Cálculo diferencialLímites y continuidad Actividad 2. Límites de funciones Instrucciones: Resuelve los siguientes los siguientes ejercicios: 1. Resolver ( ) 3 3 2 2 lim 2 3 4 2 x x x x ÷÷ ÷ + ÷ . 2. Resolver 3 2 2 2 3 9 lim 9 x x x x ÷ ÷ ÷ ÷ . 3. Resolver 3 2 2 2 3 7 6 im 3 5 2 l x x x x x ÷ ÷ ÷ + ÷ + . 4. Resolver 2 2 6 5 6 lim 7 4 3 x x x x x · ÷ + ÷ + + . 5. Demostrar por medio de la definición que ( ) 2 lim 3 5 1 x x ÷ ÷ = . 6. Definir lim ( ) x a f x ÷ = ÷· y lim ( ) x f x L · ÷÷ = . 7. Sea { } \ 0 ne , demostrar que si n es par, entonces 0 1 lim n x x ÷ = · y que si n es impar entonces 0 1 lim n x x ÷ no existe. 8. Supóngase que 0 lim ( ) x x f x L ÷ = , demostrar que existen 0 o > y 0 M > tales que ( ) f x M < , si ( ) 0 0 , x x x o o ÷ e + . 9. Demostrar que 0 lim ( ) x x f x L ÷ = si y sólo si 0 lim ( ) h f x h L ÷ + = . 10. Demostrar por definición que 0 0 lim x x x x ÷ = . Actividad 3. Continuidad de funciones Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Dada la función 2 2 1 1 2 4 ( ) 2 5 si si si x x f x ax b x x x ¦ + ¦ = s < s s + ´ ¦ ÷ ÷ ¹ hallar el valores de a y b de tal forma que ( ) f x es continua en 0 1 x = y 1 2 x = . 2. Dada la función 2 3 15 17 ( ) 5 4 f x x x x x ÷ + + = + continua en 5 x = ÷ . ¿Qué valor debe tomar ( 5) f ÷ para que la función sea continua en 0 5 x = ÷ ? Cálculo diferencial Límites y continuidad 3. Demostrar que ( ) f x es continua en 0 x si y sólo si | | 0 0 0 lim ( ) ( ) 0 h f x h f x ÷ + ÷ = . 4. Dada la función 3 ( 4 ) 4 f x x x = ÷ + , demostrar que existe | | 3, 0 ce ÷ tal que ( ) 0 f c = . 5. Demostrar que la raíz cuadrada de un número real positivo existe. 6. Sea ( ) f x una función definida en todos los números reales tal que ( ) ( ) ( ) f x y f x f y + = + . Demostrar que ( ) f x es continua en . Instrucciones: Elige la respuesta que corresponda a la pregunta planteada, recuerda utilizar las propiedades de los números reales, de funciones y desigualdades. 1. Calcular 1 2 2 3 2 3 2 8 lim 2 7 6 x x x x x x ÷ ÷ + + ÷ + . a) 4 ÷ b) 20 ÷ c) 15 d) No existe 2. Sean 2 ( 3 ) x f x x = + y 2 ( ) 2 x g x x ÷ = + , calcular ( ) 1 4 lim ( ) x g f x ÷÷ . a) 21 43 b) 43 21 ÷ c) No existe d) 20 21 3. Calcular 3 2 3 4 5 l 5 4 6 im 3 6 x x x x x x ÷· ÷ + + + + ÷ . a) 2 3 ÷ b) 1 4 ÷ c) 3 4 Cálculo diferencial Límites y continuidad d) 4 3 ÷ 4. Dada la función 2 3 10 ( ) 1 26 5 5 si si x x x x a f x x a ¦ ÷ ÷ ¦ = ´ ÷ ÷ > s ¦ ¹ Hallar los todos los valores que puede tomar a para que la función ( ) f x sea continua en dicho valor. a) 1 2 1 0 y a a = ÷ = b) 1 2 1 5 2 2 y a a = = c) 1 2 6 4 5 y a a = ÷ = d) 1 2 3 3 4 y a a = ÷ = 5. Dada la función 2 2 2 3 4 4 ( ) si si x x x f x x ax a x ¦ ÷ < ÷ + > = ´ + ¹ Hallar los todos los valores que puede tomar a para que la función ( ) f x sea continua en 4 x = . a) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 2 1 3 y a a = + = ÷ + b) ( ) ( ) 2 1 2 5 2 5 y a a = ÷ + = ÷ c) ( ) ( ) 2 1 2 1 6 2 1 6 y a a = ÷ + = ÷ + d) ( ) ( ) 2 1 3 1 2 3 1 2 y a a = ÷ + = ÷ + Resolver los siguientes ejercicios: 1. Dada una función sobreyectiva | | | | : 0,1 0,1 f ÷ tal que ( ) f x es continua en | | 0,1 , demostrar que existe | | 0 0,1 x e tal que 0 0 ( ) f x x = . 2. Dada la función ( ) 0 si si x x f x x e = ´ e ¦ ¹ mostrar que ( ) f x es continua en 0 0 x = . 3. Muestre que la función 1 ( ) 0 si si x f x x e = ´ e ¦ ¹ es discontinua en todo . Cálculo diferencial Límites y continuidad 4. Calcular 0 0 0 lim x x x x x x ÷ ÷ ÷ . 5. Discutir la continuidad de la función ( ) f x x = . Actividad 2. Derivada de funciones trascendentes Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios determinando la derivada de las funciones o demostrando las expresiones que mencionan. 1. Calcula las siguientes derivadas: a. 2 2 1 1 d x dx x ÷ + ( ( ( ¸ ¸ . b. 2 4 sen 9 d x dx x ( + | | | ( ÷ \ . ¸ ¸ . c. ( ) ( ) ( ) 2 ln sen 1 d x dx + . d. ( ) 2 3 ln 1 1 x x d dx x | | + \ + | | + . . e. ( ) ( ) 2 3 4 2 cos x x d x e e x dx + . 2. Demuestre dados , x ye se tiene que: senh( ) senh cosh cosh senh x y x y x y + = + . 3. Demuestre que dados , x ye con 2 x k y t + = y ke se tiene que: ( ) tan tan tan 1 tan tan x y x y x y + + = ÷ . 4. Calcular los siguientes límites: a. 2 4 3 2 3 12 5 6 8 3 i 6 l m x x x x x x x ÷ + ÷ + ÷ ÷ + . b. 2 3 4 2 4 1 3 6 13 7 20 31 3 7 lim x x x x x x x x x ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ + + + . 5. Dada la función 3 ( ) 4 f x x x = ÷ definida sobre el intervalo | | 2, 2 ÷ hallar el valor ( ) 2, 2 ce ÷ que satisface '( ) 0 f c = . 6. Demuestre que para cuales quiera , x ye se cumple: sen sen 2sen cos 2 2 x y x y x y + ÷ | | | | + = | | \ . \ . . Cálculo diferencial Límites y continuidad 7. Dada la función 2 ( ) 4 f x x x = ÷ definida en | | 1, 5 hallar ( ) , c a b e que satisface la relación ( ) (5) (1) '( ) 5 1 f f f c ÷ = ÷ . 8. Demostrar las siguientes identidades: 1 cos 1 cos cos sen 2 2 2 2 y x x x x + ÷ | | | | = = | | \ . \ . Para todo 0, 2 x t ( e ( ¸ ¸ . Actividad 3. Derivación de orden superior e implícita Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior, además de realizar las demostraciones de las funciones presentadas. 1. Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que y depende de x . a. ( ) 2 2 3 sen 1 xy xy x + = + . b. ( ) 2 ln xy x x y e x y + + = + . c. ( ) 2 2 2 ln sen 2 x x y x y y | | + + = | \ . . 2. Calcular las siguientes derivadas de orden superior: a. ( ) 5 3 3 3x d x e dx . b. ( ) ( ) 2 3 2 sen 2 x d e x dx . c. ( ) ( ) 4 4 cos 3 d x dx . 3. Considerando la función tanh x demuestre que (a) 1 tanh x ÷ existe en ( ) 1,1 xe ÷ . (b) 1 1 1 tanh ln 2 1 x x x ÷ + ( = ( ÷ ¸ ¸ . (c) 1 2 1 tanh 1 d x dx x ÷ ( = ¸ ¸ ÷ . 4. Demostrar que ( ) 1 2 1 tan 1 d x dx x ÷ ( = ¸ ¸ + . Cálculo diferencial Límites y continuidad 5. Calcular 2 1 1 4 2senh 2 2 x x x d dx ÷ | | + + | \ . ( ( ¸ ¸ . 6. Utilizando inducción matemática, demostrar que para todo polinomio ( ) p x existe ne tal que | | ( ) 0 n n d p x dx = para todo xe . 7. Dada la siguiente función: 0 ( ) 1 0 sen si si x x f x x x = ¦ ¦ = ´ ¦ = ¹ Calcular '(0) f y ''( ) f x . 8. Demuestre que la función ( ) 1 x f x x = ÷ es invertible en { } \ 1 y 1 ( ) 1 x f x x ÷ = ÷ . Instrucciones: Elige la respuesta que corresponda a la pregunta planteada, recuerda utilizar las propiedades de los números reales, de funciones y desigualdades. 6. Calcular 2 2 3 3 d x dx x ÷ + ( ( ( ¸ ¸ . e) ( ) 2 2 6 3 3 3 x x x + + ÷ f) ( ) 2 2 3 6 9 x x x + ÷ g) ( ) 2 2 6 9 3 x x x ÷ + + h) ( ) 2 2 2 3 3 9 x x x + ÷ ÷ 7. Sean 2 ( 3 ) x f x x = + y 2 ( ) 2 x g x x ÷ = + , calcular ( )'(1) g f . a) 3 4 b) 5 9 c) 3 5 ÷ d) No existe Cálculo diferencial Límites y continuidad 8. Calcular dy dx para la función implícita definida por la relación ( ) sen xy x y = + . a) ( ) ( ) 2 cos 2 cos x y x d x x y d x y + ÷ ÷ + = b) ( ) ( ) 2 cos 4 sen x y x d x x y d x y + + ÷ + = c) ( ) 2 2 cos x x dy dx x y = ÷ + d) ( ) ( ) 2 sen 2 sen x y x d x x y d x y + ÷ ÷ + = 9. Dada la función 2 4 ( ) 4 4 4 si si x x x f x ax b x ¦÷ + + = + > s ´ ¹ Hallar valores de a y b para que la función ( ) f x sea derivable en 4 x = . e) 1 0 y a b = ÷ = f) 10 2 3 y a b = ÷ = g) 4 20 y a b = ÷ = h) 1 4 2 y a b = = 10. Dada la función 4 3 2 4 3 ( ) f x x x x ÷ + = hallar el conjunto donde ( ) f x es creciente. e) ( ) ( ) 1 1 , 3 3 3 3 , 2 2 | | · · | | ÷ | \ ÷ ÷ | \ . . f) ( ) 1 3 3 , 2 | | · \ ÷ | . g) ( ) ( ) 1 1 0, 3 3 3 3 , 2 2 | | · | | ÷ + | \ . | \ . h) ( ) 1 3 3 , 0 2 | | ÷ ÷ | \ . 11. Calcular ( ) 3 2 3 3 x d x e dx . i) ( ) 3 2 4 2 3 x e x x ÷ + j) ( ) 3 2 2 2 3 x e x x ÷ + k) ( ) 3 2 9 2 6 3 x e x x + + Cálculo diferencial Límites y continuidad l) ( ) 3 2 3 1 2 4 x e x x ÷ ÷ + Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Dada la función: 4 4 ( ) 0 0 si si x x f x x x s ¦÷ = ´ > ¹ Muestre que '(0) ''(0) '''(0) 0 f f f = = = . ¿Existe (4) (0) f ? 2. Considere la función: 2 4 ( ) 3 3 8 si si x x x f x ax b x ¦ ÷ = s + ´ + > ¹ Hallar el valor de a y b para que '(3) f exista. 3. Supóngase que 0 ( ) 0 f x = y que 0 '( ) 6 f x = , ¿Cuál es el valor de 0 0 ( ) lim 2 h f x h h ÷ + ? 4. Muestre que la función 2 2 cos sen x x x be x y ae = + con a y b son constantes satisface la relación: ''( ) 4 '( ) ( ) 0 f x f x f x ÷ + = . Sean 1 ( , ( ), ) n f x f x . un conjunto finito de funciones derivables en 0 x , proponer una fórmula para ( ) 1 0 '( ) n f f x × × y demostrarla por inducción matemática. Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva. Resuelve los siguientes problema<sobre razón de cambio y tangente de una curva. 1. Un recipiente en forma de cono invertido de 10m de altura y 2 m de radio está lleno con un líquido, este sufre una avería y el líquido comienza a fluir con una velocidad de 3 0.8m /s. ¿Con qué velocidad baja el líquido cuando ha descendido 4 m de altura? 2. Se infla un globo en forma esférica de modo que su volumen se incrementa con una velocidad de 3 3 / m min . ¿A qué razón aumenta el diámetro cuando éste es de 10m? Cálculo diferencial Límites y continuidad 3. Un niño juega con un papalote a que está a una altura de 25m corriendo horizontalmente con una velocidad de 0.75m/s . Si hilo que sujeta el papalote esta tenso, ¿a qué razón se afloja cuando la longitud del hilo suelto es de 60m? 4. Un helicóptero vuela hacia el norte con una velocidad de 50m/s a una altura de 70m, en ese instante, el rayo de luz de un faro ubicado en la tierra señala la parte inferior del helicóptero. Si la luz de mantiene señalando al helicóptero, ¿con qué velocidad gira el rayo de luz cuando el avión se encuentra a una distancia horizontal de 1500m al sur del faro? 5. Dada la función 2 ( ) 2 f x x x = ÷ , hallar la ecuación de la recta tangente a dicha función que es paralela a la recta normal que pasa por el punto ( ) 3,3 . 6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función 2 3 2 0 4x y x xy y + + ÷ = en el punto ( ) 1,1 . 7. Hallar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función 3 ( ) 2 f x x x = ÷ en el punto donde la recta tangente a dicha función en 1 x = intersecta a la gráfica de misma función. 8. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función 1 ( ) 1 x f x x ÷ = + que sean que formen un ángulo de 4 t con respecto a la horizontal. Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas de máximos y mínimos, así como su representación gráfica de una función. 1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura: Hallar las dimensiones de dicho cilindro. Cálculo diferencial Límites y continuidad 2. Dada la función 2 ( 3 ) f x x x ÷ = y el punto ( ) 0 5, 5 P = ÷ hallar el punto sobre la gráfica de ( ) f x que está más cerca de 0 P . 3. Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100 y cuyo producto sea máximo. 4. En un río de 250mde ancho están ubicados dos puntos A y B uno frente a otro y del mismo lado de B hay un tercer punto C ubicado a 500m de tal forma que el segmento AB es perpendicular a BC. Una compañía de energía eléctrica quiere tender un cable desde A hasta C parando por el punto D, como lo muestra a figura: Si el costo por metro del cable bajo tierra es 30% más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se debe tender el cable para que el costo sea mínimo? 5. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva 3 ( 4 ) f x x x ÷ = . 6. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva ( ) ( ) sen 2 f x x x = ÷ . 7. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva 4 2 4 ( ) 4 f x x x ÷ = + 8. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva 1 ( 1 ) x f x x + = ÷ . Instrucciones: Elige la respuesta que corresponda a la pregunta planteada, recuerda utilizar las propiedades de los números reales, de funciones y desigualdades. 12. Se está formando una bola de nieve de tal manera en que la velocidad con la incrementa su volumen es de 3 8 cm /min. Cuando el diámetro de la bola es de 4 cm, ¿con qué velocidad aumenta el radio? i) 2 cm/min t j) 1 2 cm/min t k) 2 cm/min t l) 2 cm/min t 13. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función implícita 1 xy = y que pasan por el punto ( ) 1,1 ÷ . Cálculo diferencial Límites y continuidad e) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 y y x y x = + + + = ÷ ÷ ÷ + f) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 y y x y x = ÷ + ÷ = ÷ + ÷ ÷ g) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 y y x y x = ÷ ÷ + ÷ = + + ÷ h) No existen rectas tangentes. 14. Hallar las dimensiones de un cono recto circular de volumen mínimo que pueda inscribirse una esfera de 8 plg de diámetro. a) Altura del cono es 32 plg y radio de la base es 8 2 plg b) Altura del cono es 24 plg y radio de la base es 8 3 plg c) Altura del cono es 20 plg y radio de la base es 8 5 plg d) Altura del cono es 30 plg y radio de la base es 8 6 plg 15. Hallar los puntos de inflexión de la función 4 3 2 ( ) 3 10 12 12 17 f x x x x x = ÷ ÷ + ÷ . i) ( ) 1 322 , 2, 63 3 27 y | | ÷ | \ . j) ( ) 1 322 , 2, 63 3 27 y | | ÷ ÷ | \ . k) ( ) 1 322 , 2, 63 3 27 y | | ÷ ÷ ÷ | \ . l) ( ) 1 322 , 2, 63 3 27 y | | | \ . Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Un alambre de 150 cm se corta para formar un cuadrado y un triángulo equilátero, ¿Cómo se debe cortar el alambre para que las figuras que se formen sean de área máxima? RETROALIMENTACION 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad. 4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la unidad, sigue adelante. Cálculo diferencial Límites y continuidad 2. Un incendio en un pastizal seco se propaga en forma circular con una velocidad de 5m/min. ¿Con qué velocidad crece el área quemada cuando el radio es igual a 60m? 3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes al círculo 2 2 100 y x + = de tal manera que ambas tangentes pasen por el punto ( ) 14, 2 . 4. Gráfica la siguiente curva 3 2 3 ( ) x x f x ÷ ÷ + = .