Tarea 5- Aporte Individual

ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA301301A_471 Tarea 5 - Ejercicios de Funciones, Trigonometría y Hipernometría Presentado a: WILSON IGNACIO CEPEDA Tutor Entregado por: MIGUEL ÁNGEL VALERO BEDOYA Código: 1020740664 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ABRIL 2018 BOGOTÁ Ejercicios Problema 1. Para la función dada determine la solución real del respectivo dominio y rango y compruebe con Geogebra 4𝑥 2 − 5 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 8 Dominio: Tomamos el denominador y lo igualamos a 0 2𝑥 2 + 8 = 0 2𝑥 2 = −8 −8 𝑥2 = 2 2 2 −8 √𝑥 2 = √ 2 2 −8 𝑥=√ ∉R 2 Rango: Despejamos x (2𝑥 2 + 8)𝑦 = 4𝑥 2 − 5 2𝑦𝑥 2 + 8𝑦 = 4𝑥 2 − 5 2𝑦𝑥 2 + 8𝑦 − 4𝑥 2 = −5 2𝑦𝑥 2 − 4𝑥 2 = −5 − 8𝑦 𝑥 2 (2𝑦 − 4) = −5 − 8𝑦 −5 − 8𝑦 𝑥2 = 2𝑦 − 4 2 2 −5 − 8𝑦 √𝑥 2 = √ 2𝑦 − 4 2 −5 − 8𝑦 𝑥=√ 2𝑦 − 4 2𝑦 − 4 ≠ 0 𝑦≠2 −5 − 8𝑦 > 0 −5 > 8𝑦 5 − >𝑦 8 Podemos decir que: El Dominio f(x) = R {−∞, ∞ } 5 Y el Rango 𝑓(𝑥) = 𝐑 − {𝟐, − 8} Problema 3. Determine la inversa de la función 𝑓(𝑥)=(2−𝑥7)15 y compruebe con Geogebra. Iniciamos con la propiedad inyectiva donde: 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) 𝑥1 = 𝑥2 2 − 𝑥1 1/5 2 − 𝑥2 1/5 ( ) =( ) 7 7 5 5 2 − 𝑥1 1/5 2 − 𝑥2 1/5 (( ) ) = (( ) ) 7 7 2 − 𝑥1 2 − 𝑥2 = 7 7 7(2 − 𝑥1 ) = 7(2 − 𝑥2 ) 14 − 7𝑥1 = 14 − 7𝑥2 14 − 14 − 7𝑥1 = −7𝑥2 −7𝑥1 = −7𝑥2 −7𝑥1 = 𝑥2 −7 𝑥1 = 𝑥2 Ya que aplica la propiedad inyectiva procedemos a sacar la inversa: 𝑓(𝑥)−1 2 − 𝑥 1/5 𝑦=( ) 7 2 − 𝑦 1/5 𝑥=( ) 7 5 5 2 − 𝑦 1/5 𝑥 = (( ) ) 7 2−𝑦 𝑥5 = 7 7𝑥 5 = 2 − 𝑦 7𝑥 5 − 2 = −𝑦 −7𝑥 5 + 2 = 𝑦 𝑦 = −7𝑥 5 + 2 Es decir que: 𝑓(𝑥)−1 = −7𝑥 5 + 2 Problema 4. Determine el rango de la siguiente función 𝑓(𝑥)= 5𝑥−2𝑥+9 y compruebe con Geogebra. 5𝑥 − 2 𝑓(𝑥) = 𝑥+9 Rango: despejamos x (𝑥 + 9)𝑦 = 𝑦𝑥 + 9𝑦 𝑦𝑥 + 9𝑦 = 5𝑥 − 2 𝑦𝑥 + 9𝑦 − 5𝑥 = −2 𝑦𝑥 − 5𝑥 = −2 − 9𝑦 𝑥(𝑦 − 5) = −2 − 9𝑦 −2 − 9𝑦 𝑥= 𝑦−5 𝑦−5≠0 𝑦≠5 Podemos decir que: el Rango 𝑓(𝑥) = 𝐑 − {𝟓} Problema 5. Dadas las funciones 𝑓(𝑥)=3𝑥+25 𝑦 𝑔(𝑥)=2𝑥−3 Determine analíticamente y compruebe con Geogebra a. 𝑓+𝑔 b. 𝑔∗𝑓 c. (𝑓 𝑜 𝑔) d. (𝑔 𝑜 𝑓) a. 𝑓+𝑔 3x + 2 2 + 5 𝑥−3 (3𝑥 + 2)(𝑥 − 3) + 10 5(𝑥 − 3) 3𝑥 2 − 9𝑥 + 2𝑥 − 6 + 10 5𝑥 − 15 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟒 𝒇+𝒈 = 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓 b. 𝑔∗𝑓 2 3x + 2 ∗ 𝑥−3 5 𝟔𝒙 + 𝟒 𝒈∗𝒇= 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓 c. (𝑓 𝑜 𝑔) 3x + 2 5 2 3 (𝑥 − 3) + 2 5 6 𝑥−3+2 5 6 + 2𝑥 − 6 𝑥−3 5 2𝑥 𝑥−3 5 2𝑥 5(𝑥 − 3) 𝟐𝒙 (𝒇𝒐𝒈) = 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓 d. (𝑔 𝑜 𝑓) 2 𝑥−3 2 3𝑥 + 2 −3 5 2 3𝑥 + 2 − 15 5 2 3𝑥 − 13 5 (5)2 (3𝑥 − 13) 𝟏𝟎 (𝒈𝒐𝒇) = 𝟑𝒙 − 𝟏𝟑 Problema 6. El crecimiento de un cultivo de bacteria se determina a partir de la expresión, donde t es el tiempo de reproducción en horas. 𝐵(𝑡)=10𝑒−0.3𝑡 ¿Cuántas horas han trascurrido si la población de bacteria alcanzo 510 bacterias? 510 Bacterias ? Tiempo 510 = 10𝑒 −0.3𝑡 510 = 𝑒 −0.3𝑡 10 51 = 𝑒 −0.3𝑡 ln(51) = ln(𝑒 −0.3𝑡 ) ln(51) = (−0.3t) ln(𝑒) ln(51) = −0.3𝑡 ln(51)10 = − 0.3𝑡(10) ln(51)10 = −3𝑡 ln(51)10 =𝑡 −3 10 ln(51) 𝑡=− 3