UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS MÉTODOS NUMÉRICOS 100401-6 TRABAJO ACTIVIDAD NO2 TRABAJO PRESENTADO: TUTOR JOSE ADEL BARRERA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS OCTUBRE DE 2014 CONTENIDO Página INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1. OBJETIVOS ........................................................................................................................ 1.1 Objetivo General ............................................................................................................... 1.2 Objetivos Específicos ........................................................................................................ 2. Desarrollo de la Actividad .................................................................................................. CONCLUSIONES................................................................................................................... BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................... UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS INTRODUCCIÓN El presente trabajo se realiza como parte de la profundización del estudio de la unidad didáctica número dos, trata de conceptos básicos, exactitud y raíces de ecuaciones. Los métodos numéricos son para la solución de problemas de diferenciación e integración numérica, con el lenguaje de programación, de allí la importancia de los métodos numéricos en la Ingeniera y la ciencia. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Donde se pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico. A continuación consideramos algunos problemas típicos, ya formulados matemáticamente, para los cuales estudiaremos técnicas numéricas de solución. Aplicamos a la solución de ecuaciones no lineales, los métodos de bisección, punto fijo y Newton Raphson y para las ecuaciones lineales los métodos de Gauss Jordan. La resolución de sistemas de ecuaciones lineales aparece como una parte importante en cualquier campo de la ciencia y de la ingeniería, como por ejemplo, la resolución de balances de materia en un sistema. La resolución de un sistema de ecuaciones lineales aparece también como un subproblema de un problema más complicado de análisis numérico, tal como ocurre cuando se resuelve iterativamente un sistema de ecuaciones no lineales por el método Newton-Raphson, donde en cada etapa de un proceso iterativo se requiere la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, o en procesos de optimización tanto lineales como no lineales. Con frecuencia los sistemas de ecuaciones presentan una estructura muy especial que puede ser objeto de tratamiento particular. Por ejemplo los problemas de interpolación polinómica, entre otros. sus capítulos y respectivas lecciones. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS 1. . 1. OBJETIVOS 1.1 Objetivo General: Adquirir conocimientos claros. para reforzar la comprensión de las matemáticas profundizar en los temas y aumentar nuestra capacidad de comprensión y entendimiento en el crédito. y analizar exhaustivamente las unidades del módulo.1 Objetivos Específicos: Visualizar la estructura de la unidad_2 crédito académico (Métodos numéricos) Conocer conceptos y sus terminologías del módulo de Métodos numéricos Realizar un cuadro comparativo que permita al estudiante tener una visión clara de los temas de Sistema lineal y no lineal errores métodos numéricos y diagramas de flujos para cada uno de su método de solución.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. para ser aplicado en el desarrollo de nuestra carrera profesional. tiene como fin convertirlo en conocimiento. Técnicas numéricas para la solución de un problemas de ecuaciones Distinguir las aplicaciones de los sistemas de ecuación en la Ingeniería Evaluar las diferentes técnicas numéricas para la solución de sistemas de ecuaciones La información contenida en el módulo de métodos numéricos. ejemplo.sinusoidales o cualquier otro 6x + 2 el grado de 3 da esta tipo ecuación le da el nombre "cúbica". que se las mismas técnicas. pueden expresar de esta ( ) forma se les llama ecuaciones no lineales. Los sistemas de funciones no lineales. Realizar un cuatro comparativo entre los sistemas lineales y los sistemas no lineales. llamaremos basado del grado más alto o el ecuación "no lineal" a las exponente de la variable. que no contiene productos entre las variables. CUADRO COMPARATIVO SISTEMA LINEAL DEFINICIÓN TIPOS DE ECUACIONES Es un planteamiento de igualdad. Cualquier ecuación que tiene un grado no superior a 1 recibe el nombre "lineal". Por ejemplo. Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando. En general. "x" es considerada En contraste. NO LINEAL Cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. en el caso donde y = x ³ . es decir. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS FASE 1_ IDENTIFICAR LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE LOS NO LINEALES. las ecuaciones simultáneas pueden ser manejados con son lineales. en una . involucrando una o más variables a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. puedan A las ecuaciones algebraicas expresar en la forma y trascendentes que no se general. como ecuaciones cuadráticas o exponenciales. Es decir es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. por sustitución y por combinación lineal.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Por ecuaciones cuadráticas. Donde la b y las a son constantes Cada ecuación toma su forma De lo contrario. Por ejemplo.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en el sistema de números reales y no hay raíces cuadradas que den como resultado un número negativo Las relaciones lineales se pueden Sin embargo. Mientras que las ecuaciones lineales son siempre rectas. no puede tener soluciones para ciertos valores de "x" o "y". pero disminuye en caso contrario.x) ². una forma de x curvada si es de grado 3. si se analiza la . o cualquier otro tipo de curva. una ecuación no lineal puede parecerse a una parábola si es de grado 2. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS RELACIONES DE ENTRADA Y SALIDA DIFERENCIAS EN EL GRÁFICO EXCEPCIONES como la entrada de una ecuación e "y" es considerada como la salida. las ecuaciones no lineales a menudo presentan curvas. Las ecuaciones no lineales. Por ejemplo. En el caso de una ecuación lineal. si y = sqrt (x). existirán ecuaciones lineales para todos los valores de "x" e "y" ecuación no lineal. el gráfico siempre será una línea Con excepción del caso de las líneas verticales (x = una constante) y de las líneas horizontales (y = una constante). "y" disminuye en valor cuando "x" se aproxima a 5. En el caso de ecuaciones lineales. Por el contrario. cualquier aumento en la "x" o bien provoca un aumento o una disminución en "y" dependiendo del valor de la pendiente Un gráfico muestra el conjunto de soluciones para una ecuación dada. entonces "x" sólo existe entre 0 e infinito y también "y". "x" puede no siempre causar el incremento de "y". . por otro lado. si y = (5 . Tiene varias soluciones: Solución única Número finito de soluciones Número infinito de soluciones No tiene solución Método de la Bisección Método de punto fijó Método de Newton Método de la secante Método de aproximaciones sucesivas Método de la regla falsa Método de Interpolación Inversa . TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS BENEFICIOS SOLUCIÓN explicar mejor mediante ecuaciones lineales.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. una ecuación exponencial no lineal encajaría mejor con los datos. el número de galletas que comes en un día podría tener un impacto directo en tu peso como se ilustra mediante una ecuación lineal. Tiene solución única Métodos Directos MÉTODOS DE SOLUCIÓN Método de Gauss(por reducción) Método de Cramer(por determinantes) Por inversión de la matriz Método de Gauss-Jordan(por eliminación) Por sustitución Métodos Iterativos Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel distribución de células en mitosis. donde el aumento en una variable causa directamente el aumento o disminución de la otra. Por ejemplo. ANALIZARLAS TÉCNICAS NUMÉRICAS PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS FASE_2. PARA LA SOLUCIÓN DE Estas se tratan de: Método de Eliminación de Gauss Solución de problemas de sistemas de ecuaciones Método de Gauss-Jordán Método de Gauss-Seidel Para el estudio podemos Analizarlas técnicas Numéricas para La solución de Problemas de sistemas de Ecuaciones de la siguiente manera: .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Contiene Eliminación de Gaussiana Concepto Se elimina Proceso Incógnitas Eliminación Mediante Utiliza Combinación de las ecuaciones Desventaja del método de eliminación Combinación de las ecuaciones Consta División entre cero Errores de redondeo Sistemas mal condicionados Se ha desarrollado Aquellos Al manejar Estrategia de pivoteo Fracciones en el computador Cambios pequeños en los coeficientes Para evitar Transforman Este problema Decimales que nunca terminan Provocan Cambios grandes en la solución .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Quedando como siguiente: . 3×3. El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. Este método se conoce como Método de Eliminación. el signo de igual también es eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la ecuación. 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable. Usando el método de eliminación Gaussiana. 2 y 3 respectivamente. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS El primer método que se presenta usualmente en álgebra.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + 2y + 3z = 1 4x + 5y + 6z= −2 7x + 8y + 10z = 5 Donde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de las 3 ecuaciones representan las columnas 1. Solución: Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen exclusivamente los coeficientes de cada una. para la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación El orden de las ecuaciones es intercambiable. es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Antes de ilustrar el método con un ejemplo. Se denomina eliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquema particular atribuido a Gauss. Ejemplo: 1. es necesario primeramente conocer las operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a continuación: Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante diferente de cero. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2. Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre −3 para hacer el componente de la diagonal principal 1 quedando como sigue: Multiplico la ecuación 2 (renglón 2) por 6 y lo sumo a la ecuación 3 (renglón 3). 4×4 etc. y z= 10. Esto se hace utilizando las operaciones básicas de renglón para las ecuaciones. entonces el valor de x será: 1x + 2y + 3z = 1 x + 2(−18) + 3(10)= 1 x – 36 + 30 = 1 x–6=1 x=1+6 x=7 La solución del sistema de ecuaciones sería x= 7. siempre y cuando se respete la relación de al menos tener el mismo número de ecuaciones que de variables. Multiplico la ecuación 1 por −4 y la resto de la ecuación 2. de igual forma la multiplico por −7 y la resto de la 3 obteniendo. tendríamos y + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que: y + 2(10) = 2 y + 20 = 2 y = 2. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS Diagonal principal La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1) la parte inferior a la diagonal debe quedar en ceros. de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha. El sistema de eliminación gaussiana es el mismo no importando si es un sistema de ecuaciones lineales del tipo 2×2. 3×3. Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo de la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y también el signo igual de las ecuaciones obteniendo: Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuación resultante 2. y= −18.20 y = −18 Al sustituir estos valores en la ecuación resultante 1 se tiene: 1x + 2y + 3z = 1 Si z= 10 y y=−18.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. . un error en los primeros pasos tiende a propagarse. Por ejemplo. a causar errores en los siguientes pasos. Una regla generalizada consiste en suponer que los errores de redondeo son de importancia cuando se trata de sistemas de 100 o más ecuaciones. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN División entre cero La razón principal por la que se le ha llamado simple al método anterior se debe a que durante las fases de eliminación y sustitución hacia atrás es posible que ocurra una división entre cero. Debido a que los errores de redondeo llegan a provocar pequeños cambios en los coeficientes. Esto se debe al hecho de que cada resultado depende del anterior. . Por consiguiente. ya que depende del tipo de computadora y de las propiedades de las ecuaciones. La técnica de pivoteo se ha desarrollado para evitar en forma parcial estos problemas Errores de redondeo El problema de los errores de redondeo llega a volverse particularmente importante cuando se trata de resolver un gran número de ecuaciones. Resulta complicado especificar el tamaño de los sistemas donde los errores de redondeo son significativos. En la normalización del primer renglón habrá una división entre a11 = 0. Los sistemas mal condicionados son aquellos en donde pequeños cambios en los coeficientes generan grandes cambios en la solución. En cualquier caso. estos cambios artificiales pueden generar grandes errores en la solución de sistemas mal condicionados. si se utiliza el método de eliminación de Gauss simple para resolver. es decir. Otra interpretación del mal condicionamiento es que un amplio rango de resultados puede satisfacer las ecuaciones en forma aproximada. siempre se deben sustituir los resultados en las ecuaciones originales y verificar si ha ocurrido un error sustancial Sistemas mal condicionados Los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un pequeño cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similarmente pequeño en la solución.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. También se pueden presentar problemas cuando un coeficiente está muy cercano a cero. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS MÉTODO DE GAUSSJORDAN Contiene Método de inversión de matices Concepto Resuelve No es práctico 15 o 20 ecuaciones simultaneas Solución de un solo conjunto Operaciones Aritméticas de la computadora Dos o tres conjuntos Desventaja del método de Gauss-Jordán Ecuaciones simultaneas Consta División entre cero Errores de redondeo Sistemas mal condicionados Se ha desarrollado Al manejar Estrategia de pivoteo Fracciones en el computador Aquellos Cambios pequeños en los coeficientes Para evitar Transforman Este problema Decimales que nunca terminan Provocan Cambios grandes en la solución . teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna. resta. se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial: Entonces. a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad. la cual es de la forma: Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma. es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables. esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad. multiplicación y división. Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes. encontrar matrices y matrices inversas. sea el caso. El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. correspondiéndose de la siguiente forma: d1 = x . Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS SOLUCIONES POR EL MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada. dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables. es decir una matriz equivalente a la original. anotando como matriz (también llamada matriz aumentada): Una vez hecho esto. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS d2 = y d3 = z Ahora que están sentadas las bases. anotarlo en su forma matricial: Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad. Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto: Sea el sistema de ecuaciones: Procedemos al primer paso para encontrar su solución. . podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método. teniendo siempre en cuenta la forma de la misma: Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad. para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2. es decir ½.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5. es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1. es útil para facilitar cálculos posteriores. en este caso -13/2. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. cuyo inverso es -2/13 Además si observamos la tercera fila. EJEMPLO_2 Determinar la matriz Inversa ( ) Solución { { | ⁄ ⁄ ⁄ } ⁄ | ⁄ ⁄ } . entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador). para lograr esto.: en el caso de la 2º fila. buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna. nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador. Por ej. Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad. se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila. y procedemos de igual forma que antes. Una vez hecho esto. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS { ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ { ⁄ ⁄ ( ) ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ { ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ { { ⁄ ⁄ | ⁄ | | ⁄ [ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ } ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ] ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ ) } ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄( ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ | ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ | { } ⁄ ⁄ ⁄ | ⁄( ⁄ ) ⁄( ⁄ ) } ( } ⁄ ⁄ ⁄ } ⁄ ) .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Contiene Concepto Sistema Diagonal Resuelve Condición suficiente Grandes Números Asegurar la convergencia Ecuaciones Pero no es Simultaneas Condición necesaria Método Gauss-Seidel Secuencia Primero Asignar Un valor inicial a cada incógnita Aparezca Un conjunto Segundo Partiendo Primera Ecuación Determinar Nuevo valor para la Incógnita Tercero Cuarto Quinto Pasar Continuar Continuar Segunda Ecuación Determinar en ella Incógnita que tiene coeficiente más grande Ecuaciones Restantes Determinando Incógnita que tiene coeficiente más grande Iterando Valor de cada Incógnita Difiera valor obtenido en la interacción previa .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Estos ceros se sustituyen en la ecuación. la cual se utiliza para calcular un nuevo Valor x1 = b1/a11. la primera ecuación se puede resolver para . El método de Gauss-Seidel es particularmente adecuado cuando se tiene gran número de ecuaciones. Éstas y algunas otras ventajas y desventajas que se tienen entre los métodos de eliminación e iterativos. el cual emplea valores iniciales y después itera para obtener mejores aproximaciones a la solución. existen ciertos ejemplos donde la técnica de Gauss-Seidel no convergerá al resultado correcto. En estos casos. la segunda para y la tercera para . Si los elementos de la diagonal no son todos ceros. el error de redondeo no es un tema que preocupe a este método. los métodos de eliminación pueden estar sujetos a errores de redondeo. para obtener Ahora. para todo vector {X} distinto de cero. Debido a que el error en el método de Gauss-Seidel es determinado por el número de iteraciones. se puede empezar el proceso de solución al escoger valores iniciales para las x. Una matriz definida positiva es aquella para la cual el producto {X}T[A]{X} es mayor que cero. Suponga que se da un sistema de n ecuaciones: . Después. Aunque. . -* + * + Suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones 3 * 3. El método de Gauss-Seidel es el método iterativo más comúnmente usado.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. se sustituye este nuevo valor de x1 junto con el valor previo cero de x3 en la ecuación y se calcula el nuevo valor de x2. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS Método de Gauss-Seidel Con el método de Gauss-Seidel. Una forma simple para obtener los valores iniciales es suponer que todos son cero. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS Este proceso se repite con la ecuación para calcular un nuevo valor de x3. | | | | Para todas las i. Ejemplo_2 Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el método de Gauss-Seidel para el siguiente sistema lineal. Después se regresa a la primera ecuación y se repite todo el procedimiento hasta que la solución converja suficientemente cerca a los valores verdaderos. respectivamente. donde j y j – 1 son las iteraciones actuales y previas. Según los resultados concluya la posible solución del sistema.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. concrete cual es la solución Solución ( ) . TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ) ) ) ) ( ( ) ) .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) RESOLVER EL SISTEMA MATRICIAL PLANTEADO EN EL VIDEO INTERPOLACIÓN. Por hacer uso del método de interpolación polinomial se nos dice que: ( ) Para este caso haremos una aproximación cuadrática entonces tenemos ( ) Tiempo (s) 5 10 15 x Nivel de agua (%) 19 61 82 p(x) . Planteamiento del ejercicio: Realizando una interpolación polinomial para poder aproximar el modelo matemático de la planta.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. tenemos entonces: ( ) ( ) Si resolvemos los cuadrados y acomodamos las ecuaciones obtenemos el siguiente sistema… Ahora para facilitar el manejo de estos números lo pasaremos a una matriz y queda de la siguiente manera el primer renglón… el segundo… y el tercero.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS En la gráfica en la parte de arriba tenemos el tiempo en segundos y en la parte de abajo el nivel del agua en porcentaje El tiempo será x y el nivel de agua será p(x). Para resolverlo por el método de Gauss-Jordan. Ahora siguiendo la fórmula de P(x) entonces primero iría P(x) de los cinco segundos que seria ( ) ( ) Seguimos con la siguiente columna ahora tenemos P(x) que es ( ) ( ) Hacemos lo mismo para el tercer resultado. A1 y A2. . Una vez que tenemos la interpolación polinomial tenemos a un sistema de ecuaciones para poder obtener realmente modelo de la planta debemos resolver este sistema. [ ] Ahora será necesario resolver este sistema de ecuaciones para obtener los valores de los coeficientes A0. [ ] Ahora para construir una nueva matriz. lo que necesitamos es que el elemento que se encuentra en este punto sea un uno. Despejamos y nos queda B3. que para este caso ya lo es. 𝐶 ⁄ [ ⁄ ⁄ ] 𝐶 5 𝑥 Aquí le restaremos 50 un numero para que le de 0. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS RESOLVER EL SISTEMA MATRICIAL PLANTEADO EN EL VIDEO INTERPOLACIÓN POR EL MÉTODO: GAUS LLORDAN El video de interpolación propone este sistema: Tenemos nuestro sistema de ecuaciones. ⁄ 5 𝑥 𝑥 X= .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. [ ] 𝐵 Ahora construyamos una nueva matriz 𝐵 5𝑥 5x=10 [ ⁄ ] X=2 ⁄ Entonces lo que haremos será dividir el renglón B2 entre 5. entonces el renglón C3 es igual a B3 menos 2 B2. 10-5x0 usando estos dos renglones queremos eliminar este número 10. cero y uno. se llamaran A1. Para el renglón C3 lo que haremos será buscar un número. empezamos con el primer renglón Para obtener D2. A2 y A3. Construiremos una nueva matriz lo que queremos volver es la columna tercera en cero. de la siguiente forma. le vamos a dar nombres a cada renglón. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS ⁄ ⁄ ( ) RESOLVER EL SISTEMA MATRICIAL PLANTEADO EN EL VIDEO INTERPOLACIÓN POR EL MÉTODO: ELIMINACIÓN DE GAUSS { } Método de eliminación de Gauss [ ] La matriz aumenta [ ] Se reduce las filas 2.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.3 [ ] . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS Se reduce la fila 3 [ ] Obteniendo el objetivo se procede a la fila 3: () Reemplazando (i) en la fila 2: ( ) ( ) Reemplazando (i) y (ii) en la fila 1: ( ) ( ) ( ) RESOLVER EL SISTEMA MATRICIAL PLANTEADO EN EL VIDEO INTERPOLACIÓN POR EL MÉTODO: GAUSS SEIDEL { } las variables se deben despejar . 1% { | | | | | | } *( ) ( ) ( )+ .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS Tolerancia = 0. 000000 1050.053469 0.080763 0.6311579 0.181818 52.333333 100.000000 2.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.087382 𝒍 .000000 33.000000 100.352941 18.000000 100. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS ( ) 1 2 3 34 100. Todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución de recursos es un tema crítico. DISTINGUIR LAS APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIÓN EN LA INGENIERÍA DEFINICIONES DE FORMA GENERAL INGENIERÍA EN GENERAL (DISTRIBUCIÓN DE RECURSOS). TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS FASE_3. Estos problemas son tan variados como la distribución de temperatura en un cono de proarentrante y la temperatura de un río bajo una planta de energía productora de hielo. (b) leyes de relaciones entre fases constantes cuando existen equilibrio y (c) leyes cinéticas para sistemas que no se encuentran en equilibrio.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios de construcción. Aunque muchos de los problemas tienen que ver con la fabricación de productos. INGENIERÍA QUÍMICA (CÁLCULO DE DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS) La mayor parte de los diferentes campos de la ingeniería manejan distribuciones de temperatura en materiales sólidos. por ejemplo. el balanceo de la siguiente química: . La distribución de temperatura en estado estacionario bidimensional se define por la ecuación de Laplace: En donde T es la temperatura y “x” y “y” son las coordenadas. el análisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas. distribución de productos y recursos en la ingeniería. EN INGENIERÍA QUÍMICA: Se aplica para resolver entre si las variables del sistema en casos como: (a) ecuaciones de estado de las sustancias del sistema. Las derivadas de la ecuación anterior se aproximan usando diferencias finitas. La figura muestra un ejemplo de las armaduras.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. de modo que la cantidad de cada elemento se la misma en ambos { { Como se requiere valores enteros para se elige x=2 INGENIERÍA CIVIL (ANÁLISIS DE UNA ARMADURA ESTÁTICAMENTE DETERMINADA) Un problema de importancia en ingeniería estructural es el de encontrar las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura estáticamente determinada. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS Encontrar lo valores de extremos de la ecuación. Las reacciones externas (H2 V2 V3) son fuerzas que caracterizan cómo interacciona la armadura con la . Las fuerzas ( F ) representan ya sea las tensiones o las compresiones de los elementos de la estructura. La ley de la corriente dice que la suma algebraica de todas las corrientes sobre un nodo debe ser cero En donde todas las corrientes que entran al nodo tienen signo positivo. INGENIERÍA ELÉCTRICA (CORRIENTES Y VOLTAJES EN CIRCUITOS RESISTIVOS) Un problema común en la ingeniería eléctrica es aquel que implica la determinación de corrientes y voltajes en varias posiciones de ley de corriente de Kirchhoff y la ley de Ohm. El gozne del nodo 2 puede transmitir fuerzas horizontales y verticales a la superficie. Por ejemplo el Modelo lineal de renta nacional con Importaciones dependientes de la renta: { ( ( Dónde: { ) ) . mientras que el rodillo del nodo 3 sólo transmite fuerzas verticales. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS superficie que la soporta.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. La ley de Ohm dice que la corriente a través de una resistencia está dada en función del cambio de voltaje y de la resistencia INGENIERÍA ECONOMICA: Una de las aplicaciones de los sistemas de las ecuaciones lineales es el estudio de los modelos de mercado de renta nacional a través de su descripción matemática. ƒ(x0)). Dónde: v = velocidad u= velocidad inicial a= aceleración t = tiempo FASE 4: POLINOMIO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON Definición La forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1 datos (x0. si algunas partículas del sistema afectan a otras. Se utiliza principios físicos y clásicos. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS INGENIERÍA MECÁNICA (DINÁMICA DE PARTÍCULAS EN CUERPOS RÍGIDOS) La dinámica del movimiento de partículas y de los cuerpos rígidos juega un papel muy importante en muchos problemas de mecánica y otros campos de la ingeniería.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Este movimiento se puede describir mediante las leyes de Newton... .. (xn. La aplicación de las leyes de Newton para partículas simples genera dos ecuaciones. por ejemplo. se utiliza para calcular la velocidad en línea recta aceleración constante2. entonces se puede generar un gran número de ecuaciones simultáneas. ƒ(xn)) es: Los coeficientes ai se obtienen calculando un conjunto de cantidades denominadas diferencias divididas. Sin embargo. La notación para las diferencias divididas de una función ƒ(x) están dadas por: Las diferencias divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguiente regla recursiva: . (x1. ƒ(x1)). x1. donde Si se usa la notación de diferencia dividida a1= ƒ*x0.. Ahora.. ƒ(x)) . TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS Retomando el polinomio interpolante de Newton: Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + ..x2..x1 . como Pn(x1)= ƒ(x1) y a0= ƒ(x0)... . De manera similar cuando se evalúa Pn(x) en x = x2 se obtiene a2 = ƒ*x0. Si se usa la notación de diferencia dividida a0= ƒ*x0]. en particular Pn(x0) = ƒ(x0) = a0. de este capítulo). Como Pn(x) interpola los valores de ƒ en xi. entonces reemplazando se tiene ƒ(x1)=ƒ(x0) + a1(x11–x0).UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS... En general ai = ƒ*x0 . i=0.n entonces P(xi) = ƒ(xi). xi]. Pn(x1)= a0 + a1(x1 – x0). x1].2..1. x2] (ver ejercicio 15. y el polinomio interpolante de Newton se escribe como: (2) En esta figura se muestra la forma recursiva para calcular los coeficientes del polinomio interpolante de Newton para 4 pares de valores (x. +an(x – x0)(x – x1)…(x – xn-1) Observe que Pn(x0) = a0. xi P(xi) 𝒙0 = 5 19 𝒙1 = 10 61 𝒙2 = 15 82 P [𝒙 .𝒙𝒌] .𝒙𝒌] = p[𝒙 . TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS Los elementos de la diagonal (superior) son los coeficientes del polinomio interpolante de Newton para el caso de un polinomio de grado 3.𝒙𝒋.p[𝒙𝒋] 𝒙 −𝒙𝒋 p[𝒙 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ] = p [𝒙 ] .𝒙𝒋+−p[𝒙𝒋. TENIENDO EN CUENTA LOS DATOS DE LA TABLA QUE SE PRESENTA EN EL VIDEO Tiempo 5 10 15 x Nivel del agua % 19 61 82 P(x) Suponga las condiciones ideales y halle el polinomio de diferencias divididas de newton. 7 2 −0.4 = -0.0 Identifique el coeficiente de x y 2 P(x) = −0. P(xi) 𝒙1 = 10 61 61 -19 = 8. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS 𝒙 −𝒙𝒌 xi 𝒙0 = 5 P(xi) 19 F(xi.7x−44.0 = −0.42*x^2+14.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.0 Con el polinomio anterior se identifica lo siguiente El coeficiente de El coeficiente de 14.4 10 -5 𝒙2 = 15 82 82 -61 = 4.7x−44.2 15 -10 4.42*(x-5)*(x-10) -0.42 .4*(x-5)-0.42x2+14.42 15 -5 Se procede a hallar el polinomio de interpolación con la siguiente ecuación ( )= ( ) El polinomio interpolación Newton obtenido es 19+8.2-8.42x2+14.7*x-44. Así. Método de Gauss-Seidel ) para cualquier problema particular.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Interpolación Polinomial de diferencias finitas de Newton. Método de Gauss-Jordán. la elegancia y la eficiencia de las diferentes maneras de abordar los problemas varían de una persona a otra y se correlacionan con la habilidad de hacer una elección prudente. se ha aprendido a determinar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de elegir el mejor método. Polinomio de Interpolación con diferencias divididas de newton. TECNOLOGÌA E INGENIERÌA MÉTODOS NUMÉRICOS CONCLUSIONES Por medio de la realización de este trabajo se adquirieron conocimientos sobre las temáticas relacionadas con la unidad 2. se dominarán las técnicas. de igual manera se identificaron sus propósitos y temas de cada capítulo. se enfrenta uno con varios métodos numéricos alternativos y con muchos tipos diferentes de computadoras. relacionadas con su uso efectivo en la ingeniería práctica. (Método de eliminación de Gaus. Permitiendo que se evidencie el contenido del módulo. En general. Los métodos numéricos son científicos en el sentido de que representan técnicas sistemáticas para resolver problemas matemáticos. no lineales e interpolación. hay cierto grado de arte. Sin embargo. relacionados Sistema de ecuaciones lineales. lo que nos hace ser profesionales más conscientes de lo que se estudia y se debe aplicar. orientando a estudiar la aplicación de los conceptos y normatividad de los diferentes tipos de ecuaciones como lo son las lineales. Para cada problema. Se evidencia la aplicación de cada tema en las ingenierías que se ofrecen a nivel mundial. como estudiantes unadistas logramos visualizar la aplicabilidad del tema en nuestra carrera particular. Después de analizar y terminar el trabajo colaborativo_2. Consideramos que la finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes herramientas que se usan en los métodos numéricos para fortalecer nuestros conocimientos en este nuevo proceso de formación. . obtuvimos la suficiente información para abordar con éxito una amplia variedad de problemas de ingeniería. no lineales. Hemos asimilado los conceptos para comprender mejor el material del segundo trabajo colaborativo. juicios subjetivos y conveniencias. udg.ucting.html http://docencia.com/trabajos72/resolucion-sistemas-metodo-gaussjordan/resolucion-sistemas-metodo-gauss-jordan.edu.it/t/metodos-numericos Consultado el 25/09/2014 Video denominado: “Métodos Numéricos (Parte 4: Gauss-Jordan)”Video disponible en: https://www.S.youtube.com/trabajos72/resolucion-sistemas-metodo-gaussjordan/resolucion-sistemas-metodo-gauss-jordan.bccr.%20ECUACIONES%20LINEALES. 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