TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 1/13MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 Corrigé Exercice 1 : MINI-COMPRESSEUR. Question 1 : Ecrire le ou les CIR qui sera ou seront utilisés. La bielle 3 a un mouvement quelconque par rapport au bâti 1. Donc il faudra sûrement déterminer le CIR de 3/1 : 1 / 3 I . Question 2 : Donner le cheminement pour déterminer graphiquement la vitesse du piston par rapport au bâti : 1 / 4 B V = . (NB : Cette question ne sera jamais demandée aux concours). Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : 1 / 3 B 1 / 4 B V V = = · · = = 1 / 2 A 1 / 3 A 1 / 3 V V I Question 3 : Appliquer cette démarche et déterminer graphiquement, dans la position donnée, cette vitesse. (Justifier les différentes étapes de la construction). Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : 1 / 2 A V = . Le mouvement de 2/1 est une rotation de centre O, donc : - OA ) V ( 1 / 2 A ± A = , - sens donné par 1 / 2 O , - s / m 1 , 0 025 , 0 . 4 OA . V 1 / 2 1 / 2 A · · O · = . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A, on obtient 1 / 2 A 1 / 2 A 2 / 3 A 1 / 3 A V V V V = = = = · - · , car A centre de la rotation de 3/2 (donc 0 V 3 / 2 A · = ). 3) Tous les centres de rotation sont aussi des Centres Instantanés de Rotation donc : Le mouvement de 4/1 est une translation rectiligne de direction 1 x , donc 1 / 4 I est à l’infini perpendiculairement à 1 x . Ainsi, selon le théorème des 3 plans glissants, nous avons ) y , B ( ) OA ( ) I I ( ) I I ( I 1 3 / 4 1 / 4 2 / 3 1 / 2 1 / 3 · · · · . Connaissant 1 / 3 I et 1 / 2 A 1 / 3 A V V = = · , on détermine 1 / 4 B 1 / 3 B V V = = · par la répartition linéaire des vitesses. On mesure 1,8 cm pour 1 / 4 B V = , soit compte tenu de l’échelle : s / cm 1 , 8 V 1 / 4 B · = . 1 / 2 I O · 2 / 3 I A · 3 / 4 I B · O · O ± A = = OA . V par donné sens OA ) V ( 1 / 2 1 / 2 A 1 / 2 1 / 2 A TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 2/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 3/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 Corrigé Exercice 2 : PRESSE À GENOUILLÈRE. Question 1 : Ecrire le ou les CIR qui sera ou seront utilisés. 2 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 0 : la bielle 2 et la biellette 4. Donc il faudra sûrement déterminer le CIR de 2/0 : 0 / 2 I et le CIR de 4/0 : 0 / 4 I . Question 2 : Donner le cheminement pour déterminer graphiquement la vitesse du coulisseau par rapport au bâti : 0 / 5 D V = . (NB : Cette question ne sera jamais demandée aux concours). Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : 0 / 4 D 0 / 5 D V V = = · · = = 0 / 2 B 0 / 4 B 0 / 4 V V I Question 3 : Appliquer cette démarche et déterminer graphiquement, dans la position donnée, cette vitesse. (Justifier les différentes étapes de la construction). Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : 0 / 1 A V = . Le mouvement de 1/0 est une rotation de centre O, donc : - OA ) V ( 0 / 1 A ± A = , - sens donné par 0 / 1 O , - s / mm 377 60 . 60 60 . 2 a . 60 N . 2 OA . V 0 / 1 0 / 1 0 / 1 A · r · r · O · = . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A, on obtient 0 / 2 A 0 / 2 A 2 / 1 A 0 / 1 A V V V V = = = = · - · , car A centre de la rotation de 2/1 (donc 0 V 2 / 1 A · = ). 3) Tous les centres de rotation sont aussi des Centres Instantanés de Rotation donc : Le mouvement de 5/0 est une translation rectiligne de direction y , donc 0 / 5 I est à l’infini perpendiculairement à y . Ainsi, selon le théorème des 3 plans glissants, nous avons : ) BC ( ) OA ( ) I I ( ) I I ( I 2 / 3 0 / 3 1 / 2 0 / 1 0 / 2 · · · · , ) x , D ( ) BC ( ) I I ( ) I I ( I 4 / 5 0 / 5 3 / 4 0 / 3 0 / 4 · · · · . Connaissant 0 / 2 I et 0 / 1 A 0 / 2 A V V = = · , on détermine 0 / 4 B 0 / 2 B V V = = · par la répartition linéaire des vitesses. Connaissant 0 / 4 I et 0 / 2 B 0 / 4 B V V = = · , on détermine 0 / 5 D 0 / 4 D V V = = · par la répartition linéaire des vitesses. 0 / 1 I O · 1 / 2 I A · 3 / 4 2 / 4 2 / 3 I I I B · · · 0 / 3 I C · 4 / 5 I D · · = = 0 / 1 A 0 / 2 A 0 / 2 V V I O · O ± A = = OA . V par donné sens OA ) V ( 0 / 1 0 / 1 A 0 / 1 0 / 1 A TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 4/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 On mesure 1,2 cm pour 0 / 5 D V = , soit compte tenu de l’échelle : s / cm 23 V 0 / 5 D · = . TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 5/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 Corrigé Exercice 3 : BATTEUR À HOULE. Question 1 : Ecrire le ou les CIR qui sera ou seront utilisés. 2 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 0 : la bielle 2 et la pale 4. Donc il faudra sûrement déterminer le CIR de 2/0 : 0 / 2 I et le CIR de 4/0 : 0 / 4 I . Question 2 : Donner le cheminement pour déterminer graphiquement la vitesse en K de la pale 4 par rapport au bâti 0 : 0 / 4 K V = . (NB : Cette question ne sera jamais demandée aux concours). Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : 0 / 4 K V = · = = 0 / 3 D 0 / 4 D 0 / 4 V V I Question 3 : Appliquer cette démarche et déterminer graphiquement, dans la position donnée, cette vitesse. (Justifier les différentes étapes de la construction). Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : 0 / 1 A V = . Le mouvement de 1/0 est une rotation de centre O, donc : - OA ) V ( 0 / 1 A ± A = , - sens donné par 0 / 1 O , - s / m 7 , 0 1 , 0 . 7 OA . V 0 / 1 0 / 1 A · · O · = . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A, on obtient 0 / 2 A 0 / 2 A 2 / 1 A 0 / 1 A V V V V = = = = · - · , car A centre de la rotation de 2/1 (donc 0 V 2 / 1 A · = ). 3) Tous les centres de rotation sont aussi des Centres Instantanés de Rotation donc : Ainsi, selon le théorème des 3 plans glissants, nous avons : ) BC ( ) OA ( ) I I ( ) I I ( I 2 / 3 0 / 3 1 / 2 0 / 1 0 / 2 · · · · , ) EF ( ) CD ( ) I I ( ) I I ( I 4 / 5 0 / 5 3 / 4 0 / 3 0 / 4 · · · · . Connaissant 0 / 2 I et 0 / 1 A 0 / 2 A V V = = · , on détermine 0 / 3 B 0 / 2 B V V = = · par la répartition linéaire des vitesses. Connaissant C et 0 / 2 B 0 / 3 B V V = = · , on détermine 0 / 4 D 0 / 3 D V V = = · par la répartition linéaire des vitesses. Connaissant 0 / 4 I et 0 / 3 D 0 / 4 D V V = = · , on détermine 0 / 4 K V = par la répartition linéaire des vitesses. 0 / 1 I O · 1 / 2 I A · 2 / 3 I B · 0 / 3 I C · 3 / 4 I D · 4 / 5 I E · 0 / 5 I F · · = = 0 / 2 B 0 / 3 B V V C · = = 0 / 1 A 0 / 2 A 0 / 2 V V I O · O ± A = = OA . V par donné sens OA ) V ( 0 / 1 0 / 1 A 0 / 1 0 / 1 A TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 6/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 On mesure 2 cm pour 0 / 4 K V = , soit compte tenu de l’échelle : s / m 1 V 0 / 4 K · = . TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 7/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 Corrigé Exercice 4 : PRESSE À 2 EXCENTRIQUES. Question 1 : Ecrire le ou les CIR qui sera ou seront utilisés. 4 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 1 : les bielles 5, 6, 7 et 8. Donc il faudra sûrement déterminer les CIR : 1 / 5 I , 1 / 6 I , 1 / 7 I et 1 / 8 I . Question 2 : Donner le cheminement pour déterminer graphiquement la vitesse du piston par rapport au bâti : 1 / 9 H V = . (NB : Cette question ne sera jamais demandée aux concours). Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : 1 / 8 H 1 / 9 H V V = = · · = = 1 / 7 F 1 / 8 F 1 / 8 V V I Question 3 : Appliquer cette démarche et déterminer graphiquement, dans la position donnée, cette vitesse. (Justifier les différentes étapes de la construction). Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : 1 / 2 B V = . Le mouvement de 2/1 est une rotation de centre A, donc : - AB ) V ( 1 / 2 B ± A = , - sens donné par 1 / 2 O , - s / mm 377 60 . 60 60 . 2 60 . 60 N . 2 AB . V 1 / 2 1 / 2 1 / 2 B · r · r · O · = . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point B, on obtient 1 / 2 B 1 / 2 B 2 / 6 B 1 / 6 B V V V V = = = = · - · , car B centre de la rotation de 6/2 (donc 0 V 2 / 6 B · = ). 3) Tous les centres de rotation sont aussi des Centres Instantanés de Rotation donc : Tout point de roulement sans glissement est aussi un Centre Instantané de Rotation donc : 2 / 3 I I · . Le mouvement de 9/1 est une translation rectiligne de direction y , donc 1 / 9 I est à l’infini perpendiculairement à y . Selon le th. des 3 plans glissants, nous avons immédiatement : ) ID ( ) BE ( ) I I ( ) I I ( I 3 / 5 2 / 3 5 / 6 2 / 6 2 / 5 · · · · ) CD ( ) AI ( ) I I ( ) I I ( I 25 3 / 5 1 / 3 2 / 5 1 / 2 1 / 5 · · · · Ainsi, à l’aide de ces 2 CIR intermédiaires, nous pouvons obtenir : ) E I ( ) AB ( ) I I ( ) I I ( I 1 / 5 5 / 6 1 / 5 2 / 6 1 / 2 1 / 6 · · · · ) E I ( ) GF ( ) I I ( ) I I ( I 1 / 5 5 / 7 1 / 5 4 / 7 1 / 4 1 / 7 · · · · D’autre part, ) x , H ( ) GF ( ) I I ( ) I I ( I 8 / 9 1 / 9 4 / 8 1 / 4 1 / 8 · · · · Connaissant 1 / 6 I et 1 / 2 B 1 / 6 B V V = = · , on détermine 1 / 7 E 1 / 6 E V V = = · par la répartition linéaire des vitesses. Connaissant 1 / 7 I et 1 / 6 E 1 / 7 E V V = = · , on détermine 1 / 8 F 1 / 7 F V V = = · par la répartition linéaire des vitesses. Connaissant 1 / 8 I et 1 / 7 F 1 / 8 F V V = = · , on détermine 1 / 9 H 1 / 8 H V V = = · par la répartition linéaire des vitesses. 1 / 2 I A · 2 / 6 I B · 1 / 3 I C · 3 / 5 I D · 1 / 4 I G · 8 / 9 I H · 6 / 7 5 / 7 5 / 6 I I I E · · · 7 / 8 4 / 8 4 / 7 I I I F · · · · = = 1 / 6 E 1 / 7 E 1 / 7 V V I · = = 1 / 2 B 1 / 6 B 1 / 6 V V I O · O ± A = = AB . V par donné sens AB ) V ( 1 / 2 1 / 2 B 1 / 2 1 / 2 B TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 8/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 Corrigé Exercice 5 : MINI-COMPRESSEUR. La bielle 3 a un mouvement quelconque par rapport au bâti 1. Donc il faudra sûrement appliquer le théorème de l’équiprojectivité entre A et B dans leur mouvement de 3/1 : AB . V AB . V 1 / 3 B 1 / 3 A = = · . Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : 1 / 2 A V = . Le mouvement de 2/1 est une rotation de centre O, donc : - OA ) V ( 1 / 2 A ± A = , - sens donné par 1 / 2 O , - s / m 1 , 0 025 , 0 . 4 OA . V 1 / 2 1 / 2 A · · O · = . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A, on obtient 1 / 2 A 1 / 2 A 2 / 3 A 1 / 3 A V V V V = = = = · - · , car A centre de la rotation de 3/2 (donc 0 V 3 / 2 A · = ). 3) Le mouvement de 4/1 est une translation rectiligne de direction 1 x , donc 1 1 / 4 B x // V = . Connaissant ) V ( ) V ( 1 / 4 B 1 / 3 B = = A · A et 1 / 2 A 1 / 3 A V V = = · , on détermine 1 / 3 B 1 / 4 B V V = = · en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre A et B dans leur mouvement de 3/1 : AB . V AB . V 1 / 3 B 1 / 3 A = = · . On mesure 1,8 cm pour 1 / 4 B V = , soit compte tenu de l’échelle : s / cm 1 , 8 V 1 / 4 B · = . O · O ± A = = OA . V par donné sens OA ) V ( 1 / 2 1 / 2 A 1 / 2 1 / 2 A x // 1 / 3 B 1 / 4 B V V = = · BA . V BA . V 1 / 3 A 1 / 3 B = = · 1 / 4 B V = II II 1 / 2 A V = TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 9/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 Corrigé Exercice 6 : PRESSE À GENOUILLÈRE. 2 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 0 : la bielle 2 et la biellette 4. Donc il faudra sûrement appliquer le théorème de l’équiprojectivité : - entre A et B dans leur mouvement de 2/0 : AB . V AB . V 0 / 2 B 0 / 2 A = = · , - entre B et D dans leur mouvement de 4/0 : BD . V BD . V 0 / 4 D 0 / 4 B = = · . Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : 0 / 1 A V = . Le mouvement de 1/0 est une rotation de centre O, donc : - OA ) V ( 0 / 1 A ± A = , - sens donné par 0 / 1 O , - s / mm 377 60 . 60 60 . 2 a . 60 N . 2 OA . V 0 / 1 0 / 1 0 / 1 A · r · r · O · = . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A, on obtient 0 / 2 A 0 / 2 A 2 / 1 A 0 / 1 A V V V V = = = = · - · , car A centre de la rotation de 2/1 (donc 0 V 2 / 1 A · = ). 3) Le mouvement de 3/0 est une rotation de centre C, donc CB V 0 / 3 B ± = . Connaissant ) V ( ) V ( 0 / 3 B 0 / 2 B = = A · A et 0 / 1 A 0 / 2 A V V = = · , on détermine 0 / 2 B 0 / 4 B V V = = · en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre A et B dans leur mouvement de 2/0 : AB . V AB . V 0 / 2 B 0 / 2 A = = · . 4) Le mouvement de 5/0 est une translation rectiligne de direction y , donc y // V 0 / 5 D= . Connaissant ) V ( ) V ( 0 / 5 D 0 / 4 D = = A · A et 0 / 2 B 0 / 4 B V V = = · , on détermine 0 / 4 D 0 / 5 D V V = = · en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre B et D dans leur mouvement de 4/0 : BD . V BD . V 0 / 4 D 0 / 4 B = = · . On mesure 1,2 cm pour 0 / 5 D V = , soit compte tenu de l’échelle : s / cm 23 V 0 / 5 D · = . O · O ± A = = OA . V par donné sens OA ) V ( 0 / 1 0 / 1 A 0 / 1 0 / 1 A 0 / 4 D 0 / 5 D V V = = · DB . V DB . V 0 / 4 B 0 / 4 D = = · ) CD //( BA . V BA . V 0 / 2 A 0 / 2 B = = · ) CB ( ± 0 / 5 D V = 0 / 3 B V = II II 0 / 2 B V = II II 0 / 1 A V = TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 10/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 11/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 Corrigé Exercice 7 : BATTEUR À HOULE. 2 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 0 : la bielle 2 et la pale 4. Donc il faudra sûrement appliquer le théorème de l’équiprojectivité : - entre A et B dans leur mouvement de 2/0 : AB . V AB . V 0 / 2 B 0 / 2 A = = · , - entre D, E et K dans leur mouvement de 4/0 : DE . V DE . V 0 / 4 E 0 / 4 D = = · . Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : 0 / 1 A V = . Le mouvement de 1/0 est une rotation de centre O, donc : - OA ) V ( 0 / 1 A ± A = , - sens donné par 0 / 1 O , - s / m 7 , 0 1 , 0 . 7 OA . V 0 / 1 0 / 1 A · · O · = . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A, on obtient 0 / 2 A 0 / 2 A 2 / 1 A 0 / 1 A V V V V = = = = · - · , car A centre de la rotation de 2/1 (donc 0 V 2 / 1 A · = ). 3) Le mouvement de 3/0 est une rotation de centre C, donc CB V 0 / 3 B ± = . Connaissant ) V ( ) V ( 0 / 3 B 0 / 2 B = = A · A et 0 / 1 A 0 / 2 A V V = = · , on détermine 0 / 2 B 0 / 3 B V V = = · en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre A et B dans leur mouvement de 2/0 : AB . V AB . V 0 / 2 B 0 / 2 A = = · . 4) Comme le mouvement de 3/0 est une rotation de centre C, et connaissant 0 / 3 B V = , on obtient 0 / 3 D V = par la répartition linéaire de la vitesse des points d’un solide en rotation. 5) Le mouvement de 5/0 est une rotation de centre F, donc FE V 0 / 5 E ± = . Connaissant ) V ( ) V ( 0 / 5 E 0 / 4 E = = A · A et 0 / 3 D 0 / 4 D V V = = · , on détermine 0 / 4 E V = en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre D et E dans leur mouvement de 4/0 : DE . V DE . V 0 / 4 E 0 / 4 D = = · . 6) Connaissant 0 / 3 D 0 / 4 D V V = = · et 0 / 4 E V = , on détermine 0 / 4 K V = en appliquant 2 fois le théorème de l’équiprojectivité d’abord entre D et K, puis entre E et K dans leur mouvement de 4/0 : DK . V DK . V 0 / 4 K 0 / 4 D = = · et EK . V EK . V 0 / 4 K 0 / 4 E = = · . · = = 0 / 2 B 0 / 3 B V V C O · O ± A = = OA . V par donné sens OA ) V ( 0 / 1 0 / 1 A 0 / 1 0 / 1 A 0 / 4 K V = KE . V KE . V 0 / 4 E 0 / 4 K = = · KD . V KD . V 0 / 4 D 0 / 4 K = = · ED . V ED . V 0 / 4 D 0 / 4 E = = · ) FE ( ± BA . V BA . V 0 / 2 A 0 / 2 B = = · ) CB ( ± 0 / 3 D V = 0 / 1 A V = 0 / 5 E V = 0 / 3 D V = II II II II II 0 / 3 B V = TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 12/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 On mesure 2 cm pour 0 / 4 K V = , soit compte tenu de l’échelle : s / m 1 V 0 / 4 K · = . TD 12 corrigé - Cinématique graphique - CIR et équiprojectivité Page 13/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 Corrigé Exercice 8 : PRESSE À 2 EXCENTRIQUES. 4 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 1 : les bielles 5, 6, 7 et 8. Donc il faudra sûrement appliquer le théorème de l’équiprojectivité : - entre D et E dans leur mouvement de 5/1 : DE . V DE . V 1 / 5 E 1 / 5 D = = · , - entre B et E dans leur mouvement de 6/1 : BE . V BE . V 1 / 6 E 1 / 6 B = = · , - entre E et F dans leur mouvement de 7/1 : EF . V EF . V 1 / 7 F 1 / 7 E = = · , - entre F et H dans leur mouvement de 8/1 : FH . V FH . V 1 / 8 H 1 / 8 F = = · . Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace les vecteurs vitesses connus : 1 / 2 B V = et 1 / 3 D V = . Le mouvement de 2/1 est une rotation de centre A, donc : - AB ) V ( 1 / 2 B ± A = , - sens donné par 1 / 2 O , - s / mm 377 60 . 60 60 . 2 60 . 60 N . 2 AB . AB . V 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 B · r · r · c · O · = . Le mouvement de 3/1 est une rotation de centre C, donc : - CD ) V ( 1 / 3 D ± A = , - sens donné par 1 / 3 O , - s / mm 251 40 . 60 60 . 2 40 . 60 N . 2 CD . CD . V 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 D · r · r · c · O · = . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point B, on obtient 1 / 2 B 1 / 2 B 2 / 6 B 1 / 6 B V V V V = = = = · - · , car B centre de la rotation de 6/2 (donc 0 V 2 / 6 B · = ). 3) Connaissant 1 / 2 B 1 / 6 B V V = = · et 1 / 3 D 1 / 5 D V V = = · , on détermine 1 / 5 E 1 / 6 E V V = = · en appliquant 2 fois le théorème de l’équiprojectivité d’abord entre B et E dans leur mouvement de 6/1, puis entre C et E dans leur mouvement de 5/1 : BE . V BE . V 1 / 6 E 1 / 6 B = = · et CE . V CE . V 1 / 5 E 1 / 5 C = = · . 4) Le mouvement de 4/1 est une rotation de centre G, donc GF V 1 / 4 F ± = . Connaissant ) V ( ) V ( 1 / 4 F 1 / 7 F = = A · A et 1 / 5 E 1 / 7 E V V = = · , on détermine 1 / 7 F 1 / 8 F V V = = · en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre E et F dans leur mouvement de 7/1 : EF . V EF . V 1 / 7 F 1 / 7 E = = · . 5) Le mouvement de 9/1 est une translation rectiligne de direction y , donc y // V 1 / 9 H= . Connaissant ) V ( ) V ( 1 / 9 H 1 / 8 H = = A · A et 1 / 7 F 1 / 8 F V V = = · , on détermine 1 / 8 H 1 / 9 H V V = = · en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre F et H dans leur mouvement de 8/1 : FH . V FH . V 1 / 8 H 1 / 8 F = = · . O · O ± A = = CD . V par donné sens CD ) V ( 1 / 3 1 / 3 D 1 / 3 1 / 3 D 1 / 8 H 1 / 9 H V V = = · HF . V HF . V 1 / 8 F 1 / 8 H = = · y // ) GF ( ± O · O ± A = = AB . V par donné sens AB ) V ( 1 / 2 1 / 2 B 1 / 2 1 / 2 B 1 / 9 H V = 1 / 7 F V = II II FE . V FE . V 1 / 7 E 1 / 7 F = = · 1 / 4 F V = 1 / 6 E 1 / 5 E V V = = · II II ED . V ED . V 1 / 5 D 1 / 5 E = = · 1 / 3 D V = II EB . V EB . V 1 / 6 B 1 / 6 E = = · 1 / 2 B V = II TD 12 corrigé . Génouël 24/11/2010 .CIR et équiprojectivité Page 2/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S.Cinématique graphique . on obtient V A1/ 0 V A1/ 2 V A2 / 0 V A2 / 0 . . car A centre de la rotation de 2/1 (donc V A1/ 2 0 ). on détermine VB2 / 0 VB4 / 0 par la répartition linéaire des vitesses. Génouël 24/11/2010 .60 377 mm / s . 60 60 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A. Question 2 : Donner le cheminement pour déterminer graphiquement la vitesse du coulisseau par rapport au bâti : VD5 / 0 . Le mouvement de 1/0 est une rotation de centre O. Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : VD5 / 0 VD4 / 0 I4 / 0 VB4 / 0 VB2 / 0 I2 / 0 VA2 / 0 VA1/ 0 ( V A1 / 0 ) OA sens donné par 1 / 0 VA1/ 0 1 / 0 . donc I5/ 0 est à l’infini perpendiculairement à y . selon le théorème des 3 plans glissants.a . on détermine VD4 / 0 VD5 / 0 par la répartition linéaire des vitesses. OA Question 3 : Appliquer cette démarche et déterminer graphiquement. I4 / 0 (I3 / 0I4 / 3 ) (I5 / 0I5 / 4 ) (BC) (D. (Justifier les différentes étapes de la construction). dans la position donnée. Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : V A1/ 0 .( VA1 / 0 ) OA .Cinématique graphique .VA1 / 0 1 / 0 . Connaissant I4/ 0 et VB4 / 0 VB2 / 0 .60 . donc : . Connaissant I2/ 0 et VA2 / 0 VA1 / 0 . cette vitesse.sens donné par 1 / 0 . Ainsi. Question 1 : Ecrire le ou les CIR qui sera ou seront utilisés. . 3) Tous les centres de rotation sont aussi des Centres Instantanés de Rotation donc : O I1 / 0 A I2 / 1 B I3 / 2 I4 / 2 I4 / 3 C I3 / 0 D I5 / 4 Le mouvement de 5/0 est une translation rectiligne de direction y . x ) . (NB : Cette question ne sera jamais demandée aux concours). OA 2. 2 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 0 : la bielle 2 et la biellette 4.TD 12 corrigé . Donc il faudra sûrement déterminer le CIR de 2/0 : I2 / 0 et le CIR de 4/0 : I4 / 0 .N1 / 0 2. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S.CIR et équiprojectivité Page 3/13 Corrigé Exercice 2 : PRESSE À GENOUILLÈRE. nous avons : I2 / 0 (I1 / 0I2 / 1 ) (I3 / 0I3 / 2 ) (OA ) (BC) . soit compte tenu de l’échelle : VD5 / 0 23 cm / s .2 cm pour VD5 / 0 .TD 12 corrigé .Cinématique graphique . Génouël 24/11/2010 . MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S.CIR et équiprojectivité Page 4/13 On mesure 1. I4 / 0 (I3 / 0I4 / 3 ) (I5 / 0I5 / 4 ) (CD) (EF) . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A. 3) Tous les centres de rotation sont aussi des Centres Instantanés de Rotation donc : O I1 / 0 A I2 / 1 B I3 / 2 C I3 / 0 D I4 / 3 E I5 / 4 F I5 / 0 Ainsi. . Connaissant C et VB3 / 0 VB2 / 0 . on détermine VD3 / 0 VD4 / 0 par la répartition linéaire des vitesses. . OA 7. cette vitesse.CIR et équiprojectivité Page 5/13 Corrigé Exercice 3 : BATTEUR À HOULE.( VA1 / 0 ) OA . on obtient V A1/ 0 V A1/ 2 V A2 / 0 V A2 / 0 . on détermine VK4 / 0 par la répartition linéaire des vitesses. Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : VK4 / 0 I4 / 0 VD4 / 0 VD3 / 0 C VB3 / 0 VB2 / 0 I2 / 0 VA2 / 0 VA1/ 0 ( V A1 / 0 ) OA sens donné par 1 / 0 VA1/ 0 1 / 0 . Génouël 24/11/2010 .VA1 / 0 1 / 0 . Connaissant I4/ 0 et VD4 / 0 VD3 / 0 . (Justifier les différentes étapes de la construction). Connaissant I2/ 0 et VA2 / 0 VA1 / 0 .0. nous avons : I2 / 0 (I1 / 0I2 / 1 ) (I3 / 0I3 / 2 ) (OA ) (BC) . Question 2 : Donner le cheminement pour déterminer graphiquement la vitesse en K de la pale 4 par rapport au bâti 0 : VK4 / 0 . dans la position donnée. Le mouvement de 1/0 est une rotation de centre O. on détermine VB2 / 0 VB3 / 0 par la répartition linéaire des vitesses. (NB : Cette question ne sera jamais demandée aux concours). OA Question 3 : Appliquer cette démarche et déterminer graphiquement.TD 12 corrigé .Cinématique graphique . selon le théorème des 3 plans glissants. Question 1 : Ecrire le ou les CIR qui sera ou seront utilisés. donc : .1 0. Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : V A1/ 0 . 2 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 0 : la bielle 2 et la pale 4. car A centre de la rotation de 2/1 (donc V A1/ 2 0 ). Donc il faudra sûrement déterminer le CIR de 2/0 : I2 / 0 et le CIR de 4/0 : I4 / 0 .7 m / s . MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S.sens donné par 1 / 0 . TD 12 corrigé . soit compte tenu de l’échelle : VK4 / 0 1 m / s .CIR et équiprojectivité Page 6/13 On mesure 2 cm pour VK4 / 0 . MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 24/11/2010 .Cinématique graphique . Connaissant I8/1 et VF8 / 1 VF7 / 1 .sens donné par 2 / 1 . donc : . à l’aide de ces 2 CIR intermédiaires. on détermine VF7 / 1 VF8 / 1 par la répartition linéaire des vitesses. AB 2) En utilisant la 2.60 . I7 / 1 et I8 / 1 . I8 / 1 (I4 / 1I8 / 4 ) (I9 / 1I9 / 8 ) (GF) (H. on détermine VH8 / 1 VH9 / 1 par la répartition linéaire des vitesses. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. nous avons immédiatement : I5 / 2 (I6 / 2I6 / 5 ) (I3 / 2I5 / 3 ) (BE) (ID) I5 / 1 (I2 / 1I5 / 2 ) (I3 / 1I5 / 3 ) ( AI25 ) (CD) Ainsi. Le mouvement de 2/1 est une rotation de centre A.VB2 / 1 2 / 1 . (Justifier les différentes étapes de la construction). . Connaissant I7/1 et VE7 / 1 VE6 / 1 . (NB : Cette question ne sera jamais demandée aux concours). on détermine VE6 / 1 VE7 / 1 par la répartition linéaire des vitesses. Génouël 24/11/2010 . 6.N2 / 1 2. car B centre de la rotation de 6/2 (donc VB6 / 2 0 ). . 60 60 des vecteurs vitesses au point B. des 3 plans glissants. nous pouvons obtenir : I6 / 1 (I2 / 1I6 / 2 ) (I5 / 1I6 / 5 ) ( AB) (I5 / 1E) I7 / 1 (I4 / 1I7 / 4 ) (I5 / 1I7 / 5 ) (GF) (I5 / 1E) D’autre part. donc I9/ 1 est à l’infini perpendiculairement à y . on obtient composition VB6 / 1 VB6 / 2 VB2 / 1 VB2 / 1 . 3) Tous les centres de rotation sont aussi des Centres Instantanés de Rotation donc : A I2 / 1 B I6 / 2 C I3 / 1 D I5 / 3 G I4 / 1 H I9 / 8 E I6 / 5 I7 / 5 I7 / 6 F I7 / 4 I8 / 4 I8 / 7 Tout point de roulement sans glissement est aussi un Centre Instantané de Rotation donc : I I3 / 2 . AB Question 3 : Appliquer cette démarche et déterminer graphiquement. Selon le th. Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : VB2 / 1 .60 . Question 2 : Donner le cheminement pour déterminer graphiquement la vitesse du piston par rapport au bâti : VH9 / 1 . I6 / 1 . 4 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 1 : les bielles 5. Le mouvement de 9/1 est une translation rectiligne de direction y . cette vitesse.( VB2 / 1 ) AB . Question 1 : Ecrire le ou les CIR qui sera ou seront utilisés. dans la position donnée. x ) Connaissant I6 / 1 et VB6 / 1 VB2 / 1 .60 377 mm / s . 7 et 8.CIR et équiprojectivité Page 7/13 Corrigé Exercice 4 : PRESSE À 2 EXCENTRIQUES.TD 12 corrigé . Donc il faudra sûrement déterminer les CIR : I5 / 1 .Cinématique graphique . Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : VH9 / 1 VH8 / 1 I8 / 1 VF8 / 1 VF7 / 1 I7 / 1 VE7 / 1 VE6 / 1 I6 / 1 VB6 / 1 VB2 / 1 ( V B2 / 1 ) AB sens donné par 2 / 1 VB2 / 1 2 / 1 . On mesure 1. OA Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : V A2 / 1 . Connaissant ( VB3 / 1 ) ( VB4 / 1 ) et VA3 / 1 VA2 / 1 . on obtient V A3 / 1 V A3 / 2 V A2 / 1 V A2 / 1 .Cinématique graphique .AB . .BA II II VB4 / 1 VA2 / 1 // x ( V A2 / 1 ) OA sens donné par 2 / 1 VA2 / 1 2 / 1 . Génouël 24/11/2010 . OA 4.( VA2 / 1 ) OA . .025 0.sens donné par 2 / 1 . MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S.CIR et équiprojectivité Page 8/13 Corrigé Exercice 5 : MINI-COMPRESSEUR.1 cm / s .1 m / s . 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A.VA2 / 1 2 / 1 . soit compte tenu de l’échelle : VB4 / 1 8.AB VB3 / 1. car A centre de la rotation de 3/2 (donc V A2 / 3 0 ). donc : . Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : VB4 / 1 VB3 / 1 VB3 / 1.TD 12 corrigé .AB . on détermine VB4 / 1 VB3 / 1 en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre A et B dans leur mouvement de 3/1 : VA 3 / 1.AB VB3 / 1.8 cm pour VB4 / 1 . donc VB4 / 1 // x 1 . La bielle 3 a un mouvement quelconque par rapport au bâti 1.BA VA 3 / 1.0. Donc il faudra sûrement appliquer le théorème de l’équiprojectivité entre A et B dans leur mouvement de 3/1 : VA 3 / 1. 3) Le mouvement de 4/1 est une translation rectiligne de direction x 1 . Le mouvement de 2/1 est une rotation de centre O. BA VA2 / 0 .a . .entre A et B dans leur mouvement de 2/0 : VA 2 / 0 .entre B et D dans leur mouvement de 4/0 : VB4 / 0 . OA 2) En utilisant la 2. donc VB3 / 0 CB .CIR et équiprojectivité Page 9/13 Corrigé Exercice 6 : PRESSE À GENOUILLÈRE.BD .DB II II VB2 / 0 .N1 / 0 2. OA Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : V A1/ 0 . 4) Le mouvement de 5/0 est une translation rectiligne de direction y .AB . donc VD5 / 0 // y . 60 60 des vecteurs vitesses au point A.AB VB2 / 0 . On mesure 1.BA II II VD5 / 0 //(CD) VB2 / 0 VB3 / 0 (CB) VA1/ 0 ( V A1 / 0 ) OA sens donné par 1 / 0 VA1/ 0 1 / 0 . Connaissant ( VD4 / 0 ) ( VD5 / 0 ) et VB4 / 0 VB2 / 0 . on obtient composition V A1/ 0 V A1/ 2 V A2 / 0 V A2 / 0 . .60 .Cinématique graphique . 2 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 0 : la bielle 2 et la biellette 4. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S.DB VB4 / 0 . Génouël 24/11/2010 .AB VB2 / 0 . Le mouvement de 1/0 est une rotation de centre O. .TD 12 corrigé .60 377 mm / s . on détermine VB4 / 0 VB2 / 0 en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre A et B dans leur mouvement de 2/0 : VA 2 / 0 . on détermine VD5 / 0 VD4 / 0 en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre B et D dans leur mouvement de 4/0 : VB4 / 0 . Donc il faudra sûrement appliquer le théorème de l’équiprojectivité : .sens donné par 1 / 0 .BD VD4 / 0 . car A centre de la rotation de 2/1 (donc V A1/ 2 0 ). 3) Le mouvement de 3/0 est une rotation de centre C.VA1 / 0 1 / 0 . Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : VD5 / 0 VD4 / 0 VD4 / 0 .( VA1 / 0 ) OA . donc : .AB . Connaissant ( VB2 / 0 ) ( VB3 / 0 ) et V A2 / 0 V A1/ 0 .BD VD4 / 0 . soit compte tenu de l’échelle : VD5 / 0 23 cm / s .2 cm pour VD5 / 0 .BD . Cinématique graphique .TD 12 corrigé . Génouël 24/11/2010 .CIR et équiprojectivité Page 10/13 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. DE VE4 / 0 .7 m / s .ED VD4 / 0 .sens donné par 1 / 0 .BA VK4 / 0 .0.entre D.DE . Connaissant ( VB2 / 0 ) ( VB3 / 0 ) et V A2 / 0 V A1/ 0 .DK et VE4 / 0 . donc : . et connaissant VB3 / 0 . on détermine VB3 / 0 VB2 / 0 en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre A et B dans leur mouvement de 2/0 : VA 2 / 0 . . Génouël 24/11/2010 . Donc il faudra sûrement appliquer le théorème de l’équiprojectivité : . 5) Le mouvement de 5/0 est une rotation de centre F.KD VD4 / 0 . 2 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 0 : la bielle 2 et la pale 4. E et K dans leur mouvement de 4/0 : VD4 / 0 . OA 7. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S.DE VE4 / 0 .EK . puis entre E et K dans leur mouvement de 4/0 : VD4 / 0 .KE VE4 / 0 . Connaissant ( VE4 / 0 ) ( VE5 / 0 ) et VD4 / 0 VD3 / 0 .KE II II VE5 / 0 (FE) VD3 / 0 VB2 / 0 .BA VA2 / 0 .DK VK4 / 0 .ED VK4 / 0 VK4 / 0 .AB VB2 / 0 . Le mouvement de 1/0 est une rotation de centre O.AB VB2 / 0 .VA1 / 0 1 / 0 . on obtient VD3 / 0 par la répartition linéaire de la vitesse des points d’un solide en rotation. on détermine VE4 / 0 en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre D et E dans leur mouvement de 4/0 : VD4 / 0 .KD II C VB3 / 0 VB2 / 0 II II VB3 / 0 (CB) VA1/ 0 VD3 / 0 ( V A1 / 0 ) OA sens donné par 1 / 0 VA1/ 0 1 / 0 .( VA1 / 0 ) OA . donc VE5 / 0 FE .AB .AB .EK VK4 / 0 . 4) Comme le mouvement de 3/0 est une rotation de centre C. 2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point A. 6) Connaissant VD4 / 0 VD3 / 0 et VE4 / 0 . OA Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace le vecteur vitesse connu : V A1/ 0 . 3) Le mouvement de 3/0 est une rotation de centre C. on détermine VK4 / 0 en appliquant 2 fois le théorème de l’équiprojectivité d’abord entre D et K.DE . donc VB3 / 0 CB .CIR et équiprojectivité Page 11/13 Corrigé Exercice 7 : BATTEUR À HOULE.entre A et B dans leur mouvement de 2/0 : VA 2 / 0 . car A centre de la rotation de 2/1 (donc V A1/ 2 0 ).Cinématique graphique . on obtient V A1/ 0 V A1/ 2 V A2 / 0 V A2 / 0 . .TD 12 corrigé .1 0. . Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : VE4 / 0 . soit compte tenu de l’échelle : VK4 / 0 1 m / s . MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S.CIR et équiprojectivité Page 12/13 On mesure 2 cm pour VK4 / 0 . Génouël 24/11/2010 .Cinématique graphique .TD 12 corrigé . . donc : .entre E et F dans leur mouvement de 7/1 : VE7 / 1. AB 2. donc VH9 / 1 // y . Connaissant ( VF7 / 1 ) ( VF4 / 1 ) et VE7 / 1 VE5 / 1 . CD VE6 / 1. 3) Connaissant VB6 / 1 VB2 / 1 et VD5 / 1 VD3 / 1 .sens donné par 3 / 1 . 7 et 8.( VB2 / 1 ) AB .EF .entre D et E dans leur mouvement de 5/1 : VD5 / 1. donc VF4 / 1 GF .FE VE7 / 1. . AB .EF VF7 / 1.FH VH8 / 1.N2 / 1 2.N3 / 1 2.VB2 / 1 2 / 1 .HF II II VH9 / 1 // y VF7 / 1 VF7 / 1. .EB II VF4 / 1 (GF) VE5 / 1 VE6 / 1 VB2 / 1 Explications des différentes étapes de construction (à réaliser sur feuille de copie) : 1) On trace les vecteurs vitesses connus : VB2 / 1 et VD3 / 1 .ED ( V D3 / 1 ) CD II VD3 / 1 sens donné par 3 / 1 VD3 / 1 3 / 1 . Donc il faudra sûrement appliquer le théorème de l’équiprojectivité : .60 .( VD3 / 1 ) CD .EF VF7 / 1.VD3 / 1 3 / 1 .CE VE5 / 1. car B centre de la rotation de 6/2 (donc VB6 / 2 0 ).FH VH8 / 1.60 .EB VB6 / 1.CE . .60 .DE . on obtient VB6 / 1 VB6 / 2 VB2 / 1 VB2 / 1 . 60 60 Le mouvement de 3/1 est une rotation de centre C. on détermine VE6 / 1 VE5 / 1 en appliquant 2 fois le théorème de l’équiprojectivité d’abord entre B et E dans leur mouvement de 6/1.BE VE6 / 1. .sens donné par 2 / 1 . Le mouvement de 2/1 est une rotation de centre A.entre B et E dans leur mouvement de 6/1 : VB6 / 1.FE II II VE5 / 1.60 377 mm / s .HF VF8 / 1.FH .TD 12 corrigé .BE VE6 / 1.EF .DE VE5 / 1. puis entre C et E dans leur mouvement de 5/1 : VB6 / 1. on détermine VH9 / 1 VH8 / 1 en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre F et H dans leur mouvement de 8/1 : VF8 / 1.FH .CIR et équiprojectivité Page 13/13 Corrigé Exercice 8 : PRESSE À 2 EXCENTRIQUES.Cinématique graphique . Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : VH9 / 1 VH8 / 1 VH8 / 1. on détermine VF8 / 1 VF7 / 1 en appliquant le théorème de l’équiprojectivité entre E et F dans leur mouvement de 7/1 : VE7 / 1. . CD 3 / 1.BE et VC5 / 1. 6. AB 2 / 1. 5) Le mouvement de 9/1 est une translation rectiligne de direction y .40 251 mm / s . .40 . Connaissant ( VH8 / 1 ) ( VH9 / 1 ) et VF8 / 1 VF7 / 1 . 4 pièces ont un mouvement quelconque par rapport au bâti 1 : les bielles 5.ED VD5 / 1. Génouël 24/11/2010 .BE . 4) Le mouvement de 4/1 est une rotation de centre G. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. CD 2) En utilisant la composition des ( V B2 / 1 ) AB sens donné par 2 / 1 VB2 / 1 2 / 1 . 60 60 vecteurs vitesses au point B.entre F et H dans leur mouvement de 8/1 : VF8 / 1. donc : 2.