TALLER 01-U2Movimiento Ondulatorio Integrantes: Romero Amonez, Sebastian Guillermo Figueroa Laura, Alexis Valentin Ordoñez Ramos, Flavio Resuelva de manera correcta los siguientes ejercicios: 6 1. En t=0, se describe un pulso transversal en un alambre mediante la función 𝑌 = donde “x” y “y” 𝑥 2 +3 están en metros. Encuentre la función de onda y(x,t) que describa este pulso si viaja en la dirección X positiva con una rapidez de 4.50 m/s. SOLUCIÓN: 6 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +3 ∆𝑥 = 𝑣𝑡 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣𝑡 −𝑥0 = 𝑣𝑡 − 𝑥 𝑥0 = 𝑥 − 𝑣𝑡 6 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) = (𝑥 − 𝑣𝑡)2 + 3 6 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) = 𝑥2 − 2𝑣𝑡𝑥 + 𝑣 2 𝑡 2 + 3 𝑡=0 6 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑥2 − 2𝑣(0)𝑥 + 𝑣 2 (0)2 + 3 6 ∴ 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑥2 +3 2. Una estación sismográfica recibe ondas S y P de un terremoto, separadas 17.3 s. Suponga que las ondas viajaron sobre la misma trayectoria con magnitudes de velocidad de 4.50 km/s y 7.80 km/s respectivamente. Encuentre la distancia desde el sismógrafo al hipocentro del terremoto. SOLUCIÓN: 𝑑 = 𝑣𝑡 𝑂𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑆 → 𝑑1 = 4.50(𝑡) 𝑂𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑃 → 𝑑2 = 7.80(𝑡 − 17.3) 𝑑1 = 𝑑2 4.50(𝑡) = 7.80(𝑡 − 17.3) 4.50(𝑡) = 7.80(𝑡) − 134.94 134.94 = 3.30(𝑡) 𝑡 = 40.89 𝑠 𝑑1 = 4.50(𝑡) 𝑑1 = 4.50(40.89) ∴ 𝑑1 = 184 𝑘𝑚 3. La función de onda para una onda progresiva en una cuerda tensa es (en unidades SI) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑥 (0.350𝑚)𝑠𝑒𝑛 (10𝜋𝑡 − 3𝜋 + ). Determine: A) La rapidez y dirección del viaje de la onda. B) La 4 posición vertical de un elemento de la cuerda en t=0, x=0.100 m. C) La longitud de onda y frecuencia de la onda y D) La máxima rapidez transversal de un elemento de la cuerda. SOLUCIÓN: 𝑥 𝑦(𝑥, 𝑡) = (0.350)𝑠𝑒𝑛 (10𝜋𝑡 − 3𝜋 + ) 4 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦0 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 ± 𝑤𝑡 + ∅) 𝑥 𝑦(𝑥, 𝑡) = (0.350)𝑠𝑒𝑛 ( + 10𝜋𝑡 − 3𝜋) 4 𝑦0 = 0.350 1 𝑘= 4 𝑤 = 10𝜋 ∅ = −3𝜋 a) 𝑣 = 𝜆𝑓 𝑣 = 8𝜋(5) 𝑣 = 25.133(5) ∴ 𝑣 = 125.665 𝑚⁄𝑠 b) 𝑡 = 0, 𝑥 = 0.1𝑚 𝑦(0.1,0) = 𝑦0 𝑠𝑒𝑛(𝑘(0.1) ± 𝑤(0) + ∅) 0.1 𝑦(0.1,0) = 0.350𝑠𝑒𝑛 ( − 3𝜋) 4 ∴ 𝑦(0.1,0) = −0.057𝑚 c) 2𝜋 𝑘= 𝜆 2𝜋 𝜆= 𝑘 2𝜋 𝜆= 1 4 𝜆 = 8𝜋 ∴ 𝜆 = 25.133𝑚 𝑤 = 2𝜋𝑓 𝑤 𝑓= 2𝜋 10𝜋 𝑓= 2𝜋 ∴ 𝑓 = 5 𝐻𝑧 d) 𝑥 𝑉𝑚á𝑥 = 𝑦0 𝑤𝑐𝑜𝑠 ( + 10𝜋𝑡 − 3𝜋) 4 𝑉𝑚á𝑥 = (0.350)(10𝜋) ∴ 𝑉𝑚á𝑥 = 3.5𝜋 𝑚⁄𝑠 4. Una onda sinusoidal viaja a lo largo de una soga. El oscilador que genera la onda, completa 40.0 vibraciones en 30.0 s. Además, dado un máximo viaja 425 cm. a lo largo de la soga en 10.0 s. ¿Cuál es la longitud de onda de la onda? SOLUCIÓN: # 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑓= 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 40 𝑓= 30 4 𝑓 = 𝐻𝑧 3 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎 = 𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑡 425(10−2 ) = 𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎 (10.0) 𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎 = 0.425 𝑚⁄𝑠 𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎 = 𝜆𝑓 4 0.425 = 𝜆 3 3 𝜆= (0.425) 4 ∴ 𝜆 = 0.319 𝑚 5. Para cierta onda transversal, la distancia entre dos crestas sucesivas es 1.20 m. y ocho crestas pasan un punto determinado a lo largo de la dirección de viaje cada 12.0 s. Calcule la rapidez de la onda. SOLUCIÓN: 𝜆 𝑣= 𝑇 # 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 = 8 8𝜆 𝑣= 𝑇 8(1.2) 𝑣= 12 ∴ 𝑣 = 0.8 𝑚⁄𝑠 6. Cuando un alambre particular vibra con una frecuencia de 4.00 Hz, se produce una onda transversal con longitud de onda de 60.0 cm. Determine la rapidez de las ondas a lo largo del alambre. SOLUCIÓN: 𝑣 = 𝜆𝑓 𝑣 = 60(10−2 )(4) ∴ 𝑣 = 2.4 𝑚⁄𝑠 7. Una onda sinusoidal se describe mediante la función de onda 𝑦 = (0.25𝑐𝑚)𝑠𝑒𝑛(0.30𝑥 − 40𝑡), donde “x” y “y” están en metros y “t” en segundos; determine: A) La amplitud, B) La frecuencia angular, C) El número de onda angular, D) La longitud de onda, E) La rapidez de la onda y F) La dirección de movimiento. SOLUCIÓN: 𝑦 = (0.25𝑐𝑚)𝑠𝑒𝑛(0.30𝑥 − 40𝑡) a) 𝐴 = 0.25(10−2 ) = 0.0025 𝑚 b) 𝑤 = 40 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 c) 𝑘 = 0.3 𝑟𝑎𝑑⁄𝑚 𝑣 133.333 133.333 d) 𝜆 = 𝑓 = 𝑤 = 6.366 = 20.94 𝑚 2𝜋 𝑤 40 e) 𝑣 = = = 133.333 𝑚⁄𝑠 𝑘 0.3 f) Hacia la derecha al 𝑥 + 8. A) Escriba la expresión de la función de onda, en función de “x” y “t” para una onda sinusoidal que viaja a lo largo de una soga en la dirección X negativa con las siguientes características: A=8.00 cm, =80.0 cm, f=3.00 Hz y 𝑦(0, 𝑡) = 0 en t=0. a) ¿Qué pasaría si? Escriba la expresión para y como función de x y t para la onda en el inciso b) si supone que 𝑦(𝑥, 0) = 0 en el punto x=10.0 cm. SOLUCIÓN: 𝐴 = 8(10−2 ) = 0.08 𝑚 𝜆 = 80(10−2 ) = 0.8 𝑚 𝑓 = 3 𝐻𝑧 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0, 𝑡 = 0 𝑥 = 10 𝑐𝑚 = 10(10−2 ) 𝑤 = 2𝜋𝑓 𝑤 = 2𝜋(3) 𝑤 = 18.85 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 2𝜋 𝑘= 𝜆 2𝜋 𝑘= 0.8 𝑘 = 7.854 𝑟𝑎𝑑⁄𝑚 𝑦(0,0) = 0.5𝑠𝑒𝑛∅ ∅=0 a) 𝑦(𝑥, 0) = 0.08𝑠𝑒𝑛(7.854𝑥) b) 𝑦(𝑥, 0) = 0, 𝑥 = 0.1 𝑚 𝑦(0.1,0) = 0.08𝑠𝑒𝑛(7.854𝑥 − 18.85𝑡 + ∅) 0 = 0.08𝑠𝑒𝑛(7.854(0.1) − 18.85(0) + ∅) 0 = 0.08𝑠𝑒𝑛(0.7854 + ∅) ∴ ∅ = −0.7854 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0.08𝑠𝑒𝑛(7.854𝑥 − 18.85𝑡 − 0.7854) 9. Una onda sinusoidal que viaja en la dirección X tiene una amplitud de 20.0 cm, longitud de onda de 35.0 cm. y frecuencia de 12.0 Hz. La posición transversal de un elemento del medio en t=0, x=0 es y=-3.00 cm. y el elemento tiene en este caso una velocidad positiva. A) Bosqueje la onda en t=0, B) Encuentre su número de onda angular, periodo, frecuencia angular y rapidez de onda y C) Escriba la expresión de la función de onda y(x,t). SOLUCIÓN: 𝐴 = 20 𝑐𝑚 = 20(10−2 ) = 0.2 𝑚 𝜆 = 35(10−2 ) = 0.35 𝑚 𝑓 = 12 𝐻𝑧 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡 + ∅) a) 𝑡 = 0, 𝑥 = 0, 𝑦 = −3 𝑐𝑚 = −0.03 𝑚 2𝜋 𝑘= 𝜆 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑘= ⁄𝑚 0.35 𝑤 = 2𝜋𝑓 𝑤 = 2𝜋(12) 𝑤 = 24𝜋 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 2𝜋 𝑦(0,0) = 0.2𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 + 24𝜋𝑡 + ∅) 0.35 2𝜋 −0.03 = 0.2𝑠𝑒𝑛 ( (0) + 24𝜋(0) + ∅) 0.35 −0.03 = 𝑠𝑒𝑛∅ 0.2 ∅ = −8.63° 𝜋 −8.63° 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = − 20 2𝜋 𝜋 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0.2𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 + 24𝜋𝑡 − ) 0.35 20 2𝜋 𝜋 𝑦(𝑥, 0) = 0.2𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 + 24𝜋(0) − ) 0.35 20 2𝜋 𝜋 ∴ 𝑦(𝑥, 0) = 0.2𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥− ) 0.35 20 b) 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 ∴𝑘= ⁄𝑚 0.35 1 𝑇= 𝑓 1 𝑇= 𝑠 12 1 ∴𝑇= 𝑠 12 ∴ 𝑤 = 24𝜋 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 𝑣 = 𝜆𝑓 𝑣 = 0.35(12) ∴ 𝑣 = 4.2 𝑚⁄𝑠 c) 2𝜋 𝜋 ∴ 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0.2𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 + 24𝜋𝑡 − ) 0.35 20 10. Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un periodo de T=25.0 ms. y viaja en la dirección X negativa con una rapidez de 30.0 m/s. En t=0, un elemento de la cuerda es x=0 tiene una posición transversal de 2.00 cm. y viaja hacia abajo con una rapidez de 2.00 m/s. Calcule: A) La amplitud de la onda, B) El ángulo de fase inicial, C) La máxima rapidez transversal de un elemento de la cuerda y D) La función de onda. SOLUCIÓN: 2𝜋 2𝜋 1000 𝑚𝑠 𝑤= = = 80𝜋 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 = 251 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 𝑇 25 𝑚𝑠 1𝑠 1𝑠 𝜆 = 𝑣𝑇 = 30 𝑚⁄𝑠 (25𝑚𝑠) = 0.750 𝑚 1000 𝑚𝑠 2𝜋 2𝜋 𝑘= = = 8.38 𝑟𝑎𝑑⁄𝑚 𝜆 0.750 a) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡 + ∅) 𝑦(0,0) = 0.02 𝜕𝑦 = −𝐴𝑤𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡 + ∅) 𝜕𝑡 0.02𝑚 = 𝑦0 = 𝐴𝑐𝑜𝑠∅ −2 = −𝐴𝑤𝑠𝑒𝑛∅ 𝑣0 2 𝐴 = √𝑦0 2 + 𝑤2 ∴ 𝐴 = 2.15 𝑐𝑚 b) 𝑣0⁄ 𝑤 ∅ = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦0 ∴ ∅ = 0.377 𝑟𝑎𝑑 c) ∴ 𝑦(𝑥, 𝑡) = (2.15𝑐𝑚)𝑐𝑜𝑠(8.38𝑥 + 251.3𝑡 + 0.377) 11. Un cordón de teléfono de 4.00 m. de largo tiene una masa de 0.200 kg. Un pulso transversal se produce al sacudir un extremo del cordón tenso. El pulso hace cuatro viajes de atrás para adelante a lo largo del cordón de 0.800 s. ¿Cuál es la tensión del cordón? SOLUCIÓN: 𝑚 U= 𝑙 0.200 𝑘𝑔 U= = 0.050𝑘𝑔/𝑚 4.00𝑚 𝑇 = 𝑣2. µ 𝑇 = (5𝑚/𝑠)2 𝑥0.005 kg/m ∴ 𝑇 = 1.25 𝑁 12. Una onda progresiva transversal en un alambre tenso tiene una amplitud de 0.200 mm. y una frecuencia de 500 Hz. Viaja con una rapidez de 196 m/s. A) Escriba una ecuación en unidades SI de la forma 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) para la onda y B) La masa por unidad de longitud de este alambre es 4.10 g/m, encuentre la tensión en el alambre. SOLUCIÓN: a) 𝑦 = 𝐴 sin(𝐾𝑥 − 𝑤𝑡) 𝑣 196 𝑚/𝑠 𝜆= = = 0.392𝑚 𝑓 500 𝐻𝑧 2𝜋 2𝜋 𝑘= = = 16.03 𝑟𝑎𝑑/𝑚 𝜆 0.392𝑚 196𝑚 16.03𝑟𝑎𝑑 𝜔 = 𝑣𝑘 = ( )( ) = 3141.88 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑠 𝑚 𝑦 = 2𝑥10−4 sin(16.03𝑥 − 3141.88𝑡) b) 𝜇 = 4.1 𝑔/𝑚 𝑇 𝑣=( ) 𝜇 𝑇 = 𝑣 2𝜇 𝑚 2 4.1𝑥10−3 𝑘𝑔 𝑇 = (196 ) ( ) 𝑠 𝑚 ∴ 𝑇 = 0.8036 𝑁 13. Una cuerda de piano que tiene una masa por unidad de longitud igual a 5.00 x 10 -3kg/m, está bajo tensión de 1350 N. Encuentre la rapidez con la que una onda viaja en esta cuerda. SOLUCIÓN: 𝑇 𝑣=√ 𝑢 Siendo: v = velocidad de propagación de las ondas en la cuerda T = tensión u = densidad lineal de la cuerda Entonces: 1.350 𝑣=√ 5𝑥10−3 𝑚 ∴ 𝑣 = 519.6 𝑠 14. Pulsos transversales viajan con una rapidez de 200 m/s a lo largo de un alambre de cobre tenso cuyo diámetro es de 1.50 mm. ¿Cuál es la tensión (fuerza) en el alambre? Dato: La densidad del cobre es p=8.92 g/cm3. SOLUCIÓN: ∅ = 1.5𝑚𝑚 = 1.5𝑥10−3 𝑚 𝑔 𝜌 = 8.92 = 8920 𝑘𝑔/𝑚3 𝑐𝑚3 𝑇 𝑣=√ 𝑢 𝑇 = 𝑣 2𝑢 Entonces: 𝑇 = (2002 )(1.5𝑥10−3 )(8920) ∴ 𝑇 = 535200 15. Un astronauta en la Luna quiere medir el valor local de la aceleración de la gravedad al cronometrar pulsos que viajan por un alambre del que cuelga un objeto de gran masa. Suponga que un alambre tiene una masa de 4.00 g. y una longitud de 1.60 m. y además suponga que de él está suspendido un objeto de 3.00 kg. Un pulso requiere 36,1 ms. para atravesar la longitud del alambre. Calcule la aceleración de la gravedad en la luna a partir de estos datos. SOLUCIÓN: 𝑀𝑎 = 4𝑔 = 4𝑥10−3 𝑘𝑔 𝑀𝑜 = 3𝑘𝑔 𝐿 = 1.60𝑚 𝑡 = 36.1𝑚𝑠 = 36.1𝑥10−3 𝑠 𝑔 =? 𝐹 𝑚 𝑑 𝑣 = √𝜇 𝐹 = 𝑚. 𝑔 𝜇= 𝑙 𝑣= 𝑡 𝑑 𝑚. 𝑔 =√ 𝑚 𝑡 𝑙 Despejando: 𝑑2 𝑀𝑜. 𝑔 = 𝑡2 𝑀𝑎 𝑑 𝑑2 . 𝑀𝑎 =𝑔 𝑡 2 . 𝑀𝑜. 𝑑 𝑑. 𝑀𝑎 =𝑔 𝑡 2 . 𝑀𝑜 1.6𝑚𝑥4𝑥10−3 𝑘𝑔 =𝑔 (36.1𝑥10−3 𝑠)2 . 3𝑘𝑔 𝑚 ∴ 𝑔 = 1.64 𝑠2 16. Una soga tensa tiene una masa de 0.180 kg. y una longitud de 3.60 m. ¿Qué potencia se debe suministrar a la soga para que genere ondas sinusoidales que tengan una amplitud de 0.100 m. y una longitud de onda de 0.500 m. y viajen con una rapidez de 30.0 m/s? SOLUCIÓN: 𝑤 = 2π. V/L 0.180 𝑘𝑔 𝑈= = 0.05 𝑘𝑔/𝑚 3.60𝑚 𝑉 = 30.0 𝑚/𝑠 𝐿 = 0.500 𝑚 𝐴 = 0.100 𝑚 1 𝑃 = . µ. V. 𝑤 2 𝐴2 2 1 𝑃= . (0.05). (30.0). (2𝜋. 30./0.500)2 (0.100)2 2 ∴ 𝑃 = 1066 𝑊 17. Ondas sinusoidales de 5.00 cm. de amplitud se transmitirán a lo largo de una cuerda que tiene una densidad de masa lineal de 4.00 x 10-2 kg/m. La fuente puede entregar una potencia máxima de 300 W y la cuerda está bajo una tensión de 100 N. ¿Cuál es la frecuencia más alta a la que puede funcionar la fuente? SOLUCIÓN: 1 𝑃 = √𝑢𝐹𝑤 2 𝐴2 2 Si: 𝐴 = 5 𝑥 10−2 𝑚 10−2 𝑘𝑔 𝑢 =4𝑥 𝑚 𝑃 = 300𝑤 𝐹 = 100𝑁 Si: 2𝑃 2 𝑢𝐹 = ( 2 2 ) 𝑤 𝐴 2𝑝 1 𝑤2 = ( 2) √𝑢𝐹 𝐴 2 2 2(300) 1 𝑤 = ( ) √4 𝑥 10−2 𝑥 10−2 5𝑥10−2 2 2 600 1 𝑤 = ( ) 2 5𝑥10−2 √300 𝑤= 5𝑥10−2 10√3 𝑤= 5𝑥10−2 103 √3 𝑤= 5 Además 𝑊 = 2𝜋𝑓 200√3 𝑓= 2𝜋 ∴ 𝑓 = 55.1 𝐻𝑧 18. Un segmento de 6.00 m. de una cuerda larga contiene cuatro ondas completas y tiene una masa de 180 g. La cuerda vibra sinusoidalmente con una frecuencia de 50.0 Hz. y un desplazamiento de cresta a valle de 15.0 cm. Encuentre: A) La función de onda de esta onda que viaja en la dirección X positiva y B) La potencia a suministrar a la cuerda. SOLUCIÓN: a) 𝐴 = 6𝑚 𝑚 = 180𝑔 𝑓 = 50 𝐻𝑧 𝜆 = 15𝑐𝑚 = 15𝑥10−2 𝑚 2𝜋 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑘= 𝜈 = 𝜆. 𝑓 𝜆 2𝜋 𝜔 = 2. 𝜋. 50𝐻𝑧 𝑘 = 15𝑥10−2 𝜈 = 15𝑥10−2 . 50 𝜔 = 100𝜋 𝑘 = 13.33𝜋 𝜈 = 7.5 ∴ 𝑦(𝑥, 𝑡) = (6𝑚)𝑠𝑒𝑛(100𝜋𝑡 − 13.33𝜋𝑥) b) 1 𝑃= . 𝜇. 𝜔2 . Α2 . 𝑣 2 1 𝑃= . 30𝑥10−3 . (100𝜋)2 . (6)2 . (7.5) 2 ∴ 𝑃 = 212.058𝑤 19. La función de onda para una onda sobre una cuerda tensa es 𝑦(𝑥, 𝑡) = (0.350𝑚)𝑠𝑒𝑛 (10𝜋𝑡 − 3𝜋𝑥 + 𝜋 ); donde x está en metros y t en segundos. Determine: A) La rapidez promedio a la que se transmite 4 la energía a lo largo de la cuerda si la densidad de masa lineal es de 75.0 g/m y B) La energía contenida en cada ciclo de la onda. SOLUCIÓN: 𝜋 𝑦(𝑥, 𝑡) = (0.350𝑚)𝑠𝑒𝑛 (10𝜋𝑡 − 3𝜋𝑥 + ) 4 a) 𝐴 = 0.35𝑚 𝜔 = 10𝜋 𝑘 = 3𝜋 𝑔 𝑘𝑔 𝜇 = 75 = 75𝑥10−3 𝑚 𝑚 2𝜋 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑘= 𝜆 𝜈 = 𝜆. 𝑓 𝑤 2𝜋 𝑓= 𝜆= 𝜈 = 0.67 𝑥 5 2𝜋 𝑘 10𝜋 2𝜋 𝑓= 𝜆= ∴ 𝜈 = 3.35𝑚/𝑠 2𝜋 3𝜋 𝑓 = 5 𝐻𝑧 𝜆 = 0.67 𝑚 1 𝑝= . 𝜇. 𝜔2 . Α2 . 𝑣 2 1 𝑝= . 75𝑥10−3 . (10𝜋)2 . (0.35)2 . (3.35) 2 𝑝 = 15.188𝑤 b) 1 𝜖 = 𝑚. 𝑣 2 2 1 75𝑥10−3 𝜖= 𝑥 𝑥(3.35)2 2 3𝜋 ∴ 𝜖 = 0.045 𝐽 20. Suponga que usted escucha el chasquido de un trueno 16.2 s después de ver el relámpago asociado. La rapidez del sonido en el aire es de 343 m/s y la rapidez de la luz en el aire es de 3.00 108 m/s. ¿Qué tan lejos está del relámpago?, ¿Necesita saber el valor de la rapidez de la luz para responder? ¡Explique! SOLUCIÓN: x 21. Encuentre la rapidez del sonido a través del mercurio que tiene un módulo volumétrico de 2,8x1010 N/m2 y una densidad de 13600 kg/m3. SOLUCIÓN: 𝐵 𝑣= √ 𝑝 2.80 𝑥 1010 𝑣= √ 13.6 𝑥103 ∴ 𝑣 = 1.43 22. Un avión de rescate vuela horizontalmente con rapidez constante en busca de un bote perdido. Cuando el avión está directamente arriba del bote, la tripulación del bote suena una gran sirena. Para cuando el detector sonoro del avión recibe el sonido de la sirena, el avión recorrió una distancia igual a la mitad de su altura sobre el océano. Se supone que el sonido tarda 2.00s en llegar al avión, determine a) la rapidez del avión b) la altura a la que vuela el avión. Considere la rapidez del sonido de 343 m/s. SOLUCIÓN: V= velocidad de sonido en el aire = 343 m/s 𝐻 𝐻 𝑉𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑥 1 = √5 = 343(0.2) = √5 2 2 𝐻 = 306.8 𝑚 2 a) 𝐻 306.8 = 𝑉 𝑎𝑣𝑖ó𝑛 (2.0) = 2 2 ∴ 𝑉 𝑎𝑣𝑖ó𝑛 = 153.4 𝑚\𝑠 b) 𝐻 = 306.8 2 ∴ 𝐻 = 613.6 𝑚 23. Dos ondas en una cuerda se describen mediante las funciones de onda 𝑦1 = (3.0𝑐𝑚)𝑐𝑜𝑠(4.0𝑥 − 1.6𝑡) y 𝑦2 = (4.0𝑐𝑚)𝑠𝑒𝑛(5.0𝑥 − 2.0𝑡); donde X y Y están en centímetros y t en segundos. Encuentre la sobre posición de las ondas 𝑦1 + 𝑦2 en los puntos a) x=1.00, t=1.00; b) x=1.00, t=0.500 y c) x=0.500, t=0 SOLUCIÓN: 𝑌1 = (3.0)𝑐𝑜𝑠(4.0𝑥 − 1.6𝑡) 𝑌2 = (4.0)𝑠𝑒𝑛(5.0𝑥 − 2.0𝑡) a) Para x =1.00, t = 1.00 𝑌1 = (3.0)𝑐𝑜𝑠(4.0(1.00) − 1.6(1.00)) = 3𝑐𝑜𝑠(2.4𝑟𝑎𝑑) = −2.21 𝑌2 = (4.0)𝑠𝑒𝑛(5.0(1.00) − 2.0(1.00)) = 4𝑠𝑒𝑛(2 𝑟𝑎𝑑) = −1.66 ∴ 𝑌1 + 𝑌2 = −3.87 𝑐𝑚 b) Para x =1.00, t = 0.500 𝑌1 = (3.0)𝑐𝑜𝑠(4.0(1.00) − 1.6(0.500)) = 3𝑐𝑜𝑠(3.2 𝑟𝑎𝑑) = −2.99 𝑌2 = (4.0)𝑠𝑒𝑛(5.0(1.00) − 2.0(0.500)) = 4𝑠𝑒𝑛(4 𝑟𝑎𝑑) = −3.03 ∴ 𝑌1 + 𝑌2 = −6.09 𝑐𝑚 c) Para x =0.500, t = 0 𝑌1 = (3.0)𝑐𝑜𝑠(4.0(0.500) − 1.6(0)) = 3𝑐𝑜𝑠(2 𝑟𝑎𝑑) = 2.73 𝑌2 = (4.0)𝑠𝑒𝑛(5.0(0.500) − 2.0(0)) = 4𝑠𝑒𝑛(2.5 𝑟𝑎𝑑) = 2.39 ∴ 𝑌1 + 𝑌2 = 5.12 𝑐𝑚 5 24. Dos pulsos que viajan sobre una misma cuerda se describen mediante 𝑦1 = (3𝑥−4𝑡)2 , y 𝑦2 = −5 (3𝑥+6𝑡)2 +2 Determine a) ¿En qué dirección viaja cada pulso? b) ¿En qué instante se cancelan en todas partes? c) ¿En qué punto los pulsos siempre se cancelan? SOLUCIÓN: a) Y1 , en dirección positiva Y2, en dirección negativa b) Se cancelan cuando y1 + y2 = 0 5 5 c) (3𝑥−4𝑡 2 )+2 =(3𝑥−4𝑡−6) 2 +2 = (3x-4t)2 =(3x+4t-6)2 3x-4t = +/- (3x+4t-6) Con +: 3x-4t=3x+4t-6 -4t-4t=-6 => -8t=-6=>”t=6/8=t=3/4” Con -: 3x-4t=-3x-4t+6 3x+3x=6 => 6x=6=> “x=1m”