TEMA 2NOTACIÓN CIENTÍFICA 1. HISTORIA.- El primer intento de representar números demasiados extensos fue emprendida por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos). A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales a través del coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914, Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939). 2. POTENCIAS DE 10.- Las potencias de 10 se refieren a números que son exponentes de base 10. Base 10 se refiere al sistema de números que usamos en nuestra vida diaria. El exponente (o potencia) significa el número de veces que el dígito 1 se multiplica por 10. • 100 = 1 • 101 = 1 • 102 = 100 • 103 = 1 000 • 104 = 10 000 • 105 = 100 000 • 106 = 1 000 000 • 109 = 1 000 000 000 • 1010 = 10 000 000 000 • 1020 = 100 000 000 000 000 000 000 • 1030= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa -n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n-1 ceros) 1: • 10 - 1 = 1/10 = 0,1 • 10 –2 = 1 / 100 = 0,01 • 10 - 3 = 1/1000 = 0,001 • 10 - 4= 1 / 10 000 = 0,000 1 • 10 - 5 = 1/100 000 = 0,000 01 Por tanto. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes. multiplicándose por la potencia de 10.000 000 1 • 10 – 8 = 1/100 000 000 = 0.“La capacidad de almacenamiento de datos de la gran computadora es de 5 x 1014 bytes .. o sea. potencias de base diez.. NOTACION CIENTIFICA. Se conoce también como Notación Exponencial y puede definirse como el Producto de un número que se encuentra en el intervalo comprendido del 1 al 10. 3... Si hablamos de grandes cantidades de bytes. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños..000 000 000 000 01 metros.1 Representación de Números enteros y decimales en Notación Científica Método para representar un número entero en notación científica Cualquier número entero o decimal. utilizando un procedimiento matemático denominado “notación científica”.6 = 1/1 000 000 = 0. Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos cósmicos. sino más bien simplificadas. o también de 300 000 000 m/seg . es decir..” La Notación Científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla aquellas cantidades numéricas que son demasiado grandes o por el contrario. y que podamos manejar con más facilidad.000 000 01 • 10 – 9 = 1/1 000 000 000 = 0. una cantidad equivalente a 500 000 000 000 000 bytes. se puede decir que la capacidad de almacenamiento de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes.. independientemente de la cantidad de cifras que posea.000 000 001 • 10 – 10 = • 10 – 20 = • 10 – 30 = 3.” y “la longitud de onda de los rayos cósmicos es inferior a 1 x 10-14 metros. demasiado pequeñas. las cifras del párrafo anterior seguramente aparecerían escritas en textos de ciencia y técnica de la forma siguiente: “La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/seg .La notación científica (o notación índice estándar ) es un modo de representar un conjunto de números mediante una técnica llamada coma flotante (o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanoparlantes) aplicada al sistema decimal.000 001 • 10 – 7 = 1/10 000 000 = 0. Sin embargo.”. .• 10 . en los textos científicos o técnicos las cifras no aparecen escritas de forma tan grandes. se podría decir que su medida es inferior a 0. Podemos decir que la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo. se puede reducir empleando la notación científica. y un número pequeño como 0. será negativa ya que contamos de izquierda a derecha. En éste caso. . separamos la cantidad con un punto dejando como compañía dos decimales más. La potencia.68 x 10 – 5 cm Aproximado a dos decimales. 2. tenemos 0. hasta llegar al primer número diferente de cero (en éste caso 9). Por último. 3. empezaremos a contar los espacios que separan a cada número de derecha a izquierda. Antes de llegar a dicho número. a diferencia del primer ejemplo. Partiremos desplazando el punto de izquierda a derecha.39 x10 11 ¿Cómo lo llevamos a la mínima expresión? 1. Por lo tanto un número como 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1. Cabe mencionar. el procedimiento será de la siguiente manera: 1. Es decir. tomando en cuenta únicamente los números enteros. hasta llegar al último número entero ( numero que se encuentre entre 1 y 9). Separamos el número seguido por los decimales ( 9. Veamos otro ejemplo.34 x 10-11. 3. (en éste caso 3 y 9).56234x1029. multiplicamos la cantidad (1. debido a que en términos matemáticos los ceros a la izquierda no cuentan y no deben ser incluidos.39) por 10 (que es la base) y lo elevamos a la potencia 11 (Ya que son 11 espacios que separan a cada número).Por ejemplo.6784 x 10 – 5 cm O bien si redondeamos la cifra tendremos 9. tenemos la siguiente cantidad: 139 000 000 000 cm. en donde la respuesta también sigue siendo válida. 2. que se seleccionaron únicamente los números enteros.6784 ) multiplicado por 10 como base constante. Primero.000 000 000 023 4 puede ser escrito como 2. Hagamos un ejemplo con cada una de las operaciones. Ahora lo llevamos a la mínima expresión y tenemos como respuesta: 1. que tenemos como resultado: 9.000 096 784 cm. 00002142 2do. En todo número mayor que la unidad. tiene una cifra significativa. los ceros a la derecha de la coma decimal. Ejemplo: Redondear los siguientes valores a tres cifras significativas: 3. REDONDEACION DE NUMEROS Redondear un número quiere decir reducir el número de cifras manteniendo un valor parecido.047 2 . tiene seis cifras significativas.- Si las cifras no significativas son mayores a cinco.643 24 0. es decir. asi una regla escolar. Ejemplo: • 0. 2. 0. 005 3ro. De los ceros al final de un número: • Son cifras significativas si siguen a la derecha de la coma decimal. ¿Cómo redondear números? 1ro. Ejemplo: 2do. se redondea.33 se redondea a 3. Ejemplo: 0.672 89 0.3 0.006 4. No son cifras significativas si provienen de redondear al número. 30 kg ..01 . 39 040 8 . estas se eliminan Ejemplo: Redondear las siguientes medidas a dos cifras significativas: 3.- Si las cifras no significativas son menores a cinco. NO SON CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Ejemplo: 4to.CIFRAS Son consideradas asi SIGNIFICATIVAS todos los digitos de aproximación obtenidos en una medición. Para realizar operaciones con estas mediciones o números que resultan de una medición el resultado de las operaciones deberán tener la cantidad de cifras significativas del más menor de las mediciones. pero más fácil de usar. Todas las cifras diferentes de cero son cifras significativas. solo tiene graduaciones hasta milímetros. tiene cuatro cifras significativas En todo número menor que la unidad.124 1040 3 740 000 2. 456 . de acuerdo al instrumento de medida que esta utilizando. éstas se elimina y se añade la unidad a la anterior (se aumenta en una unidad a la cifra penúltima a ésta. Ejemplo: 68 m = 6 800 cm . los ceros entre digitos son cifras significativas.000 675 68 567 800 000 3 489 600 000 se redondea a 3. por ello se puede expresar las mediciones hasta milímetros y nada mas. tiene dos cifras significativas. El resultado es menos exacto. . tiene dos cifras significativas. Debemos considerar los siguientes criterios: 1ro. tiene tres cifras significativas. por ejemplo: 1. b) Si la penúltima cifra es impar. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica. entonces de acuerdo a la penúltima cifra. los números 10 generalmente se omiten y se utiliza la letra E para el exponente.675 5 Veamos en la práctica algunos ejemplos: Expresar en notación científica los siguientes números y expresarlo con dos cifras significativas: a) 529 745 386 = b) 450 000 = c) 590 587 348 584 = d) 0.000 000 000 000 013 mm = 3.000 000 415 = g) 45 350 000 000 = h) 230 045 000 = i) 0.4 2.0.000 000 278 3 3ro.56234 E29. pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida sin malgastar espacio.000 34005 = j) 0. Ejemplo.3829436E11 y 0.89 m = n) 0.000 312 459 = 3. kilogramos. entonces no se redondea. Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e.42455 se redondea a 3..12459E-4.000 000 000 524 cm = k) 345 050 000 000 000 m = l) 300 000 000 m/s = m) 3 344.000 987 4 = f) 0.474589 0. Redondear los siguientes valores a dos cifras significativas: 3. Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades.000 045 255 34 555 000 12 555 555 99 999 000 345. notablemente el término inglés billion que puede dar lugar a equivocaciones.3483 = e) 0.- Si la cifra no significativa es igual a cinco. tendremos: a) Si la penúltima cifra es par. todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por el exponente de 10 respectivo. Ej 238 294 360 000 = 2. entonces si redondea.2 USOS. . La notación científica también evita diferencias regionales de denominación.La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas. . así que es un factor común y.3. como no tienen el mismo exponente. si queremos sumar 3. ponerlo fuera de un paréntesis: (3.2)x108 = Y ahora podemos realizar la suma normalmente: 10. para los hispanoparlantes será un millardo de dólares (poco usado) o mil millones de dólares (más usado).5x108 + 7. 4.5x10-3 + 3. Para los países de habla hispana 109 es mil millones o millardo (del francés millard) y el billón se representa 1012.UU.8x10-5 = 1.1x10-3 = 4. con lo que aumentará su exponente: .2x108 La potencia de 10 es la misma en ambos números.7x108 3. se presentan discrepancias de estilo. Otra particularidad del mundo hispano es que a 104 (10 000). sencillamente sumamos los números y dejamos el diez con el exponente sin cambiar: 2.1 ADICION: Para poder sumar dos números en notación científica ambos deben tener el mismo exponente en el 10. OPERACIONES MATEMATICAS CON NOTACION CIENTIFICA. Por ejemplo en EE.2x105. No obstante para 10 000 se usa diez mil como uso frecuente y miríada cuando se quiere hacer notar el diez mil como "muchísimo" respecto a una comparación con algo cuantificable que elevó su cuenta significativamente.9x104 + 9.9x104 = 6. ya que tienen el mismo exponente: 3. como tal. se le denomina miríada.5 + 7.8x10-9 = Si los números que queremos sumar no tienen el mismo exponente.3 DISCREPANCIA. sin que este uso tenga fundamento científico sino de costumbres. 109 se denomina «billion».7x108 Es decir.2x108 = 10. Resta. tendremos que mover la coma del que tenga el exponente menor.5x104 y 7.La Notación Científica puede utilizarse en las Operaciones Algebraicas Básicas que conocemos: Suma..2x108 pueden sumarse. para sumar números en notación científica con el mismo exponente.5x108 y 7. Multiplicación y División. Así.1x10-5 + 6.A pesar que la notación científica pretende establecer pautas inviolables sobre la referencia numérica en materia científica.5x108 + 7. Llegamos a un caso práctico donde para los estadounidenses one billion dollars. antes de poder realizar la adición tenemos que hacer que ambos tengan el mismo exponente. Por eso 3.31x10-9 + 2. 4. 9x10-6 = 2 x 104 + 3 x 105 = 450000 + 1270 + 530000 = 0.535 – 0.2)x105 7.15x106 – 2.5 + 7. podemos sumarlos: 0.3.2 x 10 4 + 5.6x10-4 + 2.51x10 7 = 4.55x105 Con exponentes distintos.35x105 + 7.35x105 + 7.2x105 (0.021 = .0456 + 0.8x10-5 = 6.2x105 0.0536 + 0.8x10-5 – 1. siempre moveremos la coma del número con menor exponente antes de hacer la suma: 2.2x105 Como ahora los números tienen igual exponente.7 x 10 5 = 1.0043 = 0.35x10-4 = 3.5x104 + 7.28x10-3 – 7. en primer lugar.21 x 101 + 2.5 x 4.25x10-3 x 8x103 = (4x105)·(2x107) = (4x1012)/(2x105) = 10 000 x 100 = .2 = potencias de igual base se suman los exponentes (7 + 4 = ) y recordando ahora que para multiplicar ). podemos.35. 1. además.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: Mientras que para sumar y restar números en notación científica se precisa que tengan el mismo exponente.5x10-7 x 6x105 = 6.5x107 y 4.(2. el resultado será: Es decir. por ejemplo.3x10-2 = 2. para multiplicar números en notación científica. Si deseamos multiplicar dos números en notación científica.2x104 1.5x107 x 4. que además no se alterará por la adición o la sustracción.2 x 107 x 104 Multiplicando los números (1. el resultado tendrá un exponente afectado por la operación. 1. reagrupar los factores: 1.16 x 10 1 + 1.6x105 x 2. se multiplica la parte real y se suman los exponentes.x 10 – 1) – (1.5 x 4. en la multiplicación y la división los exponentes pueden ser distintos y.8 x 10 -1) = 4.2x104 . 015 x 1.000 032 x 3 000 000 = 7 000 x 0.000 4 = 3. con la particularidad de que la potencia del denominador pasa al numerador con signo cambiado): 6x107 / 4x104 = 4.875 x 0.003 = 0.001 = 23 000 x 500 = 62 000 x 0.4x10-6 = .9x10-3 / 1.215 m x 250000 m = 10 000 x 0.000 0000 1 x 0.0. números en notación científica.001 = 10 000 x 0. las potencias se vuelven multiplicación.000 350 x 5 000 000 x 0. se dividen los números reales y se restan los exponentes ( o lo que es lo mismo.001 x 100 = 0.78 x 10 3 = Para dividir. 4 x 10 7 0.3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN COMBINADAS Usando las reglas antes indicadas pueden combinarse la multiplicación y división que comprenden potencias de 10.000 000 89 320 000 4.2 x 10 12) / ( 6. El método usual para resolver tales problemas consiste en multiplicar y dividir alternadamente hasta completar el problema.001 2 44 x 10 -4 11 x 10 -5 4 600 000 2.012 x 2 200 . Por ejemplo: ( 36 000 ) ( 1.1 x 10 -2 ) ( 0.06 ) 0.8x10-7 ÷ 2x105 = 6x103 ÷ 8x10 -3 = ( 9.2 x 10 15) = 532 000 x 10 -5m / 237 000 m = 72 000 0. la única diferencia es que las potencias se multiplican.000 004) (2 000)(0. la Exponenciación funciona de igual forma y más sencilla.25 x10 4 ) = EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASES: (30000) 2 (40000) 2 .7 x10 7 )(3 1.4 x 10 5) 3 = ( .003 5) 4.(0.000 000 045)( 5.4 RADI CACION: Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de la raíz: 16x10 26 640000 (3 2.6 24 x 105 ) 3 = ( 3 x 10 -4)5 = 4.3 x 10 6)( 120 000 ) (36 000)( 0.000 000 097)(450 000 000)(650)(0.4 POTENCIACION: Así como en la Notación Científica.000 004) 0. Se potencia la mantisa y se multiplican los exponentes: (3x106) 2 = (121 000) 2 = ( 5. 000005 ) 2 2 ( 300 000 + 5 200 000)(0.00008)( 0.0000007 ) 2 (0.5x10 – 6)( 200 000) ( 0.0000024 ) 2 (0.000 6)2 .00005) 2 (0.(0.000 0004 – 4.5) (117000 ) 2 (44000 ) 2 (0.000012 ) (0.00008) 2 (2)(0.00005)(0.000 05 – 3.1x10 – 6)( 200)(0. 64 × 10) × 108 = 0.64 × 109 0. Para anotar este número con un exponente de 9. $1 120 000 000 en billetes de $5.12 × 109 $5 $640 000 000 en billetes de = 6. $640 000 000 en billetes de $10. obtenemos 0.4 × 108.25 × 109 y 3.32 × 109 Al escribir los otros números.2 × 108 = (0.2 × 108 $100 Puesto que tenemos que escribir todas las cantidades en miles de millones (un millar de millón es 109) debemos anotar todos los números empleando 9 como exponente.5 × 109 1.5 × 108 = (0.99 mil millones de dólares. consideremos 6. escribimos 6. $2 160 000 000 en billetes de $20.16 × 109 7. $ 3 500 000 000 en billetes de = 3.EJEMPLO: En un año reciente. . En primer lugar.5 × 109 $1 $1 120 000 000 en billetes de = 1.4 × 108 = (0. $250 000 000 en billetes de $50.32 × 10) × 108 = 0. el departamento del Tesoro de Estados Unidos informó de la impresión de las siguientes cantidades de dinero en las denominaciones especificadas: $3 500 000 000 en billetes de $1. $320 000 000 en billetes de $100.12 × 109 2.99 × 109 Entonces se imprimieron 7. Tendremos que escribir estos números en notación científica y determinar cuánto dinero fue impreso (en miles de millones).16 × 109 $20 $250 000 000 en billetes de = 2.25 × 109 0.4 × 108 $10 $2 160 000 000 en billetes de = 2.32 × 109 3.5 × 108 $50 $320 000 000 en billetes de = 3.25 × 10) × 108 = 0.64 × 109 de manera similar 2. 10 4.2x102 i) 1. 8 minutos.2x102 + 3. Chasqueamos los dedos y los volvemos a chasquear 1 minuto después.000 000 091 16) (Es incomodo trabajar con esas cantidades. d) Virus de la gripe: 0. 3.3x102 + 5.PRACTICA 1.2x10-3 + 5.5x10-3-7. 000 000 000 000 000 000 000 006 63 x 30 000 000 000) / (0. A continuación esperamos 2 minutos y chasqueamos los dedos.10 1. Expresa el resultado también en notación científica: a) (3.5. Escribe esta cifra en notación científica y en su forma estándar.3x10-5 j) 5.987 g) 0. pasa primero a notación científica).6x103 + 2.8x10-3 + 3. b) Distancia Tierra .5x107 k) 6.2x102 +1. -4 8 1.6x10-2(4.Luna: 384 000 km.3x10-3 + 7.5 × 108). las libras consumidas cada año son: (8 × 101) × (2.3x10-2 + 2.74x10-10 ): (1.3x10-4 5.4x108)*(6.10 -6 5 c) -6 -6 -1 Efectúa las siguientes operaciones con cantidades expresadas en notación científica.7) n) 5x10-5 – 3x10-7 (2x1014)(6x10-5) 2x103 + 300 Expresa en notación científica e indica el orden de magnitud: a) Distancia Tierra . f) Masa de un estafilococo: 0.8x103 g) 3x10-1 – 5x10-2 + 3x10-3 f) 9.2 x 107) ( 0. R: 2 × 1010. Si siguiéramos haciendo esto durante 1 año ¿cuántas veces chasquearíamos los dedos? 7.3x103) h) 9.000 000 000 05 m.10 -2 b) 7.Neptuno: 4 308 000 000 km.10 5.000 000 002 2 m. 000 000 000 93 h) -0.2. b) 0. b) (5.8x1018) e) 5. 20 000 000 000 . Puesto que hay unos 250 millones de estadounidenses. 16 minutos. se duplica el intervalo entre los chasquidos sucesivos. Efectúa los productos y cocientes siguientes usando las propiedades de las potencias: 9.000 000 000 1 g.6.000 000 1 c) 0.23x102 d) 2.8x1012) c) 1.Sol: 150 000 000 km. Expresa en notación científica y ordena de mayor a menor: a) 300 000 000 e) -7894.10 -3 a) 4. Esto es. después 4 minutos.10 1.12x104 + 1.1x10 l) 3. e) Radio del protón: 0.24x10-3 – 2. 6.000 000 62 d) -18 400 000 000 f) 456. etc.34 2.2.2x10-5 m) (3. c) Distancia Tierra .005 5 Realiza la operación: (0.10 5.10 3. El estadounidense promedio consume 80 libras de vegetales al año. A + C. La fisión nuclear se utiliza como fuente de energía. B / C.B.00001 x 1 000 3 875 x 0.89x104 realiza las operaciones: A x B. C-A y A .000 000 000 032 1 A + B. mujer y niño de dicho país 1. B = 1. Cuenta los segundos que han pasado desde que comenzó el año y escribe el número resultante. C–A y A .B. c) 10 000 x 0.B. h)7 000 x 0. CxA y A / B. i) 0. las libras de basura producidas cada día del año por cada día del año por cada hombre .15x106 . B / C. C .15x10-6. 13.0024 0.23x10-4.9x107 realiza las operaciones: A x B. C x B.6 10 2 son escribe este número en notación estándar.3 9. ¿Sabes cuánta energía proporciona un gramo de 4.B. 14.5 108 3.000 086 i) 7 890 000 000 000 e) 0. Dados los números A = 1.000 4 g) 11. hay unas 360 días en un año y 250 millones de estadounidenses. Dados los números A = 7.000 987 f) 0. Multiplicar usando potencias de 10.000 000 065 4 Dados los números A = 7. 72 000 x 0. R: 2 × 107 10. Escríbela en notación científica.92·106 y C = 5. Puesto que una tonelada es igual a 2 000 libras.9x106 realiza las operaciones: A + C. B = 1.00000000551 k) 0.001 2 c) 81 300 000 000 h) 4 560 000 000 d) 0. B = 4. B + C.000 000 12 x 0.000 3 f) 0. 15.78 Escribe en notación científica los números: a) 53 000 l) d) 62 000 x 0. .89x104 realiza las operaciones: C .8. 16.23x104. B = 4. C x B.000 032 x 3 000 000 h) (80 000 x 2 x 105 ) 2 b) 45 000 000 g) 1 230 000 12.015 x 1.56x105 y C = 7.485 108 2 103 2. R: 3.7 109 uranio 235? La respuesta es 235 kilocalorías. A + B.001 e) 100 000 x 0. Haz lo mismo con los segundos que faltan hasta terminar el año.92x106 y C = 5.000 000 03 j) 0.56x104 y C = 7.5 millones de toneladas de basura cada año. En Estados Unidos se producen 148. CxA y A / B. A / C.000 000 350 x 5 000 000 x 0. Dados los números A = 1. B + C.001 A / C. Para los propósitos de este ejercicio considere que todos los números son exactos: a) 23 000 x 500 00 b) 0.
Report "Tema 2 Notacion Cientifica, ejercicios resueltos y para resolver"