Investigación de Operaciones IITeoría de Colas ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Universidad del Magdalena Ingeniería Industrial Investigación de Operaciones II Teoría de Colas ____________________________________________________________ 1. para i= 1.368 b) Suponga que no llegan más clientes antes de 1:00 pm. Tenemos que λ2=2 λ 1 . iii) después de 2:00pm? Tenemos que. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra la siguiente llegada i) antes de 1:00 pm. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada tenga lugar entre 1:00 pm y 2:00 pm? −1 2 P (llegada entre 1:00 pm y 2: 00 pm )=1−e =0. a las 12:00 del día acaba de llegar un cliente.393 ____________________________________________________________ Universidad del Magdalena Ingeniería Industrial . Sea Wi el tiempo esperado de espera en el sistema en estado estable para Qi. distribución de tiempos entre llegadas exponencial con media de 2 horas y distribución de tiempo de servicio exponencial con media de 2 horas para cada servidor. μ2=2 μ1 . Determine W2/W1.393 −1 ∗2 2 −1 2 )−( 1−e )=0. ahora. la tasa media de servicio por servidor ocupado y el numero esperado de clientes en estado estable para Q 2 son el doble de los valores correspondientes a Q1. Un sistema de colas tiene dos servidores. lo que es más. ii) entre 1:00 pm y 2:00 pm. la tasa media de llegada de los clientes. { } 1 1 para n=1 λn = para n> 0 y μn = 2 2 1 para n ≥2 −1 P (la siguiente llegada antes de 1: 00 pm )=1−e 2 =0. L2=2 L1 L2 W 2 λ2 = =1 W 1 L1 λ1 2.239 P (llegada entre 1:00 pm−2 : 00 pm )=(1−e P (llegada despues de 2 :00 pm )=1−e −2∗1 2 =0. Se tienen dos sistemas de colas Q 1 y Q2. 2. i) antes de 2:00 pm.Investigación de Operaciones II Teoría de Colas ____________________________________________________________ c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llegadas entre 1:00 pm y 2:00 pm sea i)0 ii)1 iii)2 o más? ( λt )0 e− λt −1 P ( 0llegadas entre 1: 00 pm y 2 :00 pm )= =e 2 =0.983 3. ii) antes de la 1:10 pm. iii) antes de la 1:01 pm? P ( servicio completado antes de 2 :00 pm )=e−1=0. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de trabajos que llegan en ese tiempo es i)0. iii)5 o más? Tenemos que: n −2 2 e ( ) λ=2 para n> 0→ P nllegadas en 1hora = n! P ( 0trabajos que llegan en 1hora )=e−2=0.270 2! 4 P (5 o masllegadas en1 hora )=1−∑ P ( n llegadas en 1 hora ) n=0 ____________________________________________________________ Universidad del Magdalena Ingeniería Industrial . Suponga que la maquina se descompone y su reparación tarda 1 hora.368 −1 P ( servicio completado antes de 1 :10 pm )=e −1 P ( servicio completado antes 1 :01 pm )=e (16 ) =0.303 1! 2 −1 −1 1 P (2 o mas llegadas entre 1:00 pm y 2: 00 pm )=1−e 2 − ∗e 2 =0.135 2 −2 2 e ( ) P 2 trabajos que llegan en1 hora = =2e−2=0. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente haya completado su servicio. Los trabajos que deben realizarse en una maquina especifica llegan según un proceso de Poisson con tasa media de 2 por hora.090 2 d) Si ambos servidores están ocupados a la 1:00 pm.607 0! P (1 llegada entre 1 : 00 pm y 2 : 00 pm ) = ( λt )1 e−λt 1 −1 = ∗e 2 =0.846 ( 601 )=0. ii)2. 5. Determine el aumento esperado en el pago del mecánico si usa esta herramienta especial. Tenemos que: pago=$ 100 . A partir de lo dicho. la distribución exponencial de T se satisface con media 0. ____________________________________________________________ Universidad del Magdalena Ingeniería Industrial .773 Aumento= pago espcial− pago normal=20 ¿ 5. Así.5/2= 0. se producen en el sistema una cola de dos servidores después de la primera realización.25. La primera terminación ocurre en t=1. de otra manera se le paga $80. Se observa el arranque del sistema con los 3 servidores que inician el servicio en tiempo t=0.T 3 ) <t) T= cantidad de tiempo después del 1 y antes de la próxima finalización del servicio. Dada esta información. una herramienta especial reduciría esta media a 2 horas. El tiempo requerido de un mecánico para reparar una maquina tiene una distribución exponencial con media de 4 horas. determine el tiempo esperado después de t=1 hasta que ocurra la siguiente terminación de servicio. Un sistema de colas de tres servidores tiene un proceso de llegadas controlado que proporciona clientes a tiempo para mantener ocupados continuamente los 3 servidores. P ( T < 2 )+ $ 80 .0527 4. P ( T >2 ) =100−20 P ( T >2 ) P (Tnormal >2 )=e −1 ∗2 4 P (Tespecial> 2 )=e −1 2 =e =0. P (T <t )=P(min ( T 2 . sin embargo. Si el mecánico repara la maquina antes de dos horas el pago es de $100.Investigación de Operaciones II Teoría de Colas ____________________________________________________________ ¿ 1−e−2−2 e−2−2 e−2− ( 43 ) e −( 23 ) e −2 −2 ¿ 1−7 e−2=0. Los tiempos de servicio tiene una distribución exponencial con media de 0.607 −1 ∗2 2 =e−1=¿ P (Tnormal >2 )−P ( tespecial>2 )=20 ( e −1 2 −1 ) −e =4. el tiempo de procesado de cada trabajo tiene una distribución exponencial con media de ¼ día. con esta propuesta. μ=4 . los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial.C=1 .T 2 . 15. a) Calcule sus respuestas con las formulas disponibles. Tenemos: λ=2.5 ____________________________________________________________ Universidad del Magdalena Ingeniería Industrial . ¿Qué proporción de tiempo será adecuado el espacio junto a torno para los trabajos que esperan? W.Investigación de Operaciones II Teoría de Colas ____________________________________________________________ 6. el gerente de producción propone agregar espacio para 3 trabajos en proceso además del que está en el torno (el resto seguirá almacenándose). Como los trabajos son grandes sino están en proceso se guardan en un almacén a cierta distancia. Cada servidor ha estado ocupado con el cliente actual durante 5 minutos.10 minutos. ρ= 1 2 parala cola M / M /1→ P0=1− λ n y Pn =(1− ρ) ρ μ 2 1 P0=1− = 4 2 P0=0. La compañía 4M tiene un torno como pieza central de trabajo de la planta. Tenemos que: U=min ( T 1 . T 2 exp ( 151 ). Pero para ahorrar tiempo al traerlos.T 3 ) T 1 exp U exp ( 201 ) . Un sistema de colas tiene 3 servidores con tiempos de servicios esperados de 20. T 3 exp ( 101 ) ( 201 + 151 + 101 )=exp ( 1360 ) por lo tanto se esperaque eltiempo de espera sea= 60 8 =4 minutos 13 13 7. Los trabajos llegan según el proceso de poisson con tasa media de 2/día. determine el tiempo esperado que falta para la siguiente terminación del servicio. Los trabajos llegan de acuerdo con un proceso Poisson con tasa media de 3 por hora.0625 P4 =0. C=1. μ=4 .03125 4 =0.2.Investigación de Operaciones II Teoría de Colas ____________________________________________________________ P1=0. sugerencia: la suma de una serie geométrica. ____________________________________________________________ Universidad del Magdalena Ingeniería Industrial . q2=90 . la proporción de tiempo que esto sería suficiente es n+1 ∑ Pi i=0 Por lo tanto queremos encontrar λl tal que n+1 ∑ Pi ≥ ql para l=1. ρ= 3 4 El sistema sin la restricción de almacenamiento es una cola M/M/1. q3=99 i=0 Ahora.25 hora.12 5 P3=0. si el espacio de pies cuadrados n estaban disponibles para la espera. ¿Cuánto espacio se debe proporcionar para acomodar todos los trabajos a) 50%. b)90%. y el tiempo requerido para realizar el proceso necesario para realizar el proceso tiene una distribución exponencial con media de 0. Cuando los trabajos que esperan requieren más espacio del almacén asignado.968 ≈ 97 ∑ pi= 31 32 i=0 8. Si cada trabajo requiere un pie cuadrado de suelo en el almacén del centro de trabajo. Es necesario determinar cuánto espacio de almacén para material en proceso conviene asignar a un centro de trabajo para una nueva fábrica.25 P2=0. el exceso va a un almacén temporal en un lugar menos conveniente. c)99% del tiempo? Derive una expresión analítica para responder a estas tres preguntas.3 cuando q 1=50 . Datos: λ=3 . 008 1 7 15 ____________________________________________________________ Universidad del Magdalena Ingeniería Industrial .50 0.40 6.90 0.99 0.Investigación de Operaciones II Teoría de Colas ____________________________________________________________ n+1 n+1 ( 1−ρn +2 ) i ∑ Pi ≥ ql ↔ ∑ ( 1−ρ ) ρ ≥q l ↔ ( 1−ρ ) i=0 i=0 ( 1−ρ ) ≥ ql ( 1− ρn+2 ) ≥ ql ↔ ρn +2 ≤ 1−q l ↔ ( n+2 ) ln ρ ≤ ln ( 1−q l ) ( nl +2 ) ≥ ln ( 1−q l ) ln ( 1−q l ) ↔ nl ≥ −2 ln ρ ln ρ parte ql ln ( 1−q l ) −2 ln ρ Espacio de piso requerido A B C 0.004 14.