1.¿Cuál es la probabilidad de contestar correctamente por lo menos 3 de las 5 preguntas de un test de falso y verdadero? Probabilidad es igual a parcial sobre total: Prob=parcial/total P=3/5 P= 0,6 p= 0.6*100 P=60% 2. se sabe que 9 de cada 10 personas tiene caries, al tomar al azar un grupo de 5 personas, cual es la probabilidad de que: a. 4 tengan caries b. por lo menos 2 tengan caries c. por lo menos 2 no tengan caries d. menos de 2 no tengan caries Es un caso de distribución binomial p=9/10 = 0.9 --> Probabilidad de caries n=5 P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x) En este caso P(X=x) = C(5,x) * 0.9^x * 0.1^(5-x) Para todos los valores de x, usando esta formula P(X=0) = C(5,0) * 0.9^0 * 0.1^(5-0) = 0.00001 P(X=1) = C(5,1) * 0.9^1 * 0.1^(5-1) = 0.0005 P(X=2) = C(5,2) * 0.9^2 * 0.1^(5-2) = 0.0081 P(X=3) = C(5,3) * 0.9^3 * 0.1^(5-3) = 0.0729 P(X=4) = C(5,4) * 0.9^4 * 0.1^(5-4) = 0.3281 P(X=5) = C(5,5) * 0.9^5 * 0.1^(5-5) = 0.5905 a) P(X=4) = 0.3281 b) P(X>=2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) P(X>=2) = 0.9995 c) por lo menos 2 no tengan caries, es que 2,3,4 o 5 no tengan caries, es decir que 3,2,1 o 0 tengan caries es decir P(X<=3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,0815 d) menos de 2 no tienen caries, 0 o 1 no tienen caries --> 5 o 4 si tienen caries P(X>=4) = P(X=4) + P(X=5) = 0.9186 3. Si el 20% de los estudiantes de una universidad pierden el primer año y se toma al azar un grupo de seis estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que: a) máximo dos aprueben b) todos aprueben c)ninguno apruebe p(x<=2) n=6 p=0.80 q=0.20 p(x>=2)=p(0)+p(1)+p(2) p(x>=2)= 0.00006 +0.0014 + 0.01536 p(x>=2)= =0.01682 b) p(2) = 0.01536 c) p(0) = 0.00006 4. de los 6.000 estudiantes matriculados de una universidad se sabe que 4800 se trasladan utilizando transporte urbano, si se selecciona una muestra de 8 estudiantes cual es la probabilidad de que: a. no mas de 2 utilicen dicho servicio b. por lo menos 3 no lo utilicen c. exactamente 2 no lo utilicen d. exactamente 2 lo utilicen 6.000 es a 100 como 4.800 es a X. X = 480000/6000 = 80% P (un estudiante utilice transporte urbano) = 80% = 0,8 P (un estudiante no utilice el transporte urbano = 1 - 0,8 = 0,2 a) P (no más 2 utilicen el transporte urbano) = P (no lo utilice ninguno de los 8) + P(lo utilice 1 de los 8) + P (lo utilicen 2 de los 8) = (0,2)^8 + (0,8) * (0,2)^7 * C(8, 1) + (0,8)^2 * (0,2)^6 * C(8, 2) = 0,0012 = 0,12% b) P (por lo menos 3 no lo utilicen) = 1 - P (no más de 2 lo utilicen) = 1 - 0,0012 = 0,9988 = 99,88% c) P (exactamente 2 no lo utilicen) = (0,2)^2 * (0,8)^6 * C(8, 2) = 0,2936 = 29,36% d) P (exactamente 2 lo utilicen) = (0,8)^2 * (0,2)^6 * C(8, 2) = 0,0011 = 0,11% 5. Se sabe que el 60% de los alumnos de una universidad asisten a clases el día viernes. En una encuesta a 8 alumnos de la universidad. ¿Cuál es la probabilidad de que a) por lo menos siete asistan a clase el día viernes. b) por lo menos dos no asistan a clase Se trata de una distribución binomial. a) P(x>=7)=1-P(x<=6)1-0,89362432= =0,10637568 b) P(x<=7)=0,98320384 6) se sabe que en una universidad de 2000 estudiantes ochocientos usan gafas. si se realiza una encuesta a cinco estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que: a) por lo menos dos usen gafas b) por lo menos dos no usen gafas c) de 2000 estudiantes, cuantos no usan gafas 2.000 es a 100 como .800 es a X. X = 80000/2000 = 40% P (un estudiante utilice gafas) = 40% = 0,4 P (un estudiante no utilice gafas) = 1 - 0,4 = 0,6 a) P (por lo menos 2 usen gafas) = P (no use ninguno de los 5) + P(las use 1 de los 5) + P (las usen 2 de los 5) = (0,6)^5 + (0,4) * (0,6)^4 * C(5, 1) + (0,4)^2 * (0,6)^5 * C(5, 2) b) P (por lo menos 2 no usen gafas) = 1 - P (no más de 1 usen gafas utilicen) = 1 – 0.4 = 0.6=60% c) no usan gafas 2000-800 = 1200 7.) Si un tercio de los estudiantes de un curso de contabilidad son repitentes, calcule la probabilidad de que una muestra al azar de cuatro estudiantes: a. no mas de 2 sean repitentes b. al menos 1 no sea repitente P (repitente) = 33,33% = 0,3333 P (no repitente) = 66,66% = 0,66666 a. P (no más de 2 sean repitentes, de 4) = 1 - P (de que al menos 3 sean repitentes) = 1 - [P (3 sean repitentes) + P (4 sean repitentes)] = 1 - [(0,33)^3 * 0,66 * C(4, 3) + (0,33^)^4] = 1 - (0,0948 + 0,0118) = 0,8933 = 89,33% b. P (al menos 1 no sea repitente) = 1 - P (los 4 sean repitentes) = 1 - (0,33)^4 = 0,9881 = 98,81% 8. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 10 o más acontecimientos desfavorables en 16 ensayos de una experiencia binomial, si la probabilidad de acontecimiento favorable en cada ensayo es de 0,4? (utilice la tabla para el calculo) no tengo la tabla P(1 favorable)= 0.4 P(1 desdfavorable)=0.6 P(x>=10) = ver tabla??? 9. Una compañía de seguros considera que alrededor del 25% de los carros de servicio publico se accidentan cada año. ¿Cual es la probabilidad de que por lo menos tres de una muestra de siete vehículos afiliados, hayan tenido accidentes en el año? Es un caso de distribución binomial n=7 p= 0.25 q= 0.75 p(x=k)= c^n/k *p^k *q^n-k p(x>=3)=p(x<=2)=1-p(x=0)-p(x=1)-P(x=2) p(x=0)= c7/0*0.25^0*0.75^7-0 = 0.1335 p(x=1)= c7/1*0.25^1*0.75^7-1 = 0.3115 p(x=2)= c7/2*0.25^2*0.75^7-2 =0.3115 p(x>=3)=1-0.1335-0.3115-0.3115 p(x>=3)= 0.2435 10) De la producción de envases metálicos de una fábrica se sabe que el 3% son defectuoso ¿cual es la probabilidad de que en una muestra de siete envases : a. por lo menos 3 sean buenos b. por lo menos 3 sean defectuosos P (producto defectuoso) = 0,03 P (producto bueno) = 0,97 a. P (por lo menos 3 sean buenos de 7) = 1 - P (no más de 2 sean buenos) = 1 - [P (sean defectuosos los 7) + P (1 sea bueno de 7) + P (sean buenos 2 de los 7) = 1 - [(0,03)^7 + 0,97 * (0,03)^6 * C(7, 1) + (0,97)^2 * (0,03)^5 * C(7, 2)] = 1- 0,00000048511305 = -0,99999951488695 = 99,99% b. P (por lo menos 3 sean defectuosos) = 1 - P(no más de 2 sean defectuosos) = 1 - [P (sean buenos los 7) + P (1 sea defectuoso de 7) + P (sean defectuosos 2 de los 7)] = 1 - [(0,97)^7 + 0,03 * (0,97)^6 * C(7, 1) + (0,03)^2 * (0.97)^5 * C(7, 2)] = 1 - 0,99913703890195 = 0,00086296109805 = 0,086%. 14) el 30% de las familias de un barrio de quito son consideradas posibles clientes para comprar cierto producto. se toma una muestra de 8 familias. ¿cual es la probabilidad en la muestra de que: a) tres o menos sean clientes b) tres o mas no sean clientes Es una distribución binomial de parámetro p=0.3 y n=8, la fórmula de probabilidad es P(X=x) = 8!/( (8-x)!*x! ) * (0.3)^x * (1-0.3)^(8-x) Por lo que a) P(X<=3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) Tenemos que P(X=0) = 8!/( (8-0)!*0! ) * (0.3)^x * (1-0.3)^(8-0)= P(X=0) = 0.0576 P(X=1) = 8!/( (8-1)!*1! ) * (0.3)^1 * (1-0.3)^(8-1)= P(X=1) = 0.1977 P(X=2) = 8!/( (8-2)!*2! ) * (0.3)^2 * (1-0.3)^(8-2)= P(X=2) = 0.2965 P(X=3) = 8!/( (8-3)!*3! ) * (0.3)^3 * (1-0.3)^(8-3)= P(X=3) = 0.2541 En resumen P(X=0) = 0.0576 P(X=1) = 0.1977 P(X=2) = 0.2965 P(X=3) = 0.2541 por lo que P(X>=1) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 0.0576 + 0.1977 + 0.2965 + 0.2541 = = 0.8059 Por lo tanto la probabilidad que 3 o menos sean clientes es de 0.8059 (80.59%) b) P(X>=3) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+ P(X=6)+P(X=7)+P(X=8) Como este calculo es complicado vamos a provecharnos que P(X>=3) = 1-P(X<3) es decir P(X>=3) = 1-P(X<3) = 1-P(X<=2) P(X<=2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) datos que ya teniamos de antes P(X<=2) = 0.0576 + 0.1977 + 0.2965 = P(X<=2) = 0.5511 por lo que 1-P(X<=2) = 1-0.5511 = 0.4489 y por lo tanto P(X>=3) = 0.4489 La probabilidad que 3 o más familias sean clientes es 0.4489 (44.89%) 11) si la probabilidad de que un niño enfermo de sarampión es del 1%, ¿cuál es la probabilidad de que en una familia con cinco hijos resulten: a) dos enfermos? b) por lo menos uno enfermo? c) por lo menos dos no se enfermen? 12) Cierta enfermedad tiene un 20% de mortalidad. sí existen 5 pacientes con la enfermedad, cual será la probabilidad de que: a) ninguno sobreviva b) todos sobrevivan c) al menos uno sobreviva d) al menos uno no sobreviva 13) En una ciudad se publican 25 revistas de las cuales 5 son científicas. Si se eligen 4 al azar ¿cual sera la probabilidad de que a) por lo menos una sea científica? b) por lo menos dos no sean científicas ¿ c) una sea científica? HOJA 2 5.) En una fábrica el tiempo para producir un artículo está distribuido normalmente con un promedio de 50 minutos y una varianza de 25 minutos. Se debe fabricar una partida de 80000 artículos. a) ¿Cuántos artículos requerirán de un tiempo de fabricación mayor de 53 minutos? b) ¿Cuántos artículos requerirán de un tiempo de fabricación no inferior a los 48 minutos ni superior a los 53 minutos? varianza es de 25 minutos, es decir, que la desviación estándar es de 5 (raíz cuadrada de 25). a)53 min es el tiempo promedio más 3/5 de desviación estándar, interpretado normalmente en tablas de áreas bajo la curva corresponde a un 72,57%; por lo tanto, los artículos que requieren más de 53 minutos son: 100 – 72,57= 27,43% 27,43% x 80000= 21944 artículos (Resultado) b)48 minutos corresponde a 2/5 de desviación estándar por debajo del promedio de tal manera que el área de éstos es el 43,46%. Por otro lado, 54 minutos son 4/5 de desviación estándar por encima de la media, siendo así, el área de éstos es 78,81%: 78,81 – 43,46= 44,35% 44,35% x 80000= 35480 artículos (Resultado) 6.) Un fabricante de transformadores de corriente, asegura que los aparatos que vende tienen una vida útil media de 80.000 horas y una desviación estándar de 8.000. Suponiendo que esta vida útil está distribuida normalmente. a)¿Cuál es la probabilidad de que un transformador dure más de 96.000 horas? R=0.0228 b) El 50% de transformadores dure entre x1 y x2 horas. encuentre los valores de X1 Y X2 si ellos son simétricos respecto a la media. R=X1=74640 Y X2=85360 c)El fabricante garantizara que reemplazara gratis cualquier transformador cuya duración sea inferior a X . Determinar el valor de X , de modo que tenga que reemplazar solo el 1% de lostransformadores . R= 61360 7.)