PROBABILIDADHECHO POR: WILLIAM ALFONSO CASTILLO COD: 1119888250 MIGUEL ANGEL FRANCO ANGEL CÓD: 1120356484 CAMILO CASTRILLON RAMIREZ COD. 1120363185 GRUPO: 100402_358 TUTOR: FABIAN AUGUSTO MOLINA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA APORTE INDIVIDUAL 2013 .INTRODUCCION Realizar una revisión adecuada de los temas presentados en la unidad y realizar un taller de ejercicios que comprendan los contenidos de los capítulos 4. 5 y 6 de la Unidad 2 y que permitan profundizar en los temas allí tratados y en donde nos concientizamos e interiorizamos los conocimientos que hemos obtenido al realizar este trabajo. mediante el empleo de medidas numéricas. acordar la siguiente simbología: {X = x} denotará el evento formado por todos los resultados para los que X = x y P(X = x) será la probabilidad de dicho evento. Si se define X(cara)=0 y X(sello)=1. estudiar su comportamiento aleatorio. cuantificar) y no en cuál ejecución se obtiene un determinado resultado. El espacio muestral de este experimento aleatorio está constituido por dos resultados: cara y sello. Será importante pues. Es por esto que en la teoría de la probabilidad. tal como X. para ello se requiere primero definir claramente la variable aleatoria. la cual es conocida como variable aleatoria Una variable aleatoria es pues. Considere el lanzamiento de una moneda. Para facilitar estos cálculos se acude a una función que ubica el espacio muestral en el conjunto de los números reales. se hace necesaria la cuantificación de los resultados cualitativos de un espacio muestral para luego. se transforman los dos posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales. una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Lección 17: VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable). Toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes: . De esta manera P(X=0) representa la probabilidad de que el resultado al lanzar la moneda es cara.Lección 16: CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA En un experimento aleatorio lo que más interesa es conocer el número total de veces que se obtiene un mismo resultado en un determinado número de ejecuciones (es decir. Frecuentemente el interés recae en la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor particular. Ejemplo 1. Ellas se denotan con una letra mayúscula. Lección 21: DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA La variable aleatoria discreta más sencilla es aquella que toma sólo un número finito de valores posibles n. En general.EJEMPLO 1. Y su distribución uniforme discreta está dada por: Lección 22 DISTRIBUCION BINOMIAL Permiten enfrentar circunstancias en las que los resultados pertenecen a dos categorías relevantes. Esto es. Recibe el nombre de experimento binomial. La probabilidad de éxito denotada por p. . cada uno con la misma probabilidad.3 Determine si la siguiente tabla describe una distribución de probabilidad Para ser una distribución de probabilidad. un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que: Los ensayos son independientes. Sus dos resultados posibles son denotados por “éxito’’ y “fracaso’’ y se define por p la probabilidad de un éxito y 1-p la probabilidad de un fracaso. permanece constante. Este tipo de experimento aleatorio particular se denomina ensayo de Bernoulli. que ocurra que un evento determinado o que este no ocurra. Cada ensayo es de tipo Bernoulli. P(X=x) debe satisfacer los dos requisitos. tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso. 𝑝 La función de distribución geométrica acumulada se expresa como: Y la media y la variable aleatoria geométrica son: varianza de una . p) = 𝑞 𝑥 1 . La función de distribución binomial acumulada se expresa como: es Lección 23 DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA Y GEOMETRICA.n) . Distribución Binomial Geométrica El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados. ella tiene una distribución geométrica con parámetro p y se expresa: f (x.Y su función es: En muchos casos conveniente denotar la función de probabilidad binomial como b(x. p) = .……… ella se simplifica de la siguiente manera: g(x. Sea entonces la variable aleatoria X el número de ensayos realizados hasta obtener un éxito.p x = 1. p.2. el proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado o éxito. X tiene una distribución hipergeométrica y su función de distribución de probabilidad está dada por: ( )( ( ) Donde corresponde al valor menor entre el tamaño de la muestra k y el número máximo de éxitos que puede presentarse en la muestra n. La de distribución binomial negativa acumulada se expresa como: función Lección 24: DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Sea N el número de elementos de un conjunto de los cuales k son determinados como éxitos y N-k como fallas.Distribución Binomial Negativa Es una generalización de la distribución geométrica donde la variable aleatoria X es el número de ensayos Bernoulli efectuados hasta que se tienen r éxitos. 2.3. ) La función de distribución hipergeométrica acumulada se expresa como: . Sea también la variable aleatoria X el número de éxitos en la muestra. Se dice entonces que X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y r = 1. con una probabilidad constante de éxitos p. se trata ahora de determinar la probabilidad de x éxitos en n ensayos de los N elementos del conjunto donde . La distribución hipergeométrica suele expresarse como . Entonces.……. los. si éste puede dividirse en subintervalos suficientemente pequeños. al . confiabilidad y control de calidad. Como se puede observar se trata de hallar la probabilidad de ocurrencia de cualquier número por unidad de medición (temporal o espacial). y es proporcional a la longitud de estos. el número de fallas de una máquina en una hora o en un día. Un proceso Poisson constituye un mecanismo físico aleatorio en el cual los eventos ocurren al azar en una escala de tiempo (o de distancia). como el número de personas que llegan a un lugar determinado en un tiempo definido. los defectos en piezas similares para el material. La distribución de Poisson. el número de goles anotados en un partido de fútbol. etc. tales que: (1) La probabilidad de más de un acierto en un subintervalo es cero o insignificante. (3) El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de los demás subintervalos. el número de llamadas telefónicas por minuto. Dado un intervalo de números reales.∑ ( ) ( ( ) ) Lección 25: DISTRIBUCIÓN POISSON Esta es otra distribución de probabilidad discreta útil en la que la variable aleatoria representa el número de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante. (2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los subintervalos. la variable aleatoria X Correspondiente al número de ocurrencias en el intervalo es llamada variable aleatoria Poisson y su función de probabilidad está dada por: La distribución Poisson representa la probabilidad de que un evento aislado ocurra un número específico de veces en un intervalo de tiempo (o un espacio) dado. entonces el experimento aleatorio recibe el nombre de proceso Poisson o flujo de procesos de Poisson. la cantidad de vehículos que transitan por una autopista. el número de bacterias en un cultivo. es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas de líneas de espera. Dado un proceso Poisson donde es el número promedio de ocurrencias en el intervalo de números reales donde este se define. Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial con parámetro _ > 0 si su función de densidad es .fijarse la tasa de acontecimientos en un continuo temporal (o espacial). Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución normal si su función de densidad es: Lección 29: DISTRIBUCION EXPONENCIAL Y CHI CUADRADO Existe un tipo de variable aleatoria que obedece a una distribución exponencial la cual se define como EL TIEMPO QUE OCURRE DESDE UN INSTANTE DADO HASTA QUE OCURRE EL PRIMER SUCESO. En Lección 28: DISTRIBUCION NORMAL Y USO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss. el número promedio de ocurrencias del experimento aleatorio. en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución. Su parámetro es %. Se sabe que el 60% de los alumnos de una universidad asisten a clases el día viernes.0864 La probabilidad es del 0. b) por lo menos dos no asistan a clase. = 8 * 0. 1 1 = 8!/ 1! ( 8! – 1!) * 0.88 x 100% = 88% b) por lo menos dos no asistan a clase. x 0.027 * 0. = 8!/ 7! ( 8! – 7!) * 0. p = 0. . = 1 * 1 * 0.00163 = 0. En una encuesta a 8 alumnos de la universidad. x 0. 1 = 8!/ 2! ( 8! – 2!) * 0.6 n=8 q = 1 – p = 1– 0.0078 P (x = 2) = (8/2) * 0. ¿Cuál es la probabilidad de que a) por lo menos siete asistan a clase el día viernes.6 * 0. x 0.4 = 0. = 8 * 0. x 0.00065 P (x = 1) = (8/1) * 0. x 0. 1 x 0.6 = 0.EJERCICIOS DE LA UNIDAD 1. = 8!/ 0! ( 8! – 0!) * 0. x 0.4 p(x = r) = (n / r) * * a) por lo menos siete asistan a clase el día viernes P (x = 7) = (8/7) * 0. P (x = 0) = (8/0) * 0.00065 = 0. x 0. 1 = 0. = 4 * 0. x 0. Probabilidad de que se tenga que perdonar la deuda de uno de los cuatro P (x = 1) = (4/1) * 0.36 * 0.16% b.048 x 100% = 4.343 x 0. Los cuatro pacientes paguen sus facturas. P (x = 4) = (4/4) * 0. Los registros muestran que 30% de los pacientes admitidos en una clínica. 1 x 0.1 x = 0.= 28 * 0. Suponga que llegan 4 nuevos pacientes a la clínica.30 = 0.040 La probabilidad es de 0.70 p(x = r) = (n / r) * * a.30 n=4 q = 1 – p = 1– 0. no pagan sus facturas y eventualmente se condona la deuda. p = 0.004 = 0.3 * 0. = 4!/ 4! ( 4! – 4!) * 0. B) los cuatro pacientes paguen sus facturas. cual es la probabilidad de que se tenga que perdonar la deuda de uno de los cuatro.4116 x 100% = 41.0081 x 100% = 81% . x 0. = 1 * 8. 1 1 = 4!/ 1! ( 4! – 1!) * 0.1 x *1 = 8.8% 2. BIBLIOGRAFÍA Adriana Morales (Bogotá.unad. 2010) Modulo del curso Probabilidad. consultado el 14 de Noviembre de 2013 en su página web www.co .edu.