Guía para claseTema 8: "Las ecuaciones exponenciales" Profesor Eduardo Chaves Barboza San José, Costa Rica 2001 Obra bajo licencia CC BY 4.0 1 8 Las ecuaciones exponenciales Anteriormente se expuso que bajo ciertas condiciones, si un objeto se coloca en un horno industrial, durante sus primeras siete horas, aumenta su temperatura de tal modo que la temperatura T en grados centígrados (°C) en t horas está dada por la función T(t) = 8 . 2t ¿Cuánto tiempo es necesario para que el objeto introducido en este horno alcance una temperatura de 512°C? Para resolver este problema, primeramente es necesario exponer la situación de una forma matemáticamente más conveniente, para ello la pregunta anterior puede replantearse de la forma siguiente: ¿Cuál es el tiempo t tal que al aplicar la fórmula 8 . 2t da como resultado una temperatura igual a 512°C? Nota que: ü El problema tiene implícito una igualdad, lo cual es indicativo de que la situación puede esbozarse convenientemente mediante una ecuación. ü La fórmula que relaciona el tiempo t y la temperatura T en grados centígrados es T = 8 . 2t ü La temperatura que se propone alcanzar es 512°C, es decir, para efectos de este problema T = 512°C ü La incógnita es el tiempo t Considerando estos puntos, la ECUACIÓN que expone convenientemente la problemática es: .......................=....................... No obstante, para responder a la pregunta, no basta con plantear la ecuación, sino que es necesario despeja la incógnita propuesta, que en el caso de la ecuación 512 = 8 . 2t es el tiempo t. En esta ecuación es importante advertir que las expresiones de ambos lados de la igualdad son potencias de base dos. Es efecto: ........ El número 512 expresado como potencia de base dos se escribe 2 , ........ el número 8 expresado como potencia de base dos se escribe 2 y ........ la expresión 8. 2t expresada como potencia de base dos se escribe 2 9 3+t Luego, la ecuación propuesta puede reescribirse como 2 = 2 Nota 4F: Este es un ejemplo de ecuación exponencial 2 Lea la siguiente afirmación: La función f:®Â+ tal que f(x) = bx con 0<b<1 o bien 1<b es biunívoca, lo que significa que para números reales r, s, w, z : 1. Si z ¹ w entonces bz ¹ bw 2. Si br = bs entonces r = s ¿De qué forma la anterior afirmación puede ayudarnos a resolver la ecuación exponencial 29 = 23+t ? Al aplicar esta afirmación al ejemplo de ecuación propuesto se tiene que: 9 3+t Si 2 = 2 entonces 9 = 3 + t , por lo tanto t = 6. Por lo tanto son necesarias seis horas para lograr que el objeto alcance los 512°C dentro del horno industrial. Ejercicios Propuestos Ejercicio 6. Si la función N(t) = 2t expresa el número N de bacterias de un cultivo bacterial en el tiempo t (en horas), ¿cuánto horas es necesario esperar para que en el cultivo hayan 64 células bacteriales? Ejercicio 7. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 35x+3 = 9 b) 7x+3 = 73x-5 1 c) 53x = 5 d) 9x-3 = 274-x 3 æ1ö x-2 e) 16 . ç ÷ = 2 è2ø x æ1ö 3 2x f) ç ÷ .2 .8 =4 è4ø Ejercicio 8. El valor de una propiedad aumenta cada año, de modo que después de t años de haberla comprado en 59049 colones, el valor V de la propiedad está dada por la función x V(t) = 59049 . 3 7 ¿En cuántos años el valor de la propiedad será igual a 14348907 colones? (le será útil saber que 59049 = 310 y que 14348907 = 315 ) 3 Ejercicio 9. Si se ingiere una dosis de 25 miligramos de un fármaco antibiótico, la cantidad C presente en el organismo se reduce por medio de la orina, en una forma tal que al cabo de x x æ1ö horas se tendrán 25 . ç ÷ miligramos de dicho fármaco ¿En cuántas horas estarán presentes è5ø 0,008 miligramos de fármaco en el organismo? (es importante tener en cuenta que 0,008 = 1 = 5-3) 125 Ejercicio 10. En una determinada porción de tejido vivo se encuentran 4 nanogramos de carbono 14, ¿cuántos años de muerto tendrá una porción semejante de tejido, si en ella se 1 encuentran 0,0625 nanogramos de carbono 14? Considere que 0,625= y recuerde que si la 16 cantidad de carbono 14 cuando el tejido vivo es P, la cantidad Q de carbono 14 presente en el organismo muerto hace t años está dado por la ecuación: t æ1ö 5570 Q = P.ç ÷ è2ø 4
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