2.2.3 Técnicas de simplificación Se tratan de herramientas que permiten tomar un circuito de cierta complejidad e ir transformándolo poco a poco, en circuitos equivalentes cada vez más sencillos, utilizando para ello las equivalencias por resistencias paralelas, en serie y las transformaciones Y-Δ. Método algebraico Para la simplificación por este método no sólo basta con conocer todas las propiedades y teoremas del álgebra de Boole, además se debe desarrollar una cierta habilidad lógico matemática. Se comienza simplificando la siguiente función: F=A*C+A*B*C+B*C+A*B*C+A*B*C Observando cada uno de los sumandos se puede ver que hay factores comunes en los sumandos2do,con 5to y 4to con 5toque conllevan a la simplificación. Luego: F=A*C+B*C+B*C*(A+A)+A*C*(B+B) El término 5to se ha tomado dos veces, de acuerdo con el teorema 3 a+ a = a, y aplicando el teorema 6 se tiene: F=A*C+B*C+B*C+A*C Repitiendo nuevamente el proceso: F=A*(C+C)+B*(C+C) F=A+B Como se puede apreciar, el método algebraico no resulta cómodo y lo que es peor, una vez simplificada una ecuación pueden quedar serias dudas acerca de si se ha conseguido simplificarla al máximo. 2.2.3.1 Teoremas y postulados del algebra de Boole. Un álgebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.) (la operación producto se indica en general simplemente mediante la ausencia de símbolo entre dos variables) lógicos que cumplen los siguientes postulados: Ambas operaciones son conmutativas, es decir, si a y b son elementos del álgebra, se verifica: el 0 y el 1. La variable ā se encuentra siempre en un estado binario contrario al de a. ā . tal que: a+ā=1 a* ā = 0 Este postulado define realmente una nueva operación fundamental que es la inversión o complementación de una variable.a + b = b + a a * b = b*a Dentro del álgebra existen dos elementos neutros. El elemento 0 es un contacto que está siempre abierto y el elemento 1 un contacto que está siempre cerrado. La operación suma se asimila a la conexión en paralelo de contactos y la operación producto a la conexión en serie. que toma el valor 1. El inverso de un contacto es otro cuyo estado es siempre opuesto del primero. a. que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones: 0+a=a 1*a = a Cada operación es distributiva con respecto a la otra: a *(b + c) = a *b + a *c a + (b*c) = (a + b)*(a + c) d) Para cada elemento. del álgebra existe un elemento denominado. . es decir está cerrado cuando aquel está abierto y viceversa. Además se considera una función de transmisión entre los dos terminales de un circuito de contactos. cuando existe un camino para la circulación de corriente entre ellos (cortocircuito) y el valor 0 al no existir dicho camino (Circuito abierto). y los elementos 0 y 1 se intercambian entre sí. Basándose en los postulados anteriores se deducen los teoremas que expondremos seguidamente. Este principio. se verifica: a +ab = a a*(a + b) = a .Teoremas. Teorema 2: Para cada elemento a de un álgebra de Boole se verifica: a+1=1 a*0 = 0 Teorema 3: Para cada elemento a de un álgebra de Boole se verifica: a+a=a a*a = a Teorema 4: Para cada par de elementos de un álgebra de Boole a y b. Su demostración se puede realizar algebraicamente mediante la llamada tabla de verdad. se deduce inmediatamente de la simetría de los cuatro postulados con respecto a ambas operaciones y ambos elementos neutros. La tabla de verdad de una expresión algebraica binaria representa los valores que dicha expresión puede tomar para cada combinación. Teorema 1: Cada identidad deducida de los anteriores postulados del álgebra de Boole permanece válida si la operación + y . de estados de las variables que forman parte de la misma. Dos expresiones algebraicas que tienen la misma tabla de verdad son equivalentes. llamado de dualidad. Esta ley se llama de absorción. Teorema 5: En álgebra de Boole. las operaciones suma y producto son asociativas: a +(b + c) = (a + b) + c = a + b + c a*(b*c) = ( a*b)*c = a*b*c Teorema 6: Para todo elemento ā de un álgebra de Boole se verifica: ā=a . . m1. A B.. diagramas de Venn y Minitérminos. Los mapas de Karnaugh no son más que una extensión de los conceptos de las tablas de verdad. AB. Se puede ajustar las áreas del diagrama de Venn de manera que todas sean iguales conservando la característica de que las áreas adyacentes en el diagrama de Venn también lo son en la figura d. Es de notar la correspondencia de los mapas de Karnaugh con las tablas de verdad ya que por cada minitérmino existe una fila en la tabla de verdad. m3 (figura c). se indica como 0 para A y 1para A. AB. lo que se evidencia en la transformación de un diagrama de Venn en un mapa de Karnaugh. En la figura f se puede observar otra forma del mapa de Karnaugh en el que la asociación de un cuadrado de un mapa con una variable en particular.=a+b+c+d 2. pero ahora una mitad del diagrama representa a la variable A y la otra mitad a la variable B.Teorema 7: En toda álgebra de Boole se verifica: 1) a+b+c+d+. En la figura b se observan las subdivisiones ajenas únicas del diagrama de Venn representadas por las intersecciones: AB. que pueden ser aplicados en funciones de conmutación hasta de seis variables.. Puesto que cada cuadrado representa un minitérmino se puede omitir la letra m y dejar sólo el subíndice (figura e) siendo esta una forma del mapa de Karnaugh.2.2 Mapas de Karnaugh Si se quiere realizar eficazmente la simplificación de las funciones de conmutación se debe contar con un método sistemático que proporcione un camino para lograr el objetivo de manera segura.. por ejemplo A. Se considera un diagrama de Venn (figura a) de dos variables A y B representadas mediante las subdivisiones del conjunto universal. m2. .3. siendo estas últimas no más que los Minitérminos de dos variables:m0. mientras que en el diagrama existe un cuadrado. un método de este tipo son los mapas de Karnaugh.=abcd 2) abcd. esta observación se extiende también para los maxitérminos. Para simplificar una función lógica por el método de Karnaugh se llevan a cabo los siguientes pasos: 1. Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadrículas que pertenezcan a dos o más lazos diferentes. . La función simplificada tendrá tantos términos como lazos posea el diagrama. siempre que dicho número sea potencia de 2 (1. b. mientras que cuando se trabaja con maxitérminos se pone un 0. 2. Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian únicamente en el estado de una sola variable. Se debe tratar de conseguir el menor número de lazos con el mayor número de 1posibles. Cada lazo debe contener el mayor número de 1 posibles. 4. etc. c. Se agrupan mediante lazos los 1 de casillas adyacentes siguiendo estrictamente las siguientes reglas: a. 2. Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los términos canónicos que forman parte de la función en el caso de los minitérmino. Se dibuja el diagrama correspondiente al número de variables de la función a simplificar. d.). Cada término se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado en el mismo lazo. 4. 3. Generadores comprobadores de paridad . la cual se observa en la siguiente figura. Usando álgebra de Boole es posible obtener una gran variedad de equivalencias entre símbolos de puertas lógicas y diagramas de alambrado de circuitos lógicos. Aplicaciones de los circuitos combinacionales Multiplexores Codificadores Decodificadores y Demultiplexores Decodificadores excitadores. Empleando la expresión lógica de la función que realiza.2. para realizar esto se va escribiendo a la salida de cada puerta lógica la expresión correspondiente en términos de las entradas. La implementación de un sistema combinacional consiste en traducir el enunciado de un problema concreto a variables y funciones booleanas cuya tabla de verdad permita encontrar un circuito lógico.2. se puede construir el circuito lógico.4 Implementación y aplicación de circuitos combinacionales. A continuación se muestran sólo algunas equivalencias sencillas: Solamente hay que recordar los símbolos y su tabla de verdad. Codificadores Un codificador tiene varias líneas de entrada. La figura es el diagrama general de un codificador con M entradas y N salidas. según la entrada que se active. Multiplexor . Todas las otras salidas permanecerán inactivas. sólo una de las cuales se activa en un momento dado. un decodificador mira a sus entradas. Decodificador Un decodificador es un circuito lógico que acepta un conjunto de entradas que representan número binarios y que activan solamente la salida que corresponde a dicho dato de entrada. Comparadores Binarios Circuitos Sumadores Circuitos Restadores. y produce un código de salida de N bits. En otras palabras. lo cual significa que normalmente son BAJAS. Aquí las entradas son activas en ALTO. determina que numero binario está presente y activa la salida correspondiente a dicho número. Un multiplexor o selector de datos es un circuito lógico que acepta varias entradas de datos y permite sólo a una de ellas alcanzar la salida. toma una sola entrada y la distribuye en varias salidas.3 Lógica Secuencial .La figura muestra el diagrama funcional de un multiplexor general (MUX). En otras palabras. Un De multiplexor efectúala operación contraria. esto indica que éstas pueden ser una o más líneas de señales. En este diagrama las entradas y salidas se trazan como flechas anchas en lugar de líneas. Demultiplexador Un multiplexor toma varias entradas y transmite una de ellas a la salida. En la figura siguiente se observa un demultiplexor de cuatro salidas 2. La dirección deseada de los datos de entrada hacia la salida es controlada por entradas de SELECCIÓN (que algunas veces se conocen como entradas de DIRECCIÓN). igual que un interruptor de posiciones múltiples. el demultiplexor toma una fuente de datos de entrada y la distribuye selectivamente a uno de N canales de salida. En todo sistema secuencial se encuentra: Un conjunto finito.. Los biestables y los flip flops son los bloques constitutivos de la mayoría de los circuitos secuenciales. el de tipo D (o cerrojo) es el más utilizado actualmente.. los biestables y los flip flops son celdas típicamente predefinidas especificadas por el vendedor de ASIC. de estados internos.X2. Los sistemas digitales típicos usan biestables y flip flops que son dispositivos pre-empaquetados y especificados de manera funcional en un circuito integrado estándar. no dependen exclusivamente de los valores de las entradas endicho momento.. dentro de un IC Integrated Circuit) estándar o un ASIC.. sino también dependen del estado interno. p.. de variables de entrada (X1. Sin embargo.. El sistema secuencial más simple es el biestable. cada biestable o flip flop está diseñado como un circuito secuencial retroalimentado mediante compuertas lógicas individuales y lazos de retroalimentación..Xn) Un conjunto finito. n.. A éstos se los denomina "síncronos" o "sincrónicos".. los valores de las salidas. En el ambiente ASIC (Application Specific Integrated Circuit).. a diferencia de los "asíncronos" o "asincrónicos" que son aquellos que no son controlados por señales de reloj. de aquí que los estados secuenciales también sean denominados autómatas finitos. La mayoría de los sistemas secuenciales están gobernados por señales de reloj.. de funciones de salida (Z1. de los cuales.y2.. en un momento dado.Zn). m. .Yn) Un conjunto finito.Z2. en los sistemas secuenciales..A diferencia de los sistemas combinacionales. Estos estados proporcionan m variables internas (Y1. Fuentes de información http://es.google.pdf .com/doc/142138191/Unidad-2#scribd https://sites.scribd.com/site/sistemasdemultiplexado/principios-de-electrnicadigital-y-puertas-lgicas/1-2-algebra-de-boole file:///C:/Users/Fernando/Downloads/Algebra_Boole.
Report "Tecnicas de simplificacion de circuitos electricos"