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12 Figurasgeométricas La geometría de los egipcios y de los babilonios fue, sobre todo, práctica. Sin embargo, la actitud de los griegos fue muy distinta: desligaron el estudio de las figuras geométricas y de sus propiedades de cualquier provecho práctico que pudiera obtenerse de ellas. Tales de Mileto vivió entre los siglos vii y vi a.C. De © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 1.° ESO. Material fotocopiable autorizado. joven pasó varios años en Egipto, donde aprendió la geometría egipcia, a la que supo dar un gran im- pulso, ampliando sus contenidos e imponiendo que cada fórmula y cada procedimiento fuera consecuen- cia de un razonamiento lógico. Además de matemá- tico, Tales fue astrónomo (entre otras cosas, predijo eclipses de Sol) y el primero de los grandes filósofos griegos. Ejerció gran influencia sobre los pensadores posteriores. Casi tres siglos después, Euclides culminó el proce- so deductivo en la matemática griega. Sus obras de geometría tuvieron una enorme importancia hasta el siglo xix. Incluso hoy en día, a la geometría que se estudia más a menudo se la llama euclídea. DEBERÁS RECORDAR ■Q  ué son los polígonos y cómo se clasifican. ■ Cómo se designan los elementos de un triángulo. ■ Cuáles son los elementos relacionados con la cir- cunferencia. A. datos construcción resultado c b A b c © GRUPO ANAYA. entonces sus ángulos opues- ì ì tos siguen la misma relación (si a > b entonces A > B ).° ESO. Según como sea el otro ángulo. si un lado es mayor que otro.anayadigital. es suficiente conocer solo algunos de sus elementos. Y si los tres lados son distintos. C C a=b a<b<c a b ì ì a b ì ì ì equilátero y equiángulo A=B A<B<C B c A B c A Construcción de triángulos Para construir un triángulo. e) f) gulo isósceles acutángulo. 134 .1 Triángulos Clasificación Con seguridad. En un triángulo isósceles. b) c) 2 Di cómo es. rectángulo u obtusángulo. ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO Un triángulo con los tres lados iguales se llama equilátero. cada triángulo de la derecha. en general. respectivamente. Material fotocopiable autorizado. S. Si tiene dos lados iguales. los ángulos opuestos a los lados iguales son también iguales. Matemáticas 1. Relaciones entre los ángulos y los lados Los triángulos equiláteros también tienen los ángulos iguales. En www.com puedes encontrar los demás. se llama isósceles. 3 Dibuja un triángulo escaleno obtusángulo y un trián. Veamos aquí la construcción a partir de los tres lados. a b ì c ì A ì C B a a Actividades 1 Construye con regla y compás un triángulo cuyos la. Pueden darse distintos casos. el triángulo es acu- tángulo. según sus ángulos y según sus lados. se llama escaleno. a) d) dos midan 7 cm. Y. 5 cm y 8 cm. dos de los ángulos de un triángulo son agudos. Observa que es acutángulo. Material fotocopiable autorizado. C C Mediana A' B' Un triángulo de cartulina. Observa que es rectángulo. S. que se cortan en un punto llamado ortocentro. Traza sus medianas y señala su baricentro.° ESO. 7 Dibuja el triángulo equilátero cuyos lados miden Observa que es obtusángulo. Ortocentro © GRUPO ANAYA. 10 cm y 6 Dibuja el triángulo cuyos lados miden 6 cm. 8 cm y 12 cm. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. 5 Dibuja el triángulo cuyos lados 6 cm. Traza sus tres alturas y señala su ortocentro. Ortocentro La altura de un triángulo es un segmento que va. 8 cm y 12 cm. Baricentro Se llama mediana de un triángulo a un segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto. perpendicularmente. Localiza su ortocentro y su baricentro. 6 cm. C C Mediana A' B' B B C' A C' Baricentro A Alturas de un triángulo. Localiza su ortocentro y su baricentro. Altura Todo triángulo tiene tres alturas. desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Actividades 4 Dibuja el triángulo cuyos lados miden 8 cm. chapa o B B madera se mantiene en equilibrio si C' A C' B lo sostenemos en el baricentro. 135 . 10 cm. A bari-centro: centro de gravedad. UNIDAD 12 Equilibrio Medianas de un triángulo. Matemáticas 1.A. Clasificación de los cuadriláteros RECTÁNGULOS (ángulos rectos) CUADRADOS Atención ROMBOS Los cuadrados son rectángulos. (lados opuestos Y también son rombos. porque tienen paralelos) los cuatro lados iguales. Recuerda que sus cuatro ángulos suman 360°. El rectángulo y el rombo tienen dos ejes de simetría. las diagonales son perpendiculares. En el cuadrado y el rectángulo.2 Cuadriláteros Cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Material fotocopiable autorizado. por. Matemáticas 1. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría. las diagonales son iguales. El romboide no tiene ejes de simetría.° ESO. © GRUPO ANAYA. Las diagonales de un paralelogramo cualquiera se cortan en sus puntos medios. Diagonales. PARALELOGRAMOS (lados iguales) que tienen los cuatro ángulos rectos. En el cuadrado y el rombo. 136 . Tienen dos diagonales. ROMBOIDES TRAPECIOS (solo dos lados paralelos) NO PARALELOGRAMOS OTROS CUADRILÁTEROS (TRAPEZOIDES) Paralelogramos. S. Ejes de simetría Se llama paralelogramos a los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos.A. UNIDAD 12 Trapecios Base Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados pa- ralelos y otros dos no paralelos. ▼ ejemplos • Este. © GRUPO ANAYA. Pero. los ángulos iguales son contiguos. pues una de ellas está fuera del polígono. no opuestos (si fueran iguales los lados opuestos. Estos cuadriláteros. Algunos de ellos son interesantes. I II III IV a) ¿Cuáles son paralelogramos.A. se llaman cóncavos. ¡atención!. cuáles trapecios y cuáles trapezoides? b) Ponle un nombre adecuado a cada uno.° ESO. TRAPECIO RECTÁNGULO • Un trapecio con los dos lados no paralelos iguales se llama isósceles. y la distancia Base entre ellos. pero los lados iguales son contiguos. su diagonal mayor. • Este también tiene los lados iguales dos a dos. V VI VII VIII plo. S. no se cortan. Además. Altura Los lados paralelos se llaman bases. Solo tiene un eje de simetría. Por ejem. aunque tienen direcciones perpendiculares. trapezoide… c) Di cuántos ejes de simetría tiene cada figura. cuadrado. altura. sería paralelogramo). Material fotocopiable autorizado. en los que una diagonal queda fuera. Hay trapezoides con formas muy variadas. d) ¿Cuáles de estas figuras tienen las diagonales per. Trapezoides Los cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos se llaman tra- pezoides. El trapecio isósceles tiene los ángulos iguales dos a dos. Actividades 1 Observa los cuadriláteros de la derecha. • Un trapecio con dos ángulos rectos se llama trapecio rectángulo. IX X XI XII pendiculares? 137 . Sus diagona- les. Matemáticas 1. no opuestos. pero no se cortan en sus puntos medios. tiene los lados iguales dos a dos. TRAPECIO e ISÓSCELES Los trapecios isósceles tienen un eje de simetría. sus diagonales son perpendiculares. como las del rombo. con forma de cometa. r. Observa que en el cuadrado puedes realizarlo median- te tres pliegues.A. S. © GRUPO ANAYA. y en el octógono. Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita. mediante cuatro. de un polígono regular al centro y al radio de la circunferencia circunscrita. es el segmento perpendicular desde el centro.° ESO. En todos los polígonos regulares. Ejes de simetría Todos los polígonos regulares tienen tantos ejes de simetría como lados. Matemáticas 1. 138 . O. Dibuja en rojo todos sus ejes de simetría. al lado. Señala. todos sus ejes de simetría. mediante pliegues. O. Material fotocopiable autorizado. Actividades 1 Calca en tu cuaderno las figuras siguientes: 2 Calca las figuras del ejercicio anterior en hojas aparte y recórtalas. r. l. Apotema. l l l O O O O r l r r a r a a a Se llaman centro. a y l /2 son los lados de un triángulo rec- tángulo.3 Polígonos regulares Un polígono regular es el que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. a. y radio. La apotema siempre corta al lado en su punto medio. deberemos construir una circunferencia. gentes exteriores. 2 Dibuja en tu cuaderno: 4 Traza dos circunferencias de radios 5 cm y 3 cm tan- a) Dos circunferencias secantes. Por tanto. El círculo es la figura plana más perfecta: • Cualquiera de sus diámetros es eje de simetría. Mide.A. UNIDAD 12 4 Circunferencia La circunferencia es la línea que rodea al círculo. • Su área es la mayor posible entre todas las figuras que tienen su mismo períme- tro. 5 cm y 8 cm. posición relativa quedarían? Trázalas y comprueba tu respuesta. ¿A qué distancia están sus centros? b) Dos circunferencias interiores. si con una cuerda queremos delimitar un terreno cuya superficie sea la mayor posible. en ambos casos. la distancia entre sus centros y que sean tangentes interiores. Material fotocopiable autorizado. Matemáticas 1. ¿en qué centro de la circunferencia. Es decir. tiene infinitos ejes de simetría. del con sus centros situados a 10 cm de distancia. sus centros? 139 . r es el radio de la circunferencia. respectivamente.° ESO. r r r d d O O d O EXTERIORES TANGENTES SECANTES Posiciones relativas de dos circunferencias d d d EXTERIORES TANGENTES EXTERIORES SECANTES d © GRUPO ANAYA. Posiciones relativas de recta y circunferencia d>r d=r d<r Ten en cuenta d es la distancia de O a la recta. S. TANGENTES INTERIORES INTERIORES CONCÉNTRICAS Actividades 1 Traza una circunferencia de 5 cm de radio y tres rectas 3 Si trazaras dos circunferencias de radios 7 cm y 4 cm que pasen a 3 cm. Traza dos circunferencias de 5 cm y 3 cm de radio. ¿A qué distancia están compárala con sus radios. Actividades 1 Señala. De los de arriba. Se salvaron y llegaron a 4 5 una playa de una isla desconocida. figuras de tres dimensiones. distinguiremos dos grandes tipos: pues sus caras no son polígonos. S. 7 6 zadas”. el 2 y el 3.5 Cuerpos geométricos Los cuerpos geométricos son. son cuerpos de revolución. 2 3 1 Geometría y civilización Un grupo de personas tuvieron un naufragio. dos poliedros 2 Entre los cuerpos de arriba. Material fotocopiable autorizado. Uno de los náufragos. pues no se poliedros. ni • Poliedros: Están limitados por caras planas poligonales.A. el 1 y el 6 de arriba. al verlas exclamó con alegría: “¡Ánimo! Aquí viven personas civili. es decir. 140 . Atención Todas estas figuras recuerdan diferentes objetos de nuestro entorno. volución (aparte del 1 y el 6). señala dos cuerpos de re- (aparte del 2 y el 3). Son cuerpos Las figuras 4 y 10 no son poliedros. Matemáticas 1. geométricos. Por ejemplo. Observaron que en la arena había dibujadas unas figuras geométricas. Entre ellos. como sabes. figuras que ocupan una porción de espacio. 8 9 10 © GRUPO ANAYA. Iban exhaustos y atemorizados. entre otros. entre los cuerpos de arriba. pueden obtener al hacer girar una fi- gura plana.° ESO. discípulo de Platón. • Cuerpos de revolución: Son el resultado del giro de una figura plana en torno a un eje. • Vértices del poliedro son los vértices de las caras. lla- mados bases. el prisma se llama regular. cuatro. S. TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO Actividades 1 Describe los poliedros siguientes: A B C nombre. porque en unos vértices concurren tres trián. y en otros. En cada arista se juntan dos caras. Material fotocopiable autorizado. Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos y en cada vértice concurren el mismo número de caras. poliedros regulares gulos.A.° ESO. UNIDAD 12 6 Poliedros Los cuerpos geométricos limitados por polígonos se llaman poliedros. de vértices… 141 . que se denomina vértice de la pirámide. Si las bases son polígonos regulares y las caras laterales son rectángulos. • Aristas son los lados de las caras. En cada vértice concurren tres o más caras. REGULAR Este poliedro no es regular. ORTOEDRO PRISMA PENTAGONAL pirámides REGULAR Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común. cómo son sus caras y cuántas tienen. Los prismas cuyas caras son todas rectángulos se llaman ortoedros. Matemáticas 1. • Caras del poliedro son los polígonos que lo forman. Una pirámide es regular cuando la base PIRÁMIDE es un polígono regular y el vértice se CUADRANGULAR No te confundas proyecta sobre el centro de ese polígono. © GRUPO ANAYA. prismas Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos. número de aristas. y varios paralelogramos llamados caras laterales. cilindros Un cilindro es un cuerpo de revolución generado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.7 Cuerpos de revolución Los cuerpos de revolución se originan haciendo girar una figura plana alrededor de un eje. de revolución generado por una circunferencia que gira alrededor de cual- quiera de sus diámetros. cono y esfera. altura generatriz BASE esferas Una esfera es un cuerpo © GRUPO ANAYA. BASE altura BASE conos Un cono es un cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo VÉRTICE que gira alrededor de uno de los catetos.° ESO. Matemáticas 1. describe los siguientes cuer- pos geométricos: 142 . A B C D E bras cilindro. S. Material fotocopiable autorizado.A. Actividades 1 Utilizando las pala. b) Si los dos segmentos son de distinta longitud. C). otro tangente y otro exterior. C Figura B y no regulares: A B C a) ¿Cuántos listones necesitas para hacer indeforma- ble cada una de estas figuras? G B A C D D E F b) ¿Cuántos listones necesitas para hacer indeforma- ble un polígono de n lados? 143 . obtienes un cuadrilátero. 5 cm y 6 cm.A. 2 Di cómo son.° ESO. gulos. el rombo (Fig. Une sus E F H extremos y di qué tipo de cuadrilátero se obtiene: a) Si los dos segmentos son de igual longitud. UNIDAD 12 Ejercicios y problemas Consolida lo aprendido utilizando tus competencias ■ ■Polígonos y circunferencia 5 Dibuja un triángulo de lados 4 cm. Matemáticas 1. D G 7 Dibuja dos segmentos que se corten en sus puntos medios y no sean perpendiculares. y traza sus alturas. c) Obtusángulos isósceles. C b) Para dos segmentos de igual longitud. podemos construir distintos polí- que aparecen a continuación: gonos. mediante torni- 3 Ponle nombre a cada uno de los cuadriláteros llos y palomillas. se hace rígido. ¿Cómo se llama el punto 1 Di cuáles de estos triángulos son: donde se cortan? Traza también sus medianas. es decir. A D F G H Sin embargo. según sus lados y según sus án. B) se puede deformar. I Pero si le añadimos un listón (Fig. ¿De qué tipo es? Hazlo en tu cuaderno: B A a) Para dos segmentos de distinta longitud. a) Acutángulos. fijado: 4 Clasifica los polígonos siguientes en regulares Fig. Observa que el triángulo (Fig. indeformable: A B C Fig. 6 Si dibujas dos segmentos que sean perpendi- b) Rectángulos. culares en sus puntos medios y unes sus extremos. 9 Uniendo listones de madera. lo hemos © GRUPO ANAYA. Es decir. Material fotocopiable autorizado. S. coincidiendo E con una diagonal. los triángulos siguientes: 8 Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio y D un triángulo cuyos lados sean: uno secante a la cir- A B C cunferencia. A) es rígido. b) ¿Hay alguno que no sea prisma ni pirámide? 12 Al girar cada una de las figuras siguientes en torno al eje que se indica se genera una figura de las c) ¿Cuáles son cuerpos de revolución?  del ejercicio anterior. a) Tienen todos los ángulos iguales. son poliedros. Material fotocopiable autorizado. D F A H A C E G B C D E 2 Di qué polígonos son regulares y escribe sus nombres: F G H I E G J J A C I K H L O D F M B K N 144 . y cuáles. A B C D E d) ¿Hay alguno que no sea poliedro ni cuerpo de revolución? Autoevaluación 1 Identifica y nombra los cuadriláteros que: 3 a) Dibuja dos circunferencias tangentes interiores. B Pon nombre a los que conozcas. cante a la otra.A. c) Dibuja otra recta tangente a una circunferencia y se- c) No tienen los lados opuestos paralelos. Nómbralos. S. Matemáticas 1. e) Tienen solo dos lados paralelos. b) Dibuja una recta tangente a las dos circunferencias. cuerpos de revolución. ninguno de los dos. Ejercicios y problemas Consolida lo aprendido utilizando tus competencias ■ ■Cuerpos geométricos 11 ¿Cuáles de las figuras siguientes son cuerpos de revolución? ¿De cuáles conoces el nombre? 10 Observa estos cuerpos: 1 2 4 3 5 6 8 7 9 a) ¿Cuáles son poliedros?  De ellos. cuáles. b) Tienen los lados opuestos paralelos.° ESO. Identifícala. determina cuáles © GRUPO ANAYA. nombra los prismas y la pirámide. d) Tienen los cuatro lados iguales. 4 De los siguientes cuerpos geométricos.