TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014SISTEMAS MECÁNICOS TEMA 3. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS. MÉTODOS ANALÍTICOS 3.0 Objetivo ◦ Poder calcular la posición, velocidad y aceleración de cualquier punto o eslabón del mecanismo. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. MÉTODOS ANALÍTICOS 1 Sin embargo.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS 3. biela-manivela y deslizadera. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. Además. ya que derivar dos veces es complicado (en muchos casos. Esto hace que el análisis trigonométrico sólo se use en casos concretos. Este puede ser el caso de los tres mecanismos elementales: cuatro barras. las ecuaciones que se obtienen son demasiado complejas. MÉTODOS ANALÍTICOS 2 . imposible).1 Método trigonométrico Este método puede ser adecuado para calcular la posición de los eslabones en mecanismos de cuatro eslabones. no se utiliza para calcular velocidades y aceleraciones. 3.2. y posición definida por el vector de posición RPA. ver este enlace: http://descartes. con pivote en el punto A.1. y sustituye los vectores por números complejos expresados en forma exponencial. Introducción El análisis por números complejos parte de la ecuación de cierre.es/materiales_didacticos/Los_numeros_co mplejos/index.2 Método de Raven 3. El principal inconveniente reside en la dificultad para resolver los sistemas de ecuaciones planteados.htm Tenemos un eslabón PA en rotación pura. Se requiere conocer la velocidad del punto P cuando el eslabón se somete a una velocidad angular ω: RPA = p ejθ TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. Expresiones empleadas Para repaso de conceptos relacionados con numeros complejos. que hoy en día está superado con el empleo de la informática. Pasando a la forma trigonométrica. MÉTODOS ANALÍTICOS 3 . para despejar las incógnitas que se deseen calcular.mec.2.2.cnice. y separando la parte real e imaginaria. se plantea un sistema de ecuaciones lineal. Este método recibe el nombre de Método de Raven.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS 3. puesto que está referida al punto A.3. Mecanismo de cuatro barras 3.2. antihorario). lo cual provoca una rotación de 90 grados de este vector de velocidad con respecto del vector de posición original (en sentido angular.3. es decir. 3.1 Posición. Supondremos conocidas las dimensiones de las barras (r i) y la posición.2. La expresión también ha sido multiplicada por el factor ω.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS VPA = p j ejθ dθ/dt = p ω j ejθ = ω j RPA = p ω j (-sen θ + j cos θ) La expresión ha sido multiplicada por el operador complejo j. La velocidad VPA puede designarse como velocidad absoluta. La velocidad está siempre en una dirección perpendicular al radio de rotación y tangente a la trayectoria del movimiento. MÉTODOS ANALÍTICOS 4 . aceleración y velocidad de la barra 2. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. como eslabón de entrada. origen del coordenadas. 3.htm 3. y dθi/dt = ωi. tenemos: r1 ( cos θ1 + j sen θ1 ) = r2 ( cos θ2 + j sen θ2 ) + r3 ( cos θ3 + j sen θ3 ) + r4 ( cos θ4 + j sen θ4 ) Igualando términos reales e imaginarios: r1 cos θ1 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3 + r4 cos θ4 r1 sen θ1 = r2 sen θ2 + r3 sen θ3 + r4 sen θ4 Resolviendo el sistema. teniendo en cuenta que θ1 es constante. r1ejθ1 = r2ejθ2 + r3ejθ3 + r4ejθ4 Aplicando la identidad de Euler. obtenemos los valores de θ3 y θ4 en función de θ2 y las longitudes ri.2 Velocidad. Derivando la ecuación de lazo vectorial respecto del tiempo.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS La ecuación de lazo vectorial para este mecanismo es: R1 = R2 + R3 + R4 Sustituyendo por la notación de número complejo. 02A.2.com/mechanism/CrankRocker. partiendo de θ 2. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. MÉTODOS ANALÍTICOS 5 . http://www. ω2. tenemos la expresión para la velocidad: jr2 ω2ejθ2 + jr3 ω3ejθ3 + jr4 ω4ejθ4 = 0 Se pueden obtener las tres velocidades.brockeng. tenemos: j r2 ω2 ejθ2 + j r3 ω3 ejθ3 + j r4 ω4 e jθ4 = 0 (r2 α2 j ejθ2 – r2 ω22 ejθ2) + (r3 α3 j ejθ3 – r3 ω32 ejθ3) + (r4 α4 j ejθ4 – r4 ω42 ejθ4) =0 De este modo. MÉTODOS ANALÍTICOS 6 . teniendo en cuenta que dωi/dt = αi. se puede hallar la aceleración angular de los eslabones 3 y 4. se sustituye la identidad de Euler anterior.2. que corresponden a las ramas abierta y cruzada del mecanismo.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS Y para obtener ω2 y ω3. despejando α3 y α4. con lo que se pueden obtener los valores en función de los datos conocidos.y d(f*g)/dt = f'g + fg'. Hay dos soluciones para este problema de velocidad.3 Aceleración. Derivando dos veces con respecto al tiempo. 3. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO.3. para poder definir la posición de los puntos. tendremos que definir un sistema de coordenadas. Posición. Por otro lado. velocidad y aceleración lineal de cualquier punto. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. De este modo. Este vector tendrá un módulo “g” fijo y un ángulo θg variable. bastará con dar su distancia al origen de la barra (g) y el ángulo que forma la línea que lo une al origen de la barra con la propia barra (Φ). para definir la posición de un punto en un eslabón. velocidades y aceleraciones de los eslabones del mismo. velocidad y aceleración de un punto de un mecanismo.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS 3. hemos de calcular previamente las posiciones. Para calcular la posición. Mecanismo de cuatro barras.4. se define con un vector g respecto al origen de la barra. MÉTODOS ANALÍTICOS 7 . Este ángulo lo podemos escribir en función del ángulo de la barra.2. θi . La posición de un punto P dentro de un eslabón cualquiera.más el ángulo Φ que forma g con la barra: θg = θi + Φ. y por lo tanto. La posición de un punto P dentro de un eslabón cualquiera.5. Este ángulo lo podemos TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. se trata de determinar la posición. todos los puntos del mismo se mueven con la misma velocidad y aceleración.2.brockeng.2. MÉTODOS ANALÍTICOS 8 .5. velocidad y aceleración lineal de cualquier punto de los eslabones 2 y 3.htm 3.com/mechanism/SimpleCrank. se define con un vector g respecto al origen de la barra. Mecanismo de biela-manivela. http://www.1 Posición.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS 3. En este caso. Este vector tendrá un módulo “g” fijo y un ángulo θg variable. ya que el eslabón 4 se mueve con traslación pura. más el ángulo Φ que forma g con la barra: θg = θi + Φ. tendremos las componentes de la velocidad lineal para cada punto. MÉTODOS ANALÍTICOS 9 . y eje OX en la dirección y sentido del vector de posición r4. θi . las componentes del vector de posición quedan: Xp2 = g2 cos (θ2 + Φ2) . el vector de posición h3 será: h3 = r2 + g3 = r2 ejθ2 + g3 ej(θ3+Φ3) Respecto a un sistema de referencia cartesiano con origen en 0 2.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS escribir en función del ángulo de la barra.5. el vector de posición h2 coincide con el vector g2. Escribiendo h2 en forma exponencial: h2 = g2 ej(θ2+Φ2) Respecto a un sistema de referencia cartesiano con origen en 0 2. Yp2 = g2 sen (θ2 + Φ2) Para un punto P3 del eslabón 3. Yp3 = r2 sen θ2 + g3 sen (θ3 + Φ3) 3. Para un punto P2 del eslabón 2.2. y eje OX en la dirección y sentido del vector de posición r4. las componentes del vector de posición quedan: Xp3 = r2 cos θ2 + g3 cos (θ3 + Φ3) . Derivando la expresión del vector de posición de cada eslabón en su forma módulo argumental.2 Velocidad. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. 2.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS Para un punto P2 del eslabón 2: h2 = g2 ej(θ2+Φ2) .3 Aceleración.r2 ω2 sen (θ2) + . su velocidad viene dada por: v3 = j r2 ω2 ej(θ2) + j g3 ω3 ej(θ3+Φ3) Sus componentes respecto del sistema cartesiano serán: v3x = . tendremos la aceleración lineal de cada punto. v2y = g2 ω2 cos (θ2+Φ2) Para un punto P3 del eslabón 3.5. Derivando con respecto al tiempo el vector velocidad. v3y = r2 ω2 cos (θ2) + g3 ω3 cos (θ3+Φ3) 3. MÉTODOS ANALÍTICOS 10 .g2 ω2 sen (θ2+Φ2) . v2 = j g2 ej(θ2+Φ2) d (θ2+Φ2)/dt = j g2 ω2 ej(θ2+Φ2) Sus componentes respecto del sistema cartesiano serán: v2x = . para cada punto de cada eslabón. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO.g3 ω3 sen (θ3+Φ3) . 6. MÉTODOS ANALÍTICOS 11 . entre los puntos A y B. cambiará cuando pasa por el bloque deslizante del eslabón 4. Hay un ángulo fijo γ en el eslabón 4 que define el ángulo de la ranura con respecto a ese eslabón. En este ejemplo.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS 3. Se colocó un sistema local de ejes en el punto B para definir θ3. Mecanismo de cuatro barras manivela-corredera invertido. tenemos la ecuación: R2 = R3 + R4 + R1 Todos los mecanismos de corredera tendrán por lo menos un eslabón cuya longitud efectiva entre las juntas variará a medida que se mueve el mecanismo. El sistema de coordenadas global se considera con su origen en el pivote 02 de la manivela de entrada y el eje positivo X a lo largo del eslabón 1.5. la bancada. la longitud del eslabón 3. 3. También hay que tener en cuenta la relación entre θ3 y θ4: TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO.1 Posición.2. designada como b.2. De acuerdo con la figura 4-10b. con lo que ω3 y ω4 son iguales. tenemos como incógnitas θ2 . 3.5.c sen θ4 ) / (sen θ3 ) P sen θ4 + Q cos θ4 + R = 0 También hay que tener en cuenta que se deben calcular los valores de la longitud del eslabón b por cada θ4. De este modo. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. tenemos la expresión para la velocidad: jaω2ejθ2 . θ3 y b. Sustituyendo por la notación de número complejo. d y θ1 son constantes.2 Velocidad. a cos θ2 = b cos θ3 + c cos θ4 – d a sen θ2 = b sen θ3 + c sen θ4 De este modo. b = (a sen θ2 .TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS θ3 = θ4 +/. teniendo en cuenta que a. y la longitud del eslabón b varía con el tiempo (es la velocidad lineal del bloque deslizante).2. Nos basamos en que existe relación entre los ángulos θ3 y θ4.jbω3ejθ3 – (db/dt) * ejθ3 – jcω4ejθ4 = 0 Los términos db/dt. MÉTODOS ANALÍTICOS 12 . ω3 y ω4 son incógnitas. y derivando respecto del tiempo. c. y el signo – para la cerrada.γ El signo + es para la configuración abierta. Éste queda a lo largo del eje de transmisión. llamado velocidad de transmisión.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS De este modo. desarrollando la ecuación de Euler y separando en componentes. MÉTODOS ANALÍTICOS 13 . Toda la energía asociada con el movimiento a lo largo del eje de deslizamiento se convierte en calor y se pierde. También existe una componente ortogonal al eje de deslizamiento. que es la única línea a lo largo de la cual cualquier trabajo útil puede transmitirse a través de la junta deslizante. se pueden expresar db/dt y ω 3 en función del resto de parámetros. La velocidad de deslizamiento (db/dt) siempre está dirigida a lo largo del eje de deslizamiento. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. y debemos plantear un sistema de ecuaciones lineal similar a los planteados para el cálculo de velocidades y aceleraciones en los mecanismos sencillos. Su número será. debemos plantear más de una ecuación de cierre. La determinación de la velocidad y aceleración de los distintos eslabones se puede hacer siguiendo el mismo método empleado en los mecanismos sencillos resueltos anteriormente. MÉTODOS ANALÍTICOS 14 .TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS 3. para el caso de mecanismos de 1 grado de libertad: Nº de ecuaciones de cierre = (n-2)/2 Si “n” es el número de eslabones.3 Análisis de mecanismos complejos 3. eliminaremos el de referencia y el de entrada (variable independiente). Posición angular Cuando el mecanismo tiene más de cuatro eslabones. en este caso no podemos resolver el problema de posicionamiento por trigonometría.1. y dividimos por 2 porque cada ecuación de cierre nos resuelve dos incógnitas. Sin embargo.3. MÉTODOS ANALÍTICOS 15 .8 es un ejemplo de mecanismo complejo. θ6. θ4. En caso de que el mecanismo tenga ocho barras. θ5. y de las constantes θ1. Podemos plantear más de una ecuación de cierre: R2 + R3 + R4' + R5 = R1 R6 + R4 + R5 = R1' Podemos expresar los vectores en forma compleja exponencial: r2ejθ2 + r3ejθ3 + r4'ejθ4 + r5ejθ5 = r1ejθ1 r4ejθ4 + r5ejθ5 + r6ejθ6 = r1'ejθ1' Separando la parte real y la parte imaginaria. que nos permite resolver las cuatro incógnitas: θ3. obtendremos un sistema de cuatro ecuaciones. con lo que TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. en función de las longitudes de las barras. el número de ecuaciones de cierre que hemos de plantear es tres.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS El mecanismo de la figura 3. θ1' y la variable θ2. α6). TEMA 3: ANÁLISIS CINEMÁTICO. α5.3. ω6). y la velocidad del eslabón motor ω2.2.TUTORÍA INTERCAMPUS 2013 / 2014 SISTEMAS MECÁNICOS obtenemos un sistema parecido al anterior. ω5. 3.3. sus ángulos de posición. 3. α4. MÉTODOS ANALÍTICOS 16 .3. se plantea un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (ω3. La resolución nos proporciona las velocidades angulares en función de las longitudes de las barras. y la aceleración del eslabón motor α2. La resolución nos proporciona las aceleraciones angulares en función de las longitudes de las barras. derivando las ecuaciones de velocidad. complicándose la resolución notablemente. se plantea un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (α 3. Aceleración angular Análogamente. ω4. Velocidad angular Derivando las ecuaciones anteriores. pero con seis ecuaciones y seis incógnitas. sus ángulos de posición.
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