TEMA 5: DEFORMACIÓN EN VIGAS5.1.-CONTENIDOS CURRICULARES. OBJETIVO DIDÁCTICO: CALCULAR LA DEFLEXIÓN Y PENDIENTES EN VIGAS SOMETIDAS A CARGA TRANSVERSAL CONTENIDOS CURRICULARES CONCEPTUALES PROCEDIMIENTALES ACTITUDINALES Ecuación diferencial Definición de deflexión y pendientes en vigas de la elástica Diferenciación entre los métodos para el cálculo de Cooperación en la Método de doble deflexiones y pendientes en vigas resolución de ejercicios integración Definición de curva elástica prácticos en clase. Método de área de Elaboración del diagrama de deformación momento Definición de los métodos: doble integración, área de Actitud crítica ante las Método de momento y superposición soluciones encontradas superposición Cálculo de pendientes y deflexiones en vigas al resolver un Vigas hiperestáticas Cálculo de reacciones en vigas hiperestáticas problema (Machado, Raúl 2006) 5.2.- INTRODUCCIÓN. El presente tema tiene como finalidad el estudio el comportamiento de la Deformación en Vigas. Se estudiaran tres métodos para el cálculo de la deflexión y la pendiente de una viga, estos son el método de la doble integración, método del área de momentos y el método de la superposición. Cada uno de ellos ofrece ventajas y desventajas, y la decisión de que método va a ser utilizado depende de la naturaleza del problema. El método de la doble integración es el más general y se puede utilizar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante y de derivar las ecuaciones de la pendiente y la deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de la doble integración produce ecuaciones para la pendiente y la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. El método del área de momento es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular las deflexiones de solo o unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas de preparar diagramas de momento flexionante. El método de superposición, consiste en determinar por separado la pendiente y deflexión causadas por diferentes cargas aplicadas a la viga, y luego sumarlas usa formulas estándar para la viga. Este método es fácil de usar si se usan un conjunto de formulas que están tabuladas en todos los libros de resistencia de materiales, que muestra las pendiente y las deflexiones de las vigas para diversas cargas y tipos de apoyo. También en este tema se estudian las vigas estáticamente indeterminadas, es decir apoyadas de tal manera que las reacciones en los apoyos introducen cuatro o más incógnitas. Como solo hay tres ecuaciones de equilibrio, estas deben completarse con ecuaciones deducidas de las condiciones límite impuestas por los apoyos. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 111 TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS. 5.3.-DEFLEXION EN VIGAS. En el diseño de los elementos de máquina, frecuentemente se requiere la determinación de la deflexión, ya sea la deflexión máxima o la deflexión en un punto en particular. Hay dos razones importantes por las cuales puede ser necesario un conocimiento de la deflexión de una viga. La primera es simplemente para poder predecir, la deflexión de una viga bajo carga. En elementos de maquinas, las especificaciones y otros requisitos limitan, a menudo, la deflexión que puede tolerarse. Por ejemplo, si los componentes de una maquina experimentan deflexiones excesivas o diferenciales, los engranes pueden volverse inoperantes o pueden desalinearse los componentes. Si se pueden predecir las deflexiones para las cuales las partes sometidas a flexión, pueden especificarse tolerancias adecuadas en el diseño de elementos de máquinas. Una segunda, y posiblemente aún más significativa razón para calcular las deflexiones, es que para la solución de vigas estáticamente indeterminadas se necesita la deflexión de la viga y sus características giratorias. ELÁSTICA DE UNA VIGA: es la forma que toma el eje neutro cuando se carga la viga. Una línea que muestre la forma flexionada de una viga sometida a carga es la elástica de la viga. PENDIENTE DE UNA VIGA: se define como la pendiente de la tangente a la elástica en un punto cualquiera. DEFLEXION DE UNA VIGA: es el movimiento (desviación) de un punto situado sobre la elástica, con respecto a su posición original sin carga. DIAGRAMAS DE UNA VIGA. Figura 5-1. Cinco diagramas de una viga Fuente: Resistencia de Materiales Aplicada. Robert Mott. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 112 TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Hay muchos métodos diferentes para calcular las deflexiones en las vigas. Este tema presenta tres de los más comunes: El método de la doble integración para hallar la ecuación de la curva elástica de la viga. El método del área de momentos. El método de superposición usando las formulas estándar para vigas. 5.4.- MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN. La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto. Se muestra sumamente exagerada en la figura 5-2. En esta sección se deduce la ecuación de dicha curva y cómo calcular el desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa x. Tenemos el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin deformar y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deformada. En consecuencia la curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta pendiente, tan θ = dy/dx, puede hacerse sin error apreciable, igual a θ. Por consiguiente: Considerando la variación de θ en una longitud diferencial ds, producida por la deflexión de la viga, es evidente que: Siendo ρ el radio de curvatura en la longitud de arco ds. Como la curva elástica es casi recta, ds es prácticamente igual a dx. En estas condiciones, de las ecuaciones (5-2) y (5-3) se obtiene: Al deducir la formula de la deflexión en el tema anterior se obtuvo la relación : U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 113 Vista lateral de la superficie neutra de una viga.N. El producto EI. no tienen influencias apreciables en la exactitud de la ecuación (5-6) y sustituyendo 1/ρ por su valor exacto. Integrando nuevamente la ecuación (5-7): Que es la ecuación de la elástica de la viga y que permite calcular el valor de la ordenada y en cualquier valor de x. es normalmente constante a lo largo de la viga. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Fuente: Resistencia de Materiales. junto con la ecuación (5-5). / Ing.TEMA 5. suponiendo EI constante. que se llama rigidez a la flexión. Yocias Ulacio & Ing. Singer &Pytel Po lo tanto.E. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 114 . U. su cuadrado es despreciable frente a la unidad por lo que se puede escribir: La cual coincide con la ecuación (5-6). resulta: Que es la ecuación de la pendiente y que permite determinar el valor de la misma o dy/dx en cualquier punto.F. Figura 5-2. Integrando la ecuación (5-6). el ángulo por la tangente y dx por ds. Conviene observar que en esta ecuación M no es un valor del momento sino la ecuación del momento flexionante en función de x. se tendría: Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeño. C2 es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sujeción de la viga. y C1 es una constante a determinar por las condiciones de apoyo. Las aproximaciones hechas. igualando los valores 1/ρ de las ecuaciones (d) y (5-5) resulta: Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga.M. comienzo o terminación. la cual se sustituirá en la ecuación diferencial de la elástica de una viga. se deduce que la ecuaciones de los momentos entre cada dos puntos de discontinuidad de carga son: Obsérvese que la ecuación para el tramo CD también es válida en los otros dos. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 115 . Viga con cargas externas Fuente: Resistencia de Materiales. En otras palabras. de una manera didáctica. Esto requería una ecuación de momento entre cada dos puntos sucesivos de discontinuidad de cargas (cargas aisladas. en vez de los paréntesis normales. la ecuación de momentos también tendrá la variación correspondiente.1. los términos (x-2) y (x-3)2 no tienen existencia para valores de x que hagan negativo al paréntesis. Yocias Ulacio & Ing. Afortunadamente estas complicaciones pueden evitarse escribiendo una única ecuación de momentos válida para toda la viga. pese a las discontinuidades de carga. o cambio de forma en las cargas repartidas).TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS. La determinación de estas constantes se hace muy laboriosa y se está expuesto a errores. AB y CD. EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. / Ing. Si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga.N. Con este cambio de notación se obtiene la única ecuación de momentos siguiente: Válida para toda la viga. U. Como indicación de este convencionalismo vamos a adoptar la notación con paréntesis angulares < > para que estos términos. La deducción de esta ecuación se realizará mediante la resolución del siguiente ejercicio: Se tiene la siguiente viga cargada Figura 5-3. por consiguiente dos contantes para cada tramo también. Singer & Pytel Aplicando la definición M = (∑M)izq.F.E. respectivamente. si los términos (x-2) y (x-3)2 no se tienen en cuenta para valores de x menores que 2 y 3.M. lo que daría lugar a dos integraciones para cada tramos. El presente ejercicio ilustra. la deducción de la ecuación de momento para toda la viga. E. como se indica en la figura 5-4b. escrita para el tramo DE y según la notación anterior es: En donde los términos entre paréntesis angulares no tienen existencia para valores de x que hagan negativos a los paréntesis. la ecuación general de momentos. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Fuente: Resistencia de Materiales.3. Diagrama de cuerpo libre de la viga. Obsérvese como todas las cargas quedan automáticamente incluidas en la ecuación de momentos al escribir ésta para el último tramo de la derecha de la viga. EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. Figura 5-5. Procedimiento para establecer la continuidad de las cargas. Yocias Ulacio & Ing.TEMA 5. Singer & Pytel En la cual la carga distribuida se extiende solamente en el segmento BC. Se puede crear. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 116 . Una carga concentrada de 300 N está apoyada como se indica en la figura 6-5. no a su exponente. Fuente: Resistencia de Materiales.F. / Ing. Se tiene la siguiente viga: Figura 5-4.M. que la anule a partir de C.N.2. sin embargo. EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. Determinar las ecuaciones de la elástica y la máxima deflexión en la viga. Singer & Pytel U. una continuidad suponiendo que la carga distribuida se extiende desde B hasta E y añadiendo una carga igual y opuesta. para x = 0.N.m3. 2. Su posición se puede determinar derivando la ecuación (e) respecto de x e igualando a cero esta derivada. En el otro apoyo. se aplican las condiciones de frontera siguiente: 1. igualando a cero la expresión (d) de la pendiente. El producto EIy se expresa en N.63 en la ecuación (e). la ordenada también es nula. la ordenada y = 0. DEFORMACIÓN EN VIGAS. que son físicamente iguales a la pendiente y a la ordenada en el origen. Puesto que este valor de x pertenece al tramo AB se confirma la hipótesis de que la máxima deflexión ocurre en este tramo. o bien. Por tanto.F. Ahora para obtener su valor. Conocido C2 = 0 y sustituyendo en la expresión (c).M. en la que U. se obtiene: Determinadas las constantes de integración y sustituidos los valores en (b) y (c). para x = 3. Tramo AB (0 ≤ x ≤ 2) (d) (e) Tramo BC (2 ≤ x ≤ 3) (f) (g) Calculemos ahora la máxima deflexión para lo cual se supone que se encuentra en el tramo AB. / Ing. hallando el punto de pendiente nula. lo que da: El valor negativo indica que la ordenada y está por debajo del eje X. aplicando la ecuación diferencial de la elástica e integrando dos veces. que harían negativo el paréntesis. En A.E. ya que proviene de la doble integración de la ecuación (5-6). reservando la y para las ordenadas. se pueden escribir las expresiones de la pendiente y de la ordenada de la elástica en su forma convencional. Yocias Ulacio & Ing. Con frecuencia solo interesa el valor de la deflexión. se obtienen las siguientes expresiones para la pendiente y ordenadas: (a) (b) (c) Para determinar las dos contantes de integración. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 117 . Sustituyendo estos valores en la ecuación (c) se obtienen C2 = 0. se sustituye x = 1.TEMA 5. sin indicación de signo y entonces se representa por δ. Solución: Escribiendo la ecuación general de momentos para el último tramo BC de la viga. es decir. Recordemos que no existe para valores de x menores que 2. No se tiene en cuenta los términos entre paréntesis angulares sino negativos. Diagrama de cuerpo libre de la viga. el valor de y es: En donde: EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. y la segunda integración da N.5 x 10-6 m4. Singer & Pytel Solución: Es la misma viga de la figura 5-5 para la que ya se había escrito la ecuación general de momentos ecuación (h) de la sección 5-4. Hallar el valor de EIy en el punto medio entre apoyos y en el extremo volado de la viga de la figura 5-6. Yocias Ulacio & Ing.m3. lo que da C2 = 0.F. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 118 . en la ecuación del tramo DE en la que se tienen en cuenta todos los términos. se obtiene y en m. como unidades de EIθ correspondiente a la pendiente. M se expresa en N.M. con lo que el valor de la ordenada en el extremo es U.TEMA 5. y = 0. si E = 10 x 109 N/m2 e I = 1. Por ejemplo. se hace x = 8. Aplicando la ecuación diferencial de la elástica e integrando dos veces resulta: Para determinar C2 observemos que para x = 0. Expresando E en N/m2 e I en m4.resulta: Análogamente.m2. Fuente: Resistencia de Materiales.4.m.N. / Ing. La primera integración da N.5 x 106 mm4 = 1.E. para x = 6. Figura 5-6. DEFORMACIÓN EN VIGAS. y = 0. Aplicando la otra condición de apoyo. o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualquiera A y B.F. Se comienza.N. es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos”. / Ing. no se pierde el significado físico de lo que se está calculando. Yocias Ulacio & Ing. En este método interviene el área del diagrama de momentos y el momento de dicha área.E. en primer lugar. más que para hallar la ecuación la ecuación general de la elástica. Matemáticamente se puede expresar así: Teorema II: “La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A. una vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos.TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS. es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B del área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y B”. El método está especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos determinados..METODO DEL ÁREA DE MOMENTOS.M. en dirección perpendicular a la inicial de la viga. A continuación se enuncian los dos teoremas básicos para el método del área de momentos: Teorema I: “La desviación angular. Matemáticamente se expresa así: Figura 5-7. luego.5. U. Ilustración de los dos teoremas del método del área de momentos. Fuente: Resistencia de Materiales Aplicada. se aplica el método a varios tipos de problemas. Robert Mott. por los dos teoremas básicos de este método. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 119 . 5. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 120 .E. Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales. Beer Johnoston. donde M = 0. / Ing. la distancia xD del extremo A al punto D de la viga. m2. Usando el primer teorema de momento de área se tiene: U. Yocias Ulacio & Ing. asignándose signo positivo al área localizada arriba del eje x y signo negativo a la ubicada debajo de dicho eje. a los segmentos AD y DB. Determine la pendiente y deflexión en el extremo B de la viga prismática volada AB cuando está cargada como se indica (figura 5-8) si se sabe que la rigidez de flexión de la viga es EI = 10 MN. Solución: Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 5-9a) al sumar las componentes verticales y los momentos respecto a A.m en sentido contrario de la agujas del reloj. DEFORMACIÓN EN VIGAS. En seguida. Beer Johnoston. se encuentra que la reacción en el extremo fijo A consta de una componente d fuerza vertical RA de 50 kN y un par MA de 60 kN . Figura 5-8. Diagrama de cuerpo libre y diagrama de momento flector de Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales.5.F. se dibuja el diagrama (M/EI) (figura 5-10) y se calculan las áreas que corresponden. Figura 5-9.M. se dibuja el diagrama de momento flector (figura 5-8b) y se determina a partir de triángulos semejantes. respectivamente.N. EJERCICIO IUSTRATIVO 5. Dividiendo la rigidez a flexión EI se obtienen los valores obtenidos para M.TEMA 5. con el segundo teorema de momento de área se escribe la desviación tangencial tA/B es igual al primer momento respecto a un eje vertical que asa por B del área total entre A y B.F.E. DEFORMACIÓN EN VIGAS.M. U. Beer Johnoston. Diagrama de momento flector de Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales. Y como θA = 0 Ahora. Expresando el momento de cada área parcial como el producto de dicha área con la distancia de su centroide al eje que pasa por B. Figura 5-10. Beer Johnoston. la deflexión en B es igual a tA/B y se tiene que: En la figura 5-11 se ha bosquejado la viga una vez deflectada Figura 5-11.N. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 121 . Yocias Ulacio & Ing. / Ing. se tiene: Como la tangente de referencia es A es horizontal. Diagrama de cuerpo libre de Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales.TEMA 5. E. queda: Figura 5-13. determine. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 122 . Tangente de referencia: Se elige la tangente horizontal en el extremo fijo B como la tangente de referencia.F. Si se sabe que la rigidez a flexión es EI en el tramo AD de la viga y 2EI en el tramo DB.N. Los travesaños prismáticos AD y DB se encuentran soldados entre sí para formar la viga volada ADB. Beer Johnoston. para la carga que se muestra en a figura. DEFORMACIÓN EN VIGAS. / Ing. Pendiente en A: Al dividir el diagrama (M/EI) en las tres pares que se muestran. Yocias Ulacio & Ing.M. Como θB = 0 y yB = 0.6. Figura 5-12. EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. la pendiente y la deflexión en el extremo A. Solución: Diagrama (M/EI): Primero se dibuja el diagrama de momento flector para la viga y después se obtiene el diagrama (M/EI) dividiendo el valor de M en cada punto de la viga entre el valor correspondiente de rigidez a flexión. Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales. se tiene: Al usar el primer teorema de momento de área queda: U.TEMA 5. TEMA 5. Figura 5-14. Al mirar el boceto se observa que como θC = 0. determine la pendiente y la deflexión en el extremo E.7.N. Para la viga prismática y la carga que se muestra en la figura. se tiene: EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.M. se determinan las reacciones y después se dibujan los diagramas de momento cortante y flector.F. se tiene que: Con la ecuación (1) queda: U. DEFORMACIÓN EN VIGAS. la tangente en C es horizontal y se utiliza como tangente de referencia. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 123 . Deflexión en A: Con el segundo teorema de momento de área. Como la rigidez a flexión de la viga es constante. se divide cada valor de M entre EI y se obtiene el diagrama (M/EI) que se muestra. Solución: Diagrama (M/EI): Del diagrama de cuerpo libre de la viga. (1) (2) Pendiente en E: Con referencia al diagrama (M/EI) y usando el primer teorema de momento de área. Tangente referencial: Como la viga y su carga con simétrica respecto al punto medio C.E. E.METODO DE SUPERPOSICIÓN. sobre todo cuando las cargas son una combinación de los tipos que aparecen en la tabla 6.N. el método requiere integración.M. esto es. Si de lo que se trata es de calcular la deflexión o la pendiente en un punto determinado. Deflexión en E: Al emplear el segundo teorema de momento de área. La aplicación del método de superposición presenta notables ventajas. Yocias Ulacio & Ing.F. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 124 . la actuación de cada carga no debe influir en la forma de actuar de las demás.. / Ing. DEFORMACIÓN EN VIGAS. lo mejor es el método del área de momentos.6. U. La única restricción o condición impuesta para poder aplicar este método es que cada carga aislada no debe producir un cambio apreciable en la forma inicial o en la longitud de la viga.2. Para cargas parcialmente distribuidas. por cada una de las cargas cuando estas actúan por separado. se tiene que: Al usar la ecuación (2) queda: 5. es preferible el método de la doble integración. en ese mismo punto. Este método determina la pendiente y la deflexión en un punto de una viga por suma de las pendientes o de las deflexiones producidas. En tales casos.TEMA 5. TEMA 5.F.E. DEFORMACIÓN EN VIGAS.N. U.M. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 125 . Yocias Ulacio & Ing. / Ing. M. U. / Ing.N.E. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 126 .TEMA 5.F. Yocias Ulacio & Ing. TEMA 5. EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. la defección en la figura 5-16c se expresa como: Y diferenciado con respecto a x: U.03 y escribirse: Por otra parte.8. sabiendo que la rigidez a flexión de la viga es EI = 100 MN. recordando la ecuación de la curva elástica obtenida para la carga uniformemente distribuida . / Ing. Solución: La pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga pueden obtenerse superponiendo las pendientes y deflexiones causadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga distribuida (figura 5-16) Figura 5-16. Yocias Ulacio & Ing.M. DEFORMACIÓN EN VIGAS.E. Figura 5-15. Determine la pendiente y deflexión en D para la viga y carga mostradas (figura 5-15).m2. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 127 .N. Como la carga concentrada en la figura 5-16b se aplica a un cuarto del claro.F. pueden usarse los resultados obtenidos para la viga y carga del ejemplo 9. Figura 5-17. Haciendo w = 20 kN/m.9. Solución: Principio de Superposición: La carga puede obtenerse superponiendo las cargas mostradas en la siguiente “película de ecuación de carga”.E. determine la pendiente y la deflexión del punto B. Figura 5-18. / Ing. Para la viga y carga mostradas en la figura. naturalmente la misma en cada parte de la figura.TEMA 5. Para cada una de las cargas I y II. La viga AB es. en las ecuaciones (b) y (a).N. se tiene: Combinando las pendientes y deflexiones producidas por las cargas concentradas y distribuidas se obtiene: EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. U. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 128 . la pendiente y la deflexión en B se determinan usando la tabla de deflexiones y pendientes de viga. y L = 8 m.M.F. Yocias Ulacio & Ing. x = 2 m. 7.M. EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. Todas las vigas que se han estudiado anteriormente han sido estáticamente determinadas.VIGAS HIPERESTÁTICAS.F.10. Es decir. y también debe procederse con el cálculo de la pendiente y la deformación en algunos puntos de la viga. U. / Ing. Para vigas estáticamente indeterminadas (hiperestáticas). cuando se van a determinar las reacciones en los apoyos deben emplearse las ecuaciones de equilibrio estático. todas las reacciones de la viga pueden determinarse mediante las leyes de la estática solamente. Carga I Carga II En la porción CB el momento flector para la carga II es cero. y por tanto.E. la curva elástica es una línea recta. Determine las reacciones en los apoyos para la viga prismática de la figura 5-19a.N. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 129 . Yocias Ulacio & Ing. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Figura 5-19.TEMA 5.. Pendiente en el Punto B Deflexión en el Punto B 5. se tiene: (a) Ecuación de la curva elástica: dibujando el diagrama de cuerpo libre de una porción de viga AC (figura 926). Resolviendo la ecuación (939) para M y llevando este valor a la ecuación (94): Integrando en x: Refiriéndose a las condiciones de frontera de la figura 5-21 se hacen x = 0. la ecuación (d) puede formularse de la siguiente manera: U. se escribe: Figura 5-20.F. Yocias Ulacio & Ing. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 130 . θ = 0 en la ecuación (d) y se concluye que C1 = C2 = 0. / Ing.M. Así.E. Ecuaciones de equilibrio: del diagrama de cuerpo libre de la figura 5-19b.TEMA 5.N. La viga parcialmente en voladizo de acero ABC soporta una carga concentrada P en el extremo C. Figura 5-21. Yocias Ulacio & Ing. Figura 5-22. se obtienen las reacciones en los apoyos: EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. Usando el diagrama de cuerpo libre de la porción AD de longitud x.N. b) Determine la deflexión máxima. / Ing. Pero la tercera condición de frontera requiere que y = 0 para x = L.F. Solución: Diagramas de Cuerpo Libre: Reacciones RA = Pa/L ↓ RB = P(1+a/L)↑. c) calcule ymax para los siguientes datos: W 14 X 68 P = 50 kips I = 723 in4 L = 15 ft = 180 in E = 29 x 106 psi a = 4 ft = 48 in.M. Llevando estos valores a la ecuación (e) Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente con las tres ecuaciones de equilibrio (a) .E. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Para la porción AB de la viga: a) Obtenga la ecuación de la curva elástica. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 131 .TEMA 5.11. se tiene: U. / Ing. se integra dos veces: Determinación de constantes: Para las condiciones de fronteras mostrada. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 132 . y = 0]: De la ecuación (b). se determina la abscisa xm del punto E: Sustituyendo xm/L = 0. DEFORMACIÓN EN VIGAS.E. se escribe a)Ecuación de la curva elástica: Sustituyendo C1 y C2 en las ecuaciones (a) y (b): b) Deflexión máxima en la porción AB: La deflexión máxima ymax ocurre en E. donde la pendiente de la curva elástica es cero. en la ecuación (d) se tiene: U. Ecuación diferencial de la curva elástica: Se utiliza la ecuación 9.4 y se escribe: Notando que la rigidez a flexión EI es contante. Yocias Ulacio & Ing.577L. y = 0]: Usando nuevamente la ecuación (b).TEMA 5. se tiene: [x = 0.N.M.F. Haciendo dy/dx = 0 en la ecuación (c). se encuentra C2 = 0 [x = L. b) La pendiente en el extremos A.E. el valor de ymáx es: EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.32). se encuentra C2 = 0 Usando nuevamente la ecuación (c). Solución: Ecuación diferencial de la curva elástica: De la ecuación (9. determine: a) La ecuación de la curva elástica.F. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 133 . DEFORMACIÓN EN VIGAS. Para la viga y cargas mostradas. Igualando la ecuación (1) dos veces: Condiciones de frontera: [x = 0. c)Evaluación de ymáx: Para los datos dados. c) La deflexión máxima Figura 5-23. M = 0]: [x = L.N. / Ing. se escribe U. M = 0]: De la ecuación (c).M.12.TEMA 5. Yocias Ulacio & Ing. y = 0]: [x = L. Figura 5-23.TEMA 5. se halla que C3 = 0 a)Ecuación de la curva elástica b)Pendiente en el extremo A Para x = 0 c)Deflexión máxima Para EJERCICIO ILUSTRATIVO 5. determine: a) La reacción en A. Así Integrando dos veces la ecuación (4): Condiciones de Frontera: [x = 0. b) Obtenga la ecuación de la curva elástica. / Ing. y = 0]: Usando la ecuación (f). Para la viga uniforme AB.F.M. DEFORMACIÓN EN VIGAS.N. se tiene que C4 = 0 De la ecuación (f).13. U. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 134 . Yocias Ulacio & Ing.E. c) La pendiente en A (Nótese que la viga es estáticamente indeterminada de primer grado). E. y = 0]: C2 = 0 (c) (d) (e) a)Reacción en A: Multiplicando la ecuación (d) por L.TEMA 5. se escribe: Ecuación diferencial de la curva elástica: Se utiliza la ecuación (9. C1 y C2 en la ecuación (b): U. se integra dos veces y se obtiene: Condiciones de frontera: En el esquema se muestran las tres condiciones de frontera que deben satisfacerse [x = 0. y = 0]: [x = L. restando miembro a miembro la ecuación (e) de la ecuación obtenida y notando que C2 = 0 se tiene: Note que la reacción es independiente de E y de I. / Ing.N. θ = 0]: [x = L.4) y se escribe: Notando que la rigidez a flexión EI es constante. Solución: Momento flector: Usando el diagrama de cuerpo libre mostrado. Sustituyendo en la ecuación (d).F. Yocias Ulacio & Ing. se tiene: b)Ecuación de la curva elástica: Sustituyendo RA. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 135 .M. 8. DEFORMACIÓN EN VIGAS.F. Esta herramienta para autoevaluación. saque sus propias conclusiones de manera reflexiva de lo aprendido y cómo lo podrá aplicar estos conocimientos en el campo laboral... Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 136 . por lo tanto cuando esté considerando las preguntas.. c)Pendiente en A: Derivando la ecuación anterior con respecto a x: Haciendo x = 0.¿Cual es el procedimiento para determinar la deflexión y la pendiente de una viga por el método del área del momento? 5.E. Si no ha entendido algo. es decir.. irá avanzando y aprovechando lo que aprendió del tema anterior.AUTOEVALUACION.¿Cuál es el procedimiento para determinar las reacciones de una viga hiperestática? U. Instrucciones: Lea con cuidado y despacio cada pregunta. Por último.¿Cual es el procedimiento para determinar la deflexión y la pendiente para un punto determinado para una viga cargada? 6. está diseñada para ayudarle a evaluar sus conocimientos sobre el presente tema. consulte la teoría correspondiente. No conteste basándose en falsos supuestos teóricos Cada tema es progresivo. 1..¿A que se llama deflexión de una viga? 2.. se tiene: 5.¿Que es la pendiente de una viga? 3. contéstelas basándose en los fundamentos teóricos. no se apresure en el proceso..M.¿Cual es el procedimiento para determinar la ecuación de la deflexión y de la pendiente de una viga por el método de la doble integración? 4. / Ing.TEMA 5.N. Yocias Ulacio & Ing. U. TEOREMA II DEL METODO DEL AREA DE MOMENTO. DEFORMACIÓN EN VIGAS. Yocias Ulacio & Ing.M.E.F.TEMA 5. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 137 .RESUMEN DE ECUACIONES. 5..9. / Ing.N. ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN: ECUACIONES DE LA PENDIENTE: ECUACION DE LA DEFLEXION: TEOREMA I DEL METODO DEL AREA DE MOMENTO. Yocias Ulacio & Ing. b) .F. b) . a) . b) .N. a) . P-503 Figura P-504 Resp. c) La pendiente en B.M.Para la carga mostrada en las figuras.-EJERCICIOS PROPUESTOS.TEMA 5.. determine a) La ecuación de la curva elástica para el tramo AB de la viga. c) La pendiente en el extremo libre. DEFORMACIÓN EN VIGAS. determine a) La ecuación de la curva elástica en voladizo AB. EI: Rigidez a flexion de la viga. Figura. 5. 501 a 504. P-501 Figura P-502 Resp. b) La pendiente en A. b) .E. Centroide del área AB.10. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 138 . c) Resp. b) La deflexión del extremo libre. Donde: Deflexion. c) Resp. Constantes de integración. / Ing. Angulo entre las tangentes a la curva elástica dibujada en dichos puntos. Area del diagrama M/EI entre A y B.Para la viga y carga que se muestran en la figura. Pendiente. a) . U. Desviación tangencial de A a B. 505. c) Figura. a) c) .. b) La pendiente en el extremo B. c) La pendiente en B. Figura. c) 507.Para la viga y carga que se muestran en la figura. Yocias Ulacio & Ing. DEFORMACIÓN EN VIGAS.F. suponiendo que la viga AB es de acero laminado W18 x 50 y que ωo = 4. a) Exprese la magnitud y ubicación de la máxima deflexión en términos de ωo. Figura. c) La deflexión en C. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 139 . P-507 Figura P-506 508. P-505 Figura P-506 506.. Figura. P-509 Figura P-510 U.E.. determine a) La ecuación de a curva elástica para el tramo AC de la viga. L.N.Para la viga en voladizo con la carga P que se ilustra..M.TEMA 5.. b) La deflexión en mitad del claro. encuentre a) La ecuación de la curva elástica para el tramo BC de la viga. a) . / Ing. L = 18 ft y E = 29 x 106 psi.5 kips/ft. b) Calcule el valor de la deflexión máxima. Resp. E. b) La deflexión en B. I. P-508 Figura P-506 509 y 510. b) .Para la viga y carga mostradas. Figura.Para la viga en voladizo y la carga mostrada en la figura. c) La pendiente en B. halle a) La ecuación de la curva elástica para el tramo AB de la viga. E.Si se sabe que a viga AE es una S200 x 27.Para la viga y carga mostrada en la figura.. Figura. P-511 Figura P-510 512.. a) . P-513 Figura P-514 515. Mo = 224 kN.2 mm. L = 2.5 m y E = 200 GPa.N. Calcule el valor máximo permisible del momento aplicado Mo si la deflexión máxima no debe exceder de 1 mm. Considere E = 200 Gpa. Resp.M. determine la longitud máxima permisible L de la viga si la deflexión no ha de exceder de 1.a) Determine la localización y magnitud de la deflexión máxima de la viga AB.F. / Ing. L = 3. b) Resp.. a) .a) Encuentre la localización y magnitud de la deflexión máxima absoluta en AB entre A y el centro de la viga. determine a) La ecuación de la curva elástica para el tramo BD. b) La deflexión en el centro C de la viga.09 m 513 y 514. b) 511. P-512 Figura P-510 Resp. DEFORMACIÓN EN VIGAS. b) 6. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 140 . determine la deflexión en el Punto C.TEMA 5. U. a) . b) Suponiendo que la viga AB es una W360 x 64.5 kN. Figura.5 m y E = 200 GPa.m y E = 200 GPa.4 de acero laminado y que P = 17. Figura. b) Suponiendo que la viga AB es una W460 x 113. Yocias Ulacio & Ing.. encuentre la distancia del centro de la viga desde el eje x. Figura. P-515 Figura P-514 Resp. b) 516. P-516 Figura P-514 517 y 518. / Ing. . DEFORMACIÓN EN VIGAS. Resp. a) Seleccionando el eje x como la línea que une los puntos A y E en los extremos de la viga.. determine la ecuación de la curva elástica para el tramo AB de la viga. Figura.M. Figura. P-519 U.F.E.. a) . b) Sabiendo que la viga es una W200 x 35.TEMA 5. w = 5 kN/m y E = 200 GPa. Figura. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Figura P-520 Página 141 .N. Yocias Ulacio & Ing.Halle la reacción en el apoyo deslizante y la deflexión en el punto D. como se muestra en figura.9 de acero laminado y que L = 3 m. 519 y 520. .Se aplican cargas uniformemente distribuidas a la viga AE. si se sabe que a es igual a L/3..Determine la reacción en A y dibuje el diagrama de momento flector para la viga y carga que se muestran en las figuras. P-517 Figura P-518 Resp. ...Para la viga y carga mostradas en la figuras. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 142 .Para la viga y carga ilustradas. 524.F. DEFORMACIÓN EN VIGAS. halle a) La ecuación de la curva elástica. Yocias Ulacio & Ing.TEMA 5.N. / Ing. Figura. b) . Figura.M. encuentre a) La ecuación de la curva elástica..Para la viga y carga representadas.E. 521 y 522. halle a) La deflexión en el extremo A. determine a) La ecuación de la curva elástica. P-523 Figura P-522 Figura. P-521 Figura P-522 Resp. C) 525 y 526. b) La deflexión en el punto B. U.Para la viga y carga mostradas en las figuras. b) El punto de deflexión. c) La pendiente en el extremo D. P-524 Figura P-522 Resp. b) La deflexión en el punto B. 521) a) – b) C) 522) a) b) C) 523. a) . c) La deflexión en el punto C. b) La pendiente en el extremo A. c) La deflexión en el punto C. b) La deflexión en punto A. determine a) La ecuación de la curva elástica. P-528 Figura P-526 529. P-527 Figura P-526 Resp. Considere E = 200GPa. Figura.. b) La deflexión en el punto C. halle a) La pendiente en A. b) La deflexión en el punto medio C.E.M. encuentre a) La pendiente en A. P-525 Figura P-526 527. a) b) C) 528. U. / Ing.F.TEMA 5.. Figura. Considere E = 29 x 106 psi. a) b) 530. DEFORMACIÓN EN VIGAS.6 x 106 psi.. determine a) La pendiente en el extremo A. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 143 . c) La deflexión en el punto C. Figura. Figura..Para la viga y carga ilustradas en la figura.N. P-529 Figura P-526 Resp. b) La deflexión en el punto medio C.Para la viga y carga que se muestran. Yocias Ulacio & Ing.Para la viga de madera y la carga mostradas en la figura.Para la viga y carga representadas en la figura. Considere E = 1. TEMA 5. P-531 Figura P-526 Resp. determine a) La pendiente en el extremo A. determine a) La deflexión del punto medio C.Para la viga en voladizo y carga ilustradas en las figuras. P-530 Figura P-526 531. Figura. Figura. Figura. b) La deflexión en el punto medio C.M. Figura. 532 a) 533 a) b) b) 534 y 535.F. P-532 Figura P-533 Resp.Para la viga y carga que se ilustran en la figura... Considere E = 200GPa. / Ing. b) La pendiente en el extremo A. DEFORMACIÓN EN VIGAS.. a) b) 532 y 533. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 144 .N. P-534 Figura P-535 U. encuentre la pendiente y deflexión del extremo libre.Para la viga y carga mostradas.E. 536 537 538. determine a) La pendiente en el extremo A.F. 539 a) 540 a) b) b) 541. P-539 Figura P-540 Resp. DEFORMACIÓN EN VIGAS.N. determine a) La pendiente en el extremo libre. Considere E = 200 GPa.E.. / Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 145 . Figura. U..Para la viga W360 x 39 y la carga mostradas en las figuras. b) La deflexión en el extremo libre. P-536 Figura P-537 Resp. Yocias Ulacio & Ing.Para la viga en voladizo y las cargas representadas en las figuras. Figura.M.TEMA 5. 536 y 537. Figura. halle la pendiente y deflexión en el punto C. P-538 Figura P-535 539 y 540 Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se muestra en la figura. Considere E = 200 GPa. b) La deflexión en el punto C.Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se observa en la figura. halle a) La deflexión en el punto A.. .Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se muestra en la figura.TEMA 5. determine a) La pendiente en el punto C. U. a) b) 542. Si se sabe que E = 29 x 106 psi. Considere E = 29 x 106 psi. encuentre a) La pendiente en el punto A. P-541 Figura P-535 Resp.Para la viga en voladizo y la carga ilustradas en la figura. encuentre la deflexión y pendiente en el extremo D. b) La deflexión en el punto A.Dos perfiles C6 x 8. causadas por el par Mo. b) La deflexión en D.2 están soldados por su parte posterior y sostienen la carga que se indica. DEFORMACIÓN EN VIGAS. b) La deflexión en el punto C. P-544 Figura P-535 Resp. Yocias Ulacio & Ing. / Ing. a) b) 545. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 146 .E. P-543 Figura P-535 544.F.. halle a) La pendiente en D.N. Figura.Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se ilustra en la figura.. Figura. Figura.M. Figura. P-542 Figura P-535 543. Considere E = 29 x 106 psi.. E. Figura. Yocias Ulacio & Ing.F. DEFORMACIÓN EN VIGAS.M.N.TEMA 5. / Ing. P-545 Figura P-535 U. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 147 .