INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICALa Lógica es la disciplina que se ocupa de los métodos de razonamiento, suministrando reglas y técnicas que nos permiten decidir si una argumentación, una deducción, es correcta o no. Es la base de todo razonamiento matemático y tiene numerosas aplicaciones en las ciencias de la computación (construcción, escritura y verificación de programas, diseño de circuitos de ordenador, ...), en las ciencias físicas y naturales, en las ciencia sociales y en la vida diaria. 1. 1.1. Proposiciones Definiciones. Definición 1.1.1. Una proposición es una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. Ejemplo 1.1.2. Son proposiciones: • El río Miño pasa por Ourense. • 1 − 100 = 99 • La suma de dos números positivos es un número positivo. No son proposiciones: • ¿Qué hora es? • Escuchadme. • x+2 = 5 Denotaremos las proposiciones por las letras minúsculas p, q, r, s, t, u, ... Ejemplo 1.1.3. p : El río Miño pasa por Ourense. q : 1 − 100 = 99 Definición 1.1.4. El valor de verdad de una proposición es verdadero si la proposición es verdadera (V) y es falso si la proposición es falsa (F). 1 2 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA Ejemplo 1.1.5. En el ejemplo anterior el valor de verdad de p es V y el de q es F. Definición 1.1.6. El área de la lógica que se ocupa de las proposiciones y de las reglas para el cálculo de sus valores de verdad se llama lógica proposicional o cálculo proposicional. Definición 1.1.7. Un operador lógico es un elemento verbal o escrito que permite formar una proposición (llamada fórmula o proposición molecular o proposición compuesta) a partir de otras (llamadas proposiciones o proposiciones atómicas o proposiciones simples). Ejemplo 1.1.8. Algunos ejemplos de proposiciones compuestas son: • Pareces cansado o enfermo. • Está lloviendo y hace mucho viento. • No te escucho. • O vienes al laboratorio regularmente o tienes que realizar una prueba práctica. • Si no entiendo, pregunto. • Comeré si, y sólo si, tengo hambre. 1.1.9. En la Tabla 1 se describen los operadores lógicos más importantes. Operador lógico Notación Se lee Disyunción u O inclusivo ∨ o Conjunción ∧ y Negación ¬ no O exclusivo ⊕ o ... o ... Implicación → si ..., entonces ... Bicondicional o doble implicación ↔ ... si, y sólo si, ... Tabla 1: operadores lógicos Ejercicio 1.1.10. Expresa las proposiciones compuestas del ejemplo anterior utilizando proposiciones simples y conectores lógicos. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 1.2. 3 Tablas de verdad. Definición 1.2.1. Una tabla de verdad de una proposición compuesta es una tabla que da los valores de verdad (V ó F) de la proposición en función de los valores de verdad (V ó F) de sus proposiciones componentes atómicas. A continuación describimos las tablas de verdad de los operadores lógicos. 1.2.2 (Negación (¬) ). Si p es una proposición, entonces ¬p (se lee “no p”) es la proposición “no se cumple p”. p ¬p V F F V Tabla 2: tabla de verdad de la negación Ejemplo 1.2.3. p : Hoy es lunes, ¬p : Hoy no es lunes. q : 2 + 5 = 7, ¬q : 2 + 5 6= 7 1.2.4 (Conjunción (∧)). Si p y q son dos proposiciones, entonces p ∧ q (se lee “p y q”) es la proposición “se cumplen p y q”. p V V F F Tabla 3: tabla de q p∧q V V F F V F F F verdad de la conjunción Ejemplo 1.2.5. p : Hoy es lunes, q : Hoy Llueve. p ∧ q : Hoy es lunes y llueve. La proposición p ∧ q sólo es verdadera los lunes con lluvia. p q p⊕q V V F V F V F V V F F F Tabla 5: tabla de verdad de la disyunción exclusiva Ejemplo 1.10 (Implicación (→)). . entonces p ⊕ q (se lee “o p o q”) es la proposición “se cumple p o se cumple q.2. Si p y q son dos proposiciones.2. “p implica q”. condición suficiente o premisa y a q conclusión.2. entonces q también”. En el ejemplo anterior: p ∨ q : Hoy es lunes u hoy llueve.2. La proposición p ⊕ q sólo es falsa los días que ni son lunes ni llueve y los lunes que llueve. “p es suficiente para q”. Si p y q son dos proposiciones. entonces p → q (se lee “si p.8 (O exclusivo (⊕)). pero no ambas”. “q es necesaria para p” o “q se deduce de p”) es la proposición “si p es verdadera. 1.7.4 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 1. En el ejemplo anterior: p ⊕ q : U hoy es lunes u hoy llueve.9. Si p y q son dos proposiciones. condición necesaria. 1. entonces p ∨ q (se lee “p o q”) es la proposición “se cumple p o se cumple q o ambas”. La proposición p ∨ q sólo es falsa los días que ni son lunes ni llueve. tesis o consecuencia. entonces q”.6 (Disyunción (∨)). p V V F F Tabla 4: tabla de q p∨q V V F V V V F F verdad de la disyunción Ejemplo 1.2. A p se le llama hipótesis. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA p V V F F Tabla 6: tabla de 5 q p→q V V F F V V F V verdad de la implicación Ejemplo 1. entonces hace frío. En el ejemplo anterior: q → p : Si enciendo la calefacción. enciendo la calefacción. p → q : Si hace frío.2. q : Enciendo la calefacción.2.12. La implicación q → p se llama recíproca de p → q y la contra-recíproca de p → q es ¬q → ¬p.11. p : Hace frío. Ejemplo 1. Definición 1. .2. La proposición p → q sólo es falsa si hace frío y no enciendo la calefacción. p q q→p V V V V F V F V F F F V Tabla 7: tabla de verdad de la implicación recíproca p q ¬q → ¬p V V V V F F F V V F F V Tabla 8: tabla de verdad de la implicación contrarecíproca En la Sección 2 veremos que una implicación y su contra-recíproca son equivalentes.13. entonces p ↔ q (se lee “p si. 1. La tabla de verdad de la proposición (p → q)∧(q → p) es: p V V F F Tabla q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p) V V V V F F V F V V F F F V V V 10: tabla de verdad de (p → q) ∧ (q → p) . Combinando operadores lógicos. se cumple q”. entonces q. paréntesis y proposiciones moleculares es posible formar otras proposiciones compuestas y determinar sus valores de verdad utilizando las tablas de verdad. Observación 1.6 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA La proposición q → p sólo es falsa si enciendo la calefacción y no hace frío. y sólo si. q : Estudio.17. y recíprocamente”) es la proposición “se cumple p si. Si p y q son dos proposiciones. “p es necesario y suficiente para q” o “si p. q”. La proposición ¬q → ¬p sólo es falsa si hace frío y no enciendo la calefacción. p q p↔q V V V V F F F V F F F V Tabla 9: tabla de verdad de la doble implicación Ejemplo 1.2. y sólo si. p : Supero la prueba. Ejemplo 1. ¬q → ¬p : Si no enciendo la calefacción.14 (Doble implicación (↔)).2. estudio.15.16.2. p ↔ q : Supero la prueba si.2. entonces no hace frío. y sólo si. 2. la de una contradicción valores falsos.1. Y si no es ni tautología ni contradicción se llama contingencia. p ¬p p ∨ ¬p V F V F V V Tabla 11: tabla de verdad de p ∨ ¬p • p ∧ ¬p es una contradicción.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 7 Ejercicio 1. si siempres es falsa. Se verifica que: • p ∨ ¬p es una tautología. Ejemplo 1. contradicciones y contingencias. La tabla de verdad de una tautología únicamente tiene valores verdaderos en su última columna.18. Una proposición molecular que siempre es verdadera independientemente de los valores de verdad de las fórmulas atómicas que la componen es una tautología. .3. Construye las tablas de verdad para cada una de estas fórmulas: • • • (p ∨ ¬q) → q (p ∨ q) → (p ∧ q) (p ∨ q) → (p ⊕ q) 1. • • • (p → q) ↔ (¬q → ¬p) (p → q) → (q → p) (p ⊕ q) → (p ∧ q) Tautologías.3.3 (Otras tautologías). y la de una contingencia valores falsos y verdaderos.3.3. se llama contradicción. Las siguientes implicaciones son tautologías y se usarán en la demostración de resultados en matemáticas y ciencias de la computación (véase la Sección 4). 1. p ¬p p ∧ ¬p V F F F V F Tabla 12: tabla de verdad de p ∧ ¬p • p → q es una contingencia (véase la Tabla 6).2. Definición 1. ∨ y ∧. 2.2. 2.1. p ∧ (p ∨ q) ≡ p • Asociativas: (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r). Se tienen las siguientes equivalencas lógicas: • Identidad: p ∧ V ≡ p. Ejemplo 2. p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) • De Morgan: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.8 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA • • • • (p ∧ q) → p p → (p ∨ q) ¬p → (p → q) (p ∧ (p → q)) → q • • • • ¬(p → q) → p (¬p ∧ (p ∨ q)) → q (¬q ∧ (p → q)) → ¬p ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) Ejercicio 1. Se denota p ≡ q. p ∧ F ≡ F • Idempotentes: p ∨ p ≡ p. Construye las tablas de verdad de las anteriores tautologías. p q p → q ¬p ¬p ∨ q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V Tabla 13: tabla de verdad de p → q y ¬p ∨ q 2.1. Las fórmulas p → q y ¬p ∨ q son lógicamente equivalentes. Es decir.1.1.2.1. Equivalencias lógicas relativas a ¬. Equivalencias lógicas Definiciones. Sean p.. p ∧ q ≡ q ∧ p • Absorción: p ∨ (p ∧ q) ≡ p. Propiedades 2. q y r proposiciones. i. Dos fórmulas p y q son lógicamente equivalentes si p ↔ q es una tautología. p → q ≡ ¬p ∨ q. p y q son simultáneamente verdaderas o falsas.4. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q .3. p ∨ F ≡ p • Dominación: p ∨ V ≡ V . Definición 2. e. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) • Distributivas: p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r). p ∧ p ≡ p • Doble negación: ¬(¬p) ≡ p • Conmutativas: p ∨ q ≡ q ∨ p.2. ya que el hecho de que sea verdadera o falsa depende del valor de x. Demuestra las equivalencias anteriores.3. Se verifica que: ¬(p ∨ (¬p ∧ q)) ≡ ¬p ∧ ¬q En efecto: ¬(p ∨ (¬p ∧ q)) ≡ ¬p ∧ ¬(¬p ∧ q)) ≡ ¬p ∧ (¬(¬p) ∨ ¬q) ≡ ¬p ∧ (p ∨ ¬q) ≡ (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ F ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ (¬p ∧ ¬q) 2. Propiedades 2.4.4.2. Equivalencias lógicas relativas a ↔. 2. Demuestra las equivalencias anteriores.2. muchas afirmaciones en matemáticas y en computación son de este tipo. • p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) • p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬q • p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) • ¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q • ¬(p ↔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) Ejercicio 2. . Predicados y cuantificadores La afirmación x + 2 = 5 no es una proposición. Equivalencias lógicas relativas a →. Sean p y q proposiciones. Demuestra las equivalencias anteriores.2.3. se verifican las siguientes equivalencias lógicas: • • • • p → q ≡ ¬p ∨ q p → q ≡ ¬q → ¬p ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q p ∨ q ≡ ¬p → q • • • • (p → q) ∧ (p → r) ≡ p → (q ∧ r) (p → r) ∧ (q → r) ≡ (p ∨ q) → r (p → q) ∨ (p → r) ≡ p → (q ∨ r) (p → r) ∨ (q → r) ≡ (p ∧ q) → r Ejercicio 2. 3.3.2.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 9 Ejercicio 2.1.3. Sin embargo. Ejemplo 2.2.4.1. q y r son proposiciones. Si p. Propiedades 2. . Xn . X2 .1. .6. Todo predicado P (X) se puede considerar como una aplicación P que asocia una proposición P (x) a cada elemento x de un cierto conjunto llamado universo del predicado o dominio del predicado. En el ejemplo anterior: • • P (4) es verdadera y P (2) es falsa.1. . e. 21 ) es falsa. Ejemplo 3.5..1. .1. P (x) ∨ Q(x). Q(−1.4. . Observación 3. X2 .7 (Operadores lógicos y predicados). e. i.1. para simplificar. Y ) : X + Y = 5. Predicados. Definición 3. .1. Q(0. .1. El predicado (P ∨ Q)(X) que asocia a cada elemento x del dominio de P y de Q la conjunción de las proposiciones P (x) y Q(x). ¬P (x). . . Ejemplo 3. Q(X. El valor de verdad de un predicado puede variar ya que depende de la selección de las variables X1 . .1. Son predicados: • • P (X) : X > 3. 3. 5) es verdadera. Ejemplo 3. El universo de Q es el conjunto R2 = R × R. X2 . Definición 3. Al igual que las proposiciones.1. Xn se llama predicado o función proposicional y se denota P (X1 . donde X representa a cualquier número real. Cuando las variables de una función proposicional tomen valores concretos el resultado será una proposición verdadera o falsa. En el ejemplo anterior: • • El universo de P es el conjunto de los números reales R. Una sentencia P que alude a una o varias variables X1 .2.3. Por ejemplo: • • El predicado ¬P (X) que asocia a cada elemento x del dominio de P la negación de la proposición P (x).10 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 3. consideraremos predicados P (X) que dependen únicamente de una variable X. los predicados que se apoyan en un mismo universo pueden combinarse mediante operadores lógicos. Xn ). . . 6) es verdadera y Q(0. . donde X e Y representan a dos números reales cualesquiera.. i. A partir de ahora y. Ejercicio 3.2. En el Ejemplo 3. Sea P (X) un predicado en la variable X. Q(X) : X trabaja en Ourense. P (x)”. Pero hay otra forma importante de conseguir una proposición a partir de un predicado: la cuantificación. Ejemplo 3. e.2. Sean P y Q los siguientes predicados con universo el conjunto de los gallegos: P (X) : X vive en Ourense. “para cada x.2.8: . Se denota ∀ x. El símbolo ∀ se llama cuantificador universal. P (x)” o “para cualquier x.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA • 11 El predicado (P ∧ Q)(X) que asocia a cada elemento x del dominio de P y de Q la disyunción de las proposiciones P (x) y Q(x).2. P (x)”.1.8. Cuantificadores. Expresa en lenguaje natural: • ¬P (X) • (P ∨ Q)(X) • (P ∧ Q)(X) 3. la sentencia resultante se convierte en una proposición con un determinado valor de verdad (V ó F).1. Sean P y Q los siguientes predicados con dominio el conjunto de los números naturales: P (X) : X es un número par. Entonces: • ¬P (X) : X no es un número par. • (P ∨ Q)(X) : X es par o es el cuadrado de un número natural. Definición 3.1. La cuantificación universal de P (X) es la proposición “P (x) es verdadera para todo los valores x del dominio”. P (x) ∧ Q(x).9. P (x) y se lee “para todo x.. i. Cuando a todas las variables de una proposición proposicional se le han asignado valores. Q(X) : X es el cuadrado de un número natural. • (P ∧ Q)(X) : X es par y es el cuadrado de un número natural. P (x) (∀ x ∈ U.1. Y para especificar el universo U del predicado escribimos ∀ x en U. P (x)). Ejemplo 3. P (x). Para mostrar que una proposición de la forma ∀ x.2.8 (Valores de verdad de la cuantificación existencial ). Q(x) es falsa ya que el número 3 es natural y no es el cuadrado de un número natural. y para mostrar que es verdadera hay que encontrar un valor x en el dominio para el cual P (x) sea verdadera.1. Y para mostrar que ∀ x.1. 3. P (x) es falsa.8: • ∃ x ∈ N. Ejemplo 3. P (x) (∃ x ∈ U.2.2. Para mostrar que una proposición de la forma ∃ x. P (x) es falsa ya que el número 3 es natural y no es par.2. 3. En el Ejemplo 3. En el Ejemplo 3. Ejemplo 3. Ejercicio 3.3 (Valores de verdad de la cuantificación universal ).9.12 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA • • ∀ x ∈ N. • ∀ x ∈ N. P (x) es falsa. P (x)”.2. P (x): todo número natural es par.2. Q(x): existe (al menos) un número natural que es el cuadrado de un número natural. P (x) y se lee “hay un x tal que P (x)”. Q(x): todo número natural es el cuadrado de un número natural. • ∃ x ∈ N.4. Se denota ∃ x. Este valor x se llama contraejemplo de la sentencia ∀ x. . sólo necesitamos encontrar un valor x del dominio para el cual P (x) sea falsa. P (x): existe (al menos) un número natural que es par. Ejemplo 3. P (x)). x < 100 ⇒ x − 1 < 100 2 • ∀ x ∈ R. ∀ x ∈ N. P (x) es verdadera hay que probar que P (x) es verdadera para todos los valores x en el dominio. El símbolo ∃ se llama cuantificador existencial.8: • ∃ x ∈ N. “hay al menos un x tal que P (x)” o “para algún x. Determina el valor de verdad de: • ∀ x ∈ R.6. hay que mostrar que P (x) es falsa para todos los valores x del dominio.2. ya que el número 2 es natural y par. x ≥ 0 ⇒ x ≤ x Definición 3. P (x): es verdadera. En el Ejemplo 3.5.1. Y para especificar el universo U del predicado escribimos ∃ x en U.7. La cuantificación existencial de P (X) es la proposición “existe un elemento x en el dominio tal que P (x) es verdadera”.8: • ∀ x ∈ N. ∃ y. P (x. ∃ y ∈ R.11. ∃ y. Y ) es un predicado se pueden presentar las siguientes situaciones: • • • • ∀ x.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA • 13 ∃ x ∈ N. Para cada una de las variables se puede especificar el universo. Si P (X.12. Si P (x.10. y P (x. ∀ x. ∀ x. x21+1 > 1 Observación 3. y) es verdadera”. x + y = y: existencia del elemento neutro para la suma (x es el 0).2. ∀ y ∈ R. Expresa la proposición “existe (al menos) un número natural que es el cuadrado de un número natural” utilizando dos variables. y): “existe un par x. x + y = y + x = 0: existencia del elemento opuesto para la suma (y es −x). y) es verdadera para todo y”. y para el cual P (x. ∀ y. y). y) ≡ ∃ (x. ya que el número 4 es natural y 4 = 22 . • • • • ∀ x ∈ R. P (x. ∃ y ∈ R. Q(x): es verdadera. Ejercicio 3. P (x. y) ≡ ∀ y. x · y = xy = −1 Ejercicio 3.2. n2 < n ∃ x ∈ R. y).2. y) es verdadera”. ∃ y. ∃ x. Supongamos que el dominio de las variables reales x e y consiste en todos los números reales. Ejemplo 3. ∀ y ∈ R.2. ∃ x ∈ R. Cuando un predicado depende de varias variables se pueden utilizar cuantificadores (universal y/o existencial) para cada una de las variables (cuantificadores anidados). y): “existe un x para el cual P (x. P (x. y): “para todo par x. entonces: • • ∀ x. Propiedad 3. Determina el valor de verdad de: • • ∃ n ∈ N.13. P (x. P (x. ∀ x ∈ R. P (x.2. y) ≡ ∀ (x. y): “para todo x hay un y para el cual P (x. ∃ x. P (x. ∃ x ∈ R. x + y = y + x: la suma de dos números reales es conmutativa. ∃ x. y) es un predicado. y) ∃ x. y) . ∀ y. y) es verdadera”. P (x. y) ≡ ∃ y.14 (Conmutatividad de los cuantificadores anidados). P (x. ∀ y. P (x) ∨ Q(x) ≡ (∃ x. P (x. Estudia el valor de verdad de: • ∃ y ∈ R. P (x)): hay al menos un alumno que no ha cursado una asignatura de francés. Sea P (X.3.3. • ¬(∃ x. P (x)) ≡ ∃ x. Propiedades 3. x2 > y + 1 • • ∀ x.15. ∀ y. Sea P (x) un predicado. x < x Propiedades 3.3.14 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA Observación 3. ∀ x ∈ R.2 (Negación). ∃ y.E. y) ≡ ∀ x.3.3. Sea P (X) el predicado “X ha cursado una asignatura de francés” con universo todos los alumnos de 1o de la E.2.2. P (x.17. ∃ y ∈ R.3. x2 > y + 1 ∃ x. y) Para todo número real x existe un número real y tal que x + y = 0.1. ¡Cuidado! En general NO se verifica que: ∃ y. ∀ y. Q(x)) . P (x. y) Hay un número real y tal que para todo número real x se verifica que x + y = 0. Entonces: • ¬(∀ x. • • 3. P (x)): ningún alumno ha cursado una asignatura de francés.S. Ejercicio 3. x2 > y + 1 ∃ x. con universo el conjunto de los números reales. ∃ y. ¬P (x) Ejemplo 3. Sean P (x) y Q(x) dos predicados.16.I. Esta sentencia es falsa. Esta sentencia es verdadera (y sería −x).3.5 (Disyunción). ∃ y. P (x)) ∨ (∃ x. • ¬(∀ x. ¬P (x) • ¬(∃ x. P (x. Entonces: • ∃ x. Y ) la sentencia “X + Y = 0”. • ∀ x ∈ R. Definición 3.2. El universo de las variables x e y es R. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones. y) Ejemplo 3. x2 > y + 1 Álgebra de predicados. P (x)) ≡ ∀ x. Niega las siguientes proposiciones: 1 • ∃ x ∈ R. ∀ x. ∀ x. 2 <1 x +1 2 • ∀ x ∈ R.4. El álgebra de predicados se ocupa de las reglas que relacionan los cuantificadores entre sí y con los conectores lógicos. Ejercicio 3. 3. (∀ x.3. P (x) ∧ Q(x) ≡ (∀ x. P (x) y se lee “hay un único x tal que P (x)”. Q(x)): Existe una letra que es vocal y existe una letra que es consonante. P (x)) ∨ (∀ x.7: • ∃ x. Q(x)) Ejemplo 3. Consideremos los siguientes predicados con universo el alfabeto: P (X) : X es una vocal. La sentencia es verdadera y x sería el número 0. • • ∀ x.3. Q(X) : X es una consonante. P (x) o ∃! x.3. Q(x)): todas las letras son vocales o todas las letras son consonantes. P (x)) ∧ (∀ x. Propiedades 3. ∀ z. P (x)) ∧ (∃ x.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 15 Observación 3. Se verifica que: ∃• x. Entonces: • ∀ x.8 (Conjunción). P (x)) ∨ (∀ x.9.3. P (x)) ∧ [∀ y.7. En el Ejemplo 3.10. Definición 3.6. Q(x)) Ejemplo 3. .3. Sean P (x) y Q(x) dos predicados. P (x) se expresa en lenguaje natural: existe un único número real x tal que x + x = 0. Q(x)) Observación 3. P (x))∧(∃ x. P (x) ∧ Q(x) ≡ (∃ x.12. • (∃ x. P (x) ∨ Q(x): toda letra es vocal o consonante. P (x) ∧ Q(x): Existe una letra que es vocal y consonante.3. (P (y) ∧ P (z)) → (y = z)] Ejemplo 3. Entonces: ∃• x ∈ R.11. ¡Cuidado! En general NO se verifica que: ∃ x. Sea P (X) = X + X = 0 con dominio el conjunto de los números reales. P (x) ∨ Q(x) ≡ (∀ x.3. ¡Cuidado! En general NO se verifica que: ∀ x. Se denota ∃• x. La unicidad de la cuantificación existencial de P (X) es la proposición “existe un único elemento x en el dominio tal que P (x) es verdadera”. P (x) ≡ (∃ x. Sean P (x) y Q(x) dos predicados. Son tautologías: • ((∀ x. dos predicados en el dominio de los números naturales. (P (x) → Q(x)) Propiedades 3. P (x)) ∧ (∃ x. 4. Sean P (x) : x es un número primo..16 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA Propiedades 3.14 (Tautologías). . Son las reglas de inferencia. (P (x) → Q(x)) ≡ (∀ x.15. etc. → Conclusión Usaremos la siguiente notación para las reglas de inferencia: Hipótesis 1 Hipótesis 2 . “luego”. . • • • ∃ x. Las reglas de inferencia se basan en tautologías de la forma Hipótesis 1 ∧ Hipótesis 2 ∧ . P (x) ∨ Q(x)) • (∃ x. Entonces: • ∃ x. Q(x)) ∃• x. ∴ Conclusión El símbolo ∴ se lee “por lo tanto”. Q(x))) → (∀ x.1. P (x) Razonamiento deductivo Reglas de inferencia.13 (Implicaciones). P (x)) ∧ (∃ x.3. P (x)) → (∀ x.3.. P (x) ∨ Q(x) ∀ x. P (x)) ∨ (∀ x. Los argumentos basados en tautologías son métodos de razonamiento universalmente correctos. P (x) ∨ Q(x) (∀ x. Expresa en lenguaje natural las siguientes expresiones y estudia su valor de verdad: • • • • ∃ x.1. Q(x)) • (∃ x. Definición 4. Q(x)) ∀ x. P (x) ∧ Q(x)) → ((∃ x. Q(x))) Ejercicio 3.1. P (x) ∧ Q(x) 4. Q(x) : x es un número par. Q(x)) ≡ ∀ x. P (x)) → (∃ x. P (x) ∧ Q(x) (∃ x.3. . P (x)) ∨ (∀ x. Sean P (x) y Q(x) dos predicados. Regla p ∴ p∨q p∧q ∴p p q ∴ p∧q p p→q ∴q ¬q p→q ∴ ¬p p→q q→r ∴p→r p∨q ¬p ∴q p∨q ¬p ∨ r ∴ q∨r p↔q ∴ (p → q) ∧ (q → p) p→q q→p ∴p↔q p→q ∴ ¬q → ¬p Tautología Nombre p → (p ∨ q) adición (p ∧ q) → p simplificación ((p) ∧ (q)) → p ∧ q conjunción (p ∧ (p → q)) → q modus ponens (¬q ∧ (p → q)) → ¬p modus tollens ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) silogismo hipotético ((p ∨ q) ∧ (¬p)) → q silogismo disyuntivo ((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)) → (q ∨ r) ley de resolución (p ↔ q) → ((p → q) ∧ (q → p)) ((p → q) ∧ (q → p)) → (p ↔ q) (p → q) → (¬q → ¬p) Tabla 14: Reglas de inferencia Ejemplo 4.2.1. luego enciendo la calefacción. El argumento “Si hace frío.” se basa en la regla de inferencia modus ponens: p : Hace frío. Hace frío. q : Enciendo la calefacción. . enciendo la calefacción.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 17 Las reglas de inferencia más frecuentes se indican en la Tabla 14. voy a la piscina o voy a la playa • Bebo si. se tienen las reglas de inferencia para sentencias cuantificadas indicadas en la Tabla 15. Si enciendo la calefacción. Por tanto. el consumo de electricidad aumenta. • Si bebo. • Llueve o hace frío. enciendo la calefacción. No enciendo la calefacción. el consumo de electricidad aumenta. Por lo tanto. bebo si. tengo sed. tengo sed y si tengo sed. Para P (X) un predicado y c un elemento en el universo de P . Por tanto. Si hace frío. Estas reglas de inferencia se usan con frecuencia en los argumentos matemáticos. enciendo la calefacción. y sólo si.4.3. luego no hace frío. c arbitrario ∴ ∀ x P (x) ∃ x P (x) ∴ P (c).18 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA p→q p ∴q Ejercicio 4. para algún elemento c ∴ ∃ x P (x) Nombre particularización universal generalización universal particularización existencial generalización existencial . tengo sed y si tengo sed. • Si hace frío. Propiedades 4. llueve. llueve. bebo. bebo. Regla ∀ x P (x) ∴ P (c) P (c). hace frío y llueve. hace frío o llueve. Por lo tanto. • Voy al cine o voy a la piscina. Determina en qué regla de inferencia se basan los siguientes argumentos: • Hace frío. Por lo tanto. y sólo si. Por tanto.1. si bebo. Llueve. • Si hace frío. tengo sed. muchas veces sin mencionarlas explícitamente.1. • Hace frío y llueve. • Hace frío. Por lo tanto. para algún elemento c P (c). No hace frío. No voy al cine o voy a la playa. . no a su contenido. Un argumento P1 ∧ P2 ∧ . ∧ Pn → Q es válido si siempre que P1 ∧ P2 ∧ . ∧ Pn sean todas verdaderas. • Todos los estudiantes de Ingeniería Informática cursan FMI.1. María es una alumna de FMI.2. se debe mostrar en cada paso cómo se llega de un razonamiento a otro. María es estudiante de Ingeniería Informática. Por tanto. . entonces se tiene garantizada la conclusión. Luego. • Todos los estudiantes de la clase entienden lógica. Determina en qué regla de inferencia se basan los siguientes argumentos: • Un estudiante de esta clase no ha leído el libro. c = María. Entonces María está matriculada en Ingeniería Informática.1. El argumento “Todos los alumnos de Fundamentos Matemáticos para la Informática (FMI) están matriculados en Ingeniería Informática.1. razonando explícitamente cada paso que se ha dado.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 19 Tabla 15: Reglas de inferencia para sentencias cuantificadas Ejemplo 4. Xavier entiende lógica. Observa que no decimos que la conclusión Q sea verdadera. Definición 4. alguien no ha leído el libro. Xavier es un estudiante de la clase. Para evitar razonamientos incorrectos. 4. Un argumento es válido debido a su foma. Ejemplo 4. Razonamientos válidos y falacias.2. ∀ x P (x) ∴ P (c) Ejercicio 4.6. . Por tanto.5.” se basa en la regla de inferencia particularización universal : P (x) : x está matriculado en Ingeniería Informática. sino que si se garantizan las hipótesis. El razonamiento .2. entonces Q también sea verdadera. María cursa FMI. .2. 2. Entonces los cigarrillos son recetados por los médicos. Las falacias son una forma de razonamiento incorrecto basadas en contingencias. Yo no se y el profesor no es justo. las definiciones se utilizan para crear conceptos nuevos en términos de los ya . p p→q ∴q Ejercicio 4. Entonces 2 = 3.6. • Si 2 = 3. Estudia la validez del siguiente argumento: “Condición suficiente para que yo apruebe es que yo sepa o que el profesor no sea justo. Un sistema matemático consta de axiomas.1. suspendo”. Determina si los siguientes argumentos son válidos: • Si bajan los impuestos. Si fumar es saludable.” es válido. Se suponen verdaderos los axiomas. ya que se basa en la regla de inferencia modus ponens: p : Fumar es saludable. definiciones y términos no definidos. • Si 2 = 3.2.2.2. entonces los cigarrillos son recetados por los médicos. Ejercicio 4. entonces piloté un avión.20 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA “Fumar es saludable.2. • El tercer razonamiento es la falacia de negar la hipótesis. Algunas falacias frecuentes son: • Falacia de afirmar la conclusión: [(p → q) ∧ q] → p • Falacia de negar la hipótesis: [(p → q) ∧ ¬p] → ¬q Ejemplo 4. 5. Los ingresos se elevan. Entonces piloté un avión. • Si fumar es saludable.5. 2 = 3.3.3: • El último razonamiento es la falacia de afirmar la conclusión. q : Los cigarrillos son recetados por los médicos. Piloté un avión. Definiciones. Por lo tanto. entonces piloté un avión. En el Ejercicio 4. Métodos de demostración 5. entonces los cigarrillos son recetados por los médicos.4. Entonces los cigarrillos no son recetados por los médicos. Definición 4. entonces se elevan los ingresos. Entonces bajan los impuestos. Fumar no es saludable. 1. sino que se definen de forma implícita mediante axiomas. hasta llegar a la conclusión. 5. Dentro de un sistema matemático es posible deducir teoremas.2.1. • Un lema es un teorema sencillo utilizado en la demostración de otros teoremas. mediante el cual se prueba que el teorema es verdadero. algunos términos no se definen de forma explícita. Definición 5. • Un corolario es una proposición que se puede establecer directamente a partir de un teorema que ya ha sido demostrado.3.2.1. 2 • El entero n impar si. se verifica que n < 2 . Un teorema es una sentencia que se puede verificar que es verdadera (i. Definición 5. mediante axiomas o postulados y teoremas demostrados previamente. Definición 5.1. y sólo si. Algunos ejemplos de teoremas son: • Si 3n + 2 es impar. n es un entero impar.1.e. se llama teorema y los otros proposiciones.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 21 existentes. se derivan sentencias nuevas. sino por sus muchas aplicaciones en ciencias de la computación . Se distinguen los siguientes tipos de teoremas: • Una proposición es un teorema de menor importancia en el discurso. n • ∀ n con n un número natural positivo. La demostración de un teorema debe comenzar con las hipótesis y. entonces n es impar. Los métodos de demostración son importantes no sólo porque se usan para demostrar teoremas matemáticos. Una demostración de un teorema es un argumento formado por una secuencia de sentencias. Las reglas de inferencia se usan para deducir conclusiones a partir de otras afirmaciones y son las que enlazan los pasos de una demostración. justificando cada paso por alguna regla de inferencia. Métodos de demostración. su valor de verdad es verdadero). y • Existen dos números irracionales x e y tales que x es racional. El enunciado de un teorema puede ser de la forma: • p → q (recordemos que p es la hipótesis y q la conclusión) • p ↔ q • ∃ x P (x) • ∀ x P (x) Ejemplo 5. Cuando tenemos varios resultados y queremos resaltar la importancia de uno de elllos.4. 5. 5. Demuestra la proposición: “Si n es un entero impar..). el teorema se puede demostrar viendo que el contrarecíproco es verdadero. Demuestra la proposición: “Si 3n+2 es un entero impar. Ejemplo 5. vacua. Suponemos que p es verdadera y se utilizan las reglas de inferencia. Ejemplo 5. entonces se cumple q”: Teorema : p → q (puede ocurrir que p ↔ p1 ∧ p2 ∧ . .3. indirecta: paso al contra-recíproco. Consideremos un teorema de la forma “Si se cumple p. este se puede probar directamente o mediante otra técnica.22 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA (verificación de que un programa de ordenador es correcto.2.2. Demostración.2 (Demostración directa). Como (p → q) ↔ (¬q → ¬p).5. . A su vez.2.2. consistencia de las especificaciones de un sistema. . axiomas y teoremas ya demostrados para demostrar que q también es verdadera..2.4 (Demostración indirecta: paso al contra-recíproco). entonces n es par”. .1. entonces n es un entero impar”. ∧ pn ) Entre las técnicas de demostración de este tipo de teoremas destacamos: • • • • • Demostración Demostración Demostración Demostración Demostración directa. trivial. inferencias en inteligencia artificial. seguridad de los sistemas operativos. entonces n2 es un entero impar”. 5. por contradicción: reducción al absurdo. Observa que un corolario de este resultado sería: “Si n es un entero tal que n2 es par. n es impar ⇒ n = 2k + 1. para algún número entero k ⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 · (2k 2 + 2k) + 1 ⇒ n2 es impar. A continuación se explican cada una de estas técnicas. Para probar que p → q supongamos que ¬q es verdadera (i. q es falsa) y que p es verdadera. Supongamos que p es falsa. . 5. si p ∧ ¬q implica una contradicción (i.6 (Demostración por contradicción: reducción al absurdo). demuestra que la proposición P (0) es verdadera. 5. Entonces: √ p 2 = .e. con n un número entero 2⇒ 2 4n2 = 2q 2 ⇔ 2n2 = q 2 ⇒ p =2q 2 q es par ⇒ q es par ⇒ contradicción. como p es verdadera. por lo tanto. entonces p → q es verdadera. entonces n2 > n”. Por reducción al absurdo. Si P (n) es la proposición “Si n > 1 es impar. En efecto. p ∧ ¬q → F es verdadera). para algún número entero k ⇒ 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) ⇒ 3n + 2 es par. La proposición P (0) es la implicación “Si 0 > 1 es impar.2. i.2. Supongamos que q es verdadera.2. Ejemplo 5. ya que p y q no tienen factores comunes. p → q ≡ (p ∧ ¬q) → F . √ Demostración. Por paso al contra-recíproco veamos que si n es un entero par. √ T eorema : 2 es irracional. Demostración.2. la implicación es automáticamente verdadera.2. Con lo cual. Ejemplo 5. entonces 02 > 0”. Basta ver que p ∧ ¬q implica una contradicción (F). ¬q es falsa y. 5. Se basa en la tautología p → q ↔ [(p ∧ ¬q) → F ]. Sea n un número entero.e.7. entonces p → q es verdadera.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 23 Demostración. entonces o p es falsa o ¬q es falsa. supongamos que 2 es racional.8 (Demostración vacua).9.10 (Demostración trivial ). entonces 3n + 2 es un entero par. con p y q 6= 0 números enteros sin factores comunes ⇒ q p p2 2 = ( )2 = 2 ⇔ p2 = 2q 2 ⇒ p2 es par ⇒ p es par ⇒ q q p = 2n. q es verdadera.e. Como la hipótesis es falsa. n es par ⇒ n = 2k. ya que −x = |x| e y = |y|.13. Demuestra que si n es un entero y n3 + 5 es impar. entonces n es par usando: • Una demostración directa. Sea n un número entero. |xy| = −xy = (−x) · y = |x||y|. entonces |xy| = |x||y|.2. . • Si x e y son positivos.24 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA Ejemplo 5. consiste en probar que p1 → q. y pn → q.15. . entonces a0 ≥ b0 ”. . • Si x es negativo e y es positivo. xy es negativo y.14 (Demostración por casos). ∨ pn → q Para demostrar este tipo de teoremas se usa la técnica de demostración por casos. ∨ pn .16. por lo tanto. xy es negativo y. |xy| = −xy = x · (−y) = |x||y|. 5. • Una demostración indirecta.2.2. el teorema es de la forma Teorema : p1 ∨ p2 ∨ . demuestra que la proposición P (0) es verdadera. .11. ya que −x = |x| y −y = |y|. ∨ pn ) → q] ↔ [(p1 → q) ∧ (p2 → q) ∧ . xy es positivo y. p2 → q. |xy| = xy = |x||y|. ya que x = |x| y −y = |y|.. por lo tanto. Consideremos un teorema de la forma Teorema : p ↔ q . Supongamos ahora que p ↔ p1 ∨ p2 ∨ . . Demostración. . ya que x = |x| e y = |y|. .e. 5. La proposición P (0) es la implicación “Si a y b son enteros positivos. por lo tanto. 5. . • Una demostración por reducción al absurdo. ∧ (pn → q)] y. Demuestra que si x e y son números reales. • Si x es positivo e y es negativo.2. |xy| = xy = (−x) · (−y) = |x||y|. xy es positivo y. • Si x e y son negativos. Ejercicio 5. entonces an ≥ bn ”. . i. . la conclusión de P (0) es verdadera (y no se ha usado la hipótesis).2.12. Si P (n) es la proposición “Si a y b son enteros positivos. La técncia se basa en la tautología [(p1 ∨ p2 ∨ . Ejemplo 5.2. Demostración. por lo tanto. . Como a0 = b0 = 1. por lo tanto. la demostración consiste en mostrar que p1 → p2 . . ∧ (pn → p1 )] y.2. (1) ⇒ (2) n par ⇒ n = 2k para algún entero k ⇒ n − 1 = 2k − 1 = 2(k − 1) + 1 ⇒ n − 1 impar. n es un entero par. y sólo si.2. . El método se fundamenta en la tautología (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)] y. n2 es un entero impar”. .18. n2 es un entero par. Ejemplo 5.19. . por lo tanto. . Ejemplo 5. Supongamos que el teorema es de la forma Teorema : p1 ↔ p2 ↔ .21.20 (Demostración de varias equivalencias). . La técnica se basa en la tautología [p1 ↔ p2 ↔ . Demuestra que “El entero n impar si.2. 3.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 25 Para probar este tipo de teorema se utiliza la técnica de demostración por equivalencia. Muestra que las siguientes sentencias son equivalentes: 1. se reduce a probar que p → q y q → p. 5. probemos que si n es un entero par entonces n2 es par. por lo tanto. . ↔ pn ] ↔ [(p1 → p2 ) ∧ (p2 → p3 ) ∧ . . 2. y pn → p1 . .2. p2 → p3 . n par ⇒ n = 2k para algún entero k ⇒ n2 = (2k)2 = 4k 2 ⇒ n2 es par.17 (Demostración por equivalencia). .2. n − 1 es un entero impar. Demostración. 5. 5. Demostración. ↔ pn Para demostrarlo se usa el método siguiente. ⇒ Esta implicación se ha probado en un ejemplo anterior. ⇐ Por paso al contra-recíproco. En caso contrario.22. P (x)) implica una contradicción. Demostración.2. Demuestra que: “Hay un entero positivo que se puede poner de dos formas diferentes como suma de cubos de enteros positivos”. por reducción al absurdo. • El valor medio de a y b es mayor que a. • Demostración constructiva: encontrar un elemento a tal que P (a) es verdadera. Supongamos que el teorema es de la forma Teorema : ∃ x. Demuestra que estas tres sentencias son equivalentes. 2 es irracional y √ √ √2 tomando x = 2 e y = 2 resulta que: √ √ √ √ √ √2 √2 y x = ( 2 ) = ( 2) 2· 2 = ( 2)2 = 2 . donde a y b son números reales: • a es menor que b.2.26. • El valor medio de a y b es menor que b.2. Ejemplo 5. basta probar que si n es impar entonces n2 es impar. • Demostración no constructiva: por ejemplo. √ √2 √ √2 Si 2 es racional. Tras muchos cálculos se encuentra que 1729 = 103 + 3 9 = 123 + 13 .e. (3) ⇒ (1) Por paso al contra-recíproco. Y esta implicación ya ha sido probada en un ejemplo anterior.. mostrando que ¬(∃ x. Ejercicio 5. Ejemplo 5.26 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA (2) ⇒ (3) n − 1 impar ⇒ n − 1 = 2k + 1 para algún entero k ⇒ n = 2k + 2 = 2(k + 1) ⇒ n2 = [2(k + 1)]2 = 4(k + 1)2 ⇒ n2 par. Por un ejemplo anterior sabemos que 2 es irracional. P(x) Se distinguen dos técnicas de demostración de existencia: la constructiva y la no constructiva. ya estaría.2. √ Demostración.24 (Demostración de existencia). 5.25. i.2. 5. Demuestra que: “Existen dos números irracionales x e y tales que xy es racional”.23. buscamos un contraejemplo. El número 7 es un contraejemplo ya que no se puede escribir como suma de los cuadrados de tres enteros. P(x) 5. Es decir: (∃ x. Y utilizando estos tres cuadrados nunca se obtiene el 7.2. En efecto.2.27.32. Para demostrar este teorema debemos realizar dos pasos: 1. 5.30 (Contraejemplos). Consideremos un teorema de la forma Teorema : ∃• x. Ejemplo 5. 1 y 4.28 (Demostración de unicidad ).29. P (x)) ∧ (∀ y (y 6= x → ¬P (y))) Ejemplo 5.31. que son 0.2. P (x) es falsa. sólo podrían considerarse los cuadrados que no excedan de 7.2. Demostración.2. Muestra que “Todo número entero tiene un único elemento opuesto”. Demostrar la unicidad: para ello hay que mostrar que si y 6= x entonces no se cumple P (y).INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 27 5. Muestra que la siguiente afirmación es falsa: “Todo entero positivo es la suma de los cuadrados de tres enteros”. Existencia: si p es un número entero −p es su opuesto ya que p+(−p) = 0. Para demostrar este tipo de enunciados se usa la inducción matemática. Demostrar la existencia (ver 5. 2. .2. o bien no conseguimos encontrar una demostración. Si creemos que una sentencia de la forma ∀ x.2.24). Supongamos un teorema de la forma Teorema : ∀ n. Entonces: p + r = 0 = p + (−p) ⇒ p + r − p = −p ⇒ r = −p 5. Unicidad: supongamos que existe un número entero r 6= −p tal que p + r = 0. P(n) donde el dominio es el conjunto de los números enteros n tales que n ≥ n0 para un número entero n0 fijo. Ejercicios 6.28 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 5. 3 + 3 · 5 + 3 · 52 + . 6. ∀ k ≥ n0 .2. . k < 2k ⇒ 2k < 2 · 2k = 2k+1 Por otra parte: 1 < k ⇒ k + 1 < k + k = 2k Combinando las dos desigualdades se obtiene que: k + 1 < 2k < 2k+1 ⇒ k + 1 < 2k+1 Ejercicio 5. • Paso de inducción: Se demuestra que P (k) → P (k + 1) es una tautología. Proposiciones. Demuestra que: “∀ n con n un número natural positivo. • Madrid es la capital de España. entonces P (k + 1) también. La inducción matemática se basa en la tautología: [P (n0 ) ∧ (∀ k.34. P (k) → P (k + 1))] → ∀ n. . se verifica que n < 2n ”. ¿Cuáles de estas frases son proposiciones? ¿Cuál es el valor de verdad de aquellas que son proposiciones? • Lugo es la capital de Galicia.2. + 3 · 5n = 4 para todo entero no negativo n. En el Capítulo ?? se estudia en detalle la inducción matemática en su versión fuerte. • Paso de inducción: supongamos que la afirmación es cierta para k > 1 y probémosla para k + 1.35. hay que probar que si P (k) es verdadera. . • Paso base: n0 = 1.33 (Inducción matemática). Usa la inducción matemática para demostrar que: 3(5n+1 − 1) . La afirmación 1 < 2 es trivial. P (n) Por lo tanto. Ejemplo 5. Es decir. así como su validez como técnica de demostración. 1.2. en toda demostracción por inducción se deben realizar los siguientes pasos: • Paso base: Se demuestra que P (n0 ) es verdadera.1. 5. ¬p ∧ ¬q. • 1 + 1 = 2 si. no es primavera. • 8 > 6 o no es cierto que (8 > 7) y (6 > 7). • Conducir a más de 100 km por hora es suficiente para que te multen por exceso de velocidad. • No conduces a más de 100 km por hora. ¬p ∨ (p ∧ q). p ∧ q. verano u otoño.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 2+3=5 • 5 + 7 = 10 • x + 2 = 11 • Responde a esta pregunta. Escribe los enunciados siguientes usando p y q y conectivos lógicos. pero no te multan por exceso de velocidad. p ↔ q. Sean p y q los enunciados: p: Conduces a más de 100 km por hora. • x + y = y + x para todo par de números reales x e y. Expresa cada una de las siguientes fórmulas en lenguaje natural: ¬p. • No hay polución en Ourense. • Conduces a más de 100 km por hora. • 2+1 = 3 • El verano de Ourense es cálido y soleado. 29 . • Te multan por exceso de velocidad pero no conduces a más de 100 km por hora. los perros hablan. p ∨ q. q: Te multan por exceso de velocidad. • 1 + 1 = 3 si. • Es invierno si. Sean p y q los enunciados: p: Compré un billete de lotería. y sólo si. p → q. • Te multarán por exceso de velocidad si conduces a más de 100 km por hora. ¿Cuál es la negación de cada uno de estos enunciados? • Hoy es jueves. Determina si cada una de estas proposiciones es verdadera o falsa: • 6 > 8 y 8 > 7 • No es cierto que (6 > 8 y 8 > 7). y sólo si. ¬p → ¬q. 3. 4. 2 + 3 = 4. q: gané el bote de un millón de euros. • Si no conduces a más de 100 km por hora no te multarán por exceso de velocidad. y sólo si. • Siempre que te multan por exceso de velocidad conduces a más de 100 km por hora. • 2. tu mente se empobrecerá. • Si 2 + 2 = 4. • Una condición suficiente para que la garantía sea válida es que hayas comprado el ordenador hace menos de un año • A Guillermo siempre se le pilla cuando hace trampas. • Si llueve esta noche. me quedaré en casa. entonces 2 + 2 = 5. . y tienes contactos sólo si asciendes. • Raquel se marea siempre que va en avión. • Si 1 + 1 = 2. Escribe cada uno de estos enunciados de la forma “p si. • Puedes acceder al servidor de correo electrónico si eres alumno de la escuela. • Si ves televisión. 10. y sólo si. Escribe cada uno de estos enunciados de la forma “si p. te compras un helado. • 1 + 1 = 3 si los cerdos vuelan. • Si 1 + 1 = 3. entonces q”. entonces 1 + 2 = 3. Determina el valor de verdad de la recíproca y contra-recíproca de cada una de las implicaciones del ejercicio anterior. hace calor. • Los perros hablan si 1 + 1 = 3. y recíprocamente.30 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 6. • Voy a la playa siempre que el día amanezca soleado. entonces 2 + 2 = 4. • Ser seleccionado para un trabajo es consecuencia de conocer a la gente adecuada. • Viento del norte implica temporal. 7. Enuncia la recíproca y la contra-recíproca de cada una de estas implicaciones. q”. • Es necesario lavar el coche de tu padre para salir. • Si hace calor. entonces los perros hablan. entonces 2 + 2 = 5. • El tren llega con retraso exactamente aquellos días que lo utilizo. y si te compras un helado. • Ascenderás sólo si tienes contactos. • Si 1 + 1 = 3. 9. • Para ganar el premio es necesario y suficiente tener el número ganador. Determina si cada una de estas proposiciones es verdadera o falsa: • Si 1 + 1 = 2. 8. 1. que no se afeitan a sí mismas. Construye las tablas de verdad para cada una de estas fórmulas. • “Es necesario revisar el archivo para buscar algún error siempre que haya sido grabado desde una memoria USB”. junto con conectivos lógicos. Expresa las siguientes especificaciones del sistema utilizando las proposiciones p: “El archivo es revisado para buscar algún error”. afeita a aquellas personas y sólo a aquellas personas.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 31 Cuando me acuesto tarde es necesario que duerma hasta el mediodía. 11. • • • • (p ∨ q) ⊕ (p ∧ q) (p ↔ q) ⊕ (¬p ↔ ¬r) (p ∧ q) ∨ r • • • (p ↔ q) ⊕ (¬p ↔ q) (p ⊕ q) → (p ⊕ ¬q) (p ∧ q) ∨ ¬r 12. • “El archivo fue grabado desde una memoria USB. 14. Demuestra que las siguientes fórmulas no son equivalentes: • p → (q → r) y (p → q) → r • ¬(p ↔ q) y (p ↔ q) 2. Demuestra que cada una de estas implicaciones es una tautología. Equivalencias lógicas. pero no se revisó para buscar ningún error”. ¿Puede existir tal barbero? 13. Demuestra que: • p → ¬q ≡ q → ¬p . Demuestra que las siguientes fórmulas son equivalentes: • ¬(p ⊕ q) y p ↔ q • ¬p → (q → r) y q → (p ∨ r) 3.2. • “Cuando el archivo no sea grabado desde una memoria USB no se revisa para buscar ningún error”. Una antigua leyenda siciliana dice que el barbero de una remota ciudad. • (p ∧ q) → (p → q) • ¬(p → q) → ¬q • [(p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r)] → r 6. • “El archivo se revisa para buscar algún error siempre que haya sido grabado desde una memoria USB”. y q: “El archivo fue grabado desde una memoria USB”. a la que sólo se puede llegar a través de un peligroso camino de montaña. P (x) ∃ x. Simplifica las proposiciones: • (p ∨ q) ∧ ¬(¬p ∧ q) • ¬[¬[(p ∨ q) ∧ r] ∨ ¬q] 6. pero no implicaciones. ¿Cuáles son los valores de verdad siguientes? • • P(naranja) P(verdadero) • • P(limón) P(falsa) 2. más fácil de entender. • 6. Predicados y cuantificadores. La siguiente frase se ha tomado de una especificación de un sistema de datos en una entidad bancaria: “Si la base de datos del directorio está abierta. Encuentra una especificación equivalente. el monitor se pone en estado cerrado si el sistema no está en estado inicial ”. Traduce estas sentencias a lenguaje natural donde P (X) es “X es un político” y Q(X) es “X es locuaz” y el dominio consiste en todas los ciudadanos gallegos. Expresa cada una de estas cuantificaciones en lenguaje natural: • • ∃ x. Q(X) y R(X).32 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA (p → q) → r] 6≡ [(p ∧ ¬r) → ¬q] • [(p ∧ q) → r] ≡ [(p ∧ ¬r) → ¬q] 4. 1. P (x) ∧ Q(x) ∃ x. • • ∀ x. El dominio para los cuantificadores consiste en todos los estudiantes de tu clase. P (x) • • ¬∃ x. P (x) → Q(x) • • ∀ x. donde el dominio de X consiste en todos los estudiantes de tu clase. P (x) ¬∀ x. Sea P (X) la sentencia: “X vive en Ourense”. P (x) → Q(x) ∃ x. Demuestra que (p ∧ q) → r y p → (q → r) son lógicamente equivalentes.3. . Sea P (X) la sentencia: “X tiene un coche”. 5. P (x) ∧ Q(x) 4. ¬P (x) 3. que incluya disyunciones o negaciones. ¬P (x) • • ∀ x. cuantificadores y conectivos lógicos. Q(X): “X tiene una moto”. y R(X): “X tiene una bicicleta”. P (x) ∀ x. Expresa cada una de las siguientes sentencias en términos de P (X). Denotemos por P (X) la sentencia: “La palabra X contiene la letra a”. ∃ y. x = x + 1 ∃• x ∈ Z. moto y bicicleta. ¿cuáles son los valores de verdad? • • • • Q(0) ∀ x. ¿Cuáles son los valores de verdad de estas proposiciones? • • • • ∃ x ∈ Z. x + 3 = 2x • • • • ∃ x ∈ Z. x2 = 1 ∃ x ∈ Z. x2 ≥ x ∀ x ∈ Z. ∀ y. ∃ y. El universo de las variables x e y es R. 2 • ∀ x. x > 1 ∃ x ∈ Z. Q(x) • • Q(1) ∃ x. x2 = 1 ∃• x ∈ Z. • Ningún estudiante de tu clase tiene un coche. • Algún estudiante de tu clase tiene un coche y una moto. hay un estudiante de tu clase que tiene uno de ellos. • Todos los estudiantes de tu clase tienen un coche. coche. Si el dominio consiste en todos los enteros. una moto y una bicicleta. pero no una bicicleta. x > x + 7. x = x + 1 8. x > 0 o x < 0 ∀ x ∈ Z. 5. x > 1 ∃• x ∈ Z. x < y ⇒ x < y + 7 . si es posible. x > 1 ⇒ x > x + 7 2 2 • ∃ x. x < y ⇒ x < y + 7 2 • Para algún x. x > 1 ⇒ x > x + 7 2 2 • ∀ x. ∀ y. 2 • ∃ x. ¬Q(x) 6. x − 3 < x2 7. una moto y una bicicleta.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 33 Un estudiante de tu clase tiene un coche. ¬Q(x) ∃ x. Halla un contraejemplo. x < y ⇒ x < y + 7 2 2 • ∃ x. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones. x + 3 = 2x ∃• x ∈ Z. x > x + 7. • Para cada uno de los tres medios de transporte. Q(x) • • Q(−1) ∀ x. 2 • Para cada x. a estas sentencias universalmente cuantificadas. x2 = 1 • • ∀ x ∈ Z. una moto y una bicicleta. x < y ⇒ x < y + 7 2 2 • ∀ x. Sea Q(X) la sentencia: X +2 < 3X. • • ∀ x ∈ Z. Sea Q(X. donde P (x) es “El servidor x no reponde”. Q(x) → ∃ y. P (x. • Hay exactamente una persona con quien todo el mundo puede comunicarse vía chat. Q(x)) ∧ (∀ y. P (x. Sea P (X. donde el dominio tanto para X como para Y consiste en todos los estudiantes de tu clase. ∀ y. R(y) 11. 13. y) 12. P (x) ∧ Q(x) → ∃ y. 7 y 8. P (x. S(y) • ∃ y. y) ∀ y. ∃ m ∈ Z. Traduce estas especificaciones de sistema a lenguaje natural. • Paula puede comunicarse vía chat exactamente con dos personas. P (x) • (((∀ x. • Nadie puede puede comunicarse vía chat con Juan y María. P (x. 10. S(y))) → ∃ y. R(y) • ∀ x. n ≤ m • ∀ n ∈ Z. Expresa cada una de estas cuantificaciones en lenguaje natural. • María puede comunicarse vía chat con todo el mundo. ∃ x. R(y) es “El mensaje y se ha perdido” y S(y) es “El mensaje se está enviando”. y) ∀ x. ∀ x. S(y) ∧ R(y) → ∃ x. • • • ∃ x. • Todo el mundo puede comunicarse vía chat con alguien. ∃ m ∈ Z. Y ) la sentencia “X ha enviado un mensaje a Y ”. donde el dominio tanto para X como para Y consiste en todas las personas del mundo. • Todo el mundo puede comunicarse vía chat con Juan. ∃ y. y) ∃ y. P (x. • No hay nadie que pueda comunicarse vía chat con todo el mundo. Escribe la negación de cada una de las proposiciones de los ejercicios 6. • ∃ x. n + m = 0 . Determina el valor de verdad de cada una de estas sentencias. Utiliza cuantificadores para expresar cada una de las siguientes sentencias. 2 • ∀ n ∈ Z. y) • • • ∃ x.34 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 9. • Nadie puede comunicarse vía chat consigo mismo. ∃ y. Q(x) es “El servidor x está ocupado”. P (x. Y ) la sentencia “X se puede comunicar vía chat con Y ”. • Todo el mundo puede puede comunicarse vía chat con alguien. y) ∀ x. ∀ y. Andrea puede trabajar como salvavidas. • Susana trabajará en una empresa de informática este verano. este verano Susana trabajará en una empresa de informática o deambulará por la playa.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA • • • 6. si trabajo toda la noche. 1. Las ovejas son rumiantes. Los perros no rumian la comida. ∃ m ∈ Z. Hoy estamos o a menos de 40 C. Los murciélagos no son rumiantes. Por tanto. entonces entenderé la asignatura. nm = m Razonamiento deductivo. Por lo tanto. n ≤ m2 ∃ n ∈ Z.4. Ana tiene un ordenador • Lo que es bueno para el medio ambiente. los jabalíes son mamíferos. Si Andrea es una excelente nadadora. me tocará la lotería. Para cada uno de estos conjuntos de premisas. ¿qué conclusión o conclusiones se pueden deducir? Explica las reglas de inferencia utilizadas para obtener cada conclusión a partir de las premisas. No he tenido pesadillas. . • Todos los rumiantes rumian la comida. • Todo estudiante de ingeniería informática tiene un ordenador. podré resolver todos los problemas. Si soy afortunado. lo es para tu país. entonces entenderé la asignatura. 35 ∃ n ∈ Z. Si puedo resolver todos los problemas. ¿Qué reglas de inferencia se han usado en los siguientes argumentos? • Los jabalíes habitan en Galicia y son mamíferos. Tengo pesadillas si llueve por la noche. Por tanto. Lo que es bueno para el medio ambiente es que recicles. • Si trabajo toda la noche. o • Estamos a más de 40 C o la polución es peligrosa. Por tanto. la polución es peligrosa. 2. • Andrea es una excelente nadadora. ∀ m ∈ Z. Marcos no tiene un ordenador. • Si ceno comidas picantes. Lo que es bueno para tu país es bueno para ti. ∀ m ∈ Z. n2 + m2 = 5 ∃ n ∈ Z. No soy afortunado. entonces tengo pesadillas. • Soy inteligente o afortunado. entonces puede trabajar como salvavidas. Por tanto. Xavier es un estudiante de la clase. 2 • n es impar. Ana no está sana. Para cada uno de estos argumentos determina si es válido y explica por qué. Por tanto. Por tanto Lucía es estudiante de Ingeniería Informática. (Desigualdad triangular ) Demuestra que ∀ x. • Todos los estudiantes de la clase entienden lógica. • p→q ¬p ∴q • p→q ¬q ∴¬p • • p ∧¬ p ∴q • • p → (q → r) q → (p → r) ∴ (p ∨ q) → r (p → r) ¬p → q q→s ∴¬r∨s (p → q) ∧ (r → s) p∨r ∴q∨s 6. Por tanto. • A todos los loros les gusta la fruta. Xavier entiende lógica. 2. a mi pájaro no le gusta la fruta. 5. Para cada uno de estos argumentos determina si es válido y explica por qué. 4. 3. Ana no come vegetales todos los días. Mi pájaro no es un loro.5. Demuestra que ∀ n ∈ N las siguientes condiciones son equivalentes: 2 • n + 2n + 1 es par. Demuestra que la suma de un número irracional y un número racional es irracional. Lucía cursa FMI. √ 1. y ∈ R se verifica: |x| + |y| < |x + y| 4. . Demuestra que el producto de dos números racionales es racional. Demuestra que 5 es un número irracional. • Todos los estudiantes de Ingeniería Informática cursan Fundamentos Matemáticos para la Informática (FMI). Por tanto. Métodos de demostración. • n + 7 es par.36 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 3. • Los que comen vegetales todos los días están sanos. + n = n(n + 1) 2 8. J. C. M. Sanz y Torres.. [3] Busby.. + n · (n + 1) = . 2|2n + 3. Encuentra el fallo en esta “demostración”: Teorema: Para todo entero positivo n. 2003. se deduce que 2|2k + 3 + 2 y. Prentice Hall. entonces: 1 + 2 + 3 + .: Matemática discreta. J. 2002..: Problemas resueltos de matemática discreta. C. Muestra que se cumple. que el producto de dos números irracionales es irracional. [4] Ferrando..: Matemática discreta. . Paraninfo. F.. Nevot Luna. 1993.INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA 37 6. . F. Sanz y Torres. • Paso base: La fórmula es cierta para n0 = 1. Obtén una fórmula para la suma de los n primeros positivos impares. Hernández Peñalver.. 9. • Paso de inducción: Supongamos que 2|2k + 3 y veamos que 2|2(k+1)+3.Ross. López. S. 11. Usa la inducción matemática para probar la fórmula obtenida en el ejercicio anterior. C. Puigjaner. Gregori. [6] García Merayo.n∈N 3 Pn 3 n2 ·(n+1)2 . Aplicando la hipótesis de inducción. Prentice Hall. 2|2(k + 1) + 3. E.: Estructuras de matemáticas discretas para la computación. [7] García C. Se verifica que 2(k+1)+3 = 2k+2+3 = 2k+3+2. 10.. por lo tanto. Demuestra que si n es un entero positivo. + 2 = 2 −1 13.. o que no. 2005. 1995. .: Problemas de matemática discreta.. V. Reverté. G.: Matemática discreta: problemas y ejercicios resueltos.. E. 1997. 7. D.n∈N • i=1 i = 4 2 n n+1 • 1 + 2 + 2 + . [2] Bujalance. Usa la inducción matemática para probar la fórmula obtenida en el ejercicio anterior. A. Para todo entero no negativo n usa la inducción matemática para demostrar que: n·(n+1)·(n+2) • 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . [5] García Merayo.: Elementos de matemática discreta. B. Referencias [1] Bujalance. 1993. R. Obtén una fórmula para la suma de los n primeros positivos pares.. Kolman. Thomson. 12. K. K. [12] Rosen. Prentice Hall.: Matemáticas discretas.: Matemática discreta y lógica. 1998. Taylor. R. 1983. J. [11] Johnsonbaugh. [10] Grimaldi. Addison-Wesley Iberoamericana.: Discrete mathematics for new technology. 1999. W.. 1992.: Matemática Discreta y sus aplicaciones. 1997. H. [9] Grassmann. R.38 INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA [8] Garnier. Mc Graw Hill. Alianza. Adam Hilger. J. R. [13] Wilson. 2004.: Matemáticas discreta y combinatoria: una introducción con aplicaciones. R. .: Introducción a la teoría de los grafos. Prentice Hall. P.