Fenômenos de Transporte II - Profa. Cintia B.Gonçalves TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE Em processos de aquecimento ou resfriamento em equipamentos com operação em batelada, assim como na colocação em marcha ou na parada de equipamentos com operação contínua, a transferência de calor ocorre em regime transiente Na transferência de calor em regime transiente, a temperatura muda não só com a posição no interior do corpo, ela também muda com o tempo em uma mesma posição; tanto a taxa de transferência de calor através do corpo, como a energia interna do corpo mudam com o tempo. O corpo acumula ou desacumula energia interna. Exemplos: tratamento térmico de enlatados em equipamentos em batelada, aquecimento e resfriamento de equipamentos contínuos. 1ª Abordagem: SISTEMAS CONCENTRADOS (SITUAÇÃO MAIS SIMPLES) T T¥ (ar quente) Corpo metálico qualquer (elevada condutividade térmica) Resistência externa à transferência de calor (RE) = Resistência interna à transferência de calor (RI) = Em geometria: Plana Cilindrica Esférica 1 h × A Lc k × A Lc = L Lc = R 2 Lc = R 3 Lc = volume área = V A Quando RI <<<<< RE, pode-se desconsiderar a diferença de temperatura no interior do corpo e admitir que todo ele se aquece (no caso contrário, resfrie) a uma temperatura uniforme por todo o corpo, a qual muda com o tempo. • Desenvolvimento da equação: Calor transferido para o corpo = Calor acumulado no corpo Taxa de calor transferido Taxa de calor acumulado q = h. A.(T¥ - T ) q = m.c p . de dT dt t=0 T = T0 RI RE = t = t1 T = T1 Lc k h × Lc = = BIOT 1 h k t = t2 T = T2 < 0 ,1 h = coeficiente convectivo transporte de calor fluido-corpo T¥ = temperatura do fluido (constante ao longo do tempo) T(t) = temperatura do corpo (uniforme em todo o corpo, mas variável com o tempo) t = tempo A = área de transferência de calor (na superfície do corpo) m = massa do corpo cp = calor específico do corpo A aproximação é válida só quando a resistência interna é muito menor que resistência externa. NÃO ESQUECER QUE É UMA APROXIMAÇÃO h. A.(T¥ - T ) = m.c p . dT dt T o Condição inicial: p/ t = 0 ® T=To t0 = t ò dt = 0 t m.c p dT h. A To (T¥ - T ) .ò T CONCEITOS IMPORTANTES EM REGIME TRANSIENTE Bi = Número de Biot = h.Lc = RI k RE m .c p h. A . - ln (T¥ - T ) T kcal t= - m .c p æ T¥ - T . ln ç çT -T h. A o è ¥ ö ÷ ÷ ø T¥ - T =e T¥ - To æ -ç ç ç è h. A m .c p ö ÷.t ÷ ÷ ø .C [Bi ] = h.mkcal 2 o o .m = Adimensional h.m. C Fo = Número de Fourier = T T¥ Equação ou perfil de temperatura válida para qualquer sistema com RI desprezível a .t 2 Lc = Tempo Adimensional [Fo ] = m .s s = Adimension al 2 m k r × cp 2 To t onde a = = difusividade térmica 1 t) = temperatura na superfície do corpo (posições +L e –L). ocorre somente para sólidos metálicos (elevada condutividade térmica) com pequena dimensão característica (pequeno raio ou pequena ½ espessura).t ç m .m2. A ö ÷ e sabendo que: m = r .T =e è pø T¥ .To æ ç h.C. área da superfície do sólido através da qual se estabelece o contato térmico com o fluido.ºC) a 40 ºC b) Ar (h = 10 kcal/h.C. sendo aquecido ou resfriado em regime transiente. varia com o tempo e a posição considerada T(±L.Valimento cp = calor específico do alimento T¥ = temperatura do meio de aquecimento ou resfriamento T = temperatura do alimento ao longo do tempo 2ª Abordagem: RESISTÊNCIA INTERNA NÃO DESPREZÍVEL (CASO MAIS COMUM E MAIS COMPLICADO) 2A) Transferência de calor em regime transiente em placa plana infinita de espessura 2L -L 2L +L T¥ T¥ T(x.t -ç ç r ×V ×c p ÷ ç r ×c × L ÷ ç k ×L ÷ T¥ .t .T¥ ] A = área de T.c ÷ T¥ .ºC r = 8975 kg/m3 U = coeficiente global de transferência de calor entre alimento sob agitação e o meio de aquecimento (ou resfriamento) A = área de transferência de calor m = massa do alimento no tacho = ralimento. varia com o tempo h = coeficiente convectivo de T.Lc k Fo = a . t) .t ç m .ºC cp cobre = 0.( Bi × Fo ) T¥ .[ T(±L.t) = temperatura do corpo ao longo do processo.To æ ç h. considerado constante ao longo de todo o processo T0 T0 t=0 t = t1 t = t2 t = t3 t = t4 T0 = temperatura inicial do corpo.Escrevendo o Perfil de Temperatura em função de Bi e Fo: .8 mm de diâmetro a T0 = 150 ºC quando imerso subitamente em: a) Água (h = 70 kcal/h. A ö ÷ æ ç h ö ÷ æ a ×h Mas Bi = h.To æ U . de sistemas concentrados. IMPORTANTE: a transferência de calor no alimento sob agitação ocorre por CONVECÇÃO.To Tacho agitado com mistura perfeita. Esta é a situação de um tacho agitado contendo um fluido alimentício. esta área é suposta constante ao longo de todo o processo (o sólido NÃO se contrai ou encolhe durante o processo) 2 . ÷.ºC) a 40 ºC Dados: kcobre = 322 kcal/h.c p Lc = V A ö ´ Lc Lc • A situação descrita anteriormente. • Mas uma SITUAÇÃO SIMILAR pode ocorrer para recipientes contendo alimentos sob forte agitação.V k a= r ..m.091 kcal/kg. considerado como um leito PERFEITAMENTE MISTURADO.T = e .T =e è pø T¥ . • Tal situação NUNCA OCORRE para sólidos alimentícios pois sua condutividade térmica é baixa e a resistência interna NUNCA É DESPREZÍVEL.c ÷ T¥ . varia com o tempo q(t) = taxa de calor transferido. A.T ø =e è =e è p cø =e è cø T¥ .t 2 Lc T¥ .m2.t . considerada constante ao longo de todo o processo q(t ) =h. .A ö ç ÷ Exercício de aplicação 1 Determinar a reposta de temperatura de um fio de cobre de 0.. considerada uniforme T¥ = temperatura do fluido que envolve o corpo. l2.ln . exp . Fo.Lc ). para uma placa plana infinita. de espessura 2L x T ( x . Usando ainda os seguintes adimensionais: X= x r ou = Adimensional de posição no corpo sólido L R Fo = a . -L £ x £ L æ ¶T ö = 0. [a ] = r .Lc ) 2 = åê ú. -L £ x £ L Equação que comanda a transferência de calor em regime transiente nessas condições k m . de espessura 2L Perda de calor adimensional Q/Q0.sen(ln .Lc ) û Não há T.Lc ) 2 2 = åê ú.Lc .T¥ 2.2a Lei de Fourier: æ ¶ 2T ¶ 2T ¶ 2T ¶T = a .x ) To .a . com o tempo 3 .ç ç ¶x 2 + ¶y 2 + ¶z 2 ¶t è ö ÷ ÷ ø Condições iniciais e de contorno da equação: 1. ln) são as n raízes da equação.Lc ) û [ ] 1 Bi Fourier T . t ) .Lc ). t = ¥ 3. x = 0 4. cos(ln . cos(ln .T¥ n =1 ë ln .L + sen(ln .T¥ n =1 ë Lc . X) To .Lc . "t ç ÷ è ¶x ø x =0 æ ¶T ö k × A×ç = h × A × (T ÷ è ¶x ø x = ± L x=± L Simetria do perfil de temperatura .sen(ln .t .T¥ = função(Bi. 2 ¶t ¶x ¥ é ù T . CARTAS DE HEISLER Temperatura do plano médio. cos(ln . x = L T=T¥ .T¥ 2. para uma placa plana infinita.c p s 2 2.Fo . t ) .ln + sen(ln .C nas direções y e z [ ] Onde os valores de l (l1. para uma placa plana infinita. cos( ln . de espessura 2L.T¥ ) Convecção na interface a = difusividade térmica = ¶ 2T =0 ¶y 2 ¶ 2T =0 ¶z 2 Integração da equação por separação de variáveis: ¶T ¶ 2T = a.ln . t = 0 T=To . exp .t L2 Equação colocada na forma gráfica. X ) To .T¥ Adimensional de posição F o= a .t = Fourier = tempo adimensional L2 c Obtém-se: ¥ é ù T .T¥ L Q Q0 Bi = F o × Bi 1 2 Bi Temperatura como uma função da temperatura do centro. …….T¥ T ( 0 . de raio R Q Q0 Bi = 1 Bi F o × Bi 2 F Perda de calor adimensional Q/Q0. para um cilindro infinito. de raio R o= a .t R2 1 Bi Temperatura do plano médio. t ) . de raio R Temperatura como uma função da temperatura do eixo.T¥ T ( 0 . t ) . t ) . para uma esfera. de raio R Temperatura como uma função da temperatura do eixo.T¥ Q Q0 Bi = F o × Bi 2 1 Bi Perda de calor adimensional Q/Q0.t R2 Temperatura do plano médio. para uma esfera. para um cilindro infinito. de raio R r R T ( r . para um cilindro infinito. t ) .T¥ T ( 0 . para uma esfera de raio R 4 .T¥ 1 Bi F o= a .r R T ( r . é subitamente imerso em água a 50 ºC.K.ºC) de 18 até 1.T¥ ö æ T .T¥ ø cilindro è ø è To .499 W/m. (b) a temperatura na superfície do cilindro. r=1073 kg/m3.T¥ ö æ T .ºC.T¥ ÷ cilindro infinito placa de è To . (c ) o calor transferido para a água.T¥ ö æ T .355 W/m.8 ºC é resfriada com ar a 1. As latas possuem diâmetro igual a 6 cm. é colocado em um forno a 180 ºC e coeficiente convectivo igual a 14 W/cm2 ºC.Exercício de aplicação 2 Um cilindro longo (L = 2 m) de aço (k=40 W/m. cp=434 J/kg.K.T¥ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ =ç ´ç ç ÷ ÷ curto To . a=1. a=0.576´10-7 m2/s.179 kJ/kg. r=1000 kg/m3.497 kcal/h.K) com 0. Determine o tempo necessário para que o centro da maça atinja 3ºC.T¥ ø espessura 2 R´2 Z 2R 2Z Corpos bi.2 m de diâmetro e temperatura inicial de 400 ºC.T¥ ø placa è o ¥ ø paralelepí è è o ¥ ø placa 2 L´2W ´2 Z 2L 2W 2Z 5 .K) com 0.T¥ ö æ T . A temperatura do congelador é de -18ºC e o coeficiente convectivo é igual a 2.T¥ ö æ T . inicialmente a 20 ºC. cp=1 kcal/kg. cp=3600 J/kg. após 20 minutos. cp=3480 J/kg.e tridimensionais Barra infinita de espessura 2L e largura 2W Exercício de aplicação 6 æ T . a anfitriã deseja resfriar bebidas enlatadas (k=0. calcule: (a) a temperatura no centro do cilindro.m. Uma placa longa de carne aço (k=0.3 kg. Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja 10 ºC. Cilindro curto de diâmetro 2R e comprimento 2Z æ T . Determine o tempo aproximado de resfriamento.7 kg/m3.m. Propriedades do assado: k=0.ºC.7 ºC e coeficiente convectivo igual a 39.T¥ ö æ T . a=1´10-5 m2/s.5 ºC. Se o coeficiente convectivo é igual a 200 W/m2. cp=4.203 m de espessura e temperatura inicial de 37.84´10-3 W/cm2 ºC. largura 2W e comprimento 2Z æ T .T¥ ø placa 2W Um assado de forma cilíndrica (10 x 20 cm) com 2. Determine o tempo necessário para que o centro do assado atinja 90 ºC.ºC.7 W/m2 K. r=7854 kg/m3. r=820 kg/m3.T¥ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ =ç ´ç ç ÷ ÷ ÷ T T barra T T placa è o ¥ ø 2 L´2W è o ¥ ø 2 L è To .K.T¥ ö ç ÷ =ç ´ç ç T -T ÷ ÷ çT -T ÷ ÷ ´ç ç ÷ ç T -T ÷ ÷ pedo o ¥ ø placa è To .ºC Paralelepípedo de espessura 2L. D L Exercício de aplicação 5 Uma maça (k=0.T¥ ö æ T . Exercício de aplicação 3 Exercício de aplicação 4 No preparo de uma festa.ºC) com 6 cm de diâmetro inicialmente a 15 ºC é resfriada com água a 2 ºC e coeficiente convectivo igual a 50W/cm2 ºC.497´10-3 m2/h.649 kcal/h. r=985.