CEPA San Martín de ValdeiglesiasDepartamento Matemáticas María Cruz García López TEMA 1 NÚMEROS NATURALES 1) El conjunto de los números naturales se designa por la letra “N” y está compuesto por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………..} Propiedades de los números naturales • El conjunto de los números naturales tiene primer elemento. El 0 es el primer elemento. • Todo número natural tiene siguiente. El siguiente o consecutivo se obtiene sumándole a éste la unidad. • Todo número natural es menor que su siguiente, es decir el conjunto de los números naturales está ordenado. 2) OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Propiedades de la suma • Asociativa: El agrupamiento de los sumando no altera la suma. o 2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 • Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro o nulo ya que al sumarlo a cualquier número el resultado es el mismo número. o 0 + 7 = 7 • Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma 2 + 5 = 5 + 2 Propiedades del producto • Asociativa: El agrupamiento de los factores no altera el producto. o 3 x (5 x 4) = (3 x 5) x 4 • Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro, ya que al multiplicarlo por cualquier número el resultado es el mismo número. o 1x9=9 • Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto. 3 x 11 = 11 x 3 -1- (2 + 5) · 3 = 6 + 15 = 21 pues (2 + 5) · 3 = 7 · 3 = 21 A partir de esta propiedad se establecen prioridades para la realización de sumas. En los actos y escenas de una obra de teatro. el valor de ésta se suma a la anterior.. asambleas. Se usa principalmente: • • • • En los números de capítulos y tomos de una obra.000 Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor. productos y paréntesis. Reglas: • La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores Ejemplos: XVI = 16. reyes y emperadores. certámenes. olimpiadas. Prioridad en las operaciones 1º Paréntesis 2º Multiplicaciones y divisiones (en el orden en que aparezcan) 3º Sumas y restas Numeración romana Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico. En la designación de congresos. sobre todo por las dificultades de lectura y escritura que presenta. XXI = 21.CEPA San Martín de Valdeiglesias Departamento Matemáticas María Cruz García López 3) OPERACIONES COMBINADAS La propiedad distributiva del producto respecto de la suma establece que el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando. LXVII = 67 -2- . LXVI = 66 Letras Valores I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1.. En los nombres de papas. Ejemplos: VI = 6. Este tipo de numeración debe utilizarse lo menos posible. 67. si termina en cero o en 5. Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son unas reglas que permiten saber si un número es divisible por otro sin tener que realizar la división. 47. 7. 89. les resta cien unidades. ésta restará su valor a la siguiente. "M") representan su valor duplicado. 41. 23. 73.000. • Criterio de divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3. Ejemplos: = 1. XXXIII = 33. "C". 3. 59. les resta diez unidades y la "C". 5. la división es exacta. la "X". C = 100. les resta una unidad. M = 1. Ejemplos: X = 10. 61. • Criterio de divisibilidad por 5: un número es divisible por 5. 71.000 Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor. XXXIV = 34 La "V".CEPA San Martín de Valdeiglesias Departamento Matemáticas María Cruz García López • • • • • La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X". 13. CD = 400. • Criterio de divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par. etc -3- . precediendo a la "L" o a la "C". Ejemplos: IV = 4. 19. 83. 31. XL = 40. delante de la "D" o la "M". XC = 90. LIV = 54. si al sumar sus cifras nos da un múltiplo de 3. 37. En la antigüedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas. 97. IX = 9. • Un número es divisor de otro. 29. Son números primos: 2. 53. Ejemplos: XIX = 19.000 DIVISIBILIDAD Múltiplos y divisores de un número • Un número es múltiplo de otro si el resultado de multiplicar este último por un número natural cualquiera. la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X". XIV = 14. si al dividir el segundo por el primero. Ejemplos: XIII = 13. 11. CM = 900 En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. 17. Números primos y compuestos • Un número es primo si sólo es divisible entre él mismo y la unidad. 43. CXXIX = 129 El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos. 79. por los sucesivos números primos.d. ⇒ Si ninguna división es exacta.c. El método usado para descomponer un número en factores primos es el siguiente: • Se divide dicho número por el primer número primo que sea divisor de este y así sucesivamente con los siguientes números primos (siempre del menor al mayor). (12.c.d. 90) = 2 · 3 = 6 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor múltiplo común de dichos números y se representa por m.m. 42 y 90 12 = 22 · 3 42 = 2 · 3 · 7 90 = 2 · 32 · 5 m.c. el número es compuesto. hasta que uno de los cocientes sea menor o igual que el divisor respectivo. 3. -4- . Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de números primos. 9. • Se realiza el producto de dichos factores comunes elevados al menor exponente y el resultado es el máximo común divisor. ⇒ Si alguna de estas divisiones sucesivas es exacta. MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor de dos o más números.d. el número es primo. es el mayor divisor común a dichos números y se representa por m. etc Para averiguar si un número es primo • Se divide el número por 2.CEPA San Martín de Valdeiglesias Departamento Matemáticas María Cruz García López • Un número es compuesto si se puede dividir por más números que él y la unidad. de dos o más números • Se descomponen en factores primos dichos números • Se cogen los factores comunes a todos ellos con menor exponente. Son números compuestos: 4. 42.c. etc. 10. 5. 6. Ejemplo: Sean los números 12. • La descomposición factorial será el producto de los divisores de dichas operaciones. hasta llegar a una división de cociente igual a 1. 8. 7. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO Todo número natural se puede descomponer en factores primos. Método para calcular el m. c. 90) 12 = 22 · 3 42 = 2 · 3 · 7 90 = 2 · 32 · 5 m. • Se descomponen los números en producto de factores primos • Se cogen los factores comunes y no comunes con mayor exponente. es igual a su producto. Y M. Ejemplo: sean los números 14 y 30 14 = 2 · 7 30 = 2 · 3 · 5 m. 30) = 2 m.d. 30) = 2 · 3 · 5 · 7 = 210 m. y m.d. 42. 90) = 22 · 32 · 5 · 7 = 1260 PROPIEDADES DEL M. 15 ) = 1 EJERCICIOS TEMA 1 1) 17 – 3 – 5 = 2) 21 – (9 – 2) = -5- . 12) = 7 · 12 = 84 • Si dividimos dos números por su m. (14.c.CEPA San Martín de Valdeiglesias Departamento Matemáticas María Cruz García López Método para calcular el m.c.m (12.( 7.c.(7.c. se dice que dichos números son primos entre sí. • El producto del m.d.d 14 : 2 = 7.m (12. Si dos números son primos entre sí. 12) = 1 m.c.c.m = 2 · 210 = 420 Producto de ambos = 14 · 30 = 420 • Si el m. Ejemplo: Sean los números 7 y 12 m.c.D. Ejemplo: m.c. • Se realiza el producto de dichos factores y el resultado será el mínimo común múltiplo.c.m (7. los cocientes que se obtienen son primos entre sí.d.d. · m.C. de dos números es igual a 1.m.m.d.M.c.c. 30 : 2 = 15 m.m de dos números cualesquiera es igual al producto de ambos.C. Ejemplo: nº/m. (14..c. el m.m. 42.c.d.c.c. 5 + 5 : 5 + 10 : 2 = 16) 5 + 8 : 2 + 20 : 4 = 17) 3 · 6 : 9 + 40 : 8 + 10 = 18) 18 + 3 · 10 – 102 : 34 = 19) (7 + 13) : 2 + 2 · 3 = 20) 30 + 63 : 9 – 4 · (6 – 3)= 21) 120 – 15 : 3 + 2 · (6 – 4) = 22) 40 + 24 : 6 – 5 · (7 – 3) = 23) 24 : (15 -9) + 3 · 2 – 4 · (9 – 7) = 24) 38 – 18 : 6 – 3 · 4 = 25) 5 · (12 – 7) – 36 : (16 – 4) + 7 · 8 = 26) 40 + [ 25 – (3 + 2) ] = 27) (150 – 5) – { 19 – 3 – [ 6 + (5 – 3) – (2 + 1) + (5 – 3) ] } = 28) 50 – 4 · 6 + 3 · 5 – 9 : 3 = 29) 150 : (25 · 2) + 32 : (8 · 2) = 30) 9 [ 15 : (6 – 1) – (9 – 3) : 2 ] = 31) 6 · [ 3 + (5 – 1) · 2 ] = 32) Escribe cuatro múltiplos de 3 y cuatro de 7 cuatro divisores de 56 y cuatro de 300 33) Razona e indica si es verdadero o falso: 381 es divisible por 3 1384 es divisible por 2 5295 es divisible por 3 y por 5 -6- .CEPA San Martín de Valdeiglesias Departamento Matemáticas María Cruz García López 3) 45 – (8 + 9) = 4) 2 · (3 + 5) – 3 · 2 + 1 = 5) 121 – 9 · 8 + 3 – (8 – 7) = 6) 24 : (4 + 2) = 7) 24 : 4 + 2 = 8) 18 : 2 · 3 = 9) 18 : (2 · 3) = 10) 2 + 48 : 8 · 6 – 36 : (2 · 3) = 11) 25 – { 18 – [ 15 – 8 : 2 · (7 – 4) – 1] + 5 } = 12) 28 : [ 3 + 8 : (3 – 1) ] = 13) 12 – 2 · 5 + 9 : 3 = 14) 2 · 2 + 5 : 5 + 1 = 15) 1. 52. 301.d y el m. 721. 2.c. Clasifica en primos y compuestos los siguientes números: 12. 999 37) Calcula el m.000 = 5= 11 = 17 = 30 = 59 = 71 = 80 = 99 = 399 = 899 = 1.M Y M.C. 100. 3.010 = 6= 12 = 18 = 31 = 60 = 74 = 81 = 100 = 400 = 900 = 1.CEPA San Martín de Valdeiglesias Departamento Matemáticas María Cruz García López 850 es divisible por 2 y por 5 34) 35) El número 68a4b es divisible por 5 y por 3.m de los siguientes números: 2 y 64 3 y 25 4.050 = PROBLEMAS M. 9. Se quiere embaldosar una sala de 1620 cm de largo por 980 cm de ancho con baldosas cuadradas lo más grandes posibles y enteras.C. 36. Halla los valores de a y b. 115. 231.c. ¿Cuál será la longitud del lado de cada baldosa? -7- . 2352 36) Descomponer en factores primos los siguientes números: 21. 55.D 1. 66. 6 y 12 38) Escribe en números romanos: 1= 7= 13 = 19 = 39 = 61 = 75 = 88 = 101 = 444 = 989 = 2= 8= 14 = 20 = 40 = 68 = 77 = 89 = 109 = 445 = 990 = 3= 9= 15 = 21 = 50 = 69 = 78 = 90 = 114 = 449 = 999 = 4= 10 = 16 = 29 = 51 = 70 = 79 = 91 = 149 = 450 = 1. 11. Hoy han estado los dos en Barcelona. Ana va a clase de solfeo cada 12 días y su hermana María cada 16 días. ¿Cuánto podrá medir el lado de cada cuadrado si la longitud de la plancha es de 96 cm y la anchura de 72 cm? 4. sin que le falten ni le sobren sellos.CEPA San Martín de Valdeiglesias Departamento Matemáticas María Cruz García López 2. 5. Un coleccionista puede colocar sus sellos en hojas de dos clases. Un bidón contiene252 litros de aceite y otro 238. Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días.¿A qué hora volverán a tocar otra vez juntas?. 7. Un barco A sale de un puerto cad 48 días y un barco B sale del mismo puerto cada 40 días. con azulejos cuadrados del mayor lado posible. Se quiere alicatar una pared de 615 cm de largo por 225 cm de ancho.30 de una tarde los tres coinciden. ¿Cuál es la capacidad de cada garrafa si es la mayor posible?. ¿cuántos sellos tiene dicho coleccionista? -8- . Calcular el largo de la baldosa para que el número de ellas que se coloque sea mínimo y no haga falta cortarlas. 3. otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos. ¿Cada cuántos días coincidirán? 10. de manera que no haya que cortar ningún azulejo.. otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. Se quiere aserrar una plancha de madera en cuadrados lo más grandes posibles. se quiere embaldosar. Si el número de sellos de su colección no llega a 1500. ¿Qué día volverán a coincidir?. ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe un número exacto de veces en una sala de 8 metros de longitud y 6. 12. ¿Cuántos azulejos se necesitarán?. Un faro se enciende cada 12 segundos. El suelo de una habitación que tiene 5 metros de largo y 3 metros de ancho. Si a las 4 de la mañana han coincidido tocando las tres. Averiguar las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes? 6.4 metros de anchura? 9. a las 6. Una sirena toca cada 450 segundos. El 12 de marzo coincidieron ambos barcos en el puerto. en unas caben 35 sellos por hoja y en la otra 36 por hoja. Cada bidón se ha llenado con un numero exacto de garrafas de la misma capacidad. ¿Dentro de cuántos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? 8.