Hogeschool UtrechtLevensverzekeringswiskunde Inleiding en commutatietekens Drs. J.H Kruit 2013-2014, Cursuscode MEAC-FIN3LVW Voorwoord: Deze syllabus bevat een korte introductie levensverzekeringswiskunde. Voor de cursus wordt gebruik gemaakt van het lesboek Praktische levensverzekeringskunde met Excel. Deze syllabus is daarop een aanvulling en behandeld commutatietekens. Het berekenen met commutatietekens wordt in het lesboek als ouderwets afgedaan en tijdrovend. Maar hoe moeilijk het woord ook moge klinken, commutatietekens vergemakkelijken het uitrekenen van de opgaven aanzienlijk en zijn uitstekend als controlemiddel van de Excel berekeningen te gebruiken. Bovendien verhoogd het werken met commutatietekens het inzicht in de verzekeringsmaterie. Overigens klinkt het vak levensverzekeringswiskunde dor, droog en ingewikkeld. Maar vele studenten die de materie snel of wat minder snel toch onder de knie kregen, vonden het een zinvol en toch ook eigenlijk wel leuk vak. Al was het maar omdat achter elke berekening een mensenleven of juist een overlijden zit. In de uitgeverswereld geldt een oeroude stelregel. Als een boek een vergelijking bevat, dan zal het boek direct 50% in omzet dalen. Wie echter begint met de opgaven en gewoon doorwerkt, zal merken dat het allemaal wel meevalt. 2 Wat is levensverzekeringswiskunde? Het vak levensverzekeringswiskunde (lvw) gaat eigenlijk maar over twee dingen, dood en leven. En dat zijn twee elkaar uitsluitende gebeurtenissen: je bent dood of je bent levend. En dan gaat lvw verder alleen nog maar over geld. Hoeveel geld kost het nu om β¬ 100.000 uit te keren aan je partner als je dood gaat? En hoeveel geld kost het nu om β¬ 10.000 per jaar te krijgen als iemand over 10 jaar met pensioen gaat? Dit soort sommen worden gemaakt door de verzekeringsmaatschappijen. Er komen op de balans van de verzekeringsmaatschappij allerlei posten te staan wegens mogelijke overlijdensuitkeringen of pensioenuitkeringen. En deze balansposten moeten worden gecontroleerd. Enige kennis van lvw is dus beroepsmatig nodig. Maar in het dagelijks leven komt het ook van pas. Al was het maar om de woekerpolis van een βnormaleβ polis te kunnen onderscheiden. Leven en dood Iedereen gaat dood. De kans dat je ooit overlijdt is dus 100%. Maar hoe groot is de kans dat iemand volgend jaar overlijdt? Of hoe groot is de kans dat iemand nog 10 jaar leeft? Verzekeringsmaatschappijen gebruiken voor deze kansberekening de zogenaamde sterftetafels. In het boek worden deze uitgebreid uitgelegd, dus in deze syllabus wordt slechts volstaan met een korte, simpele omschrijving. In een sterftetafel wordt precies bijgehouden wie er in een periode van vijf jaar leeft en wie er is overleden. Opmerkelijk is dat, voordat de eerste wereldoorlog uitbrak, ook sterftetafels werden gebruikt voor paardenverzekeringen, maar die in de oorlog niet echt bruikbaar meer waren. Vereenvoudigd voorbeeld sterftetafel: πΏ 30 πΏ 31 πΏ 32 πΏ 33 R R R R = 100 = 90 = 80 = 70 Er zijn 100 levenden (πΏ) die 30 jaar oud zijn Er zijn 90 levenden (πΏ) die 31 jaar oud zijn Er zijn 80 levenden (πΏ) die 32 jaar oud zijn Er zijn 70 levenden (πΏ) die 33 jaar oud zijn Hoe groot is nu de kans dat een 30 jarige 31 wordt? Dit is kansrekenen: van de 100 30- jarigen worden er 90 ook daadwerkelijk 31. Van de 100 30-jarigen zullen er dus 10 doodgaan op de leeftijd van 30. De kans dat een 30 jarige ook echt 31 wordt is dus: het aantal 31 jarigen/ het totaal aantal 30 jarigen en dat is 90/100 = 0,9 , in procenten 0,9*100% = 90%. Een ander voorbeeld: wat is de kans dat een 32 βjarige nog leeft na 1 jaar? Uitkomst: er zijn 80 32-jarigen en slechts 70 daarvan worden 33. Dus de rest (80-70) gaat helaas dood op 32-jarige leeftijd. De kans dat een 32 jarige ook 33 wordt is dus 70/80 *100% = 87,5%. De overlijdenskans van een 30-jarige binnen een jaar is dus 10% (100%-10%). De overlijdenskans van een 32-jarige binnen een jaar is dus (100% -87,5%) = 12,5%. 3 Interest Meneer Jansen, 30 jaar, besluit om bij een verzekeringsmaatschappij een kapitaalverzekering te nemen. Hij krijgt een kapitaal van β¬ 100.000 als hij over 20 jaar nog in leven is. We kunnen nu met behulp van een sterftetafel uitrekenen hoe groot de kans is dat hij over 20 jaar in leven is. Als meneer Jansen binnen de 20 jaar overlijdt, hoeft de verzekeringsmaatschappij niets uit te keren. De verzekeringsmaatschappij heeft geen winstdoelstelling en maakt geen kosten. De waarde van de β¬ 100.000 over 20 jaar is nu (bij het afsluiten van de verzekering) een stuk minder. Hoe verder de bedragen in de toekomst, hoe minder ze nu waard zijn. Iemand wil liever β¬ 1 nu, dan β¬1 over 1 jaar. Als hij de β¬ 1 nu krijgt en op de bank zet, krijgt hij er misschien 3% interest bij. De waarden in de toekomst dienen terug te worden gerekend (contant te worden gemaakt) naar het begin om goed te kunnen worden vergeleken. Voorbeeld: jaar Uitkering Levenden 0 0 100 10 0 90 20 100.000 60 De interest bedraagt 3% per jaar. De verzekeringsmaatschappij berekent de contante waarde van de toekomstig uit te keren β¬ 100.000 en houdt daarbij ook kans met het in leven zijn of overlijden van meneer Jansen. De prijs die meneer Jansen moet betalen voor de verzekering is dus aan het begin van jaar 0: Prijs = Prijs = πΏβ β 1 * πΏββ 1,0320 60 1 β 100 1,0320 * π’ππ‘π β 100.000 Prijs = 0,6* 0,5538* 100.000 Prijs = β¬ 33.2281 De kans dat meneer Jansen in leven is na 20 jaar is 0,6 (60%) en de contante waarde van β¬ 100.000 over 20 jaar is op het begin 100.000/(1,03^20). Als de verzekeringsmaatschappij alleen maar rekening zou houden met de contante waarde, zou de prijs die meneer Jansen voor de verzekering moet betalen veel hoger moeten zijn. In de verzekeringswereld wordt vaak gewerkt met symbolen: voor πΏβ β πΏββ R * 1 (1+π)Β²β° *1 4 wordt de volgende naam gebruikt: A 30 20 Het verticale streepje boven de 20 geeft aan dat de grote A een levensverzekering is. De 30 geeft de leeftijd weer van de verzekeringsnemer aan het begin van de verzekering. De 20 geeft de looptijd aan. De uitkering is hier β¬ 1. Deze symbolen kunnen ook op een andere manier worden uitgedrukt: πΏβ β 1 β πΏββ 1,0320 β1 Deze vergelijking wordt vermenigvuldigd met 1, alleen wordt dat nu De vergelijking wordt dan: πΏβ β 1 β πΏββ 1,0320 β 1,03βΎΒ³β° 1,03βΎΒ³β° πΏβ β 1,03βΎβ΅β° β πΏββ 1,03βΎΒ³β° *1 1,03βΎΒ³β° 1,03βΎΒ³β° . β1 Dit kan ook worden geschreven als: In de verzekeringswereld is afgesproken dat πΏβ β * 1,03βΎβ΅β° voortaan π· 50 wordt genoemd. Het aantal levenden wordt verdisconteerd met hun leeftijd. Dit is het eerste commutatieteken dat wordt behandeld in deze syllabus. Als we doorgaan met de formule wordt πΏββ* 1,03βΎΒ³β° voortaan π· 30 . R R Nu wordt de formule wel erg gemakkelijk uit te rekenen, want π· 50 en π· 30 worden vaak al gegeven. R R Mevrouw Klas gaat ook een verzekering afsluiten. Zij is 30 jaar en wil over 20 jaar een uitkering van β¬ 100.000 hebben. De verzekeringsmaatschappij gebruikt de sterftetafel (GBV met 4%) die is opgenomen achterin deze syllabus. De prijs van de verzekering is nu op 3 manieren uit te rekenen: 1. Invullen in symbolen 2. Commutatietekens gebruiken 3. ActuariΓ«le functie gebruiken in excel 5 Deze methodes moeten natuurlijk wel allemaal dezelfde uitkomst hebben: Methode 1: Prijs = Prijs = Methode 2: π·β β π·ββ πΏβ β 1 * πΏββ 1,04Β²β° 9662170 * 9914233 * 100.000 = Methode 3: * 100.000 0,45639 * 100.000 = β¬ 44.478,36 13596 30567 * 100.000 = β¬ 44.479,34 In het boek is de actuariΓ«le functie Actfunc_npx aangemaakt. In het boek wordt uitgelegd dat n P x aangeeft de kans dat een x jarige nog n jaar leeft. Als je deze functie wilt gebruiken, zorg dan dat je de goede sterftetafel gebruikt. In de les komen we hierop terug. Als mevrouw Klas overlijdt binnen de 20 jaar, vervalt de verzekering en heeft de verzekeringsmaatschappij een mooie winst. Er zijn geen lasten, maar wel een mooie grote bate aan het begin. Dit wordt oneerbiedig een mooie dooie genoemd. Rente Mevrouw de Jong is 30 jaar oud en wil bij een verzekeringsmaatschappij een uitkering krijgen op als ze 31 wordt, en ook als ze 32 wordt. De verzekeringsmaatschappij streeft in dit voorbeeld geen winst na en maakt ook geen kosten. Het enige waar de verzekeringsmaatschappij rekening mee houdt, zijn de contante waarden van de uitkeringen en de overlevingskansen van mevrouw de Jong. Aangenomen wordt dat mevrouw de Jong leeft en sterft volgens de sterftetafel van de vrouwen. Is dat niet het geval, maakt de verzekeringsmaatschappij een winst of anders een verlies. Op een tijdlijn wordt weergegeven de uitkeringen en het aantal levenden. Tijdstip levenden Uitkering 30 31 32 9914233 9909033 9903495 0 50 50 Wat is de prijs die mevrouw de Jong bij het begin van de verzekering moet betalen? Anders gezegd, wat is de contante waarde van de twee toekomstige uitkeringen rekening houdend met een interest van 4% en overlevingskansen gebaseerd op de sterftetafel op bladzijde ? 6 De prijs kan op drie manieren worden berekend: 1. Met symbolen 2. Met commutatietekens 3. Met Excel Ad1 In symbolen. Mevrouw de Jong moet in leven zijn op haar 31ste en op haar 32ste. De eerste uitkering op haar 31ste hoeft maar een keer teruggerend te worden. De tweede uitkering op haar 32ste moet twee jaar worden teruggerend. En ze moet twee jaar leven om twee uitkeringen te krijgen. In symbolen wordt dat als volgt uitgedrukt: Prijs = πΏββ πΏββ * 1 * 1,04 50 + 9909033 πΏββ πΏββ * 1 1,04Β² * 50 9903495 Prijs = 9914233 * 0,9615 * 50 + 9914233 * 0,9246 *50 = Prijs = 48,05 + 46,18 = 94,23 Ad 2 Met commutatietekens: Prijs = Prijs = π·ββ π·ββ * 50 + 29376 * 30567 π·ββ π·ββ 50 + * 50 28231 * 30567 50 Prijs = 48,05 + 46,18 = 94,23 Ad 3 Zie het boek voor de actuariΓ«le functie Tijdelijke of levenslange uitkering bij in leven zijn. Indien mevrouw de Jong niet twee jaar maar een veel langere gelijkblijvende uitkering bij in leven wil krijgen, zal het lastig zijn om de prijs van deze verzekering te berekenen. Stel dat mevrouw de Jong levenslang lang ieder jaar een uitkering bij in leven wil ontvangen, dan wordt de berekening wel erg lang en tijdrovend. Prijs = π·ββ π·ββ β π’ππ‘π + π·ββ π·ββ β π’ππ‘π + β¦β¦einde sterftetafel Deze som kan ook anders worden geformuleerd door een nieuw commutatieteken te gebruiken. Dan gaat het uitrekenen een stuk sneller. Als alle π·βs bij elkaar worden opgeteld, wordt dit het nieuwe commutatieteken N. Dus π 31 = π· 31 + π· 32 + π· 33 + π· 34 + β¦β¦β¦. R R R R R 7 De formule voor de prijs kan dus een stuk eenvoudiger worden geschreven als: Prijs = πββ π·ββ * π’ππ‘π Eenmalig kapitaal bij overlijden. Mevrouw Jansen besluit op 60 jarige leeftijd een 1 jarige overlijdensverzekering te nemen. Mocht zij binnen 1 jaar overlijden, dan keert de overlijdensverzekering β¬100.000 uit. Mocht zij niet overlijden binnen een jaar, dan hoeft de verzekeringsmaatschappij ook niets uit te keren. In de sterftetafel staat gegeven: Het aantal levende vrouwen van 60 = 9260724 Het aantal levende vrouwen van 61 = 9195650 Er zijn dus 65074 vrouwen die overlijden als ze 60 zijn. Dit wordt d 60 = 65074 genoemd. Let op: dit is kleine d, niet te verwarren met het commutatieteken grote D. De kans dat mevrouw Jansen zal overlijden op haar 60ste is: q 60 = πββ πββ De uitkering van β¬ 100.000 hoeft slechts een half jaar contant te worden gemaakt. Want als mevrouw Jansen overlijdt, gebeurt dat gemiddeld halverwege het jaar. Dan wordt de prijs van de een jarige overlijdensverzekering dus: Prijs = πββ 1 * * πββ 1,04β°ββ΅ 100.000 = 65074 9260724 * 0,9806 * 100.000= β¬ 689,04 Voor deze risicoverzekering wordt ook wel de volgende naam gebruikt: 100.000* Boven de 60 staat nu een recht streepje verticaal om aan te duiden dat het een overlijdensverzekering is. De 1 in het haakje geeft aan dat het een 1 jarige verzekering betreft. Overlijdensverzekering in commutatietekens Ook voor deze verzekering geldt dat ze in commutatietekens uit te drukken is: De afleiding hoef je niet te weten maar het resultaat is als volgt: 8 100.000* 100.000* Prijs = 100.000* Prijs = β¬ 689,06 πΆββ π·ββ 60,66 8803,28 Het commutatieteken π· is al bekend. Het nieuwe commutatieteken πΆ is het commutatieteken van de doden. Het aantal doden wordt contant gemaakt met hun leeftijd + 0, 5 jaar. Levenslange overlijdensverzekering Veel hypotheken worden afgesloten inclusief een overlijdensverzekering gedurende de looptijd. Als de hypotheekgever mocht overlijden, dan kan de overlijdensverzekering een kapitaal uitkeren om een restschuld te kunnen aflossen. Als de looptijd van een hypotheek 50 jaar is, dan zou voor het berekenen van de risicoverzekering 50 πΆβs moeten worden berekend. Als de hypotheek wordt afgesloten over de hele levensduur, dan zou de berekening waarschijnlijk nog veel langer zijn. Om lange berekeningen te voorkomen, is ook hier βsnellerβ commutatieteken ontwikkeld: de M. De definitie van π x = πΆ x + πΆ R R x+1 +πΆ x+2 +β¦β¦β¦.. Mocht mevrouw Pieterse (20 jaar) een β¬ 100.000 hypotheek willen nemen met een 50-jarige looptijd inclusief een overlijdensdekking. Dan wordt de berekening van de prijs van de overlijdensverzekering In naam: Prijs = 100.000 * In commutatietekens Prijs = 100.000 * πβββπββ π·ββ Als mevrouw Pieterse (20 jaar) een levenslange overlijdensverzekering (β¬ 100.000) wil hebben, dan wordt de berekening van de prijs als volgt. In naam: Prijs = 100.000 * A 20 In commutatietekens 9 Prijs =100.000 * πββ π·ββ Let op dat deze verzekering na overlijden uitkeert pas aan het eind van het jaar van overlijden. Hier wordt geen overstreepte M (commutatieteken) of A (naam verzekering) gebruikt. Gemengde verzekering Als iemand een hypotheek neemt, wordt er vaak een gemengde verzekering bij afgesloten. Deze verzekering keert een bedrag bij overlijden uit of hetzelfde bedrag bij in leven zijn na afloop van de hypotheekperiode. Als iemand overlijdt voordat de hypotheekduur is verstreken, kan met de overlijdensuitkering de hypotheek worden afgelost. Als de verzekerde nog in leven is na afloop van de hypotheekperiode, dan kan met de βlevensβuitkering de hypotheek worden terugbetaald. Gemengd betekent hier een combinatie van een overlijdensverzekering in combinatie met een levensverzekering: In symbolen wordt deze verzekering als volgt uitgedrukt: + A xn = A xn In commutatietekens is deze verzekering dezelfde als de samenstelling van commutatietekens van de overlijdensverzekering plus de levensverzekering. Erfrente: Meneer De Vries wil graag een jaarlijkse rente laten uitkeren aan zijn nabestaanden indien hij overlijdt. De nabestaanden βervenβ dus een jaarlijkse uitkering als meneer De Vries overlijdt. Wel moet bij het sluiten van de verzekering duidelijk zijn wat de maximale looptijd zal zijn van de rente. Stel dat meneer De Vries x jaar is bij het afsluiten van de verzekering en de maximale looptijd is n jaar. Indien hij overlijdt als hij x+n-1 is, dan zal er slechts 1 keer worden uitgekeerd. Als meneer de Vries niet in de n jaar dood gaat, wordt er ook geen rente uitgekeerd. Het maakt bij deze verzekering niet uit, wie de nabestaande is. Het symbool voor de erfrente is: Deze wordt als volgt berekend: - Hierbij is n de maximale looptijd van de rente, x de leeftijd van de verzekerde aan het begin van de verzekering en 4 de interest waarmee de verzekering alle bedragen contant maakt. 10 Is de contante waarde van een rente die jaarlijks uitkeert en onafhankelijk is van het leven of dood. Is de contante waarde van een rente die jaarlijks een rente uitkeert aan een verzekerde van x jaar aan het begin, met een looptijd van n jaar bij in leven zijn van de verzekerde. Als je de eerste a (zonder leven/dood) min de a (met leven) berekent, dan krijg je een rente die uitkeert als de verzekerde overlijdt en maximaal n jaar loopt. De erfrente kan gedeeltelijk in commutatietekens worden uitgedrukt. De a zonder leven of dood kan niet worden uitgedrukt in commutatietekens. Commutatietekens zijn slechts een contant gemaakte aantal levenden of doden. De a zonder leven of dood bevat slechts de interest. De definitie van deze a luidt als volgt: = 1β(1+0,04)βΎβΏ 0,04 De a met leven/dood is al eerder in deze syllabus aan bod gekomen: a = N x+1 - N x+n+1 Dx Twee levens De meest voorkomende verzekeringen zijn gebaseerd op het in leven of dood zijn van een of twee levens. Een getrouwd stel wil graag financiΓ«le zekerheid aan elkaar verschaffen als de een (of beiden) mochten komen te overlijden. Vaak wordt dit dan in de vorm van een nabestaandenverzekering gegoten: als de een overlijdt krijgt de nabestaande (ook echt in de polis bij naam genoemd!) een rente die tijdelijk of levenslang is. Kansberekening Er zijn allerlei varianten mogelijk van verzekeringen op twee levens. Eigenlijk zou eerst alle varianten moeten worden toegelicht met kansberekening, maar dat staat al in het boek. In deze syllabus worden slechts de hoofdvarianten met een korte toelichting gegeven. Commutatietekens Ook voor verzekeringen op twee levens zijn commutatietekens beschikbaar. Er is alleen een groot probleem: commutatietekens van mannen zijn gebaseerd op overlevingstafels van mannen, en die van de vrouwen op eigen vrouwenoverlevingstafel. Maar een man van 30 die getrouwd is met een vrouw van 28, wat zijn hun overlevingskansen? En hoe zit het met een getrouwd stel met een leeftijdsverschil van 10 jaar? De oplossing is eenvoudig: voor ieder leeftijdsverschil is er een aparte overlevingstafel opgesteld. De 11 leeftijd van de man wordt gesteld op X, de leeftijd van de vrouw op Y, en als X-Y uitkomt op 2, dan moeten de commutatietekens in die overlevingstafel worden gezocht. Achterin deze syllabus is een overlevingstafel opgenomen met een stel waarvan de man 1 jaar ouder is dan de vrouw. Uitkering bij in leven zijn van twee verzekerden Meneer en mevrouw Koppens willen graag een verzekering die een kapitaal van 100.000 euro uitkeert over 30 jaar als zij beiden nog in leven zijn. Meneer is 34, mevrouw is 33 jaar. Symbool verzekering: 100.000* 30 E 34 33 in commutatietekens 100.000* π·ββ ββ π·ββ ββ =100.000* 5779 25562 =β¬ 22.607,- Renteverzekeringen Meneer en mevrouw Koppens willen toch eigenlijk geen kapitaalverzekering, maar een renteverzekering die levenslang euro 10.000 uitkeert aan het eind van het jaar aan mevrouw Koppens als meneer Koppens binnen 10 jaar overlijdt. Er wordt dus niets uitgekeerd als beiden leven, voorwaarde voor uitkering van de rente is dat mevrouw Koppens leeft en meneer Koppens overleden is. Stel dat meneer Koppens 30 is en mevrouw Koppens 29. In symbolen uitgedrukt wordt deze verzekering dan: 10.000 * a 30 I 29 = 10.000 a 30 - a 30 29 Hierbij is a 30 29 de verzekering die direct levenslang uitkeert (postnumerando) als beiden in leven zijn. De bijbehorende commutatie tekens zijn hieronder gegeven. Als meneer Koppens nog leeft en zijn vrouw ook, is er geen uitkering. Als alleen mevrouw Koppens nog leeft, dan vervalt de a 30 29, en keert de a 30 uit. Per saldo is dan de prijs. πββ 10.000 * a 30 I 29 = 10.000*( π·ββ - πββ βββ ) π·βββββ =10.000 *( 631091 30324 - 602734 ) 30080 = β¬ 7.739,-- Premiebetaling. Tot nu toe is alleen de contante waarde van de verzekering uitgerekend. Als een verzekeringsnemer de verzekering wil afsluiten, moet hij deze waarde betalen aan de verzekeringsmaatschappij. En als hij de waarde in een keer betaald aan het begin van de verzekering, wordt dat bedrag de koopsom genoemd. Veel verzekeringen worden echter niet in een keer betaald maar jaarlijks of maandelijks een vast bedrag, deze periodieke betaling wordt dan premie genoemd. De contante waarde van de premie moet natuurlijk gelijk zijn aan de koopsom. De waarde van de toekomstige te betalen premies moet gelijk zijn aan de eenmalige betaling aan het begin van de 12 verzekering, anders heeft de premiebetaler een financieel voordeel of nadeel ten opzichte van de koopsombetaler. Vaak wordt de contante waarde van de verzekering de contante waarde van lasten genoemd van de verzekeraar. De contante waarde van de premies wordt dan de contante waarde van de baten genoemd. Beiden natuurlijk uit het oogpunt van de verzekeraar. En beiden moet natuurlijk aan elkaar gelijk zijn. Stel dat meneer Kip kan kiezen tussen een koopsom van euro 5.000 ineens betalen, of een 5 jaar durende premie moet betalen. Hij betaald natuurlijk alleen maar een premie als hij in leven is, en zeer vaak zijn de premies prenumerando. (testvraag: waarom eigenlijk?) Vraag: hoeveel bedraagt de premie die dhr. Kip moet betalen als hij kiest voor premiebetaling? Hij is 30 jaar oud. Hij betaalt 5 jaar lang een premie en dat doet hij bij in leven zijn. Een contante waarde uitrekenen van een rente van jaarlijks het premiebedrag, contant gemaakt met leven en interest, is gelijk aan: Premie * = 5.000 Waarbij x = 30 en n = 5 Invullen van kleine a in commutatietekens geeft dan: πβββπββ π·ββ = 631090β490936 30325 = 4,62 Hierdoor wordt de premie dus: Premie = (5000/4,62) = β¬ 1.082,25 Voorziening. Zodra een verzekeringsnemer een verzekering afsluit met een verzekeraar, ontstaat er een verplichting van de verzekeraar om in de toekomst een of meerdere uitkeringen te moeten doen afhankelijk van de verzekeringsvorm. De verzekering dient aan creditzijde een voorziening op te nemen om aan deze verplichting te kunnen voldoen. De hoogte van de voorziening hangt onder andere af van welke soort verzekering er wordt afgesloten, en natuurlijk ook van de mate van waarschijnlijkheid van uitkering. Stel dat meneer Jager een koopsom van euro 10.000 betaalt om een uitkering bij in leven te krijgen over 5 jaar. Meneer Jager is bij het afsluiten van de verzekering 50 jaar. Welk bedrag zal de verzekering als voorziening moeten opnemen gedurende de 5 jaar verzekeringsduur? 13 Direct bij aanvang van de verzekering is de contante waarde van de verplichting gelijk aan de koopsom, dat is nu eenmaal de definitie van de koopsom. Een jaar later is de voorziening opgerent met het interestpercentage en is er een jaar minder leven of sterfte waarmee rekening moet worden gehouden. De voorziening na 1 jaar (dus aan het begin van tweede jaar) is eigenlijk de koopsom voor iemand (51 jaar) die over 4 jaar een kapitaal van euro 10.000 wil hebben. De voorziening na 2 jaar (dus aan het begin van jaar 3) is hetzelfde als de koopsom van iemand (52 jaar) die over 3 jaar de euro 10.000 wil hebben. Eind jaar 5 moet het volledige bedrag worden uitgekeerd en zal de voorziening dus 10.000 moeten zijn . Voorziening met premiebetaling Een voorziening is niets anders als een toekomstige schuld, maar als de verzekering is afgesloten tegen premiebetaling, dan zijn de nog niet betaalde premies de toekomstige baten. Die mogen dus van de toekomstige schulden worden afgehaald. Wat overblijft is dan de βechteβ toekomstige schuld. Overzicht verzekeringen met commutatietekens: 1. Renteverzekering Γ€x In commutatietekens πβ π·β Omschrijving: Een direct ingaande prenumerando verzekering die levenslang jaarlijks een rente uitkeert. De rente is β¬ 1 per jaar. 2. Renteverzekering ax In commutatietekens πβββ π·β Omschrijving: Een direct ingaande postnumerando verzekering die levenslang jaarlijks een rente uitkeert. De eerste rente wordt pas aan het einde van het eerste jaar uitgekeerd. De rente is β¬ 1 per jaar. 3. Renteverzekering Γ€ In commutatietekens N x - N x+n Dx Omschrijving: Een direct ingaande prenumerando verzekering die jaarlijks een rente uitkeert bij in leven zijn. De eerste rente wordt aan het begin van het eerste jaar uitgekeerd en stopt aan het begin van het jaar x+n. De rente is β¬ 1 per jaar. 14 4. Renteverzekering In commutatietekens N x+1 - N x+n+1 Dx a Omschrijving: Een direct ingaande postnumerando verzekering die jaarlijks een rente uitkeert. De eerste rente wordt aan het eind van het eerste jaar uitgekeerd en stopt aan het eind van het jaar x+n. Let op dat het eind van jaar x+n samenvalt met het begin van het jaar x+n+1. De rente is β¬ 1 per jaar. 5. Renteverzekering mI Γ€ In commutatietekens N x+m - N x+m+n Dx Omschrijving: Een na m jaar ingaande prenumerando verzekering die jaarlijks een rente uitkeert. De eerste rente wordt aan het begin van jaar x+m uitgekeerd en stopt aan het eind van het jaar x+m+n. De rente is β¬ 1 per jaar. 6. Renteverzekering mI a In commutatietekens N x+m+1 - N x+m+n+1 Dx Omschrijving: Een na m jaar ingaande postnumerando verzekering die jaarlijks een rente uitkeert. De eerste rente wordt aan eind van jaar x+m uitgekeerd en stopt aan het eind van het jaar x+m+n. Let op dat het eind van jaar x+n+m samenvalt met het begin van het jaar x+m+n+1. De rente is β¬ 1 per jaar. 7. Renteverzekering In commutatietekens Slechts gedeeltelijk, zie blz. 10 15 Omschrijving: Een verzekering die maximaal n jaar uitkeert als de verzekerde met beginleeftijd x komt te overlijden binnen n jaar. De jaarlijkse rente is β¬ 1. 8. Renteverzekering a xIy In commutatietekens πβ π·β - Omschrijving: Een verzekering die levenslang uitkeert aan een vrouw y als de verzekerde, de man x komt te overlijden. De jaarlijkse rente is β¬ 1. 9. Kapitaalverzekering x In commutatietekens Mx Dx Omschrijving: Een kapitaal dat uitkeert na overlijden. Het verzekerd kapitaal is β¬ 1. De verzekering begint direct aan het begin van jaar x en duurt levenslang. Het overlijden gebeurt halverwege het jaar. 10. Kapitaalverzekering In commutatietekens M x - M x+n Dx Omschrijving: Een kapitaal dat uitkeert na overlijden binnen n jaar. Het verzekerd kapitaal is β¬ 1. De verzekering begint direct aan het begin van jaar x en duurt n jaar. Het overlijden gebeurt halverwege het jaar. 16 11. Kapitaalverzekering nEx of A x n In commutatietekens D x+n Dx Omschrijving: Een kapitaal dat uitkeert bij het in leven zijn van de verzekerde na x+n jaar. Het verzekerd kapitaal is β¬ 1. 17 18 19 20 GBV 4% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Cx (Ov Mx (Ov Lx Dx Nx 1/2) 1/2) 10.000.000,00 100.000,00 2.463.699,00 16,00 5.346,00 9.998.281,00 96.137,00 2.363.699,00 16,00 5.329,00 9.996.561,00 92.423,00 2.267.562,00 15,00 5.313,00 9.994.843,00 88.853,00 2.175.138,00 14,00 5.297,00 9.993.124,00 85.421,00 2.086.284,00 14,00 5.282,00 9.991.406,00 82.122,00 2.000.863,00 13,00 5.268,00 9.989.688,00 78.949,00 1.918.741,00 13,00 5.254,00 9.987.970,00 75.900,00 1.839.791,00 12,00 5.240,00 9.986.253,00 72.968,00 1.763.890,00 12,00 5.228,00 9.984.536,00 70.150,00 1.690.922,00 11,00 5.215,00 9.982.819,00 67.440,00 1.620.772,00 11,00 5.204,00 9.981.103,00 64.835,00 1.553.331,00 12,00 5.192,00 9.979.108,00 62.329,00 1.488.496,00 13,00 5.179,00 9.976.846,00 59.918,00 1.426.167,00 14,00 5.166,00 9.974.338,00 57.599,00 1.366.248,00 15,00 5.151,00 9.971.608,00 55.368,00 1.308.649,00 15,00 5.135,00 9.968.682,00 53.223,00 1.253.280,00 16,00 5.119,00 9.965.587,00 51.160,00 1.200.057,00 16,00 5.103,00 9.962.347,00 49.176,00 1.148.896,00 16,00 5.087,00 9.958.981,00 47.269,00 1.099.719,00 16,00 5.071,00 9.955.505,00 45.435,00 1.052.450,00 15,00 5.054,00 9.951.930,00 43.672,00 1.007.014,00 15,00 5.038,00 9.948.259,00 41.977,00 963.342,00 15,00 5.023,00 9.944.492,00 40.347,00 921.364,00 15,00 5.007,00 9.940.622,00 38.780,00 881.017,00 15,00 4.992,00 9.936.637,00 37.273,00 842.236,00 15,00 4.976,00 9.932.521,00 35.825,00 804.962,00 15,00 4.961,00 9.928.252,00 34.432,00 769.137,00 15,00 4.946,00 9.923.804,00 33.093,00 734.704,00 15,00 4.931,00 9.919.143,00 31.805,00 701.610,00 15,00 4.916,00 9.914.233,00 30.567,00 669.805,00 15,00 4.900,00 9.909.033,00 29.376,00 639.237,00 16,00 4.885,00 9.903.495,00 28.230,00 609.861,00 16,00 4.869,00 9.897.566,00 27.128,00 581.630,00 17,00 4.852,00 9.891.191,00 26.068,00 554.501,00 17,00 4.835,00 9.884.308,00 25.048,00 528.433,00 18,00 4.817,00 9.876.854,00 24.066,00 503.385,00 19,00 4.799,00 9.868.766,00 23.122,00 479.318,00 20,00 4.779,00 9.859.985,00 22.213,00 456.196,00 21,00 4.759,00 9.850.458,00 21.338,00 433.983,00 26,00 4.738,00 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36