TALLER PROGRAMACIÓN LINEAL II-2014ESTUDIANTES: PABLO ANDRÉS GALVIS ACEVEDO C.C.: 1.052.395.359 DANIEL ALEXANDER GÓMEZ MEDINA C.C.: 1.052.395.360 TUTOR DE CURSO CESAR AUGUSTO FIGUEREDO GARZÓN ECACEN - PROGRAMA: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS ECBTI - PROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL 100101- PROGRAMACIÓN LINEAL CEAD: DUITAMA - BOYACÁ SEPTIEMBRE DE 2014 TALLER PROGRAMACIO N LINEAL II-2014 Problema 1: Una compañía de transporte dispone de 10 camiones con capacidad de 40000 libras y de 5 camiones con capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un coste de transporte de 30 céntimos/milla, y los pequeños de 25 céntimos/milla. En una semana la compañía debe transportar 400000 libras en un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que debe movilizarse para ese transporte de forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones? Cuadro de Resumen: Camiones Cantidad Capacidad libras Coste en céntimos/milla A1 10 40000 30 A2 5 30000 25 Función: Max Z = 30 x 800 A1 + 25 x 800 A2 Restricciones del Problema: 40000 A1 + 30000 A2 ≥ 400000 A1 ≤ 10 A2 ≤ 5 2 A2 ≤ 1 A1 Restricción Natural: A1 , A2 ≥ 0 Problema 2: Se pide que formules el siguiente problema de programación lineal: Tienes 2200 euros disponibles para invertirlos durante los próximos cinco años. Al inicio de cada año puedes invertir parte del dinero en depósitos a un año o a dos años. Los depósitos a un año pagan un interés del 5 %, mientras que los depósitos a dos años pagan un 11% al final de los dos años. Además, al inicio del segundo año es posible invertir dinero en obligaciones a tres años de la empresa X., que tienen un rendimiento (total) del 17 %. Plantea el problema lineal correspondiente a conseguir que al cabo de los cinco años tu capital sea lo mayor posible. Cuadro de Resumen: Depósitos No. de Años en inversión Intereses D0 0 0 D1 1 5% → 0.05 D2 2 11% → 0.11 D3 3 17% → 0.17 Denotamos los años de inversión con i: 1, 2, 3, 4, 5 Denotamos los depósitos con j: 0, 1, 2, 3 Entonces: Dij Función: Max D60 Restricciones del Problema: 2200 = D10 + D11 + D12 D10 + 1,05 D11 = D20 + D21 + D22 + D23 D20 + 1,05 D21 + 1,11 D12 = D30 + D31 + D32 D30 + 1,05 D31 + 1,11 D22 = D40 + D41 + D42 D40 + 1,05 D41 + 1,11 D32 + 1,17 D23 = D50 + D51 D50 + 1,05 D51 + 1,11 D42 = D60 Restricción Natural: Dij ≥ 0 i: 1, 2, 3, 4, 5 j: 0, 1, 2, 3 Problema 3: Una compañía quiere construir un gran dique en un área lejana. Para su construcción necesita mezclar el hormigón en el lugar de construcción del dique, pero dicho hormigón se tiene que producir en cuatro lugares lejanos al del dique. El hormigón se produce a partir de la mezcla de distintos materiales (grava, arena, etc.). La siguiente tabla muestra las cantidades máximas disponibles para cada material y los costes de transporte de cada origen de producción del material al área del dique. Tipo de material Cantidad disponible (m3) Coste de transporte (e/m3) A 8000 5,2 B 16000 7,5 B 9000 3,9 D 6000 5,1 Para la construcción del dique se requieren 2 tipos de hormigón que se producirán con distintas mezclas de los cuatro materiales. A continuación se muestran los requisitos de las 2 mezclas: Mezcla 1: como mucho puede contener un 50% de ingredientes de A y B a la vez; al menos tiene que contener un 10% de ingredientes de C; Los ingredientes de A, B, C y D deben suponer al menos el 98% de la mezcla. Mezcla 2: el ingrediente A debe estar presente en al menos el 20% de la mezcla; C y D deben suponer al menos la mitad de A y B; Los ingredientes de A, B, C y D deben suponer al menos el 99% de la mezcla. La siguiente tabla muestra los costes de cada mezcla y las cantidades mínimas requeridas. Tipo de hormigón Coste de la mezcla (e/m3) Cantidad mínima necesitada (m3) Mezcla 1 5.7 9000 Mezcla 2 6.3 15000 El objetivo de la compañía es producir la cantidad necesaria de hormigón con el menor coste posible. Formular, pero no resolver, un problema de programación lineal apropiado para que la compañía tome una decisión. Explicar claramente el significado de cada variable que introduzcas en la formulación. Resumen: Denotamos cantidad de materia usada con la mezcla con: M Denotamos el tipo de material con: A, B, C, D Denotamos la cantidad de hormigón producido por la mezcla: E Denotamos el tipo de mezcla con: 1, 2 Función: Min Z = 5,2 (MA1+MA2) + 7,5 (MB1+MB2) + 3,9 (MC1+MC2) + 5,1 (MD1+MD2) + 5,7 E1 + 6,3 E2 Restricciones del Problema: MA1 + MA2 ≤ 8000 MB1 + MB2 ≤ 16000 MC1 + MC2 ≤ 9000 MD1 + MD2 ≤ 6000 E1 ≥ 9000 E2 ≥ 15000 MA1 + MB1 ≤ 0,5 E1 MC1 ≥ 0,1 E1 MA1 + MB1 + MC1 + MD1 ≥ 0,98 E1 MA2 ≥ 0,2 E2 MC2 + MD2 ≥ 0,5 ( MA2 + MB2 ) MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ≥ 0,99 E2 Restricción Natural: A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, F1, F2 ≥ 0 Problema 4: Una factoría fabrica dos tipos de productos, A y B. Para su elaboración se requieren dos máquinas, M1 y M2. El artículo A necesita 2 horas de trabajo de la máquina M1 y 1.5 horas de la maquina M2. El artículo B, 1.5 horas, y 1 hora, respectivamente. Cada máquina está funcionando, a lo sumo, 40 horas semanales. Por cada unidad del artículo A se obtiene un beneficio de 250e, mientras que por cada unidad del artículo B es de 150e. ¿Cuántas unidades de A y cuántas de B deben fabricarse semanalmente para obtener un beneficio máximo? Cuadro de Resumen: Productos Maquina 1 Maquina 2 Beneficio A 2 h 1,5 h 30 € B 1,5 h 1 h 25 € Función: Max Z = 250 A + 150 B Restricciones del Problema: 2 A + 1,5 B ≤ 40 1,5 A + B ≤ 40 Restricción Natural: A , B ≥ 0 Problema 5: La producción anual de una fábrica de cemento es de dos millones y medio de contenedores. La fábrica dispone de colectores mecánicos para controlar la contaminación del aire pero, pese a ello, por la fabricación de cada contenedor se emiten dos unidades de contaminación al aire. Por esta razón, se propone a la industria que remplace sus colectores por precipitadores electrostáticos, que pueden ser de dos tipos; el tipo A reduce la emisión de partículas contaminantes a la cuarta parte, y el tipo B a la décima parte. Los costes asociados al funcionamiento de los precipitadores son de 0.14e por contenedor, para el tipo A y de 0.18e por contenedor para el tipo B. Si la contaminación debe reducirse en 4200000 unidades, ¿Cuántos contenedores de cemento deben seguir tratamiento anti-contaminante en cada tipo de precipitador para que el coste de la operación sea el menor posible? Cuadro de Resumen: Precipitadores Tipo Reducción Coste e A 0,14 B 0,14 Función: Min Z = 0,14 A + 0.18 B Restricciones del Problema: A + B ≤ 2500000 B ≤ 4200000 Restricción Natural: A , B ≥ 0 Problema 6: A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir más de 100 g de A Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 calorías, utilizando el método SIMPLEX: a) ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas? b) ¿Y el más pobre en calorías? Cuadro de Resumen: Productos Vitaminas en 100g Calorías en 100g A 30 mg → 0.3g 450 Calorías B 20 mg → 0.2g 150 Calorías Función: a) Max Z = 0.3 A + 0.2 B b) Min Z = 450 A + 150 B Restricciones del Problema: 50 ≤ ( A + B ) ≤ 150 A ≥ B A ≤ 100 Restricción Natural: A , B ≥ 0 Problema 7: La compañía Minas Universal opera tres minas en Puerto Ordaz, el mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus costos diarios de operación son los siguientes: Mineral de Grado alto ton/día Mineral de grado bajo Ton/día Costo de operación miles/día Mina I 4 4 20 Mina II 6 4 22 Mina III 1 6 18 La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos que garantizan a los trabajadores de ambas minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Utilizando el método SIMPLEX, determínar el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo. Resumen: Denotamos a las minas con: A, B, C Denotamos a mineral de grado alto con: 1 Denotamos a mineral de grado alto con: 2 Función: Min Z = 20 A + 22 B + 18 C Restricciones del Problema: 4A1 + 6B1 + C1 = 54 4A2 + 4B2 + 6C2 = 65 A ≤ 7 B ≤ 7 C ≤ 7 Restricción Natural: A, B, C ≥ 0 Problema 8: Una Empresa metalmecánica, puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en cualquier combinación. La producción da cada producto requiere emplear las cuatro máquinas. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la tabla anexa Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por kilogramo, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material para cada kilogramo de producto A es de $3. El costo de material es de $1 para cada kilogramo de los productos B, C y D. Aplicando el método SOLVER de Excel, la máxima utilidad que puede obtener la empresa. Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto) Producto Máquina Demanda 1 2 3 4 Máxima A 10 5 3 6 100 B 6 3 8 4 400 C 5 4 3 3 500 D 2 4 2 1 150 Resumen: 8A – 3A – 3A = 2A 6B – 1B – 3B = 2B 5C – 1C – 1C = 3C 4D – 1D – 1D = 2D Función: Min Z = 2 A + 2 B + 3 C + 2 D Restricciones del Problema: 10A1 + 6B1 + 5C1 + 2D1 ≤ 4800 10A1 + 6B1 + 5C1 + 2D1 ≤ 4800 10A1 + 6B1 + 5C1 + 2D1 ≤ 4800 10A1 + 6B1 + 5C1 + 2D1 ≤ 4800 A ≤ 100 B ≤ 400 C ≤ 500 D ≤ 150 Restricción Natural: A, B, C, D ≥ 0 Problema 9: Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 kgs de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kgs de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía. Tabla 1: Datos referentes al problema: Tubo tipo Precio de Venta ($/metro) Demanda (metros) Tiempo de Máquina (min/metro) Material para soldar (kg/metro) Costo de Producción ($/metro) Costo de compra a Japón ($/metro) A 10 2,000 0.50 1 3 6 B 12 4,000 0.45 1 4 6 C 9 5,000 0.60 1 4 7 A. Formule el modelo de PL B. Desarrollar el modelo Matemático y resuélvalo Función: Max Z = 7 A + 8 B + 5 C Min Z = 4 A + 6 B + 2 C Restricciones del Problema: 0,5 A + 0,45 B + 0,6 C ≤ 2400 A ≤ 2000 A ≤ 4000 A ≤ 5000 A + B + C ≤ 5500 Restricción Natural: A, B, C ≥ 0 Problema 10: La empresa PARMALAT tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla: LECHE MANTEQUILLA QUESO DESCREMADA MAQUINA #1 (min/galón) 0,2 0,5 1,5 MAQUINA #2 (min/galón) 0,3 0,7 1.2 GANANCIA NETA (US$/Galon) 0,22 0,38 0,72 Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como Gerente del Departamento de Administración, utilizando el programa WINQSB, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso. Resumen: Denotamos a los productos con: A, B, C Denotamos las maquinas con: 1, 2 Función: Max Z = 0,22 A + 0,38 B + 0,72 C Restricciones del Problema: 0,2 A + 0,5 B + 1,5 C ≤ 480 0,3 A + 0,7 B + 1,2 C ≤ 480 A ≥ 300 B ≥ 200 C ≥ 100 Restricción Natural: A, B, C ≥ 0