Modelado Matemático de Procesos QuímicosMarga Marcos, curso 03-04 Modelos • Representación aproximada de la realidad • Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos y relaciones que son de interés • Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,… • Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, que pasa si…., decisiones,... • ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos? CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 2 ¿Qué es un modelo matemático? • Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables del proceso de interés y representan adecuadamente su comportamiento • Relacionan las variables de salida con las variables de entrada, cuya evolución se supone conocida • Siempre son aproximaciones de la realidad • Distintos modelos para distintos objetivos y tipos de procesos • Compromiso entre facilidad de uso (modelos simples) y exactitud (modelos precisos) CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 3 Modelo como representación del proceso y Proceso u ym tiempo Modelo tiempo CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 4 tiempo Procesos continuos y de eventos discretos q h • Procesos continuos: Las variables evolucionan continuamente en el tiempo y pueden tomar cualquier valor en un rango dado • Procesos de eventos: Las variables solo cambian en instantes discretos y pueden tomar solo un número finito de valores 5 CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 2003 6 .Procesos continuos y de eventos discretos • Procesos continuos » Descritos normalmente por ecuaciones diferenciales totales o en derivadas parciales » Interesa conocer la evolución de ciertas variables de interés • Procesos de eventos discretos » Descritos principalmente por secuencias de actividades » Interesa conocer el comportamiento estadístico de las variables de interés CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. Modelos estáticos y dinámicos • Modelo estático: » Relaciona las variables en un estado de equilibrio Fe • F = Fe . Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 7 . F = k h Modelo dinámico: » Relaciona las variables a lo largo del tiempo h F dV dt dh = A = Fe − k dt h CIPQ. 2003 8 . Marga Marcos ESI Bilbao.Respuesta dinámica h2 h h1 Fe2 Fe1 Fe tiempo Estado estacionario CIPQ. CIPQ. 2003 9 .. Marga Marcos ESI Bilbao.Modelos estáticos y dinámicos • Estáticos » Representan situaciones de equilibrio » Descritos mediante ecuaciones algebraicas » Orientados a diseño • Dinámicos » Representan la evolución temporal » Descritos mediante ecuaciones diferenciales » Utilización típica: control... entrenamiento. Modelos discretizados u(kT) Ordenador y(kT) D/A Proceso A/D • modelos en tiempo discreto • relacionan las variables de entrada y salida en los instantes de muestreo kT CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 10 . 2003 11 . Marga Marcos ESI Bilbao. por aplicación de principios generales de la física. la química. etc • Mediante experimentación y análisis de datos CIPQ.Obtención de modelos • Mediante razonamientos. 2003 12 . Marga Marcos ESI Bilbao. energía. etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación • Tienen validez general • Requieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes físico-químicas CIPQ.Modelos de conocimiento • Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa. momento. Marga Marcos ESI Bilbao. calor.Modelos de conocimiento • Principios físico-químicos involucrados » Ecuaciones de conservación de propiedades fundamentales: • Masa total • Masa de componentes individuales • Energía • Cantidad de movimiento » Ecuaciones cinéticas de transferencia de materia. 2003 13 . cantidad de movimiento y reacción química » Ecuaciones de estado termodinámicas CIPQ. Régimen nominal de operación • Problema regulador: mantener al proceso próximo al régimen nominal de operación. 2003 14 . Marga Marcos ESI Bilbao. compensando mediante la acción de control el efecto de las entradas de perturbación Modelo dinámico: descripción del comportamiento del proceso alrededor del régimen permanente deseado (valores nominales de las variables de entrada y salida que satisfacen las ecuaciones del modelo estático o de régimen permanente) • CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao.Identificación de Modelos • El modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso U U t Proceso t Y Y Modelo CIPQ. 2003 15 . Marga Marcos ESI Bilbao.Modelos de conocimiento • Metodología de modelado: » Establecer los límites y objetivos del modelo » Establecer las hipótesis básicas » Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación » Estimar el valor de los parámetros » Validar el modelo CIPQ. 2003 16 . 2003 17 . Marga Marcos ESI Bilbao.Desarrollo del modelo • Definir Objetivos » Establecer los límites y objetivos del modelo • decisiones de diseño específicas • valores numéricos • relaciones funcionales • precisión requerida • Preparar Información » Establecer las hipótesis básicas • diagrama del proceso e identificación del sistema • identificar variables de interés • establecer suposiciones y datos CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 18 . NF=NV-NE • forma adimensional CIPQ.Desarrollo del modelo • Formular el modelo » Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación • balances de conservación • ecuaciones constitutivas • racionalizar (combinar ecuaciones) • chequear grados de libertad . Marga Marcos ESI Bilbao.Solución del modelo y simulación • Determinar solución » Analítica » Numérica • Analizar resultados » chequear resultados • respuestas límite y aproximaciones • precisión del método numérico CIPQ. 2003 19 . Marga Marcos ESI Bilbao.Solución del modelo y simulación • Interpretar resultados » dibujar solución » comportamiento característico (como oscilaciones y extremos) » relacionar resultados con datos y suposiciones » evaluar sensibilidad » responder a cuestiones del tipo “que pasa si” • Validar el modelo » seleccionar valores clave para la validación » comparar con resultados experimentales » comparar con resultados de modelos más complejos CIPQ. 2003 20 . Tipos de modelos • • • • • • • Parámetros concentrados Parámetros distribuidos No-lineales Lineales Tiempo Frecuencia …. 2003 21 . CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. Ley de conservación de una propiedad Velocidad de acumulación de una propiedad del sistema. Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 22 - + - . P. V = Velocidad de entrada de la propiedad P en V Velocidad de salida de la propiedad P en V Velocidad de generación de la propiedad P en V Velocidad de destrucción de la propiedad P en V CIPQ. en un volumen de control fijo en el espacio. 2003 .Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados • Ecuación de conservación de la masa total Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo = Masa que entra al sistema por unidad de tiempo Masa que sale del sistema por unidad de tiempo + Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo dm = Mi −M0 +G −C dt Mi G m C M0 23 CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 24 . diferencial dm = ρ Fe . algebraica NV = 2 (h y F ) NE = 2 NF = NV − NE = 0 Descarga por rebosadero ⇒ el nivel en el tanque es prácticamente constante m: masa en el depósito.Ejemplo: depósito • Depósito con descarga por rebosadero Fe F h V A ec. Fe(t) y F(t): caudales volumétricos de entrada y salida CIPQ. A: sección del depósito ρ: densidad (≅ cte en líquidos). Marga Marcos ESI Bilbao.F dt Fe = F ec.ρ F dt m = ρV = ρ Ah ⇒ dh A = Fe . Marga Marcos ESI Bilbao. m: masa en el depósito. 2003 25 . se puede expresar en función del nivel: • flujo laminar: F =kh F =k h ec. diferencial dV dh = A = Fe . A: sección del depósito ρ: densidad (≅ cte en líquidos). F. k: constante Fe(t) y F(t): caudales volumétricos de entrada y salida CIPQ.F dt dt ⇒ h V A El caudal de descarga.Ejemplo: depósito • Depósito con descarga por gravedad Fe ec. algebraica F • flujo turbulento: Descarga por gravedad ⇒ el nivel en el tanque no tiene porqué ser constante. Ejemplo: dos depósitos Fe1 Fe2 h1 F1 dh1 = Fe1 − F1 dt F1 = k1 h1 − h2 A1 A2 dh2 = Fe 2 + F1 − F dt F2 = k 2 h2 Fe1 . Fe 2 ≥ 0 h2 F h1 < h2 ? ⇒ F1 = k1 sgn( h1 − h2 ) h1 − h2 restricciones : 0 ≤ h i ≤ hmax CIPQ. 2003 Leyes + restricciones 26 . Marga Marcos ESI Bilbao. Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados • Ecuación de conservación de la masa de componentes individuales Acumulación de masa de componente por unidad de tiempo = Masa que entra de componente por unidad de tiempo Masa que sale de componente por unidad de tiempo + Masa que se genera de componente por unidad de tiempo Masa que se consume de componente por unidad de tiempo dm = Mi −M0 +G −C dt Mi CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 G m C M0 27 . 2003 28 .Ejemplo: reactor químico isotermo FT AT Materia prima: A Hipótesis: • mezcla perfecta en el reactor • temperatura en el reactor constante • volumen constante • reacción química irreversible de descomposición de la especie A. Marga Marcos ESI Bilbao. A → 2B con entalpía de reacción nula y cinética de primer orden − rA = k c A Ecuaciones: • balance másico del componente A • balance másico del componente B Reactor Productos: A y B • -rA: velocidad de consumo molar de A por unidad de volumen • K: constante cinética • cA: concentración molar CIPQ. F Ecuación de conservación del componente B: Ecuación 1 A B CA CB T d (V cB ) = −FcB + V k cA dt • entradas: Fe.Te Ecuación de conservación del componente A: d(VcA) = FecAe − FcA −V k cA dt • entradas: Fe.CAe. CAe • salidas: cA.Ejemplo: reactor químico isotermo Producto A Fe. F CIPQ. 2003 Ecuación 2 29 . CAe • salidas: cB. Marga Marcos ESI Bilbao. Ejemplo: reactor químico isotermo • Tanque con descarga por rebosadero: » El volumen de masa reaccionante es constante Fe = F V = cte NV = 2 (c A y F ) NE = 2 NF = NV − NE = 0 d(VcA) = FecAe − FcA −V k cA dt » Si lo que interesa conocer es el comportamiento de cA cuando varía Fe. 2003 Ecuación no lineal 30 . Marga Marcos ESI Bilbao. eliminamos F d(cA) V = Fe (cAe − cA) −V k cA dt CIPQ. 2003 [3] 31 .Ejemplo: reactor químico isotermo • Tanque con descarga por gravedad: » El volumen de masa reaccionante no es constante dV = Fe − F dt [1] NV = 2 (c A y F ) NE = 2 [2] d(VcA) = FecAe − FcA −V k cA dt » De [2]: NF = NV − NE = 0 dV d(cA) V + cA = FecAe − FcA −V k cA dt dt CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. F CIPQ. h y F ) NE = 3 NF = NV − NE = 0 Entradas conocidas: Fe. 2003 32 . V(h). CAe Variables de salida: cA. Marga Marcos ESI Bilbao. CAe F= kh k h flujo laminar flujo turbulento Variables de entrada: Fe.Ejemplo: reactor químico isotermo • Tanque con descarga por gravedad: » Sustituyendo [1] en [3]: d(cA) V = Fe (cAe − cA) −V k cA dt dV = Fe − F dt Ecuación no lineal NV = 3 (c A . 2003 33 .Ejemplo: reactor químico isotermo » Ambos sistemas responderán igual a un cambio en la concentración de entrada » No será así cuando varíe Fe » Condición inicial para cA: valor nominal en régimen permanente: cA dcA =0 » Se obtiene resolviendo el modelo estático: dt una vez especificados los valores de F y cAe e F (cAe−cA) =V k cA e CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados • Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo Velocidad de acum. Marga Marcos ESI Bilbao. de energía en V • = Velocidad de entrada de energía en V - Velocidad de salida de energía en V Consideraciones: » La energía específica (energía por unidad de masa) total de un fluido tiene 3 componentes: • Energía interna específica • Energía potencial específica • Energía cinética específica CIPQ. 2003 34 . Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados • Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo » Término acumulación de energía en V: • Sólo aparece la energía interna » Entrada y salida de energía: • con la corriente de entrada • con la corriente de salida • intercambio de calor y trabajo con los alrededores CIPQ. 2003 35 . Marga Marcos ESI Bilbao. es despreciable frente a la energía interna) • En la mayoría de los equipos el trabajo que se intercambia con el exterior es trabajo de flujo (trabajo específico pv). Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 36 .Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados • Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo » Hipótesis: • Energía cinética específica despreciable (velocidad de los fluidos baja) • Energía cinética total que entra y sale del equipo parecida (velocidades de las corrientes de entrada y salida semejante) • Energía potencial que entra y sale del equipo parecida (poca diferencia de cota) además. asociado a las corrientes de entrada y salida y que unido a la energía interna específica constituye la entalpía h = u+ pv CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao.h: entalpías específicas de las corrientes de entrada y salida Q: energía aportada en forma de calor por unidad de tiempo W: trabajo realizado sobre los alrededores por unidad de tiempo CIPQ. 2003 37 .Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados • Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo » Balance de energía: d (V ρ u) = Fe ρe he − F ρ h +Q−W dt • • • • u: energía interna específica he. Marga Marcos ESI Bilbao.Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados • Ecuación de conservación de la energía en un proceso reactivo » Si el proceso es reactivo. la energía interna y las entalpías se refieren a los reactivos y productos de la reacción » En modelos sencillos es habitual tomar como ecuación de balance de energía: d (V ρ u) = Fe ρe he − F ρ h +(−∆Hr ) (−rA)Q−W dt • Los valores de las entalpías y energías internas se refieren a las especies moleculares presentes • (−∆Hr ) entalpía de reacción CIPQ. 2003 38 . Te Hipótesis: F V.Ejemplo: calentador de agua Tanque con descarga por rebosadero Fe.T • T uniforme en el depósito • Aislamiento perfecto • Densidad constante • Al tratarse de un líquido: Q pv ≈0 ⇒ u = h T: temperatura V: volumen del depósito H: entalpía A: sección del depósito ρ: densidad dh V ρ = Fe ρe he − F ρ h +Q dt V = cte ⇒ Fe = F CIPQ. 2003 39 . Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 40 . Marga Marcos ESI Bilbao.Ejemplo: calentador de agua Tanque con descarga por rebosadero Entalpía del agua a temperatura T Referida a agua líquida a temperatura T0: h = cp (T −T0 ) • cp: calor específico medio entre T y T0 (≈cte) Velocidad de transferencia de calor al agua: Q =UA(Ts −T) • U: coeficiente global de transferencia de calor • A: área de la superficie de transferencia de calor (serpentín) •Ts: temperatura de saturación correspondiente a la presión de suministro de vapor CIPQ. 2003 41 . Fe. Te y Ts y la condición inicial T(0). La integración de esta ecuación permite calcular la evolución temporal de la temperatura se obtiene resolviendo el modelo estático (dT/dt=0).Te y Ts T (0) = T Fe ρ cp (Te −T ) +UA (Ts −T ) = 0 CIPQ. Fe . una vez especificados los valores nominales de las variables de entrada.Ejemplo: calentador de agua Tanque con descarga por rebosadero dT V ρ cp = Fe ρ cp (Te −T) +UA(Ts −T) dt Ecuación no lineal Especificadas las variables de entrada. Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 42 .Modelos de conocimiento Conclusiones: • Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales • Útiles para muchos fines • Es necesario conocer los principios físico-químicos • Difíciles de manipular matemáticamente • Se resuelven mediante simulación CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. Modelos linealizados • Aproximaciones lineales de las ecuaciones nolineales • Más fáciles de manipular matemáticamente • Su rango de validez es limitado dh A = Fe − k h dt d ∆h A = β ∆ Fe − α ∆ h dt CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 43 . 2003 44 . Y ) u(t) =U(t)−U(t) y(t) =Y(t)−Y(t) U U Y Y U Proceso Y t • El rango de validez está limitado a los alrededores del punto de operación CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao.Modelos linealizados • las variables u e y son cambios sobre un punto de operación (U . ∆y. y 0 . z ) = f ( u 0 . y.Linealización • Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operación u0. …. z 0 ) = 0 ∂f ∂f ∂f (u − u 0 ) + ( y − y0 ) + (z − z 0 ) + .. y 0 .. z 0 ) + ∂f ∂f ∂f ∆u + ∆y + ∆z = 0 ∆u = u − u 0 ∂u 0 ∂y 0 ∂z 0 • Ecuación lineal en las nuevas variables ∆u. ∂z 0 ∂u 0 ∂y 0 ∆y = y − y 0 ∆z = z − z 0 f ( u . y0. y. 2003 45 . z ) = 0 f (u 0 . ∆z CIPQ. f ( u . z0. Marga Marcos ESI Bilbao. Modelos linealizados • Variables de desviación » Dado que el proceso trabaja en un punto de operación para el que se obtiene un modelo dinámico lineal. interesa estudiar la evolución de las variables a partir del punto de operación. Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 46 . Estas variables se denominan variables de desviación x(t) x′ = x (t ) − x t x El modelo linealizado es un modelo de perturbación CIPQ. Fe e Punto nominal de operación: h V A F ∂f & ∂f ∆ h + ∂f ∆ F = 0 ∆h+ e & ∂h 0 ∂Fe 0 ∂h 0 ∂f ∂f ∂f k =A . h . 2003 . ∆ Fe = Fe − Fe Variables de desviación: A d ∆h k + ∆h − ∆Fe = 0 dt 2 h Ecuación diferencial lineal 47 CIPQ. h. = .Ejemplo: Modelo linealizado del depósito • Tanque con descarga por gravedad A dh − Fe + k dt & f (h. = −1 & ∂h 0 2 h ∂Fe 0 ∂h 0 ∆h = h − h . Fe ) = 0 h =0 & h . Marga Marcos ESI Bilbao. K= k k 48 El valor de los coeficientes depende del punto de operación CIPQ. 2003 . Marga Marcos ESI Bilbao.Ejemplo: Modelo linealizado del depósito • Tanque con descarga por gravedad A d ∆h k + ∆h − ∆Fe = 0 dt 2 h e h V A F 2 A h d ∆h 2 h + ∆h − ∆Fe = 0 k dt k d ∆h τ + ∆h = K ∆Fe dt τ= ∆h = h − h . ∆ Fe = Fe − Fe Variables de desviación: 2A h 2 h . Te d(cA) = Fe (cAe − cA) −V k cA V dt d(cB ) V =− Fe cB +V k cA dt Dos ecuaciones: punto de operación: A B CA CB T & f1 (c A . c Ae ) = 0 & f 2 (cB . Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 (c A .CAe. c A .Ejemplo: Modelo linealizado del reactor • Reactor con descarga por rebosadero Producto A Fe. c A . Fe . Fe . cB . cB . c Ae ) 49 . Fe ) = 0 CIPQ. Ejemplo: Modelo linealizado del reactor • Desarrollando las funciones en series de Taylor y despreciando los términos de orden superior al primero: d(∆cA) V + (Fe +V k) ∆cA −(Fe ) ∆cAe +(cAe − cA) ∆ Fe =0 dt cAe − cA Fe V d(∆cA) F +V k dt + ∆cA = F +V k ∆cAe + F +V k ∆ Fe e e e CIPQ. Marga Marcos ESI Bilbao. 2003 50 . K2 = Fe +V k Fe +V k Fe +V k d(∆cA) τ + ∆cA = K1 ∆cAe + K2 ∆ Fe dt Modelo linealizado • Si el sistema parte del punto de operación. Marga Marcos ESI Bilbao. ∆cA (0) =0. K1 = . 2003 51 . las condiciones iniciales son nulas ∆cAe (0) =0 . ∆ Fe (0) =0. CIPQ.Ejemplo: Modelo linealizado del reactor • Llamando: cA −cAe Fe V τ= . K2 = Fe Fe Fe Modelo linealizado CIPQ. 2003 52 . Marga Marcos ESI Bilbao. K1 = .Ejemplo: Modelo linealizado del reactor • De la misma forma se llega a: d(∆cB ) τ2 + ∆cB = K1 ∆cA + K2 ∆ Fe dt −cB V Vk τ2 = . Capítulo 2 » C. Edgar. 2003 53 . En este tema se ha hecho uso del siguiente material: » César de Prada. Ollero. A. Marga Marcos ESI Bilbao. T. Transparencias de Modelado. A. Mellichamp. Corripio. Smith.A. E. Seborg. Process Dynamics and Control.E.• Bibliografía: » P. » D. Universidad de Valladolid. Control e instrumentación de procesos químicos. CIPQ. Capítulo 2. Ed. Teoría y Práctica. D.F. Control Automático de Procesos. John Wiley & Sons (1989). Ed Síntesis (1997). Limusa (1999). Camacho. Ed.B. Capítulos 3 y 4. F.