Exercices SOMMAIRE Exercices......................................................................................................................... 85 1 Propriétés & DSP............................................................................................. 86 1.1 Modulation en bande de base. ...................................................................... 86 1.2 Codage NRZ, RZ 50%, Biphase. ................................................................. 87 1.3 Modulation étalée......................................................................................... 88 1.4 Codages Différentiel et Bipolaire................................................................. 89 1.5 Modulations MDP et MSK. ......................................................................... 90 2 Détection. .......................................................................................................... 91 2.1 Signaux Orthogonaux................................................................................... 91 2.2 Détection Vectorielle.................................................................................... 92 2.3 Seuils de Détection Optimaux...................................................................... 93 2.4 Détection en Optique Cohérente. ................................................................. 95 2.5 Modulation MAQ-8. .................................................................................... 96 2.6 Modulation à Réponse Partielle. .................................................................. 97 3 Critère de Nyquist. .......................................................................................... 98 3.1 Filtre Adapté................................................................................................. 98 3.2 Notion de Filtre Adapté................................................................................ 99 3.3 Critère de Nyquist en Bande de Base. ........................................................ 100 3.4 Diagramme de l’œil. Débits optimaux. ..................................................... 101 3.5 Calcul d'énergie. ......................................................................................... 102 3.6 Brouilleur sinusoïdal. ................................................................................. 102 4 Modulations sur Fréquence Porteuse. ............................................................ 103 4.1 Modulations en Phase et Quadrature.......................................................... 103 4.2 Modulation M.S.K. .................................................................................... 104 4.3 MDP2 Codée et 3MDF2. ........................................................................... 105 4.4 Modulation Q2PSK..................................................................................... 106 5 Canal Non Stationnaire. .................................................................................. 107 5.1 Evanouissements par Trajets Multiples...................................................... 107 5.2 Canal de Rayleigh & Diversité................................................................... 108 5.3 OFDM sur Canal Dispersif. ....................................................................... 109 5.4 Diversité de Réception. .............................................................................. 110 85 1 Modulation en bande de base. calculer. .. α 2 . calculer en fonction de M. Pour A fixé. a3 = Α ) & (a0 = 3A. a2 = -Α. que l'on peut prendre normée (sans perte de généralité). qui représente la suite des symboles d'information à transmettre. k ∈ ZZ est une suite de variables aléatoires i. a3 = -3Α ) Exprimer la relation entre le débit binaire Db (bits/s) et le débit symbole Ds appelé aussi rapidité de modulation R (exprimée en bauds). l'énergie moyenne par symbole. T ] g (t ) = T 0 ailleurs +∞ 2 ⌠ 2 On définit la distance minimale entre les signaux par : d min = min si (t ) − s j (t ) dt .1 Propriétés & DSP.. l'énergie moyenne par bit. l'énergie moyenne par symbole et la distance minimale entre les signaux. ±3 A.α M } . la puissance émise et la distance minimale entre les signaux. à valeurs dans un alphabet A de M valeurs (M pair) : A = { ± A. a1 = -Α.. Pour simplifier la représentation du signal x(t ) . lorsqu’on fait varier de débit symbole. T g (t ) est une fonction de mise en forme spectrale du signal x(t ) .. i≠ j ⌡ −∞ Représenter les signaux pour les suites de symboles suivantes : (a0 = A. . ±5 A. a2 = -Α. Les modulations numériques linéaires en bande de base sont caractérisées par la relation : k =+∞ x(t ) = ∑ ak g (t − kT ) où x(t ) est le signal émis. ± ( M −1) A} = {α1. a1 = -Α. k =−∞ {ak }. la fonction rectangulaire normée: 1 pour t ∈ [0.. 86 . nous choisirons pour fonction g (t ) . Pour une puissance émise et un débit binaire fixé.i. 1 Ds = est le débit en symboles par seconde ou débit Bauds. 1.d. 1) k =−∞ k =−∞ On se propose de calculer la densité spectrale de puissance de différents codes en ligne. 2 ] s2 (t ) = symétrique {+1. Biphase. b) ak ∈ {0. (Retour à Zéro à la moitié) est défini par : g (t ) = 2 0 ailleurs Un code Manchester.T ] 0 2 {ak } est une suite de variables aléatoires. Un signal numérique en bande de base. ] Un signal RZ 50%. T ] Un signal NRZ. (Non Retour à Zéro) est défini par : g (t ) = 0 ailleurs T A t ∈ [0. T ] 1 2 Un code Biphase. Exercices 1.1} . A t ∈ [0. (Indépendantes et Identiquement Distribuées) est de loi uniforme.2 Codage NRZ.I. Si p = 1 / 2 la suite I. A t ∈[T .+1}.D. appelé code en ligne est représenté par la relation : k =+∞ k =+∞ x(t ) = ∑ g k (t − kT ) et dans le cas de la MIA x(t ) = ∑ ak g (t − kT ) (1. est un code Manchester avec : T A1 = − A0 (forme de l'horloge) appliqué à du binaire A1 t ∈ [0. T A0 t ∈ [0. 87 . −1}. Pour les deux ensembles de valeurs a) et b) : 1) Quelle est la densité spectrale de puissance des codes NRZ et RZ50% ? 2) Quelle est la puissance du signal contenue dans les parties du signal ayant respectivement un spectre de raies et un spectre continu ? 3) Quelle est la densité spectrale de puissance du code Biphase ? 4) Comparer les DSP. RZ 50%. appliquées à du binaire : s1 (t ) = A t ∈[T . indépendantes à valeurs dans : a) ak ∈ {−1. de probabilités a priori p & 1-p. est défini par les deux formes s1. 2 ] s2. f1 (t ) ( f1 (t ) = + + + + pour la voie 1. 2. Quel est le débit symbole en sortie du modulateur ? f 3 (t ) 2. Ce filtre vérifie-t-il les conditions de Nyquist de non IES ? (à justifier mathématiquement) 88 . 3. Quelle est l’énergie moyenne émise par symbole ? {b4k } (préciser le calcul mathématique) f 4 (t ) La transmission se fait sur un canal idéal BABG.1. 4 ) de même débit Di = Db = 1 Mbit/s .i. ∑ {b3k } 1.d équiprobables et indépendantes entre elles. Quelle est la réponse impulsionnelle du filtre adapté de la voie i ? 4. f 2 (t ) puis les voies sont additionnées. Les voies de données sont binaires bik ∈ {±1} i. On fait un multiplex de 4 voies de données {bik } ( i = 1. f 2 (t ) = + − + − .3 Modulation étalée. f 4 (t ) = + − − + pour la voie 4). {b2k } f 3 (t ) = + + − − . 3. Chaque voie est étalée spectralement en multipliant {b1k } chaque bit par une séquence fi (t ) de chips NRZ. +1} de probabilité a priori respectives : Pr(bk = 1) = p et Pr(bk = –1) = 1– p. ] Le code bipolaire RZ50%. Quelle est la fonction de corrélation de la suite {bk } ? 2) p = 1 / 2 . −1} . {bk} est une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans {–1. 0.1) et (1. T A t ∈ [0.2) 1) Quelle est la fonction de corrélation de la suite {ak} ? 2) Quelle est la densité spectrale de puissance du signal x(t) défini par (1. Exercices 1. NRZ et Horloge. à pour impulsion : g (t ) = 2 0 ailleurs La suite binaire {bk } est une suite de symboles indépendants à valeurs dans {+1. −1} .2) ? On utilisera les fonction g(t) RZ . Les symboles ak sont définis à partir des symboles bk par un codage bipolaire : si bk = +1 alors ak = ± 1 altenativement si bk = −1 alors ak =0 1) p = Pr ( bk = 1) . Codage Bipolaire. Codage Différentiel.4 Codages Différentiel et Bipolaire. La suite ternaires {ak } prend ses valeurs dans {+1. La suite {ak} est crée à partir de la suite {bk} par un codage différentiel défini par la relation : ak = ak −1 ⋅ bk (1. Quelle est la densité spectrale du code bipolaire RZ50% ? 89 . On utilise une modulation de Phase sans filtrage.Montrez que la modulation M.Satisfait-elle les contraintes de densité spectrale hors bande? 3) Même question pour une modulation MAQ sans filtrage? 90 .K. de largeur 2 kHz. est une modulation à enveloppe constante ? . La modulation MSK. .Quelle modulation de phase doit-on choisir ? 2) Sous cette même contrainte spectrale.5 Modulations MDP et MSK.Quelle est la densité spectrale de puissance (DSP) d'une modulation de Phase ? . 1) La densité spectrale bilatérale de puissance du signal ne doit pas dépasser le niveau de − 45 dBW/Hz en dehors de la bande du canal.Quelle est le niveau relatif des maxima des lobes secondaires de la DSP ? . On désire transmettre un signal numérique de débit 1 kbit/s sur un canal passe bande.Quelle est sa densité spectrale ? .1.S. + 1} 2 k k =−∞ k =−∞ 1 πt 1 4T cos ( 2π fT ) g (t ) = ⋅ Π 2T (t ) soit G ( f ) = ( ) cos T 2T T π 1 − 16T 2 f 2 . La puissance émise est de 2 Watts. est caractérisée par: k =+∞ k =+∞ α x (t ) = A ⋅ ∑ a g (t − 2 kT ) + j ⋅ ∑ a2 k +1 g (t − (2k + 1)T ) ak ∈ {−1. on envisage d'utiliser la modulation MSK.Quelle est le niveau de la DSP à la fréquence de la porteuse ? . en équivalent en bande de base. 2. La suite binaire est i. (Résultat sous forme intégrale) 5) Calculer la probabilité d’erreur dans le cas M = 2 1 y2 Montrer que la fonction d’erreur peut être majorée par : Q( y ) ≤ exp − 2 2 Eb 6) En utilisant la borne de l'union. M →∞ 7) Si les M signaux si (t ) sont de support [0. . conclusion. lorsque M → ∞ . On cherche à concevoir un système de transmission qui utilise M = 2 N signaux orthogonaux si (t ) (i = 1. . et le codage est sans redondance. montrer que si > 2 ln 2 .Déterminer la largeur de bande minimale occupée par l'ensemble des M signaux. Ps 8) En utilisant le théorème de la capacité de canal : C = B log 2 (1+ ) Pb Ps est la puissance du signal et Pb celle du bruit dans la bande B . ( Eb est l'énergie pour transmettre un élément binaire). 4) Exprimer la probabilité de décision correcte. T ] et si l'on réutilise tous les T un k =+∞ k =+∞ ensemble de signaux décalés alors x(t ) = ∑ g k (t − kT ) = ∑ sm. . M ) de même énergie Es = log 2 ( M ) ⋅ Eb . Eb . (k +1)T ] prend la valeur g k (t ) = sm (t ) ).k (t − kT ) . 1) Donner deux exemples de réalisation de cet ensemble de signaux.Comparer avec le résultat obtenu à la question 6. ……. alors N0 lim {Pr( Err )} = 0 . La transmission est réalisée dans un canal de largeur de bande infinie.d. 2) Donner une représentation vectorielle si des signaux.1 Signaux Orthogonaux. de gain unitaire et à bruit additif blanc Gaussien de densité spectrale bilatérale de puissance N 0 2 .Déterminer l'efficacité spectrale η de la modulation ( en bit/sec/Hz). (le symbole k =−∞ k =−∞ g k (t ) transmis sur l'intervalle de temps [kT .Déterminer le débit binaire Db et la rapidité de modulation R . 91 .i. 3) Exprimer la règle de décision du Maximum de Vraisemblance à posteriori.Montrer que si le débit est inférieur à la capacité Db < C alors > ln 2 N0 . Exercices 2 Détection. Déterminer l'espérance conditionnelle E { z1 /( z2 . centrées.2 Détection Vectorielle. 1) Exprimer le rapport de vraisemblance des deux valeurs de s . 3) Quelle est la probabilité d'erreur ? 4) Même question si la décision s'effectue à partir de z1 uniquement. On observe le couple de variables aléatoires ( z1.Exprimer la fonction de vraisemblance définie à la question précédente en fonction de cette espérance conditionnelle. s )} .n 2 a s est une variable aléatoire (v. 2) Quel est le rôle joué par z2 . s )} . A} . Soit le système de transmission suivant : s z1 = s +n 1 n1 n2 z2 = n 1 + a.Calculer la probabilité conditionnelle Pr { z1 /( z2 .2. z2 ) et on cherche à déterminer la valeur prise par la variable ou signal s .) équi-distribuée à valeurs dans {− A. indépendantes entres elles et vis à vis de s et de même variance σ 2 .a. Les variables aléatoires n1 et n2 sont Gaussiennes. 5) Quel est le récepteur linéaire à probabilité d'erreur minimale? 6) Conclusions. 92 . (On fera varier p ) On émet la suite {ak } sous la forme NRZ : x(t ) = ∑ ak g (t − kT ) . ak ∈ {+1. Il est en suite récupéré par un récepteur optimal classique où le filtre linéaire de réception hR (t ) est le filtre adapté à un symbole. Suivant le schéma : filtre BABG filtre émission N0 / 2 réception {ak} x(t) z(t) {aˆ k} Seuils g(t) + hR (t) Canal Ech – Donner l’expression de hR (t ) et de z (t ) = x(t ) + b(t ) . Exercices 2. 1− p. – Quelle est la valeur de h(0) ? – Expliciter la loi de la variable aléatoire β puis celle de la variable aléatoire ( zk / ak = α i ) . −1} de probabilités respectives p / 2. – Y-a-t-il de l’interférence entre symboles ? – Quelle est la puissance de b(t ) ? Le signal z(t) est échantillonné aux instants t = kT + θ de telle sorte que zk = z (kT + θ ) = ak ⋅ h(kT + θ ) + b(kT + θ ) = ak ⋅ h(0) + β . 0. – Ce signal possède-t-il de la puissance aux basses fréquences ? – Véhicule-t-il le rythme symbole (raies à 1 / T et ses harmoniques) ? – Quelle est l’énergie par symbole Es émise ? Le signal x(t ) traverse un canal sans distorsion à bruit additif blanc Gaussien centré de DSP bilatérale N 0 / 2 . 93 . Soit la suite stationnaire bipolaire {ak } d’états successifs indépendants.3 Seuils de Détection Optimaux. – Donner l’expression de la densité spectrale de puissance S x ( f ) de x(t ) . p / 2 . k g (t ) = V ⋅ Π T (t − T2 ) . où h(t ) est la réponse impulsionnelle du filtre global de la chaîne de transmission. +∞ − ( x − mx ) 2 z − mx 1 ⌠ On rappelle que : 1 Erfc = e 2σ 2 dx 2 σ 2 σ 2π ⌡ z et que Erfc( x) = 2 − Erfc(− x) = Erf (− x) 94 . On prendra : s1 = h(0) ⋅ s+ et s2 = h(0) ⋅ s− zk > s1 → âk = +1 La règle de décision étant : zk ∈ [ s2 . s1 ] → âk = 0 zk < s2 → âk = −1 – Fonction de p . en fonction de p . – Etudier le cas s = s+ = s− . – De quel coté se déplacent les seuils lorsque p varie ? 2 – Pour p = présenter Pr( Errs ) en fonction du rapport Es / N 0 et en utilisant la fonction 3 d’erreur complémentaire Erfc. s2 ) . Pour décider des symboles âk reçus le signal zk est comparé à deux seuils ( s1. les seuils s+ et s− qui minimisent la probabilité d’erreur par symbole Pr( Errs ) . – Déterminer. s+ et s− calculer la probabilité d’erreur de décision sur les symboles ak . . Exprimer le critère de décision à maximum de vraisemblance. . Exprimer la moyenne et la variance du nombre de photons observé pendant la durée T . L’atténuation d'une fibre optique mono-mode est de 0. .Déterminer le seuil de décision correspondant. On réalise un système de transmission sur fibre optique.Déterminer la distance maximale entre deux répéteurs. La puissance émise dans la fibre optique est de 1mW et le débit binaire de 1Gbit/s. 95 . si l'observation est un processus aléatoire stationnaire de Poisson de paramètre λ .Montrer que le récepteur optimal compte les photons reçus. .4 Détection en Optique Cohérente. 5 . Exprimer le critère de décision à Maximum de Probabilité a Posteriori (MAP) .Déterminer le nombre moyen de photons reçu par bit.Exprimer la probabilité d'erreur sous forme de sommes ( H 0 et H1 équiprobables). Le rapport "signal sur bruit" est défini par le rapport du carré de la moyenne sur la variance. dans les mêmes conditions d'émission. 5 µm et l’indice de propagation η = 1.Montrer que la probabilité d'erreur est minimale. Comment s'exprime-t-il en fonction de λ . la longueur d'onde est de 1.Quel est. .Quelle valeur de λ1 permet d'obtenir une probabilité d'erreur de 10−9 par élément binaire. Exprimer la probabilité d'observer n photons. suit une loi de Poisson de paramètres λ0 et λ1 suivant les hypothèses H 0 ou H1 qui correspondent respectivement à la transmission d'un symbole 0 et 1.1dB/km. La statistique du nombre de photons reçus. Exercices 2. . la distance maximale entre deux répéteurs? Conclusions. Les récepteurs actuels fonctionnent avec un nombre moyen de 1000 photons par bit. Avec le récepteur ci-dessus : .Déterminer la puissance moyenne reçue. Si λo = 0 . . pendant la durée T de transmission d'un symbole. pour une énergie moyenne par bit Eb donnée. 2) Déterminer la densité spectrale de puissance du signal équivalent en bande de base et du signal sur fréquence porteuse. 2 8) Quel est le gain obtenu par rapport aux modulations MDP-2 et MAQ-4. 3) Déterminer l’énergie moyenne par symbole Es et par élément binaire Eb du signal passe bande et du signal équivalent en bande de base. m = 0. 3 et B > A > 0 1 L’impulsion de mise en forme spectrale est : g (t ) = Π T (t ) T 1) Donner l’expression du signal s (t ) équivalent en bande de base et du signal réel x(t ) passe bande associé. On considère une modulation MAQ-8 particulière définie en équivalent en bande de base par la constellation équiprobable : π π j ( 2 n+1) jm dk ∈ A ⋅ e 4 ∪ B⋅e 2 . La suite des symboles est i. N0 96 .i. 2.d. et à quel prix.1.5 Modulation MAQ-8.2. 5) Quelle est la distance minimale entre les signaux réels passe bande. 6) Trouver le rapport λ = A / B qui maximise la distance minimale entre les signaux. 4) Représenter sur le même diagramme la constellation et les régions de décisions du détecteur selon le maximum de vraisemblance. E Prendre le cas d’un b = 10dB . 7) Calculer la probabilité d’erreur par symbole puis par élément binaire. N0 On suppose le canal idéal BABG . Quel est le gain obtenu par rapport à la modulation MDP-8. pour n. 6) Quel instant d'échantillonnage vous paraît le plus approprié? 7) Donner un schéma de récepteur à retour de décision. +1} et indépendants entre eux. 5) Exprimer z (t ) aux instants kT et aux instants kT − T / 2 . 97 .6 Modulation à Réponse Partielle. ′ = am 8) On réalise un codage différentiel à l'émission am ′ −1 ⋅ am m =+∞ Le signal émis est : x(t ) = ∑ ′ h(t − mT ) am m =−∞ Donner la structure d'un récepteur à détecteur à seuils de la suite {am } . La modulation à réponse partielle Duobinaire est définie par une modulation linéaire : m =+∞ x(t ) = ∑ am h(t − mT ) m =−∞ Les symboles {am } . 1) Quelle est la densité spectrale du signal émis? 2) Quelle est la puissance du signal x(t ) et l'énergie par bit émise Eb ? 3) Quel est le filtre de réception optimal associé à la transmission d'un seul symbole? 4) Exprimer le signal z (t ) à la sortie du filtre de réception. La fonction h(t ) à pour transformée de Fourier 1 1 A cos(π f T ) pour − < f < H( f ) = 2T 2T 0 ailleurs La transmission est réalisée dans un canal à bruit blanc additif gaussien (BBAG). 9) Calculer la probabilité d'erreur et comparer avec celle d'une transmission binaire sur un canal à bruit blanc additif gaussien sans Interférence entre symboles (IES). Exercices 2. m ∈ Z sont à valeurs dans {−1. Le récepteur est composé d'un filtre de réponse impulsionnelle hr (t ) suivi d'un échantillonneur à l'instant τ . On dispose d'une source binaire : Hypothèse H 0 : La source émet le signal x(t ) = s (t ) . Soit y (τ ) la variable obtenue y (τ ) = r (τ ) + n(τ ) r 2 (τ ) On définit le rapport signal sur bruit par : ρ = E{n 2 (τ )} N0 On suppose que l'on est en bruit blanc : Sb ( f ) = 2 1) Déterminer. On observe le signal z (t ) = x(t ) + b(t ) où b(t ) est un bruit blanc de densité spectrale bilatérale de puissance Sb ( f ) .1 Filtre Adapté.3 Critère de Nyquist. en utilisant l'inégalité de Schwartz. 5) Quel est le filtre adapté ( en bruit blanc) à une impulsion rectangulaire. Hypothèse H1 : La source émet le signal x(t ) = − s (t ) . la réponse en fréquence H r ( f ) du filtre de réception qui maximise le rapport signal sur bruit ρ . à une impulsion sinusoïdale? 6) Donner les formes des signaux à la sortie du filtre de réception.3) 3. 2) Quelle est la particularité de la fonction s (t ) ∗ hr (t ) ( ∗ est le produit de convolution) 3) Que devient ce filtre si le bruit est de densité spectrale Sb ( f ) ≥ 0 presque partout ? 4) Montrer que ce filtre peut se représenter par un filtre blanchissant suivi du filtre adapté en bruit blanc. 98 . (Voir exercice 1. b) g (t ) vérifie-t-il le critère de Nyquist ? c) L'impulsion filtrée est r (t ) = h(t ) ∗ g (t ) . k =+∞ 1 On considère une modulation numérique linéaire au débit Ds = . Vérifie-t-elle le critère de Nyquist ? 3) a) Quelle est la densité spectrale de puissance S x ( f ) du signal x(t ) ? b) Quelle est la largeur de bande à 3dB de la DSP du signal x(t ) ? c) Quelle est la largeur de bande à 3dB de la DSP du signal y (t ) ? 99 . à valeurs {+ A.d. x(t ) = ∑ ak h(t − kT ) . Exercices 3.i.2 Notion de Filtre Adapté. Soit h(t) le filtre global sur la chaîne de transmission tel que sa fonction de transfert H ( f ) soit : π fT 1 cos pour f ≤ H(f )= 2 T 0 ailleurs 1) h(t ) vérifie-t-il le critère de Nyquist ? 2) On filtre le signal x(t ) par le filtre adapté de réponse impulsionnelle g (t ) = h∗ (−t ) pour obtenir y (t ) . T k =−∞ {ak } est une suite binaire i. a) Calculer G ( f ) . − A} équiprobables. 3. T 3) Préciser. pour chacun des trois canaux. 2) Préciser. le débit Db maximum qu'il est possible de transmettre sans IES. 1) Rappeler ce critère. si ils permettent une transmission sans IES au débit 1 binaire Db = . H 1( f ) H2 ( f) f f 3 3 3 1 1 3 − 4T 0 4T − 4T − 4T 0 4T 4T H3 ( f) 1 3 4 1 4 f 3 1 1 1 1 3 −2T −T −2T 0 2T T 2T Fonctions de transfert globale des canaux de transmission. pour chacun des trois canaux. On considère une liaison binaire au débit Db bits/sec.3 Critère de Nyquist en Bande de Base. H 2 ( f ) et H 3 ( f ) représentée ci-dessous. il est nécessaire que le filtrage global du canal satisfasse le critère de Nyquist. 100 . de fonction de transfert globale H1 ( f ) . Pour effectuer une transmission sans interférence entre symboles (IES). 1 Représentez le diagramme de l'oeil correspondant au débit . Comment se modifie le diagramme de l'oeil ? Quel instant d'échantillonnage minimise l'effet de l'interférence entre symboles ? 101 . Exercices 3. Le signal reçu à la sortie du filtre de réception. +1} k =−∞ g (t ) est défini par : 1 g(t) 1/3 t 0 0 To 2 To 3To 1) On suppose T = 2T0 . s'écrit : k =+∞ x(t ) = ∑ ak g (t − kT ) + b(t ) avec ak ∈{−1. avant échantillonnage. T Peut-on échantillonner le signal x(t ) sans interférence entre symboles ? 2) On augmente le débit symbole tel que T = T0 . Débits optimaux. 1 On considère un système de transmission au débit symbole sur un canal à bruit T additif blanc Gaussien.4 Diagramme de l’œil. πt sin pour t ∈ [0. indépendants et équiprobables.6 Brouilleur sinusoïdal.3. On désire multiplier par deux le débit binaire sans modifier T le filtrage. Le canal est à Bruit Blanc Additif Gaussien. 3400 Hz ] sur lequel une onde sinusoïdale de 3000 Hz perturbe la transmission. Peut-on transmettre sans interférence entre symboles ? Quelle modulation peut-on utiliser ? Que deviennent les énergies émises par bit et par symbole ? 3.5 Calcul d'énergie. au débit binaire k =−∞ Db = 9600 bit/s . Les symboles ak sont à valeurs dans {−1. Soit un canal téléphonique de bande passante [ 300. 1) Quelle modulation choisir ? 2) Montrer que l'on peut réaliser une transmission sans interférence entre symboles non perturbée par le brouilleur. On désire transmettre au débit de 9600 bit/s à l'aide d'une modulation MAQ. T ] g (t ) = T 0 ailleurs 1) Quelle est la densité spectrale du signal émis ? 2) Quelle est l'énergie émise par symbole ? 3) Quelle est la largeur de bande minimale pour transmettre sans interférence entre symboles? 4) On suppose que le filtre global de la chaîne de transmission vérifie le critère de 1 Nyquist pour le débit symbole . k =+∞ On désire transmettre le signal x(t ) = ∑ ak g (t − kT ) . +1} . 3) Quel est le facteur de débordement maximum ? 102 . Une MAQ. ±3.. 6) Déterminer la densité spectrale de puissance du signal émis.1 Modulations en Phase et Quadrature.. déterminer l'énergie par bit nécessaire pour transmettre avec un Taux d'Erreur par élément binaire inférieur à 10−6 . ± ( M −1)} pour une modulation MAQ-M 2 . ±5. Le débit binaire est de Db = 144 Mb/s . Exercices 4 Modulations sur Fréquence Porteuse. Le signal observé est z (t ) = x(t ) + b(t ) où b(t ) est un bruit blanc gaussien de densité spectrale bilatérale de puissance Sb ( f ) = N 0 2 . La fréquence de la porteuse est f 0 = 800 MHz . . 4) Quelle modulation MAQ choisir ? 5) En utilisant les courbes de probabilité d'erreur du polycopié. 103 . 4. modulation d’amplitude des porteuses en phase et en quadrature est définie par : k =+∞ k =+∞ x(t ) = ∑ ak h(t − kT ) ⋅ 2 cos(2π f 0 t ) − ∑ bk h(t − kT ) ⋅ 2 sin(2π f 0 t ) k =−∞ k =−∞ où h(t ) est une fonction dont la transformée de Fourier est donnée par : π f A ⋅ cos pour − B < f < B H( f ) = 2B 0 ailleurs Les symboles ak et bk sont indépendants et prennent des valeurs équiprobables dans l'ensemble { ±1. La largeur de bande du canal est de 24 MHz centré sur la fréquence de la porteuse. 01 µ w/ Hz .. La densité spectrale de puissance du bruit est N 0 = 0. 2) Déterminer le filtre de réception optimal.. 3) Déterminer le débit baud qui permet de transmettre sans IES. 1) Représenter un schéma de principe de la chaîne de transmission. 2 Modulation M. (Fast Frequency Shift Keying) est une modulation de fréquence à phase continue d'indice 0.K. 3) Déterminer les fréquences instantanées du signal F. La modulation M. +1} ∑ α x (t ) = A ⋅ a2 k h(t − 2kT ) + j ⋅ ∑ a2 k +1h(t − (2k +1)T ) k =−∞ k =−∞ h(t ) est la fonction de mise en forme de la modulation M. 2) Calculer la densité spectrale du signal M.S. et M.F. ) h = 1 / 2 est l'indice de modulation. Le signal réel est modélisé par : k =+∞ k =+∞ x(t ) = ∑ a2 k h(t − 2kT ) ⋅ A 2 cos(2π f 0t ) − ∑ a2 k +1h(t − (2k +1)T ) ⋅ A 2 sin(2π f 0t ) k =−∞ k =−∞ Son enveloppe complexe associée à la fréquence f 0 et à la phase φ = 0 est définie par : k =+∞ k =+∞ ak ∈ {−1.F.S.K. 104 .K.F. 6) Déterminer la densité spectrale du signal F.5 définie par : ( x(t ) = A ⋅ cos 2π f 0 t + 2π h ∫0t s (u )du .T ] Avec : s (t ) = ∑ d k g (t − kT ) .S.K.K.K. 5) Montrer que les modulations F. est une modulation à enveloppe constante. +1} .S.S.K.S.S.S.F. en fonction du temps ( arbre des trajectoires de phases ( φ (t ) pour toutes les suites de symboles possibles)). qui est définie par : πt cos pour t ∈ [−T . ( Minimum Shift Keying) est une modulation sur fréquence porteuse en Phase et en Quadrature décalée. sont équivalentes à un codage par transition près.K.S.K. . g (t ) = 2T k =−∞ 0 ailleurs 1) Montrer que la M.K.4.S.K.F.+T ] h(t ) = 2T 0 ailleurs La modulation F.S. d k ∈ {−1. 4) Tracer l'évolution de la phase du signal F. k =+∞ 1 pour t ∈ [0. 0} .2 ? 2) Quelle est l’énergie moyenne émise par bit et quelle est la distance entre les formes émises? 3) Quelle est la probabilité d’erreur par bit à la réception ? On code la suite binaire {bk } par un code de Hadamard H 4 . prenant ses valeurs dans l’ensemble {1. On considère une suite binaire {bk } à éléments successifs indépendants et identiquement distribués (i. ce sont les lignes des matrices H 4 et H 4 .i. H = 2n +1 H n . Le canal est à BABG et le récepteur est optimal cohérent. 0 1 2 H 2n La suite de sortie {d k } est telle que d k ∈ ±1 (les zéros sont transformés en −1). 0 0 H 2n H 2n La matrice se construit suivant la règle H1 = [ 0] . H 2 = . 7) Quelle est la largeur de bande à 3dB si l’impulsion de mise en forme est NRZ ? 8) Dessiner la constellation du signal avec un codage de Gray. MDP2. le rendement est de r = 3 / 4 .3 MDP2 Codée et 3MDF2. 4) Quelle est la distance minimale entre les mots du code ? 5) Quelle est la probabilité d’erreur sur les mots de code en décision dure ? 6) Quelle est la probabilité d’erreur sur les bits après décodage ? 3MDF2. Exercices 4. Le débit binaire est de 1Mbit/s. La suite binaire {bk } est maintenant transmise par une modulation sur trois porteuses orthogonales (à 2 états ) et émises simultanément.d. Elle est transmise par la MDP2 du 1°). b) en racine de cosinus surélevé de facteur de débordement α = 0.). on considère qu’en cas d’erreur sur un mot un seul bit sera restitué faux. Les mots de code ont 4 bits. 1) Quelle est la largeur de bande à 3dB si l’impulsion de mise en forme est : a) NRZ. 9) Quelle est l’énergie moyenne émise par bit et quelle est la distance entre les formes émises? 10) Quelle est la probabilité d’erreur par bit ? (Canal BABG et récepteur optimal cohérent) (Utiliser la borne de l’union). la puissance émise est de 1Watt. 105 . La suite binaire {bk } est transmise par une MDP2. La puissance moyenne émise est toujours de 1Watt. les erreurs sont détectables mais non corrigibles. le dernier bit est un contrôle de parité des trois premiers. 6) Décrire la constellation de cette modulation. 9) Calculer un majorant de la probabilité d'erreur par bit résiduelle. 3) Quelle est l'enveloppe complexe α x (t ) . sont orthogonaux. Affaiblissement 40 dB. 8) La transmission se fait dans un canal idéal BABG. pour t ≤ T Quadrature PSK. un codage de Gray est -il possible? 7) Donner la représentation vectorielle et déterminer la distance minimale entre les points en fonction de l'énergie moyenne par symbole. 5) Comparer l'efficacité spectrale de la QQPSK à celle de la MSK. Donner la structure du récepteur (schéma). Le débit binaire est de 10Mbit/s. par rapport à f 0 . T 2T Le signal émis s'écrit 2 πt 4 s4 (t ) = ⋅ sin ⋅ sin ( 2π f 0 t ) .d.i. le récepteur est optimal cohérent. pour t ≤ T T 2T transmise par une modulation Quadrature. 10) Calculer la probabilité d'erreur résiduelle exacte. de x(t ) ? 4) Ecrire α x (t ) sous la forme ∑ k ( a1k g1 (t − kT ) + a2 k g 2 (t − kT ) ) et en déduire sa DSP. 2 πt Cette suite binaire {bm } est s1 (t ) = ⋅ cos ⋅ cos ( 2π f0 t ) . si (t ) . N 0 = −170 dBW/Hz . un symbole est formé à T 2T partir de quatre bits d'après le schéma ci. 11) AN : Pe = 1 mW. (Borne de l'union).). prenant ses valeurs dans l’ensemble {±1} . 106 . pour t ≤ T x(t ) = ∑ ∑ b4 k +i ⋅ si (t − kT ) T 2T (T est la période symbole) ( f 0 = 1GHz ) k i =1 b1 b5 s1 (t ) {bm } b2 b6 parallèle b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 s2 (t ) x (t ) ∑ Série b3 b7 s3 (t ) b4 b8 s4 (t ) 1) Montrer que les signaux. 2 πt s2 (t ) = ⋅ sin ⋅ cos ( 2π f0 t ) . 2) Quelle est l'énergie moyenne émise par bit.4 Modulation Q2PSK. Comparer à la MAQ-4. pour t ≤ T dessous. 2 πt s3 (t ) = ⋅ cos ⋅ sin ( 2π f0 t ) . On considère une suite binaire {bm } à éléments successifs indépendants et identiquement distribués (i.4. r h l D B M En appelant τ la différence de temps de propagation. donner l’expression de r (t ) en fonction de s (t ) . de τ et des affaiblissements α 0 et α1 des deux trajets. à l’instant t . D’après la figure ci-dessous le mobile M reçoit. du signal reçu par le mobile. tracer l’évolution de | r (t ) |2 au voisinage de l = 200m puis l = 1000m . Quelles conditions sur s(t ) et τ . lorsque le trajet réfléchi est présent. Vérifier que l’approximation s (t ) # s (t − τ ) est valable. un trajet direct de longueur l et un trajet réfléchi de longueur ρ . l’enveloppe complexe r (t ) . dans le cas α 0 = α1 . h = 20m . pour l = 200m puis l = 1000m . 5. 107 . A l’instant t le mobile reçoit par le trajet { } direct le signal xd (t ) = Re s (t ) e jω0t . l = 200m puis l = 1000m . En fonction de l. Calculer.1 Evanouissements par Trajets Multiples. quelle est. où s (t ) représente l’enveloppe complexe (par rapport à f 0 ) qui est le signal d’information. Puis . On choisit : f 0 = 3GHz . la différence de marche d = ρ − l entre les deux trajets. doit on avoir pour que s(t ) # s(t − τ ) ? En supposant s (t ) # s (t − τ ) . puis la différence de temps de propagation τ (la célérité du milieu est : 8 c = 3⋅10 m / s ). f M = 1MHz . de la station de base B. On regardera le cas α1 = α 0 / 2 . Quel est le temps entre deux évanouissements pour un mobile se déplaçant à 50km/h. (on fera l’approximation h / l << 1 ). Exercices 5 Canal Non Stationnaire. en fonction de l et de h . celle de | r (t ) |2 en fonction de d et λ0 . 5. Donner l’expression de la probabilité d’erreur? Donner l’expression de sa valeur asymptotique lorsque γ >> 1 . On cherche à améliorer les performances de ce système en plaçant deux antennes de réception distantes de quelques longueurs d’onde. Comparer ce résultat avec celui du récepteur optimal. selon le critère du maximum de vraisemblance? 3-2) Quelle est la loi du rapport signal sur bruit Eb / N 0 à l’entrée du récepteur? 3-3) Quelles sont les performances du système? Valeur asymptotique lorsque γ >> 1 . 3) Diversité d’ordre 2 par combinaison de canaux en Réception . Le canal est a bruit additif blanc gaussien de DSP N 0 / 2 . Pour simplifier le récepteur on décide de choisir le récepteur le plus puissant pour réaliser la détection.2 Canal de Rayleigh & Diversité. On désire réaliser la transmission d’une modulation MDP2 dans un canal de Rayleigh non sélectif de coefficient c = ρ e jθ avec E{ | c |2 } = 2σ 2 . quels sont les types de diversité envisageable sur un canal non stationnaire. 4) Diversité de réception par sélection de trajet. Quel est le rapport signal à bruit en réception? 5-1) Quelles sont les performances obtenues? 108 . Ils sont non dispersifs et les évanouissements sont supposés lents. Quelle est la perte en performances? 5) Diversité d’émission. 3-1) Quelle est la structure du récepteur optimal. Les deux canaux de Rayleigh de coefficients c1 et c2 sont indépendants et de même variance E{ | c1 |2 } = E{ | c2 |2 } = 2σ 2 . On réalise une diversité d’émission. 1) Donner la structure du récepteur et le schéma du canal discret équivalent sous la forme : yn = c ⋅ d n ⋅ Eb + bn 2) Quelle sont les performances de ce système de transmission en fonction du rapport signal 2 Eb 2σ 2 Eb sur bruit moyen : γ = E | c | ⋅ = N0 N0 Qu’est ce que la diversité. Quel est le nombre maximal de voies de données qu’on peut transmettre avec ce système ? 4. codeur de Golay (23.3 OFDM sur Canal Dispersif. Quel est le nombre d’erreurs que peut corriger le codeur ? 10. 6. 1. 3.12. Quelles sont les conditions d’orthogonalités des porteuses ? 2.. On considère des voies de données. Ce canal présente un temps de dispersion Tdisp = 1µ s et un temps de cohérence Tcoh = 10ms . et un entrelacement des bits codés.7).. On réalise un multiplex OFDM de N porteuses orthogonales. au débit de 100 kbit/s. Quelle est la largeur de bande utile ? 5. de fréquences f = f 0 + n∆ f pour n = 1. Exercices 5. Quelle est la structure complète (du signal reçu aux voies restituées) du récepteur optimal cohérent ? 109 .. à transmettre sur un canal dispersif. Quel est le nombre maximal de voies de données qu’on peut transmettre avec ce système ? 7. Quel est l’étalement Doppler du canal ? Quelle est la largeur de sa bande de cohérence? On décide de prendre des symboles d’une durée Ts = 10 ⋅ Tdisp et un écartement en fréquence ∆ f = 1 / Ts pour un multiplex de 50 porteuses en cosinus.. N et f 0 = 1 GHz . Quelle doit être la dimension de l’entrelaceur ? 9. Les porteuses sont modulées MAQ-4. Si l’on veut faire de la diversité en fréquence quel est l’espacement minimal entre deux porteuses transportant la même information? On choisit de faire de la diversité dans le temps mettant un seul codeur linéaire en bloc. Quel est l’écart temporel nécessaire entre deux bits d’un même mot de code pour réaliser la diversité entre ces bits ? 8. 2. n suivent la même loi gaussienne complexe de composantes N ( 0. σ 2 = −100dB ) . instantanée et moyenne ? 6) Comparer alors la probabilité d’erreur moyenne au cas sans diversité. par bit. valeurs numériques.3). 2) Quel est le rapport signal à bruit moyen γ d’un canal.4 Diversité de Réception. suffisamment espacées.5. La réception est faite par trois antennes (i=1. Le fading est lent. le BABG est le même sur les trois voies ( N 0 = −180dBW/Hz ) et les affaiblissements instantanés ci. valeur littérale et numérique ? 3) Quelle est la probabilité pour qu’un au moins des trois canaux présente un S/B instantané γ i. 110 . On considère l’émission MDP-2 (1Mbit/s. 1) Donner la structure du récepteur optimal au minimum de probabilité d’erreur. 1Watt) sur un canal de Rayleigh.n supérieur à 13dB ? 4) Etablir la loi du rapport signal à bruit instantané γ n de l’ensemble. 5) Quelles sont alors les probabilités d’erreur.2. et le récepteur est optimal.