Definición.- (International Telecommunication Union) es toda emisión, transmisión y recepción de signos, señales, escritos e imágenes, sonidos e informaciones de cualquier naturaleza, por hilo, radioelectricidad, medios ópticos u otros sistemas electromagnéticos. Trigonometría. Álgebra vectorial. Funciones Cálculo diferencial. Cálculo integral. Unidades I, II, III, IV. Asistencia Participación Quiz Examen 10% 10% 10% 70% 100% Nota: 10 minutos de tolerancia. Unidad V Asistencia Participación Tarea Integradora Examen 10% 10% 30% 50% 100% Nota: 10 minutos de tolerancia. . a) -19+12 1 7 2 6 f) (.15)*(3) ∗ 3 4 2 b) + 3 3 c) − 4 .2 g) 5 h) i) j) d) -16 -15 2 3 180 – 37 57 + x = 180 55 + x + 55 + x = 360 e) / 9 7 . 15)*(3)= -45 ∗ 3 4 = 𝟏𝟎 𝟐𝟒 𝟏𝟒 𝟐𝟕 .a) -19+12 = -7 1 7 2 6 2 b) + 3 3 c) − 4 = 𝟏𝟕 𝟐𝟏 f) (.2 g) 5 = .𝟔 𝟐𝟎 d) -16 -15 = -31 2 3 h) i) j) e) / 9 7 = 180 – 37= 143 57 + x = 180 x=123 55 + x + 55 + x = 360 x=125 . Se le denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos semirectas que parten de un punto llamado “Vértice” y las semirectas reciben el nombre de “lados del ángulo”.DEFINICIÓN. x ANGULO Vértice y Lado yz z . Ángulo cuyo vértice es V V Suelen medirse en unidades tales como el radián. .a) Una letra mayúscula situada en el vértice. el grado sexagesimal o el grado centesimal. Colocando una letra minúscula dentro del ángulo generalmente se emplea una letra del alfabeto griego. 𝛂 “Ángulo cuyo valor es 𝛂 ” . .El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales). 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales). Están definidos del siguiente modo: 1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia. . las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo. ejemplo: 12°34′34″ 13°3′23.70″ -2°34′10″ .Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos.8″ 124°45′34. 25639° .01666667° (redondeando a ocho dígitos) 1” = (1/60)′ = (1/3600)° = 0.00027778° Así 12°15′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12.Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuenta que: 1’ = (1/60)° = 0. 𝛂 V . Un ángulo agudo tiene menos de 90°. pero menos de 180°. 𝛂 V . Un ángulo obtuso tiene más de 90°. formados por dos paralelas y una transversal. Ángulos correspondientes.En función de su posición. Ángulos opuestos por el vértice. . los otros lados situados uno en prolongación del otro. los que tienen un vértice y un lado común. Forman un ángulo llano. Ángulos consecutivos. los que tienen un lado y el vértice común. aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas. se denominan: Ángulos adyacentes. se denominan: Ángulos congruentes. aquellos que tienen la misma amplitud.En función de su amplitud. Ángulos suplementarios. que miden lo mismo. es decir. aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°. aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°. Ángulos conjugados. Ángulos complementarios. aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°. . . . . π = 3. entonces π = 180°. entonces el ángulo que forma mide 2πr = 360°. Si r = 1.29583º . 1 radián = 57º 17’ 45’’ = 57.1416 entonces.Si la circunferencia tiene una longitud de 2πr. 3 4 𝜋 rad convertirlo a grados 360° x ∗ 360° 2𝜋 2𝜋 3 𝜋 4 x= 3 𝜋 4 = 135° . 128º Convertirlos a radianes 2𝜋 x 360° 128° x= 128 ∗ 2𝜋 32𝜋 = 360 45 . 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 25º a radianes. 5/3 π rad a grados. 125º a radianes. 7/6 π rad a grados. 2,054º a radianes. 19/2 π rad a grados. 23º25’12’’ a radianes. 12.85 π rad a grados. 1,256º12’’ a radianes. 7/4 π rad a grados. Convertir a radianes los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 95 grados 200 grados 250 grados 15 grados 330 grados 240 grados 180 grados 30 grados 45 grados 210 grados 270 grados 320 grados 3π/5 radianes 11π/6 radianes 7π/3 radianes 2 π/3 radianes π/43 radianes 1. Dar la definición de ángulo. 2. ¿Cuántos segundos tiene un grado? 3. ¿Cuánto mide un ángulo agudo, en radianes? 4. Definir ángulos suplementarios 41π 5. Consideremos un cable utp de de 3 largo, ¿Cuántas vueltas le daremos al carrete de radio uno? Y un carrete de radio 2? Convertir a grados 2π/3 radianes Dar el radio que necesita medir un carrete para que un cable utp le de 7 vueltas completas 154π radianes . 30° Decir que tipo de ángulo es el anterior.Definir ángulos complementarios Encontrar la medida del ángulo adyacente. en radianes. ¿Cuántos minutos son 13 grados? ¿A cuántos segundos sexagesimales equivalen 48°59’? ¿A cuántos grados y minutos sexagesimales equivalen 94380”? La longitud de cualquier circunferencia.Nombres de los sistemas empleados para medir ángulos. a cuántos radianes equivale? . 81 rad ______________ d) 9.4248 rad ______________ Expresa los siguientes ángulos en radianes a) 38° _______________ b) 147° _______________ c) 255° _______________ d) 660° _______________ .49 rad ______________ c) 7.Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos a) 5.63 rad ______________ b) 2. 54209 rad _______________ Expresa en radianes los siguientes ángulos a) 41°20’54” ________________ b) 171°29’43” ________________ c) 219°05’36” ________________ d) 327°53’12” ________________ .96571 rad _______________ d) 3. minutos y segundos sexagesimales los siguientes ángulos a) 0.Expresa en grados.25869 rad _______________ c) 2.79483 rad _______________ b) 1. L 6x 2x M x K O N . ¿Qué son ángulos adyacentes? ¿A qué se le llama ángulos opuestos por el vértice? ¿Qué son ángulos conjugados? ¿Qué son ángulos suplementarios? ¿Qué son ángulos complementarios? .¿Cuánto mide un ángulo recto? ¿Dos ángulos rectos dan lugar a un ángulo? ¿Cuánto mide un ángulo completo? Defina dos ángulos consecutivos. • Un ángulo completo equivale a ______________________ rectos.• Un ángulo ______________________ equivale a dos rectos. los ángulos complementarios y suplementarios. Encuentra. . Calcula la medida del ángulo complementario en cada caso. . . Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.Es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados. es decir: no colineales). . 3 ángulos exteriores. Un triángulo tiene 3 ángulos interiores. 3 lados y 3 vértices. la suma de los tres ángulos interiores es igual a dos ángulos rectos.En cualquier triángulo. . . la suma de los tres ángulos interiores es igual a dos ángulos rectos.En cualquier triángulo. . . . un ángulo de 90grados. se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto. es decir.En geometría. B c a C b A . .En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" ."En un triángulo rectángulo. 3 cm x 4 cm . 6 cm x 8 cm . Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado. . otro pino proyecta una sombra de 1. . en ese mismo momento.2 m. Encuentre su altura.56 m de altura es de 1.83 m.La sombra de un pino de 1. como se muestra en la figura. Si A = 7 cm. L A 32 cm 23 cm . obtén el valor de la longitud L de la repisa.Una repisa está sostenida por un soporte de metal. . A una distancia de 500 metros (en el mismo valle) se encuentra el punto B. Determinar la distancia d entre el globo y el punto B.Un globo de aire caliente se encuentra a una altura de 300 metros sobre un punto A en el Valle de Acapulco. . La distancia entre el extremo superior de una torre de comunicaciones y el extremo de su sombra es 85 metros. La longitud de la sombra de la torre es 80 metros. . . b) Al otro lado hay un cable de 60 metros que ayuda a sostener la torre. determinar la distancia entre A y la base de la torre.a) Determinar la altura de la torre. Si el cable va desde el extremo superior de la torre hasta un punto A en el suelo. Cateto opuesto 𝛂 . 𝑠𝑒𝑛 𝛂 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑏 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛂 = 𝑡𝑔 𝛂 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = = = = 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 cosec 𝛂 = 𝑠𝑒c 𝛂 = 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 cotg 𝛂 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏 . . Da la razón entre cateto adyacente sobre cateto opuesto. . Da la razón entre cateto opuesto sobre hipotenusa Da la razón entre hipotenusa sobre cateto opuesto.Da la razón entre cateto adyacente sobre hipotenusa. Da la razón entre hipotenusa sobre cateto adyacente. 5 3 𝛂 4 Sen 𝛂 = 3 5 cos 𝛂 = 4 5 tg 𝛂 = 3 4 . 𝛂 3 5 4 Sen 𝛂 = 4 5 5 4 cos 𝛂 = Sec 𝛂 = 3 5 5 3 tg 𝛂 = 4 3 3 4 cosec 𝛂 = cotg 𝛂 = . 3 𝛃 x 𝛂 4 . x 𝛃 9 𝛂 4 . 70 𝛃 x 𝛂 96 . y 𝛃 x 37° 6.4 m . 10 m 6m 𝛃 8m . 22 cm 𝛃 41.34 cm 35 cm . 𝛃 5 cm 3 cm 𝛂 2 cm . tg 𝛂 = 3 2 Sec 𝛂 = 2 5 18 4 12 5 Sen 𝛂 = cos 𝛂 = 17 55 cosec 𝛂 = cotg 𝛂 = 9 7 . ¿Qué ángulo debe hacerle formar con el piso. Un albañil tiene que construir una escalera de 18 m. si tiene que alcanzar una altura de 8m? . suponiendo que el suelo es horizontal. ¿Qué ángulo forma la escalera y el suelo? . El pie de una escalera de 12 m. apoyada contra una pared. queda a 5 m de esta. . Suma .Existen dos formas de sumar vectores: Regla del paralelogramo. por componentes. . . Conmutativa A + B = B +A Asociativa (A + B) + C = A + (B + C) La resta de vectores A y B es (A-B) es igual a la suma de A con el opuesto de B. es decir [ A + (-B)]. Dados dos vectores U y V de 𝑅2 . se define la suma de U y V como sigue: U + V= (𝑢1 + 𝑣1 . 𝑢2 + 𝑣2 ) Análogamente para vectores U y V en 𝑅3 : U + V= (𝑢1 + 𝑣1 . 𝑢2 + 𝑣2 . 𝑢3 + 𝑣3 ) . 8) y V=(1.Dados los vectores U=(2. -3. 4. U+V 3U + 2 V 3 V – 4U V – 4U – (2U + 8V) 1 U 7 + 2 ( 3 U + V) . 1). f es una función del conjunto A en el conjunto B si a todo elemento de A se le asocia solo un elemento de B. .Definición. De aquí para adelante solo definiremos funciones de los números reales a números reales. f(x)= x f(x)= x + 3 f(x)= x – 5 f(x)= 3x f(x)= 2x + 5 f(x)= 𝑥 2 f(x)= 𝑥 3 + 1 . Si f(x) y g(x) son dos funciones. entonces la función suma esta dada por ( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x) Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces: ( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)= 2x + 1 + |x| ( h + f )(2) = h(2) + f(2) = |2|+ 2( 2 ) + 1= 7 . 1) .x2 ( f .g ) ( x ) = f (x) .1) = 2 ( -1) + 1 .Función Diferencia Si f(x) y g(x) son dos funciones.g(x) = 2x + 1 . g (x) = x2 entonces: ( f . entonces la función diferencia esta dada por ( f .g (x) Si f (x) = 2x + 1.2 .g )( x ) = f(x) .1 = .( -1)2 = -2 + 1 .1) = f (.g (.x2 = 1 + 2x .g )(. Función Producto Si f(x) y g(x) son dos funciones.2 ) x2 = x3 – 2x2 (h•g )(5) = h(5) •g(5) =( 5 . entonces la función producto esta dada por ( f g ) ( x ) = f (x) g (x) Si g (x) = x2 y h (x) = x .2 )( 5 )2 =3(25)= 75 .2 entonces: ( h • g )(x) = h (x) • g (x) = ( x . entonces la función cociente esta dada por 𝑓 𝑔 𝑓(𝑥) 𝑥 = donde g(x) ≠ 0. 𝑔(𝑥) Si f (x) = 2x + 1. entonces: 𝑓(𝑥) 2𝑥:1 = 2 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 0. . g (x) = x 2 .Función Cociente Si f(x) y g(x) son dos funciones. Sean f(x) y g(x) son dos funciones con sus dominios 𝐷𝑓 𝑦 𝐷𝑔 . entonces la función f(x) compuesta con g(x) es dada por: (f○g) (x)= f(g(x)) . entonces: (f○g) (x)= f(g(x))=f(x+5)= 3(x+5) -1= 3x + 14 (g○f) (x)= g(f(x))=g(3x-1)= (3x -1) +5= 3x + 4 . Sea f(x)=3x-1 y g(x)=x+5. j(x)= 𝒙𝟐 + 𝟏. h(x)= 𝒙 − 𝟏 . g(x)= (𝒙 + 𝟏)𝟐 . ( f + g ) (x) (g–f)(x) (g-f)(2) (j· f )(x) ( j· f )( -1 ) (g/f)(x) (f(j(x)) j○f(x)) h○(j(x)) . halla las funciones indicadas e identifica el Dominio de cada una de ellas.Sea f(x)= 1-x.