesario entonces expresar la cantidad como una potencia de diez. Si la base del número es mayor que 10 = 3,16, entonces el orden de magnitud es la potencia de 10 inmediatamente mayor. Ejemplos: 1.- Determinar el orden de magnitud de las siguientes cantidades: a) 4,15 X 10 5 , el orden de magnitud es 10 6 5 b) 1,2 X 10 , el orden de magnitud es 10 c) 2,5 X 10 -7 porque 4,15 es mayor que 3,16 5 porque 1,2 es menor que 3,16 , el orden de magnitud es 10 - 7 5 4 d) 7,1 X 10 - . el orden de magnitud es 10 - porque 2,15 es menor que 3,16 porque 7,1 es mayor que 3,16 2.- Encuentre el orden de magnitud de las siguientes cantidades: a) 2,4 X 10 6 el orden de magnitud es 10 6 b) 1.43 X 10-5 el orden de magnitud es 10-5 c) 24300, primero lo escribimos en notación científica: 24300= 2,43 X 10 El orden de magnitud es 10 4 4 EJERCICIO DE PRÁCTICA No. 2 Encontrar el orden de magnitud de todos los números que aparecen en el Ejercicio de Práctica No. 1. RESPUESTAS Ejercicio de la práctica No. 1 Ejercicio 1. a) 340 000 b) 0,00467 c) 5 480 d) 34 e) 0,0645 b) 4,56X105 c) 3,57X106 d) 3,99X10-1 e) 3,456X10 3 d) 10 2 e) 10 -1 Ejercicio 2. a) 3,4X10-3 Ejercicio de la Práctica No. 2 Ejercicio 1. a) 10 6 b) 10 -2 c) 10 4 211 187 Temario Dirección General de Admisión MÓDULO 2: CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES EN LA MEDICIÓN Objetivos: 1. Reconocer las cifras significativas en una medición. 1.1 Realizar operaciones con cifras significativas. 2. Cuantificar el error de un conjunto de medidas CIFRAS SIGNIFICATIVAS Son cifras significativas todas las cifras que se pueden leer exactamente en una escala más una cifra aproximada. Por convención, la última cifra de toda medición es siempre una cifra aproximada o incierta. Ejemplos: 1- Indicar el número de cifras significativas de cada una de las siguientes mediciones: a) 42,3 cm 3 cifras significativas (4, 2, 3). b) 0,0026 m 2 cifras significativas (2, 6) ya que los ceros sólo se utilizan para ubicar el punto decimal. c) 1,06 X 108 s 3 cifras significativas (1,0 ,6). En este caso sólo se toman las cifras de la base. d) 4,00 cm 3 cifras significativas. En este caso los ceros sí forman parte de la medición. NOTA: La cifra subrayada en cada medición corresponde a la cifra incierta. OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Adición y Sustracción Ejemplos: 1.-Sumar las distancias 2,39 m; 12, 5 m; 0,872 m Se redondea hasta la primera cifra incierta, en este caso: 2, 39 m 2, 4 m + 1 2,5 m + 1 2, 5 m 0,872 m 0, 9 m 1 5, 8 m Multiplicación y División Ejemplos: 1.- Realizar la siguiente división: 18,9m 1,5s a) Se obtiene el cociente tal cual: 18,9 m / 1,5 s = 12,6 m/s b) Se redondea el resultado de acuerdo al factor que tenga menos cifras significativas (en este caso, 1,5 que tiene 2 cifras significativas, procure dejar suficientes dígitos para redondear) 188 212 Física Área CientÍfica 12,6 m/s ------- 13 m/s (recordar las reglas de redondeo) EJERCICIO DE PRÁCTICA No. 1 1. Indicar el número de cifras significativas en cada una de las siguientes mediciones: a) 562,3 cm b) 2,33 x 108 m/s c) 0,000423 s d) 9,335 cm 2. Realice las siguientes operaciones tomando en cuenta el concepto de cifras significativas: a) 2,3m + 1,46m + 0,0336 m b) 4,5 X 10 -5 m / 3,12 X 10-8m/s c) (3,1416) (5,20 cm)2 (10 cm) d) 2,34 X 10-3m + 1,8 X 10-4 m e) 52 m + 1,27 m - 32 m f) 9536 m / 21 s g) 3,26 X 104 m + 1,54 X 104 m2 / 2,4X 102 m RESPUESTAS Ejercicio de la Práctica No. 1 Ejercicio 1 a) 4 b)3 c)3 d)4 Ejercicio 2. a) 3,8 m b) 1,4 X 103s c) 8,5 X 102 cm3 d) 2,52 X 10-3 m e) 21m f) 4,5 X 102 m/s g) 3,26 X 104 m + 6,4 X 101 m = 3,27 X 104 m 213 189 Temario Dirección General de Admisión REGLAS PARA REDONDEAR Cuando Ud. tenga que redondear un número determinado de cifras significativas haga lo siguiente: a. Preferiblemente escriba su cantidad en notación científica sin quitar ninguna cifra significativa. Ejemplos: La rapidez de la luz en el vacío se conoce con las 9 cifras significativas siguientes: C = 299792458 m/s La constante de gravitación universal se conoce con 6 cifra significativas; G = 6,67259 x 10-11m3Kg-1s-2 La rapidez de la luz en el vacío y con 9 cifras significativas se escribe: C = 2,99792458 x 108 m/s. La constante de gravitación ya está en notación científica. Ensayemos redondear la rapidez de la luz digamos a cinco (5) cifras significativas. a. Escriba las cuatro cifras que va a quitar en el redondeo en el mismo orden que aparecen en la cantidad inicial y con un punto decimal al comienzo. Es decir escribimos: 0.2458 b. Compare ahora su cantidad que va a quitar así escrita con el número 0,500000... Y vea cuál de las dos cantidades es mayor. Aquí 0,2458 < 0,5000. En el caso de ser menor que 0,5000 deje las cifras restantes sin alterarlas. Es decir 2,9979 x 108 m/s es el buen redondeo. c. Suponga que deseamos redondear la rapidez de la luz a cuatro (4) cifras significativas. Debo quitar cinco cifras ahora que escribo 0,92458 y es mayor ahora que 0,50000. En este caso aumente en una unidad la última cifra que va a dejar es decir aumento en una unidad al 7 que es la cuarta cifra que uno va a dejar y el redondeo queda: 2,998 x 108 m/s con 4 cifras significativas. Si quiero redondear la rapidez de la luz a 3 cifras significativas quedará: 3,00 x 108m/s (verifique). Redondeé la rapidez de la luz a una (1) cifra significativa. 190 214 Física Área CientÍfica Nota: en el caso que Ud. vaya a redondear y las cifras que va a quitar correspondan a 0,5000 entonces use los siguientes criterios: 1. Redondear 4678500 m = 4,678500 x 106 m a cuatro (4) cifras significativas: Las cifras que voy a quitar las escribo: 0,500 y es igual a la cantidad de referencia 0,5000..... Entonces fíjese en este caso en la última cifra que va a dejar o sea en este caso la cuarta. Si es par no modifique ninguna de las cifras, es decir, nos queda: 4,678 x 106 m con cuatro cifras significativas. 2. Si la cantidad fuese 0,0001750 s = 1,750 x 10-4 s y la quiero redondear a dos (2) cifras significativas entonces las cifras que voy a quitar las escribo 0,50 y que es igual a la cantidad de referencia 0,5000 pero la última cifra que voy a dejar aquí es el 7 que es IMPAR, entonces sumaré una unidad a la última cifra que voy a dejar y nos queda: 1,8 x 10-4 s con dos cifras significativas. Problemas de práctica: 1. Escriba con 3 y con 4 cifras significativas la constante de gravitación universal G dada al comienzo. Escriba la rapidez de la luz con una cifra significativa. 2. Escriba la longitud de Planck I p = 1,61605 x 10-35m con cinco cifras significativas y con dos cifras significativas. 3. La carga del electrón "e" = 1,60217733 x 10-19C, escríbala con cinco cifras, con 3 cifras. 4. Trate de escribir con sus palabras las reglas usadas en los ejemplos. NOTA: cantidad de referencia es 0,5000000 215 191 Temario Dirección General de Admisión ERRORES EN LA MEDICIÓN: Al realizar mediciones directas o indirectas se cometen dos tipos de errores: errores sistemáticos y errores aleatorios. Los errores sistemáticos se deben a la precisión del instrumento de medición y es la mitad de la división mas pequeña que presenta la escala de medición. Ejemplo No. 1 La figura 1 muestra reglas graduadas en tres escalas distintas, determine el error sistemático de cada instrumento. Figura No.1 Como se puede apreciar en la figura para la escala en mm la mitad de la división más pequeña es 0,5 mm, para la escala en cm es 0,5 cm mientras que para la escala en dm es de 0,5 dm. Si pasamos a m los errores sistemáticos de las reglas del ejemplo No. 1 observamos que para la regla graduada en mm el error sistemático es de 0,0005m, para la regla graduada en cm es de 0,005m mientras que para la regla graduada en dm es de 0,05m; vemos entonces que la regla graduada en mm es la mas precisa, ya que presenta el menor error sistemático. El error aleatorio de una medición se debe la comportamiento estadístico intrínseco que va asociado al proceso de medición. Al medir se está comparando el tamaño de una medida con una unidad patrón, luego entonces siempre tendremos una cifrada estimada o dudosa que hará que el error cometido sea aleatorio, ya que el mismo va a depender de la persona que está midiendo y de las condiciones en la que se está midiendo. La medición repetida de una misma magnitud no siempre arrojará los mismos valores. Para cuantificar el error estadístico de un número de medidas y establecer el valor más probable de la misma se definen: el valor promedio, la desviación cuadrática media, la desviación estándar, el error relativo y el error porcentual. Valor Promedio: El valor promedio es la cantidad que más se acerca al valor real de una medida. Para calcular el valor promedio de una conjunto de medidas se suman todas las medidas y se divide entre el número total de medidas. X = 192 216 1 N i= N ∑X i =1 i = X 1 + X 2 + X 3 + ... + X N N Física Área CientÍfica Ejemplo No. 2 La tabla 1 muestra un conjunto de medidas del tiempo de reacción de una persona medidos con una cronómetro digital cuyo error sistemático es de 0,001s. Calcular el valor promedio del tiempo de reacción. Tabla 1. Tiempo (s) 0,259 0,308 0,242 0,408 0,225 El valor promedio es de: X = 0,259 s + 0,308s + 0,242s + 0,408 s + 0,225 s = 0,288 s 5 Desviación cuadrática media Como podemos apreciar en el ejemplo No. 2 no todas las medidas son iguales al promedio. Se define la desviación como la deferencia entre la medida y el valor promedio: δi = Xi − X Si calculamos la desviación de cada medida del ejemplo No. 2, podemos observar que hay desviaciones positivas y negativas. Para tomar el promedio de las desviaciones y no tomar en cuenta el signo, se promedian las desviaciones al cuadrado, definiendo así la desviación cuadrática media: 1 δ = N 2 i N ∑(X i =1 i − X )2 Desviación estándar La desviación estándar es el valor estadístico del error en una conjunto de mediciones. desviación estándar como: σN = 1 N N ∑(X i =1 i Se define la − X )2 Es la desviación estándar del conjunto de medidas y se utiliza para N > 30 medidas. σ N −1 = 1 N ∑ (X i − X )2 N − 1 i =1 Es la desviación estándar del conjunto de medidas y se utiliza para N < 30 medidas. 217 193 Temario Dirección General de Admisión Valor más probable Es el rango en donde puede estar ubicado el valor real de una medida. Se define como el valor promedio más o menos su desviación estándar o el error sistemático. Para un conjunto de mediciones el error que se coloca en el valor más probable es el mayor error, entre el sistemático y la desviación estándar: X = X ±σ Esto significa que el valor mas probable de una medida esta entre el valor promedio menos el error y el valor promedio mas el error. Error relativo y porcentual El error relativo de un conjunto de mediciones es la desviación estándar dividida por el promedio: Ejemplo No. 3 Calcular la desviación cuadrática media, la desviación estándar, el valor más probable, el error relativo y el error porcentual, del conjunto de medidas del ejemplo No. 2. El valor promedio para el conjunto de medidas del ejemplo No. 2 es de . Aplicando la ecuación para el cálculo de la desviación se obtienen los resultados de la desviaciones de cada medida y el cuadrado de cada una de ellas que se muestra en el cuadro. Tabla No.2 Tiempo (s) 0,259 0,308 0,242 0,408 0,225 δi = Xi − X -0,029 0,020 -0,046 0,120 -0,063 δ i2 = ( X i − X ) 2 0,00084 0,00040 0,00021 0,0144 0,0040 Promediando las desviaciones cuadráticas se obtiene la desviación cuadrática media: δ i2 = 0,00084 + 0,00040 + 0,00021 + 0,0144 + 0,0040 = 0,0004 5 Con la raíz cuadrada se obtiene la desviación estándar: σ N −1 = 0,00084 + 0,00040 + 0,00021 + 0,0144 + 0,0040 0,0198 = = 0,070 5 −1 4 Ya que son menos de 30 medidas. 194 218 Física Área CientÍfica El valor más probable será entonces: X = X ± σ = ( 0 , 288 ± 0 ,070 ) s El error relativo será: E . R. = σ X = 0 ,070 = 0, 24 0 ,288 El error porcentual será: E .P. = E .R. × 100 % = 0,24 × 100% = 24 % PRÁCTICA Para cada columna de la siguiente tabla de valores determinar el valor promedio, las desviaciones de cada medida, las desviaciones cuadráticas, la desviación cuadrática media y la desviación estándar. Medida L(cm) T(s) M(g) V(cm3) 1 10,25 1,535 6,52 10,5 2 11,35 1,958 5,98 11,2 3 12,95 1,652 7,32 9,0 4 9,50 2,056 6,95 10,8 5 14,10 1,489 7,50 10,7 219 195 Temario Dirección General de Admisión MÓDULO 3: GRÁFICAS. FUNCIÓN LINEAL Objetivos: 1. Graficar una tabla de datos en papel milimetrado. 1.1 Escribir la ecuación de la línea recta. 2. Reconocer el caso de proporción directa. 2.1 Escribir la ecuación de proporción directa. LA ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN LINEAL. Una serie de datos experimentales pueden, con mucha frecuencia AJUSTARSE a una ecuación de tipo algebraico, que permite luego hacer PREDICCIONES sin tener que realizar experiencias. Una de las ecuaciones mejor conocidas es la de la LÍNEA RECTA. Para determinar la ecuación de cualquier recta, basta con tener de dicha recta, su PENDIENTE que designaremos por "m" y su ORDENADA EN EL ORIGEN que llamaremos "b". A los valores "m" y "b" los denominaremos PARÁMETROS DE AJUSTE y en realidad son los DOS (2) elementos fundamentales para caracterizar una recta. Para determinar los parámetros de ajuste a partir de un gráfico lineal, o aproximadamente lineal, sólo necesitamos DOS PUNTOS de la recta. Si en general llamamos Y e X las VARIABLES que se han medido, la letra “ Y “ será la variable DEPENDIENTE (que se coloca en el eje vertical generalmente) y '”X”. la variable INDEPENDIENTE (que se coloca en el eje horizontal generalmente), dicha ecuación tiene la forma general siguiente: Y = mX + b (1) También fíjese en las unidades de cada variable. Tanto "m" como "b” tienen unidades y cada término de (1) debe ser homogéneo y tener las mismas unidades para poder sumarse. LOS PARÁMETROS DE AJUSTE . La pendiente "m" se calcula con un par de puntos de "la recta" (vea por ejemplo los puntos seleccionados en la gráfica No.1. Si llamamos (X1,Y1) a uno de los puntos y (X2.Y2) al otro punto entonces: m = (Y2 - Y1) / (X2 -X1) (2) que a veces se escribe con una notación más compacta así: m = ΔY / ΔX (2a) en las unidades respectivas de acuerdo a las unidades de las variables en los ejes. Ejemplo No.1 Como ejemplo tomemos el gráfico No.1. Este es una gráfica TRADICIONAL en donde los puntos experimentales están en círculos rellenos y se ha graficado la Longitud que llamaremos "L" en centímetros en función la fuerza aplicada a un resorte. Llamaremos "F" en Newtons a dicha fuerza. Fíjese que "L" y "F” se han colocado en los ejes como "nombres' de las variables y así mismo Ud. "CAMBIE1' a dichos nombres en la ecuación (1), quedando esta de la forma: 196 220 Física Área CientÍfica L = mF + b En el caso del gráfico N°1, la ecuación (2) queda de la forma: m = (L2 - L1) / (F2 - F1) (2b) o en forma más compacta: m = ΔL / ΔF (2c) Tanto "m" como "b" son números reales con unidades, que llamamos escalares y pueden tener valores positivos, negativos e incluso nulos. Son importantes tanto el valor numérico como sus unidades y el signo. Para el gráfico No. 1 utilizando dos puntos (en este caso los marcados por las dos flechas que llevan a "m") se puede determinar la pendiente de dicha recta que nos da: m = (20 - l5) / (0,20 – 0,10) cm / Newtons = 50 cm I Newtons (3) Aquí puede verificar con otro par de puntos y verá que es el mismo valor. Pero debe recordar que si Ud. interpola su lectura entonces puede tener valores parecidos, pero no iguales, pues depende de cuán bien lea las escalas. Para determinar el valor de "b' del gráfico No.1, tomamos el valor de "Y" (observado directamente sobre el gráfico) donde la recta CORTA al eje vertical cuando la variable X vale CERO. Por eso se le llama a este último valor LA ORDENADA EN EL ORIGEN. En el caso de este gráfico se puede leer BIEN el valor de "b" pues el valor de L para F cero es "10 cm", Y eso es todo, ya tiene sus PARÁMETROS y por ende, su ecuación, TRANSCRITA a sus variables quedando: L = 50 (cm/Newton) F + 10 cm (4) Estando L en cm y F en Newtons. O simplemente: L = 50 F +10 (4a) Estando L en cm y F en Newtons. Y ya le queda una ecuación (en vez del gráfico) para interpolar o extrapolar, o en términos de experimentos, para PREDECIR valores no experimentados. Ejemplo No. 2 Si ahora graficamos la misma data, pero colocando las variables en los ejes en forma diferente obtenemos el gráfico No.2. Nuevamente el resultado es lineal y podemos usar la misma ecuación (1) para escribir la ecuación de este gráfico. La pendiente con los dos puntos indicados en el gráfico, nos dará ahora: m' = (0,20 - 0,10 ) / (20-15) Newton/cm = 0,020 Newton/cm. Es decir, m' = 0,020 N/cm 221 197 Temario Dirección General de Admisión Ahora bien, el valor de "b" se puede calcular con uno de los puntos usados anteriormente ( o cualquier otro del gráfico lineal) y la ecuación (1). Para ello despejamos el valor de " b" (la razón es que en el gráfico 2, no se ve el valor de "b') y obtenemos: b' = Y - m' X (5) Utilizando el punto (15cm; 0,10 Newtons) del gráfico 2 (puede usarse cualquier otro punto) nos queda: b = 0,1N - (0,020 N/cm) (15cm) = 0,10N - 0,30N = - 0,20N y la ecuación final es: F = (0,020 N/cm) L - 0,20 N (6) Estando F en Newtons y L en cm o simplemente: F = 0,020 L - 0,20 (6a) Estando F en Newtons y L en cm. Que es EQUIVALENTE a la encontrada en (4) o 4a. Problema No.1 Calcule la pendiente del gráfico No.1 utilizando los puntos: a. (0,10cm) y (0,3N, 25 cm ) b. ( 0,2 N , 20 cm ) y ( 0,4 N, 30 cm } Problema No.2 Calcule la pendiente del gráfico No.2 utilizando otros puntos. Problema No.3 Calcule el valor de "b" del gráfico No.2 utilizando otros puntos. Problema No.4 Demuestre que despejando 4a. Se obtiene 6a. PROPORCIONALIDAD DIRECTA. Cuando se hace un ajuste lineal que pasa por el origen de coordenadas (el punto (0,0)) diremos que las dos variables "son directamente proporcionales”. Por ejemplo vea el gráfico No.3, en donde se ha graficado el voltaje (que llamaremos V), en una resistencia eléctrica en función de la corriente (que llamaremos I) que circula por dicha resistencia. Una característica importante resalta: EL VALOR DE "b' es CERO y sólo falta encontrar la pendiente, pero aquí, si usamos el origen y otro punto cualquiera, el cálculo es más rápido. Viendo el gráfico tenemos que: 198 222 Física Área CientÍfica “m" = (18 - 0) / (0.006 - 0) Voltios/amperios = 18 / (6 x 10-3) Voltios/amperios = 3 x 103 Voltios/amperios Nuestra ecuación (1) TRADUCIDA al lenguaje de este problema queda: V = (3 x 103 Voltios/amperios) I (7) O simplemente: V = 3 X 103 I (7a) Estando V en voltios e I en amperios. Otra manera de VERIFICAR si dos variables son directamente proporcionales es buscando el COCIENTE o sea la DIVISIÓN de las dos variables y haciendo una tabla de dichos cocientes. Para el gráfico 3 (en papel cuadriculado) los datos experimentales pueden leerse y obtener la siguiente tabla. V (voltios) l (amperios) 0,0 0,0 6,0 0,002 12,0 0,004 18,0 0,006 24,0 0,008 30,0 0,01 Tabla No 1. de Voltaje V en voltios Vs corriente I en amperios. De dicha tabla podemos construir la tabla mencionada de los COCIENTES o sea LA DIVISIÓN de V entre I (V/I) que nos lleva a la tabla 2 siguiente: V/l ------- 3 x 103 3 x 103 3 x 103 3 x 103 3 x 103 Tabla No 2. Voltaje/corriente (en voltios/amperios) Y vemos que el COCIENTE de las dos variables (no de sus variaciones) es constante. Cuando esto suceda (y no importa en que orden haga el cociente) diremos que las dos variables son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (y no necesitamos hacer el gráfico). Cuando dos variables son directamente proporcionales eso quiere decir que las dos "cambian" de la misma manera. Cuando una se duplica la otra también, si una se hace tres veces menor la otra también, etc. En este caso y sólo en este caso podemos usar la famosa REGLA DEL TRES que los alumnos tanto usan. Como la ecuación en este caso tiene el valor de "b" NULO o sea CERO, la ecuación (1) queda: Y = m X (8) Y "m" es justo el "cociente" o "división" de !as dos variables que es constante. La ecuación queda con el valor "m" de la tabla No. 2 así: V = 3 x 10 3 l (9) Estando V en voltios e l en amperios. En el lenguaje matemático cuando dos variables son proporcionales esto se escribe de las dos formas equivalentes: 223 199 Temario Dirección General de Admisión YαX (10) Y = mX (10 a) ó Claro está que para calcular la segunda forma nos conviene más. Pero nótese que (10 a) es un caso particular de (1). Problema No 4 Para el gráfico No. 4, donde la rapidez "v" está en m/s y el tiempo "t" está en segundos encuentre: a. La pendiente. b. La ordenada en el origen. c. La ecuación de la recta. Longitud (L) vs Fuerza (F) 35 Ajuste lineal 30 25 Punto experimental Longitud (cm) (x2, y2) 20 (x1, y1) 15 Puntos para calcular la pendiente 10 Valor de b 5 0 0 0.1 0.2 0.3 Fuerza (Newtons) GRÁFICA No.1 200 224 0.4 0.5 Física Área CientÍfica Fuerza vs Longitud 0,5 PUNTOS PARA LA PENDIENTES Fuerza(Newtons) 0,4 0,3 (X1, Y1,) 0,2 (X1, Y1,) 0,1 NO SE VE EL VALOR DE “b” 0,0 0 5 10 15 20 25 30 35 Longitud(cm) GRÁFICA No. 2 225 201 Temario Dirección General de Admisión Voltaje vs Corriente 35 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Voltaje (voltios) 30 25 Puntos para la pendiente “m” X 2,Y 2 X 1,Y 1 20 15 10 Ajuste lineal 5 0 0,000 0,002 0,004 0,006 Corriente (amperios) GRÁFICA No. 3 GRAFICA 202 226 0,008 0,010 0,012 Física Área CientÍfica Rapidez vs tiempo 12 v a lo r d e " b " 11 10 9 p u n t o s p a ra e l c a lc u lo d e " m " é s t a p e n d ie n t e e s n e g a t iv a R a o id e z ( m / s ) 8 7 ( X 2 ,Y 2 ) 6 5 ( X 1 ,Y 1 ) 4 3 A JU S TE LIN EA L 2 1 0 0 ,0 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1 ,0 1 ,1 1 ,2 T ie m p o (s ) GRÁFICA No. 4 GRAFICA 227 203 Temario Dirección General de Admisión MÓDULO 4: GRÁFICAS. FUNCIÓN POTENCIAL Objetivos: 1. Reconocer cuando se tiene una función potencial en papel milimetrado. 1.1 Linerizar la gráfica potencial en papel log-log. ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL: En el módulo de Función Lineal ya hemos incursionado en los ajustes. Aclaramos lo de las variables y lo de los parámetros de ajuste. En realidad, a una data cualquiera, se le puede hacer casi cualquier tipo de ajuste. Pero unos ajustes predicen mejor que otros y como el objetivo de un ajuste es poder predecir, aquellos que predigan mejor lo que va a ocurrir, serán también los mejores. En los gráficos 1, 3 y 5 en papel cuadriculado, les presentamos tres tipos de curvas que pertenecen a una sola familia de curvas. Hemos escogido, por razones didácticas, fenómenos físicos comunes. El primer gráfico corresponde a la distancia "d" que recorre un cuerpo cuando cae verticalmente desde el reposo, en función del tiempo "t”. El gráfico 3 corresponde a la rapidez "v" que posee un cuerpo a medida que recorre una distancia "d" si el mismo tiene aceleración constante y parte del reposo. El gráfico 5 describe la intensidad "I" de una lámpara en función de la distancia "d" a la misma. Al mirar los gráficos parecen de tipo diferente, pero si observamos lo que ocurre a estos gráficos al pasarlos al papel con una escala logarítmica en ambos ejes, que son los gráficos 2, 4 y 6, vemos que todos se tornan LÍNEAS RECTAS. Cuando una data de cualquier naturaleza se torna LINEAL en un papel con escala logarítmica en ambos ejes o log-log, esto quiere decir que la función que ajusta dichos datos corresponde a una función potencial. En un examen será difícil que Ud. construya, en poco tiempo, un gráfico correspondiente a este tipo de función. Lo que sí se le puede presentar es que se le dé una línea en un papel doble logarítmico o log-log, pues en las computadoras actuales se puede fácilmente cambiar de tipo de escalas y de rangos de dichas escalas. Presentaremos pues el problema de encontrar la ecuación de la función potencial de un gráfico lineal en papel loglog. Para ello basta saber lo siguiente: Ecuación de la función potencial: Y = A X n (1) Siendo: "Y" la variable en el eje vertical. "X" es la variable en el eje horizontal. "A" es uno de los parámetros de ajuste llamado constante de proporcionalidad. "n" es el otro parámetro de ajuste que es un exponente. 204 228 Física Área CientÍfica Si usamos los gráficos 2, 4, y 6 para ensayar ajustes potenciales procederemos así: a) Sobre el gráfico, con una regla medimos los DOS (2) catetos de un triángulo RECTÁNGULO, que tenga por hipotenusa la recta. Entre más grande el triángulo mejor, Ud. puede incluso alargar la recta. Como quien calcula una pendiente pero con los valores de "las medidas" de los catetos del triángulo rectángulo, encontramos el cociente de dichas dos medidas. Este cociente representará con el número de cifras significativas correcto, al EXPONENTE que hemos llamado "n". El signo será de acuerdo al signo de la pendiente, como en el caso de la línea recta, pero en este caso Ud. debe poner el signo. b) Se busca en el gráfico, sobre el eje HORIZONTAL el valor donde la variable vale 1 o 10º que es lo mismo. Se levanta allí una ordenada o línea vertical hasta cortar la recta y se lee el valor de dicha ordenada, teniendo cuidado de no olvidar las potencias de diez, pues es papel logarítmico. Ese será el valor de A. y luego sólo tiene Ud., que escribir su ecuación ajustada cambiando adecuadamente los nombres de las variables en los ejes. EJEMPLO No. 1. En el caso de la recta del gráfico 2, la pendiente es positiva. Usando un triángulo que tome los puntos extremos del gráfico dibujado tenemos: Para el cateto mayor: su longitud es de a = ________ cm (medido con una regla), Para el cateto menor: su longitud es de b = ________ cm. El cociente equivalente a la pendiente de dicha recta es: a/b = 2.0 (sin unidades pues es un exponente}. Este es el valor de "n". El valor de A es aproximadamente 5, que es el valor de Y cuando X vale 1. Y la ecuación queda: d = 5 t2 (2) estando "d " en metros y "t" en segundos. Observar qué rectas en papel log-log con pendientes positivas corresponden a exponentes positivos. EJEMPLO No. 2. En el caso del gráfico 4 la pendiente es positiva pero menor de 1. Como en el ejemplo I dibujamos un triángulo rectángulo, aquí que cubra toda la gráfica del papel y tenemos: Cateto más corto: a = _____cm Cateto más largo: b = _____cm 229 205 Temario Dirección General de Admisión Cociente equivalente a la pendiente: a/b = 0,496 y con dos cifras significativas = 0,50 Y este será el valor de "n". El valor de A es aproximadamente 4,3 (hay que practicar la lectura en este tipo de papel). La ecuación será: V = 4,3 d 0.5 (3) y este es el ajuste, estando "V" en m/s y "d" en segundos. EJEMPLO No 3. En el caso del gráfico 6, de salida su pendiente es negativa, pero en valor absoluto mayor que 1. Tomando el punto inicial y final para determinar el triángulo, tenemos: Cateto mayor: a =_______cm Cateto menor: b =_______cm Cociente: a/b = 2,02 y con dos cifras significativas = 2,0 El valor de "A" es 0,001 La ecuación queda: I = 0,001 d-2 ó 1 = 0,001 / d2 (4) Que es equivalente, y estando "I" en watts y "d" en metros. Esta metodología sólo es aplicable cuando el valor de "A" se puede determinar del mismo gráfico log-log, pero esto no es siempre así, pues no siempre está el valor 1 o 10º en el eje horizontal. Ud. debería saber un poco de las propiedades de los logaritmos e interpolar bien en el papel log-log si quiere ir a un ajuste más general y de mayor uso en las experiencias reales. Lo que uno hace en estos casos más generales es buscar el valor del exponente "n", y luego con la misma ecuación y un punto cualquiera del gráfico (bien leído) se despeja el valor de A que se obtiene con una calculadora en ese caso. 206 230 Física Área CientÍfica d vs t 600 500 d (m) 400 300 200 100 0 0 2 4 6 8 10 12 t (s) GRÁFICA No.1 231 207 Temario Dirección General de Admisión d vs t 1000 d (m) 100 cateto mayor 10 cateto menor valor de "A" 1 1 10 100 t (s) GRÁFICA No.2 208 232 1000 Área CientÍfica Física V vs d 14 13 12 11 10 9 V (m / s) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 d (m ) GRAFICA GRÁFICA No.3 233 209 Temario Dirección General de Admisión V vs d Valor de A 10 V CATETO MAYOR PAPEL LOG-LOG CATETO MENOR 1 1 10 d GRÁFICA No. 4 GRAFICA 210 234 Área CientÍfica Física I vs d 0,12 0,10 I(watts) 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,10 0,12 d(m ) GRAFOCAN o 5 GRÁFICA No.5 235 211 Temario Dirección General de Admisión I vs d 1 CATETO MAYOR 0 I(watts) 0.1 VALOR DE "A" 0.01 0 CATETO MENOR 0.001 0 0 0 0.001 0.01 0 d(m) GRAFICAN o. 6 GRÁFICA No.6 212 236 0.1 0 1 Área CientÍfica Física MÓDULO 5: VECTORES. MÉTODOS GRÁFICOS Objetivos: 1. Definir cantidades escalares y vectoriales. 2. Representar una magnitud, dirección y sentido. 3. Utilizar el método gráfico y analítico. CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES. Cantidades escalares son representaciones numéricas que pueden ser positivas, negativas o nulas. Ejemplos de cantidades escalares son: distancia recorrida por un cuerpo o distancia de un objeto la masa de cualquier cuerpo, la temperatura, el tiempo, la rapidez de un objeto entre otras. Cantidades vectoriales son aquellas que representan a la vez una magnitud (siempre positiva), una dirección y un sentido específico. Ejemplos de cantidades vectoriales son ; Desplazamiento que describe un cuerpo, el peso de un cualquier cuerpo, la velocidad y la aceleración de un objeto, la tensión en una cuerda, cualquier fuerza que actúa en un objeto entre otras. MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO. Todo vector es representado gráficamente por una flecha como muestra la figura No 1. Las características están definidas por su magnitud o módulo (tamaño), su dirección (ángulo) y el sentido (orientación y referencia del ángulo). Por ejemplo, el vector A en la figura No 1 tiene una magnitud de 4 mm, su dirección es 30° con sentido al Norte del Este. Existen muchas formas de representar simbólicamente un vector: Norte r A = 4 mm , E 30° N r A = 4 mm , 30° hacia el N del E r A = 4 mm , 30° r A 30° Oeste Este Sur Figura No. 1 Problemas Resueltos: Represente en un plano los siguientes vectores: → a. A = 2mm, N60°E 237 213 Temario Dirección General de Admisión b. → B = 3mm, S30°E → c. C = 5mm, O25°N d. Un vector D con 2mm, 35° Sur del Este, e. Un vector E con 2mm, 60° Sur del Oeste. Solución: Representamos cada vector en un mismo plano: Norte r C Oeste r A 60° 25° 60° r E 30° 25° r r B Este D Sur Problemas Propuestos: Represente en un plano los siguientes vectores: a. = 1 mm, E 60º N b. = 2.5 mm, O 30º N c. = 0.5mm, N 25º E d. Un vector D con 2mm, 35º Norte del Oeste. e. Un vector E con 2mm, 60º Sur del Este Método gráfico (polígono): Este método consiste en representar cada vector en forma secuencial es decir, el final de un vector será el origen del siguiente vector. Considerando un conjunto de vectores, este procedimiento formará un polígono abierto cuyos lados serán los mismos vectores individualmente y el espacio abierto en el polígono será la ubicación donde encajará el vector resultante de la composición. Si no existe el espacio abierto en el polígono significa que el vector resultante de la composición es un vector nulo. Tal composición de vectores puede consistir en una suma o una resta o combinación de estas como una operación entre vectores. Problemas Resueltos: Dado los siguientes vectores A, B, C, y D, encuentre por el método gráfico los vectores definidos por: 214 238 Área CientÍfica Física → → → → → → → → a. R = A+ B + C + D b. S = A− D → ⎛ → →⎞ ⎛ → → ⎞ c. K = ⎜ A− B ⎟ − ⎜ D − C ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Solución: → → → → → a. R = A+ B + C + D Primeramente procedemos a esquematizar cada vector en forma sucesiva, El Vector Resultante R → → → → ⎛ ⎝ → ⎞ ⎠ b. S = A− C = A+ ⎜ − C ⎟ Tomando en cuenta el vector opuesto a C tenemos: El vector C S resultante S → ⎛→ ⎝ → ⎞ ⎛→ ⎠ ⎝ → ⎞ ⎠ → → → → → ⎛ ⎝ → ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ → ⎞ ⎠ → c. K = ⎜ A− B ⎟ − ⎜ D − C ⎟ = A− B − D + C = A− ⎜ − B ⎟ + ⎜ − D ⎟ + C Considerando los vectores opuestos B y D, representamos en forma continua cada vector, donde el final de uno es el inicio del otro. El vector resultante K K 239 215 Temario Dirección General de Admisión Problemas Propuestos: Dado el diagrama de vectores represente gráficamente los vectores definidos por: → → ⎛→ →⎞ a. H = B − ⎜ A − C ⎟ ⎝ ⎠ → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ → b. M = ⎜ D − C ⎟ + ⎜ B − A ⎟ + F ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ F → → ⎛→ → → ⎞ c. J = F − ⎜ A − C + D ⎟ ⎝ ⎠ → ⎛→ →⎞ ⎛→ → →⎞ d . P = ⎜ B − F ⎟ − ⎜ A− C − D ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 216 240 Área CientÍfica Física MÓDULO No 6: VECTORES. MÉTODO POR COMPONENTES. Objetivos: 1. Definir componentes cartesianas de una cantidad vectorial. 1.1 Utilizar las componentes vectoriales para sumar y restar cantidades vectoriales. 2. Definir vectores posición, desplazamiento y velocidad media. COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR. Cuando representamos un vector en el plano cartesiano, en cada eje de coordenada se forma una proyección (un vector) y el módulo de esta proyección lo identificamos como componente del vector. Las componentes son cantidades escalares que pueden ser positivas, negativas o cero, dependiendo del cuadrante y son representadas por Ax y Ay como muestra la figura No2. r A Componente r de A en y. Ay θ Proyección r de A en la dirección y. φ Ax Componente r de A en x. A Proyección r de A en la dirección x. Módulo r del vector A Fig. No.2 En el plano cartesiano estas componentes son perpendiculares y la suma de sus cuadrados equivale al cuadrado del módulo del vector (relación Pitagórica) es decir: 2 A 2 = Ax2 + A y (1) y la dirección del vector (respecto al eje x) a partir de las componentes aplicamos la ecuación: tan φ = Ay cateto − opuesto = cateto − adyacente Ax (2) Para calcular las componentes a partir del módulo y la dirección tenemos: Ax = A cos φ = Asenθ (3) Ay = Asenφ = A cosθ (4) 241 217 Temario Dirección General de Admisión Es importante resaltar que las funciones trigonométricas pueden ser contrarias si la dirección está medida respecto al eje Y. Presentamos a continuación algunos de los valores de las funciones trigonométricas mas usuales:( utilízalas en los ejemplos a continuación) cos 0° = sen 90° = 1 cos cos 30° = sen 60° = 0,9 cos 37° = sen 53° = 0,8 cos 45° = sen 45° = 0,7 cos 53° = sen 37° = 0,6 cos 60° = sen 30° = 0,5 cos 90° = sen 0° = 0 PROBLEMAS RESUELTOS : Calcular las componentes de los siguientes vectores: → a. A =2mm, N 60° E. → b. B =3mm, S 30° E. → c. C =5mm, O 53° N. d. Un vector D con 2mm, 37° Sur del Este. e. Un vector E con 2mm, 60° Sur del Oeste. Solución: Primeramente representamos los vectores en el plano y luego calculamos cada componente utilizando las ecuaciones (3) y (4) para completar la siguiente tabla: r C y 60° 53° 60° r E Vector r A Componente X 30° 37° r r B x D Componente Y A A cos 60° = (2mn)(0.5)=1,0mm B sen 300=(3mm)(0,5)=1,5mm -B cos 30° = -(3mm)(0,9)= -2,7mm C -C cos 53°= -(5mm)(0,6)= -3,0mm C sen 53º =(5mm)(0,8)= 4,0mm D D cos 37°=(2mm)(0,8)=1,6mm -D sen 37º = -{2mm)(0,6)= -1,2mm E 218 A sen 60°=(2mm)(0,9)=1,8mm B -E cos 60°= -(2mm)(0,5)= -1,0mm -E sen 60º = -(2mm)(0,9)= -1,8mm 242 Área CientÍfica Física PROBLEMAS PROPUESTOS : Determine las componentes de los siguientes vectores: a. → A =1mm, E 60° N → b. B = 2,5mm, O 30º N → c. C =0,5mm, N 37° E d. Un vector D con 2mm, 30° Norte del Oeste. e. Un vector E con 2mm, Sureste. UTILIZAR COMPONENTES PARA LA SUMA Y RESTA DE VECTORES (MÉTODO ANALÍTICO). Este método consiste en encontrar el módulo, dirección y sentido de un vector definido por una composición entre vectores vinculados a operaciones como suma, resta o combinación de estas, utilizando las componentes. Las características del vector resultante de la composición serán entonces determinadas a partir de dichas componentes utilizando las ecuaciones (1) y (2). PROBLEMAS RESUELTOS Hallar la magnitud, dirección y sentido del vector Z si sus componentes son: Zx = -3 y Zy = +4. Solución: Primeramente representamos el vector y luego sustituimos directamente en la relación Pitagórica dada por la ecuación (1) para calcular el módulo del vector Z: Y 4 φ -3 X 2 2 Z 2 = Z x + Z y = ( − 3) 2 + ( 4 ) 2 = 9 + 16 = 25 Z = 25=5 Para la dirección empleamos la ecuación (2): tan φ = Zy Zx = 4 4 =− 3 −3 ⎛4⎞ ⎝3⎠ φ = − tan −1 ⎜ ⎟ = −53.1º 243 219 Temario Dirección General de Admisión El sentido del vector es especificado por los signos de las componentes donde se puede verificar que el IIdo cuadrante es el correcto y como el ángulo se mide respecto al eje X podemos resumir que tiene sentido dirigido al Norte del Oeste. b. Dado el diagrama de vectores, donde todos tienen módulos iguales a 3 cm, encuentre por el método analítico el → → → → vector H definidos por: H = B — ( A — C ) Solución: y r Primeramente calculamos las componentes en cada vector: Vector A B C Componente X +3.0 0 +2.1 → → → B r A x 45° Componente Y 0 +3.0 -2.1 r C → Luego en la ecuación A = B − ( A− C ) , las componentes serán: Hx = Bx − ( Ax − Cx ) = Bx − Ax + Cx = (0) − (+3.0) + (+2.1) = −0.9 Hy = By − (Ay − Cy ) = By − Ay + Cy = (+3.0) − (.0) + (−2.1) = +0.9 Aplicando la ecuación (1) para determinar el módulo del vector se tiene: 2 H 2 = H x2 − H y = (−0.9) 2 + (0.9) 2 = 1.6 r H y 0,9 H = 1.6 = 1.26 = 1.3 - 0,9 x Para la dirección utilizamos la ecuación (2): tanφ = Hy Hx =− 0.9 = −1.0 0.9 φ = − tan−1 (−1.0) = −45º cuya orientación puede fácilmente verificarse que está al Norte del Oeste como muestra el diagrama si consideramos los signos de las componentes. 220 244 Área CientÍfica Física APLICACIONES EN CINEMÁTICA POSICIÓN Y EL DESPLAZAMIENTO: La posición de un objeto es el punto de localidad donde se encuentra ubicado en determinado Instante y su desplazamiento es el cambio ocurrido en la posición en determinado intervalo de tiempo. La distancia recorrida, sin embargo, es la suma aritmética de segmentos. El desplazamiento es una cantidad vectorial y la distancia recorrida es un escalar. Problema Resuelto: Una partícula se mueve desde el punto O; 3m dirigido al Este durante 10 segundos y luego avanza hacia Norte 4m en 15 segundo. Determine la distancia recorrida total y el desplazamiento ocurrido en todo el trayecto. Solución: Representamos cada desplazamiento en un diagrama vectorial: Para la distancia recorrida: d = 3m + 4m = 7mi 5m P2 0 r d 02 r d 01 r d12 4 m P1 3m Para el desplazamiento total en metros: → → → d 02 = d 01 + d12 → → 2 → d 02 = d 01 + d12 2 = 32 + 4 2 = 5m VELOCIDAD MEDIA Y RAPIDEZ: La velocidad media es una cantidad vectorial que mide la razón del desplazamiento por unidad de tiempo; sin embargo, la rapidez es una cantidad escalar que mide la razón de la distancia recorrida por unidad de tiempo 245 221 Temario Dirección General de Admisión Dado el ejemplo anterior, determinar la rapidez y la velocidad media en todo el trayecto. Solución: Conociendo la distancia y el desplazamiento y sus respectivos intervalos de tiempos se tiene: Para la rapidez: v s = d 7m = = 0.3m / s t 25s → → Para la velocidad media: v m = d 02 t = 5m = 0. 2 m / s 25s Ejercicio Práctico: Dado los vectores A = 2cm, N 30ºE O; C = 2cm, E30ºS; D = 2 cm, O30ºS 1. La mejor representación del vector A es: 30º a. 2. 30º a. 30º d. 30º e. Ninguna c. 30º e. Ninguna La mejor representación del vector D es: 30º b. c. 30º d. 30º e. Ninguna La componente sobre el eje X del vector B es dado por: a. 2cos30º b. -2cos30º c. 2sen20º d. -2sen30º e. Ninguno d. -2sen30º e. Ninguno d. -2sen30º e. Ninguno La componente sobre el eje Y del vector C es: a. 2cos30º b. -2cos30º c. 2sen20º La componente sobre el eje X del vector B es: a. 2cos30º 222 d. e. Ninguna 30º 30º 7. c. b. a. 6. 30º 30º La mejor representación del vector C es: 30º 5. d. 30º b. a. 4. 30º La mejor representación del vector B es: 30º 3. c. b. 246 b. -2cos30º c. 2sen20º Área CientÍfica 8. Física La componente sobre el eje Y del vector B es: a. 2cos30º 9. b. -2cos30º c. 2sen 20º d. -2sen30º e. Ninguno c. 2sen 20º d. -2sen30º e. Ninguno c. 2sen 20º d. -2sen30º e. Ninguno La componente del vector D sobre el eje X es: a. 2cos30º b. -2cos30º 10. La componente sobre Y del vector A es: a. 2cos30º 11. b. -2cos30º Si un vector P tiene componente sen Px = +4; Py= -3 La magnitud del vector P es: a. +7 b. -7 c. +5 d. -5 e. Ninguno 12. La componente del vector D sobre el eje X es: a. c. b. d. e. Ninguna 13. El sentido del vector P será: a. Norte del Este b. Sur del Este c. Este del Sur d. Este del Norte e. Ninguna 0 Dado dos vectores: E = 2mm, 30 Norte del Oeste y F = 2mm,60° Sur del Este: 14. La componente X de la resultante es: a. cero b. +4 c.-0.8 d. +8 e. Ninguna c.-0.8 d. +8 e. Ninguna 15. La componente Y de la resultante es: a. cero b. +4 Solución: 1 B 2 A 3 c 4 d 5 d 6 d 7 c 8 d 9 b 10 a 11 c 12 c 13 b 14 c 15 c 247 223 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 7: CINEMÁTICA. (POSICIÓN, DESPLAZAMIENTO Y VELOCIDAD) Objetivos: 1. Definir velocidad y aceleración instantánea por métodos gráficos. 2. Analizar por medio de gráficas el movimiento rectilíneo uniforme y acelerado de un cuerpo. 2.1 Determinar la posición, el desplazamiento, la velocidad media y la aceleración media e instantánea a partir de gráficas. MOVIMIENTO RECTILÍNEO. Un movimiento general sería el de una mosca en el aire, sin embargo, podemos restringirlo a una sola dirección, por ejemplo, el de una hormiga sobre una recta. El movimiento sobre una recta lo llamamos rectilíneo, El objeto solo puede moverse hacia adelante, hacia atrás o detenerse. Podemos darle un signo a cada sentido del movimiento, según se oriente la recta; positivo si es hacia adelante, hacia la derecha o hacia arriba y negativo si es hacia atrás, hacia la izquierda o hacia abajo. Definimos la cinemática como el estudio del movimiento sin tomar en cuenta las dimensiones, la forma geométrica y la masa de éste;ni tampoco qué o cómo se generó su movimiento. Para cuantificar experimentalmente este movimiento rectilíneo usualmente atamos una cinta a un objeto en movimiento y hacemos pasar la cinta por un timbre que marca puntos cada cierto tiempo sobre la misma. No importa qué tan separados puedan aparecer marcados los puntos, el tiempo entre ellos es siempre el mismo. En las Figuras 1A., IB. y 1C. aparecen las cintas de tres movimientos diferentes. LA GRÁFICA POSICIÓN - TIEMPO. Definimos la posición como el lugar, respecto a un punto de referencia, donde se encuentra un objeto en cierto instante. Si definimos como referencia el punto cero (posición cero, instante cero) en las cintas de las Fig. 1A, 1B y 1C y medimos con una regla desde el punto O al punto 1, desde el punto O al punto 2 y así sucesivamente, obtenemos las posiciones en cada instante. Al graficar estas posiciones y sus instantes respectivos, obtenemos las gráficas posición-tiempo 1A, 1B y 1C. LA POSICIÓN Si tenemos la gráfica posición-tiempo del movimiento de un objeto podemos localizar la posición de éste en algún instante interpolando directamente en la gráfica. 224 248 Área CientÍfica Física Ejemplo No. 1 La gráfica 3 (posición - tiempo) corresponde al movimiento de un objeto que se mueve sobre una recta horizontal. Encuentre las posiciones para los siguientes instantes: a. Para t = 1 s su posición es x = b. Para t = 3 s su posición es x = c. Para t = 9 s su posición es x = 0 1 2 3 4 5 6 7 • • • • • • • • FIG. 1A Observe que los puntos se van espaciando. Es decir que el objeto va recorriendo una mayor distancia en los mismos intervalos de tiempo. A este tipo de movimiento se le conoce como movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Su gráfica posición respecto al tiempo (x-t) es la 1A y su gráfica velocidad respecto al tiempo (v-t) es la 2ª. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 • • • • • • • • • • • • FIG. 1B Observe que los puntos están ¡igualmente espaciados. Es decir que el objeto recorre la misma distancia en los mismos intervalos de tiempo, A este tipo de movimiento se le conoce como movimiento rectilíneo uniformemente. Su gráfica posición respecto al tiempo (x-t) es la 1B y su gráfica velocidad respecto al tiempo (v-t) es la 2B. 0 1 2 3 4 S 6 • • • • • • • FIG. 1C Observe en la Fig. 1C que los espacios entre los puntos van disminuyendo. Es decir que el objeto va recorriendo menor distancia en los mismos intervalos de tiempo. A este tipo de movimiento se le conoce coma movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. Su gráfica posición respecto al tiempo (x-t) es la 1C y su gráfica velocidad respecto al tiempo (v-t) es la 2C. 249 225 Temario Dirección General de Admisión x(cm) x(cm) x(cm) t(s) t(s) GRÁFICA 1A t(s) GRÁFICA 1B V(cm/s) GRÁFICA 1C V(cm/s) V(cm/s) V0 V0 t(s) t(s) GRÁFICA 2A t(s) GRÁFICA 2B v (m/s) GRÁFICA 2C v vs t 10 5 0 2 4 6 8 10 12 t (s) -5 -10 GRÁFICA 3 El Desplazamiento. Definimos el desplazamiento como el cambio de posición entre dos instantes diferentes: Δx = x f − x i (1) Donde x f corresponde a la posición en el instante t f y xi corresponde a la posición en el instante comparamos dos posiciones diferentes y no tomamos en cuenta las posiciones intermedias entre desplazamiento nos da, estrictamente hablando, la trayectoria recta entre otra trayectoria entre estas dos posiciones. 226 250 t i . Como solo xi y x f , el xi y x f sin tomar en cuenta cualquier Área CientÍfica Física Ejemplo No.2 Para la gráfica 3 (posición - tiempo) encuentre los desplazamientos entre los siguientes instantes y describa el movimiento: a. Entre t = 2 s y t = 4 s el desplazamiento es Δ x = b. Entre t = O y t = 2 s el desplazamiento es Δ x = c. Entre t = 4 s y t =10 s el desplazamiento es Δ x = d. Entre t = O s y t = 6 s el desplazamiento es Δ x = La Velocidad. Definimos la velocidad como el cambio en la posición respecto al tiempo. Podemos calcular la velocidad a partir de la pendiente en la gráfica posición-tiempo. Esto significa que en las gráficas 1A, 1B y 1C podemos calcular la velocidad independientemente de la forma de la gráfica (rectas o curvas); entonces la pendiente sería: V = (x F − x I ) / (t F − t I ) (2) o lo que es lo mismo; V = Δx / Δt (2a) La Velocidad Media (en la gráfica posición — tiempo). En la gráfica 4A (posición - tiempo) la recta a la cual se le calculará la pendiente es una recta secante. Observe que en la expresión (2a) el numerador es el desplazamiento y como este define la trayectoria recta entre dos posiciones diferentes llamamos a la pendiente de esta recta secante, velocidad media. x(cm) x(cm) X2 X2 X1 t1 GRÁFICA 4ª t2 t(s) X1 t1 t0 t2 t(s) GRÁFICA 4B 251 227 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo No.3 Para la gráfica 3 (posición-tiempo), calcule la velocidad media entre los instantes siguientes y describa el movimiento: a. Entre t = 3 s y t = 4 s la velocidad media es v = b. Entre t = 4 s y t = 5 s la velocidad media es v = c. Entre t = 5 s y t = 10 s la velocidad media es v = d. Entre t = 10 s y t = 11 s la velocidad media es v = La Velocidad Instantánea (en la gráfica posición - tiempo). En la gráfica 4B (posición-tiempo), la recta a la cual se le calculará la pendiente es una recta tangente a un punto sobre la curva. Ese punto corresponde a un instante to en particular. La pendiente de esta recta tangente la llamamos velocidad instantánea. Ejemplo No.4 Calcule la velocidad instantánea de la gráfica 4B si los puntos (t1, x1) y (t2, x2} son, respectivamente. a. (10 s, -25m) y (60 s, 100m) V = La Gráfica Velocidad - Tiempo. Si calculamos la velocidad media (o instantánea) por intervalo (o por instante) en las gráficas 1A, 1B y 1C obtenemos las gráficas 2A, 2B y 2C. La Velocidad Instantánea (en la gráfica velocidad - tiempo). A partir de la gráfica velocidad - tiempo podemos conseguir, para cada instante, la velocidad instantánea interpolando directamente en la gráfica. Ejemplo No.5 Para la gráfica 5 (velocidad - tiempo) se describe el movimiento de un objeto sobre una recta horizontal. Encuentre la velocidad instantánea para los siguientes tiempos: a. Para t = 1 s la velocidad instantánea es V = b. Para t = 3,5 s la velocidad instantánea es V = c. Para t = 5,25 s la velocidad instantánea es V = d. Para t = 11 s la velocidad instantánea es V = 228 252 Área CientÍfica Física v (m/s) v vs t 20 10 -10 0 2 4 6 8 10 12 t (s) -20 V (m/s) V vs t Respuestas: Ejemplo No. 1 Ejemplo No. 2 a. x = 7,5 m a. Δ x = 0 , no se mueve. b. x = 10 m b. Δ x = 5 m , movimiento neto hacia la derecha. c. x = -7.5 m c. Δ x = -20 m , movimiento neto hacia la izquierda. d. Δ x = -5 m , movimiento neto hacia la izquierda. Ejemplo No. 3 a. V = 0 , no se mueve. b. V = -5 m/s , movimiento neto hacia la derecha. c. V = -3 m/s , movimiento neto hacia la izquierda. d. V = 5 m/s , movimiento neto hacia la izquierda. Ejemplo No. 4 a. V = 2,5 m/s Ejemplo No. 5 a. V = -5 m/s b. V = 15 m/s c. V = 20 m/s d. V = 5 m/s 253 229 Temario Dirección General de Admisión MÓDULO 8: CINEMÁTICA. (VELOCIDAD Y ACELERACIÓN) Objetivo: 1. Definir velocidad y aceleración instantánea por métodos gráficos. 2. Analizar por medio de gráficas el movimiento rectilíneo uniforme y acelerado de un cuerpo. 2.1 Determinar la posición, el desplazamiento, la velocidad media y la aceleración media e instantánea a partir de gráficas. LA ACELERACIÓN MEDIA. Definimos la aceleración como el cambio de la velocidad instantánea respecto al tiempo. Podemos calcular la aceleración a partir de la pendiente en la gráfica velocidad - tiempo. Esto significa que en las gráficas 1A. 1B y 1C podemos calcular la aceleración. La pendiente de estas gráficas sería: a = (V f − V i ) / (t f − t i ) (3) o lo que es lo mismo: a = ΔV / Δt V(cm/s) (3a) V(cm/s) V(cm/s) V0 t(s) V0 t(s) t(s) Observe que en la expresión (3a) el numerador es el cambio en la velocidad instantánea y como solo comparamos Vi y V f no tomamos en cuenta otros valores de velocidad entre ellas. De esta forma ΔV / Δt nos da, estrictamente hablando, la aceleración en la trayectoria recta entre los instantes t i y t f . Llamamos a esta aceleración, aceleración media. Ejemplo No. 6 Para la gráfica 2 (velocidad - tiempo). Calcule la aceleración media entre los instantes siguientes y describa el movimiento del objeto: a. Entre t = 1 s y t = 2 s la aceleración media es a = ________ b. Entre t = 8 s y t =10s la aceleración media es a = _______ c. Entre t = 5 s y t = 6s la aceleración media es a = ________ 230 254 Área CientÍfica Física v (m/s) v vs t 20 10 -10 0 2 4 6 8 10 12 t (s) -20 LA VELOCIDAD MEDIA . La rapidez media puede definirse como el promedio de rapideces, en un intervalo de tiempo donde la aceleración es constante, entonces: V = (V1 + V2 + V 3 +...+ V n)/N = (V 1 + Vn)/2 (4) V = (Vi + V f)/ 2 (4a) o lo que es lo mismo: Donde Vi y Vf son los valores de velocidad en los instantes ti y tf que definen el intervalo donde se calculará la velocidad media y donde también la aceleración es constante. Ejemplo No. 7 Para la gráfica 2 (velocidad - tiempo). Calcule la velocidad media entre los instantes siguientes. a. Entre t = 0 s y t = 2 s la velocidad media es V = _____ b. Entre t = 3 s y t = 4 s la velocidad media es V = _____ c. Entre t = 5 s y t = 6 s la velocidad media es V = _____ EL DESPLAZAMIENTO. A partir de la expresión V = Δ x / Δ t podemos despejar Δ x, obteniéndose: Δx = VΔt (5) Si V es la velocidad media calculada a partir de la gráfica velocidad - tiempo entonces Δ x es el desplazamiento en el intervalo donde la aceleración es constante. 255 231 Temario Dirección General de Admisión Ejemplo No. 8 Calcule el desplazamiento para cada velocidad media calculada en el Ejemplo No.7: a. Entre t = 0 s y t = 2 s el desplazamiento es Δ x = ________ b. Entre t = 3 s y t = 4 s el desplazamiento es Δ x = ________ c. Entre t = 5 s y t = 8 s el desplazamiento es Δ x = ________ La Distancia. La distancia es la magnitud del desplazamiento (sin signo pues solo es un escalar), entonces, para conseguirla será necesario calcular primero el desplazamiento y obviar el signo Ejemplo No. 9 Calcule la distancia para cada velocidad media calculada en el Ejemplo No.7: a. Entre t = 0 s y t = 2 s la distancia es d = _____ b. Entre t = 3 s y t = 4 s la distancia es d = _____ c. Entre t = 5 s y t = 6 s la distancia es d = _____ Ejemplo No. 10 v (m/s) v vs t 20 10 0 4 8 12 16 -10 -20 GRÁFICA No.3 GRAFICA 3 232 256 20 t (s) Área CientÍfica Física RESPUESTAS Ejemplo No 6 a. a = 5 m/s2 desacelera, disminuyen las magnitudes de las velocidades. b. a = - 2,5 m/s2, desacelera, disminuyen las magnitudes de la velocidad. c. a = 0 el objetivo viaja a velocidad constante. Ejemplo No 7 Ejemplo No 8 Ejemplo No 9 a. V = -5 m/s a. Δ x = -10 m a. d = 2,5 m b. V = 15 m/s b. Δ x = 15 m b. d = 15 m c. V = 20 m/s c. Δ x = 20 m c. d = 20 m 257 233 Temario Dirección General de Admisión MÓDULO 9: CINEMÁTICA RECTILÍNEA Y CAÍDA LIBRE: ECUACIONES DE MOVIMIENTO Objetivos: 1. Definir y obtener fórmulas para la rapidez y aceleración promedio. 2. Aplicar una de las cuatro ecuaciones generales del movimiento uniformemente acelerador para resolver con respecto a uno de los cinco parámetros: rapidez inicial, rapidez final, aceleración tiempo y distancia. 3. Resolver problemas de aceleración que incluyan cuerpo en caída libre en un campo gravitacional. En los dos últimos módulos estudiamos la cinemática la cinemática rectilínea desde el punto de vista gráfico. El presente módulo, realizará el mismo estudio, pero desde el punto de vista analítico, donde haremos uso de las llamadas ecuaciones de movimiento. En el mundo físico todo está en movimiento, desde las grandes galaxias del universo hasta las nanopartículas, responsables del transporte electrónico presentes en los chips de los computadores. Debemos estudiar los movimientos de los objetos si es que estamos interesados en comprender su comportamiento y aprender a controlarlos. Los movimientos descontrolados o caóticos, como los producidos por terremotos y maremotos, sobre cualquier objeto, producen vibraciones destructivas que pueden resultar peligrosas para las personar cercanas al evento natural; en tanto que el movimiento controlado suele resultar beneficioso. Es importante analizar el movimiento y presentarlo en términos de fórmulas fundamentales. 1 Movimiento rectilíneo uniforme El tipo más simple de movimiento que un objeto puede experimentar es el movimiento rectilíneo uniforme. Si un objeto cubre la misma distancia en cada unidad sucesiva de tiempo, se dice que se mueve a rapidez constante. Por ejemplo si un automóvil recorre una distancia de 50.0 km por cada hora en la vía del Corredor Norte, afirmamos que el automóvil recorre una velocidad constantes de 50.0 km/h. Ya sea que la velocidad permanezca constante o no, la rapidez promedio1 de un objeto en movimiento se define como: v = Rapidez promedio = 1 Disancia recorrida s = tiempo transcurrido t Algunos autores, acostumbran a utilizar el término de rapidez media, o simplemente rapidez. 234 258 (1) Área CientÍfica Física Recuerde que las dimensiones de la velocidad es una relación entre longitud a un intervalo de tiempo. Algunas unidades comunes son kilómetro por hora (km/h), millas por hora (mi/h) metros por segundo (m/s) y pies por segundo (pie/s). Algunas conversiones útiles son: 1 km/h = 0.277 m/s = 0.908 pie/s 1 mi/h = 0.446 m/s = 1.46 pie/s Ejemplo 1: Un jugador de fútbol, le imprime un pase de balón a su compañero de equipo, con una velocidad de 3.5 m/s. Si el pase tarda unos 3.0 s en llegar a su compañero, ¿a qué distancia se encontraba su compañero al momento de hacerle el pase de balón? Solución: Como el balón viaja a una rapidez media de 3.50 m/s, y tarda 3.00 s en llegar al compañero de juego, vemos que la distancia recorrida por el balón será la misma distancia que separa a ambos compañeros de equipo. Así, por la ecuación (1), vemos que s = v t = (3.50 m/s)(3.00 s) = 10.5 m , que es la distancia que separa a ambos jugadores. Es importante observar que la rapidez es una cantidad escalar que no tiene dirección. En el ejemplo anterior, no fue necesario conocer la rapidez de ambos jugadores ni la naturaleza de la trayectoria del balón. De modo similar, la rapidez promedio de un automóvil que viaja de Panamá hacia Colón es una función sólo de la distancia registrada en el odómetro del automóvil y del tiempo requerido para efectuar el viaje. No hay diferencia, en lo que al cálculo se refiere, si el conductor sigue la ruta directa o la turística, o incluso si se detiene para comer. Algunas veces, el necesario distinguir entre la cantidad escalar rapidez y su contraparte direccional velocidad. Esto es posible hacerlo con mayor facilidad, recordando la diferencia entre distancia y desplazamiento estudiado en el Módulo 7. Consideremos que un automóvil que se desplace a lo largo de la trayectoria (a trazos) de A a B tal como se aprecia en la Figura 1., recorriendo una distancia s = 84.5 km (distancia Panamá – Colón). El desplazamiento real que r experimenta el automóvil sería D = 70.0 km a N 45 o E . La rapidez depende sólo de la distancia recorrida y del tiempo transcurrido. Si el viaje tarda 1.50 h, tenemos: v= s 84.5 km = = 56.3 km/h . t 1.5 h 259 235 Temario Dirección General de Admisión Figura 1. Sin embargo, para el cálculo de la velocidad promedio, debemos considerar la magnitud y dirección del desplazamiento: r D 70.0 km a N 45 o E r v prom = = = 46.7 km/h t 1.50 Podemos ver con esta explicación que si un objeto se desplaza a lo largo de una trayectoria curva, la diferencia entre rapidez y velocidad es tanto en magnitud como en dirección. Los automóviles no pueden viajar con rapidez constantes durante largos tramos. Al viajar de un punto A hacia un punto B, quizá sea necesario reducir o aumentar la rapidez debido a las condiciones del camino o del tiempo que impera. Por esta razón, algunas veces es útil hablar de rapidez instantánea o de velocidad instantánea. La rapidez instantánea es una cantidad escalar que representa la rapidez en un instante en el que el móvil está en un punto arbitrario C. Es por tanto, la tasa de cambio en el tiempo de la distancia. La velocidad instantánea es una cantidad vecorial que representa la velocidad del móvil en cualquier punto arbitrario C. Es por tanto, la tasa de cambio en el tiempo del desplazamiento. 2 Movimiento uniformemente acelerado En muchos casos, la velocidad de un objeto en movimiento cambia conforme el movimiento continúa. Este tipo de movimiento recibe el nombre de movimiento uniformemente acelerado, o simplemente movimiento acelerado. La tasa a la cual la velocidad cambia al transcurrir el tiempo se denomina aceleración. Por ejemplo, r supongamos que observamos el movimiento de un cuerpo durante el tiempo t. La velocidad inicial v0 del cuerpo se definirá como su velocidad en el inicio del intervalo de tiempo, esto es, cuando t = 0. La velocidad final se define como r la velocidad v f que el cuerpo tiene al final del intervalo de tiempo, cuando t = t. Así, si podemos medir las velocidades inicial y final del objeto en movimiento, podemos afirmar que su aceleración promedio está dada por: Aceleración promedio = 236 260 cambio en la velocidad , intervalo de tiempo Área CientÍfica Física en otras palabras r r v f − v0 r a prom = t (2) La aceleración descrita en la forma anterior es una cantidad vectorial y por ello depende de los cambios en la dirección, así como de los cambios en magnitud. Si la dirección de movimiento es una línea recta, sólo la rapidez de un objeto cambia; por tanto, puesto que no hay cambios en la dirección, la diferencia vectorial de (2) se convierte simplemente en r r la diferencia algebraica entre la magnitud de la velocidad final v f y la magnitud de la velocidad inicial v0 ; de esta manera el valor de la aceleración promedio r a prom , será el mismo que el valor instantáneo constante a. v f − v0 a= (3) t Ejemplo 2: Un automóvil va por una carretera cuesta arriba al pasar por el punto A, el conductor observa que su odómetro registra una rapidez de 40.0 pies/s, 5.0 s después, pasa por el punto B, en ese instante vuelve a observar su odómetro y se percata que la rapidez registrada por el mismo es de 60.0 pies/s. Determinar la aceleración desarrollada por el automóvil. Figura 2. Solución: Como el automóvil experimenta un cambio en la rapidez de 40.0 a 60.0 pies/s, obtenemos, de acuerdo a (3), que la aceleración desarrollada por el automóvil es: a= v f − v0 t = ( 60.0 − 40.0) pies/s = 4.00 pies/s 2 5.00 s Muchas veces la misma ecuación se utiliza para resolver diferentes cantidades. Por tanto, usted debe resolver literalmente cada ecuación para cada símbolo presente en ella. Una forma muy conveniente de la ecuación (3) surge cuando se resuelve explícitamente para la velocidad final. De tal manera que Rapidez final = rapidez inicial + cambio en la velocidad, 261 237 Temario Dirección General de Admisión es decir: v f = v 0 + at (4) Ejemplo 3: Si el automóvil de ejemplo anterior, mantiene una aceleración constante de 8.00 m/s 2 . Si su rapidez inicial era de 20.0 m/s, ¿cuál será su rapidez depués de 6.00 s?. Solución: Como el automóvil experimenta una aceleración de 8.00 m/s2 , vemos que en virtud a la ecuación (4), la rapidez final sería: v f = v 0 + at = 20 .0 m/s + (8.00 m/s 2 )( 6 .0 s) = 68.0 m/s , por consiguiente, la rapidez final del automóvil es: v f = 68.0 m/s Ahora que hemos comprendido los conceptos de rapidez inicial y rapidez final, regresemos a la ecuación para la rapidez promedio y la expresemos en términos de los estados inicial y final. La velocidad promedio de un objeto que se desplaza con aceleración uniforme se encuentra exactamente como la media aritmética de dos cantidades. Dadas la rapidez inicial y rapidez final, la rapidez promedio es simplemente: v = 1 (v 0 + v f ) 2 (5) Utilizando esta relación en la ecuación (1), obtenemos una expresión más útil para calcula la distancia recorrida por un objeto. s = vt = 1 ( v 0 + v f )t 2 (6) Ejemplo 4: Un motociclista que viaja al este acelera apenas pasa un letrero que marca el límite de velocidad cercano a un poblado, tal como se ilustra en la Figura 3. Si mantiene una aceleración constante de 4.00 m/s 2 . Si al pasar por el letrero el motociclista tiene una velocidad de 15.0 m/s. Determine la velocidad y distancia recorrida 2.00 s después de haber pasado por el letrero. Figura 3. 238 262 Área CientÍfica Física Solución: Si tomamos el letrero como origen de coordenadas, esto es x = 0, y decidimos que el eje +x apunta hacia el este (ver Figura 3). En t = 0, la velocidad inicial es v0 = 15.0 m/s moviéndose al este. Entonces, la velocidad final del motociclista al cabo de los 2.00 s de viaje será (haciendo uso de la ecuación (4)): v f = v 0 + at = 15 .0 m/s + (4.00 m/s 2 )( 2 .00 s) = 23.0 m/s . Para determinar la distancia recorrida por el motociclista, debemos primero calcular la rapidez promedio, haciendo uso de la ecuación (5), así v = 1 1 (v 0 + v f ) = (15.0 + 23.0) m/s = 19.0 m/s 2 2 De esta manera, vemos que por la ecuación (6): s = v t = (19.0 m/s)(2.00 s) = 38.0 m . Así, la distancia recorrida por el motociclista en 2.00 s fue de 38.0 m/s. 3 Otras relaciones útiles y solución de problemas de aceleración Hasta ahora hemos presentado dos relaciones fundamentales. Una surge de la definición de velocidad y la otra de la definición de aceleración. Estas relaciones son las identificadas en las ecuaciones (4) y (6) respectivamente. Aunque éstas son la únicas fórmulas necesarias para abordar gran parte de los problemas estudiados en la cinemática rectilínea, pueden obtenerse de ellas otras dos importantes relaciones muy útiles. La sustitución de la ecuación (4) en la ecuación (6), produce s= 1 1 (v 0 + v 0 + at )t = (2v 0 t + at 2 ) , 2 2 es decir s = v0 t + 1 2 at 2 (7) La segunda relación es obtenida eliminando t de las dos ecuaciones básicas. Despejando t de la ecuación (4), obtenemos: t= v f − v0 a , que al sustituirla en la ecuación (6), nos da como resultado: 263 239 Temario Dirección General de Admisión ⎛ v0 + v f s = vt = ⎜ ⎜ 2 ⎝ ⎞⎛ v f − v 0 ⎟⎜ ⎟⎜ a ⎠⎝ ⎞ 1 2 2 ⎟= ⎟ 2 a (v f − v 0 ) , ⎠ es decir s= 1 2 (v 2 − v 0 ) f 2a (8) Aun cuando estas dos ecuaciones no añaden nueva información, resultan muy útiles en la solución de problemas en los que no se proporcionan ni la velocidad final ni el tiempo y usted necesita encontrar alguno de los demás parámetros. Aunque la solución de problemas que implican aceleración constante dependen principalmente de la elección de la fórmula correcta y la sustitución de los valores conocidos, hay varias recomendaciones que pueden ayudar al estudiante principiante. Los problemas físicos de este tipo, con frecuencia incluyen movimiento que se inicia ya sea en el reposo o que se interrumpe desde cierta rapidez inicial. En cualesquiera de los casos, las fórmulas estudiadas pueden simplificarse mediante la sustitución de v 0 = 0 o v f = 0, según el caso. El siguiente procedimiento ilustra una técnica que podría adoptarse para resolver los problemas de cinemática rectilínea e inclusive de caída libre: 1. Lea el problema y después dibuje y marque un diagrama. 2. Indique la dirección positiva consistente. 3. Establezca los tres parámetros proporcionados y los dos que son desconocidos. Asegúrese de que los signos y las unidades sean consistentes. 4. Seleccione una ecuación que contenga uno de los parámetros desconocidos, pero no el otro. 5. Sustituya las cantidades conocidas y resuelva la ecuación. Los ejemplos que siguen son abreviados y no incluyen figuras. Ejemplo 5: Un automóvil recorre 1200 pies en 30.0 s con aceleración constante de 1.80 pies/s 2 , tal como se aprecia en la Figura 4. Determínese a) su velocidad inicial, b) su velocidad final y c) la distancia recorrida durante los primeros 10.0 s. 240 264 Área CientÍfica Física Solución: Como el automóvil recorre una distancia de 1200 pies, desarrollando una aceleración de 80 pies/s2 , vemos que: Datos: s = 1200 pies (distancia que recorre el automóvil). t = 30.0 s (tiempo que demora el automóvil en recorrer la distancia d). 2 a = 1.80 pies/s . (aceleración del automóvil). Encontrar: v0 = ? (velocidad inicial del automóvil). vf = ? (velocidad final del automóvil). s1 = ? (distancia recorrida al cabo de 10.0s). a) Para determinar la velocidad inicial con la cual el automóvil recorre los 1200 pies en 30.0 s, hacemos uso de la ecuación (7). Así, s = v0 t + despejando v0, obtenemos: 1 2 at , 2 2 s − at 2 2(1200 pies) - (1.80 pies/s 2 )(30.0 s) 2 v0 = = = 13.0 pies/s . 2t 2(30.0s) Luego la velocidad inicial que tiene el automóvil será de 13.0 pies/s. b) Con la velocidad inicial obtenida en a), podemos utilizarla para establecer la velocidad final desarrollada por el automóvil al recorrer los 1200 pies en 30.0 s. Para ello, podemos hacer uso, tanto de la ecuación (6), como de la ecuación (8); ambas producirán los mismos resultados. Por conveniencia hagamos uso de la ecuación (6). s= 1 ( v 0 + v f )t . 2 Despejando vf de la expresión anterior, obtenemos que vf = 2s − v0 t 2(1200 pies) - (13.0 pies/s)(30 .0 s) = = 67.0 pies/s . t 30.0 s Por tanto, la velocidad final desarrollada por el automóvil es 67.0 pies/s. c) Para determinar la distancia recorrida durante los primeros 10.0 s, podemos volver a hacer uso de la ecuación (7), ya que tenemos como información la velocidad inicial del automóvil, así 1 1 s1 = v0 t + at 2 = (13.0 pies/s)(10 .0 s) + (10.0 pies/s 2 )(10.0 s) 2 2 2 = 630.0 pies 265 241 Temario Dirección General de Admisión Ejemplo 6: Un autobús tiene una aceleración de 0.75 m/s2 al mover de A a B. Sabiendo que su velocidad era v0 = 27.0 km/h al pasar por el punto A, tal como puede apreciarse en la Figura 5. Determínense: b) la velocidad correspondiente con la que pasa por B, y b) el tiempo requerido par el autobús para llegar al punto B. 2 2 s2 Figura 5. Solución: Como el autobús recorre una distancia de 150.0 m de A a B, partiendo con una velocidad inicial de 27.0 km/h, tenemos que: Datos: s = 150. 0 m (distancia que recorre el autobús entre los puntos A y B). v0 = 27.0 km/h = 7.48 m/s (velocidad inicial del autobús). a = 0.750 m/s2. (aceleración del autobús). Encontrar: vf = ? (velocidad final del autobús). t=? (tiempo en llegar al punto B). a) Para determinar la velocidad final que el autobús tarda en desarrollar para llegar al punto B, hacemos uso de la ecuación (8). Así, s= despejando vf, tenemos: 1 2 2 ( v f − v0 ) , 2a 2 v 2 = 2 as + v 0 , f es decir 2 v f = 2as + v 0 = 2(150.0 m)(0.75 m/s 2 ) + (7.48 m/s) 2 = 280.9 ≅ 16.8 m/s ≅ 60.5 km/h 242 266 Área CientÍfica Física b) Para determinar el tiempo que tarda el autobús en recorrer la distancia de 150.0 m que separa los puntos A y B, podemos hacer uso de cualesquiera de las fórmulas en las que el tiempo intervenga. Así por ejemplo, al utilizar la ecuación (3), despejando el tiempo, encontramos que t= v f − v0 a = (16.8 − 7.48) m/s = 12.4 s , 0.750 m/s 2 9.4 Caída libre de los cuerpos El ejemplo más conocido de movimiento con aceleración (casi) constante es la caída de un cuerpo bajo la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra. Esto ha interesado a filósofos y científicos desde la antigüedad. En el siglo IV A.C., Aristóteles pensaba (erróneamente) que los cuerpos pesados caían con mayor rapidez que los ligeros en proporción a su peso. La explicación clásica de esta paradoja, se explica en el hecho de que los cuerpos más pesados son proporcionalmente más difíciles de acelerar. Esta resistencia al movimiento es una propiedad de todo cuerpo, el cual se le conoce como inercia. Diecinueve siglos después, estudios realizados por el científico de origen italiano Galileo Galilei2 (1564 – 1642), aseguró que un cuerpo que caía con una aceleración constante e independientemente de su peso. En ausencia de resistencia del aire, la aceleración debido al campo gravitatorio terrestre produce un movimiento uniformemente acelerado. En el nivel del mar y a una altitud de 45o, el valor de esta aceleración es de 32.17 pies/s2 o 9.806 m/s2, y es denotada por la letra g. Para nuestros propósitos, los siguientes valores serán suficientemente precisos. g = 32 pies/s2 g = 9.8 m/s2 Puesto que la aceleración gravitacional es una aceleración constante, se aplican las mismas ecuaciones generales del movimiento, discutidas en las secciones anteriores. No obstante, uno de los parámetros se conoce desde el principio y no tiene que establecerse en el problema. Si la constante, g se inserta en las ecuaciones (4), (7) y (8), respectivamente v f = v0 + gt s = v0 t + s= 1 2 gt 2 1 2 2 (v f − v0 ) 2g (9) (10) (11) 2 Como dato histórico interesante, el mismo día, mes y año de la muerte de éste ilustre científico perseguido por la inquisición por estar en contra de las ideas de la iglesia, nace uno de los más grandes científicos que ha tenido toda la humanidad. Sir Isaac Newton. 267 243 Temario Dirección General de Admisión Antes de usar estas ecuaciones, conviene hacer algunos comentarios generales. En problemas relacionados con caída libre de los cuerpos, es extremadamente importante elegir la dirección positiva y seguirla en forma consistente al sustituir los valores conocidos. El signo del resultado es necesario para determinar la ubicación de un punto o la dirección de la velocidad en determinado instante de tiempo. Por ejemplo, la distancia s3 en las ecuaciones anteriores, representa la distancia sobre o por debajo del origen. Si la dirección hacia arriba se elige positiva, un valor positivo para s indica una distancia (altura) sobre el punto de inicio; si s es negativa, representa una distancia (altura) por debajo del punto de inicio. De manera similar, los signos para v0, vf y g indican sus direcciones respectivamente. Ejemplo 7: Se deja caer moneda desde la Torre inclinada de Pisa; parte del reposo y cae libremente, tal como se aprecia en la Figura 6. Calcular su posición y velocidad después de 1.0, 2.0 y 3.0 s respectivamente. Solución: Tomemos el origen O como punto de partida, el eje de coordenadas es vertical y la dirección hacia arriba es positiva. Como el eje de coordenadas es vertical, llamaremos a la coordenada y en vez de s. Una vez realizada la sustitución de las s en las ecuaciones (9) a (11) por y, obtenemos: Datos: v0 = 0 (velocidad inicial de la moneda). g = -9.8 m/s2. t = 1.0, 2.0 y 3.0 s Figura 6. Encontrar: y=? (altura en cualquier tiempo). vf = ? (velocidad final de la moneda). Como la moneda posee una velocidad inicial de cero, y experimenta una caída libre, la aceleración es hacia abajo, esto es, en la dirección positiva, así g = -9.8 m/s2. Haciendo uso de las ecuaciones (9) y (10), podemos determinar tanto la velocidad final como la posición (altura) que tendrá la moneda en cada instante de tiempo particular, así: 3 Que para efectos de caída libre, representará la altura que alcanza o se suelta (o lanza) un objeto con respecto a un origen de referencia. 244 268 Área CientÍfica Física Para t = 1.0 s v f = 0 + ( − 9.8 m/s 2 )(1.0 s) = - 9.8 m/s 1 y = 0 + (−9.8 m/s 2 )(1.0 s) 2 = −4.9 m 2 Para t = 2.0 s v f = 0 + (−9.8 m/s 2 )(1.0 s) = - 19.6 m/s Para t = 3.0 s 1 y = 0 + (−9.8 m/s 2 )(2.0 s) 2 = −19.6 m 2 v f = 0 + (−9.8 m/s 2 )(3.0 s) = - 29.4 m/s y =0+ 1 (−9.8 m/s 2 )(1.0 s) 2 = −44.1 m 2 Los resultados obtenidos, se mostrados en la Figura 6. Ejemplo 8: Usted lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio. La pelota abandona su mano en un punto a la altura de la barandilla de la azotea con una velocidad ascendente de 15.0 m/s, quedando en caída libre. Al bajar, la pelota apenas libra la barandilla. En ese lugar, g = 9.8 m/s2. a) Obtenga la posición y velocidad de la pelota 1.00 s y 4.00 s después de soltarla; b) la velocidad cuando la pelota está 5.00 m por encima de la barrandilla; c) la altura máxima alcanzada y el instante en se alcanza; la aceleración. Solución: En la Figura 7, la trayectoria descendente se muestra desplazada un poco a la derecha por claridad. Sea el origen la barrandilla, donde la pelota abandona su mano, y sea la dirección positiva hacia arriba. Primero reunamos los datos: Datos: v0 = 15.0 m/s (velocidad inicial de la pelota) g = -9.8 m/s2. Encontrar: v f = ?⎫ ⎬ para t = 1.00 y 4.00 s respectivamente y=?⎭ vf = ? ymáx. = ? t=? (cuando y = 5.00 m) Figura 7. 269 245 Temario Dirección General de Admisión a) La posición y y la velocidad vf en cualquier instante t una vez que se suelta la pelota están dadas por las ecuaciones (9) y (10) respectivamente, así Para t = 1.00 s v f = 15.0 m/s − (9.8 m/s 2 )(1.00 s) = + 5.2 m/s 1 y = (15.0 m/s)(1.00 s) − (9.8 m/s 2 )(1.00 s) 2 = +10.1 m 2 Por tanto, la pelota está a 10.1 m por encima del origen (y positivo) y se desplaza hacia arriba (v positiva) con una rapidez de 5.2 m/s, que es menor que la rapidez inicial de 15.0 m/s, como se esperaba. Para t = 4.00 s v f = 15.0 m/s + (−9.8 m/s 2 )(4.00 s) = −24.2 m/s 1 y = (15.0 m/s)(4.00 s) + ( −9.8 m/s 2 )( 4.00 s) 2 = −18.4 m 2 Por tanto, la pelota pasa su punto más alto y está por debajo del origen (y negativo); tiene una velocidad hacia abajo (v es negativa) con una magnitud de 24.2 m/s, que es mayor que la rapidez inicial, lo que es lógico para los puntos debajo del punto de lanzamiento. Para obtener estos resultados no necesitamos conocer el punto más alto alcanzado cuándo se alcanzó; las ecuaciones del movimiento dan la posición y la velocidad en cualquier instante, esté subiendo o bajando la pelota. b) La velocidad vf en cualquier posición y está dada por la ecuación (11), así 2 v 2 = v0 + 2 gy = (15.0 m/s) 2 + 2( −9.8 m/s 2 )( +5.00 m) = 127 m 2 / s 2 , f es decir, v f = ±11.3 m/s Obteniendo dos valores para vf, uno positivo y uno negativo; pues la pelota pasa dos veces por ese punto. La velocidad al subir es +11.3 m/s, y al bajar es –11.3 m/s. c) En el punto más alto, la pelota deja de subir (vf positiva) y comienza a bajar (vf negativa); en el instante en que llega al punto más alto vf = 0. La altura máxima ymáx. puede obtenerse de dos maneras. La primera es haciendo uso de la ecuación (11) y sustituir vf = 0, esto es: 2 0 = v0 + 2 gy máx. = (15.0 m/s) 2 + 2(−9.8 m/s 2 ) y máx. , donde procedemos a despejar ymáx. y máx. = 246 270 (15.0 m/s) 2 = +11.5 m . 2(9.8 m/s 2 ) Área CientÍfica Física La segunda, es calcular el instante de tiempo en que vf = 0 haciendo uso de la ecuación (9) y sustituir éste valor en la ecuación (10). Mediante la utilización de la ecuación (9), el instante t en que la pelota llega al punto más alto es: 0 = 15.0 m/s + (−9.8 m/s 2 )t , despejando t, obtenemos: t= 15.0 m/s = 1.53 s . 9.8 m/s 2 Sustituyendo éste valor en la ecuación (10), obtenemos: 1 y máx. = (15.0 m/s)(1.53 s) + (−9.8 m/s 2 )(1.53 s) 2 = +11.5 m 2 Observe que al calcular ymáx. con la primera forma no es necesario calcular primero el tiempo. PROBLEMAS DE PRÁCTICA 1. Un automóvil viajó 86.0 km. Si la rapidez promedio fue de 8.00 m/s, ¿cuántas horas se requirieron para el viaje? Respuesta: t = 2.99 h. 2. Un camión de carga viaja hacia la ciudad de Paso Canoas que cuya distancia desde la ciudad capital es aproximadamente 640 millas. El recorrido completo tarda 14 h, pero realiza dos paradas de 30 min para comer. ¿Cuál fue la rapidez promedio del viaje? Respuesta: v = 45.7 mi/h. 3. Una flecha abandona el arco 0.500 s después de que se libera de la posición en la que se amartilla. Si alcanza una rapidez de 40.0 m/s en este tiempo, ¿cuál es la aceleración promedio?. Respuesta: a = 80.0 m/s2. 4. Un automóvil marcha a 45.0 km/h, y apretando el acelerador se logra que al cabo de medio minuto se ponga a 90.0 km/h. Calcular la aceleración del automóvil y el espacio recorrido (distancia) en ese tiempo. Respuesta: a = 0.45 m/s2; s = 564 m. 5. Un camión viaja con una rapidez de 60 mi/h repentinamente frena para detenerse. Las marcas de las llantas del camión sobre el pavimento miden 180 pies de largo. ¿Cuál fue la aceleración promedio y cuánto tiempo transcurrió para que el camión se detuviera después de aplicar los frenos? Respuesta: a = -21.5 pies/s2; t = 4.09s. 271 247 Temario Dirección General de Admisión 6. Un automóvil viaja con un rapidez constante de 55.0 mi/h. Si el conducto se distrae durante un par se de segundos, ¿qué distancia recorrerá el automóvil en ese tiempo?. Respuesta: s = 161 pies. 7. Un tren se acelera desde el reposo a 4.00 pies/s2. Después de recorrer una distancia de 200 pies, el tren continua viajando a velocidad constante durante 4.00 s. En ese instante el tren frena en 6.00 s. ¿Cuál es la distancia total recorrida, y en cuánto tiempo se cubre?. Respuesta: s = 480 pies; t = 20.0 s. 8. Un automóvil lleva una velocidad de 72.0 km/h y los frenos que posee son capaces de producirle una deceleración máxima de 6.00 m/s2. El conductor tarda 0.80 s en reaccionar desde que ve el obstáculo hasta que frena adecuadamente. ¿A qué distancia ha de estar el obstáculo para que el conductor puede evitar el choque en las condiciones citadas? Respuesta: s = 49.3 m. 9. Un ladrillo se deja caer desde la parte superior de un puente que se encuentra a 80.0 m sobre el agua. a) ¿Cuánto tiempo permanece el ladrillo en el aire? b) ¿Cuál es la rapidez final. Respuesta: a) t = 4.04 s; b) vf = 39.6 m/s. 10. Una flecha se dispara hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial de 80.0 pies/s. a) ¿Durante cuánto tiempo continuará elevándose? b) ¿Qué tal alto se elevará? c) ¿Cuáles son la posición y la velocidad después de 2.00 s? d) ¿Cuáles son la posición y la velocidad después de 6.00 s? Respuesta: a) t = 2.50 s; b) y = 100 pies; c) y = 96 pies, vf = 16 pies/s; d) y = -96 pies, vf = -112 pies/s. 11. Desde un globo que está ascendiendo a una velocidad de 50.0 m/s se suelta un cuerpo para que caiga libremente. Si tarda 20.0 s en llegar al suelo, ¿a qué altura estaba el globo en el instante de soltar el cuerpo? Respuesta: y = 1.00 km. 12. Un objeto se lanza al aire verticalmente hacia arriba y alcanza una altura máxima de 16.0 m. ¿Cuál es la rapidez inicial y cuánto tiempo tardó el objeto en alcanzar la altura máxima? Respuesta: v0 = 17.7 m/s; t = 1.81 s. 13.Una piedra se lanza verticalmente hacia abajo desde la parte superior de un puente. Cuatro segundos después, golpea el agua que se encuentra abajo con una velocidad final de 60.0 m/s. a) ¿Cuál es la velocidad inicial de la piedra? b) ¿Cuál es la altura del puente medida desde el agua?. 248 272 Área CientÍfica Física MÓDULO 10: SEGUNDA LEY DE NEWTON Objetivos: 1. Indicar correctamente todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo puntual. 2. Manejar correctamente la segunda ley de Newton en el caso de fuerzas constantes sobre una masa puntual. IDENTIFICACIÓN DE FUERZAS : Existen diferentes tipos de interacción entre los cuerpos: aquéllas que mantienen unidos los átomos hasta las que mantienen la armonía entre los planetas. En este módulo estudiaremos las interacciones denominadas fuerzas de contacto y el peso, que es una fuerza a distancia. Ejemplo No 1: a) Un proyectil que es lanzado al aire, si no tomamos en cuenta las corrientes de aire, sólo experimenta una interacción con la tierra que lo atrae hacia el centro de ella. A esta interacción la llamamos peso; (Fig. 1a) b) Un objeto que está en reposo sobre una superficie horizontal tiene peso, pero además experimenta una interacción con la superficie, ya que ésta lo sostiene, empujándolo en forma perpendicular y hacia fuera de ella. A esta interacción la llamamos normal. (Fig. 2a) c) Un objeto que se mueve sobre una superficie horizontal con rugosidades, tiene peso y normal; pero además experimenta otra forma de interacción con la superficie; ésta puede oponerse a su movimiento hasta el punto de detenerlo. A esta interacción la llamamos fricción. (Fig. 3a) d) Un objeto que es empujado con una barra sobre una superficie ideal lisa y sin rugosidades, tiene peso y normal; pero además interactúa con la barra. Se ejerce una compresión sobre la barra y como ésta no se deforma, el objeto experimenta una fuerza (que lo empuja) por medio de la barra. (Fig. 4a) e) Un objeto que está atado a una cuerda y desciende tiene peso; pero además interactúa con la cuerda. Se ejerce una tensión sobre la cuerda (no se puede ejercer compresión sobre una cuerda ya que ésta se deformar. De esta forma el objeto experimenta una fuerza (que lo hala) por medio de la cuerda. (Fig. 5a) Se puede encontrar que un objeto podría experimentar simultáneamente la acción de varias fuerzas como las descritas anteriormente. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: Después de determinar el tipo de fuerza procederemos a confeccionar el diagrama de cuerpo libre que consiste en dibujar todas las fuerzas que actúan sobre la masa. Dado que no nos interesa la geometría del cuerpo lo reducimos a la masa más simple que hay: un punto y concentramos toda la masa en ese punto que llamaremos centro de masa. Dibujamos un plano cartesiano con líneas interrumpidas sobre este centro de masa de tal forma que el cruce de los ejes coincida con este centro y dibujamos las fuerzas en la dirección de los ejes y actuando sobre la masa. 273 249 Temario Dirección General de Admisión Ejemplo No. 2 Dibuje el diagrama de cuerpo libre de los casos del ejemplo No. 1. a) → Peso( P ) Fig. 1ª b) Fig. 1b → Fig. 2ª Peso ( P ) Fig. 2b → Normal ( N ) c) movimiento → Normal ( N ) → Fricción( fr ) → Fig. 3ª d) Fig. 3b movimiento Peso ( P ) → Normal ( N ) Fuerza de Barra Compresión → Peso ( P ) Fig. 4ª e) Fig. 4b Cuerda → Tensión ( T ) movimiento → Peso ( P ) Fig. 5ª 250 274 Fig. 5b Área CientÍfica Física Ejemplo No. 3 Dibuje el diagrama de cuerpo libre para una masa que baja por un plano inclinado, si la superficie es rugosa y tiene fricción, como muestra la Fig. 6a. r N r P Fig. 6a r Fr x y Fig. 6b Para el cuerpo de la figura el diagrama de cuerpo libre en el centro de masa es la figura 6b, en donde se ha girado convenientemente el sistema de coordenadas de tal forma que el eje en la dirección del movimiento sea paralelo al plano inclinado. Entonces el peso hará un ángulo a respecto al eje y. SEGUNDA LEY DE NEWTON: La fuerza aplicada a un cuerpo es directamente proporcional al producto de su masa por su aceleración. Esta relación causa-efecto explica el comportamiento dinámico de un cuerpo y se escribe como: → → ∑F = ma, (1a) En donde el primer miembro equivale a la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Como m es un escalar y no altera ni la dirección ni el sentido del movimiento entonces, la dirección y sentido de la aceleración serán las mismas que las de la fuerza resultante. El problema entonces es, básicamente, la identificación de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y su descomposición vectorial, si es necesaria. 275 251 Temario Dirección General de Admisión Recordemos que en cinemática una aceleración es un cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Esto significa que existe la posibilidad de que la aceleración sea cero, lo cual resulta en dos situaciones: a-) El objeto esta en reposo, o b-) El objeto se mueve a velocidad constante. Lo que indica que nuestra primera expresión (1a) puede tener la forma: → ∑F = 0, (1b) DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS : → Dada que la fuerza ( F ) y la aceleración ( → a ) son vectores podemos descomponer la expresión (1a) de acuerdo a direcciones perpendiculares entre si, en este caso, para un plano cartesiano tendríamos: → ⎡ → ⎢∑ F x = m a x ∑ F = m a⎢ → → ⎢∑ F y = m a y ⎣ → (2 ) → (3) en todos los casos en que se analice el movimiento neto de la masa será sólo en una dirección de modo que (2) y (3) pueden quedar como: → → x = m ax (4 ) y ∑F =0 (5 ) → ∑F lo que significa que no hay movimiento en la dirección y, o → ∑F x → ∑F (6 ) =0 → y = m ay (7 ) en el caso de que no haya movimiento en la dirección x . Nota 1: Se asignan como positivas todas las fuerzas y componentes que apunten en el sentido del movimiento. EL PESO: Si al ejemplo de la figura 1a) le aplicamos la expresión (1) tenemos que → ∑F → y = may (8 a ) de la cinemática sabemos que cualquier cuerpo que se mueve libremente sobre la tierra experimenta una aceleración igual a g = 9,8 m/s2 , entonces: → ∑F y = mg (8a ) o en forma abreviada: P = mg 252 276 (8c) Área CientÍfica Física la cual define la forma de encontrar el peso de cualquier masa en cualquier momento, ya sea que esté en reposo o en movimiento. La Fricción: Si usted empuja un objeto que se encuentra en reposo sobre una superficie rugosa descubrirá que cuesta más esfuerzo si lo empuja cuando ya está en movimiento. En el segundo caso, a pesar de que es la misma superficie rugosa y el mismo objeto, el esfuerzo es menor. La razón de esto es que la fuerza de fricción que actúa en contra del movimiento no es la misma cuando el objeto está en reposo que cuando está en movimiento. La fricción se define como: f r = μN al parámetro relacionado con las superficies en contacto es normal. Si el objeto está en reposo p. μ = μk (9) μ y lo llamamos coeficiente de fricción, siendo N la μ = μ s o coeficiente de fricción estático y si el objeto está en movimiento o coeficiente de fricción cinético, donde: μ s > μk (10) Ejemplo No 4. Si un objeto se mueve sobre una superficie horizontal y se le está aplicando una fuerza que hace un ángulo θ con la horizontal como muestra la Fig. 7a), Su diagrama de cuerpo libre seria como el de la Fig. 7b), si no hay fricción: T Fig. 7ª Fig. 7b P N Ty = T sen θ Tx = T cos θ Donde se ha descompuesto vectorialmente la fuerza T. 277 253 Temario Dirección General de Admisión Aplicando la expresión (4) tendríamos entonces: ∑F x = Tx = ma T cosθ = ma (11) y con la expresión (5): ∑F y = N + Ty − P = 0 N + Tsenθ − mg = 0 (12) donde se ha sustituido el peso de acuerdo a (8c). Ejemplo No. 5 Si la masa del ejemplo No. A (Fig. 7a) es de 6 Kg., la tensión es de 10 N, el ángulo es de 30º respecto a la horizontal y la superficie no tiene fricción, determine la aceleración del bloque y el valor de la normal. Sen 30° = 0,5 y cos 30° = 0,9. Solución: Podemos reemplazar el valor de la tensión, el ángulo y la masa en la primera expresión (11) para obtener la aceleración del bloque: (10 N )cos 30º = (6kg )a (10kgm / s )cos 30º 2 6kg =a a = 1,5m / s 2 y reemplazando los datos en la expresión (12) obtendríamos el valor de la normal: N + (10 N ) sen30º−(6kg )(9,8m / s 2 ) = 0 N = 58,8 N − 5,0 N N = 53,5N Ejemplo No. 6 Si en el ejemplo No.4 (Fig. 7a) hay fricción entre la superficie y el bloque, determine el diagrama de cuerpo libre y las ecuaciones de movimiento. 254 278 Área CientÍfica Física Solución. N El diagrama de cuerpo libre sería, entonces: Ty N θ Fr Fr T y = sen θ T Tx T x = T cos θ P P En la Fig. 8a. aparece la fricción actuando en sentido contrario al movimiento. La expresión (4) quedaría entonces: ∑F x = Tx − Fr = ma (13a) sustituyendo la fricción Fr de acuerdo a (9) tendríamos: T cosθ − μ c N = ma (13b) el signo negativo de la fricción se debe a que esta actúa en sentido contrario al movimiento. Para calcular la normal N utilizamos la expresión (12): ∑F y = N + Ty − P = 0 con la cual conseguimos: N = mg - T sen θ (13c) Ejemplo No. 7 Si la masa del ejemplo No 6 (Fig. 8a) es de 5 Kg, y aplicamos la misma tensión de 20 N formando 37º con la horizontal, pero está vez la superficie es rugosa con coeficiente de fricción cinético de 0,2. Encuentre la normal, la fricción y la aceleración. Sen 37º = 0,6 y cos 37° = 0,8. Solución: El diagrama de cuerpo libre se muestra en la Fig. 8a. Para encontrar la normal utilizamos la expresión 13c, de donde se obtiene: N = 49 N – 12 N = 37 N Para la fricción, la expresión (9): f r = (0,2)37 N = 7,4 N Para la fuerza resultante en x utilizamos la expresión (13a): ∑F x = 20 N (0,8) − 7,4 N = 8,6 N 279 255 Temario Dirección General de Admisión y la aceleración 8,6N = (5Kg)a a = 1,72 m/s2 Ejemplo No. 8 Para el sistema mostrado en la Fig.9. determine las expresiones para la tensión en la cuerda y para la aceleración si no hay fricción entre el bloque A y la superficie y el sistema se mueve hacia la derecha. A B Fig. 9 Los diagramas de cuerpo libre para los bloques serian; Para el bloque A: N T T PA PB Fig. 10a Fig. 10b Para el bloque A las expresiones (4) y (5) quedarían como: → ∑F x ∑ = ma a x y =0 N − PA = 0 (14a.), y T = m Aa → F (14b) N − mAg = 0 Como ambas masas se mueven simultáneamente la aceleración de la masa B es la misma que la masa A. Para el bloque B las expresiones (6) y (7) quedarían como: → ∑ F y = mB a → ∑F x = 0 256 280 ,y PB − T = m B a m B g − T = mB a (15) Área CientÍfica Física mB g − T = m B a m B g − (m A a ) = m B a a= (16) mB g mB + m A Como es la misma cuerda la que esta unida a las masas A y B entonces la tensión sobre A es la misma que sobre b, de esta manera, reemplazamos la expresión (14 a) encontrada para la tensión en A en la expresión (15) y obtenemos: que sería la aceleración del sistema. Luego podemos reemplazar esta aceleración en la expresión (14a) y obtener entonces la tensión en la cuerda: T = mA a T= (17) m A mB g mB + m A Ejemplo No. 9 Si la masa A del ejemplo 8 es de 10 Kg y la masa B es de 10 Kg y no hay fricción. Encuentre: a-) Las ecuaciones para cada masa. b-) La normal para cada masa. c-) La aceleración del sistema. d-) La tensión en la cuerda. Solución: Para la masa B la ecuación es: ∑Fx = T = (10kg) a ∑Fy = N - 98N = 0 ∑Fy = 98N - T = (10 kg) a b). La normal de la masa A es, a partir de (19): NA = 98N a) Para la masa A las ecuaciones son: A (18) (19) (20) Mientras que para la masa B, como no está en contacto con una superficie: NB = 0 c) Sustituyendo (18) en (20): 98 N- (10kg) a = (10kg) a a = 4,9 m/s d) Sustituyendo la aceleración en (18): 2 T = 49N. 281 257 Temario Dirección General de Admisión EJERCICIO DE PRÁCTICA No 1 1. Para las situaciones a, b, c, d, y e del ejemplo 2 determine las ecuaciones de movimiento para cada caso. 2. Si la masa de la Fig. 3 a) es de 5kg y el coeficiente de fricción cinético es de 0,1 calcule la aceleración. 3. Si la masa del bloque de la Fig. 4b es de 10 kg y el coeficiente de fricción estático es de 0,25 entre la superficie y el bloque determine la fuerza de compresión mínima que se debe aplicar para empezar a mover si bloque. 4. Si el bloque de la Fig. 5 a) es de 2Kg y la tensión en la barra es de 5N calcule la aceleración del bloque. 5. Si en el ejemplo 8 hay fricción entre el bloque A y la superficie: a) Obtenga el diagrama de cuerpo libre para cada bloque b) Determine las ecuaciones de movimiento 6. Si en el problema anterior de este ejercicio la masa del cuerpo A es de 5Kg y la del cuerpo B es de 8Kg y el coeficiente de fricción cinético es de 0,1 Calcule el valor de la tensión en la cuerda y el de la aceleración del sistema. 7. Si el bloque de la Fig. 6a es de 2 Kg, el ángulo de elevación del plano es de 30º y el coeficiente de fricción cinético es de 0,3. Determine el valor de la normal y la aceleración del bloque. RESPUESTAS Ejercicio de Práctica No 1: 1. (a) P = mg (b) N = P = mg (c) N = P = mg -Fr = ma, o de otra forma a = - μ g (d) N = P = mg (e) mg – T = ma T = ma 2. a = -0.98 m/s 3. T = 24.5N 4. a = 7.3 m/s 5. 2 Para A NA Para B: T T Fr PB PA T- μ mAg = mAa Na = Pa = m ag 6. a = 5,6 m/s , T = 32,9 N 7. N = 17 N 258 2 282 - T + mBg = mBa Área CientÍfica Física MÓDULO 11: TERCERA LEY DE NEWTON Objetivos: 1. Indicar correctamente todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo puntual. 2. Manejar correctamente la segunda ley de Newton en el caso de fuerzas constantes sobre una masa puntual. 3. Aplicar la tercera Ley de Newton. TERCERA LEY DE NEWTON Se conoce como la ley de acción y reacción y establece que si dos cuerpos están en interacción, entonces, ambos cuerpos experimentan sendas fuerzas que ejercen el uno sobre el otro siendo éstas iguales en magnitud pero de direcciones “opuestas”. Ejemplos: Un cuerpo A esta en contacto con uno B y ambos están sobre una superficie lisa (sin fricción), como muestra la figura. Determine las fuerzas que experimenta cada cuerpo y la que cada uno ejerce sobre la superficie. MB MA Solución: La fuerza que ejercen ambas masas en contacto se puede dibujar de la siguiente manera: NB NA A B FBA PA FAB PB Como ambos cuerpos están en reposo, entonces la expresión (6) quedarla: → ∑F x =0 FAB − FBA = 0 FAB = FBA 283 259 Temario Dirección General de Admisión En donde vemos que ambas fuerzas son iguales en magnitud, la misma dirección pero de sentidos contrarios, como muestra el diagrama. En la dirección y también ambos cuerpos están en reposo y por lo tanto la expresión (5) queda: Para el cuerpo A Para el cuerpo B → → ∑Fy = 0 ∑Fy = 0 N A − PA = 0 N B − PB = 0 N A = PA = M A g N B = PB = M B g Estas son las fuerzas de reacción que la superficie ejerce sobre los cuerpos. EJERCICIO DE PRÁCTICA No.2 1. Determine las fuerzas que sienten cada masa para las siguientes situaciones, si las superficies no tienen fricción: a) b) RESPUESTAS Ejercicios Práctica No.2: NA NB FAB PA NB NA PAB PBA FBA PA PB 260 284 PB Área CientÍfica Física MÓDULO 12: TRABAJO Y ENERGÍA Objetivos: 1. Usar una definición de trabajo mecánico en el caso de fuerzas constantes. 2. Definir operacionalmente la energía cinética de un cuerpo. 3. Relacionar el trabajo mecánico de un cuerpo con su variación de energía cinética. 4. Definir la energía potencial gravitatoria de un cuerpo en el caso de cuerpos cerca de la superficie terrestre. TRABAJO MECÁNICO: La ENERGÍA puede TRANSFORMARSE de una forma a otra, TRANSFERIRSE de un sistema a otro, pero no puede crearse ni destruirse. Esta es la esencia del PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. El TRABAJO MECÁNICO constituye uno de los mecanismos mediante los cuales la energía puede transformarse o transferirse de un sistema a otro. A pesar que ya en la vida diaria usamos nosotros la palabra "trabajo" en nuestro lenguaje, la definición que damos en física nos permite medir cuánta energía se ha transferido o transformado. Definición de TRABAJO en el caso de FUERZAS CONSTANTES, desde el punto de vista de la FÍSICA. TRABAJO = FUERZA PARALELA (o antiparalela) AL DESPLAZAMIENTO DE UN CUERPO MULTIPLICADA POR EL DESPLAZAMIENTO. TRABAJO = F// d (1) Siendo " F// " el componente de la fuerza, paralelo (o antiparalela) al desplazamiento y "d" el valor del desplazamiento. Se necesita, para usar correctamente esta definición encontrar el componente de la Fuerza a lo largo de la línea que determina el desplazamiento. (Vuelva a leer su módulo sobre componentes de un vector). La UNIDAD de TRABAJO Y ENERGÍA: Newton-metro –JOULE. Cuando la fuerza es PARALELA al desplazamiento el trabajo es POSITIVO, si es ANTIPARALELA el trabajo es NEGATIVO. 285 261 Temario Dirección General de Admisión F F F //= F cos φ F// d La figura 1 identifica los elementos que hay que determinar para calcular el trabajo. Fig. 1 Veamos el ejemplo No1 con valores numéricos: F = 100 N φ =60º d = 50 m sen 60º =0.9 F cos 60º = 0.5 F φ F// d Fig. 2 Ejemplo 1: Con la ayuda de la figura 2 y los valores dados, encontramos (ver módulo sobre componentes): F// = 100 cos 60° N = 100x0.5 N = 50 N Trabajo = 50 N x 50 m - 2500 N-m = 2500 Joules. Decimos que la fuerza F hizo 2500 Joules de trabajo. Si el trabajo es positivo entonces el cuerpo recibe energía debido al trabajo y si es negativo entonces el cuerpo transfiere energía (uno dice que pierde energía). ¿Cuándo el trabajo es negativo? Cuando la fuerza F y el desplazamiento hagan un ángulo mayor de 90° y menor o igual a 180°. El ángulo φ es el menor ángulo entre el desplazamiento y la fuerza. En la figura 2 se mediría en sentido antihorario a partir del desplazamiento. F φ Trabajo Positivo d F φ Trabajo Negativo Trabajo d F 262 286 φ =180 d Área CientÍfica Física NOTA: Los vectores fuerza y desplazamiento deben colocarse con sus comienzos juntos, como indica la figura 3. El ángulo φ es de importancia porque nos va a decir si el trabajo es positivo o negativo. En términos del módulo o magnitud de la fuerza aplicada, " φ " el ángulo que hace la fuerza con el desplazamiento y el módulo del desplazamiento, el trabajo queda: Trabajo = F cos φ d (2) Que es una definición operacional para trabajo en caso de fuerzas constantes. Práctica No 1 Calcule el trabajo haciendo los diagramas señalando F, d y φ: Una persona observa desde arriba un cuerpo que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción que está sujeto a una fuerza de 300 N que hace un ángulo de 45° en sentido antihorario con el eje + horizontal y el cuerpo se desplaza 20 metros (no hay fricción con la superficie, utilice sen 45° = cos 45° = 0,7): a) hacia la derecha. b) hacia la izquierda c) en sentido negativo del eje vertical. d) haciendo un ángulo de 45° con el eje + horizontal en sentido antihorario. e) haciendo un ángulo de 135° en sentido antihorario con el eje + horizontal. Respuestas: a) 4200 Joules b) - 4200Joules c) - 4200 Joules d) 6000 Joules e) cero La respuesta e) es importante de recordar pues cuando el ángulo entre Fuerza y desplazamiento es de 90° el trabajo es NULO, es igual a CERO, Las FUERZAS PERPENDICULARES a los desplazamientos NO HACEN trabajo. Pero si no hay desplazamiento aunque existan fuerzas actuando sobre un cuerpo ellas no harán trabajo. Es el caso de una columna que ejerce una fuerza para soportar parte del peso de un edificio. La energía es una cantidad escalar y es aditiva. Si hay varias fuerzas sobre un cuerpo entonces cada una de ellas puede realizar trabajo, que se calculará como hemos indicado y luego se suman dichos trabajos algebraicamente y es lo que llamaremos trabajo NETO. 287 263 Temario Dirección General de Admisión 50N 20N φ = 60º d = 30m Ejemplo 2. Usando la figura 4 encuentre el trabajo NETO. Primero observamos las fuerzas perpendiculares al desplazamiento pues ellas no hacen trabajo. Por ejemplo la fuerza de 200 N es perpendicular al desplazamiento y no hará trabajo (cos 90°=0). Luego buscamos los ángulos entre cada fuerza y el desplazamiento. Del diagrama obtenemos la siguiente tabla: TABLA No 1 Fuerza (módulo) (N) Ángulo con el desplazamiento φ (grados) 180 50 60 180 Usando la ecuación (2) obtenemos el trabajo de cada fuerza, Entonces: TABLA No 2 F(N) φ (grados) d (m) Trabajo (Joules) 180 50 60 180 30 30 2700 -1500 Trabajo Neto ==1200 Joules Práctica No 2 Un cuerpo está sometido a las siguientes fuerzas: N hacia la derecha y F 1 = 500 N hacia abajo, F 2 = 800 N hacia la izquierda, F 3 = 600 F 4 = 300 N hacia arriba. Encuentre el trabajo Neto si se desplaza 400 m desde el origen y haciendo un ángulo de 30° en sentido antihorario con el eje horizontal. Respuesta: - 112000 Joules. 264 288 Área CientÍfica Física Energía Cinética. Desde el punto de vista de la mecánica, ¿qué energías de un cuerpo dado pueden cambiar cuando efectuamos trabajo sobre el cuerpo aplicando fuerzas en el mismo sentido (las fuerzas pueden poseer un componente paralelo o antiparalelo al desplazamiento) del desplazamiento o contrario a éste?. La respuesta es la siguiente: En vista de que las fuerzas que hacen trabajo deben tener un componente paralelo o antiparalelo al desplazamiento entonces dichas fuerzas pueden sólo cambiar el módulo de la velocidad del cuerpo y la energía que está ligada con el módulo de la velocidad es la energía cinética definida: Ec = ½ M V2 (3) En donde designamos por Ec la energía llamada CINÉTICA en términos de la masa M del cuerpo y de la rapidez V (que es la magnitud o módulo de la vector velocidad). Esta energía es siempre positiva y debe expresarse en JOULES cuando la masa se da en kg y la rapidez en m/s. Esta ecuación se debe usar sólo si la rapidez del cuerpo es menor que 0.2 c (en donde c es la rapidez de la luz en el vacío e igual a 300000 km/s). Ejemplo3: ¿Cuál es la energía cinética de una bola de 0.05 kg y rapidez 10 m/s? Usando la ecuación (3) tenemos: Ec = ½ (0,05)(10)2 = 2,5 Joules. Ejemplo 4: Un carro de 3000kg viaja a 60Km/hr ¿cuál es su energía cinética en Joules? Primero transformamos los Km/hr a m/s : 60km/hr = 60x103 m / 3600 s = 16,67 m/s y la energía cinética del carro será : ½ 3000x(16,67)2 = 4,17x105 Joules. La energía cambia con el cuadrado de la rapidez, de manera que si duplica la rapidez y la masa queda constante, entonces la energía se cuadruplica. La energía cinética es directamente proporcional a la masa del cuerpo si la rapidez se mantiene constante. El trabajo es una medida del cambio de energía cinética. Trabajo = Δ Ec = ½ M V 2 - ½ M V1 = ½ M( V2 - V1 ) (4) 2 2 2 2 289 265 Temario Dirección General de Admisión Siendo V2 la rapidez al final de efectuar el trabajo y Vi la rapidez al inicio. Y no se olvide que la Δ significa que hay que hacer diferencias o restas. Ejemplo 5: Una fuerza horizontal de 500N realiza trabajo sobre un cuerpo que también se desplaza horizontalmente unos 20 metros (fuerza y desplazamiento en el mismo sentido). Si la rapidez inicial del cuerpo era de 10 m/s y su masa era de 4kg, encuentre la rapidez final del cuerpo. Encuentre también la energía cinética inicial y la final del cuerpo luego de realizarse el trabajo. De la ecuación (2) con F = 500 N, d = 20 m y φ=0 Trabajo = 500x 20 == 10000 Joules = 1x 104 Joules. Entonces (4) se puede escribir: 1x10 4 = ½ (4 ) ( V 2 -102) de donde puedo despejar V2 y obtengo: 2 5100= V 2 y buscando la raíz cuadrada tengo: 2 V2= 5100 Para encontrar las energías cinéticas iniciales y finales uso la ecuación (3) Ec(1) = ½ (4) (102) = 200 Joules Ec(2) = ½ (4) ( 5100 2 )= 10200 Joules Note que el cambio de energía cinética es 10000 Joules e igual al trabajo hecho por la fuerza. Práctica No 3 Un cuerpo de 10 kg está sujeto a dos fuerzas: una fuerza de 50 newtons haciendo un ángulo de 60° con el eje horizontal positivo y una fuerza contraria a su movimiento de 20 newtons. El desplazamiento es horizontal y hacia el lado positivo del eje horizontal y vale 300m. Calcule la energía cinética final del cuerpo si inicialmente tenia: a) reposo b) rapidez de 5m/s. Respuesta: a) 1500J, b) 1625J 266 290 Área CientÍfica Física ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA, Cuando suelta un objeto desde su mano por ejemplo, el mismo adquiere energía cinética. ¿De dónde sale esa energía La respuesta es que un cuerpo por su posición en el espacio y relativo a la tierra tiene una energía, aunque no esté en movimiento. Esta energía se le llama ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. Si llamamos "Y" (a veces la llaman altura "h" del cuerpo) a la coordenada vertical respecto a un origen de coordenadas entonces dicha energia se escribe: Ep=MgY (5) Siendo M la masa del cuerpo, "g" la gravedad terrestre (asumida constante e igual a 9.8 m/s 2 ), y "Y" la coordenada vertical del cuerpo ( o altura respecto al cero de alturas). Esta relación sólo es válida para valores de Y mucho menores que el radio terrestre que es de 6400Km (que son la mayoría de los movimientos que vemos dentro de nuestra atmósfera). Ejemplo 6: Un hombre de 70 kg está en lo alto de un edificio de 25 metros ¿Cuál es su energía potencial gravitatoria? Caso a) coloco el origen en la parte inferior del edificio. La "Y" del hombre con este origen será 25 metros y su energía potencial gravitatoria usando (5) será: Ep = 70 x 9,8 x 25 = 17150 Joules Caso b) Coloco el origen en lo alto del edificio donde está el hombre. Entonces su "Y" será cero y su energía potencial será cero. Entonces dicha energía va a depender de donde ponga el cero de coordenadas para Y. Práctica No 4. Un foco de 0.06 Kg está suspendido de un cordel de 1.5 metros. Su distancia al piso es de 3 metros. Encuentre su energía potencial gravitatoria poniendo el origen en: a) en el piso. b) en el lugar donde está el foco Respuestas: a) 1,764 J b) cero J c) en el techo de donde está colgado el hilo. c)- 0,882 J Observación: la energía potencial gravitatoria a diferencia de la cinética puede ser positiva, negativa o cero como se mostró en el ejemplo de práctica. 291 267 Temario Dirección General de Admisión MÓDULO 13: PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN Objetivos 1. Definir la energía mecánica de un cuerpo como la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria. 2. Enunciar el PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA. 3. Resolver problemas usando el Principio de Conservación de Energía. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA (CASO DE FUERZAS GRAVITATORIAS) Si la fuerza conque trabajamos es de tipo gravitatoria, entonces hay una particularidad en el tratamiento de este tipo de problema y es que la suma de la energía cinética y la energía potencial del cuerpo es una constante del movimiento. En ecuaciones podemos enunciar dicha ley así: ½ M V12 + Mg Y(1)= ½ M V 22 + Mg Y(2) = ½ M V3 + Mg Y (3) =..„... = constante 2 (6) Siendo Y(1), Y(2), Y(3) ... etc las coordenadas verticales del cuerpo relativas a un origen sobre la superficie terrestre, y V1 V2 V3 ....las rapideces en los mismos puntos. Lo importante de (6) es que si Ud. conoce la energía cinética y la energía potencial en un punto cualquiera de la trayectoria del cuerpo, entonces puede determinar la constante de movimiento y con ella determinar una de las energías cuando conoce la otra. La ecuación (6) incluye la SUMA de la energía cinética y potencial que llamaremos ENERGÍA MECÁNICA o sea: Energía mecánica = ½ M V2 + Mg Y (7) Para el caso de un cuerpo moviéndose bajo la acción de la fuerza gravitatoria solamente. Ejemplo 7. Se lanza un cuerpo de 10 kg verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. ¿A qué altura llega? Tomaremos el cero de las Y en el punto de lanzamiento del cuerpo. Entonces su energía mecánica obtenida con (7) es: ½ 10x202 + 0 = 2000J y de acuerdo a (6) este valor es constante. En el punto donde ya no sube más el cuerpo su rapidez es 0 m/s y si llamamos Y(2) a su coordenada en ese punto entonces (7) queda: 0 + 10x9.8x Y(2) =Energía mecánica. Y usando (6) 268 292 Área CientÍfica Física 10x9.8xY(2)=2000 de donde Y(2) = 2000/98 = 20.4 m Ejemplo 8. Un cuerpo se lanza bajo un ángulo de 60° con la horizontal y con una rapidez de 100 m/s. Su masa es de 2 kg. Diga qué energía potencial tiene cuando alcanza su máxima altura y su altura máxima. Nota: el cuerpo no sube más cuando su componente de velocidad vertical es nulo. No olvide que en el eje horizontal se mueve con velocidad constante si despreciamos la fricción del aire. Sus componentes de velocidad inicial son: Vox = 100 cos 60° = 50 m/s = constante Voy = 100 sen 60°= 90 m/s Pondremos el cero para las Y en el punto de lanzamiento. Su energía mecánica al inicio es: ½ 2 x (100)2 + 0 = 1 x 104J = constante En su punto de máxima altura su rapidez nos lo da el componente de velocidad horizontal que no cambia. Su energía mecánica en el punto de máxima altura se escribirá: ½ x 2 x (50)2 + Ep (2) = 1 x 104 y despejando Ep tenemos: Ep(2)= 10000- 2500 = 7500J Para encontrar su altura recordamos que Ep(2)=Mg Y(2) y despejando Y(2) 2 x 9.8x Y(2) = 7500 de donde Y(2) = 7500/19,6 = 382,7m. Ejemplo 9. En la figura 5 un cuerpo de 4 kg se desliza sin fricción por la pista del diagrama. Su rapidez inicial es de 15 m/s y esté a una altura de 12 m sobre el piso. Calcule la energía cinética y la rapidez al pasar por el punto P que está a 6 metros sobre el piso y también la rapidez en el punto Q. Solución: llamemos al punto inicial el punto O. Como tenemos la rapidez y la altura podemos encontrar su energía mecánica en ese punto. Ponemos el cero de altura en la parte más baja. Energía mecánica (O) = ½ x 4 x (15)2 + 4x 9.8 x 12 = 920.4 J = constante. Para el punto P tenemos: Ec(P) + 4x 9.8 x 6= 920.4 y despejando Ec(P) tenemos: Ec (P) = 685,2 J 293 269 Temario Dirección General de Admisión Y como E c(P) = ½ x 4 (V(P))2 = 685.2 ; V(P) = (685.2/2) = 18.5 m/s Para la rapidez en el punto Q asumimos la altura cero, entonces sólo tiene energía cinética en ese punto Escribimos ½ x 4 (V(Q))2 + O = 920.4 y despejando V(Q) nos da: 21.45 m/s. 15m/s 12 m P 6m Q Práctica 1. Cuando está Ud. subido a la azotea de un edificio de 25 m , ¿cuál es su energía potencial gravitatoria poniendo el cero de alturas en el piso del edificio? 2. Diga si Ud. hace trabajo cuando porta una maleta y: a) camina horizontalmente. b) Sube unas escaleras. 3. Diga si hace trabajo cuando sostiene de pie y quieto un objeto sobre la cabeza. 4. Analice el caso de una pelota que Ud. sube muy lentamente una cierta altura de manera que casi no cambia su energía cinética. 5. Ud. lanza desde lo alto de un edificio de 50m una pelota de 0,06 kg hacia abajo con una rapidez de 5 m/s ¿Con qué rapidez llega a la base del edificio? R, 31,7m/s. 6. Un péndulo de largo 1.0 metros tiene una masa de 2kg. Se suelta (su rapidez es cero) de un ángulo de 45° con la vertical. Calcule la rapidez de la masa al pasar por su punto más bajo. Cos 45°= 0,7 R, 2,42 m/s. 7. Una masa de masa M desliza sin fricción sobre un semicírculo vertical de radio R y con su concavidad en el piso. Demuestre que la rapidez de dicha masa al pasar por el punto más bajo, y si se lanzó del inicio del semicírculo con rapidez Vo, está dada por: V= 270 294 (Vo 2 + 2 gR) LEY MóDULO14: ELECTROSTÁTICA. DECOULOMB Objetivos: el&rica. de la l¿s caracteristic¿s carga 1. Analiz¿r pr¡ncipales puntuales. la 2. Calcular fuerzaelécticaentrecargas CARGA ELECTRICA. que que y solo naturales sonla masa la cargadéctrica S¿bemos la masa materlal tienedo6propiedades Todocuerpo que la eléctrlca material, embargo carga sin un puede positiva, de como todaporcióñ materia constituye cuerpo ser que un han en La puedeser pooitiva negatlva. expedenoa laboratorios demostrado sólo puedeobtenerse valor o como para cualqu¡er es cargael&rica Estefenómeno conocido múitiploenterode una cargaelemental forma; de "Cuantlt @aión da la atga alé.ülca" y es €ll.presÉda la siguiente Q = ne; n = +1, +2' x3t t4' K parael slstema Coulomb cuyovalores de 1,6 x 1or'gc (unldadi la en dondese representa cargaelemental y signo elcasodel será la elementalcoñ negatlvo,para la Para Internaclonal), unelectrón c¡rgaeléctrlca iguala carga una da protónla c¿rgael&rlca serálgual,perode signopositivoya que es coñsldeGda particula c¡rga posltlva. debldo que a eléctrlca como así cuemos cargas, sin partlculas como elementales el ñeutónnotienecarga Algunas Otracaractedsüca fundamental la cargadéctrlcaes de comode protones. de conüene misño número electrones el fundameñtalesla FÍslca de de queseconserva canüdady formaparte ¡asmagnltudes en LEYDECOULOMB. puntual€s atractiva ambas o s! tieñen signos opuestos, es repulsiva es si eltrrlca entredoscargas Lainteracción al eléctdca, comotodo vector,poseeun móduloque es proporcional Dicha fuer¿a de tienencargas sigñoslguales. de del al de producto lascargas inversameñte e de floporcional cuadrado la distancia s€parac¡ón, cualpodemos expresar materñátlcamente: Fp, t' +o.d ' YJ , n¿( -uU) ,' ' l\2' / / /l .,' "'Fioura No,l F, - ¿, oo K'í' (r) de tomadas m&uloy K esunfactor en endonde y lr, sonlascargas laspartículas O, conocido collo constante de coulomb. que depende del medio periferico en el cual están 271 295 Temario Dirección General de Admisión K = 9 x10 9 Nm 2 C 2 La dirección de la fuerza eléctrica está contenida en el segmento rectilíneo que une ambas partículas, como muestra la figura No1. La Fuerza que produce la carga Q1 sobre Q 2 es representada por F21 y tiene la misma magnitud pero con sentido contrario a la Fuerza que produce la carga Q1 sobre Q 2 la cual es representada por F12 . Problemas Resueltos Calcule la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica sobre una carga de +1 μ C colocada en el origen, producida por: a. Una carga puntual Q = −1μC , colocada en el punto x =2cm. b. Una carga puntual Q = −2 μC colocada en punto y =2mm. c. Una carga puntual Q = +5μC colocada en punto de coordenadas (2cm; -4cm) Solución: a. La partícula colocada en el origen y la carga de Q = −1μC colocado en x = 2cm = 0.02m, lo y representamos en el siguiente diagrama: Q1 Q2 F12 0 2 cm Como ambas cargas tienen signos contrarios ocurrirá una atracción entre ambas y la x magnitud de la fuerza que experimenta el electrón producida por el protón será: F12 = K ( ( Q1Q2 1x10− 6 C ) 1x10 −6 C = (9 x 109 N m2 / c2) 2 2 r12 0,02m ) ( ) = 22,5N cuya dirección está dirigida al Este como muestra el diagrama. b. En esta ocasión la partícula positiva de carga y 2 mm Q = −2μC colocada en y =2mm = 0,002m es representada en el siguiente diagrama: Q2 Nuevamente tenemos una atracción y el módulo de la fuerza que experimenta el electrón es dada por: F12 0 Q1 x F12= K = Q1Q2 = ( 9x109 Nm2 / C2 2 r 12 con dirección dirigida al Norte. 272 296 ) (1x10 ( C ) 2x10−6 C ) = 4500 N 2 0.002m ) −6 ( Área CientÍfica Física c. La carga puntual Q = +5μc es situada en el punto (2cm;-4cm), producirá una repulsión, como muestra el siguiente diagrama. y El módulo de la fuerza eléctrica es dada por: F12 63,4 Q1 -4 cm 2 cm r12 x Q2 F12 = K Q1Q2 = ( 9 x10 9 Nm 2 / C 2 2 r12 ) (1x10 )(5 x10 −6 C ) = 22,2 N (0.045m )2 −6 C en donde la distancia de separación es calculada a partir del Teorema de Pitágoras: r12 = (2cm ) + (4cm ) 2 2 = 4,5cm = 0,045m La dirección está contenida en la línea que une ambas cargas del punto (0,0) al punto (2,-4). −4 = −2 tan 2 φ = −63,4º φ= Cuyo valor es: luego la fuerza eléctrica tiene un valor de 5,7x10-25N, con 63,4°; al Sur del Este. Problemas Propuestos: Calcule la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica sobre una partícula de carga Q = +2μC colocado en el origen, producida por: a. Un neutrón colocado en el punto x = 4cm. b. Una carga puntual Q = +10 μC colocada en punto Y = -5mm c. Una carga puntual Q = −5μC colocada en punto de coordenadas (4cm; 4cm) Respuesta a. Cero b. 1800 N, dirigido al Norte. c. 36 N, dirigido 53,1º al Norte del este, PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de Coulumb explica la interacción entre dos cargas puntuales; sin embargo, podemos extender el efecto de la fuerza eléctrica sobre una carga en particular producida por otras cargas. El principio de superposición nos 297 273 Temario Dirección General de Admisión indica que el efecto que produce una interacción en cierta pareja de cargas eléctricas es independiente del efecto que producen las demás; es decir, cada carga eléctrica contribuye en forma independiente y aislada a la formación de la resultante de fuerzas que actúa en cierta carga en particular. Problemas Resueltos y a. Dada la configuración donde Q1 = −2μC , Q2 = Q3 = +3μC Q2 y d = 4cm, determinar la fuerza eléctrica que experimenta la carga Q1 . d Solución: Representamos las fuerzas que actúan sobre Q1 , para así d d Q3 x visualizar las fuerzas que actúan y luego descomponer las respectivas componentes (figura Nº2). Q1 Aplicando el principio de superposición tenemos: → → → F1 = F12 + F13 en donde F1 representa la fuerza neta en la carga Q1, F12 es la fuerza que experimenta similarmente, F13 es la fuerza que experimenta Q1 producida por la carga Q3. El módulo de estos vectores son dados por la ley de Coulomb: F 12 = K Q 1Q 2 = (9x 10 9 Nm 2 / C 2 r 12 F13 = K Q1Q 3 = (9x 109 Nm 2 / C 2 2 r13 2 ) (2x 10 ) (2x 10 C ) (3x 10 −6 C 2 0 ,08m ) −6 ( C ) (3x 10−6 C 2 0 ,056m ) −6 ( ) = 8, 4N ) = 17 ,2N y F12 Q1 F13 45º x 274 298 Q1 producida por Q2 y Área CientÍfica Física Utilizamos el método gráfico y obtenemos: X F12 cos 90º = 0 F13 sen 45º = 12,2 N 12,2 N F12 F13 F1 Y F12sen90º = 8,4 N F13 sen 45º = 12,2 N 20,6 N Conociendo los componentes podemos determinar el módulo del vector F1: F1 = (12,2 ) + (20,6 2 ) = 23,9 N 2 como también la dirección del vector F1: tan φ = 20,6 N = 1,69 12, 2 N φ = 59,4º y cuya representación es mostrada Q2 F1 59,4º Q3 x Q1 a. Dos cargas puntuales Q1 = −5e; Q2 = +2e son colocadas en los puntos (0,0) y (7cm,0) respectivamente. Determinar en qué punto sobre el eje X, podemos colocar un electrón de forma tal que no experimente fuerza alguna. 7 cm Solución: Q1 = -5e Q2 = +2e Tomando en cuenta el diagrama, observamos : En el punto A, no podemos colocar el electrón para que no experimente fuerza, a pesar de que las fuerzas que actúan sobre él tienen direcciones opuestas, debido a que sus magnitudes no son comparables. 299 275 Temario Dirección General de Admisión A Q1 F31 Q2 F32 En el punto B, mucho menor, puede colocarse ya que las fuerzas que actúan sobre el electrón tienen las mismas direcciones. B Q1 Q2 F32 F31 En el punto C; las fuerzas tienen direcciones contrarias y las magnitudes son comparables ya que la carga mayor está más lejos que la carga menor, lo cual genera un equilibrio en las fuerzas. C F32 Q1 F31 Q2 Calculando el valor de x tenemos: F32 = F31 (∉)(2 ∉) = Κ (∉)(5 ∉) x2 (x + 7 )2 2 2(x + 7 ) = 5 x 2 Κ 3 x 2 − 28 x − 98 = 0 La ecuación cuadrática podemos resolverla aplicando la fórmula y obtendremos dos soluciones: X1 = 12cm X2 = -2.7cm La segunda solución localiza un punto en B, lo que no es coherente con el análisis realizado; entonces podemos concluir que el electrón debe colocarse a 12cm a la derecha de la carga +2e. 276 300 Área CientÍfica Física PROBLEMAS PROPUESTOS : a. Determinar la fuerza eléctrica sobre la carga de 4 μC , producida por las otras dos cargas indicadas en !a figura No.3. b. Dos cargas positivas se colocan en el eje X. Una carga es +Q y se coloca en x = 3.0m, mientras que la otra es +2Q y se coloca en x = 5,0m. Determinar en qué punto del eje X debe colocarse una tercera carga para que no experimente ninguna fuerza. +2 μ C Figura Nº3 5cm 30º -3 μ C +4 μ C Respuestas: a. 8.9N, dirigida a 24° al Sur del Oeste, b. x = 3.83m 301 277 Temario Dirección General de Admisión MÓDULO 15: ELECTROSTÁTICA. CAMPO ELÉCTRICO. Objetivos: 1. Definir el Campo Eléctrico y relacionarlo con la Fuerza Eléctrica. 2. Calcular el Campo Eléctrico producido por cargas puntuales. 3. Analizar el movimiento de cargas eléctricas en un campo eléctrico uniforme. CAMPO ELÉCTRICO: Es toda región en la cual cualquier partícula cargada sentirá una fuerza eléctrica. Podemos comprender que el Campo Eléctrico es una manifestación de las propiedades eléctricas de todo cuerpo cargado el cual permite la interacción eléctrica. Todo cuerpo cargado emana un vector Campo Eléctrico en toda la región donde se encuentra y sólo otros cuerpos cargados sentirán la presencia del campo eléctrico. Una carga, por ejemplo, no podrá sentir su propio campo eléctrico ya que de ser así ocurriría una autointeracción (se repela o atrae ella misma). El vector campo eléctrico depende principalmente de la distribución de cargas y de la contextura geométrica que presenta el cuerpo cargado. La forma experimental de medir un campo eléctrico es colocar una carga de prueba lo suficientemente pequeña en un punto determinado a fin de no alterar el campo existente, para luego medir la fuerza que experimenta y aplicar la razón con la carga de prueba, es decir: → → F E= Q (2) Podemos analizar que la Fuerza y el Campo Eléctrico serán paralelos cuando la carga de prueba es positiva; de lo contrario, tendrán direcciones opuestas, como muestra la figura No.4. E F Figura No 4 E + F Problema Propuesto: a. Determinar el Campo Eléctrico que experimenta la carga Q1 del problema enunciado en el punto 3.1.a Solución: Conociendo la Fuerza Eléctrica que experimenta la carga Q1 podemos calcular la magnitud del Campo Eléctrico utilizando la ecuación (2), 278 302 Área CientÍfica Física E= F 23.9 N = Q1 2 x10 −6 C ( ) = 1.2 x10 7 N / C Cuya dirección debe ser contraria a la Fuerza Eléctrica como muestra el diagrama siguiente, ya que se trata de una partícula negativa. y Q F1 59.7º x Q Q b. Determine la magnitud y dirección del Campo Eléctrico que experimenta un electrón si la Fuerza eléctrica que actúa sobre él tiene 200N, y está dirigida 30° al Sur del Este, Solución: De la ecuación podemos despejar la magnitud de la Fuerza Eléctrica y tendremos: F = QE = (10 x10 −6 C )(2000N / C ) = 0.02N cuya dirección es 30° dirigida al Norte del Oeste, N F O 30º E 30º S E 303 279 Temario Dirección General de Admisión Cam po Eléctrico Producido por una carga puntual. Sabemos que el Cam po Eléctrico solo depende del cuerpo cargado que lo produce y no de la existencia de una carga puntual localizada en un punto específico, ya que la carga de prueba se utiliza solo como instrumento para medirlo indirectamente. Si analizamos el efecto que produce una carga puntual sobre una carga de prueba con el propósito de medir analíticamente la magnitud del Campo Eléctrico que produce dicha carga puntual, concluiremos que tal expresión m atemática está dada por: E = K Q r2 (3) en donde K es la constante de Coulom b, Q es la carga que produce dicho Campo Eléctrico y r es la distancia radial medida desde la carga al punto donde estamos evaluando la magnitud del campo o simplemente donde colocamos la carga de prueba. La dirección será radialmente positiva siempre que la carga que lo produce sea tam bién positiva, de lo contrario será dirigida apuntando hacia la propia carga como muestra la figura No. 5. - + Líneas del cam po Eléctrico P ara una carga neg ativa Líneas del cam po Eléctrico Para una carg a positiva Figura No.5 El principio de superposición se aplica de igual manera ya que cuando existen varias cargas presentes, cada una producirá un vector Campo Eléctrico y todo cuerpo cargado experimentará el campo eléctrico de los demás. Problem a Resuelto: a. Determinar la magnitud y dirección del Campo Eléctrico en el origen, cuando dos cargas puntuales de 2 μ C y − 3 μ C son colocadas en (0,3)m y en (3,0)m respectivamente. Solución: Cada carga eléctrica produce un cam po Eléctrico en el origen como indica la figura No.6. 280 304 Área CientÍfica Física La magnitud de ambos campos Eléctricos es calculada mediante la ecuación (3); ( ) (2 x10 2C ) = 2000 N / C (3m) −6 E1 = K Q1 = 9 x10 9 Nm 2 / C 2 r2 E1 = K Q1 3x10 −6 C = 9 x10 9 Nm 2 / C 2 = 3000 N / C r2 (3m)2 ( )( ) y Q1 = +2 μ C 3m Q2 = -3 μ C Como solo hay una componente en cada eje podemos hallar la magnitud de la resultante directamente utilizando el teorema de Pitágoras; E2 E1 3m x Figura Nº 6 Luego tenemos: 2 E = E2 + E12 = (2000)2 + (− 3000 )2 = 1.3x107 = 3,6 x103 N / C cuya dirección con la ayuda de una tabla de funciones trigonométricas obtendremos: tan α = E1 − 3000 = = −1,5 2000 E2 α = −56,3º Mostramos finalmente el Vector Campo Eléctrico en el origen; con la magnitud de 3.6 x 103 N/C dirigido a 56,3° al Sur del Este; producido por las dos cargas puntuales; y Q1 = +2 μ C Q2 = -3 μ C ∝ x E Problema Propuesto: Dos cargas puntuales de -3 μ C está ubicada en (0.2)m y la otra de +2 μ C está en (2,0)m. a. Determinar la magnitud del Campo Eléctrico en el origen. b. ¿Qué fuerza experimentaría una carga de +10 μ C colocada en el origen? Respuesta: a. 8,1 x 103 N/C b. 0.081 N (paralela al Campo Eléctrico). 305 281 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 16: CIRCUITOS ELÉCTRICOS. LEY DE OHM CIRCUITOS SERIE. Objetivos: 1. Conocer la conducción electrónica en los sólidos. 2. Analizar las posibles transformaciones de energía en otras formas de energía. 3. Analizar circuitos eléctricos sencillos. 4. Simplificar circuitos eléctricos sencillos. CIRCUITOS ELÉCTRICOS. Un circuito eléctrico es un camino por el cual puede fluir carga continuamente. El camino lo forman elementos o dispositivos conectados entre sí. Algunos de estos dispositivos son fuentes de energía y otros consumen energía. Las fuentes de energía son dispositivos que proporcionan una diferencia de potencial, o lo que es lo mismo, un voltaje. Recordemos que el voltaje no es más que el trabajo por unidad de carga necesario para mover dicha carga. Este trabajo realizado sobre las cargas se debe a fuerzas eléctricas y, por consiguiente, al campo eléctrico que atraviesa a todos los elementos del circuito. La unidad de la diferencia de potencial (trabajo por unidad de carga) o voltaje es el voltio. VOLTIO = JOULES/COULOMB La unidad voltio se abrevia con la letra V. El flujo de carga a través del material del que están hechos los dispositivos se denomina corriente eléctrica. La corriente puede ser continua o directa si el flujo es siempre en un solo sentido a través del circuito, o alterna si el sentido cambia periódicamente. La corriente eléctrica se cuantifica contando el número de cargas que pasa a través de una sección del material en un tiempo determinado. Esto define la unidad de corriente eléctrica, el amperio: AMPERIO = COULOMB/SEGUNDO La unidad amperio se abrevia con la letra A. La intensidad o magnitud de la corriente, así como depende de la diferencia de potencial aplicada, también depende de la composición y de la geometría del material de los dispositivos que forman el circuito. En cada átomo del material existen los electrones de conducción que son susceptibles a ser removidos de sus átomos cuando se aplica un campo eléctrico dentro del material. Estos electrones, en su conjunto, forman un flujo de carga a través del material que encuentra oposición al chocar con otros átomos. Esta oposición que presenta el material se denomina resistencia eléctrica. 282 306 Área CientÍfica Física La resistencia eléctrica depende también del espesor y de la longitud de los dispositivos. La unidad de resistencia es el OHMIO, que se abrevia con el símbolo Ω. Ejemplos de dispositivos fuentes de energía son las pilas o baterías, y de dispositivos disipadores de energía son las resistencias fijas, los bombillos o cualquier elemento que permita transformar energía eléctrica en luz, calor o movimiento. Diagramas de Circuitos Podemos representar los circuitos mediante diagramas o dibujos. Estos diagramas describen específicamente la forma en que están conectados los dispositivos entre si y el símbolo que representa a cada uno de ellos. Las figuras 1a, 1b y 1c muestran los símbolos que representan a las fuentes de voltaje, a las resistencias fijas y a los alambres de conexión. I.0 I0 + V0 Fuente de Voltaje Fig.-1a - - + Resistencia Alambres de Conexión FÍg.-1b Fig.-1b En las Figuras 1, las flechas indican el sentido de la corriente. Destaquemos lo siguiente: a. La polaridad de las fuentes de voltaje se Indica en la Fig. 1a. La barra más corta será el polo negativo (menor potencial) y la barra más larga será el polo positivo (mayor potencial). Si realizamos un recorrido de derecha a izquierda se dice que el potencial sube (entonces V0 es positivo) y si realizamos un recorrido de izquierda a derecha el potencial baja (entonces V0 será negativo). b. En circuitos de una sola fuente el sentido de la corriente lo indica la polaridad de la batería. La corriente fluye atravesando la batería desde el polo negativo al polo positivo (en el sentido en que aumenta el potencial). c. En las resistencias la polaridad la define el sentido de la corriente. En la Fig.1 b como la corriente va de derecha a izquierda, entonces, el extremo por donde entra la corriente será el polo positivo (mayor potencial) y el extremo por donde sale la corriente será el polo negativo (menor potencial). 307 283 Temario Dirección General de Admisión Ejemplo No.1 En la Fig.1 d a. Indique la polaridad en las resistencias y en la fuente de voltaje. b. Si recorre los dispositivos de derecha a izquierda indique los signos de los voltajes. c. Si recorre los dispositivos de izquierda a derecha indique los signos de los voltajes. R1 I1 R2 V1 V2 V0 Fig. 1d La Ley de Ohm El circuito eléctrico más sencillo que podemos construir es el de la Fíg. 2. + R0 V0 I0 Fig. 2 En este circuito, si mantenemos fija a la resistencia R0 y procedemos a variar el voltaje V desde cero hasta cualquier valor determinado encontramos que la corriente I varía respecto al voltaje en forma lineal de acuerdo a la siguiente expresión: V0 = l0 R0 (1) Esta relación se conoce como la Ley de Ohm. Donde V0 se da en voltios, lo en amperios y R0 en ohmios. Hay que destacar dos hechos: a. Toda la energía suministrada por la fuente en la Fig.2 es disipada por la resistencia. Esto implica que en circuitos ideales la energía suministrada por la fuente puede distribuirse exactamente entre todos los elementos que oponen resistencia y que forman el circuito. b. Además, como existe continuidad de la corriente en cada elemento conductor, se posibilitan otros caminos que podrían dividir la corriente en algún punto y volver a integrarla en otro punto, sin interrumpir la corriente en el circuito. 284 308 Área CientÍfica Física Una forma de cuantificar la energía aportada o disipada en el circuito es mediante la potencia eléctrica. Esta se define como: P = IV = I2 R = V2/R (2) La unidad de potencia eléctrica es el WATT que se abrevia mediante a letra W. Ejemplo No.2 1. Si V0 = 5 V y P0 = 2,5 W el valor de I0 es = = 2. Si l0 = 10 A y P0 2000 W el valor de R0 es = 3. Si R0 = 40 Ω y P0 = 10 W el valor de V0 es = El Circuito Serie. Observe que en el circuito de la Fig.3 cada uno de los extremos de cada resistencia, esta conectado a un solo extremo de otro dispositivo. Es decir, que en este circuito la corriente solo tiene un camino. V0 I0 I3 + - I2 R3 R2 I1 R1 I0 Fig.3 Este tipo de circuito se denomina circuito serie y se dice que sus elementos están conectados en serie. Esto nos conduce a relacionar la corriente en cada resistencia de la siguiente forma: I0 = I1 = I2 = l3 (3) Por otro lado, la energía suministrada por la fuente se distribuye entre las resistencias. Esto nos conduce a la siguiente relación: V0 = V1 + V2 + V3 (4) Por esta razón a los circuitos serie también se les llama divisores de voltaje. Aplicando la Ley de Ohm para cada voltaje en la expresión (4) tendríamos: I0R0=I1R1+I2R2+I3R3 (5) 309 285 Temario Dirección General de Admisión Y aplicando la relación (3) tendríamos finalmente: R0 = R1 + R2 + R3 (6) O en forma general para un circuito de N resistencias: R0 = R1 + R2 +... + RN (7) Esta resistencia R0 calculada sustituiría a todas los resistencias del circuito serie. Esto nos conduce a un circuito simple como el de la Fig.2. A este circuito reducido le aplicamos la (1) y despejamos la corriente: I0 = V0/R0 (8) Esta corriente además de pasar por la pila, también pasa por cada resistencia y, por consiguiente, podemos calcular el voltaje en cada uno de ellos utilizando (1) y la potencia utilizando (2). Como el consumo de energía se distribuye entre las resistencias tenemos que: P0 = P1 + P2 + P3 (9) Ejemplo No. 3: En un circuito serie como el de la Fig.3 se tiene que: R1 = 10 Ω , P2 = 60 W , V3 = 50 V y lo = 4A Calcule las resistencias, voltajes y potencias restantes. Calcule la resistencia equivalente. Marque las polaridades de las resistencias en el circuito. Resistencia R0 = R1 = 10 Ω R2 = R3 = Corriente l0 = 4 A l1 = l2 = l3 = Voltaje V0 = V1= V2= V3 = 50V Potencia P0 = P1 = P2 = 60 W P3 = Ejemplo No. 4. Dibuje un circuito serie con resistencias R1= 8 Ω y R2 = 2 Ω conectados a una fuente de energía con V0 = 5 V. Calcule la resistencia equivalente y la corriente, el voltaje y la potencia en la resistencia equivalente y en cada resistencia. Resistencia R0 = R1 = 8 Ω R2 = 2 Ω 286 310 Corriente l0 = l1 = l2 = Voltaje Vo = 5V V1 = V2 = Potencia Po = P1= P2 = Área CientÍfica Física Respuestas Ejemplo No3 (Serie) Resistencia R0 = 26,25 R1 = 10Ω R2 = 3,75 R3 = 12,5 Corriente I0 = 4 A I1 = 4 A I2 = 4 A I3 = 4 A Voltaje Vo = 105 V V1 = 40 V V2 = 15 V V3 = 50 V Potencia = 420 W P1 = 160W P2 = 60 W P3 = 200 W P0 Ejemplo No4 (Serie) Resistencia R0 =10Ω R1 = 8Ω R2 = 2Ω Corriente Voltaje Io = 0,5 A = 500 mA V0 = 5V I1 = 0,5 A V1 = 4V I2 = 0,5 A V2 =1 V Potencia P0 = 2,5 W P1 = 2W P2 = 0,5 W 311 287 Temario Dirección General de Admisión MÓDULO 17: CIRCUITOS ELÉCTRICOS. CIRCUITOS PARALELOS. CIRCUITOS SERIE-PARALELO. Objetivos: 1. Analizar circuitos eléctricos sencillos. 2. Simplificar circuitos eléctricos sencillos. EL CIRCUITO PARALELO. Observe que en el circuito de la Fig.4 uno de los extremos de cada dispositivos está conectado con uno de los otros extremos y los extremos restantes se conectan entre ellos. Estos puntos donde se conectan más de dos dispositivos se denominan nodos. En estos circuitos la corriente toma varios caminos. En algunos nodos la corriente se divide y vuelve a integrarse en otro nodo. n IA I0 I2 I1 R1 x R2 I3 + R3 V0 I0 Fíg.4 Este tipo de circuito se denomina circuito paralelo y se dice que sus elementos están conectados en paralelo. Como característica básica todos los elementos están a una misma diferencia de potencial, es decir, su voltaje es el mismo; V0 = V1 =V2 = V3 (10) A estos circuitos se le denomina también divisor de corriente. Observe que en el nodo x podemos decir que; l0 = lA + l3 (11) lA = l1 + l2 (12) Y en el nodo n podemos decir que: Combinando (11) y (12) obtenemos: l0 = l1 + l2 + l3 (13) Despejando la corriente en (1) y aplicando la expresión (13) para cada resistencia obtenemos: Vo/Ro = V1/R1 + V2/R2 + V3/R3 288 312 (14) Área CientÍfica Física Como el voltaje es el mismo, de acuerdo a (10), entonces: 1/R0 =1/R1 + 1/R2 + 1/R3 (15) O en forma general para un circuito de N resistencias: 1/R0 = 1/R1 + 1/R2 +... + 1/RN (16) Esta resistencia R0 calculada sería la que sustituiría a todas las resistencias del circuito serie. Esto nos conduce también a un circuito simple como el de la Fig.2. Ejemplo No. 5 Si para el circuito de la Fig.4 se tiene que: R1 = 40Ω, P1 = 1000 W, L2 = 4A e L3 = 1 A Encuentre la resistencia equivalente R0 y los voltajes, corrientes y potencias restantes. Resistencia R0 = R1 = 40Ω R2 = R3 = Corriente l0 = l1 = l2 = 4 A l3 = 1 A voltaje V0 = V1 = V2 = V3 = Potencia P0 = P1 =1000W P2 = P3 = Ejemplo No.6 Si para el circuito de la Fig.4 los valores de las resistencias son R1 = 20Ω, R2 = 5Ω R3 = 4Ω y el voltaje V0 = 20 V. Encuentre la resistencia equivalente R0, el voltaje, la corriente y la potencia en cada resistencia. Resistencia R0 = R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 4Ω Corriente I0 = I1 = I2 = I3 = Voltaje V0 = 20 V V1 = V2 = V3 = Potencia P0 = P1 = P2 = P3 = 313 289 Temario Dirección General de Admisión Circuitos Serie-Paralelo. Un arreglo de resistencias en serie-paralelo se puede representar como se muestra en la Fig.5 V0 x I0 I1 I2 + R1 - R2 R3 I3 I0 Fig.5 Tenemos que: I0 = I3 (17) I0 = I2 + I1 (18) Y que en el nodo x que: Recorridos en los caminos cerrados de la derecha y de la izquierda del circuito, respectivamente, nos conducen a: V0 = V2 + V3 (19) V2 = V1 (20) Aplicando la reducción de circuitos tenemos que R 1 y R2 están en paralelo, entonces: 1/R A = 1/R 2 + 1/R 1 (21) que conduce al circuito de la Fig.6 luego, como RA y R1 están en serie, entonces: R0 = RA + R1 Aplicando (1) al circuito reducido de la Fig.7 Se obtiene la corriente: I0 = V0 /R 0 e inmediatamente el voltaje en las resistencias R A y R 3 V 3 = I3 R 3 V A = lA R A donde se demuestra que: V0 = V3 + Va 290 314 Área CientÍfica Física Como R1 y R2 están en paralelo el voltaje VA es el mismo para ambos, entonces: I2 = VA/R2 V0 + - I1 = VA/R1 + R0 V0 - RA I0 Fig.6 I0 Fig.7 R3 Ejemplo Nº7 En el circuito de la Fig. 5 se tiene que: l2 = 8 A, R1 = 40Ω, P2 = 640 W y P3 = 700 W Resistencia R0 = R1 = 40Ω R2 = R3 = RA = Corriente l0 = l1 = l2 = 8 A l3 = LA = Voltaje V0 = V1 = V2 = V3 = Va = Potencia P0 = P1 = P2 = 640 W P3 = 700 W PA = Ejemplo No-8 Si para el circuito de la Fig.5 los valores de las resistencias son R1 = 20Ω, R2 = 5Ω, R3 = 6Ω y el voltaje V0 = 50 V. Encuentre la resistencia equivalente R0, el voltaje, la corriente y la potencia en cada resistencia. Resistencia R0 = R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 6Ω Corriente l0 = l1 = l2 = l3 = Voltaje V0 = 50 V V1= V2 = V3 = Potencia P0 = P1= P2 = P3 = 315 291 Temario Dirección General de Admisión Respuestas Ejemplo No.5 (paralelo) Resistencia R0 = 20Ω R1 = 40Ω R2 = 50Ω R3 = 200Ω Corriente I0 =10 A I15 A I2= 4 A I3= 1A Voltaje V0 = 200 V V1 = 200 V V2 = 200 V V3 = 200 V Potencia P0 = 2000 W P1 = 1000 W P2 = 800 W P3 = 200 W Voltaje V0 = 20 V V1= 20 V V2 = 20 V V3 = 20 V Potencia P0 = 200 W P1 =20 W P2 = 80 W P3 = 100 W Voltaje V0 = 150 V V1 = 80 V V2 = 80 V V3 = 70 V V4 = 80 V Potencia P0 = 1500 W P1 = 160 W P2 = 640 W P3 = 700 W P4 = 800 W Voltaje V0 = 50 V V1 = 20 V V2 = 20 V V3 = 30 V VA = 20 V Potencia P0 = 250 W P1 = 20 W P2 = 80 W P3 = 150W PA = 100 W Ejemplo No.6 (paralelo) Resistencia R0 = 2Ω R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 4Ω Corriente I0 = 10 A I1= 1 A I2 = 4 A I3= 5 A Ejemplo No.7 (serie - paralelo) Resistencia R0 = 15Ω R1 = 40Ω R2 = 10Ω R3 = 7Ω RA = 8Ω Corriente I0 = 10 A I1 = 2 A I2 = 8 A I3 =10 A I4 = 10 A Ejemplo No.8 (serie - paralelo) Resistencia R0 = 10Ω R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 6Ω RA = 4Ω 292 316 Corriente l0 = 5 A l1= 1A l2 = 4 A l3 = 5 A lA = 5 A Área CientÍfica Física Prueba 1 Las preguntas del 1 al 5 se refieren a lo siguiente: Todas las cantidades de las preguntas son medidas y por tanto sus cifras son cifras significativas. 1. La cantidad 0,00450 m escrita en notación científica es; a. 4,5x 103 m b. 4,5 x 10-3 m c. 4,50 x 103 m d. 4,50 x 10-3 m 2. El orden de magnitud de la cantidad 0,03163 a. 102 m b. 10-2 m c. 101 m d. 10-1 m 3. La cantidad 567,890 x 10-2 m escrita en notación decimal es: a. 5,6789 m b. 5,67890 m c. 56789,0 m d. 56789 m 4. La cantidad 0,0006780 x10-4 m escrita en notación científica es: a. 6,78 x 10° m b. 6,78 x 10-8 m c. 6,780 x 10° m d. 6.780 x 10-8m 5. El orden de magnitud de la cantidad 0,789 a. 101 m b. 10-1 m c. 100 m d. 7,89 x 10-1 m Las preguntas del 6 al 10 se refieren a lo siguiente: Los lados de una figura triangular son a = 2,5 cm , b = 3,0 cm y c = 4,00 cm 6. El número de cifras significativas de los lados b, c y a respectivamente son: a. 2; 2 y 3 b. 2; 3 y 2 c. 3; 2 y 2 c b a d. 2; 1 y 1 7. El perímetro de la figura triangular, en metros, es: a. 0,0950 m b. 0,095 m c. 0,09 m d. 0,1 m 8. La diferencia c-a de los lados c y a en milímetros es: a. 1.5 x 101 mm b. 1,5 x 10-1 mm c. 1.5 x 100 mm d. 2 x 10-1mm 9. El producto de los lados b y c en mm2 es: a. 1,20 x 103 mm2 b. 12,0 mm2 c. 1200 mm2 d. 1,2 x 103mm2 10. El cociente a ÷ c de los lados c y a es: a. 0,63 b. 6,3 x l01 c. 0,62 d. 0,625 317 293 Temario Dirección General de Admisión Las pregu ntas del 11 al 1 4 se refieren a lo siguiente: La gráfica corresponde a la variación de la tem peratura con respecto al tiem po de cierta experiencia. 11. El mejor valor de la tem peratura en el instante t = 60 s y el m ejor valor del tiem po para la tem peratura T = 15,5°C, respectivamente son: a. 19 °C y 43 s b. 19,5 °C y 40 s c. 20 °C y 45 s d. 19,5 °C y 43 s 12. Las pendientes de las gráficas A y B, en °C/s, respectivam ente son: a. 2,3 y cero b. 0,023 y cero c. 0,23 y 22,5 d. 0,23 y cero 13. La ordenada al origen de las gráficas A y B, en °C respectivam ente son: a. 6,0 y cero b. 6,0 y 22,5 c. Cero y 22,5 d. Cero y 6,0 14. La ecuación de la gráfica A es: a. T = (0,23 °C/s)t + 6,0 ºC b. T = (2,3 °C/s)t + 6,0 °C c. T = (0,23 °C/s)t d. T =: (0,23 °C/s)t + 22,5 °C 15. La ecuación de la gráfica B es: a. T = (0,23 °C/s)t + 6,0°C b. T = (22,5°C/s)t c. T = 22,5 °C d. T = 6,0 °C 24 T (ºC) T em preratura - tiem po B 20 A 16 12 8 4 0 0 294 318 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 110 t(s ) Área CientÍfica Física Practica 2 Las preguntas del 1 al 3 se refieren a lo siguiente: Se tiene que los lados de una figura triangular medidas con diferentes tipos de reglas fueron: 6,250 dm ; 15,40 dm y 3,38 dm 1. El número de cifras significativas (C.S) para cada uno de los lados, respectivamente son: a. 3; 3 y 3 b. 4; 3 y 3 c. 4; 4 y 3 d. 3; 4 y 3 2. El perímetro de la figura con el número correcto de C.S., expresado en mm, es: a. 2503,0 b. 2503 c. 2,50x10 3 d. 2,5 x 103 3. Los lados de la figura redondeados a 2 , 1 y 2 dígitos, expresados en dm respectivamente son: b. 6,2; 1 x 101 y 3,3 a. 6.3; 2 y 3,4 c. 6; 3; 2 x 10 1 y 3,4 d. 6,2; 2 x 10 1 y 3,4 4. Dos objetos A y B de masas respectivas 28,445 kg y 12,29 kg fueron medidos con diferentes instrumentos. La masa total de ambos objetos con el número correcto de C.S-, en kg, es: a. 40,7 kg b. 40,7351 kg c. 40,74 kg d. 40,73 kg 5. Dos de los lados perpendiculares entre si de una figura rectangular son: 7,1 m y 5,25 m el área de la figura rectangular con el número correcto de C.S. en m 2 es: a. 37,275 b. 37,27 c. 3,7 x 101 d. 37,3 6. El resultado de la operación x = vt = (3 mm/s) (5,25,s) con el número correcto de C.S en m es: a.1,6 x 10 -2 b. 2 x 10 -2 C. 1,575 x 10 -2 d. 2 x 10 -3 7. El resultado de la operación v = (19,64m)/(3,200s) con el número correcto de C.S. en mm/s es: a. 6,1 x 10 3 b. 0,006138 8. El resultado de la operación T= c. 6137 d. 6138 Δ t1 + Δ t 2 + Δ t 3 = 32,17 x10 1 s + 0 ,8452 x10 3 s + 0,6 x10 2 s con el número correcto de C.S. en 5 es: a. 1,2269 x 10 3 s b. 1,227 x 103 s c. 12,2 x 10 3 d. 12 x 103 s Las preguntas del 9 al 10 se refieren a lo siguiente: Los objetos A y B de la figura se m iden con las reglas que aparecen abajo y justo al lado de ellos. 9. La m ejor longitud del objeto A , medido con la regla en dm, expresada en mm es: a. 65 b. 60,0 c. 6 x 10' d. 60 e. am bas opciones b y d 10. La mejor longitud del objeto B , medido con la regla en cm, expresada en m etros es: a. 0,06 b. 0,057 c. 0,056 d. 0,05 e. ambas opciones b y c 319 295 Temario Dirección General de Admisión Practica 3 El siguiente gráfico muestra la posición de una hormiga en función del tiempo, 40 30 posición (cm) 20 10 0 20 10 -10 -20 30 40 50 tiempo (s) -30 -40 1. Las posiciones en cm de la hormiga en t = 5 s; t = 20 s y t = 35 s son respectivamente: a. 5; 20, 35 b.0; -3,0 c. 20; 15;-20 d. –20; 15; 20 2. Los desplazamientos de la hormiga en cm entre t = 30 s y t: 35 s y entre t = 5 s y t = 10 s son respectivamente: a. –2; 2 b. –20; 25 c. 10; -10 d. –10; 10 3. El desplazamiento total recorrido en cm por la hormiga es: a. -25 b. 25 c. 0 d. -5 4. Las distancias recorridas de la hormiga en cm entre t = 30 s y t = 35 s y entre t = 5 s y t = 10 s son respectivamente: a. –2; 2 b. 10; 10 c. 10; -10 d. –10; 10 5. La distancia total recorrida en cm por la hormiga es: a. 25 b. 85 c. 0 d. -25 6. La velocidad media en cm/s entre t = 25 s y t = 35 s es: a. 2 b. -2 c. -20 d. 20 7. Las velocidades medias en cm/s a los 10 s, 30 s y 40 s son: a. 1; -1; -1 296 320 b. 30; -10; -20 c. 10; -30; - 40 d. 1; 1; 1 Área CientÍfica Física El siguiente gráfico muestra la velocidad de una bicicleta en función del tiempo. velocidad (m/s) 9 6 3 0 16 8 -3 -6 24 32 40 tiempo (s) -9 8, Las velocidades instantáneas en m/s para t = 4s, t = 12 s y t = 24 s son respectivamente: a. 9; 0; 9 b. –9; 0; 9 c. 0; 0; 0 d. 9; 0; -9 9. El desplazamiento en m entre t = 4 s y t = 8 s es: a. 36 b. 24 c. 0 d. -36 10. El desplazamiento en m entre t = 16 s y t = 24 s es: a. 0,75 b. 48 c. –48 d. 6 11. Las aceleraciones en m/s2 entre t = 4 s y t = 8 s; y t =12 s y t = 16 s son: a. 0 y 0,75 b. -36 y 6 c. -9 y 3 d. 0 y 3 12. Las aceleraciones en m/s2 entre t = 8 s y t = 12 s; y t = 32 s y t = 36 s son: a. -2,25 y -1,5 b. 2,25 y -1,5 c. 2,25 y 1,5 d.-2,25 y 1,5 13. La distancia recorrida en m entre t = 0 s y t = 4 s a. -24 b. 6 c. 24 d. -6 14. La distancia recorrida en m entre t = 8 s y t = 12 s; a. 18 b. -18 c. 9 d. -9 15. La velocidad media en m/s entre t = 32 s y t = 36 s es; a. -6 b. 3 c. 9 d. 6 321 297 Temario Dirección General de Admisión Práctica 4 El siguiente gráfico muestra la posición de un cuerpo en función del tiempo: X vs t 40 X(m) 20 0 20 10 -20 30 40 -40 t (s) 1. El desplazamiento total del cuerpo, en m, es: a. 20 b. -20 c. 10 d. 0 e. -10 d. 20 e. 80 d. 2,5 e. 25 d. -1,0 e. 0 2. La distancia total recorrida, en m, es; a. 40 b. 70 c. 120 3. La velocidad media a los 7,5 s, en m/s, es: a. 5,0 b. 3,0 c. 2,0 4. La velocidad media a los 25 s, en m/s, es: a. -2,0 b. 2,0 c. 1,5 El siguiente gráfico muestra el desplazamiento de un automóvil, respecto al tiempo: 40 X(km) 30 20 10 0 1 -10 2 3 4 t (h) 5. La velocidad media a los 90 minutos es en km/h: a. 10 b. 0 c. -10 d. 20 e. -15 6. La distancia recorrida hasta los 160 minutos es, en m: a. 40 m b. 40000 c. 50000 d. 50 e. 30 7. El desplazamiento recorrido durante los últimos 60 minutos es en km: B. 35 b. -35 c. 30 d. 25 8. El desplazamiento total del recorrido es en m: a. 30 298 322 b. 30000 c. 35000 d.40000 e. 30 5 6 Área CientÍfica Física 9. El gráfico que mejor representa a la rapidez media del cuerpo en función del tiempo es ; a. b. V (k m /h ) 25 25 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 t( h ) 2 3 4 5 t( h ) -2 5 -25 c. V (k m /h ) d. V (k m /h ) 25 V (k m /h ) 25 1 2 3 4 5 t( h ) -25 t( h ) -2 5 El siguiente gráfico muestra la rapidez media de un cuerpo en función del tiempo; V(km /h) 40 20 0 20 40 60 80 -20 -40 t(m in) 10. Las aceleraciones medias del recorrido en cada intervalo de tiempo, en km/h2, respectivamente, son: a. 3, 6, -3 b. -3, -6, 3 c. 0, 0, 0 d, 0, 3,0 11. Los desplazamientos en cada intervalo de tiempo, en km, son respectivamente: a. 3.3, 6.7, -10 b. -3.3, 6.7, 10 c. 3.3, 6.7, 10 d. 3.3, -6.7, -10 12. El desplazamiento total del recorrido es en km: a. -13.4 b. 13.4 c. 20 d. 0 13. La gráfica que mejor representa la posición del cuerpo en función del tiempo en la figura anterior es: a. b. x x t c. t d. x t x t 323 299 Temario Dirección General de Admisión Las preguntas del 11 al 12 se refieren a un objeto que es lanzado verticalmente hacia arriba: 11. La gráfica que mejor representa la posición del cuerpo en función del tiempo es: a. b. c. d. 12. La gráfica que mejor representa la velocidad del cuerpo en función del tiempo es: a. b. c. d. Las preguntas del 13 al 14 se refieren a un objeto que es lanzado con un ángulo sobre la horizontal: 13. Las gráficas que mejor representan la posición del cuerpo en función del tiempo en la dirección del eje x y en la dirección del eje y, respectivamente son: a. b. c. d. e. 14. Las gráficas que mejor representan la velocidad del cuerpo en función del tiempo en la dirección del eje x y en la dirección del eje y, respectivamente son: a. 300 324 b. c. d. e. Área CientÍfica Física Práctica 5 Las preguntas del 1 al 9 se refieren a la gráfica N°1 que representa la velocidad con respecto al tiempo de un objeto que se encontraba en la posición x = -250 m en el instante t = 0. 1. Las velocidades instantáneas a los 5,25 s y a los 27,5 s respectivamente son: a. 20 y 10 m/s b. 20 y 15 m/s c. 0 y 20 m/s d. 20 y 2 m/s e. 20 y 6 m/s 2. Las velocidades medias entre los instantes 12,5 s y 17,5 s y entre los instantes 35,5 s y 47,5 s respectivamente son: a. 30 y 30 m/s b. 30 y 70 m/s c. 40 y –50 m/s d. 40 y 50 m/s e. 50 y –7 m/s 3. El desplazamiento entre los instantes 20 s y 40 es; a. 500 m b. 100 m c.-l00 m d. –500 m e. 200 m 4. Los desplazamientos entre los instantes 15 s y 25 s y 20 s y 50 s respectivamente son: a. 125 y 223 m b. 50 y 45 m c. 20 y 30 m d. 500 y 450 m e. 175 entre los dos: 5. La distancia recorrida entre los instantes 25 s y 35 s es: a. 60 m b. cero c. 25 m d. 125 m e. 160 m 6. La aceleración media entre los 5 s y 15 s y entre los 11 s y 19 s , respectivamente son: a. cero y 4 m/s2 b. 20 y 4 m/s2 c. 2 y 6 m/s2 d. 2 y 8 m/s2 e. N. A. 7. La aceleración instantánea en los instantes 23,4 s y 42,5 s , respectivamente son: a- 40 y -50 m/s2 b. -6 y 8 m/s2 c. -6 y -8 m/s2 d. 6 y 8 m/s2 e. N. A. 8. La posición del objeto a los 30 s. a. 1200 m b. 950 m c. 1450 m d. Cero e. –250 m d. 2850 m e. 2350 m 9. La posición del objeto a los 50 s. a. -1600 m b. -400 m 80 c. 2600 m Velocidad - tiempo Velocidad - tiempo 25 Velocidad V(m/s) 40 20 0 tiempo (s) 10 20 30 40 50 -20 -40 Velocidad V(m/s) 60 20 15 10 5 0 -60 0 5 10 15 20 25 30 tiempo t(s) 35 -80 -100 La pregunta 10 se refieren a la gráfica No.2 (velocidad - tiempo): 10. La gráfica que mejor representa la posición del cuerpo en función del tiempo es: a. b. c. d. 325 301 Temario Dirección General de Admisión Práctica 6 Utilice los conceptos de Energía Cinética, Energía potencial gravitatoria cerca de la superficie terrestre y el PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA para resolver el siguiente problema. Un juego para niños consta de un carrito y es propulsado por un disparador de ligas hacia una pista circular en un plano vertical, con una cierta rapidez V0, Vea diagrama. D V E 0 F 30º grados R Diagrama A B Suponga que la masa del carrito es M y que el radio de la pista circular vertical es R supondremos que V0 es tal que el carrito puede dar la vuelta completa al círculo sin caerse. El ángulo subtendido por el arco CF es, 30 grados. Asuma el cero para calcular la energía potencial del carrito en el punto más bajo de la trayectoria. Puntos A o B. 1. Si despreciamos la fricción en todo el recorrido entonces la energía total del carrito en todo el trayecto a) disminuirá poco a poco b) será igual d) aumentará y luego disminuirá c) crecerá poco a poco e) aumenta mucho. 2. El valor de la energía total del carrito en cualquier puntó será: a) (l/2) M Vo2 + MgR b) (1/2) M V02 + 2MgR d) 2MgR - (l/2) MVo2 c) (l/2)M Vo2 e) MgR - (l/2 )M Vo2 3. La energía cinética del carrito en el punto F es: a) (1/2) MV02 c) (l/2) MVo2 + 3MgR/2 b) (l/2)MV02 - 3MgR/2 d) (l/2) MVo2 2MgR/3 e) (1/2) MVo2 - 1.5 4. La rapidez del cuerpo en el punto C es ; b) (2/M)(0,5MVo2 -MgR)0.5 a)Vo d) (2/M)(MgR-0.5MVo:)0.5 c) (2/M)(0.5MVo2+MgR)0.5 e) (2/M)(0.5Mvo 2+2MgR)0.5 5. El cuerpo tiene el mismo valor de energía cinética; a) en el punto A y cualquier otro. d) en C y E b) en A y D c) en A y C e) en A , B, C 6. La energía potencial del carrito en el punto F es; a) 3MgR/2 b) 2MgR/3 c) 5MgR/2 Mg (1.87)R d) MgR + 0.5 e) 2MgR/5 7. La energía total del cuerpo en el punto F es: a. 0.5MV02 b) 0.5MV02–1.5MgR c) 0.5MV 02+1.5MgR d) 0.5 MV02–2MgR/3 8. La energía potencial del carrito en el punto E es: a) MgR+0.5MVo2 b) MgR c) 0.5MVo2 – MgR d)0.5MVo2 e) 0.5MV02 - 0.5 9. Repita las preguntas del 2 al 8 para M = 2 x l0-3kg. rapidez en el punto D es 1 m/s, R= 0,4m. 302 326 e) 0.5MV02– 1.5 Área CientÍfica Física Práctica 7 Con ayuda de los conceptos de diagramas de fuerza, trabajo hecho por una fuerza constante, su relación con d cambió en energía cinética del cuerpo al que se le aplica la fuerza, conteste las siguientes preguntas: Se desea trasladar una lavadora que tiene una masa de 30Kg sobre una superficie horizontal. Se decide montarla sobre un cuadro de metal que tiene 2Kg y que posee 4 ruedas supuestas iguales en las esquinas del cuadrado. Los 2 Kg toman en cuenta las ruedas. El coeficiente de fricción entre ruedas y piso es de 0,10 y el coeficiente de fricción entre piso y lavadora es de 0,25. Una persona empuja con una fuerza de 400. Newtons haciendo un ángulo de 60 grados bajo la horizontal a todo el sistema (cuadro y lavadora). Use g = 10 m/s 2, cos 60 = 0,5: sen 60 = 0,9. 1. Suponiendo las fuerzas de fricción entre piso y ruedas todas iguales, el valor de cada fuerza de fricción debe ser en Newtons: a) 34 b) 16,5 c) 33 d) 17 e) 4,25 2. Sí la lavadora se empuja 3 metros, entonces el trabajo debido a todas las fuerzas de fricción es en Joules: a)-51 b)- 204 c)- 99 d)- 49,5 e) -12,75 3. La fuerza horizontal que ejerce la persona es en Newtons: a) 400 b) 360 c) 200 d) 560 e) cero d) 600 e) 1080 4. El trabajo hecho por la persona es en Joules: a) 1200 b) 120 c) cero 5. El trabajo neto hecho por todas las fuerzas sobre todo el sistema es en Joules: a) 532 b) 996 c) 549 d) 520 e) 396 6. Si el sistema está en reposo, entonces la rapidez que adquiere al cabo de 3 metros es con dos cifras significativas y en m/s: a) 5,0 b) 23 c) 25 d) 0,51 e) 2,0 d) 600 e) 200 7. ¿Cuánta energía suministra la persona en Joules? a) 1064 b) 996 c) 396 327 303 Temario Dirección General de Admisión 8. Si se empuja la lavadora sobre el piso sin el cuadro con ruedas, con todo lo demás igual, el trabajo neto será: a) mayor b) menor c) igual d) no se puede calcular 9. Haga el problema 8 de nuevo contestando a las mismas preguntas del 3 al 7. Nota: haga un diagrama de fuerzas en cada caso antes de contestar las preguntas. Nota: discuta sobre la rapidez del sistema en la vida diaria. 400 N 60º 3m 304 328 e)faltan datos Área CientÍfica Física Práctica 8 Notación en Potencia de Diez, Notación Científica y Orden de Magnitud 1. La forma correcta de expresar la cantidad 0,012003 en una notación con potencia de diez es: a. 120,03 X 10 -3 b. 120,03 X 10-5 c. 120,03 X 104 d. 120,03 X 10-4 2. La forma correcta de expresar la cantidad 457001 en una notación con potencia de diez es: a. 45,7001 X 104 b. 45,7001 X 10-4 C. 45,7001 X 103 d. 45,7001 X 105 3. La forma correcta de expresar la cantidad 12,05 X 10-5 en notación decimal es: a. 1205000 b. 120500 C. 0,0001205 d. 0,001205 4. La forma correcta de expresar la cantidad 42,7 X 10-4 en notación decimal es: a. 0,00427 b. 42700 c. 4270 d. 0,0427 5. La forma correcta de expresar la cantidad 0,0125 X 106 en notación decimal es: a. 0,0000000125 b. 0,0125 d. 1,25 X104 C. 12500 6. La forma correcta de expresar la cantidad 0,000251 en notación científica es: a. 2,51 X 10-5 b. 2,51 X lo-4 c. 2,51 X 105 d. 2,51 X 104 7. La forma correcta de expresar la cantidad 3251 en notación científica es: a. 3,251 X 103 b. 3,251 X10-3 c. 3,251 X 10-2 d. 3,251 X 102 8. La forma correcta de expresar la cantidad 457,001 X 10-2 en notación científica es: a. 4,57001 X 100 b. 4,57001 X 10-2 c. 4,57001 X 102 d. 4,57001 9. El orden de magnitud de la cantidad 12,03 X 10-2 es: a. 100 b. 10-2 c. 10-3 d. 10-1 10. El orden de magnitud de la cantidad 457,001 X105 es: a. 107 b. 108 c. 106 d. 105 329 305 Temario Dirección General de Admisión 11. El orden de magnitud de la cantidad 0,002510 X 10-6 es: a. 10-6 b. 10-9 c. 10-10 d. 10-8 12- El orden de magnitud de la cantidad 0,03251 X 103 es: a. 100 b. 10-1 c. 104 d. 102 13. El resultado de la operación 3,9 X 10-5 + 2,0 X 10-4 es: a. 5,9 X 10-4 b. 0,00000239 C. 0,00239 d. 0,000239 14. El resultado de la operación 5,0 X 105+ 2,7 X 104 es: a. 52700 b. 527000 d. 7,7 X105 C. 5270000 15. El resultado de la operación 7,4 X 103 -2,4 X102 es: a. 5 X103 b. 71600 c.716 d, 7160 16. El resultado de la operación 5,4 X 10-2 - 2,3 X10-3 es: a. 3,1 X 103 b. 0,00517 C. 0,0517 d. 0,517 17. El orden de magnitud de su edad (en años) expresada en segundos es: a. 108 s b. 109s c.107s d.106s 18. Desarrollo. Resuelva la siguiente operación: ( ⎡ 3x1011 + 6 x1010 ⎢ ⎢ ⎣ 306 330 ) x(500x10 1 2 1 1,2 x10 −9 + 0,12 x10 −7 ) 1 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 1 2 = Química Área Científica QUÍMICA AUTORES Profesora Vielza Domínguez Profesora Griselda de Sánchez Profesora Nidia R. de Molinar REVISADO Y ACTUALIZADO –2006 Profesor José L. Veces Profesora Nidia R. de Molinar 307 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 1: LA MATERIA Objetivos: 1. Clasificar la materia en sustancias puras o mezclas. 2. Identificar las propiedades físicas y químicas de la materia. 3. Identificar el estado de agregación de la materia. 4. Clasificar los cambios que ocurren en la materia, como físico o químico. 5. Afianzar los conocimientos sobre las unidades de medida según el SI, para masa, volumen y temperatura. Sustancias y Mezclas El término materia abarca todos los objetos, o cosas materiales que constituyen el universo. Existen muchos tipos de materia, a los que se les conoce como sustancias. Dos de los principales métodos de clasificación de la materia se basan en su estado físico (gas, líquido o sólido) y en su composición (elemento, compuesto o mezcla). La materia al examinarla podemos clasificarla como: homogénea o heterogénea. La materia homogénea tiene aspecto uniforme y las mismas propiedades en todos sus puntos. La materia que consiste en dos fases, físicamente distintas, es heterogénea. Las sustancias puras, elementos o compuestos, raramente se encuentran en la naturaleza en estado puro. El aire es una mezcla de gases; el agua de mar es una mezcla que contiene minerales disueltos; el suelo ordinario es una mezcla compleja de minerales y de varios materiales orgánicos. Todos estos ejemplos son mezclas. Tarea N° 1 1. Haga una lista de 20 materiales que se utilizan en el hogar y clasifíquelos como: materia homogénea y heterogénea; luego, éstos los clasifica en sustancias puras y en mezclas y las sustancias puras las clasifica en elemento o compuesto. 2. Explique qué criterios le han servido de base para diferenciar entre una mezcla y una sustancia pura y entre un compuesto y un elemento. 3. Explique qué técnicas se emplean para obtener los derivados del petróleo, ¿son éstas físicas o químicas? 4. ¿Cómo podríamos separar cada uno de los elementos que forman el azúcar C6H12O6? ¿Esto es un método físico o químico? 5. El polvo de hornear lleva los siguientes ingredientes: almidón, bicarbonato de sodio, fosfato ácido de calcio y sulfato sódico de aluminio; por lo que podemos decir que el polvo de hornear es: a) una molécula b) una mezcla homogénea c) un compuesto d) una mezcla heterogénea 308 332 Química Área Científica Propiedades de las Sustancias Cada sustancia posee un conjunto de propiedades o características propias, que permiten diferenciarla o distinguirla de otra. Estas propiedades de la materia se clasifican como: químicas o físicas. Las propiedades físicas: son las características inherentes de una sustancia, que se pueden medir y observar sin modificar la composición o identidad de ésta. Por ejemplo: color, olor, sabor, estado físico, densidad, punto de ebullición y fusión, dureza y otras. Las propiedades químicas: describen la forma en que una sustancia puede cambiar o reaccionar para formar nuevas sustancias. Por ejemplo, las propiedades físicas del cloro son: gas verde a temperatura ambiente, es 2.4 veces más denso que el aire y tiene un olor desagradable. Químicamente, el cloro puede ser usado como agente blanqueador, desinfectante para el agua, es inflamable y puede combinarse para formar compuestos usados como refrigerantes e insecticidas. Muchas de estas propiedades se basan en mediciones cuantitativas, las cuales son expresadas utilizando unidades del sistema métrico denominado Sistema Internacional de Unidades: SI ( y sus derivados). LONGITUD METRO M Kilogramo kg Tiempo Segundo s Corriente eléctrica Ampere A Kelvin K Mol n Masa Temperatura Cantidad de sustancia Tarea N° 2 1. De la siguiente lista de propiedades: ¿cuáles son propiedades físicas? A. el hidrógeno forma una mezcla explosiva con el aire B. el algodón es un material suave C. el cobre es un buen conductor de electricidad D. el hierro es atraído por el imán E. el pan viejo se cubre de moho a) I, II, IV b) II, III, V c) II, III, IV d) III, IV, V, II e) I, IV, V 333 309 Dirección General de Admisión 2. De las siguientes especies: a) todas Temario A. leche, b) solo agua B. madera, c) aire y agua C. aire, D. agua. Son sustancias puras: d) agua y leche e) agua, leche y aire 3. Dado los hechos que se describen a continuación, identifique el tipo de cambio de estado que ocurre en cada caso: a) la naftalina desaparece sin dejar residuo ______________________ b) al derretirse el acero ______________________ c) la fusión de un cubo de hielo ______________________ d) la formación del rocío ______________________ e) el endurecimiento de la goma ______________________ f) al frotarse alcohol sobre la piel ______________________ g) cuando hierve el agua ______________________ Cambios Físicos y Químicos La materia puede presentar dos tipos de cambios: físicos y químicos. Durante un cambio físico solo se alteran las propiedades físicas de la materia tales como: tamaño, forma, densidad o un cambio de estado, por ejemplo: conversión del hielo en agua o vapor. En este caso no hay formación de nuevas sustancias o productos; lo más importante, no hay alteración en la composición de la sustancia. En un cambio químico (llamado reacción química) se forman sustancias nuevas que presentan propiedades químicas y composición diferentes con respecto al material original. Ejemplo: cuando se calienta un alambre de magnesio en la llama de un mechero: el magnesio cambia de un brillo metálico a una ceniza blancuzca y produce una luz blanca. En este caso, el magnesio no regresa a su aspecto original al enfriarlo, sino que se torna una ceniza blancuzca en su superficie; este material es una sustancia nueva llamada óxido de magnesio, que se forma por la alteración química al combinarse el magnesio con el oxígeno del aire. 2 Mg (s) + O2 (g) 2 MgO (s) Tarea N° 3 1. Un ejemplo de cambio químico es: a) La ruptura de un vidrio b) El corte de un pedazo de madera _____________________ c) La oxidación del hierro _____________________ d) La formación del hielo _____________________ e) El pan viejo se cubre de moho _____________________ f) Combustión del alcohol _____________________ g) Pulverización del azufre 310 _____________________ _____________________ 334 Química Área Científica h) Pérdida de brillantez de la plata _____________________ 2. Las propiedades que se detallan a continuación son físicas o químicas: a) El hidrógeno es un gas incoloro _____________________ b) El oxígeno participa en la combustión _____________________ c) El diamante es una sustancia de gran dureza _____________________ d) El alcohol etílico hierve a 78°C _____________________ e) El sodio es un metal blando _____________________ f) El fósforo blanco se inflama cuando se expone al aire _____________________ g) El cobre es un buen conductor de electricidad _____________________ 3. Clasifique los siguientes en cambio físico o químico: a) La gasolina se quema en un motor _____________________ b) Formación de óxido en un clavo _____________________ c) El queso se parte en tajadas _____________________ d) La sal se disuelve en agua _____________________ e) Se afila un cuchillo _____________________ f) La papa se cocina _____________________ g) Ennegrecimiento de un cubierto de plata _____________________ h) La rotura de una piedra _____________________ i) La formación de nubes _____________________ j) La evaporación del agua _____________________ k) La digestión de los alimentos _____________________ l) La respiración _____________________ m) La explosión de nitroglicerina _____________________ n) Pulverizar aspirina _____________________ PRUEBA FORMATIVA 1. ¿Cuál de las siguientes propiedades del Bromo son físicas y cuáles químicas? a) Su densidad a 25°C y 1 atm es igual a 3.12 g/cm3 _____________________ b) Reacciona con el flúor _____________________ c) Su vapor tiene un color naranja _____________________ d) Ebulle a 58.8°C _____________________ 2. Clasifique cada uno de los siguientes ejemplos como: sustancia pura o mezcla. Si es una mezcla, indique si es homogénea o heterogénea. 335 311 Dirección General de Admisión Temario a) Arroz con leche _____________________ b) Agua de mar _____________________ c) Magnesio _____________________ d) Gasolina _____________________ e) Aire _____________________ f) Jugo de tomate _____________________ 3. Indique si las siguientes son mediciones de: longitud, área, volumen, masa, densidad, temperatura: a) 88°F _____________________ b) 5.5 kg/m _____________________ c) 0.88 ppm _____________________ d) 540 Km2 _____________________ e) 173 K _____________________ f) 2 mm _____________________ g) 23°C _____________________ 3 3 4. A. La temperatura en un día de verano es de 87°F. Expréselo en °C a) 66° b) 99°C c) 30.5°C d) 80°C B. El tolueno congela a - 95°C. Transformar a grados Fahrenheit y Kelvin. a) 12n7°F, 95 K b) -139°F, 178 K c) 127°F, 95 K d) ninguna C. Realice las siguientes conversiones: a) 0.076 L a mL b) 5 días a segundos c) 31 galones a litros d) 25.5 miligramos a gramos e) 1.48 x 102 kilogramos a gramos f) 2 m3 a cm3 g) 5.6 decímetros a metros 5. La densidad del aires a 25°C y presión atmosférica normal es 1.19 g/L. Calcule la masa en kilogramos del aire contenido en una habitación que mide 125 cm x 155 cm x 80 cm. a) 1.84 kg b) 0.02 kg c) 428 kg d) 0.76 kg 6. En marzo de 1989, el Exxon Valdés derramó 240,000 barriles de petróleo crudo cerca de las costas de Alaska. ¿Cuántos litros de petróleo se derramaron? (un barril equivale a 42 litros). a) 200,000 L 312 336 b) 100.8x105 L c) 5714 L d) ninguna es correcta Química Área Científica 7. Se nos da un frasco que contiene 4.59 cm3 de un sólido metálico. La masa total del frasco y el sólido es de 35.66 g. El frasco vacío pesa 14.23 g. Calcule la densidad del sólido. a) 7.8 g/cm3 b) 4.7 g/cm3 c) 3.1 g/cm3 d) 0.32 g/cm3 8. La densidad del aluminio es de 2.70 g/cm3. ¿Cuál es su densidad en kg/m3? a) 2.79 kg/m3 b) 0.37 kg/m3 c) 3 kg/m3 d) ninguna es correcta 9. ¿Cuál de las siguientes no es propiedad física? a) Punto de ebullición b) Estado físico c) Acción blanqueadora d) Color 10. ¿Cuál de los siguientes no es un cambio químico? a) Calentamiento del cobre en aire b) Combustión de gasolina c) Enfriamiento de un trozo de fe al rojo d) Ninguno 11. Clasifique las siguientes aseveraciones como verdadero o falso: a) El prefijo kilo, significa 1000 ó 103 b) Un litro contiene 100 ml c) La densidad del líquido A es 2.20 g/ml y la del líquido B es 1.44 g/ml. Si ambos son inmiscibles; cuando se mezclan ambos líquidos el A flotará sobre el B. d) -20°C = -20°F 12. Defina: ductibilidad, maleabilidad. 13. Sugiera una forma de separar una mezcla de azúcar y arena. 14. Un químico analiza una sustancia y reporta los siguientes resultados: a) la sustancia es un metal lustroso de color blanco – plateado que se funde a 649°C y hierve a 1105°C. b) su densidad a 20°C es de 1.738 g/cm3. c) la sustancia arde en aire, produciendo una luz blanca intensa y reacciona con cloro para producir un sólido blanco. d) La sustancia se puede golpear hasta convertirla en lámina delgada o estirarse para obtener alambres; es buena conductora de la electricidad. 337 313 Dirección General de Admisión Temario ¿Cuáles de éstas características son propiedades físicas y cuáles son químicas? 15. La dosis recomendada de elixofilina (fármaco usado por personas asmáticas) es de 6 mg/Kg de masa corporal. La dosis en miligramos para una persona de 150 libras es: a) 11.1 b) 400.0 c) 0.09 d) 2025.0 16. La concentración máxima permisible de monóxido de carbono en el aire urbano es de 10 mg/m3 durante un período de 8 horas. ¿Qué masa del dióxido de carbono en gramos está presente en una habitación que mide 8x12x20 pies? a) 1.40 b) 0.37 c) 0.71 d) 4.0 17. Un sólido flota en cualquier líquido que sea más denso. Usando un manual de Química encuentre las densidades de las siguientes sustancias: cloroformo, etanol, hexano, benceno. ¿Flotará en cualquiera de estos líquidos una esfera de mármol cuya masa es de 2.00 gramos y cuyo radio es de 0.56 cm.? 18. Cuál de las siguientes son propiedades intensivas: 1. masa 2. densidad 3. temperatura 4. área a) 1, 2, 6 b) 2, 3 c) 2, 3, 5 5. color 6. volumen d) todas 19. Cuando una muestra X se pasa a través de un papel filtro, queda un residuo Y color blanco sobre el papel y un líquido Z incolora pasa a través del papel. Cuando el líquido Z se evapora queda remanente otro sólido blanco. De acuerdo a lo anterior la muestra X se puede clasificar como: a) un elemento 314 338 b) un compuesto c) mezcla heterogénea d)mezcla homogénea Química Área Científica MÓDULO 2: ESTRUCTURA ATÓMICA Objetivos: 1. Identificar las partículas fundamentales del átomo. 2. Describir un átomo según su número atómico y número másico. 3. Identificar los isótopos por su estructura. 4. Calcular la masa atómica conociendo el porcentaje de abundancia de los isótopos. 5. Representar la configuración electrónica de un elemento. Utilizando el método de configuración electróni ca y diagrama de orbitales siguiendo la Regla de Hund y el Principio de Exclusión de Pauli. Partículas Fundamentales del Átomo El átomo, es definido por Dalton, como la unidad básica de un elemento que puede intervenir en una reacción química. Dalton describió un átomo como una partícula extremadamente pequeña e indivisible; sin embargo, una serie de investigaciones iniciadas alrededor de 1850, y que continuaron hasta el siglo XX, demostraron que los átomos están constituidos por otras partículas denominadas subatómicas y dentro de ellas están las fundamentales. Dentro de las partículas fundamentales se encuentran el protón y neutrón: éstas reciben el nombre de nucleones por encontrarse en el núcleo. La otra partícula fundamental es el electrón la misma se encuentra grande alrededor del núcleo. El electrón, se simboliza con la e-, es una partícula con carga negativa y una masa de 9.11 x 10-28 g; esta masa es tan pequeña que corresponde a 0.0005 unidades de masa atómica y por lo tanto se dice que su masa es (0) uma. Aunque se conoce la masa del electrón su valor es tan pequeño que resulta inconveniente trabajarlo por lo que se ha asignado una carga eléctrica relativa de -1. El protón, se simboliza con la p+, fue estudiado por el físico alemán Goldstein (1850 - 1930). El protón es una partícula con una masa relativa de una (1) uma y una masa real de 1.6 x 10-24 g. Su carga relativa es (+1) es igual de magnitud, pero de signo opuesto al electrón. 339 315 Dirección General de Admisión Temario El neutrón se simboliza con la n; fue descubierto en 1932 por James Chadwick (1821 - 1974). Esta partícula no tiene carga positiva ni negativa y posee una masa relativa aproximadamente de una (1) uma. Su masa real es 1.657 x 10-24 g, muy parecida a la de los protones. En el siguiente cuadro se presentan las características de las tres partículas fundamentales Partículas Símbolo - Carga Masa Masa real – 0 9.11 x 10-28 Electrón e 1 Protón p+ 1+ 1 1.6 x 10-24 Neutrón n 0 1 1.657 x 10-24 Tarea N° 1 1. Encierre en un círculo la letra que corresponde a la respuesta correcta. A. Las partículas con carga en el átomo son: a) protón y neutrón b) positrón y neutrón c) neutrón y electrón d) protón y electrón c) electrón d) ninguna c) electrón d) protón B. ¿Cuál es la partícula más liviana en el átomo? a) protón b) neutrón C. ¿Dónde está concentrada la masa del átomo? a) núcleo b) neutrón 2. Contestar en forma clara y concisa las siguientes preguntas. A. ¿Por qué el átomo es neutro si está constituido por dos partículas fundamentales con carga? B. ¿Por qué la masa del electrón se puede despreciar a la hora de determinar la masa de un átomo? C. Enumere otras partículas subatómicas a parte de las estudiadas. Números Atómicos y Números Másicos La distribución de las partículas fundamentales en el átomo fue formulada por Rutherford en su modelo atómico. Para él, el átomo era como un sistema solar en el cual los electrones estaban girando distribuidos en órbitas determinadas, en el espacio que rodeaba al núcleo. En un átomo neutro la carga positiva del núcleo está compensada exactamente por la misma cantidad de electrones con carga negativa. El Número Atómico de un elemento es el número de protones en el núcleo de un átomo del elemento. El número atómico determina la identidad del átomo. 316 340 Química Área Científica Ejemplo: Todos los átomos con un número atómico igual a 8 es un átomo de oxígeno, el mismo tiene 8 protones y 8 electrones rodeando el núcleo. Número Atómico = Número de protones en el núcleo = Z El número másico se simboliza con la letra A, se dice que es la suma total de protones y neutrones en el núcleo del átomo. Generalmente, corresponde a un número más próximo a la masa atómica. A = Número de Masa = protones + neutrones Un átomo puede representarse con el número atómico Z colocado en la parte inferior izquierda y el número de masa A en la parte superior izquierda. A ZX sím bo lo del elem ento Ejemplo N° 1: Determine el número de protones, neutrones y electrones que tiene 27 13 Al. Z = número atómico = número de protones así que p+ = 13 A = número de protones + número de neutrones entonces: número de neutrones = A - número de protones número de neutrones = 27 - 13 número de neutrones = 14 Como el aluminio es un átomo neutro entonces: e- = p+ e- = 13 Ejemplo N° 2: Determine la identidad, número másico y número de electrones de un átomo que tiene un número de electrones de un átomo que tiene un número de protones de 15 y neutrones de 16. Z = número de protones = número atómico Z = 15 Como es un átomo neutro: e- = p+ e- = 15 El número másico de un átomo es:A = p+ + n A = 15 + 16 A = 31 Para localizar que átomo es tenemos que hacerlo con el número atómico: 31 15 P. 341 317 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo N° 3: Determine el número de protones, número de neutrones y electrones del El número de protones se determina con: 81 35 Br-1 Z = p + p+ = 35 El número de neutrones se determina con: A = p+ + n n = A - p+ n = 81 - 35 n = 46 El número de electrones se determina observando la carga que tiene el ion: -1 = p+ - e-1 = 35 - ee- = 35 + 1 e- = 36 Ejemplo N° 4: Determine el número de protones, número de electrones y número de neutrones del El número de protones se determina con: Z = p+ p+ = 20 El número de neutrones, se determina con: A = p+ + n n = A - p+ n = 40 - 20 n = 20 El número de electrones, se determina observando la carga que tiene el ion. +2 = p+ - ee- = p+ - 2 e- = 20 - 2 e- = 18 318 342 40 20 Ca2+. Química Área Científica Tarea N° 2 1. Complete el siguiente cuadro: SÍMBOLO N° ATÓMICO N° MÁSICO 15 8O 24 53 127 59 N° DE E- N° DE P+ 12 45 26Fe 59 12 7 23 N° DE N 35 27 5 5 12Mg 19 238 39 92 16 35 117Cl 40 2+ 20Ca 81 135Br 16 2. Dados los siguientes átomos diga el número de protones, neutrones y electrones de cada uno de ellos: a) Al 27 b) 76As c) 90Sr d) 51V e) 198Au f) 31S 3. ¿Cuál de los siguientes átomos tiene la mayor cantidad de neutrones? a) 20078Pt b) 20079Au c) 20080Hg d) 204 81 Tl 4. Un átomo con un número másico de 192 y un número de neutrones de 115 es: a) Au b) Ir c) Po d) Pt 5. El número másico de un átomo neutro que contiene 35 electrones y 45 neutrones es: a) 79 b) 45 c) 80 d) 35 6. El número másico de un ion que tiene una carga de 2+, un número de electrones de 18 y un número de neutrones de 20 es: a) 38 b) 45 c) 18 d) 20 Isótopos de los elementos y Masas Atómicas En 1913 F. Soddy, realizando experimentos para determinar las masas de los átomos individuales, descubrió que el plomo presentaba dos átomos con masas atómicas diferentes. El fenómeno fue explicado con el descubrimiento del neutrón por que ambos átomos tenían la misma cantidad de protones (82), pero diferentes cantidades de neutrones. Soddy nombró a estos átomos isótopos. 343 319 Dirección General de Admisión Temario Dando una definición más estricta de lo que es un isótopo podemos decir: Isótopos son átomos de un mismo elemento, ya que tienen igual número de protones, pero que tienen masas atómicas distintas por tener diferentes cantidades de neutrones. Por ejemplo:El hidrógeno posee tres isótopos: Protio, Deuterio y Tritio, cuyos símbolos son respectivamente: 1H, 2 H, 3H. Los elementos existen en la naturaleza en su mayor parte como mezclas de isótopos, algunos son estables; otros son radiactivos. Por esta razón las masas atómicas de los elementos no son números exactos como los números másicos. La masa atómica de un elemento es la masa promedio relativa de los isótopos del elemento, referida a la masa atómica del Carbono - 12, que es exactamente 12.000 uma. Para calcular la masa atómica promedio multiplicando la masa atómica de cada isótopo por la fracción porcentual del isótopo presente (% de abundancia) y sumando los resultados. Ejemplo: Isótopo 63 65 Masa del isótopo % de abundancia Cu 62.9298 69.09 Cu 64.9878 30.91 De acuerdo con lo anterior se realiza lo siguiente: 63.9292 x 69.09 = 43.48 uma 100 64.9278 x 30.91 = 20.07 uma 100 Masa Atómica promedio = 63.55 uma 320 344 Química Área Científica Tarea N° 3 I. Escoger la mejor respuesta. 1. De los siguientes pares de átomos el que representa un ejemplo de isótopo es: a) 28 X y 14 28 X 14 b) 28 X y 14 28 15 X c) 27 13 X y 29 13 X d) 14 14 X y 15 15 X 2. Diga ¿cuál de los siguientes átomos son isótopos del 8838X a) II. 88 38 X b) 8840X c) 90 X 38 d) 8842X Resolver los siguientes problemas 1. Por los efectos de las masas puede determinarse que el elemento neón se compone de tres isótopos, cuyas masas en la escala del C-12 son 19.99, 20.99 y 21.99. Las abundancias de estos isótopos son, respectivamente, 90.92%, 0.25% y 8.83%. Calcúlese una valor preciso para el peso atómico del neón. 2. El elemento boro se compone de los isótopos de masas 10.02 y 11.01 cuyas abundancias son 18.83% y 81.17% respectivamente. Calcule el peso atómico medio del boro. 3. Sabiendo que una muestra de galio natural contiene 60.16% de galio con una masa de 120.9038 y 40.75% de galio con una masa de 70.9249. ¿Cuál es la masa atómica del galio? 4. El cromo natural esta formado por 4 isótopos cuyos % de abundancia son 4.31% de cromo cuya masa es 49.9461, 83.76% de cromo cuya masa es 51.9405, 9.55% de cromo cuya masa es 52.9409 y 2.38% de cromo cuya masa es 53.938. ¿Cuál es la masa atómica del cromo? 5. El cloro natural está compuesto de una mezcla de 74.77% de Cl cuya masa es 34.96 y 24.23% de cloro cuya masa es 36.966. Calcule la masa atómica del cloro. Estructura electrónica de los Átomos Anteriormente se determinó cómo estaban distribuidas las partículas fundamentales en el átomo, pero no se dijo nada sobre la distribución de los electrones. La distribución de los electrones alrededor del núcleo tiene una gran importancia porque la misma determina las propiedades químicas de un elemento y su posición en la Tabla Periódica. El conocimiento acerca del comportamiento de los electrones dentro de los átomos se basa en la espectroscopia de los elementos. En otras palabras se trata de explicar la aparición de líneas espectrales a ciertas longitudes de ondas. 345 321 Dirección General de Admisión Temario Entre los científicos que contribuyeron con el estudio de la estructura electrónica está Niels Bohr quien presentó su teoría cuántica; entre sus aportes podemos mencionar: a. Sugiere que la energía está cuantizada en niveles. b. Estos niveles permitidos de átomos o moléculas se pueden describir por números enteros. Con los avances en espectroscopia la teoría de Bohr no podía explicar otras observaciones las cuales proporcionaron el surgimiento de una nueva teoría denominada modelo mecánico cuántico. La teoría mecánica cuántica es el fruto del trabajo de varios científicos; pero principalmente de Erwin Shröedinger, L. de Broglie, W. Heisenberg, P. Dirac y W. Pauli. De acuerdo al modelo mecánico cuántico, describir el electrón se puede hacer por medio de tres números cuánticos. Número cuántico principal; se simboliza con la letra n y determina la energía del electrón. Puede tener valores de 1, 2, 3, 4,....... Número cuántico orbital: se simboliza con la letra l y determina los subniveles de energía. Esta relacionada con el número quántico principal. l = 0, 1, 2,....... (n - 1) Otra forma de designar los subniveles es asignar letras s, p, d, f. Número cuántico magnético: se simboliza con la letra ml y nos dice como esta orientada la nube electrónica que rodea al núcleo. La relación entre los números cuánticos ml con l es: ml = l...... 2, 1, 0, -1, -2.... -l Número cuántico del spin mS: Para la descripción completa del electrón en átomo se necesita un cuarto número cuántico el cual denominamos mS. Este número cuántico está asociado al giro del electrón alrededor de sí mismo. Se puede expresar colocando: abajo ( mS = + ½ ó - ½ y también se puede representar con una flecha hacia arriba o hacia ). Principio de exclusión de Pauli: Hasta ahora hemos considerado los cuatro números cuánticos que caracterizan el electrón en un átomo. Hay una regla muy importante, conocida como principio de exclusión de Pauli. Este principio nos dice: "En un átomo no puede haber dos electrones que tengan iguales los cuatro números cuánticos" (ver tabla 1) Tabla 1. Serie De Números Cuánticos Permitidos Para Los Electrones En Los Átomos nivel n subnivel l orbital m l spin m S 322 346 1 0 0 2 0 0 3 1 1 0 –1 0 0 1 1 0 2 –1 2 1 0 –1 –2 Química Área Científica Observando la tabla 1 podemos explicar en forma sencilla los niveles de energía. Podemos observar que los electrones están distribuidos en niveles; éstos, a su vez, se distribuyen en subniveles; por ejemplo el nivel 1 sólo tiene 1 subnivel denominado 0, mientras que el 2 tiene dos subniveles 0 y 1, cada subnivel permite una cantidad específica de orbitales; por ejemplo el subnivel 0 solamente tiene un orbital mientras que el subnivel 1 tiene tres orbitales. Además, podemos observar que se cumple el principio de Pauli ya que en cada orbital hay un máximo de dos electrones. Tabla 2. Nombre De Los Niveles Y Subniveles Según Su Número Cuántico Principal, Secundario Y Su Ocupación N° cuántico principal N Letra asignada N° de Subnivel Letra asignada al subnivel 1 K 0 s 2 L 0 1 s p 0 1 2 s p d 0 1 2 3 s p d f 3 4 M N N° de electrones máximo por subnivel Total de electrones por nivel 2 2 6 2 2 6 10 2 6 10 14 8 18 32 Los orbitales presentan áreas donde se supone existe mayor probabilidad para encontrar el electrón; a continuación presentamos ilustraciones en las cuales se describen los orbitales s, p, d. 347 323 Dirección General de Admisión Temario Tarea N° 4 I. Escoger la mejor respuesta 1. Las propiedades químicas y su posición en la Tabla Periódica son determinadas por: a) protones b) electrones c) neutrones d) ninguno 2. El máximo número de electrones en un orbital atómico es: a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 c) 5 d) 7 3. En el subnivel d el número de orbitales es de: a) 3 b) 2 4. El elemento en la Tabla Periódica que coincide con la configuración 1s22s22p63s1 es: a) O b) Mg c) Na d) Li 5. El ion que coincide con la configuración electrónica 1s 2s 2p es: 2 a) P3II. b) Mg2+ 2 c) S2- 6 d) Li+ Represente la configuración electrónica de los siguientes átomos e iones mediante la notación electrónica. a) e) 324 B b) 12 Ag f) 35 5 47 348 Mg c) 24 Cr d) 33 Br- g) 56 As Ba2+ h) 13 Al3+ ita @tffi C¡ntím Estructras o Configurmiones Eüectrénicas la r¡arios másusado oqpresa e><isüen métodos.Unode los métodos electrónica la Pararepresentar configuración y de de electrónica cadanivelprincipal energía. nuclear la esffuctura composición Ejemplo: de delátomo flúor Diagrama ,.-.. (st \ \ ron J I| ttF üagrama del átomode magnesio 24rrMg -l | z¿ 7e' fl=1 n=2 \-/)) I 2€ _) 8e )J il=1 n=2 2€ n=3 es nos mostmrel arreglode los electroelectrónica cuando interesa la Laotraformade representar configuración nesen subniveles. notación: Para se utilizala siguiente ello en de 2pt <cantidad electrones elsubnivel l\sub nivel nivelprincipal de energía y en se de a Elordende llenado los niveles zubniveles baseal fincipio de Aufuau, muestra onünuación: ?Zi 349 Dirección General de Admisión Temario Otro método para mostrar la configuración electrónica es por medio del diagrama de orbitales. En este método los orbitales se representan por cajas o círculos agrupados por subniveles en donde los electrones se representan por flechitas que representan el giro del electrón. Para el llenado de los orbitales se debe seguir la Regla de Hund. Esta nos dice: "Cada tipo de orbital se ocupa con un solo electrón antes de entrar un segundo electrón. Ejemplo N° 1: Diagrama de orbital del nitrógeno 1s2 Ejemplo N° 2: N 7 2s2 2p3 Diagrama de orbital del boro 5B 1s2 2s2 2p1 Este tipo de representación de la configuración electrónica permite determinar el número de electrones desapareados en la última capa o nivel. Ejemplo: En el caso del 7N hay 3 electrones desapareados En el caso del 5B hay 1 electrón desapareado Tarea N° 5 1. Identifique los átomos cuyos diagramas de estructura atómica son: 13 p+ 27 n a) b) - 2e 8e - 27 p+ 59 n - 3e n=1 n=2 n=3 326 As 33 350 b) S 16 8 e- 15 e- 2 e- n=1 n=2 n=3 n=4 2. Represente la configuración electrónica a base de niveles de energía a) 2 e- c) Ca 20 Química Área Científica 3. Aplicando el principio de Pauli y la Regla de Hund presente la distribución electrónica del último nivel de los siguientes átomos y diga cuántos electrones desapareados hay: a) 26 d) 4 Fe b) 17 Cl c) 10 Be e) 29 Ne Cu f) 8 O PRUEBA FORMATIVA 1. La partícula que constituye el átomo la cual no posee carga y se encuentra en el núcleo es el: a) electrón 2. El 116 b) protón c) positrón d) neutrón b) 50 neutrones c) 66 neutrones d) Ninguno Sn tiene: 50 a) 116 neutrones 3. El número de protones, neutrones y electrones del 138 Ba2+ es: 56 a) 69 p+; 69 n; 67 eb) 56 p+; 82 n; 54 ec) 56 p+; 56 n; 56 ed) 56 p+; 56 n; 54 e4. Complete el siguiente cuadro: SÍMBOLO N° ATÓMICO N° MÁSICO 40 18Ar 22 10 16 14 137 a) O N° E- N° P+ 11 124 4- 82 6C 2+ 56Ba 5. Es un isótopo del 16 O: 8 b) 14 8 N° N O c) 16 9 16 10 O d) 16 16 O d) 32 6. ¿Cuál de los siguientes pares representan isótopos?: a) 14 6 C C 14 7 b) H 1 1 H 2 1 c) O2 O3 16 S 32 16 S2- 351 327 Dirección General de Admisión Temario 7. Se ha determinado mediante análisis por espectrometría de masa que la abundancia relativa de los diversos isótopos del Silicio en la naturaleza es la siguiente: 92.21% de Si, 4.70% de 28 Si y 3.09% de 29 Si. Las masas 30 de los tres isótopos son 29.977, 28.976 y 29.974 respectivamente. Calcule el peso atómico del silicio. 8. ¿Cuál de los siguientes subniveles tiene capacidad para 10 electrones? a) 5s b) 2p c) 4s d) 3d 9. La configuración electrónica de los siguientes átomos es: F Ge 32 9 V Au 79 23 Mo 42 10. Presente la distribución electrónica del último nivel de los átomos siguientes: C 6 I Sr 38 53 Ni 28 agregue y determine el número de electrones no apareados. 11. El neón tiene dos isótopos: Ne y 22 10 Ne. La masa aproximada de 2210Ne es 22.000 u.m.a., y la masa de 20 10 Ne es aproximadamente 20.000 u.m.a. El peso atómico del neón es 20.179 u.m.a. Determine la propor- 20 10 ción o porcentaje de 22Ne con relación al otro isótopo de este elemento. 12. Utilizando diagramas de orbitales para los electrones exteriores, determine el número de electrones no apareados en un átomo de: a) Ni 26 b) 35 Br c) 19 K d) S 16 13. Presente con diagramas de orbitales los iones de los elementos del problema (12). Utilizando la tabla periódica determine ¿a qué gas noble se asemeja cada ion? 14. Identifique el elemento que corresponde a cada una de las configuraciones electrónicas siguientes: a) [Ne]3s23p1 b) [Ar]4s13d5 352 _______ c) [Kr]5s24d105p4 328 _______ _______ Área Científica Química MÓDULO 3: TABLA PERIÓDICA Objetivos: 1. Explicar el concepto de periodicidad. 2. Distinguir entre grupo y período. 3. Clasificar los elementos según la posición del electrón diferenciante. 4. Representar la configuración externa de un elemento según su posición en la Tabla Periódica. 5. Determinar los electrones de valencia y el número de oxidación de un elemento de acuerdo a su posición en la Tabla Periódica o a su estructura electrónica. Orígenes de la Tabla Periódica y Generalidades Antes del siglo XVIII los químicos habían descubierto sólo unos 13 elementos. Ya a mediados del siglo XIX más de 60 elementos se habían descubierto y esto representaba para los estudiosos de la química un gran problema, ¿cómo clasificar los elementos de acuerdo con sus propiedades físicas y químicas? La Tabla Periódica representa los esfuerzos realizados por los químicos para organizar los elementos de una manera lógica. Dimitri Mendeleev en 1869 en Rusia y Lothar Meyer en Alemania propusieron, de forma independiente, una de las primeras tablas periódicas basada en el estudio de las semejanzas de las propiedades físicas y químicas de los elementos conocidos hasta ese momento. Concluyeron que "las propiedades de los elementos dependían de sus masas atómica". Posteriormente, H. Moseley en 1913, como resultado de sus estudios con espectros de Rayos X de los elementos químicos, formuló la Ley Periódica moderna: "las propiedades químicas y físicas de los elementos son función de sus números atómicos". Es decir, las propiedades de los elementos repiten periódicamente a intervalos regulares. Aspectos Generales de la Tabla Periódica: Como puede observarse en la Tabla, cada renglón horizontal se denomina período. Las columnas o filas verticales reciben el nombre de grupos. En cada casilla encontramos el símbolo, número atómico, masa atómica e información relativa al mismo. La línea quebrada representa la separación entre los elementos Metales y No metales. Entre ellos encontramos los elementos llamados metaloides. El número de cada período es igual al nivel de energía más externo que contiene electrones en los elementos de ese período. En los Grupos o familias encontramos los elementos que se comportan en forma semejante. Existen varios sistemas de numeración de los grupos. En uno de ellos, las columnas se numeran de izquierda a derecha con números del 1 al 18. Nosotros usamos el sistema que numera los grupos con números romanos y con las letras A y B. 353 329 Dirección General de Admisión Temario Figura 3.1. La Tabla Periódica Los Grupos A se llaman elementos Representativos. Los elementos de los grupos B y VIII se llaman de transición. Algunas familias de elementos reciben nombres específicos. Por ejemplo: metales alcalinos IA, los alcalinotérreos IIA, los gases nobles (He, Ne, Ar, etc.), los halógenos VIIA. En la parte inferior de la Tabla encontramos a los elementos de Transición Interna. Los últimos electrones de esos elementos entran en los orbitales f. Estos también son llamados Lantánidos y Actínidos. 330 354 Química Área Científica Tarea N° 1 1. Localice en la tabla periódica el número de grupo y el período de los elementos siguientes: Neón, arsénico, bromo, cinc, estroncio, sodio, oxígeno, fósforo, calcio y titanio. Símbolo Grupo Período ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 2. Si el elemento 36 es un gas noble, ¿en qué grupos esperas que estén los elementos 35 y 37? 3. Utiliza tu Tabla Periódica para completar la siguiente información sobre los elementos: Elementos Información potasio calcio aluminio cloro Símbolo Número atómico Masa atómica Densidad Número de oxidación Configuración Electrónica y Tabla Periódica El número atómico de los elementos se determina de acuerdo con su número de protones que en los átomos neutros coincide con el número de electrones. Al aumentar el número atómico de un elemento a otro, va aumentando un electrón cada vez; al mismo se le llama electrón diferenciante. Este electrón se relaciona c on la posición del elemento en la Tabla, lo cual permite dividir la Tabla en bloques: s, p, d y f. Bloque s: Pertenecen a este los elementos representativos formados por los grupos cuya configuración electrónica externa (del último nivel) es ns1 o ns2 (grupos IA y IIA). En los elementos representativos la suma de los electrones del último nivel corresponde al número del grupo. 355 331 Dirección General de Admisión Temario Bloque p: Está formado por elementos representativos de los grupos IIIA al VIIIA, en los que la configuración electrónica externa va desde ns2np1 hasta ns2np6. Bloque d: Está formado por los elementos de transición normal (grupos IB al VIIIB) cuya configuración electrónica externa es ns2(n-1)d1 hasta ns2(n-1)d10. Bloque f: Formado por los elementos de transición interna, en los que los últimos electrones entran en orbitales f. Ejemplo: Escribir la configuración electrónica del elemento 30Zn y de acuerdo a esta determinar en que grupo, período y bloque se encuentra. Configuración electrónica: 1s22s22p63s23p64s23d10 Período: 4 porque es el último nivel con electrones Grupo: IIB porque tiene dos electrones en su último nivel Bloque: d. Tarea N° 2 1. Explica la relación entre el número de grupo y la cantidad de electrones en la capa externa en los elementos representativos. 2. ¿Cuántos electrones hay en el nivel externo de los elementos de los grupos IIIA y IIIB? ¿Por qué son diferentes? 3. Describa la diferencia entre las estructuras electrónicas de los elementos representativos y de transición. 4. De las siguientes estructuras electrónicas ¿cuáles representan a los elementos de la misma familia? a) 1s22s1 b) 1s22s22p4 c) 1s22s22p2 d) 1s22s22p63s23p4 e) 1s22s22p63s23p6 f) 1s22s22p63s23p64s2 g) 1s22s22p63s23p64s1 h) 1s22s22p63s23p64s23d1 5. Dadas las siguientes configuraciones electrónicas: a) Identifique al elemento b) Clasifíquelo como Representativo o de Transición c) Indica al bloque al que pertenece CONFIGURACIÓN (Kr) 4s23d104p65s1 (Ne) 3s2 (He) 2s22p5 (Ar) 4s13d5 (Ar) 4s23d8 332 356 ELEMENTO REPRESENTATIVO TRANSICIÓN BLOQUE Química Área Científica 6. Escriba las configuraciones electrónicas externas y señale en que bloque se encuentran los siguientes elementos: a) cloro b) bario c) litio d) teluro e) argón 7. Mencione el período y el grupo que ocupa el átomo que tienen la capa electrónica externa de: a) 5s25p2 b) 3s1 c) 3s23p5 Electrones de Valencia y Número de Oxidación El comportamiento químico de los elementos depende de cómo pierdan, ganen o compartan los electrones para formar enlaces químicos. Por ende, las propiedades químicas de los elementos dependen de las estructuras electrónicas de sus átomos. Específicamente la de los niveles más externos. Se llaman electrones de valencia a los de los niveles más externos. Todos los electrones independiente del subnivel se cuentan. El número de oxidación es un número asignado a cada átomo de un elemento para indicar el número de electrones de valencia que se supone ha sido ganado, perdido o compartido en la formación de enlaces químicos. Para los elementos representativos (Grupo A) el número de electrones de valencia es el mismo que le número de grupo. En los elementos de Transición (Grupos B) el número de oxidación es variable, pero por lo general, el número de grupo representa el número de oxidación más probable. Como los electrones de valencia son los más débilmente unidos al núcleo, estos determinan la capacidad de enlace de un átomo, por consiguiente el número del grupo indica su valencia. Tarea N° 3 1. Dados los siguientes elementos a) Escriba la configuración electrónica externa. b) Determine el número de grupo. c) Indique el número de electrones de valencia. d) Indique el número de oxidación más probable. 357 333 Dirección General de Admisión ELEMENTO Temario CONFIGURACIÓN GRUPO EXTERNA ELECTRONES DE NÚMERO DE VALENCIA OXIDACIÓN Boro Magnesio Bismuto Carbono Sodio Cobre Aluminio 2. Dadas las siguientes distribuciones electrónicas, indique: A. El número de electrones de valencia C. El número de oxidación B. El grupo al que pertenece el elemento D. Símbolo del elemento a) 1s 2s 2p 3s 3p 2 2 6 2 3 b) 1s22s22p63s2 c) (Ar) 4s23d1 d) (Kr) 5s24d105p2 e) (Kr) 5s2 Radio Atómico y Radio Iónico El electrón no posee una posición definida con respecto al núcleo del átomo y por lo tanto el radio real de un átomo o de un ion su valor no puede medirse fácilmente. En la práctica, por lo general, se visualiza el tamaño atómico como el volumen que contiene en un alto porcentaje la totalidad de la densidad electrónica alrededor del núcleo. Utilizando la técnica especializada de difracción de rayos X, se puede obtener información definida sobre las distancias internucleares, conocida como distancia interatómica o longitud de enlace. Figura 3.2. En la figura 3.2. se muestra la tendencia de los radios atómicos y radios iónicos, en la Tabla Periódica. 334 358 Química Área Científica Tarea N° 4 1. Ordene los elementos del segundo período de mayor a menor radio atómico. 2. Indique la periodicidad de los radios atómicos de estos elementos. 3. Ordene los elementos de los grupos IIIA y VA de mayor a menor radio atómico. 4. ¿Cómo varia el radio atómico en un grupo o familia? 5. ¿Cuál de los átomos e iones siguientes es el más grande? a) S2- b) S c) O2- 6. Entre los siguientes pares de átomos, escoja el de mayor tamaño. a) Li y Be b) C y Si c) Cl y Br d) Cs y Li 7. Utilizando la Tabla Periódica, determine el radio atómico del elemento magnesio ____________ Escriba el símbolo del ion _______ y determine el radio iónico ___________. Explique la diferencia entre el tamaño del átomo neutro y la del catión. 8. El radio atómico del cloro es ______________ y la del ion cloruro es __________. Explique la diferencia entre el tamaño del átomo neutro y el anión _________________________________. 9. Utilice la figura 3.2., para predecir las longitudes de los enlaces C - Cl en el CCl4. 10. Utilizando la Tabla Periódica, ordene los siguientes átomos de menor a mayor radio. a) Ca, Mg, Be b) Ga, Br, Ge c) Al, Tl, Si Energía de Ionización El Potencial de Ionización puede definirse como la energía necesaria para desprender el primer electrón periférico de un átomo en su estado fundamental y se denomina primera energía de ionización. X1+ (g) + e- Energía + X(g) Después que un electrón se ha quitado de un átomo neutro, la repulsión entre los electrones remanentes disminuye. Dado que la carga nuclear permanece constante, se necesita mayor energía para sacar otro electrón del ion cargado positivamente. Así las energías de ionización siempre aumentan en el siguiente orden: I < I2 < I3< ..... Tarea N° 5 1. Utilizando los valores de la Tabla Periódica ordene los elementos del grupo IA en orden creciente a las Energías de Ionización y copie los valores de los radios atómicos. 2. Indique que relación encuentra entre la energía de ionización y el radio atómico, en el grupo IA. 359 335 Dirección General de Admisión ELEMENTO Temario ENERGÍA DE RADIO ATÓMICO IONIZACIÓN 3. ¿Cuál es la variación de la energía de ionización en un grupo o familia? 4. De cada uno de los siguientes pares, elija el elemento que tiene mayor energía de ionización: a) K y Ca b) Br y I c) Cu y Zn d) N y O 5. Repita todos los pasos de la pregunta N° 2, solo que ahora utilice los elementos del período IIIA. 6. Determine la variación de la Energía de Ionización en este período (IIIA) y diga ¿cómo ha variado el radio de los átomos? ELEMENTO ENERGÍA DE RADIO ATÓMICO IONIZACIÓN Afinidad Electrónica y Electronegatividad La afinidad electrónica es otra propiedad que influye en el comportamiento químico de un átomo y determina su habilidad para aceptar uno o más electrones. La afinidad electrónica es el cambio de energía cuando un átomo acepta un electrón en su estado gaseoso. En casi todos los casos conocidos se libera energía durante el proceso. Esto se representa como: X (g) + e- X- (g) Entre mayor es la energía que libera un elemento, mayor es la tendencia de un átomo a aceptar un electrón. La tendencia a aceptar electrones aumenta al movernos de izquierda a derecha a lo largo de un período. La electronegatividad es una propiedad periódica derivada de la afinidad electrónica y determina la capacidad de un átomo a atraer electrones. Por lo tanto el comportamiento de esta propiedad en un grupo o en un período, es similar a la afinidad electrónica. 336 360 Química Área Científica Tarea N° 6 1. Para los siguientes elementos complete el cuadro con la información solicitada: sodio, aluminio, fósforo, azufre y cloro. Además repite con nitrógeno, fósforo, arsénico y antimonio. SÍMBOLO RADIO ATÓMICO ENERGÍA DE ELECTRONEGATIVIDAD IONIZACIÓN 2. Indique ¿cómo se relaciona el tamaño de un átomo con la electronegatividad_________________________________ 3. Indique como varía la electronegatividad en un grupo o familia y en un período (de acuerdo a los datos observados en el cuadro) 4. Determine en la Tabla Periódica el elemento con menor y con mayor valor de electronegatividad: ________________, __________________ Carácter Metálico Los metales son elementos que poseen ciertas propiedades características como lo son: brillo, maleabilidad, ductibilidad, conducción térmica y eléctrica. Tienden a formar iones positivos con facilidad. En la Tabla Periódica podemos observar que el carácter metálico de un elemento aumenta al disminuir su potencial de ionización. Por otro lado los no metales presentan valores altos de Energía de Ionización y de Electronegatividad y solo representan el 20% de los elementos de la Tabla Periódica. Tarea N° 7 1. De los siguientes pares de elementos, determine el que presenta mayor carácter metálico. a) Be y N __________________ b) B y O _______________ c) N y Sb __________________ d) F y I e) C y Pb __________________ f) Ca y Br ______________ _______________ 361 337 Dirección General de Admisión Temario 2. Indique ¿cómo varía el carácter metálico en un grupo? 3. Indique ¿cómo varía el carácter metálico en un período? 4. En relación al tamaño del átomo, ¿cómo varía esta propiedad? 5. En los siguientes pares de óxidos, señale el que presenta mayor acidez: a) CO2 y CaO b) Al2O3 y SO3 c) SiO2 y P2O5 d) Li2O y BeO 6. Escriba la configuración electrónica de los siguientes iones y señale ¿cuáles tienen configuración de gas noble? a) Cr3+ b) Zn2+ c) Ag+ d) Mn3+ PRUEBA FORMATIVA 1. Señale el enunciado correcto: a) En la Tabla Periódica los elementos se ordenan de acuerdo con el número atómico creciente b) Una familia o grupo de elementos se acomodan en una columna c) Es posible predecir propiedades de elementos por medio de la Tabla Periódica d) El Li, Na y K tienen propiedades químicas y físicas semejantes e) Todas son correctas. 2. Son elementos metálicos los que aparecen en el siguiente grupo: a) Fe, Al, Na b) S, Se, Fe c) C, N, O d) Mg, S, C e) H, Ge, Cs. d) opaco e) todas son correctas 3. Un elemento X ubicado en el grupo VIIA tiene: a) Baja electronegatividad y valor alto de carácter metálico b) Alta energía de ionización y alto carácter metálico c) Alta electronegatividad y alto carácter no metálico d) Baja energía de ionización y baja electronegatividad e) Ninguna es correcta. 4. ¿Cuál de las siguientes es una característica de los metales? a) dúctil b) frágil c) tenaz 5. Clasifique cada uno de los siguientes elementos como metal, no metal, metaloide. Escriba el símbolo. a) Potasio _________________ _______________ b) Plutonio _________________ _______________ c) Azufre _________________ _______________ d) Antimonio _________________ _______________ e) Yodo _________________ _______________ f) Molibdeno _________________ _______________ 338 362 Química Área Científica 6. Subraye el elemento en cada uno de los siguientes pares, que posea el mayor radio atómico: a) Na, K b) Na, Mg c) O, F d) Br, I e) Ti, Zr 7. El átomo que tiene la capa electrónica externa 5s25p2: a) ¿En qué período y en qué grupo está localizado? b) ¿Cuántos electrones de valencia posee? c) Indique el número de oxidación más probable. d) Clasifíquelo como representativo o de transición. e) Indique su comportamiento de acuerdo a la energía de ionización. 8. El elemento con número atómico 87 está en el grupo IA, período 7. a) Describa su nivel externo de energía b) ¿Cuántos niveles de energía electrónica tiene? c) ¿Qué comportamiento presenta este elemento en cuanto a: carácter metálico, electronegatividad y energía de ionización? 9. De las siguientes estructuras electrónicas ¿cuáles representan a los elementos de la misma familia o grupo? a) 1s22s22p3º d) 1s22s22p63s23p64s2 b) 1s22s22p63s1 e) 1s22s22p63s23p64s1 c) 1s22s22p63s23p2 f) 1s22s22p63s23p3 10. Si el elemento 36 es un gas noble: ¿en qué grupo se esperaría que estuvieran ubicados los elementos 35 y 37? ¿cuál sería su posible número de oxidación? 11. Ordene los siguientes elementos (menor a mayor) según el radio atómico. P, Si, N. 12. Indique en cada uno de los siguientes pares, ¿cuál es el mayor radio iónico? 3- - a) N , F 2+ 2+ b) Mg , Ca 2+ c) Fe , Fe 3+ 2+ d) Cu, Cu 363 339 Dirección General de Admisión Temario 13. Relacione cada uno de los elementos de la derecha con las descripciones a la izquierda: a) líquido rojo oscuro Calcio = Ca b) gas incoloro que arde con oxígeno Argón = Ar c) metal reactivo que ataca al agua Oro = Au d) metal brillante usado en joyería Hidrógeno = H2 e) gas totalmente inerte Bromo = Br2 14. Ordene de menor a mayor, de acuerdo a su afinidad electrónica, los siguientes elementos: He, K, Co, S, Cl. 15. Utilizando la tabla periódica, responda las siguientes preguntas: a) ¿Qué elemento tiene menor energía de ionización? Litio ó potasio b) ¿Cuál presenta mayor carácter no metálico? Flúor ó Yodo c) ¿Cuál es más electronegativo? Potasio ó Rubidio d) Entre el calcio y el carbono, ¿cuál presenta mayor número de electrones en su capa más externa? 16. ¿Qué tipo de energía se representa en la siguiente ecuación? Na+ + e- Na + energía a) energía de neutralización b) energía de ionización c) energía nuclear d) energía de formación 17. De las siguientes estructuras electrónicas, ¿cuál representa un átomo en estado excitado? a) 1s12s1 b) 1s22s1 c) 1s22s22p1 d) 1s22s22p2 18. El átomo que tiene la capa externa completa es: a) Be b) He c) Hg d) H 19. Los elementos ubicados en el tercer período presentan el mismo número de: a) electrones de valencia b) orbitales que contienen electrones c) sub - niveles que contienen electrones d) niveles principales de energía que contienen electrones. 340 364 Química Área Científica MÓDULO 4: ENLACE QUÍMICO Objetivos: 1. Definir lo que es un enlace químico. 2. Enumerar los diferentes tipos de enlace. 3. Determinar los electrones de valencia de un átomo dado. 4. Representar los electrones de valencia por medio de los símbolos de Lewis. 5. Establecer la diferencia entre un enlace iónico, covalente y metálico. 6. Determinar el número de oxidación de un elemento en un compuesto o radical. Cuando un átomo de sodio se combina con una molécula de Cl2 ocurre una reacción violenta que produce cloruro de sodio. Esto es una propiedad que poseen todos los átomos de combinarse con otros átomos para producir especies más complejas. En un enlace químico las fuerzas de atracción mantienen unidos los átomos. Hay tres tipos de enlaces químicos: el iónico, el covalente y el metálico. Electrones de Valencia Cuando los átomos interactúan para formar enlaces químicos, sólo entran en contacto las regiones exteriores. Por esta razón, como se vio en el módulo anterior, elementos son configuraciones electrónicas externas similares; se comportan químicamente en forma semejante. En consecuencia, al estudiar el enlace químico se consideran sobre todo los enlaces de valencia, ya que son ellos los que participan en una combinación química. Debemos recordar que los electrones de valencia son todos los electrones que se encuentran en la capa o nivel más externo. Para destacar los electrones de valencia el químico estadounidense G.N. Lewis (1875-1946) sugirió una forma sencilla de representar los electrones de valencia de los átomos y de seguirles la pista durante la formación de enlaces, utilizando lo que ahora se conoce como símbolos de electrón - punto de Lewis o simplemente símbolos de Lewis. El símbolo de Lewis para un elemento consiste en el símbolo químico del elemento más un punto por cada electrón de valencia. Ejemplo: Escriba la representación de puntos de Lewis para el Li y el F Configuración: 3Li 1s22s1 Li• 9F 1s22s22p5 •F: 365 341 Dirección General de Admisión Temario Si observamos la ubicación de los dos elementos en la Tabla Periódica podemos ver que el Li está en el grupo IA y el F está en el grupo VIIA, vemos que coinciden con los electrones de valencia. Entonces podemos concluir que los elementos de un mismo grupo tienen configuraciones electrónicas externar similares y en consecuencias símbolos de punto de Lewis similares. Por otra parte, muchos de nosotros nos preguntamos ¿por qué los elementos tienen esa tendencia a formar compuestos? La respuesta es muy fácil de contestar: los átomos con frecuencia ganan, pierden o comparten electrones tratando de alcanzar el mismo número de electrones que los gases nobles más cercanos a ellos en la Tabla Periódica. Los gases nobles tienen acomodos de electrones muy estables, como revelan sus altas energías de ionización, su baja afinidad por electrones adicionales y su falta general de reactividad química. Esta observación ha dado lugar a una pauta conocida como regla del octeto: Los átomos tienden a ganar, perder o compartir electrones hasta estar rodeados por ocho electrones de valencia. Tarea N° 1 I. Complete la información y conteste las siguientes preguntas: SÍMBOLO CONFIGURACIÓN N° DE GRUPO ELECTRÓNICA DEL N° DE E- DE ESTRUCTURA VALENCIA DE LEWIS ÚLTIMO NIVEL Na Mg Al Si P S Cl Ar 1. ¿Qué relación hay entre el número del grupo en la Tabla Periódica y la configuración electrónica en el último nivel? 2. ¿Qué relación existe entre el N° de electrones de valencia con la configuración electrónica del último nivel y el N° de grupo? 3. ¿Cuál es el máximo de electrones de valencia que permite un elemento representativo y qué grupo los posee? 4. ¿Qué característica en común tienen los elementos en el cuadro? 342 366 Química Área Científica II. Complete la información y conteste las preguntas que se formularon en el punto I. SÍMBOLO N° DE GRUPO ELECTRÓNICA DEL N° DE E- DE ESTRUCTURA VALENCIA CONFIGURACIÓN DE LEWIS ÚLTIMO NIVEL F Cl Br I At El Enlace Iónico Los átomos al formar enlace iónico transfieren uno o más electrones; estos electrones se transfieren de un elemento de una gran tendencia a perder electrones hacia un elemento con una gran tendencia a aceptar electrones. Los átomos de los elementos cuyas energías de ionización son bajas tienden a perder electrones y formar cationes, como por ejemplo los átomos de los elementos alcalinos y alcalinos térreos, mientras que aquellos con altos valores de energía de ionización tienden a formar aniones. El enlace iónico se debe a las fuerzas electrostáticas entre los iones con cargas opuestas. Ejemplo: Cuando se forma el LiF Símbolo de Lewis: Li Configuración: 1s22s1 + F Li+ F- o LiF 1s22s22p5 1s2 1s22s22p6 Como se observa en el ejemplo, el átomo de litio pierde un electrón y su configuración cambia de 1s22s1 a 1s2 que corresponde a la configuración del gas noble más próximo: el Helio y se convierte en un cation Li+. En el caso del flúor, este gana un electrón y su configuración cambia a 1s22s22p6, que corresponde a la configuración del gas noble más próximo: el Neón y se convierte en un anion FTarea N° 2 I. Escriba la configuración electrónica, determine el número de electrones que tiene que ceder o ganar para adquirir la configuración del 10Ne y escriba el ion. 367 343 368 Química Área Científica Tarea N° 3 1. Escriba las estructuras de Lewis de los elementos constituyentes de los siguientes compuestos e indique los orbitales que se superponen y representarlos. a) I2 b) CO2 c) NH3 d) HI e) O2 f) CCl4 2. Escriba las estructuras de Lewis de los elementos que constituyen los siguientes compuestos e indique cuál de estas especies químicas forman enlaces múltiples. a) N2 b) HCl c) Br2 d) H2C2 e) H2S f) O3 Enlace Metálico Para explicar la estructura de los sólidos metálicos y entender sus propiedades es necesario describir otro tipo o modelo de enlace químico: el enlace metálico. Los metales sólidos se distinguen de otros sólidos por ser buenos conductores de la corriente eléctrica y por ser maleables y dúctiles. El enlace metálico que presentan los metales sólidos explica en forma satisfactoria las propiedades que estos sólidos presentan. Todos los elementos metálicos presentan dos características fundamentales que les permiten poder formar enlaces metálicos. a) Todos los metales tienen energías de ionización relativamente bajos, por lo que se requieren poca energía para remover un electrón del átomo de un metal. b) La mayoría de los elementos metálicos sólo tienen de 1 a 3 electrones en su nivel de energía más alto, lo que significa que los átomos de estos elementos poseen varios orbitales atómicos desocupados en su capa electró nica más externa. Por tal razón, los orbitales desocupados de un átomo se superponen a los orbitales desocupados de átomos vecinos y los electrones de la capa electrónica más externa de cada átomo, entran a estos orbitales moleculares multinucleares para ser compartidos por varios átomos. Para explicar esta migración describimos el enlace metálico como iones positivos unidos por un mar de electrones. La fuerza del enlace metálico se debe al efecto enlazante de la nube electrónica móvil, o sea las fuerzas de atracción entre los iones positivos y el mar de electrones. Los electrones que abandonan las capas externas y que pasan a ocupar los orbitales moleculares tienen relativa libertad para moverse a través de la estructura, lo que explica por qué los metales sólidos son buenos conductores de la corriente eléctrica. La movilidad de estos electrones también explica la maleabilidad y ductibilidad de los metales. Una muestra metálica puede ser martillada, enrollada y trabajada mecánicamente sin destruir su integridad estructural. 369 345 Dirección General de Admisión Temario Tarea N° 4 1. Explique tomando en consideración la teoría del enlace metálico a que se debe: a) Maleabilidad b) Ductibilidad c) Conductividad eléctrica Polaridad de Enlace Para expresar la naturaleza de un enlace químico, se tiene que determinar si los átomos tienen diferencias de electronegatividad. Estas diferencias pueden ser muy grandes de manera que permita que los electrones se pueden transferir de un átomo a otro, dando como resultado la formación de un compuesto iónico. Para expresar la naturaleza de un enlace químico, se ha formulado la siguiente tabla en la base de la diferencia de electronegatividad de los átomos que forman el enlace. DIFERENCIA DE PORCENTAJE DE TIPO DE ENLACE ELECTRONEGATIVIDAD CARÁCTER IÓNICO 0.2 – 0.7 1–9% 0.8 – 1.6 10 – 47 % 1.7 50% Covalente polar 1.8 – 3.2 55 – 92 % Iónico Covalente no polar Tarea N° 5 1. Prediga el tipo de enlace entre los átomos de los siguientes elementos. Para los enlaces covalentes polares señale la polaridad utilizando y + a) K y Cl δ b) Mg y S c) Sr y O e) Li y Br f) B y O g) Ba y F d) Si y Cl 2. Ordenar los siguientes enlaces de mayor a menor polaridad a) N - O b) Cl - Cl c) H - Cl d) Be - Cl e) Na - I 3. Seleccionar la alternativa que usted considera correcta, enumerando con un círculo la letra que corresponda a dicha respuesta. A. De los siguientes enlaces el que presenta menor polaridad es: a) Na - F b) P - O c) Al - Cl d) C - Br B. ¿Cuál de los compuestos presenta mayor carácter iónico? a) KBr 346 370 b) HCl c) MgO d) CO Química Área Científica 3. El enlace que presenta una mayor polaridad a) Na - O b) Ca - O c) Al - O d) Cl - O Número de Oxidación El número de oxidación se define como: La carga que debería estar presente en un átomo del elemento, si los electrones en cada uno de sus enlaces perteneciesen al átomo más electronegativo. De acuerdo a reglas arbitrarias, se le puede asignar cargas a los átomos de un compuesto. Estas reglas son: 1. El número de oxidación de cualquier elemento es cero. 2. En un ion poliatómico, la suma de los números de oxidación de sus elementos constituyentes es igual a la carga de dicho ion. 3. En cualquier compuesto la suma de los números de oxidación de todos los elementos es igual a cero. 4. Los elementos del grupo IA siempre presentan números de oxidación 1+ y los del IIA serán 2+ y los del IIIA como el Al se número de oxidación es 3+. 5. Los elementos del grupo VIIA, cuando forman compuestos binarios usan número de oxidación 1.- 6. Los elementos del grupo VIA usan números de oxidación de 2- cuando forman compuestos binarios. El oxígeno siempre utiliza número de oxidación 2- excepto cuando forma peróxido. 7. El número de oxidación del hidrógeno es 1+, excepto cuando forma hidruros donde es 1-. Ejemplo: Determine el número de oxidación del s en el compuesto H2SO3 De acuerdo a las reglas establecidas el número de oxidación del hidrógeno es 1+ y el del oxígeno es 2-. Además la suma de todos los números de oxidación de todos los elementos de un compuesto debe ser cero. Entonces podemos plantear la siguiente ecuación en donde X representa el número de oxidación del S: 0 = 2(1+) + X + 3(2-) 0 = 2 + X - 6 X = 6–2 X = 4 El número de oxidación del S en el H2SO3 es 4+ Ejemplo: Determine el número de oxidación del P en el ion PO43En el caso de un ion poliatómico aplicamos la regla 2, que dice que la suma de los números de oxidación de sus elementos es igual a la carga del ion. 371 347 Dirección General de Admisión Temario 3- = X + 4(2-) 3- = X + 8X = 8+ ? 3 X = 5+ Tarea N° 6 1. Determine el número de oxidación del elemento subrayado en los compuestos o iones: b) SeO42c) HClO4 d) HBrO3 e) NaMnO4 a) H2SO3 32f) H3PO3 g) K4SiO4 h) AsO3 i) Cr2O7 j) K2SiO3 PRUEBA FORMATIVA 1. Determine los electrones de valencia y escriba la estructura de símbolo de Lewis de los siguientes elementos: a) P b) Sn c) F d) Cs e) Mg 2. Dados los siguientes compuestos iónicos indique los átomos que gana electrones, los átomos que pierden electrones y escriba las fórmulas de Lewis para cada uno de los compuestos: a) KF b) MgBr2 c) SiO2 d) CaO e) SrS 3. Escriba las fórmulas de Lewis para las siguientes especies químicas: a) HCl b) BeCl2 c) SO2 d) H3PO3 e) HClO4 f) Na2O g) HCCl3 h) H2C2O4 4. Determine el número de oxidación del elemento subrayado en las siguientes especies químicas: b) K2CrO4 c) NO21d) Na2SO4 a) H3AsO4 1e) ClO2 f) Na2CO3 g) H3BO3 h) PO43i) K2MnO4 5. Establezca la diferencia entre el enlace iónico y covalente. 6. Mencione algunas propiedades del enlace metálico y cómo se puede explicar las mismas. 7. ¿Cuál de los siguientes elementos, puede formar enlace iónico con el cloro? a) O b) N c) S d) K 8. Indique el número de oxidación del oxígeno en cada compuesto: a) CO ______ b) CO2 _____ c) H2O ______ d) H2O2 _____ 9. Prediga la pareja de compuestos que contiene solamente moléculas polares: a) CCl4 Y CH4 b) HCl y Cl2 c) HCl y NH3 d) CO y CO2 10. En cada uno de los siguientes ejemplos de símbolo de Lewis, indique el grupo de la tabla periódica al que pertenece el elemento X: a) 348 372 . .X : . . b) .X . . . c) X . . d) X. . Química Área Científica MÓDULO 5: EL MOL Objetivos: 1. Explicar el concepto de mol. 2. Expresar en términos de mol, masa, volumen y número de partícula, la cantidad de una sustancia. 3. Resolver problemas aplicando el concepto de mol. 4. Calcular el porcentaje de composición de un compuesto. 5. Determinar la fórmula más simple y molecular de un compuesto. El Mol Hemos visto que la química estudia la composición de las sustancias. De allí que una de las tareas más importantes para el químico sea buscar la relación numérica entre los elementos de un material. El término mol deriva del latín mole que significa montón y es la unidad empleada para expresar la cantidad de sustancia. Es una de las siete unidades básicas del Sistema Internacional. Actualmente se define el mol como: la cantidad de una sustancia que contiene la misma cantidad de unidades o entidades elementales como átomo que hay en 12 g (0.012 kg) de carbono - 12. El mol es una unidad de conteo en química, así como lo es la docena, que expresa 12 unidades. Se utiliza el término mol en relación con muchas y diferentes partículas como: átomos, moléculas, iones, electrones, etc., para indicar el número de Avogadro de esas partículas. El número de Avogadro es una constante importante en química y física que se ha podido determinar por diferentes métodos. Se le conoce con este nombre en honor de Amadeo Avogadro, físico italiano (1776-1856), quien encontró la relación entre los volúmenes de combinación y las fórmulas correctas de gases en las mismas condiciones de temperatura y presión. El número de Avogadro es 6.022 x 1023 y corresponde al número de unidades elementales que hay en un mol de sustancia. 1 mol de átomos = 6.022 x 1023 átomos 1 mol de moléculas = 6.022 x 1023 moléculas 1 mol de iones = 6.022 x 1023 iones 1 mol de electrones = 6.022 x 1023 electrones Para realizar los cálculos correspondientes se utilizará el método del factor unitario o factores de conversión. 373 349 Dirección General de Admisión Temario Figura N° 5.1. Relación entre el Número de Avogadro y Masa Exactamente 12 g Una mol de átomos de (6.022 x 10 23 12 C átomos, N) tiene exactamente 12 g (0.012 kg) de masa Ejemplo N° 1: Calcule la cantidad de moles de moléculas de hidrógeno que hay en 12.3 x 1024 moléculas de hidrógeno. 12.3x1024 moléculas de H2 1 mol de moléculas de H2 23 6.022x10 = 20.4 moles de moléculas de H2 moléculas H2 Ejemplo N° 2: Calcule ¿cuántos átomos de cobre hay en 2.53 moles de Cu? 2.53 mol de Cu 6.022x1023 átomos = 1.52x1024 átomos 1 mol de Cu Tarea N° 1 1. El número de moléculas que contiene un mol de moléculas de O2 es: a) 6.023x1023 b) 6.023x10-23 c) 3.01x1023 d) 1.2x1024 c) 3.01x1023 d) 1.2x1024 2. El número de átomos que contiene un mol de Cu es: a) 6.023x1023 b) 6.023x10-23 3. El número de átomos que contiene un mol de moléculas de O2 es: a) 6.023x1023 b) 6.023x10-23 c) 3.01x1023 d) 1.2x1024 4. ¿Cuántos átomos de hierro hay en una muestra que contiene 2.35 mol de Fe?: a) 6.023x1023 b) 1.42x1024 c) 3.90x10-24 5. ¿Cuántas moles de átomos de carbono hay en 4 mol del compuesto C2H6SO? a) 6 350 374 b) 4 c) 8 d) 3 Química Área Científica Mol de un Compuesto Una fórmula química contiene una considerable información cuantitativa sobre un compuesto y sus elementos constituyentes. Si se conoce la fórmula de un compuesto se puede calcular la masa molar sumando las masas molares de todos los elementos de la fórmula. Un compuesto de fórmula C2HBrClF3; su masa molecular es 197.38 u y su masa molar es 197.38 g/mol y se calcula de la siguiente forma: M (C2HBrClF3) = 2 MC + MBr + MCl + 3 MF M (C2HBrClF3) = 2(12.01) + 1.01 + 79.90 + 35.45 + 3(19.00) M (C2HBrClF3) = 197.38 g/mol La formula molecular nos dice que por cada mol de C2HBrClF3, hay 2 moles de átomos de carbono, un mol de átomo de cada uno de los elementos H, Br y Cl y 3 moles de átomos de F. Ejemplo N° 1: ¿Cuántos moles de átomos de F hay en una muestra de 140.32 g de C2HBrClF3? mol de F = 140.30 g de C2HBrClF3 1 mol C2HBrClF3 3 mol de F 197.4 g C2HBrClF3 = 2.13 mol de F 1 mol C2HBrClF3 Ejemplo N° 2: ¿Cuál es la masa en gramos de 0.25 mol de Ca(OH) ? 2 Primero debemos calcular la masa molar del compuesto Masa de 1 mol de Ca(OH) = 2(1.008 g de H) + 2(15.999 g de O) + 1(40.00 g de Ca) 2 Masa de 1 mol de Ca(OH) = 2.160 g de H + 31.998 g de O + 40.00 g de Ca 2 Masa de 1 mol de Ca(OH) = 74.158 g 2 Luego calculamos la masa de 0.250 mol usando la masa molar como factor de conversión 0.250 mol de Ca(OH)2 74.158 g = 18.5 g 1 mol de Ca(OH)2 24 Ejemplo N° 3: Calcule la masa en gramos de 5.65x10 5.65x1024 moléculas de CO2 1 mol de CO2 6.022x1023 moléculas moléculas de CO 2 43.998 g de CO2 = 412.8 g de CO2 1 mol de CO2 375 351 Dirección General de Admisión Temario Tarea N° 2 1. La fórmula molecular del ácido acetilsalicílico (aspirina) es C9H8O4 por lo que su masa molar es: a) 29 b) 180.0 c) 108.0 d) 172 2. El número de moles en 112 g de aspirina C9H8O4 es: a) 1.61 b) 0.622 c) 112 d) 0.161 3. El número de moléculas que hay en 112.0 g de aspirina es: a) 6.023x1023 b) 1.24x1024 c) 3.75x1023 d) 1.86x10-22 4. Una muestra de 16.0 g de O2 corresponde a: a) 1 mol de O2 b) contiene 6.023x1023 moléculas de O2 c) 0.50 molécula de O2 d) 0.50 mol de O2 5. De las siguientes sustancias, la que contienen el mayor número de átomos de hidrógeno es: a) 0.5 mol de NH3 b) 0.5 mol de CH4 c) 5.0 g de H2 d) 5.0 mol de H2O Volumen Molar Amadeo Avogadro fue quien encontró la relación entre los volúmenes de combinación de gases y las fórmulas correctas del producto que se forman en una reacción. Sus aportes se resumen así: 1. En las mismas condiciones de temperatura y presión, dos gases que ocupan el mismo volumen contiene el mismo número de moléculas. 2. Ciertos elementos presentan moléculas diatómica, es decir, pares de sus átomos forman agregados estables. Esto quiere decir, que no importa el tamaño, ni el número de átomos que constituyen las moléculas de los gases, en un volumen dado cualquiera de ellos existe el mismo número de moléculas (a la misma P y T) Figura 5.2. 1 mol de H2 (g) 1 mol de CO2 (g) 1 mol de N2 (g) Se denomina volumen molar al ocupado por un mol de cualquier gas a 0°C y una presión de una atmósfera, estas son las condiciones normales de temperatura y presión. Experimentalmente se ha determinado que el volumen molar de un gas es 22.4 litros o dm3. 352 376 Química Área Científica Ejemplo N° 1: Calcule el volumen en litros a PTN que ocuparían 8.0 g de nitrógeno. La masa molar de N2 es 28.02 g/mol de allí que: 8.0 g de N2 1 mol de N2 22.4 L 28.02 g de N2 1 mol de N2 = 6.4 L Ejemplo N° 2: La densidad del oxígeno gaseoso es 1.43 g/L a PTN. Calcule el volumen molar de este gas. Sabemos que la masa de 1 mol de O2 es 31.998 g Luego entonces el volumen ocupado por un mol de O2 será: 31.998 g 1 mol O2 1L 1.43 g = 22.38 L de O2 En resumen el concepto de mol está relacionado con: a. El número de átomos, moléculas u otras clases de partículas. b. La masa molar de un compuesto. c. El volumen molar de un gas a PTN. El siguiente diagrama resume las relaciones que se establecen: MOL 6.022x1023 22.4 dm3 Masa Molar Volumen a PTN N° de partículas Masa (g) Tarea N° 3 1. ¿Cuál es la masa molar de un gas, si 340 mL de ese gas pesan 0.700 g a PTN? a) 15.17 b) 46.1 c) 0.0106 d) 45.0 2. El volumen en dm3, que ocupan 34.06 g de amoniaco (NH3) a PTN: a) 22.4 b) 763 c) 44.9 d) 1.52 3. La densidad en g/L del butano C4H10 es: a) 2.59 b) 0.39 c) 0.045 377 353 D¡'pdúóD Gen¿rdt .te Adñi.ión a 4. Lamas¿ gramos 6.75L de hidrógenoFfN est en de c) 0.15 a) 0.30 b) 0.60 d) 302.4 de a 2 5. Elvolumen dm. queocupan moleculas NH3 PTN: en c) 2,77xrt' b) Z44x10rl a) 44.8 d) r.2x10z Porcéntaje de c,ompocic¡ónde las sustanc¡as El términoporcentale ind¡calas partesque hay por cada 100 partesde un todo. tle allí que al calcularla nos porcentualmente elemento(la porcentual un compuestor refudmos cuántorepresenta nos a cada de composiclón parte)dentfodel compuesto todo). (el a composlciónpor€€ntüal part¡r d€ la fóñula! debemos la su en @nocer fórmuladelcompuesto, mas¿l l%racalcular ryo masa cadaelemento uncompuesto el en de y molar lasmasas atómicas cadaunode loselementos, d€ el en Ej€mploNo 1! Calcular % de composlclón el HrO de H y 1 molde átomos 0 de 1 molde H,Ocontlene molde átomos 2 su molarr a. Calculamos masa rt 1.0080 2 m o ld e H | I 2.0169de H l= lmoldeHl = 15.999 dé o g lmoldeO 1 mol de Lamasa molar 18.0 g/mol es 15 b. o/odeH = o/ode O t t 100o/o compueslo del 2.016 de H o x 100 = 11.19olo g 18.015 de HrO 15.999 de O o g 18.015 deH,O 354 378 x 100 = 88.81% Química Área Científica Composición porcentual a partir de datos experimentales: Podemos calcular la composición porcentual a partir de datos experimentales, sin conocer la fórmula del compuesto, si obtenemos datos acerca de los elementos constituyentes y sus cantidades. Ejemplo N° 1: Al calentar al aire 3.26 g de Zn se combinaron con 0.80 g de O2 para formar óxido de cinc. Calcular la composición porcentual de la sustancia formada. a. Primero calculamos la masa total del compuesto que se forma 3.26 g de Zn + 0.80 g de O2 = 4.06 g b. Calculamos el % de cada elemento contenido en la masa total % de Zn = x 100 = 80.3% 3.26 g 4.06 g % de O = 0.80 g x 100 = 19.7% 4.06 g Ejemplo N° 2: Calcular la cantidad de gramos de carbono que hay en 18.5 g de CO2 a. Primero calculamos la masa molar del CO2 1 mol de C = 12.011 g = 12.011 g de C 1 mol de C 2 mol de O = 15.999 g = 31.998 g de O 1 mol de O Total b. = 44.009 g/mol En 44.009 g de CO2 hay 12.011 g de C, usando esta relación, calculamos la cantidad pedida: 18.5 g de CO2 = 12.011 g de C = 5.05 g de C 44.009 g de CO2 379 355 Dirección General de Admisión Temario Tarea N° 4 1. El % en masa del carbono en el metano (CH4) es: a) 7.743 b) 133.6 c) 92.26 d) 74.87 c) 31.2 d) 81.52 2. El % del F en el compuesto KrF2 es: a) 145.3 b) 68.8 3. El porcentaje de nitrógeno en el compuesto PtCl2(NH3)2 es: a) 4.67 b) 9.34 c) 9.90 d) 12.67 4. El porcentaje de hidrógeno en el compuesto PtCl2(NH3)2 es: a) 2.02 b) 0.034 c) 23.63 d) 1.558 Fórmula Empírica y Fórmula Molecular de un Compuesto Mediante la composición porcentual se facilita el cálculo de la composición molar de un compuesto; pero esta última sola indica la proporción de los átomos de cada elemento en el compuesto, es decir, la fórmula empírica o más simple. La fórmula molecular es la fórmula verdadera y representa la cantidad total de átomos de cada elemento que hay en una molécula del compuesto. Puede ser que dos o más sustancias tengan la misma composición porcentual pero sean compuestos diferentes. Para calcular la fórmula molecular se debe tener información sobre la masa molar del compuesto. Ejemplo: Un compuesto está formado por 92.3% de C y 7.7% de H. La masa molar del compuesto es 26.04 g/mol. Calculamos su fórmula empírica y molecular. a. Tenemos que 92.3% de C + 7.7% de H = 100% del compuesto Esto indica que 100 g del compuesto tendrán 92.3 g de C y 7.7 g de H b. Para determinar la composición molar, primero calculamos las moles relativas de cada elemento. Moles de átomos de C = 92.3 g de C 1 mol de C = 7.68 mol 12.011 g de C Moles de átomos de H = 7.7 g de H 1 mol de H 1.008 g de H 356 380 = 7.64 mol Química Área Científica c. Ahora calculamos la relación entre los moles de C e H en 100 g del compuesto C = 7.68/7.64 = 1 H = 7.64/7.64 = 1 Como la relación mínima obtenida es 1:1 La fórmula empírica es (CH)x d. De allí obtenemos la masa molar de la fórmula empírica que es 13.02 g/mol X = Masa molar del compuesto (verdadera) Masa molar de la fórmula empírica X = 26.04/13.02 = 2 Entonces la fórmula molecular será (CH)2 = C2H2 Tarea N° 5 1. Determine la fórmula empírica de un raticida (walfarina), que contiene 74.01% de C, 5.32% de H; 20.76% de O. 2. Determine la fórmula empírica del gas mostaza (arma química) que contiene 30.20% de C, 5.07% de H, 44.58% de Cl y 20.16% de S. 3. Un compuesto formado por carbono e hidrógeno contiene 93.71% de C y 6.29% de H en masa. Se ha encontrado que la masa molecular del compuesto es 128 u. ¿Cuál es la fórmula empírica? 4. Un compuesto XF3 tiene el 65% de F en masa. ¿Cuál es la masa atómica de X? PRUEBA FORMATIVA 1. ¿Cuántos átomos de ion sulfuro hay en 25 moléculas del compuesto C4H4S2? a) 25 b) 1.5x1025 c) 4.8x1025 d) 50 2. ¿Cuántos átomos de hidrógeno hay en 25 moléculas del compuesto C4H4S2? a) 100 b) 3.08x1024 c) 6.0x1025 d) 25 3. El número de moléculas de metano (CH4) que hay en 0.123 mol de metano es: a) 5 b) 2.46x10-2 c) 2.04x10-25 d) 7.40x1022 4. El número de moléculas que hay en 120 g de C4H10 es: a) 1.25x1024 b) 7.22x1025 c) 1.57x10-20 d) 2.91x1023 381 357 Dirección General de Admisión Temario 5. ¿Cuántos átomos de oxígeno hay en 6.0x1020 molécula de MnO2? a) 1.99x10-3 b) 9.99x10-4 c) 1.2x1021 d) 6.023x1023 6. ¿Cuál de los siguientes contiene mayor número de moles? a) 1.0 g de Li b) 1.0 g de Al c) 1.0 de Na d) 1.0 g de Ag 7. El volumen en dm3 que ocupan 0.864 mol de nitrógeno: a) 19.35 b) 0.038 c) 0.50 d) 329.0 8. La densidad en g/L del gas acetileno C2H2 a PTN es: a) 0.573 b) 0.625 c) 313.6 9. Una de las siguientes proporciones es cierta para la glucosa C6H12O6 a) Los porcentajes de C y O son iguales a los del compuesto CO b) Los porcentajes de C; H y O son los mismos que para el (CH2OH)2CO c) Los porcentajes de C y O son iguales d) Los porcentajes en masa más alto es el de H 10. Una muestra de 0.2612 g de un compuesto que solo contiene H y C produce 0.8661 g de CO2 y 0.221 g de H2O en el análisis de los productos. Se encuentra que la masa molar es 106 u. Determinar para ese compuesto: a) la composición centesimal b) su fórmula empírica c) su fórmula molecular 11. La masa molar de Na2CO3 a) 106 g . 10H2O es: ab) 142 g c) 266 g d) 286 g 12. Una solución 1 M (uno molar) contiene 20 g de soluto en 500 mL (mililitros) de solución. ¿Cuál es la masa en gramos de 1 mol de soluto? a) 10 g b) 20 g c) 40 g d) 80 g 13. El número de moles de agua que se forman cuando 25 mL de solución 0.100M (molar) de ácido nítrico se neutraliza por completo con hidróxido de sodio es: a) 2.5 moles 358 382 b) 25 moles c) 1.7 x 10-3 moles d) 2.5 x 10-3 moles Química Área Científica 14. Calcule el número de moléculas que hay en: a) 0.066 moles de C3H8 propano (gas de cocina) b) una tableta de 50.0 mg de acetaminofen C8H9O2N (analgésico Tylenol) c) una cucharada de azúcar de mesa, C12H22O11, QUE PESA 10.5 G. 15. La vainillina, el saborizante que domina en la vainilla, contiene C, H, y O. Cuando se quema totalmente 1.05 g de esta sustancia, se producen 2.43 g de CO2 y 0.50 g de H2O. Determine su formula empírica. 16. Una planta embotelladora tiene 120,550 botellas con una capacidad de 355 mL, 123,000 tapas y 51,575 L (litros) de bebida. a) ¿cuántas botellas pueden llenarse y taparse? b) ¿cuánto sobra de cada complemento? c) ¿qué componente limita la producción? 17. La aspirina C9H8O4 se produce a partir de ácido salicílico, C7H6O3 y anhídrido acético C4H6O3: C 7 H 6O 3 + C 4 H 6O 3 C 9H 8 O 4 + HC 2 H 3 O 2 a) ¿cuánto ácido salicílico se requiere para producir 1.5 x 102 g de aspirina, suponiendo que todo el ácido salicílico se convierte en aspirina? b) ¿cuánto ácido salicílico se requiere si sólo el 80% del ácido se convierte en aspirina? c) Calcule el rendimiento teórico de aspirina si 185 Kg de ácido salicílico se hace reaccionar con 125 Kg de anhídrido acético. d) ¿cuál sería el porcentaje de rendimiento si se obtuviera 182 Kg de aspirina? 383 359 Di@i¡ín éM l.te A.lmisión MóDULo 6! REACGIONESECUACIONES Y QUÍMICAS objet¡Yos: químicos. químicas expresar para que ecuaciones representan cambios 1. Utilizar correcta mente fórmulas las productos se obtienen unareacción que química. en los 2, Predecir posibles quimico sedesarrolle. que el según cambio 3, Identif¡car tipode reacción el Reaccion€sy EcuacionesQuím¡cas profunda pard por quimicos presentan unatransformac¡ón entreelementos compuestos formar o Loscambios s€ podemos químico químicas, las expresado medlante reacclones nuevas Lo sustanciás. que ocuneen un cambio y med¡ante sÍmbolosfórmulas. de cuales expresan la formamáss¡mple se química puedeexpresar químlc¿ mediante ecuac¡ón una dondelos símbolos formulasdel lado o Todareacción se y por + r€adlvos losquesecolocan despuésde flecha llaman la se separados elsigno sellaman izquierdo laflecha, de productos. Los colocados delante lasfórmulas símbolos de o el en el Laflecha indi@ sentldo queocurre proceso. números nos que la Indlcan coeflclentes balan@an ecuaclón, los (s), después lasfórmulas Indlcan de nos elestado ffslco lassustanclasi de solldo, Los slmbolos (g),(l), (ac), colocados gas,líquido, ácuoso, Eiemplo! FeG) + 2HCl + FeCh + H:rqr rao químicá generalld¿des debemos Para los de considerar unascuantas sobrelas eEcribir productos unaecuación químicas cuauo químicas Por a las ecuaciones comunes, ellovamos dlvidir reacciones en tiposs€ncillosi a. Reacciones Combinaclón de o Síntesis b. Reacciones D€scompos¡ción de DesDlazamiento c. Reacciones Susutución o SimDle de única Dobleo DobleDesplazam¡ento. d. Reacciones Sustituc¡ón de Reacc¡ones combinac¡ón Síntesis: de o ya que doso mássusbncias, s€anelementos mmpuestos, unenparaformarun producto. o Enellasobservamos se Esquema: +Z A 360 384 + AZ ser o dondeAyz pueden elementoscompuestos soni ejemplos importantes Algunos + 1. N4etal O,(¡) + EJémplo! 4ft(.) óxldo metal del 2 Fé,o3(") + 3 or(o) - no óxldo metálico 2. Nometal + O.", Ejémplo! S + O,(!) ............- SO,(e) SalBlnar¡a 3, Metal+ Nolvetal 2NaCl E émplo: 2Na + Cl,(c)-....* del 4. H,O + óx¡do meklE €mplo! H,O + N4gO (E)+ metálico Hldróxido !lg(OH),(") del 5. H¡O + óxldo no metal + E énplo! HrO + sor,,,+Hrso, oxoácldo dla6mlcas,ellosson: O., Hr, N., Brr,F2 C[, L. formanmoléculas recordar clertosque elementos Esconvenlente para pueden (nombres) qulm¡cas, react¡vos prcductos o estarexpresados palabras con 106 Paraescrlblr reacclones por y senclllas. aquellas rcaqclones expresalos fórmulas balancear simpleinspecdón en lo cualse hacenec€sa.lo Tar€aNo 1 y balancee slmple por inspección, las ecuacjones t. Complete slgu¡entes A) C + Oxígeno+ B) c) D) E) F) G) H) I) J) + + Nitrógeno Oxígeno de Agua + óxido boro+ óxdo de zinc + agua .._ CaO+ co, + + Ct?Os H,O * + Ni,O3 H,O + P,Os+ H,O + BaO + SO: .+ Hg +O, + 36t 385 Di@nín édAnl clea.hnls6,t Reacc¡on€sde D€scompos¡ción producidas a dada. L¿ssustanc¡as dos o más sustancias partirde unasustancia Enestassustancjas obtienen se por y/o electricidad, pueden elementos compuestos. des@mposición logramuchas se veces medlode calor, La ser con sobrela flecha. luz,entreotroshctores. Elcalorse representa un biángulocolocado Az Esqu e m a ; A - A 1z importañtes sonr Algunas descomposlciones por efectodel calorformanOxigeno+ clorurodel metal de 1. Loscloratos metal 2KCl + 3Ozrqr Ejémplor 2 KCIO3 --:generan y un óxidodel metal co, 2. Algunos carbonatos c¿lentarse al cao + CO,r,) Ejemplo: caco3(.)-3+por para generar y agua el compuesto anhldro del 3. Loshidratos descomponen efecto calor se _!(s) + 7 H,o (g) Mgsor Ejéinpfo! MgSOt 7H,O Tarea No 2 por qufmlcas balancee sirnpleinspección y : 1. completelasslgulentes ecuaciones a a) HgO ¡.¡ + de b) carbonato alumlnlo calor -i+ plomo+ calor-i+c) óxido de d) CáSq. zH,O + calor-j+ e) CdCq + cabr l* f) Ag,O + calor --:+ g) Agcl + luzsolar -l+ h) Fe(0H)3 calor-i-+ i) H,SO3 calor --3j) NH3+ c¿lor _t!+ Reacrion€s de susütuc¡ón Única o slimple Desplazam¡ento más és a cuando elemento adjvo desplaza, decit reemplaza otro en un compuesun Estas reacciones preseñtan se to. 362 386 generales: presentalse ecuaciones dos Pueden en en a 1. Un metalsustituye un ion metálico su salo a un ion hidrógeno un ácido +A ZtB A+ 82 Cu + FeSO4 Ej€mploNo 1r Fe + CuSq EjémploNó 2: Zn + HCI-....* ZñCl,+ H,(,) en a 2. lJ¡ no metal sustituye un ¡onno metálico susalo ácido 8X + Z X I BZ_* Eiemplor F, + 2 NaCl............*Ct + 2NaF metal¡cos, en debetomarse cuentala serie de acdvldad de los elementos Enel primertlpo de estasreaqciones primero másactivo el siguiente) que que (cualquiera elemento aparece es la cualpresenta continuación a U, K,Ba,ca, Na,!19,Al,zn, Fe,cd, Nl,Sn,Pb,H,cu, Hg,Ag,Au,Pt para es el el de Enel segundo de reacclonesorden actlvldad losno metales F,Cl,Br,I (slendo flúorel más t¡po activo). Tarca No 3 (donde y ocurran). cuando seaposlble reacclón, no la Indlque las reacciones 1. Completebalancee sigulentes 'NO REACCIONAN'. + a) Zn + H,SO4 b) Cl, + NaBr...........* c) Cl, + ¡4gBr:+ d) Pb + cd(NoJ, .........l^n'ñ fÁrri.^ + ............* + bromhídrico f) Aluminio ácido g) Ca + H,SO3 -+ h) Cu + AgNO3 ...............i) Br, + NaI + j) Yodo + HCI(_) ............* k) Z¡nc + ácidosulfúrico ..-...l) Ag + cuSO4 -........- 363 387 D¡tudió, 6¿naa, .l¿ A.lmls6tl R€acc¡o¡es SustituciónOobléo DobloDesPlazam¡ento de partic¡pan compuestos losqueel ion positivo un compuesto intercamb¡an se con en de dos Enestetipo de reacciones positivos iñtercambian negativoscompañeros. iones o Es los del el ionpositivo otrocompuesto. dec¡r. dosiones Esquema: AX + BZ -AZ + Bx fomar comoproductos: de se Enmuchas estásreacclones puede 1. t,n oreclDitado gaseosa lJnasustáñcia 2, no como 3, lJnasustancia ¡on¡zada, el aguá. conocer reglas solubilidád. las de predecir habrá se s¡ formación precipltado deb€n de Para + + AgClls¡ NaNO31¡6; Ejemplo! AgNO3 NaCl + + + ca(Nq)r + 2HrO HNOr(a.) Ca(OH)2(a.) TarGa '4 y balancee slmple por inspecclón las ecuaclones 1. Complete slgulentes + a) Bl?s3 Hcl + b) Ácidosulfúrico + hldÉxidode sodio............de c) Fosfáto potaslo + clorurode bario + d) K4Fe(CN)6 FeCl3 ..........* + e) NH4OH KNO3-..._ f) Na,CO3 H,Sq .+ + g) ZnCl,+ KOH+ h) Ácidofosforico + h¡dróxido calcic ............de i) Ácidosulfúr¡co+ fosfatode niquel(II) -...........* j) Carbon¿to zinc + ácido clorhídrico de PRUEBA FORiiATN'A tiposde reactiones las dadas. acuerdo loscüatro de a conoc¡das: 1, Clas¡f¡que reaccrones S O3 a ) 2 5 + 3 O,+ + 2KOH+ K,SO4 2H,O b) H,Sq BaO + CO, c) BaCO3 + + + d) A9NO3 HCI............-A9CIHNO, PbBr,+ H, e) Pb + 2HBr __ f) ¡4gO + H,O -............- Mg(OH), 3at4 388 ... g) CO, + H,O H,CO, h) 2 SO, + O,............*2SO3 y a con las ecuaciones verbales ecoáciones fórmulas balanéelas. 2. Exprese s¡guientes o al hay en s€ en con también calor el a) LacalvivaCaO, conv¡erte calapagada hidratada reaccionar agua, producto. y endotérmico produce y electrolít¡co aluminio mehílico oxígeno, b) Elóxido aluminlo un proceso dé en que de de es con c) lJnode loscomponentes l¿cen¡za la madera el óxidode potaslo al reaccionar el aguaproduce potas¿. que y se de con ésta de d) Unad¡solución sulfato cobre, esazul, combina cincmetiíllco; se d¡suelvesecubre de roJo. para reacciona el azufre altas con a temperatuEs formar sulfuro aluminio. de e) Elalum¡ñio en formaun hidróx¡do. f) Elóxido litioal dlsolverse agua de g) El hldroxldo barioa¡calentarse debeproduclr aguay el óxldodel metal, de (2), a conocidas. 3, claslflque reacc¡ones la pregunta de acuerdo lostiposde reacclones las de es: 4. Laecuaclón escrltacorrectarnente a)Na + 3N -...........*NaN, b) Al + o, -._ Alo, .............*2KCl c)2K + Cl, .l\ T.ü:< .^ñ mrra.+áe correctamente la ecuaclón + Clr............* + Hcl sedeben CH4 CCl4 colocar suorden en los 5, Para balancear co€f¡cientes: a ) 1 ,4,4,1 b\ 2 ,8,2,B c) 1 ,3, r ,2 d) Ninguna con€cta es formará: de 6. Cuando carbonato calciose Fata térmicamente el a) Ca y CO, b) CaO y CO, c) CaO y CO d) C¡,. y CO3'z 365 389 DitccxióDGeu@l .L Arlm¡sión debeproducirse 7. Al disolver CrrO3 HNO3 en a) C¡{NOJ, y H,o y b) H,CrOa N,Os c) c(Nq)3 y H,o d) c(No,)j y H,o que soñ: que sulfi¡rico 8. Losproductos se formanen ta reacción ocürreentreel n¡tratode platay ác¡do + a) AgSO4 HNO3 + b) Ag,SO4 A9NO3 + c) A9,SO4 HNO3 + d) Ag,SO3 H,NO3 + NH4oH H¡sq+ la 9. cuando ecuac¡óni flnalesi a) NH4Sq b) H?oH c) 2 H,O d) 2 (NH)2SO4 + la H3PO4 Ca(OH),10. Cuando ecuaclóni será: c) 1 0 b)9 a ) 12 y en unodelostérmlnos l¿ecuáción se completá sebalancea, de HrO + Ca3(PO,), balancea, suma loscoeficientes se la d )6 slguienquíñica la salqueseforma cada de lasreaccion€s neutralización en una de de 11. Escrlba fórmula la tes: con acuoso neutralizado hidóx¡dode sod¡o es a) ácidoacético en nítrico sSlido dlsuelto ácido es b) hidóxido calcio de sulfúrico es con acuoso neutralizado ácido c) añoníaco cola hidróxido sod¡o de acuoso en del fosfódco unacoc¿ consuficiente d) determinación ác¡do en siguieñtes: tiendea formarionesCd" Basándonos lasobservaciones 12. El metalcadmio se cadmio metálico la tira en en una a) cuando coloca tirade cincmetálico Cdclr(..), deposita se niquel me¡állco la tira en se en una b) cuando tlrade cadmio coloca N¡Nq(d sedepos¡ta que en ión¡cas netas ocur¡en (a) y (b) c) Escriba ecuaciones las posiclón cadmio la seriede actividad los metales? de podemos a del en concluir respecto la d) ¿Qué 366 390 Química Área Científica MÓDULO 7: NOMENCLATURA Objetivo: 1. Nombrar compuestos según los diferentes sistemas de nomenclatura. 2. Escribir correctamente la fórmula de un compuesto. Formulación Para escribir las fórmulas de un compuesto se deben seguir las siguientes reglas: 1. Al formular los compuestos primero se escribe el símbolo del catión seguido por el anión. 2. Todos los compuestos son eléctricamente neutros, es decir, la suma de las cargas positivas y negativas de cada uno de los iones debe dar cero. Ejemplo: Cuando deseamos escribir la fórmula de un compuesto formado por Ba2+ y el (NO3)1Se escribe primero Ba2+(NO3)1- y luego se compensan las cargas positivas con las negativas de manera que la suma total de cero: Ba2+(NO3)1-2 Se necesitan 2 iones nitrato para compensar la carga del bario, en ese caso debe escribirse el subíndice fuera de un paréntesis. Ejemplo: Escriba el compuesto formado por Pb4+ y O2Primero se escribe Pb4+ O2- y luego se cruzan los números de oxidación: Pb2O4, sin embargo esta NO es la fórmula correcta porque debe simplificarse los subíndices y se obtiene PbO2 Tarea N° 1 1. Escriba la fórmula correcta de los compuestos que resultan de combinar los siguientes cationes y aniones: Catión Anión Al3+ Co2+ Pb2+ Mn4+ Ca2+ K1+ Fe3+ NH41+ Cu1+ Cl1O2SO42ClO1CO32PO43N3CrO42MnO41- 391 367 Dirección General de Admisión Temario Texto N° 2 Tabla N° 1. Número de Oxidación de Cationes Comunes 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ H Be Cr Sn N S Mn Na Mg Al Pb P Cr Cl K Zn P S As Se Ag Cd As Mn Sb Mo Cu Ba N Si Bi Mn Hg2 Ca Fe N Au Cu Co Pt NH4 Hg Sb Mn B Sn Fe Ni Co Pb Pt 368 392 Química Área Científica Tabla N° 2. Números de Oxidación de los Aniones Comunes 1- 2- 3- 4- F (fluoruro) O (óxido) BO3 (borato) SiO4 (silicato) Br (bromuro) CO3 (carbonato) PO3 (fosfito) Fe(CN)6 (ferrocianuro ó hexacianoferrato III) I (yoduro) C2O4 (oxalato) PO4 (fosfato) CN (cianuro) SO3 (sulfito) AsO3 (arsenito) OH (hidróxido) SO4 (sulfato) AsO4 (arseniato) C2H3O2 (acetato) SeO4 (seleniato) Fe(CN)6 (ferricianuro ó hexacianoferrato IV) NO3 (nitrato) CrO4 (cromato) NO2 (nitrito) Cr2O7 (dicromato) MnO4 (permanganato) MnO4 (manganato) ClO (hipoclorito) S2O7 (disulfuro) ClO2 (clorito) SiO3 (metasilicato) ClO3 (clorato) N (nitruro) S (sulfuro) ClO4 (perclorato) BrO (hipobromito) BrO2 (bromito) BrO3 (bromato) BrO4 (perbromato) HCO3 (hidrógenocarbonato) 393 369 Dirección General de Admisión Temario Tarea N° 2 1. Complete el siguiente cuadro NOMBRE DEL ION FÓRMULA NÚMERO DE OXIDACIÓN Hidrógenocarbonato Nitrito Cianuro Sulfato Perclorato Hipobromito Sulfito Óxido Sulfuro Nitruro Permanganato Dicromato Oxalato Borato Hidróxido Acetato Nitrato Nomenclatura Los nombres de los compuestos iónicos pueden ser asignados siguiendo una serie de reglas. Los químicos utilizan varios tipos de nomenclatura para asignarles nombres a los compuestos; en este módulo utilizaremos el sistema stock, el común y el estequiométrico. Nombre común o vulgar: no utiliza un sistema prefijado. En este sistema, los cationes que presentan dos números de oxidación se les adiciona el sufijo ico cuando el catión usa el mayor número de oxidación y el sufijo oso cuando el catión usa el menor número de oxidación. Ejemplo: CuCl - en este compuesto el cobre presenta número de oxidación 1+ y se denomina cloruro cuproso. CuCl2 - en este compuesto el cobre presenta su mayor número de oxidación y se denomina cloruro cúprico. Nombre Stock: En este sistema se indica el número de oxidación del catión con números romanos colocados entre paréntesis. Al nombrar el compuesto el número de oxidación escrito en números romanos se lee como número arábigo. 370 394 Química Área Científica Ejemplo: CuCl - el nombre stock de este compuesto es cloruro de cobre (I). CuCl2 - el nombre stock de este compuesto es cloruro de cobre (II). Nombre Estequiométrico: En este sistema se indica la proporción de los constituyentes de la sustancia. Para nombrar las proporciones estequiométricas de los iones constituyentes se utilizan prefijos numerales (di - cuando es dos; tri - cuando es tres; tetra - cuando es cuatro; penta - cuando es cinco; etc.) Ejemplo: CuCl - el cloruro de cobre no tiene subíndices porque la proporción estequimétrica es uno a uno y por lo tanto se nombra cloruro de cobre. CuCl2 - en este cloruro la proporción es dos cloro por cada cobre por lo tanto se nombra dicloruro de cobre. Nomenclatura de Óxidos: Los óxidos son compuestos formados por un metal + oxígeno y pueden nombrarse por cualquiera de estos sistemas. En los óxidos el oxígeno siempre tendrá número de oxidación 2- (O2-). Al nombrar estos compuestos primero se cita la palabra óxido y luego se nombra el catión correspondiente de acuerdo al sistema de nomenclatura utilizado. Ejemplo: Al2O3 - Nombre común: óxido de aluminio (el aluminio solo tiene un número de oxidación) - Nombre Stock: óxido de aluminio (el aluminio solo tiene un número de oxidación) - Nombre Estequiométrico: trióxido de dialuminio CuO - Nombre común: en este compuesto el cobre tiene número de oxidación de 2+ que es el mayor, por tanto su nombre es óxido cúprico - Nombre Stock: óxido de cobre (II) - Nombre Estequiométrico: óxido de cobre (la proporción es uno a uno Mn2O4 se simplifica como MnO2 - En este compuesto, el manganeso tiene número de oxidación de 4+ y el oxígeno 2- por lo tanto se simplifican - Nombre Stock: óxido de manganeso (IV) - Nombre Estequiométrico: dióxido de manganeso 395 371 Dirección General de Admisión Temario Tarea N° 3 1. Nombre y formule los siguientes óxidos: FÓRMULA NOMBRE STOCK NOMBRE ESTEQUIOMÉTRICO NO 2 SO 3 SO 2 Fe 2 O 3 Óxido de hierro (II) CaO Na 2 O Óxido de arsénico (V) Óxido de fósforo (V) Dióxido de plomo Nomenclatura de Sales Las sales están formadas por un catión unido a un anión, estas se nombran por los tres sistemas de nomenclatura. Ejemplo: CaCl2 - Nombre común: cloruro de calcio - Nombre Stock: cloruro de calcio (porque el calcio solo tiene un número de oxidación) - Nombre Estequiométrico: dicloruro de calcio. AgNO3 (en este caso el catión plata esta unido al ion nitrato) - Nombre común: nitrato de plata - Nombre Stock: nitrato de plata - Nombre Estequiométrico: nitrato de plata Pb2 (SO4)4 se simplifica Pb (SO4)2 - Nombre común: sulfato plúmbico - Nombre Stock: sulfato de plomo (IV) - Nombre Estequiométrico: disulfato de plomo 372 396 Química Área Científica Tarea N° 4 1. Nombre y formule los siguientes óxidos: FÓRMULA NOMBRE STOCK NOMBRE COMÚN NOMBRE SISTEMÁTICO Oxalato de calcio Sulfato de hierro (II) MnS2 Dicromato de calcio Fosfato de amonio Cloruro férrico Sulfuro ferroso Sn(CrO4)2 CrPO4 Acetato de cobre (II) Nomenclatura de Ácidos Los ácidos contienen hidrógeno unido a un anión. Este anión puede ser un no metal, como el Cl, Br, F, I, S, Se y Te, en este caso se denominan hidrácidos. En el sistema común los hidrácidos se nombran citando la palabra ácidos y adicionando la terminación hídrico al nombre del no metal. Ejemplo: HCl - ácido clorhídrico (nombre común) H2S - ácido sulfhídrico HBr - ácido bromhídrico En el sistema estequiométrico al nombre del hidrácido se le coloca la terminación uro al nombre del elemento que se combina con el hidrógeno. HCl - cloruro de hidrógeno H2S - sulfuro de hidrógeno Los ácidos ternarios que contienen oxígeno en su estructura, son conocidos como oxoácidos. Los oxoácidos se nombran citando la palabra ácido y a continuación el nombre del anión originario con su terminación modificada de la siguiente: Si el nombre del anión termina en ito, entonces el nombre del oxoácido terminará en oso Ejemplo: el ácido formado por la combinación del hidrógeno y el ion nitrito (NO2)1- se escribe HNO2 y se nombra ácido nitroso. Si el nombre del anión termina en ato, entonces el nombre del oxoácido termina en ico. 397 373 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo: el ácido formado por la combinación del hidrógeno con el ion nitrato (NO3)1- se escribe HNO3 y se nombra ácido nítrico. Los iones poliatómicos que tienen elementos que usan más de dos números de oxidación utilizan los prefijos hipo y per que indican el número de oxidación inferior y superior respectivamente. Ejemplo: HClO (número de oxidación del cloro es 1+) - ácido hipocloroso HClO2 (número de oxidación del cloro es 3+) - ácido cloroso HClO3 (número de oxidación del cloro es 5+) - ácido clórico HClO4 (número de oxidación del cloro es 7+) - ácido perclórico Tarea N° 5 1. Formule los ácidos FÓRMULA NOMBRE COMÚN Ácido carbónico Ácido sulfhídrico Ácido nítrico Ácido perclórico Ácido oxálico Ácido fluorhídrico Ácido clorhídrico Ácido clórico Ácido acético Ácido hipobromoso Ácido permangánico Nomenclatura de hidróxidos Los hidróxidos se nombran citando la palabra hidróxidos, precedida de un prefijo indicativo del número de iones (OH-) que forman el compuesto y luego se nombra el catión. Ejemplo: Al(OH)3 - Nombre estequiométrico: trióxido de aluminio - Nombre Stock: hidróxido de aluminio - Nombre común: hidróxido de aluminio 374 398 Química Área Científica Fe(OH)2 - Nombre estequiométrico: dihidróxido de hierro - Nombre común: hidróxido ferroso - Nombre Stock: hidróxido de hierro (II) Tarea N° 6 1. Complete la siguiente tabla: FÓRMULA NOMBRE STOCK NOMBRE NOMBRE COMÚN ESTEQUIOMÉTRICO Hidróxido cúprico Dihidróxido de magnesio Hidróxido de plomo (II) Hidróxido de cromo (III) Trihidróxido de aluminio Hidróxido de calcio Mn(OH)2 Hidróxido de sodio Hidróxido de amonio 2. Nombre o formule los siguientes compuestos: Sistema de nomenclatura: st = stock FÓRMULA sist = estequiométrico c = común NOMBRE Ácido acético Ácido sufúrico Ácido clorhídrico HClO (c) Fe(OH)3 (st) Cr2(SO4)3 (st) MnO2 (st) Pb(CO3)2 (st) Ácido sufhídrico Nitrato de cobre (II) Óxido de nitrógeno 399 375 ü.eñn a.hniiittD GerEEl.b MóDULO8: ESTEQUIOMETRÍA Objetivosi química que balanceada de cuantitauva se deriva unaecuación 1. Deducir información la químic¿. que sustancias participan unareacción en de las molares lasdlstintas 2. Expresar razones y gaseoso condiciones normales, un de la en de moles, número moleculas,masa elvolumen el 3, calcular producto de un reactivo, o químlca limitante unare¿cción en el 4. Determinar reactivo Interpr€tac¡ón de la Ecuac¡ónQuímicá química química Mediante ecuación pueden representados una una químicos m€diante ecuación s€r Loscambios y que de cuantitativas lassustancias rcacc¡onande podemos l¿ sobrelasproporciones obtener informaclón balanceada formados, losproductos 2 Fe + 3 coz podemos obtener siguiente la información: + Fe,O3 3 Co + Por ejemplo la ecuaclón de y forman molde Fey 3 molde COr. 2 reacc¡onan 3 molde CO con Unmolde FérO3 quesolohayun mol que ind¡ca de observe la ausenc¡a coefldente moles dos cualqulera formade razóñntolar, La en una relacionarlos entre esp€c¡es t¿mblén pos¡ble es Enlaecuación reacclonantes. relac¡ón Esta lóglcamente estarábasada los en razónmolares la reladónpor molenke dosespecies de balanceada de una coeflclentes molares cada de lassustañclas la ecuaclón ............*2 Fe+ 3CO,soni anteforfuro3+ 3CO las molares la reacclón de Por ejemplo razones t -l l -tdf-Fle ro 3 l l mo e I L 3.dd"coj rtrolr - l o l l 3 m dec | I de Ll mol Fe.¿oj J 2 molde Fe 1 mol de FerO3 l. mol de CO2 t; L376 400 molde Feror | rmuoer e:o:| | lmoldeFe,o3 | I 3m o ld e c o | mol Fe L 2 de J | 3 m o ld e c oI co, L 3 molde J Iz'" a"ru _.J ?mo 9:Fe 3 mo deco r, mo Coz t0e L' lde m L 3mokeco' J [, ro,* r" -l t3r"ld"co, J 1mol de Co' 2 mol de balan_ que ut¡l¡zando coefic¡entes los molares la ecuación de molares obuenen s€ Sepuede obsewar lasrelac¡ones y de m¡embro la ecuación. con ceada relacionándolos cualquier fEr€a N' 1 y y y las molares entreel CH4 el HrO y eñte el CH4 el CO?. la ecuacióndeterm¡ne relaciones 1. Balancee siguiente CH4+ Or + CO, + HrO (balancee) reacción entreel Kclq y el Kclen la siguleñte 2. Encuentre relación la + K CIO3 K CI+ O ' Cálculog on und Eq¡ación Balanc€ada podemos los élculos: realizar slgulentes balanceada De unaecuaclón 1. MASA- lilASA ya de de las molares lassustanclas la reacc¡ón queun molde una conocer masas Para estecálculo debemos = molar gramo la sustancla. en de sustancla masa para de a (los 1009 Fecl3 acuerdo la reacción: de de la E €]||plo! Determ¡ne masa gramos) Fenecesarios producir FeClr ¡u a g¡, ..........* R€€oluclón: la 1. Balancee ecuación: 2Fe + 3Clz + 2 FeCh del las 2. Determine masasmolares Fe (un moldeFe=5589) = del Fecl3(un moldeFeCl3 162.3 9) a balanceada tomando cuentalos coeficientes en de el 3, Formule idctor de conversión acuerdo la ecuación de cada sustancia. FeCl3 2 molde Fe = 2 rñoloet ,l r Z mot oe reLl 2 mol de Fe 377 401 D¡ñ ión c ¿ net al. t a ttu ó D e por que los estomultiplique 100g dados el fadorqueind¡ca un molde los a 4. Convierta 100g de FeCl3 mol;para = FeCl3 162.3I g 1oo deFecl3 l-r muderecl,I | ,;; . ,r" F.., I L ' - - -"" " - - - : r por para los de de multipllque el factor conversión la ecuación convertir moles la anteriof 5, Utilizando conversión los de Fecl3en molesde fu y luegos€ convierten molesde Feen I de Fe -l l o o sd e Fe c l . mol deFec t, l -z m o r o e r e [ s s . e 9 a " r " - l = 3 4 . 4 9 d e F e f-l I '[roz:oa"r"crJ recr,J [z morae [r'ora"r"J que ferrico con s€ 100 34.4 Respuesta: necesltan I de Fepara al reacclonar cloro formen g de cloruro s€ f.r6a No 2 reacclonan g de zinc suflciente sulftlrico? 80.0 con ácldo se cuando 1, ¿Qué masa hidrógeno produce de .+ ZnSq + H, Zn + HrSq para con 120 férrico? gramos Fedeb€n reaccionar el oxígeno formar g deóxido 2, ¿cuántos de Fe,o3 Fe + Or-_ cuando reaccionanl.3 de N,conhidrogeno?. kg kg se 3, a. ¿Cuántos de amonlaco forman H, + N,......._ NHr que y de reaccionar los1.3kg con formad¿slasmoles hldógeno debeñ las de b. Determ¡ne moles agua de N,, que producir partr de la combustión 2.25 de de a el de de 4. Calcule número gramos d¡óx¡do carbono se pueden quepueden (caHs). el de de obtenerse. b) Determine número gramos agua molde propano QH, rnr + 5Qrnl ----> 3 CO,rot + 4 HzO(s) (lI) (lII) se pueden obtener calcinando I de sulfuro hierro con 850 de de de 5. ¿Cuántos kilogramos óxido hierro gasoxígeno exceso en ? 4 tuS r., 374 402 - / O-,g, ----> 2 Fe)Or ,., + 4 SO)., Texto Nó 3 y para procedimiento utilizarse calculár número moléollas el volumen gas. e¡ de del deb€ Este mismo el del se de una Fbraet cálculo número moleculas vezus¿do facto. de conversión la ecuación convierte mol a det de el de moleculas utilizando número avogadro. = (o x 1 moldesustancia 6.023 10¡ moléculas átomos) por de el molar utiliza factor 1 mol = 22.4dm3delgas y s€ multiplicá el factor se P¿ra cálculo volumen el del converslón la ecuación. de r@cclonan g de N,. 12.6 moléculas NH3se liÍma¡ cuando de E emplor ¿Cuáñtas 2NH 3 Nr+3Hz + que: qulmlca balanceada sabemos Porla ecuaclóñ I 2 moles NH! se formanoDndo reaccionan molde N, de g I moldeN, = 28,0 x moléculas 1 moldeNH3= 6.023 10'¿3 r2.6sdeN: lmoldeN, fI f2moldeNHrl f- moléculas 6.023x1023 moléculas -l = s.4x10a deNHi L r * r .* , J L t' ". *, -'Jlt 'd; "t t J antedor? cuando reaccionan I de N, de acuerdo la reaccióñ 12.6 a dm3 E emplor ¿Cuáñtos de NH3s€forman que 1 molde NH3= 22 4 dm3 p meras solo las conversiones Utilizamos dos 1 2 .69 d e N, frmordeN,l T 2mold e NH, -l ( ttt-ttl L L 28.09deNJ L lmold e N, J 2 2 . 4 . r, t I d = 2 0 1 6 d m' d e NH3 rmo ld e NH3 J 379 403 ütsílón Genañt .te a.tnitión Tarea No 3 que de N" el en uno la del 1. a) Utillzando reacción problema de laTarea 2, determine volumen dm3 hidrógeno se con reaccionan g de ácidosulfúrico el Zn. 50 forman,cuando reaccionan I de ácido 50.0 sulfúrico. cuando de de él b) Determine número moléculas znSO4 ferrico cuando No las de dos la del 2. a) Utilizando reacción problema de laTarea 2, determine moleculas óxido 120 reaccionan g de Feconoxigeno. para 100 ferrico requerido formar 0 g deóxido el de b) Determine volumen oxígeno para de átomos Fes€ necesitan formar1000 g de óxidoféÍico? c) ¿Cuántos que al 4.50 de de el de 3. Calcule número moléculas oxígeno se forman calentar g de clorato potasio KC|O3(.) produclrse hacerrcaccionar 40 g de 5 al a de el 4, Determine número litrosde gas hidrógeno fPN que pueden clorhídrlco exceso en magnes¡o ácldo con M9o, a HCI¡,.¡ que para 4.2 de de de el de 5. Calcule número gramos nltruro magneslo se necesltan producir litros gasamonlaco pueden fomarse ? de a TPN, ¿ cuántasmolesde hldróxldo magneslo Mg:N:r,r + H:O(D FORMATIVA PRUEBA g? (valium) 0.05570 pesa mol 15.86 que si el 1. I\4asa molar t¡ene diazepan es mol/g d) ninguna correctá g/mol c) 351.2 b) 2U.74 gl"r'ol a) 35.12 KClOr,,, 2. Enla slgulente ecuaclón --1y KCI y b) Kclo3 a) Kclo3 los son: KCI + O2(e) reactantes (.) c) KCq v o, d) Koq balanceada problema del anteriorson molares Kclor/Kcl y Kclo3,/o,de la ecuación 3. Lasrelac¡ones respectivamente: c) 212,213 d \ 2 l1 , 3 lr b\ 311,U2 a) r l1 ,1lr + reacción: Na3PO4 CaBr, 4, Enla sigulente balanceada es: ecuac¡ón b) 11 a)6 3AO 404 .........._ NaBr+ Ca3(POJ¿número totalde moles la en el c )s d) 12 se se los de utilizado la coc¡na gas,cuando quema obtiene siguiente: en 5. Elgaspropano + 4H,O + calol + CrH6 50, -3CO, quemadas a de de esi de de Lacantrdad moléculas cO, quese prcducen partir 1 x 1S mole€ulas CrH3 moleculas co': b) 1x106 de moléculas ccP de a) 0.33x106 es d) ninguna correcta de c) 3xtff moleculas CO'? + 2 el + si 3 6. Ella reacción NaBr(o H¡PQr""i........* 3 HBr(".) Na3Po4("")se utiliza 03 kg de NaBr, volumen = será de en litros HBr(densidad 3.509/L)producido de: c) 1.6x1$ d) 4s6 b) 2e a) 218 que caH6o hayen 4 8 I es: de de 7, Elnúmero rñoléculas acetona: c) 3.5x1da d) 6.022x 10¡3 b) 5.0x10" a) 0.10 4CO, + 4H,O a Losprobl€mas d€l8 al12s€ refléren la reacciónl2qH4 + 6O,+ para completamente 45 I de CrHa con es: de L L¿smoles O, necesarias que reacc¡ones c) 112s d) 4.8 b) 0.64 a) 1.3x10': de de fue 6.0 9. Al produclrse molde co' el número moles o, quercaccionó de: c) 9.0 d) s.s. b) 7,s a) 4,0 5.0 se cuando reaccionan molde qH4 y 5.09 de O, es?: 10. ¿Cuántos moles CO, producen de c) 8.0 d) 10.0 b) s,0 a) 4.0 y que 2.0 11. L¡ masa gramos CO, sebrma comblnando I de C,H4 5.0g de q es: en de c) l.s b) 6.3 d) 10,0 a) 4.6 porcentüal la es 14.0 real el de 12,Al reaccionar 9 de qH4el rendlmlento de HrO de 284 9, entonces rendlmlento reaccióñ esi c) 87.1o/o d) s6.09o b) 43.60/0 a) 0.s6olo g haciendo reaccionanr g de Fecon10.0 de HrO? obtener 16,8 ¿Qué 13.¿Cuántos moles Fgq se pueden de está limit¿nte? ¿Qué sustanc¡a enexceso? sustancia el reactivo es produc¡r partir 0.490 de h¡drogeno50.0g g y grdmos cloruro h¡drogeno (HCl(e)) pueden se de de a de 14.¿Cuántos + 2 HCl,r, de cloro?Hr(e) Cl,,r, + (II) de calentando de óxido cromo en 125g dealum¡nio. 2259 Calcular el 15.Sepreparó óxido aluminio de . ---.-- Alroj + 3Cr porcentualsise 100 de obtuv¡eron g de óxido alumin¡o: 2Al + 3CrO reñdimiento 405 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 9: ESTADO GASEOSO Objetivos: 1. Identificar algunas propiedades características de los gases. 2. Describir la relación entre la densidad, volumen y la masa molar de un gas. 3. Aplicar las ecuaciones que expresan Las relaciones entre: temperatura, presión, volumen y número de moles de un gas (leyes de los gases). Propiedades de los Gases Los gases se caracterizan por poseer una estructura menos rígida y con mayor movilidad que las sustancias en los otros tres estados: líquido, sólido, plasma. Algunos sólidos y líquidos pueden existir en el estado gaseoso, y se les denomina vapores. Las propiedades generales de los gases y su comportamiento lo explica la teoría cinético - molecular (TCM), en los siguientes términos: "los gases están constituidos de grandes cantidades de moléculas o átomos en continuo movimiento, estas partículas (moléculas o átomos) no se atraen entre sí por tanto la distancia entre moléculas es grande en comparación con el tamaño de los mismos. El estado o condición de los gases depende de las relaciones que se dan entre las propiedades conocidas: presión (P), volumen (V), temperatura (T), cantidad de gas (moles = n). Si llenamos un globo con gas, éste se distribuye uniformemente en el interior del globo y el choque constante de las moléculas o partículas con las paredes va a generar la presión del gas, la cual será igual en cualquier parte del globo. Por otro lado, el gas adquiere la forma y volumen del recipiente que lo contiene, esto se debe a su baja densidad y volumen indefinido lo cual es consecuencia de su rápido movimiento y las enormes distancias que separan las partículas gaseosas. Si el gas dentro del globo es de color rojo y lo dejamos escapar dentro del salón de clases (cerrado) observamos que este se dispersará rápidamente por toda el aula demostrando así la capacidad de difusión de los gases, consecuencia de su movimiento molecular. La temperatura y la presión son factores que influyen sobre el volumen de un gas. Al calentar una masa de gas su volumen aumenta, el gas se expande, y si se enfría el volumen, disminuye. En el caso de la presión, si la aumentamos el gas se comprime dentro del recipiente cerrado y se expande cuando se disminuye la misma. La presión se define como la fuerza que actúa sobre una superficie dividida entre el área de esa superficie. P = fuerza área = f A y se expresa en atmósferas (atm),milímetros de mercurio (mmHg), torricelli (torr). La unidad SI de presión es el pascal (Pa). 1 atm. = 101.325 Pa Las escalas de temperatura más utilizadas son Kelvin (K), el centígrado o Celsius (°C) y la Fahrenheit (°F); sin embargo la más apropiada para el estudio de los gases y sus leyes es la de Kelvin. 382 406 de de a Confrecuencia, requ¡ere transformación los valores una escalade temperatura otra para lo cual se sé la pueden utilizar siguiente6 las ecuac¡onesi 'C = 5/9 ("F - 32) 'F = 9/5 'C + 32 paü @nvertir la escala de Fahrenheit a centígrado paraconverth la escala centígrado Fahrenhelt. de a es atmosférica media California de 740mmde Hg, Calcular equivalente en su eni EjemploNo 1! Lapresión b) atmósferas. a) torr qlie Conoclendo 760torr = 760mmde Hgó 1 torr = I mmde Hg -l = 740 t,o|,|, torr U mmdeHgJ Entonces mmdeHq I 740 -l para usarcmos = 760mmdeHg 1 atm convertir deHga atmósferá mm t-l 740mmdeHo I I atm | = 0.934 atm I . U60 mmde HgJ ya centígrados grados Fahrenhelt, los valores grados a Ej€mploNo 2: convertlr sigulentes a) 21sK b) 100K los lclvin a centígradosi Primero trañsformamos grados K- 273= "C b) 100- 273= - 1736C a) 21s- 273= - sSoC Fáhrenheit Ahora transformagrados s€ a oC + 32 'F = 9lS b) oF=g/st173) +32 a) oF=9/sCs8) +32 o F = -1 7 3 + 3 2 oF=-1O4,4+32 o F = -2 7 9 . 4 oF=-72.4 Ta|€a llo 1 gaseoso efecto tieneel calentamiento N, (nltrogeno) lo 1. Cuando mantiene se constante presión la ¿qué del sobre siguiente? a) sudensidad promedio susmoleculas de b) la velocidad de c) el número moléculas N? de 343 407 ItfnedóD GoDeEt de Arl,nElóD e¡unciados sobre 2. Presente fazonamientos lossiguientes sus y por un gasdepende de su temperatura presión. solo ocupado a) el volumen permaneciendo constante temperat¡lra, la la a de en la b) cuando presión unamuestra gasdisminuyela mitad, a disminuye la mitad. del densidad gastambién correspondiente en: la 1.12 ind¡ca atm calcular preslón 3, Unbarometro b) mmde Hg a) tor ya Fahrénheit valores g6doscentígrados grados a los 4. Convertlr siguientes b) 150torr a) 305K c) 38"t L€y€sde 106Gases 1. Ley dé Robsrt BoylG¡ (V) (T), determl_ constante elvolumen deunamasa quei absoluta experlmentalmente a temperatura Boyle demostó (P) proporcional la preslón(P). De aquíse deduceque el productopres¡ón por a nadade gas es inveEamente mátemátlcamente se absoluta mantlene se consbnte, si (v) volumen de uñ gases unacoñstante la temperatura exoresá: Palll t'-t = 3 deahíqueP v=Kó P , V ,= P , V ¿ P 3 V= . . = K constante, el la que sobre gas,mantenlendotemperatura un la elerclda €xpresa sl sedupl¡ca preslón Lalevde Boyle el se 3, orlginal.Sl la preslón aumenta 4 ó n veces volumen del a volumen gasse reduce la m¡tad volumen del preslón, la temperaen con cualquier dlsmlnuclón la vez; o cuarta enésima de lo contrarlo, dlsmlnuiráunaterc€ra. a del provocará correspondlente aumento volumen. un tura constante, llbre¡ de extremos pistóñ movlmlento un cllfndrlco, en unode sus tiene en Ejéñplo! Ungascontenldo un reclplente se ejerclda sobreel pistóñesde 12atm,la temperatura mantiene la de ocupaunvolumen 50dm3, presión a la cambie 25 el volumen cuando preslón K. d€ determ¡ne válor laconstante Encuentrenuevo el a 28oc, atm, 12x50 = 600dm3 abn. tendremos: DadoquePV=K _atm. K Entonces = 600 dm3 = Si P|'=P,V, = K entonces12x50 25xV, u,t rl-rr*ro = z*¿'' I - = t] 2 5 xV r=6o0dm3-atm v, = a-l z+am3 ooo - atrn ¿m3 | l= L 344 408 25 atm ) 1. 2. 3, 4. 5. TareaNo 2 que debe estar gaspara el el de de un lJngasocupa volumen 200mLa unapresión 400torr ¿Aquépresión volumen camb¡e 75 mL? a volumen ocupará 5 atm de pres¡ón? a ocupa'10L a 700torr ¿Qué Unamasadadade hidrogeno cambia 760mm Hg a 630torr? de 2.5 \olumen ocuparán L de un gassi la presión ¿Qué para porel fabricante inflarse un volumen mayor 4.0litros.Sise llena a no de globo diseñado Determinado estiá y atmosférica de solo530 es niveldel mar,se l¡ber¿ s€elevaa unaalturaen la cualla preslón con3.0 L de helioa ? mmHg, ¿ estallará L de que luminoso unvolumen 1.75 a preslón 620 tiene de en de Cierttmuestra neón seva a emplear un letrero del 1.4 de al elercida bombear L delgasa lostubos vidr¡o anuncio. la torr calcule presión 2. Ley d€ JdcquGschades: un Sl de c¡nstante. un gasocupa de con la Esta relaciona temperatura el volumen unamasa un gasa preslón ley en centígrado volumen su aumentaáU273 del la a ooc volumen determinado se le aumenta temper¿tura ungrado y se "cero"cuándo reduzca del s€rá el y la a origlñal, siaumenta temperatura10oC, Incremento volumen 10/273 será (ceroab6oluto). a - 273oC de que de determlnada gases constante, volumen una mas¿ el establece a preslón Flnalmente ley de Charles la asf: matemátcamente proporclonal la temperatura absol[¡ta.Seexpresa a dlrectamente PaT(aPconstante) es l- v-l = P o loque ig,¡a¡ L-rJ -l l- I t. i -¡v | =l v | = I v | = K LN T;J I-;J a es ambiente 27'C ¿Cuál el volumen de qiemplo: Treslitrosde hidógenoa _ 20oC cal¡enta unatemperatura a s€ permanece constante? amb¡ente, la presión s¡ la tempeEtura = 253K = T + - 2O"C 273 2 7"C+273=300K =T, Vr: entonces Vl-T,-l f:l=li,-l LTJ LT.J LT, = : rx r-l =:.so L l-roo L2s3 KJ 345 409 Dha.dón Genent .te Aditiúót TaredNo 3 es es volumen? prcsión constante. La a 20.0L de oxígeno 100oC 0'C ¿cuál el nuevo de 1. Sise enfrían puede que delrecipiente se hasta 56"C.Sabiendo elvolumen a de 2, Unrecipiente 4.50LconnitrogenoZ8"C calienta es del ¿cuál el nuevovolumen gas? sea variarparaque la preslón constante permanece constante? quétemperaturd dupll€ará wlumende unamuestra gasa 27"Csi la presión de se el 3. ¿A que que calentarsemásde130oFpor a un de 4. Laetiqueta unalatadeaerosolcontieneaviso indica la latanodebe ( al aumenta secallenta lo cual si contribuye peligro peligro explosión. del también Aunque presión aercsol la de de potencial gasquecontiene latade aerosol 500ml al calentarse 25 una de de calcule volumen el deexplosión), oCa 54 oC(aprox¡madamenteoF). 130 que y de que aire 5, Un nlñoformaunaburbuja contiene a 30oC tieneunvolumen 25cm3a I atm. a medida la su ¿ o de de encuentra bolsa ajrefrío sl no haycambio presión, aumentará reduclrá tamaño una burbuja asciende, ? será en de ? el la burbula enfriarse alredel¡nterior ¿ A quétemperatura oc el volumen la burbuja de 24crn3 al 3. l-€y de Gay - Lu$9ác: y a impllca relaclón una enffepres¡ón temp€raturavolumen de Esta exores unamodlficáclón la leyde Chartes; ley es constante, de f¡Ja mañeE. L¿preslón unacantldad de gas,a volumen Se de constante. enuncla la slgulente se prcporc¡onal la temperatura absoluta, estarelaclón expresai P a T a dlrectamente ['-l L-ri ,t"-l==t"'l t"-l LT,J \.f)-,] LT' s€ a re.¡plente sellado enfría ooc Torr de es de Ejemplo:Lapresión unreclpiente helio de650 a 25oc.S¡este es ¿cuál supresión? => disminuye disminuye lapresión Latemperatura ['¡ =[ %-l L-rJ L-rJ . |. z = O ' C+ 2 7 3 = 2 7 3 K T1 = 25oC+ 273 = 298 K c-t| _ uro,or,l-rr,*l | 'u t-rJ 346 410 = ,rr,or t ,r8K-J Tarea I{o 4 ¿1O.0 45oC tieneunapresión 650Torr ¿Cuál la presión la tempera y si de será 1. un cil¡ndro ungascontiene L a de a turacambia 100"C? que la metálico tieneunapres¡ón 252atma 25oC.¿Cuálserá de almacenado un cilindro en 2. Elhidrogeno esná presión el cilindro líquido -l96oc? a en en cuando sumerja nitrógeno se oCy 650mmHg pres¡ón.A quétemperatura oCalc¿nzará de una ¿ en un de 3. Ungasocupa volumen 60.0ml a 25 permanece presión 780mmHgsi el volumen constante ? de se en TPN a 4. LatemperatuG 5 litrosde un gasque ¡nicialmente en@ntraba condiciones cambla 150oCy el de presión delgasentoni la final constante. Calcule volumen mantiene se a un de de 5. UnamuestÉ gasocupa volumen 2.00litros 730torry 30oC. oCla presióñ permanece constante ? s€rÍa 620torrsl el volumen de en ¿Aquétemperatura 4. Ley de Comb¡naclónde los Gas€51 y prácticos losgases los ocurren cambios slmultáneos temperatumpresión, de con Cuando reallzan se trabajos y lo las de para arltmétcos, cualse logra combinando leyes Boyle Gaycoñslderarse losciálculos cuales deben matemáüca la forma: de Lussac unaecuaclóñ en [* ' l= . L', 1 que: Esto implica TP ,v tr , I l-:- -t tt l = l P uv , l= lP , v , l= K | | - | l- | el a de de encuentre de Ejemplo : Unamuestra un gasocupa206cm3 la temperatura 22"Cy preslón 750 mmHg, = (Pion¿r 1atm. = 760mmHg 760torr; T"oña= 273Kó0"C)yel normales volumen condic¡ones bajo valor la K esconstante. de V¡ = 206cm: PL = 750mmHg r t=22oC+273K =295K P, = 760mmHg l'1 = 273L 347 411 D¡.a|tiú, oenarrl .le A.lmitittD =f-",4]=' u,=lu,',¡ aP,v;l L',! L--_J ['',J cm) (750)(27s) = 188.13 cmr (760) (zes) [' T.r€a No 5 y y 730Torr, gaseoso soc calcular volumen 50"C 800Ton: el a a 1. Dados 20.0L de amoniaco que y de tenerunvolumen a calentar L de nitrógeno estan 25oC 700Toffpara 10,0 se 2. ¿Aquétemperahlra deben de 15.0L v unaDres¡ón 760Torr? y a volumen ocupará la presión temper¿tura lleno gases50.0L a 20'cy 742foft ¿Qué de de 3. Elvofumen unglobo normal? y es \olumen? L 4. Secallentan 15.00 de gasa 45oC 800Torr'¿Cuál el nuevo que estáa 50ocy 600TorrparaGner un volumen 10L y de cal€ntar L de oxígeno 5 se 5. ¿Aouétemperatura deben de una preslón 800Torr? neceslta c¿mble 500 Torr¿qué temperatura oCse en la a 2501 6. Ungasocupa mta700lo.r y 22'C. Cuando presión paramantener m¡smo el volumen? Ecuaclón GGneralde 106Gasé3ldéales eñ lo afirmaen una sola expresión que se ha descritoanteriormente las leyesde Boyley de GayEstaecuación y latemperatura de absoluta moléculas de con dlrectañente el número moléculas de Lussac: volumen ungasvarla el preslón. y la temp€ratura con e absoluta, lnversamente la v ol n T l ó v = l n R r l l- | l- | se del a de SlendoR una constante proporcioñalldad, la que se llamaconstante gas ideal. La ecuaclóñ escrlbe normatmentei PV = nRT R normales, entonces despejamos 1 de calcular de losvalores Rtomando molde un gasen condiciones uno Podemos de la ecuación: -Hl I l (1 atm)(22.4L) (1 mol)(273K) 3aa 412 0821 L - atm presión mol de ejercerán 0.400 de ungasen un recipiente 5.0L a 17"C? Ejeíiplo o 1: ¿Qué P =? V = 5L T - 17+273 = 29oK mol n = 0.400 : 1.90atm indicá 2000lbs/pulg':? hayenuntanquede La 22oC el manómetro 50 si molesde oxígeno Ejemplof{o 2: ¿cuántas a¡ P =l-'12000l blI l at m | = 1 , : e a t m I orlo,I lt4,Trtbtoul+ L -' L V = 501 T = 295K n despelando=fP! PV = nRTentonces i Sustituyendo EJ 281molde O, Tarea No 6 gaseoso atm? ocupan 5.20L a 250K y a 0.500 de 1. ¿cuántas moles nltrógeno de de será ¿cuál el volumen 23 moles Ne? 2. A27"cy 75oToÍ de pres¡ón 7 moles H¿a 47oC 1.6¿tmde presión de el de 3, C¿lcular volumen 0.510 y de de de un moles gasocuparán volumen 800cm3a presión 380mmHg temper¿tura 50"C? de 4. ¿Cuántos qué bajo de 0.5 5. Calcule volumen ocupará molde un qasmantenido presión 10atm y 150'C. el 3N 413 üEdón Getenl.h ArhttiÑn y (masa de molecular molar densidad gener¿l losgases calcular, además peso el ideales permite nos de t¿ ecuac¡ón os gasesj. que Recordamos y g M ñolecular delgas, estos donde sonlosgramosy eselpeso general tenemos: y se en \r¿lores sustituyen la ecuación n =lsl I lY I cv=[-e-l nr v M =[sRr-l lM I IPV I seobt¡ene: algunos en Sirecordamos valores laecuación cr,]= [-s-lnr, donae[s-l= d (densidad) Lrl [-uJ Entonces qemplo! ¿= [-nrl L*.i luensaaa¡ de de el Encuentre pesomolecular una gas qlya masade 1 g ocupaun volumen 82 cm3a una pres¡ónde atm y temperatur¿ 300K. de 1.5 ' =[n*-] L* - i -l " 390 414 = [ t r , o r n ) { o . o r r o m ]- a tm /m o r - K)=3,o0n ¡ ' o , ( 0 oK1 t di"t') (otsrd;5-J TareaNo 7 1. 2. 3. 4. 5, 6. Z y si 1.53 a 20oC 1 atmde presión. L molar gasbutano 3.39I ocupan del Calcular masa la nomales? 2.5 ¿Qué volumen ocuparán molde Cl,encondiciones es del en L 4.50molde un gasoclpan0.250 a 4,15atm. ¿cuál la temperatura sistema Kelün? CH41.0g/L a 1.0atmde presión? del en ¿Aquétemp€r¿tura oCs€rála densidad metano de en la del Calcule densidad gasdióxido carbono 9/l a 30 oCy 2.50¿tmde presióñ. g gassi 485ml med¡dos 27oCy 600torrtienen masa 0.384 ? de a una molar un de ¿ Cuál la masa es en de a contenido un cilindro 10.0Litros 30oCy 800mmHg la de de Calc1rlecantidad gramos gasoxfgeno Parclales Leyde Efusiónde Grahdmy Léyde Dalton de las Pr€s¡ones globo. Este proceso o del medlante cuallasmolécul¿s el escapa seefunde un sl pinchamos globo,el gasde su ¡nterlor preslón pequeña desde rec¡piente un a una mayot unreclpiente a pasan través unorlffcio abertu€muy de o delgas a quela áñterlor llama efuslón se menor de unapres¡ón y de a temperatumpresión inversamente son que: las¡ntensidádes efusión dosgas€s la mlsma de Laleyexpresa o de molecularcs cuadradas susdensldades, susmasas de a las oroDorclonales raí@s 0", il deefustónnu. V l- Intenstdad te *ustan oitsas l-iiensiaaa I = dB/dA+ (masa molar A) de molar B)/(masa de y (mezclas) cuyocomportamiento s€mejante es de diferentes cuando tr¿bajacon moleculas gases se Otraley usada que de que totál de es (o parciales) afirma la presión de unamezcla gas€s la suma las a la leyde Dalton preslones presentes parclales por presiones ejercidas cadaunode los gases volumen ocupará el sobre agua 23ocy760Tori¿Qué a s€ de Ejeñplo: Unamuestra 500mLdeoxígeno recolectó _Tort y es Laprcsiónde vaporde aguaa 23oC 21.2 O, secoa 23oC 760Torr? = 760Torr= P (O2) + P*,,*"* Lapresión o, séco P@r del P Entonces(O,) = 760Íotr - 21.2Iotr = 739lorr = 739Ton P2 = 760Torr P1 v2=? Vl = 500mL *t o" *t'"'u, = uoo { 7391o 700Torr = 486 mL de O, 39t 415 Dirección General de Admisión Temario Tarea N° 8 1. Se recibió hidrógeno gaseoso por desplazamiento de agua. El volumen de 600 mL se midió a 25°C y 740 Torr. ¿Qué volumen ocupará el hidrógeno seco en condiciones normales? 2. ¿Cuál sería la presión parcial del O2 gaseoso recibido sobre agua a 20°C y 760 Torr de presión? (presión de vapor de agua a 25°C = 23.8 Torr). 3. Una mezcla en equilibrio contiene H2 a 600 Torr de presión, N2 a 200 Torr de presión y O2 a 300 Torr. ¿Cuál es la presión total de los gases en el sistema? 4. La velocidad de efusión de un gas desconocido a través de un orificio es de 2.15 mol/s. Si la velocidad de efu sión para el metano (CH4) a través del mismo orificio es de 4.30 mol/s en las mismas condiciones de volumen, presión y temperatura, ¿ Cuál sería la masa molar para el gas desconocido ? 5. Cierta cantidad de CO2 se efunde a través de un orificio en 96 segundos, mientras que un volumen igual de un gas desconocido lo hace, a través del mismo orificio, en 110 segundos. Encuentre el peso molecular del gas desconocido. PRUEBA FORMATIVA 1. Una muestra de 0.286 g de un gas ocupa 50.0 mL a temperatura normal y 76.0 cm de Hg. Encuentre la masa molar del gas? a) 140 moles b) 0.2 g/mol c) 14 g/mol d) 139.7 g/mol 2. ¿Qué volumen (L) de hidrógeno, obtenido a 30°C y 700 Torr de presión, se formará al reaccionar 50.0 g de aluminio con ácido clorhídrico? 2 Al(s) + 6 HCl(ac) a) 62.3 L de H2 b) 65.0 L de H2 2 AlCl3 (ac) + 3 H2 (g) c) 12.5 L de H2 d) ninguna es correcta 3. ¿A qué temperatura se duplicará el volumen de un gas a 27°C si la presión es constante? a) 250 K b) 300 K c) 600 K d) 150 K 4. El tanque de un buzo contiene 0.29 kg de O2 comprimido en un volumen de 2.3 L. ¿Cuál será la presión dentro del tanque a 9°C? a) 91 atm b) 3 atm c) 0.6 atm d) 9.1 atm 5. La presión (en atm), ejercida por 1.8 moles de hexafluoruro de azufre SF6 gaseoso, contenido en un recipiente de 5.43 L a 69.5°C es: a) 0.15 atm b) 9.42 atm c) 1.5 atm d) 45 atm 6. El monóxido de carbono CO, ocupa 3.20 L a 125°C; la temperatura a la cual el gas ocupará 1.54 L es: a) 123°C 392 416 b) 62.5°C c) - 81°C d) 192°C Química Área Científica 7. Un volumen de 425 mL de argón, gas usado en los tubos luminosos se calienta de 22°C a 187°C a presión constante, entonces su volumen final en un litro (L) será: a) 289 L b) 70.0 L c) 0.70 L d) ninguna es correcta 8. El nitrógeno gaseoso se guarda en un recipiente cuyo volumen es de 2.3 L y una temperatura de 32°C ejerce una presión de 4.7 atm; el número de moles de gas presente es: a) 4.1 moles b) 0.65 moles c) 0.43 moles d) 2.3 moles 9. Si la presión de 6.0 L de gas ideal en un recipiente flexible se disminuye a un tercio de su presión original y su temperatura absoluta disminuye a la mitad; el volumen final del gas será: a) 6 L b) 2 L c) 1 L d) 9 L 10. Una cantidad de 73.0 g de NH3 se mezcla con una masa igual de HCl. ¿cuál es la masa de NH4Cl sólido formado? ¿Cuál es el volumen de gas remanente medido a 14.0°C y 752 mmHg? ¿Qué gas es? a) 107 g de NH4Cl, 290 L, NH3 (g) b) 111.6 g de NH4Cl, 49.5 L, HCl (g) c) 73 g de NH4Cl, 50.0 L, NH4OH (g) d) 146 g de NH4Cl, 60.5 L, H2 (g) 11. Un volumen de 0.280 L de un gas a TPE pesa 0.40 g, entonces la masa molar del gas es: a) 32 g/mol b) 35 g/mol c) 242 g/mol d) ninguna de las respuestas 417 393 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 10: EL ESTADO LÍQUIDO Objetivos: 1. Identificar las propiedades físicas de los líquidos. 2. Definir los términos: solución, solubilidad, soluto, solvente y concentración. 3. Resolver problemas relacionados con concentraciones. Propiedades de los Líquidos Las propiedades y los fenómenos que exhiben las sustancias líquidas nos indican que el estado líquido es un estado natural intermedio entre el sólido y el gaseoso. Los líquidos, a diferencia de los gases, sí poseen un volumen definido, pero no poseen forma definida como los sólidos. Los líquidos también exhiben gran fluidez, pero esta se debe a la viscosidad. Podemos explicar las características del estado líquido en función de dos fenómenos, las fuerzas de atracción que experimentan las moléculas en el estado líquido y la energía cinética que poseen. Entre las propiedades físicas que más se emplean, sobre todo para identificar a una sustancia en el estado líquido tenemos: 1. Presión de Vapor: En el estado líquido las moléculas están en movimiento constante, cuando algunas moléculas tienen una cantidad de energía mayor que el resto de las otras y están cerca de la superficie del líquido entonces pueden escapar en estado gaseoso o en forma de vapor. Entonces la presión que ejerce ese vapor como cualquier otro gas, en equilibrio con el líquido se llama presión de vapor. Es una medida de la tendencia de las moléculas a escapar para pasar del estado líquido al gaseoso, y aumenta cuando lo hace la temperatura. Las sustancias que se evaporan fácilmente son volátiles, un líquido volátil tiene una presión de vapor relativamente alta a temperatura ambiente. La presión de vapor se expresa en: torr, mmHg o atm. 2. Punto de Ebullición: Es la temperatura a la cual su presión de vapor es igual a la presión externa (atmosférica). Cuando la presión de vapor de un líquido es igual a la presión externa el líquido ebulle o hierve, a una temperatura constante; esta temperatura es el punto de ebullición del líquido. Un ejemplo de este hecho es el punto de ebullición del agua es 100°C a 1 atm de presión. A su vez, la presión de vapor del agua a 100°C es 760 torr. Cuando el líquido tiene un soluto no volátil, la presencia de este soluto afecta la presión de vapor del líquido y por consiguiente su punto de ebullición. Cuanto mayor sea la concentración del soluto no volátil, tanto mayor es la disminución de la presión de vapor, entonces el punto de ebullición aumentaría y esta temperatura sería la constante ebulloscópica, del líquido o solvente. 3. Punto de Congelación: Es aquella temperatura a la cual el líquido esta en equilibrio dinámico con su estado sólido. 394 418 Área Científica Química Se dice que el líquido esta en equilibrio dinámico con su sólido porque numéricamente el punto de congelación es el mismo que el punto de fusión. A esta temperatura el líquido se solidifica. 4. Densidad: La densidad es la relación entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa dicha masa. Generalmente la densidad de una sustancia se expresa en términos de su masa o peso por unidad de volumen. 5. Tensión Superficial: La cohesión de las moléculas es el estado líquido; debido a la atracción mutua que experimenta, origina una propiedad que exhiben los líquidos y que denominamos tensión superficial. La tensión superficial es el fenómeno en el cual la superficie de algunos líquidos se comporta como si fuese una delgada membrana elástica. Este comportamiento es debido a que las moléculas que se encuentran entre ellas están sometidas a fuerzas intermoleculares que no están equilibradas, a diferencia de las moléculas que se hallan por debajo de la superficie. Las moléculas superficiales son atraídas en forma neta hacía el seno del líquido, debido a que la atracción que ejercen las moléculas que están por debajo de ellas es mucho mayor que la atracción que puedan experimentar por las que están por encima de ellas en el vapor. Este fenómeno explica la tendencia que tienen los líquidos a formar gotas esféricas, ya que la superficie de un cuerpo con forma esférica tiene, en comparación con el volumen que encierra, una superficie menor que cualquier otra forma geométrica. 6. La Capilaridad: Este fenómeno ocurre cuando un líquido asciende por un tubo de diámetro muy pequeño. En este caso intervienen fuerzas de cohesión y adhesión. 7. Viscosidad: La viscosidad es la medida de la resistencia que exhiben los líquidos al fluir. Los líquidos fluyen como si estuvieran divididos en capas y una se deslizará sobre otra. La resistencia a este deslizamiento se debe a la fricción entre las capas (el frotamiento de moléculas) y da origen a la viscosidad. 8. Ósmosis y Presión Osmótica: Las membranas celulares de plantas y animales permiten el flujo libre de agua, ya sea hacia adentro o hacia fuera de la célula, pero restringen el paso de otros materiales, por lo que se dice que las membranas celulares son semipermeables. A este fenómeno se le dio el nombre de ósmosis. La presión osmótica, cuyo símbolo es Π , se define como la presión mínima que debe ser aplicada a una disolución, para detener el paso de disolvente hacia la disolución a través de una membrana semipermeable. 419 395 Dirección General de Admisión Temario La presión osmótica es una propiedad coligativa de las disoluciones, y el conocimiento que se tenga sobre la misma es de vital importancia para los estudios relacionados con los sistemas biológicos. Tarea N° 1 1. En la siguiente tabla aparece la presión de vapor de varios compuestos a 20°C COMPUESTO PRESIÓN Alcohol metílico 96 torr Ácido acético 11.7 torr Benceno 7407 torr Bromo 173 torr Agua 17.5 torr Tetracloruro de carbono 91 torr Mercurio 0.0012 torr Tolueno 23 torr a) Ordenar esos compuestos según su mayor velocidad de evaporación. b) Si se colocan en un recipiente cerrado, alcohol metílico y tolueno, ¿cuál de los dos líquidos llenaría el envase con sus vapores más rápidamente. 2. ¿Cuál es la relación entre presión de vapor y punto de ebullición? 3. Explique ¿por qué se obtienen mayores temperaturas en las ollas de presión que en una olla abierta? 4. El punto de ebullición del amoniaco (NH3) es - 33.4°C y el dióxido de azufre (SO2) es -10.0°C. ¿Cuál de los dos tiene mayor presión de vapor a - 40°C? 5. Explique lo que sucede, físicamente, cuando una sustancia hierve. 6. ¿Por qué el agua de un lago hiela o congela comenzando por la superficie y terminando en el fondo? 7. Explique ¿por qué el alcohol isopropílico calentado a la temperatura corporal se sigue sintiendo frío al aplicarlo sobre la piel? Soluciones Una solución es un sistema en el cual una o más sustancias están mezcladas homogéneamente, o disueltas en otra sustancia. Una solución simple tiene dos componentes, un soluto y un solvente. El soluto (o disuelto) es el componente menos abundante en la solución. El solvente (o disolvente) es el agente que disuelve o el componente más abundante en la solución. Por ejemplo, cuando se disuelve azúcar común en agua para formar una solución, el azúcar es el soluto y el agua es el solvente. También existen soluciones complejas que contiene más de un soluto y más de un solvente. El término solubilidad nos describe la cantidad de una sustancia (soluto) que se puede disolver en una cantidad específica de otra sustancia (o solvente) a cierta temperatura. 396 420 y pueden mezclarseformaruna los miscibles, cuando líqu¡dos paradescrib¡r solubilldad: la s€ usanlos términos son eñtresí Eiemplo:el aguay el aceite o no inmiscibles, cuando formansoluciones son insolubles solución: inmiscibles. concentraclón de determinada llama se disuelto unasolución en de de cuantitativa la cantidad unsoluto Laexprésión la solución. expresar: se Lasconcentraciones pueoen y una que medlante cualidad. la de l. cualltativam€nte! Sonaquellas expresañ relac¡ón soluto solvente que cantdad soluto. de una son a) Diluldas: aquellas conüenen pequeña cantidad soluto. de que una son b) Concentradas: aquellas contienen gr¿n por de de en c) Insafuradas:es aquella que la cantidad solutose encl¡entra debaiode lá cantidad soluto nes¡ñ coñ para un cesario establecer equlllbr¡o el soluto d¡solvei con no en disuelto encuentra equlllbrio el soluto se de en son d) Saturadar aquellas quela cantldad soluto dlsuelto. pos€e realidad concentraclón eñ una en lnesbble, lacuallasoluclón una representan situación e) Sobresaturadasi la de soluto rebasa delequ¡llbrlo. aue 2. Cuantltatlvam€nte! de de de de deflnlrcomoel número gramos solutoentreel número gramos a) Porcentate eñ PG¡o! Se puede por + de multiplicado cien (número gramos soluto número gÉmosde solvente) de de solución o,6Peso = { g desoluto lx10o '-l soluto g de solveng + Ede que 4.25g de cacl, y 800 g de H?o. en el Ejemplo: Determine porcentaie p€sode una soluc¡ón contiene = %Peso f- 4 . 2s s l xr o o Frsr+8oot p¿s6 07" = l-+.zss -l x r00 L*-*n-J o/oPeso = 0.528olo 397 421 oi.ección Gene¡tt .k Adñnsiót farea I{o 2 que y 3.2B de en de 1. Determinar porcentaje peso unasolución contiene gramos NaCl 550mLde agua. el que 3.25I de CUSO45 HrO y 250mLde agua. de el en 2. Determine porcent¿je p€so unasolución contene para una de 2.25yo peso en sis€tiene necesarlos prepaEr solución Coclr de 3. Determ¡nar losgramos so[]toqueson (H,O) de 500gramos solvente totalde lasolución multlplicado como volumen soluto del entreel \olumen b) Porcentaie Volumen: Sedefine en oorcien. -l oóvotumen l= tOO volumen soluto de " * de lgolr-* uusol..rtouolumen solvenLJ que y 80 de el en E emplo! Determinar porcentaje volumen unasoluclón cont¡ene cm3de etanolpuro 450cm3de agua. ozo = volumenl- 80cm3 *t.4 L p.*', -l x roo _t r_ o / o Pe so 8 0 l x 1 0 0 =l l- l L s30 _J % Peso= 15,1olo frrEa No 3 que y de 35 al 1, Determinar porcentale volumen unasoluc¡ón contlene mLdeetanol 95olo 653mLde agua, el en que en de 60 en 2. Determlnar porcentaje volumen unasolución contiene g de benceno 780g detolueno.Sila el g/ml y la densidad tolueno de 0.8669 g/mL, del es densidad benceno de 0.8765 del es yolumenr Expresa concentración gramo soluto 100mLde solución. por la como de masaÉobre c) Porcentaj€ o/o = * roo m/V f- g desotuto I ae [ofrrnen sofucian J se 10 masa/volumen cuando disuelve g de glucosa 100mLde HrO? en es Ejemplo: ¿Cuál el porcentaje soluto x100 = 100,6 I "r"m/v = l- to.og Oe b¡o 'L d" .d*"t",1 394 422 por y la en de ionés moleculas litrode solución se o d) Molaridadr Expresa concentraciónmoles átomos. molesporlitroo de será moles/l.Por ejemplo solución una de representa M. t¿ unidad molaridad entonces, con ys€ (hidroxido sodio) 40.0 l moldeNaOH de contiene g deNaOH agua d¡suelve unvolumen en en totalde lltrc un de agua, = de de Mo¡aridad I\4 = Node moles soluto/l¡tlos solución= moles l¡tro / = molar si moles gramos soluto/masa de Entonces r'4 = f Umasa Ejenplo o 1: 9 (sotuto) I molarde soluto)(L de solucion)J que contiene1.4 mol de ácido aético de ¿cuál es la molaridad 250 mL de una soluc¡ón (HC,H3Ot? ¡4 = mol/L datosi 1.4 mol 250 mL = 5.6 ¡1 l- r.+o I rooo I l-s.e 'L 'or-l 'or-l L-,so''L_j L _.J 1L J L-l L preparada E emplo N. 2 : ¿Cuál la molaridad una d¡solución es de disolviendo g de clorato potasio 200 de (KC|O3) suf¡ciente FEra formar mLdesolución? 150 en agua 9 KCIO3 mLLL Datos: l-roo o | ------: Lr s KCIO3 ' mol KCIO3 = N1 umen 150 mL = mas¿ ar oelKCIO3 122.6g/mol mol r -) mol I 1 r1 deKCIO3 )1, l=0. :; g de KCIOI,) 109¡4 Tarea l{o 4 que gramos KMnO. 850mLde solución. 1. Calcular molaridad unasolución @ntiene la de 0,632 de en gramos sulfato cobre parapreparar mLde unasolución l'4. 2. Calcular los de de anhidro necesarios 875 2 que gramos sulfato cobre pentahidratado sonnecesarios preparar mLdeunasoluc¡ón para los de de 3. c¡lcular 875 2M. g/ml necesarios preparar mLde una para específica 1.84 de 4. Calcular mLde HrSOa y unagravedad los 95yo 985 solución ¡4. 0.45 que 4.25 de los de los contlenen g de KOH tal manera la soluc¡ón 5. Determinar litros solución cuales tenga una concent aclónde 3 I'4. 399 423 Di.¿cdóñ cenénl .te a.hrútión por (m) de de de el e) Molalidad! L¿molalidad expresa númerc moles soluto kilogramos solvente. (sotuto) ¡¡ ={- mot I [o a"v"'tl preparada (metanol) 25,0g (m) d¡solviendo g de CH3OH 2,70 en es Ejemplo! ¿Cuál la molalidad de unásolución de HrO? -l sero: necesaria m =f- mot(sotuto) lasolucrón t ks(-tr""t") J 2,70g CH3OH - mol de CH3OH - mol de CH3OH 25,0g de Hzo 25g de HrO 1 kg de H,O (12 masa molar CH3oH + 4 + 16)= 32.0g/mol del _t -\ lk 2 .709cHjoH I llmolCH3O Hll''_ 1 0 0 0 9 HrO | = 3 3 8mo lc Hro H/ g H, o ll- ll- l s L2s.0deH,o L 2ss deH,o-.J 1ksdeH,o-.J J L Tar€a No 5 que 2.22 en de L Calcular molalidad unasolución contlene g de NaCl 2.5lltros agua la de para ñecesárlos unasolución N4 2.25 sise haagregado mLdeaqua. 2. Determln& gramos BaCl, los de anhidro 650 para los de una 2.25 final 3. Determine gramos Baclr. 2HrOnecesarios preparar soluc¡ón m si el volumen deagua esde 650mL. para de volumen HCIconcentrado, gr¿vedad de de especifica 1,19y que contiene 37olo HCIse necesita de 4, ¿Qué preparar soluc¡ón m si seagregó mLde agua? 350 una 0.25 paraprepardr solución una 0.26m si s€ hanagregado gramos 4.80 5. Determlnar kg de aguaquese neceslta los de ¿|80 para 6. Calcule número gramos glicerol(qHsOJ que se necesit¿n prepardr g de una soluc¡ón m el de de 3,0 agua. de glicerolen que (qrHr,O,,) par¿ preparar de a una 5. Calcule cant¡dad gramos aguá sedebeagregar 240g de azúcár la de en solución m de azúcar agua. 2.50 /m 424 de de enke lascantidades todoslos componentes la la f) Fracción l'lotar: LÁfracciónmolarexpresa relación solución, molares. molar = x1 + X, + .. + X" o(presala sumade todoslos componentes Fracción qHsOH, lltrode soluc¡ón, unadensidad por de tiene que 100 acuosa cont¡ene g de etanol, Ejemplo: Unasolución molares etanoty aguaen estasolución? de son 0.984g/mol. ¿cuáles lasft'¿cciones = mL / Peso la soluclón 1 l¡trox 1000 / 1 litrox 0.984 mL de ttso del etanol= 100I del FEso agua= 984g - 100g = 964t -l = 2 rz moles Ivloles etanol= 1o0g c,HsoHl- l molc,HsoH de | .-s-os I -- - L ) -;l;,r" = de t4oles agua 884sHroT lmol Hro I = 491mo¡es J LlsossHe molar etanol{ del fracción c,HsOH 2,17moles I = O.Orzf * l- r+sr zrzl'oeJ -l= ri.o +g.l moles o.gsa molesj L (491+ 2.17) =ffracción delagua molar Tar€a l{o 6 que de de 5.25 alNacldeunasolución contiene moles Nacly30 moles molar respeclo con la 1, Determinar fracción agua, es cuyafracc¡ón molarcon resp€cto solvente de 0.450si dicha al de los 2. Determinar moles CáCq de una solución 65 de contiene moles agua. solución que molarconrcspecto 45 de de los de 3. Determlnar moles solvente unasolución condene moles Bacl,si la fracción es al soluto de 0.375. y que 25 de y de al con la molar respecto Nacl al agua unasolución contiene gramos Nacl 850 4. Determinarfracción mLde aoua, 425 Dirección General de Admisión Temario 5. Determinar los gramos de CuSO4 necesarios para preparar una solución que contiene 550 mL de agua de tal manera que tenga una fracción molar con respecto al CuSO4 de 0.435. 6. Una solución contiene 116 g de acetona (C3H6O), 138 g de alcohol etílico (C2H6O) y 126 g de agua. Determine las fracciones molares de cada componente. 7. Calcule la cantidad de gramos de agua que debe añadirse a 20.0 g de fenol para preparar una solución acuosa de fenol al 5.0 %. 8. Calcule la cantidad de gramos de solución que se necesitan para tener 60.0 g de NaCl a partir de una solución acuosa de cloruro de sodio al 15.0 %. 9. Determinado vino tiene un 12.5 % en volumen de alcohol. ¿ Qué cantidad de alcohol hay en una botella de 750 ml ? PRUEBA FORMATIVA 1. ¿Cuántos gramos de hidróxido de potasio se necesitan para preparar 600 mL de solución de KOH 0.450 M? 2. ¿Cuál es la molaridad de una solución preparada disolviendo 7.50 g de Mg(NO3)2 en suficiente agua para formar 25.0 mL de solución? 3. ¿Qué volumen de solución 0.250 M se pueden preparar con 16.0 g de K2CO3? 4. Calcular el número de moles de HNO3 (ácido nítrico) en 325 mL de solución 16 M. 5. ¿Cuál es la molalidad de una solución que se preparó disolviendo 150.0 g de C6H12O6 en 600.0 g de agua? 6. La solución A contiene 0.515 g de Co(NH2)2, disueltos en 85.0 g de agua; la solución B, 2.50 g de sacarosa, C12H22O11 disueltos en 92.5 g de agua. Sobre ¿cuál de las dos soluciones la presión de vapor es mayor? 7. Una solución de glicerol en agua es 90% C3H8O3 en peso y 10% agua en peso, y tiene una densidad de 1.235 g/mol. ¿Cuál es: a) la molaridad del glicerol? (considere el agua como solvente) b) la molaridad del agua? (considere el glicerol como solvente) c) la molalidad del agua en glicerol? d) la fracción molar del glicerol? 8. Determinar los mL de alcohol etílico necesarios para preparar una solución 4.50% en peso si dicha solución se le agrega 600 mL de agua. La densidad del alcohol etílico puro es 0.789 g/mL. 9. Determinar los mL de acetona que se requiere para preparar una solución de acetona en agua de un porcentaje en volumen de 25% si se tiene 450 mL de agua. 10. Determinar los mL de etanol necesarios para preparar una solución que contiene 2 gramos de naftaleno de tal manera que la solución tenga una fracción molar con respecto al etanol de 0.725. La fórmula estructural del etanol es C2H5OH y el naftaleno C10H8. La densidad del etanol es 0.7893 g/mL. 402 426 rta Qtímú@ Cientifia uóoulo 11:EeurtrBRro QUÍMrco Objetivos: un en 1. Describir sistema equilibrio. la 2. Expresar constantede equilibrioen una reacción, en dadaslasconcentraciones equilibrio. en la de 3. Determinar constante equilibrio una reacción de temperaturay presiónen una reacción en 4. Prcdecirlos efectosde las variaciones concentraciones, equilibrio. Concepto de Equilibrio Químico (gaseoso) con el gas NO' se llevana cabo dos reacciones: Cuandose mezclanel NrOo NrOo,n, -:"-+ 2 NOr,n, + 2 NO, ,n, NrO.,n, puedes el sucede dosdirecciones, reactivoNrQ,n,forma producto en el NOr,n,, luego esta observar, reacción Como para y Esta es de reversible porlo tanto NO2 reacciona formarN2O4. reacción unejemplo unareacción el producto para por contrarios, separar reactivos losproductos: los de colocadas sentidos en se deberepresentar dosflechas ÑrOo,n, - 2 NOz<el químicas puedenocurriren ambasdirecciones. En principio, todaslas reacciones a en En un sistemadondeocurrenreacciones ambasdirecciones, medidaque la reacción avanza,se incrementala (haciala izquierda). medida que disminuye (NOr)y se acelera reacción la inversa A concentración los productos de la concentración los reactivos,la velocidaddisminuye. Si se deja quieta la reacción, de eventualmente velocidad la de los reactivospara formar los productosse hace igual a la velocidadde la reaccióninversa;en este momentose estableceun equilibrioquímico. Como la velocidadde la reacciónen una direcciónes igual a la velocidadde la químico dinámico.Resumiendo, vez que la reacción reacción opuesta, equilibrio el es una alcanza equilibrio, el las y permanezcan reacciones ambasdirecciones en ocuffen a la mismavelocidad mientraslas condiciones constantes, el sistema mantendrá equilibrio. se en 1. La Constante de Equilibrio: + Parauna reacción deltipo aA<nl bB,n,# * cCrnl dD,n,,de acuerdo la ley de acción las masas, a las de así: velocidades las dos reacciones, de directae inversase expresarían = k, [A][B]o Velocidad la reacción directa: v, de Velocidad la reaccióninversa: v, = lg tCltDlo de es En equilibrio son estasdos velocidades iguales, decir vr= V z Por lo que resulta lq tAFtBlb = lq [CJ'[DJd 403 427 Dirección General de Admisión Dejando de un lado las constantes Temario k1 [C]c[D]d = a K2 por lo que k1/k2 será igual a Ke. b [A] [B] La constante de equilibrio se calcula de acuerdo a la siguiente ecuación general: Ke = [C]c[D]d [A]a[B]b En donde los paréntesis cuadrados indican la concentración molar (mol/L) de los productos entre la concentración molar de los reactivos, elevados a los coeficientes en la ecuación y la Ke se denomina constante de equilibrio. Es importante destacar que el valor de la constante de equilibrio no varía si las concentraciones de las sustancias varían a temperatura constante, pero si la temperatura cambia, entonces cambiará el valor de Ke. Consideramos que la siguiente reacción se encuentra en equilibrio, 3 H2 (g) + N2 (g) 2 NH3 (g) para calcular la constante de equilibrio, debemos conocer las concentraciones molares de cada una de las sustancias gaseosas que participan en la reacción, y se representan así: [NH3]2 Ke = [H2]3[N2] Cuando en un sistema en equilibrio participa un sólido o un líquido puro, su concentración se considerará constante y por consiguiente los valores de las concentraciones de estas sustancias se incluyen en la constante de equilibrio. Por ejemplo: CaCO3 (s) CaO(s) + CO2 (g) Los valores para las concentraciones del carbonato de calcio y el óxido de calcio se incluyen en el valor de Ke y la expresión para la constante de equilibrio es: Ke = [CO2] 404 428 Química Área Científica 2. Determinación de la constante y de las concentraciones en equilibrio. Indica el grado con que una determinada reacción avanza en sentido derecho. 1. Si el valor de la Ke es mucho mayor que 1 (uno), eso significa que la reacción avanza en la dirección de formar los productos. En ese momento la concentración de los productos es más abundante que los reactivos. 2. Si el valor de la Ke es pequeño, significa que la reacción directa casi no se está efectuando y la concentración de los reactivos es más abundante que los productos. 3. La constante de equilibrio no tiene unidades. Los siguientes ejemplos aclaran el procedimiento de formulación de expresiones de equilibrio y de cálculo de constante y de concentraciones en equilibrio. Ejemplo N° 1: Se ha estudiado el siguiente equilibrio a 230°C: 2 SO2(g) + O2(g) 2 SO3(g). En un experimento las concentraciones en equilibrio de las sustancias son: 2.6 M de SO2, 18.0 M de SO3 y 0.042 M de O2. Determine el valor de Ke. Se representa la expresión de la constante de equilibrio para esta reacción: [SO3]2 Ke = [SO2]2[O2] Se reemplazan los valores de las concentraciones en equilibrio, en la expresión de la constante: [18.0]2 Ke = [2.6]2[0.042] Ke = 1141 Ejemplo N° 2: Se sabe que el valor de la constante de equilibrio Ke para la reacción: PCl5 (g) PCl3 (g) + Cl2 (g) Es 1.05 a 250°C. Si las concentraciones en equilibrio del PCl5 y del PCl3 son respectivamente 0.87 M y 0.463 M. ¿Cuál es la concentración del cloro en equilibrio a 250°C? En primer lugar se formula la Ke en términos de la concentración molar de las sustancias: Ke = [PCl3][Cl2] [PCl5] 429 405 Dirección General de Admisión Temario com o se conocen las concentraciones y la K e , se sustituyen: 1.0 5 = [0.463][Cl 2] [0.87] [Cl 2] = [1.05][0.8 7] [0.462] [Cl 2] = 1.98 M Ta rea N° 1 1. Para cada una de las siguientes reacciones, exprese la constante de equilibrio: a) 2 SO 2(g) + O 2(g) 2 SO 3(g) b) PCl5 (g) c) PCl 3 (g) + Cl 2 (g) C aC 2 (s) + 2 H 2 O C 2 H 2 (g) + 4 H 2O d) C 3H 8 (g) + 5 O 2 (g) e) 4 H 2 (g) + Fe 3 O 4 (s) f) C OCl 2 (g) g) H 2 (g) + C l 2 (g) 2. (g) 3 CO 2 (g) + 4 H 2O (g ) (g) 3 Fe CO (g) (s) + 4 H 2O (g) + Cl 2 (g) 2 HC l (g) Se ha encontrado el siguiente equilibrio a 300°C: 2 NO (g) + O 2 (g) 2 NO 2 (g) . En un experim ento se determ inó que las concentraciones en equilibrio de las sustancias reaccionantes son: [NO ] = 0.0542 M ; [O 2 ] = 0.127 M y [NO 2 ] = 15.5 M. C alcule la constante de equilibrio a esa tem peratura. 3. En un recipiente de acero de un litro se introducen nitrógeno, hidrógeno y am oniaco. Cuando el sistem a llega al equilibrio a 1000°C se encontró que la concentración de: [NH 3 ] = 0.1 4 M ; [H 2 ] = 1.84 M y [N 2 ] = 1.36 M . D eterm ine el valor de la constante K e para la reacción de síntesis del am oniaco: 3 H 2 (g) + N 2 (g) 4. 2 NH 3 (g ) A la tem peratura de 3000 K el valor de la K e es 7.45 para la reacción: 2 H 2O (g) 2 H 2 (g) + O 2 (g) , si en equilibrio las concentraciones del H 2 y H 2 O son respectivam ente 0.04 M y 0 .36 M. Calcule la concentració n de O 2. 5. La reacció n que involucra el HI, H 2 e I 2 ocurre en el equilibrio a 425°C : 2 HI (g) H 2 (g) + I 2 (g ). Las concentraciones en el equilibrio de los tres gases son: [H I] = 0.0175 M; [H 2] = 0.0045 M y [I 2 ] = 0.001 25 M . ¿C uál es el valor de la constante de equilibrio? 406 430 Química Área Científica 6. Dada la reacción y la constante en equilibrio a una temperatura prediga en que sentido se favorece dicha reacción: CO (g) + Cl2 (g) a) COCl2 (g) Ke = 8.2x10-2 a 627°C b) 3 H2 (g) + N2 (g) 2 NH3 (g) Ke = 626 a 200°C c) 2 NO(g) + O2 (g) 2 NO2 (g) Ke = 6.45x105 a 227°C 7. Se ha encontrado el siquiente equilibrio a 527 ºC: 2 SO2 + (g) O2 (g) ======= 2 SO3 (g) Si Ke = 800 para esta reacción y las concentraciones en equilibrio de SO2 y SO3 son 2 moles de SO2 /L y 10 moles de SO3 /L. ¿ Cuál es la concentración de O2 en el equilibrio ? 8. Dada la siguiente reacción: H2 (g) + I2 (g) ======== 2 HI (g) Si Ke = 64 a 400 ºC, calcúlese la concentración de equilibrio cuando se ponen 2 moles de H2 y 2 moles de I2 dentro de un matraz de 10 litros. Principio de Le Chatelier Un sistema en equilibrio mantiene las concentraciones mientras no se alteren las condiciones del sistema. Cuando algunas de las condiciones como presión, temperatura, concentración de las sustancias en equilibrio varía, el equilibrio se desplaza para alcanzar nuevamente un estado de equilibrio. Sobre la base de estas observaciones, Henry Le Chatelier (1888), planteó el siguiente principio: Cuando una reacción en equilibrio sufre algún cambio de condiciones, la reacción que favorece dicho cambio se verá favorecida. Esto quiere decir que el sistema se ajusta por sí mismo de modo que el esfuerzo se contrarresta parcialmente. Se usará el Principio de Le Chatelier para determinar los efectos en los cambios de concentración, temperatura y presión en los sistemas en equilibrio. 1. Efecto del cambio de concentración. Cuando en un sistema que está en equilibrio, se incrementa la concentración de algún reactivo, el sistema reaccionará de manera que el exceso de reactivos formará más producto, es decir, la tendencia es minimizar el cambio haciendo desaparecer el exceso de reactivo. Pero si por el contrario, se aumenta la concentración de algún producto, el sistema reaccionará para formar más reactivos. 431 407 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo: Si se tiene el siguiente sistema en equilibrio: 2 SO2(g) + O2(g) 2 SO3(g). Prediga el efecto si: a) se adiciona SO3 al sistema b) se elimina toda la concentración de O2 c) Si la concentración de SO3 se incrementa, la reacción se mueve en dirección reversa, y el nuevo equilibrio contendrá más cantidad de SO2 y de O2 d) Si se disminuye la concentración del O2, la reacción se mueve en dirección reversa para restaurar la concentración de O2. La nueva mezcla en equilibrio contendrá más de SO2 y menos de SO3 2. Efecto del cambio de presión. Un cambio en la presión puede afectar el equilibrio en las reacciones si las sustancias que participan son gases. Si se aumenta la presión, el volumen disminuye y el sistema en equilibrio favorece la formación de sustancias que ocupen menos volumen, si se incrementa el volumen, disminuyendo la presión, se favorece entonces la formación de sustancias que ocupen más volumen. Ejemplo: a) Prediga el efecto cuando la presión se aumenta en la siguiente reacción b) cuando se disminuye la presión. 2 H2 (g) + O2 (g) 2 H2O (g) a) En esta reacción tenemos que 2 moles de hidrógeno reaccionan con 1 mol de oxígeno: 2 + 1 = 3 moles de reactivo También observamos que se tiene 2 moles de producto (agua) Por lo tanto si se aumenta la presión el sistema se dirige hacia donde hay menos moles (menos volumen molar) y se favorece la formación de más agua, disminuyendo la concentración de oxígeno e hidrógeno. b) Como tenemos 3 moles en los reactivos (2 de hidrógeno y 1 de oxígeno) y solo 2 moles de producto, al disminuir la presión favorece el lado que tenga más moles (mayor volumen molar), por lo que se formará más oxígeno e hidrógeno. 3. Efecto del cambio de temperatura. Si consideramos la formación del amoniaco a partir de sus elementos podremos observar 3 H2 (g) + N2 (g) 2 NH3 (g) H° = ? 92.2 kJ que se ha incluido el valor de H°, que no es más que la medida del calor liberado (cuando el valor de H° es negativo) o absorbido (cuando el valor es positivo) en la reacción. Las reacciones que liberan calor son exotérmicas y las que absorben calor son endotérmicas. El incremento de temperatura a un sistema en equilibrio favorece la reacción endotérmica y un descenso de temperatura favorece la reacción exotérmica. 408 432 Química Área Científica Ejemplo: Considere el equilibrio: N2 (g) + O2 (g) 2 NO(g) H° = + 185.8 kJ. ¿Cuál es el efecto en la concentración de NO si se aumenta la temperatura. Como la reacción directa es endotérmica (H° es +). El aumento de temperatura favorece la reacción endotérmica y se favorece la formación de NO, aumentando su concentración. Tarea N° 2 1. Considere la siguiente reacción: 4 HCl (g) + O2 (g) 2 Cl2 (g) + 2 H2O (g). Prediga en que dirección de desplazará si se efectúan los siguientes cambios: a) aumentar la concentración de HCl b) disminuir la concentración de O2 c) aumentar la concentración de Cl2 d) aumentar la presión e) disminuir la presión f) disminuir la concentración de agua. 2. Prediga como se afecta el equilibrio de las siguientes reacciones cuando: A) aumenta la presión B) disminuye la presión C) aumenta la temperatura D) disminuye la temperatura a) C 6 H 6 + 3 H 2 (g) C 6 H 12 (g) b) C (s) + O 2 (g) c) 4 Al (s) CO 2 (g) + 3 O 2 (g) 2 Al2O 3 (s) d) N 2 (g) + O 2 (g) 3. 2 NO (g) ΔH = + 206 kJ ΔH = + 393 kJ ΔH = - 793 kJ ΔH = - 163 kJ ¿Cuál es el efecto del aumento, la disminución o ninguno sobre la cantidad en equilibrio de CO 2 en el sistema: 2 CO (g) + O 2 (g) 2 CO 2 (g) de cada uno de los siguientes casos? a) incrementando la presión en el sistema a temperatura constante. b) incrementando la temperatura del sistema (la oxidación del CO es exotérmica) c) introduciendo más oxígeno gaseoso dentro del sistema. 4. ¿Cuál es el efecto sobre la cantidad de I2 en equilibrio en el sistema: H 2 (g) + I 2 (g) 2 HI (g) de cada uno de los siguientes casos? a) disminuyendo la presión en el sistema a temperatura constante. b) adicionando gas hidrógeno. c) agregando platino como catalizador a la mezcla en equilibrio. 433 409 Dirección General de Admisión Temario 5. Suponga que el sistema de reacción: UO2 (s) + 4 HF ======= (g) UF4 (g) + 2 H2O (g) ya ha alcanzado el equilibrio. Prediga el efecto de cada uno de los siguientes cambios sobre la posición de equilibrio. Indique si el mismo se desplazará hacia la derecha, hacia la izquierda o no se verá afectado. a) Se añade UO2 adicional al sistema. b) Se efectúa la reacción en un recipiente de vidrio; el HF ataca al vidrio y reacciona con él. c) Se elimina vapor de agua. d) Se incrementa el tamaño del recipiente de reacción. 6. La reacción: 2 B5H9 (l) + 12 O2 (g) ====== 9 H2O (g) + 5 B2O3 (s) + 100 KJ Es fuertemente exotérmica. (a) Un aumento de la temperatura, ¿ desplazará la posición de equilibrio hacia los productos o hacia los reactivos ? ; (b) ¿ Qué ocurre si se añade vapor de agua al sistema de reacción ? 7. La reacción: 92 KJ + 4 NO (g) + 6 H2O (g) ====== 4 NH3 (g) + 5 O2 (g) a. Deberá efectuarse a temperaturas altas o bajas para mejorar la producción de amoniaco. b. Prediga hacia donde se desplaza la posición de equilibrio si se disminuye la presión. c. Hacia donde se desplaza si se elimina oxígeno. PRUEBA FORMATIVA 1. Escriba las expresiones de las constantes de equilibrio convencional para: a) N2O4 (g) b) 2 NO(g) + O2 (g) 2 NO2 (g) 2 NO2 (g) c) N2 (g) + O2 (g) 2 NO(g) d) 2 SO2(g) + O2(g) 2 SO3(g) e) 2 H2S (g) + 3 O2(g) f) BaCO3 (s) 2 H2O (g) + 2 SO2(g) BaO (s) + CO2 (g) 2. Calcular Kc a 1500°C para: 2 NO(g) N2 (g) + O2 (g) dado que las concentraciones de equilibrio de N2, O2 y NO son respectivamente 0.040 M, 0.040 M y 0.00035 M. 3. Para el sistema: 2 NO (g) + Br2 (g) 2 NOBr (g), se ha encontrado que: en el equilibrio a 350°C las concentraciones de NO, Br2 y NOBr son 0.24 M, 0.11 M y 0.037 M respectivamente. Calcular Kc. 410 434 Química Área Científica 4. El valor de Kc es 0.56 a 300°C para el sistema: PCl5 (g) PCl3 (g) + Cl2 (g). En un recipiente de 5 L se encontró una mezcla formada por 0.45 mol de Cl2, 0.90 mol de PCl3 y 0.12 mol de PCl5. a) ¿está esta mezcla en equilibrio? b) Si no esta en equilibrio ¿en qué dirección se establecerá este? 5. Considerar el sistema: 2 H2S (g) + 3 O2(g) 2 H2O (g) + 2 SO2(g), el valor de ΔH para la reacción directa es ? 1036 kJ. Predecir si el equilibrio se desplazará a la izquierda o a la derecha cuando se le perturbe: a) aumentando el volumen del recipiente a temperatura constante. b) extrayendo SO2. c) aumentando la temperatura. d) absorbiendo el vapor de agua. 6. Predecir la dirección en que evolucionarían cada uno de los equilibrios siguientes si se aumentase la presión por compresión: a) ClF5 (g) ClF3 (g) + F2 (g) b) H2O (g) + C (s) c) HBr (g) 7. Para el sistema: CO (g) + H2 (g) ½ H2 (g) + ½ Br2 (g) N2O3 (g) 2 NO2 (g) + NO (g), el valor de ΔH = + 39.8 kJ. Predecir como afectarían al equilibrio los siguientes cambios: a) disminuir el volumen del recipiente a temperatura constante b) añadir NO c) disminuir la temperatura d) añadir gas helio 8. Dada la reacción: PCl5 (g) PCl3 (g) + Cl2 (g), se calienta una cantidad determinada de PCl5 en una vasija de 12 litros a 250°C. En el equilibrio la vasija contiene 0.21 moles de PCl5, 0.32 de PCl3 y 0.32 de Cl2. Calcular la constante de equilibrio para la disociación de PCl5 a 250°C si se expresan las concentraciones en moles/litro. 9. La reacción del: H2 (g) + Cl2 (g) 2 HCl (g) tiene una constante a 25°C de 1.8x1033 si la concentración en el equilibrio de H2 y Cl2 es 0.5 M, diga ¿cuál es la concentración de HCl? 10. Determinar la concentración del N2O4 en el equilibrio si la constante a 55°C es 1.20 y la concentración de NO2 en el equilibrio es 3.5 M. 435 411 Ditwftín Tq¡wb Genqal & Admi¡i&t y sALEs pH rórrco, Ácroo+ BAsEs, uópulo 12:EeurtrBRro Objetivos: 1. 2. 3. 4. 5. a teorías de o Idenüficar ácido unabase acuerdo lasdiferentes un y en ácido base. mnjugadas unaecuación los Determinar ácidos bases y de de o la Calcular constante el grado ionización un ácido unabase. HrO*y OH- en soluciones acuosas. la de Determinar concentración iones C¡lcular pHde unasolución. el Ácidos, Basesy Sales propiedades que que deciragrio.Algunas características serelacioLapalabra deriva latín"acidus", quiere del ácido (colorante tornasol vegetal usado omo indicador) de de son:sabor agriq cambio colordel papel nanconlosácidos para paragenerar gaseoso, H2 reaccionan los hidróxidos con metálicos metales con azula rojo,reaccionan ciertos producir aguay unasal. por propiedades deben losiones liberados losácidos solución H* en acuosa. se a Todas estas capaz aeptar ioneshidógenos soluciones de en de clásica Basees una sustaricia Porotra partg la definición de KOH, etc. son Las más acuosas. bases comunes loshidróxidos metales:NaOH, propiedades son: sabor amargqresbalosastactq cambian tomasol rojo al de de el característicaslasbases Algunas con de a azul,tienencapacidad reaccionar losácidos. ion ion de e><cepto(OH-) cualquier el con Ladefinición omún de Sales todaombinación cualquier negaüvo, más positivo, NaCl; CaCOr; KNO,. H*. excepto Ejemplo: y Definición Ácidos Bases. de que produce y propuso un ácido unasustancia contiene que iones Hidrógenoqueal ionizarse (1884) de es Arrhenius que y para que (OH(H+); hidróxido sedisocia producir iones es Hidrógeno mientras unabase unasustancia contiene I en solución acuosa. Ácido HA H* + A- - proponen teoría la tansbrencia protones. y químico inglés la de Ella danés T Lowryquímico de En1923Bnlnsted, y (o postula un ácido un donador dador protones unabase aceptor receptor) protones. que un de de es o Ejemplo: HCI(s) + ÁciAo HgO*(".) + HzO o -----------i> ácido base Cl-(ac) base (ácido donador de protones) Conjugado NHs Ácido + HzO ----------> NH+* base ácido + OHbase Conjugado 472 436 (baseaceptaun protón) iíta Quinú6 cintífia el El HCIdona un protón al agua (actúacomo base)para formar ioneshidroniomás ionescloruro. Parasimplificar, ion hidronioH3O*se represenb H* en muchasocas¡ones. Cuandoun ácido de Brónsted- Lowrydona un protón, forma la base conjugadade ese ácido. Cuandouna base aceptaun protón, forma el ácidomnjugado de esa base. Ejemplo: NH+* + Ácido HzO # base H¡O* + NHs ácido base Conjugado son NH+* y NH3; H3O+Y HzO los En esta reacción paresácido- baseconjugados Concepto de Lewis: Este mncepto es más general. Según Lewis una base es una sustanciacon un par de electronessin compaftir éon los cuálespuede atraer o retener un protón, y un ácido es cualquiersustanciaque pdm esto deberátener un orbibl vacío. aceptaun par de electrones, Ejemplo: Ácidode Lewis: BF3 y AlCl3 :F: I :F-B I :F: Basede Lewis: NH3, SO3 H I :N -H I H F3B ácido basede Lewis: BF3 + NH3 ------------:> : NH3 Ejemplode una reacción ácido* base. En general,en cada casoparticular,empleamos Estasteoríasexplicancómo sucedenlas reacciones la teoría que expliquemejor la reacciónque estemosestudiando. [a mayor parte de nuestrosejemplosserán de soluciones acuosas. 473 437 Dirección General de Admisión Temario Tarea N° 1 1. Tomando en consideración la definición de ácido y base contestar las siguientes preguntas: a) Un compuesto que cambia el papel tornasol azul a rojo es __________________ b) Una sustancia de sabor amargo es ____________________ c) Un compuesto que reaccionan con un hidróxido para formar agua y una sal es ___________________ d) Un compuesto que cambia el papel tornasol rojo es ____________________ e) Un compuesto que reacciona con Zn para producir H2 (g) es ___________________ 2. Indique cuales son los pares conjugados ácido – base en las ecuaciones siguientes: a) HCl + NH3 b) HCO3- + OHc) HC2H3O2 + H2O NH4+ + ClCO32- + H2O H3O+ + C2H3O2- d) H2SO4 + H2O H3O+ + HSO4- e) CH3O- + H3O+ CH3O + H2O 3. Dar las bases conjugadas de las siguientes especies químicas: a) HI b) NH4+ c) H2CO3 d) HNO3 4. Dar los ácidos conjugados de las siguientes especies químicas: a) CNb) O2c) CH3COOd) NH3 5. Escriba la reacción en agua de los siguientes ácidos o bases de Brönsted: a) HI b) H2CO3 c) CNd) NH3 Equilibrio Iónico De acuerdo con la teoría iónica, cuando una molécula, de un electrolito se disuelve en agua, se disocia en un número fijo de partículas cargadas eléctricamente, llamadas iones. Aquellas sustancias que están completamente ionizadas en disoluciones acuosas diluidas son los electrolitos fuertes mientras que las que se disocian sólo en una pequeña cantidad son electrolitos débiles. La magnitud con que se disocian las moléculas de un electrolito se conoce como grado de disociación o porcentaje de ionización del compuesto con disolución. 414 438 Química Área Científica Ejemplo: Calcule la concentración de cada ion presente en una disolución: a) 0.05 M de HCl b) 0.4 M de Ca(OH)2 Ambos electrolitos son fuertes: a) El HCl se disocia así: H+ + Cl-. Por ser un ácido fuerte 1.0 mol de iones de H+ y HCl 1.0 mol de iones cloruro (Cl-). De allí que [H+] = [Cl-] = 0.05 M Ca2+ + 2 OH-. Como es una base fuerte 1.0 mol de Ca(OH)2 produce 1.0 mol b) Ca(OH)2 de Ca2+ y 2 mol de iones OH-. Por lo tanto [Ca2+] = 0.4 M y [OH-] = (0.4)(2) = 0.8 M Tarea N° 2 1. Calcule la molaridad de los iones presentes en cada una de las siguientes soluciones. Asumir que son electrolitos fuertes (100% de disociación). a) NaCl 0.030 M b) CaCl2 0.10 M c) 22.0 g de KI en 500 mL de solución d) Al(OH)3 0.15 M e) H2SO4 f) Ca(OH)2 0.30 M 0.25 M g) 4.5 g de NaOH en 300 mL. Constantes de Ionización y Grado de Ionización Algunos ácidos como el acético HC2H3O2 y nitroso HNO2 y bases como el NH4OH se distinguen por su ionización incompleta, aún en soluciones diluidas. En estas disoluciones se encuentran moléculas no disociadas del soluto en equilibrio con sus iones por lo que se conocen como electrolitos débiles. La reacción en agua de un ácido débil se expresa así: HNO2 + H2O H3O+ + NO2- Por ello se puede aplicar la ecuación de equilibrio, en cuyo caso la constante se denomina “constante de ionización” (Ki) Ki = [H+][ NO2-] [HNO2] Ejemplo: El ácido nitroso 0.1 M se ioniza en 2.3% a 25°C. Encuentre las concentraciones de cada una de las especies en equilibrio y calcule Ki a) HNO2 + H2O H3O+ + NO2- 439 415 Dirección General de Admisión Temario b) La expresión de [H+][ NO2-] Ki = [HNO2] c) Los valores de las concentraciones en equilibrio son: [H+] = [ NO2 -] = (0.1 M)(2.3/100) = 2.3 x 10-3 M [HNO2] = 0.1 M – [(0.1 M) 2.3 x 10-2] = 0.0977 M d) Reemplazando en la expresión [2.3 x 10-3][ 2.3 x 10-3] Ki = [0.0977] Ki = 5.41 x 10-5 Tarea N° 3 1. De los siguientes ácidos, ordene en orden creciente de fuerza de electrolita a) ácido fórmico HCOOH Ka = 1.8 x 10-4 b) ácido acético HC2H3O2 Ka = 1.8 x 10-5 c) ácido cloroacético HC2H2Cl Ka = 1.4 x 10-3 d) ácido sulfuroso H2SO3 Ka = 1.7 x 10-2 2. ¿Cuál es la molaridad de una solución de HCN que se ioniza en un 0.05%, su Ki = 7.0x10-10? 3. Calcule la concentración de iones H3O+ y el % de ionización de disociación de una solución 0.08 M de ácido acético Ka = 1.85 x 10-5 4. Se disuelven 5.2 g de HCOOH (ácido fórmico) en 250 mL de disolución. Calcule las concentraciones de cada una de las especies y el % de disociación en la disolución 1.8 x 10-4 5. El valor de Ka = 1.8 x 10-5 para el NH4OH. Determine el % de ionización para una disolución 0.08 M. Ionización del Agua y pH El agua pura es un electrolito muy débil que se ioniza ligeramente en iones H3O+ (H+) y OH-. La siguiente ecuación ilustra su ligera ionización. HOH + H2O H3O+ + OH- Ion Hidronio 416 440 Hidróxido Ion Química Área Científica La constante de ionización para el agua se expresa: Kw = [H+][ OH-] [H2O] Como la concentración de H2O es tan grande (aproximadamente 55.5 M) comparada con la de [H+] y [OH-], de manera que puede considerarse igual a la unidad. De allí se obtiene: Kw = [H+] [OH-] = 1.0 x 10-14 Esta constante se aplica no solo para el agua pura, sino a cualquier disolución acuosa a 298K. Si una solución tiene una concentración de ion hidrógeno mayor de 1x10-7 M, por ejemplo 1x10-5 M, se denomina ácida. Si la concentración de (OH-) es mayor de 1x10-7 M la solución es básica. Concentración de Hidrógeno y pH: Las reacciones químicas se efectúan generalmente en disoluciones acuosas y dependen casi siempre de la concentración de los iones de H+ en disolución. Comúnmente se usa otra manera, más corriente de expresar estas concentraciones en forma logarítmica, y por ello se han introducido los términos pH y pOH. La escala logarítmica expresa: pH = - log [H+] pOH = - log [OH-] pKw = - log Kw como Kw = [H+] [OH-], entonces pH + pOH = 14 Ejemplo N° 1: ¿Cuál es el pH de una disolución cuya [H+] = 3.0x10-4? pH = - log [3.0x10-4] pH = log 10-4 / 3.0 pH = 4 – log 3 = 4 – 0.48 pH = 3.52 Ejemplo N° 2: Determine el pH de una solución de HCl cuya concentración es 0.05 M El HCl se ioniza a H+ y ClPor ser un ácido fuerte: [H+] = 0.05 M pH = - log [5.0x10-2] pH = 1.3 441 417 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo N° 3: Determine la concentración de iones (OH-) y el pH de una solución de KOH - 0.001 M. + El KOH es una base fuerte, se disocia en OH + K [OH-] = 0.001 M = 1.3x10-3 M pOH = - log [1.3x10-3] pOH = 3 pH = 14 – pOH pH = 14 – 3 pH = 11 Tarea N° 4 1. ¿Cuál es la concentración de OH- de una solución de HCl = 1.0x10-4 M? 2. ¿Cuál es la concentración de H+ de una solución de NaOH 0.25 M? 3. Calcule el pH de una solución de ácido nitroso 0.15 M cuya Ka = 4.5x10-4 4. El pH de una disolución 0.1 M de un ácido débil representada por HB es 3.0 ¿Cuál es el valor de su constante de acidez? 5. Calcule las concentraciones de [H+] y [OH-] para las soluciones que tengan: a) pOH = 9 b) pH = 8.2 c) pOH = 5.2 d) pH = 6.4 e) pH = 3.0 6. El Gatorade, una bebida popular para calmar la sed, tiene un pH de 3.1 a) ¿ Cuál es la concentración de ión hidrógeno en esta bebida. b) Calcule su pH. 7. Un jugo de tomate comercial tiene una concentración de ión hidróxido (OH-) de 4 x 10 a) su pH –10 mol/l. Calcule: b) su pOH 8. Una muestra de orina tiene un pH de 5.65, ¿ Cuál es la concentración de ión hidrógeno en la muestra ? 418 442 Química Área Científica PRUEBA FORMATIVA 1. ¿Qué concentraciones de iones Cl? y de iones férricos Fe3+ hay una solución 1.2 M de cloruro férrico FeCl3? 2. ¿Qué concentraciones de iones sulfato e iones amonio hay en una solución de 2.4 g por litro de sulfato de amonio? 3. El edulcorante sacarina tiene un grado de disociación ? = 1.6x10-6. Si la reacción es la siguiente: C7H4SO3NH C7H4SO3N + H+ ¿Cuál es su constante de disociación? ¿Cuál es la concentración de protones en una solución 0.18 M de sacarina? 4. El ácido acético, principal constituyente del vinagre tiene una constante de disociación Ka de 1.7x10-5. CH3COOH H+ + CH3COO-? ¿En qué porcentaje se disocia? ¿Cuál es la concentración de protones en una solución 0.15 M de ácido acético? 5. Se ha encontrado que la concentración de iones OH- en la orina de un enfermo es de 1.2x10-5 M. ¿Cuál es el pH de la orina de ese enfermo? 6. Si el pH de la orina debe ser de 5.8. ¿Cuáles serán las concentraciones normales de protones y de iones OHen la orina normal? 7. El pH de la saliva oscila en torno al valor de 6.5. ¿Cuál es el cambio en la concentración de protones y de iones OH- del medio cuando se pasa de la saliva al jugo gástrico? 8. Identifique los pares conjugados de las siguientes reacciones: a) HNO3 + H2O b) H2S + H2O c) HF + H2O NO3- + H3O+ HS- + H3O+ F- + H3O+ 9. Diga ¿cuál es ácido base conjugada de las siguientes especies químicas? a) COOb) HclO4 c) CrO42d) HNO2 e) Cl10. Encontrar el pH de las siguientes soluciones: a) 0.0010 M HCl b) 4.5x10-3 M HNO3 c) 9.1x10-5 M HCl d) 3.7x10-4 M HI 11. ¿Cuál es la concentración de [H3O+] para cada solución? a) pH = 5.08 b) pH = 11.5 c) pH = 2.00 443 419 Dirección General de Admisión Temario HOJA DE RESPUESTAS MÓDULO N° 2 Tarea N° 1 Tarea N° 2 1. 2. 3. d A. d a. p = 13; e- = 13; n = 14 4. b B. c b. p = 33; e- = 33; n = 42 5. c C. a c. p = 38; e- = 38; n = 52 6. d d. p = 23; e- = 23; n = 28 e. p = 79; e- = 79; n = 119 f. p = 16; e- = 16; n = 15 Tarea N° 3 Tarea N° 4 Tarea N° 5 I. I. 1. b 1. c 1. b 2. c 2. a 3. c 4. c 5. b MÓDULO N° 4 Tarea N° 1 I. II. 1. El número de grupo es igual al número de electrones de valencia 1. Son iguales 2. Son iguales 2. Son iguales 3. 8 electrones y el grupo VIIIA (gases nobles) 3. 8 electrones grupo VIIIA 4. Todos pertenecen a un mismo período 4. pertenecen al mismo grupo Tarea N° 3 Tarea N° 4 2. a. la movilidad de los electrones a. enlace múltiple triple b. la movilidad de los electrones b. enlace simple c. conductividad electrónica se debe a la libertad que tienen los c. enlace simple electrones d. enlace múltiple triple e. enlace simple f. enlace simple 420 444 Química Área Científica Tarea N° 5 1. 2. a. Iónico d. Covalente polar Na - I > Be - Cl > H - Cl > N - O > Cl - Cl b. Iónico e. Iónico c. Iónico f. Covalente polar 3. g. Iónico A. d B. a C. a Tarea N° 6 a. 4+ d. 5+ g. 4+ b. 6+ e. 7+ h. 3+ c. 7+ f. 3+ i. 6+ j. 4+ MÓDULO N° 5 Tarea N° 1 Tarea N° 2 Tarea N° 3 Tarea N° 4 Tarea N° 5 1. a 1. b 1. b 1. d 1. (C19H16O4)x 2. a 2. b 2. c 2. c 2. C4H8Cl2S 3. d 3. c 3. a 3. b 3. C8H10 4. b 4. d 4. b 4. a 4. 31 g/mol (P) 5. c 5. d 5. b MÓDULO N° 10 Tarea N° 2 Tarea N° 3 Tarea N° 4 1. 0.593% 1. 4.83% 1. 0.0047 moles/litro 2. 0.821% 2. 7.07% 2. 279.3 g de CuSO4 3. 11.51 g 3. 436.80 gramos de CuSO4 o 5 H2O 4. 24.85 mL de H2SO4 5. 0.025 litros Tarea N° 5 Tarea N° 6 1. 0.0152 1. 0.851 2. 304.6 gramos 2. 79.4 3. 357.23 gramos 3. 75 mol 4. 7.24 mL 4. NaCl = 0.00898; H2O = 0.991 5. 0.184 kg 5. 3752.4 g 445 421 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO N° 11 Tarea N° 1 2. 643411.9 3. 2.31 x 10-3 4. 603.45 M 5. 1.837 x 102 6. a. Concentración de COCl2 mayor la del producto b. Concentración del NH3 mayor c. Concentración de NO2 mayor Tarea N° 2 1. a. se produce Cl2 y H2O b. se produce HCl y O2 c. se produce HCl y O2 d. se produce Cl2 y H2O e. se produce HCl y O2 f. se produce Cl2 y H2O B) 2. a. Se produce CO2 b. Se produce C y O2 c. Se produce CO2 c. Se produce C6H12 C) a. Se produce C6H12 b. Se produce C6H6 e H2 A. d. Se produce C y O2 d. Se produce C6H6 e H2 a. Se produce Al2O3 D) b. Se produce Al y O2 a. Se produce NO2 b. Se produce N2 y O2 c. Se produce Al y O2 c. Se produce N2 y O2 d. Se produce Al2O3 d. Se produce NO2 3. 4. a. Aumenta a. Aumenta b. disminuye b. disminuye c. aumenta c. disminuye 422 446 Química Área Científica MÓDULO N° 12 Tarea N° 1 1. a) ácido 3. a) I- 4. a) HCN b) ácido b) NH3 b) H2O c) ácido c) CO c) CH3COOH d) base d) NO3- d) NH4 23 e) base Tarea N° 2 Tarea N° 3 a. Na = 0.015 M; Cl- = 0.015 M b. Ca = 0.10 M ; Cl- = 0.20 M c. K+ = 0.265 M ; I- = 0.265 M d. Al3+ = 0.15 M ; OH- = 0.45 M e. H+ = 0.60 M ; SO4 = 0.30 M f. Ca = 0.25 M ; OH = 0.5 M g. 1. HC2H3O2 < HCOOH < HC2H2Cl < H2SO3 Na = 0.375 M ; OH = 0.375 M 2. X = 0.0028 M Tarea N° 4 1. [OH-] = 1 x 10-10 2. 4 x 10-14 3. pH = 2.09 4. Ka = 1 x 10-5 5. a. [OH-] = 1 x 10-9 [H+] = 1 x 10-5 b. [OH-] = 1.67 x 10-6 [H+] = 6 x 10-6 c. [OH-] = 6.31 x 10-6 [H+] = 1 x 10-9 d. [OH-] = 2.5 x 10-8 [H+] = 3.98 x 10-7 e. [OH-] = 1 x 10-11 [H+] = 1 x 10-3 447 423 449 s r " § q ¡ § ¦ ¦ ¥ ' ¨ £ § ¢ § ¦ § ¡ ¥ % ¡ & ¥ ¡ ¢ § ¡ ¥ © ¥ % ¦ ¡ ¥ § ¢ ¡ § £ % ¡ ¡ § ¥ ¥ © 6 ¨ ¦ ¢ § § © ¦ § $ § § ¤ R " # ( ¢ © ¡ ¢ § ¤ © £ ¡ © ¡ § ¡ ¢ § ¤ ¢ ¤ § % & § ¡ ¥ £ § % T ¥ § £ § § " ¢ § ¥ £ ¡ % ¢ § ¥ % ¢ £ ¡ ¡ ¤ ¢ © ¡ ¥ £ ¡ § ¢ © ¡ § ¦ ¢ ¡ ¢ ¡ © ¡ ¢ © ¡ ¥ © ¦ ¦ ¡ £ 3 ¥ ' ¥ ¢ % £ ¢ ¡ $ ¡ ¡ ¤ ¢ $ § ¤ § ¢ ¡ § ¡ © § ¡ § ¡ ¢ ¤ ¦ ¢ § ¡ ¦ ¡ ¥ ¥ $ § ¡ 0 ¡ ¡ © ¡ ¢ ¡ § % ¤ ¦ § ¡ ¦ ¥ $ £ ¡ ¢ ¤ § £ 0 £ % § £ ¢ £ % ¥ § 2 ¢ ¡ " ¢ § § § ¥ ¢ " § ¥ ¡ ¢ # § £ ¥ ¥ £ ¥ ' ¢ ¢ § § 4 ¥ 6 © § § ¤ ¢ § % § § ¢ ¢ § ¡ ¥ ¢ ¦ ¥ " ¦ % § ¡ ¡ § § $ § ¢ ¡ § © ¡ ¡ $ ¡ 0 ¡ 0 £ % £ ¢ § " ¥ $ ¥ £ ¡ ¦ ¡ ¢ ¥ § ¥ § ¢ § § § ¢ § ¥ £ £ ¡ ¥ £ ¢ ¢ ¡ § ¡ 0 § § £ § ¢ § $ % ¡ $ ( § § £ ¢ § £ ¡ ¢ % § § " § § ¦ ¢ % § ¢ ¤ ¦ ¡ & § 6 ¡ ¤ ¡ § § ¢ § ¦ ¢ § § ¤ ¡ § ¥ ¥ ¤ " % ¢ ¡ ¡ 6 ¢ ¡ % © ¡ £ ¡ § § " § ¢ § ¡ 0 ¡ £ % § £ ¢ § § " ' ¢ ¥ $ ¥ # £ © ¢ ¢ § § " ¡ $ @ ¡ ¦ ¡ % £ § ¦ ¡ § ¦ % § ¢ ¡ ' # ¡ ¤ ¡ § ¦ ¡ § £ ¢ § ¡ ¡ ¢ $ ¡ ¡ ¡ 0 § H § ¢ 5 ¢ G F § § § ¥ ¥ ¡ ¥ % ¢ ¤ % £ ¦ E & § ¢ ¦ & § © ¡ ¡ ¢ ¢ ¡ D ¦ ¥ @ % § ¦ 4 ¥ D $ C ¥ ¢ £ ¡ ¡ ¡ £ 0 B £ ¢ ¥ ¢ @ A ¡ @ 9 & ¢ § 5 % § ¡ & ¥ ¤ ¡ ¡ ¥ £ ¡ £ ¦ ¥ " © ( % ¡ © ¦ ¡ ¡ ( I ( " ¥ ¢ ¡ § # ¦ 1 ¢ " ¢ ¡ ¢ § ¦ ¥ § ¡ © § % © § § ¦ " 4 § ¥ © £ S ¡ © % ¡ ¥ £ % ¡ $ ¡ £ § ¥ § § % & % £ ¢ § ¥ £ § % ¤ ¦ ¡ ¤ 6 § ¢ ¡ £ ¥ © ¨ ¦ ¡ £ 8 ¢ § ¦ ¡ ¦ ¥ £ ¡ ¤ ¡ § ) ¦ ¡ $ § % § ¡ % ¥ £ ¢ § ¡ § % & § £ £ § § $ § R ( ¢ ¡ % % £ ¢ ¡ ¥ ¢ ¡ ¥ ¡ § ¥ ¢ ¡ © ¢ § § § ¥ ¦ § ¦ ¡ ¥ ¡ § ¢ § ¤ ¥ ¡ £ § ¡ £ ¥ ¡ % ¡ § ¥ § ¦ ¡ ¢ § 6 § ¡ © ¡ ' ¡ % ¢ ¡ ¡ © ¡ § ¡ 0 £ % © § ¡ ¥ £ ¡ § § ¥ § ¢ ¢ ¡ £ ¥ © ¨ ¦ ¡ £ ¡ ¢ ¡ § # ¢ ¡ ¢ § ¢ ¦ 7 % ¢ ¦ ¡ & ( ¢ § ¦ 4 ¥ ¡ ¦ § % & ¡ 2 § ¡ 6 § ¡ © ¥ ¦ ¥ % ¢ § ¡ ¥ £ ¢ ¢ ¡ ¥ £ ¢ § ¥ £ " ¢ § ¡ % ¡ ¢ ¡ ¥ £ § ¥ £ " ¡ £ ¥ # © § ¡ © " ¡ ¤ ¢ § 5 ¢ 1 § ¤ © £ £ § § 2 ¦ ¥ § £ ¡ © § § ¢ § ¥ £ ¡ § ¢ § £ £ § ¡ £ ¥ Q ¡ ¡ ¡ © § 6 § % § § § $ ¡ $ § ¦ 2 ¢ ¡ § ¦ ¥ ¦ ¡ % ¡ § ¢ § ¥ £ ¡ £ ¥ ¤ © ¥ § ¢ ¢ § % ¤ ¥ ¡ ¥ ¢ § ¥ % ¢ ¥ ¦ % ¢ § ¦ ¡ § ¥ § § £ % ' 5 § ¡ £ ¤ ¡ § " § ¤ § £ ¡ ¦ Q 0 § " § ¡ © ¡ £ 0 6 § ¥ § © % & § ¨ ¦ ¡ § £ § § ¡ ¢ ¦ ¡ ¦ ¡ $ ¡ £ § ¡ ¤ £ £ § ¡ ¡ £ ¤ ¢ ¥ Q ¡ § £ § ¡ ¢ © § ¡ ¥ % ¥ § § ¢ ¤ § $ § ¦ § % & ¢ ¡ £ ¥ ¢ % ¢ $ ¥ ¢ ¡ § ¡ £ ¤ ¥ £ ¥ ¥ © % ¥ ¨ ¢ ¦ 4 ¡ ¡ ¥ ¢ £ £ ¡ ¡ § ¢ £ § % ¡ ¦ ¦ ¡ ¥ ¦ § ¡ ¦ ¥ % £ ¡ § ¢ § ¤ ¡ ¦ ¢ £ ¢ ¢ ¡ § ¤ ¤ § # ¢ § ¢ ¢ ¢ § ( ¢ ¢ ¥ £ 3 § § $ ¢ § § $ § ¦ 3 ¡ £ ¥ ¢ # $ § ¡ ¥ ¦ § ¤ ¡ % § £ § ¡ ¥ ¢ § £ § ¦ ¡ ¦ ¥ ¢ § ¥ ! ¡ ¡ ¡ ¢ § ' ¥ § § © § § § ¥ § % & ¢ § ¡ ¥ ¦ % ¢ § ¢ 2 ¡ ¥ ¦ § © ¡ ¥ ¦ § © § ¤ " ¡ ¥ ¡ © ¥ ¤ ¡ ¡ 1 ¡ ¥ ¡ ¥ ¢ § ¥ % ¡ § ¡ £ ¡ % ¡ ¡ ¢ § ' ¥ § % & § ¡ ¥ ¦ % ¢ § P ( ¢ ¥ ¢ § ¡ % § ¦ ¡ £ § ¡ § ¡ § © % ' § " ¢ ¡ § ¡ £ 3 ¤ % Q £ ¡ ¡ § ¤ § § ¦ ¦ ¡ ¦ ¥ ¥ £ ¥ ¡ § ¢ ¡ ¥ £ ¥ ¡ $ ¦ ¡ ¦ ¤ § ¡ § § ¢ 0 ¢ ¢ § ¡ ¡ ¡ ¢ § % $ § § $ ¡ ¡ ¡ ¢ § ¡ ¢ % ¤ ¢ " § £ § § 2 ¡ § $ ¥ § 6 § ¡ ¦ ¡ ¤ ¡ £ ¥ ¢ ¥ ¢ % ¡ § § § ¢ ¥ ¥ © ¦ § ¦ ¡ § % £ § ¦ ¥ £ £ ¥ ¥ % ¡ ¡ ¥ ¦ ¡ © ¡ ¡ § ¥ § ¦ ¥ § % § ¦ ¡ ¢ ¥ § % § ¡ © ¥ $ ¢ ¡ ¦ ¥ § ¡ § § § " P ¢ ¦ % % & ¢ " ¡ ¢ § ¦ ¡ % § ¦ £ § ( § & ¢ ¢ © § ' ¡ ¥ ¢ § ¡ ¦ ¡ ¦ ¥ ¦ ¥ ¡ $ ¡ 0 ¡ ¢ ¡ ¥ ¢ § ¦ ¤ ¡ © 0 ¡ § § ¡ § ¥ ¦ ¢ % ¥ ¢ ¢ § ) ¡ % ¡ ¡ ¥ ¢ ¡ ¡ ( ¢ " ¡ # ¡ P ¥ ¢ § ¥ ¢ © ¡ § § ¦ ¤ ¡ £ ¥ ¡ ¢ " ¥ ¡ % ¦ ¡ § ¦ § ' ¦ ¢ § § ¡ ¤ § ¡ ¡ § § ! ¡ ¢ ¢ ¥ ¢ £ £ § ¥ % § ¥ ¥ ¥ £ ¡ ¦ ¡ ¢ ¡ ¡ § ¡ ¡ ¥ ¢ ¥ § ¡ © ¡ § ¢ £ ¡ ¢ § ¦ ¢ £ ¤ ¢ ¤ ¢ ¡ £ % ¢ § ¡ ¡ ¢ ¡ ¡ § ¦ ¡ & § ¦ § $ £ ¨ § ¥ ¦ % £ £ ¡ ¤ § ¡ £ ¤ ¡ ¤ % ¤ ¡ § ¥ & ¦ ¡ ¥ ¥ ¦ § ¦ ¡ ¡ § ¥ § © £ ¥ ¢ £ ¡ 1 p Y c d f i X g c d c Y h g c g f d c e c d Y c b a ` Y X W V U t t g v v t w
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f s i b i b d a e i f i i x g e e x r g e e d f r s h e d x x s a h g e r b s s g x a i Y e i g e s a d g s i e Y a f i d a Y e g s t x a x x s s f d f e s g g h s g h t s e a g i a ` h r b e f a d r h g i d x Y s e i x a h e f d d d i a h s h i x e f e r q q q e q d q i q Y q e q r i a Y b d e a a t a b f a s g f i g a r d i h e x e e f s b e r i h s x b e x i b d x i Y e g i a x Y d r e e d i e Y r e a f a Y d d a a h e f e d i f i x f d a e i b d a h e e f f i s i Y c e g ` r e s e e a g a x g i x a Y d a e a s i h r s h i r p e e Y a d x h s Y i e s x r Y i f e d r i r e e r Y i s Y i d b e e g e i e Y c x a g s f e r i d x g e s b i s x e f a b i Y e x r i h i d e e d g s i h i a b g i h s Y b s f i f s x e g a ` a x i h e d i s h g e h e f a d a h e i f x e g a g ` s t f h e e h X t d y t e f e f a h i e f d e i g a r s h i h e g g e a x h a g g a e i x e h i i e r e i s g b r q q q q q q q q q q q q g a h i p i ` h e d d a g a ` e f e d c b a e Y e g i e d e a s e e x f d a i g s d Y d h a g e i d x e x a a e e b r d h s c f s b e i s p s a x d a g d b e r Y r r Y h a e h g x s d a x d x e d d i Y e e i i g b f r a s f f a g s h e x i a h a e x e i s p i f i r g x a f e g e d s Y i s d e c c e s h e e i e s a f h e Y r ` s f d f f x e a h e e i i ` i d f e d i r i e f e f e r i x s r i e h e f s d h e i g Y e s e i i x d c r e e g f i ` g r a a i e x d i b d f Y i x i d u Y i x h e d d a h e i g r h a Y r a h a e e b e s s d v t t t i Y f h x Y d s g r g c w t f d y e s s i g h s h a s Y c i g x e f d d f f f x h a e i a a g i i b x d a b f t s e i i s d h i f g h g Y e a b i g u r d i e v t c i i Y e e e a e g w t g h f b e d b h Y h g e y t d t d
s g i X a i a a g g Y g r a i e e g c a b Y x f i a i e x Y d s e g r r e s g a r h g x d f h a e x i i i g Y d h d x h s f g d h r e s a a e g e f g g d a s e e e i i b x Y a t g e e t t g t a i
f f a i a ¿Es necesario estudiar para la prueba de Capacidades Académicas? Y Y e Y i r h i Y e f i x e r e d e Y c s a a e g a s h a a h g s h X g e g h x i x e g e a x e e d e x g e s r h i Y e e d g e g f d s h i d i s a d i a a i d i d g r e f a i f b e s r Y c a e d a f i p e c i h g e g r g e e x s g a h i x g r e d e f a s x e x X q p n s m q n w { v
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~ Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Agropecuario y sus modalidades (Bachillerato Agropecuario con énfasis en: Manejo Agroforestal, Acuicultura, Bachillerato Agroindustrial y Conservación de Alimentos, Bachillerato Agropecuario) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Gerencia en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Dibujo Arquitectónico Lic. en Diseño de Moda Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuario FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con esp. en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero, ) Téc. en Cultivos Tropicales *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. en Biología con orientación en el área de: Biología Ambiental Biología Animal Biología Vegetal Microbiología y Parasitología Lic. en Matemática Lic. en Docencia de Biología Lic. en Docencia de Matemática Lic. en Docencia de Química Lic. en Química Lic. en Rec. Renovables y Amb. *(Coclé) Lic. enTécnología Química Industrial Lic. en Acuicultura *(Aguadulce) Téc. en Recursos Renovables *(Coclé) FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Economía con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas Del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE ENFERMERÍA Lic. en Enfermería Téc. en Enfermería * Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ¢ £ ¢ Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Agropecuario y sus modalidades (Bachillerato Agropecuario con énfasis en: Manejo Agroforestal, Acuicultura, Bachillerato Agroindustrial y Conservación de Alimentos, Bachillerato Agropecuario) FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE MEDICINA Doctor en Medicina Lic. en Tecnología Médica Lic. en Nutrición y Dietética Lic. en Salud Ocupacional Lic. en Radiología e Imágenes Médicas Téc. en Urgencias Médicas (Cíclica) Téc. en Radiología e Imagenología (Cíclica) Téc. en Salud Ocupacional FAC. DE MEDICINA VETERINARIA Doctor en Medicina Veterinaria FAC. DE ODONTOLOGÍA Doctor en Cirugia Dental Téc. en Asistencia Odontológica Téc. en Equipo Dental Téc. de Laboratorio Dental (Cíclica) FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ing. Informática Lic. en Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos, San Miguelito, Guna Yala) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoria y Gestión de Procesos *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ¦ ¥ ¤ Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Artes FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Artes Culinarias FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Dibujo Arquitectónico Lic. en Diseño de Moda Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuario FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. © ¨ § Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Ciencias y sus modalidades (Ciencias Tradicional, Ciencias con Instrumentación en Informática, Ciencias con énfasis en: Informática, Saneamiento y Salud Ambiental) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste,) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Arquitectura Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Moda Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Edificación Téc. en Confección y Vestuario FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero, ) Téc. en Cultivos Tropicales *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Lic. en Educación con espec. en Orientación Educ. y Profesional Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Admón. de Centros Educativos FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. en Biología con orientación en el área de: Biología Ambiental Biología Animal Biología Vegetal Microbiología y Parasitología Lic. en Ingeniería Estadística Lic. en Física Lic. en Ingeniería Topográfica y Geodesia Lic. en Matemática Lic. en Química Lic. en Tecnología Química Industrial Lic. en Ciencias y Téc. de los Alimentos *(Coclé) Lic. en Docencia de Biología Lic. en Docencia de Física Lic. en Docencia de Matemática Lic. en Docencia de Química Lic. en Recursos Renovables y Amb. *(Bocas del Toro, Coclé, San Miguelito) Lic. en Acuicultura *(Aguadulce) Téc. en Topografía Téc. en Recursos Nat. Renovables *(San Miguelito) Téc. en Estadísticas de Salud y Registros Médicos *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ¬ « ª Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Ciencias y sus modalidades (Ciencias Tradicional, Ciencias con Instrumentación en Informática, Ciencias con énfasis en: Informática, Saneamiento y Salud Ambiental) FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS Lic. en Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Ciencia Política Téc. en Instrucción Sumarial *(San Miguelito) Téc. en Registro Público FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Eco. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE ENFERMERÍA Lic. en Enfermería Téc. en Enfermería FAC. DE FARMACIA Lic. en Farmacia Téc. en Farmacia FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ingeniería Informática Lic. en Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoria y Gestión de Procesos FAC. DE MEDICINA Doctor en Medicina Lic. en Tecnología Médica Lic. en Nutrición y Dietética Lic. en Salud Ocupacional Lic. en Radiología e Imágenes Médicas Téc. en Urgencias Médicas (Cíclica) Téc. en Radiología e Imagenología (Cíclica) Téc. en Salud Ocupacional FAC. DE MEDICINA VETERINARIA Doctor en Medicina Veterinaria FAC. DE ODONTOLOGÍA Doctor en Cirugía Dental Téc. en Asistencia Odontológica Téc. en Equipo Dental Téc. de Laboratorio Dental FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ¯ ® Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Comercio y sus modalidades (Comercio con especialización en: Estenografía, Arte Comercial y Contabilidad, Estenografía Bilingüe, Contabilidad Bilingüe, Orientación en Computación, Comercio con Estudios Combinados, Comercio con énfasis en: Gestión Empresarial, Banca y Finanzas, Mercadeo y Publicidad) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. de Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrícola Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Lic. en Educación con esp. en Orientación Educ. y Profesional Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Admón. de Centros Educativos FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. en Ingeniería Estadísticas Lic. en Registros Médicos y Estadísticas de Salud Tec. en Registros Médicos y Estadísticas de Salud FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS Lic. en Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Ciencia Política Téc. en Instrucción Sumarial *(San Miguelito) Téc. en Registro Público *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ± ± ° Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Comercio y sus modalidades (Comercio con especialización en: Estenografía, Arte Comercial y Contabilidad, Estenografía Bilingüe, Contabilidad Bilingüe, Orientación en Computación, Comercio con Estudios Combinados, Comercio con énfasis en: Gestión Empresarial, Banca y Finanzas, Mercadeo y Publicidad) FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. Economía Ambiental Téc. en Eco. con énfasis en Mercadeo Agropecuario *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Lic. en Info. Aplicada a la Enseñanza e Implimentación de Tecnología Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ³ ³ ² Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Contabilidad y sus modalidades (Comercio con especialización en: Contabilidad, Contabilidad y Estenografía, Contabilidad Bilingüe, Contabilidad Computarizada) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. de Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrícola Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Lic. en Educación con espec. en Orientación Educ. y Profesional Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Admón. de Centros Educativos FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. en Ingeniería Estadística Lic. en Registros Médicos y Estadísticas de Salud Téc. en Estadísticas de Salud y Registros Médicos FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS Lic. en Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Ciencia Política Téc. en Registro Público Téc. en Instrucción Sumarial *(San Miguelito) *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ¶ µ ´ Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Contabilidad y sus modalidades (Comercio con especialización en: Contabilidad, Contabilidad y Estenografía, Contabilidad Bilingüe, Contabilidad Computarizada) FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. Economía Ambiental Téc. en Eco. con énfasis en Mercadeo Agropecuario *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Infor. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Técnologías Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Lic. en Info. Aplicada a la Enseñanza e Implimentación de Tecnología Téc. en Informática Educativa*(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ¹ ¸ · Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Electricidad y sus modalidades (Bachillerato en Electricidad Tradicional, Bachillerato con énfasis en Electricidad) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste,) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical o Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrícola Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. en Ingeniería Estadística FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Ec. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ¼ » º Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Electricidad y sus modalidades (Bachillerato en Electricidad Tradicional, Bachillerato con énfasis en Electricidad) Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ing. Informática Lic. en Ing. Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnología Lic. en Ing. en Gerencia de Comercio Electrónico Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoria y Gestión de Procesos FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica Téc. en Equipo Dental FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ¿ ¾ ½ Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Electrónica (Industrial) y sus modalidades (Bachillerato Industrial en Electrónica (Tradicional) y Bachillerato Industrial con énfasis en Electrónica) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical o Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. en Ciencias de la Producción Animal Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Ec. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. À Á À Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Electrónica (Industrial) y sus modalidades (Bachillerato Industrial en Electrónica (Tradicional) y Bachillerato Industrial con énfasis en Electrónica) FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ing. Informática Lic. en Ing. Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnología Lic. en Ing. en Gerencia de Comercio Electrónico Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoría y Gestión de Procesos FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica Téc. en Equipo Dental FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. Ä Ã Â Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Humanidades y sus modalidades (Letras Tradicional y Letras con énfasis en Medios de Comunicación) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Lic. en Educación con especialización en Orientación Educ. y Profesional Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Admón. de Centros Educativos FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. en Registros Médicos y Estadísticas de Salud Téc. en Registros Médicos y Estadísticas de Salud FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Téc. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS Lic. en Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Ciencia Política Téc. en Registros Públicos Téc. en Instrucción Sumarial *(San Miguelito) *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. Ç Æ Å Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Humanidades y sus modalidades (Letras Tradicional y Letras con énfasis en Medios de Comunicación) FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Eco. con énfasis en Mercadeo Agropecuario *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. Ê É È Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Industrial en Autotrónica y sus modalidades (Bachillerato Industrial en Mecánica Tradicional, Bachillerato Industrial en Electromecánica) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical o Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Ec. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. Í Ì Ë Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Industrial en Autotrónica y sus modalidades (Bachillerato Industrial en Mecánica Tradicional, Bachillerato Industrial en Electromecánica) FAC. DE HUMANIDADES Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ingeniería Informática Lic. en Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoria y Gestión de Procesos FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica Téc. en Equipo Dental FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. Ð Ï Î Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Industrial en Construcción (Bachillerato Industrial en Construcción Tradicional) Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical o Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Lic. en Educación con espec. En Orientación Educ. y Profesional Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Admón. de Centros Educativos FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. en Ingeniería Estadística FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Arquitectura Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Edificación Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Ec. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental é ë ë ê Ô Ü æ × Û è Ü Ô × Ý Û × Õ Ü ç Ô × Û Ü Þ Ô Û × Ý æ å ä Ô × à FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Ó Û Ü Þ á × ã Ô Ü Ö Ý Û × â Ô Ü Û Ù á à Ó Û × Û Ó Ý Õ Þ ß × Ô Ü Õ Ô Þ Ö × Ý Ô Ó Û Ü Õ Û × Õ × Ö Ó Ú Ó × Ù Ø Ô Ó Ö × Ö Ö Ó Õ Ô Ó Ò Ñ Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Industrial en Construcción (Bachillerato Industrial en Construcción Tradicional) FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comuniación Lic. en Ingeniería Informática Lic. en Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoria y Gestión de Procesos FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. î í ì Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Industrial en Refrigeración y Climatización y sus modalidades (Bachillerato de Refrigeración y Aire Acondicionado) Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Ec. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas © ¨ ò ú ¤ õ ù ¦ ú ò õ û ù õ ó ú ¥ ò õ ù ú ü ò ù õ û ¤ £ ¢ ò õ þ FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista § FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical o Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual ñ ù ú ü ÿ õ ¡ ò ú ô û ù õ ò ú ù ÷ ÿ þ ñ ù õ ù ñ û ó ü ý õ ò ú ó ò ü ô õ û ò ñ ù ú ó ù õ ó õ ô ñ ø ñ õ ÷ ö ò ñ ô õ ô ô ñ ó ò ñ ð ï Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Industrial en Refrigeración y Climatización y sus modalidades (Bachillerato de Refrigeración y Aire Acondicionado) FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ingeniería Informática Lic. en Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoria y Gestión de Procesos FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Industrial en Tecnología Mecánica (Bachillerato en Chapistería, Bachillerato en Soldadura) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical o Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Ec. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Industrial en Tecnología Mecánica (Bachillerato en Chapistería, Bachillerato en Soldadura) Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ing. Informática Lic. en Ing. Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnología Lic. en Ing. en Gerencia de Comercio Electrónico Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoria y Gestión de Procesos FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Pedagógico y Maestros FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en ArteTeatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Lic. en Educación con espec. en Orientación Educ. y Profesional Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Admón. de Centros Educativos FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. Ingeniería en Estadísitca Lic. en Matemática Lic. en Docencia de Matemática FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS Lic. en Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Ciencia Política Téc. en Registro Público Téc. en Instrucción Sumarial *(San Miguelito) FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Bancas Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Eco. con énfasis en Mercadeo Agropecuario *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ! Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Pedagógico y Maestros FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Lic. en Turismo con Especialización en Promoción Cultural Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivos Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Téc. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Infor. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. $ # " Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Marítimo FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Moda Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuario FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. en Biología con orientación en el área de: Biología Ambiental Biología Animal Biología Vegetal Microbiología y Parasitología Lic. en Docencia de Biología FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Eco. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. ' & % Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato Marítimo FAC. DE HUMANIDADES Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ing. Informática Lic. en Info. aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos, San Miguelito, Guna Yala) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoria y Gestión de Procesos FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. 0 ) ( Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Servicio y Gestión Institucional y sus modalidades (Bachillerato en Educación para el Hogar con Orientación en: Asistente de Dietista y Manejo de Instituciones, Agente de Hogar, Diseño y Confección de Ropa) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste,) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Lic. en Educación con espec. en Orientación Educ. y Profesional Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Admón. de Centros Educativos FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Lic. en Biología con orientación en el área de: Biología Ambiental Biología Animal Biología Vegetal Microbiología y Parasitología Lic. en Docente Biología Lic. en Ingeniería Estadística Lic. en Química Lic. en Docencia en Química Lic. enTecnología Química Industrial Lic. en Registros Médicos y Estadísticas de Salud Téc. en Registros Médicos y Estadísticas de Salud FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. 3 2 1 Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Servicio y Gestión Institucional y sus modalidades (Bachillerato en Educación para el Hogar con Orientación en: Asistente de Dietista y Manejo de Instituciones, Agente de Hogar, Diseño y Confección de Ropa) FAC. DE DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS Lic. en Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Ciencia Política Téc. en Registro Público Téc. en Instrucción Sumarial *(San Miguelito) FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Eco. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ing. Informática Lic. en Info. aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos, San Miguelito, Guna Yala) FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica Téc. en Equipo Dental Téc. de Laboratorio Dental (Cíclica) FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología FAC. DE ENFERMERÍA Lic. en Enfermería Téc. en Enfermería FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamada *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. 5 5 4 Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Tecnología Informática FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Moda Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuario FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. en Eco. con énfasis en Mercadeo Agrop. *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. 8 7 6 Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Tecnología Informática Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Ing. Electrónica y Comunicación Lic. en Ingeniería Informática Lic. en Info. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos, San Miguelito, Narganá) FAC. DE INGENIERÍA Ing. en Mecatrónica Ing. en Prevención de Riesgos, Seguridad y Ambiente Ing. Civil en Edificaciones Ing. Civil en Infraestructura Ing. Industrial en Auditoria y Gestión de Procesos FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica FAC. DE PSICOLOGÍA Lic. en Psicología *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. A @ 9 Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Turismo y sus modalidades (Comercio con énfasis en: Administración de Servicios Turísticos, Administración de Empresas Turísticas, Turismo Agroecológico, Letras con énfasis en Servicios Turísticos, Comercio con Orientación en Administración Turística Hotelera) FAC. DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD Licenciatura de Administración de Empresas con énfasis en: Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Mercadotécnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración de Empresas Cooperativas Lic. en Administración de Empresas Marítimas Lic. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) Lic. en Contabilidad Lic. en Contabilidad y Auditoría Lic. en Bilingüe en Administración de Oficina Lic. en Ingeniería en Operaciones y Logísticas Empresariales Lic. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Chepo, Soná) Téc. en Admón. de Empresas Cooperativas Téc. en Admón. de Empresas Turísticas (Bilingüe) *(Panamá Oeste) Téc. en Secretariado Ejecutivo (Bilingüe) Téc. en Promoción y Ventas Téc. en Asistencia Administrativo Téc. en Gestión Empresarial Téc. en Gerencia de Neg. Agro-Exportación *(Coclé, Los Santos) Téc. en Admón. de Empresas Agroindustrial *(Soná) FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA Lic. en Administración Pública Lic. en Administración Pública Aduanera Lic. en Administración Policial Lic. en Relaciones Internacionales Lic. en Trabajo Social Lic. en Desarrollo Comunitario *(Darién) Lic. en Secretariado Ejecutivo con énfasis en Gestión Adtiva *(Bocas del Toro) Téc. en Desarrollo Comunitario *(Darién, San Miguelito) Téc. en Gestión Municipal *(Azuero, Coclé, San Miguelito) Téc. en Protocolo y Rel. Internacionales *(Panamá Oeste,) FAC. DE ARQUITECTURA Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica y Digital Téc. en Diseño de Interiores Téc. en Diseño Gráfico Téc. en Artes Aplicadas Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Confección y Vestuarios FAC. DE BELLAS ARTES Lic. en Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Lic. en Bellas Artes con especialización en: Música Instrumento Musical y Canto Lic. en Bellas Artes con especialización en Arte Teatral Lic. en Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario ng. Agrónomo Zootecnista Ing. en Manejo de Cuenca y Ambiente Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Agroforestería *(Bocas del Toro, Darién) Téc. en Sanidad Vegetal *(Soná) Téc. en Producción Bovina *(Azuero) Téc. en Cultivos Agroexportables *(Los Santos) Téc. en Artes Culinarias Téc. en Manejo y Conserv. de Cuencas Hidrog. *(Sitio Prado) FAC. DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Lic. en Educación con esp en Orientación Educ. y Profesional Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Admón. de Centros Educativos FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL Lic. en Periodismo Lic. en Publicidad Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Tec. en Producción Audiovisual Tec. en Eventos y Protocolo Corporativo FAC. DE DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS Lic. en Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Ciencia Política Téc. en Instrucción Sumarial *(San Miguelito) Téc. en Registro Público FAC. DE ECONOMÍA Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo Téc. Economía Ambiental Téc. Economía Ambiental Téc. en Eco. con énfasis en Mercadeo Agropecuario *(Bocas del Toro) Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. B C B Carreras a las que puede ingresar el Bachillerato en Turismo y sus modalidades (Comercio con énfasis en: Administración de Servicios Turísticos, Administración de Empresas Turísticas, Turismo Agroecológico, Letras con énfasis en Servicios Turísticos, Comercio con Orientación en Administración Turística Hotelera) FAC. DE ENFERMERÍA Lic. en Enfermería Téc. en Enfermería FAC. DE HUMANIDADES Lic. Bibliotecología Lic. en Español Lic. en Educación Física Lic. en Filosofía e Historia Lic. en Filosofía, Ética y Valores Lic. en Francés Lic. en Geógrafo Profesional Lic. en Geografía e Historia Lic. en Historia Lic. en Inglés Lic. en Sociología Lic. en Archivología Lic. en Gestión Archivística Lic. en Turismo con especialización en Promoción Cultural Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Archivología Téc. en Gestión Documental y Archivo Téc. en Meteorología Téc. en Cartografía Téc. en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Téc. en Guía de Turismo Histórico Cultural Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible *(Guna Yala) Téc. con Formación Especial en Inglés Téc. en Corrección de Estilo de la Comunicación Téc. en Educación Física *(Los Santos) Tec. en Francés con énfasis en Comunicación Oral Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas FAC. DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN Lic. en Infor. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Téc. en Informática Educativa *(Azuero, Colón, Los Santos,San Miguelito, Narganá) FAC. DE ODONTOLOGÍA Téc. en Asistencia Odontológica *Las carreras que aparecen con asterisco se dictan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes o Anexos. F E D d U X R c V Q U V I U H i X X V a d f ` S R H V e Q h a Y U H H W d X P W I ` V R U V H X R W c U g b T G y u u u y p y p w x y p y x y x w v q u s r t s r q p Facultad de Administración de Empresas y Contabilidad Ciclo Básico Contabilidad Marítima Adm. Emp. Turística Bilingue Ventas Cooperativa Adm. Emp. Turística (Tec. Español) Facultad de Administración Pública Administración Pública Trabajo Social Relaciones Internacionales Aduana Admón Policial Facultad de Arquitectura Diseño Gráfico Diseño de Interiores Arquitectura Diseño Arquitectónico Artes Aplicadas Técnico en Edificación Facultad de Bellas Artes Primer Ingreso, para Música,Teatro, Danza y Artes Plásticas Facultad de Ciencias Agropecuarias (Campus) Ciencias Agropecuarias (Chiriquí) Facultad de Ciencias de la Educación Orientación Educativa y Profesional Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Administración de Centros Educativos Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología Química Física Biología Matemática Estadística Ingeniería Geológica Facultad de Comunicación Social Periodismo Publicidad Relaciones Públicas Prodrucción y Dir. de Radio, Cine y T.V. Eventos y Protocolo Corporativo. Facultad de Derecho y Ciencias Políticas 360 (Primer ingreso) 90 (reingreso, cambio de facultad, segunda carrera otros) Facultad de Economía Economía Finanzas y Banca Facultad de Enfermería Primer Ingreso Facultad de Farmacia Farmacia Facultad de Humanidades Español, Filosofía, Filosofía Etica y Valores Geografía e Historia Cupos por Carrera t Facultad/Centro Regional Universitario Total de Cupos por Unidad 1 770 750 500 120 200 100 50 50 620 150 70 120 140 140 640 160 120 240 40 40 40 160 160 200 200 400 865 150 120 315 120 100 60 620 150 150 150 90 80 450 400 120 280 120 120 140 140 1 380 135 135
d Total de Cupos por Unidad 135 135 200 120 200 150 120 50 450 180 135 135 520 280 50 40 50 50 50 50 50 120 75 30 15 100 100 717 125 50 70 43 43 43 45 40 35 13 60 60 90 1100 40 40 40 40 40 40 40 40 60 40 40 40 40 40 40 40 40 40 g f e Francés Abierto Educación Física Turismo Geográfico Ecológico Turismo Histórico Cultural Lic. y Tec. en Inglés Lic. y Tec. Archivología y Bibliotecología Sociologia Geografía Profesional Facultad de Informática, Electrónica y Comunicación Informática Inf. Aplicada Electrónica Facultad de Medicina Doctor en Medicina Tecnología Médica Nutrición y Dietética Salud Ocupacional Urgencias Médicas Radiología e Imagenología Facultad de Medicina Veterinaria Doctor en Medicina Veterinaria Facultad de Odontología Dr. Cirujano Dental Tec. en Asistencia Odontológica Tec. en Mantenimiento en Equipo Dental Facultad de Psicología Primer Ingreso Centro Regional Universitario de Azuero Adm. de Empresas Contabilidad Biología Matemática Zootecnia Economía Finanzas y Banca Adm. Pública Arquitectura Artes Aplicadas Inglés Informática Enfermería Educación (40 por salón) Centro Regional Universitario de Bocas del Toro Secretaria Ejecutiva énfasis Gestión Empresarial Manejo Ambiental Agroforestería Docencia en Biología Recursos Naturales y Ambiente Registros Médicos y Estadística de Salud Derecho y Ciencias Políticas Turismo Geográfico Ecológico Estudios Generales Salud Ocupacional Urgencias Médicas Asistente Dental Finanzas y Bancas Mercadeo Agropecuario Contabilidad Admón de Emp. y Contabilidad énfasis en Recursos Humanos Profesorado Educación Primaria Profesorado en Educación Cupos por Carrera Facultad/Centro Regional Universitario q m u m m q h t q h o s r p q h q p q p o n i m k j l k j i h Profesorado en Preescolar Cultura General Educación énfasis en Preescolar Educación énfasis en Educación Primaria Profesorado Educ. Media Diversificada Enfermería Comercio Electrónico Inf. Aplicada a la Ens. Imp. Tecnología Informática en Gestión Educativa y Empresarial Centro Regional Universitario de Coclé Centro Regional Universitario de Colón Admón Pública Aduanas Trabajo Social Economía Finanzas Biología Matemáticas Tec. de Salud Informática Psicología Estudios Generales Derecho y Ciencias Políticas Tec. Enfermería Enfermería Básico 1 Enfermería Básico 2 Contabilidad 1 Contabilidad 2 Adm. Empresas Marítimas 1 Adm. Empresas Marítimas 2 Promoción y Ventas Ciencias de la Educación 1 Ciencias de la Educación 2 Centro Regional Universitario de los Santos Adm. Empresas Contabilidad Economía Finanzas y Banca Educación Música Agrónomo Fitotecnista Turismo Geog. Ecológico Inf. Educativa Informática Inglés Derecho y Ciencias. Políticas Educación Física Matemática Diseño Gráfico Centro Regional Universitario de Panamá Oeste Lic. en Administración de Empresas con Mercadotecnia Lic. en Admón. de Empresas con Recurso Humano Lic. en Administración de Empresas con Finanzas y Neg. Internacionales. Técnico en Administración de Servicios Turísticos Licenciatura en Contabilidad Licenciatura en Administración Pública Licenciatura en Desarrollo Comunitario Técnico en Protocolo Licenciatura en Finanzas y Banca Licenciatura en Docencia en Inglés Licenciatura en Turismo Geográfico Ecológico Licenciatura en Geografía e Historia Licenciatura en Español Cupos por Carrera l Facultad/Centro Regional Universitario Total de Cupos por Unidad 40 40 40 40 40 40 40 40 40 865 1710 90 135 90 90 90 45 45 45 90 45 135 45 45 90 45 90 90 90 90 45 135 45 765 40 40 40 40 40 40 40 40 120 120 80 40 30 30 25 1055 50 50 60 60 90 25 25 25 60 100 40 25 25 x w v ~ ~ ~ y
y y z ~ | { } | { z y Licenciatura en Derecho y Ciencias Políticas Licenciatura en Educación Primaria Licenciatura en Educación Preescolar Licenciatura en Relaciones Públicas Licenciatura en Periodismo Técnico en Call Center Lic. en Turismo Histórico Cultural Licenciatura en Informática educativa Licenciatura en Matemática Técnico en Enfermería Técnico en Informática Centro Regional Universitario de San Miguelito Administración de Empresas Administración Pública Diseño Gráfico Educación Publicidad Instrucción Sumarial Finanzas y Bancas Humanidades Informática Anexo 24 Diciembre Centro Regional Universitario de Veraguas Dividido en 16 Facultades Extensión Docente de Aguadulce Lic. en Admón. de Empresas Lic. en Recursos Humano Lic. en Contabilidad Lic. en Admón. de Empresas con énfasis en Mercadotecnia Finanzas y Negocios Internacionales 35 Lic en Educación con énfasis en Primaria Psicopedagogía Administración de Centro Escolar Lic. en Inglés Téc. en Gestión de Documentos y Archivos Lic. en Gerencia en Comercio Electrónico Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Acuicultura Extensión Docente de Soná Lic. en Administración de Empresas Lic. en Administración Agroindustrial Lic. en Turismo con énfasis en Servicios Turísticos Lic en Docencia de Inglés para la Educación Básica General y Media } Facultad/Centro Regional Universitario Cupos por Carrera Total de Cupos por Unidad 25 40 25 25 25 40 40 80 25 35 60 785 110 115 35 105 35 35 35 180 70 65 1 359 455 35 35 35 35: 35 35 35 35 35 35 35 35 35 160 40 40 40 40 Aprobado por Consejo Académico Extraordinario Nº 7-08, celebrado el 11 de febrero de 2008. Bachilleratos aceptados en la Universidad de Panamá, por Facultad 06 07 08 09 10 11 12 13 14 17 18 24 27 32 • • * • • • • * • • • • * • • • • • • * • • • • • • • • • • * • • • • • • • • • * • • • • • • • • * • • • • • • • • * • • • • * • • * • • • Humanidades • • * * • Comercio • • * * Contabilidad • • * * Turismo • • * Agropecuario • • * * Servicio y Gestión Institucional • • * * Marítimo • • * * Tecnología Informática • • * Maestro y Pedagógico • • * * * Arte • • • • • • • • * • • • • • * • • • • * • • * Farmacia • Ciencias de la Educación • Comunicación Social • Admón de Empresas y Contabilidad • Economía • Bachilleratos Odontología Ciencias Facultades Medicina Medicina Veterinaria • Humanidades • Derecho y Ciencias Políticas • Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología • Arquitectura • Ciencias Agropecuaria Ingeniería 05 Psicología 04 Informática, Electrónica y Comunicación 03 Bellas Artes 02 Enfermería 01 Admón. Pública Códigos de Facultad • * • • • • • * • • Ind. en Tecnología Mecánica • • * • * • • • • • • • Ind. en Autotrónica • • * • * • • • • • • • Ind. en Refrigeración y climatización • • • * • • • • • • • Electricidad • • * • * • • • • • • • Electrónica • • • * • * • • • • • • • Ind. en Construcción • • • * • * • • • • • • • (•)Bachilleratos que se aceptan en todas las carreras de la facultad. (*)Bachilleratos que se aceptan sólo en algunas carreras, ir a la página de la facultad. • FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD cód. 11 Carreras Licenciaturas Finanzas y Negocios Internacionales(1) Recursos Humanos Administración de Empresas Administración de Empresas Marítimas Administración de Empresas Turísticas Bilingüe Contabilidad Contabilidad y Auditoría Bilingüe en Administración de Oficinas Administración en Gerencia de Mercadotecnia Ing. en Operaciones y Logísticas Empresariales Duración en semestres 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Técnicas Promoción y Ventas Asistente Administrativo Bilingüe Gestión Empresarial Empresas Cooperativas (1) 4 5 5 6 D V N • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Esta carrera exige un ciclo básico de 2 años. Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno. Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Requisitos Seminario de Inglés Prueba de natación Seminario de Inglés Seminario de Inglés Lic. en Bilingüe en Administración de Oficinas Téc. Asistente Administrativo Bilingüe Lic. en Administración de Empresas Turísticas bilingüe Lic. en Administración de Empresas Marítimas FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA cód. 01 Carreras Duración en semestres Licenciaturas Administración Pública Administración Pública Aduanera Administración Policial Relaciones Internacionales Trabajo Social 6(1) 8 8 8 8 Técnica Protocolo y Relaciones Internacionales D V • • • • • • • • • 6 (1) Seis semestres y tres veranos en horario diurno. Siete semestres y 3 verano en horario nocturno Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Requisitos Lic en Trabajo Social Entrevista en la escuela de Trabajo Social. Prueba de Personalidad. Lic. en Administración Policial Deben cumplir con requisitos especiales adicionales a los requisitos generales de la Universidad de Panamá. N FACULTAD DE ARQUITECTURA cód. 03 Carreras Licenciaturas Arquitectura (•) Edificación (•) Diseño Gráfico Diseño de Interiores Diseño de Modas Diseño de Artes Aplicadas Representación Arquitectónica Digital Duración en semestres D V N 10 8 8 8 8 8 8 • • • • • • • • • • • • • 6 6 Técnicas Dibujo Arquitectónico Edificación • • • • • (•) Esta carrera sólo acepta bachilleratos en Cienias e Industrial en Contrucción. Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Aprobado por: Prueba Psicológica Consejo Académico en (Perceptual, Espacial) Reunión N° 11-09 celebrado el 11 de marzo de 2009 Lic. en Arquitectura Lic. en Edificación Lic. en Diseño de Interiores Lic. en Diseño Gráfico Lic. en Diseño en Artes Aplicadas Lic. en Diseño de Modas Lic. en Representación Arquitectónica Digital Téc. en Dibujo Arquitectónico Téc. en Edificación Requisitos Carreras FACULTAD DE BELLAS ARTES cód. 18 Carreras Licenciaturas Bellas Artes con especialización en Danza y énfasis en: Ballet Clásico Danza Moderna Jazz y Danza de Carácter Folclor y Danza de la Etnia Nacional Duración en semestres D V N 8 • • Bellas Artes con especialización en: Música (*) Instrumento Musical y Canto (*) 8 • • Bellas Artes con especialización en: 8 • • 8 • • Arte Teatral (*) Bellas Artes con especialización en Artes Visuales y énfasis en: Dibujo y Pintura Escultura Técnicas de Impresión Dibujo Artístico y Visual (*) Estas carreras exigen un año de Estudios Generales. Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. Observación: El título se expedirá de acuerdo al énfasis o especialización curricular con que se cumpla. Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Requisitos Aprobado por: Lic. en Artes Visuales Lic. en Arte Teatral 1. Prueba de Aptitud y Habilidad 2. Se adjudican porcentajes (%) a las pruebas de ingreso a la Universidad. Lic. en Bellas Artes con especialización 1. Especialización de Ballet Clásico y en Danza Danza Moderna nivel elemental en Lic. en Bellas Artes con especialización ejecución. en Música Instrumento Musical y Canto Consejo Académico Nº 41-93 del 24 de noviembre de 1993. Consejo Académico Nº 10-96 del 6 de marzo de 1996 y Nº14-96 del 10 de abril de 1996. Consejo Académico Nº41-94 del 9 de noviembre de 1994. Porcentaje en las pruebas Pruebas Todas las pruebas de los requisitos particulares Pruebas de ingreso a la Universidad Porcentaje 50 50 FACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIAS Carreras Duración en semestres y veranos Licenciaturas Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales 8, 4v Ing. en Agronegocios y Desarrollo Agropecuario Ing. Agrónomo Zootecnista cód. 02 D N • 8, 4v • 8, 4v • 8, 4v Ing. en Manejo de Cuencas y Ambiente V • 8, 4v • 4, 4v • (*) Ciencias de la Familia y Desarrollo Comunitario Técnica Artes culinarias(*) • • • Todos los estudiantes deben asistir al curso propedéutico que se desarrolla durante el verano antes de iniciar el primer semestre del primer año. (*) Entran estudiantes que tengan estudios completos a nivel de secundaria. Nota:Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. FACULTA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN cód. 13 Carreras Licenciaturas Educación con especialización en Orientación Educativa y Profesional Ciencias de la Educación con énfasis en:(1) Preescolar D 8 • V N • 8 8 • • • • • • • • • 8 Administración de Centros Educativos • 8 Investigación y Evaluación Educativa • 8 Psicopedagogía • 8 Primaria (1) Duración en semestres • • • Estas carreras exigen tres años de área básica para luego elegir el énfasis. Nota:Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. El turno vespertino existirá hasta tanto haya matrícula suficiente. Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Lic. en Educación con especialización en Orientación Educ. y Profesional Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Investigación y Evaluación Educativa Administración de Centros Educativos Requisitos Aprobado por: 1. Los estudiantes con bachillerato en Consejo Académico Nº9-98 comercio deben tener un promedio del 27 de febrero de 1998. de 3.5 en sus créditos de segundo ciclo. 2. Aprobar la prueba de creatividad, actitudes y aptitudes. 3. Aprobar la entrevista. 4. Aprobar el curso de Orientación Universitaria de la Facultad de Ciencias de la Educación. FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA Carreras Licenciaturas Biología con orientación en:(1) Biología Ambiental Biología Animal Biología Vegetal Microbiología y Parasitología Biología Marina y Limnología Ingeniería Estadística(2) Física Matemática(3) Química (4) Tecnología Química Industrial(4) Ingeniería Topográfica y Geodesia Docencia de Biología (1) Docencia de Física Docencia de Matemática (3) Docencia de Química (4) Registros Médicos y Estadística de Salud(5) Ingeniería Geológica cód. 04 Duración en semestres D 8 • • 8 • • 8 • • 8 • • 8 • • 8 • • 8 • • 8 • • 8 • 8 • • 10 • • 8 • • 8 • • V 8 • N • • 8 • 8 • • 10 • • 6 • • 6 • • Técnicas Topografía Registros Médicos y Estadísticas de Salud(5) (1) También acepta bachilleratos en Servicio y Gestión Institucional, Agropecuario y Marítimo (2) También acepta bachilleratos en Construcción, Electrónica, Maestro, Pedagógico, Comercio, Contabilidad (3) También acepta bachilleratos Agropecuario; Maestro y Pedagógico(se les aplica un examen de suficiencia) (4) También acepta bachilleratos en Servicio y Gestión Institucional y Agropecuario (5) También acepta bachilleratos en Servicio y Gestión Institucional, Comercio, Contabilidad, Humanidades Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. FACULTAD DE COMUNICACIÓN SOCIAL cód. 12 Carreras Licenciaturas Periodismo Publicidad Relaciones Públicas Producción y Dirección de Radio, Cine y T.V. Eventos y Protocolo Corporativos Técnicas Eventos y Protocolo Corporativos Producción Audiovisual Duración en semestres 8 8 8 8 8 5 5 D V N • • • • • • • • • • • • • • • • • • • La Facultad reserva cupos para 620 estudiantes. Cupos reservados por carrera: Periodismo 150, Publicidad 150, Relaciones Públicas 150, Producción y Dirección de Radio, Cine y TV 90, Eventos y Protocolo Corporativo 80 Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno. ¢ ¡ FACULTAD DE DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS cód. 05 Carreras Duración en semestres D V N Derecho y Ciencias Políticas 8 • • • Ciencia Política 8 • Licenciaturas • El Consejo de Facultades de Ciencias Sociales y Humanísticas N°6-11, celebrado el 28 de julio de 2011, Autorizó a la Coordinación de Admisión de la Facultad de Derecho y Ciencias Políticas, la incorporación de la Prueba de Conocimientos Generales (P.C.G.), al proceso de Admisión de esta Facultad. • Asistir al Seminario - Taller de Adaptación Psico-Social a la Educación Superior para aquellos estudiantes que obtuvieron resultados satisfactorios en las Pruebas de ingreso a la Universidad • Asistir al Curso de Nivelación obligatorio para aquellos estudiantes que no obtuvieron resultados satisfactorios en las Pruebas de Ingreso • Entregar toda la documentación exigida por la Admisión de Derecho en el término señalado: • Si es menor de edad, original y 4 copias del Certificado de Nacimiento • Cédula de identidad personal 4 copias • Original y una copia de Diploma del Título de Bachillerato • Original y dos copias de los créditos de Primer y Segundo Ciclo • Dos fotografías tamaño carné reciente, Lapiz Mongol HB • Una carpeta de 81/2 x14 (Que no sea de color) • Cupos: 360 primer ingreso, 90 cambio de facultad, de sede, universidad, egresados y extranjeros La carrera de Derecho y Ciencias Políticas tiene una duración de 4 años en turno diurno y vespertino y de 5 años en turno nocturno. (Acuerdo de Consejo de Facultades de Ciencias Sociales y Humanísticas N°CF-CSH-15-13 en reunión celebrada el 21 de mayo de 2013) La carrera de Ciencia Política tiene una duración de 4 años en los turnos diurno y nocturno. ¥ ¤ £ FACULTAD DE ECONOMÍA cód. 10 Carreras Duración en semestres Licenciaturas Economía Finanzas y Banca Economía y Gestión Ambiental Inversión y Riesgo V N 8 8 7 8 • • • • • • • • 4 5 Técnicas Economía Ambiental Métodos y Análisis Estadísticos D • • • • • • Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Téc. en Economía Ambiental Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Requisitos 1. Se aceptarán aquellos estudiantes que cumplan con la prueba de Capacidades Académicas y se considerará el índice predictivo hasta completar los cupos asignados a la Facultad. 2. Promedio de secundaria. 3. Todos(as) los(as) estudiantes deben realizar un Curso Nivelatorio. 4. Todos(as) los(as) estudiantes, recibirán un curso de asesoramiento académico de 1 hora semanal, obligatorio durante el primer año académico, con el propósito de disminuir los niveles de fracaso y deserción. Lic. en Economía y Gestión Ambiental Lic. en Inversión y Riesgo 1. Se aceptarán aquellos estudiantes que cumplan con la prueba de Capacidades Académicas y se considerará el índice predictivo hasta completar los cupos asignados a la Facultad. 2. Curso propedéutico obligatorio de 3 asignaturas (contabilidad, economía y matemática), el estudiante debe aprobar el curso con un mínimo de 71 puntos en cada asignatura. *Sólo es para la Lic. en Economía y Gestión Ambiental. 3. Promedio de secundaria. ¨ § ¦ FACULTAD DE ENFERMERÍA cód. 17 Carreras Duración en semestres D 8 • 5 Licenciatura Enfermería • Técnica Enfermería V N Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Requisitos Lic. en Enfermería Técnico en Enfermería Aprobado por: 1. Prueba de Habilidades y Destrezas (Cultura General). 2. Prueba de Personalidad. 3. Entrevista. 4. Promedio global de secundaria en las asignaturas científicas y español. 5. Requisitos de salud: urinálisis, heces, serología, cuenta completa de sangre y tipaje, radiografía pulmonar, certificado dental y examen de sangre de solubilidad de hemoglobina. 6. Vacunas. Consejo Académico Nº 13-86 del 7 de mayo de 1986. Consejo Académico extraordinario Nº 8-99 del 18 de febrero de 1999. Porcentaje en las pruebas Pruebas Porcentaje 1. Ponderación de los promedios de secundaria (materias científicas) 2. Prueba de Personalidad y Entrevista 3. Prueba de Habilidades y destrezas (Cultura General) 4. Requisitos de Ingreso a la Universidad 15 25 10 50 « ª © FACULTAD DE FARMACIA cód. 14 Carreras Duración en semestres Técnica Farmacia(2) D V N 8 Licenciatura Farmacia (1) • • • 6 • (1) Ofrece 120 cupos para estudiantes de primer ingreso. (2) Tiene 59 horas teóricas y 89 horas prácticas o laboratorios semanales. Se dicta sólo en el campus central y el centro regional de Veraguas. Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Requisitos Lic. en Farmacia 1. Prueba de Capacidades Académicas. Téc. en Farmacia 2. Prueba de Conocimientos Generales 3. Promedio de segundo ciclo. Aprobado por: Junta de Facultad Nº5-96 del 3 de diciembre de 1996 y Consejo General Nº 11-09 del 11 de marzo de 2009. Consejo Académico Nº 28-97 del 23 de julio de 1997 y Consejo General Nº 11-09 del 11 de marzo de 2009. ¬ FACULTAD DE HUMANIDADES Carreras cód. 06 Duración en semestres Licenciaturas Antropología Gestión Archivística Bibliotecología y Ciencias de la Información Educación Física Español Filosofía, Ética y Valores Filosofía e Historia Francés Geografía e Historia Geógrafo Profesional Historia Inglés Sociología Turismo Geográfico Ecológico Turismo Histórico Cultural D 8 V N • 8 • 8 • 8 • • 8 • • 8 • • 8 • 8 • 8 • 10 • • 7 • 8 • • 8 • • 8 • 8 • • • • Técnicas Gestión de Documentos y Archivos Cartografía Corrección de Estilo de la Comun. Oral E. en Español Meteorología Guía de Turismo Geográfico Ecológico Guía de Turismo Histórico Cultural 6 • 6 • 6 • 6 • 6, 2v • 6, 2v • • • • • Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Requisitos Aprobado por: Lic. en Inglés Téc. en Inglés Lic. en Docencia en Inglés 1. Presentar examen de ubicación del Idioma Inglés. * El examen tiene un costo de 2.00 balboas Consejo Académico Nº 41-93 del 24 de nov. de 1993. Consejo Académico Extraordinario Nº 13-08 del 4 de marzo de 2008 Lic. en Educ. Física 1. Primer año de Estudios Generales (5 asignaturas obligatorias) 2. Lengua extranjera 3. Certificado de salud mental. 4. Certificado de salud bucal. 5. Seminario de natación. 6. Prueba de Fisiología Consejo Académico Nº 14-89 del 29 de marzo de 1989 Lic. en Turismo Geográfico Ecológico 1. Conocimiento básico de inglés. 2. Prueba de 200 metros de natación. 3. Prueba de resistencia física (caminata). 4. Certificado de buena salud. Consejo Académico Nº 41-93 del 24 de nov. de 1993. Lic. en Turismo Histórico Cultural 1. Certificado de buena salud. Consejo Académico Nº 3-03 del 15 de enero de 2003. Junta de Facultad 3-01 del 3 de diciembre de 2001 ± Ò Ò Ò Ä ² À ¸ ¶ ² ³ ² ² À Ó ¼ Í ² À Ò Ò Ä Ñ Ð ¸ ° Á ¿ ¯ À µ ° Ï ¸ Î ² Â ³ ¸ ´ ± ± Ô Õ Ô Í µ Æ ³ µ ¿ Â µ µ ° Ì Á ² · ¶ Ã · ¿ Â ² ² À · µ Ë ¿ µ ² ° Á À Ê Â ¸ ¸ ° Â · ³ ¸ ² ² ¶ Á ¿ ² · Á Â ° ² ¸ ³ ³ É ¸ Á ° Â Á ² È À ² ³ À ² µ ¿ Ç µ ² ¾ Æ ½ ¶ Å ± ± ¼ µ Ä » º µ ¶ ¹ ¸ · ¶ µ ´ ³ ² ± ° ¯ ® FACULTAD DE INFORMÁTICA, ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN cód. 24 Carreras Licenciaturas Ingeniería Electrónica y Comunicación Ingeniería en Informática Informática aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías (1) Duración en semestres D V N 10 • • • 10 • • • 8 • • • (1)También acepta bachilleratos en Humanidades, Comercio, Contabilidad, Turismo, Maestros y Pedagógico. Las carreras Lic. en Comercio Electrónico, Lic. para la Gestión Educ. y Empresarial, y Téc. en Informática Educativa se brindan en algunos Centros Regionales, Extensiones Docentes y Programas Anexos. Aceptan los bachilleratos válidos en la República de Panamá. Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. Ø × Ö FACULTAD DE MEDICINA Carreras cód. 08 Duración en semestres Licenciaturas D V Doctor en Medicina (1) 12 • Tecnología Médica (2) 10 • Nutrición y Dietética (3) 8 • Salud Ocupacional (4) 10 N • (1) Ofrece 280 cupos. Incluye repetidores. (2) Ofrece 50 cupos. Incluye repetidores. (3) Ofrece 40 cupos. (4) Ofrece 50 cupos Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Lic. Medicina Lic. Tecnología Médica Lic. Nutrición y Dietética Lic. Salud Ocupacional(Azuero, Bocas T.) Requisitos Promedio de segundo ciclo. Pruebas de Admisión Aprobado por: Junta de Facultad el jueves 11 de octubre de 2007 Todo estudiante que es admitido a alguna de las carreras de la Facultad de Medicina debe: Asistir al Seminario de Introducción a la Vida Universitaria Realizar una Batería de Pruebas Psicológicas especiales Realizarse exámenes de Laboratorio Realizarse examen médico y odontológico. Û Ú Ù FACULTAD DE MEDICINA VETERINARIA cód. 07 Carreras Licenciatura Doctor en Medicina Veterinaria(1) Duración en semestres D 10 • V N (1) Ofrece 50 cupos por año académico. Sólo se dicta en el Campus Universitario de Curundu. Þ Ý Ü FACULTAD DE ODONTOLOGÍA cód. 09 Carreras Duración en semestres D 10 • 4 Licenciatura Cirugía Dental (1) • Técnica(*) Asistencia Odontológica (2) Equipo Dental (3) 6 V N • (1) Ofrece 75 cupos, incluye estudiantes de primer ingreso y repitentes. Sólo acepta el bachillerato en Ciencias y se dicta en el Campus Central. (2) Ofrece 30 cupos. (3) Ofrece 15 cupos. (*) Además, acepta bachilleratos en Humanidades, Comercio, Maestro y Pedagógico, y las distintas modalidades del bachillerato Industrial. Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Requisitos Aprobado por: Cirugía Dental 1. Pruebas Generales de Ingreso a la Universidad: Psicológica, PCA, PCG. 2. Prueba de destrezas Psicomotoras. 3. Promedio de educación media 4. Examen bucal, pulmonar, auditivo y visual. Consejo de Directores de Departamentos, Celebrado el 4 de junio de 2010 Asistencia Odontológica 1. Prueba de destrezas Psicomotoras. 2. Promedio de educación media 3. Examen bucal, pulmonar, auditivo y visual Consejo de Facultades de Ciencias de la Salud N°CF-CS N°5-12, del 2 de julio de 2012, para los años 2013 y 2014 Equipo Dental 1. Pruebas Generales de Ingreso a la Universidad: Psicológica, PCA, PCG 2. Prueba de destrezas Psicomotoras. 3. Promedio de educación media 4. Examen bucal, pulmonar, auditivo y visual Porcentajes asignados a cada requisito particular Pruebas 1. Pruebas de Capacidades Académicas 2. Prueba de Conocimientos Generales 3. Prueba Psicomotora. 4. Promedio de segundo ciclo Cirujano dental Tec. en asistencia odontológica Téc. de equipo dental 20% 30% 20% 30% 50% --20% 30% 20% 30% 20% 30% Nota: Si el estudiante es seleccionado, debe presentar certificado de buena salud bucal, certificado de salud general, agudeza auditiva y visual, Rx pulmonar. Todos estos exámenes deben ser expedidos por profesionales idóneos y con fecha reciente. Se exigirán las vacunas de tétano, rubéola y hepatitis B. Además debe presentar dos (2) copias del diploma, dos (2) copias de cédula o certificado de nacimiento, dos (2) copias de los créditos de segundo ciclo y una (1) foto tamaño carnet. á à ß FACULTAD DE PSICOLOGÍA cód. 27 Carrera Duración en semestres D V N 10 Licenciatura • • • Psicología Nota: La carrera en el turno nocturno tiene una duración de 14 semestres Requisitos particulares de ingreso a la carrera: Carrera Lic. en Psicología Requisitos • Promedio de educación media (X, XI y XII grado) de 3.5 o superior debidamente autenticados. • Llenar la boleta de pre-inscripción y entregarla junto con el Acuerdo de Compromiso. Ambos documentos deben llevar la firma la aspirante. • Aprobar el Proceso de Admisión especial de la Escuela de Psicología: • Prueba de Personalidad • Entrevista Clínica • Para los aspirantes que consideren la carrera de Psicología como segunda y tercera opción, deben dirigirse a la escuela de Psicología para requisitos de preinscripción. ã â â FACULTAD DE INGENIERÍA cód. 32 Carreras Duración en semestres D Industrial en Auditoría y Gestión de Procesos 4 • Civil en Edificaciones 4 • Civil en Infraestructura 4 • Mecatrónica 4 • Prevención de Riesgo, Seguridad y Ambiente 4 • Ingenierías V N Requisitos particulares de ingreso a las carreras: Carreras Industrial en Auditoría y Gestión de Proceso Civil en Edificaciones Requisitos Aprobación del curso preparatorio í ì ð ï ñ ð ì ï î è í ì ë é ê é è ç å æ å Civil en Infraestructura Mecatrónica Prevención de Riesgo, Seguridad y Ambiente ó ò ò ä CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE AZUERO cód. 03 FACULTADES Y CARRERAS Administración de Empresas y Contabilidad Lic. en Admón. de Empresas con énfasis en: (1) Mercadotecnia Finanzas y Negocios Internacionales Recursos Humanos Lic. en Contabilidad Administración Pública Lic. en Administración Pública Téc. en Gestión Municipal Arquitectura Lic. en Arquitectura (2) Lic. y Tec. en Artes Aplicadas (*) Ciencias Agropecuarias Ing. Agrónomo Zootecnista(2) Lic. Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Téc. en Producción Bovina Ciencias de la Educación (*) Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Ciencias Naturales Exactas y Tecnología(*) Lic. en Biología con énfasis en Microbiología y Parasitología Lic. en Matemática Comunicación Social Lic. en Periodismo Téc. Producción Radial Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Derecho y Ciencias Políticas(*) Economía(*) Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Téc. en Economía Ambiental Enfermería Lic. en Enfermería (*) Humanidades Lic. en Geografía e Historia Lic. y Tec. en Turismo Geográfico Ecológico(*) Lic. en Inglés (3) (*) Lic. y Tec. en Turismo Histórico Cultural(*) Informática, Electrónica y Comunicación(*) Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Ingeniería Informática Téc. en Informática Educativa(4) Medicina Lic. en Salud Ocupacional (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (1) Esta carrera exige un ciclo básico de 2 años (2)Los dos primeros años en el Centro Regional Universitario de Azuero. (3)Al finalizar los dos primeros años de la carrera y despúes de haber aprobado el examen intermedio, tendrá derecho a optar por el título de Técnico en Inglés y continuar en tercer año la licenciatura. (4)Debe aprobar un curso de nivelación en matemática. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos.Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. õ ô ô CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO cód. 08 FACULTADES Y CARRERAS Administración de Empresas y Contabilidad Lic. Administración en Ing. de Operaciones y Logística empresarial Lic.Recurso Humano Lic. en Contabilidad Administración Pública Lic. en Administración Pública Lic. en Trabajo Social Ciencias Agropecuarias Ing. en Manejo de Cuencias y Ambiente Téc. en Agroforestería (2) Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educ. con énfasis en:(*) (1)(2) Preescolar Primaria Psicopedagogía Administración de Centros Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología Lic. en Docencia en Matemática Lic. en Docencia en Biología Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Derecho y Ciencias Políticas(*) Economía Lic. en Finanzas y Bancas (*) Enfermería Lic. en Enfermería (*) Humanidades Lic. en Español Lic. en Inglés (*) Lic. en Turismo Geográfico Ecológico (*) Lic. en Educación Física (*) Informática, Electrónica y Comunicación (•) Lic. Informática aplic. a la enseñanza e Implimentación Tec. (3) (4) Lic. en Informática para la gestión Educativa y Empresarial (3) Medicina(*) Lic. en Salud Ocupacional Téc. en Urgencias Médicas Odontología Téc. Asistencia Odontológica(*) (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (1)También en Anexo Universitario Chiriquí Grande. (2) También en Anexo Universitario Kanquintú. (3) También en Anexo Universitario Isla Colón. (4) También en Anexo Universitario Las Tablas. (•) Todos los bachilleratos válidos en la República de Panamá. Los bachilleratos en Humanidades en cuyo plan de estudios tengan asignaturas del área científica. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. ÷ ö ö CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE COCLÉ cód. 06 FACULTADES Y CARRERAS Administración de Empresas y Contabilidad Lic. en Administración de Empresas Lic. en Gerencia de Mercadeo Lic. en Recursos Humanos Lic. en Contabilidad Lic. en Ing. de Operaciones y Logística Empresarial Téc. Gerencia de Negocios de Agroexportación Administración Pública Lic. en Administración Pública Lic. en Trabajo Social(*) Lic. Administración Pública Aduanera Téc. en Desarrollo Comunitario Ciencias de la Educación (*) Lic. en Educación Primaria Lic. en Educ. en Orientación Educativa y Profesional Ciencias Naturales Exactas y Tecnología Lic. en Matemática(*) Lic. en Ciencia y Técnología de Alimentos(1) Lic. en Recursos Naturales y Ambiente Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Derecho y Ciencias Políticas(*) Economía(*) Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía y Gestión Ambiental Téc. en Métodos y Análisis Estadísticos Téc. en Economía Ambiental(2) Enfermería Lic. en Enfermería(*) Humanidades Lic. en Inglés (*) Lic. en Geografía e Historia Lic. en Español Lic. en Turismo Geográfico Ecológico(*) Lic en Educación Física(*) Informática, Electrónica y Comunicación (•) Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial(3) Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (1)Acepta Bachilleratos en Ciencias, Servicio y Gestión Institucional, Agropecuario y Marítimo (2)También en el Anexo Churuquita Chiquita. (3)También en el Anexo de Olá. (•) Todos los bachilleratos válidos en la República de Panamá. Los bachilleratos en Humanidades en cuyo plan de estudios tengan asignaturas del área científica. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. ù ø ø CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE COLÓN cód. 05 FACULTADES Y CARRERAS Administración de Empresas y Contabilidad Lic. en Admón. de Empresas con énfasis en Mercadotecnia (1) Lic. en Recursos Humanos Lic. en Contabilidad Lic. en Gerencia Secretarial y de Oficina (Bilingüe)(*) Lic. en Admón. de Empresas Marítimas(*) Téc. en Promoción y Ventas Administración Pública Lic. en Admón Pública Lic. en Trabajo Social (*) Lic. en Administración Pública Aduanera Bellas Artes Lic. en Bellas Artes con especialización en Música (*) Ciencias de la Educación (*) Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Ciencias Naturales Exactas y Tecnología Lic. en Matemática(*) Lic. en Biología Lic. en Registros Médicos y Estadísticas de Salud Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Derecho y Ciencias Políticas(*) Economía(*) Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Enfermería Lic. en Enfermería(*) Humanidades Lic. en Español Lic. en Geografía e Historia Lic. en Inglés (*) Lic. en Turismo Geográfico Ecológico(*) Lic en Educación Física(*) Téc. con Formación Especial en Inglés Psicología Lic. en Psicología(*) Informática, Electrónica y Comunicación (•) Lic. en Informática Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Téc. en Informática Educativa (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (1) Esta carrera exige un ciclo básico de 2 años. (•) Todos los bachilleratos válidos en la República de Panamá. Los bachilleratos en Humanidades en cuyo plan de estudios tengan asignaturas del área científica. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. ú ú ú CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE DARIÉN cód. 12 FACULTADES Y CARRERAS Administración de Empresas y Contabilidad Lic. en Contabilidad Administración Pública Téc. en Desarrollo Comunitario Ciencias Agropecuarias Téc. en Agroforestería Ciencias de la Educación(*) Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis: Primaria Humanidades(*) Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Lic. en Inglés (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. ü û û CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE LOS SANTOS FACULTADES Y CARRERAS cód. 07 Administración de Empresas y Contabilidad Lic. en Administración de Empresas con énfasis en Mercadotecnia(1) Lic. en Recurso Humano Lic. en Contabilidad Lic. en Admón. de Empresas Turísticas Bilingue(*) Arquitectura Lic. en Diseño Gráfico (*) Bellas Artes Lic. en Música(*) Ciencias Agropecuarias Ing. Agronómica en Cultivos Tropicales Téc. en Cultivos Agroexportables (2) Ciencias de la Educación(*) Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Primaria Psicopedagogía Administración de Centros Educativos Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología Lic. en Matemática(*) Derecho y Ciencias Políticas(*) Lic. en Derecho y Ciencias Políticas Economía(*) Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Humanidades(*) Lic. en Turismo Geográfico Ecológico Lic. en Inglés Téc. en Inglés Téc. en Educación Física Informática, Electrónica y Comunicación Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Téc. en Informática Educativa (3) (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (1) Esta carrera exige un ciclo básico de 2 años. (2) Tiene tronco común con la Ingeniería en Fitotécnia,puede seguir la ingeniería en Chiriquí o el técnico con un año más, incluye dos veranos. (3) Deben aprobar un curso de nivelación en matemática. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. þ ý ý CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE PANAMÁ OESTE cód. 09 FACULTADES Y CARRERAS Administración de Empresas y Contabilidad Lic. en Admón. de Empresas con énfasis en:(1) Mercadotecnia Recursos Humanos Finanzas y Negocios Internacionales Lic. en Contabilidad Lic. en Administración de Empresas Turísticas (Bilingue) (*) Administración Pública Lic. en Administración Pública Lic. en Desarrollo Comunitario con énf. en Promoción y Organización Social Tec.en Protocolo y Relaciones Internacionales Ciencias de la Educación (*) Lic. en Educación Primaria Lic. en Educación Preescolar Ciencias Naturales Exactas y Tecnología Lic. en Matemática(*) Comunicación Social Lic. en Periodismo Lic. en Relaciones Pública Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Derecho y Ciencias Políticas(*) Economía(*) Lic. en Finanzas y Banca Enfermería Lic. en Enfermería(*) Humanidades Lic. en Español Lic. en Geografía e Historia Lic. en Turismo Geográfico Ecológico(*) Lic. en Guía de Turismo Histórico Cultural Lic en Inglés(*) Informática, Electrónica y Comunicación (•) Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial (1) Estas carreras exige un ciclo básico de 2 años. (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (•) Todos los bachilleratos válidos en la República de Panamá. Los bachilleratos en Humanidades en cuyo plan de estudios tengan asignaturas del área científica. Nota: Las carreras tienen mayor duración en el turno nocturno que en el diurno y vespertino. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. ÿ ÿ CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE SAN MIGUELITO cód. 11 FACULTADES Y CARRERAS Administración de empresas y contabilidad Lic.en Administración Recursos Humanos Lic.en Administración con énfasis en Mercadeo(*) Lic. en Contabilidad Administración Pública Lic. en Admón. Pública (*) Lic. en Admón. Pública Aduanera (*) Lic. en Desarrollo Comunitario con énf. en Prom. y organización social Téc. en Desarrollo Comunitario Téc. en Gestión Municipal Téc. en Protocolo y Relaciones Internacionales Arquitectura Lic. en Diseño Gráfico (*) Lic. en Edificación (*)(1) Téc. en Confección y Vestuarios Ciencias de la Educación (*) Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Educación Primaria Educación Pre-escolar Psicopedagogía Administración de Centros Educativos Ciencias Naturales Exactas y Tecnología Lic. en Recursos Naturales y Ambiente Lic. en Docencia Matemática Téc. en Recursos Naturales Renovables Comunicación Social(*) Lic. en Publicidad Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Derecho y Ciencias Políticas Téc. para Funcionario de Instrucción Sumarial Economía(*) Lic. en Finanzas y Banca Lic. en Economía para la Gestión Ambiental Humanidades Lic. en Inglés Téc. en Guía de Turismo Histórico-Cultural (*) Lic. en Turismo con énfasis Promoción Cultural Téc. de Comunicación en Inglés con énf. en Centro de Llamadas (2) Informática, Electrónica y Comunicación (•) Lic. Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Téc. en Informática Educativa (3) (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (1) Estas carreras exigen un ciclo básico de 2 años. (2)Apertura sujeta a matrícula. También se dicta en la Extensión de la 24 de diciembre ubicada en el Colegio Jeptha B. Duncan. (3)Examen específico de inglés y curso preparatorio de inglés. También se dicta en la Extensión de la 24 de diciembre ubicada en el Colegio Jeptha B. Duncan (4)Debe aprobar un curso de nivelación en matemática. (•) Todos los bachilleratos válidos en la República de Panamá. Los bachilleratos en Humanidades en cuyo plan de estudios tengan asignaturas del área científica. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. ¢ ¡ ¡ CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE VERAGUAS FACULTADES Y CARRERAS cód. 04 Administración de Empresas y Contabilidad Lic.en Administración de Empresas Lic. en Contabilidad Lic. en Ingeniería de Operaciones y Logística Empresarial Administración Pública Lic. en Admón Pública Lic. en Trabajo Social (*) Arquitectura Lic. en Arquitectura(*) Lic. en Representación Arquitectónica Digital Bellas Artes Lic. en Música Ciencias Agropecuarias Ing. en Ciencias de la Producción Animal Lic. en Ciencias de la Familia y del Desarrollo Comunitario Ciencias de la Educación(*) Lic. en Ciencias de la Educación Primaria Ciencias Naturales Exactas y Tecnología Lic. en Biología Lic. en Matemática(*) Comunicación Social Lic. en Periodismo Lic. en Relaciones Públicas Lic. en Eventos y Protocolo Corporativo Derecho y Ciencias Políticas Lic. en Derecho y Ciencias Políticas(*) Economía(*) Lic. en Economía Lic. en Finanzas y Banca Enfermería(*) Lic. en Enfermería Farmacia(*) Lic. en Farmacia Humanidades Lic. en Español Lic. en Inglés (*) Lic. Geografía e Historia Lic. en Educación Física (*) Lic. en Turismo Geográfico Ecológico (*) Informática, Electrónica y Comunicación (•) Lic. en Ingeniería en Informática Lic. Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Téc. en Informática Educativa Odontología Téc. Asistencia Odontológica (*) Psicología Lic. en Psicología (*) (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (•) Todos los bachilleratos válidos en la República de Panamá. Los bachilleratos en Humanidades en cuyo plan de estudios tengan asignaturas del área científica. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. ¥ ¤ £ EXTENSIÓN DOCENTE DE AGUADULCE FACULTADES Y CARRERAS cód. 13 Administración de Empresas y Contabilidad Lic.en Administración de Empresas con énfasis en:(1) Finanzas y Negocios Internacionales Mercadeo Lic. en Contabilidad Lic. en Administración de Empresas Marítimas(*) Bellas Artes Lic. en Artes Visuales Ciencias Agropecuarias Lic. en Acuicultura Ciencias de la Educación(*) Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis: Primaria Prescolar Administración de Centros Educativos Humanidades Lic. en Inglés(*) Téc. en Gestión de documentos y archivos Informática, Electrónica y Comunicación (•) Lic. en Gerencia de Comercio Electrónico Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial (1) Estas carreras exigen un ciclo básico de 2 años. (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (•) Todos los bachilleratos válidos en la República de Panamá. Los bachilleratos en Humanidades en cuyo plan de estudios tengan asignaturas del área científica. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. ¨ § ¦ EXTENSIÓN DOCENTE DE CHEPO FACULTADES Y CARRERAS cód. 14 Administración de Empresas y Contabilidad Lic.en Administración con énfasis en:(1) Mercadotecnia Lic. en Recursos Humanos Lic. en Contabilidad Ciencias Agropecuarias Lic. en Administración Agroindustrial Ciencias de la Educación(*) Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis: Preescolar Primaria Psicopedagogía Ciencias Naturales Exactas y Tecnología Lic. en Estadística de Salud y Registros Médicos Informática, Electrónica y Comunicación (•) Lic. en Infor. Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnologías Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial (*)Estas carreras tienen condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. (1) Esta carrera exige un ciclo básico de 2 años. (•) Todos los bachilleratos válidos en la República de Panamá. Los bachilleratos en Humanidades en cuyo plan de estudios tengan asignaturas del área científica. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. © EXTENSIÓN DOCENTE DE SONÁ FACULTADES Y CARRERAS cód.16 Administración de Empresas y Contabilidad Lic. en Administración Agroindustrial Téc. en Administración Agroindustrial Ciencias Agropecuarias Téc. en Sanidad Vegetal Humanidades Lic. en Turismo con énfasis en Servicios Turísticos Téc. en Turismo Geográfico Ecológico (*) Téc. en Formación Especial en Inglés (*)Esta carrera tiene condiciones y requisitos particulares. Verlos en la página de la facultad respectiva. Los turnos de las carreras dependeran de la disponibilidad de los docentes, de la infraestructura, la cantidad de estudiantes requeridos para la apertura de los grupos. PROGRAMAS ANEXOS FACULTAD Y CARRERA ARRAIJÁN cód.20 Humanidades Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas (Call Center) Informática, Electrónica y Comunicación Técnico en Informática Educativa CHIRIQUÍ GRANDE cód. 21 Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación CHURUQUITA CHIQUITA cód.22 Economía Técnico en Economía Ambiental ISLA COLÓN cód.24 Informática, Electrónica y Comunicación Lic. en Informática para Gestión Educativa y Empresarial Lic. en Informática Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnología KANKINTÚ cód.24 LAS TABLAS cód. 25 Ciencias Agropecuarias Técnico en Agroforestería Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación Informática, Electrónica y Comunicación Lic. en Informática Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnología OLÁ cód.26 Informática Electrónica y Comunicación Téc. en Informática Educativa 24 DE DICIEMBRE Administración Pública Lic. en Desarrollo Comunitario con énfasis en Promoción y Organización Social Arquitectura Técnico en Edificación Humanidades Téc. en Comunicación en Inglés con énfasis en Centro de Llamadas Ir a la página de la Facultad para ver si tiene condiciones o requisitos particulares. cód.27 PROGRAMAS ANEXOS FACULTAD Y CARRERA TORTÍ cód.28 Ciencias Agropecuarias Lic. en Administración Agroindustrial Técnico en Manejo y Conservación de Cuencas Hidrográficas Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis: Primaria (*) Informática, Electrónica y Comunicación Lic. en Informática Aplicada a la Enseñanza e Implementación de Tecnología GUNA YALA SEDE USTUPU cód. 29 Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis: Primaria JAQUÉ cód.30 Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación SAMBÚ cód.31 Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación GARACHINÉ cód.32 Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación GUNA YALA SEDE CARTÍ cód. 14 Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación Humanidades Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible Ir a la página de la Facultad para ver si tiene condiciones o requisitos particulares. PROGRAMAS ANEXOS FACULTAD Y CARRERA GUNA YALA SEDE NARGANÁ cód. 34 Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación Humanidades Lic. Turismo Sostenible y Comunitario Téc. en Desarrollo Turístico Sostenible Informática Electrónica y Comunicación Téc. en Informática Educativa OCÚ cód.35 Administración Pública Técnico en Gestión Municipal Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación Economía Técnico en Economía Ambiental Humanidades Lic. en Inglés CHAME DE SAN CARLOS cód.36 Administración de Empresas y Contabilidad Lic. en Administración de Empresas Turísticas Bilingüe Téc. en Administración de Empresas Turísticas Bilingüe Humanidades Lic. en Inglés Lic. Turísmoo Histórico Cultura Informática, Electrónica y Comunicación Técnico en Informática Educativa MACARACAS Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis en: Preescolar Informática, Electrónica y Comunicación Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial Ir a la página de la Facultad para ver si tiene condiciones o requisitos particulares. cód.37 ! ! PROGRAMAS ANEXOS FACULTAD Y CARRERA TONOSÍ cód.38 Humanidades Lic. en Inglés Informática, Electrónica y Comunicación Lic. en Informática para la Gestión Educativa y Empresarial VALLE DE ANTÓN cód.39 Administración de Empresas y Contabilidad Técnico en Gestión Empresarial NOMBRE DE DIOS cód.41 Administración de Empresas y Contabilidad Lic. en Administración de Empresas con énfasis en Mercadeo Lic. en Administración de Empresas Administración Pública Técnico en Desarrollo Comunitario Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación Humanidades Técnico en Guía de Turismo Geográfico Ecológico Lic. en Humanidades esp. en Turismo Geográfico Ecológico SAN MIGUEL CENTRO cód.42 Informática, Electrónica y Comunicación Técnico en Informática Educativa UNIÓN CHOCÓ cód.43 SITIO PRADO cód.44 Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis: Primaria Ciencias Agropecuarias Técnico en Manejo y Conservación de Cuencas Hidrográficas Ciencias de la Educación Lic. en Ciencias de la Educación con énfasis: Primaria Humanidades Lic. en Inglés Ir a la página de la Facultad para ver si tiene condiciones o requisitos particulares. $ # " CÓDIGOS PARA UTILIZAR EN LA HOJA DE RESPUESTAS Cada sede, facultad, escuela y carrera se identifican con un código, es decir, un número (uno o dos dígitos) Esta información es necesaria para completar los datos en la hoja de respuestas (de color rosado), utilizada para responder las preguntas de las pruebas. En las siguientes páginas aparecen los códigos. Los dos primeros identifican la Facultad, los dos siguientes la escuela y los dos últimos la carrera. Los códigos de las sedes aparecen en su página respectiva. Ejemplo: Estudiante que aspira en el campus central (01), a la Facultad de Derecho (05), la escuela de Derecho (01), a la carrera de Lic. en Derecho y Ciencias Polícias (01), por lo que se identifica con el código 01050101. Estos números deben ser colocados en la hoja de respuesta. ' & % 01 FAC. DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA 03 FAC. DE ARQUITECTURA 010103 LIC. EN ADMINISTRACIÓN PÚBLICA ADUANERA 030102 LIC. EN ARQUITECTURA 010104 LIC. EN ADMINISTRACIÓN PÚBLICA 030104 LIC. EN DISEÑO DE INTERIORES 010108 LIC. EN ADMINISTRACIÓN POLICIAL 030106 LIC. EN DISEÑO GRÁFICO 010401 LIC. EN RELACIONES INTERNACIONALES 030108 LIC. EN ARTES APLICADAS 010501 LIC. EN TRABAJO SOCIAL 030112 TÉC. EN DIBUJO ARQUITECTÓNICO 010106 LIC. EN DES. COMUN. CON ENF. PROM. ORG. S. (Coclé, Panamá Oeste, San Miguelito,) 030113 TÉC. EN EDIFICACIÓN 010604 TÉC. EN DESARROLLO COMUNITARIO (Darién, San Miguelito, Nombre de Dios) 030115 LIC. EN DISEÑO DE MODA 010605 TÉC. EN GESTIÓN MUNICIPAL (Azuero, Coclé, San Miguelito, Ocú) 030116 LIC. EN REPRESENTACIÓN ARQUITECTÓNICA Y DIGITAL 010606 TÉC. EN PROTOCOLO Y REL. INTERNACIONALES 030117 LIC. EN EDIFICACIÓN 030114 TÉC. EN CONFECCIÓN Y VESTUARIO (San Miguelito) 02 FAC. DE CIENCIAS AGROPECUARIAS 020105 ING. AGRONÓMICA EN CULTIVOS TROPICALES 020204 ING. AGRÓNOMO ZOOTECNISTA 020309 ING. MANEJO DE CUENCAS Y AMBIENTE 020404 ING. EN AGRONEGOCIOS Y DES. AGROPECUARIO 020502 LIC. EN CIENCIAS DE LA FLIA. Y DES.COMUNITARIO 04 FAC. DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA 040103 LIC. EN BIOLOGÍA CON ORIENTACIÓN EN EL ÁREA: VEGETAL ANIMAL AMBIENTAL MICROBIOLOGÍA Y PARASITOLOGÍA BIOLOGÍA MARINA Y LIMNOLOGÍA 020203 LIC. EN ACUICULTURA (Aguadulce) 040104 TÉC. EN RECURSOS NATURALES RENOVABLE (San Miguelito) 020602 TÉC EN AGROFORESTERÍA (Darien, Bocas del Toro Kankintú) 040501 LIC. EN FÍSICA 040109 LIC. EN CIENC. Y TÉC. DE LOS ALIMENTOS (Coclé) 020310 TÉC. EN MANEJO Y CONSERV. DE CUENCAS HIDROGRÁFICAS (Sitio Prado) 040116 LIC EN DOCENCIA DE BIOLOGÍA 020609 TÉC. EN PRODUCCIÓN BOVINA (Azuero, Bocas del Toro) 040503 LIC.EN DOCENCIA DE FÍSICA 020607 TÉC. EN CULTIVOS AGROEXPORTABLES (Los Santos) 040504 LIC. EN INGENIERÍA TOPOGRÁFICA Y GEODESIA 040504 LIC. EN INGENIERÍA GEOLÓGICA 020405 LIC. EN ADMÓN. AGROINDUSTRIAL (Tortí, Chepo, Soná) 040602 LIC. EN MATEMÁTICA 020503 TÉC. EN ARTES CULINARIAS 040604 LIC EN DOCENCIA DE MATEMÁTICA 040801 LIC. EN QUÍMICA 040802 LIC EN DOCENCIA DE QUÍMICA 040803 LIC. EN TECNOLOGÍA QUÍMICA INDUSTRIAL 041302 TÉC. EN ANÁLISIS DEMOGRÁFICO 041304 TÉC. EN ESTADÍSTICA Y REGISTROS DE SALUD 041307 LIC. DE REGISTROS MÉDICOS Y ESTAD. DE SALUD (Colón, Bocas Toro, Chepo) 041305 LIC. EN INGENIERÍA ESTADÍSTICA 040117 LIC. EN RECURSOS NATURALES Y AMB. (Coclé, Bocas Toro, San Miguelito) 0 ) ( 05 FAC. DE DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS 07 FAC DE MEDICINA VETERINARIA 050101 LIC. EN DERECHO Y CIENCIAS POLÍTICAS 070101 DOCTOR EN MEDICINA VETERINARIA 050102 LIC. EN CIENCIA POLÍTICA 08 FAC. DE MEDICINA 050402 TÉC. EN INSTRUCCIÓN SUMARIAL (Carrera cíclica. San Miguelito) 080101 DOCTOR EN MEDICINA 080202 LIC. EN NUTRICIÓN Y DIETÉTICA 080301 LIC. EN TECNOLOGÍA MÉDICA 080203 LIC EN SALUD OCUPACIONAL 06 FAC. DE HUMANIDADES 060104 LIC. EN BIBLIOTECOLOGÍA Y CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN 060201 LIC. EN EDUCACIÓN FÍSICA 060301 LIC. EN ESPAÑOL 060302 TÉC. EN CORRECCIÓN DE ESTILO 060401 LIC. EN FILOSOFÍA E HISTORIA 060402 LIC. EN FILOSOFÍA, ÉTICA Y VALORES 060501 LIC. EN GEOGRAFÍA E HISTORIA 09 FAC. DE ODONTOLOGÍA 090104 DOCTOR EN CIRUGÍA DENTAL 090102 TÉC. ASISTENTE DENTAL 090105 TÉC. DE EQUIPO DENTAL 10 FAC. DE ECONOMÍA 100101 LIC. EN ECONOMÍA 100301 LIC. EN FINANZAS Y BANCA 100302 LIC: EN INVERSIÓN Y RIESGO 100401 TÉC. EN ECO. CON ÉNFASIS EN MERCADO AGROPECUARIO (Bocas del Toro) 060502 LIC. EN GEÓGRAFO PROFESIONAL 060505 TÉC. EN CARTOGRAFÍA 060506 TÉC. EN GUÍA DE TURISMO GEOGRÁFICO-ECOLÓGICO 060507 LIC. EN TURISMO GEOGRÁFICO ECOLÓGICO 060601 LIC. EN INGLÉS 100402 TÉC. EN MÉTODOS Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO 060602 TÉC. EN FORMACIÓN ESPECIAL EN INGLÉS (Azuero, San Miguelito) 100403 TÉC EN ECONOMÍA AMBIENTAL 060701 LIC. EN FRANCÉS 100103 LIC. EN GESTIÓN AMBIENTAL 061001 LIC. EN HISTORIA 061003 TÉC. EN GUÍA DE TURISMO HISTÓRICO-CULTURAL 110101 LIC. EN CONTABILIDAD 061004 LIC. EN TURISMO CON ESPECIALIZACIÓN EN PROMOCIÓN CULTURAL 110103 LIC. EN CONTABILIDAD Y AUDITORIA 061301 TÉC. EN METEOROLOGÍA 110212 LIC. EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS (básico) 061701 LIC. EN SOCIOLOGÍA 061902 TÉC. EN ARCHIVOLOGÍA (San Miguelito) 060202 TÉC. EN EDUCACIÓN FÍSICA 061904 11 FAC.DEADMINISTRACIÓNDEEMPRESASYCONTABILIDAD LIC. EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CON ÉNFASIS EN: 110207 FINANZAS Y NEGOCIOS INTERNACIONALES LIC. EN GESTIÓN ARCHIVÍSTICA 110216 LIC EN GERENCIA DE MERCADOTECNIA 061905 TÉC. EN GESTIÓN DE DOCUMENTOS Y ARCHIVOS 110213 LIC. EN RECURSOS HUMANOS 060702 TÉC EN FRANCÉS CON ÉNFASIS EN COMUNICACIÓN ORAL 110208 LIC. EN ADMÓN DE EMPRESAS MARÍTIMAS 060604 TÉC EN COMUNICACIÓN EN INGLÉS CON ÉNFASIS EN CENTRO DE LLAMADAS (San Miguelito, Los Santos) 110209 LIC. ADMÓN. DE EMPRESAS TURÍSTICAS BILINGÜE 061004 LIC. TURISMO HISTÓRICO CULTURAL 110215 LIC. BILINGUE EN ADMINISTRACIÓN DE OFICINA 061002 LIC. EN ANTROPOLOGÍA 110214 ING. OPERACIONES Y LOGÍSTICAS EMPRESARIALES 061006 TÉC. EN DESARROLLO TURÍSTICO SOSTENIBLE (Guna Yala) 3 2 1 110304 TÉC. EN PROMOCIÓN Y VENTAS 18 FACULTAD DE BELLAS ARTES LIC. EN BELLAS ARTES CON ESPECIALIZACIÓN EN: 110310 TÉC. EN ASISTENTE ADMINISTRATIVO 110309 TÉC. EN GESTION EMPRESARIAL 180108 INSTRUMENTO MUSICAL Y CANTO 110303 TÉC. EN ADMÓN. DE EMPRESAS COOPERATIVAS 180102 MÚSICA 110305 TÉC. EN ADMÓN. DE EMPRESAS TURÍSTICAS BILINGÜE *(Panamá Oeste) 110308 TÉC. EN GERENCIA DE NEGO. AGRO-EXPORTACIÓN *(Coclé) 180302 BALLET CLÁSICO 180303 DANZA MODERNA 12 FAC. DE COMUNICACIÓN SOCIAL 180304 JAZZ Y DANZA DE CARÁCTER 120201 LIC. EN PERIODISMO 180305 FOLCLOR Y DANZA DE LA ETNIA NACIONAL 120301 LIC. EN RELACIONES PÚBLICAS 180401 120302 LIC. EVENTOS Y PROTOCOLO CORPORATIVOS LIC. EN BELLAS ARTES CON ESPECIALIZACIÓN EN ARTE VISUALES Y ÉNFASIS EN: 120401 LIC. EN PUBLICIDAD 120801 LIC. EN PRODUCCIÓN DIRECCIÓN DE RADIO, CINE Y TV 120802 TÉC. PRODUCCIÓN AUDIOVISUAL 120302 TÉC. EVENTOS Y PROTOCOLO CORPORATIVOS 13 FAC. DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN 130107 LIC. EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CON ÉNFASIS EN: 130113 PREESCOLAR 130111 PRIMARIA 130110 PSICOPEDAGOGÍA 130109 ADMINISTRACIÓN DE CENTROS EDUCATIVOS 130112 INVESTIGACIÓN Y EVAL. EDUCATIVA 130301 LIC. EN EDUCACIÓN CON ESPECIALIZACIÓN EN ORIENTACIÓN EDUC. Y PROFESIONAL 14 FACULTAD DE FARMACIA 140102 LIC. EN FARMACIA 140103 TÉC. EN FARMACIA 17 FACULTAD DE ENFERMERÍA 170102 170114 LIC. EN BELLAS ARTES CON ESPECIALIZACIÓN EN DANZA CON ÉNFASIS EN: DIBUJO Y PINTURA ESCULTURA TÉCNICAS DE IMPRESIÓN DIBUJO ARTÍSTICO Y VISUAL 180501 LIC. EN BELLAS ARTES CON ESPECIALIZACIÓN EN ARTE TEATRAL 24 FAC.DEINFORMÁTICA,ELECTRÓNICAYCOMUNICACIÓN 240101 LIC. EN ING. ELECTRÓNICA Y COMUNICACIÓN 240201 LIC. EN INGENIERÍA EN INFORMÁTICA 240202 TEC. EN INFORMÁTICA EDUCATIVA *(Azuero, Colón, Los Santos, San Miguelito, Narganá) 240203 LIC. EN INFO. APLICADA A LA ENSEÑANZA E IMPLEMENTACIÓN DE TECNOLOGÍAS. 240205 LIC. EN INFORMÁTICA PARA LA GESTIÓN EDUCATIVA Y EMPRESARIAL *(Azuero, Bocas del Toro, Colón, Los Santos, San Miguelito, Veraguas, Aguadulce, Chepo, Tonosí, Tortí, Macaracas) 240102 LIC. EN GERENCIA DE COMERCIO ELECTRÓNICO 27 FAC. DE PSICOLOGÍA 270101 LIC. EN PSICOLOGÍA 32 FAC. DE INGENIERÍA 320101 ING. INDUST. EN AUDITORÍA Y GESTIÓN DE PROCESOS 320102 ING. CIVIL EN EDIFICACIONES LIC. EN ENFERMERÍA 320103 ING. CIVIL EN INFRAESTRUCTURA TÉC. EN ENFERMERÍA 320104 ING. MECATRÓNICA 320105 ING. EN PREVENCIÓN DE RIESGO, SEGURIDAD Y AMBIENTE 6 5 4 ¡ ¢ 1 $ s % & 0 & C 8 h ) & 6 & 1 G 1 5 F ! h & 9 2 A E % $ 1 1 " I 1 f ! " 1 E 9 $ W 8 ) B ! 2 4 h R 4 1 4 1 1 8 B % % E " @ & 1 " A " $ 9 0 ) W 1 B 1 1 4 $ $ B v 0 3 4 & 0 ) 3 & 3 X 1 1 $ $ 3 % A y $ " 2 1 1 ` B 4 F 2 9 $ I f R 0 0 $ X ` 1 B d 9 R 0 1 $ B & ) 9 $ 3 $ A 9 $ I I 4 f f ) 0 $ 6 & 0 & $ 5 B B 4 a 1 R i B 4 $ % 1 " 1 W ! 9 $ I E f 1 " R 1 1 0 9 $ B B 4 1 % X 0 E 1 1 $ & B 1 " & $ ) " ) $ 1 1 3 9 v $ B 0 4 1 $ G % B & 1 A 1 ) F 2 & 0 & $ 2 0 " 3 1 F A 0 A $ 0 9 " 0 2 0 $ 4 $ $ X 0 0 X 1 ` X E ` 2 & 1 ) " 1 B X 4 B d d 4 $ 9 $ 9 9 I $ i i H 1 $ ) 2 & % 6 C ! D x x 7 e $ 3 & & " $
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