1APROXIMACIÓN DE PADÉ Y REPRESENTACIÓN EN MATLAB Sergio Alejandro Cantillo Luna. DESARROLLO CONCEPTUAL Las aproximaciones de Padé son un tipo particular de aproximación en fracciones racionales respecto al valor de una función f(x). La idea es que dicha aproximación coincida con el desarrollo en serie de Taylor de la misma función en la medida de lo posible; esto quiere decir que este método selecciona los parámetros haciendo cumplir que la función y las N primeras derivadas sean iguales en el origen, y adicionalmente que sea una función racional propia, partiendo desde la ecuación general de las aproximaciones racionales: Donde el grado N de una función racional es n + m y el número de parámetros es igual a N+1 Padé hace que: (k ) (k ) f ( 0 )=R ( 0 ) para k=0,1, 2…N la expresión anteriormente descrita quiere decir que: Esto quiere decir que f(x) – R(x) será nulo y con multiplicidad N+1 en x=0. Esta es la condición principal para el cálculo de los coeficientes p j y qj a partir de los coeficientes aj que provienen de la Serie de Mclaurin de la misma función, de aquí se obtiene: Esto se debe a que si se considera un retardo puro T. Para analizar el error cometido por la aproximación de Padé utilizaremos la transformada de Fourier y la identidad de Euler.2 Esto facilitara que al igualar términos del mismo orden sea mucho más simple encontrar los coeficientes de la función en sí. APROXIMACIÓN DE PADÉ EN SISTEMAS DINÁMICOS Trasladando la aproximación de Padé como tal a sistemas dinámicos y la determinación de su respuesta temporal. la aproximación de Padé se reduce al ajuste a una función racional propia de la expansión en serie de una sola función trascendental. que se presenta en sistemas de orden superior (mayores al 2° orden). Padé permite representar el retardo como polos y ceros permitiendo considerar sus efectos al analizar el lugar de la raíz. su transformada de Laplace corresponde a la mencionada anteriormente. donde T es la cantidad de tiempo que se toma el sistema analizado en responder. La representación en modulo y ángulo de un retardo es: . por tal motivo se utiliza esta aproximación cuando existe un retardo. esa transformada no se puede utilizar como función de transferencia debido a que no se trata de una división polinómica. Sin embargo. La aproximación de Padé es válida solo cuando los retardos son pequeños como se puede apreciar en la gráfica 1. la exponencial e -Ts. para ello primero se deben encontrar los coeficientes q j para posteriormente encontrar los coeficientes pj La aproximación de Padé tiene mejores resultados tanto en funciones representadas como series convergentes como en funciones representadas como no convergentes según la serie de Taylor. por este motivo esta aproximación es la más utilizada en el cálculo de ordenadores en especial para temas sensibles como la generación de interpolantes donde las funciones presentan asíntotas (es decir funciones con discontinuidades infinitas conforme vaya tomando valores). 3 Figura 1. Padé se determina cuando son hallados dichos parámetros. se empleará una expresión de orden 1 tanto en numerador como en denominador. y un retraso unitario (T=1).Error en la aproximación de Padé Para ilustrar el proceso y consideraciones anteriormente descritas. se escogerán los coeficientes b0. solo se tienen 3 parámetros. así que no se hace necesario emplear una cantidad mayor. se pueden tener un número infinito de ecuaciones. sin embargo. a1 y a0 de modo que el error sea pequeño por lo explicado anteriormente en la gráfica Para aproximarlo con Padé se expande e-s y la función racional en series de Mclaurin y por el método de coeficientes resolver de la siguiente manera: Como se puede apreciar por la definición de serie. al tratarse de un sistema de 1° orden se obtiene lo siguiente: . utiliza 2 comandos de trabajo. REPRESENTACIÓN DE LA APROXIMACIÓN DE PADÉ EN MATLAB Matlab para representar las aproximaciones de Padé.Aproximación de Padé (2° Orden) Como se puede apreciar. el cual es mucho más aproximado a lo esperado: Figura 3. el primer comando directo es la expresión de función de transferencia es decir el comando “tf” el cual al insertar en su tercer parámetro ‘inputdelay’ y en el siguiente parámetro una cantidad numérica realizara el retraso de dicha función en esa cantidad. que al hallarlos se obtendría la aproximación de Padé para este orden de sistema. el resultado adquiere exactitud. de la siguiente manera: . un dato no menor. pero también incrementa su complejidad como se puede apreciar en su expresión general. se tendrían 5 parámetros o coeficientes diferentes. al aumentar el orden a la aproximación de Padé. al ingresarlo con la función de transferencia de la planta. la planta incrementará su orden.Aproximación de Padé (1° Orden) Si suponemos este mismo ejemplo para un sistema de 2° orden.4 Figura 2. pero también al tener un número mayor de oscilaciones hace más difícil su control en comparación: . para apreciar las ‘n’ aproximaciones en forma racional. se incrementa su similitud a la función de transferencia sin la aproximación. y en el siguiente parámetro se coloca el orden de la aproximación de Padé que se desea trabajar. que se llama “pade” donde en su primer parámetro recibe la función de transferencia con el respectivo retraso como se realizó con el comando anterior. como se expresa en la siguiente figura Luego al aplicar la instrucción “step” o respuesta al escalón a las 4 primeras aproximaciones. se emplea el segundo comando.5 Posteriormente. se puede evidenciar que al incrementar el orden de la aproximación de Padé. así como la función de transferencia retrasada aun no racionalmente. es posible emular sistemas de orden superior mediante retrasos. Víctor M. Dormido Bencomo.Universidad de la Republica.ac. R. [3] K. [En línea]. BIBLIOGRAFIA [1]"Dinámica y Control de Procesos . y dichos sistemas comportarse como sistemas de primer o segundo orden según se requiera. Available: http://revistas. Disponible en: https://www.edu.6 Esto quiere decir que. 2003. Dormido Canto and S. S. [Fecha de Acceso: 7 de agosto de 2016].fing. si se conoce el tiempo que toma el elemento de orden N en reaccionar. Ingeniería de control moderna. [2] A.cr/index. Madrid: Prentice Hall.pdf. [Fecha de Acceso: agosto 6 de 2016]. . Facultad de Ingeniería .ucr.uy/iq/cursos/dcp/teorico/8_FUNCION_DE_TRANSFEREN CIA_ORDENES_MAYORES. 2003.php/ingenieria/article/viewFile/619/680. Ogata. Revistas Universidad de Costa Rica.Aproximación de Padé para el tiempo muerto". 2016. "NUEVAS APROXIMACIONES DEL TIEMPO MUERTO PARA ESTUDIOS DE CONTROL". Dormido Canto. [En línea].