IES Pintor Juan Lara El Puerto de Santa MaríaDepartamento de Filosofía Filosofía I LÓGICA PROPOSICIONAL Conceptos previos. 1. Razonamiento (o inferencia) validez formal y verdad. Razonamiento o inferencia: un tipo de pensamiento* en el que se produce siempre el paso de una o más afirmaciones —que tomamamos como punto de partida— a otra afirmación. Es decir una inferencia consiste en derivar una "conclusión" a partir de una o varias "premisas". Habría que distinguir: razonamiento como actividad de un sujeto y razonamiento como producto de esa actividad. Los razonamientos pueden ser de muchos tipos: 1. Inferencia plausible: como la que se sigue de un estudio estadístico. 2. Inferencia probabilística: aquella en la que la conclusión está basada en el cálculo de probabiliddes.. 3. Inferencia inductiva: aquella en la que se pasa de enunciados particulares a una conclusión general. 4. Inferencia deductiva: aquella en la que la conclusión se sigue de las premisas por pura coherencia formal.* *Todo enunciado o proposición tiene una forma y una materia (o "asunto"), es decir una estructura y un contenido. Las proposiciones: Todos los submarinistas son beduínos. Todos los cuerpos son pesados. Todos los alumnos de 1º de bachiller son gente de mucho cuidado. Tratan de asuntos distintos pero tienen la misma estructura o forma: Todos los A son B Verdad y validez. La verdad se predica de los enunciados. En el contexto en que estamos decimos que un enunciado es verdadero cuando lo que dice se corresponde con lo que realmente sucede. La validez se predica de los razonamientos1. Un razonamiento es formalmente válido cuando afirmadas las premisas se sigue necesariamente la conclusión. 1Siempre que hable de razonamientos o inferencias me referiré a partir de ahora a razonamientos deductivos que son los que vienen al caso. IES Pintor Juan Lara El Puerto de Santa María Departamento de Filosofía Filosofía I Lógica: ciencia que estudia los principios del razonamiento válido Lógica proposicional: La lógica más elemental es la lógica proposicional. Es aquella que estudia los razonamientos deductivos de nuestro lenguaje, pero considerándo las proposiciones como un todo, esto es sin analizar. Distinción lenguaje natural y lenguaje artificial La utilidad de los lenguajes artificiales. Puesto que al estudio de las inferencias deductivas no le interesan los contenidos de las proposiciones (es decir el asunto del que traten), podemos construir un lenguaje artificial en el que prescindamos de estos contenidos. Lo llamaremos por esto lenguaje formal. El lenguaje formal de la lógica proposicional. Los elementos primitivos de nuestro lenguaje artificial serán: 1. variables proposicionales (las llamaremos simplemente proposiciones) Las simbolizaremos con las letras: p,q,r,s,t,... Llamamos proposición a toda oración que afirma o niega algo, y por tanto es susceptible de verdad o falsedad. (Usos del lenguaje: interrogativo, exclamativo, imperativo, afirmativo o apofántico) Llamamos valor de verdad de una proposición a su verdad o falsedad. En lógica proposicional, consideraremos que las proposiciones sólo pueden ser verdaderas o falsas, es decir consideraremos dos valores de verdad. Lo simbolizaremos: 1 (verdad), 0 (falsedad). Que p es verdadera significa que "p acontece" o que "es el caso que p" Regla de simbolización del lenguaje natural: Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituye por una variable proposicional que se simboliza mediante letras minúsculas empezando por la “p”, usando subíndices si fuera necesario: “p”, “q”, “r”, “s”, “p1”, “p2”, etcétera. Ejemplos: – Juan va al cine - “p” – Quizá sea mejor que vengas el lunes - “q” – Estos son los apuntes de lógica - “r” IES Pintor Juan Lara El Puerto de Santa María Departamento de Filosofía Filosofía I 2. operadores (o términos de enlace entre las proposiciones) Consideraremos los siguientes operadores (NOTACIÓN: SCHOLK) Operador monádico (afecta a una sóla proposición): —operador negación: " ¬ " como en la expresión ¬ p convierte el valor de verdad de una proposición en su contrario, su "tabla de verdad" será si p es verdadera entonces ¬ p es falsa P ¬P ————— 1 0 0 1 Regla de simbolización del lenguaje natural: Las expresiones del lenguaje natural tales como «no», «no es cierto», «no es el caso», «nunca», «es falso que», «no es posible», «es imposible», etcétera o cualquiera que equivalga al sentido que en el lenguaje natural tiene la conjunción negativa “no” -que viene a significar que no ocurre lo que estamos diciendo-, se sustituyen por el símbolo “¬” que se escribe delante de la variable proposicional que está negando. Ejemplos: – Juan no va al cine - “¬ p” – Quizá sea mejor que nunca vengas los lunes - “¬ q” – No es verdad que estos apuntes no son los de lógica - “¬ ¬ r” - Operadores diádicos: 1. La conjunción. Operador diádico que da lugar a una proposición nuclear que es verdadera sólo en el caso de que sean verdaderas las proposiciones que la integran. P Q ; se lee “ P y Q” Su “tabla de verdad”2 será: 2 Una tabla de verdad recoge, los valores de verdad de una proposición en todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones que la integren. En general el número de renglones será 2 elevado a n, siendo n el número de proposiciones distintas que la formen. . P v Q. «o . «ya ... ». o de otro modo.. ». «bien . Operador diádico que da lugar a una proposición compleja que es verdadera cuando al menos una de las proposiciones que la integran sean verdaderas. Ejemplos: – Juan y Pedro van al cine . etcétera o cualquiera que equivalga al sentido que en el lenguaje natural tiene la conjunción copulativa “y” -que viene a significar que pasan las dos cosas que estamos diciendo-. o . se escribe el símbolo “ ” entre las dos variables proposicionales que une.. «e». se lee: “P o Q” P Q 1 1 1 0 0 1 0 0 PvQ 1 1 1 0 Regla de formalización del lenguaje natural: Las expresiones del lenguaje natural tales como «o».“p v q” – Quizá sea mejor que vengas los lunes o los miércoles .. «ni».IES Pintor Juan Lara El Puerto de Santa María Departamento de Filosofía Filosofía I P Q 1 1 1 0 0 1 0 0 P 1 0 0 0 Q Regla de formalización del lenguaje natural: Las expresiones del lenguaje natural tales como «y».. se escribe el símbolo “v” entre las dos variables proposicionales que une. «pero». «mas»..“t v w” . Ejemplos: – Juan o Pedro van al cine . ya .. etcétera o cualquiera que equivalga al sentido que en el lenguaje natural tiene la conjunción “o” -que viene a significar que ocurre una de las cosas que estamos diciendo-. ».. bien .“p q” – Quizá sea mejor que vengas los lunes y los miércoles .. La disyunción.“ t w” 2..“r v s” – O estos apuntes son los de lógica o los de metafísica . «que». es falsa sólo en el caso de que lo sean las proposiciones que la integran..“r s” – Estos apuntes ni son los de lógica ni los de metafísica . En una tabla de verdad… P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P 1 0 1 1 Regla de formalización del lenguaje natural: Las expresiones del lenguaje natural tales como «si»... se escribe el símbolo “→” entre las dos variables proposicionales que une. «si .. se demuestra . a causa de la otra-... «porque». ». en el ejemplo segundo. ». lo que llamamos el antecedente tiene que ocurrir antes. « . se deduce ... “Los lobos aullan cuando hay luna llena” no quiere decir que la luna sale cuando escucha el aullido.. se lee “Si P... la “r” se refiere a “Tu estarás mejor”. « .IES Pintor Juan Lara El Puerto de Santa María Departamento de Filosofía Filosofía I 3.. aunque en el lenguaje natural lo digamos al contrario. ». por tanto. sino al revés ¿entiendes? pues siempre la que va priemro es la causa de la segunda.. « . « ... ». es falsa cuando “dándose P” (P es verdadera). P Q.. darse previamente. Ejemplos: – Si Juan va al cine. « . etcétera o cualquiera que equivalga al sentido que en el lenguaje natural tienen las expresiones condicionales -que viene a significar que de las cosas que estamos diciendo ocurre por culpa...“r → s” – Los apuntes tienen símbolos raros. se infiere . se deriva .“p → q” – Quizá sea mejor que vengas los lunes porque estarás mejor . Operador diádico que da lugar a una proposición compleja que sólo es falsa si la proposición “antecedente” es verdadera y la “consecuente” es falsa. entonces Q” La proposición que resulta expresa la afirmación de que “en el caso de que se de P. Q . «con tal que». El condicional. “no se de Q” (que Q sea falsa)... por tanto .. entonces».. debe darse Q”. « .“t → w” NOTA: Los condicionales tienen un componente temporal lógicamente temporal. podríamos decir-.... en consecuencia son los de lógica . ».. «cuando». ». entonces Pedro va .. como condición para que ocurra el consecuente. en consecuencia .. « . significa que . es lo mismo que . ». es igual a . equivale a .... si y solo si ..... se lee “P. Ejemplos: – Juan va al cine si y solo si Pedro va . ».“p ↔ q” – Que vengas los lunes es lo mismo que vengas los martes ... El bicondicional.... P Q ..». Esto es... que sean los dos verdaderos o los dos falsos..IES Pintor Juan Lara El Puerto de Santa María Departamento de Filosofía Filosofía I 4. ». se escribe el símbolo “↔” entre las dos variables proposicionales que une..“r ↔ s” – Los apuntes de lógica de Javi son los mismos que los de Miguel “t ↔ w” Q P Q 1 1 1 0 0 1 0 0 . etcétera o cualquiera que equivalga al sentido que en el lenguaje natural tienen las expresiones que signifique equivalencia -que viene a significar que de las cosas que estamos diciendo que son lo mismo-. vale por .. « ...... « ... ». ». « . « . si y sólo si Q P 1 0 0 1 Regla de formalización del lenguaje natural: Las expresiones del lenguaje natural tales como « .. Operador diádico que da lugar a una proposición compleja que es verdadera sólo en el caso de que los valores de verdad de las proposiciones que enlaza coincidan. Y así puede entenderse el resto de cuadrantes. para P (1) y Q (1).1) (0.1) (1. Q1 Q0 P 1 P 2 PvQ . en el ejemplo.0) El primer cuadrante corresponde al caso en que el valor de verdad de P sea 1.IES Pintor Juan Lara El Puerto de Santa María Departamento de Filosofía Filosofía I Representación gráfica de Gonseth (1. ensombreceremos (o marcaremos) el cuadrante que corresponde al caso en que dicha proposición sea verdadera. por ejemplo una disyunción entre P y Q. y el de Q sea 1. “P v Q”. que corresponde al primer cuadrante.0) (0. esto es. Si queremos representar gráficamente. b.Pragmática: Estudia la relación de los signos con aquellos que hacen uso de los mismos. al tratarse de una parte de las matemáticas con implicaciones filosóficas. 1. y los semánticos. Los lenguajes naturales son las lenguas. v) vi) i) Definiciones Historia de la lógica Aristóteles y la silogística. El cálculo de deducción natural (DNp) como sintaxis para Lp. LENGUAJE NATURAL. Metapropiedades: Consistencia. pero interesa establecer una diferencia entre por ejemplo. .Un conjunto de reglas de formación que establecen cuales son las combinaciones correctas de esos símbolos elementales.Semántica: Estudia la relación de los signos con su significado. tablas de verdad y deducción. El cálculo lógico se atiene a sus propias leyes y se desentiende de la realidad. 2. no contradicción. creadas y recreadas constantemente en el transcurso de la historia. Las partes de la Lógica. Ciencia formal que tiene por objeto el estudio de las inferencias deductivas formalmente válidas. Desde el punto de vista de que todo lenguaje natural es una concreción histórica se podría decir que todos los lenguajes son artificiales. Desde el punto de vista de la lógica. 2. que prescinde de los contenidos y considera exclusivamente la estructura del razonamiento. LENGUAJE FORMAL Y CÁLCULO.Un conjunto de elementos primitivos o símbolos elementales. Los lenguajes artificiales son lenguajes de precisión construidos por los científicos para formular con más exactitud las relaciones entre los objetos analizados por las respectivas ciencias. Se la concibe como el puente entre las ciencias y las letras. tercero excluido. b. o lo que es lo mismo. En este sentido podemos decir que los lenguajes naturales los heredamos. Se compone de: . una argumentación. su validez formal. y transmitidas a cada individuo en pocos años. SEMIÓTICA O SEMIOLOGÍA: Estudio general de los signos. que constituyen el cálculo lógico. Principios lógicos: identidad. Un cálculo es una estructura artificial que define un sistema de relaciones entre signos para los que no proporciona un significado. que indican cómo puede pasarse de una combinación de símbolos a 1 . 3. c. Ejercicios: formulación. La Lógica Proposicional (Lp) Lenguaje Lp. compacidad y completud. es decir. las condiciones formales que debe reunir el razonamiento para que las relaciones en él establecidas sean válidas.Sintaxis: Estudia la relación de los signos entre sí. 3. . Teoría general de la inferencia.Un conjunto de reglas de transformación. que hacen referencia a las condiciones de verdad o falsedad.lógica Lógica Esquema: i) ii) a. Las tablas de verdad como semántica para Lp. La lógica matemática o simbólica. estando en lugar de otras tienen la capacidad de referirnos al objeto que sustituyen. análogos a los términos o palabras de un lenguaje. y la formulación de los elementos químicos. Lógica de proposiciones y de predicados. . DEFINICIONES LÓGICA: 1. nos interesan los aspectos sintácticos. Partes: . o seguir. el español. iii) iv) a. d. construidos de tal forma que ante un objeto cualquiera se pueda determinar si ese objeto es o no miembro del conjunto. entendidos como aquellas entidades que. . LENGUAJE ARTIFICIAL. Ciencia que estudia las leyes y las formas que debe cumplir. Un juicio (acto de juzgar) es una operación del entendimiento mediante la cual se afirma o se niega la pertenencia de un predicado a un sujeto. ii) HISTORIA DE LA LÓGICA. pues mencionar una palabra o una proposición no consiste sino en aludir a una propiedad o a una característica de un lenguaje. Ej: Hombre tiene seis letras. por medio del cual se establece una afirmación o una negación acerca de una realidad. manteniendo la estructura del cálculo. y el metalenguaje será el español. en su libro Peri Hermeneia (sobre los elementos). Ej: las oraciones “La nieve es blanca”. Así por ejemplo el enunciado “no llueve” expresa la proposición que niega que esté lloviendo (hecho positivo). En este caso suele ir entre comillas. Esta diferenciación es necesaria porque el lenguaje es recursivo. es un acontecimiento psíquico real que ocurre en el sujeto que juzga. . en cambio la mencionamos cuando nos referimos a ella misma o a los signos que la representan o expresan. Es decir. en el sentido contenido en el juicio y que es susceptible de ser verdadero o falso. Por ejemplo en nuestro caso el lenguaje objeto será el lenguaje lógico.cantidad: es la manera de una proposición de referirse al conjunto de seres que caen bajo su significación. cuando se refieren a la totalidad. JUICIO. y el lenguaje que utilizamos para expresarnos se llama metalenguaje. a. constituidos por palabras del lenguaje natural que se refieren a conceptos que expresan objetos. Todo lenguaje formal es un lenguaje artificial. Un lenguaje formal no es mas que un cálculo interpretado. Combinándolas Aristóteles distingue 4 tipos de proposiciones: 2 . ENUNCIADO Y PROPOSICIÓN. Cuando estudiamos un lenguaje. . El enunciado (u oración) es el vehículo expresivo. no a los semánticos. En este sentido la proposición puede ser verdadera o falsa. dotándolos de significado. Ej: . Usamos una palabra cuando la utilizamos de acuerdo con su significado.“Mesa” tiene cuatro letras. que constituye la expresión de un juicio. “Snow is white” o “La neige est blanche” expresan la misma proposición. Mediante la relación entre dos o más términos se forma una proposición. USO Y MENCIÓN. La lógica de Aristóteles es una lógica de términos. es lo “expresado mediante el juicio”. cualidades o propiedades. LENGUAJE OBJETO Y METALENGUAJE. Es decir. En las proposiciones distinguimos entre la cantidad y la cualidad: . interpretamos sus símbolos.La mesa tiene cuatro patas. es decir. cuando entre los términos de la proposición se establece una relación de separación. ya que no hay hechos negativas. Luego Chindasvinto tiene seis letras. La proposición en cambio. términos. Chindasvinto es hombre. Nos va a ser especialmente útil distinguir entre la forma lógica y la forma escrita (enunciado) de la proposición en casos de enunciados negativos. según lo enunciado en ello se conforme con la realidad o no (criterio referencialista). Así evitamos usar confusamente distintos niveles del lenguaje.cualidad: las proposiciones pueden ser afirmativas cuando se establece la aserción de algo. Un mismo cálculo lógico puede ser transformado en varios lenguajes formales si cambiamos su interpretación. Pueden ser universales. Fue el primero que se ocupó de la lógica. o signos (orales o escritos) mediante los cuales se expresa el contenido de la proposición. el lenguaje sobre el que tratamos se denomina lenguaje objeto. Aristóteles fue el primer pensador que estudió como un contenido propio y aparte el orden lógico del pensamiento. Aristóteles y la silogística. o negativas. Es decir. En un cálculo es posible realizar operaciones sin saber qué significan los símbolos. atendemos exclusivamente a los aspectos sintácticos.4. o particulares. cuando solo aluden a una parte de esos seres. es decir podemos usar el lenguaje para hablar del propio lenguaje. lógica otras. En lógica vamos a entender una proposición como todo enunciado con sentido acabado y completo susceptible de ser verdadero o falso. La importancia de esta distinción es idéntica a la de lenguaje y metalenguaje. mediante un metalenguaje. el conjunto de palabras. un barco. El medio. XIX comienza un desarrollo sin precedentes desde Aristóteles. es decir aquellas proposiciones modificadas por los operadores de necesidad y posibilidad. las dos primeras llamadas premisas y la tercera conclusión. La lógica matemática o simbólica. Particular afirmativa: Alguna mujer juega al tenis. Ej: Todo hombre es mortal.lógica Universales afirmativas: Todo ser humano es mortal. Ej: Si todo cuerpo …. Luego Sócrates es mortal. A partir del s. El menor. Aristóteles distingue 3 figuras. b. 3 . El término medio es sujeto de la primera premisa y predicado de la segunda: Todo A es B Ningún A es B todo C es A Todo C es A todo C es B luego ningún C es B 2ª El término medio aparece como predicado en ambas premisas: Ningún B es A Todo B es A Todo C es A Algún C es A luego ningún C es B luego algún C es B 3ª El término medio es el sujeto de ambas proposiciones: Todo A es B Algún A no es B Algún A es C todo A es C luego algún C es B luego algún C no es B Esquema: M T t M t T Esquema: T M t M t T Esquema: M T M t t T Todos los silogismos poseen valor demostrativo. En las premisas se encuentran tres términos: El mayor. Particular negativa: Alguna mujer no juega al tenis. así como en la formulación de las reglas que los gobiernan. que hace de sujeto. de acuerdo con la estructura del silogismo: 1ª. Es un enunciado en el que afirmadas ciertas cosas. Ej: Una ley física: Una persona. Después de Aristóteles algunos de sus discípulos (estoicos y megáricos) continuaron y completaron su sistema. lo que permite un mayor grado de seguridad y exactitud en la construcción de argumentos. un delfín. en el sentido de que en todos ellos la conclusión brota necesariamente de las premisas. Se pueden distinguir entre razonamiento Inductivo: es aquel que va de lo singular a lo universal.se construye un sistema simbólico adecuado. luego si yo me sumerjo en el agua… El silogismo es un tipo de razonamiento deductivo que Aristóteles estudia en profundidad. que hace de predicado de la conclusión. sumergidos en agua desalojan una cantidad de líquido igual a su propio peso Todo cuerpo…. hasta tal punto que Kant a finales de siglo XVIII pensó que el sistema de la lógica estaba completo y acabado. Esto es posible porque: . → Aristóteles también desarrolló la teoría modal. El razonamiento Df. Universal negativa: Ningún ser humano es pájaro. a partir de la matematización de la lógica. Sócrates es hombre. se sigue necesariamente algo distinto de lo ya establecido por el simple hecho de darse dichas cosas. de los lógicos de Port Royal o de Leibniz (mathesis universalis) que intentan hacer de la lógica un cálculo y a la progresiva introducción de simbolismos. Consiste en un razonamiento constituido por tres proposiciones. que se halla únicamente en las premisas y que sirve como elemento de enlace entre los dos anteriores. Yo tengo un cuerpo. Deductivo: va de lo universal a lo particular. Cabe destacar la obra del mallorquín Ramón Llull (Ars magna). podemos distinguir entre un sujeto. ¬. El primer miembro del condicional se llama antecedente y el segundo consecuente. El paso del álgebra de la lógica a la lógica matemática se produce cuando la lógica se formaliza y axiomatiza. su validez formal. de ahí su nombre.z. .Condicional (→): Se lee “Si. Para formalizar estas relaciones se asigna un símbolo a cada uno de los elementos que componen la proposición. sin necesidad de analizar su contenido. sí que entra a analizar la relación que se establece entre los elementos de la proposición (sujeto y predicado). las metáforas. lo que permite distinguir entre un razonamiento y las reglas que lo gobiernan. → Un tipo especial de lógica de predicados es la lógica de relaciones. De Morgan o C.. que analiza las relaciones que podemos establecer entre distintos sujetos. El objetivo inicial de la lógica era la total formalización del lenguaje natural.y. quien crea la teoría de conjuntos. La lógica es una ciencia formal que tiene por objeto el estudio de las inferencias deductivas formalmente válidas. . con una escritura artificial que permite la formulación completa de la lógica deductiva elemental. . .Disyunción (∨): Se lee “o”.la distinción entre la lógica y la realidad. Frege consigue la construcción de un cálculo lógico perfecto. Conjunto de conectivas (similares a las del lenguaje ordinario) que nos sirven para conectar proposiciones atómicas:2 . un verbo y un predicado. que nace para evitar las imprecisiones del lenguaje natural cuando se trata de expresar contenidos rigurosos y precisos. a esta parte de la lógica le interesará qué tipo de predicados se predican de qué tipo de sujetos.. ∀xPx = T todo individuo x tiene la propiedad P. iv) LA LÓGICA PROPOSICIONAL (Lp) a. Lenguaje Lp.. letras mayúsculas para los predicados y minúsculas para los sujetos.. que toma la proposición como un todo. Para elucidar el significado de una metáfora hay que acudir a los aspectos pragmáticos del lenguaje. debidas a ambigüedades.lógica . Así Pa se entenderá como “el sujeto a tiene la cualidad P” y Px como “un sujeto x tiene la cualidad P”. la lógica proposicional. Así en una proposición del tipo “El cielo está gris”. Ello puede hacerse desde dos perspectivas: . Sobre la discusión sobre el número de conectivas recordar que todas se pueden escribir sólo con →. toma en cuenta los enunciados en su totalidad. Así Pab sería “los individuos a y b están unidos por la propiedad P”. ver las leyes de interdefinición. la lógica de predicados.1 La lógica es un lenguaje formal dotado de un cálculo. G. Peirce. Esto no es importante para la lógica proposicional. o George Cantor. “bien.. entonces”.Desde un punto de vista intencional.Desde una perspectiva extensional. bien”. Por convención se utilizan las letras P y Q para predicados y las primeras letras del abecedario (a. que representan formalmente una proposición atómica. iii) LAS PARTES DE LA LÓGICA. LÓGICA DE PROPOSICIONES Y DE PREDICADOS. A principios del s. mediante la distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje. sin llegar a analizar el contenido de la proposición. aunque ello no es posible precisamente por la existencia de dichas ambigüedades. Hay que hacer notar que esta disyunción es inclusiva. c) para los sujetos que están determinados y las últimas (x. Con estas condiciones se considera que la lógica se subordina al método matemático. Esta lógica utiliza los cuantificadores universales ∀ (todos). por George Boole (1815-1867) fundador del álgebra de la lógica. XX.S. ∃xPx = Existe un x que tiene la propiedad P. q. obra clásica. y existenciales o particulares ∃ (algún). Ello permite construir los primeros cálculos. Conjunto de variables enunciativas o proposiciones: p. es decir. etc.) para los que no lo están. Consta de : 1. b. r. 4 . Bertrand Russell y Alfred North Whitehead escriben la obra Principia Matemática. s. que prescinde de los contenidos y considera exclusivamente la estructura del razonamiento. Si tomamos una proposición. Así la anterior proposición podría formalizarse como Gc. al uso que los hablantes hacen de él. No es posible entender el significado de “Juan es un cerdo” atendiendo únicamente a los aspectos sintácticos y semánticos.se formulan reglas precisas de operación. tales como las polisemias. 1 2 Recuerda los componentes de un cálculo. 2. A.Conjunción (∧): Se lee “y”.. Precisiones: 1.: las fórmulas : p → q. p ∧ q es fbf si el los dos términos lo son. . La lógica clásica se caracteriza por ser: . Definición de las funciones de verdad de los símbolos lógicos: Negador: x V F ¬x F V Conjuntor: x V V F F y V F V F x ∧y V F F F Disyuntor: x y V V V F F V F F x∨y V V V F Condicional: x y V V V F F V F F x→y V F V F Bicondicional: x V V F F y V F V F x↔y V F F V 5 .Negación (¬) (monádico): Se lee “no es verdad que” 3. Las tablas de verdad como semántica para Lp. Conjunto de símbolos auxiliares: Paréntesis ( ) y corchetes [ ]. B. . para referirnos a esquemas de fórmulas. 2. C. . 3.Bivalente: se contemplan solamente dos valores de verdad: verdad absoluta y falsedad absoluta. Es un doble condicional. Ej.. (p → q) ∧ (q → r) como A ∧ B 2. El asignar un valor de verdad a una proposición se denomina interpretación.. p es una fbf.Funcional de verdad: el significado de las proposiciones se reduce a su valor de verdad.Bicondicional o equivalencia (↔): Se lee “si y sólo si” o “equivale / coimplica”. Utilizamos las letras mayúsculas A. ¬ p es fbf si p lo es. (Ejercicios) b. p ↔ q es fbf si los dos términos lo son. p ∨ q es fbf si al menos uno de los dos términos lo es. no podrá descomponerse. y será atómica.lógica es decir no excluye que se pueda dar las dos alternativas a la vez. Si p es una variable proposicional. y 2. p →q es fbf si el segundo término lo es. No existen mas fbf que las que se derivan de 1. No se admite grados de verdad o posibilidad. Finalmente definimos lo que es una fórmula bien formada (fórmula válida) en este lenguaje: 1. Un negador delante de un paréntesis afecta a todo el paréntesis: Formalización: Proceso por el que traducimos argumentaciones extralógicas (lenguaje ordinario) a lenguaje formal Lp. (p → q) → (q → r) se pueden leer ambas como A → B p ∧ q. 4. Se resuelven las negaciones x 1 1 1 1 0 0 0 0 x → [ ( ¬ x ∨ y) ∧ z)] 0 0 0 0 1 1 1 1 3. El cálculo de deducción natural (DNp) como sintaxis para Lp. Resolvemos el resto de conectivas x 1 1 1 1 0 0 0 0 y 1 1 0 0 1 1 0 0 z 1 0 1 0 1 0 1 0 x → [( ¬x 1 0 0 0 1 1 1 1 ∨ y) ∧ z)] 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Tautología: Fórmula válida. Aquella verificada por todas las funciones de verdad / es verdadera para cualquier interpretación de sus proposiciones. Los pasos intermedios correctos vienen definidos por las reglas de transformación. Contingente: Verificada por algunas funciones y por otras no. Reglas primitivas DNp. Se resuelven las negaciones que afectan a las proposiciones simples. tenemos 3 variable. a partir de una serie de premisas.Reglas de eliminación: A→B A . Se asignan valores de verdad a las proposiciones simples. luego tendremos que asignar 8 valores de verdad (23 = 2x2x2) x 1 1 1 1 0 0 0 0 y 1 1 0 0 1 1 0 0 z 1 0 1 0 1 0 1 0 2. 3. Argumentación: Proceso por el que. y a través de unos pasos intermedios. Se resuelven las negaciones que afectan a las proposiciones compejas. Contradicción: Es falsa para toda interpretación. ∨. x. aplicando la fórmula 2 n (2 valores de verdad / número de variables) 2. z. y. Resolvemos la conectiva “v” que afecta a ¬x ∨ y y x → [ ( ¬ x ∨ y) ∧ z)] 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 4. Ej: x →[ (¬x ∨ y) ∧ z)] 1. Las hay de dos tipos: de eliminación (para extraer conclusiones) y de introducción (de construcción de argumentos). llegamos a una conclusión. →. B Pero no: A→B B A 6 . (EJERCICIOS) c. . Estas reglas nos permiten derivar. El último componente que nos falta por definir para tener un cálculo son las reglas de transformación. Se resuelven los símbolos lógicos en orden inverso a la dominancia: ∧. argumentar.lógica CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDAD: Para averiguar el valor de verdad de cualquier fórmula: 1. A→ B 5. 2. Identidad o Repetición (Id): A . 3. Introducción del disyuntor (I∨) A . entonces se B . Introducción del condicional (I→) A Si de A se sigue B. Introducción del conjuntor (I∧) 3. A∧B / B∧A A→B B→A A↔B 2.lógica 1. Ex contradictione quod libet (ECQ): . puede concluir. Carga de premisas (Cpr) 3. Introducción del negador (I¬). Cuando de A se sigue una contradicción. Eliminación del bicondicional (E↔): Eliminación de la negación (E¬): A↔B A→B / B→A ¬¬A A C C . . A A . Eliminación del condicional (E→) o Modus Ponens (MP) Eliminación de la conjunción (E∧): Eliminación de la disyunción (E∨): A∧B A/B A∨B A C B 4. A B∧¬ B ¬A (EJERCICIOS) Interdefinición de las conectivas: Todas las conectivas se pueden escribir con →. A→B A→B A∧B A∨B Reglas derivadas: 1.Reglas de introducción: 1. 5. Introducción del bicondicional (I↔) 4. ¬. B→A A ∧ ¬A B 7 ¬ (A ∧ ¬B) ¬A∨B ¬ (A → ¬B) ¬A→B 2. A∨B / B∨A A B . cuando no puede derivarse una fórmula y la negación de esa fórmula ¬(A ∧¬A). la fundamental es la consistencia o no existencia de contradicción interna. constituyen el fundamento de toda actividad e incluso del razonamiento cotidiano. Un sistema formal es completo si es posible deducir todas las fórmulas que configuran dicho sistema o. Principio de tercero excluido: Entre el ser y el no ser no existe término medio. son iguales entre sí. Un sistema formal ha de reunir la serie de condiciones formales que indicamos seguidamente: a) Consistencia. De Morgan 2 (DM) 9. A = A / A→A / A↔A 2. Contraposición (Contr) 7. expresado de otra manera. implícita o explícitamente admitidos por todos los seres humanos. Metapropiedades: Consistencia. Modus Tollens (MT) A→B ¬B ¬A A→B ¬B → ¬A ¬ (A∧B) ¬A ∨ ¬B ¬ (A∨ B) ¬A ∧ ¬B ¬ (A→ B) A∧¬B 6. su contraria tiene que ser verdadera. si dada una fórmula del mismo se puede demostrar bien ésta o bien su contraria. Interdefinición (Id →/¬) (EJERCICIOS) d. A ∨ ¬A EJERCICIOS DE FORMALIZACIÓN 1. 8 . no contiene) ningún teorema (o proposición) contradictoria o. En lógica se traduce en que. Los animales.lógica 4. De las tres condiciones mencionadas. De Morgan 1 (DM) 8. b) Completitud. no contradicción. ¬( A ∧ ¬A) 3. lo que es lo mismo. c) Decidibilidad. v) Principios lógicos: identidad. El sistema de lógica que hemos estudiado es consistente. puede establecer si una determinada fórmula es o no un teorema de dicho sistema. Los principios lógicos “naturales” constituyen un determinado número de verdades indemostrables y evidentes en sí mismas (axiomas) que. Un sistema formal es consistente cuando no encierra (es decir. y si una proposición es falsa. Los otros requisitos poseen menor importancia y puede mantenerse un sistema aunque no se cumplan o. completo y decidible. y nunca ambas. aunque no resulte evidente su cumplimiento. tercero excluido. pues en caso de surgir una contradicción el sistema queda invalidado. Un sistema formal es decidible si existe un procedimiento mecánico que. Principio de identidad: Una cosa es idéntica a sí misma /si dos cosas son idénticas a una tercera. Silogismo disyuntivo (Sd): A∨B ¬B ¬A 5. si una proposición es verdadera. Las tablas de verdad son un procedimiento de decidibilidad para la lógica proposicional clásica. al menos. Principio de contradicción (o no contradicción): Aristóteles lo define como: “Es imposible que un mismo atributo se de y no se de simultáneamente en el mismo sujeto y en un mismo sentido” / es imposible que una cosa sea y no sea al mismo tiempo. mediante un número finito de pasos. compacidad y completud. Podemos destacar: 1. son seres vivos. como las plantas. su contraria tiene que ser falsa. 12. si la noche es clara y Drácula encuentra la ventana abierta o cerrada. debe analizarse inmediatamente después de cada parto la sangre del recién nacido y. 24. a igualdad de peso. Si afila sus dientes y la encuentra cerrada. antisimétrica y transitiva María es alta o baja. Si la noche es clara. montará en cólera. ha de indicar qué y cuántos fines persigue. que no por el agua. 5. Si Hume rechaza la causalidad y pone EN Entredicho la existencia del mundo exterior. Ni Antonio ni Luisa han copiado el examen. Las lluvias pueden volver o no. mejor conductor de la electricidad que el cobre. cogerás pan y vino. No es cierto que la física cuántica prohíba la representación intuitiva y que conserve la 9 . si la pena de muerte supone la destrucción total de la persona e imposibilita la corrección del penado. imposibilita la corrección del penado. sino que está organizada psicológicamente. entonces. 32. 23. romperá los cristales y le daré un fuerte tirón de orejas. habrían podido ofrecer una mínima resistencia en el partido contra los profesores. La persona humana tiene creencias sobre multitud de cosas. 28. si de alguna manera no recobra dicho mundo. Perseverando en tus decisiones y no cediendo al desaliento frente a los obstáculos comprobarás cómo el éxito te sonríe. 10. prohíbe la representación intuitiva pero permite conservar la causalidad. Si los "trozos" resultantes no son ni más pequeños ni más ligeros. 20. hace frío y las calles están vacías. permite representarse las cosas intuitivamente. 16. 30. Si Frankestein cruza nuestras calles. La divisibilidad en números naturales es una relación de orden. los "trozos" resultantes no son ni más pequeños ni más ligeros que tales partículas. 17. El camino es largo o corto. No es cierto que Antonio y Luisa hayan copiado el examen. 14. 4. 9. no está determinado unívocamente por el ambiente y cabe exigirle cuenta de sus acciones. Si el hombre es moral. 7. Si describe la naturaleza a base de observables clásicos. No iré. La pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservación de la persona. 26. Por tanto. Si describe la naturaleza a base de estados abstractos. 22. si ésta es Rh positivo. le daremos con las puertas en las narices.2. 6. En no habiendo armas. le daré un fuerte tirón de orejas. 19. El nitrógeno se usa en los laboratorios y reemplaza el aire de ciertos aparatos cuando eL oxígeno es perjudicial en las operaciones. Si las partículas elementales del átomo se aceleran y se escinden. Si el objetivo de la guerra es destruir o doblegar a otro sistema suprapersonal. 25. me despertara pero le daré un fuerte tirón de orejas. Las partículas elementales se aceleran y se escinden. 27. Si agita sus alas y encuentra mi ventana abierta. pero tal multitud no forma un caos. 33. Si los alumnos no fuesen tan malos jugando al baloncesto. y si miente. No tengo nada. pero cuando nosotros estemos lejos del tiempo y del espacio querremos volver a los años de juventud. Si la pena de muerte antepone la defensa de la sociedad a la conservación de la persona. es condenable éticamente. las partículas elementales del átomo son las últimas unidades representativas de la materia. Lloraré a menos que me apruebes. Drácula agitará sus alas y afilará sus dientes. Si siembras temprano y podas tardío. 29. El hidróxido de aluminio es maleable y. ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado si se desean evitar complicaciones a otros posibles hijos. pasará. Si el Rh de la futura madre es negativo. 21. Llueve. 11. entonces el domador se quedará muy triste y los payasos o los niños romperán el saxofón a menos que los elefantes vuelvan. O la Televisión modifica sus esquemas y renueva su programación o se producirá una huida masiva de telespectadores y veremos las calles inundadas de gente. Por el puente se va a casa. 13. entonces. habría que incluirle entre los escépticos. Decir que la suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva y el producto de sucesiones positivas es una sucesión positiva equivale a decir que la suma y el producto de dos números reales positivos es un número real positivo. Así pues. pero exige la renuncia a la causalidad. Por tanto. Imposibilita la corrección del penado sólo si es condenable éticamente. 3. 31. 34. puesto que es reflexiva. lógica El fenómeno de la nutrición separa de una manera tajante los seres vivientes de los no vivientes. Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección. te invitaremos a cenar. no habrá hambre. 15. La física cuántica describe la naturaleza a base de observables clásicos o a base de estados abstractos. Si los elefantes se fugan. Si se ganan las elecciones y nuestros representantes acceden a! poder. 18. entonces hay guerra si y sólo si existe violencia física y ruptura de relaciones diplomáticas. son las últimas unidades representativas de la materia. confiaremos en ellos si y sólo si cumplan sus promesas y el poder no les corrompa. 8. pero si dice la verdad. si supone la destrucción total de la persona. si tú no vas también. 6. los apaches se verán obligados a desenterrar el hacha de guerra y el humo invadirá el Cañón del Colorado. Por lo tanto. entonces todos los humanos los describirían de modo similar. nos habrían enviado algún mensaje de salutación o habrían venido a hacemos alguna visita. Si los hombres se ponen nerviosos. no renuncie a la causalidad. 37. Si el toro tuviera sentido del humor o fuese un animal vengativo. lógica causalidad. no tendrían inteligencia. Si los habitantes de Venus invaden la Tierra. 16. Por lo tanto. 4. Averigua si las siguientes fórmulas son tautologícas. no es cierto que si la física cuántica representa las cosas intuitivamente. se sentaría en medio de la plaza y dormiría una plácida siesta. el humo invadirá el Cañón del Colorado. las autoridades no prohibirán fumar en pipa a los feos. 19. Ni los matemáticos se dedican a cazar brujas. 38. 2. 39. Si el rostro pálido comparte la pipa de la paz. las mujeres se entusiasmarán. O es cierto que el rostro pálido les visita amistosamente o se conservan todas las cabelleras en su sitio. Los seres extraterrestres no tienen figura antropomórfica y no nos han enviado ningún mensaje de salutación. o contingentes. 36. ni los espectadores se marchan decepcionados. entonces los guapos se alzarán indignados porque no venden pipas. Así pues. La nación sale de la crisis económica y los guapos no venden pipas. 7. 20. Los apaches únicamente bailarán la danza de la lluvia y. 12. entonces los matemáticos se dedicarían a cazar brujas y las abejas a fabricar acero. ni las abejas a fabricar acero. No es cierto que se conserven en su sitio todas las cabelleras o que el rostro pálido no deje en su casa el tubo de fuego. 1. Así que el toro no tiene sentido del humor. Los apaches se verán obligados a desenterrar el hacha de guerra y dejarán sin cabellera a los colonos si y sólo si el caballo de hierro cruza sus territorios o los tirantes del general Custer no le llegan a los pantalones. Si existieran seres extraterrestres y tuviesen inteligencia. Si los filósofos callasen la nieve quemaría y los círculos serían cuadrados. 5. sí los habitantes de Venus invaden la Tierra. 10. los filósofos no callarán. entonces los espectadores se marcharían decepcionados o el torero se sentiría ridículo. Si nos hubiesen visitado. 40. 8. No es cierto que todos los humanos describan a los seres extraterrestres de modo similar o que éstos no tengan necesariamente figura antropomórfica. Si hubiesen presentado públicamente sus credenciales ante los humanos. contradictorias. 18. en caso de que el rostro pálido les visite amistosamente. EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD. entonces la nación no saldrá de la crisis económica. A → (B → A) (¬ A → ¬ B) → (B → A) A → [(¬A ∨ B) ∧ C)] (A ∧ B) → A ¬[(A → B) ∧ (B → A)] B → (A ∨ B) (A ∧ ¬B) → ¬( ¬A ∧ B) (A→B) → [(A → C) → (A → (B ∧ C)] (A↔ B) → (A → B) A ↔ (A ∧ (A ∨ B) [(A ∧ B) → ¬C) → [(A → ¬C) ∧ (C → ¬B)] (A→B) → [(A ∨ C) →( B ∧ C)] (A→¬B) → [(A ∧ C) →( ¬B ∧ C)] (¬A → ¬B) ↔ (B → A) ¬[ ¬ A ∨ ( ¬B ∨ A)] ¬ (A ∧ ¬A) (A → B) ↔ ¬ (A → ¬B) (A ∨ B) → ¬[( A ∧ C) →( ¬C → B)] [A → (B ∧ ¬B)] → ¬A [(A →B) ∧ (C →D)] → [(A→ C) ∧ (B →D)] 10 . Por tanto. entonces los hombres se pondrán nerviosos o las mujeres se entusiasmarán. Sí las autoridades prohíben fumar en pipa a los feos. compartirán la pipa de la paz con el apache. 15. SÍ los guapos no venden pipas o las autoridades crean nuevos puestos de trabajo. Por tanto. 17. Si los círculos fuesen cuadrados. 13. 3. las mujeres se entusiasmarán.35. 9. Si el toro se sentase en medio de la plaza. si existieran seres extraterrestres. habrían presentado públicamente sus credenciales ante los humanos. 11. Pero si el rostro pálido deja en su casa el tubo de fuego o el caballo de hierro no cruza sus territorios. si los tirantes del general Custer no le llegan a los pantalones. 14. Ni el torero se siente ridículo. Por lo tanto. r ↔ q ∴r 23) 1. p ∴ q → ¬r 37) 1. p → q 2. 4. t ∧ ¬ q ∴s∧¬q 21) 1. q ∧ ¬ r ∴¬p 26) 1. 2. p ∧q 2. 4. p → q 2. p ∧ q 2. (p ∧ q) → r 2. p 3. 2. q → (p → r) 22. ¬ p → q 2. p ∧ m ∴r∧t∧m 11) 1. 4. p ∧ q ∴ (p v r) ∧ (q v r) 4) 1. r → p ∴p↔q 22) 1. (q ∧ s) → ¬ r 3. (p ∨ r) →(¬s ∧ q) ∴r 24) 1. (p v q) → r 2. (p ↔q) → r 2. Aplicación de reglas primitivas: 1) 1. t → p 3. ¬ r ∴ ¬ (p ∧ q) p∨q p→r q→s r→s 19) 1. 3. ¬p → q 2. q ∧p ∴r 6) 1. q → r ∴q→s 36) 1. ¬ r ∧ q ∴¬p 1. p → q 2. ¬ (p → r) ∴ ¬p ∧ r ∴¬q 32) 1. ¬ r → (s → p) ∴q 1. 3. (p ∧ q) → r 2. q → s ∴s Modus Tollens 14) 25) Aplicación de reglas derivadas: modus tollens 28) 29) 21. r ∴(p ∧ q) v r 7) 1. q → p 3. ¬ t ∴r 12) 1. p∨ q 2. ¬q ∧ r ∴p∧r 34) 1. ¬s → ¬p 3. ∴s 18) 1. 3. p → (p → r) 2. (p ∧ q) → r p ¬s→¬r 39) 1. p → (q → r) 2. q → (r ∧ m) 4. (p ∨q) → r 2. p ∨ q 2. p ∴r Métodos de reducción al absurdo: 1. 2. (p ∨ s) → r 3. p ∴q→r 31) 1. 2. p → r 2. p → (r ∧ s) 3. 3. p → (q ∨ r) 2. ¬ r ∧ s 3. p → q 1. ¬ q → r 3. (p ∧ q) → r 2. (¬ q ∨ t) → p 3. r → ¬ (p ∧ q) 2. p → (q→ r) 2. p → (q → r) 2. q → (s ∧ t) ∴s 20) 1. r ↔ q 3. ¬q ∧ r 2. 3. p → r 2. ¬¬p ∴ r 2) 1. 2. t ∧ s ∴r∧s 13) 1. p → r 3. s ∧ t ∴r∧s∧t 9) 1. q ∴r∧q 8) 1. p → ¬q 2. p → (r ∧ t) 3. r → (s ∧ t) 4. q ↔ p 3. r ∧ s ∴p 27) 1. 2. 3. q → r 3. (p ∧ q) → r r→q p 33) 1.lógica EJERCICIOS DE DEDUCCIÓN (I). ∴r p∨r p→r q→s ¬ r → ¬s 30) 1. r ∧s ∴ r ∧q 5) 1. p → r 2. p ∴s 15) 1. r → p 2. p ∨ q 2. ∴r p → (q ∨ t) q→r t → ¬¬ r p 3) 1. q →( r ∧ t) 3. (q ∨ r) → ¬¬ s 3. p → (¬ t → q) 3. (p → r) → (t → s) 2. q → r ∴r 17) 10) 1. (p ∧ q) → r q∧¬r ¬ s →p 11 . (q ∧ r) → s ∴p→s 38) 1. s ↔ r 2. (p → q) → r 2. q ↔ r ∴p↔s 16) 1. ¬ r ∴¬p 35) 1. 3. r ∨ s 2. p ∧ ¬r ∴¬ q 50) 1. ¬p→q ¬ (p ∨ ¬ t) s∨¬t 1. r → (q →p) ∴ (r ∧q) → s 58) 1. q →s ∴p→s 1. ¬s ∴¬p ∴r 60) 61) 1. q ∧ s 3. p ∴ ¬ (¬q ∨ r) 44) 1. ¬r → ¬p 2. ¬ (r ∨ ¬q) 3. r ↔ ¬s 2. ¬ q 3. s ∨ ¬ p ∴r 1. ¬ q 3. ¬ s → ¬q 3. p → s ∴ (p ∨ q) → s 59) 1. ¬ s ∨ q 3. p → r ∴t→r 51) 1. (¬ p ∧ q) → r 2. t →p ∴p→r 3. p ↔ r 2. ¬ t ∨ s 2. (p → ¬q) →s 3. p ∨ s ∴p→q ∴ (p → q) → (r → q) 72) 1. (p ∧ q) → r 2. p →s 2. (q → ¬r) → s 3. r ↔ s ∴p∧s ∴p→r 68) 69) 1. ¬ (s → r) ∴ (p ∨ t) ∧ (¬q ∨ t) 54) 1. ¬ r → (¬ p ∨ ¬q) ∴p → (q → r) 55) 1. r → (p ∧ q) 3. (¬p ∧ ¬ r) → ¬q 2. p → s 3. s → p 3. 2. q → s ∴ (p → q) → (r → s) 66) 70) 74) 12 . p → (q → r) 2. ¬ r ∴p∧q ∴q→s ∴s 41) 1. p → (¬ q ∨ r) 2. r → s ∴q Aplicación silogismo disyuntivo 46) 1. ¬s → ¬r 2. s → (¬p ∨ q) ∴p → (¬ q → r) 71) 1. (p∨ q) → r 2. p ∨ q 2. q ∴ ¬ (p ∧ r) 45) 1. ¬ p ∴ p ∧ ¬q 63) 1. s →q 3. r ∨ (s ∧ q) 2. (¬ p ∨ s) → t ∴t 48) 1. p → ¬ q 2. ¬r 3. r → q 3. (p → q) → r 2. ¬ q ∴p 49) 1. ¬ s ∴¬p 62) 1. 3. q ∧ ¬ r 3. p → q 1. (p ∧ q) → r 2. (p → q) → r 2. ¬ r ∧ ¬ q ∴¬ p 47) 1. t ∧ s ∴r∧s 56) 57) 1. q → (¬p ∨ ¬r) 2. (p → q) → r 2. p → (r ∨q) 1. (p → ¬ r) → s ∴s 75) 1. ¬ (p ∨ ¬q) 1.lógica ∴q↔r Aplicación reglas de De Morgan 40) 1. p↔q q→s ¬s∨q 73) 1. (p ∧ q) → r 2. p → (q ∨ r) 2. ¬r ∨ ¬q 2. p → (¬q ∨ ¬r) 2. (p ∧ ¬ q) → r 2. (¬p ∨ ¬ q) →r 1. ¬ r 2. ¬ r ∴p∧q 43) 1. ¬s → ¬ r ∴ p → (q → s) 67) 1. q → r 3. (p ∧ ¬ q) → r 2. r → ¬p 1. 52) 53) 1. 2. p → q 2. r → q ∴¬p 42) 1. s ∨ ¬r ∴¬p ∴s 64) 65) 1. s ∴ ¬ [p →( q → r)] EJERCICIOS DE DEDUCCIÓN (II) Aplicación de diferentes reglas y procedimientos. p → (q ∧ ¬r) 2. s → p 2. (p∨ q) → r 2. s → ¬ r 4. (¬p ∨ ¬ r) → r 2. ∴p p → ¬(q ∧ r) m∨q s∨r ¬( ¬s ∧ ¬m) → t ¬t ∧ ¬w 94) 1. t ∴¬s 86) 92) 96) 103) 1. q ∨ s 2. ∴q 95) 1. ¬¬s → ¬ u 3. ∴u p ∨ ¬q q∨r ¬r ∧ s p→t w → ¬t (¬w ∧ ¬¬s) → u 99) 1. 4. 6. p ∧ q 3. 2. (q ∧ ¬r) → n 3. ¬(¬r ∨ ¬s) 4. 5. 4. ¬ q → p 4. 2. p ∴q↔r 82) 1. s ∴¬p → q 108) 1. m → t 4. ¬ (s ∧ ¬r) 5. u → q 3. r → ¬p 5. ¬q → n 3. ¬ w 5. ¬ (¬t ∨ ¬q) 2. t → s ∴p→r 1. 4. ¬m ∨ n 4. q → p 3. ¬ n 5. l → ¬r 5. (r ∧ s) → p 4. ¬r → ¬t 4. ¬(p → q) 2. p → (¬ r ∨ q) 2. (p → q) ↔ r 2. r ∨ (n ∨ m) ∴r∨u 109) 1. p → q 2. 3. ¬(¬m ∨ ¬s) 2. p ↔ (q ∨ r) 2. 3. (q ∨ ¬s) → t 2. 5. 2. 2. 4. p ∴ ¬t 98) 1. t → r 3. q →¬ t 3. 5. p → r ∴w∧u 101) 1. ∴q ¬t → s w ∨ ¬u t → ¬w ¬m ¬r → ¬s ¬¬r → q 100) 1. q → ¬q 2. m ∨ n 7. r ∨ s 3. q ∨ n 3. ¬( ¬p ∨ ¬r) → ¬(¬m ∨ ¬n) ¬(s → ¬t) → 106) 1.lógica ∴p↔s 76) 1. ¬ s ∴ ¬r ∧ ¬ s 91) 1. ¬ (¬ p ∨ ¬q) ∴q∨s 77) 1. t → (¬m ∧ w) 2. (p ∨ q) → r ∴(p → r) ∨ (q → r) 104) 1. 3. 2. p → q 2. ¬q ∨ w 2. ∴r 88) 1. 3. 2. r → q 3. s → ¬ q 4. t→m ¬ (u ∧p) n → ¬m 110) 1. w → t 5. 3. p ∨ m 2. (r ∧ s) → n 3. t∨ v ∴q∨u 93) 1. p → (q ∧ s) 2. 3. p ∧ q ∴ ¬(u ∨ m) 85) 1. ¬ r → (p ∧ ¬ q) ∴ (p → q) ↔ r 83) 1. p → ¬s 4. ¬r → ¬t 6. ¬(p ∨ ¬s) 2. ¬ s → ¬q ∴s∨u 78) 1. 3. 3. ¬ p → s 4. ¬q → r 3. p → q 3. 4. p → q ∴ ¬s → r 81) 1. ¬¬t ∧ ¬r ∴ ¬w s↔t r∨p s → ¬w w 1. ¬ (¬p ∨ ¬s) 2. ¬r ∨ ¬s 4. 6. ¬q → ¬r 3. t → ¬q 4. 2. ∴q ¬r→s s → (p ∧ q) r→t ¬t 90) 1. ( p ∧ q) → r 2. ¬ r ∴ (p ∨ s) ∧ q 87) 1. (t ∨ s) ∨ q 3. q ∨ t 2. s → t ∴p∨t 84) 1. ¬p ∨ ¬q 2. ¬ r ∴¬ p ∴ (p ∨ q) ∧ (r ∨ s) 79) 1. (u ∨ w) →(p → q) 4. 4. s → ¬q ∴ ¬(¬m ∨ ¬n) 102) 1. ¬p → (q ∨ r) 3. r →(p ∨ q) 3. 4. n → l 4. (q ∨ t) → [m ∧ (k → ¬s)] ∴ ¬(m →k) 13 . ¬m ∨ w ∴ ¬(u ∧ n) 105) 1. (r ∧ s) → ¬t 6. 2. ¬ q ∴¬r 80) 1. p → s 3. p → ¬( ¬r ∨ ¬s) 2. q → s 5. q ∴s p∧¬t s→t s∨q (q ∧ p) → r 89) 1. 2. ∴p r ∨ (p ∨ s) t ∧ ¬k ¬(¬t ∨ k) → ¬r (s → q) ∧ ¬q 1. n → (u ∨ w) ∴¬ (r ∧ s) 107) 1. w → ¬n 4. n → (u ∧ w) 2. ¬ (p ∨ r) → s 3. (m ∨ n) → ¬(s ∨ t) 4. s → q 2. 6. ¬n ∨ ¬w 5. 8. 7.lógica 4. ¬(¬s ∨ ¬t) ∴¬w ∧ ¬u Decucción a partir del conjunto vacío de premisas 14 . ¬m ∨ ¬u 4. ∴w ¬(¬p ∧ ¬w) ¬n → ¬s z→u ¬(r ∨ ¬t) ¬z → s ¬(¬p ∨ ¬r) 3. 5. auladefilosofia. ID. XXI.p & q 10 IN -1 p & q -> r -2 r -> s -3 q & ¬s I. ¬¬p I. p I. ¬¬p I.Más ejercicios de cálculo proposicional Nº de cálculo proposicional tomados de Pérez Sedeño. Ejercicios de Lógica.q <-> p & q 7 IB -1. t -> q -2. Hilari Arnau: Teoría y lógica proposicional. 1 EC. r <-> (p & q) -3. v & q -> p -4. r & (p & q -> q) -3. s. proposicional tomados de Eulalia Pérez Sedeño: 1991.p -> (q -> r) 16 http://www. 3ª ed. . ID. 1997 . t & s I. DN.¬¬s -> r 15 IC -1 p & q -> r I. DN. DN. ¬¬ (t -> ¬s) <-> ¬¬q -4. ID. p <-> t -2.Aula de Filosofía Ejercicios de lógica proposicional Autor Eugenio Sánchez Bravo Saturday. Barcelona: Vicens-Vives. 19:24 . p & ¬¬(q -> r) -2.p & r 3 EC.¬ r 12 IC -1 t -> q -2 w -> r -3 r & q -> p I. s v r -> v -3. p v q -> (q -> p & q) -2. IC -1 p & (q & r) I.Ejercicios de cálculo proposicional tomados de Pedro Montaner. IC -1 (p & q) & (r & s) I.t & w -> p 13 IC -1 p -> r -2 ¬ (q -> r) I. DN. ¬s <-> t -3. 18 de February de 2007 Selección de ejercicios de Lógica proposicional .(p & q) & r 5 MP -1. Eulalia: Ejercicios de Lógica.com Potenciado por Joomla! práctica de la Ejercicios Generado: 3 September. 2007. Madrid: s.p 6 IB -1.Ejercicios de cálculo XXI de España Editores. IC -1 (p -> q) & ¬¬ (r v q) I. 16 de December de 2006 Modificado el Sunday.(s -> t) & r 2 EC. IC -1 (s -> t) & (r & t) I.q <-> r 8 EB -1. r -> q I.r v s 9 EB -1.¬ (q -> p) 14 IC -1 p -> (q -> r) -2 s -> p & q I.(p -> q) & ( r v s) 4 EC.¬p 11 IN -1 q & (r <-> q) -2 ¬ r -> p I. p <-> q -2. ID. p 33 REGLAS DERIVADAS -1 ¬r v ¬q -2 t v s -> r http://www.¬p 30 REGLAS DERIVADAS -1 p v q -> r -2 ¬ r I.t 25 REGLAS BÁSICAS -1 p -2 p -> q -3 ¬¬( q -> ¬ s) I.auladefilosofia.Aula de Filosofía ED (144) .1 ¬q -> r .p 28 REGLAS DERIVADAS -1 q & r -> ¬s -2 s I.¬s 26 REGLAS DERIVADAS -1 p -> q I.¬q 31 REGLAS DERIVADAS -1 ¬ p -2 q -> p -3 ¬q -> r I.com Potenciado por Joomla! Generado: 3 September.2 t -> ¬ q .3 ¬ s -> ¬ q I-t v ¬s -> r 17 ED -1 p -> q -2 r -> p -3 t -> r -4 s -> r -5 t v s I.q v r 24 REGLAS BÁSICAS -1 p -2 p -> ¬ q -3 p & ¬q -> ¬¬s -4 s -> ¬¬ t I.r 22 REGLAS BÁSICAS -1 p <-> ¬¬ (q & r) -2 q & (r -> s) -3 p I. 19:24 .q v ¬w 18 ED -1 p & (q v r) I.p v (q v r) 20 REGLAS BÁSICAS -1 q -> ¬p -2 r -> q -3 r I.¬q v ¬r 29 REGLAS DERIVADAS -1 p -> q & r -2 ¬ q v ¬ r I.s 23 REGLAS BÁSICAS -1 ¬p <-> q -2 s v t -> ¬p -3 ¬¬ s I. 2007.¬q -> ¬p 27 REGLAS DERIVADAS -1 ¬ p -> ¬q -2 q I.¬p 21 REGLAS BÁSICAS -1 ¬ p -> ¬ q -2 s v ¬q -> ¬¬ r -3 ¬p I.r v s 32 REGLAS DERIVADAS -1 p v q -2 q -> t -3 ¬ t I.(p & q) v (p & r) 19 ED -1 (p v q) v r I. 2 t -> (¬p&¬m) -3tvs I.¬(t v s) 34 REGLAS DERIVADAS -1 p v q -2 t -> ¬p -3 ¬(q v r) I.¬t 35 REGLAS DERIVADAS -1 p -> ¬s -2 s v ¬r -3 ¬ (t v ¬r) I. 19:24 .p -> (¬q -> r) 42 IC -1 p -> q -2 q -> r -3 r -> s v t I.p -> s 45 IC (146) -1 ¬s v ¬p -2 q -> ¬r -3 t -> s & r I. 2007.p -> ¬s 37 IC -1 p v ¬s -2 ¬r -> s I.r-> t 41 IC -1 s & (¬p v t) -2 t -> q v r I.r -> s 47 IN -1 ¬ (p & q) -2 ¬r -> ¬p -3 ¬q -> ¬r I.auladefilosofia.t -> ¬(p v q) 46 IC (136) .¬p 36 REGLAS DERIVADAS -1 p -> q v r -2 q -> ¬p -3 s -> ¬r I.r 50 IN -1 ¬(q v r) http://www.p -> (r -> t) 44 IC -1 ¬ q -> ¬p -2 p -> (q -> r) -3 ¬(r -> s) -> ¬q I.Aula de Filosofía -3 q v ¬s -4 ¬t I.1 (r v q) -> p .¬p 48 IN -1 t -> ¬s -2 r -> ¬t -3 s v r I.¬t 49 IN -1 ¬(p & q) -2 ¬ q -> r -3 ¬r -> p I.¬q -> t 40 IC -1 ¬s <-> t & p -2 r -> ¬ s I.¬p -> r 38 IC -1 ¬(r & s) -2 q -> s I.r -> ¬q 39 IC -1 s -> r -2 s v p -3 p -> q -4 r -> t I.¬s & ¬t -> ¬p 43 IC -1 p v q -> (r v s -> t) I.com Potenciado por Joomla! Generado: 3 September. 1 s -> r -2svp . Vicens-Vives 64 .¬s v ¬t 57 IN -1 p -> ¬ q -2 r -> q I.r -> p 63 IN -1 p -> q -2 ¬(p & r) & (r v ¬q) I.2 q -> ¬t -3svq I.3 ¬(r & s) -> q I.q v r 61 REGLAS DERIVADAS -1 p v ¬(¬q & ¬r) -2 ¬p & ¬q I.q 59 IN -1 ¬(¬p & ¬r) -2 ¬s -> ¬r -3 p -> q I.auladefilosofia.r v s 62 IC -1 ¬p -> q -2 q -> ¬r I.r 68 . 19:24 .1 p v¬r http://www.¬t 51 IN -1 s -> ¬p -2 s v ¬r -3 ¬(t v¬r) I.3 p -> q .¬p 52 IN -1 p -> q v r -2 q -> ¬p -3 s -> ¬r I.4 r -> t I.2 ¬s .r 54 IN -1 ¬r v ¬q -2 t v s -> r -3 q v ¬s -4 ¬t I.1 (m&n)-> ¬t .2 t v¬s .¬ p 56 IN -1 s -> p -2 r v ¬ p -3 t -> ¬r I.3 ¬ (p v ¬s) I.1 t -> ¬s .¬p Ejercicios de cálculo proposicional tomados de Montaner Pedro y Arnau Hilari: Teoría y práctica de la lógica proposicional.¬(m & n) 67 -1¬qvs . 2007.q v s 60 IN -1 ¬p -> s v r -2 ¬p & r -3 s -> q I.¬ (p & s) 53 IN -1 ¬r -> ¬s -2 t & r <-> ¬s I.¬(t v s) 55 IN (152) -1 (p v q) -> (r & s) -2 ¬r I.Aula de Filosofía -2 t <-> ¬p -3 p v q I.¬t 66 .¬ q -> t 65 .com Potenciado por Joomla! Generado: 3 September.¬(p & q) 58 IN -1 ( ¬q -> ¬p) & (¬p -> q) I. 2 ¬r -> ¬s I.r -2¬q .¬ p .1 p-> ¬(s v ¬r) 70 .1 p -> q 81 -1p&q 82 -1rvs 83 .6 ¬(u vq) I-¬(¬r v¬t) -2qv¬w .1 (p v q) -> r 74 .r .1 ¬(pvq) ->r 78 .5 t -> ¬¬m .3 q v ¬s I.4 q <-> t v n -5s I.q .5 ¬(¬¬p v ¬¬m) .2 (p & q) -> r http://www.1 (t & r) <-> s .4 n -> (r & s) .4 ¬s I.1¬p -> q 77 .3 ¬( p & q) I.auladefilosofia. 2007.¬p v ¬q .4 ¬s I.3 ¬ p -> ( r & s) I.2 ¬r -> s .2 ¬t -> ¬p .4 ¬s -> x .u .1 ¬(¬q v ¬t) 76 .2 p -> m .r & s .2 q -> ¬s .3 ¬(¬u & ¬p) .Aula de Filosofía .1 p -> w 79 .1 p -> q Potenciado por Joomla! Generado: 3 September.6 ¬t -> ¬¬n I.3 r -> ¬q I.3 ¬r -> s .w -> r .3 ¬(p & r)->t I.3 p -> t .2 q -> ¬(m v r) .1 p -> q 71 .2 ¬(w v m) .3 ¬p -> r I.t .(p & q) -> (s & t) -2tvs .com 69 .3 n -> ¬q -4pvn I.s v¬p .1 ¬(p & q) 80 .6¬(¬¬r v ¬¬s) .3 ¬(tvn) ->m .2 ¬q v ¬s .1 q -> p 84 .2 ¬m -> n .4 ¬(¬u & ¬q) I.¬(¬w v ¬u) .3 (p & q) -> r .8 ¬(n -> ¬x)-> u I. 19:24 .m .4 ¬(mvn) ->t .2 w-> ¬(m&s) .2 r -> ¬q .¬(p v r) -> t .5 ¬(svp) .3 ¬r -> s I.1(p->q) & (r -> s) 75 .2 (p->r) -> (svq) .1 p -> ¬r 72 73 .3 ¬(z v n) .2 ¬r -> q .7 ¬(s -> ¬q) -> w .3 m -> (r & s) .t . 1 (r v q) -> p 97 .2 ¬r -> ¬(p&q) .¬t & ¬p .4 ¬n-> t I.1 ¬r -> s 95 .1 ¬t v ¬r 93 .3 t -> ¬m -4s .6 z -> u .1 ¬s v ¬r 96 .2 s -> (p &q) .3 n ->¬m .2 s -> ¬t http://www.1 t -> m 91 .3 ¬(¬r &p) I.2 s -> q .w v q .2 t -> (p v r) .¬t .4¬(¬p & ¬w) .¬p -> ¬q .3 q->( r -> s) I.2(¬t & ¬q) -> w .2 ¬r -> ¬t .q . 19:24 .1 ¬(m v n) Potenciado por Joomla! Generado: 3 September.1 r -> ¬p .4 ¬n I.1 r -> s 94 .2 ¬r -> p .p -> w .3 ¬p I.6 ¬(¬m & r) I.p -> s .3 ¬s -> p .1 p->¬(¬rv¬s) 90 . 2007.p -> ¬q .¬s v ¬t .4¬n -5p&q I-¬(u v m) .2 ¬p v r .1(s & ¬r) -> q 87 .2 q -> m -3xvt .¬q -> (t &s) .5 ¬p v ¬q .p -> s .r -> s .5 ¬n -> ¬s .2 ¬¬s ->¬u .¬s v ¬t .1 r -> n 98 .3 r v (s & t) I.8 ¬z -> s I.2 p->(q -> r) .¬(r v s) -> n .2 t -> (¬p&¬m) -3tvs I.3 ¬(p & r) I.3 ¬m v n .2 ¬(u & p) .1 ¬q -> ¬(mvt) 99 .2¬p v r .1 (p&q)->¬r 89 .3 r -> ¬t I.5 ( s & r )->w I-(¬p->¬q)->(¬w->x) .4 t -> (r & s) .2 ¬ (q & ¬r) I.4 ¬t I.3 (q v n) -> t .com 85 86 .2 r v (s&t) .1 p -> q 100 .3 r -> ¬t I.¬p .7 ¬(r v ¬t) .1 ¬p -> ¬s 101 .3 p <-> q I.1 ¬m v p 88 .Aula de Filosofía .1 ¬p -> ¬ s 92 .auladefilosofia.3 r -> t . 3 p v ¬q -4q&t I-(¬p &t) v (w & r) 103 .2 p -> m .¬(s & q) .1 p -> q 111 .2 q -> ¬t -3svq I.Aula de Filosofía .1 ¬(¬q v ¬t) 116 .4 n -> (r & s) .4 q <-> t v n -5s I.w -> r .3 p -> t .1¬p -> q Potenciado por Joomla! Generado: 3 September.3 ¬(tvn) ->m .q .1 (m&n)-> ¬t 107 -1¬qvs 108 .5 t -> ¬¬m .2 ¬r -> s .1 p v¬r 109 .¬p v ¬q .auladefilosofia.4 ¬(¬u & ¬q) I.4 ¬s I.3 p -> q .3 n -> ¬q -4pvn I.2 ¬q v ¬s .1 p-> ¬(s v ¬r) 110 .1¬(m & ¬n) ejercicios de cálculo proposicional 104 .3 ¬ (p v ¬s) I.¬t .2 ¬s .r .com 102 .2 ¬s & m .2 w-> ¬(m&s) .3 (p & q) -> r .2 (p->r) -> (svq) .3 m -> (r & s) . 2007.3 ¬(¬u & ¬p) .¬(m & n) .2 ¬r -> ¬s I.1 (p v q) -> r 114 .t .2 t v¬s .2 ¬m -> n .t .1 p -> ¬r 112 113 .4 ¬(s & ¬t) .4 ¬s -> x .r .¬ q -> t .1 (t & r) <-> s .3 ¬(r & s) -> q I.5¬(q & ¬r) .3 ¬(p & r)->t I.3 ¬r -> s .4 ¬s I.2 q -> ¬(m v r) . 19:24 .2 q -> ¬s .2¬(t & ¬u) .1 s -> r 105 .6¬ (u v w) .u .4 r -> t I.3 ¬(n &¬p) .1 t -> ¬s 106 .m .1(p->q) & (r -> s) 115 .5 ¬(¬¬p v ¬¬m) http://www.1 p->(q<->s) Más .8 ¬(p &¬q) I.7 ¬(r &¬s) .6 ¬t -> ¬¬n I.3 ¬m -> t I.¬m -2svp . p -> w .8 ¬z -> s I.2 ¬(u & p) .3 r -> ¬q I.3 p <-> q I.3 n ->¬m .Aula de Filosofía .3 ¬r -> s I.2 q -> m -3xvt .1 t -> m 131 .4 ¬(mvn) ->t .¬s v ¬t .2(¬t & ¬q) -> w .2 ¬(w v m) .7 ¬(s -> ¬q) -> w . 19:24 .1 ¬(pvq) ->r 118 .r -2¬q .1 p->¬(¬rv¬s) 130 .3 ¬(¬r &p) http://www.3 t -> ¬m -4s .3 ¬(z v n) .3 ¬(p & r) I.3 ¬p -> r I. 2007.6 ¬(¬m & r) I.¬(p v r) -> t .2 r -> ¬q .6 ¬(u vq) I-¬(¬r v¬t) -2qv¬w .4 t -> (r & s) .1 p -> w 119 .r & s .4¬n -5p&q I-¬(u v m) .s v¬p .5 ( s & r )->w I-(¬p->¬q)->(¬w->x) .3 ¬( p & q) I.5 ¬(svp) .p -> ¬q .2 ¬¬s ->¬u .1 p -> q 121 -1p&q 122 -1rvs 123 .2 ¬r -> q .2 ¬r -> p .1 ¬(p & q) 120 .2 (p & q) -> r .5 ¬p v ¬q .3 ¬m v n .3 q v ¬s I.1 r -> ¬p .1 (p&q)->¬r 129 .6 z -> u .2 ¬ (q & ¬r) I.1(s & ¬r) -> q 127 .1 q -> p 124 .(p & q) -> (s & t) -2tvs .6¬(¬¬r v ¬¬s) .2 ¬p v r .¬p .1 ¬p -> ¬ s 132 .5 ¬n -> ¬s .2 ¬t -> ¬p .auladefilosofia.3 r -> ¬t I.4¬(¬p & ¬w) .2 r v (s&t) .1 p -> q 125 126 .p -> s .1 ¬m v p 128 .3 ¬ p -> ( r & s) I.¬(¬w v ¬u) .7 ¬(r v ¬t) .w v q .8¬(n -> ¬x)-> u I.1 ¬t v ¬r Potenciado por Joomla! Generado: 3 September.com 117 .¬ p . q v (m & n) 2.s -> t 3.¬s v ¬t .3 r -> t .8 ¬(p &¬q) I.4 ¬n I.¬t & ¬p .r -> s . .¬p -> ¬q .¬t .1 ¬r -> s 135 .com 133 .2¬p v r .1 p->(q<->s) 143 . .p & ¬t 149 1. 19:24 .¬m -2 t -> ¬ q -3 ¬ s -> ¬ q I.¬(p & q) 146 1.3 ¬m -> t I. . .1 ¬(m v n) 142 .t -> ¬(p v q) 2.r -> s I.q v ¬r I.1 ¬s v ¬r 136 .auladefilosofia.4 ¬n-> t I.6¬ (u v w) . .2 ¬r -> ¬(p&q) .3 (q v n) -> t .¬p 2.q -> t http://www. .¬(s & q) .¬ t I.2 ¬r -> ¬t .2¬(t & ¬u) .u 2.2 p->(q -> r) .1 ¬p -> ¬s 141 .3 q->( r -> s) I.4 ¬(s & ¬t) .3 ¬(n &¬p) . .¬(r v s) -> n . . .¬q -> (t &s) .3 r v (s & t) I.5¬(q & ¬r) .¬s v ¬p 147 1. .s -> (p & q) 3.(q v p)-> u I.t -> s & r I.q .¬r -> q 3.p -> r 3.q -> ¬r 3. 2007. . .3 r -> ¬t I.2 ¬s & m .Aula de Filosofía I.s v q 4.4 ¬t I. .7 ¬(r &¬s) .2 s -> (p &q) .2 t -> (¬p&¬m) -3tvs I.1 p -> q 140 .1 r -> s 134 .p & s 148 2. .1 r -> n 138 .1¬(m & ¬n) 144 -1 ¬q -> r 145 1.3 p v ¬q -4q&t I-(¬p &t)v(w & r) .2 t -> (p v r) .2 s -> ¬t .3 ¬p I.-m->¬ (¬p&¬q) Potenciado por Joomla! Generado: 3 September.3 ¬s -> p .¬r -> s 150 1. . .1 (r v q) -> p 137 .r -> (t & w) 4.1 ¬q -> ¬(mvt) 139 .p -> s . .t v ¬s -> r 2.2 s -> q .p &¬q 1. . t -> m 3. .q v ¬r 3. -¬(m & ¬n) 9. 19:24 . . . . . .t->¬(¬w v ¬n) 3.p -> q 154 1. .q v r 3..auladefilosofia.¬r -> ¬q 6.(p v q) -> (r&s) 1.¬p 153 2. ..¬(u &w) 4.. . . .¬(¬mv¬s) 156 1.p & ¬q 152 1. . .¬s->¬(p v ¬t) 1.m -> ¬(¬t & ¬s) 151 2.¬s & ¬w I.¬(u & n) 2.¬(s v r) 2. .Aula de Filosofía 3. .p -> q http://www. .w -> t 5.¬q I. .¬r I.com Potenciado por Joomla! Generado: 3 September.t -> ¬q 4.r -> ¬s I-¬w 1. .¬(¬p v ¬z) 5. .m v n 155 2. . 2007.p -> ¬s I. .(r&¬p)->(s&¬p) 4.¬m v w I.u -> q 3.n -> u 7.s 2.¬t -> s 8.p -> s I. ..