TEMA_3_Problemas resueltos optica geometrica

III - 32 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 1. Calcular la posición de la imagen dada por un dioptrio plano conocida la posición del objeto, cuando se trabaja fuera de la aproximación paraxial. 9. PROBLEMAS RESUELTOS. Los rayos paraxiales que parten de un punto objeto O con ángulos de incidencia g gg g pequeños, convergen todos ellos en un sólo punto imagen. Los rayos no paraxiales, con ángulos de incidencia grandes, no convergen en un sólo punto imagen. En consecuencia, la posición de la imagen O' depende del ángulo de incidencia g gg g: s' = f(g). Se trata de encontrar la forma de esta función. En el triángulo OAB: tg g = a/s Y a = s.tg g y en el O'AB: tg g' = a/s' Y a = s'.tg g' por lo que: s.tg g = s'.tg g' Y s' = s.tg g/tg g' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) Por otra parte, teniendo en cuenta que: tg g ' sen g cos g y tg g ) ' sen g ) cos g ) ' sen g ) 1 & sen 2 g ) al sustituir en esta última expresión el valor de sen g' dado por la ley de Snell, queda: tg g ) ' (n 1 /n 2 ).sen g 1 & (n 1 /n 2 ) 2 .sen 2 g ' n 1 .sen g n 2 2 & n 1 2 .sen 2 g y sustituyendo en (1) tg g y tg g' por su valor y operando, queda: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) s ) ' s. n 2 2 & n 1 2 .sen 2 g n 1 .cos g expresión que permite calcular la posición de la imagen formada por un dioptrio plano cuando se trabaja fuera de la zona paraxial. Nota: De esta expresión se puede deducir la posición de la imagen paraxial teniendo en cuenta que, en este caso, por ser los ángulos pequeñoses: sen g Y 0 y cos g Y 1 con lo que la expresión (2) queda: ′ = s s n n 2 1 III - 33 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 2. Un cubo de vidrio de índice 1,5 tiene un espacio hueco en su interior en forma de esfera con el mismo centro que el cubo. La arista del cubo mide 10 cm y el radio de la esfera hueca es de 3 cm. Un haz de rayos paralelos entre sí incide perpendicularmente a una de las caras del cubo. Hallar en qué punto del eje se cortarán los rayos. Hallar las focales imagen de las distintas superficies. Se supone el cubo inmerso en aire (n = 1) que llena también el espacio hueco. Para la primera superficie (plana) todo sucede como si los rayos paralelos al eje procedieran de un objeto situado en el infinito y según la expresión n/s = n'/s' , si s = 4, también es s' = 4. En consecuencia, la primera superficie forma una primera imagen en el infinito. Por incidir normalmente a ella, los rayos no sufren desviación en la primera superficie (plana) y alcanzan a la segunda superficie (esférica convexa) paralelos al eje y, después de refractarse, van a converger en su foco imagen F' 2 dando lugar a la segunda imagen O' 2 , cuya posición es: ′ = ′ ′ − = + − = − ′ = ′ = ′ = − f n r n n cm f V F V O cm 1 3 1 15 6 6 2 2 2 2 .( ) ( , ) La imagen O' 2 actúa como objeto para la tercera superficie (esférica cóncava) ya que todo sucede como si los rayos llegaran a ella procedentes de O' 2 . La posición de la imagen O' 3 que forma esta tercera superficie la calculamos mediante la fórmula de Gauss: ′ ′ − = ′ − n s n s n n r siendo, en este caso n = 1 y n' = 1,5 ya que la luz, en esta tercera superficie, pasa del aire al vidrio, y: r = - 3 cm ; s = V 3 O' 2 = V 3 V 2 + V 2 O' 2 = (- 6) + (- 6) = - 12 cm con lo que al sustituir queda: 15 1 12 15 1 3 6 3 3 , , ′ − − = − − → ′ = − = ′ s s cm V O resultado del que se deduce que la imagen O' 3 formada por la tercera superficie está situada en V 2 . Por último, en la cuarta superficie (plana), los rayos van a sufrir una refracción en la que todo sucede como si procediesen de un punto objeto situado en O' 3 o, lo que es lo mismo según el resultado anterior, en V 2 . Para calcular la posición de la imagen final O' 4 , aplicamos la expresión: n s n s = ′ ′ siendo: n = 1,5 ; n' = 1 ; s = V 4 O' 3 = V 4 V 3 + V 3 O' 3 = (-2) + (-6) = - 8 cm y al sustituir: ′ = ′ = − = − = ′ s n s n cm V O 1 8 15 5 33 4 4 . , , resultado del que se deduce que la imagen final y, por tanto, el punto de corte de los rayos está situada a 5,33 cm a la izquierda de V 4 , es decir, a 0,33 cm a la izquierda del centro de la esfera. III - 34 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 3. Los extremos de un cilindro de vidrio de n = 1,6 se tallan según superficies esféricas convexa y cóncava de radios 2,4 cm. A 8 cm del primer vértice se coloca un objeto de 2 cm. La separación entre vértices es de 2,8 cm. Calcular: a) las distancias focales y las potencias de ambas superficies. b) la distancia de la imagen final de la primera y segunda superficie. c) el tamaño de la imagen final. d) resolverlo gráficamente. n 1 = n 3 = 1 ; n 2 = 1,6 r 1 = + 2,4 cm = r 2 s = VO = - 8 cm VV' = 2,8 cm y = 2 cm a. Cálculo de las focales y potencias. f = - n.r/(n'-n) ; f' = n'.r/(n'-n) ; P = n'/f' a.1. Primera superficie: f 1 = -n 1 .r 1 /(n 2 -n 1 ) = -2,4/(1,6-1) = - 4 cm f' 1 = n 2 .r 1 /(n 2 -n 1 ) = (1,6)(2,4)/(1,6-1) = + 6,4 cm = + 0,064 m P 1 = n 2 /f' 1 = 1,6/0,064 = 25 dt. a.2. Segunda superficie: f 2 = -n 2 .r 2 /(n 3 -n 2 ) = - (1,6)(2,4)/(1-1,6) = + 6,4 cm f´ 2 = n 3 .r 2 /(n 3 -n 2 ) = 2,4/(1-1,6) = - 4 cm = - 0,04 m P 2 = n 3 /f´ 2 = 1/-0,04 = - 25 dt b. Cálculo de la posición de la imagen. La primera superficie va a formar una primera imagen situada en un punto O' cuya posición no conocemos, de momento. Esta imagen O' hace de objeto para la segunda superficie que forma de ella la imagen final O" (ver figura). b.1. Primera imagen. Aplicando la expresión f '/s' + f/s = 1: 6,4/s' 1 + (-4)/(-8) = 1 Y s' 1 = VO' = + 12,8 cm b.2. Segunda imagen (final). Cualesquiera que sea la posición de la imagen O', su posición respecto de esta segunda superficie, para la cual hace de objeto, es: VO' + O'V' = VV' Y s' 1 + (-s 2 ) = VV' Y s 2 = s' 1 - VV' = 12,8 - 2,8 = + 10 cm = V'O' y al sustituir este valor en la expresión f '/s' + f/s = 1: f´ 2 /s´ 2 + f 2 /s 2 = 1 Y -4/s´ 2 + 6,4/10 = 1 Y s´ 2 = - 11,11 cm = V'O" resultado del que se deduce que la imagen final está situada a 11,11 cm a la izquierda de V' o, lo que es lo mismo, a 8,31 cm a la izquierda de V. III - 35 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) c. Cálculo del tamaño de la imagen. El aumento en un sistema formado por varios elementos es el producto de los aumentos de cada elemento y como el aumento en una superficie esférica es β = n.s'/n'.s, al sustituir queda: β ) ' β 1 ) .β 2 ) ' n 1 .s 1 ) n 2 .s 1 . n 2 .s 2 ) n 3 .s 2 ' 12,8 1,6.(&8) . (1,6).(&11,11) 10 ' % 1,778 β ) ' % 1,778 ' y )) y ' y )) 2 Y y )) ' 1,778.(2) ' 3,55 cm resultado del que se deduce que la imagen es virtual, mayor y derecha respecto del objeto. d. Resolución gráfica. Para poder realizar la construcción gráfica, en la figura se ha representado a cada una de las superficies mediante los planos S 1 y S 2 , tangentes en sus vértices (planos principales), lo cual es válido a nivel paraxial, dominio en el que se centra este curso de Optica Geométrica. El rayo -<- paralelo al eje se refracta en la primera superficie en dirección a su foco imagen F' 1 , pero al incidir sobre la segunda superficie se desconoce, a priori, la dirección que va a tomar. Para poder trazar este rayo refractado es preciso recurrir a un rayo auxiliar -<<<- (R.A.) que, siendo paralelo al -<-, incide sobre la segunda superficie en dirección a su foco objeto F 2 . Ambos rayos (sus prolongaciones en este caso) se han de cortar en un punto P del plano focal imagen (F' 2 ) de la segunda superficie, lo que permite el trazado del rayo -<- refractado en ella. El rayo -<<- incide sobre la primera superficie en dirección a F 1 y emerge de ella incidiendo sobre la segunda paralelo al eje, razón por la que abandona la segunda superficie en dirección a su foco imagen F´ 2 . En el punto donde se cortan las prolongaciones de -<- y -<<- se localiza la imagen, que es virtual. NOTA: de los resultados analítico y gráfico se deduce que la imagen final y" está situada a la izquierda del cilindro. Sin embargo, en la figura de la página anterior se ha supuesto otra posición (O") porque, lógicamente, antes de resolver el problema no se conoce su verdadera posición. III - 36 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 4. Se dispone de un recipiente cilíndrico de índice n = 1,5 y longitud 12 cm, que en su parte central está tallado, tal como muestra la figura, en forma de lente hueca de radios de idéntica longitud (2 cm). Si el espesor de dicha lente es de 1 cm, calcular: a) La posición de la imagen de un punto luminoso situado en el interior del cilindro sobre el eje óptico de la lente y a 5 cm a la izquierda de la primera superficie de la lente. b) Si el punto luminoso tiene un diámetro de 0,5 cm, ¿cuál es el tamaño de la imagen final?. Resolveremos el problema superficie a superficie, es decir, calcularemos posición y tamaño de la imagen O' 1 que forma la primera superficie con vértice V 1 . Esta imagen O' 1 será objeto para la segunda superficie con vértice V 2 , que formará una segunda imagen O' 2 . Finalmente, esta imagen O' 2 actuará como objeto para la superficie plana con vértice V 3 , la cual formará la imagen final O' 3 . a. Imagen formada por la primera superficie (esférica). a.1. Posición de la imagen. En la fórmula de Gauss: ′ ′ − = ′ − n s n s n n r en la que, en este caso es: n = 1,5 ; n'= 1 y s = s 1 = VO = -5 cm ; r = r 1 = +2 cm al sustituir queda: s = s' 1 = VO' 1 = - 1,82 cm a.2. Aumento y tamaño: ′ = ′ ′ = − − = + = ′ ′ = = = + β 1 1 1 1 1 1 1 15 182 5 0 55 0 55 0 55 0 5 0 27 ns n s y y y y cm , .( , ) , , . , .( , ) , III - 37 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) b. Imagen formada por la segunda superficie (esférica). b.1. Posición de la imagen: n = 1 ; n'= 1,5 ; r = r 2 = - 2 cm s = s 2 = V 2 O' 1 = V 2 V 1 + V 1 O' 1 = -1 + (- 1,82) = - 2,82 cm con lo que al sustituir en la fórmula de Gauss queda: s'= s' 2 = -2,48 cm = V 2 O' 2 b.2. Aumento y tamaño: ′ = ′ ′ = − − = + = ′ = ′ ′ ′ = ′ = = + β 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 48 15 2 82 0 586 0 586 0 586 0 27 0158 ns n s y y y y y y cm , , .( , ) , , . , .( , ) , c. Imagen formada por la tercera superficie (plana). c.1. Posición de la imagen: En un dioptrio plano: n/s = n'/s' y en este caso (para la 3ª superficie, plana): n = 1,5 ; n'= 1 s = s 3 = V 3 O' 2 = V 3 V 2 + V 2 O' 2 = (-5,5) + (-2,48) = - 7,98 cm y al sustituir: s'= s' 3 = V 3 O' 3 = - 5,32 cm resultado del que se deduce que la imagen final está a 5,32 cm a la izquierda de V 3 . c.2. Aumento y tamaño de la imagen final: El aumento en una superficie plana es + 1, por lo que la imagen final tiene el mismo tamaño que y' 2 : y' 3 = y' 2 = + 0,158 cm III - 38 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 5. Sea una piscina de 4 m de profundidad de fondo transparente. Un observador A, situado 3 m por encima y otro B, situado 1 m por debajo, están mirando a un pez situado a 1 m de la superficie. Suponemos que ambos observadores están mirando en dirección prácticamente normal a la superficie. ¿A qué distancia ven A y B al pez? ¿Y el pez a los observadores? a. Pulpo visto por los observadores A y B. a.1. Distancia aparente entre el observador A y el pez: El observador A ve la imagen del pez en P' A aunque realmente el pez está en P. La distancia aparente, es decir, la distancia a la que al observador A le parece que está el pez es: AP' A = a + s' A = a + (s A .n aire /n agua ) AP' A = 3 + (1/1,33) = 3,75 m a.2. Distancia aparente entre el observador B y el pez. El observador B ve la imagen del pez P en P' B . La distancia aparente ahora es: BP' B = b + s' B = b + (s B .n aire /n agua ) BP' B = 1 + (3/1,33) = 3,25 m b. Observadores vistos por el pez. b.1. Distancia aparente entre el pez y el observador A. El pez ve la imagen del observador A en A'. La distancia aparente es: PA' = a + s' A = a + (s A .n agua /n aire ) PA' = 1 + 3.(1,33) = 5 m b.2. Distancia aparente entre el pez y el observador B. El pez ve la imagen del observador B en B'. La distancia aparente es: PB' = b + s' B = b + (s B .n agua /n aire ) PB' = 3 + 1,33 = 4,33 m III - 39 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 6. Una gota de rocío, de forma esférica y centro C, apoya en un punto A sobre un plano horizontal. Se la observa con un microscopio cuyo eje óptico coincide con la dirección AC, enfocado en A a través de la gota. Se retira la gota y se enfoca ahora el microscopio sobre el punto A. Si el índice de refracción del agua es n = 1,33 y el desplazamiento efectuado por el microscopio para realizar el segundo enfoque es de 1,5 mm, calcular el radio de la gota. Para una mejor comprensión de la aplicación del convenio de signos, se ha dibujado el plano P en el que se apoya la gota en posición vertical. El observador que mira a través del microscopio, al enfocar éste sobre el punto A a través de la gota, lo que ve realmente es la imagen A´ formada por la superficie esférica de vértice B. Al retirar la gota y enfocar de nuevo el microscopio, éste se ha de desplazar, hacia la derecha, una distancia igual a la existente entre A' y A siendo, según el enunciado, A'A = 1,5 mm. La posición de la imagen A' viene dada por la fórmula de Gauss: n'/s' - n/s = (n'- n)/r (1) en la que: n = 1,33 ; n' = 1 s = BA = 2r ; s' = BA' De la figura se deduce que: A'A + AB = A'B Y 1,5 + (-s) = - s' Y s' = s - 1,5 = 2r - 1,5 y sustituyendo en (1) los valores de n, n', s y s' queda: 1 2.r & 1,5 & 1,33 2.r ' (1 & 1,33) r r ' & 1,5 mm En esta solución, el signo negativo del radio es debido a que es el resultado de la aplicación de la fórmula de Gauss a la superficie esférica de vértice B cuyo radio, que es el de la gota, es el segmento orientado BC, negativo según el convenio de signos. En consecuencia el radio de la gota de rocío es: r = 1,5 mm III - 40 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 7. Dadas dos lentes convergentes de la misma focal y separadas por su distancia focal, hallar gráficamente la imagen de un objeto situado en el foco objeto de la primera lente. ¿Qué aumento tiene la imagen? Explíquese el trazado de rayos realizado. 8. Expresar la posición del objeto en función del aumento lateral y de la focal imagen para una lente delgada en aire. El rayo -<- incide paralelo al eje sobre la primera lente, emergiendo de ella en dirección a su foco imagen F' 1 . Por estar en este punto situada la segunda lente, este rayo no sufre desviación al pasar a través de ella. El rayo -<<- incide sobre la primera lente por su centro óptico y no se desvía. Puesto que en este centro óptico está situado el foco objeto F 2 de la segunda lente, el rayo -<<- emerge de ella paralelo al eje, dando lugar, en el punto de convergencia de -<- y -<<-, a la imagen final que ha de estar situada precisamente en el plano focal imagen F' 2 de la segunda lente ya que los rayos que inciden sobre ella son paralelos entre sí, razón por la que los ángulos σ y σ' son iguales y como, según el enunciado, también son iguales las focales, los triángulos sombreados son iguales. De esta igualdad se deduce que la imagen es igual que el objeto e invertida por lo que el aumento es β' = -1. Se pide encontrar la forma de la función: s = f (β', f') y para ello, partiendo de la fórmula de las lentes y despejando la distancia objeto s, obtenemos: 1 s ) & 1 s ' 1 f ) Y s ' s ) .f ) f ) &s ) y como el aumento es: β' = s'/s Y s' = β'.s y al sustituir en s: s ' β ) .s.f ) f ) & β ) .s Y s ' f ) (1 & β ) ) β ) III - 41 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 9. Encontrar la distancia entre el objeto y la imagen para una lente convergente que produce un aumento transversal de cuatro veces el tamaño del objeto. Puesto que el signo del aumento no se indica en el enunciado, el problema tiene dos soluciones. 1ª: Que la imagen sea real. En este caso la imagen es invertida y el aumento es negativo: ′ = − = ′ ⇒ ′ = − β 4 s s s 4s y de la figura se deduce que: d OO OL LO s s s s d s = ′ = + ′ = − + ′ = − + − = − ( ) 4 5 Por otra parte, sustituyendo el valor de s' en la fórmula de las lentes y despejando s, queda: 1 1 1 1 4 1 1 5 4 ′ − = ′ ⇒ − − = ′ ⇒ = − ′ s s f s s f s f y por último, sustituyendo este valor en d: d s f f = − = − − ′ | \ | ¹ | = ′ 5 5 5 4 25 4 2ª: Que la imagen sea virtual. Ahora la imagen es derecha y el aumento positivo: ′ = + = ′ ⇒ ′ = β 4 s s s 4s LO OO LO s d s d s s 4s s 3s + ′ = ′ ⇒ + = ′ = ′− = − = Sustituyendo el valor de s' en la fórmula de las lentes y despejando s, queda: 1 1 1 1 4 1 1 3 4 ′ − = ′ ⇒ − = ′ ⇒ = − ′ s s f s s f s f y al sustituir este valor en d: d s f f = = − ′ | \ | ¹ | = − ′ 3 3 3 4 9 4 expresión en la que el signo negativo de la distancia d se debe a que, siendo positiva la focal imagen de la lente por ser ésta convergente, la distancia d va a ser negativa por estar la imagen O' a la izquierda del objeto O. III - 42 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 10. Dada una lente delgada divergente de índice n, discutir las diferentes posibilidades de su focal en función del medio que le rodea. n ) f ) ' (n & n ) ) 1 r 1 & 1 r 2 La expresión: permite calcular la focal de una lente de índice n sumergida en un medio de índice n' y de ella se deduce que el signo de su focal imagen f' depende del signo que tomen ambos paréntesis. Demostraremos que el segundo paréntesis es siempre negativo cualesquiera que sea la geometría y la orientación en el espacio de una lente divergente. Y si las lentes están orientadas “al revés”: En cuanto al signo del primer paréntesis (n - n'): a. Si el índice de la lente (n) es mayor que el índice del medio en el que está sumergida (n'), el paréntesis (n - n') es positivo y la focal de la lente es negativa, por lo que el sistema es divergente. b. Si el índice de la lente (n) es menor que el índice del medio en el que está sumergida (n'), el paréntesis (n - n') es negativo y la focal de la lente es positiva, por lo que el sistema es convergente. III - 43 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 11. Una lente biconvexa ha de tener un índice de 1,52. Se desea que uno de los radios sea doble que el otro y que la distancia focal sea de 5 cm. Hallar dichos radios. 12. Un objeto luminoso de 5 cm se quiere proyectar en una pantalla situada a 10 m de él para ver su imagen con un tamaño de 2 m. ¿Cuál debe ser la potencia de la lente y donde se debe colocar? Por tratarse de una lente biconvexa, el radio de la primera cara r 1 es positivo mientras que el de la segunda r 2 es negativo. Según el enunciado: r 1 = - 2.r 2 y como la focal de una lente en aire viene dada por la expresión: ( ) 1 1 1 1 1 2 ′ = − − f n r r al sustituir queda: ( ) 1 5 152 1 1 2 1 3 9 2 2 2 = − − − → = − , , r r r cm y sustituyendo en r 1 : r 1 = - 2.r 2 = - 2.(- 3,9) = + 7,8 cm Puesto que la imagen se va a recoger en una pantalla, se trata de una imagen real y por tanto invertida. Su tamaño es: y' = - 200 cm. y el aumento: β' = y'/y = - 200/5 = - 40 β' = s'/s = - 40 Y s' = - 40.s Por otra parte, de la figura se deduce la relación de segmentos orientados: OL + LO' = OO' en la que: LO = s Y OL = - s ; LO' = s' ; OO' = + 10 cm por lo que, teniendo en cuenta que s' = - 40.s, al sustituir queda: - s + s' = + 10 m Y - s + (-40.s) = + 10 m Y s = - 0,24 m y la distancia imagen: s' = - 40.s = - 40.(-0,24) = + 9,6 m Por último, la potencia de la lente es: P s s D = ′ − = − − = + 1 1 1 9 6 1 0 24 4 27 , , , Conclusión: la lente ha de ser convergente de + 4,27 dioptrías y ha de estar situada a 24 cm a la derecha del objeto. III - 44 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) n 1 = 1 ; n 2 = n = 1,5 ; n 3 = n' = 1,33 r 1 = r = + 10 cm ; r 2 = 2.r/3 = + 2.(10)/3 cm = + 6,66 cm a. Cálculo de la posición de los focos. La focal imagen de una lente de radios r 1 y r 2 y de índice n 2 sumergida en medios de índices n 1 y n 3 viene dada por la expresión (18) de este tema: ( ) ( ) n f n n r n n r 3 2 1 1 3 2 2 ′ = − + − y al sustituir valores y operar queda: ( ) ( ) 133 15 1 10 133 15 20 3 54 286 , , , , , ′ = − + − → ′ = + f f cm La focal objeto y la focal imagen están relacionadas por la expresión (24) de este tema: f = - n 1 .f ' / n 3 = - 1.(-54,286)/1,33 = - 40,816 cm b. Cálculo de la posición de la imagen. La posición de la imagen formada por una lente viene dada por la expresión (26) de este tema: ( ) n s n s n f s n sf n s n f 3 1 3 3 3 1 ′ − = ′ → ′ = ′ + ′ y teniendo en cuenta que, según el enunciado, el objeto está a una distancia s = - d, al sustituir todos los valores queda: s ) ' &72,2.d &1,33.d % 54,286 ' &72,2 &1,33 % 54,286 d c. Discusión de este resultado. 1º. Si d = 0, es s' = 0. 2º. Si 54,286 / d > 1,33, entonces s' es negativo y la imagen estará situada a la izquierda de la lente, siendo virtual. Esta situación se va a producir para d < 54,286/1,33, es decir, para d < 40,816 cm. 3º. Si 54,286 / d = 1,33, entonces es s' = 4 44 4. Despejando d se deduce que esta situación se producirá cuando d = 40,816 cm. 4º. Si 54,286 / d < 1,333, entonces s' es positiva y la imagen será real e invertida y estará situada a la derecha de la lente. Esto sucederá cuando d > 40,816 cm. 5º. Si d = 4, entonces es: s' = -72,2/-1,33 = + 54,286 cm = f ' y la imagen, naturalmente, estará situada en el foco imagen de la lente. 13. Una lente delgada convexo-cóncava tiene un índice n = 1,5. La primera cara, de radio r = 10 cm, está en contacto con el aire y la segunda, de radio 2.r/3, con un medio de índice n'. a) calcular la posición de los focos en función de n', sabiendo que r = 10 cm. b) hallar la posición de la imagen de un punto situado en el eje, a la izquierda de la primera cara y a una distancia d de ella. Discutir el resultado cuando d varía entre cero e infinito si n' = 1,33. III - 45 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 14. Calcular gráfica y analíticamente el centro óptico de una lente delgada que separa el aire de un medio de índice n = 1,5 y cuya distancia focal imagen es f ' = + 30 cm. a. Determinación gráfica. Puesto que se conoce la focal imagen f ', se puede calcular la focal objeto f : f f n n f f n n cm ′ = − ′ → = − ′ ′ = − = − 30 15 20 , Una vez situado el foco objeto F, desde un punto cualquiera P de su plano focal objeto se traza un rayo (-<-) paralelo al eje. Este rayo emerge en dirección F'. Un segundo rayo (-<<-) que incida paralelo a la dirección de emergencia del rayo -<-, ha de emerger paralelo al -<- por proceder ambos de un mismo punto P del plano focal objeto. En consecuencia, el rayo -<<- no se desvía al atravesar la lente. De este hecho se deduce que este rayo -<<- está pasando por el centro óptico del sistema, quedando definida la posición del centro óptico en la intersección de este rayo -<<- con el eje (punto O). b. Determinación analítica. Debido al paralelismo de los rayos -<- y -<<- emergentes, los triángulos PAB y OF'C son iguales, por lo que: PA = OF' y evaluando ambos segmentos: AP = f Y PA = - f (1) LO + OF' = LF' Y OF' = LF' - LO = f ' - LO (2) e igualando (1) y (2): - f = f ' - LO Y LO = f ' + f = + 30 + (- 20) = + 10 cm resultado del que se deduce que el centro óptico O está situado a 10 cm a la derecha de la lente. III - 46 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 15. Hallar gráfica y analíticamente la posición y el tamaño de la imagen de un pequeño objeto situado a 50 cm de una primera lente de potencia 4 dioptrías, que está situada a 10 cm de una segunda lente de -5 dioptrías. a. Cálculo de la imagen que forma la primera lente. P s s s P s s m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 0 5 2 0 5 = ′ − → ′ = + = + − = → ′ = + , , b. Cálculo de la imagen que forma la segunda lente. P 1 s 1 s 1 s P 1 s 2 2 2 2 2 2 = ′ − → ′ = + y como: s 2 = L 2 O 2 = L 2 O' 1 = L 1 O' 1 - L 1 L 2 = 0,5 m - 0,1 m = + 0,4 m queda: 1 5 1 0 4 2 5 0 4 2 2 ′ = − + = − → ′ = − s s m , , , resultado del que se deduce que la imagen final está situada a 40 cm a la izquierda de la segunda lente. c. Cálculo del tamaño de la imagen. El aumento en una asociación de lentes es el producto de los aumentos: β' 1 = y' 1 /y 1 = s' 1 /s 1 = 0,5/-0,5 = - 1 β´ 2 = y´ 2 /y 2 = s´ 2 /s 2 = - 0,4/0,4 = - 1 ′ = ′ ′ = ′ ′ = − − = + β β β 1 2 1 1 2 2 1 1 1 y y y y ( )( ) y como la imagen y' 1 que forma la primera lente es objeto virtual (y 2 ) para la segunda, queda: β' = y´ 2 /y 1 = + 1 Y y´ 2 = y 1 en consecuencia, la imagen final y´ 2 tiene el mismo tamaño que el objeto y 1 . III - 47 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 16. ¿A qué distancia mínima se encuentra un objeto y su imagen para una lente cilíndrica convergente suponiendo que el objeto está dispuesto perpendicularmente al eje del cilindro de la lente?. En la figura se ha supuesto una lente cilíndrica plano convexa, aunque el planteamiento es independiente del tipo de lente. La distancia que separa al objeto de la imagen es: d = OO'= OV + VO' = (- s) + (s') s' = d + s y sustituyendo este valor en la fórmula de las lentes (1/s' - 1/s = 1/f'), queda: 1 1 1 2 d s s f d s s f + − = ′ → = − + ′ La condición de mínimo requiere que la primera derivada sea nula, por lo que derivamos respecto de s para obtener el valor de la posición s del objeto que hace mínima a la distancia d, siendo f', focal imagen de la lente, constante: d ) ' 0 ' &2.s.(s % f ) ) & (&s 2 ) (s % f ) ) 2 ' &s.(s % 2.f ) ) (s % f ) ) 2 ' 0 lo que requiere que el numerador sea nulo: s (s + 2.f') = 0 ecuación que presenta dos soluciones: 1ª) que s = 0, en cuyo caso el objeto y la imagen estarían pegados a la lente siendo nula la distancia entre ellos. 2ª) que s + 2.f' = 0, de donde s = - 2.f' y, en este caso, la distancia d entre objeto e imagen sería: d = - s + s' = - (- 2.f') + s' = 2.f' + s' y sustituyendo el valor de s en la fórmula de las lentes: 1 1 1 1 1 2 1 2 2 s f s f f f s f ' ' ' ' ' ' ' = + = + − = = y llevando este valor a la expresión de la distancia d: d = 2.f ' + s' = 2.f' + 2.f' = 4.f ' resultado del que se deduce que la menor distancia que puede existir entre un objeto y la imagen formada por una lente convergente es 4.f ' , lo que sucede cuando el objeto está situado a una distancia doble de la focal (s = - 2.f'), siendo objeto e imagen equidistantes de la lente por ser s' = 2.f '. III - 48 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) a. Relación entre la distancia e y la posición del objeto s 1 . El aumento en una asociación de lentes es: ′ = ′ ′ = ′ ′ = − β β β 1 2 1 1 2 2 4 s s s s y teniendo en cuenta que: P s s s s s P s s s s s 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 15 15 1 1 1 125 125 1 = ′ − = → ′ = + = ′ − = → ′ = + , , , , al sustituir queda: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) β ) ' 1 (1,5.s 1 % 1).(1,25.s 2 % 1) ' & 4 La primera lente forma una primera imagen y' 1 del objeto (y); esta imagen hace de objeto para la segunda lente, que forma la imagen final y' 2 . Como se desconoce la posición de estas imágenes, en la figura se han situado en una posición cualquiera pero posible, con la seguridad de que las relaciones que obtengamos a partir de ella serán correctas. De ella se deduce que: AB = AO' 1 + O' 1 B Y e = s' 1 + (-s 2 ) s s e s s e 2 1 1 1 15 1 = ′ − = + − , y sustituyendo este valor en (1): . . . . . . . . . . . (2) e s s = + + 11 5 7 5 5 1 1 , expresión en la que s 1 y e se expresan en metros. b. Cálculo de la posición del objeto para e = 50 cm. Si e = 50 cm = 0,5 m, sustituyendo este valor en (2) queda: 0 5 11 5 7 5 5 0 3448 34 48 1 1 1 , , , , = + + → = − = − s s s m cm c. Cálculo de la nueva posición del objeto al variar e en 1 mm. Si la lente se desplaza 1 mm, puede ocurrir que este desplazamiento se produzca hacia la primera lente o alejándose de ella. En el primer caso, si la segunda lente se desplaza hacia la primera, el valor de la distancia e es: e = 50 cm - 1 mm = 49,9 cm = 0,499 m 17. Dadas dos lentes delgadas de potencias P 1 = 1,5 y P 2 = 1,25 dioptrías, determinar la relación que hay entre la distancia e entre ellas con la distancia entre el objeto y la primera lente para tener un aumento transversal total de -4. Calculada esta relación, decir cuál es la posición del objeto si e = 50 cm. Si, en estas condiciones, e sufre una variación de 1 mm debido a que se desplaza la segunda lente, ¿cuánto tiene que variar la posición del objeto y en qué sentido para que el aumento del sistema siga valiendo -4? III - 49 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 18. Demostrar que si el aumento transversal es -1 en una lente delgada, entonces la distancia objeto- imagen es 4.f'. y la posición del objeto: e s s m s m cm = + + = → = − = − 11 5 7 5 5 0 499 0 3452 34 52 1 1 1 , , , , y como la posición inicial del objeto era s 1 = - 34,48 cm, el desplazamiento que hay que dar al objeto para que el aumento mantenga el mismo valor es: ∆s = - 34,52 - (-34,48) = - 0,04 cm = - 0,4 mm es decir, ha de alejarse 0,4 mm de la primera lente. En el segundo caso, si la segunda lente se aleja de la primera, la distancia e es: e = 50 cm + 1 mm = 50,1 cm = 0,501 m y la posición del objeto: e s s m s m cm = + + = → = − = − 11 5 7 5 5 0 501 0 3445 34 45 1 1 1 , , , , y el desplazamiento del objeto: ∆s = - 34,45 - (-34,48) = + 0,03 cm = 0,3 mm por lo que, en este segundo caso, el objeto ha de desplazarse 0,3 mm hacia la primera lente. En una lente delgada el aumento es: ′ = ′ β s s y como en este caso es β' = - 1, queda: ′ = − → ′ = − s s s s 1 e introduciendo este valor en la fórmula de las lentes: 1 1 1 1 1 1 2 2 ′ − = ′ → − − = ′ → = − ′ → ′ = − = ′ s s f s s f s f s s f Por otra parte, de la figura se deduce que la distancia OO' entre el objeto y la imagen es: OO' = OL + LO' = - s + s' y sustituyendo s y s' por los valores hallados: OO' = - (- 2.f') + 2.f' = 4.f' III - 50 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) a. Para que esta persona vea los objetos muy alejados es preciso colocarle unas gafas tales que, de un objeto situado en el infinito, formen la imagen en su punto remoto, que es 1 m. La potencia P LEJOS de estas lentes para lejos es: P LEJOS = 1/s' - 1/s P LEJOS = (1/-1) - (1/4) = - 1 dt. b. La potencia total de las gafas para ver de cerca ha de ser tal, que la imagen de un objeto situado a 20 cm se ha de formar en su punto próximo, es decir, a 40 cm: P CERCA = 1/s' - 1/s = (1/-0,4) - (1/-0,2) = - 2,5 + 5 = + 2,5 dt. Según el enunciado, esta potencia se ha de conseguir mediante la adición de una lente de potencia P ADICIÓN a la lente para lejos, cuya potencia P LEJOS acabamos de calcular, por lo que: P CERCA = P ADICIÓN + P LEJOS P ADICIÓN = P CERCA - P LEJOS = + 2,5 - (- 1) P ADICIÓN = + 3,5 dt c. La expresión relaciona la potencia de una lente con su geometría: P n r r = − − ( ) 1 1 1 1 2 y como se trata de una lente equiconvexa los radios de ambas caras son iguales y de signo opuesto: r 1 = + r ; r 2 = - r por lo que al sustituir queda: ( ) P n r r n r ADICION = − − − = − ( ) 1 1 1 2 1 r n P m ADICION = − = − = 2 1 2 15 1 3 5 0 29 ( ) ( , ) , , 19. Un miope que se ha hecho présbita tiene una distancia máxima de visión distinta de 100 cm y su distancia mínima de visión es de 40 cm. a) ¿Qué lentes es necesario emplear para que vea perfectamente el infinito?. b) Para ver de cerca con las mismas gafas, se acoplan a las lentes anteriores, en su parte inferior, otras lentes. Calcular la potencia de estas segundas lentes para que su punto próximo se vea reducido a 20 cm a través de las gafas. c) Las lentes colocadas para ver de cerca son equiconvexas, delgadas y de índice 1,5. Calcular el radio de curvatura de sus caras. Suponer las gafas pegadas al ojo. III - 51 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) a. La lente ha de formar, del objeto situado a 30 cm, una imagen situada a 1,20 m ya que ésta es la menor distancia a la que esta persona puede ver con nitidez, por lo que: s = - 30 cm = - 0,3 m ; s' = - 1,20 m y sustituyendo estos valores en la fórmula de las lentes: P = 1/s' - 1/s = 1/(-1,20) - 1/(-0,3) P = + 2,5 dt b. En este caso, la posición del objeto y de la imagen es la misma que antes referida al ojo. Sin embargo, las distancias s y s' son distintas por estar referidas a la lente. Los nuevos valores de s y s' son: OL + LE = OE y como OL = - s, queda: - s + LE = + 30 cm Y s = LE - 30 O'L + LE = O'E y como O'L = - s', queda: - s' + LE = + 120 cm Y s' = LE - 120 y sustituyendo estos valores en la fórmula de las lentes: 1 f ) ' 1 s ) & 1 s Y 1 36 ' 1 LE & 120 & 1 LE & 30 ecuación que resuelta ofrece dos soluciones: LE = + 147,56 cm y LE = + 2,44 cm de las que únicamente es válida la segunda ya que la primera exigiría que la lente trabajara con objeto virtual por estar situada a la izquierda del objeto. Además, esta primera solución implica que la lente estuviera a más de 1,20 m del ojo que es la distancia mínima de visión distinta para la persona a la que se refiere el enunciado. En consecuencia: d = LE = 2,44 cm 20. Un présbita cuya distancia mínima de visión distinta es de 1,20 m quiere leer a una distancia de 30 cm. Calcular: a) la convergencia de las lentes que debe emplear en el supuesto de que el ojo esté prácticamente pegado a la lente. b) si no disponemos mas que de lentes de 36 cm de focal, ¿a qué distancia del ojo deberá colocar las lentes para ver lo mejor posible el libro situado a 30 cm del ojo? III - 52 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) fig. 1 fig. 2 a. En la figura 1, R es el punto remoto de esta persona y P su punto próximo. Esta persona únicamente puede ver los objetos (sin gafas) o las imágenes (con gafas) que estén situados en la zona definida por el segmento RP comprendido entre su punto remoto y su punto próximo. Para poder ver un objeto alejado (en el infinito), esta persona necesita una lente tal que forme la imagen en su punto remoto R. La potencia de esta lente es: P = 1/s' - 1/s = 1/(-0,40 m) - 1/4 = - 2,5 dt b. Con estas gafas diseñadas para lejos esta persona va a ver nítidamente los objetos lejanos. Sin embargo no puede ver aquéllos objetos que estén muy próximos. Para calcular la posición más próxima a la que puede estar situado un objeto para que lo pueda ver, hagamos la siguiente consideración: en una lente divergente, a medida que se acerca el objeto hacia la lente (posiciones y A , y B , y C ,.. de la figura 2), la imagen también se acerca (posiciones y' A , y' B , y' C ,..). Cuando el objeto está en la posición C la imagen se forma justamente en el punto próximo P. Si el objeto se acercara más a la lente, la imagen se formaría a menor distancia que el punto próximo y esta persona no la podría ver nítidamente. En consecuencia la posición C es la más próxima a la que puede puede estar un objeto para que la pueda ver con estas gafas diseñadas para lejos. La distancia s a la que está situada la posición C del objeto es: P = 1/s' - 1/s ; - 2,5 = 1/(-0,15 m) - 1/s y operando: s = - 0,24 m = - 24 cm resultado del que se deduce que, con estas gafas, no podrá ver objetos que estén situados a menos de 24 cm ya que, para posiciones más próximas, la imagen se metería en la zona PL en la que no puede ver con nitidez. Nota: en la resolución de este problema se ha despreciado la distancia lente-ojo ya que el enunciado no indica su valor. 21. Una persona con una severa miopía puede ver claramente los objetos sólo si están situados a una distancia entre 15 y 40 cm del ojo. Determinar la distancia focal de las lentes de las gafas que le proporcionarán una visión clara de los objetos lejanos. Hallar después la distancia desde el ojo hasta el objeto más próximo que esta persona puede distinguir claramente cuando utiliza las gafas. III - 53 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 22. Las lentes de unas gafas de miope tienen una distancia focal de -20 cm y la lente está situada a 1,4 cm del ojo. Si esta persona cambia a lentes de contacto situadas directamente sobre el ojo, ¿cuál deberá ser la potencia de éstas?. fig. 1 fig. 2 a. Cálculo de la posición del punto remoto. Para que este miope pueda ver con gafas los objetos alejados (s = 4), la lente ha de formar la imagen en su punto remoto R (fig. 1), por lo que: 1 1 1 1 1 1 ′ = ′ − = ′ − ∞ = ′ f s s s s s' = f ' = - 20 cm = RL en consecuencia, el punto remoto R ha de coincidir con el foco imagen F' de la lente. No obstante, esta posición s calculada es la distancia entre el punto remoto R y la lente. La posición de R referida al ojo es: RE = RL + LE = 20 + 1,4 = 21,4 cm = 0,214 m b. Cálculo de la potencia de las lentes de contacto. Cuando el miope utilice lentes de contacto, acopladas directamente sobre el ojo, la potencia de estas lentes ha de ser tal, que de un objeto situado en el infinito, formen la imagen en el punto remoto R. La potencia de estas lentes, al tener su segunda superficie en contacto con la lágrima acuosa (n = 4/3) que cubre la córnea viene dada por la expresión (29) de la pág. III-16: P = n 3 /s' - n 1 /s en la que: s = 4 ; s' = - 21,4 cm = - 0,214 m y n 1 = 1 (aire) ; n 3 = 4/3 (agua) quedando al sustituir y operar: P ' n 3 s ) & n 1 s ' 4/3 & 0,214 & 1 4 ' & 6,23 dt Si la lente no estuviera adosada al ojo, es decir, si entre la lente y el ojo existiera una capa de aire de espesor despreciable, la potencia necesaria sería: P s s dt = ′ − = − − ∞ = − 1 1 1 0 214 1 4 67 , , III - 54 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 23. Dos lentes cilíndricas separadas entre sí 20 mm tienen potencias P 1 = 103, 333 D y P 2 = 36,905 D en dos planos perpendiculares entre sí. a) Si el objeto se sitúa a 10 mm a la izquierda de la primera lente, ¿dónde se localizarán las imágenes? b) Si el objeto es un cuadrado de 10 x 10 mm, ¿qué forma tendría su imagen? La potencia de la lente L 1 , en el meridiano vertical (plano YZ), es nula ya que su sección según este plano no presenta ninguna superficie esférica. La potencia de esta lente en el meridiano horizontal (plano XY) es, según el enunciado del problema, P 1 = 103,33 D. La lente L 2 tiene potencia nula en su meridiano horizontal mientras que su potencia en el vertical es P 2 = 36,905 D. En consecuencia, para las dimensiones verticales (CA) del objeto, todo sucede como si únicamente existiera la lente L 2 , mientras que sobre las dimensiones horizontales (BD) del objeto, únicamente actúa la lente L 1 . a. Imagen de DB formada por la lente L 1 . a.1. Posición. P = 1/s' 1 - 1/s 1 Y s 1 = - 10 mm = - 0,010 m ; P 1 = + 103,33 D y sustituyendo y operando: s' 1 = + 0,30 m = + 300 mm a.2. Tamaño. β' 1 = y' 1 / y 1 = s' 1 / s 1 Y y' 1 = y 1 .s' 1 / s 1 = 10 mm.(300 mm) / (-10 mm) = - 300 mm = D'B' b. Imagen de CA formada por la lente L 2 . b.1. Posición. P 2 = 1/s' 2 - 1/s 2 Y s 2 = - 30 mm = - 0,030 m ; P 2 = 36,905 D. y sustituyendo y operando: s' 2 = + 0,28 m = + 280 mm b.2. Tamaño. β' 2 = y' 2 / y 2 = s' 2 / s 2 Y y' 2 = y 2 .s' 2 / s 2 = 10 mm.(280 mm) / (- 30 mm) = - 93,333 mm = C'A' CONCLUSIÓN. De la posición obtenida para ambas imágenes se deduce que están en un mismo plano imagen ya que las dos están a 300 mm de la lente L 1 o, lo que es lo mismo, a 280 mm de L 2 . Del tamaño de las imágenes C'A' y D'B' se deduce que la imagen total es un rectángulo invertido respecto del objeto y mayor que él, de dimensiones: (D'B') x (C'A') = 300 mm x 93,33 mm III - 55 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 24. Un cubo de arista L = 12 cm e índice n tiene un espacio hueco en su interior en forma de esfera de radio r = 3 cm. Sabiendo que el centro del cubo y el centro de la esfera están alineados, calcular el índice de refracción del cubo y la posición de la esfera dentro de él para que un haz estrecho de rayos paralelos que incide en el cubo normalmente a una de sus caras, salga de la esfera pasando por el centro del cubo y salga del cubo pasando por el centro de la esfera. Se supone el cubo inmerso en aire, medio que llena también la esfera hueca. En la figura, C es el centro del cubo y E el de la esfera. Los rayos paralelos que inciden sobre la primera cara del cubo (plana de vértice V 1 ) no se desvían por incidir perpendicularmente a ella y alcanzan la primera superficie de la esfera (convexa de vértice V 2 ) refractándose en dirección que pasa por su foco imagen F' 2 , dando lugar a la formación de una imagen en este punto F' 2 , cuya posición calculamos mediante la expresión: f ' = n'.r / (n'-n) en la que: n = n CUBO = n ; n' = n ESFERA (aire) = 1 ; r = + 3 cm y sustituyendo: f ' 2 = 3 / (1-n) = V 2 F' 2 A continuación la luz alcanza la segunda superficie de la esfera (cóncava de vértice V 3 ) y se refracta en ella pasando del aire (esfera) al medio de índice n (cubo). Para esta segunda superficie de la esfera todo sucede como si la luz procediera de un objeto real situado en F' 2 a una distancia s 3 de su vértice V 3 , dando lugar a una imagen que, según el enunciado, ha de estar situada en el centro C del cubo, a una distancia s' 3 del vértice V 3 . El valor de s 3 y de s' 3 no es posible calcularlo por desconocerse el índice de refracción del cubo pero sí se pueden calcular en función de éste índice. Para ello consideremos la relación de segmentos (ver figura): F' 2 V 3 = F' 2 V 2 + V 2 V 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) y como: F' 2 V 3 = - s 3 ; F' 2 V 2 = - f ' 2 ; V 2 V 3 = + 6 cm al sustituir estos valores en (1) queda: - s 3 = - f ' 2 + 6 Y s 3 = f ' 2 - 6 = [3 / (1- n)] - 6 = (6.n - 3) / (1 -n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) También de la figura se deduce que: CV 3 = CE + EV 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) y como: CV 3 = - s' 3 ; CE = + d ; EV 3 = + 3 cm III - 56 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) al sustituir estos valores en (3) queda: - s' 3 = d + 3 Y s' 3 = - (d + 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4) Sustituyendo los valores de s 3 y s' 3 dados por las expresiones (2) y (4) en la fórmula de Gauss , n´ s´ & n s ' n & 1 r teniendo en cuenta que ahora es: n = n ESFERA (AIRE) = 1 ; n' = n CUBO = n ; r = - 3 cm queda: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5) n &(d % 3) & 1 & n 6n & 3 ' n & 1 &3 Y n ' 9 % 6d 6d Por último, la luz alcanza la segunda superficie del cubo (plana de vértice V 4 ) y se produce una nueva refracción. Para esta cara plana todo sucede como si los rayos procedieran de un objeto situado en C a una distancia s 4 de su vértice V 4 . Según el enunciado, esta superficie ha de formar la imagen final en el centro de la esfera E, a una distancia s' 4 . Calcularemos s 4 y s' 4 en función de n. En la figura se designa por d a la distancia CE entre el centro del cubo y el de la esfera. De ella se deduce que: CV 4 = CE + EV 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6) y como: CV 4 = - s 4 = + 6 cm ; CE = d ; EV 4 = - s' 4 al sustituir estos valores en (6) queda: - s 4 = d + (- s' 4 ) Y 6 = d - s' 4 Y s' 4 = d - 6 Sustituyendo estos valores de s 4 y s' 4 en la fórmula del dioptrio plano, teniendo en cuenta que ahora la luz pasa del cubo al aire y que por tanto ahora es: n = n CUBO ; n' = n AIRE = 1 queda: n / s = n' / s' Y n / s 4 = = 1 / s' 4 Y n / (-6) = 1 / (d - 6) n = 6 / (6 - d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7) Por último, igualando las expresiones (5) y (7): 9 % 6d 6d ' 6 6 & d Y 2d 2 % 3d & 18 ' 0 ecuación que ofrece dos soluciones: d 1 = 2,34 cm y d 2 = - 3,84 cm de las que únicamente es válida la primera ya que la segunda requiere que una parte de la esfera esté fuera del cubo. Del signo positivo de d 1 se deduce que el centro de la esfera está a 2,34 cm a la derecha del centro del cubo. Sustituyendo este valor de d en cualquiera de las expresiones (5) o (7) se obtiene el valor del índice de refracción del cubo: n = 6 / (6 - d) = 6 / (6 - 2,34) = 1,64 III - 52 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 25. Una persona miope necesita una corrección de -2,5 dt para ver objetos lejanos. Con esta corrección, es capaz de ver objetos a una distancia mínima de 24 cm. Calcular el intervalo de visión cuando no lleva gafas. Si la lente correctora tiene un índice de 1,5 y el radio de curvatura de la primera cara es el doble que el de la segunda, calcular cómo varía el intervalo de visión cuando la persona se sumerge en el mar considerando, en este caso, que entre la lente y el ojo el medio es aire. Despreciar la distancia lente ojo. fig. 1 fig. 2 A. PERSONA SITUADA EN EL AIRE. La lente correctora forma, de un objeto en el infinito, una imagen en el punto remoto R del miope, siendo R el punto más alejado que puede ver sin gafas (fig. 1) y cuya posición calculamos: P s s s s m = ′ − → − = ′ − ∞ → ′ = − 1 1 2 5 1 1 0 4 , , resultado del que se deduce que el punto remoto R de esta persona está a 40 cm y, por lo tanto, sin gafas no podrá ver objetos situados a menos distancia. Por ser una lente divergente, las imágenes que forma están situadas entre el objeto y la propia lente (fig. 2) de manera que para una determinada posición A del objeto, la imagen se forma en el punto próximo P. Si el objeto estuviera en una posición B más próxima, la imagen se formaría en B', punto situado a menor distancia que su punto próximo P y no podría verlo con nitidez. En consecuencia, la posición del punto más próximo que puede ver con gafas es A, situado según el enunciado a una distancia de 24 cm, por lo que: P s s s s m cm = ′ − → − = ′ − − ′ = − = − 1 1 2 5 1 1 0 24 0 15 15 , , , resultado del que se deduce que, el punto próximo P de esta persona está a 15 cm por lo que, sin gafas, esta persona no puede ver objetos situados a menos distancia. CONCLUSIÓN: sin gafas su intervalo de visión es desde 15 hasta 40 cm. B. PERSONA SUMERGIDA EN AGUA. Para poder conocer el intervalo de visión cuando está sumergida es preciso calcular la potencia de la lente cuando, según dice el enunciado, el primer medio es agua y el segundo ,entre lente y ojo, es aire, despreciándose esta distancia. La potencia P de la lente en aire es: P P P n f f = + = ′ + ′ 1 2 1 2 1 en la que P 1 , P 2 , f' 1 y f' 2 son las potencias y focales de las superficies que delimitan la lente y n su índice. Calculamos estas focales: ′ = ′ ′ − = − = ′ = ′ ′ − = − = − f n r n n r r f n r n n r r 1 1 2 2 15 2 15 1 6 1 1 15 2 , .( ) , . , en las que r es el radio de la segunda superficie de la lente. III - 53 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 26. Calcular analíticamente el aumento transversal que produce un dioptrio plano para cualquier posición del objeto. Al sustituir queda: − = + − → = + = + 2 5 15 6 1 2 0 1 10 , , , r r r m cm La potencia P' de la lente cuando la primera cara está sumergida en agua es P' = P' 1 + P 2 en la que P' 1 es la potencia que tiene ahora la primera superficie, mientras que P 2 es la potencia de la segunda superficie, que no sufre ningún cambio por seguir estando en contacto con el aire, por lo que tiene el mismo valor que en el caso anterior, es decir, P 2 = 1/f' 2 = -1/2r. Calculando P' 1 y sustituyendo queda: ′ = ′ ′ − = − = → ′ = ′ ′ = ′ = + = + − | \ | ¹ | → = → ′ = − f n r n n r r P n f r P P P r r r m P dt 1 1 1 1 1 2 15 2 15 1 33 18 15 18 15 18 1 2 0 1 4 166 , .( ) , , , , , , Calcularemos a continuación el nuevo intervalo de visión, es decir, la zona comprendida entre la posición más alejada y la más próxima en la que puede estar situado un objeto para que la persona sumergida pueda verlo con gafas. Para ello recordemos que esta persona únicamente puede ver objetos (sin lentes) o imágenes (con lentes) que estén situados a más de 15 cm y a menos de 40 cm y que la potencia de la lente, cuando está sumergida es de -4,166 dt. En estas condiciones, si un objeto está situado en el agua a distancia infinita, la lente va a formar una imagen de él en una posición: ′ ′ − = ′ ′ = → ′ = − + ∞ → ′ = − = − n s n s n f P s s m cm 1 4 166 4 3 0 24 24 , , por lo que esta persona, sumergida con gafas, va a poder ver objetos en el infinito ya que su imagen se forma a 24 cm, lo que está dentro de su campo de visión. En las lentes divergentes, al acercar el objeto la imagen también se acerca, por lo que para una determinada posición del objeto la imagen va a estar en la posición más próxima para que pueda ser vista, es decir, a 15 cm. Esta posición del objeto es: ′ ′ − = ′ ′ = → = − − − → = − = − n s n s n f P s s m cm 4 3 1 0 15 4 166 0 533 53 , ( , ) , CONCLUSIÓN: sumergida con gafas, esta persona va a poder ver objetos situados entre 53,3 cm y el infinito. El aumento transversal en un dioptrio esférico viene dado por la expresión: ′ = ′ ′ β ns n s y teniendo en cuenta que un dioptrio plano es también un dioptrio esférico (de radio infinito), la expresión anterior es válida para el dioptrio plano. No obstante, la relación que existe entre la posición del objeto y de la imagen en el dioptrio plano es: n s n s ns n s = ′ ′ → ′ = ′ por lo que al sustituir en la expresión del aumento queda: ′ = + β 1 III - 54 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 27. Un anciano puede ver sin gafas los objetos situados a distancias entre 60 y 200 cm de su ojo. ¿Qué lentes necesita para ver objetos alejados?, ¿y para leer el periódico colocado a 30 cm del ojo? ¿A qué distancia no podrá ver esta persona con las lentes calculadas anteriormente? Despreciar la distancia lente-ojo. fig. 1 fig. 2 fig. 3 a. LENTES PARA OBJETOS ALEJADOS. La lente que necesita ha de formar, de un objeto y situado en el infinito, una imagen y' en su punto remoto R (fig. 1): s = 4 44 4 ; s'= - 200 cm = - 2 m P s s dt L = ′ − = − − ∞ = − 1 1 1 2 1 0 5 , b. LENTES PARA OBJETOS A 30 CM. La lente que necesita ha de formar, de un objeto y situado a 30 cm, una imagen y' situada en su punto próximo P (fig. 2): s = - 30 cm = - 0,3 m s'= - 60 cm = - 0,6 m P s s dt C = ′ − = − − − = + 1 1 1 0 6 1 0 3 1 67 , , , c. DISTANCIAS A LAS QUE NO PUEDE VER CON ESTAS LENTES. c.1. Con las lentes para ver "de lejos". Con estas lentes, cuya potencia calculada en el apartado a. es de - 0,5 dt, esta persona puede ver perfectamente los objetos alejados. Sin embargo, cuando un objeto se acerca a una lente divergente ésta forma de él una imagen cada vez más próxima a la lente por lo que habrá una posición del objeto s para la que la imagen y' se formaría en el punto próximo P (fig. 3): ( ) P s s s s P L L = ′ − → = ′ − = − − − = − 1 1 1 1 1 0 6 0 5 117 , , , s m cm = − = − = − 1 117 0 86 86 , , resultado del que se deduce que, con estas lentes, no podrá ver objetos situados a menos de 86 cm ya que la imagen se formaría a una distancia menor que el punto próximo, es decir, entre P y la lente y en esa zona no puede ver con nitidez ningún objeto. III - 55 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) fig. 4 28. En el siguiente sistema, hallar gráficamente la imagen del objeto. Explicar los pasos seguidos y definir la imagen. c.2. Con las lentes para ver "de cerca". Con estas lentes, cuya potencia calculada en el apartado b. es de + 1,67 dt, esta persona puede ver objetos situados a una distancia mínima de 30 cm. No obstante, al alejarse un objeto de una lente convergente (que trabaje con objeto dentro de su focal como en este caso) la imagen también se aleja de la lente por lo que habrá una posición s del objeto (fig. 4) para la cual la imagen se forme en el punto remoto R. Esta posición s es: P s s s s P C C = ′ − → = ′ − = − − = − 1 1 1 1 1 2 167 2 17 , , s = -0,46 m = - 46 cm resultado del que se deduce que esta persona, con las gafas para ver "de cerca", no podrá ver objetos situados a más de 46 cm ya que para mayores distancias objeto, la imagen se formaría más lejos que el punto remoto R. El rayo -<- incide en dirección al foco objeto F 1 de la primera lente por lo que emerge de ella paralelo al eje, saliendo del sistema en dirección foco imagen F' 2 de la segunda. El rayo -<<- incide paralelo al eje y emerge de la primera en dirección a su foco imagen F´ 1 . Para conocer la dirección de este rayo después de atravesar la segunda lente es preciso trazar un rayo auxiliar (-<-<-<-) con el que ha de cortarse en un punto (P) del plano focal F' 2 por incidir ambos sobre la segunda lente paralelos entre sí. La utilización del rayo que partiendo del objeto incidiera por el centro de la primera lente no es conveniente en este caso ya que este punto no es su centro óptico por ser f 1 … f´ 1 como puede verse claramente en la figura que representa al sistema propuesto y, en consecuencia, este rayo sufriría una desviación. III - 56 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 29. Una semiesfera de vidrio con índice 1,5 sumergida en aire tiene un radio de 5 cm. Dos rayos paralelos al eje inciden sobre la cara curva a una altura sobre el eje óptico de 2 y 4 cm respectivamente. Hallar: a) el punto de corte de estos rayos con el eje después de atravesar la semiesfera. b) el ángulo que forman estos rayos entre sí a la salida. c) si suponemos una lente delgada de las mismas características geométricas, ¿donde focalizarían los rayos? 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. El rayo incidente sufre una primera refracción en P y una segunda en Q, cortando al eje en un punto B situado a una distancia x del centro de curvatura C de la semiesfera. Esta distancia x es la que hemos de calcular. En el triángulo QCB: tg δ = QC/x ; x = QC/tg δ por lo tanto, para determinar la posición del punto de corte x hay que calcular el segmento QC y el ángulo δ. 2. CONSIDERACIONES GEOMÉTRICAS. Los ángulos g' 2 y δ son iguales por tener un lado común y el otro paralelo, siendo δ la desviación que sufre el rayo al atravesar la semiesfera ya que es el ángulo que forman las direcciones del rayo incidente y el emergente: δ = g' 2 Por la misma razón los ángulos g 1 y α son también iguales: α = g 1 . 3. CÁLCULO DEL ÁNGULO DE INCIDENCIA g 1 . En el triángulo PAC: sen α = sen g 1 = h/r para h = 2 cm: sen g 1 = 2/5 = 0,4 û g 1 = 23,58 o para h = 4 cm: sen g 1 = 4/5 = 0,8 û g 1 = 53,13 o 4. CÁLCULO DEL ÁNGULO DE REFRACCIÓN g' 1 . En el punto P: sen g 1 = n.sen g' 1 ; sen g' 1 = (sen g 1 )/n para h = 2 cm: sen g' 1 = (sen 23,58)/1,5 = 0,27 û g' 1 = 15,47 o para h = 4 cm: sen g' 1 = (sen 53,13)/1,5 = 0,53 û g´ 1 = 32,23 o 5. CÁLCULO DEL ÁNGULO g 2 . En el punto P: g 1 = g' 1 + g 2 û g 2 = g 1 - g' 1 para h = 2 cm: g 2 = 23,58 - 15,47 = 8,11 o III - 57 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) para h = 4 cm: g 2 = 53,13 - 32,23 = 20,90 o 6. CÁLCULO DEL ÁNGULO g' 2 . Aplicando la ley de Snell en el punto Q: n.sen g 2 = sen g' 2 para h = 2 cm: sen g' 2 = 1,5.sen 8,11 = 0,21 ; g' 2 = 12,22 o para h = 4 cm: sen g' 2 = 1,5.sen 20,9 = 0,54 ; g' 2 = 32,35 o 7. CÁLCULO DEL SEGMENTO QC. Aplicando el teorema de los senos al triángulo PQC: ( ) ( ) r sen QC sen QC r sen sen ε ε ε ε 2 1 1 2 90 90 + = ′ → = ′ + . para h = 2 cm: ( ) QC .sen , sen , , cm = + = 5 1547 811 90 135 para h = 4 cm: ( ) QC sen sen cm = + = 5 32 23 20 9 90 2 85 . , , , 8. CÁLCULO DEL PUNTO DE CORTE (X). Según se vio en el punto 1, x = QC/tg δ = QC/tg g' 2 . Sustituyendo valores queda: para h = 2 cm: x = 1,35/tg 12,22 = 6,23 cm para h = 4 cm: x = 2,85/tg 32,35 = 4,50 cm 9. CÁLCULO DEL ÁNGULO QUE FORMAN LOS RAYOS. En el punto 2 se ha visto que la desviación δ que sufre el rayo es igual al ángulo g' 2 . El ángulo φ que forman las direcciones de los rayos emergentes es por lo tanto: φ = δ 2 - δ 1 = g' 2 (h=4 cm) - g' 2 (h=2 cm) φ = 32,35 - 12,22 = 20,13 o 10. CASO DE UNA LENTE DELGADA. Ahora se ha de considerar que los rayos están en la zona paraxial y en consecuencia ambos rayos focalizarían en el foco imagen F' de la lente, que sería convexo-plana de radios 5 cm e 4 44 4 y de n = 1,5. La distancia focal de una lente delgada viene dada por la expresión: ( ) ( ) 1 1 1 1 15 1 1 15 1 0 1 1 0 1 10 1 2 ′ = − − | \ | ¹ | = − − ∞ | \ | ¹ | = ′ = = f n r r f cm , , , , por lo que ambos rayos cortarían al eje (focalizarían) a 10 cm a la derecha de la lente. III - 58 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 30. Sea un microscopio compuesto por dos lentes delgadas convergentes de focales f' 1 = 15 mm y f' 2 = 25 mm respectivamente separadas 175 mm. Con dicho microscopio se observa una lámina plano-paralela de índice 1,54 y espesor 1 cm enfocando su primera cara. Calcular el desplazamiento que hay que efectuar con el microscopio para enfocar la segunda cara de la lámina. Calcular asimismo la posición inicial de la lámina respecto del microscopio. 1º.Cálculo del desplazamiento. La segunda cara de la lámina forma, de un objeto O 1 situado sobre la primera cara (s 1 = 1 cm), una imagen O' 1 . Puesto que un microscopio está enfocado cuando la imagen que forma está en el infinito, la imagen del punto O' 1 , a través de la lente L 1 , ha de estar en el foco objeto F 2 de la lente L 2 con lo que ésta formará la imagen final en el infinito. Para enfocar al punto O 2 , situado sobre la segunda cara, hay que desplazar al sistema de lentes "a la derecha" una distancia δ igual a s' 1 , por lo que: n´/n = s' 1 /s 1 s' 1 = n´.s 1 /n = 1.1 cm/1,54 = 0,65 cm = 6,5 mm δ = 6,5 mm 2º. Cálculo de la posición de la lámina. a. Cálculo de la posición de 0' 2 . L 1 L 2 = L 1 O' 2 + F 2 L 2 175 = s' 2 - f 2 = s' 2 - (-25) s' 2 = 150 mm Conocida la posición s' 2 de la imagen O' 2 que forma la primera lente, calculamos la posición del objeto (O 2 ) mediante la expresión 1/s'-1/s = 1/f' 1 1 1 ′ − = ′ s s f en la que: s'= s' 2 = + 150 mm ; f'= f' 1 = + 15 mm ; s = s 2 quedando al operar s 2 = - 16,67 mm. b. Posición inicial de la lámina. Con este resultado y con ayuda de la figura se deduce que la distancia x entre la primera lente en su posición inicial y la lámina es: x + 6,5 = 16,67 ; x = 10,17 mm III - 59 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 31. Dadas dos lentes de focales fr rr r 1 y fr rr r 2 ambas positivas, calcular el aumento transversal total del sistema para un objeto real situado en el foco de la primera lente. (Ref.: C 9406) El aumento en una asociación de lentes es el producto de los aumentos: β ) ' β 1 ) .β 2 ) ' s 1 ) s 1 . s 2 ) s 2 En este caso, por estar el objeto en F 1 la primera imagen se forma en el infinito y por tanto sr 1 = 4. Esta imagen actúa como objeto para la segunda lente por lo que s 2 = 4. Al sustituir estos valores en la expresión del aumento queda una indeterminación 4/4. Para poder calcular el aumento construyamos gráficamente la imagen. En la figura, el rayo auxiliar (R.A.) paralelo al -<- y al -<<- en su incidencia sobre la segunda lente, se ha de cortar con los respectivos emergentes de L 2 en un punto (P') del plano focal imagen Fr 2 , lo que define la dirección de ambos rayos. Los triángulos sombreados son semejantes por tener todos sus lados paralelos. De esta semejanza se deduce que: F P F L P F L F 1 1 1 2 2 2 = ′ ′ ′ y como: F 1 P = + y ; F 1 L 1 = - f 1 ; P'Fr 2 = - y' ; L 2 Fr 2 = + fr 2 al sustituir queda: y f y f − = − ′ ′ 1 2 y el aumento: ′ = ′ = ′ = − ′ ′ β y y f f f f 2 1 2 1 III - 60 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 10. LISTADO DE PROBLEMAS. 1. Una lente semiesférica de radio R, tallada en un vidrio de índice de refracción n está incrustada en la pared opaca de una caja muy iluminada interiormente. Un observador mira desde muy lejos la cara plana de la lente en la dirección normal a ésta. ¿Verá toda la lente iluminada? Describir el aspecto observado. Solución: verá un círculo iluminado de radio r = R / n. 2. Una superficie esférica convexa de radio 1,5 cm separa el aire de un plástico transparente de índice 1,5. A una cierta distancia de esta superficie hay una superficie cóncava de radio -1,5 cm que separa el primer plástico de otro de índice 1,8. Si situamos un objeto de 5 cm de altura en el aire a 3 cm del vértice de la primera superficie, calcular: a) las focales de las dos superficies, b) la potencia de cada superficie, e) la posición final de la imagen. Solución: a) f 1 = - 3 cm ; f´ 1 = 4,5 cm ; f 2 = 7,5 cm ; f 2 = - 9 cm b) P 1 = 33,33 dt. ; P 2 = -20 dt. ; La imagen está en F´ 2 . 3. Un haz estrecho de rayos paralelos entra en una esfera maciza de vidrio en dirección axial. El radio de la esfera mide 3 cm y su índice es 1,50. a) ¿En qué punto fuera de la esfera se reúnen estos rayos?, b) ¿cuál debería ser el valor del índice para que focalizaran en un punto situado exactamente en la segunda superficie?. Solución: a) A 1,5 cm a la derecha del vértice de la segunda superficie, b) n = 2. 4. Una lente equicóncava tiene un índice n = 1,65. Calcúlense sus radios de curvatura para que la potencia sea - 2,5 dt. Consi- dérese la lente delgada. Solución: r = 52 cm. 5. Se utiliza una lente convergente para formar la imagen de la llama de una bujía sobre una pantalla distante. En el haz con- vergente y a 40 cm de la pantalla se coloca una segunda lente de radios r 1 = 12 cm y r 2 = - 24 cm con n = 1,60. Calcular: a) la potencia de la segunda lente, b) la posición de la imagen final. Solución: P 2 = + 7,5 dt ; A 10 cm a la derecha de la segunda lente. 6. Calcular la distancia focal de una lente delgada bicóncava cuyos radios de curvatura son de 10 y 20 cm respectivamente. La lente está hecha de cristal al plomo (n = 1,66) y sumergida en agua (n = 4/3). ¿Qué valor tendrá dicha focal si la lente estuviera hecha de fluorita (n = 1,43) y estuviera sumergida en bisulfuro de carbono (n = 1,63)?. Solución: a) f'= - 27,21 cm. b) f'= + 54,33 cm. 7. ¿Cuál es la relación entre la distancia focal de una lente plano-convexa y la distancia focal de una lente biconvexa, ambas delgadas, si se supone que los índices son los mismos y que todas las superficies esféricas tienen la misma curvatura?. Solución: f´ 1 = 2.f´ 2 8. Una lente delgada positiva de distancia focal f' produce una imagen real N veces más grande que el objeto. Demostrar que la distancia lente-pantalla es igual a (N + 1).f´ . 9. Imagínese que se quiere observar la imagen de un objeto a través de una lente y verlo en forma correcta pero con una altura de un tercio de la real. Llamando f' a la distancia focal, determinar la clase de lente que se necesita así como las distancias objeto e imagen en términos de f'. Construir un diagrama de rayos. Solución: a) Se trata de una lente divergente. b) s = 2.f' ; s'= 2.f'/ 3 . III - 61 Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) 10. Con dos vidrios de reloj del mismo radio de curvatura R y de espesor despreciable se forma, pegándolos, una lente biconvexa hueca. Si se llena con líquido de índice de refracción 5 / 4, la imagen de un objeto situado a 40 cm de la lente está en el infinito. Si se llena con un líquido de índice de refracción n desconocido, la imagen del mismo objeto resulta estar a 40 cm de la lente. ¿Cuáles son los valores de n y R?. Solución: n = 1,5 ; r = 20 cm. 11. Un objeto recto, de 2 mm de altura, está situado a 90 cm a la izquierda de una lente delgada divergente de 30 cm de distancia focal. A continuación de la lente divergente se dispone una lente delgada convergente de 5 dt. de convergencia. 1º) Determínese cuál debe ser la distancia entre las dos lentes para que la imagen definitiva del objeto anterior sea real y esté situada a 30 cm de la lente convergente. 2º) Dibújese la marcha aproximada de los rayos. Solución: e = 37,5 cm. 12. El radio de curvatura de una lente plano-convexa es de 30 cm. Delante de ella se coloca un objeto de 5 mm, perpendicular al eje principal, y detrás, una pantalla a 4 m de distancia. Calcular: 1º) la distancia focal de la lente, 2º) la distancia a la cual habría que colocar el objeto para que la imagen se recoja en la pantalla, 3º) el tamaño de la imagen, 4º) si la lente, el objeto y la pantalla se sumergen en agua, calcular, en este caso, la posición del objeto para que su imagen se recoja en la pantalla. (Índices de refracción: vidrio 3 / 2, agua 4 / 3). Solución: 1º) f'= + 60 cm ; 2º) s = - 0,706 m ; 3º) y´= - 28,33 mm ; 4º) f'= + 240 cm ; 5º) s = - 6,00 m. 13. Un operado de cataratas (ojo sin cristalino) deberá emplear unas gafas bifocales para poder leer (objeto a 25 cm del ojo) y para tener visión lejana (objeto en el infinito). Determínese la potencia de cada parte de la gafa, si se hace de vidrio de índice de refracción 1,4. Se conoce: el radio de curvatura de la córnea = 8 mm, la profundidad del ojo = 25 mm, el índice de refracción del humor acuoso = 4 / 3 y que la lente deberá estar a 1,6 cm del ojo. Considérese la lente delgada. Solución: Para cerca: P = + 14,1 dt. ; Para lejos: P = + 9,83 dt. 14. Un hombre puede ver claramente los objetos sólo si están a una distancia comprendida entre 15 y 35 cm. a) ¿Qué potencia han de tener unas lentes de contacto para que los objetos lejanos se vean nítidamente?. b) ¿Dónde estará su punto próximo?. Solución: a) P = - 2,86 dt., b) a 26,3 cm. Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) III - 33 2. Un cubo de vidrio de índice 1,5 tiene un espacio hueco en su interior en forma de esfera con el mismo centro que el cubo. La arista del cubo mide 10 cm y el radio de la esfera hueca es de 3 cm. Un haz de rayos paralelos entre sí incide perpendicularmente a una de las caras del cubo. Hallar en qué punto del eje se cortarán los rayos. Hallar las focales imagen de las distintas superficies. Se supone el cubo inmerso en aire (n = 1) que llena también el espacio hueco. Para la primera superficie (plana) todo sucede como si los rayos paralelos al eje procedieran de un objeto situado en el infinito y según la expresión n/s = n'/s' , si s = 4, también es s' = 4. En consecuencia, la primera superficie forma una primera imagen en el infinito. Por incidir normalmente a ella, los rayos no sufren desviación en la primera superficie (plana) y alcanzan a la segunda superficie (esférica convexa) paralelos al eje y, después de refractarse, van a converger en su foco imagen F' dando lugar a la segunda imagen O' , cuya posición es: 2 2 f′= 1.( +3) n ′r = = − 6 cm n ′ − n (1 − 1,5) f ′ = V2 F2′ = V2 O2 = − 6 cm ′ La imagen O' actúa como objeto para la 2 tercera superficie (esférica cóncava) ya que todo sucede como si los rayos llegaran a ella procedentes de O' . La posición de la imagen O' 2 3 que forma esta tercera superficie la calculamos mediante la fórmula de Gauss: n′ n n′ − n − = s′ s r siendo, en este caso n = 1 y n' = 1,5 ya que la luz, en esta tercera superficie, pasa del aire al vidrio, y: r = - 3 cm con lo que al sustituir queda: ; s = V3O' = V3V2 + V2O' = (- 6) + (- 6) = - 12 cm 2 2 1,5 1 1,5 − 1 − = s ′ −12 −3 → s ′ = − 6 cm = V3O3 ′ resultado del que se deduce que la imagen O' formada por la tercera superficie está situada en V2. 3 Por último, en la cuarta superficie (plana), los rayos van a sufrir una refracción en la que todo sucede como si procediesen de un punto objeto situado en O' o, lo que es lo mismo según el resultado anterior, en V2. Para calcular 3 la posición de la imagen final O' , aplicamos la expresión: 4 n n′ = s s′ siendo: y al sustituir: n = 1,5 ; n' = 1 ; s = V4O' = V4V3 + V3O' = (-2) + (-6) = - 8 cm 3 3 s′ = n ′ s −8 = 1. = −5,33 cm = V4 O4 ′ n 1,5 resultado del que se deduce que la imagen final y, por tanto, el punto de corte de los rayos está situada a 5,33 cm a la izquierda de V4, es decir, a 0,33 cm a la izquierda del centro de la esfera. Manual de Óptica Geométrica. J.V. Santos ([email protected]) III - 34 3. Los extremos de un cilindro de vidrio de n = 1,6 se tallan según superficies esféricas convexa y cóncava de radios 2,4 cm. A 8 cm del primer vértice se coloca un objeto de 2 cm. La separación entre vértices es de 2,8 cm. Calcular: a) las distancias focales y las potencias de ambas superficies. b) la distancia de la imagen final de la primera y segunda superficie. c) el tamaño de la imagen final. d) resolverlo gráficamente. n1 = n3 = 1 ; n2 = 1,6 r1 = + 2,4 cm = r2 s = VO = - 8 cm VV' = 2,8 cm y = 2 cm a. Cálculo de las focales y potencias. a.1. Primera superficie: f = - n.r/(n'-n) ; f' = n'.r/(n'-n) ; P = n'/f' f1 = -n1.r1/(n2-n1) = -2,4/(1,6-1) = - 4 cm f' = n2.r1/(n2-n1) = (1,6)(2,4)/(1,6-1) = + 6,4 cm = + 0,064 m 1 P1 = n2/f' = 1,6/0,064 = 25 dt. 1 a.2. Segunda superficie: f2 = -n2.r2/(n3-n2) = - (1,6)(2,4)/(1-1,6) = + 6,4 cm f´ = n3.r2/(n3-n2) = 2,4/(1-1,6) = - 4 cm = - 0,04 m 2 P2 = n3/f´ = 1/-0,04 = - 25 dt 2 b. Cálculo de la posición de la imagen. La primera superficie va a formar una primera imagen situada en un punto O' cuya posición no conocemos, de momento. Esta imagen O' hace de objeto para la segunda superficie que forma de ella la imagen final O" (ver figura). b.1. Primera imagen. Aplicando la expresión f '/s' + f/s = 1: 6,4/s' + (-4)/(-8) = 1 1 Y s' = VO' = + 12,8 cm 1 b.2. Segunda imagen (final). Cualesquiera que sea la posición de la imagen O', su posición respecto de esta segunda superficie, para la cual hace de objeto, es: VO' + O'V' = VV' Y s' + (-s2) = VV' 1 Y s2 = s' - VV' = 12,8 - 2,8 = + 10 cm = V'O' 1 y al sustituir este valor en la expresión f '/s' + f/s = 1: f´/s´ + f2/s2 = 1 2 2 Y -4/s´ + 6,4/10 = 1 2 Y s´ = - 11,11 cm = V'O" 2 resultado del que se deduce que la imagen final está situada a 11,11 cm a la izquierda de V' o, lo que es lo mismo, a 8,31 cm a la izquierda de V. dominio en el que se centra este curso de Optica Geométrica. pero al incidir 1 sobre la segunda superficie se desconoce.s.(&11.778. que es virtual. d.778 ' y )) y )) ' y 2 Y y )) ' 1. la dirección que va a tomar. mayor y derecha respecto del objeto. lo cual es válido a nivel paraxial. ' . Resolución gráfica.778 n2.β2 ' . Para poder trazar este rayo refractado es preciso recurrir a un rayo auxiliar -<<<. incide sobre la segunda superficie en dirección a su foco objeto F2. Ambos rayos (sus prolongaciones en este caso) se han de cortar en un punto P del plano focal imagen (F' ) de la segunda superficie.s1) n2. El aumento en un sistema formado por varios elementos es el producto de los aumentos de cada elemento y como el aumento en una superficie esférica es β = n.) que. en la figura se ha representado a cada una de las superficies mediante los planos S1 y S2.6). en la figura de la página anterior se ha supuesto otra posición (O") porque. .55 cm resultado del que se deduce que la imagen es virtual. antes de resolver el problema no se conoce su verdadera posición. El rayo -<. tangentes en sus vértices (planos principales).s2 1.V. 2 El rayo -<<.refractado en ella.6. Sin embargo. Para poder realizar la construcción gráfica.s2) 12. lógicamente. Santos ([email protected]) β ' β1 .(R.(&8) 10 ) ) ) β) ' % 1. lo que permite el trazado del rayo -<.es) III .Manual de Óptica Geométrica. J.35 c.incide sobre la primera superficie en dirección a F1 y emerge de ella incidiendo sobre la segunda paralelo al eje. ' % 1.paralelo al eje se refracta en la primera superficie en dirección a su foco imagen F' .8 (1.s1 n3. Cálculo del tamaño de la imagen.y -<<.(2) ' 3. al sustituir queda: n1. 2 En el punto donde se cortan las prolongaciones de -<. razón por la que abandona la segunda superficie en dirección a su foco imagen F´. NOTA: de los resultados analítico y gráfico se deduce que la imagen final y" está situada a la izquierda del cilindro.A. siendo paralelo al -<-. a priori.s'/n'.se localiza la imagen. b) Si el punto luminoso tiene un diámetro de 0.55. ¿cuál es el tamaño de la imagen final?. tal como muestra la figura.5. calcularemos posición y tamaño de la imagen O' 1 que forma la primera superficie con vértice V1. J.2. es decir. Posición de la imagen. en este caso es: y al sustituir queda: a. a. Si el espesor de dicha lente es de 1 cm.82) y′ ′ = = +0. Esta imagen O' será objeto para la segunda superficie con vértice 1 V2. 3 a. en forma de lente hueca de radios de idéntica longitud (2 cm). calcular: a) La posición de la imagen de un punto luminoso situado en el interior del cilindro sobre el eje óptico de la lente y a 5 cm a la izquierda de la primera superficie de la lente. r = r1 = +2 cm s = s' = VO' = .5 s = s1 = VO = -5 cm .5) = +0.es) III . Se dispone de un recipiente cilíndrico de índice n = 1. En la fórmula de Gauss: n′ n n′ − n − = s′ s r en la que.1. Resolveremos el problema superficie a superficie.82 cm 1 1 β1 = ′ ns1 1. Aumento y tamaño: n = 1. Santos (jsb@ua. n'= 1 . y1 = 0.(0.1. la cual formará la imagen final O'.( −1.55 = 1 n′s1 y1 −5 y1 = 0.5 y longitud 12 cm.Manual de Óptica Geométrica.27 cm ′ . que en su parte central está tallado.5 cm.36 4. esta imagen O' actuará como objeto para la superficie plana 2 2 con vértice V3.55. Imagen formada por la primera superficie (esférica). Finalmente. que formará una segunda imagen O'.V. V.( −2.2.48) = .48 cm = V2O' 2 2 b. Santos (jsb@ua. b.2 cm s = s2 = V2O' = V2V1 + V1O' = -1 + (. c.5) + (-2. Aumento y tamaño de la imagen final: El aumento en una superficie plana es + 1. Posición de la imagen: n=1 . Aumento y tamaño: β′ = 2 ns2 −2.es) III .158 cm ′ ′ c.586.82 cm 1 1 con lo que al sustituir en la fórmula de Gauss queda: s'= s' = -2. Imagen formada por la tercera superficie (plana).48 y′ y′ ′ = = +0.32 cm a la izquierda de V3.2. n'= 1.1.586 = 2 = 2 n ′s2 1.82) y2 y1 ′ y2 = 0. plana): n = 1.2.37 b.Manual de Óptica Geométrica.82) = . Imagen formada por la segunda superficie (esférica).5.1.27) = + 0.7.98 cm 2 2 y al sustituir: s'= s' = V3O' = .5. J.5 .1. y1 = 0.586.158 cm 3 2 . por lo que la imagen final tiene el mismo tamaño que y': 2 y' = y' = + 0. r = r2 = . c.32 cm 3 3 resultado del que se deduce que la imagen final está a 5. Posición de la imagen: En un dioptrio plano: y en este caso (para la 3ª superficie.5 .(0. n'= 1 n/s = n'/s' s = s3 = V3O' = V3V2 + V2O' = (-5. Distancia aparente entre el pez y el observador B. Pulpo visto por los observadores A y B. Distancia aparente entre el pez y el observador A.38 5.33) = 3. situado 3 m por encima y otro B.es) III . ¿A qué distancia ven A y B al pez? ¿Y el pez a los observadores? a. situado 1 m por debajo. b.33 m . La B distancia aparente ahora es: BP' = b + s' = b + (sB.33) = 3. La distancia aparente es: PA' = a + s' = a + (sA.2. es decir.2. a. El observador B ve la imagen del pez P en P' .nagua/naire) B PB' = 3 + 1.1. La distancia aparente. J.1.naire/nagua) B B BP' = 1 + (3/1.33) = 5 m b.V. Distancia aparente entre el observador B y el pez.nagua/naire) A PA' = 1 + 3. La distancia aparente es: PB' = b + s' = b + (sB.25 m B b. Distancia aparente entre el observador A y el pez: El observador A ve la imagen del pez en P' aunque realmente el pez está en P.75 m A a. El pez ve la imagen del observador B en B'. El pez ve la imagen del observador A en A'. A la distancia a la que al observador A le parece que está el pez es: AP' = a + s' = a + (sA. Observadores vistos por el pez.naire/nagua) A A AP' = 3 + (1/1. Sea una piscina de 4 m de profundidad de fondo transparente. Santos ([email protected] de Óptica Geométrica. Un observador A. Suponemos que ambos observadores están mirando en dirección prácticamente normal a la superficie.33 = 4. están mirando a un pez situado a 1 m de la superficie.(1. n/s = (n'. Al retirar la gota y enfocar de nuevo el microscopio. El observador que mira a través del microscopio. Santos (jsb@ua. Una gota de rocío. J. La posición de la imagen A' viene dada por la fórmula de Gauss: n'/s' . lo que ve realmente es la imagen A´ formada por la superficie esférica de vértice B.n)/r en la que: n = 1.V.5 mm. es el segmento orientado BC.33) & ' 2. apoya en un punto A sobre un plano horizontal.1.Manual de Óptica Geométrica. En consecuencia el radio de la gota de rocío es: r = 1.1. n' = 1 s' = BA' (1) Y 1. se ha dibujado el plano P en el que se apoya la gota en posición vertical. hacia la derecha. negativo según el convenio de signos. al enfocar éste sobre el punto A a través de la gota. que es el de la gota.5 mm.5 = 2r .33 s = BA = 2r De la figura se deduce que: A'A + AB = A'B .39 6. éste se ha de desplazar. Se la observa con un microscopio cuyo eje óptico coincide con la dirección AC. una distancia igual a la existente entre A' y A siendo. n'. de forma esférica y centro C. calcular el radio de la gota.r r r ' & 1.33 y el desplazamiento efectuado por el microscopio para realizar el segundo enfoque es de 1.5 + (-s) = . Para una mejor comprensión de la aplicación del convenio de signos.5 mm En esta solución. Se retira la gota y se enfoca ahora el microscopio sobre el punto A.s' Y s' = s . . A'A = 1.5 mm .33 (1 & 1. el signo negativo del radio es debido a que es el resultado de la aplicación de la fórmula de Gauss a la superficie esférica de vértice B cuyo radio. según el enunciado.es) III .5 y sustituyendo en (1) los valores de n. enfocado en A a través de la gota.r & 1.5 2. Si el índice de refracción del agua es n = 1. s y s' queda: 1 1. f') y para ello.Manual de Óptica Geométrica. también son iguales las focales. El rayo -<. Santos (jsb@ua. razón por la que los 2 ángulos σ y σ' son iguales y como. Expresar la posición del objeto en función del aumento lateral y de la focal imagen para una lente delgada en aire. los triángulos sombreados son iguales. partiendo de la fórmula de las lentes y despejando la distancia objeto s. Puesto que en este centro óptico está situado el foco objeto F2 de la segunda lente. dando lugar.y -<<-.s Y s ' f )(1 & β)) β) . 1 El rayo -<<.emerge de ella paralelo al eje.40 7. este rayo no sufre desviación al pasar a través de ella. el rayo -<<.s. De esta igualdad se deduce que la imagen es igual que el objeto e invertida por lo que el aumento es β' = -1.f ) f )&s ) Y s ' β). a la imagen final que ha de estar situada precisamente en el plano focal imagen F' de la segunda lente ya que los rayos que inciden sobre ella son paralelos entre sí. hallar gráficamente la imagen de un objeto situado en el foco objeto de la primera lente.V. 8. obtenemos: 1 s) y como el aumento es: y al sustituir en s: & 1 1 ' s f) β' = s'/s Y s ' s' = β'. emergiendo de ella en dirección a su foco imagen F' .incide sobre la primera lente por su centro óptico y no se desvía.s s ).f ) f ) & β). Dadas dos lentes convergentes de la misma focal y separadas por su distancia focal. en el punto de convergencia de -<. ¿Qué aumento tiene la imagen? Explíquese el trazado de rayos realizado. J. Se pide encontrar la forma de la función: s = f (β'.es) III . Por estar en este punto situada la segunda lente. según el enunciado.incide paralelo al eje sobre la primera lente. sustituyendo el valor de s' en la fórmula de las lentes y despejando s.Manual de Óptica Geométrica.V. Puesto que el signo del aumento no se indica en el enunciado. J.41 9. 1ª: Que la imagen sea real. queda: 1 1 1 − = s′ s f ′ y al sustituir este valor en d: ⇒ 1 1 1 − = 4s s f ′ ⇒ s=− 3f ′ 4  −3 f ′  −9 f ′ d = 3s = 3  =  4  4 expresión en la que el signo negativo de la distancia d se debe a que. siendo positiva la focal imagen de la lente por ser ésta convergente. Ahora la imagen es derecha y el aumento positivo: β′ = + 4 = s′ s ⇒ s′ = 4s LO+ OO ′ = LO ′ ⇒ s+ d = s′ d = s′− s = 4 s− s = 3s Sustituyendo el valor de s' en la fórmula de las lentes y despejando s. En este caso la imagen es invertida y el aumento es negativo: β′ = − 4 = s′ s ⇒ s′ = − 4s y de la figura se deduce que: d = OO ′ = OL + LO ′ = − s + s′ = − s + ( −4s) d = −5s Por otra parte. Santos (jsb@ua. queda: 1 1 1 − = s′ s f ′ ⇒ 1 1 1 − = −4 s s f ′ ⇒ s=− 5f ′ 4 y por último. la distancia d va a ser negativa por estar la imagen O' a la izquierda del objeto O. sustituyendo este valor en d:  −5 f ′  25 f ′ d = −5s = −5  =  4  4 2ª: Que la imagen sea virtual. el problema tiene dos soluciones.es) III . Encontrar la distancia entre el objeto y la imagen para una lente convergente que produce un aumento transversal de cuatro veces el tamaño del objeto. . n') es positivo y la focal de la lente es negativa.n'): a. discutir las diferentes posibilidades de su focal en función del medio que le rodea. Demostraremos que el segundo paréntesis es siempre negativo cualesquiera que sea la geometría y la orientación en el espacio de una lente divergente. . Santos ([email protected]. J.n') es negativo y la focal de la lente es positiva.Manual de Óptica Geométrica. el paréntesis (n . el paréntesis (n . por lo que el sistema es divergente. Si el índice de la lente (n) es menor que el índice del medio en el que está sumergida (n'). Dada una lente delgada divergente de índice n. Y si las lentes están orientadas “al revés”: En cuanto al signo del primer paréntesis (n . por lo que el sistema es convergente.42 10. b. Si el índice de la lente (n) es mayor que el índice del medio en el que está sumergida (n').es) III . La expresión: n) f) ' (n & n ) ) 1 1 & r1 r2 permite calcular la focal de una lente de índice n sumergida en un medio de índice n' y de ella se deduce que el signo de su focal imagen f' depende del signo que tomen ambos paréntesis. 40 β' = s'/s = .52.43 11.s + s' = + 10 m y la distancia imagen: Y .40. se trata de una imagen real y por tanto invertida. Se desea que uno de los radios sea doble que el otro y que la distancia focal sea de 5 cm. LO' = s' .0. Según el enunciado: r1 = .3.9) = + 7.es) III .24 Conclusión: la lente ha de ser convergente de + 4.40.6 −0. y el aumento: β' = y'/y = .8 cm 12.s. Por tratarse de una lente biconvexa.9 cm r1 = . ¿Cuál debe ser la potencia de la lente y donde se debe colocar? Puesto que la imagen se va a recoger en una pantalla.200 cm.s .V.24 m s' = . el radio de la primera cara r1 es positivo mientras que el de la segunda r2 es negativo.s) = + 10 m Y s = . Una lente biconvexa ha de tener un índice de 1. Su tamaño es: y' = .27 D s ′ s 9.(-0.40. la potencia de la lente es: P= 1 1 1 1 − = − = + 4.r2 = .Manual de Óptica Geométrica.52 − 1)  −  5  −2r2 r2  → r2 = −3.24) = + 9. teniendo en cuenta que s' = .2. Hallar dichos radios. de la figura se deduce la relación de segmentos orientados: OL + LO' = OO' en la que: LO = s Y OL = .40 Y s' = .2. Santos ([email protected] m Por último.27 dioptrías y ha de estar situada a 24 cm a la derecha del objeto.2.s + (-40.40. . al sustituir queda: .s = .r2 y como la focal de una lente en aire viene dada por la expresión: 1 1 1 = ( n − 1)  −  f′  r1 r2  al sustituir queda: y sustituyendo en r1:  1 1 1 = (1. OO' = + 10 cm por lo que.200/5 = . J. Un objeto luminoso de 5 cm se quiere proyectar en una pantalla situada a 10 m de él para ver su imagen con un tamaño de 2 m.(.s Por otra parte. entonces es: s' = -72. Discusión de este resultado. .n1. entonces es s' = 4.(10)/3 cm = + 6.33 (1. para d < 40.816 cm b. al sustituir todos los valores queda: s) ' c.44 13. 1º.286 &1. n1 = 1 .d. n3 = n' = 1.286 / d > 1.d ' &1.40. Si d = 4. es s' = 0.66 cm a. según el enunciado.33. 4º. es decir. siendo virtual. Una lente delgada convexo-cóncava tiene un índice n = 1.33. el objeto está a una distancia s = .286 / d = 1. sabiendo que r = 10 cm.816 cm. J.d % 54.33 − 1.5 .286 / d < 1.es) III .333.r/3 = + 2.Manual de Óptica Geométrica.r/3. estará situada en el foco imagen de la lente.286/1.(-54. La primera cara. Cálculo de la posición de la imagen. Discutir el resultado cuando d varía entre cero e infinito si n' = 1. 5º. Cálculo de la posición de los focos.5. La posición de la imagen formada por una lente viene dada por la expresión (26) de este tema: n3 n1 n3 − = s′ s f′ → s′ = (n3s + n1 f ′ ) n3 sf ′ y teniendo en cuenta que.816 cm.816 cm.33. con un medio de índice n'.33.286 cm La focal objeto y la focal imagen están relacionadas por la expresión (24) de este tema: f = . &72. entonces s' es positiva y la imagen será real e invertida y estará situada a la derecha de la lente. La focal imagen de una lente de radios r1 y r2 y de índice n2 sumergida en medios de índices n1 y n3 viene dada por la expresión (18) de este tema: n3 ( n2 − n1 ) ( n3 − n2 ) = + f′ r1 r2 y al sustituir valores y operar queda: 1. Esta situación se va a producir para d < 54.286 &72.33 = .33. Si 54.33 % d 2º. Despejando d se deduce que esta situación se producirá cuando d = 40.286)/1. naturalmente. Si d = 0.2. Si 54. a la izquierda de la primera cara y a una distancia d de ella. a) calcular la posición de los focos en función de n'. de radio r = 10 cm. Esto sucederá cuando d > 40. de radio 2. Santos (jsb@ua. está en contacto con el aire y la segunda.V. entonces s' es negativo y la imagen estará situada a la izquierda de la lente.286 cm = f ' y la imagen.2 54. n2 = n = 1. r2 = 2.1.33 = + 54.5) = + f′ 10 20 3 → f ′ = +54. Si 54.f ' / n3 = .33 r1 = r = + 10 cm . 3º.5 − 1) (1.2/-1. b) hallar la posición de la imagen de un punto situado en el eje. se puede calcular la focal objeto f : f −n = f ′ n′ → f =−f ′ n −30 = = −20 cm n′ 1. Determinación gráfica. desde un punto cualquiera P de su plano focal objeto se traza un rayo (-<-) paralelo al eje.5 y cuya distancia focal imagen es f ' = + 30 cm.f (1) (2) Y OF' = LF' . Determinación analítica.LO = f ' .por proceder ambos de un mismo punto P del plano focal objeto. a.LO Y PA = .5 Una vez situado el foco objeto F. por lo que: PA = OF' y evaluando ambos segmentos: AP = f LO + OF' = LF' e igualando (1) y (2): . el rayo -<<. quedando definida la posición del centro óptico en la intersección de este rayo -<<. De este hecho se deduce que este rayo -<<está pasando por el centro óptico del sistema. . Debido al paralelismo de los rayos -<.y -<<. b.45 14.Manual de Óptica Geométrica.V. Un segundo rayo (-<<-) que incida paralelo a la dirección de emergencia del rayo -<-. En consecuencia.con el eje (punto O). Santos (jsb@ua. Puesto que se conoce la focal imagen f '.LO Y LO = f ' + f = + 30 + (.emergentes.no se desvía al atravesar la lente.f = f ' . Este rayo emerge en dirección F'.20) = + 10 cm resultado del que se deduce que el centro óptico O está situado a 10 cm a la derecha de la lente. Calcular gráfica y analíticamente el centro óptico de una lente delgada que separa el aire de un medio de índice n = 1. J. ha de emerger paralelo al -<.es) III . los triángulos PAB y OF'C son iguales. Hallar gráfica y analíticamente la posición y el tamaño de la imagen de un pequeño objeto situado a 50 cm de una primera lente de potencia 4 dioptrías.4/0.5/-0.5 = .L1L2 = 0.es) III .Manual de Óptica Geométrica. P = 1 1 1 − s1 s1 ′ → 1 1 1 = P + = 4+ =2 1 s1 s1 −0.1 1 1 1 β´ = y´/y2 = s´/s2 = .4 m ′ resultado del que se deduce que la imagen final está situada a 40 cm a la izquierda de la segunda lente. P2 = y como: queda: 1 1 − s′ s2 2 → 1 1 = P2 + s′ s2 2 s2 = L2O2 = L2O' = L1O' .0.5 m ′ b. que está situada a 10 cm de una segunda lente de -5 dioptrías.4 ′ → s2 = −0.V.5 m . queda: 1 β' = y´/y1 = + 1 2 Y y´ = y1 2 en consecuencia. J. Cálculo de la imagen que forma la primera lente.5 s2 0. la imagen final y´ tiene el mismo tamaño que el objeto y1.4 = .1 m = + 0. El aumento en una asociación de lentes es el producto de los aumentos: β' = y' /y1 = s' /s1 = 0.0.46 15.5 ′ → s1 = +0. Santos (jsb@ua. Cálculo de la imagen que forma la segunda lente. a. c.4 m 1 1 1 1 = −5 + = −2. Cálculo del tamaño de la imagen.1 2 2 2 β ′ = β1′β2 = ′ y1 y2 ′ ′ = ( −1)( −1) = +1 y1 y2 y como la imagen y' que forma la primera lente es objeto virtual (y2) para la segunda. 2 . aunque el planteamiento es independiente del tipo de lente. por lo que derivamos respecto de s para obtener el valor de la posición s del objeto que hace mínima a la distancia d.Manual de Óptica Geométrica.2. En la figura se ha supuesto una lente cilíndrica plano convexa.f' y.f ) ) d) ' 0 ' ' ' 0 (s % f ) )2 (s % f ) )2 lo que requiere que el numerador sea nulo: ecuación que presenta dos soluciones: 1ª) 2ª) que s = 0. la distancia d entre objeto e imagen sería: d = . queda: 1 1 1 − = d+s s f ′ → d= − s2 s+ f ′ La condición de mínimo requiere que la primera derivada sea nula. .s) + (s') s' = d + s y sustituyendo este valor en la fórmula de las lentes (1/s' .f') + s' = 2.f') = 0 1 1 1 1 1 1 = + = + = s' f ' s f ' − 2 f ' 2 f ' s' = 2 f ' y llevando este valor a la expresión de la distancia d: d = 2.f' = 0.47 16. siendo objeto e imagen equidistantes de la lente por ser s' = 2.s + s' = . de donde s = . constante: &2. ¿A qué distancia mínima se encuentra un objeto y su imagen para una lente cilíndrica convergente suponiendo que el objeto está dispuesto perpendicularmente al eje del cilindro de la lente?.f' + s' y sustituyendo el valor de s en la fórmula de las lentes: s (s + 2.f' + 2.(s % f ) ) & (&s 2 ) &s.f ' + s' = 2.f').2. lo que sucede cuando el objeto está situado a una distancia doble de la focal (s = .s. focal imagen de la lente.(s % 2. que s + 2. en este caso. en cuyo caso el objeto y la imagen estarían pegados a la lente siendo nula la distancia entre ellos.es) III .f ' resultado del que se deduce que la menor distancia que puede existir entre un objeto y la imagen formada por una lente convergente es 4.V.f ' .2. J.f '.f' = 4. Santos ([email protected]/s = 1/f').(. La distancia que separa al objeto de la imagen es: d = OO'= OV + VO' = (. siendo f'. .5s1 + 1 s2 s2 = ′ 1.5 y P2 = 1.5s1 + 5 0.5s1 + 1 s2 = s1 − e = ′ y sustituyendo este valor en (1): e= expresión en la que s1 y e se expresan en metros. .25.5 = 11s1 + 5 7.48 cm c. si la segunda lente se desplaza hacia la primera. Santos (jsb@ua. (1) (1.V. El aumento en una asociación de lentes es: β ′ = β1′β2 = ′ y teniendo en cuenta que: s1 s2 ′ ′ = −4 s1 s2 P1 = P2 = al sustituir queda: 1 1 − = 1.s1 % 1). . . . Calculada esta relación. . .es) III .s2 % 1) La primera lente forma una primera imagen y' del objeto (y). .25 dioptrías. De ella se deduce que: AB = AO' + O' B 1 1 Y e = s' + (-s2) 1 s1 −e 1. .25s2 + 1 1 ' & 4 . .5 s1 s1 ′ → → s1 = ′ 1 1 − = 1. 1 que forma la imagen final y'. . . .5 m. . Como se desconoce la posición de estas imágenes. puede ocurrir que este desplazamiento se produzca hacia la primera lente o alejándose de ella. . Si. e sufre una variación de 1 mm debido a que se desplaza la segunda lente.9 cm = 0.3448 m = −34. esta imagen hace de objeto para la segunda lente. en estas condiciones. . sustituyendo este valor en (2) queda: 11s1 + 5 .Manual de Óptica Geométrica. (2) 7. .5s1 + 5 → s1 = −0. . . .25 s2 s2 ′ β) ' s1 1. Dadas dos lentes delgadas de potencias P1 = 1.(1. ¿cuánto tiene que variar la posición del objeto y en qué sentido para que el aumento del sistema siga valiendo -4? a. Si e = 50 cm = 0. en la figura se han situado en una 2 posición cualquiera pero posible.48 17. . determinar la relación que hay entre la distancia e entre ellas con la distancia entre el objeto y la primera lente para tener un aumento transversal total de -4. . . . . Si la lente se desplaza 1 mm. . . . En el primer caso. . J. Relación entre la distancia e y la posición del objeto s1. el valor de la distancia e es: e = 50 cm . Cálculo de la nueva posición del objeto al variar e en 1 mm. decir cuál es la posición del objeto si e = 50 cm. . Cálculo de la posición del objeto para e = 50 cm. . con la seguridad de que las relaciones que obtengamos a partir de ella serán correctas. .499 m . .5. b.1 mm = 49. . el objeto ha de desplazarse 0.3 mm hacia la primera lente.4 mm de la primera lente.5s1 + 5 → s1 = −0. si la segunda lente se aleja de la primera.V.48) = + 0.1 cm = 0.48 cm.03 cm = 0.34.2.49 y la posición del objeto: e= 11s1 + 5 = 0. entonces la distancia objetoimagen es 4.f' = 4.4 mm es decir.f'.(-34.s + s' y sustituyendo s y s' por los valores hallados: OO' = .45 .52 .1. J.(-34. ha de alejarse 0.Manual de Óptica Geométrica.3452 m = −34. queda: s′ s s′ = −1 s e introduciendo este valor en la fórmula de las lentes: → s′ = − s 1 1 1 − = s′ s f ′ → 1 1 1 − = −s s f ′ → s = −2 f ′ → s′ = − s = 2 f ′ Por otra parte.48) = . el desplazamiento que hay que dar al objeto para que el aumento mantenga el mismo valor es: ∆s = .34. En una lente delgada el aumento es: β′ = y como en este caso es β' = .es) III . 18.5s1 + 5 → s1 = −0. la distancia e es: e = 50 cm + 1 mm = 50.501m 7.52 cm y como la posición inicial del objeto era s1 = . Demostrar que si el aumento transversal es -1 en una lente delgada.3445 m = −34.(. de la figura se deduce que la distancia OO' entre el objeto y la imagen es: OO' = OL + LO' = . Santos ([email protected] m 7.45 cm y el desplazamiento del objeto: ∆s = .f' .f') + 2.04 cm = .501 m y la posición del objeto: e= 11s1 + 5 = 0. en este segundo caso.3 mm por lo que.34. En el segundo caso.0.0. Suponer las gafas pegadas al ojo. Un miope que se ha hecho présbita tiene una distancia máxima de visión distinta de 100 cm y su distancia mínima de visión es de 40 cm. esta potencia se ha de conseguir mediante la adición de una lente de potencia PADICIÓN a la lente para lejos.5. Según el enunciado.Manual de Óptica Geométrica.5 + 5 = + 2.r y como se trata de una lente equiconvexa los radios de ambas caras son iguales y de signo opuesto: por lo que al sustituir queda:  1 1  2 ( n − 1) PADICION = (n − 1)  −  = r  r −r  r= 2 (n − 1) 2 (1. en su parte inferior.1 dt.(1/4) = . formen la imagen en su punto remoto. a 40 cm: PCERCA = 1/s' .1/s PLEJOS = (1/-1) .50 19. a) ¿Qué lentes es necesario emplear para que vea perfectamente el infinito?.2.(1/-0.5 − 1) = = 0. otras lentes. se acoplan a las lentes anteriores. Para que esta persona vea los objetos muy alejados es preciso colocarle unas gafas tales que. que la imagen de un objeto situado a 20 cm se ha de formar en su punto próximo. Calcular la potencia de estas segundas lentes para que su punto próximo se vea reducido a 20 cm a través de las gafas.es) III . cuya potencia PLEJOS acabamos de calcular.1/s = (1/-0.4) .2) = .5 . que es 1 m.V. a. Santos (jsb@ua. por lo que: PCERCA = PADICIÓN + PLEJOS PADICIÓN = PCERCA . es decir.1) PADICIÓN = + 3. La potencia total de las gafas para ver de cerca ha de ser tal. delgadas y de índice 1. c) Las lentes colocadas para ver de cerca son equiconvexas.29 m PADICION 3. b.(. J.5 dt.5 . de un objeto situado en el infinito. b) Para ver de cerca con las mismas gafas.PLEJOS = + 2. r2 = . La potencia PLEJOS de estas lentes para lejos es: PLEJOS = 1/s' .5 dt c. La expresión P = (n − 1)  1 1 −  relaciona la potencia de una lente con su geometría:  r1 r2  r1 = + r . Calcular el radio de curvatura de sus caras. del objeto situado a 30 cm.44 cm de las que únicamente es válida la segunda ya que la primera exigiría que la lente trabajara con objeto virtual por estar situada a la izquierda del objeto.es) III .s.44 cm . queda: .s'.s + LE = + 30 cm . Además. s' = .1/(-0. Santos ([email protected] cm = . Sin embargo. En consecuencia: d = LE = 2. La lente ha de formar. b) si no disponemos mas que de lentes de 36 cm de focal. las distancias s y s' son distintas por estar referidas a la lente. ¿a qué distancia del ojo deberá colocar las lentes para ver lo mejor posible el libro situado a 30 cm del ojo? a. J. una imagen situada a 1. la posición del objeto y de la imagen es la misma que antes referida al ojo. queda: . Los nuevos valores de s y s' son: OL + LE = OE y como OL = .1.5 dt b.20 m Y s = LE .20 m quiere leer a una distancia de 30 cm.20) .120 y sustituyendo estos valores en la fórmula de las lentes: 1 f ) ' 1 s ) & 1 s Y 1 1 1 ' & 36 LE & 120 LE & 30 ecuación que resuelta ofrece dos soluciones: LE = + 147. esta primera solución implica que la lente estuviera a más de 1.1/s = 1/(-1. por lo que: s = .Manual de Óptica Geométrica.V. Calcular: a) la convergencia de las lentes que debe emplear en el supuesto de que el ojo esté prácticamente pegado a la lente.s' + LE = + 120 cm Y s' = LE .20 m del ojo que es la distancia mínima de visión distinta para la persona a la que se refiere el enunciado.20 m ya que ésta es la menor distancia a la que esta persona puede ver con nitidez.30 O'L + LE = O'E y como O'L = .3 m y sustituyendo estos valores en la fórmula de las lentes: P = 1/s' .3) P = + 2.0. Un présbita cuya distancia mínima de visión distinta es de 1.56 cm y LE = + 2. En este caso.51 20. . Si el objeto se acercara más a la lente. Una persona con una severa miopía puede ver claramente los objetos sólo si están situados a una distancia entre 15 y 40 cm del ojo. . la imagen se formaría a menor distancia que el punto próximo y esta persona no la podría ver nítidamente. a.24 cm resultado del que se deduce que.Manual de Óptica Geométrica. a medida que se acerca el objeto hacia la lente (posiciones yA. R es el punto remoto de esta persona y P su punto próximo. esta persona necesita una lente tal que forme la imagen en su punto remoto R.40 m) .1/s = 1/(-0.). y' . de la figura 2).52 21.2.. la imagen también se acerca (posiciones y' . la imagen se metería en la zona PL en la que no puede ver con nitidez.24 m = .V. La potencia de esta lente es: P = 1/s' . Para calcular la posición más próxima a la que puede estar situado un objeto para que lo pueda ver. Hallar después la distancia desde el ojo hasta el objeto más próximo que esta persona puede distinguir claramente cuando utiliza las gafas.es) III .. yC. Con estas gafas diseñadas para lejos esta persona va a ver nítidamente los objetos lejanos. no podrá ver objetos que estén situados a menos de 24 cm ya que. hagamos la siguiente consideración: en una lente divergente.5 dt b.0. En consecuencia la posición C es la más próxima a la que puede puede estar un objeto para que la pueda ver con estas gafas diseñadas para lejos. .1/s y operando: s = . fig. 1 Esta persona únicamente puede ver los objetos (sin gafas) o las imágenes (con gafas) que estén situados en la zona definida por el segmento RP comprendido entre su punto remoto y su punto próximo. Santos (jsb@ua. J. fig.5 = 1/(-0. para posiciones más próximas. 2 La distancia s a la que está situada la posición C del objeto es: P = 1/s' .1/4 = .. yB. Para poder ver un objeto alejado (en el infinito).1/s .2. Determinar la distancia focal de las lentes de las gafas que le proporcionarán una visión clara de los objetos lejanos. Nota: en la resolución de este problema se ha despreciado la distancia lente-ojo ya que el enunciado no indica su valor. Cuando el objeto está en la posición C la imagen A B C se forma justamente en el punto próximo P. y' . Sin embargo no puede ver aquéllos objetos que estén muy próximos. En la figura 1. con estas gafas.15 m) . es) III .214 m y fig. J. Para que este miope pueda ver con gafas los objetos alejados (s = 4).Manual de Óptica Geométrica.4 cm = . 1). Cuando el miope utilice lentes de contacto. Las lentes de unas gafas de miope tienen una distancia focal de -20 cm y la lente está situada a 1. 2 n1 = 1 (aire) . acopladas directamente sobre el ojo. La posición de R referida al ojo es: fig.67 dt s ′ s −0.214 m b.4 = 21. la potencia necesaria sería: P= 1 1 1 1 − = − = −4. la potencia de estas lentes ha de ser tal.214 4 Si la lente no estuviera adosada al ojo. ¿cuál deberá ser la potencia de éstas?.214 ∞ .V. formen la imagen en el punto remoto R.0. por lo que: 1 1 1 1 1 1 = − = − = f ′ s′ s s′ ∞ s′ s' = f ' = . a. 1 RE = RL + LE = 20 + 1. al tener su segunda superficie en contacto con la lágrima acuosa (n = 4/3) que cubre la córnea viene dada por la expresión (29) de la pág. s' = . que de un objeto situado en el infinito.23 dt & 0. Cálculo de la posición del punto remoto. La potencia de estas lentes. la lente ha de formar la imagen en su punto remoto R (fig. n3 = 4/3 (agua) quedando al sustituir y operar: P ' n3 s ) & n1 s ' 4/3 1 & ' & 6.4 cm del ojo. Si esta persona cambia a lentes de contacto situadas directamente sobre el ojo.21.53 22. es decir. si entre la lente y el ojo existiera una capa de aire de espesor despreciable. Santos (jsb@ua. esta posición s calculada es la distancia entre el punto remoto R y la lente. Cálculo de la potencia de las lentes de contacto.n1/s en la que: s = 4 .20 cm = RL en consecuencia. III-16: P = n3/s' .4 cm = 0. No obstante. el punto remoto R ha de coincidir con el foco imagen F' de la lente. únicamente actúa la lente L1.33 D y sustituyendo y operando: a. lo que es lo mismo.10 mm = .30 mm = .es) III . Y y'2 = y2. Imagen de CA formada por la lente L2. a. Imagen de DB formada por la lente L1.1. La potencia de esta lente en el meridiano horizontal (plano XY) es.28 m = + 280 mm . mientras que sobre las dimensiones horizontales (BD) del objeto.905 D en dos planos perpendiculares entre sí.33 D. J.300 mm = D'B' b.93.1. P2 = 1/s'2 . P1 = 103.s'2 / s2 = 10 mm. Posición.2. según el enunciado del problema. P1 = + 103. P = 1/s'1 .030 m s'2 = + 0. ¿qué forma tendría su imagen? La potencia de la lente L1.54 23. β'2 = y'2 / y2 = s'2 / s2 CONCLUSIÓN.905 D.0. ¿dónde se localizarán las imágenes? b) Si el objeto es un cuadrado de 10 x 10 mm.30 mm) = . b. La lente L2 tiene potencia nula en su meridiano horizontal mientras que su potencia en el vertical es P2 = 36. a 280 mm de L2. a. P2 = 36. 333 D y P2 = 36.010 m s'1 = + 0.2. para las dimensiones verticales (CA) del objeto.1/s2 Y s2 = . Tamaño.1/s1 Y s1 = .V. Dos lentes cilíndricas separadas entre sí 20 mm tienen potencias P1 = 103. En consecuencia. todo sucede como si únicamente existiera la lente L2.(280 mm) / (. a) Si el objeto se sitúa a 10 mm a la izquierda de la primera lente.(300 mm) / (-10 mm) = . y sustituyendo y operando: b.33 mm . Santos ([email protected] de Óptica Geométrica. de dimensiones: (D'B') x (C'A') = 300 mm x 93. Posición.905 D. Tamaño. Del tamaño de las imágenes C'A' y D'B' se deduce que la imagen total es un rectángulo invertido respecto del objeto y mayor que él. β'1 = y'1 / y1 = s'1 / s1 Y y'1 = y1. en el meridiano vertical (plano YZ).30 m = + 300 mm . es nula ya que su sección según este plano no presenta ninguna superficie esférica.333 mm = C'A' De la posición obtenida para ambas imágenes se deduce que están en un mismo plano imagen ya que las dos están a 300 mm de la lente L1 o.s'1 / s1 = 10 mm.0. Manual de Óptica Geométrica.6 = (6. C es el centro del cubo y E el de la esfera. calcular el índice de refracción del cubo y la posición de la esfera dentro de él para que un haz estrecho de rayos paralelos que incide en el cubo normalmente a una de sus caras. . . . . . . . . .n)] . . . . . según el enunciado.es) III . . . . (2) ' . F' V2 = . . . . . . J. .55 24. cuya posición calculamos mediante la expresión: 2 f ' = n'. . . . . Los rayos paralelos que inciden sobre la primera cara del cubo (plana de vértice V1) no se desvían por incidir perpendicularmente a ella y alcanzan la primera superficie de la esfera (convexa de vértice V2) refractándose en dirección que pasa por su foco imagen F' . . .s' 3 . dando lugar a una imagen que. El valor de s3 y de s' no es posible calcularlo por desconocerse 3 3 el índice de refracción del cubo pero sí se pueden calcular en función de éste índice. . . (3) y como: CV3 = . . . . salga de la esfera pasando por el centro del cubo y salga del cubo pasando por el centro de la esfera. . . . . . . .6 = [3 / (1. . . medio que llena también la esfera hueca. . . . . En la figura. . . Para esta segunda superficie de la esfera todo sucede como si la luz procediera de un objeto real situado en F' a una distancia s3 de su vértice V3. (1) 2 2 y como: F' V3 = . . . . .s3 = . . CE = + d . . . .f 2 ' 2 . . . . .V. . . . .3) / (1 -n) . n' = nESFERA (aire) = 1 f 2 = 3 / (1-n) = V2F' ' 2 . . . V2V3 = + 6 cm al sustituir estos valores en (1) queda: . .n . . . Se supone el cubo inmerso en aire. . . . .s3 2 . . . . .r / (n'-n) en la que: y sustituyendo: n = nCUBO = n . Sabiendo que el centro del cubo y el centro de la esfera están alineados. . Un cubo de arista L = 12 cm e índice n tiene un espacio hueco en su interior en forma de esfera de radio r = 3 cm. r = + 3 cm A continuación la luz alcanza la segunda superficie de la esfera (cóncava de vértice V3) y se refracta en ella pasando del aire (esfera) al medio de índice n (cubo). . a una distancia s' del vértice V3. dando lugar a la formación de una imagen en este 2 punto F' . . . . . EV3 = + 3 cm Y s3 = f 2 . Para ello consideremos la relación de segmentos (ver figura): F' V3 = F' V2 + V2V3 .f 2 + 6 ' También de la figura se deduce que: CV3 = CE + EV3 . . . . . . . ha de estar 2 situada en el centro C del cubo. . Santos (jsb@ua. . . . teniendo en cuenta que ahora la luz pasa del cubo 4 al aire y que por tanto ahora es: n = nCUBO queda: n / s = n' / s' . . . . .s' 4 al sustituir estos valores en (6) queda: . . . . .V. . . En la figura se designa por d a la distancia CE entre el centro del cubo y el de la esfera. . . (6) y como: CV4 = . n' = nAIRE = 1 Y n / s4 = = 1 / s' 4 Y n / (-6) = 1 / (d . . . . .6) n = 6 / (6 . (7) Por último. . . . Del signo positivo de d1 se deduce que el centro de la esfera está a 2. . . .s' 4 Y s' = d .es) III . . . . . esta superficie ha de formar la imagen final en el centro de la esfera E. CE = d . EV4 = . . . . .84 cm Y 2d 2 % 3d & 18 ' 0 de las que únicamente es válida la primera ya que la segunda requiere que una parte de la esfera esté fuera del cubo. . . . . (5) 6d Por último.s4 = d + (.d) = 6 / (6 . . . . . . . . . . . .34 cm a la derecha del centro del cubo.s' ) 4 Y 6 = d . .s4 = + 6 cm . . J. . Para esta cara plana todo sucede como si los rayos procedieran de un objeto situado en C a una distancia s4 de su vértice V4. . . . n ' r = . Sustituyendo este valor de d en cualquiera de las expresiones (5) o (7) se obtiene el valor del índice de refracción del cubo: n = 6 / (6 . . .(d + 3) . igualando las expresiones (5) y (7): 9 % 6d 6 ' 6d 6 & d ecuación que ofrece dos soluciones: d1 = 2.3 cm n 1 & n n & 1 & ' &(d % 3) 6n & 3 &3 9 % 6d . . . . . . . . . . . . (4) 3 n´ n n & 1 & ' . . . . . . . . . . la luz alcanza la segunda superficie del cubo (plana de vértice V4) y se produce una nueva refracción. . . . . . . . . . .34) = 1.s' = d + 3 3 Y s' = . . . . . s´ s r Sustituyendo los valores de s3 y s' dados por las expresiones (2) y (4) en la fórmula de Gauss 3 teniendo en cuenta que ahora es: n = nESFERA (AIRE) = 1 queda: . . . n' = nCUBO = n Y . .d) .56 al sustituir estos valores en (3) queda: . . . . Santos (jsb@ua. . . .Manual de Óptica Geométrica. . .2. . . De ella se deduce que: CV4 = CE + EV4 .6 4 Sustituyendo estos valores de s4 y s' en la fórmula del dioptrio plano. . . . . . . . . . . . . Calcularemos s4 y s' 4 4 en función de n. a una distancia s' .64 . Según el enunciado. . . . . .34 cm y d2 = . . . . . . .3. . 52 25. por lo tanto. Por ser una lente divergente.5 = − s′ s s ′ −0.4 m fig. una imagen en el punto remoto R del miope. A. Una persona miope necesita una corrección de -2.5 − 1 n ′r2 1.5 en las que r es el radio de la segunda superficie de la lente.5 dt para ver objetos lejanos. es capaz de ver objetos a una distancia mínima de 24 cm.(2r ) = = 6r n′ − n 1. 2 CONCLUSIÓN: sin gafas su intervalo de visión es desde 15 hasta 40 cm. por lo que: P= 1 1 1 1 − → − 2. es aire. que entre la lente y el ojo el medio es aire. 1 resultado del que se deduce que el punto remoto R de esta persona está a 40 cm y. el punto próximo P de esta persona está a 15 cm por lo que. según dice el enunciado. punto situado a menor distancia que su punto próximo P y no podría verlo con nitidez.5 = 1 1 − s′ ∞ → s ′ = −0. J. Calcular el intervalo de visión cuando no lleva gafas. r f 2′ = = = −2 r n ′ − n 1 − 1. sin gafas. 1) y cuya posición calculamos: P= 1 1 − s′ s → − 2. Despreciar la distancia lente ojo. La lente correctora forma. de un objeto en el infinito. esta persona no puede ver objetos situados a menos distancia.5. Si la lente correctora tiene un índice de 1.Manual de Óptica Geométrica. las imágenes que forma están situadas entre el objeto y la propia lente (fig.entre lente y ojo.15 m = −15 cm resultado del que se deduce que. PERSONA SITUADA EN EL AIRE. despreciándose esta distancia. el primer medio es agua y el segundo . f' y f' son las potencias y focales de las superficies que delimitan la lente y n su índice. la imagen se forma en el punto próximo P. La potencia P de la lente en aire es: P = P + P2 = 1 n 1 + f 1′ f 2′ en la que P1. 2) de manera que para una determinada posición A del objeto. Si el objeto estuviera en una posición B más próxima.24 s ′ = −0. Santos (jsb@ua. en este caso. P2. Para poder conocer el intervalo de visión cuando está sumergida es preciso calcular la potencia de la lente cuando. fig.5 y el radio de curvatura de la primera cara es el doble que el de la segunda. la imagen se formaría en B'.V. calcular cómo varía el intervalo de visión cuando la persona se sumerge en el mar considerando. sin gafas no podrá ver objetos situados a menos distancia. siendo R el punto más alejado que puede ver sin gafas (fig. . B. la posición del punto más próximo que puede ver con gafas es A.es) III . Con esta corrección. 1 2 Calculamos estas focales: f 1′ = n ′r1 1. situado según el enunciado a una distancia de 24 cm. PERSONA SUMERGIDA EN AGUA. En consecuencia. que no sufre ningún cambio por seguir estando en contacto con el aire. la zona comprendida entre la posición más alejada y la más próxima en la que puede estar situado un objeto para que la persona sumergida pueda verlo con gafas.5 = 1. J.5 = f 1′ 18r P ′ = −4.3 cm y el infinito. a 15 cm. sumergida con gafas. mientras que P2 es la potencia de la segunda superficie. P2 = 1/f' = -1/2r. 2 Calculando P' y sustituyendo queda: 1 f 1′ = P ′ = P + P2 = 1 n ′r1 1.Manual de Óptica Geométrica. Calcular analíticamente el aumento transversal que produce un dioptrio plano para cualquier posición del objeto. En las lentes divergentes. al acercar el objeto la imagen también se acerca. 26.166 dt Calcularemos a continuación el nuevo intervalo de visión. por lo que para una determinada posición del objeto la imagen va a estar en la posición más próxima para que pueda ser vista. es decir. si un objeto está situado en el agua a distancia infinita.166 + s′ ∞ → s ′ = −0. lo que está dentro de su campo de visión. Santos ([email protected] Al sustituir queda: −2. En estas condiciones.1m = +10 cm La potencia P' de la lente cuando la primera cara está sumergida en agua es P' = P' + P2 en la que P' es la potencia que 1 1 tiene ahora la primera superficie.1m P′ = 1 → n ′ 1. la lente va a formar una imagen de él en una posición: n′ n n′ − = =P s′ s f′ → 43 1 = −4.5  −1 +  18r  2r  → → r = 0. esta persona va a poder ver objetos situados entre 53.V.5 1 + 6r −2r → r = +0. la relación que existe entre la posición del objeto y de la imagen en el dioptrio plano es: n n′ = s s′ por lo que al sustituir en la expresión del aumento queda: → ns ′ = n ′s β ′ = +1 .533 m = −53 cm CONCLUSIÓN: sumergida con gafas.es) III . por lo que tiene el mismo valor que en el caso anterior. la expresión anterior es válida para el dioptrio plano. El aumento transversal en un dioptrio esférico viene dado por la expresión: β′ = ns ′ n ′s y teniendo en cuenta que un dioptrio plano es también un dioptrio esférico (de radio infinito).5 − 1.24 m = −24 cm por lo que esta persona. es decir. Para ello recordemos que esta persona únicamente puede ver objetos (sin lentes) o imágenes (con lentes) que estén situados a más de 15 cm y a menos de 40 cm y que la potencia de la lente.15 → s = −0. No obstante. Esta posición del objeto es: n′ n n′ − = =P s′ s f′ → 43 1 = − ( −4. es decir. va a poder ver objetos en el infinito ya que su imagen se forma a 24 cm.(2r ) = = 18 r n ′ − n 1.166 dt.5. cuando está sumergida es de -4.166) s −0.33 1. 67 dt s ′ s −0. 1 b. J. 2): s = . es de .Manual de Óptica Geométrica. a. La lente que necesita ha de formar.5 dt s ′ s −2 ∞ fig.es) III . DISTANCIAS A LAS QUE NO PUEDE VER CON ESTAS LENTES. de un objeto y situado a 30 cm.0. Sin embargo. ¿Qué lentes necesita para ver objetos alejados?.0. 3 s= 1 = −0. es decir. Con estas lentes. s s′ −0. resultado del que se deduce que.54 27. 3): PL = 1 1 − s′ s → 1 1 1 = − PL = − ( −0. . Santos (jsb@ua. una imagen y' situada en su punto próximo P (fig. LENTES PARA OBJETOS A 30 CM. c.6 fig. La lente que necesita ha de formar.0.6 m PC = fig. Con las lentes para ver "de lejos".2 m PL = 1 1 1 1 − = − = −0. entre P y la lente y en esa zona no puede ver con nitidez ningún objeto.6 −0.3 c. de un objeto y situado en el infinito.5 dt.200 cm = .30 cm = .3 m s'= . 2 1 1 1 1 − = − = +1. cuando un objeto se acerca a una lente divergente ésta forma de él una imagen cada vez más próxima a la lente por lo que habrá una posición del objeto s para la que la imagen y' se formaría en el punto próximo P (fig. cuya potencia calculada en el apartado a.5) = −117 .86 m = −86 cm −117 . una imagen y' en su punto remoto R (fig.60 cm = . s'= . esta persona puede ver perfectamente los objetos alejados. LENTES PARA OBJETOS ALEJADOS.V. Un anciano puede ver sin gafas los objetos situados a distancias entre 60 y 200 cm de su ojo. 1): s = 4 . no podrá ver objetos situados a menos de 86 cm ya que la imagen se formaría a una distancia menor que el punto próximo. con estas lentes. ¿y para leer el periódico colocado a 30 cm del ojo? ¿A qué distancia no podrá ver esta persona con las lentes calculadas anteriormente? Despreciar la distancia lente-ojo.1. 17 s s′ −2 s = -0. 28. en consecuencia.incide paralelo al eje y emerge de la primera en dirección a 2 su foco imagen F´.V. la imagen se formaría más lejos que el punto remoto R. J. El rayo -<<. Santos ([email protected] m = .Manual de Óptica Geométrica. con las gafas para ver "de cerca". La utilización del rayo que partiendo del objeto incidiera por el centro de la primera lente no es conveniente en este caso ya que este punto no es su centro óptico por ser f1 … f´ como puede verse claramente en la figura que representa al sistema 1 propuesto y. es de + 1. Esta posición s es: PC = fig. Con estas lentes. .es) III .2. al alejarse un objeto de una lente convergente (que trabaje con objeto dentro de su focal como en este caso) la imagen también se aleja de la lente por lo que habrá una posición s del objeto (fig. No obstante.46 cm resultado del que se deduce que esta persona. En el siguiente sistema.67 = −2. Para conocer la dirección de este rayo después de atravesar la segunda lente es preciso trazar un rayo 1 auxiliar (-<-<-<-) con el que ha de cortarse en un punto (P) del plano focal F' por incidir ambos sobre la segunda lente paralelos 2 entre sí. este rayo sufriría una desviación. cuya potencia calculada en el apartado b. 4) para la cual la imagen se forme en el punto remoto R. El rayo -<. esta persona puede ver objetos situados a una distancia mínima de 30 cm. no podrá ver objetos situados a más de 46 cm ya que para mayores distancias objeto. saliendo del sistema en dirección foco imagen F' de la segunda.67 dt. hallar gráficamente la imagen del objeto. 4 1 1 − s′ s → 1 1 1 = − PC = − 1.55 c. Con las lentes para ver "de cerca". Explicar los pasos seguidos y definir la imagen.incide en dirección al foco objeto F1 de la primera lente por lo que emerge de ella paralelo al eje. b) el ángulo que forman estos rayos entre sí a la salida. J.g' 1 sen g1 = n. Esta distancia x es la que hemos de calcular. El rayo incidente sufre una primera refracción en P y una segunda en Q. CÁLCULO DEL ÁNGULO g2. Los ángulos g' y δ son iguales por tener un 2 lado común y el otro paralelo. 1 En el punto P: para h = 2 cm: para h = 4 cm: 5.5 = 0.58)/1. 3.27 1 sen g' = (sen 53. CÁLCULO DEL ÁNGULO DE INCIDENCIA g1.53 1 g2 = 23.56 29. siendo δ la desviación que sufre el rayo al atravesar la semiesfera ya que es el ángulo que forman las direcciones del rayo incidente y el emergente: δ = g' 2 Por la misma razón los ángulos g1 y α son también iguales: α = g 1.Manual de Óptica Geométrica.V.13o 4.58o g1 = 53.5 sumergida en aire tiene un radio de 5 cm. 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. CÁLCULO DEL ÁNGULO DE REFRACCIÓN g' .15.sen g' 1 . Una semiesfera de vidrio con índice 1.47 = 8. para determinar la posición del punto de corte x hay que calcular el segmento QC y el ángulo δ. Hallar: a) el punto de corte de estos rayos con el eje después de atravesar la semiesfera. En el triángulo QCB: tg δ = QC/x .13)/1.5 = 0. Dos rayos paralelos al eje inciden sobre la cara curva a una altura sobre el eje óptico de 2 y 4 cm respectivamente.4 sen g1 = 4/5 = 0.11o .47o 1 g´ = 32. CONSIDERACIONES GEOMÉTRICAS. cortando al eje en un punto B situado a una distancia x del centro de curvatura C de la semiesfera.es) III . En el punto P: para h = 2 cm: g1 = g' + g2 1 û g2 = g1 . x = QC/tg δ por lo tanto. ¿donde focalizarían los rayos? 1.58 . Santos (jsb@ua. sen g' = (sen g1)/n 1 û û g' = 15.23o 1 sen g' = (sen 23. c) si suponemos una lente delgada de las mismas características geométricas. En el triángulo PAC: sen α = sen g1 = h/r para h = 2 cm: para h = 4 cm: sen g1 = 2/5 = 0.8 û û g1 = 23. 5 ∞  f′  r1 r2  f′= 1 = 10 cm 0. 2 Aplicando la ley de Snell en el punto Q: para h = 2 cm: para h = 4 cm: 7. El ángulo φ que forman las 2 direcciones de los rayos emergentes es por lo tanto: φ = δ2 .sen 20. senε1 ′ sen ε 2 + 90 ( ) QC = 5.V. CÁLCULO DEL ÁNGULO QUE FORMAN LOS RAYOS. .22o 2 g' = 32. que sería convexo-plana de radios 5 cm e 4 y de n = 1. .12. CÁLCULO DEL PUNTO DE CORTE (X).22 = 20.sen g2 = sen g' 2 .32.11 = 0. CASO DE UNA LENTE DELGADA. Santos (jsb@ua. sen 32.es) III .35 cm sen ( 8. Aplicando el teorema de los senos al triángulo PQC: n.35 = 4.23 = 20. x = QC/tg δ = QC/tg g' . CÁLCULO DEL SEGMENTO QC.54 2 sen ε 2 + 90 para h = 2 cm: ( r ) = QC senε1 ′ → QC = r.5.50 cm 9.sen 8.5 − 1)  −  = 0.35/tg 12.δ1 = g' (h=4 cm) .85/tg 32.35o 2 sen g' = 1.21 2 sen g' = 1. J.sen15.35 .g' (h=2 cm) 2 2 φ = 32.Manual de Óptica Geométrica.13 .11 + 90) para h = 4 cm: QC = 5. g' = 12.57 para h = 4 cm: g2 = 53. Ahora se ha de considerar que los rayos están en la zona paraxial y en consecuencia ambos rayos focalizarían en el foco imagen F' de la lente.1  1. Sustituyendo valores queda: 2 para h = 2 cm: para h = 4 cm: x = 1.5.90o 6.9 = 0.13o 10. En el punto 2 se ha visto que la desviación δ que sufre el rayo es igual al ángulo g' .22 = 6.23 = 2. Según se vio en el punto 1. CÁLCULO DEL ÁNGULO g' .1 por lo que ambos rayos cortarían al eje (focalizarían) a 10 cm a la derecha de la lente.47 = 1. La distancia focal de una lente delgada viene dada por la expresión:  1 1 1  1 1 = ( n − 1)  −  = (1.5.23 cm x = 2.85 cm sen ( 20.9 + 90) 8. . situado sobre la segunda cara. Santos ([email protected]. x = 10.67 mm.54 y espesor 1 cm enfocando su primera cara.5 mm 2º.54 = 0. J. 1º. 2 L1L2 = L1O' + F2L2 2 175 = s' . calculamos la posición del objeto (O2) mediante la expresión 1/s'-1/s = 1/f' 1 1 1 − = s′ s f ′ en la que: quedando al operar b.67 . La segunda cara de la lámina forma.es) III .65 cm = 6. una imagen O' . a.5 mm 1 δ = 6. Calcular asimismo la posición inicial de la lámina respecto del microscopio. de un objeto O1 situado sobre la primera cara (s1 = 1 cm).f2 = s' .1 cm/1. Posición inicial de la lámina. ha de estar en el foco objeto F2 de la lente L2 con lo que ésta formará la imagen final en el infinito.Cálculo del desplazamiento. a través de la lente 1 L1. Con dicho microscopio se observa una lámina plano-paralela de índice 1. la imagen del punto O' .Manual de Óptica Geométrica.58 30. Sea un microscopio compuesto por dos lentes delgadas convergentes de focales f' = 15 mm y f' 1 2 = 25 mm respectivamente separadas 175 mm.17 mm s'= s' = + 150 mm 2 . por lo 1 que: n´/n = s' /s1 1 s' = n´. s = s2 .s1/n = 1. f'= f' = + 15 mm 1 s2 = . Cálculo de la posición de la lámina. Calcular el desplazamiento que hay que efectuar con el microscopio para enfocar la segunda cara de la lámina. Puesto que un microscopio está 1 enfocado cuando la imagen que forma está en el infinito.16. Cálculo de la posición de 0' . Para enfocar al punto O2.(-25) 2 2 s' = 150 mm 2 Conocida la posición s' de la imagen O' que 2 2 forma la primera lente.5 = 16. hay que desplazar al sistema de lentes "a la derecha" una distancia δ igual a s' . Con este resultado y con ayuda de la figura se deduce que la distancia x entre la primera lente en su posición inicial y la lámina es: x + 6. A.en su incidencia sobre la segunda lente. Dadas dos lentes de focales fr y fr ambas positivas.) paralelo al -<y al -<<.β2) ' s1) s2) . se ha de cortar con los respectivos emergentes de L2 en un punto (P') del plano focal imagen Fr. s1 s2 En este caso. calcular el aumento transversal total del sistema para r 2 r 1 un objeto real situado en el foco de la primera lente. (Ref. L2Fr = + fr 2 2 y − y′ = − f1 f 2′ y el aumento: β′ = y ′ f 2′ − f 2′ = = y f1 f 1′ . F1L1 = .y' 2 .V. Para poder calcular el aumento construyamos gráficamente la imagen. J. Esta imagen actúa como 1 objeto para la segunda lente por lo que s2 = 4. En la figura.59 31. Al sustituir estos valores en la expresión del aumento queda una indeterminación 4/4.: C 9406) El aumento en una asociación de lentes es el producto de los aumentos: β) ' β1). por estar el objeto en F1 la primera imagen se forma en el infinito y por tanto sr = 4. De esta semejanza se deduce que: F1 P P ′F2′ = F1 L1 L2 F2′ y como: al sustituir queda: F1P = + y . lo que define la dirección de ambos rayos.es) III .Manual de Óptica Geométrica. el rayo auxiliar (R. P'Fr = . Santos ([email protected] . 2 Los triángulos sombreados son semejantes por tener todos sus lados paralelos. Calcúlense sus radios de curvatura para que la potencia sea .f´ . ¿Verá toda la lente iluminada? Describir el aspecto observado. f2 = 7. LISTADO DE PROBLEMAS. b) la potencia de cada superficie. La imagen está en F´.43) y estuviera sumergida en bisulfuro de carbono (n = 1. Una lente semiesférica de radio R.5 cm a la derecha del vértice de la segunda superficie.33 dt. Calcular la distancia focal de una lente delgada bicóncava cuyos radios de curvatura son de 10 y 20 cm respectivamente. Una lente delgada positiva de distancia focal f' produce una imagen real N veces más grande que el objeto.f' . ¿Qué valor tendrá dicha focal si la lente estuviera hecha de fluorita (n = 1. b) ¿cuál debería ser el valor del índice para que focalizaran en un punto situado exactamente en la segunda superficie?.f'/ 3 . 6. ¿Cuál es la relación entre la distancia focal de una lente plano-convexa y la distancia focal de una lente biconvexa. b) la posición de la imagen final. f2 = . Considérese la lente delgada.V.27. Una lente equicóncava tiene un índice n = 1.33 cm. ambas delgadas.65. Una superficie esférica convexa de radio 1. P2 = -20 dt. La lente está hecha de cristal al plomo (n = 1.5 dt.24 cm con n = 1.8. Calcular: a) la potencia de la segunda lente. Un observador mira desde muy lejos la cara plana de la lente en la dirección normal a ésta. Solución: a) A 1.3 cm .Manual de Óptica Geométrica. . Solución: verá un círculo iluminado de radio r = R / n.5.21 cm. Imagínese que se quiere observar la imagen de un objeto a través de una lente y verlo en forma correcta pero con una altura de un tercio de la real.es) III . Demostrar que la distancia lente-pantalla es igual a (N + 1). . 7. Solución: r = 52 cm. Solución: a) f1 = . b) n = 2.2.66) y sumergida en agua (n = 4/3). 4.60. f´ = 4. Solución: a) Se trata de una lente divergente. Si situamos un objeto de 5 cm de altura en el aire a 3 cm del vértice de la primera superficie.50.5 cm . J. calcular: a) las focales de las dos superficies.5 cm . 2. Se utiliza una lente convergente para formar la imagen de la llama de una bujía sobre una pantalla distante. e) la posición final de la imagen.5 dt . Santos (jsb@ua. b) s = 2. Solución: a) f'= . tallada en un vidrio de índice de refracción n está incrustada en la pared opaca de una caja muy iluminada interiormente. A 10 cm a la derecha de la segunda lente. El radio de la esfera mide 3 cm y su índice es 1.5 cm separa el aire de un plástico transparente de índice 1. Solución: P2 = + 7. Llamando f' a la distancia focal. si se supone que los índices son los mismos y que todas las superficies esféricas tienen la misma curvatura?.60 10.f´ 1 2 8. 9. A una cierta distancia de esta superficie hay una superficie cóncava de radio -1. determinar la clase de lente que se necesita así como las distancias objeto e imagen en términos de f'.5 cm que separa el primer plástico de otro de índice 1. Solución: f´ = 2.9 cm 1 b) P1 = 33. 1. .63)?. Construir un diagrama de rayos. 2 3. Un haz estrecho de rayos paralelos entra en una esfera maciza de vidrio en dirección axial. b) f'= + 54. s'= 2. 5. En el haz convergente y a 40 cm de la pantalla se coloca una segunda lente de radios r1 = 12 cm y r2 = . a) ¿En qué punto fuera de la esfera se reúnen estos rayos?. Delante de ella se coloca un objeto de 5 mm. 1º) Determínese cuál debe ser la distancia entre las dos lentes para que la imagen definitiva del objeto anterior sea real y esté situada a 30 cm de la lente convergente. la imagen del mismo objeto resulta estar a 40 cm de la lente. 2º) Dibújese la marcha aproximada de los rayos. Si se llena con líquido de índice de refracción 5 / 4.V.86 dt. está situado a 90 cm a la izquierda de una lente delgada divergente de 30 cm de distancia focal. agua 4 / 3). 3º) y´= . r = 20 cm. en este caso. 3º) el tamaño de la imagen. una pantalla a 4 m de distancia.6 cm del ojo. si se hace de vidrio de índice de refracción 1.83 dt.3 cm. el objeto y la pantalla se sumergen en agua. b) a 26. y detrás. 4º) f'= + 240 cm . Con dos vidrios de reloj del mismo radio de curvatura R y de espesor despreciable se forma. 14. ¿Cuáles son los valores de n y R?. Solución: a) P = . A continuación de la lente divergente se dispone una lente delgada convergente de 5 dt. Si se llena con un líquido de índice de refracción n desconocido.5 . Solución: n = 1.33 mm .28. 4º) si la lente. 12.61 10.4.706 m . . Calcular: 1º) la distancia focal de la lente. la profundidad del ojo = 25 mm. calcular. 2º) la distancia a la cual habría que colocar el objeto para que la imagen se recoja en la pantalla.5 cm. Se conoce: el radio de curvatura de la córnea = 8 mm. 2º) s = . la imagen de un objeto situado a 40 cm de la lente está en el infinito.. Solución: Para cerca: P = + 14. Santos (jsb@ua. .0. 5º) s = . a) ¿Qué potencia han de tener unas lentes de contacto para que los objetos lejanos se vean nítidamente?. 11.Manual de Óptica Geométrica. Para lejos: P = + 9. Solución: e = 37. la posición del objeto para que su imagen se recoja en la pantalla.6. Determínese la potencia de cada parte de la gafa.00 m. perpendicular al eje principal. b) ¿Dónde estará su punto próximo?. Un hombre puede ver claramente los objetos sólo si están a una distancia comprendida entre 15 y 35 cm. una lente biconvexa hueca. Un objeto recto.es) III . pegándolos. (Índices de refracción: vidrio 3 / 2. Un operado de cataratas (ojo sin cristalino) deberá emplear unas gafas bifocales para poder leer (objeto a 25 cm del ojo) y para tener visión lejana (objeto en el infinito).2. el índice de refracción del humor acuoso = 4 / 3 y que la lente deberá estar a 1. Considérese la lente delgada. El radio de curvatura de una lente plano-convexa es de 30 cm. de 2 mm de altura.1 dt. J. Solución: 1º) f'= + 60 cm . de convergencia. 13.