DISTRIBUCIONES MUESTRALINTEGRANTES: NILSON JAVIER MANGONES ASIGNATURA: INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD TUTOR: MARCOS CASTRO INGENIERIA DE SISTEMA UNIVERSIDAD DE CARTAGENA CREAD LORICA LORICA - CORDOBA EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIONES La media muestral tiene también distribución normal. Si la población no sigue una distribución normal pero n>30. también denominada error típico.MUESTRALES 1) Defina en qué consisten: a) LA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE LA MEDIA: Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral. proporción…) que variará de una a otra. Si tenemos una población normal N y extraemos de ella muestras de tamaño n. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media y la desviación típica. Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica. Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muéstrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos. la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal. aplicando el llamado Teorema central del limite la distribución muestral de medias se aproxima también a la normal anterior. Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n ³ 30 de una población con distribución diferente a la normal . Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias. las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la aproximación normal a la binomial. . por lo tanto: Si se utiliza la varianza corregida: b) LA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE LA PROPORCIÓN: La distribución muestral de proporciones está estrechamente relacionada con la distribución binomial. Como consecuencia de esta relación. La distribución t es adecuada para trabajar con muestras pequeñas. Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n á 30 . y se obtiene del cociente entre una distribución normal estándar y la raíz cuadrada de una chi-cuadrado dividida por sus grados de libertad. mientras que una distribución de proporciones es la distribución de un promedio (media) de los éxitos. siempre que: np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5. una distribución binomial es una distribución del total de éxitos en las muestras. se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La distribución muestral de proporciones es adecuada para dar respuesta a estas situaciones. por lo tanto: c) LA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE LAS DIFERENCIAS DE MEDIAS: Suponga que se tienen dos poblaciones distintas. la la la la Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias. se elige una muestra aleatoria de tamaño n_1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n_2 de la segunda población. la primera con media mu_1 y desviación estándar delta_2 y la segunda mu_2 y desviación estándardelta_2. etc en muestra. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico. Debido a que se desconoce la proporción poblacional. . Es decir es el error típico. sino que queremos investigar proporción de personas con cierta preferencia. o error estándar de la media. a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde “x” es el número de éxitos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la muestra) en lugar de la media de cada muestra que era lo que calculamos antes. La distribución es aproximadamente normal para n>=130 y n30 para poblaciones cualesquiera. se utiliza la proporción muestral para estimar la varianza. Más aún.Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en media de una muestra. 5 σ =0. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio esté comprendido entre 0.51 pulgadas.01 x 1=0. y en cada una de ellas se observa una característica o cualidad.49 .49 y 0. La proporción muestral de elementos con una característica se define como: e) EL ERROR ESTÁNDAR PARA LITERALES ANTERIORES: CADA UNO DE LOS 2) Cuántas muestras de tamaño 32 pueden extraerse de una población de tamaño 750? 3) Si a cada una de las muestras del problema anterior le calculamos su correspondiente proporción.d) LA DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE LAS DIFERENCIAS DE PROPORCIONES: De dos poblaciones se toman dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30.01 pulgadas. con media igual a 0. 4) Suponga que una máquina produce tornillos. para una muestra de 4 tornillos? μ=0.5 pulgadas y desviación estándar de 0. cómo llamaría usted a la serie de proporciones obtenidas y qué propiedades tiene dicha distribución. cuyos diámetros se distribuyen normalmente. 01 0. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor que 0.5+ 0.4236) P=0.01 = =1 0.36 ´ P( P<0.01 0.5) . Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la proporción de ellas que tienen más de 40 años.5 )=92.43→ A (0.5.4 0.01 = =−1 0.51 P(0.01 P(0. si se trata de una población muy grande? N=49 z= P=0.49< x <0.5−0.07 Z =1.4.51−0.49< x <0.43 √ 0.01 0.4236=0.00489 0. sabiendo que la proporción en la población es de 0.x 2=0.51)−P( x <0.6) 0.10 = = =¿ PQ ( 0.10 = =1.5 −0.49< x <0.51)=P( Z 1<1)−P(Z 2 <−1) P(0.8413−0.49−0.4)(0.51)=P(x <0.51)=0.49) z 1= z 2= 0.4 ´ P−P 0.26 5.10 0.9236 P ( P< 0.1587=0.24 N 49 49 √ √ Z= √ 0.5 0.6826=68. 2357 P=0.63→ A ( 0.2357 ) P=0.2275 100 = 0. prefieren cierta marca de crema dental. Asumamos que la mayoría es un porcentaje superior al 51%.6. P=65 N=100 P ( P< 68 ) Z= Z= P−P 0.40 p=0.03 =0.65)(0. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 100 universitarios de dicha ciudad encontremos que como máximo el 68% son usuarios de este tipo de crema.65 = PQ (0.35) N 100 √ √ 0.0025 2 n 2(200) 400 Formula corregida . un candidato obtuvo el 40% de los votos.03 √ 0. Se sabe por experiencia que el 65% de los estudiantes universitarios de cierta ciudad.5+ 0. Determinar la probabilidad de que entre 200 de los electores elegidos aleatoriamente entre un total 800 afiliados.57 7.51 n=200 1 1 1 = = =0.7357 P ( P< 68 )=73. Para elegir presidente de un sindicato. se hubiera obtenido la mayoría de los votos para dicho candidato.002275 Z =0. P=0.63 √ 0.68−0. Si se obtienen todas las posibles muestras de tamaño 25 en una distribución normal con media 20 y desviación estándar 4.41 ) ( 0.65 ) ( 0.00325+ 0.0025 P=0.0012 Z =2. si se sabe que éstas últimas fueron 35% y 41% respectivamente.0975 = 0.24 200 200 √ Z= √ 0.40 ) ( 0.81 √ 0.4975=0.5 – 0.50−0. se tomaron muestras de ambas poblaciones de tamaños 70 y 90 respectivamente.0975 =2.2419 + 70 90 P1 Q 1 P2 Q 2 + A1 A2 σ =√ 0.4975 ) P=0. σ= σ= σ= √ √ ( 0.40 √ ( 0. Se pide calcular el error estándar de la diferencia de las proporciones muéstrales.40 0.60 ) 200 0.81→ A ( 0. dentro de que límites se encuentra el 90% central de las medias muéstrales.24 0.Z= Z= ( 0.25 8. 9.00269 .2275 0.35 ) ( 0.59 ) + 70 90 √ 0.0025 )−0.4975−0. Con el fin de estimar la diferencia de proporciones entre dos poblaciones A y B. 0077 160 10.88 11..077 E= 0.077 0.1788=17. hallar la probabilidad que en una muestra de 90. μ=1650 σ =150 n=25 p ( x´ <1575 ) .00 US. la media sea menor 71.077 =0.00 US y una desviación estándar de $ 150.3 √ 90 = = =−0.3212 P=0.92 σ 3. el salario medio sea inferior a $1.92 → A ( 0.00 US. En cierta región los salarios diarios de los mineros del carbón están normalmente distribuidos.0 Z= n=90 p ( x´ <71. μ=72 σ =3.5−0.70.77 = A1 + A2 70+90 E= 0.7 ) ´x −μ 71. En una población normal con media igual a 72. La población de mineros es superior a 1500. Cuál es la probabilidad de que en una muestra representativa de 25 de esos mineros.1 3.1 √n √ 90 Z =−0.0 y desviación estándar igual a 3. con una media de $ 1.650.575.00594 σ =0.7−72 −0.0.σ =√ 0. P=0.3212 ) . Mediante la anterior información qué puede usted concluir respecto de la afirmación de que la media poblacional es 62.5 → A ( 0.2 .2.55| 13.Z= 1575−1650 −75 √ 25 = =−2.4938=0. Una muestra aleatoria de tamaño 20 extraída de una población normal.4 6 =|2.3| |2.3| 5.4 y una desviación estándar de 3.4 σ =3.4 3.0062 P( ´x <1575)=0.9 = 5. La media de una muestra aleatoria de tamaño 36 se utiliza para estimar la media de una población infinita con desviación estándar de 5.4938 ) P=0.5 150 150 √ 25 Z =−2.0? A=20 Z= 62−56.4.2 √ 20 μ=56.3| Z= 0.4 √ 36 |2. Qué podemos afirmar sobre la probabilidad de que el error muestral sea menor o igual que 2.62 12.3 en valor absoluto? Z= z= ´x −μ E = σ σ √A √A |2. tiene una media de 56.5−0. La diferencia es que la distribución normal tiene un comportamiento de parabólica invertido.Z= 5. Explique en qué se diferencian la distribución t y la distribución normal. (o el promedio) Std(x) es la desviación estándar de x.5 3.5 metros cuadrados por galón. La fórmula de una distribución normal estándar es: Z =( E(x )− X)/ Std( X ) y la de la T de student es. y si se divide en las dos áreas que hay miden 0. Un distribuidor de pinturas afirma que la diferencia de los promedios de los rendimientos entre dos marcas A y B de pinturas es de 5 metros cuadrados por galón ( A B 5) . pone en duda dicha afirmación y para comprobarlo. toma 6 galones de pintura de cada marca y encuentra que con la marca A el promedio del rendimiento es de 32 metros cuadrados por galón y desviación estándar de 2.5. NO EXISTE LA PROBABILIDAD QUE ESO SE DE. mientras que con la marca B el rendimiento promedio fue de 29 metros cuadrados . la forma más fácil de explicar la diferencia de la normal y la T de student es por formula. La t student tiene un comportamiento similar solamente que nos permite utilizarla para muestras menores de 30 personas. T =( E (x)−x )/(Std( x )/ √ (n)) Donde E(x) es el valor esperado de x. Por otra parte una oficina constructora de vivienda. y tiene una semi amplitud mayor a la normal porque la muestra al ser más pequeña no es tan representativa como en la normal. Se utiliza para muestras que son muy grandes y cuando la población es representativa. 14.2 NOS DA UN VALOR DE Z MUY ALTO.6 √ 20 =7. Sqrt(n) es la raíz cuadrada del número de observaciones 15. El área debajo de la curva es uno. 25+3.48 No la puede desviar.5 ) ( 1.6 6. el promedio para 10 empleados del turno 1.25 3. Tiende la prueba hecha por la oficina constructora a desvirtuar la información del distribuidor? 16.24 9. es inferior a $1. sea mayor que el rendimiento medio de 9 empleados del turno 2? Se supone que el tiempo empleado por los empleados en ambos turnos.24 6.25 + 6 6 6 6 √ √ z=1. Si el 9% de las medias de los salarios diarios en muestras de 25 obreros.por galón con desviación estándar de 1.00.250.0548=5. z= z= ´x =32 ´y =29 n1=6 σ =2.320.4452 P=0.6 → 0. se distribuyen normalmente.49 √1. El tiempo promedio para realizar una tarea por parte de los empleados del turno 1 de una compañía es de 20 minutos con una desviación estándar de 6 minutos. 17.5 σ =1. Los salarios diarios de cierta industria están distribuidos normalmente con una media de $1.09 . μ=1320 P( ´x <1250)=0.8 ) + 6 6 2 = √ 3−5 −2 −2 −2 −2 = = = = =−1.58 1. cual es la desviación estándar de la industria. Dichos valores para los empleados del turno 2 son 25 minutos y 5.8 metros cuadrados por galón. porque existe la probabilidad.8 n2=6 ( x´ − ´y )−( μ x −μ y ) √ 2 σx σ y + n1 n2 2 ( 32−29 )− (5 ) √ 2 ( 2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un concurso que se ha programado.4452=0.5−0.5 minutos respectivamente.00. 00125 )−0.34 σ =261. Cuál es la probabilidad al seleccionar 400 piezas.9 → A ( 0.00875 √ 0.19 18.04 N=400 P ( p ≥ 0. Se ha encontrado que el 4% de las piezas producidas por cierta máquina son defectuosas.05−0.000098 0.41)→ Z =−1.19 −1.96 ) 400 0.9 0. P=0.05 ) Formula corregida 1 P− −P ( 2N) ( 0.3159 ) .009=(0. P=( P>0.05 )=18.34= σ= −70 √25 σ −70 √ 25 =261.5−0.41 P=0.3159=0.00875 =0.1841 . de que el 5% o más sean defectuosas.04 ) ( 0.N=25 σ =? A=0.34 z= 1250−1320 σ √ 25 −1.04 z= = = √ z= √ PQ n ( 0.5 – 0.0097 z=0.