SUCESIONESDefinición. Una sucesión { } n a es una función R a → Ν : . n a denota la imagen de n , ) (n a a n = . Ejemplos. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = n a n 1 { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + = 1 2 n n a n { } { } n n a 2 = { } { } n n a ) 1 (− = Operaciones de sucesiones. Sean { } n a y { } n b sucesiones y c una constante entonces La suma es la sucesión { } { } n n n b a C + = La multiplicación por la constante c es { } { } n n ca m = La multiplicación de sucesiones es la sucesión { } { } n n n b a C = El cociente es { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = n n n b a C n b n todo para 0 si ≠ . Definición. Se dice que la sucesión { } n a converge a L, si para cada N existe 0 ε < , tal que para cualquier N n > se tiene ε < − L a n . Y se escribe L a n n = ∞ → lim . En otro caso se dice que la sucesión diverge. Ejemplo. 0 1 lim = ∞ → n n Ejemplo. 3 1 2 3 lim = − ∞ → n n n ε < − = − = − + − = − − ) 2 3 ( 3 2 ) 2 3 ( 3 2 ) 2 3 ( 3 2 3 3 3 1 2 3 n n n n n n n de donde n n n < + < + = + − < ε ε ε ε ε ε 9 6 2 , 3 3 6 2 2 3 2 , 2 3 3 2 , tomando ε ε 9 6 2 + = N , se satisface la definición. Ejemplo. 0 lim = ∞ → n n a si 1 < a , a n a n e e a a a n a n n n ln ln , ln ln , , , ) ln( ) ln( ε ε ε ε ε > < < = < < El último paso porque 0 ln < a ya que 1 < a . Por lo tanto si a N ln lnε = se satisface la definición. Teorema. Si existe ( ) lim n n a ∞ → , es único. Demostración. Sean L y L´ límites de la sucesión { } n a , para 2 1 y existen 2 / 0 , 0 N N ε ε < < , tal que para cualesquiera 2 1 y N m N n > > se tiene 2 / ´ y 2 / ε ε < − < − L a L a m n por lo que si, { } 2 1 , N N máx n > entonces ε ε ε = + < − + − < − + − = − 2 / 2 / ´ ´ ´ L a a L L a a L L L n n n n Por lo tanto L = L´. Proposición. Toda sucesión convergente es acotada. Demostración. Sea L a n n = ∞ → lim , entonces para N existe 0 ε < , tal que para cualquier N n > se tiene ε < − L a n O L a L L a n n + < < + − < − < − ε ε ε ε , Es decir L + ε es cota superior para todo n a con N n > , entonces { } L a a a máx K t + = ε , , , , 2 1 K donde t es el mayor natural tal que N t < . Es cota superior de { } n a . En forma análoga { } n a está acotada inferiormente. El recíproco es falso: si una sucesión es acotada, entonces es convergente. Contraejemplo: { } { } n n a ) 1 (− = es acotada pero no tiene límite. La contrapuesta es un criterio de divergencia de sucesiones: Si una sucesión no es acotada, entonces no es convergente. Ejemplo. { } { } 3 ) ( n a n − = no es acotada superior ni inferiormente, por lo que no es convergente. Ejemplo. { } { } ) 3 ( n n a − = no es acotada inferiormente y no es convergente. Teorema. Si existen ( ) ( ) n n n n b a lim lim y ∞ → ∞ → entonces, ( ) ( ) ( ) n n n n n n n b a b a lim lim lim ∞ → ∞ → ∞ → + = + ( ) ( ) n n n n a c ca lim lim ∞ → ∞ → = ( ) ( ) ( ) n n n n n n n b a b a lim lim lim ∞ → ∞ → ∞ → = ( ) ( ) ( ) 0 y , todo para 0 si lim lim lim lim ≠ ≠ = | | ¹ | \ | →∞ →∞ →∞ →∞ n n n n n n n n n n b n b b a b a Demostración. Sean ( ) ( ) B b a n n n n = = ∞ → ∞ → lim lim y A i) Para 2 1 y existen 2 / 0 , 0 N N ε ε < < , tal que para cualesquiera 2 1 y N m N n > > se tiene 2 / y 2 / ε ε < − < − B b A a m n por lo que si, { } 2 1 , N N máx n > entonces ε ε ε = + < − + − < + − + 2 / 2 / ) ( ) ( B b A a B A b a n n n n ii) observamos B b A A a b AB Ab Ab b a AB Ab Ab b a AB b a n n n n n n n n n n n n n − + − = − + − ≤ − + − < − Como existe ( ) n n b lim ∞ → , { } n b es acotada, sea M su cota, entonces B b A A a M B b A A a b AB b a n n n n n n n − + − < − + − < − Para ε < 0 , consideramos 2 1 2 1 y existen , ) 1 ( 2 , ) 1 ( 2 N N A M + = + = ε ε ε ε tal que para cualesquiera 2 1 y N m N n > > se tiene 2 1 y ε ε < − < − B b A a m n por lo que si, { } 2 1 , N N máx n > entonces ε ε ε ε ε = + < + + + < − + − < − 2 / 2 / ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 A A M M B b A A a M AB b a n n n n iii) ( ) ( ) 0 y , todo para 0 si 1 1 lim lim lim ≠ = ≠ = | | ¹ | \ | ∞ → ∞ → ∞ → B b n b b b n n n n n n n observamos B b B b B b n n n − = − 1 1 como ( ) 0 lim ≠ = ∞ → B b n n para 1 existe , 2 / 0 N B < , tal que si 1 N n > se tiene 2 / B B b n < − ahora 2 / B B b B b n n < − ≤ − y B b B n − ≤ − 2 / n b B ≤ 2 / B b B n ≤ 2 / 2 2 / 1 1 2 B B b n ≤ (1) Por lo que 2 / 1 1 2 B B b B b B b B b n n n n − ≤ − = − Para ε < 0 , consideramos 2 1 existe , 0 2 N B > = ε ε tal que para cualquiera 2 N n > se tiene 1 ε < − B b n (2) por lo que si, { } 2 1 , N N máx n > entonces se satisfacen (1) y (2) por lo tanto ε ε ε = = < − ≤ − = − 2 2 2 1 2 2 2 2 2 / 1 1 B B B B B b B b B b B b n n n n Ejemplo. Sean { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + = 1 2 n n a n , { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = 2 3n n b n se puede demostrar que 2 1 2 lim = + ∞ → n n n y 3 1 2 3 lim = − →∞ n n n entonces i) { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − + + + − = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − + + = + ) 2 3 )( 1 ( 4 6 2 3 1 2 2 2 n n n n n n n n n n b a n n { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − + − = + 2 3 3 7 2 2 n n n n b a n n { } 2 3 1 2 3 1 2 3 7 2 3 3 7 lim lim lim lim 2 2 − + + = + = = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − + − = + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → n n n n n n n n b a n n n n n n ii) { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − − = − 2 3 5 5 n n b n { } 2 3 5 3 1 ) 5 ( 3 5 2 3 5 5 lim lim lim − − = − = − = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − − = − ∞ → ∞ → ∞ → n n n n b n n n n iii) { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − + = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + = 2 3 2 2 3 1 2 2 2 n n n n n n n b a n n { } | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + = | ¹ | \ | = = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − + = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 2 lim lim lim lim 2 2 n n n n n n n b a n n n n n n iv) Como ( ) 0 3 1 y , todo para 0 lim ≠ = ≠ ∞ → n n n b n b ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + − = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ | ¹ | \ | − ÷ | ¹ | \ | + = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ n n n n n n n n b a n n 2 2 4 6 2 3 1 2 | ¹ | \ | − ÷ | ¹ | \ | + = | ¹ | \ | ÷ = = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + − = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → 2 3 1 2 3 1 2 6 4 6 lim lim lim lim 2 2 n n n n n n n n b a n n n n n n Definición. { } k n es una sucesión creciente de enteros positivos si 2 1 k k < implica 2 1 k k n n < . Definición. Sea { } n a una sucesión y { } k n una sucesión creciente de enteros positivos, entonces la sucesión { } k n a se llama subsucesión de{ } n a . Es decir, se tiene la composición )) ( ( k n a a k n = . Ejemplo. k k n 2 ) ( = es creciente n n a a n 1 ) ( = = , luego tenemos la subsucesión k k n a a k n 2 1 )) ( ( = = { } { } K K K K K K , , , , , , 2 1 2 1 2 1 k n n n k n a a a n n n a a a < < < < Composición de funciones : k n a k b a n k ÷→ ÷ ÷→ ÷ Teorema. Toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente. Demostración. Afirmación: k n k ≤ para todo 1 ≥ k . Por inducción. Para 1 = k , se satisface 1 1 n ≤ porque { } k n son naturales Hipótesis de inducción: k n k ≤ P.D. 1 1 + ≤ + k n k Por hipótesis de inducción k n k ≤ Como { } k n es creciente 1 + < k k n n Por transitividad 1 + < k n k Por lo tanto 1 1 + ≤ + k n k porque son naturales y sumamos 1 de lado izquierdo. Sea L a n n = →∞ lim y { } k n a una subsucesión de { } n a Para N existe , 0 ε < , tal que para cualquiera N n > se tiene ε < − L a n Como { } k n es sucesión creciente de enteros positivos, N n N > luego para cualquier N k n n > se tiene ε εε ε < − L a k n Por lo tanto L a k n n = ∞ → lim Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = 2 2 1 n n a n Con { } { } 2 k n k = tenemos la subsucesión { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = 4 2 2 1 n k a k n y tanto la sucesión como la subsucesión convergen a cero. Teorema. Sea R R f → : continua en L, { } domf a n ⊆ y L a n n = ∞ → lim , entonces ) ( ) ( lim L f a f n n = ∞ → . Demostración. Como R R f → : continua en L, para cada 0 existe 0 > > δ ε tal que si δ < − ∈ L x domf x y Entonces ε < − ) ( ) ( L f x f , Para 0 > δ , como L a n n = ∞ → lim existe 0 existe > N tal que si N n > Entonces δ < − L a n . Por hipótesis { } domf a n ⊆ , tomamos n a x = , por lo que ε < − ) ( ) ( L f a f n Por lo tanto ) ( ) ( lim L f a f n n = ∞ → . Ejemplo. Como 2 1 2 3 lim = + ∞ → n n n 2 1 2 1 2 3 lim = = + ∞ → n n n por que la función x x f = ) ( es continua en ½. | ¹ | \ | = | ¹ | \ | + ∞ → 2 1 2 3 lim sen n n sen n Teorema. Sea R R f → : , L x f x = ∞ → ) ( lim y una sucesión { } n a tal que n a n f = ) ( , entonces L a n n = ∞ → lim . Ejemplos. 1. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = 1 2 2 n n n a Consideramos 1 2 ) ( 2 − = x x x f , y 1 2 ) ( 2 − = = n n n n f a Tenemos que ∞ ∞ = − →∞ 1 2 2 lim x x x , aplicando la regla de L´hopital 0 2 ) 2 (log 2 2 ) 2 (log 2 1 2 2 2 lim = = = − ∞ → x x x x x x aplicando otra vez la regla de L´hopital. Por lo que 0 1 2 2 lim = − ∞ → n n n . 2. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ | ¹ | \ | − + = 3 3 log n n n a n 0 . 3 3 log lim ∞ = | ¹ | \ | − + →∞ x x x x Luego 6 9 6 / 1 ) 3 ( 3 3 3 3 / 1 3 3 log 3 3 log 2 2 2 2 lim lim lim lim = − = − | | ¹ | \ | − − − − | ¹ | \ | + − = | ¹ | \ | − + = | ¹ | \ | − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3. { } ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ | ¹ | \ | + = n n n a 2 1 1 ∞ ∞ → = | ¹ | \ | + 1 2 1 1 lim x x x Sea x x x b | ¹ | \ | + = ∞ → 2 1 1 lim 0 . 2 1 1 log 2 1 1 log 2 1 1 log log lim lim lim ∞ = | | ¹ | \ | | ¹ | \ | + = | | ¹ | \ | | ¹ | \ | + = | | ¹ | \ | | ¹ | \ | + = →∞ →∞ →∞ x x x x b x x x x x Usando la regla de L´hopital 0 0 / 1 2 1 1 log 2 1 1 log log lim lim = | | | | ¹ | \ | | ¹ | \ | + = | | ¹ | \ | | ¹ | \ | + = →∞ →∞ x x x x b x x 2 1 1 2 / 1 2 1 1 2 2 / 1 2 1 1 log log lim lim lim 2 2 = | ¹ | \ | + = | | | | ¹ | \ | − | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + = | | | | ¹ | \ | | ¹ | \ | + = →∞ →∞ →∞ x x x x x x x x b x x x Entonces 2 / 1 2 1 1 lim e x b x x = | ¹ | \ | + = →∞ 4. { } { } n n n a n − + = 3 2 ( ) ∞ − ∞ = − + →∞ x x x x 3 2 lim ( ) ( ) ∞ ∞ = | | ¹ | \ | + + = | | ¹ | \ | + + − + = | | ¹ | \ | + + + + − + = − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim Multiplicando y dividiendo entre x, ( ) 2 3 1 3 1 3 3 3 3 lim lim lim 2 2 = | | | | ¹ | \ | + + = | | ¹ | \ | + + = − + ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x . 5. { } ( ) { } n n n n e e n a / 1 2 + + = ( ) 0 / 1 2 lim ∞ = + + ∞ → x x x x e e x Sea ( ) x x x x e e x b / 1 2 lim + + = ∞ → ( ) ( ) ( ) ( ) ∞ ∞ = | ¹ | \ | + + = + + = | ¹ | \ | + + = →∞ →∞ →∞ x x x x x x x x x x x e e x x e e x e e x b 2 / 1 2 / 1 2 log 1 log log log lim lim lim Usando la regla de L´hopital ( ) | | ¹ | \ | + + + + = | ¹ | \ | + + = →∞ →∞ x x x x x x x x e e x e e e e x x b 2 2 2 2 1 log 1 log lim lim Usando la regla de L´hopital otra vez | | ¹ | \ | + + + = | | ¹ | \ | + + + + = ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x e e e e e e x e e b 2 2 2 2 2 1 4 2 1 log lim lim Multiplicando y dividiendo por x e 2 2 2 / 1 / 1 4 / 1 2 1 4 log 2 2 2 lim lim = | | ¹ | \ | + + + = | | ¹ | \ | + + + = ∞ → ∞ → x x x x x x x x x e e e e e e e b Por lo que ( ) 2 / 1 2 lim e e e x b x x x x = + + = ∞ → Sucesiones especiales i) { } { } 0 / 1 > = c c a n n ii) { } { } n n n a / 1 = Teorema. 1 / 1 n lim = →∞ n c y 1 / 1 lim = →∞ n n n Demostración. i) 0 / 1 lim ∞ = ∞ → n n n Escribimos | ¹ | \ | = ) ln( 1 exp / 1 n n n n , como ) exp(x es función continua | ¹ | \ | = | ¹ | \ | = | ¹ | \ | ∞ → ∞ → ∞ → ) ln( 1 exp ) ln( 1 exp lim lim lim / 1 n n n n n n n n n y ∞ ∞ = | ¹ | \ | →∞ ) ln( 1 lim n n n Aplicando la regla de L´hopital 0 1 ) ln( 1 lim lim = = →∞ →∞ n n n n n Por lo que 1 0 / 1 lim = = ∞ → e n n n . ii) 1 ) ln( 1 exp ) ln( 1 exp 0 / 1 lim lim lim = = | ¹ | \ | = | ¹ | \ | = | ¹ | \ | ∞ → ∞ → ∞ → e c n c n c n n n n Ejemplos. 1 3 / 1 n lim = ∞ → n 1 ) 3 / 2 ( / 1 n lim = ∞ → n TEOREMA Si n c b a n n n todo para ≤ ≤ y n n n n c L a lim lim ∞ → ∞ → = = entonces L b n n = ∞ → lim Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = n n sen a n ) ( Como n n n sen n 1 ) ( 1 ≤ ≤ − y n n n n 1 0 1 lim lim ∞ → ∞ → = = − 0 ) ( lim = ∞ → n n sen n . Ejemplo. { } { } b a b a a n n n n < < + = 0 con → < < b a 0 n n b a < < 0 luego n n n n n b b b a b + < + < entonces b b a b n n n n 2 < + < como b b b n n n 2 lim lim →∞ →∞ = = , porque 1 2 lim = ∞ → n n por el teorema b b a n n n n = + →∞ lim En general { } b a máx b b a n n n n , lim = = + →∞ . Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + + + + + + = n n n n a n 2 2 2 1 2 1 1 1 L O también { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + = ∑ = n k n k n a 1 2 1 Usamos las desigualdades adecuadas Para n k ≤ ≤ 1 se satisfacen n n k n n + ≤ + ≤ + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + ≤ + ≤ + + ≤ + ≤ + n k n n n n n k n n Sumando las desigualdades desde k = 1 a n k = 1 1 2 1 2 2 + ≤ + ≤ + ∑ = n n k n n n n n k Ahora 1 ) / 1 ( 1 1 ) / 1 ( 1 lim lim lim 2 2 = + = + = + →∞ →∞ →∞ n n n n n n n n n n Y 1 ) / 1 ( 1 1 1 ) / 1 ( 1 1 2 2 2 lim lim lim = + = + = + →∞ →∞ →∞ n n n n n n n n Por el teorema 1 1 2 1 1 1 2 2 2 lim = + + + + + + →∞ n n n n n L SUCESIONES MONOTONAS Definición. Una sucesión { } n a i) es monótona creciente, si sus términos son no decrecientes: K K ≤ ≤ ≤ ≤ n a a a 2 1 ii) es monótona decreciente, si sus términos son no crecientes: K K ≥ ≥ ≥ ≥ n a a a 2 1 Teorema. Sea { } n a una sucesión, i) Si es mónotona creciente, es convergente si y sólo si es acotada y { } { } n n n a a sup lim = ∞ → ii) Si es mónotona decreciente, es convergente si y sólo si es acotada y { } { } n n n a a inf lim = →∞ . Demostración. i) Si K K ≤ ≤ ≤ ≤ n a a a 2 1 es acotada superiormente, tiene supremo L, entonces, para para 0 > ε , existe N tal que si N a L N n < − ≥ ε , y N n a a n N ≥ ≤ para por ser creciente, entonces N n a a L n N ≥ ≤ < − para ε , de donde N n a L n ≥ < − < para 0 ε Por lo tanto { } { } n n n a L a sup lim = = ∞ → . ii) en forma similar al anterior. Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = n n e n a Consideramos x e x x f = ) ( , como x x x x x x e x e x e e xe e x f − = − = − = 1 ) 1 ( ) ´( 2 2 de donde 1 para 0 ) ´( > < x x f , es decir es decreciente, y { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = n n e n a está acotada inferiormente por 0. Por lo tanto es convergente. Y 0 1 lim lim = = →∞ →∞ x x x x e e x usando L´hopital. Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + + = 1 1 3 n n a n Es creciente, se puede demostrar que n n n n a a a a 1 1 1 0 0 + + ≤ − ≤ . Consideremos 1 2 7 3 4 7 3 1 3 1 2 4 3 1 1 3 2 1 ) 1 ( 3 2 2 1 > + + + + = | ¹ | \ | + + + + = + + ÷ + + + = + n n n n n n n n n n n n a a n n Se satisface porque es equivalente a 2 4 2 7 3 4 7 3 2 2 > ⇔ + + > + + n n n n lo cual es verdadero. La sucesión está acotada por 3: Porque 3 1 3 3 ) 1 ( 3 1 3 3 1 1 3 < ⇔ + = + < + ⇔ < + + = n n n n n a n , lo cual es verdadero. Por lo tanto la sucesión { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + + = 1 1 3 n n a n es convergente. Ejemplo. la sucesión definida en forma recursiva ) 6 ( 2 1 , 2 1 + = = n n a a a Es creciente: inducción sobre n. 4 ) 6 2 ( 2 1 2 2 1 = + = < = a a Hipótesis de inducción: 1 + < n n a a P.D. 2 1 + + < n n a a Por hipótesis 1 + < n n a a Entonces 6 6 1 + < + + n n a a ) 6 ( 2 1 ) 6 ( 2 1 1 + < + + n n a a es decir 2 1 + + < n n a a . Es acotada por 6: 6 2 1 < = a Hipótesis de inducción: 6 < n a P.D. 6 1 < + n a Por hipótesis 6 < n a Entonces 12 6 6 6 = + < + n a 6 ) 12 ( 2 1 ) 6 ( 2 1 = < + n a es decir 6 1 < + n a . Por lo tanto la sucesión es convergente. Además n n n n a L a lim lim 1 ∞ → + ∞ → = = implica ) 6 ( 2 1 2 6 lim lim 1 + = | ¹ | \ | + = = ∞ → + ∞ → L a L a n n n n , por lo que 6 o , 6 2 = + = L L L , así que 6 lim = = ∞ → L a n n . Teorema. Del valor absoluto. Sea { } n a una sucesión. Si 0 lim = →∞ n n a entonces 0 lim = ∞ → n n a Demostración. Como 0 lim = →∞ n n a entonces 0 lim = − ∞ → n n a , y n n n a a a ≤ ≤ − por teorema del sándwich, se sigue. Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + − = 1 ) 1 ( 2 n a n n Como 0 1 1 1 ) 1 ( 2 2 lim lim = + = + − ∞ → ∞ → n n n n n entonces 0 1 ) 1 ( 2 lim = + − →∞ n n n . Teorema. Prueba de la razón. Sea { } n a una sucesión. i) Si 1 1 lim < + ∞ → n n n a a entonces 0 lim = ∞ → n n a . ii) Si 1 1 lim > + ∞ → n n n a a entonces { } n a diverge. iii) Si 1 1 lim = + ∞ → n n n a a , no aplica el criterio Demostración. i) Sea 1 1 lim < = + ∞ → n n n a a L y 1 que tal < < ∈ r L R r , Tomamos 0 > − = L r ε , entonces existe N tal que N n L r L a a n n > − = < − + para 1 ε , de aquí L r L a a r L n n − < − < − +1 , r a a n n < +1 de la segunda desigualdad, N n a r a n n > < + para 1 , luego recursívamente n n n a r a r a 2 1 2 < < + + n k k n a r a < + Como 1 0 < < r , por el teorema del sándwich, se sigue 0 lim = ∞ → n n a . ii) Sea 1 1 lim > = + ∞ → n n n a a L y 1 que tal > > ∈ r L R r , Tomamos 0 > − = r L ε , entonces existe N tal que N n r L L a a n n > − = < − + para 1 ε , de aquí r L L a a L r n n − < − < − +1 , n n a a r 1 + < de la primera desigualdad, N n a a r n n > < + para 1 , luego recursívamente 2 1 2 + + < < n n n a a r a r k n n k a a r + < Como 1 > r , k r diverge, { } k n a + también diverge. Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = ! 2 n a n n 1 0 1 2 2 ! )! 1 ( 2 ! 2 )! 1 ( 2 lim lim lim lim 1 1 1 < = + = | ¹ | \ | + = ÷ + = →∞ + →∞ + →∞ + →∞ n n n n n a a n n n n n n n n n n Por lo tanto 0 ! 2 lim = →∞ n n n . Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = n n n a 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 lim lim lim lim 1 1 1 1 1 > = = | | ¹ | \ | = ÷ = ∞ → + + ∞ → + + ∞ → + ∞ → n n n n n n n n n n n n n n a a Por lo tanto { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = n n n a 2 3 es divergente. El criterio no se aplica cuando 1 1 lim = + ∞ → n n n a a ya que existen sucesiones que satisfacen este límite pero unas son convergentes y otras no. Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + = 1 2 n n a n 1 2 2 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 1 2 3 2 3 2 2 2 2 1 lim lim lim lim = + + + + + = | | ¹ | \ | + + + + = + ÷ + + + = ∞ → ∞ → ∞ → + ∞ → n n n n n n n n n n n n n n a a n n n n n n Y 0 1 2 lim = + →∞ n n n es convergente. Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + = n n a n 1 2 1 1 2 2 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 2 3 2 3 2 2 2 2 1 lim lim lim lim = + + + + + = | ¹ | \ | + + + + = + ÷ + + + = →∞ →∞ →∞ + →∞ n n n n n n n n n n n n n n a a n n n n n n Sin embargo ∞ = + ∞ → n n n 1 2 lim diverge. Definición. Sucesión de Cauchy. Una sucesión { } n a se llama sucesión de Cauchy, si para cada 0 existe 0 > > N ε tal que si N n m > , Entonces ε < − n m a a Una sucesión { } n a es de Cauchy, si y sólo si, es convergente. Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + = n n a n 1 Como 1 1 lim = + →∞ n n n para 0 existe 0 > > N ε tal que si N n m > , Entonces 2 1 1 y 2 1 1 ε ε < − + < − + m m n n por lo tanto ε ε ε < + < + − + − + ≤ + − + − + = + − + = − 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n m m n n m m n n m m a a n m Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + + + + + = ! 1 ! 3 1 ! 2 1 1 1 n a n K es una sucesión de Cauchy. Sea n m > y consideremos 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 ) 2 / 1 ( 1 ) 2 / 1 ( 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ! 1 )! 1 ( 1 ! 1 ! 3 1 ! 2 1 1 1 ! 1 )! 1 ( 1 ! 1 ! 3 1 ! 2 1 1 1 − − − − − − − + < | ¹ | \ | − = | | ¹ | \ | − − = | ¹ | \ | + + + = + + + ≤ + + + = | ¹ | \ | + + + + + − + + + + + + + + + = − n n m n n m n n m n m n n n m m n n m n n a a K K K K K K Y ε < −1 2 1 n se satisface por la propiedad arquimediana, ya que ε < −1 2 1 n si y solo si 2 2 1 ε < n si y solo si 2 log 2 2 n n e = < ε si y solo si 2 log 2 log n < ε y n < 2 log 2 log ε . Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − + + + − = + ! ) 1 ( ! 3 1 ! 2 1 1 1 n a n n K es una sucesión de Cauchy. Ejemplo. { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + + + + = n a n 1 3 1 2 1 1 K no es una sucesión de Cauchy. Sea n m > y consideremos m n n m n n a a n m 1 ) 1 ( 1 1 3 1 2 1 1 1 ) 1 ( 1 1 3 1 2 1 1 + + + = | ¹ | \ | + + + + − + + + + + + + + = − K K K K 1 , 2 para y ) 1 ( 1 1 1 − + + < ⇒ < + m n n m m n K por lo tanto m n m m m m a a n m − = + + + > − 1 1 1 K En particular si n m 2 = 2 1 2 2 2 2 = = − > − n n n n n a a n n no se satisface que ε < − n n a a 2 para todo 0 > ε arbitrario, por lo tanto la sucesión no es de Cauchy.