Página 1 de 30COLEGIO FILIPENSE CÓDIGO: "NUESTRA SEÑORA DE LA ESPERANZA" F.GA.DC.04 VERSIÓN: TALLER 2016 ÁREA: MATEMÁTICAS ASIGNATURA: CÁLCULO PERIODO: 2 DOCENTE: JOSÉ LUIS PANTOJA CABRERA Taller N°: 2 ESTUDIANTE: CÓDIGO: FECHA: GRADO: 11 PROPÓSITO GENERAL Calcular límites de funciones reales de una variable real. Reconocer y calcular los distintos tipos de asíntotas de una función real. Analizar la continuidad puntual de una función a través del concepto de límite. 1. APRENDIZAJES ESPERADOS EN LO COGNITIVO 1.1 En el SABER 1.1.1 Comprende las características y propiedades de límites. 1.1.2 Calcular límites en un punto y en el infinito en los que haya distintas indeterminaciones. 1.1.3 Determinar los intervalos de continuidad de una función. 1.1.4 Busca cotas superiores e inferiores, así como los máximos y mínimos absolutos de funciones continuas e intervalos cerrados. 1.1.5 Aplica las técnicas para calcular límites y resolver indeterminaciones. 1.2 En el HACER 1.2.1 Resuelve problemas que involucran el cálculo y análisis de límites y continuidad; además, analiza en ellos el problema de discontinuidad de una función, argumentando si ella es evitable o no. 1.3 En el SER 1.3.1 Plantea y soluciona problemas, dentro y fuera de las matemáticas, los cuales involucren la interpretación grafica de funciones continuas y discontinuas; y analiza en ellos la importancia de los límites de dichas funciones. 2. APRENDIZAJES ESPERADOS EN FORMACIÓN CIUDADANA COMUNICATIVA: Argumento y debato sobre dilemas de la vida en los que entran en conflicto el bien general y el bien particular, reconociendo los mejores argumentos, así sean distintos a los míos. COGNITIVA Y COMUNICATIVA: Identifico y analizo dilemas de la vida en los que los valores de distintas culturas o grupos sociales entran en conflicto y exploro distintas opciones de solución, considerando sus aspectos positivos y negativos. INTEGRADORA: Participo en manifestaciones pacíficas de rechazo o solidaridad ante situaciones de desventaja social, económica o de salud que vive la gente de mi región o mi país. 3. PREGUNTA PROBLEMA Página 2 de 30 El ministerio de hacienda decide reformar la taza de gravámenes para los importadores de insumos agrícolas, estableciendo un impuesto por ingreso de “X” pesos gravables mediante la función: Donde x representa el valor a gravar, y C el impuesto que se debe cancelar. ¿Al calcular el límite cuando x tiende a cero, de C en función de x, es bueno o malo el resultado obtenido? MIS COMPROMISOS SON: 1.1 ACTIVIDADES DEL SABER. ACTIVIDAD 1. Soluciono los interrogantes planteados, para ello indago las respuestas en nuestro texto guía que se encuentra al final del taller; y consigno en mi cuaderno las respuestas en un recuadro que llame la atención por su diseño. a. ¿Cuál es la idea intuitiva de límite? b. ¿Cómo aplico la definición formal de límite? c. ¿Qué son los limites laterales y que sucede si no son iguales? d. ¿Existen propiedades para el cálculo de límites? e. ¿Qué sucede cuando el límite tiende al infinito? f. ¿Qué es una asíntota de una función? g. ¿Qué es una función continua? h. ¿Cómo se evita una discontinuidad? ACTIVIDAD 2. Resuelvo las actividades propuestas en los anexos, las cuales son tomadas del texto guía: HIPERTEXTO 11. Editorial SANTILLANA. Se irán realizando conforme se vayan contestando las interrogantes propuestas en la actividad 1. Recuerdo escribir los resultados con sus procesos respectivos en mi cuaderno, y lo presento en binas en hojas ministro al profesor para la respectiva revisión. 1.2 ACTIVIDADES DEL HACER. ACTIVIDAD 3: En binas y en forma ordenada presento el taller de límites y continuidad dispuesto en los anexos, estos puntos se realizarán cada que se vea una de las temáticas y se realizara a medida que el saber se concreta, se revisara cada clase, y al final se entregara para dar la nota final de hacer. 1.3 ACTIVIDADES DEL SER. ACTIVIDAD 4: Las aplicaciones de límites en la vida cotidiana van desde bacteriología hasta economía. Utiliza todos tus conocimientos y soluciona estos problemas con ayuda de los límites y continuidad. Presenta la solución en hoja ministro en binas. 1. El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que, a partir de ahora, la Página 3 de 30 siguiente función indicará en cada momento (t, medido en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera: a) Confirma que dicha función es continua y que, por tanto, no presenta un salto en t = 10. b) Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no se llegará nunca? 2. Una constructora ha comprado una excavadora por 80000 euros. El departamento financiero ha calculado que puede revenderla al cabo de t años al precio de 80 𝑓(𝑡) = 𝑡−0.4𝑡 miles de euros. a) ¿Al cabo de cuántos años la excavadora perderá la mitad de su valor de compra? b) Calcula el límite lim 𝑓(𝑡) y da una interpretación económica a este resultado. 𝑡→∞ 3. Una empresa produce ratones inalámbricos en grandes cantidades. Atendiendo a los gastos de puesta en marcha de la maquinaria, al salario de sus trabajadores y a otros factores, se ha llegado a la conclusión de que producir p ratones tiene un coste total, en euros, de 𝐶( 𝑝) = 10 𝑝 + 100000 . a) Encuentra la expresión de la función Cm que nos da el precio unitario medio de un ratón al fabricar p unidades. b) Calcula Cm (10) y Cm (1000). ¿A qué es debido que haya tanta diferencia entre un coste y otro? c) Calcula lim 𝐶𝑚 ( 𝑝) y da una interpretación económica al resultado. 𝑝→∞ 4. La cantidad, 𝑞(𝑡), que queda de una masa M mg de una sustancia radiactiva al cabo de t días viene expresada por la fórmula 𝑞(𝑡) = 𝑀 ∗ 𝑒 −0.1𝑡 a) ¿Al cabo de cuánto tiempo la masa M se ha reducido a la mitad? b) Si la masa inicial M es de 27 mg, ¿cuánta sustancia quedará aproximadamente al cabo de 10 días? c) Calcula el límite lim 𝑞(𝑡) e interpreta el resultado obtenido. 𝑡→+∞ (3𝑡 2 +2)(5𝑡+1) 5. La población de bacterias de cierto cultivo sigue esta ley: 𝑃(𝑡) = miles de (2𝑡+1)3 bacterias, donde t indica los días transcurridos desde su inicio. a) ¿Qué población había al principio del estudio? b) ¿Qué población habrá al cabo de una semana? c) A medida que transcurre el tiempo, ¿hacia qué valor tiende a estabilizarse la población? 6. Se define poder adquisitivo, PA, como la cantidad de bienes o servicios (de precio unitario PU) que podemos adquirir con una determinada cantidad de dinero T, es decir, Página 4 de 30 PA = T/PU. Por ejemplo, si disponemos de 180 € para la compra de libros que cuestan 15 € cada uno, tenemos un poder adquisitivo de 12 libros. Calcula el límite del poder adquisitivo cuando T y PU dependen del tiempo t y este tiende a más infinito, en los casos siguientes: a) 𝑇(𝑡) = 5𝑡 + 1 𝑦 𝑃𝑈(𝑡) = 𝑡 2 + 1 b) 𝑇(𝑡) = 8𝑡 2 + 𝑡 𝑦 𝑃𝑈(𝑡) = 2𝑡 2 – 3 c) 𝑇(𝑡) = 3𝑡 + 12 𝑦 𝑃𝑈(𝑡) = 250 ACTIVIDAD 5: Con tu grupo de trabajo (máximo 3), investiga y expone un problema de la vida cotidiana, que se emplea el uso de los límites para su solución. Se entregará ese problema, en un informe, para posterior sustentación ante los compañeros. GLOSARIO En el respaldo de mi cuaderno consulto el significado de lo siguiente: Límites: Asíntotas: Cotas: Tendencia: Continuidad: Discontinuidad: BIBLIOGRAFÍA O WEBGRAFÍA CIFUENTES RUBIANO, Julián y otros. Hipertexto 11 I. Bogotá: Editorial Santillana, 2010. 39 p. LOS CAMINOS DEL SABER. Matemáticas 11. Bogotá: Santillana. 2013. OROZCO, Luz Estella. Matemáticas proyecto së 11. Bogota: Ediciones S/M.2012. 83 p. Proyecto Sé. Matemáticas 11. Editorial SM TORRES LOPEZ, Blanca Nubia. Olimpíadas matemáticas 11. Bogotá: Editorial Voluntad, 2000. 160 p. http://www.aprendermatematicas.org/2batmateccss2analisis_funciones.html EVALUACION DEL ESTUDIANTE Criterio Valoración No cumplió con los requisitos previstos. D. Bajo Calcula límites y analiza su importancia en la vida cotidiana. Determinar intervalos de continuidad de una función. Calcula puntos máximos y mínimos absolutos de D. Básico funciones continuas e intervalos cerrados. Resuelve problemas que involucran el cálculo y análisis de límites y continuidad; además, analiza en ellos el problema de discontinuidad de una función, D. Alto argumentando si ella es evitable o no. Plantea y soluciona problemas, dentro y fuera de las matemáticas, los cuales involucren la interpretación grafica de funciones continuas y discontinuas; y analiza D. Superior en ellos la importancia de los límites de dichas funciones. REALIZADO POR REVISADO POR APROBADO POR JOSÉ LUIS PANTOJA CABRERA JORGE SUAREZ DOCENTE COOR. CIP COOR. ACADÉMICA Página 5 de 30 LIMITES POR SUSTITUCION DIRECTA Página 6 de 30 ASINTOTAS Página 7 de 30 CONTINUIDAD Página 8 de 30 DISCONTINUIDAD Página 9 de 30 TALLER HACER Página 10 de 30 Página 11 de 30 Límites y Continuidad 1. Límite de una función en un punto. Propiedades. 2. Límites en el infinito. 3. Ramas Infinitas. Asíntotas de una curva. 4. Cálculo de límites. El número e. 5. Función continúa en un punto y en un intervalo. Propiedades. Idea intuitiva de límite funcional. f ( x) 2.0,68 x Observa la gráfica de la siguiente función: Podemos ver en la gráfica que a medida que los valores de x están más próximos a cero los valores de la función se “aproximan” más a dos. Esto lo apreciamos claramente en la siguiente tabla de valores: x 0,1 0,01 0,001 0,0001 .... 0 .... -0,001 -0,01 -0,1 f(x) 1,92 1,99 1,999 1,9999 ……. 2 …… 2,0007 2,007 2,078 1 Observa la gráfica de esta otra función: f1 ( x) x 22 Se puede observar claramente que cuando los valores de x se “aproximan” a -2 los valores funcionales de f1 ( x) se hacen cada vez mayores. Esto se aprecia en la siguiente tabla de valores: x -1,9 -1,99 -1,999 .... -2 ... -2,001 -2,01 -2,1 f1(x) 100 10000 1000000 …. …. 1000000 10000 100 Observa la gráfica de esta nueva función: 8 f ( x) x En este caso podemos ver que a medida que los valores de x se hacen mayores los valores funcionales se “aproximan” cada vez más a cero. Observa la siguiente tabla de valores: x 10 100 1000000 .... f1(x) 0,8 0,08 0,000008 …. 0 Página 12 de 30 Por último, observa la gráfica de esta función: T (l ) 2. l En este caso, sobre la gráfica se observa que a medida que los valores de “l” crecen los valores de “T” crecen, también, cada vez más. Sobre una tabla de valores podemos comprobar lo dicho anteriormente: l 10 100 1000000 .... T 6,32 20 2000 …. Todos estos ejemplos nos llevan a poder dar una idea intuitiva del significado del concepto de límite funcional. Diremos que el límite de una función f es A( A puede ser cualquier número real o ) cuando x se aproxima a a ( a puede ser cualquier número real o ) si sucede que cuanto más se concentran los valores de x en las proximidades de a , los valores funcionales correspondientes se concentran en las proximidades de A . Todo esto se escribe de modo matemático así: lím f ( x) A xa 1. Límite de una función en un punto. - A) LÍMITES LATERALES FINITOS. A1) Límite por la izquierda: Se dice que lím f ( x) A si cuando x toma valores próximos a a , por su x a izquierda, f (x) toma valores cada vez más próximos al número A. A2) Límite por la derecha: Se dice que lím f ( x) A si cuando x toma valores próximos a a , por su x a derecha, f (x) toma valores cada vez más próximos al número A. Ejemplo. - Página 13 de 30 Observa sobre el gráfico de esta función como se cumple que: lím f ( x) 0 x 2 lím f ( x) 3 x 2 Fíjate ahora en este otro ejemplo: La función que tiene esta gráfica cumple que: lím f ( x) 0 x 1 lím f ( x) 0 x 1 En el primer caso los límites laterales en el valor de x =2 son distintos, mientras que en el segundo ejemplo los límites laterales en el valor de x = 1 coinciden (valen cero). Se dice entonces que si los límites laterales toman el mismo valor, es decir, lím f ( x) A x a y lím f ( x) A existe el límite de f (x) en x a , se escribe: x a lím f ( x) A x a Si los límites laterales toman distinto valor en xa se dice que no existe el límite de f (x) en x a. B) LÍMITES LATERALES NO FINITOS. B1) Límite por la izquierda: Se dice que lím f (x) si cuando x toma valores próximos a a , por su x a izquierda, f (x) toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy grande que éste sea. B2) Límite por la derecha: Se dice que lím f (x) si cuando x toma valores próximos a a , por su x a derecha, f (x) toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy grande que éste sea. Ejemplo. - En esta gráfica de la función f1 ( x) vemos que se verifica: lím f ( x) x 2 1 lím f ( x) x 2 1 Página 14 de 30 B3) Límite por la izquierda: Se dice que lím f (x) x a si cuando x toma valores próximos a a , por su izquierda, f (x) toma valores cada vez “más negativos” (o sea, más pequeños). B4) Límite por la derecha: Se dice que lím f (x) si cuando x toma valores próximos a a , por su x a derecha, f (x) toma valores cada vez “más negativos” (o sea, más pequeños). Ejemplo. - En esta gráfica de la función f (x) vemos que se verifica: lím f ( x) , lím f ( x) x 0 x 0 Si lím f (x) y lím f (x) x a x a entonces: lím f (x) xa Si lím f (x) x a y lím f (x) x a entonces lím f (x) xa Si los límites laterales toman distinto valor en xa se dice que no existe el límite de f (x) en x a. C) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. C1) lím( f ( x) g ( x)) lím f ( x) lím g ( x) xa x a xa Siempre que no aparezca la indeterminación: C2) lím( f ( x).g ( x)) lím f ( x).lím g ( x) xa xa xa Siempre que no aparezca la indeterminación: 0. f ( x) f ( x) lím C3) lím ( g ( x) ) x a con lím( g ( x)) 0 x a x a lím g ( x) x a 0 Siempre que no aparezcan las indeterminaciones: o 0 lím g ( x) C4) lím( f ( x) ) lím f ( x) g ( x) xa con f ( x) 0 x a x a (*La función potencia solo está definida para valores positivos de la base) Siempre que no aparezcan las indeterminaciones: 0 ,0 0 ,1 2. Límites en el infinito. - A) LÍMITE FINITO. Página 15 de 30 Se dice que lím( f ( x)) A si al aumentar los valores de x tanto como queramos x los valores de la función f (x) se concentran en las proximidades de A. Se dice que lím( f ( x)) A si al hacer los valores de x tan negativos como x queramos los valores de la función f (x) se concentran en las proximidades de A. Se dice que lím( f ( x)) no existe, si al aumentar (o disminuir) los valores de x x cada vez más (cada vez más pequeños) los valores de f (x) ni crecen ni decrecen ni se acercan, cada vez más, a ningún número. Ejemplo. - B) LÍMITE NO FINITO. Se dice que lím( f ( x)) si al aumentar los valores de x tanto como queramos x los valores de la función f (x) son cada vez más grandes. Se dice que lím( f ( x)) si al aumentar los valores de x tanto como queramos x los valores de la función f (x) son cada vez más negativos. Se dice que lím( f ( x)) si al hacerse más negativos los valores de x los x valores de la función f (x) se hacen cada vez más grandes. Se dice que lím( f ( x)) si al hacerse más negativos los valores de x los x valores de la función f (x) se hacen cada vez más negativos. Todo lo referente a las propiedades de los límites de una función en un punto se cumple también en el caso de límites en el infinito. Es decir, todas las propiedades vistas en el apartado anterior se cumplen ahora poniendo en lugar de a , Ejemplo. - Página 16 de 30 Observa sobre la gráfica de la función f1 que se cumple: lím( f ( x)) x 1 En la gráfica de f3 puedes ver que se cumple: lím( f ( x)) x 3 Dibuja tú la gráfica de una función que modelice los límites: lím( f ( x)) y lím( f ( x)) x x Observación. - Al calcular este tipo de límites en el infinito puede que obtengamos una indeterminación (en apariencia), que no lo es en realidad. Comparación de infinitos Si tenemos que lím( f ( x)) y lím( g ( x)) x x Se dice que f es un infinito de orden superior a g si se verifica: f x g x lím o lo que es lo mismo: lím 0 x g x x f x Es fácil comprobar las siguientes afirmaciones: Dadas dos potencias de “x”, la de mayor exponente es un infinito de orden 2 x3 3 x 3 2 lím x superior: lím lím x 2 x 7x x 7 x1 x Dadas dos funciones exponenciales de bases mayores que 1(el límite cuando x de estas funciones es un infinito pues cuando x se dice un infinitésimo), la de mayor base es un infinito de orden superior. 2x lím x x 1,5 Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior 2x a cualquier potencia: lím 50 x 5000 x Página 17 de 30 Tanto las funciones exponenciales de base mayor que 1 como las potencias de “x” 1,5x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica: lím x ln x x lím x ln x Dos polinomios del mismo grado o dos potencias de la misma base son infinitos del f x mismo orden, es decir: lím g x l 0 x 8x 2 x 8 8 3 2 2x 1 lím 4 0 lím x 0 x 2 x 5 x 1 3 2 x 52 5 Familiarízate con estos sencillos resultados pues son muy útiles para el cálculo de límites. 3. Ramas infinitas. Asíntotas de una curva. - Al desarrollar el tema nos hemos encontrado en alguna ocasión tramos de una curva que se alejan indefinidamente, son las llamadas Ramas infinitas. Cuando una Rama infinita se ciñe (se aproxima) a una recta, a esta recta se la llama Asíntota de la curva y a la rama correspondiente se le llama: Rama asintótica. A) Rama infinita en x=a. Asíntota Vertical. Las únicas ramas infinitas que se pueden encontrar en valores concretos de la abscisa ( x a) son las ramas asintóticas verticales. Así, si una función f (x) verifica que lím f (x) decimos que ( x a) es una xa Asíntota Vertical de dicha función. La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de los límites laterales. Ejemplo. - x2 2 Las Asíntotas verticales de la función f ( x) 2 son: x0 y x2 x 2x Posición x 0 x 0 x 2 x 2 x -0,01 0,01 1,99 2,01 f (x) positiva negativa negativa positiva resulta lím f ( x) lím f ( x) lím f ( x) lím f ( x) x 0 x 0 x 2 x 2 Página 18 de 30 x 0 lím f ( x) lím f ( x) x 0 x 0 x2 lím f ( x) lím f ( x) x 2 x 2 Ejemplo. - Observa la gráfica de la función e indica si tiene Asíntota Vertical: En este caso la función presenta una Asíntota vertical ( x 0) Porque se verifica que: lím f ( x) y lím f ( x) x 0 x 0 En consecuencia: lím f ( x) x0 B) Ramas infinitas cuando x . Asíntota Horizontal. Asíntota oblicua. Rama Parabólica. Hay varios tipos de ramas infinitas cuando x : B1) Asíntota Horizontal. - Si se verifica que lím( f ( x)) A decimos entonces x que la recta de ecuación yA es Asíntota Horizontal de la función. La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de f ( x) A . Ejemplo. - 2x La función y tiene una Asíntota Horizontal y 2 , se cumple que: x3 lím( f ( x)) 2 y lím( f ( x)) 2 , x x la posición de la curva respecto a la Asíntota la determina el signo de la diferencia entre los valores: 2x 6 f ( x) A 2 x3 x3 x positivo f encima asíntota x negativo f debajo asíntota (Tiene además una Asíntota vertical en x 3 ) Ejemplo. - La función cuya gráfica es la dada más abajo, tiene una Asíntota horizontal y0 Página 19 de 30 Se cumple que lím( f ( x)) 0 x Evidentemente la gráfica muestra que la función está por encima de la Asíntota para los valores de x Ejemplo. - La función cuya gráfica es la de f 2 ( x) , tiene Asíntota horizontal y 3 Se cumple que lím( f 2 ( x)) 3 x Evidentemente la gráfica muestra que la función está por debajo de la Asíntota para los valores de x B2) Asíntota Oblicua. - Hay funciones f (x) que al hacer que x (o que ( x ) ) se aproximan mucho a una recta de ecuación y mx n m 0 ciñéndose a ella. Dicha recta se dice Asíntota Oblicua para esa función. Para que dicha recta sea Asíntota Oblicua de f (x) se ha de cumplir f ( x) a) lím f ( x) b) m lím 0 c) n lím f ( x) mx x x x x La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de f ( x) mx n . Ejemplo. - x 2 3x 1 La función y tiene una Asíntota Oblicua yx2 x 1 x2 3x 1 lím x 2 3x 1 x 1 x 1 x 3x 1 1 2 x a) b) m lím x2 3x 1 x x x2 x lím x x 1 x 2 3x 1 2x 1 c) n lím 1.x lím 2 x x 1 x x 1 Página 20 de 30 x 50 100 1000 → ∞ x 3x 1 2 f ( x) x 1 47,98 97,99 997,999 yx2 48 98 998 DIFERENCIA 0,02 0,01 0,001 → 0 Ejemplo. - 3 x La función y tiene una Asíntota oblicua. x 2x 2 Asíntota Oblicua: yx2 Haz tú los cálculos como en el ejemplo anterior: B3) Ramas Parabólicas. - Si se cumple lím f (x) y la x curva no tiene Asíntota Oblicua entonces la curva presenta una Rama Parabólica. Hay dos tipos: 1. Tipo 1.- La curva crece, o decrece, cada vez más deprisa. De este tipo son las ramas parabólicas de las funciones polinómicas y exponenciales. 2. Tipo 2. - La curva crece, o decrece, cada vez más despacio. De este tipo son las ramas parabólicas de las funciones radicales y logarítmicas. Ejemplo. - La función f ( x ) x 1 tiene una Rama parabólica tipo 2 La función crece cada vez más despacio. lím f (x) x Ejemplo. - La función y 2.(0,68) x tiene una Rama parabólica tipo 1 Página 21 de 30 La función decrece cada vez más rápido. lím f (x) x Ejemplo. - Dadas las funciones: y log 3 x y y 3x . Determina sus ramas parabólicas. 4. Calculo de Límites. El número e.- A) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo. - x 1 x2 Calcula el siguiente límite: lím 2 indeterminación x 1 x 1 x 1 Para resolverla efectuamos la operación indicada entre paréntesis: x 1 x 2 ( x 1).( x 1) x 2 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 1 x2 1 x2 1 x 1 x 1 x2 2 x 1 si x 1 Por tanto, se cumple que: lím 2 = lím 2 x 1 x 1 x 1 x1 x 1 si x 1 Página 22 de 30 y 2x 1 Observa la gráfica de: f ( x) x2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 En otros casos, sobre todo aquellos en que aparecen radicales, basta multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo. Calcula el siguiente límite: lím x x x indeterminación Para resolverla multiplicamos y dividimos la expresión dada por su conjugada. ( x x ).( x lím x x = lím ( x x ) x) = lím x2 x x x x x x Evidentemente el último límite es más infinito pues crece más rápidamente el numerador que el denominador. B) INDETERMINACIÓN 0. En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo. - x2 x 1 Calcula el siguiente límite: lím . 2 indeterminación 0. x 0 x 1 x Para resolverla efectuamos la operación indicada entre paréntesis: x 2 x 1 x 2 .( x 1) x 1 . 2 2 y, en consecuencia: x 1 x ( x 1).x x 1 x2 x 1 lím . 2 = lím x 1 1 x 0 x 1 x x 0 x 1 0 C) INDETERMINACIÓN 0 Cuando solamente aparecen funciones racionales basta con descomponer factorialmente numerador y denominador. Página 23 de 30 Ejemplo. - x 2 5x 6 0 Calcula el siguiente límite: lím 2 indeterminación x 2 x 3 x 10 0 Para resolverla descomponemos factorialmente numerador y denominador. x 2 5x 6 x 3. x 2 x 3 2 en consecuencia: x 3 x 10 x 5 . x 2 x5 x 2 5x 6 lím 2 = lím x 3 1 x 2 x 3 x 10 x 2 x 5 7 En aquellos casos en los que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo. - x 1 0 Calcula el siguiente límite: lím indeterminación x 1 1 x 0 Para resolverla multiplicamos numerador y denominador por 1 x . x 1 x 1. 1 x 1 x . 1 x = 1 x 1 1 2 lím 1 x 1 = lím = lím x x1 1 x . 1 x x1 1 x lím x 1 D) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con dividir numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplo. - 4x2 x 1 Calcula el siguiente límite: lím indeterminación x x 1 2 Para resolverla dividimos numerador y denominador por x 2 1 1 4x 2 x 1 4 4x x 1 2 x2 = x x2 = 4 4 lím = lím lím x2 1 x2 1 x 1 1 x x x2 1 2 x Ejemplo. - x2 x Calcula el siguiente límite: lím indeterminación x x Para resolverla dividimos numerador y denominador por x Página 24 de 30 x2 x 1 x x 2 1 x2 x x = x2 = x 1 lím = lím lím lím = 1 x x x x x x x 1 1 x x Observa la siguiente gráfica: y Gráfica de: 4 x2 x 3 f ( x) x 2 1 x f ( x) 1 x A.H . : y 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 x f ( x) 1 -3 A.H . : y 1 -4 x x2 x Observa que en el caso de que el límite: lím 1 se obtendría x x dividiendo numerador y denominador por: x (Dentro de una raíz cuadrada el número ha de ser positivo) y así se explica que ese límite valga -1. E) INDETERMINACIÓNES: 1 ,0 0 , 0 Para resolver este tipo de indeterminaciones usaremos la denominada Regla de L’hôpital basada en las derivadas y que veremos más adelante. De todas formas (si la indeterminación es 1 ) hay una fórmula de resolución para esa indeterminación de uso muy frecuente basada en el número e. Veámosla, pero primeramente recordemos que: n 1 La sucesión numérica definida por an 1 tiene límite finito cuyo valor es un n número irracional que se representa por la letra ( e ). Aproximadamente este número vale: e 2,718281 ........ Veamos ahora distintos límites relacionados con el número e que nos van a permitir establecer la fórmula de resolución de las indeterminaciones: 1 Página 25 de 30 A) lím 1 n n e (siendo 1 n cualquier sucesión con lím n 0 ) n 0 n 1 tenemos que lím n 0 y n 1 En efecto, hagamos n n n n n 1 lím 1 n 1 Sustituyendo en A) n lím 1 e n 0 n n n 1 1 B) lím 1 e 1 n n e 1 1 Si hacemos n tendremos que: lím n 0 y n n n n 1 1 n 1 lím 1 n lím 1 n n lím 1 n n 1 e 1 1 n n 0 n 0 e n x C) lím 1 e x n n x Si hacemos n tendremos que: lím n 0 y n x n n n x x n lím 1 n n lím 1 n n e x 1 lím 1 x n n n 0 n 0 log1 n D) lím loge . En efecto: n 0 n log1 n log 1 lím log1 n n log e 1 lím n lím 1 n 0 n n 0 n 0 n E) Sean n y n dos sucesiones tales que: lím n 1 y lím n n n lím n n En este caso tendremos la indeterminación: 1 n Se verifica la siguiente igualdad de límites: lím n n 1 lím n n e n n Página 26 de 30 n n 1 lím n 1 0 n n 1 n 1 n 1 1 Como: y A) n n n 1 lím n n 1 lím n n lím1 n 1 n 1 1 e n n n Ejemplo. - 2 x 3 x 2 Calcula el límite: lím tenemos una indeterminación 1 x x 1 Aplicamos pues la fórmula dada más arriba y tenemos que: x2 2 x 3 lím 2 x 3 . 1 lím 4 x6 x 2 x 1 x 1 lím = e x = e x e4 x x 1 Calcula tú como ejercicio el límite siguiente del mismo modo: 2 x4 x 3 lím Solución: e 2 x x 2 5. Función continua en un punto y en un Intervalo. - La idea de función continua es, como ya sabemos, la de aquella cuya gráfica puede ser construida con un solo trazo. Al trabajar con la expresión analítica de la función, veremos que el concepto de límite es fundamental para el estudio de la continuidad, de tal modo que estableceremos un criterio, basado en el límite, para determinar cuándo una función es o no continúa. Ejemplo. - Observa las gráficas de distintas funciones: Esta función tiene por expresión analítica: 4 si x 0 f ( x) 4 x si 0 x 5 2 x 11 si x 5 Observa su trazo continuo en todo Página 27 de 30 Esta otra función tiene por expresión analítica: x3 si x 1 f ( x) 2 si x 1 x Observa su trazo continuo en su dominio D [3,) En estos dos primeros casos las funciones dadas son ambas de trazo continuo, pero hay otros casos en los que las funciones tienen una gráfica que no puede ser dibujada con un único trazo. Veamos distintos casos: Esta función tiene por expresión analítica: x 2 si x 0 f ( x) 2 x si 0 x 3 x 2 si x 3 Observa su trazo no continuo en el valor de x=3 En los demás puntos de su dominio su trazo es continuo Observa las gráficas de distintas funciones que no tienen un único trazo y por tanto no son continuas: Veamos pues ahora cual es la formalización matemática del concepto de continuidad. Diremos que una función de expresión analítica y f (x) es continua en un “punto” de su dominio x a si se verifican estas condiciones: a ) Existe f (a) b) Existe lím f ( x) xa c) lím f ( x) f (a) xa Página 28 de 30 Observación 1: la palabra existe de la condición a) quiere decir que el resultado sea un número real Observación 2: la condición c) basta para definir la continuidad en un punto de la función dada pues si esta condición c) se verifica, necesariamente se han de dar a) y b). Observación 3: cuando una función no es continua en un punto se dice discontinua Diremos que una función y f (x) es continua en un intervalo abierto a, b si es continua en todos y cada uno de los puntos de dicho intervalo. Diremos que una función y f (x) es continua por la derecha en un punto de su dominio x a si se cumple lím f ( x) f (a) x a Diremos que una función y f (x) es continua por la izquierda en un punto de su dominio x a si se cumple lím f ( x) f (a) x a Diremos que una función y f (x) es continua en un intervalo cerrado a, b si: 1. y f (x) es continua en el intervalo abierto a, b 2. y f (x) es continua por la derecha en xa 3. y f (x) es continua por la izquierda en x b Es conveniente señalar aquí que todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas) son todas continuas en los puntos en los que están definidas (o sea, en su dominio). PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. Sean f (x) y g (x) dos funciones continuas en x a se tiene entonces que: 1. f ( x) g ( x) es continua en x a 2. f ( x).g ( x) es continua en x a 3. f ( x) es continua en xa g ( x) 4. f ( x) g ( x ) es continua en x a ( suponiendo f (a) 0 ) Tipos de Discontinuidad de las Funciones. - Ya hemos señalado anteriormente que una función es Discontinua en un punto x a cuando no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad en ese punto. De ahí que podamos establecer distintos tipos de Discontinuidad: Página 29 de 30 1. Evitable. - Cuando existe el lím f (x) pero no coincide con el valor de f (a) ,por xa una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f (a) Ejemplo. - (En este caso el punto es: a 1 ) El valor de la función en el punto es: f (1) 4 El valor del límite en ese punto es: lím f ( x) 2 x 1 En este caso son distintos los valores. (En este caso el punto es: a 2 ) El valor de la función en el punto f (2) No existe El valor del límite en ese punto es lím f ( x) 3 x2 En este caso no existe f (2) 2. De Salto. - Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. Ejemplo. - lím f ( x) 6 y lím f ( x) 5 x 3 x 3 En este caso los límites laterales no coinciden siendo ambos finitos. Salto lím f ( x) lím f ( x) 5 6 1 xa xa 3. Asintótica. -Alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Ejemplo. - Para esta función los límites laterales en x 1 son ambos no finitos, de hecho: lím f ( x) lím f ( x) x 1 x 1 Página 30 de 30 4. Esencial. - Cuando no existe alguno (o ambos) de los límites laterales Ejemplo. - Observa la gráfica de la siguiente función: 1 sin si x 0 f ( x) x lím f ( x) No hay; lím f ( x) 0 x 0 x 0 sin( x) si x 0 y x -2 -1 1 2