1EJERCICIOS UNIDAD 2 ESTIMACIÓN TEORÍA Ejercicios propuestos Nro. 3 Texto guía páginas 330 – 334 Ejercicio 10.1 Si X1, X2,…, Xn constituyen una muestra aleatoria de una población con la media , ¿qué condición se debe imponer a las constantes a1 , a2 ,..., an de manera que a1 X 1 a2 X 2 sea un estimador insesgado de ? an X n Ejercicio 10.2 Si ˆ1 y ˆ2 son estimadores insesgados del mismo parámetro , ¿qué condición se debe imponer a las constantes k1 y k2 de manera que k1ˆ1 k2ˆ2 también sea un estimador insesgado de ? Ejercicio 10.5 Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población que tiene la media conocida y la varianza finita 2 , muestre que 1 n 2 Xi n i 1 es un estimador insesgado de 2 . X 1 es un estimador sesgado del parámetro binomial . ¿Es n2 este estimador asintóticamente insesgado? Ejercicio 10.7 Muestre que Ejercicio 10.10 Si X1, X2,…, Xn constituyen una muestra aleatoria de una población normal con 0 , muestre que X i2 i 1 n n es un estimador insesgado de 2 . Ejercicio 10.11 Si X es una variable aleatoria que tiene la distribución binomial con los X X parámetros n y , muestre que n 1 es un estimador sesgado de la varianza de X. n n Ejercicio 10.13 Muestre que si ˆ es un estimador insesgado de y var ˆ 0 , entonces ˆ 2 no es un estimador insesgado de 2 . 4 3 . Ejercicio 10. X3 constituyen una muestra aleatoria de tamaño n = 3 de una población normal con media y la varianza 2 . y las dos muestras son independientes.25 Si X1.15 Demuestre que la media de una muestra aleatoria de tamaño n es un estimador insesgado de varianza mínima del parámetro de una población de Poisson. encuentre la eficiencia del estimador del 1 inciso (a) con relativa a este estimador con 2 22 2 1 22 Ejercicio 10.14 Muestre que la proporción muestral Ejercicio 10. n1 n2 Ejercicio 10. (Sugerencia: trate como la media de una n muestra aleatoria de tamaño n de una población de Bernoulli con el parámetro . b) La varianza de este estimador es un mínimo cuando 22 2 1 22 Ejercicio 10. es un estimador insesgado de .22 Con respecto al ejercicio 10. X 2 es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la media y la varianza 22 . muestre que la varianza del estimador insesgado X1 1 X 2 es un mínimo cuando n1 . encuentre la eficiencia de X1 2 X 2 X 3 X X2 X3 relativa a 1 . Ejercicio 10. X2. donde 0 1. muestre que a) X1 1 X 2 .….21 Si X 1 es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la media y la varianza 12 .21.) Ejercicio 10.16 Si ˆ1 y ˆ2 son estimadores insesgados independientes de un parámetro dado y var ˆ1 3 var ˆ2 .2 X es un estimador insesgado de n X varianza mínima del parámetro binomial .23 Si X 1 y X 2 son las medias de variables aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 de una población normal con la media y la varianza 2 . encuentre las constantes a1 y a2 tales que a1ˆ1 a2ˆ2 sea un estimador insesgado con varianza mínima para una combinación lineal como ésta. 21.400 dólares. Ejercicio 10. Sea X1. Si x1 26. la diferencia de las medias poblacionales.34 Se toman muestras aleatorias de tamaño n1 y n2 de una población normal con la media y la varianza 2 . n2 = 50.5. Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de la varianza de X 2 X1 . Si n1 = 25. b) Sean X 1 y X 2 las medias muestrales. entonces 2 2 E ˆ var ˆ b Ejercicio 10.23. Una muestra de 16 familias americanas del distrito de Elm Park mostró unos ingresos medios de 69. Una muestra independiente de 10 familias en el distrito de Cherry Hills mostró unos ingresos medios de 86. x1 27.1. Ejercicio 6. Ejercicio 5. X2 y X3 una muestra aleatoria de una población con media y varianza 2 .0 y x2 32.200 dólares.31 Demuestre que si ˆ es un estimador sesgado de .200 dólares y una desviación típica muestral de 6. a) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de 2 1 . Sea X1 y X2 una muestra aleatoria de dos observaciones de una población con media y varianza 2 .700 dólares y una desviación típica de 9.3 Ejercicio 10. Texto de Newbold páginas 227 – 228. Considerar los siguientes tres estimadores puntuales de : 1 1 X X1 X 2 2 2 1 3 ˆ 1 X1 X 2 4 4 1 2 ˆ 2 X1 X 2 3 3 a) Probar que los tres estimadores son insesgados. Sean 1 y 22 la media y la varianza poblacionales de los ingresos familiares en Cherry Hills.33 Se toman muestras aleatorias de tamaño n de poblaciones normales con la media y las varianzas 2 4 y 2 9 . estime usando el estimador del ejercicio 10. Considerar los siguientes dos estimadores puntuales de : X 2 X 2 3X 3 X 4X2 X3 ˆ 1 1 ˆ 2 1 6 6 . Ejercicio 4. 230 – 231. b) ¿Cuál de los tres estimadores es más eficiente? c) Hallar la eficiencia relativa de X con respecto a los otros dos estimadores. estime usando el estimador del inciso (b) del ejercicio 10.6 y x2 38. …. Ejercicio 7. Sea X1. Cuarenta y dos de los encuestados se declararon preocupados por el déficit presupuestario y también se opusieron a los impuestos a la gasolina. Sean además c1. Hallar un estimador insesgado para la media poblacional que sea más eficiente que los dos estimadores propuestos. b) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para estimar la proporción poblacional de votantes preocupados por el déficit presupuestario que se oponen a los impuestos a la gasolina. X2. Ejercicio 19. Ejercicio 9. se encontró que 68 de ellos estaban preocupados por el déficit presupuestario y que 62 estaban en contra de los impuestos de la gasolina. Sea X1. Xn una muestra aleatoria de una población con media y varianza 2 . a) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para estimar la proporción poblacional de votantes que están preocupados por el déficit presupuestario y se oponen a los impuestos a la gasolina.4 a) b) c) d) Probar que ambos estimadores son insesgados. X2. Tomando una muestra de 100 votantes. d) Hallar un estimador insesgado para la media poblacional que sea más eficiente que los dos estimadores propuestos. b) ¿Cuál de los dos estimadores es más eficiente? c) Hallar su eficiencia relativa. c2. cn un conjunto de constantes. y considérese el estimador de ˆ c1 X 1 c2 X 2 cn X n a) Probar que ˆ es un estimador insesgado de sí y sólo si c1 c2 cn 1 b) Probar que la varianza de ˆ es V ar ˆ 2 c12 c22 c 2 n c n 2 2 i i 1 c) Probar que si ˆ es un estimador insesgado de entonces 2 c ci n1 n1 ci n1 n1 i 1 i 1 i 1 n n 2 i n 2 . ¿Cuál de los dos estimadores es más eficiente? Hallar su eficiencia relativa. Considerar los siguientes dos estimadores puntuales de : X 2 X 2 3X 3 4 X 4 ˆ 1 1 10 X 4 X 2 2 4X3 X4 ˆ 1 10 a) Probar que ambos estimadores son insesgados.…. X3 y X4 una muestra aleatoria de una población con media y varianza 2 . b) Probar que 2 n ˆ 22 X i X / n 2 i 1 Ejercicio 24. 2.6. Xn de una población con media y varianza 2 . Se considera el siguiente estimador de : 2 ˆ X 1 2 X 2 3 X 3 nX n n n 1 a) Probar que ˆ es un estimador insesgado de . ¿Es alguno de estos estimadores uniformemente mejor que el otro? Ejercicio 8. Xn una muestra aleatoria de una población con media y varianza 2 .2. b) Hacer una gráfica del ECM de cada estadística como funciones de p para n=10 y n=25. 8. Sea X1. Sea además X la media muestral. X2. n d) Usando los resultados obtenidos en (a) y (c).7. Ejercicio 8. a) Probar que n ˆ12 X i / n 2 i 1 es un estimador insesgado de . De las siguientes estadísticas.1 En un experimento binomial se observan x éxitos en n ensayos independientes. si tenemos libertad para escoger las constantes ci. la media muestral es el más eficiente. Ejercicio 20.…. X3 y X4 una muestra aleatoria de tamaño cuatro de una población cuya distribución es exponencial con parámetro desconocido.….5 Nótese que. Se toma una muestra aleatoria X1. X2. Indicación : n i i 1 n n n 1 n n 1 2n 1 y i2 2 6 i 1 Texto de Canavos páginas 294 – 295: Ejercicios 8. probar que de todos los estimadores de la forma ˆ . 8. X2. 8.1.…. ¿cuáles son estimadores insesgados de ? . la media muestral. la expresión se minimiza tomando ci n 1 para i = 1.2 Sea X1. Se proponen las siguientes dos estadísticas como estimadores del parámetro de proporción p: T1 X / n y T2 X 1 / n 2 . b) Hallar la eficiencia relativa de ˆ con respecto a X . a) Obtener y comparar los errores cuadráticos medios para T1 y T2. Xn constituyen una muestra aleatoria de una población con la media y la varianza 2 . Considérense las estadísticas T1 X1 X 2 X 5 / 5 y T2 X1 X 2 2X 3 X 4 X 5 / 6 como estimadores de .6 Sea X1. Xn constituyen una muestra aleatoria de tamaño n de una población dada por: 1 x e para x f x. X3. Ejercicio 10.59 Si X1. 1/ exp x / .6 1 1 X1 X 2 X 3 X 4 6 3 T2 X1 2 X 2 3X 3 4 X 4 / 5 T1 T3 X1 X 2 X 3 X 4 / 4 Ejercicio 8. 0 en cualquier otra parte . X2.….54 Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población exponencial. X2. use el método de momentos para encontrar un estimador del parámetro .…. x 0. X2. use el método de momentos para encontrar los estimadores de y 2. 2 0 en cualquier otra parte encuentre un estimador para por el método de momentos. Identificar la estadística que posee la varianza más pequeña. Ejercicio 8. Ejercicio 10. Deducir que el estimador eficiente de es la media muestral.….53 Si X1. X2. Xn constituyen una muestra aleatoria de tamaño n de una población dada por: 2 x para 0 x f x.58 Si X1. X4 y X5 una muestra aleatoria de una población cuya distribución es normal con media y varianza 2 . 4 Texto guía (Freud): Páginas 349 – 350 Ejercicio 10. Ejercicio 10. Ejercicios propuestos Nro.7 Mediante el uso de la cota inferior de Cramér-Rao determinar la varianza del estimador insesgado de varianza mínima de cuando se muestrea una población cuya distribución es exponencial con una densidad f x. 2 4. Hallar la proporción muestral de lotes con nivel porcentual de impurezas mayor que el 3.3. la varianza y la desviación típica muestrales.7 encuentre los estimadores para y por el método de momentos.8 a) Hallar la media.75% b) ¿Para qué parámetros poblacionales se han hallado en la parte (a) estimaciones por procedimientos insesgados? Ejercicio 2. la varianza y la desviación típica muestrales.0 3.72 Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población gamma con el parámetro conocido . d) Utilizar un estimador insesgado para estimar la proporción de hogares de este bario cuyo precio de venta es menor que 92. Se toma una muestra de ocho lotes de un producto químico para comprobar la concentración de impurezas. los precios de venta de estos hogares (en miles de libras) son 92 83 112 127 109 96 102 90 a) Hallar la media. encuentre un estimador de máxima verosimilitud para a) . b) ¿Para qué parámetros poblacionales se han hallado en la parte (a) estimaciones por procedimientos insesgados? c) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de la varianza de la media muestral.3 2.60 Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población uniforme continua. Ejercicio 10. use el método de momentos para encontrar fórmulas para estimar los parámetros y . Ejercicio 4.6 4.8 3. Considerar los siguientes tres estimadores puntuales de : 1 1 X X1 X 2 2 2 1 3 ˆ 1 X1 X 2 4 4 . Esta distribución se conoce algunas veces como distribución exponencial de dos parámetros.2 3. Sea X1 y X2 una muestra aleatoria de dos observaciones de una población con media y varianza 2 . Ejercicio 10. b) 2 1 .1 2.500 libras. Se toma una muestra aleatoria de ocho hogares en la ciudad de Londres. Los niveles porcentuales de impurezas encontrados en las muestras fueron: 3. y para 1 es la distribución del ejemplo 10. 2 Texto de Newbold: Ejercicio 1. 102 estaban a favor de extender los servicios del sistema de bibliotecas públicas. Ejercicio 16. De otra muestra independiente de 200 votantes de la misma población. b) Si pˆ 1 y pˆ 2 son las dos proporciones muestrales. Una muestra independiente de 10 familias en el distrito de Cherry Hills mostró unos ingresos medios de 86. De una muestra de 100 votantes en una ciudad. Sea X1.200 dólares y una desviación típica muestral de 6. la diferencia de las medias poblacionales. b) ¿Cuál de los tres estimadores es más eficiente? c) Hallar la eficiencia relativa de X con respecto a los otros dos estimadores. la diferencia entre las proporciones poblacionales. Sean 1 y 12 la media y varianza poblacionales de los ingresos familiares en Elm Park y 2 y 22 la media y varianza poblacionales de los ingresos familiares en Cherry Hills. b) Sean X 1 y X 2 las medias muestrales. Considerar los siguientes dos estimadores puntuales de : X 2 X 2 3X 3 X 4X2 X3 ˆ 1 1 ˆ 2 1 6 6 a) Probar que ambos estimadores son insesgados.700 dólares y una desviación típica de 9. hallar la varianza de pˆ1 pˆ 2 .200 dólares.8 1 2 3 3 a) Probar que los tres estimadores son insesgados. ˆ 2 X1 X 2 Ejercicio 5. d) Hallar un estimador insesgado para la media poblacional que sea más eficiente que los dos estimadores propuestos. Una muestra de 16 familias americanas del distrito de Elm Park mostró unos ingresos medios de 69. Sea p1 la proporción poblacional de votantes a favor de la reducción de impuestos a la propiedad y p2 la proporción poblacional de votantes a favor de extender los servicios de las bibliotecas públicas. Ejercicio 11. Ejercicio 6. a) Probar que ˆ ˆ es un estimador insesgado de . 1 2 1 2 . y ˆ2 un estimador insesgado de 2 . a) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de p1 p2 . a) Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de 2 1 .400 dólares. Utilizar un procedimiento de estimación insesgado para hallar una estimación puntual de la varianza de X 2 X1 . b) ¿Cuál de los dos estimadores es más eficiente? c) Hallar su eficiencia relativa. Sea ˆ1 un estimador insesgado de 1 . 62 estaban a favor de una inmediata reducción de los impuestos a la propiedad. X2 y X3 una muestra aleatoria de una población con media y varianza 2 . c2.…. Sea X1. y considérese el estimador de ˆ c1 X 1 c2 X 2 cn X n a) Probar que ˆ es un estimador insesgado de si y sólo si c1 c2 cn 1 b) Probar que la varianza de ˆ es var ˆ 2 c12 c2 2 cn 2 2 ci2 n i 1 c) Probar que si ˆ es un estimador insesgado de entonces ci2 ci n1 n1 ci n1 n1 n n i 1 i 1 2 n 2 i 1 Nótese que. probar que de todos los estimadores de la forma ˆ . (Utilizar el hecho de que la varianza muestral es un estimador insesgado de 2 . a) Probar que n ˆ12 X i / n 2 i 1 b) Probar que n ˆ 22 X i X / n 2 i 1 es un estimador sesgado de 2 y hallar su sesgo. la expresión se minimiza tomando ci n 1 para i 1. si tenemos libertad para escoger las constantes ci . X2. Se toma una muestra aleatoria X1. ) Ejercicio 21. X2.…. Explicar por qué esto es posible.…. Sea además X la media muestral. 2. Xn de una población con media y varianza 2 . n d) Usando los resultados obtenidos en (a) y (c). Xn una muestra aleatoria de una población con media y varianza 2 . Por ejemplo. Ejercicio 20. cn un conjunto de constantes. tenemos un estimador insesgado de pero no podemos encontrar ningún estimador insesgado de 2 . X2.….9 b) Probar que ˆ1 ˆ2 es un estimador insesgado de 1 2 . la media muestral es más eficiente. Ejercicio 19. Sea X1. Sean además c1. . Xn una muestra aleatoria de una población con media y varianza 2 . Se considera el siguiente estimador de : . Ejercicio 24. Existen algunos problemas de estimación para los cuales no se puede encontrar ningún estimador insesgado. si se toma una muestra de una sola observación de una población con media y varianza 2 . 19 Se desea obtener un indicador del éxito financiero de ciertas tiendas que venden artículos especiales en los centros comerciales de una gran ciudad.9.11 Sea X1. 2 x / 2 exp x 2 / 2 2 . X2.18. Se tendrá un dato significativo cuando se observen las primeras ocho tiendas que dejen de funcionar.10 ˆ 2 X1 2 X 2 3X 3 n n 1 nX n a) Probar que ˆ es un estimador insesgado de . Supóngase que el tiempo de falla es una variable aleatoria exponencialmente distribuida. a) Obtener un estimador de máxima verosimilitud para el parámetro . 436. El tiempo total de procesamiento para programas en tarjetas perforadas de computadora se define como el tiempo que transcurre desde que se lee la primera tarjeta hasta que se imprime la última línea. Supóngase que el tiempo en el que permanece operando una tienda de esta clase es una variable aleatoria de Weibull con 0. 448. el tiempo utilizado por el procesador central y el tiempo de espera de . 510. 474. 5. Ejercicio 4. 3.17 Los siguientes datos son tiempos de falla. 50. ordenados en horas de diez componentes que fallarán de un total de 40 en una prueba de duración: 421. 16. obtener el estimador de máxima verosimilitud para . con densidad f x.2. el tiempo de espera de entrada. 675. 499. y está constituido por tres componentes.….9. 496.8. x 0. 40.4. 593.9. a) Usando el resultado del ejercicio 8.5.5.000 horas. de operación en meses: 3. 20. Se selecciona una muestra aleatoria de 30 tiendas ubicadas en distintos centros comerciales y en donde el interés recae en el tiempo que éstas permanecen en operación. Indicación : y n i 2 i 1 n i i 1 n n 1 2 n n 1 2n 1 6 Texto de Canavos: Páginas 294 – 302 Ejercicio 8. ¿Es ésta una estadística para 2 ? Ejercicio 8. Obtener el estimador de máxima verosimilitud de 2 . b) Úsese la respuesta de la parte a para estimar la confiabilidad de este componente para t = 4. 6. la media muestral.20. b) Hallar la eficiencia relativa de ˆ con respecto a X . ¿cuál es la probabilidad de que una tienda permanezca en operación después de haber transcurrido dos años de su apertura? ¿Después de diez años? Ejercicio 4.525. Los siguientes datos son el tiempo en orden ascendente. b) Con base en la respuesta del inciso a. Xn una muestra aleatoria de una población cuya distribución es la de Rayleigh.3. 18. b) El método de momentos. en minutos.9. Supóngase que el tiempo total de procesamiento está modelado. 10.2.3.6.8. 10. Los siguientes datos son los tiempos totales de procesamiento. 6.9.2. a) Obtener el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro de escala . por una distribución gama con 3. en forma adecuada. 6.8.6. 3. 73. 5.2. 12. ¿daría un estimado diferente de al determinado en el inciso a? c) Mediante la respuesta del inciso a). 8.3. 15.8. .11 salida. para una muestra aleatoria de 15 programas similares: 12. calcular la probabilidad de que el tiempo de procesamiento sea mayor a 20 minutos. 9.4. 6.5. 7. 12 Apéndice 1. E (ˆ ) E ( X ) es un estimador insesgado para . Solución: Si X ~ P( ) entonces se tiene que f ( x) e x x! Además. i) Inicialmente. si ˆ es un estimador insesgado para y su varianza iguala a la cota inferior de CRAMER – RAO. Por lo tanto. Para determinar si un estimador es el más eficiente usamos el siguiente resultado. Sea ˆ un estimador insesgado para . verificamos que ˆ X efecto. Este estimador se conoce como el VMU de . Cota de Cramer – Rao. ) 2 nE donde n es el tamaño muestral y f es la fdp de la población. Definición 4. En . la varianza de ˆ satisface la siguiente desigualdad: 1 ˆ) var( Lnf ( x. E ( X ) y var( X ) 2 Para mostrar que ˆ X es el estimador VMU de procedemos de la siguiente forma. Es decir. Si ˆ es un estimador insesgado de y la varianza de este estimador es igual a la cota inferior de Cramer – Rao. para encontrar el estimador VMU de un parámetro se procede de la siguiente forma: Paso 1: Encuentre la cota inferior de Cramer – Rao. Paso 2: Identifique el estimador insesgado cuya varianza iguale la cota. entonces ˆ es el estimador más eficiente de . Si ˆ un estimador insesgado de y no hay ningún otro estimador insesgado para que tenga menor varianza que ˆ . entonces se dice que ˆ es el estimador más eficiente para . La Cota de Cramer – Rao. entonces decimos ˆ es el estimador insesgado más eficiente para . Ejemplo 4: Si X ~ Poisson (λ) entonces ˆ X es un estimador VMU de λ. En este caso. A continuación se obtiene la esperanza del cuadrado de la derivada anterior. como X ~ P( ) entonces se tienen e x x! b. 2 ) . Para encontrar la cota de Cramer – Rao procedemos asi. Ahora derivamos ln[ f ( x)] con respecto . que viene dado por que f ( x) e x x ln[ f ( x)] ln ln e ln ln x ! x! x ln ln x ! c. a. 2 x 2 E[( x ) 2 ] E ln[ f ( x)] E 2 Ahora. A continuación se obtiene el logaritmo de la fdp de X. var( X ) n n . esto es x x ln[ f ( x)] x ln ln x ! 1 d. esto es. Finalmente. a) Muestre que X es el estimador VMU de Solución: Para encontrar el estimador VMU X es el estimador VMU de es necesario tener en cuenta que: var( X ) 2 E ( X ) E ( X ) .13 ii) A continuación mostramos que la cota de Cramer-Rao coincide con la varianza de ˆ X . Obtenemos la fdp de X. para ello buscamos la cota de Cramer – Rao y verificamos que es igual var( X ) 2 / n / n . ˆ X es el estimador VMU de 2 Ejemplo 5: Sea X ~ N ( . como E[( x ) 2 ] var( X ) entonces se obtiene que 2 2 E[( x ) ] var( X ) 1 E ln[ f ( x)] 2 2 2 e. obtenemos la cota inferior de Cramer – Rao que es Cota 1 1 var( X ) 1 n n n E ln[ f ( x)] Por lo tanto. . ) 1 2 2 2 ( x )2 e 2 2 b. . Buscamos la derivada de ln[ f ( x. ln[ f ( x.14 Para mostrar que X es el estimador VMU de hay que encontrar la cota de Camer – Rao y verificar que coincide con la var( X ) y para ello procedemos así: a. ln[ f ( x. entonces podemos concluir que X es el estimador VMU de b) Encontrar la cota inferior de Cramer – Rao para los estimadores de 2 . 2 )] 2 ( x ) 2 E[( x ) 2 ] E E 2 4 var( X ) 2 1 4 2 4 e. esto es. A continuación elevamos al cuadrado la derivada y buscamos la esperanza. . . La densidad de X ~ N ( . la cota de Cramer . 2 )] con respecto a . ( x ) 1 2 ln[ f ( x. Buscamos el logaritmo de la densidad.Rao es: Cota 1 Lnf ( x. )] ln e 2 2 2 2 2 ( x )2 1 2 ln 2 12 ln 2 2 2 c. 2 )] ( x )2 1 2( x ) (x ) 2 ln 2 12 ln 2 (1) 2 2 2 2 2 d. . ) 2 nE 1 n 1 2 n 2 Como la cota de Cramer – Rao coincide con var( X ) . 2 ) es: f ( x. . esto es. esto es. Finalmente. a) 0.15 Apéndice 2.05 es la probabilidad de que la proporción muestral esté por debajo de la proporción poblacional ¿en qué cantidad? c) 0. entonces se cumple que: i) E (ˆ) E ( X / n) ii) var(ˆ) ˆ 2 (1 ) n iii) La raíz cuadrada de ˆ es: ˆ 2ˆ es el error estándar de ˆ Esto es.30 es la probabilidad de que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional ¿en qué cantidad? . Se toma una muestra aleatoria de 120 individuos que se identifican como posibles comparadores de afeitadoras eléctricas. entonces Z v) En la práctica ˆˆ ˆ ~ N (0.10 es la probabilidad de que la proporción muestral exceda a la proporción poblacional ¿en qué valor? b) 0. el error estándar de (1 ) n iv) Si el tamaño muestral es grande.1) ˆˆ ˆ ˆ (1 ) a n Ejemplo. Una compañía quiere estimar la proporción de personas que son posibles compradores de afeitadoras eléctricas que ven las retransmisiones de fútbol de la liga nacional. Supongamos que la proporción de posibles compradores de afeitadoras en la población que ven estas retransmisiones es 0. X Sea ˆ la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n donde X es el n total de éxitos en la muestra y es la proporción poblacional de éxitos.1) ˆ a ˆ es desconocida y se estima como ˆ(1 ˆ) n Entonces. La distribución en el muestreo de la proporción muestral. para tamaños muestrales grandes se cumple que: Z ˆ ˆ ~ N (0.25.