Tema 3.1 CENTRO DE MASA 1. Centro de gravedad Consideremos un cuerpo de masa m y peso W con tamaño y forma cualesquiera.Si lo suspendemos de un punto cualquiera, A, mediante una cuerda, quedará en equilibrio para una posición determinada. Trazaremos una línea imaginaria “a” que sea la continuación de la cuerda. Podemos suspender el cuerpo de otros puntos diferentes, B y C, con lo que las posiciones correspondientes serán distintas y las rectas que sigan la dirección de la cuerda serán otras, “b” y “c”. A a B C b c Todas estas rectas pasan por un punto común. Este punto se llama “centro de gravedad” del cuerpo. Y es el punto donde podría concentrarse todo el peso del cuerpo y sería un sistema equivalente. A C b a B Podemos calcular la posición de este punto, G, con respecto a cualquier sistema de referencia, dividiendo el cuerpo en pequeños elementos y considerando la distancia de cada parte al origen del sistema de referencia . c Si el peso total del cuerpo es W, y el de cada trocito considerado es dW, la expresión que da el vector de posición, rG, del centro de gravedad es rG = (∫ r dW) / W donde r es el vector de posición del elemento dW. Es decir, las coordenadas del centro de gravedad vienen dadas por: dW G r rG x z 1 xG = (∫ x dW) / W yG = (∫ y dW) / W zG = (∫ z dW) / W y W 2. Centro de masa Si tenemos en cuenta la relación entre la masa y el peso de un cuerpo, W = mg donde g es la aceleración de la gravedad, y considerando g constante, tendremos rG = (∫ r dW) / W = (∫ r g dm) / (g m) = (g ∫ r dm) / (g m) = (∫ r dm) / m De donde podemos obtener el vector de posición del punto G usando la masa en lugar del peso. En este caso se llama “centro de masa” y coincide con el centro de gravedad siempre que la aceleración g pueda considerarse constante. Las coordenadas se obtienen mediante las expresiones: xCM = (∫ x dm) / m 3. Centroide Podemos simplificar aún más el problema si la densidad del cuerpo considerado, ρ, es constante. En ese caso, hablaremos de volumen en lugar de masa, dada la relación entre estas magnitudes: ρ=m/V m=ρV dm = ρ dV yCM = (∫ y dm) / m zCM = (∫ z dm) / m Para el vector de posición del punto G tendremos, rCM = (∫ r dm) / m = (∫ r ρ dV) / (ρ V) = (ρ ∫ r dV) / (ρ V) = (∫ r dV) / V En este caso, la posición depende sólo de la geometría del cuerpo considerado y no del material de que esté hecho, y se conoce como el “centroide” de ese cuerpo. Sus coordenadas son x = (∫ x dV) / V y = (∫ y dV) / V z = (∫ z dV) / V Está claro que siempre que la densidad ρ sea constante el centroide y el centro de masa coinciden, por lo que muchas veces se usan ambos términos indistintamente. Estas expresiones pueden utilizarse también, de forma más simple, cuando el cuerpo considerado es una superficie r = (∫ r dA) / A x = (∫ x dA) / A y = (∫ y dA) / A y dA G r rG A x 2 o sólo una longitud: y r rG L x dL G r = (∫ r dL) / L x = (∫ x dL) / L y = (∫ y dL) / L 4. Masas puntuales Un caso particular puede considerarse cuando en lugar de un cuerpo homogéneo nos encontramos con una distribución discreta de masas que consideramos puntuales. En este caso las integrales se sustituyen por sumatorios, pero las expresiones son las mismas. xCM = (Σ xi mi) / (Σ mi) yCM = (Σ yi mi) / (Σ mi) zCM = (Σ zi mi) / (Σ mi) 5. Simetría Cuando el cuerpo considerado tiene algún tipo de simetría el cálculo de la posición del punto G puede simplificarse. Si el cuerpo tiene un plano, eje o centro de simetría, el centro de gravedad se encuentra sobre él. 6. Cuerpos compuestos Cuando el cuerpo considerado se puede descomponer en otros que se encuentran en las tablas, el cálculo del centro de masa no necesita el uso de integrales. Pueden usarse sumatorios como si se tratase de masas puntuales, con toda la masa de cada parte concentrada en su centro de masa. xCM = (Σ xCMi mi) / (Σ mi) yCM = (Σ yCMi mi) / (Σ mi) zCM = (Σ zCMi mi) / (Σ mi) Lo mismo puede decirse del centroide, ya sea para volúmenes, superficies o longitudes. Si se pueden descomponer en diferentes partes, las coordenadas del centroide se pueden encontrar mediante las expresiones vistas para masas puntuales, considerando el centroide de cada parte en las expresiones correspondientes: x = (Σ x i Vi) / (Σ Vi) y = (Σ y i Vi) / (Σ Vi) z = (Σ z i Vi) / (Σ Vi) 3 x = (Σ x i Ai) / (Σ Ai) x = (Σ x i Li) / (Σ Li) y = (Σ y i Ai) / (Σ Ai) y = (Σ y i Li) / (Σ Li) z = (Σ z i Ai) / (Σ Ai) z = (Σ z i Li) / (Σ Li) Si el cuerpo tiene un hueco, se puede considerar como una masa negativa, ya que le quitamos esa parte al conjunto. Del mismo modo, consideraremos un volumen, una superficie o una longitud negativos si se trata de calcular el centroide del cuerpo. 7. Teoremas de Pappus-Guldin Si una varilla plana de longitud L gira alrededor de un eje un cierto ángulo α, la superficie del cuerpo de revolución que se crea, viene dada por la expresión: S = α⋅d⋅L donde “d” es la distancia desde el centroide de la varilla hasta el eje de giro. Si en lugar de ser una longitud, es una superficie plana de área A lo que gira en torno al eje, entonces el volumen del cuerpo de revolución viene dado por: V = α⋅d⋅A donde “d” ahora es la distancia desde el centroide de la superficie hasta el eje de giro. 4 zCM = 173. si m1= 2 Kg.57 mm.57 mm ∑ mi 14 y CM = z CM = Las coordenadas del centro de masa del sistema de masas puntuales son: xCM = 225 mm. Calcular el centro de masa del sistema de masas puntuales de la figura. mi (Kg) 2 3 4 3 2 xi (mm) 300 150 300 300 0 yi (mm) 240 400 400 0 200 zi (mm) 0 0 270 270 270 1 2 3 4 5 Y multiplicamos cada coordenada por su masa.86 mm.86 mm ∑ mi 14 ∑ zimi = 2430 = 173. Las longitudes se dan en mm. X m4 Z 200 m3 240 m1 160 m2 150 150 Y m5 200 270 Primero buscamos las coordenadas de cada masa en ese sistema de referencia.Problema 1. yCM = 262. m3= 4 Kg. m4= 3 Kg y m5=2 Kg. para sumar después: mi 2 3 4 3 2 14 xi 300 150 300 300 0 yi 240 400 400 0 200 zi 0 0 270 270 270 xi mi 600 450 1200 900 0 3150 yi mi 480 1200 1600 0 400 3680 zi mi 0 0 1080 810 540 2430 1 2 3 4 5 Σ x CM = ∑ x imi = 3150 = 225 mm ∑ mi 14 ∑ y imi = 3680 = 262. m2= 3 Kg. 5 . Las dimensiones se expresan en cm. pues en ese caso la coordenada z del centroide sería z = 4R/3π. Para la semicircunferencia. tendremos que acudir a las tablas: Z Encontramos: L= πR R Y y =R z = 2R/π No confundir la semicircunferencia con el semicírculo. Localizar el centroide de la varilla representada en la figura.Problema 2. el centroide estará en su centro. tendremos: Z L1 = 9 cm x 1 = 10 cm y 1 = 9/2 = 4.5 cm z1 = 0 Y X Z L2 = 10 cm x 2 = 10/2 = 5 cm y2 = 0 z2 = 0 Y X 6 . 10 9 9 10 Y Z 8 cm X Descomponemos la varilla en distintas partes: Para las partes rectas. Numerando del 1 al 5 las distintas partes de la varilla. 91 0 40.41 7 .5 x iLi 90 50 0 50 90 280 y iLi 40.04 160 144 545.54 z iLi 0 0 127.09 0 4.09 cm Y X Z L4 = 10 cm x 4 = 10/2 = 5 cm y 4 = 16 cm z4 = 0 Y X Z L5 = 9 cm x 5 = 10 cm y 5 = 16 cm z 5 = 9/2 = 4.5 168.13 xi 10 5 0 5 10 yi 4.13 10 9 63.5 0 201.Z L3 = π⋅8 = 25.5 0 8 16 16 zi 0 0 5.5 cm Y X Para la figura completa tendremos: 1 2 3 4 5 Σ Li 9 10 25.13 cm x3 = 0 y 3 = R = 8 cm z 3 = 2⋅8/π = 5. 13 z= = 168.x= ∑ x iL i ∑ Li ∑ y iL i ∑ Li ∑ z iL i ∑ Li = 280 = 4.44 cm 63.67 cm 63. a O b R x y Para calcular las coordenadas del centroide dividimos la superficie compuesta en tres figuras geométricas cuyas coordenadas estén en las tablas: un triángulo. Para el perfil que se muestra en la figura.64 cm z = 2.64 cm 63. R = 240 mm.33 mm y 1 = R/3 = (240 mm) / 3 = 80 mm 8 . b = 180 mm. cuyas dimensiones son a = 100 mm.13 Las coordenadas del centroide son: x = 4. y El área del triángulo es A1 = aR/2 = (100 mm) x (240 mm) / 2 = 12000 mm2 R a O x Las coordenadas de su centroide son: x 1 = − a/3 = − (100 mm) / 3 = − 33.44 cm y = 8.13 y= = 545. un rectángulo y un sector circular. calcular las coordenadas del centroide.67 cm Problema 3.41 = 2.54 = 8. 93 ΣAi (mm2) 80 120 101.81 10752037.86 mm Con todos estos datos podemos construir una tabla para encontrar las coordenadas del centro de masas de la superficie completa: Ai (mm2) xi (mm) − 33.41 x = (ΣxiAi) / (ΣAi) = 16239084.05 mm Las coordenadas del centro de masas son x = 161.81 ΣxiAi (mm3) 100438.y Para el rectángulo: A2 = bR = (180 mm) x (240 mm) = 43200 mm2 R x 2 = b/2 = (180 mm) / 2 = 90 mm x y 2 = R/2 = (240 mm) / 2 = 120 mm O b y Para el sector circular: A3 = πR2/4 = π x (240 mm)2 / 4 = 45238.93 mm2 x 3 = b+(4R/3π) = = (180 mm) + (4 x (240 mm) / 3π) = 281.81 mm3 / 100438.33 xiAi (mm3) − 399960 yi (mm) yiAi (mm3) 12000 43200 45238.93 De donde.68 mm y = 107.93 mm2 = 107.86 mm O R x y 3 = 4R/3π = 4 x (240 mm) / 3π = 101.41 mm3 / 100438.68 mm y = (ΣyiAi) / (ΣAi) = 10752037. 16239084.41 ΣyiAi (mm3) 90 281.05 mm. 9 .86 960000 5184000 4608037.86 3888000 12751044.93 mm2 = 161. el centroide está sobre su eje de simetría. es decir. El disco C es de latón (ρ = 8750 kg/m3) y está montado sobre el árbol AB de acero (ρ = 7870 kg/m3). en el centro del cilindro. para los datos: El cilindro A tiene 75 mm de radio y 300 mm de altura y A está centrado en el origen del sistema de coordenadas. y = 4R/3π.51⋅106 mm3 xB = 0 y B = 75 + 300/2 = 225 mm zB = 0 X Y 10 .Problema 4. Este cilindro tiene un hueco para dejar pasar al cilindro B.30⋅106 mm3 Y X xA = 0 yA = 0 zA = 0 Z Para el cilindro B. x = 4R/3π. tendremos: Z Para el cilindro A: VA = π(RA)2LA = π⋅752⋅300 = 5. B El cilindro B tiene 40 mm de C radio y 300 mm de altura y está centrado sobre el eje Y. VB = π(RB)2LB = π⋅402⋅300 = = 1. Z Calcular el centroide y el centro de masa. En las tablas tenemos un cuarto de cilindro: V = πR2h/4. En este caso. z = h/2 Para el cilindro completo. El cilindro C tiene 125 mm de X radio y 100 mm de altura y también está centrado sobre el Y eje Y. a media altura. 41⋅106 mm3 = 4.02 mm El centroide de la figura completa está sobre el eje Y. y que el árbol es de acero y el disco de latón.41⋅106 11. M = ρ⋅V.41⋅106 mm3 xC = 0 y C = 75 + 200 + 100/2 = = 325 mm zC = 0 Y X Para la figura completa tendremos: Vi 5. recordamos que la masa es el producto de la densidad por el volumen. a 158 mm del origen.51⋅106 mm3 = 1.51⋅10-3 m3 VC = 4. VC = π(RC)2LC − π(RB)2LC = = π⋅1252⋅100 − π⋅402⋅100 = = 4.22⋅106 xi 0 0 0 yi 0 225 325 zi 0 0 0 x iVi 0 0 0 0 y iVi 0 339.22 ⋅ 10 6 = 158. es decir.25⋅106 1773⋅106 z iVi 0 0 0 0 A B C Σ x =0 ∑ y i Vi y= ∑ Vi z =0 = 1773 ⋅ 10 6 11. ρA = ρΒ = ρ(acero) = 7870 kg/m3 ρC = ρ(latón) = 8750 kg/m3 Los volúmenes son: VA = 5.30⋅106 1.41⋅10-3 m3 11 . Para calcular el centro de masa.75⋅106 1433.Z Para el cilindro C.30⋅106 mm3 = 5.30⋅10-3 m3 VB = 1.51⋅106 4. L = 25 cm y h = 30 cm.75 = 165.30⋅10-3 m3 = 41.71 kg MB = ρB⋅VB = 7870 kg/m3⋅ 1.59 92.71 11. por lo que.75 zCMiMi 0 0 0 0 A B C Σ Y las coordenadas X y Z del centro de masa también serán iguales a 0. No coinciden porque la figura completa no es homogénea. Un cilindro tiene una cavidad semiesférica y está rematado por un cono. Z Problema 5. pero con las masas en lugar de los volúmenes: Mi 41. 2 al cilindro y 3 a la semiesfera. a) Calcular el centroide para los datos: R = 14 cm. a 165 mm del origen. xCMi = x i yCMi = y i zCMi = z i Para calcular el centro de masa de la figura completa rehacemos el cálculo anterior. El centroide estaba sobre el eje Y.05 mm 92.18 El centro de masa está sobre el eje Y. por ejemplo.18 xCMi 0 0 0 yCMi 0 225 325 zCMi 0 0 0 xCMiMi 0 0 0 0 yCMiMi 0 2673 12541. volumen 1 al cono.59 kg Para cada figura. y CM = ∑ y CMiMi ∑ Mi = 15214.51⋅10-3 m3 = 11.41⋅10-3 m3 = 38. a 158 mm del origen.75 15214.88 kg MC = ρC⋅VC = 8750 kg/m3⋅ 4.88 38. b) Calcular el centro de masa si el cilindro es de acero (ρ = 7870 kg/m3) y el cono es de aluminio (ρ = 2770 kg/m3).Así pues tendremos: MA = ρA⋅VA = 7870 kg/m3⋅ 5. X h L R Y 12 . el centroide coincide con el centro de masa por ser homogéneas. Llamaremos. 5 cm X Z h L Y Para el cilindro.52 cm3 x1 = 0 y1 = 0 z 1 = L + h/4 = 25 + 30/4 = 32. en las tablas tenemos un octante de esfera: V = πR3/6 x = 3R/8 y = 3R/8 z = 3R/8 13 L R Y X Y . en las tablas también tenemos un cuarto: V = πR2h/4 x = 4R/3π y = 4R/3π z = h/2 X Y Z Y en este caso tenemos el cilindro entero. de altura L: V2 = πR2L = π⋅142⋅25 = 15393.Z Para el cono. de forma que: V1 = πR2h/3 = π⋅142⋅30/3 = 6157. en las tablas tenemos un cuarto de cono: V = πR2h/12 x = R/π y = R/π z = h/4 X Y Z Pero en este caso tenemos el cono entero.5 cm X Z Finalmente.80 cm3 x2 = 0 y2 = 0 z 2 = L/2 = 25/2 = 12. desplazado una distancia L sobre el origen. 25 x iVi 0 0 0 0 y iVi 0 0 0 0 z iVi 200119.80⋅10-6 m3 = 121.25 cm Y R X Para la figura completa tendremos: Vi 6157.09 = 22.80⋅10-6 m3 V3 = 5747.02⋅10-6 m3 = 45. recordamos que la masa es el producto de la densidad por el volumen.4 192422. el centroide coincide con el centro de masa por ser homogéneas.52 15393.80 −5747.02 cm3 x3 = 0 y3 = 0 z 3 = 3R/8 = 3⋅14/8 = 5.80 cm3 = 15393.93 cm del origen.15 kg M3 = ρ3⋅V3 = 7870 kg/m3⋅ 5747.Z Y en nuestro problema tenemos una semiesfera.23 kg Para cada figura.52⋅10-6 m3 V2 = 15393. Para calcular el centro de masa. es decir. es decir.3 xi 0 0 0 yi 0 0 0 zi 32. y que el cono es de aluminio y el cilindro de acero.5 12. Los volúmenes son: V1 = 6157.52 cm3 = 6157.52⋅10-6 m3 = 17.55 −30171. no se trata de ningún otro material. 14 . los cuatro octantes superiores: V3 = 4πR3/6 = 4π⋅143/6 = 5747.06 kg M2 = ρ2⋅V2 = 7870 kg/m3⋅ 15393. ρ1 = ρ(aluminio) = 2770 kg/m3 ρ2 = ρ3 = ρ(acero) = 7870 kg/m3 La densidad de la semiesfera se considera igual a la del cilindro ya que en realidad es una parte de cilindro que está hueca.02⋅10-6 m3 Así pues tendremos: M1 = ρ1⋅V1 = 2770 kg/m3⋅ 6157.93 cm ∑ Vi 15804.5 5. por lo que.02 cm3 = 5747.02 15804. a 22.3 El centroide de la figura completa está sobre el eje Z. M = ρ⋅V.09 1 2 3 Σ x =0 y =0 z= ∑ zi Vi = 362370.86 362370. Problema 6.38 −237. El semicilindro exterior tiene de radio 30 mm y de altura 35 mm. pero con las masas en lugar de los volúmenes: Mi 17.5 12.37 = 19. z CM = ∑ z CMiMi = 1831. Dado que la pieza es homogénea. En las tablas tenemos un cuarto de cilindro: Z V = πR2h/4 x = 4R/3π y = 4R/3π z = h/2 X Y Z Y X 15 .70 cm 92.45 1514.25 xCMiMi 0 0 0 0 yCMiMi 0 0 0 0 zCMiMi 554. a 22.No coinciden porque la figura completa no es homogénea. El centroide estaba sobre el eje Z. a 19.15 −45.xCMi = x i yCMi = y i zCMi = z i Para calcular el centro de masa de la figura completa rehacemos el cálculo anterior.06 121. el centro de masa coincide con el centroide.98 xCMi yCMi 0 0 0 0 0 0 zCMi 32.23 92. Calcular el centro de masa de la pieza metálica de la figura.37 1 2 3 Σ Y las coordenadas X e Y del centro de masa también serán iguales a 0.5 5. La cavidad semicilíndrica en su interior tiene un radio de 20 mm y una altura de 25 mm.46 1831.98 ∑ Mi El centro de masa está sobre el eje Z.93 cm del origen.70 cm del origen. 73 −8.73 mm y1 = 0 z 1 = 35/2 = 17.5 mm Para la figura completa tendremos: Vi 49.42⋅103 ∑ x i Vi ∑ Vi ∑ zi Vi ∑ Vi = − 496. de acuerdo con nuestro sistema de coordenadas.5 mm V2 = πR2h/2 = π(20)2⋅25/2 = 15.77 ⋅ 10 3 = 15.49 Z Y X yi 0 0 1 2 zi 17.48⋅103 512.48⋅103 mm3 x 1 = −4R/3π = −4⋅30/3π = −12.5 Σ x= x iVi −629.48⋅103 −15. tendremos: V = πR2h/2 x = −4R/3π y =0 z = h/2 Si llamamos 1 al medio cilindro exterior y 2 al interior.38⋅103 −496.77⋅103 xi −12.71⋅103 33.77 ⋅ 10 3 = −14.17 mm 16 . tendremos: V1 = πR2h/2 = π(30)2⋅35/2 = 49.88⋅103 133.Para el medio cilindro.70 mm y =0 z = 15.5⋅103 y iVi 0 0 0 z iVi 865.5 ⋅ 10 3 33.9⋅103 −353.70 mm y =0 z= = 512.71⋅103 mm3 x 2 = −4R/3π = −4⋅20/3π = −8.5 22.49 mm y2 = 0 z 2 = (35−25) + 25/2 = 22.42 ⋅ 10 3 33.17 mm Las coordenadas del centroide de la figura completa son: x = −14. Problema 7.5 cm 17 . Z 6 6 6 X 8 Y 6 6 8 6 cm Dado que la pieza es homogénea.84 cm3 x 3 = 12/2= 6 cm y 3 = 20 + 4⋅6/3π = 22.55 cm z 3 = 7/2 = 3. el centro de masa coincide con el centroide. Descomponemos el soporte en distintas partes: Z 26 cm 7 cm X Z Y 12 cm (1) Un prisma recto de base rectangular. V3 = π(6)2⋅7/2 = 395.5 cm X 7 cm Y Z 20 cm 12 cm X 7 cm Y (3) Medio cilindro. 12 cm 8 cm V2 = 7⋅12⋅8 = 672 cm3 x 2 = 12/2= 6 cm y 2 = 12 + 8/2 = 16 cm z 2 = 7/2 = 3.5 cm (2) Otro prisma recto de base rectangular. V1 = 7⋅26⋅12 = 2184 cm3 x 1 = 26/2 = 13 cm y 1 = 12/2= 6 cm z 1 = 7/2 = 3. desplazado 12 cm con respecto al origen. si la altura de la pieza es de 7 cm y los orificios tienen por diámetro 6 cm. Calcular el centro de masa del soporte representado en la figura. 92 2658. V6 = π(3)2⋅7 = 197.19 −1187.52 −1187.75 z iVi - 18 .4 26448.5 3.52 −3958. a lo largo de los ejes X e Y.92 cm3 X Y x 6 = 6 cm y 6 = 20 cm z 6 = 7/2 = 3.84 −197.55 6 6 20 1 2 3 4 5 6 zi 3. Es decir.92 −197.5 3.56 −1187.08 xi 13 6 6 6 18 6 yi 6 16 22. V4 = π(3)2⋅7 = 197.5 3. V5 = π(3)2⋅7 = 197.92 cm3 Y X x 5 = 18 cm y 5 = 6 cm z 5 = 7/2 = 3.52 −3562.92 −197.5 cm X Y Z Z Para la figura completa tendremos: Vi 2184 672 395.Y falta considerar los orificios.92 cm3 x 4 = 6 cm y 4 = 6 cm z 4 = 7/2 = 3. La altura es de 7 cm.44 y iVi 13104 10752 8926.5 cm (5) El segundo tiene el centro de la base desplazado 18 cm con respecto al origen.52 28861. a lo largo del eje X y 6 cm a lo largo del eje Y. a lo largo del eje X y 20 cm a lo largo del eje Y.5 cm (6) El tercero tiene el centro de la base desplazado 6 cm con respecto al origen.5 3.04 −1187. el radio de todos ellos es 3 cm. Z (4) El primero tiene el centro de la base desplazado 6 cm con respecto al origen. como toda la pieza. que tienen 6 cm de diámetro.5 Σ x iVi 28392 4032 2375.5 3. Mediante los teoremas de Pappus-Guldin. α = 2π.08 Las coordenadas del centroide de la figura completa son: x = 10. Por tanto. de acuerdo con las tablas.08 y= = 26448 . comprobar que la superficie de una esfera de radio R vale 4πR2 y su volumen es 4πR3/3. Para conseguir una esfera como cuerpo de revolución consideremos. por ejemplo. la figura completa tendrá ese mismo valor: 3.5 cm. La longitud de la semicircunferencia será L = 2πR/2.86 cm 2658 . La superficie de esta esfera viene dada por el teorema de Pappus-Guldin.No es necesario hacer el producto para z i ya que toda la figura tiene la misma altura y cada parte tiene el mismo valor para la coordenaza Z del centroide.95 cm 2658 . una varilla. x= ∑ x i Vi ∑ Vi ∑ y i Vi ∑ Vi = 28861 . Las coordenadas del centroide de esta varilla serán. es decir. al girar describirá una esfera hueca.95 cm z = 3. x =R y = 2R/π Por lo que la distacia "d" desde el centroide hasta el eje X será la coordenada y del centroide: d = 2R/π 19 . Problema 8. X S = α⋅d⋅L R El ángulo de giro es de 360º. En radianes.5 cm que coinciden con las coordenadas del centro de masa por ser la pieza homogénea.86 cm y = 9. una semicircunferencia tangente al eje X que gira 360º alrededor de dicho eje. Y Si lo que tenemos es una semicircunferencia.44 = 10.75 = 9. consideramos que lo que gira es una varilla. Determinar el área y el volumen del cuerpo generado al girar 360º alrededor del eje Y la figura siguiente: Y 6 cm 6 cm X Para obtener la superficie del cuerpo de revolución. Necesitamos calcular su longitud y la Y posición de su centroide para aplicar el teorema de Pappus-Guldin. El centroide de las partes rectas estará en su centro y el del cuarto de circunferencia lo sacaremos de las tablas. A = πR2/2 Y las coordenadas de su centroide.Y la superficie de la esfera será: S = α⋅d⋅L = 2π⋅(2R/π)⋅πR = 4πR2 Y Z Si lo que gira en torno al eje X es un semicírculo. R X x =R y = 4R/3π Por lo que la distacia "d" ahora es d = 4R/3π Y el volumen de la esfera generada será: V = α⋅d⋅A = 2π⋅(4R/3π)⋅(π R2/2) = 4πR3/3 Problema 9. Y X El ángulo es el mismo. Pero ahora hay que considerar el área del semicírculo. Descomponemos la varilla en tres tramos. 20 X . α = 2π. Tendremos: α = 2π rad d = 9.42 cm x 1 = 12 − (2⋅6/π) = 8.42 cm.52 cm Por tanto. y el ángulo de giro es de 2π radianes.18 12 9 yi 3.06 = 9. La longitud total será de 21.48 cm L = 21. para aplicar el teorema de Pappus-Guldin.98 = 2.82 3 0 x iLi 77.06 y iLi 35.48 cm y = 2.98 18 0 53.06 72 54 203.Y L1 = 2πR/4 = 2π6/4 = 9.42 6 6 21.42 cm 21 .42 y= = 53. será igual a x . la distancia desde el centroide hasta el eje Y.42 xi 8.18 cm y 1 = 2⋅6/π = 3.42 Las coordenadas del centroide son: x = 9.48 cm 21.82 cm X Y L2 =6 cm x 2 = 12 cm y 2 = 6/2 = 3 cm X Y L3 = 6 cm x 3 = 6 + 6/2 = 9 cm y3 = 0 X Para la figura completa tendremos: Li 9.98 1 2 3 Σ x= ∑ x iL i ∑ Li ∑ y iL i ∑ Li = 203.52 cm 21. consideraremos que es un cuarto de círculo lo que está girando alrededor del eje Y.48)⋅(21. Y la superficie que gira es la del cuarto de círculo.27) = 1678. Problema 10. Y A = πR2/4 = π62/4 = 28.42) = 1275.4 22 .6 cm3. α = 2π rad d = 9.45 cm y = 4⋅6/3π = 2. Y λ O R X Como la superficie es homogénea. Determinar el volumen del cuerpo de revolución que resulta al girar la superficie 170º en torno al eje λ. Las coordenadas del centroide se obtienen de las tablas.27 cm2 El volumen del cuerpo de revolución será: V = α⋅d⋅A = 2π⋅(9. Determinar el centro de masa de la superficie de la figura.27 cm2 x = 12 − (4⋅6/3π) = 9. si R=2 m y ε=0. Para calcular su volumen.Y la superficie del cuerpo de revolución será: S = α⋅d⋅L = 2π⋅(9. 28.4.27 cm2. descomponemos la figura en dos partes que podemos encontrar en las tablas.45)⋅(28. Se trata de un sector circular cuyo ángulo α podemos obtener a partir de los datos: R cosα = εR cosα = εR/R = ε cosα = 0.45 cm A = 28.55 cm X De forma que ahora la distancia del centroide al eje será 9. Para calcular la posición del centroide.9 cm2.45 cm. su centro de masa coincide con el εR centroide. 53 yi 0 0 Σ x= x iAi 4.64 m2 X x1 = 2Rsenα 2 ⋅ 2 ⋅ sen(66.18 y =0 El centroide de la figura está sobre el eje X. a 1. A2 = 2a εR/2 = 2⋅1.4⋅2 = 0. V = α⋅d⋅A 23 .42º ) = = 1.53 m y2 = 0 Para la figura del problema tendremos: Ai 4.098 y iAi 0 0 0 ∑ x i A i = 4.29 m del origen.05 m 3α 3 ⋅ 1.42º = 66.18 1 2 xi 1.42º) = 1.Y R O α α α = 66.83⋅(0.16 radianes De acuerdo con las tablas. A1 = α R2 = 1.42ºπ/180º = 1.098 = 1.872 −0.774 4.16 y1 = 0 La segunda parte sería un triángulo que tenemos que quitar al sector circular para tener la figura que nos piden.16⋅22 = 4. De acuerdo con el teorema de Pappus-Guldin. Determinaremos ahora el volumen del cuerpo de revolución que resulta al girar la superficie 170º en torno al eje λ. de acuerdo con las tablas.4⋅2)/2 = 1. Y Necesitamos la altura “a” que podemos obtener de los datos conocidos: R a O α a X R senα = a a = 2⋅ sen(66.83 m De forma que. El centro de masa es el mismo punto.46 3.05 0.29 m ∑ A i 3.64 −1.46 m2 x 2 = (2/3) εR = (2/3) 0. Para la superficie de la figura. Calcular también el volumen del cuerpo que se genera al girar esta superficie 250º alrededor del eje e.18 m2 y la distancia d se mide entre el centroide (G) y el eje de giro (λ): Y λ O G X La distancia entre O y G es la coordenada X del centroide. x .8 = 0.97 radianes A es la superficie que gira.187 m y 1 = R/3 = (0. R = 280 mm = 0. la distancia entre G y el eje será la diferencia: d = x − εR = 1. es decir.63 m3. la calculada anteriormente: A = 3. y e x R Para calcular las coordenadas del centroide dividimos la superficie compuesta en varias superficies con centroides cuyas coordenadas estén en las tablas: un triángulo. un rectángulo. era uno de los datos del problema: εR. calcular las coordenadas del centroide.donde ahora α es el ángulo de giro.18 = 4. Problema 11.28 m) / 3 = 0. es decir.28 m) / 3 = 0.0784 m2 R 2R x x 1 = 2R/3 = 2 (0.49 ⋅ 3. y Para el triángulo: A1 = 2R2/2 = (0.29 − 0.49 m Con lo que el volumen resultará: V = α⋅d⋅A = 2.97⋅ 0. un cuadrado y un sector circular. los 170º que debemos pasar a radianes: α = 170ºπ/180º = 2. Y la distancia entre O y el eje λ.28 m.28 m)2 = 0. Por tanto.093 m 24 . un semicírculo. 14 m y Para el sector circular: A5 = πR2/4 = π(0.28 − (4x0.161 m y 5 = R−(4R/3π) = 0.14 m y 2 = −R/2 = −(0.28 m)2 = 0.14 m y Para el semicírculo: A3 = πR2/2 = π(0. Pondremos negativas las areas que debemos quitar para obtener la superficie del problema.161 m Con todos estos datos podemos construir una tabla para encontrar las coordenadas del centroide de la superficie completa.28 m)2/2 = 0.28)/3π = 0.28 m)2 / 4 = 0.28)/3π) = −0. 25 .14 m R x y 4 = R/2 = (0.0616 m2 R x Las coordenadas de su centro de masas son: x 5 = − (R−(4R/3π)) = − (0.161 m R y Para el cuadrado: A4 = R2 = (0.123 m2 x x3 = 0 y 3 = −(R−(4R/3π)) = −(0.28 m) / 2 = 0.2352 m2 R 3R x x 2 = R/2 = (0.28 m) / 2 = − 0.28 m) / 2 = 0.28 m) / 2 = − 0.28)/3π) = − 0.y Para el rectángulo: A2 = 3R2 = 3 (0.0784 m2 x 4 = −R/2 = − (0.28 m)2 = 0.28 − (4x0.28 − (4x0. 5x + 0. − 0.04653 m3 / 0.161 0.0198 0.14 0 −0.0329 0 −0.0147 0. 0.00477 m3 / 0.187 0.2074 m2 La distancia d desde el centroide de la superficie compuesta hasta el eje e podemos obtenerla por la distancia de un punto a una recta: y La recta que pasa por los puntos (0.0329 0.4 π = 4. el ángulo es de 250º que en radianes corresponde a : α = (250º / 180º) π = 1.01098 −0.0099 ΣxiAi (m3) 0.Ai (m2) xi (m) xiAi (m3) yi (m) yiAi (m3) 0.224.0616 ΣAi (m2) 0. 0) tendrá como ecuación y = mx + n.2074 De donde.224 m y = (ΣyiAi) / (ΣAi) = −0.2074 m2 = 0.2074 m2 = −0.01098 0.04653 0. R) y (2R.00477 x = (ΣxiAi) / (ΣAi) = 0.161 0.0099 ΣyiAi (m3) −0.023 m Para calcular el volumen del cuerpo que se genera al girar esta superficie 250º alrededor del eje e.023) para encontrar la distancia d: 26 . Sustituyendo estos puntos R = m0 + n = n 0 = m2R + R = (2m + 1)R m = − 1/2 y = − 0.36 radianes El area total está calculada en el primer apartado: A = 0.123 0.5x + R la ecuación de la recta es y = − 0.093 −0.5x − y + 0.2352 −0.28 o también 0 = − 0.14 −0.14 0.0784 0. usamos el teorema de Pappus-Guldin: V = αdA En este caso.0784 −0.161 0.14 −0.28 e d • R x En esta ecuación debemos sustituir el punto (0.00729 −0. e R O R x Para calcular las coordenadas del centroide dividimos la superficie en dos figuras geométricas con centroides cuyas coordenadas estén en las tablas: un cuadrado y un cuarto de círculo.5 m)2 = 0.5 m) / 2 = 0. calcular las coordenadas del centroide.224) /2 = 0.5 × 0.25 m x y 1 = R/2 = (0.023 + 0.2074 m2) = 0.28 − 0.1546 m3 Problema 12.36 (0.28 0.023 + 0.25 m2 x 1 = R/2 = (0. y R = 500 mm = 0.xG Ya tenemos todos los datos para calcular el volumen: V = αdA = 4.5 m. Calcular también el volumen del cuerpo que se genera al girar esta superficie 315º alrededor del eje e.25 m 27 .56º = = 0.224 + 0.168 m d = (| y |+ D) cosϕ = = (0. Para la superficie de la figura.171 m Otra forma de obtener la distancia d.5 2 + 12 = 0.168) cos 26. es por geometría: tg ϕ = R / 2R = 1/2 tg ϕ = D / (2R − x ) ϕ = 26.171 m 2R .d= Ax + By + C A 2 + B2 y e = − 0.5 m) / 2 = 0.56º D yG xG • ϕ d ϕ x D / (2R − x ) = 1/2 D = (2R − x ) /2 = = (2 x 0. y Para el cuadrado: A1 = R2 = (0.171 m) (0. usamos el teorema de Pappus-Guldin: V = αdA En este caso. 0) tendrá e como ecuación y = mx + n.0209 m3 / 0.0416 ΣyiAi (m3) 0.2122 0.387 m y = (ΣyiAi) / (ΣAi) = 0.387) para encontrar d: d= Ax + By + C A +B 2 2 = − 0.5 m) / 3π = 0.0416 ΣxiAi (m3) 0.196 m2 O R x x 2 = 4R/3π = 4 x (0.196 ΣAi (m2) 0.387 + 0.5 En esta ecuación debemos sustituir el punto (0. 0.387.5 m) / 3π = 0.y Para el cuarto de círculo: A2 = πR2/4 = π(0.2122 m y 2 = 4R/3π = 4 x (0.5 1 +1 2 2 = 0.25 −0.054 m2 = 0.75 π = 5.25 0.387 m Para calcular el volumen del cuerpo que se genera al girar esta superficie 315º alrededor del eje e. d • R Sustituyendo estos puntos R = m0 + n = n O R x 0 = mR + R = (m + 1)R m=−1 y = − x + R = − x + 0.0209 m3 / 0.0209 0.5 o también 0 = − x − y + 0.2122 m Con estos datos podemos construir la tabla correspondiente: Ai (m2) xi (m) xiAi (m3) yi (m) yiAi (m3) 0.054 m2 La distancia d desde el centroide de la superficie hasta el eje e podemos obtenerla por la distancia de un punto a una recta: y La recta que pasa por los puntos (0.5 m)2 / 4 = 0. el ángulo es de 315º que en radianes corresponde a : α = (315º / 180º) π = 1.054 m2) = 0.194 m) x (0.50 radianes El area total está calculada en el primer apartado: A = 0.0576 m3 28 .25 0. R) y (R.2122 0.0625 −0.0209 x = (ΣxiAi) / (ΣAi) = 0.50 x (0.387 − 0.0625 − 0.054 0.194 m Ya tenemos todos los datos para calcular el volumen: V = αdA = 5.054 m2 = 0. podemos escribir el elemento dm en función del correspondiente dV: ρ=m/V m=ρV dm = ρ dV 29 . y la integral se extiende a todo el cuerpo.2 MOMENTO DE INERCIA 1. que está relacionado con las distancias a los dos ejes: Ixy = ∫ xy dm O X Tanto los momentos de inercia como el producto de inercia tendrán dimensiones de masa por longitud al cuadrado: ML2. Momento de inercia Consideremos un cuerpo de masa m. Momento segundo de superficie Recordando que la densidad del cuerpo.Tema 3. es la relación entre masa y volumen. Por ejemplo. que consideramos contenida en el plano XY. e En un sistema de referencia OXYZ. ρ. 2. d dm Iy = ∫ d2 dm = ∫ (x2 + z2) dm Y del mismo modo para los ejes X o Z. podemos hallar el momento de inercia Y con respecto a cada uno de los ejes cartesianos. O X Z Ix = ∫ d2 dm = ∫ (y2 + z2) dm Iz = ∫ d2 dm = ∫ (x2 + y2) dm Si se trata de una figura plana. definimos su momento de inercia con respecto a un eje como: Ie = ∫ d2 dm dm d donde “d” es la distancia al eje de un elemento diferencial de masa “dm”. ya que la distancia al eje X es la coordenada Y del elemento dm y viceversa: Y dm Ix = ∫ y2 dm Iy = ∫ x2 dm Podemos definir también el producto de inercia. las expresiones se simplifican. si la densidad es constante (superficies homogéneas). Lo mismo sucede con el “producto de inercia” o el “momento mixto de superficie”. que sólo se diferencian de los momentos de inercia en esta constante: Ix = ∫ y2 dA Iy = ∫ x2 dA y lo mismo para el momento mixto de superficie. 3. Dada la relación entre ellos. Por la propia definición. 30 . longitud a la cuarta potencia: L4.Para el caso de figura plana consideraremos la densidad superficial. los momentos de segundo orden son siempre positivos. habitualmente se usan los términos “momento de inercia” o “momento segundo de superficie” indistintamente. Y x YC Ix = Ixc + y 2 A Iy = Iyc + x 2 A G O XC y X Ixy = Ixyc + x y A donde A es el area de la figura considerada y “ x ” e “ y ” son las coordenadas de su centroide en el sistema de referencia OXY. es decir. salvo la constante: Ixy = ∫ xy dA Los momentos segundos de superficie y el momento mixto tendrán dimensiones de area por longitud al cuadrado. en función de su posición con respecto al sistema de referencia considerado. mientras que el momento mixto puede ser positivo o negativo. siempre que uno de ellos pase por el centroide de la figura considerada. podemos obtener los “momentos segundos de superficie” o “momentos de segundo orden”. que es la masa por unidad de superficie: σ=m/A m=σA dm = σ dA Sustituyendo esta relación entre dm y dA en las integrales anteriores. que sería como el producto de inercia. Teorema de Steiner El teorema de Steiner relaciona los momentos de inercia con respecto a dos ejes paralelos. σ. por lo que cambiarán los momentos de inercia. obtenemos el ángulo principal y el mínimo y el máximo de los momentos de inercia. 6. es siempre cero. Simetría Si el cuerpo tiene un eje de simetría. Los momentos de inercia con respecto a unos ejes rotados este ángulo son los momentos principales de inercia: el máximo y el mínimo valor que pueden tomar los momentos de inercia. Cuerpos compuestos Cuando el cuerpo considerado se puede descomponer en otros que se encuentran en las tablas. Momentos principales Al rotar el sistema de referencia. Basta calcular cada uno por separado y sumarlos después. se restarán los momentos de inercia correspondientes. hasta los ejes correspondientes. Derivando las expresiones anteriores con respecto a θ e igualando a cero. θp. el producto de inercia con respecto a un sistema de ejes que incluya al eje de simetría. los elementos dA quedarán más cerca de uno de los ejes y más lejos del otro. 31 . si rotamos los ejes un ángulo θ. Llamamos a este ángulo. el cálculo de los momentos de inercia no necesita el uso de integrales. Y La relación entre los momentos de inercia con respecto a los ejes rotados OUV y los momentos V con respecto a los ejes OXY viene dada por: Iu = Ix cos2 θ + Iy sen2 θ − Ixy sen 2θ U θ O X Iv = Ix sen2 θ + Iy cos2 θ + Ixy sen 2θ Iuv = [(Ix − Iy)/2] sen 2θ + Ixy cos 2θ 7. Rotación de ejes Dado un sistema de referencia OXY.4. Ix = Σ Ixi Iy = Σ Iyi Ixy = Σ Ixyi Si la superficie tiene un hueco. Para un determinado valor del ángulo de rotación. dA. las distancias serán mínimas con respecto a un eje y máximas con respecto al otro. el ángulo principal de inercia. 5. cambia la distancia de cada elemento diferencial de area. Si llamamos I+ = (Ix + Iy) /2 I− = (Ix − Iy) /2 2 R = I2 − + I xy tendremos: tg 2θp = − Ixy / I− Imax = I+ + R Imin = I+ − R El producto de inercia con respecto a los ejes principales resulta ser nulo. y el más lejano al momento de inercia máximo. B Imin El ángulo principal es la mitad del I+ ángulo que forma la linea AC con el eje de abscisas. El más Ix. Imin. Representamos los puntos A (Ix. Iy próximo al origen corresponde al momento de inercia mínimo. El punto de esta Ixy linea que corta el eje de abscisas A será el centro del círculo de Mohr (C). 8. Ixy) y B (Iy. 32 . Círculo de Mohr Dado que las expresiones anteriores llevan a la ecuación de una circunferencia de radio R. los momentos principales se pueden obtener gráficamente a partir de los valores de Ix. − Ixy). Unimos estos dos puntos mediante una linea recta. Trazamos un círculo con centro en R el punto C y con la distancia AC como radio. cambiado de Imax signo. Trazamos un sistema de ejes con los momentos Ix e Iy en el eje de abscisas e Ixy en el eje de ordenadas. Imax. Iy e Ixy mediante el círculo de Mohr. Este círculo corta el eje de 0 C abscisas en dos puntos. como era de esperar.00781 m4) = 0. sabiendo que R mide 0.02083 m4 O y x Ixy1 = R2R2/4 = (0. Iy e Ixy.02083 m4 Iy1 = R3R/3 = (0. Dado que los ejes U y V no pasan por el centroide de la figura. Las coordenadas del centroide de esta superficie con respecto a los ejes OXY se obtuvieron en el problema 12 de la sección de centro de masa. no podemos aplicar el teorema de Steiner directamente para obtener los momentos con respecto a estos ejes. consideramos las dos figuras que se encuentran en las tablas: un cuadrado y un cuarto de círculo.02083 m4) − (0.01227 m4 x Ixy2 = R4/8 = (0.01227 m4) = 0. 33 . También obtuvimos el area de la superficie. Ix = Iy = Ix1 − Ix2 = (0. por lo que también será Ix = Iy.5 m)4 / 3 = 0.5 m)4 / 4 = 0. y aplicar dos veces el teorema de Steiner.00781 m4 Dada la simetría de las figuras. con respecto a los ejes AUV. Iu. Para el perfil que se muestra en la figura. con respecto a los ejes OXY son: y Ix1 = RR3/3 = (0.00856 m4 Ixy = Ixy1 − Ixy2 = (0. Los momentos de segundo orden de la superficie completa respecto a los ejes OXY.5 m.01227 m4 O R O Iy2 = πR4/16 = π x (0.01563 m4 Los momentos de segundo orden del sector circular son: Ix2 = πR4/16 = π x (0. serán la diferencia entre los correspondientes a cada parte. Los momentos de segundo orden del cuadrado.5 m)4 / 8 = 0.01563 m4) − (0. Iv e Iuv. a) calcular los momentos de segundo orden Ix. A R u O R O v x a) Para calcular los momentos de segundo orden de la superficie.5 m)4 / 3 = 0.5 m)4 / 16 = 0. Necesitamos unos ejes que pasen por el centroide. encontramos que Ix1 = Iy1 y que Ix2 = Iy2 . calculando primero los momentos con respecto a un sistema GXCYC. y b) calcular también los momentos de segundo orden.5 m)4 / 16 = 0.00782 m4 b) Para encontrar los momentos con respecto a los ejes AUV tenemos que aplicar el teorema de Steiner.Problema 13. 113 m La coordenada v es positiva porque la flecha del eje V indica que se toma hacia abajo el sentido positivo en este sistema de referencia.5 − 0.387 m.22 x 10-4 m4 Obviamente.054) = 4.3872 x 0.054) = 4. yc A • u xc x O Aplicamos el teorema de Steiner.387 = − 0.00856 − (0. Al aplicar el teorema de Steiner debemos tener en cuenta que hay que cambiar el signo de Ixyc porque el eje V tiene definido el sentido positivo de forma opuesta al eje YC.725 x 10-4 + (0.1132 x 0.675 x 10-4 Como corresponde a la simetría del problema.054) = 0.113 x (−0.113 m v = R − y = 0. Primero para ir a un sistema que pase por el centroide.387 x 0. volvemos a encontrar Iu = Iv.725 x 10-4 m4 Ixy = Ixyc + x y A → Ixyc = Ixy − x y A = 0.387 x 0. Ahora podemos aplicar otra vez el teorema de Steiner para ir al sistema AUV.3872 x 0. también Ixc = Iyc. Las coordenadas del centroide de esta superficie con respecto a los ejes AUV serán: u = − R + x = − 0.725 x 10-4 m4 Iy = Iyc + ( x )2A → Iyc = Iy − ( x )2A = 0.054) = − 4.00116 m4 Iuv = Ixyc + u v A = − (− 2.054 m2.y x = y = 0.054) = −2.00116 m4 Iv = Iyc + ( u )2A = 4.054) = 0.113) x 0.1132 x 0. A = 0.00856 − (0.00782 − (0.675 x 10-4) + (0.5 + 0. 34 . dada la simetría de la superficie. v Ix = Ixc + ( y )2A → Ixc = Ix − ( y )2A = 0.725 x 10-4 + (0.387 = 0. Iu = Ixc + ( v )2A = 4. sabiendo el área del círculo y la posición de su centroide con respecto a OXY: A2 = πR2 = π x (2 cm)2 = 12.566 cm2 x 2 = 3 cm y 2 = 3 cm 35 . un círculo y un semicírculo. contamos en las tablas con los momentos para un cuarto de círculo. con respecto al sistema OXY y con respecto a unos ejes que pasan por su centroide. Para el perfil que se muestra en la figura.Problema 14. por ser xc e yc ejes de simetría del círculo. cuyas dimensiones se expresan en cm. Ix. Iy e Ixy b) Calcular los momentos de segundo orden con respecto a unos ejes paralelos a los ejes X e Y.566 3 3 xc X Iyc2 = 4 x Iy (tablas) = 4 x (πR4/16) = πR4/4 = 12. Por lo que. xc O X Para el círculo del problema tendremos: Y yc Ixc2 = 4 x Ix (tablas) = 4 x (πR4/16) = πR4/4 = π x 24/4 = 12. y que pasen por el centroide de la figura. 3 3 O 3 7 X Y 2 a) Para calcular los momentos de segundo orden de la superficie completa la descomponemos en tres figuras que podemos obtener de las tablas: un rectángulo. Iyc e Ixyc. a) Calcular los momentos de segundo orden con respecto a los ejes OXY. Ixc. Y Los momentos de segundo orden del rectángulo son: Ix1 = bh3/3 = 10 x (6)3 / 3 = 720 cm4 Iy1 = b3h/3 = (10)3 x 6 / 3 = 2000 cm4 6 O 10 X Ixy1 = b2h2/4 = (10)2 x (6)2 / 4 = 900 cm4 yc Y Para calcular los momentos del círculo y el semicírculo.566 cm4 Ixyc2 = 0. 151 cm) x (3 cm) x (6. para el semicírculo partimos de los valores de las tablas: Y yc Ixc3 = 2 x Ix (tablas) = 2 x (πR4/16) = πR4/8 = = π x 24/8 = 6.566 cm2) = 113.487 cm4) = 614.055 R4) = 3 O 10 = 2 x 0.51 cm4 Iy = Iy1 − Iy2 − Iy3 = (2000 cm4) − (125.094 cm4) − (172.66 cm4) − (62.419 cm4 b) Para calcular los momentos de segundo orden con respecto a unos ejes paralelos a los ejes X e Y.487 cm4 Los momentos de segundo orden de la superficie completa serán: Ix = Ix1 − Ix2 − Ix3 = (720 cm4) − (125.90 cm4) = 1346.566 cm2) = 125.283 cm2 x 3 = (10 cm) − (4R/3π) = 10 − (4x2/3π) = 10 − 0.283 cm2) = 172. necesitamos encontrar las coordenadas de este centroide.849 = 9. y que pasen por el centroide de la figura completa.566 cm4 + (3 cm)2 x (12.90 cm4 Ixy3 = Ixyc3 + x 3 y 3 A3 = 0 + (9.76 cm4 + (9.283 cm4 + (3 cm)2 x (6.055 x 24 = 1.83 cm4) = 531.66 cm4 Iy2 = Iyc2 + ( x 2)2 A2 = 12.283 cm2) = 62. 36 .094 cm4 De la misma forma.76 cm4 Ixyc3 = 0.66 cm4 Ixy2 = Ixyc2 + x 2 y 2 A2 = 0 + (3 cm) x (3 cm) x (12.podemos obtener los momentos de inercia aplicando el teorema de Steiner: Ix2 = Ixc2 + ( y 2)2 A2 = 12.66 cm4) − (527.566 cm2) = 125.283 cm2) = 527.566 cm4 + (3 cm)2 x (12.151 cm y 3 = 3 cm y obtenemos los momentos de inercia aplicando el teorema de Steiner: Ix3 = Ixc3 + ( y 3)2 A3 = 6. por ser xc un eje de simetría del semicírculo.83 cm4 Iy3 = Iyc3 + ( x 3)2 A3 = 1.283 cm4 xc X Iyc3 = 2 x Iyc (tablas) = 2 x (0.44 cm4 Ixy = Ixy1 − Ixy2 − Ixy3 = (900 cm4) − (113.151 cm)2 x (6. Ahora el área del semicírculo y la posición de su centroide con respecto a OXY: A3 = πR2/2 = π x (2 cm)2/2 = 6. b) Calcular los momentos principales de inercia en el punto O.151 xi 5 3 9.806 = 4.151) = 327. a) Calcular los momentos de inercia respecto a los ejes OXY.151 cm2 x= ∑ x i A i = 204. Y O X 37 .9772 x 41.419 − (4.151) = 161. c) Calcular el ángulo que forman los ejes principales de inercia OUV con los ejes OXY.977 x 3 x 41.151 yi 3 3 3 x iAi 300 −37.806 y iAi - 1 2 3 Σ A = 41. Iy e Ixy. ya que el eje xc es un eje de simetría del perfil. La figura muestra un perfil circular de radio R = 9 cm al que le falta un triángulo equilátero.51 − (32 x 41. Ix.496 204.698 −57.11 cm4 Ixy = Ixyc + x y A → Ixyc = Ixy − x y A = 614.Para el rectángulo: A1 = bh = 10 x 6 = 60 cm2 x 1 = b/2 = 10/2 = 5 cm y 1 = h/2 = 6/2 = 3 cm Para el perfil del problema: Ai 60 −12.006 cm4 Ixyc = −0. Problema 15. Dibujar los ejes principales de inercia.977 cm ∑ A i 41.151 Y yc y =3 O Aplicando el teorema de Steiner para los resultados totales: Ix = Ixc + ( y )2A → Ixc = Ix − ( y )2A = 531.151) = −0.566 −6.006 cm4 ≈ 0 como debería ser.283 41.44 − (4.15 cm4 xc X Iy = Iyc + ( x )2A → Iyc = Iy − ( x )2A = 1346. 0 cm4 Iy1 = 4 x Iy (tablas) = 4 x (πR4/16) = πR4/4 = 5153.5 cm)3 x (7.06 cm2 x 2 = −b = −4.28 cm4 38 .5 cm y altura: h = R sen60º = 7.5 cm)2 x (35.a) Para calcular los momentos de inercia del perfil consideramos el círculo y el triángulo por separado. en las tablas está el triángulo rectángulo.5 cm) x (7. por ser X e Y ejes de simetría del círculo.31 cm4 + (−4. Para calcular los momentos del triángulo.79 cm) / 12= 118.55 cm4 Para el momento con respecto al eje Y tenemos que utilizar Steiner: Iyc2 = 2 x Iy (tablas) = 2 x (b3h/12) = 2 x (4. Y yc xc O X O xc X yc Y Consideraremos el triángulo equilátero como dos triángulos rectángulos de base: b = R/2 = 4.79 cm)3 / 12 = 354.0 cm4 Ixy1 = 0.5 cm y 2 = h/3 = 7. Y Y O X O X Para el círculo completo tendremos: Ix1 = 4 x Ix (tablas) = 4 x (πR4/16) = πR4/4 = π x 94/4 = 5153.79/3 = 2.5 x 7.79 cm Los momentos de inercia del triángulo equilátero serán: Ix2 = 2 x Ix (tablas) = 2 x (bh3/12) = 2 x (4.79) / 2 = 35.31 cm4 A2 = 2 x (bh/2) = 2 x (4. En las tablas están los momentos para un cuarto de círculo.6 cm Iy2 = Iyc2 + ( x 2)2A2 = 118.06 cm2) = 828. 68 cm4 R = I2 − + I xy = [236.87) = −60º θp = (−60º) / 2 = −30º que. sería: θp = −30º + 90º = 60º V Y U O X 39 .59 + 473.91 cm4 c) Y el ángulo que forman los ejes principales con los ejes dados.45 cm4 Iy = Iy1 − Iy2 = (5153.27 cm4 Imin = I+ − R = 4561.72) / 2 = 4561.87 cm4 2 2 1/2 2 = 473.59 − 473.20 cm4) = 410.59 cm4 I− = (Ix − Iy)/2 = (4798.72 cm4 Ixy = Ixy1 − Ixy2 = 0 − (−410.55 cm4) = 4798.0 cm4) − (828.06 cm2) = −410.20 cm4 b) Para calcular los momentos principales de inercia utilizamos las expresiones correspondientes: I+ = (Ix + Iy)/2 = (4798. es 2θp = tg-1(−Ixy / I−) = tg-1(−410. en sentido positivo.20 ] Imax = I+ + R = 4561.28 cm4) = 4324.0 cm4) − (354.20 cm4 Los momentos de inercia del perfil serán: Ix = Ix1 − Ix2 = (5153.45 + 4324. Ixy2 = Ixyc2 + x 2 y 2 A2 = 0 + (−4.68 = 5035.y para el producto de inercia: Ixyc2 = 0 por ser el eje yc un eje de simetría.45 − 4324.20 / 236.6 cm) x (35.72) / 2 = 236.87 + 410.5 cm) x (2.68 = 4087. y Los momentos de segundo orden del triángulo son: Ix1 = aR3/12 = (10 cm) x (24 cm)3 / 12 = 11520 cm4 R a O x Iy1 = Ra3/12 = (24 cm) x (10 cm)3 / 12 = 2000 cm4 Ixy1 = − a2R2/24 = − (10 cm)2 x (24 cm)2 / 24 = − 2400 cm4 Los momentos de segundo orden del rectángulo son: Ix2 = bR3/3 = (18 cm) x (24 cm)3 / 3 = 82944 cm4 R Iy2 = Rb3/3 = (24 cm) x (18 cm)3 / 3 = 46656 cm4 x Ixy2 = b2R2/4 = (18 cm)2 x (24 cm)2 / 4 = 46656 cm4 Los momentos de segundo orden del sector circular son: Ix3 = πR4/16 = π x (24 cm)4 / 16 = 65144. pasaremos las unidades a cm. y b = 180 mm y R = 240 mm. Dado que las cantidades en mm4 serían muy grandes.055 x (24 cm)4 = 18247. a) Para calcular los momentos de segundo orden de la superficie completa consideramos las tres figuras que vienen en las tablas y buscamos sus momentos. c) Calcular el ángulo que forman los ejes principales a O b R x de inercia OUV con los ejes OXY.055 R4 = 0. Iyc3 = 0. a) Calcular los momentos de segundo orden Ix. tenemos que buscar en las tablas el correspondiente a un eje que pase por el centroide y después hay que aplicar el teorema de Steiner.68 cm4 Para aplicar el teorema de Steiner necesitamos las coordenadas del centroide: 40 y O b y yc . Iy e Ixy.07 cm4 xc O R x Para calcular el momento de segundo orden con respecto al eje y. Para el perfil que se muestra en la figura. b) Calcular los momentos principales de inercia en el punto O. cuyas dimensiones son a = 100 mm.Problema 16. Dibujar los ejes principales de inercia. 68 cm4 + (28.44 + 10.186 x 28.89 = 508096.12 cm4 Imin = I+ − R = 292956.16 cm4 2 2 1/2 2 R = I2 = 215139.44 cm4 Ixy3 = Ixyc3 + x 3 y 3 A3 = − 5308.389 cm2) = 377648.39) / 2 = 292956.07 − 426304.07 cm4 Iy = Iy1 + Iy2 + Iy3 = 2000 + 46656 + 377648.186 cm A3 = πR2/4 = π x (24 cm)2 / 4 = 452.07 + 426304.186 x 452.62 = 168829. Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3 = 11520 + 82944 + 65144.389 = 124573.186 cm)2 x (452.70º) / 2 = 25.70º θp = (51.07 = 159608. es 2θp = tg-1(−Ixy / I−) = = tg-1(−168829.16) + (168829.23 cm4 I− = (Ix − Iy)/2 = (159608.23 − 215139.389 cm2 Iy3 = Iyc3 + ( x 3)2A3 = 18247.16) = 51.85º a O b R x v y u 41 .62 cm4 b) Para calcular los momentos principales de inercia utilizamos las expresiones correspondientes: I+ = (Ix + Iy)/2 = (159608.62 cm4 Los momentos de segundo orden de la superficie completa serán la suma de los correspondientes a cada parte.39 cm4 Para calcular el momento mixto de segundo orden. Ixyc3 = −0.016 R4 = −0.016 x (24 cm)4 = − 5308.39) / 2 = −133348.62 / −133348.39 cm4 Ixy = Ixy1 + Ixy2 + Ixy3 = − 2400 + 46656 + 124573.39 = 426304.x 3 = b+(4R/3π) = (18 cm) + (4 x (24 cm) / 3π) = 28. tenemos que proceder de la misma forma.62) ] Imax = I+ + R = 292956.186 cm y 3 = 4R/3π = 4 x (24 cm) / 3π = 10.23 + 215139.89 = 77816.34 cm4 c) Y el ángulo que forman los ejes principales con los ejes dados.89 cm4 − + I xy = [(−133348. b) Calcular los momentos principales de inercia en el punto O. Para encontrar los momentos de inercia en este sistema de referencia debemos rotar −30º el sistema OX’Y’. a) Calcular los momentos de inercia respecto a los ejes OXY. Ix. dibujaremos un nuevo sistema de referencia OX’Y’ con sus ejes paralelos a los lados del rectángulo de nuestro problema: O X Y’ Y X’ O X Los momentos de inercia con respecto a este sistema OX’Y’ se pueden obtener directamente de las tablas: Ix’ = bh3/3 = (4 cm) x (3 cm)3 / 3 = 36 cm4 Iy’ = b3h/3 = (4 cm)3 x (3 cm) / 3 = 64 cm4 Ix’y’ = b2h2/4 = (4 cm)2 x (3 cm)2 / 4 = 36 cm4 Estos ejes están rotados 30º con respecto al sistema OXY. Iy e Ixy. Su base mide 4 cm y su altura 3 cm. Dibujar los ejes principales de inercia. Y O X a) El rectángulo que tenemos en las tablas tiene sus lados paralelos a los ejes: Y Por tanto.Problema 17. 42 . c) Calcular el ángulo que forman los ejes principales de inercia OUV con los ejes OXY. El rectángulo de la figura está inclinado 30º con respecto a la horizontal. 82) / 2 = 50 cm4 I− = (Ix − Iy)/2 = (74.18 cm4 Iy = 36 sen2(−30º ) + 64 cos2(−30º ) + 36 sen(−60º ) = 25.62 cm4 − + Ι x ' y ' = [(−14) + 36 ] Imax = I+ + R = 50 + 38.18 + 25.62 = 11.62 = 88.18 − 25.82 cm4 Ixy = 30.38 cm4 b2) Desde OXY Ix = 74.62 cm4 Imin = I+ − R = 50 − 38.18 cm4 Iy = 25.18 cm4 2 2 1/2 2 R = I2 = 38. b1) Desde OX’Y’ Ix’ = 36 cm4 Iy’ = 64 cm4 Ix’y’ = 36 cm4 I+ = (Ix’ + Iy’)/2 = (36 + 64) / 2 = 50 cm4 I− = (Ix’ − Iy’)/2 = (36 − 64) / 2 = −14 cm4 2 2 1/2 2 R = Ι2 = 38.12 cm4 I+ = (Ix + Iy)/2 = (74.62 cm4 − + I xy = [24.12 cm4 b) Para calcular los momentos principales respecto de O podemos usar cualquiera de los dos sistemas de referencia.82) / 2 = 24.Ix = Ix’ cos2 θ + Iy’ sen2 θ − Ix’y’ sen 2θ Iy = Ix’ sen2 θ + Iy’ cos2 θ + Ix’y’ sen 2θ Ixy = [(Ix’ − Iy’)/2] sen 2θ + Ix’y’ cos 2θ donde θ = −30º Ix = 36 cos2(−30º ) + 64 sen2(−30º ) − 36 sen(−60º ) = 74.12 ] 43 . Lo comprobaremos calculándolos con ambos sistemas para ver que se obtiene el mismo resultado.18 + 30.82 cm4 Ixy = [(36 − 64)/2] sen(−60º ) + 36 cos(−60º ) = 30. 37º con respecto al eje X’ y 64.25º) / 2 = −25. Asi. en sentido positivo.37º Si calculamos el ángulo con respecto a los ejes OX’Y’. c) Para calcular el ángulo que forman los ejes principales de inercia OUV con los ejes OXY usamos los valores correspondientes a este sistema de referencia: Ixy = 30. sería: θp = −25.18) = −51.12 cm4 I− = (Ix − Iy)/2 = 24.37º con respecto al eje X.12 / 24.Imax = I+ + R = 50 + 38.62 = 88.63º + 90º = 64. el eje principal U está rotado 34.63º que.37º Vemos que difiere del anterior en 30º.75º θp = (68. debe llevarnos a la misma posición para los ejes principales: Ix’y’ = 36 cm4 I− = (Ix’ − Iy’)/2 = −14 cm4 2θp = tg-1(−Ix’y’ / I−) = tg-1(−36 / −14) = 68. Y’ V Y U X’ X 44 . los valores de Imax y de Imin son los mismos independientemente del sistema de referencia de partida.38 cm4 Como podemos ver. los mismos correspondientes a la rotación de los ejes entre los dos sistemas.62 cm4 Imin = I+ − R = 50 − 38.18 cm4 2θp = tg-1(−Ixy / I−) = tg-1(−30.62 = 11.75º) / 2 = 34. OXY y OX’Y’.25º θp = (−51. 5 m)4 / 3 = 3.5 m)4 / 16 = 0. y b) Calcular los momentos principales de inercia en el punto O.5 m)4 / 16 = 0.5 m. donde la longitud L mide 1.5 m)4 / 8 = 0.5 m)4 / 3 = 13. a) Calcular los momentos de segundo orden Ix.5 m) + (1.5 m) / 3 = 1 m y 3 = L + L/3 = (1.5 m4 Ixy1 = (2L)2(L)2/4 = 4 x (1. x 3 = 2L/3 = 2 x (1. Iy e Ixy. un cuarto de círculo y un triángulo.633 m4 Los momentos de segundo orden del triángulo son: Para calcular el momento de segundo orden con respecto al eje X.375 m4 Iy1 = L(2L)3/3 = 8 x (1.5 m) / 3 = 2 m A3 = (2L)L/2 = 2 x (1.994 m4 Ixy2 = (L)4/8 = (1. XC. L O x L L a) Para calcular los momentos de segundo orden de la superficie completa consideramos tres figuras: un rectángulo.281 m4 45 O 2L x y .281 m4 Para aplicar el teorema de Steiner necesitamos las coordenadas del centro de masas y el area del triángulo. y L O 2L x Los momentos de segundo orden del rectángulo son: Ix1 = 2L(L)3/3 = 2 x (1. c) Calcular los momentos principales de inercia L gráficamente mediante el círculo de Mohr. tenemos que buscar en las tablas el correspondiente a un eje que pase por el centro de masas.281 m4) + (2 m)2 x (2.5 m)4 / 4 = 5. y buscamos sus momentos en las tablas.5 m)2 / 2 = 2.5 m)4 / 36 = 0.Problema 18.25 m2 Ix3 = Ixc3 + ( y 3)2 A3 = (0. Para el perfil que se muestra en la figura.25 m2) = 9.994 m4 L O y L yc xc x Iy2 = π(L)4/16 = π x (1. Ixc3 = 2L(L)3/36 = 2 x (1.063 m4 Los momentos de segundo orden del sector circular son: Ix2 = π(L)4/16 = π x (1. sólo necesitamos los valores de Ix. Ixyc3 = − (2L)2(L)2/72 = − 4 x (1.994 m4) + (9.5 m)4 / 12 = 3.14º c) Para dibujar el círculo de Mohr.662.881) / 2 = 13. Iy e Ixy.903 = 4. Ixy) y B (Iy. 46 .662 m4 Iy = Iy1 − Iy2 + Iy3 = (13.649 m4 b) Para calcular los momentos principales de inercia utilizamos las expresiones correspondientes: I+ = (Ix + Iy)/2 = (11.219 m4) = 8.772 − 8. 8.994 m4) + (3.110) = 76.375 m4) = 15.219 m4 Los momentos de segundo orden de la superficie completa se obtienen sumando los correspondientes al rectángulo y el triángulo y restando los del cuarto de círculo. Iy3 = L(2L)3/12 = 8 x (1.5 m)4 / 72 = − 0. El punto de esta linea que corta el eje de abscisas será el centro del círculo de Mohr (C).903 = 22. Trazamos un sistema de ejes y representamos los puntos A (Ix.881.772 m4 I− = (Ix − Iy)/2 = (11. sino la expresión de las tablas.375 m4) − (0.662 − 15.649).662 + 15.772 + 8. no es necesario aplicar Steiner.110 m4 2 2 1/2 2 = 8.649) ] Imax = I+ + R = 13.110) + (8.281 m4) = 11.29º / 2 = 38.25 m2) = 4.881 m4 Ixy = Ixy1 − Ixy2 + Ixy3 = (5.881) / 2 = − 2.649) y B (15.063 m4) − (0.281 m4) + (1 m) x (2 m) x (2. directamente. A continuación unimos estos dos puntos mediante una linea recta.649 / − 2. que en este caso corresponden a A (11.Para calcular el momento de segundo orden con respecto al eje Y. − Ixy). volvemos a proceder de la misma forma.903 m4 R = I2 − + I xy = [(− 2.869 m4 Y el ángulo que forman los ejes principales con los ejes dados.633 m4) + (4. es 2θp = tg-1(−Ixy / I−) = tg-1(−8.281 m4 Ixy3 = Ixyc3 + x 3 y 3 A3 = (− 0. Ix = Ix1 − Ix2 + Ix3 = (3.675 m4 Imin = I+ − R = 13.375 m4 Para calcular el momento mixto de segundo orden.5 m4) − (0.29º θp = 76. −8. El más próximo al origen corresponde al momento mínimo.8 m4. Iy (m4) -10 B Este círculo corta el eje de abscisas en dos puntos. en buen acuerdo con los valores obtenidos matemáticamente Imin = 4. Para conocer sus valores. y el más lejano al momento máximo.675 m4. podemos ver que Imin ≅ 5 m4 Imax ≅ 22.869 m4 Imax = 22.Ixy (m4) 10 A 0 0 10 C 20 Ix. Imin. 47 . gráficamente. bastará con leer su valor en las escalas graduadas de los ejes. Imax. Para este caso.