Taller geometría básicaDecember 27, 2015 Conceptos básicos 1. Para los siguientes enunciados diga si es falso o es verdadero. Si es verdadero demuéstrelo, si es falso de un contraejemplo. (a) Los ángulos opuestos NO pueden ser complementarios. (b) La mediana es la recta que corta de forma perpendicular al punto medio de un segmento. (c) La altura de un triángulo es un segmento interior del triángulo. (d) Si se construye un ángulo de medida igual al doble de la medida de un ángulo agudo, este ángulo debe ser obtuso. (e) Si dos ángulos son congruentes, ellos tienen que ser opuestos por el vértice. (f) Si dos rectas no se cortan en el espacio, ellas son paralelas. (g) Si dos figuras son congruentes ellas son iguales. (h) Si A-C-B y A-D-C entonces C-D-B. (i) Dos segmentos perpendiculares NO pueden ser congruentes. (j) Si AC = CB entonces C es punto medio de AB. (k) Si AB+AC=BC entonces A-B-C. (l) Todo ángulo es una figura convexa. (m) La unión de figuras convexas es convexa. Segmentos 2. En una recta real ubique los puntos A=-2, B=-3, C=1, N=2, M=3 y P=-5. Luego halle las siguientes medidas de longitud: (a) NP (b) AC (c) BM 1 B. 5. B=-3. Para los siguientes enunciados diga si es falso o es verdadero. B y O en ese orden. ¿Cuántos puntos de la recta están a una distancia m del punto P? 7. y si BC = 9. La coordenada de B que es el punto medio de AC es 5. ¿Cuáles son las coordenadas de A y C? 6. Si P es un punto de una recta y m un entero positivo. M=3 y P=-5. y a y b números reales positivos tales que m(AC) = m(CB) . (b) Si A. Si la coordenada de A es mayor que la coordenada de C. B.(d) m(BC ∪ CM ) (e) m(M B − CN ) (f) m(CP − BC) 3. En una recta real ubique los puntos A=-2. Si tres puntos no son colineales. Dados cuatro puntos colineales A. C y D en ese orden. si es falso de un contraejemplo. Demostrar que la medida del segmento que une los puntos medios de AB y CD es igual a la semisuma de la medida de los segmentos AC y BD. Luego halle los puntos medios de los siguientes segmentos: (a) PM (b) CM (c) AP 4. D. (a) Si A. B. N=2. entonces AC = BD = CE = DF . ¿Cuántas rectas determinan? 9. Demostrar que: a b m(OC) = b m(OA) + a m(OB) a+b 11. encuentre la ubicación de A. Si es verdadero demuéstrelo. 2 . D. Si el punto medio de AB está ubicado en -2 y B está ubicado en 4. Dados cuatro puntos colineales A. C. Si n puntos no son colineales. Y F son puntos distintos de una recta tales que AB = BC = CD = DE. entonces AF es divisible por 5. ¿Cuántas rectas determinan? 10. C=1. 8. C. E y F son puntos distintos de una recta tales que AB = BC = CD = DE = EF . C. Sean las semirrectas OA opuesta aOB. entonces la medida del ángulo es 100o . ←→ 20. diferencia es 36 . La bisectriz del ángulo AOB ←→ d d perpendicular a XY y las bisectrices de los ángulos XOA y BOY forman un ángulo d AOB d y BOY d . d y BE es una semirecta en el interior del ángulo 13. OZ es la bisectriz del ángulo XOY (a) Calcular el ángulo que forma OZ con OB. OC opuesta a OD y OE opuesta a OF . si el ángulo interno del triángulo que comparte un segmento de recta con el ángulo exterior pero no es el que forma par lineal con él tiene una medida y. BOC d y COE. 18. OK bisectriz del ángulo total AOC. d del ángulo BOK. En un triángulo 4ABC se traza la bisectriz CD con A-D-B. si es falso de un contraejemplo. El ángulo exterior de un triángulo tiene medida x = 120o . Si cuatro veces la medida de un ángulo es igual a cinco veces la medida de su suplemento. 19.con d . si m(DOF d ) = 85o = m(AOE). d Demostrar que OZ es bisectriz (b) Si además. AC ∼ = A0 C 0 y 0 0 0 0 ∼ BF = B F donde BF y B F son medianas relativas a cada uno de los triángulos. Si BD es bisectriz del ángulo ABC d d d = 2 m(EBD). hallar el valor de y. probar que: m(EBC) − m(EBA) d y BOC d cuya 14. Demostrar que 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 . Si OX y OY son las bisectrices de los ángulos agudos consecutivos AOB o d . ←→ 15. demostrar que 4ABC es isósceles. d OD en el interior del ángulo AOF Determinar la d BOF d . Demostrar que DR = CR. Si P M ∼ = P N y AP ∼ = P C. se trazan las semirrectas −→ −−→ ←→ d es OA y OB en mismo semiplano respecto a XY . Hallar las medidas de los ángulos XOA. Sea P un punto en el interior de 4ABC tal que la recta AP corta a BC en M y la ←→ recta CP corta a AB en N. luego se traza DR||BC con A-R-C. Si es verdadero demuéstrelo. Para los triángulos 4ABC y 4A0 B 0 C 0 se tiene que BC ∼ = B 0 C 0 . de 100o . d medida de los ángulos AOD. Por un punto O de una recta XY . tal que O está entre X e Y. 3 . Triángulos 17. Para el siguiente enunciado diga si es falso o es verdadero.Ángulos 12. d DBC. −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 16. que: AB > BC. Si se unen A y B con el punto medio dB es recto.21. E. D. Si AB ∼ = AD. N. Las soluciones de todos estos problemas y algunos problemas más las pueden encontrar en el curso de Ejercicios resueltos de Geometría básica que se encuentra disponible en www. Demostrar que si dos ángulos opuestos de un cuadrilátero son rectos. 26. M de CD.com. con A y D en el mismo lado con respecto a la recta BC y de manera que BD Y CA se cortan en O. entonces las bisectrices de los ángulos no rectos son paralelas. En el triángulo 4ABC. d BC ∼ = DE. Con un segmento BC como lado común. Si A-D-C y AB < AD b < m(A). AH = 13 y MC = 8.tareasplus. d > m(AEC). Demuestre que P. Demostrar que. Desigualdades 22. pruebe que AM 29. 25. 4DOC ∼ = 4AOB y que 4BOC es isósceles. M es punto medio de AB y N es punto medio de CD. ABCD es un paralelogramo en el cual se tiene D-M-C y DH bisectriz de D Si AB = 14. m(ACB) Polígonos b con A-H-M. en ese orden y A 6∈ BC. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un paralelogramo forman un rectángulo. DH perpendicular a AB y CI perpendicular a AB. 4 . las diagonales se cortan en O. b entonces m(C) 24. hallar HM. O y M son colineales. b m(DCB) d > m(A) b y AC>CD. ABCD es un trapecio isósceles con AD ∼ = BC. Demuestre d > m(A). Consideremos un triángulo isósceles 4ABC de base AB. demostrar que m(ACE) 23. Sea ABCD un paralelogramo tal que CD=2AD. 27. C. BC =16. los lados no paralelos se cortan en P. Dados cuatro puntos colineales B. se trazan dos triángulos congruentes 4BAC ←→ y 4BDC. D está entre A y B de tal manera que BC ∼ = DB. 28.