SOLUCION SEGUNDO TALLER DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICAMARIO ALFONSO GALLO CELY COD: D7302277 1) Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos, d) Determinar la esperanza matemática de que los accidentes se atribuyan a errores humanos, e) Hallar la desviación estándar y el coeficiente de variación. Solución: a) n=5 x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 accidentes debidos a errores de tipo humano p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75 q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25 Respuesta: Probabilidad del 9% b) Respuesta: Probabilidad del 1.5% c) n =5 x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano x = 0, 1, 2, 3 accidentes debidos a errores humanos p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25 q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75 Respuesta: Probabilidad del 9% d) Esperanza matemática: E(x) = p * n E(x) = 0.75 * 5 3.75% e) Coeficiente de variación: Desviacion estandar: 2) Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 7 tabletas de narcótico en una botella que contiene 15 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 4 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? c) Determinar la esperanza matemática de que sea arrestado el viajero, d) Hallar la desviación estándar y el coeficiente de variación. Solución: a) N = 8+7 =15 total de tabletas a = 7 tabletas de narcótico n = 4 tabletas seleccionadas x = 0, 1, 2, 3 o 4 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 4 tabletas p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 4 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico) 1 – p(x=0; n=4) = 1 – (7C0*8C4 / 15C4) 1 – ((1*70) / 1365) = 0.948717 Respuesta: Probabilidad del 94.9% b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos) p(x=0; n=4) = (7C0*8C4 / 15C4) (1*70) / 1365) = 0.051228 Respuesta: Probabilidad del 5.12% c) Esperanza matemática: E(x) = (4*7) / 15 E(x) = 1.866 % d) Coeficiente de variación: Desviación estándar: 3) En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos. Solución: a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, etc. = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata Respuesta: Probabilidad del 33% b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, etc. = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata = 1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 Respuesta: Probabilidad del 26% c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, etc. = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata = 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106 Respuesta: Probabilidad del 20% aproximadamente. 4) El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada? Solución: x = variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas = 0.635” = 0.082” p(z = -2.41) = 0.492 p(x 7/16 pulgadas) = 0.5- p(z = -2.41) = 0.5-0.492 = 0.008 0.008 x 100% = 0.8% Respuesta: el 0.8% fue inferior a 7/16 de pulgada. 5) Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida Normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas. a. ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9,000 horas? b. ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas? Solución: a) Tubo 1 X1 = variable que nos define la duración en horas de un tubo fluorescente = 7,000 horas = 1,000 horas p(z1 = 2.00) = 0.4772 p(x1 9,000 horas) = 0.5 – p(z1 = 2.00) = 0.5 – 0.4772 = 0.0228 Tubo 2 X2 = variable que nos define la duración del tubo fluorescente del competidor = 7,500 horas = 1,200 horas p(z2 = 1.25) = 0.3944 p(x2 9,000 horas) = 0.5 – p(z2 = 1.25) = 0.5 –0.3944 = 0.1056 El tubo fluorescente del competidor tiene una probabilidad mayor de durar más de 9,000 horas. b) p(z1 = -2.00) = 0.4772 p(x1 5,000 horas) = 0.5 – p(z1 = -2.00) = 0.5 – 0.4772 = 0.0228 p(z2 = -2.08) = 0.4812 p(x2 5,000 horas) = 0.5 – p(z2 = - 2.08) = 0.5 – 0.4812 = 0.0188 El tubo fluorescente que tiene mayor probabilidad de durar menos de 5,000 horas es el del primero. 6) La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución Normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50. a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuantos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día? Solución: a) X = variable que nos indica el número de interruptores demandados por día a una compañía de cable = 200 interruptores por día = 50 interruptores por día X = 90 = 200 p(z = - 2.20) = 0.4861 p(x 90) = 0.5 – p(z = -2.20) = 0.5 – 0.4861 = 0.0139 0.0139 x 100% = 1.39% Respuesta: La demanda será de menos de 90 interruptores en un 1.39% de los días. b) p(z1= 0.50) = 0.1915 p(z2 = 1.50) = 0.4332 p(225 x 275) = p(z2) – p(z1) = 0.4332 – 0.1915 = 0.2417 0.2417 x 100% = 24.17% Respuesta: El 24.17% de los días se tendrá una demanda entre 225 y 275 interruptores. c) 94% de la demanda de todos los días. x = + z x = + z(p = 0.44) = 200 + z(p = 0.44)(50) = 200 + (1.55)(50) = 277.5 278 Respuesta: La compañía deberá producir 278 interruptores terminales cada día 7) En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72 puntos y la desviación estándar es de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en: a. 3 ó más puntos. b. 6 o más puntos. c. Entre 2 y 5 puntos. μ=72 σ=8 n1 = 28 n2 = 36 La diferencia de las medias poblacionales es = 72-72=0, al ser muestras de la misma población y la varianza es la misma. Z= [(X1-X2) -(μ1 -μ2) ] / raiz [ σ²/n1 + σ²/n2 ] Z= [(X1-X2) -(0) ] / raiz [ 8²/28 + 8²/36 ] Z= (X1-X2) / 2.016 a) P[(X1-X2) ≥ 3]= P[(X1-X2) / 2.016 ≥ 3/2.016] P[Z ≥ 1.49] P[(X1-X2) ≥ 3]= 0.0681 Respuesta: Probabilidad del 6.81% b) P[(X1-X2) ≥ 6]= P[(X1-X2) / 2.016 ≥ 6/2.016] P[Z ≥ 2.98] P[(X1-X2) ≥ 6]= 0.0014 Respuesta: Probabilidad del 0.14% c) P[ 2 <(X1-X2)< 5]= P[2/2.016< (X1-X2) / 2.016 < 5/2.016] P[0.99 < Z < 2.48] P[(X1-X2) ≥ 3]= 0.1545 Respuesta: Probabilidad del 15.45% 8) Un especialista en genética ha detectado que el 26% de los hombres y el 24% de las mujeres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150 mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de: a. Menos de 0.035 a favor de los hombres. b. Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres. Sean las proporciones poblacionales Ph=0.26 Pm=0.24 Los datos muestrales nh=150 nm=150 ph, pm proporciones muestrales Z=[(ph-pm)-(Ph-Pm)] / raiz[Ph(1-Ph)/nh +Pm(1-Pm)/nm] Z= [(ph-pm)-(0.26-0.24)] / raiz [0.26(1-0.26)/150 +0.24 (1-0.24)/150] Z= [(ph-pm)-(0.02)] / raiz [0.26(1-0.26)/150 +0.24 (1-0.24)/150] Z= [(ph-pm)-(0.02)] / 0.05 a) P[(ph-pm)<0.035]= P[ ([(ph-pm)-(0.02)] / 0.05 < (0.035 -0.02)/0.05] P(Z<0.30) P[(ph-pm)<0.035] = 0.6179 Respuesta: Probabilidad del 61.8% b) P[ 0.01< (ph-pm) < 0.04]= P[ (0.01- 0.02)/0.05<([(ph-pm)-(0.02)] / 0.05 < (0.04 -0.02)/0.05] P( - 0.20 < Z < 0.40) P[ 0.01 < (ph-pm) < 0.04] = 0.2347 Respuesta: Probabilidad del 23.5% 9) La vida media de una máquina para hacer pasta es de siete años, con una desviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estas máquinas siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre: a. La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años. b. El valor de la a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve. x = Vida media máquina; x = años) = 7 años = 1 año n = 9 maquinas a) Respuesta: Probabilidad del 69% b) Respuesta: 7.35 años aproximadamente 10) Se llevan a cabo dos experimentos independientes en lo que se comparan dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes con el tipo A y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lo mismo se hace con el tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son ambas 1.0. Suponga que el tiempo medio de secado es igual para los dos tipo de pintura. Encuentre la probabilidad de que la diferencia de medias en el tiempo de secado sea mayor a uno a favor de la pintura A. Respuesta: Probabilidad del 0.13%
Report "Taller 2_Probabilidad y Estadistica_ Mario Gallo"