Ì '@ éªÓAg ZAJ J.Ë@ P@YË@ - éK YÒjÖÏ @ ú GA JË@ ám . Universit´e Hassan II Mohammedia - Casablanca ð èPAjJÊË éJ J£ñË@ Ï@ ZAJ J.Ë@ P@YË@ - Q J Ë@ éPYÖ . ´ Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Casablanca Recherche Opérationnelle : TD1 Exercice 1. Une usine fabrique 2 produits P1 et P2 en utilisant un certain nombre de ressources : équipement, main d’œuvre, matières premières. Ces besoins sont indiqués dans le tableau ci-dessous. Par ailleurs, chaque ressource est disponible en quantité limitée (cf. tableau). Équipement Main d’œuvre Matière première P1 3 4 2 P2 9 5 1 disponibilité 81 55 20 Les deux produits P1 et P2 rapportent à la vente respectivement des bénéfices de 6$ et 4$ par unité. 1. Formuler algébriquement le PL ainsi posé. 2. Déterminez graphiquement l’ensemble des solutions admissibles. 3. Quelles quantités de produits P1 et P2 doit produire l’usine afin de maximiser le bénéfice total venant de la vente des 2 produits ? 4. Donnez le profit maximal. Excercice 2. On se propose de réaliser une alimentation économique pour des bestiaux, qui contient obligatoirement 4 sortes de composants nutritifs, A, B, C et D. L’industrie alimentaire produit précisément deux aliments M et N qui contiennent ces composants : 1 Kg d’aliment M contient 100 g de A, 100 g de C, 200 g de D ; 1 Kg d’aliment N contient 100 g de B, 200 g de C, 100 g de D. Un animal doit consommer par jour au moins 0.4 Kg de A, 0.6 Kg de B, 2 Kg de C et 1.7 Kg de D. L’aliment M coûte 10$ le Kg et N coûte 4$ le Kg. 1. Formuler algébriquement le PL ainsi posé. 2. Déterminez graphiquement les quantités d’aliments M et N doit-on utiliser par jour et par animal pour réaliser l’alimentation la moins coûteuse ? 3. Donnez le coût minimal. Excercice 3. Soit le programme linéaire suivant : max z = x1 + 3x2 x1 + x2 −2x + 3x 1 2 s.c 2x1 − x2 x1 , x2 Déterminez, en utilisant l’interprétation géométrique : 1 ≤ 14 ≤ 12 ≤ 12 ≥0 Dans la fonction objectif on change le coefficient (c2 = 3) par c (z = x1 + cx2 ). Quelle est la solution optimale et la valeur maximale de la fonction économique ? 2./Wk Fabric 2m 5m 8m 300m Wood 6 units 4 units 5 units 350 units Assembly time 8hrs 4hrs 5hrs 480 hrs Problem : How many chairs. Farmer Furniture makes chairs. Quelles sont les valeurs du second membre b1 (dans la première contrainte). l’ensemble des solutions réalisables est – vide – contient une seule solution 5. A supplier can provide a maximum of 300 meters of fabric and 350 units of wood each week. $60 per arm-chair and $80 per sofa. Pour quelles valeurs de c le problème PL possède – une infinité de solutions – une solution autre que celle trouvée en 2. Les sommets de l’ensemble des solutions admissibles et la solution optimale 3. x2 ≥ 0 1. pour lesquelles la solution optimale initiale ne change pas ? 4. Résoudre le problème par la méthode graphique. The profits are $50 per chair. Soit le programme linéaire suivant : max z = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 4 −2x + x ≤ 2 1 2 s. These are given in the following table Item chair armchair sofa Avail. Pour quelles valeurs du coefficient c1 de la fonction objectif. Donner les coordonnées des sommets de l’ensemble des solutions admissible 3. arm-chairs and sofas that the company should make per week so that the total profit is maximized ? 2 .1. Each item requires a certain amount of wood and fabric as well as a certain assembly time. Excercice 4. arm-chairs and sofas. Pour quelles valeurs du second membre b2 (dans la deuxième contrainte). le PL admet plus qu’une solution ? Excercice 5.c x1 − x2 ≤ 1 x1 . L’ensemble des solutions réalisables du PL 2. The materials used to manufacture these items are fabric and wood. – 2 000$en access-time.3% 6. Il veut investir au moins 5 000 $ et au plus 40 000$ dans chaque action. Ils ont pour règle de ne pas tout miser sur le même créneau horaire. – Un spot de 30 secondes diffusé en access-time permet de gagner 16 points. Le spot de publicité prévu dure 30 secondes. Ils ont établi une échelle qui se compte en point d’impact.2% 5. – Un spot de 30 secondes diffusé en après-midi permet de gagner 8 points. 3 . sa catégorie (T : technologique. de l’access-time et du prime-time. et devra passer sur les créneaux de l’après-midi. Le club d’investissement désire investir la moitié de son capital dans les actions françaises et au plus 30% dans des valeurs technologiques.9% 6. Le tableau suivant donne pour chaque action son nom. à sa branche marketing. – 4 000$ en prime-time. Le club impose certaines contraintes au conseiller. N : non technologique) et le taux de retour espéré. – La limite des dépenses sur le prime-time ne doit pas dépasser les 36 000$. Grâce à une étude des campagnes passées. Il confie pour cela un budget de 48000$. Formuler le modèle de programmation linéaire qui permettrait à la branche marketing de lui suggérer une stratégie de publicité pour avoir le meilleur impact possible. les publicitaires ont pu établir l’impact d’un spot de publicité de 30 secondes pour ce modèle suivant l’horaire de passage à la télévision. Le conseiller lui indique le retour d’investissement (taux de retour) qu’il peut espérer pour une période de six mois.4% Excercice 7.Excercice 6. 1.(Groupes Gestion) Un conseiller financier doit choisir pour un club d’investissement un certain nombre d’actions dans lesquelles investir. Sur la semaine où ils ont prévu leur campagne les tarifs publicitaires moyens sont les suivants : – 1 000$ en après-midi. Pour cela ils se fixent deux contraintes : – L’ensemble des dépenses sur l’après midi plus l’access-time ne doit pas dépasser les 28 000 $.(Groupe commerce) Comment doit se répartir le capitale entre chaque action pour espérer le meilleur retour sur investissement ? (formuler le problème par un programme linéaire puis le résoudre avec le solveur d’Excel) Un constructeur automobile décide de lancer une campagne de publicité pour relancer les ventes d’un de leurs modèles.1% 4. – Un spot de 30 secondes diffusé en prime-time permet de gagner 20 points. No 1 2 3 4 5 6 Nom Dash Associates (UK) Ilog France (F) France Telecom(F) General Motor (USA) Elf (F) BNP(F) catégorie T T T N N N Retour 5.5% 3. Le club souhaite investir 100 000$ dans six actions différentes.